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(the)j(n)m(um)m(b)s(er)h(of)71 4302 y(op)s(erations)29 b(needed)i(to)f(adv)-5 b(ance)30 b(the)g(indep)s(enden)m(t)h(v)-5 b(ariable)29 b Fk(t)g Fs(in)h(one)g(unit.)42 b(W)-8 b(e)30 b(ha)m(v)m(e)h(also)e(co)s(ded)71 4422 y(the)g(algorithms)d(to)i(do)h (these)g(tasks)h(so)f(that)f(the)h(output)g(of)f(the)h(program)e(is,)i (in)f(fact,)h(a)g(n)m(umerical)71 4543 y(in)m(tegrator)i(for)h(the)h (initial)c(v)-5 b(alue)32 b(problem)g(\(1\).)217 4663 y(W)-8 b(e)36 b(ha)m(v)m(e)h(tested)g(this)f(T)-8 b(a)m(ylor)35 b(in)m(tegrator)g(against)g(some)g(w)m(ell-kno)m(wn)h(in)m(tegration)e (metho)s(ds.)71 4783 y(The)f(results)f(sho)m(w)h(that)f(T)-8 b(a)m(ylor)32 b(metho)s(d)f(is)h(a)f(v)m(ery)j(comp)s(etitiv)m(e)d (metho)s(d)g(to)h(in)m(tegrate)f(with)h(the)71 4904 y(standard)44 b(double)g(precision)f(arithmetic)f(of)i(the)g(computer.)78 b(Ho)m(w)m(ev)m(er,)49 b(the)44 b(main)e(motiv)-5 b(ation)71 5024 y(for)34 b(writing)f(this)i(soft)m(w)m(are)h(is)e(to)g(address)i 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Fm(Prop)s(osition) 35 b(2.1)49 b Fq(If)35 b(the)g(functions)f Fk(b)h Fq(and)g Fk(c)f Fq(ar)-5 b(e)35 b(of)g(class)f Fk(C)2490 594 y Fh(n)2537 630 y Fq(,)g(and)h Fk(\013)28 b Fj(2)g Fi(R)33 b Fj(n)22 b(f)p Fs(0)p Fj(g)p Fq(,)34 b(we)h(have)190 827 y Fs(1.)49 b Fq(If)34 b Fk(a)p Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))28 b(=)g Fk(b)p Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))22 b Fj(\006)h Fk(c)p Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))p Fq(,)35 b(then)f Fk(a)1470 791 y Fe([)p Fh(n)p Fe(])1557 827 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))28 b(=)f Fk(b)1840 791 y Fe([)p Fh(n)p Fe(])1927 827 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))22 b Fj(\006)h Fk(c)2202 791 y Fe([)p Fh(n)p Fe(])2288 827 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))p Fq(.)190 1064 y Fs(2.)49 b Fq(If)34 b Fk(a)p Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))28 b(=)g Fk(b)p Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))p Fk(c)p Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))p Fq(,)35 b(then)g Fk(a)1349 1028 y Fe([)p Fh(n)p Fe(])1435 1064 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))28 b(=)1728 939 y Fh(n)1677 969 y Fg(X)1692 1179 y Fh(i)p Fe(=0)1838 1064 y Fk(b)1879 1023 y Fe([)p Fh(n)p Ff(\000)p Fh(i)p Fe(])2044 1064 y Fs(\()p 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b(=)g(sin)16 b Fk(c)p Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))p Fq(,)35 b(then)1385 3003 y Fk(a)1436 2962 y Fe([)p Fh(n)p Fe(])1523 3003 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))83 b(=)g Fj(\000)1968 2936 y Fs(1)p 1963 2980 V 1963 3072 a Fk(n)2098 2879 y Fh(n)2048 2909 y Fg(X)2063 3118 y Fh(i)p Fe(=1)2208 3003 y Fk(ib)2282 2962 y Fe([)p Fh(n)p Ff(\000)p Fh(i)p Fe(])2448 3003 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))p Fk(c)2601 2962 y Fe([)p Fh(i)p Fe(])2669 3003 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))1395 3325 y Fk(b)1436 3284 y Fe([)p Fh(n)p Fe(])1523 3325 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))g(=)1890 3257 y(1)p 1886 3302 V 1886 3393 a Fk(n)2021 3200 y Fh(n)1970 3230 y Fg(X)1985 3440 y Fh(i)p Fe(=1)2131 3325 y Fk(ia)2215 3284 y Fe([)p Fh(n)p Ff(\000)p Fh(i)p Fe(])2381 3325 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))p Fk(c)2534 3284 y Fe([)p Fh(i)p Fe(])2601 3325 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))71 3660 y Fm(Pro)s(of:)58 b Fs(These)43 b(pro)s(ofs)c(can)i(b)s(e)f(found)h(in)e(the)i (literature,)g(so)f(w)m(e)h(only)f(giv)m(e)g(some)g(hin)m(ts)h(ab)s (out)71 3780 y(them.)190 3977 y(1.)49 b(Ob)m(vious.)190 4138 y(2.)g(It)32 b(follo)m(ws)g(from)f(Leibniz's)h(form)m(ula:)686 4401 y Fk(a)737 4360 y Fe([)p Fh(n)p Fe(])823 4401 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))c(=)1093 4334 y(1)p 1075 4378 86 4 v 1075 4470 a Fk(n)p Fs(!)1170 4401 y Fk(a)1221 4360 y Fe(\()p Fh(n)p Fe(\))1324 4401 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))f(=)1594 4334 y(1)p 1576 4378 V 1576 4470 a Fk(n)p Fs(!)1738 4277 y Fh(n)1688 4307 y Fg(X)1703 4517 y Fh(i)p Fe(=0)1848 4261 y Fg(\022)1922 4334 y Fk(n)1934 4470 y(i)1980 4261 y Fg(\023)2053 4401 y Fk(b)2094 4360 y Fe(\()p Fh(n)p Ff(\000)p Fh(i)p Fe(\))2275 4401 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))p Fk(c)2428 4360 y Fe(\()p Fh(i)p Fe(\))2512 4401 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))g(=)2804 4277 y Fh(n)2754 4307 y Fg(X)2769 4517 y Fh(i)p Fe(=0)2914 4401 y Fk(b)2955 4360 y Fe([)p Fh(n)p Ff(\000)p Fh(i)p Fe(])3121 4401 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))p Fk(c)3274 4360 y Fe([)p Fh(i)p Fe(])3341 4401 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))p Fk(:)190 4742 y Fs(3.)49 b(Apply)32 b(item)g(2)g(to)g Fk(a)p Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))p Fk(c)p Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))c(=)g Fk(b)p Fs(\()p Fk(t)p Fs(\).)190 4903 y(4.)49 b(T)-8 b(ak)m(e)28 b(logarithms)d(and)i(deriv)-5 b(ativ)m(es)28 b(to)f(obtain)f Fk(a)2151 4867 y Ff(0)2174 4903 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))p Fk(b)p Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))j(=)e Fk(\013)q(a)p Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))p Fk(b)2835 4867 y Ff(0)2859 4903 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\).)42 b(Use)28 b(item)e(2)h(and)h (\(5\).)190 5064 y(5.)49 b(T)-8 b(ak)m(e)33 b(logarithms)d(and)j(deriv) -5 b(ativ)m(es)33 b(to)f(obtain)f Fk(a)2182 5028 y Ff(0)2206 5064 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))d(=)f Fk(a)p Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))p Fk(b)2651 5028 y Ff(0)2675 5064 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\).)44 b(Use)33 b(item)e(2)i(and)f(\(5\).)190 5225 y(6.)49 b(T)-8 b(ak)m(e)33 b(deriv)-5 b(ativ)m(es)33 b(to)f(obtain)g Fk(a)1510 5188 y Ff(0)1533 5225 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))p Fk(b)p Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))d(=)e Fk(b)1969 5188 y Ff(0)1993 5225 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\).)43 b(Use)34 b(item)d(2)h(and)h(\(5\).)190 5385 y(7.)49 b(T)-8 b(ak)m(e)24 b(deriv)-5 b(ativ)m(es)22 b(to)h(obtain)e Fk(a)1470 5349 y Ff(0)1494 5385 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))27 b(=)h Fj(\000)p Fk(b)p Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))p Fk(c)2007 5349 y Ff(0)2031 5385 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))23 b(and)g Fk(b)2386 5349 y Ff(0)2410 5385 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))k(=)h Fk(a)p Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))p Fk(c)2856 5349 y Ff(0)2879 5385 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\).)41 b(Use)23 b(item)f(2)g(and)h(\(5\).)p eop %%Page: 7 7 7 6 bop 87 -162 a Fl(\022)71 -137 y(A.)33 b(Jorba,)f(M.)h(Zou)2987 b Fs(7)p 3780 170 71 71 v 71 349 a Fm(Remark)37 b(2.1)49 b Fq(It)c(is)g(p)-5 b(ossible)45 b(to)g(derive)g(similar)f(formulas)h (for)g(other)h(functions,)h(like)e(inverse)71 470 y(trigonometric)34 b(functions.)71 649 y Fm(Corollary)i(2.1)49 b Fq(The)d(numb)-5 b(er)47 b(of)g(arithmetic)g(op)-5 b(er)g(ations)46 b(to)i(c)-5 b(ompute)46 b(the)i(derivatives)e(up)h(to)71 769 y(or)-5 b(der)34 b Fk(n)i Fq(of)e(a)h(ve)-5 b(ctor)34 b(\014eld)h(is)f(of)h Fk(O)s Fs(\()p Fk(n)1510 733 y Fe(2)1549 769 y Fs(\))p Fq(.)71 948 y Fm(Pro)s(of:)56 b Fs(The)40 b(n)m(um)m(b)s(er)f(of)f(op)s (erations)g(to)h(obtain)f(the)h Fk(j)6 b Fs(-th)38 b(deriv)-5 b(ativ)m(e)39 b(once)g(w)m(e)h(kno)m(w)g(the)f(pre-)71 1069 y(vious)34 b(ones)i(is)e Fk(O)s Fs(\()p Fk(j)6 b Fs(\))33 b(\(see)j(the)f(previous)g(form)m(ulas\).)48 b(Hence,)36 b(the)f(total)e(n)m(um)m(b)s(er)i(of)f(op)s(erations)g(is) 71 1114 y Fg(P)176 1141 y Fh(n)176 1218 y(j)t Fe(=1)319 1189 y Fk(O)s Fs(\()p Fk(j)6 b Fs(\))27 b(=)h Fk(O)s Fs(\()p Fk(n)824 1153 y Fe(2)862 1189 y Fs(\).)p 3780 1189 V 217 1347 a(Although)g(these)h(metho)s(ds)f(only)g(allo)m(w)f (for)g(the)i(deriv)-5 b(ation)27 b(of)h(a)g(reduced)h(set)g(of)f (functions,)h(w)m(e)71 1467 y(note)k(that)f(the)h(functions)g(that)f (can)h(b)s(e)g(co)s(ded)g(in)e(a)i(computer)f(b)s(elong)g(to)g(this)g (set.)71 1750 y Fc(2.1)135 b(An)44 b(example:)62 b(The)44 b(V)-11 b(an)44 b(der)h(P)l(ol)h(equation)71 1935 y Fs(These)40 b(rules)e(can)h(b)s(e)f(applied)f(recursiv)m(ely)j(so)e(that)g(w)m(e)i (can)e(obtain)g(recursiv)m(e)h(form)m(ulas)e(for)h(the)71 2055 y(deriv)-5 b(ativ)m(es)22 b(of)h(a)f(function)g(describ)s(ed)h(b)m (y)h(com)m(bination)c(of)j(these)g(basic)g(functions.)40 b(As)23 b(an)g(example,)71 2175 y(w)m(e)31 b(can)g(apply)f(them)g(to)f (the)i(V)-8 b(an)30 b(der)h(P)m(ol)f(equation)g(\(3\).)42 b(T)-8 b(o)30 b(this)g(end)h(w)m(e)g(decomp)s(ose)g(the)g(righ)m(t-)71 2296 y(hand)i(side)f(of)g(these)i(equations)f(in)f(a)g(sequence)k(of)c (simple)f(op)s(erations:)1514 2464 y Fk(u)1570 2479 y Fe(1)1692 2464 y Fs(=)83 b Fk(x)1514 2585 y(u)1570 2600 y Fe(2)1692 2585 y Fs(=)g Fk(y)1514 2705 y(u)1570 2720 y Fe(3)1692 2705 y Fs(=)g Fk(u)1907 2720 y Fe(1)1946 2705 y Fk(u)2002 2720 y Fe(1)1514 2825 y Fk(u)1570 2840 y Fe(4)1692 2825 y Fs(=)g(1)22 b Fj(\000)g Fk(u)2077 2840 y Fe(3)1514 2946 y Fk(u)1570 2961 y Fe(5)1692 2946 y Fs(=)83 b Fk(u)1907 2961 y Fe(4)1946 2946 y Fk(u)2002 2961 y Fe(2)1514 3066 y Fk(u)1570 3081 y Fe(6)1692 3066 y Fs(=)g Fk(u)1907 3081 y Fe(5)1968 3066 y Fj(\000)23 b Fk(u)2124 3081 y Fe(1)1530 3187 y Fk(x)1585 3150 y Ff(0)1692 3187 y Fs(=)83 b Fk(u)1907 3202 y Fe(2)1535 3307 y Fk(y)1587 3271 y Ff(0)1692 3307 y Fs(=)g Fk(u)1907 3322 y Fe(6)2204 2383 y Fg(9)2204 2473 y(>)2204 2503 y(>)2204 2533 y(>)2204 2563 y(>)2204 2593 y(>)2204 2623 y(>)2204 2652 y(>)2204 2682 y(>)2204 2712 y(>)2204 2742 y(>)2204 2772 y(=)2204 2951 y(>)2204 2981 y(>)2204 3011 y(>)2204 3041 y(>)2204 3071 y(>)2204 3101 y(>)2204 3131 y(>)2204 3160 y(>)2204 3190 y(>)2204 3220 y(>)2204 3250 y(;)3726 2887 y Fs(\(6\))71 3483 y(Then,)35 b(w)m(e)g(can)f(apply)f (the)h(form)m(ulas)e(giv)m(en)i(in)f(Prop)s(osition)f(2.1)h(\(items)g (1)g(and)h(2\))f(to)g(eac)m(h)i(of)e(the)71 3617 y(equations)39 b(in)f(\(6\))g(to)g(deriv)m(e)i(recursiv)m(e)g(form)m(ulas)d(for)h Fk(u)2242 3566 y Fe([)p Fh(n)p Fe(])2242 3642 y Fh(j)2328 3617 y Fs(,)i Fk(j)k Fs(=)38 b(1)p Fk(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h Fs(6.)61 b(Then,)42 b(from)37 b(the)i(last)71 3737 y(t)m(w)m(o)33 b(equations)g(of)f(\(6\))g(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)1508 3959 y Fk(x)1563 3917 y Fe([)p Fh(n)p Fe(+1])1822 3959 y Fs(=)2080 3891 y(1)p 1991 3936 228 4 v 1991 4027 a Fk(n)23 b Fs(+)f(1)2228 3959 y Fk(u)2284 3908 y Fe([)p Fh(n)p Fe(])2284 3983 y(2)2370 3959 y Fk(;)1512 4199 y(y)1564 4158 y Fe([)p Fh(n)p Fe(+1])1822 4199 y Fs(=)2080 4132 y(1)p 1991 4176 V 1991 4268 a Fk(n)h Fs(+)f(1)2228 4199 y Fk(u)2284 4148 y Fe([)p Fh(n)p Fe(])2284 4224 y(6)2370 4199 y Fk(:)71 4422 y Fs(The)45 b(factor)633 4383 y Fe(1)p 584 4399 133 4 v 584 4457 a Fh(n)p Fe(+1)772 4422 y Fs(comes)f(from)f(the)i (de\014nition)f(giv)m(en)g(in)g(equation)g(\(5\).)79 b(Then,)48 b(w)m(e)e(can)f(apply)71 4543 y(recursiv)m(ely)35 b(these)f(form)m(ulas)f(for)g Fk(n)d Fs(=)f(0)p Fk(;)17 b Fs(1)p Fk(;)g(:)g(:)g(:)n Fs(,)34 b(up)g(to)g(a)f(suitable)g(degree)h Fk(p)p Fs(,)g(to)f(obtain)g(the)h(jet)g(of)71 4663 y(normalized)g (deriv)-5 b(ativ)m(es)36 b(for)g(the)g(solution)f(of)h(the)g(ODE.)g (Note)h(that)f(is)f(not)h(necessary)j(to)d(select)71 4783 y(the)26 b(v)-5 b(alue)25 b Fk(p)g Fs(in)f(adv)-5 b(ance.)42 b(Compare)25 b(these)i(form)m(ulas)d(with)h(the)h(result)f (of)g(using)g(formal)e(deriv)-5 b(ativ)m(es)71 4904 y(on)32 b(the)h(righ)m(t)f(hand)h(side)g(of)f(\(3\),)g(as)h(it)e(has)i(b)s(een) h(done)f(in)e(the)i(In)m(tro)s(duction.)217 5024 y(The)i(main)d(task)i (of)f(the)h(soft)m(w)m(are)h(w)m(e)f(presen)m(t)h(is)f(to)f(read)h (read)f(the)h(system)h(of)e(ODEs,)h(to)f(de-)71 5145 y(comp)s(ose)27 b(it)g(in)g(a)g(sequence)k(of)c(basic)g(op)s(erations,) h(and)g(to)f(apply)h(the)g(form)m(ulas)e(in)h(Prop)s(osition)f(2.1)71 5265 y(to)36 b(this)h(decomp)s(osition.)55 b(The)38 b(result)e(is)h(an) g(ANSI)g(C)h(routine)e(that,)i(giv)m(en)f(an)g(initial)c(condition)71 5385 y(and)g(a)f(\014nal)g(degree,)h(computes)g(normalized)e(deriv)-5 b(ativ)m(es)32 b(of)h(the)g(solution)e(up)i(to)f(that)g(degree.)p eop %%Page: 8 8 8 7 bop 71 -137 a Fs(8)1193 b Fl(Numerical)31 b(in)m(tegration)g(of)h (ODE)g(b)m(y)i(means)e(of)g(T)-8 b(a)m(ylor)32 b(metho)s(ds)71 170 y Fn(3)161 b(Degree)52 b(and)i(step)e(size)i(con)l(trol)71 389 y Fs(Let)34 b(us)h(no)m(w)g(fo)s(cus)f(on)g(a)g(single)f(step)i(of) f(the)h(in)m(tegration)d(pro)s(cedure)j(for)f(equation)g(\(1\).)48 b(In)34 b(what)71 509 y(follo)m(ws,)f(to)h(simplify)e(the)j(discussion) f(w)m(e)h(will)d(assume)j(that)f(the)h(step)g(size)f(is)g(alw)m(a)m(ys) h(p)s(ositiv)m(e)f(\(a)71 630 y(similar)29 b(discussion)k(also)f(holds) g(for)g(negativ)m(e)h(step)g(sizes\).)217 750 y(Assume)f(that,)g(for)e (a)h(giv)m(en)g(time)f Fk(t)1551 765 y Fh(n)1598 750 y Fs(,)i(the)f(solution)f(is)h(at)f(the)i(p)s(oin)m(t)e Fk(x)2880 765 y Fh(n)2928 750 y Fs(,)h(and)h(that)e(w)m(e)j(w)m(an)m(t) f(to)71 871 y(compute)f(the)g(p)s(osition)e(of)i(the)g(tra)5 b(jectory)32 b(for)e(a)h(new)g(time)f Fk(t)2412 886 y Fh(n)p Fe(+1)2577 871 y Fs(=)d Fk(t)2715 886 y Fh(n)2781 871 y Fs(+)19 b Fk(h)2932 886 y Fh(n)3010 871 y Fs(within)30 b(a)g(giv)m(en)h(error)71 991 y Fk(")p Fs(.)42 b(W)-8 b(e)30 b(will)e(not)h(assume)i(that)e Fk(t)1281 1006 y Fh(n)p Fe(+1)1448 991 y Fs(is)h(\014xed)h(in)e(adv)-5 b(ance,)31 b(so)f(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)g(to)e(determine)h(not)g(only)f (the)71 1111 y(degree)k(of)f(the)h(T)-8 b(a)m(ylor)33 b(expansion)g(to)f(b)s(e)h(used)g(but)g(also)f(the)h(v)-5 b(alue)32 b Fk(h)2738 1126 y Fh(n)2785 1111 y Fs(.)217 1232 y(So,)j(let)f(us)h(denote)g(b)m(y)g Fj(f)p Fk(x)1210 1181 y Fe([)p Fh(j)t Fe(])1210 1242 y Fh(n)1286 1232 y Fs(\()p Fk(t)1359 1247 y Fh(n)1407 1232 y Fs(\))p Fj(g)1495 1247 y Fh(j)1565 1232 y Fs(the)g(jet)f(of)g(normalized)f(deriv)-5 b(ativ)m(es)34 b(of)g(the)h(solution)e Fk(x)3690 1247 y Fh(n)3772 1232 y Fs(of)71 1352 y(\(1\))f(that)g(satis\014es)i Fk(x)854 1367 y Fh(n)901 1352 y Fs(\()p Fk(t)974 1367 y Fh(n)1021 1352 y Fs(\))28 b(=)f Fk(x)1245 1367 y Fh(n)1293 1352 y Fs(.)43 b(Then,)34 b(if)d Fk(h)d Fs(=)g Fk(t)22 b Fj(\000)h Fk(t)2114 1367 y Fh(n)2194 1352 y Fs(is)32 b(small)e(enough,)j(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)1504 1640 y Fk(x)1559 1655 y Fh(n)1606 1640 y Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))28 b(=)1885 1515 y Ff(1)1848 1545 y Fg(X)1859 1755 y Fh(j)t Fe(=0)2009 1640 y Fk(x)2064 1598 y Fe([)p Fh(j)t Fe(])2064 1664 y Fh(n)2140 1640 y Fs(\()p Fk(t)2213 1655 y Fh(n)2260 1640 y Fs(\))p Fk(h)2354 1598 y Fh(j)2391 1640 y Fk(:)71 1946 y Fs(The)h(idea)e(is)g(to)h(select)g(a)f(su\016cien)m(tly)i(small) c(v)-5 b(alue)28 b Fk(h)2051 1961 y Fh(n)2126 1946 y Fs(and)g(a)f(su\016cien)m(tly)i(large)d(v)-5 b(alue)28 b Fk(p)p Fs(,)g(suc)m(h)i(that)71 2067 y(the)j(v)-5 b(alues)1083 2242 y Fk(t)1118 2257 y Fh(n)p Fe(+1)1283 2242 y Fj(\021)28 b Fk(t)1423 2257 y Fh(n)1493 2242 y Fs(+)22 b Fk(h)1647 2257 y Fh(n)1694 2242 y Fk(;)212 b(x)1988 2257 y Fh(n)p Fe(+1)2153 2242 y Fj(\021)2312 2114 y Fh(p)2258 2148 y Fg(X)2269 2357 y Fh(j)t Fe(=0)2419 2242 y Fk(x)2474 2201 y Fe([)p Fh(j)t Fe(])2474 2267 y Fh(n)2550 2242 y Fs(\()p Fk(t)2623 2257 y Fh(n)2670 2242 y Fs(\))p Fk(h)2764 2201 y Fh(j)2764 2267 y(n)2811 2242 y Fk(;)71 2508 y Fs(satisfy)1476 2629 y Fj(k)p Fk(x)1581 2644 y Fh(n)1628 2629 y Fs(\()p Fk(t)1701 2644 y Fh(n)p Fe(+1)1838 2629 y Fs(\))22 b Fj(\000)h Fk(x)2053 2644 y Fh(n)p Fe(+1)2190 2629 y Fj(k)28 b(\024)g Fk(":)71 2916 y Fc(3.1)135 b(On)45 b(the)g(optimal)h(step)g(size)f(selection)71 3101 y Fs(W)-8 b(e)36 b(are)f(in)m(terested)i(in)d(v)-5 b(alues)36 b Fk(p)f Fs(and)g Fk(h)h Fs(suc)m(h)h(that)e(a\))g(the)h(error)f(is)g(b)s (elo)m(w)g(a)g(giv)m(en)h(v)-5 b(alue)35 b Fk(")p Fs(;)h(and)71 3221 y(b\))42 b(the)h(total)e(n)m(um)m(b)s(er)i(of)e(op)s(erations)h (of)g(the)h(n)m(umerical)d(in)m(tegration)h(is)h(as)g(small)e(as)j(p)s (ossible.)71 3342 y(T)-8 b(o)31 b(determine)f(suc)m(h)j(v)-5 b(alues,)31 b(w)m(e)h(need)g(some)f(assumptions)g(on)g(the)g (analyticit)m(y)f(prop)s(erties)g(of)h(the)71 3462 y(solution)g Fk(x)p Fs(\()p Fk(t)p Fs(\).)44 b(The)33 b(follo)m(wing)d(result)j(can) g(b)s(e)f(found)h(in)f([Sim01)n(].)71 3681 y Fm(Prop)s(osition)j(3.1)49 b Fq(Assume)34 b(that)h(the)f(function)g Fk(h)28 b Fj(7!)f Fk(x)p Fs(\()p Fk(t)2313 3696 y Fh(n)2381 3681 y Fs(+)21 b Fk(h)p Fs(\))34 b Fq(is)g(analytic)g(on)f(a)h(b)-5 b(al)5 b(l)34 b(of)g(r)-5 b(adius)71 3801 y Fk(\032)121 3816 y Fh(n)168 3801 y Fq(,)35 b(and)f(that)h(ther)-5 b(e)35 b(exists)g(p)-5 b(ositive)34 b(c)-5 b(onstants)34 b Fk(M)2004 3816 y Fe(1)2079 3801 y Fq(and)g Fk(M)2362 3816 y Fe(2)2437 3801 y Fq(such)h(that)1294 3988 y Fk(M)1388 4003 y Fe(1)p 1294 4032 134 4 v 1312 4135 a Fk(\032)1362 4088 y Fh(j)1362 4146 y(n)1465 4055 y Fj(\024)28 b(j)p Fk(x)1653 4014 y Fe([)p Fh(j)t Fe(])1653 4080 y Fh(n)1729 4055 y Fj(j)g(\024)1900 3988 y Fk(M)1994 4003 y Fe(2)p 1900 4032 V 1918 4135 a Fk(\032)1968 4088 y Fh(j)1968 4146 y(n)2043 4055 y Fk(;)216 b Fj(8)17 b Fk(n)28 b Fj(2)g Fi(N)9 b Fk(:)1095 b Fs(\(7\))71 4323 y Fq(Then,)45 b(if)f(the)f(r)-5 b(e)g(quir)g(e)g(d)44 b(ac)-5 b(cur)g(acy)44 b Fk(")f Fq(tends)g(to)h(0,)i(the)e(optimal)f(value)h(of)f Fk(h)h Fq(that)g(minimizes)e(the)71 4444 y(numb)-5 b(er)34 b(of)h(op)-5 b(er)g(ations)34 b(tends)g(to)1771 4582 y Fk(h)1827 4597 y Fh(n)1902 4582 y Fs(=)2016 4514 y Fk(\032)2066 4529 y Fh(n)p 2016 4559 98 4 v 2022 4650 a Fk(e)2067 4621 y Fe(2)2123 4582 y Fk(:)71 4826 y Fm(Remark)j(3.1)49 b Fq(Note)42 b(that)f(the)h(optimal)f(step)g(size)g(do)-5 b(es)41 b(not)g(dep)-5 b(end)40 b(on)h(the)h(level)e(of)i(ac)-5 b(cur)g(acy.)71 4946 y(The)36 b(optimal)g(or)-5 b(der)37 b Fk(p)f Fq(is,)h(in)g(fact,)g(the)f(or)-5 b(der)37 b(that)g(guar)-5 b(ante)g(es)36 b(the)h(r)-5 b(e)g(quir)g(e)g(d)37 b(pr)-5 b(e)g(cision)35 b(onc)-5 b(e)36 b(the)71 5067 y(step)f(size)f(has)g(b) -5 b(e)g(en)34 b(sele)-5 b(cte)g(d.)44 b(If)35 b Fk(")f Fq(tends)h(to)g(0,)f(this)h(or)-5 b(der)35 b Fk(p)g Fq(b)-5 b(ehaves)33 b(like)1680 5317 y Fk(p)1729 5332 y Fh(n)1804 5317 y Fs(=)27 b Fj(\000)1994 5250 y Fs(1)p 1994 5294 49 4 v 1994 5385 a(2)2070 5317 y(ln)16 b Fk(":)p eop %%Page: 9 9 9 8 bop 87 -162 a Fl(\022)71 -137 y(A.)33 b(Jorba,)f(M.)h(Zou)2987 b Fs(9)71 170 y Fm(Remark)37 b(3.2)49 b Fq(The)27 b(upp)-5 b(er)27 b(b)-5 b(ound)28 b(in)f(\(7\))g(is)g(the)h(usual)g(Cauchy)f(b) -5 b(ound)28 b(on)f(the)h(T)-7 b(aylor)26 b(c)-5 b(o)g(e\016cients)71 290 y(of)29 b(an)h(analytic)f(function.)43 b(Note)30 b(that)h(this)e(upp)-5 b(er)30 b(b)-5 b(ound)29 b(is)h(dir)-5 b(e)g(ctly)30 b(r)-5 b(elate)g(d)29 b(to)h(the)g(c)-5 b(omputational)71 411 y(e\013ort,)27 b(b)-5 b(e)g(c)g(ause)26 b(when)f(the)h(normalize)-5 b(d)24 b(derivatives)h(ar)-5 b(e)26 b(lar)-5 b(ger,)27 b(we)e(ne)-5 b(e)g(d)25 b(mor)-5 b(e)26 b(terms)g(in)f(the)h(series)71 531 y(to)35 b(achieve)g(a)g (given)f(ac)-5 b(cur)g(acy.)46 b(On)35 b(the)g(other)h(hand,)e(the)h (lower)g(b)-5 b(ound)35 b(in)g(\(7\))g(is)g(ne)-5 b(e)g(de)g(d)34 b(for)h(the)71 652 y(optimality)c(of)f Fk(h)h Fq(w.r.t.)43 b(the)31 b(\(total\))g(numb)-5 b(er)30 b(of)h(op)-5 b(er)g(ations:)41 b(if)31 b(the)g(normalize)-5 b(d)29 b(derivatives)h(c)-5 b(ould)71 772 y(b)g(e)29 b(very)g(smal)5 b(l,)29 b(then)f(the)h(step)g (size)g(obtaine)-5 b(d)28 b(using)g(the)h(upp)-5 b(er)29 b(b)-5 b(ound)29 b(would)f(b)-5 b(e)29 b(far)g(fr)-5 b(om)28 b(optimal.)71 981 y Fm(Pro)s(of:)74 b Fs(Although)47 b(the)h(pro)s(of)f(can)i(b)s(e)f(found)g(in)f([Sim01)n(],)52 b(w)m(e)d(will)d(include)h(it)g(here)i(for)e(the)71 1102 y(con)m(v)m(enience)35 b(of)d(the)h(reader.)217 1222 y(The)i(error)g(in)m(tro)s(duced)f(when)h(cutting)f(a)g(T)-8 b(a)m(ylor)34 b(series)h(to)f(a)g(giv)m(en)g(degree)i Fk(p)e Fs(is)g(of)f(the)i(order)71 1343 y(of)d(the)h(\014rst)g (neglected)g(term,)1596 1531 y Fk(E)h Fj(\031)28 b Fk(M)1929 1391 y Fg(\022)2012 1464 y Fk(h)p 2012 1508 57 4 v 2015 1599 a(\032)2078 1391 y Fg(\023)2151 1413 y Fh(p)p Fe(+1)2298 1531 y Fk(:)71 1750 y Fs(Hence,)34 b(to)e(obtain)g(an)g(error)h(of)f (order)g Fk(")h Fs(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)h(to)e(select)1622 2009 y Fk(h)c Fj(\031)g Fk(\032)1878 1898 y Fg(\020)1977 1941 y Fk(")p 1948 1986 105 4 v 1948 2077 a(M)2063 1898 y Fg(\021)2171 1893 y Fb(1)p 2132 1905 110 3 v 2132 1946 a Fa(p)p Fb(+1)2272 2009 y Fk(;)1427 b Fs(\(8\))71 2237 y(On)37 b(the)g(other)g(hand,)h(the)f(computational)d(e\013ort)j(to)f (obtain)g(the)h(jet)g(of)g(normalized)d(deriv)-5 b(ativ)m(es)71 2358 y(up)32 b(to)f(order)h Fk(p)g Fs(is)f Fk(O)s Fs(\()p Fk(p)926 2322 y Fe(2)965 2358 y Fs(\))d Fj(\031)g Fk(c)p Fs(\()p Fk(p)20 b Fs(+)h(1\))1469 2322 y Fe(2)1539 2358 y Fs(\(see)33 b(Corollary)d(2.1\).)43 b(So,)32 b(the)g(\(instan)m (taneous\))h(n)m(um)m(b)s(er)f(of)71 2478 y(\015oating)f(p)s(oin)m(t)h (op)s(erations)g(p)s(er)g(unit)g(of)g(time)g(is)g(giv)m(en,)g(in)g (order)h(of)f(magnitude,)f(b)m(y)1587 2735 y Fk(\036)p Fs(\()p Fk(p)p Fs(\))c(=)1916 2668 y Fk(c)p Fs(\()p Fk(p)22 b Fs(+)g(1\))2252 2632 y Fe(2)p 1911 2712 387 4 v 1911 2842 a Fk(\032)1978 2761 y Fg(\000)2055 2803 y Fh(")p 2033 2819 75 4 v 2033 2876 a(M)2118 2761 y Fg(\001)2213 2757 y Fb(1)p 2174 2769 110 3 v 2174 2810 a Fa(p)p Fb(+1)2307 2735 y Fk(;)71 3043 y Fs(and,)33 b(solving)e Fk(\036)674 3007 y Ff(0)697 3043 y Fs(\()p Fk(p)p Fs(\))d(=)f(0,)33 b(w)m(e)g(obtain)1520 3291 y Fk(p)27 b Fs(=)h Fj(\000)1787 3224 y Fs(1)p 1787 3268 49 4 v 1787 3359 a(2)1862 3291 y(ln)1960 3180 y Fg(\020)2059 3224 y Fk(")p 2030 3268 105 4 v 2030 3359 a(M)2145 3180 y Fg(\021)2226 3291 y Fj(\000)23 b Fs(1)p Fk(:)71 3520 y Fs(So,)41 b(w)m(e)g(will)c(use)k (this)e(order)h(with)f(the)h(largest)f(step)h(size)g(that)g(k)m(eeps)h (the)f(lo)s(cal)e(error)h(b)s(elo)m(w)h Fk(")p Fs(:)71 3640 y(inserting)31 b(this)i(v)-5 b(alue)32 b(of)g Fk(p)g Fs(in)g(\(8\))g(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)1801 3867 y Fk(h)28 b Fs(=)2016 3800 y Fk(\032)p 1998 3844 85 4 v 1998 3935 a(e)2043 3907 y Fe(2)2093 3867 y Fk(:)71 4109 y Fs(Finally)-8 b(,)30 b(note)j(that)f(the)h(optimal)d(order)i Fk(p)h Fs(b)s(eha)m(v)m(es)h(lik)m(e)e Fj(\000)2341 4070 y Fe(1)p 2341 4086 36 4 v 2341 4143 a(2)2404 4109 y Fs(ln)15 b Fk(")33 b Fs(when)g Fk(")f Fs(go)s(es)h(to)f(zero.)p 3780 4109 71 71 v 217 4229 a(There)g(are)e(strategies)h(to)f(use)i (step)f(sizes)g(that)f(are)h(larger)e(than)i(the)g(radius)f(of)g(con)m (v)m(ergence)j(of)71 4350 y(the)g(series,)g(but)g(w)m(e)h(will)c(not)i (discuss)i(them)e(here.)45 b(See)33 b([CC82)q(])f(for)g(more)g (details.)71 4636 y Fc(3.2)135 b(Dangerous)46 b(step)f(sizes)71 4821 y Fs(An)38 b(imp)s(ortan)m(t)e(p)s(oin)m(t)h(to)g(tak)m(e)i(in)m (to)e(accoun)m(t)h(is)g(that,)h(after)e(the)h(step)h(size)f(and)g(the)g (order)g(ha)m(v)m(e)71 4941 y(b)s(een)26 b(selected,)h(w)m(e)g(ha)m(v)m (e)f(to)f(sum)g(the)g(T)-8 b(a)m(ylor)25 b(series)g(to)g(obtain)f(the)i (\014nal)e(result.)41 b(Although)24 b(adding)71 5061 y(a)j(series)h(seems)h(a)e(trivial)e(n)m(umerical)h(op)s(eration,)h (there)h(are)f(cases)i(in)e(whic)m(h)h(this)f(is)g(a)g(v)m(ery)i (di\016cult)71 5182 y(problem.)42 b(F)-8 b(or)32 b(instance,)h (consider)g(the)g(initial)c(v)-5 b(alue)32 b(problem)1505 5385 y(_)-44 b Fk(x)28 b Fs(=)g Fj(\000)p Fk(x;)212 b(x)p Fs(\(0\))28 b(=)g(1)p Fk(;)1292 b Fs(\(9\))p eop %%Page: 10 10 10 9 bop 71 -137 a Fs(10)1144 b Fl(Numerical)31 b(in)m(tegration)g(of)h (ODE)g(b)m(y)i(means)e(of)g(T)-8 b(a)m(ylor)32 b(metho)s(ds)71 170 y Fs(and)38 b(assume)g(w)m(e)h(are)e(in)m(terested)i(in)e (computing)g Fk(x)p Fs(\(10\))g(b)m(y)i(n)m(umerical)d(in)m(tegration)g (of)h(the)i(ODE)71 290 y(\(as)30 b(this)g(problem)f(can)h(b)s(e)g (easily)g(solv)m(ed)g(b)m(y)i(hand,)e(w)m(e)i(already)d(kno)m(w)j(that) d(the)i(solution)e(is)g(giv)m(en)71 411 y(b)m(y)39 b Fk(x)p Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))g(=)f(exp)q(\()p Fj(\000)p Fk(t)p Fs(\),)i(so)f Fk(x)p Fs(\(10\))f(=)f(exp)r(\()p Fj(\000)p Fs(10\))g Fj(\031)i Fs(0)p Fk(:)p Fs(0000454\).)59 b(Using)39 b(\(9\),)g(the)g(T)-8 b(a)m(ylor)38 b(series)i(at)71 531 y Fk(x)p Fs(\(0\))32 b(is)h(v)m(ery)h(simple)d(to)h(obtain:)1445 782 y Fk(x)p Fs(\()p Fk(h)p Fs(\))c(=)g(1)22 b(+)1933 687 y Fg(X)1938 898 y Fh(n)p Ff(\025)p Fe(1)2077 782 y Fs(\()p Fj(\000)p Fs(1\))2279 741 y Fh(n)2336 715 y Fk(h)2392 679 y Fh(n)p 2336 759 104 4 v 2345 850 a Fk(n)p Fs(!)2449 782 y Fk(:)71 1078 y Fs(Due)j(to)h(the)f(en)m(tire)h(c)m (haracter)g(of)g(this)f(function,)h(the)g(optimal)d(step)j(size)g(is)f Fk(h)j Fs(=)f(10,)g(and)e(the)h(degree)71 1198 y(is)k(selected)h(to)f (ha)m(v)m(e)h(a)f(truncation)g(error)g(smaller)e(than)i(a)g(giv)m(en)h (precision.)42 b(Ho)m(w)m(ev)m(er,)33 b(using)d(suc)m(h)71 1318 y(a)i(large)g Fk(h)h Fs(in)m(tro)s(duces)g(strong)f(cancellations) f(in)h(the)h(sum)g(of)f(the)h(series,)h(that)e(lead)g(to)g(the)h(loss)g (of)71 1439 y(man)m(y)f(signi\014can)m(t)g(digits)f(when)j(the)f(sum)g (is)f(carried)g(out)g(with)g(\015oating)g(p)s(oin)m(t)f(arithmetic.)217 1559 y(The)d(solution)c(for)i(this)g(problem)g(is)g(to)g(use)h(smaller) e(v)-5 b(alues)26 b(of)g Fk(h)p Fs(,)i(to)e(a)m(v)m(oid)g(these)i (cancellations.)71 1680 y(The)42 b(k)m(ey)i(p)s(oin)m(t)c(is)h(to)h (use)g(a)g(step)g(size)g(suc)m(h)h(that)e(the)h(series)h(is)e (decreasing)h(in)f(mo)s(dulus.)69 b(F)-8 b(or)71 1800 y(instance,)34 b(in)g(this)f(case)i(w)m(e)g(should)e(start)h(with)g Fk(h)c Fs(=)f(1.)47 b(F)-8 b(or)33 b(this)h(reason,)g(once)h(the)f (step)h(size)f(has)71 1920 y(b)s(een)d(selected,)g(it)e(is)h(advisable) f(to)h(c)m(hec)m(k)i(the)f(size)f(of)g(the)g(in)m(termediate)f(terms)h (of)f(the)i(series,)g(and)71 2041 y(to)h(reduce)i Fk(h)f Fs(when)g(necessary)-8 b(.)46 b(This)33 b(will)d(b)s(e)j(discussed)h (again)d(in)h(Section)h(3.3.2.)71 2327 y Fc(3.3)135 b(A)45 b(more)g(practical)h(approac)l(h)71 2512 y Fs(The)24 b(main)d(dra)m(wbac)m(k)k(of)e(the)g(previous)h(approac)m(h)g(is)e (that)h(it)f(requires)i(information)c(that)j(w)m(e)h(cannot)71 2632 y(obtain)k(easily)-8 b(,)29 b(lik)m(e)g(the)h(radius)f(of)g(con)m (v)m(ergence)j(of)d(the)h(T)-8 b(a)m(ylor)29 b(series.)43 b(Hence,)31 b(in)e(this)g(section)g(w)m(e)71 2752 y(will)h(discuss)k (some)e(mo)s(di\014cations)f(to)h(simplify)e(the)j(n)m(umerical)e (implemen)m(tation.)217 2873 y(The)38 b(\014rst)f(issue)g(w)m(e)g(ha)m (v)m(e)h(to)e(address)i(is)e(whether)i(w)m(e)g(need)f(to)g(con)m(trol)e (the)i(absolute)g(or)f(the)71 2993 y(relativ)m(e)30 b(error.)43 b(This)31 b(is)f(a)h(question)g(w)m(e)h(cannot)g(answ)m(er)g(in)e(a)h (general)f(w)m(a)m(y)-8 b(,)33 b(so)e(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)g(pro)m(vided) 71 3114 y(co)s(de)f(for)e(b)s(oth)h(situations,)g(and)h(w)m(e)g(let)f (the)g(user)i(to)e(c)m(ho)s(ose)h(the)g(kind)f(of)g(con)m(trol)f(he)i (w)m(an)m(ts.)44 b(This)71 3234 y(is)28 b(accomplished)f(b)m(y)j (asking)e(the)h(user)g(for)f(b)s(oth)h(tolerances,)g(and)g(the)g(co)s (de)g(lo)s(oks)e(for)h(an)h(step)g(size)71 3354 y(that)j(tries)h(to)f (satisfy)g(b)s(oth)h(of)f(them.)217 3475 y(When)46 b(con)m(trolling)d (the)j(relativ)m(e)e(error,)k(there)e(is)f(a)g(dangerous)h(situation)d (that)i(w)m(e)h(should)71 3595 y(a)m(v)m(oid.)d(Note)33 b(that)f(the)h(usual)g(de\014nition)e(of)h(relativ)m(e)g(error)h Fk(")2413 3610 y Fh(r)2450 3595 y Fs(,)1751 3814 y Fk(")1797 3829 y Fh(r)1862 3814 y Fs(=)2011 3747 y Fk(")2057 3762 y Fh(a)p 1976 3791 158 4 v 1976 3883 a Fj(j)p Fk(x)2059 3898 y Fh(n)2106 3883 y Fj(j)2143 3814 y Fk(;)71 4066 y Fs(assumes)38 b(that)e(the)h(solution)e Fk(x)1266 4081 y Fh(n)1350 4066 y Fs(is)i(di\013eren)m(t)g(from)e(zero.)56 b(Hence,)39 b(if)d(some)h(of)f(the)h(p)s(oin)m(ts)f Fk(x)3636 4081 y Fh(n)3720 4066 y Fs(are)71 4186 y(zero)g(\(or)e(v)m(ery)j (small\),)d(w)m(e)i(should)f(a)m(v)m(oid)h(the)f(use)i(of)d(the)i (relativ)m(e)f(error)g(for)g(these)h(p)s(oin)m(ts,)g(since)71 4307 y(this)27 b(could)g(result)h(in)e(an)i(unde\014ned)h(\(or)e (ridiculously)f(small\))f(step)j(size.)42 b(Therefore,)30 b(w)m(e)e(ha)m(v)m(e)h(used)71 4427 y(the)k(follo)m(wing)d(estimate)h (for)i(the)g(relativ)m(e)e(error,)1510 4646 y Fk(")1556 4661 y Fh(r)1621 4646 y Fs(=)2011 4579 y Fk(")2057 4594 y Fh(a)p 1734 4623 641 4 v 1734 4715 a Fs(max)p Fj(fj)p Fk(x)2049 4730 y Fh(n)2096 4715 y Fj(j)p Fk(;)17 b Fj(j)f Fs(_)-43 b Fk(x)2251 4730 y Fh(n)2297 4715 y Fj(jg)2385 4646 y Fk(;)1265 b Fs(\(10\))71 4904 y(where)26 b Fj(j)p Fk(:)p Fj(j)e Fs(denotes)i(the)f(sup)g(norm)f(of)g(a)g(v)m(ector,)k (and)41 b(_)-44 b Fk(x)2101 4919 y Fh(n)2176 4904 y Fj(\021)29 b Fk(f)11 b Fs(\()p Fk(t)2414 4919 y Fh(n)2460 4904 y Fk(;)17 b(x)2559 4919 y Fh(n)2606 4904 y Fs(\).)41 b(There)26 b(is)e(still)e(the)j(p)s(ossibilit)m(y)71 5024 y(that)37 b(the)h(origin)e(b)s(e)h(an)h(equilibrium)c(p)s(oin)m(t)j(and)h(that)f (our)h(solution)e(is)h(approac)m(hing)g(it.)57 b(W)-8 b(e)38 b(do)71 5145 y(not)f(deal)g(with)g(this)g(case,)j(since)d(there) i(is)e(no)g(a)g(unique)h(answ)m(er)h(for)e(all)e(the)j(p)s(ossible)e (situations)71 5265 y(lik)m(e)j(that.)65 b(The)40 b(user)h(should)e (use)i(the)f(absolute)g(and)g(relativ)m(e)f(con)m(trols)g(to)g(obtain)g (the)h(kind)g(of)71 5385 y(error)32 b(con)m(trol)g(that)h(he)g(w)m(an)m (ts)h(\(see)f(also)f(Section)g(4.2\).)p eop %%Page: 11 11 11 10 bop 87 -162 a Fl(\022)71 -137 y(A.)33 b(Jorba,)f(M.)h(Zou)2938 b Fs(11)217 170 y(Finally)38 b(let)h(us)i(note)f(that,)i(as)e(all)e (the)j(step)g(size)f(con)m(trols)g(presen)m(ted)i(are)e(lo)s(cal,)g (the)g(v)-5 b(alues)71 290 y(used)37 b(to)f(con)m(trol)g(the)g (absolute)g(and)h(relativ)m(e)e(errors)i(used)g(in)f(one)g(part)g(of)g (the)h(phase)g(space)g(can)71 411 y(b)s(e)g(meaningless)f(in)h(a)f (di\013eren)m(t)i(region.)56 b(As)37 b(b)s(efore,)i(the)e(user)h(is)f (resp)s(onsible)g(for)f(setting)h(these)71 531 y(v)-5 b(alues)32 b(prop)s(erly)-8 b(,)33 b(and)f(to)g(c)m(hange)i(them)e (when)i(needed.)71 788 y Fm(3.3.1)112 b(First)37 b(step)g(size)g(con)m (trol)71 973 y Fs(The)31 b(simplest)e(step)i(step)g(size)f(con)m(trol)f (w)m(e)i(ha)m(v)m(e)h(implemen)m(ted)c(is)i(based)h(on)f(a)g(v)m(ery)h (simple)e(estim-)71 1093 y(ation)i(of)g(the)i(radius)e(of)h(con)m(v)m (ergence)j(of)c(the)i(T)-8 b(a)m(ylor)31 b(series)i(from)e(the)h(size)g (of)g(the)g(last)g(t)m(w)m(o)g(terms)71 1213 y(\(a)k(more)f (sophisticated)h(approac)m(h)g(can)h(b)s(e)f(found)g(in)f([CC82)q(]\).) 54 b(Then,)38 b(the)f(order)f(and)g(step)h(size)71 1334 y(are)d(estimated)f(using)g(the)h(form)m(ulas)f(of)g(Prop)s(osition)f (3.1.)47 b(T)-8 b(o)34 b(explain)e(the)j(details,)e(let)g(us)h (de\014ne)71 1454 y(\()p Fk(t)144 1469 y Fh(n)191 1454 y Fk(;)17 b(x)290 1469 y Fh(n)337 1454 y Fs(\))29 b(as)h(the)g(actual)f (p)s(oin)m(t)f(of)h(the)h(orbit,)f(and)h(let)f(us)h(call)e Fk(")2432 1469 y Fh(a)2503 1454 y Fs(and)h Fk(")2735 1469 y Fh(r)2802 1454 y Fs(the)h(absolute)f(and)h(relativ)m(e)71 1574 y(required)j(accuracies.)44 b(Moreo)m(v)m(er,)34 b(w)m(e)g(de\014ne)766 1825 y Fk(")812 1840 y Fh(n)887 1825 y Fs(=)27 b(min)1169 1685 y Fg(\032)1531 1758 y Fk(")1577 1773 y Fh(a)p 1254 1803 641 4 v 1254 1894 a Fs(max)p Fj(fj)p Fk(x)1569 1909 y Fh(n)1615 1894 y Fj(j)p Fk(;)17 b Fj(j)f Fs(_)-43 b Fk(x)1770 1909 y Fh(n)1817 1894 y Fj(jg)1904 1825 y Fk(;)34 b(")2011 1840 y Fh(r)2048 1685 y Fg(\033)2140 1825 y Fk(;)211 b(p)2427 1840 y Fh(n)2502 1825 y Fs(=)28 b Fj(\000)2693 1758 y Fs(1)p 2693 1803 49 4 v 2693 1894 a(2)2768 1825 y(ln)16 b Fk(")2912 1840 y Fh(n)2981 1825 y Fs(+)22 b(1)p Fk(:)522 b Fs(\(11\))71 2076 y(Then,)34 b(if)d(w)m(e)j(denote)653 2390 y(\026)-58 b Fk(\032)694 2405 y Fh(j)758 2390 y Fs(=)862 2310 y Fg(\000)907 2390 y Fj(j)p Fk(x)990 2349 y Fe([)p Fh(j)t Fe(])990 2415 y Fh(n)1066 2390 y Fj(j)1094 2310 y Fg(\001)1140 2326 y Ff(\000)1205 2299 y Fb(1)p 1204 2311 31 3 v 1205 2352 a Fa(j)1266 2390 y Fk(;)123 b Fs(^)-58 b Fk(\032)1457 2405 y Fh(j)1521 2390 y Fs(=)1625 2220 y Fg( )1941 2323 y Fj(j)p Fk(x)2024 2272 y Fe([)p Fh(j)t Fe(])2024 2333 y Fh(n)2099 2323 y Fj(j)p 1714 2367 641 4 v 1714 2459 a Fs(max)o Fj(fj)p Fk(x)2028 2474 y Fh(n)2075 2459 y Fj(j)p Fk(;)17 b Fj(j)f Fs(_)-43 b Fk(x)2230 2474 y Fh(n)2277 2459 y Fj(jg)2364 2220 y Fg(!)2443 2242 y Ff(\000)2508 2215 y Fb(1)p 2508 2227 31 3 v 2509 2268 a Fa(j)2569 2390 y Fk(;)114 b(j)34 b Fs(=)27 b(1)p Fk(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(p)3204 2405 y Fh(n)3251 2390 y Fk(;)71 2671 y Fs(w)m(e)33 b(estimate)f(the)h (radius)f(of)h(con)m(v)m(ergence)i(of)d(the)h(series)g(as)1278 2870 y Fk(\032)1328 2885 y Fh(n)1403 2870 y Fs(=)27 b(min)o Fj(f)9 b Fs(\026)-58 b Fk(\032)1769 2885 y Fh(p)1805 2893 y Fa(n)1847 2885 y Ff(\000)p Fe(1)1942 2870 y Fk(;)42 b Fs(\026)-58 b Fk(\032)2052 2885 y Fh(p)2088 2893 y Fa(n)2160 2870 y Fs(^)g Fk(\032)2201 2885 y Fh(p)2237 2893 y Fa(n)2279 2885 y Ff(\000)p Fe(1)2374 2870 y Fk(;)42 b Fs(^)-58 b Fk(\032)2484 2885 y Fh(p)2520 2893 y Fa(n)2566 2870 y Fj(g)p Fk(;)71 3070 y Fs(so)33 b(the)g(computed)f(step)i(size)f (is)1733 3208 y Fk(h)1789 3223 y Fh(n)1863 3208 y Fs(=)28 b Fj(\006)2054 3140 y Fk(\032)2104 3155 y Fh(n)p 2054 3185 98 4 v 2060 3276 a Fk(e)2105 3247 y Fe(2)2162 3208 y Fk(:)71 3399 y Fs(The)33 b(sign)f(\\)p Fj(\000)p Fs(")h(is)f(for)g(a) g(bac)m(kw)m(ards)j(in)m(tegration.)217 3519 y(As)40 b(these)g(v)-5 b(alues)39 b(are)h(appro)m(ximations)d(to)i(the)h (asymptotics)f(giv)m(en)g(in)f(Prop)s(osition)g(3.1,)i(w)m(e)71 3639 y(are)e(not)h(sure)h(if)d(they)j(guaran)m(tee)f(the)g(required)g (precision.)61 b(F)-8 b(or)38 b(this)g(reason,)j(w)m(e)e(w)m(an)m(t)h (to)e(note)71 3760 y(that,)32 b(for)g Fk(j)i Fs(=)28 b Fk(p)685 3775 y Fh(n)754 3760 y Fj(\000)22 b Fs(1)33 b(and)f Fk(j)i Fs(=)27 b Fk(p)1350 3775 y Fh(n)1397 3760 y Fs(,)1571 4034 y Fj(j)p Fk(x)1654 3993 y Fe([)p Fh(j)t Fe(])1654 4059 y Fh(n)1730 4034 y Fk(h)1786 3993 y Fh(j)1786 4059 y(n)1833 4034 y Fj(j)82 b(\024)2114 3967 y(j)p Fk(x)2197 3916 y Fe([)p Fh(j)t Fe(])2197 3977 y Fh(n)2273 3967 y Fj(j)p Fk(\032)2351 3931 y Fh(j)2351 3992 y(n)p 2114 4011 284 4 v 2197 4103 a Fk(e)2242 4074 y Fe(2)p Fh(j)2435 4034 y Fj(\024)2585 3967 y Fs(1)p 2550 4011 118 4 v 2550 4103 a Fk(e)2595 4074 y Fe(2)p Fh(j)2677 4034 y Fk(;)1385 4237 y Fj(j)p Fk(x)1468 4186 y Fe([)p Fh(j)t Fe(])1468 4247 y Fh(n)1544 4237 y Fk(h)1600 4200 y Fh(j)1600 4261 y(n)1647 4237 y Fj(j)p 1210 4281 641 4 v 1210 4372 a Fs(max)p Fj(fj)p Fk(x)1525 4387 y Fh(n)1572 4372 y Fj(j)p Fk(;)17 b Fj(j)e Fs(_)-42 b Fk(x)1727 4387 y Fh(n)1773 4372 y Fj(jg)1943 4304 y(\024)2114 4237 y(j)p Fk(x)2197 4186 y Fe([)p Fh(j)t Fe(])2197 4247 y Fh(n)2273 4237 y Fj(j)p Fk(\032)2351 4200 y Fh(j)2351 4261 y(n)p 2114 4281 284 4 v 2119 4372 a Fj(j)p Fk(x)2202 4387 y Fh(n)2249 4372 y Fj(j)p Fk(e)2322 4344 y Fe(2)p Fh(j)2435 4304 y Fj(\024)2585 4237 y Fs(1)p 2550 4281 118 4 v 2550 4372 a Fk(e)2595 4344 y Fe(2)p Fh(j)2677 4304 y Fk(;)71 4554 y Fs(and,)33 b(if)e Fk(j)j Fs(=)27 b Fk(p)603 4569 y Fh(n)672 4554 y Fj(\000)c Fs(1,)1374 4646 y(1)p 1340 4690 V 1340 4781 a Fk(e)1385 4752 y Fe(2)p Fh(j)1495 4713 y Fs(=)1738 4646 y(1)p 1608 4690 308 4 v 1608 4781 a Fk(e)1653 4752 y Fe(2\()p Fh(p)1751 4760 y Fa(n)1794 4752 y Ff(\000)p Fe(1\))1954 4713 y Fj(\031)2175 4646 y Fs(1)p 2069 4690 262 4 v 2069 4781 a Fk(e)2114 4752 y Ff(\000)12 b Fe(ln)f Fh(")2284 4760 y Fa(n)2368 4713 y Fs(=)27 b Fk(")2517 4728 y Fh(n)2564 4713 y Fk(:)71 4904 y Fs(This)h(means)f(that)g(the)h(terms)g(of)f(order)g Fk(p)1622 4919 y Fh(n)1681 4904 y Fj(\000)12 b Fs(1)28 b(in)e(the)i(T)-8 b(a)m(ylor)28 b(series)g(ha)m(v)m(e)h(a)e(con)m (tribution)f(of)h(order)71 5024 y Fk(")117 5039 y Fh(n)194 5024 y Fs(\(either)j(in)f(absolute)h(v)-5 b(alue)30 b(or)f(relativ)m(e) h(to)g(the)g(size)h(of)f(the)g(initial)d(condition\))h(while)i(the)g (terms)71 5145 y(of)35 b(order)g Fk(p)491 5160 y Fh(n)573 5145 y Fs(\(the)h(last)f(terms)g(to)g(b)s(e)h(considered\))g(ha)m(v)m (e)g(a)f(con)m(tribution)g(of)g(order)g Fk(")3307 5160 y Fh(n)3354 5145 y Fk(=e)3448 5108 y Fe(2)3487 5145 y Fs(.)52 b(Hence,)71 5265 y(this)37 b(sho)m(ws)j(that)d(the)i(prop)s (osed)f(strategy)g(is)g(similar)c(to)k(the)g(more)f(straigh)m(tforw)m (ard)h(metho)s(d)f(of)71 5385 y(lo)s(oking)24 b(for)h(an)h Fk(h)733 5400 y Fh(n)806 5385 y Fs(suc)m(h)h(that)f(the)h(last)e(terms) h(in)f(the)h(series)h(are)f(of)g(the)g(order)g(of)g(the)g(error)g(w)m (an)m(ted.)p eop %%Page: 12 12 12 11 bop 71 -137 a Fs(12)1144 b Fl(Numerical)31 b(in)m(tegration)g(of) h(ODE)g(b)m(y)i(means)e(of)g(T)-8 b(a)m(ylor)32 b(metho)s(ds)71 170 y Fm(3.3.2)112 b(Second)38 b(step)g(size)f(con)m(trol)71 355 y Fs(This)25 b(is)g(based)h(in)e(correcting)h(the)h(previous)f (metho)s(d)g(to)g(a)m(v)m(oid)g(to)s(o)f(large)g(step)i(sizes,)i(as)d (it)f(has)i(b)s(een)71 475 y(explained)f(in)g(Section)g(3.2.)41 b(There)27 b(are)e(sev)m(eral)h(p)s(ossibilities)d(to)i(implemen)m(t)e (this)j(approac)m(h.)41 b(First,)71 595 y(w)m(e)30 b(w)m(an)m(t)g(to)f (note)h(that)f(it)f(can)h(b)s(e)h(v)m(ery)h(dangerous)f(to)e(ask)i(for) f(a)g(strictly)g(decreasing)g(series,)i(since)71 716 y(this)g(could)f(lead)h(to)f(a)h(v)m(ery)i(drastic)e(\(and)g (unnecessary\))i(step)f(reductions.)44 b(A)31 b(t)m(ypical)f(example)h (of)71 836 y(this)h(situation)f(o)s(ccurs)i(when)h(the)f(solution)e Fk(x)p Fs(\()p Fk(t)p Fs(\))i(has)g(all)e(the)i(o)s(dd)f(\(or)h(ev)m (en\))h(T)-8 b(a)m(ylor)32 b(terms)g(equal)71 957 y(to)k(zero.)54 b(Hence,)38 b(to)e(a)m(v)m(oid)g(these)h(situations)e(w)m(e)i(ha)m(v)m (e)h(used)f(a)f(w)m(eak)m(er)i(criterion:)49 b(let)35 b Fk(h)3503 972 y Fe(0)3579 957 y Fs(b)s(e)h(the)71 1077 y(step)42 b(size)f(con)m(trol)f(obtained)h(using)f(the)i(metho)s(ds)e (of)h(Section)g(3.3.1,)h(and)f(let)f Fk(h)i Fs(b)s(e)f(the)g(largest)71 1197 y(v)-5 b(alue)32 b(suc)m(h)i(that)e Fk(h)c Fj(\024)g Fk(h)999 1212 y Fe(0)1071 1197 y Fs(and)33 b(that)1078 1392 y Fj(j)p Fk(x)1161 1350 y Fe([0])1239 1392 y Fj(j)22 b Fs(+)g Fk(h)1443 1407 y Fe(0)1483 1392 y Fj(j)p Fk(x)1566 1350 y Fe([1])1645 1392 y Fj(j)27 b(\025)h(j)p Fk(x)1888 1350 y Fe([)p Fh(j)t Fe(])1964 1392 y Fj(j)p Fk(h)2048 1350 y Fh(j)2084 1392 y Fk(;)212 b(j)34 b Fs(=)27 b(2)p Fk(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(p:)833 b Fs(\(12\))71 1586 y(Note)40 b(that,)i(in)d(man)m(y)h(cases,)k(it)39 b(is)g(enough)i(to)f (tak)m(e)g Fk(h)h Fs(=)f Fk(h)2406 1601 y Fe(0)2486 1586 y Fs(to)g(meet)g(this)f(condition.)65 b(On)40 b(the)71 1706 y(other)35 b(hand,)h(when)g(dealing)d(with)h(en)m(tire)h (functions,)h(this)e(a)m(v)m(oids)i(selecting)e(to)s(o)g(large)g(step)i (sizes)71 1826 y(that)c(could)g(lead)g(to)h(a)f(dramatic)f(loss)h(of)g (precision)g(\(w)m(e)i(recall)d(the)i(example)f(in)g(Section)g(3.2\).) 71 2082 y Fm(3.3.3)112 b(User)38 b(de\014ned)h(step)e(size)g(con)m (trol)71 2267 y Fs(All)c(the)j(implemen)m(ted)e(step)i(sizes)g(are)g (based)g(on)f(rough)g(estimations)f(of)h(the)h(error)f(and,)h(for)f (this)71 2388 y(reason,)e(they)g(cannot)g(b)s(e)g(tak)m(en)h(as)e (\\rigorous".)217 2508 y(One)h(of)f(the)h(main)e(uses)j(of)e(T)-8 b(a)m(ylor)32 b(metho)s(ds)h(is)f(the)h(so-called)e(v)m(eri\014ed)i(in) m(tegration,)e(or)h(in)m(teg-)71 2628 y(ration)h(with)h(guaran)m(teed)h (error)f(b)s(ounds.)49 b(This)35 b(means)f(that)g(it)f(is)h(p)s (ossible)g(to)f(pro)s(duce)i(rigorous)71 2749 y(b)s(ounds)28 b(on)f(the)h(truncation)e(error)h(so)h(that,)g(w)m(orking)f(with)g(in)m (terv)-5 b(al)26 b(arithmetic,)g(the)i(tra)5 b(jectory)28 b(is)71 2869 y(computed)e(with)f(true)i(error)e(b)s(ounds)i(\(see,)h (for)e(instance,)h([CC82)q(],)g([CC94)q(],)g([Cor95])f(and)g([Ho)s(e01) o(]\).)71 2989 y(This)k(is)f(not)g(the)h(approac)m(h)g(w)m(e)g(ha)m(v)m (e)h(tak)m(en)g(here.)43 b(The)30 b(prop)s(osed)g(step)h(size)f(con)m (trols)f(are)g(more)g(in)71 3110 y(the)35 b(lines)g(of)f(the)i (classical)d(n)m(umerical)h(analysis,)h(in)f(whic)m(h)i(the)g(error)f (is)f(estimated)h(b)m(y)h(means)f(of)71 3230 y(asymptotic)25 b(form)m(ulas)f(\([But87]\).)41 b(The)27 b(main)d(reason)j(for)e(that)h (is)f(to)g(comp)s(ete,)j(b)s(oth)d(in)g(sp)s(eed)i(and)71 3351 y(accuracy)-8 b(,)31 b(with)e(the)g(classical)f(n)m(umerical)f(in) m(tegrators)i(that)g(one)g(can)h(\014nd)f(in)g(n)m(umerical)e (libraries.)217 3471 y(Ho)m(w)m(ev)m(er,)35 b(our)e(implemen)m(tation)c (can)k(also)e(b)s(e)i(used)h(for)e(di\013eren)m(t)h(purp)s(oses.)45 b(In)33 b(our)f(opinion,)71 3591 y(the)d(main)d(p)s(oin)m(t)i(of)f (this)h(pac)m(k)-5 b(age)29 b(is)f(that,)h(giv)m(en)f(a)g(v)m(ector)i (\014eld,)f(pro)s(duces)g(an)f(e\016cien)m(t)h(C)g(routine)71 3712 y(that)f(computes)g(the)g(jet)g(of)g(normalized)e(deriv)-5 b(ativ)m(es)27 b(at)h(a)g(giv)m(en)g(initial)c(condition)i(\(this)i(is) f(usually)71 3832 y(the)34 b(most)e(tedious)h(part)h(of)e(building)f(a) i(T)-8 b(a)m(ylor)33 b(series)h(in)m(tegrator\).)45 b(So,)33 b(it)f(is)h(not)g(di\016cult)f(to)h(use)71 3953 y(this)39 b(routine)g(with)g(an)g(in)m(terv)-5 b(al)38 b(arithmetic,)h(plus)g(a)h (suitable)e(step)i(size)g(con)m(trol)f(to)g(in)m(tegrate)g(a)71 4073 y(giv)m(en)25 b(ODE)g(with)g(guaran)m(teed)h(error)f(b)s(ounds.)41 b(W)-8 b(e)26 b(also)e(o\013er)h(to)g(the)g(user)h(the)g(p)s(ossibilit) m(y)d(of)i(using)71 4193 y(his)h(o)m(wn)h(error)f(con)m(trol)g (algorithm.)38 b(This)27 b(can)f(b)s(e)h(v)m(ery)h(useful)e(in)g(some)g (sp)s(eci\014c)h(cases)h(where)f(some)71 4314 y(sp)s(ecial)32 b(prop)s(erties)h(of)f(the)h(solution)f(are)h(kno)m(wn)h(\(for)e (instance,)h(when)h(the)g(solution)d(is)h(kno)m(wn)j(to)71 4434 y(b)s(e)g(a)g(p)s(olynomial\).)47 b(See)36 b(the)f(do)s(cumen)m (tation)f(that)h(comes)g(with)f(the)i(soft)m(w)m(are)g(for)e(more)g (details)71 4554 y(ab)s(out)e(this.)71 4839 y Fc(3.4)135 b(High)46 b(accuracy)e(computations)71 5024 y Fs(An)30 b(imp)s(ortan)m(t)e(prop)s(ert)m(y)i(of)f(high)g(order)h(T)-8 b(a)m(ylor)29 b(in)m(tegrators)g(is)h(their)f(suitabilit)m(y)e(for)i (high)g(accur-)71 5145 y(acy)k(computations.)217 5265 y(Assume)f(that)e(w)m(e)i(are)e(solving)g(an)g(IVP)i(lik)m(e)e(\(1\))g (and)h(that,)f(at)h(a)f(giv)m(en)h(step,)h(w)m(e)f(are)g(using)f(an)71 5385 y(step)f(size)f Fk(h)g(<<)f Fs(1)h(and)g(an)g(order)g Fk(p)g Fs(to)f(obtain)g(a)h(lo)s(cal)d(error)j Fk(")f(<<)h Fs(1.)42 b(The)28 b(n)m(um)m(b)s(er)h(of)e(op)s(erations)p eop %%Page: 13 13 13 12 bop 87 -162 a Fl(\022)71 -137 y(A.)33 b(Jorba,)f(M.)h(Zou)2938 b Fs(13)71 170 y(needed)38 b(to)e(compute)g(all)e(the)j(deriv)-5 b(ativ)m(es)36 b(is)g(of)f Fk(O)s Fs(\()p Fk(p)2103 134 y Fe(2)2142 170 y Fs(\))h(\(see)h(Corollary)e(2.1\).)54 b(As)37 b(the)f(n)m(um)m(b)s(er)h(of)71 290 y(op)s(erations)26 b(to)g(sum)h(the)h(p)s(o)m(w)m(er)f(series)h(is)e(only)h Fk(O)s Fs(\()p Fk(p)p Fs(\),)g(the)g(total)f(op)s(eration)f(coun)m(t)j (for)e(a)h(single)e(step)71 411 y(of)35 b(the)g(T)-8 b(a)m(ylor)35 b(metho)s(d)f(is)h(of)g Fk(O)s Fs(\()p Fk(p)1401 375 y Fe(2)1439 411 y Fs(\).)51 b(Hence,)38 b(if)c(w)m(e)i(w)m(an)m(t)g(to)f(increase)g(the)h(accuracy)g(to,)g(sa)m (y)-8 b(,)36 b Fk(")3811 375 y Fe(2)71 531 y Fs(w)m(e)31 b(can)g(simply)e(increase)i(the)g(order)g(of)f(the)h(T)-8 b(a)m(ylor)30 b(metho)s(d)g(to)g(2)p Fk(p)g Fs(so)h(the)g(n)m(um)m(b)s (er)g(of)f(op)s(erations)71 652 y(is)38 b(increased)i(b)m(y)g(a)e (factor)h(4.)62 b(Note)39 b(that,)i(if)d(w)m(e)h(w)m(an)m(t)h(to)f(ac)m (hiev)m(e)h(the)f(same)g(lev)m(el)g(of)f(accuracy)71 772 y(not)d(b)m(y)i(increasing)e(the)h(order)g(but)g(b)m(y)g(reducing)g (the)g(step)h(size)f Fk(h)p Fs(,)g(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)g(to)e(use)i(an)f (step)g(size)71 892 y(of)i Fk(h)244 856 y Fe(2)283 892 y Fs(.)61 b(This)38 b(means)g(that)g(w)m(e)h(will)d(ha)m(v)m(e)k(to)e (use)h Fk(h)2045 856 y Ff(\000)p Fe(1)2177 892 y Fs(steps)h(\(of)e (size)g Fk(h)2829 856 y Fe(2)2869 892 y Fs(\))g(to)g(compute)g(the)g (orbit)71 1013 y(after)31 b Fk(h)h Fs(units)f(of)h(time)e(so)i(the)g (total)e(n)m(um)m(b)s(er)i(of)f(op)s(erations)g(is,)g(roughly)g(sp)s (eaking,)h(increased)g(b)m(y)71 1133 y(a)e(factor)g(of)g Fk(h)592 1097 y Ff(\000)p Fe(1)687 1133 y Fs(.)42 b(F)-8 b(or)30 b(instance,)h(assume)g(that)f(the)h(truncation)f(error)g(is)g (exactly)h Fk(h)3241 1097 y Fh(p)3281 1133 y Fs(.)43 b(If)30 b Fk(")e Fs(=)f(10)3721 1097 y Ff(\000)p Fe(16)71 1253 y Fs(and)41 b Fk(p)i Fs(=)f(8,)h(then)f(the)g(step)g(size)g(has)f (to)g(b)s(e)h Fk(h)g Fs(=)h(0)p Fk(:)p Fs(01.)69 b(Note)41 b(that,)i(if)e Fk(p)g Fs(is)g(\014xed,)j(to)d(ac)m(hiev)m(e)71 1374 y(an)d(accuracy)h(of)e(10)835 1338 y Ff(\000)p Fe(32)1002 1374 y Fs(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)h(to)d(use)i Fk(h)e Fs(=)g(10)1984 1338 y Ff(\000)p Fe(4)2077 1374 y Fs(,)j(that)d(forces)i(to)f(use)h (100)e(times)g(more)g(steps)71 1494 y(\(hence,)j(100)c(times)g(more)g (op)s(erations\))h(than)g(for)f(the)i Fk(")d Fs(=)g(10)2475 1458 y Ff(\000)p Fe(16)2641 1494 y Fs(case.)58 b(Changing)37 b(the)g(v)-5 b(alue)37 b(of)71 1615 y Fk(p)c Fs(from)f(8)h(to)g(16)g (allo)m(ws)g(to)g(k)m(eep)i(the)e(same)h(step)g(size)g Fk(h)29 b Fs(=)g(0)p Fk(:)p Fs(01)j(while)h(the)h(computational)c (e\013ort)71 1735 y(required)f(to)g(obtain)f(the)h(deriv)-5 b(ativ)m(es)29 b(is)g(only)f(increased)i(b)m(y)g(a)f(factor)f(4.)42 b(If)29 b(the)g(required)h(precision)71 1855 y(w)m(ere)k(higher,)e (these)i(di\013erences)g(w)m(ould)e(b)s(e)h(ev)m(en)h(more)e(dramatic.) 217 1981 y(Hence,)h(it)c(requires)j(m)m(uc)m(h)f(less)g(w)m(ork)h(to)e (increase)h(the)g(order)g(rather)g(than)g(to)f(reduce)i(the)f(step)71 2101 y(size)40 b(\(this)f(observ)-5 b(ation)39 b(w)m(as)i(already)e (implicit)d(in)j(Prop)s(osition)f(3.1,)j(where)g(it)e(w)m(as)i(sho)m (wn)g(that)71 2221 y(the)33 b(optimal)d(step)j(size)g(w)m(as)g(indep)s (enden)m(t)h(from)d(the)i(lev)m(el)g(of)f(accuracy)i(required\).)217 2347 y(If)h(w)m(e)i(are)e(using)g(a)g(n)m(umerical)e(in)m(tegrator)i (of)f(\014xed)j(order)e(\(for)g(instance,)h(a)f(Runge-Kutta)g(or)71 2467 y(Adams-Bashford)e(metho)s(d\),)g(the)h(only)f(p)s(ossibilit)m(y)e (to)i(increase)h(accuracy)h(is)e(to)g(reduce)i(the)e(step)71 2588 y(size.)70 b(Hence,)45 b(\014xed)e(order)e(metho)s(ds)h(are)f (strongly)g(p)s(enalized)g(for)g(high)f(accuracies,)45 b(compared)71 2708 y(with)c(v)-5 b(arying)41 b(order)h(metho)s(ds.)71 b(F)-8 b(or)41 b(this)g(reason,)k(if)40 b(the)j(required)f(accuracy)h (is)e(high)g(enough,)71 2828 y(T)-8 b(a)m(ylor)33 b(metho)s(ds)h({with) f(v)-5 b(arying)33 b(order{)h(are)g(the)g(b)s(est)g(option)f(b)m(y)h (far.)47 b(This)34 b(will)d(b)s(e)j(illustrated)71 2949 y(in)e(Sections)h(5.2)f(and)g(5.3.)71 3312 y Fn(4)161 b(Soft)l(w)l(are)52 b(implemen)l(tation)71 3542 y Fs(The)24 b(basic)g(op)s(erations)e(of)h(the)h Fr(taylor)h Fs(translator)e(are)g (\014rst)h(to)f(parse)h(the)g(di\013eren)m(tial)e(equations)i(to)71 3662 y(reduce)32 b(them)f(to)g(a)g(sequence)i(of)e(binary)g(op)s (erations)f(and)h(calls)f(to)h(mathematical)d(functions,)j(and)71 3782 y(then)h(to)e(apply)h(the)h(rules)f(of)g(automatic)e(di\013eren)m (tiation)g(as)j(it)e(has)h(b)s(een)h(explained)f(in)g(Section)g(2.)71 4102 y Fc(4.1)135 b(Extended)46 b(arithmetic)71 4297 y Fs(A)30 b(p)s(oin)m(t)f(w)m(e)i(think)f(is)g(w)m(orth)h(noting)e(is)g (the)i(w)m(a)m(y)g(w)m(e)h(deal)d(with)h(the)g(basic)g(arithmetic.)41 b(When)31 b(the)71 4417 y(T)-8 b(a)m(ylor)38 b(translator)f(writes)h (the)g(co)s(de)h(for)f(the)g(jet)g(of)g(deriv)-5 b(ativ)m(es)38 b(and/or)g(the)h(step)g(size)f(con)m(trol,)71 4538 y(it)k(declares)i (all)e(the)i(real)f(v)-5 b(ariables)42 b(as)i Fr(MY)p 1740 4538 31 4 v 37 w(FLOAT)h Fs(\(w)m(e)g(will)c(explain)i(this)g(t)m (yp)s(e)h(later)f(on\),)j(and)71 4658 y(substitutes)36 b(eac)m(h)g(mathematical)31 b(op)s(eration)j(b)m(y)i(a)e(suitable)g (macro;)i(the)f(name)f(of)h(these)h(macros)71 4778 y(is)27 b(indep)s(enden)m(t)j(from)d(the)h(arithmetic.)40 b(In)29 b(other)f(w)m(ords,)i(if)d(w)m(e)i(use)g(the)g Fr(taylor)g Fs(program)e(to)h(only)71 4899 y(generate)k(the)g(jet)g(of)f(deriv)-5 b(ativ)m(es)31 b(and/or)g(the)h(step)h(size)f(con)m(trol,)f(w)m(e)h(do) g(not)f(need)i(to)e(sp)s(ecify)h(the)71 5019 y(kind)g(of)g(arithmetic)f (w)m(e)j(w)m(an)m(t,)f(since)g(the)g(output)g(do)s(es)g(not)f(dep)s (end)i(on)f(that.)217 5145 y(The)38 b(de\014nition)e(of)h(the)h(t)m(yp) s(e)g Fr(MY)p 1481 5145 V 37 w(FLOAT)h Fs(and)e(the)g(b)s(o)s(dy)h(of)e (the)i(macros)f(is)f(con)m(tained)i(in)e(the)71 5265 y(header)30 b(\014le.)42 b(This)30 b(\014le)f(is)g(pro)s(duced)h(b)m(y) h(the)e(\015ag)h Fr(-header)h Fs(plus)e(a)g(\015ag)h(sp)s(ecifying)f (the)g(arithmetic)71 5385 y(w)m(an)m(ted.)45 b(F)-8 b(or)32 b(instance,)h(the)g(macro)e(for)h(the)h(pro)s(duct)g(of)f(t)m(w)m(o)h Fr(gmp)h Fs(n)m(um)m(b)s(ers)f(is)p eop %%Page: 14 14 14 13 bop 71 -137 a Fs(14)1144 b Fl(Numerical)31 b(in)m(tegration)g(of) h(ODE)g(b)m(y)i(means)e(of)g(T)-8 b(a)m(ylor)32 b(metho)s(ds)225 170 y Fr(/*)51 b(multiplication)k(r=a*b)e(*/)225 290 y(#define)155 b(MultiplyMyFloatA\(r,a,b\))160 b(mpf_mul\(r,\(a\),)55 b(\(b\)\))71 509 y Fs(Here,)36 b Fr(mpf)p 490 509 31 4 v 37 w(mul)g Fs(is)e(a)g Fr(gmp)i Fs(function)e(that)g(m)m(ultiplies) e(the)j(t)m(w)m(o)g(n)m(um)m(b)s(ers)g Fr(a)g Fs(and)g Fr(b)g Fs(and)f(stores)i(the)71 630 y(result)25 b(in)f Fr(r)p Fs(.)42 b(Then,)28 b(the)d(C)h(prepro)s(cessor)g(will)d (substitute)j(the)g(macros)f(b)m(y)h(the)f(corresp)s(onding)h(calls)71 750 y(to)38 b(the)i(arithmetic)c(library)-8 b(.)61 b(Hence,)42 b(to)d(use)g(an)g(arithmetic)e(di\013eren)m(t)i(than)g(the)g(ones)h (pro)m(vided)71 871 y(here)32 b(w)m(e)f Fq(only)g Fs(ha)m(v)m(e)h(to)f (mo)s(dify)e(the)i(header)h(\014le.)42 b(F)-8 b(or)30 b(more)h(details,)f(see)i(the)f(man)m(ual)e(that)i(comes)71 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Fs(\(2)e(doubles\))g(and)h Fr(qd)p 2003 2034 V 37 w(real)h Fs(\(4)e(doubles\),)k(pro)m(viding)c (accuracies)h(of)315 2154 y(nearly)i(32)h(and)f(64)h(decimal)d(digits,) 52 b(resp)s(ectiv)m(ely)-8 b(.)93 b(F)-8 b(or)48 b(more)g(details,)k (visit)47 b(the)j(URL)315 2275 y Fr(http://www.nersc.gov/~dhba)q(iley)q (/mp)q(dist)q(/mpd)q(ist.)q(htm)q(l)71 2494 y Fm(GNU)37 b(Multiple)e(Precision)h(Library)h(\(gmp\))48 b Fs(This)39 b(is)f(the)h(standard)g(GNU)g(library)e(for)h(ex-)315 2614 y(tended)f(precision.)53 b(This)36 b(library)e(allo)m(ws)h(to)g (de\014ne)j(arbitrary)c(long)h(in)m(teger,)i(rational)c(and)315 2735 y(real)f(t)m(yp)s(es,)j(and)e(to)g(op)s(erate)h(on)f(them)g(b)m(y) h(means)f(of)g(function)g(calls)f(\(more)h(details)f(on)h(the)315 2855 y(library)j(can)i(b)s(e)h(found)f(in)f Fr (http://www.swox.com/gmp/)p Fs(\).)66 b(Unfortunately)-8 b(,)39 b(this)f(library)315 2975 y(do)s(es)33 b(not)g(pro)m(vide)g (transcenden)m(tal)h(functions)f(so,)g(in)g(principle,)e(w)m(e)j(are)f (restricted)h(to)e(v)m(ec-)315 3096 y(tor)k(\014elds)g(that)g(can)h(b)s (e)f(written)g(with)g(the)h(basic)f(arithmetic)e(functions)j(plus)f (square)h(ro)s(ot)315 3216 y(\(those)f(are)f(the)g(only)g(functions)g (pro)m(vided)h(for)e(\015oating)g(p)s(oin)m(t)g(t)m(yp)s(es\).)53 b(F)-8 b(or)34 b(more)h(sophist-)315 3337 y(icated)d(v)m(ector)i (\014elds,)f(the)g(user)g(has)g(to)f(co)s(de)h(the)g(corresp)s(onding)g (functions.)71 3556 y(None)g(of)f(these)i(\015oating)d(p)s(oin)m(t)h (libraries)e(is)i(included)h(in)e(our)i(pac)m(k)-5 b(age.)71 3864 y Fc(4.2)135 b(Step)45 b(size)h(con)l(trol)71 4055 y Fs(W)-8 b(e)40 b(ha)m(v)m(e)h(included)e(t)m(w)m(o)i(implemen)m (tations)c(of)i(the)h(previously)g(men)m(tioned)f(step)h(size)g(metho)s (ds.)71 4175 y(Moreo)m(v)m(er,)34 b(the)f(user)h(can)e(also)g(pro)m (vide)h(his)f(o)m(wn)h(step)h(size)f(con)m(trol.)217 4299 y(The)48 b(\014rst)f(step)h(con)m(trol)f(w)m(e)h(pro)m(vide)f(is)f (the)i(direct)e(co)s(ding)g(of)h(the)g(metho)s(d)f(explained)h(in)71 4419 y(Section)34 b(3.3.1.)49 b(The)36 b(T)-8 b(a)m(ylor)34 b(series)i(is)e(generated)h(up)g(to)f(the)h(order)g Fk(p)2752 4434 y Fh(n)2834 4419 y Fs(de\014ned)h(in)e(\(11\),)g(and)h(the)71 4540 y(step)e(size)g(is)g(computed)g(as)f(explained)h(in)f(Section)g (3.3.1.)44 b(Finally)-8 b(,)30 b(the)j(series)g(is)f(added)i(using)e (the)71 4660 y(Horner)j(metho)s(d.)51 b(The)36 b(second)h(step)f(size)f (con)m(trol)g(is)g(based)h(on)f(a)g(mo)s(di\014cation)d(of)j(the)h (previous)71 4780 y(con)m(trol,)30 b(as)g(explained)f(in)h(Section)f (3.3.2.)42 b(The)31 b(main)e(di\013erence)h(is)g(a)f(lo)s(op)g(that)g (runs)i(o)m(v)m(er)g(all)d(the)71 4901 y(co)s(e\016cien)m(ts)h(of)f (the)g(T)-8 b(a)m(ylor)28 b(series)h(and)f(c)m(hec)m(ks)j(for)c(the)i (condition)e(\(12\).)41 b(When)29 b(it)e(is)h(not)g(satis\014ed,)71 5021 y Fk(h)33 b Fs(is)f(reduced)i(accordingly)-8 b(.)217 5145 y(W)g(e)28 b(ha)m(v)m(e)g(also)f(included)g(a)g(user)h(de\014ned)g (step)h(size)e(con)m(trol.)41 b(In)28 b(this)e(case,)k(the)d(user)i(m)m (ust)e(co)s(de)71 5265 y(its)37 b(o)m(wn)i(step)f(con)m(trol.)59 b(More)38 b(details)f(can)h(b)s(e)g(found)g(in)f(the)h(do)s(cumen)m (tation)f(that)h(comes)g(with)71 5385 y(the)33 b(soft)m(w)m(are.)p eop %%Page: 15 15 15 14 bop 87 -162 a Fl(\022)71 -137 y(A.)33 b(Jorba,)f(M.)h(Zou)2938 b Fs(15)225 140 y Fr(/*)51 b(ODE)i(specification:)i(rtbp)d(*/)225 260 y(mu=0.01;)225 380 y(umu=1-mu;)225 501 y(r2=x1*x1+x2*x2+x3*x3;)225 621 y(rpe2=r2-2*mu*x1+mu*mu;)225 741 y(rpe3i=rpe2^\(-3./2\);)225 862 y(rpm2=r2+2*\(1-mu\)*x1+\(1-mu\))q(*\(1-)q(mu\);)225 982 y(rpm3i=rpm2^\(-3./2\);)225 1223 y(diff\(x1,)h(t\)=)f(x4+x2;)225 1343 y(diff\(x2,)h(t\)=)f(x5-x1;)225 1464 y(diff\(x3,)h(t\)=)f(x6;)225 1584 y(diff\(x4,)h(t\)=)f(x5-\(x1-mu\)*\(umu*rpe3i\)-\()q(x1+u)q(mu\)*) q(\(mu*)q(rpm)q(3i\);)225 1705 y(diff\(x5,)h (t\)=-x4-x2*\(umu*rpe3i+mu*r)q(pm3)q(i\);)225 1825 y(diff\(x6,)g (t\)=-x3*\(umu*rpe3i+mu*rpm3)q(i\);)724 2136 y Fs(Figure)32 b(1:)43 b(Input)33 b(\014le)f(for)g(the)h(restricted)g(three-b)s(o)s (dy)g(problem.)71 2427 y Fn(5)161 b(Examples)71 2652 y Fs(In)34 b(this)g(section)h(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)h(included)e(a)g(few)h (examples)f(to)g(sho)m(w)h(ho)m(w)g(T)-8 b(a)m(ylor)34 b(metho)s(d)g(w)m(orks.)50 b(W)-8 b(e)71 2772 y(ha)m(v)m(e)26 b(assumed)f(that)f(the)h Fr(taylor)i Fs(translator)c(is)h(already)g (installed)f(in)h(y)m(our)h(computer.)41 b(F)-8 b(or)23 b(details)71 2892 y(ab)s(out)32 b(ho)m(w)h(to)f(do)h(this,)f(c)m(hec)m (k)j(the)e(do)s(cumen)m(tation)f(that)g(comes)h(with)f(the)h(pac)m(k)-5 b(age.)71 3199 y Fc(5.1)135 b(The)45 b(three-b)t(o)t(dy)f(problem)71 3389 y Fs(This)d(is,)i(probably)-8 b(,)43 b(the)f(b)s(est)g(kno)m(wn)g (problem)e(in)h(Celestial)e(Mec)m(hanics.)71 b(Here)42 b(w)m(e)h(will)38 b(use)43 b(a)71 3510 y(simpli\014ed)28 b(v)m(ersion)i(of)f(it,)g(the)i(so-called)d(restricted)i(three-b)s(o)s (dy)g(problem)f(\(for)g(details)f(ab)s(out)i(this)71 3630 y(problem)i(see,)j(for)e(instance,)i([Sze67]\).)47 b(The)34 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Fs(and)31 b Fk(r)2518 4260 y Fe(2)2515 4321 y Fh(P)10 b(J)2646 4296 y Fs(=)27 b(\()p Fk(x)18 b Fj(\000)g Fk(\026)g Fs(+)f(1\))3212 4260 y Fe(2)3269 4296 y Fs(+)g Fk(y)3414 4260 y Fe(2)3471 4296 y Fs(+)g Fk(z)3613 4260 y Fe(2)3653 4296 y Fs(.)43 b(An)71 4417 y(input)32 b(\014le)g(for)g(the)h(corresp)s(onding)g(v)m (ector)g(\014eld)g(is)f(sho)m(wn)i(in)d(Figure)h(1.)217 4540 y(There)i(are)e(sev)m(eral)h(kind)f(of)f(instruction)h(in)f(this)h (\014le.)43 b(First)31 b(of)h(all,)e(an)m(ything)i(b)s(et)m(w)m(een)i Fr(/*)52 b(*/)71 4660 y Fs(is)27 b(ignored)g(b)m(y)i(the)f(program,)g (so)g(w)m(e)g(can)g(use)h(them)f(to)f(put)h(commen)m(ts)g(in)f(the)h (\014le.)42 b(Next,)29 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)71 4781 y(some)35 b(lines)g(to)g(de\014ne)i(n)m(umerical)d(constan)m(ts,)j(plus)f(some)f (op)s(erations)g(with)g(the)h(v)-5 b(ariables)34 b(of)h(the)71 4901 y(system.)44 b(The)33 b(v)-5 b(ariables)31 b(of)h(the)g(equation)g (are)g(lab)s(eled)f Fr(x1)p Fs(,)h Fr(x2)h Fs(and)f(so)g(on,)g(and)h (the)f(indep)s(enden)m(t)71 5021 y(v)-5 b(ariable)23 b(is)h(lab)s(eled)g Fr(t)p Fs(.)41 b(Finally)-8 b(,)24 b(the)h(last)f(6)h(lines)e(are)i(the)h(de\014nition)d(of)i(the)g (di\013eren)m(tial)e(equations.)217 5145 y(Although)42 b(w)m(e)i(think)f(that)f(the)i(notation)d(used)j(is)f(clear)f(and)h (self-explicativ)m(e,)h(w)m(e)g(w)m(an)m(t)g(to)71 5265 y(mak)m(e)36 b(some)g(commen)m(ts)f(ab)s(out)h(it.)52 b(First,)36 b(the)g Fr(taylor)i Fs(translator)c(do)s(es)j(not)e(mak)m (e)h(an)m(y)h(kind)f(of)71 5385 y(optimization)c(on)k(the)g(input)f (description)h(of)f(the)h(v)m(ector)h(\014eld,)f(with)g(the)g (exception)g(of)g(common)p eop %%Page: 16 16 16 15 bop 71 -137 a Fs(16)1144 b Fl(Numerical)31 b(in)m(tegration)g(of) h(ODE)g(b)m(y)i(means)e(of)g(T)-8 b(a)m(ylor)32 b(metho)s(ds)71 170 y Fs(expression)24 b(eliminations.)37 b(If)23 b(one)g(of)f(y)m(our) i(main)d(concerns)k(is)d(the)i(e\016ciency)g(of)f(the)g(co)s(de)h (generated)71 290 y(b)m(y)29 b Fr(taylor)p Fs(,)i(y)m(ou)e(should)f (apply)g(other)h(kind)f(of)g(optimizations)d(\\b)m(y)k(hand")g(in)e(y)m (our)i(input)f(\014le)g(\(for)71 411 y(instance,)33 b(to)f(simplify)e (algebraic)h(expressions)j(to)f(minimize)c(the)k(n)m(um)m(b)s(er)g(of)f (op)s(erations\).)217 531 y(A)38 b(second)i(p)s(oin)m(t)d(w)m(e)i(w)m (an)m(t)g(to)f(commen)m(t)f(on)h(is)g(the)h(use)g(of)e(the)i(exp)s (onen)m(t)g(\\)p Fj(\000)p Fs(3)p Fk(:)p Fs(0)p Fk(=)p Fs(2")f(in)f(the)71 652 y(expressions.)88 b(There)48 b(are)f(sev)m(eral)g(w)m(a)m(ys)i(of)d(in)m(tro)s(ducing)g(suc)m(h)i (an)f(exp)s(onen)m(t.)87 b(If)47 b(w)m(e)h(use)g(the)71 772 y(expression)32 b(\\)p Fj(\000)p Fs(1)p Fk(:)p Fs(5",)e(the)h (program)e(will)g(use)i(the)g(exp)h(and)e(ln)g(functions)g(to)h (de\014ne)g(it)f(\(this)g(is)g(true)71 892 y(for)43 b(an)m(y)h(real)e (exp)s(onen)m(t\).)77 b(If)43 b(w)m(e)i(use)f(\\)p Fj(\000)p Fs(3)p Fk(:)p Fs(0)p Fk(=)p Fs(2",)h(then)f(w)m(e)g(can)g(use)g(the)g (\015ag)f(\\)p Fr(-sqrt)p Fs(")h(of)f(the)71 1013 y(translator)31 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