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(rules,)i(e.g.)e(the)h(Gibbs)g(double)f(tangen)n(t)g(or)g(Maxw)n(ell)g (equal)0 3795 y(area)f(rule,)j(to)f(mak)n(e)f(them)h(thermo)r (dynamically)f(consisten)n(t.)52 b(Subsequen)n(tly)-7 b(,)34 b(follo)n(wing)e(the)h(w)n(ork)f(of)h(v)-5 b(an)32 b(Kamp)r(en)0 3912 y([11],)26 b(Kac,)h(Uhlen)n(b)r(ec)n(k)f(and)h (Hemmer)g([9],)g(Leb)r(o)n(witz)g(and)f(P)n(enrose)f([12])h(w)n(ere)g (able)h(to)g(deriv)n(e)f(generalized)f(mean)i(\014eld)0 4028 y(mo)r(dels)37 b(in)g(a)f(more)g(consisten)n(t)h(mathematical)f(w) n(a)n(y)g(b)n(y)g(considering)g(systems)g(in)h(whic)n(h)g(part)f(of)h (the)g(in)n(teractions)0 4144 y(w)n(ere)25 b(explicitly)g(mo)r(deled)h (b)n(y)f(Kac)f(p)r(oten)n(tials.)36 b(Kac)25 b(p)r(oten)n(tials)g(are)f (simply)i(p)r(oten)n(tials)f(of)h(the)f(form)g Fi(\015)3377 4114 y Fh(d)3416 4144 y Fi(U)9 b Fm(\()p Fi(\015)c(x)p Fm(\),)26 b(whic)n(h)0 4260 y(con)n(tain)j(a)g(range)e(parameter)h Fi(\015)1040 4230 y Fg(\000)p Fl(1)1158 4260 y Fm([9],)i([12].)41 b(F)-7 b(or)29 b(\014xed)g 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Fm(\)\)d)p Fi(x)21 b Fm(+)1718 2117 y Fd(Z)1764 2306 y Fl(\003)1827 2117 y Fd(Z)1873 2306 y Fl(\003)1937 2230 y Fi(V)e Fm(\()p Fi(x)g Ff(\000)f Fi(y)s Fm(\))p Fi(\032)2304 2242 y Fl(1)2341 2230 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p Fi(\032)2495 2242 y Fl(2)2533 2230 y Fm(\()p Fi(y)s Fm(\)d)p Fi(x)p Fm(d)p Fi(y)1635 2477 y Ff(\000)1728 2421 y Fm(1)p 1728 2458 42 4 v 1728 2534 a(2)1793 2364 y Fd(Z)1839 2553 y Fl(\003)1903 2364 y Fd(Z)1949 2553 y Fl(\003)2012 2477 y Fi(U)9 b Fm(\()p Fi(x)19 b Ff(\000)f Fi(y)s Fm(\)[)p Fi(\032)2401 2489 y Fl(1)2438 2477 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p Fi(\032)2592 2489 y Fl(1)2630 2477 y Fm(\()p Fi(y)s Fm(\))h(+)f Fi(\032)2883 2489 y Fl(2)2920 2477 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p Fi(\032)3074 2489 y Fl(2)3113 2477 y Fm(\()p Fi(y)s Fm(\)]d)p Fi(x)p Fm(d)p Fi(y)31 b(:)3729 2356 y Fm(\(1)p Fi(:)p Fm(1\))0 2755 y(The)24 b(function)g Fi(F)36 b Fm(represen)n(ts)23 b(the)h(free)g(energy)e(densit)n(y)i(of)g(a)f(system)h(with)g(only)g (short)f(range)f(in)n(teractions.)35 b(W)-7 b(e)24 b(require)0 2871 y(that)j Fi(F)38 b Fm(b)r(e)27 b(separately)e(con)n(v)n(ex)h(in)g Fi(\032)1186 2883 y Fl(1)1250 2871 y Fm(and)h Fi(\032)1454 2883 y Fl(2)1491 2871 y Fm(,)g(and)f(that)h(the)g(set)f(of)h(all)f(\()p Fi(\032)2433 2883 y Fl(1)2471 2871 y Fi(;)14 b(\032)2551 2883 y Fl(2)2588 2871 y Fm(\))27 b(for)f(whic)n(h)g Fi(F)39 b Fm(is)26 b(\014nite,)i(whic)n(h)e(w)n(e)g(call)0 2987 y(the)i(domain)f(of)h Fi(F)12 b Fm(,)27 b(is)h(an)f(op)r(en)h(con)n(v)n (ex)e(set.)37 b(Finally)27 b(w)n(e)h(require)e(that)1668 3215 y Fi(@)1717 3185 y Fl(2)p 1582 3252 258 4 v 1582 3328 a Fi(@)5 b(\032)1674 3340 y Fl(1)1711 3328 y Fi(@)g(\032)1803 3340 y Fl(2)1849 3272 y Fi(F)12 b Fm(\()p Fi(\032)1989 3284 y Fl(1)2027 3272 y Fi(;)i(\032)2107 3284 y Fl(2)2144 3272 y Fm(\))23 b Ff(\025)g Fm(0)1400 b(\(1)p Fi(:)p Fm(2\))0 3551 y(for)27 b(all)g(\()p Fi(\032)317 3563 y Fl(1)355 3551 y Fi(;)14 b(\032)435 3563 y Fl(2)472 3551 y Fm(\))28 b(in)g(the)g(domain)f(of)g Fi(F)12 b Fm(.)37 b(An)28 b(example)g(of)f(particular)f(in)n(terest)i(is)f(giv)n (en)g(b)n(y)887 3826 y Fi(F)12 b Fm(\()p Fi(\032)1027 3838 y Fl(1)1064 3826 y Fi(;)i(\032)1144 3838 y Fl(2)1181 3826 y Fm(\))23 b(=)1339 3770 y(1)p 1334 3807 52 4 v 1334 3883 a Fi(\014)1409 3826 y Fm([)p Fi(G)p Fm(\()p Fi(\032)1572 3838 y Fl(1)1610 3826 y Fm(\))c(+)f Fi(G)p Fm(\()p Fi(\032)1884 3838 y Fl(2)1921 3826 y Fm(\))h(+)f Fi(D)r Fm(\()p Fi(\032)2201 3838 y Fl(1)2257 3826 y Fm(+)g Fi(\032)2383 3838 y Fl(2)2420 3826 y Fm(\))h Ff(\000)f Fi(\026)2604 3838 y Fl(1)2641 3826 y Fi(\032)2684 3838 y Fl(1)2740 3826 y Ff(\000)g Fi(\026)2873 3838 y Fl(2)2910 3826 y Fi(\032)2953 3838 y Fl(2)2990 3826 y Fm(])716 b(\(1)p Fi(:)p Fm(3\))0 4101 y(where)27 b Fi(\014)32 b Fm(is)27 b(the)h(in)n(v)n(erse)e(temp)r(erature,)h Fi(\026)1366 4113 y Fl(1)1431 4101 y Fm(and)g Fi(\026)1642 4113 y Fl(2)1707 4101 y Fm(are)f(c)n(hemical)h(p)r(oten)n(tials,)g Fi(G)h Fm(is)f(a)g(con)n(v)n(ex)f(function,)i(and)g Fi(D)h Fm(tak)n(es)0 4217 y(accoun)n(t)i(of)h(short)f(range)f(in)n(teractions) h(b)r(et)n(w)n(een)h(the)g(particles)f(whic)n(h)h(w)n(e)f(ha)n(v)n(e)g (tak)n(en)g(for)g(simplicit)n(y)h(to)g(b)r(e)g(sp)r(ecies)0 4334 y(indep)r(enden)n(t.)38 b(Examples)26 b(to)i(k)n(eep)f(in)h(mind)g (are:)1680 4561 y Fi(G)p Fm(\()p Fi(t)p Fm(\))c(=)f Fi(t)14 b Fm(log\()p Fi(t)p Fm(\))p Fi(;)1510 b Fm(\(1)p Fi(:)p Fm(4\))1287 4858 y Fi(D)r Fm(\()p Fi(t)p Fm(\))24 b(=)1564 4741 y Fd(\032)1640 4818 y Ff(\000)p Fi(t)41 b Fm(log\(1)18 b Ff(\000)g Fi(bt)p Fm(\))p Fi(;)42 b Fm(if)28 b Fi(x)23 b(<)g(b)2491 4788 y Fg(\000)p Fl(1)2580 4818 y Fi(;)1640 4918 y Fm(+)p Ff(1)k Fm(otherwise)3729 4858 y(\(1)p Fi(:)p Fm(5\))0 5108 y(for)32 b(some)g Fi(b)g(>)f Fm(0,)i(where)g Fi(b)889 5077 y Fg(\000)p Fl(1)1010 5108 y Fm(can)g(b)r(e)g(though)n(t) f(of)h(as)f(the)h(close)f(pac)n(king)f(densit)n(y)-7 b(.)53 b(In)33 b(this)g(case)e Fi(D)k Fm(is)e(de\014ned)g(on)f(a)0 5224 y(b)r(ounded)c(in)n(terv)-5 b(al,)27 b(and)h(the)g(domain)f(of)g Fi(F)40 b Fm(is)28 b(the)g(set)f(0)c Fi(<)g(\032)2001 5236 y Fl(1)2038 5224 y Fi(;)14 b(\032)2118 5236 y Fl(2)2178 5224 y Fi(<)23 b(b)2302 5194 y Fg(\000)p Fl(1)2390 5224 y Fm(.)37 b(In)28 b(particular)f(the)h(case)e Fi(b)d Fm(=)g(1)k(corresp)r(onds)0 5340 y(to)g(the)h(lattice)g(gas)f(with)h (exclusion)f(rule.)1929 5539 y(2)p eop end %%Page: 3 3 TeXDict begin 3 2 bop 100 83 a Fm(As)23 b(for)f(the)i(long)e(range)g (in)n(teraction)g(terms,)i(w)n(e)f(assume)g(that)g Fi(V)c Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))24 b(and)f Fi(U)9 b Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))24 b(are)e(non-negativ)n(e)g(radial)g(decreasing)0 199 y(functions)28 b(of)f Fi(x)d Ff(2)f Fi(I)-14 b(R)687 163 y Fh(d)754 199 y Fm(with)28 b(compact)f(supp)r(ort)g(and)1265 324 y Fd(Z)1312 513 y Fh(I)-16 b(R)1375 494 y Fc(d)1428 437 y Fi(V)19 b Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)d)p Fi(x)24 b Fm(=)f Fi(\013;)2012 324 y Fd(Z)2058 513 y Fh(I)-16 b(R)2122 494 y Fc(d)2174 437 y Fi(U)9 b Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)d)p Fi(x)25 b Fm(=)e Fi(\033)1125 b Fm(\(1)p Fi(:)p Fm(6\))100 681 y(W)-7 b(e)28 b(further)f(de\014ne)1365 797 y Fi(`)c Fm(=)1510 684 y Fd(Z)1556 872 y Fl(I)-13 b(R)1633 797 y Ff(j)p Fi(x)1703 726 y Fd(\014)1703 776 y(\014)1731 797 y Fm([)1770 741 y(1)p 1764 778 54 4 v 1764 854 a Fi(\013)1828 797 y(V)19 b Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))g(+)2123 741 y(1)p 2118 778 51 4 v 2118 854 a Fi(\033)2178 797 y(U)9 b Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))2355 730 y Fd(\003)2391 797 y Fm(d)p Fi(x)28 b(;)1194 b Fm(\(1)p Fi(:)p Fm(7\))0 1011 y(whic)n(h)29 b(c)n(haracterizes)d(the)j(length)g(scale)f(of)h (the)g(in)n(teractions.)39 b(W)-7 b(e)29 b(remark)f(that)h(it)g(is)g (not)f(essen)n(tial,)h(but)g(con)n(v)n(enien)n(t,)0 1127 y(to)e(ha)n(v)n(e)g(the)h(same)f(attractiv)n(e)f(in)n(teraction)h Fi(U)36 b Fm(for)27 b(the)h(t)n(w)n(o)f(sp)r(ecies.)100 1244 y(Notice)33 b(that)h Fi(F)45 b Fm(is)34 b(not)f(required)f(to)i(b) r(e)g(join)n(tly)f(con)n(v)n(ex)f(or)h(a\016ne)g(in)h Fi(\032)2476 1256 y Fl(1)2546 1244 y Fm(and)g Fi(\032)2757 1256 y Fl(2)2794 1244 y Fm(,)h(although)e(this)g(is)h(exp)r(ected)f(on) 0 1360 y(ph)n(ysical)28 b(grounds,)h(and,)h(in)f(an)n(y)g(case,)g(in)h (general)e Ff(F)37 b Fm(w)n(ould)29 b(not)g(b)r(e)h(b)r(ecause)f(of)g (the)h(in)n(teraction)f(terms.)42 b(Con)n(v)n(exit)n(y)0 1477 y(of)28 b(the)g(in)n(teraction)e(terms)h(w)n(ould)h(require)e(p)r (ositiv)n(e)h(de\014niteness)h(of)g(the)g(2)18 b Ff(\002)g Fm(2)27 b(matrix)g(v)-5 b(alued)27 b(function)1685 1605 y Fd(\022)1760 1677 y Ff(\000)1837 1657 y Fd(b)1825 1677 y Fi(U)2015 1657 y Fd(b)2005 1677 y Fi(V)1802 1756 y Fd(b)1791 1777 y Fi(V)134 b Ff(\000)2050 1756 y Fd(b)2038 1777 y Fi(U)2117 1605 y Fd(\023)2192 1722 y Fi(;)0 1968 y Fm(where)23 b(the)g(hat)g(denotes)g(the)g(F)-7 b(ourier)23 b(transform..)34 b(W)-7 b(e)23 b(do)g(not)g(mak)n(e)g(suc)n(h)f(an)h (assumption)g(in)g(this)h(pap)r(er.)35 b(Instead)22 b(w)n(e)0 2084 y(mak)n(e)28 b(use)h(in)h(our)e(analysis)g(of)i(the)f(fact,)h(pro) n(v)n(en)e(later,)h(that)g(the)h(free)f(energy)f(functional)h(that)h(w) n(e)f(consider)f(satis\014es)0 2200 y(certain)22 b(rearrangemen)n(t)d (inequalities.)35 b(These)22 b(giv)n(e)f(a)h(certain)g(monotonicit)n(y) f(to)h(the)h(spatial)e(densit)n(y)h(pro\014le)g(of)g(the)h(t)n(w)n(o)0 2316 y(sp)r(ecies.)47 b(W)-7 b(e)31 b(study)g(the)h(consequences)e(of)h (these)g(for)f(the)h(phase)g(diagram)e(whic)n(h)i(originates)f(from)g (the)i(comp)r(etition)0 2433 y(b)r(et)n(w)n(een)23 b(the)h(repulsiv)n (e)e(in)n(teraction)g(terms,)i(whic)n(h)f(w)n(ould)f(prefer)h(to)g(ha)n (v)n(e)f(the)h(t)n(w)n(o)g(sp)r(ecies)g(segregated)e(as)h(completely)0 2549 y(as)31 b(p)r(ossible,)i(and)e(the)h(en)n(trop)n(y)f(term,)i(whic) n(h)e(w)n(ould)h(prefer)f(to)g(ha)n(v)n(e)g(the)h(densities)g(of)f(the) i(t)n(w)n(o)d(sp)r(ecies)i(b)r(e)g(uniform)0 2665 y(o)n(v)n(er)26 b(\003.)100 2782 y(Our)h(aim)g(here)g(is)h(to)g(study)g(the)g (minimizers)f(of)h(this)g(functional)g(either)f(under)h(constrain)n(ts) e(on)i(the)g(in)n(tegrals)e(of)i Fi(\032)3863 2794 y Fl(1)0 2898 y Fm(and)j Fi(\032)208 2910 y Fl(2)245 2898 y Fm(,)h(or)f(without)g(suc)n(h)g(constrain)n(ts.)46 b(Sp)r(eci\014cally)-7 b(,)33 b(let)e Fi(n)2003 2910 y Fl(1)2072 2898 y Fm(and)g Fi(n)2287 2910 y Fl(2)2355 2898 y Fm(b)r(e)h(t)n(w)n(o)e(giv)n(en)g(p)r(ositiv)n(e)h(n)n(um)n(b)r (ers.)47 b(W)-7 b(e)32 b(de\014ne)0 3015 y(the)c(sets)f Ff(D)r Fm(\()p Fi(n)453 3027 y Fl(1)491 3015 y Fi(;)14 b(n)578 3027 y Fl(2)615 3015 y Fm(\))28 b(and)f Ff(D)j Fm(of)e(constrained)e(and)i(unconstrained)f(pairs)f(of)i(densities:)37 b Ff(D)r Fm(\()p Fi(n)2982 3027 y Fl(1)3019 3015 y Fi(;)14 b(n)3106 3027 y Fl(2)3143 3015 y Fm(\))28 b(and)g Ff(D)i Fm(b)n(y)243 3265 y Ff(D)r Fm(\()p Fi(n)391 3277 y Fl(1)428 3265 y Fi(;)14 b(n)515 3277 y Fl(2)552 3265 y Fm(\))24 b(=)695 3148 y Fd(\032)758 3265 y Fm(\()p Fi(\032)833 3277 y Fl(1)870 3265 y Fi(;)14 b(\032)950 3277 y Fl(2)987 3265 y Fm(\))24 b Ff(2)f Fi(I)-14 b(R)1207 3277 y Fl(+)1280 3265 y Ff(\002)18 b Fi(I)-14 b(R)1449 3277 y Fl(+)1555 3265 y Fm(:)1670 3209 y(1)p 1639 3246 104 4 v 1639 3322 a Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)1767 3152 y Fd(Z)1813 3340 y Fl(\003)1876 3265 y Fi(\032)1919 3277 y Fl(1)1956 3265 y Fm(d)p Fi(x)24 b Fm(=)f Fi(n)2211 3277 y Fl(1)2414 3265 y Fm(and)2755 3209 y(1)p 2723 3246 V 2723 3322 a Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)2851 3152 y Fd(Z)2897 3340 y Fl(\003)2961 3265 y Fi(\032)3004 3277 y Fl(2)3041 3265 y Fm(d)p Fi(x)g Fm(=)g Fi(n)3295 3277 y Fl(2)3360 3148 y Fd(\033)3464 3265 y Fi(;)242 b Fm(\(1)p Fi(:)p Fm(8\))1546 3540 y Ff(D)26 b Fm(=)1803 3461 y Fd([)1723 3639 y Fh(n)1764 3647 y Fb(1)1797 3639 y Fh(;n)1858 3647 y Fb(2)1890 3639 y Fg(\025)p Fl(0)1989 3540 y Ff(D)r Fm(\()p Fi(n)2137 3552 y Fl(1)2174 3540 y Fi(;)14 b(n)2261 3552 y Fl(2)2298 3540 y Fm(\))p Fi(:)1376 b Fm(\(1)p Fi(:)p Fm(9\))100 3803 y(The)27 b(canonical)g(\(Helmholtz\))i(equilibrium)e(free)h (energy)f(p)r(er)g(unit)i(v)n(olume)e(or)g(the)h(grand)e(canonical)h (\(Gibbs\))h(equi-)0 3919 y(librium)d(free)f(energy)g(p)r(er)h(unit)g (v)n(olume)f(will)h(b)r(e)g(obtained)g(b)n(y)f(minimizing)h Ff(F)8 b Fm(\()p Fi(\032)2589 3931 y Fl(1)2627 3919 y Fi(;)14 b(\032)2707 3931 y Fl(2)2744 3919 y Fm(\))p Fi(=)p Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)24 b Fm(under)h(the)g(constrain)n(t)e(\(1.8\),)0 4035 y(or)g(the)i(unconstrained)f(as)f(in)i(\(1.9\).)36 b(In)24 b(the)h(former)e(case)h(the)h Fi(\026)2058 4047 y Fh(i)2110 4035 y Fm(are)e(irrelev)-5 b(an)n(t)23 b(and)i(w)n(e)f (shall)g(set)g(them)h(equal)f(to)g(zero.)100 4152 y(The)h(t)n(w)n(o)g (cases)f(will)i(giv)n(e)e(di\013eren)n(t)h(equilibrium)h(densit)n(y)f (pro\014les)32 b(\026)-49 b Fi(\032)2328 4164 y Fh(i)2355 4152 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\),)27 b(de\014ned)f(as)f(the)g(minimizer)h (of)f Ff(F)34 b Fm(in)25 b(\(1.1\),)0 4268 y(when)f(there)g(is)g(a)g (co)r(existence)f(of)h(phases,)g(i.e.)h(when)f(the)g(minimizer)h(for)e (sp)r(eci\014ed)h(c)n(hemical)g(p)r(oten)n(tials)g(is)g(not)g(unique.)0 4385 y(This)k(ma)n(y)e(happ)r(en)i(when)g Ff(F)8 b Fm(\()p Fi(\032)1022 4397 y Fl(1)1059 4385 y Fi(;)14 b(\032)1139 4397 y Fl(2)1177 4385 y Fm(\))28 b(is)f(not)h(strictly)f(con)n(v)n(ex)f (and)h(the)h(system)g(undergo)r(es)e(a)h(phase)h(transition.)100 4502 y(In)c(the)g(case)f(where)g(the)h(diameter)g(of)f(the)i(torus)e (is)g(large)g(compared)f(to)i Fi(`)p Fm(,)g(the)h(in)n(teractions)d(b)r (ecome)i(appro)n(ximately)0 4618 y(lo)r(cal.)36 b(In)28 b(this)f(case,)g(for)g(densities)g Fi(\032)1199 4630 y Fl(1)1264 4618 y Fm(and)g Fi(\032)1468 4630 y Fl(2)1533 4618 y Fm(that)g(are)g(e\013ectiv)n(ely)g(constan)n(t)f(on)h(the)h (length)g(scale)e Fi(`)h Fm(o)n(v)n(er)f(most)h(of)g(\003,)0 4734 y Ff(F)8 b Fm(\()p Fi(\032)143 4746 y Fl(1)180 4734 y Fi(;)14 b(\032)260 4746 y Fl(2)297 4734 y Fm(\))28 b(is)g(w)n(ell)f(appro)n(ximated)f(b)n(y)i Ff(F)1311 4746 y Fl(0)1347 4734 y Fm(\()p Fi(\032)1422 4746 y Fl(1)1460 4734 y Fi(;)14 b(\032)1540 4746 y Fl(2)1577 4734 y Fm(\))28 b(the)g(MFT)g(free)f(energy)g(functional)g(where)481 4977 y Ff(F)541 4989 y Fl(0)578 4977 y Fm(\()p Fi(\032)653 4989 y Fl(1)691 4977 y Fi(;)14 b(\032)771 4989 y Fl(2)808 4977 y Fm(\))23 b(=)951 4864 y Fd(Z)997 5052 y Fl(\003)1060 4977 y Fi(F)12 b Fm(\()p Fi(\032)1200 4989 y Fl(1)1238 4977 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p Fi(;)i(\032)1429 4989 y Fl(2)1467 4977 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)\)d)p Fi(x)20 b Fm(+)e Fi(\013)1873 4864 y Fd(Z)1920 5052 y Fl(\003)1983 4977 y Fi(\032)2026 4989 y Fl(1)2063 4977 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p Fi(\032)2217 4989 y Fl(2)2255 4977 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)d)p Fi(x)i Ff(\000)2572 4921 y Fi(\033)p 2572 4958 51 4 v 2576 5034 a Fm(2)2647 4864 y Fd(Z)2693 5052 y Fl(\003)2742 4977 y Fm([)p Fi(\032)2808 4943 y Fl(2)2808 4997 y(1)2846 4977 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))f(+)f Fi(\032)3102 4943 y Fl(2)3102 4997 y(2)3139 4977 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)]d)p Fi(x)30 b(:)269 b Fm(\(1)p Fi(:)p Fm(10\))0 5224 y(When)35 b Fi(\032)292 5236 y Fl(1)329 5224 y Fi(;)14 b(\032)409 5236 y Fl(2)481 5224 y Fm(are)34 b(restricted)f(to)i(b)r(e)g (constan)n(ts,)g Fi(n)1681 5236 y Fl(1)1718 5224 y Fi(;)14 b(n)1805 5236 y Fl(2)1877 5224 y Fm(resp)r(ectiv)n(ely)-7 b(,)35 b(then)g Ff(F)2610 5236 y Fl(0)2647 5224 y Fm(\()p Fi(n)2729 5236 y Fl(1)2767 5224 y Fi(;)14 b(n)2854 5236 y Fl(2)2891 5224 y Fm(\))35 b(is)f(essen)n(tially)g(the)h(function)0 5340 y(studied)i(b)n(y)g(v)-5 b(an)37 b(der)g(W)-7 b(aals)36 b([21])h(and)f(b)n(y)h(Kortew)n(eg)e([10].)65 b(\(Kortew)n(eg)35 b(ho)n(w)n(ev)n(er)g(considered)h(the)h(case)f Fi(\013)k(<)e Fm(0)f(so)1929 5539 y(3)p eop end %%Page: 4 4 TeXDict begin 4 3 bop 0 83 a Fm(the)40 b(rearrangemen)n(t)d (inequalities)i(used)h(here)f(w)n(ould)g(not)g(apply)h(in)f(his)h (case.\))72 b(There)39 b(are)g(in)n(teresting)g(questions)0 199 y(regarding)29 b(the)i(minimization)g(of)g Ff(F)1183 211 y Fl(0)1251 199 y Fm(in)g(case)f Fi(\032)1573 211 y Fl(1)1610 199 y Fi(;)14 b(\032)1690 211 y Fl(2)1758 199 y Fm(are)30 b(not)h(restricted)f(to)h(b)r(e)g(constan)n(t.)46 b(F)-7 b(or)30 b(example,)h(kno)n(wledge)0 315 y(of)37 b(the)h(minimizing)g(pro\014les)e(enables)h(one)g(to)g(compute)h(the)f (equilibrium)h(in)n(ternal)e(\(in)n(teraction\))h(energy)g(at)g(giv)n (en)0 432 y(temp)r(erature)27 b(under)h(the)g(constrain)n(ts)e(in)i (\(1.8\).)36 b(An)28 b(application)f(of)h(this)g(is)f(giv)n(en)g(in)h (Section)f(6.)100 550 y(W)-7 b(e)28 b(will)f(sho)n(w)g(in)h(section)f (2)g(that)1150 768 y(inf)1049 826 y Fl(\()p Fh(\032)1109 834 y Fb(1)1141 826 y Fh(;\032)1195 834 y Fb(2)1228 826 y Fl(\))p Fg(2D)1366 768 y Ff(F)8 b Fm(\()p Fi(\032)1509 780 y Fl(1)1546 768 y Fi(;)14 b(\032)1626 780 y Fl(2)1663 768 y Fm(\))167 b(and)281 b(inf)2175 826 y Fl(\()p Fh(\032)2235 834 y Fb(1)2268 826 y Fh(;\032)2322 834 y Fb(2)2355 826 y Fl(\))p Fg(2D)2493 768 y Ff(F)2553 780 y Fl(0)2590 768 y Fm(\()p Fi(\032)2665 780 y Fl(1)2702 768 y Fi(;)14 b(\032)2782 780 y Fl(2)2819 768 y Fm(\))837 b(\(1)p Fi(:)p Fm(11\))0 1042 y(are)27 b(b)r(oth)h(attained,)f(and)h(the)g(same)f (statemen)n(t)g(holds)g(for)g(the)h(constrained)f(problem.)36 b(Clearly)1437 1303 y Fi(f)1478 1315 y Fl(0)1538 1303 y Fm(:=)1690 1247 y(1)p 1659 1284 104 4 v 1659 1360 a Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)1888 1303 y Fm(inf)1787 1360 y Fl(\()p Fh(\032)1847 1368 y Fb(1)1879 1360 y Fh(;\032)1933 1368 y Fb(2)1966 1360 y Fl(\))p Fg(2D)2104 1303 y Ff(F)2164 1315 y Fl(0)2201 1303 y Fm(\()p Fi(\032)2276 1315 y Fl(1)2313 1303 y Fi(;)14 b(\032)2393 1315 y Fl(2)2430 1303 y Fm(\))1226 b(\(1)p Fi(:)p Fm(12\))0 1576 y(is)27 b(indep)r(enden)n(t)i(of)e(\003.) 37 b(W)-7 b(e)28 b(shall)f(see)g(in)h(section)g(3)f(that,)h(using)f(of) g(the)h(rearrangemen)n(t)d(inequalities,)j(w)n(e)f(also)f(ha)n(v)n(e) 1373 1838 y(lim)1322 1895 y Fg(j)p Fl(\003)p Fg(j!1)1595 1782 y Fm(1)p 1564 1819 V 1564 1895 a Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)1792 1838 y Fm(inf)1691 1895 y Fl(\()p Fh(\032)1751 1903 y Fb(1)1784 1895 y Fh(;\032)1838 1903 y Fb(2)1870 1895 y Fl(\))p Fg(2D)2008 1838 y Ff(F)8 b Fm(\()p Fi(\032)2151 1850 y Fl(1)2189 1838 y Fi(;)14 b(\032)2269 1850 y Fl(2)2306 1838 y Fm(\))23 b(=)g Fi(f)2490 1850 y Fl(0)2554 1838 y Fi(;)1111 b Fm(\(1)p Fi(:)p Fm(13\))0 2116 y(and)27 b(moreo)n(v)n(er)e(there)j(is)f(a)g(close)g(relation)g(b)r(et)n(w)n (een)g(the)h(minimizers)g(in)g(b)r(oth)g(in\014m)n(ums)g(in)f (\(1.11\).)100 2234 y(The)20 b(equalit)n(y)g(in)h(\(1.13\))f(ma)n(y)g (lo)r(ok)g(natural,)i(but)f(an)g(example)f(of)h(Gates)f(and)h(P)n (enrose)d([8])j(sho)n(ws)e(that)i(the)g(analogous)0 2350 y(statemen)n(t)31 b(need)g(not)g(hold)g(for)f(simple)h(one)g(comp)r (onen)n(t)f(systems.)47 b(Sp)r(eci\014cally)-7 b(,)32 b(their)e(one)h(comp)r(onen)n(t)g(system)f(free)0 2466 y(energy)c(functional)i(is)g(giv)n(en)e(b)n(y)880 2731 y Ff(G)5 b Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\))24 b(=)1168 2675 y(1)p 1163 2712 52 4 v 1163 2788 a Fi(\014)1238 2618 y Fd(Z)1284 2807 y Fl(\003)1347 2731 y Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))14 b(log)h Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)d)p Fi(x)20 b Fm(+)1987 2618 y Fd(Z)2033 2807 y Fl(\003)2097 2618 y Fd(Z)2143 2807 y Fl(\003)2206 2731 y Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p Fi(V)g Fm(\()p Fi(x)f Ff(\000)f Fi(y)s Fm(\))p Fi(\032)p Fm(\()p Fi(y)s Fm(\)d)p Fi(x)p Fm(d)p Fi(y)672 b Fm(\(1)p Fi(:)p Fm(14\))0 3000 y(and)1094 3119 y Ff(G)1143 3131 y Fl(0)1181 3119 y Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\))23 b(=)1414 3063 y(1)p 1409 3100 V 1409 3176 a Fi(\014)1484 3006 y Fd(Z)1530 3194 y Fl(\003)1594 3119 y Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))14 b(log)h Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)d)p Fi(x)20 b Fm(+)e Fi(\013)2301 3006 y Fd(Z)2347 3194 y Fl(\003)2410 3006 y Fd(Z)2457 3194 y Fl(\003)2520 3119 y Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))2674 3085 y Fl(2)2712 3119 y Fm(d)p Fi(x)883 b Fm(\(1)p Fi(:)p Fm(15\))0 3346 y(where)34 b Fi(\013)i Fm(and)e Fi(V)54 b Fm(are)34 b(related)g(as)g(b) r(efore.)59 b(Since)35 b Fi(\013)g(>)g Fm(0,)h Ff(G)2011 3358 y Fl(0)2084 3346 y Fm(is)e(strictly)h(con)n(v)n(ex,)g(and)g(hence) g(is)f(minimized)i(at)f(the)0 3462 y(constan)n(t)27 b(densit)n(y)h Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))d(=)f Fi(n)p Fm(.)38 b(Ho)n(w)n(ev)n (er,)26 b(if)1446 3441 y Fd(b)1436 3462 y Fi(V)19 b Fm(\()p Fi(k)1578 3474 y Fl(0)1615 3462 y Fm(\))25 b Fi(<)e Fm(0)28 b(for)f(some)h Fi(k)2209 3474 y Fl(0)2246 3462 y Fm(,)h(then)f(for)g (su\016cien)n(tly)g(small)g Fi(\017)23 b(>)h Fm(0,)k(there)f(is)h(a)g Fi(k)0 3579 y Fm(close)f Fi(k)242 3591 y Fl(0)307 3579 y Fm(and)g(a)h Fi(\016)e(>)c Fm(0)27 b(so)g(that)h(with)g Fi(\032)1271 3591 y Fh(\017)1303 3579 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))c(=)f Fi(n)18 b Fm(+)g Fi(\017)c Fm(sin\()p Fi(k)s(x)p Fm(\),)1544 3788 y(1)p 1513 3825 104 4 v 1513 3901 a Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)1627 3845 y(G)5 b Fm(\()p Fi(\032)1756 3857 y Fh(\017)1788 3845 y Fm(\))23 b Ff(\024)1972 3788 y Fm(1)p 1941 3825 V 1941 3901 a Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)2055 3845 y(G)2104 3857 y Fl(0)2141 3845 y Fm(\()p Fi(n)p Fm(\))c Ff(\000)f Fi(\016)1294 b Fm(\(1)p Fi(:)p Fm(16\))0 4115 y(for)30 b(all)g(\003)h(su\016cien)n(tly)f(large.)45 b(In)31 b(our)f(mo)r(del,)h(the)g(rearrangemen)n(t)d(inequalities)j (prev)n(en)n(t)e(oscillations)h(from)g(lo)n(w)n(ering)0 4232 y(the)e(free)f(energy)-7 b(.)100 4350 y(In)27 b(more)g(detail,)h (observ)n(e)e(that)758 4614 y Ff(F)8 b Fm(\()p Fi(\032)901 4626 y Fl(1)938 4614 y Fi(;)14 b(\032)1018 4626 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y(symmetric)27 b(decreasing)f (function)i(of)g(eac)n(h)f(co)r(ordinate)f Fi(x)1868 5206 y Fh(i)1924 5194 y Fm(for)h Ff(\000)p Fi(L)22 b Ff(\024)h Fi(x)2330 5206 y Fh(i)2381 5194 y Fi(<)g(L)p Fm(.)36 b(That)28 b(is,)f(for)g(eac)n(h)g Fi(i)1056 5340 y(g)s Fm(\()p Fi(x)1178 5352 y Fl(1)1215 5340 y Fi(;)14 b(x)1299 5352 y Fl(2)1337 5340 y Fi(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(x)1568 5352 y Fh(i)1596 5340 y Fi(;)g(:)g(:)g(:)g(x)1791 5352 y Fh(d)1830 5340 y Fm(\))23 b(=)g Fi(g)s Fm(\()p Fi(x)2095 5352 y Fl(1)2133 5340 y Fi(;)14 b(x)2217 5352 y Fl(2)2254 5340 y Fi(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g Ff(\000)p Fi(x)2551 5352 y Fh(i)2578 5340 y Fi(;)g(:)g(:)g(:)g(x)2773 5352 y Fh(d)2812 5340 y Fm(\))885 b(\(2)p Fi(:)p Fm(1\))1929 5539 y(5)p eop end %%Page: 6 6 TeXDict begin 6 5 bop 0 83 a Fm(and)27 b(whenev)n(er)g Fi(L)c Ff(\025)f Fi(y)734 95 y Fh(i)785 83 y Fi(>)g(x)919 95 y Fh(i)970 83 y Ff(\025)h Fm(0,)k(then)1066 286 y Fi(g)s Fm(\()p Fi(x)1188 298 y Fl(1)1225 286 y Fi(;)14 b(x)1309 298 y Fl(2)1347 286 y Fi(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g(y)1573 298 y Fh(i)1600 286 y Fi(;)g(:)g(:)g(:)f(x)1794 298 y Fh(d)1834 286 y Fm(\))23 b Ff(\024)g Fi(g)s Fm(\()p Fi(x)2099 298 y Fl(1)2136 286 y Fi(;)14 b(x)2220 298 y Fl(2)2258 286 y Fi(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h(x)2489 298 y Fh(i)2517 286 y Fi(;)g(:)g(:)g(:)g(x)2712 298 y Fh(d)2751 286 y Fm(\))28 b Fi(:)895 b Fm(\(2)p Fi(:)p Fm(2\))0 489 y(W)-7 b(e)24 b(de\014ne)g Fj(symmetric)i(monotone)h(incr)l(e)l(asing)d Fm(in)g(the)g(analogous)e(w)n(a)n(y)-7 b(.)34 b(Finally)24 b(w)n(e)f(sa)n(y)f(that)i(a)g(function)g(is)f(symmetric)0 605 y(monotone)k(if)h(it)g(is)f(either)h(symmetric)f(monotone)g (decreasing)f(or)h(increasing.)100 722 y(Giv)n(en)h(a)h(non{negativ)n (e)e(in)n(tegrable)g(function)j Fi(g)h Fm(on)e(\003,)g(w)n(e)g(sa)n(y)e (that)i(a)g(non{negativ)n(e)e(in)n(tegrable)h(function)h Fi(g)3707 692 y Fh(?)3774 722 y Fm(is)f(a)0 839 y(symmetric)g(monotone) f(decreasing)g(rearrangemen)n(t)e(of)k Fi(g)h Fm(if)f(it)g(is)f(a)g (symmetric)g(monotone)f(decreasing)g(function)h(suc)n(h)0 955 y(that)h(for)g(all)g Fi(t)c(>)h Fm(0)i Ff(f)p Fi(x)p Ff(j)p Fi(g)s Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))f Fi(>)e(t)p Ff(g)j Fm(has)h(the)g(same)g(measure)f(as)h Ff(f)p Fi(x)p Ff(j)p Fi(g)2214 925 y Fh(?)2251 955 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))e Fi(>)e(t)p Ff(g)p Fm(.)41 b(Analogously)28 b(w)n(e)g(de\014ne)i(a)e (symmetric)0 1071 y(monotone)f(increasing)f(rearrangemen)n(t)f Fi(h)1371 1083 y Fh(?)1436 1071 y Fm(of)j(a)f(non{negativ)n(e)f(in)n (tegrable)g(function)j Fi(h)p Fm(.)100 1188 y(W)-7 b(e)36 b(will)g(see)f(b)r(elo)n(w)g(that)h(for)f(an)g(appropriate)f(c)n(hoice) h(of)h Fi(\032)2104 1158 y Fh(?)2104 1209 y Fl(1)2177 1188 y Fm(and)g Fi(\032)2390 1200 y Fl(2)p Fh(?)2461 1188 y Fm(,)i Ff(F)8 b Fm(\()p Fi(\032)2665 1158 y Fh(?)2665 1209 y Fl(1)2703 1188 y Fi(;)14 b(\032)2783 1200 y Fl(2)p Fh(?)2854 1188 y Fm(\))37 b Ff(\024)f(F)8 b Fm(\()p Fi(\032)3167 1200 y Fl(1)3204 1188 y Fi(;)14 b(\032)3284 1200 y Fl(2)3322 1188 y Fm(\),)38 b(with)e(equalit)n(y)0 1304 y(only)h(in)g(case)f Fi(\032)526 1316 y Fl(1)600 1304 y Fm(and)h Fi(\032)814 1316 y Fl(2)888 1304 y Fm(are)f(already)g(symmetric)h(monotone)f(up)h (to)g(a)g(common)f(translation.)64 b(The)37 b(relev)-5 b(ance)36 b(of)0 1421 y(these)31 b(de\014nitions)f(lies)h(in)f(the)h (follo)n(wing)f(lemma,)h(whic)n(h)f(sa)n(ys)f(that)i(the)g(\\total)f(v) -5 b(ariation",)29 b Ff(kr)p Fi(g)s Ff(k)3263 1433 y Fl(1)3299 1421 y Fm(,)j(of)e(a)g(symmetric)0 1537 y(monotone)d (function)h Fi(g)i Fm(is)e(a)f(\\surface)f(term".)37 b(\(Here)27 b(and)g(in)h(what)g(follo)n(ws,)f Ff(k)18 b(\001)g(k)2658 1549 y Fh(p)2724 1537 y Fm(denotes)27 b(the)h Fi(L)3224 1507 y Fh(p)3262 1537 y Fm(\(\003\))g(norm.\))0 1701 y Fn(Lemma)46 b(2.1)39 b Fj(Supp)l(ose)j(that)g Fi(g)i Fj(is)d(a)h(b)l(ounde)l(d)g(and)g(non-ne)l(gative)f(inte)l(gr)l (able)h(function)g(on)f Fm(\003)g Fj(that)h(is)g(symmetric)0 1817 y(monotone.)62 b(Then)38 b Fi(g)i Fj(has)e(an)g(inte)l(gr)l(able)g (distributional)g(gr)l(adient,)j(and)d(the)f(total)h(variation)h(of)f Fi(g)s Fj(,)h(that)f(is)g Ff(kr)p Fi(g)s Ff(k)3839 1829 y Fl(1)3875 1817 y Fj(,)0 1933 y(satis\014es)1311 1983 y Fd(Z)1357 2171 y Fl(\003)1420 2096 y Ff(jr)p Fi(g)s Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p Ff(j)15 b Fm(d)p Fi(x)23 b Ff(\024)g(j)p Fm(\003)p Ff(j)2012 2061 y Fl(\()p Fh(d)p Fg(\000)p Fl(1\))p Fh(=d)2256 2096 y Fm(2)p Fi(d)p Ff(k)p Fi(g)s Ff(k)2468 2108 y Fg(1)2566 2096 y Fi(:)1140 b Fm(\(2)p Fi(:)p Fm(3\))100 2428 y(Note)27 b(that)h(the)g(righ)n(t)f(hand)h(side)f(is)h(prop)r (ortional)d(to)j Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)1965 2398 y Fl(\()p Fh(d)p Fg(\000)p Fl(1\))p Fh(=d)2209 2428 y Fm(,)g(whic)n(h)f(is)h (what)f(mak)n(es)g(it)h(a)f(surface)g(term.)0 2592 y Fn(Pro)s(of:)37 b Fm(W)-7 b(e)28 b(supp)r(ose)f(\014rst)g(that)h Fi(g)j Fm(is)c(smo)r(oth)h(and)f(symmetric)h(monotone)f(decreasing,)f (and)h(deriv)n(e)g(the)h(b)r(ound)g(\(2.3\))0 2709 y(under)23 b(this)g(h)n(yp)r(othesis.)35 b(An)n(y)23 b(suc)n(h)g(function)g Fi(g)j Fm(has)c(the)i(prop)r(ert)n(y)e(that)h(as)f(one)h(go)r(es)f (around)g(an)n(y)g(of)h(the)g(circles)g(where)0 2825 y(only)k(one)g(co)r(ordinate)f(v)-5 b(aries,)26 b(sa)n(y)g Fi(x)1188 2837 y Fh(i)1216 2825 y Fm(,)h(one)g(pro)r(ceeds)f (monotonically)g(from)h(the)h(minim)n(um)g(of)f Fi(g)j Fm(on)c(this)i(circle,)f(to)g(the)0 2941 y(maxim)n(um,)f(and)g(then)g (bac)n(k)f(do)n(wn)g(to)h(the)g(minim)n(um.)37 b(Since)26 b Fi(g)g Ff(\025)d Fm(0,)i(the)i(di\013erence)e(b)r(et)n(w)n(een)h(the) g(maxim)n(um)g(and)g(the)0 3057 y(minim)n(um)i(is)g(no)f(more)g(than)h Ff(k)p Fi(g)s Ff(k)1099 3069 y Fg(1)1168 3057 y Fm(.)36 b(Hence,)28 b(since)g Fi(g)i Fm(is)d(smo)r(oth,)1435 3205 y Fd(Z)1481 3394 y Fl(\003)1544 3198 y Fd(\014)1544 3248 y(\014)1544 3298 y(\014)1544 3347 y(\014)1598 3262 y Fi(@)5 b(g)p 1582 3299 124 4 v 1582 3375 a(@)g(x)1678 3387 y Fh(i)1716 3198 y Fd(\014)1716 3248 y(\014)1716 3298 y(\014)1716 3347 y(\014)1757 3318 y Fm(d)p Fi(x)24 b Ff(\024)1971 3262 y(j)p Fm(\003)p Ff(j)p 1971 3299 104 4 v 1995 3375 a Fi(L)2099 3318 y Fm(\(2)p Ff(k)p Fi(g)s Ff(k)2300 3330 y Fg(1)2369 3318 y Fm(\))41 b Fi(:)1264 b Fm(\(2)p Fi(:)p Fm(4\))0 3580 y(No)n(w)27 b(in)n(tegrating)f(o)n(v)n (er)g(the)i(remaining)f(co)r(ordinates)f(one)h(obtains)g(\(2.3\).)100 3697 y(F)-7 b(or)40 b(the)h(general)e(case,)k(one)d(ma)n(y)g(appro)n (ximate)f Fi(g)44 b Fm(b)n(y)c(applying)g(the)h(heat)g(k)n(ernel)f(on)g (the)h(torus)f(to)h(it.)76 b(This)0 3813 y(appro)n(ximation)25 b(preserv)n(es)g(b)r(oth)i(the)g(p)r(ositivit)n(y)g(and)f(the)i(prop)r (ert)n(y)d(of)i(b)r(eing)g(symmetric)f(monotone.)36 b(Also,)27 b(the)g(heat)0 3929 y(ev)n(olution)36 b(is)h(con)n(tin)n(uous)f(in)h(b) r(oth)h(the)f(total)g(v)-5 b(ariation)36 b(norm)g(and)h(the)g Fi(L)2523 3899 y Fg(1)2630 3929 y Fm(norm,)i(so)d(\(2.3\))h(is)g (preserv)n(ed)e(as)i(the)0 4045 y(appro)n(ximation)26 b(is)h(relaxed.)p 995 4045 59 59 v 100 4303 a(This)j(lemma)g(will)h (pla)n(y)e(a)h(crucial)g(role)f(in)i(determining)f(the)h(structure)f (of)g(our)f(minimizers,)i(since,)g(as)f(w)n(e)g(will)g(see)0 4419 y(b)r(elo)n(w,)i(our)e(minimizers)h(are)f(symmetric)h(monotone,)g (up)h(to)f(translation)f(on)h(the)g(torus,)g(and)g(th)n(us,)i(they)e (satisfy)g(the)0 4536 y(b)r(ound)d(\(2.3\))f(as)g(w)n(ell)h(as)f Fj(a{priori)j Fi(L)1202 4506 y Fg(1)1299 4536 y Fm(b)r(ounds.)0 4700 y Fn(Lemma)40 b(2.2)34 b Fj(L)l(et)j Fi(F)48 b Fj(b)l(e)37 b(a)g(function)g(on)f Fi(I)-15 b(R)1489 4712 y Fl(+)1567 4700 y Ff(\002)23 b Fi(I)-15 b(R)1741 4712 y Fl(+)1833 4700 y Fj(that)36 b(satis\014es)h(\(1.2\))h(everywher)l(e)g(on)f(its)g (domain.)60 b(L)l(et)37 b Fi(U)45 b Fj(b)l(e)0 4816 y(a)35 b(non-ne)l(gative)h(strictly)f(monotone)g(de)l(cr)l(e)l(asing)h(r)l (adial)h(function)e(on)g Fi(I)-15 b(R)2425 4780 y Fh(d)2463 4816 y Fj(.)55 b(Supp)l(ose)36 b(also)g(that)f(the)g(diameter)h(of)g (its)0 4932 y(supp)l(ort)c(is)f(less)h(than)f(the)h(smal)t(lest)g(p)l (erio)l(d)h(of)f Fm(\003)p Fj(.)43 b(Then)33 b(for)f(al)t(l)g(non{ne)l (gative)h(functions)e Fi(g)j Fj(and)e Fi(h)f Fj(on)g Fm(\003)p Fj(,)h(ther)l(e)g(is)g(a)0 5048 y(symmetric)e(monotone)g(de)l (cr)l(e)l(asing)h(function)f Fi(g)1554 5018 y Fh(?)1621 5048 y Fj(and)g(a)g(symmetric)h(monotone)f(incr)l(e)l(asing)g Fi(h)3082 5060 y Fh(?)3150 5048 y Fj(so)g(that)833 5185 y Fd(Z)51 b(Z)976 5373 y Fl(\003)1040 5298 y Fi(g)s Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p Fi(U)9 b Fm(\()p Fi(x)19 b Ff(\000)f Fi(y)s Fm(\))p Fi(h)p Fm(\()p Fi(y)s Fm(\)d)p Fi(x)p Fm(d)p Fi(y)27 b Ff(\025)1967 5185 y Fd(Z)51 b(Z)2110 5373 y Fl(\003)2174 5298 y Fi(g)2217 5263 y Fh(?)2254 5298 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p Fi(U)9 b Fm(\()p Fi(x)20 b Ff(\000)e Fi(y)s Fm(\))p Fi(h)2737 5310 y Fh(?)2775 5298 y Fm(\()p Fi(y)s Fm(\)d)p Fi(x)p Fm(d)p Fi(y)666 b Fm(\(2)p Fi(:)p Fm(5\))1929 5539 y(6)p eop end %%Page: 7 7 TeXDict begin 7 6 bop 0 83 a Fj(and)1146 86 y Fd(Z)1192 275 y Fl(\003)1256 199 y Fi(F)12 b Fm(\()p Fi(g)s Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p Fi(;)i(h)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)\)d)p Fi(x)25 b Ff(\025)1941 86 y Fd(Z)1987 275 y Fl(\003)2050 199 y Fi(F)12 b Fm(\()p Fi(g)2190 165 y Fh(?)2228 199 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p Fi(;)i(h)2424 211 y Fh(?)2463 199 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)\)d)p Fi(x)32 b(:)975 b Fm(\(2)p Fi(:)p Fm(6\))0 427 y Fj(Mor)l(e)l(over,)32 b(ther)l(e)d(is)i(e)l(quality)f(in)g (\(2.5\))h(only)f(in)g(c)l(ase)g Fi(g)c Fm(=)c Fi(g)1956 397 y Fh(?)2024 427 y Fj(and)30 b Fi(h)23 b Fm(=)g Fi(h)2392 439 y Fh(?)2459 427 y Fj(up)30 b(to)g(a)g(c)l(ommon)g(tr)l(anslation.) 100 593 y Fm(These)25 b(estimates)g(\(2.5\))h(could)f(b)r(e)h(deduced)g (from)f(related)g(rearrangemen)n(t)e(inequalities)i(of)h(Baernstein)e (and)i(T)-7 b(a)n(ylor)0 709 y([3],)25 b(and)f(Luttinger)g([14].)35 b(Ho)n(w)n(ev)n(er,)23 b(a)h(direct)g(pro)r(of)g(is)g(pro)n(vided)f(in) i(App)r(endix)g(A.)g(The)f(second)g(inequalit)n(y)g(is)g(reminis-)0 825 y(cen)n(t)d(of)g(an)g(inequalit)n(y)g(of)g(Almgren)g(and)g(Lieb)h ([2])f(with)g(the)h(opp)r(osite)f(sense)g(for)f(symmetric)h(decreasing) f(rearrangemen)n(t)0 941 y(on)27 b Fi(I)-14 b(R)201 905 y Fh(n)274 941 y Fm(in)28 b(whic)n(h)g(b)r(oth)g(functions)f(are)g (\\piled)g(up")h(around)f(the)g Fj(same)i Fm(p)r(oin)n(t.)37 b(The)27 b(pro)r(ofs)g(though)g(are)g(di\013eren)n(t.)100 1107 y(W)-7 b(e)28 b(no)n(w)f(turn)g(to)h(the)g(existence)f(of)h (minimizers)f(for)g(the)h(v)-5 b(ariational)26 b(problem)h(of)h (determining)1257 1319 y(inf)21 b Ff(fF)8 b Fm(\()p Fi(\032)1557 1331 y Fl(1)1594 1319 y Fi(;)14 b(\032)1674 1331 y Fl(2)1711 1319 y Fm(\))51 b(:)g(\()p Fi(\032)1943 1331 y Fl(1)1981 1319 y Fi(;)14 b(\032)2061 1331 y Fl(2)2098 1319 y Fm(\))23 b Ff(2)g(D)r Fm(\()p Fi(n)2379 1331 y Fl(1)2417 1319 y Fi(;)14 b(n)2504 1331 y Fl(2)2541 1319 y Fm(\))28 b Ff(g)1086 b Fm(\(2)p Fi(:)p Fm(7\))0 1531 y(where)27 b Ff(D)r Fm(\()p Fi(n)388 1543 y Fl(1)426 1531 y Fi(;)14 b(n)513 1543 y Fl(2)550 1531 y Fm(\))28 b(is)f(giv)n(en)g(b)n(y)g (\(1.8\).)100 1648 y(The)33 b(lemmas)f(collected)h(ab)r(o)n(v)n(e)f (enable)h(this)g(to)g(b)r(e)h(pro)n(v)n(ed)d(in)i(a)g(wide)g(v)-5 b(ariet)n(y)32 b(of)h(circumstances.)53 b(Theorem)32 b(2.3)0 1764 y(b)r(elo)n(w)38 b(applies)f(to)h(one)g(of)f(these)h(that) h(is)e(of)h(particular)f(ph)n(ysical)g(in)n(terest.)68 b(Mathematically)-7 b(,)40 b(it)e(is)g(a)f(v)n(ery)g(direct)0 1880 y(consequence)29 b(of)i(the)g(lemmas)f(since)g(when)g Fi(D)j Fm(is)d(giv)n(en)g(b)n(y)g(\(1.5\),)h(there)f(is)g(a)g(trivial)g Fj(a-priori)i Fm(b)r(ound)f(on)f Ff(k)p Fi(\032)3587 1892 y Fl(1)3624 1880 y Ff(k)3666 1892 y Fg(1)3766 1880 y Fm(and)0 1996 y Ff(k)p Fi(\032)85 2008 y Fl(2)122 1996 y Ff(k)164 2008 y Fg(1)261 1996 y Fm({)d(namely)h Fi(b)655 1966 y Fg(\000)p Fl(1)743 1996 y Fm(.)100 2113 y(Without)k(suc)n(h)g(a) g(term)g(to)f(enforce)h Fj(a{priori)i Fi(L)1680 2083 y Fg(1)1782 2113 y Fm(b)r(ounds,)g(and)d(without)i(an)e(en)n(trop)n(y)g (that)h(prev)n(en)n(ts)f(a)h(v)-5 b(acuum,)0 2230 y(the)34 b(pro)r(of)e(is)h(more)f(in)n(v)n(olv)n(ed,)i(but)f(still)h(w)n(orks.) 52 b(Mathematically)-7 b(,)34 b(this)f(con)n(text)g(is)g(m)n(uc)n(h)g (more)f(in)n(teresting,)i(if)g(less)0 2346 y(ph)n(ysical.)47 b(T)-7 b(o)31 b(k)n(eep)g(the)g(fo)r(cus)g(on)g(the)h(main)f(ph)n (ysical)g(case,)g(w)n(e)g(pro)n(v)n(e)e(here)i(the)h(theorem)f(only)f (in)i(the)g(simple)f(case)0 2462 y(required)e(to)h(treat)g(the)h(v)-5 b(an)30 b(der)g(W)-7 b(aals)30 b(gas)f(and)h(put)h(in)f(App)r(endix)i (B)e(the)g(statemen)n(t)h(and)f(the)h(pro)r(of)e(for)h(the)h(other)0 2578 y(case.)100 2695 y(The)e(role)g(of)g(the)h(rearrangemen)n(t)d (inequalities)i(is)g(this:)41 b(Since)30 b(the)g(in)n(teraction)e(is)i (not)f(p)r(ositiv)n(e)g(de\014nite,)i(lo)n(w)n(ering)0 2812 y(the)f(in)n(teraction)f(energy)g(ma)n(y)g(w)n(ell)h(fa)n(v)n(or)e (oscillations)g(in)i(the)h(densities)f Fi(\032)2451 2824 y Fl(1)2518 2812 y Fm(and)f Fi(\032)2724 2824 y Fl(2)2762 2812 y Fm(,)h(and)g(there)f(is)h(no)g(mec)n(hanism)f(to)0 2928 y(prev)n(en)n(t)21 b(a)g(minimizing)h(sequence)g(from)f (oscillating)g(more)g(and)g(more)g(rapidly)g(so)g(that)h(some)f(part)h (of)f(the)i(mass)e(v)-5 b(anishes)0 3044 y(in)33 b(a)e(w)n(eak)h (limit,)i(with)f(the)f(consequence)g(that)g(the)h(limit)g(no)f(longer)f (b)r(elongs)h(to)g Ff(D)r Fm(\()p Fi(n)2896 3056 y Fl(1)2933 3044 y Fi(;)14 b(n)3020 3056 y Fl(2)3057 3044 y Fm(\).)52 b(This)32 b(cannot)g(happ)r(en)0 3160 y(here)27 b(b)r(ecause)g(of)h (Lemma)f(2.2.)0 3375 y Fn(Theorem)34 b(2.3)c Fj(L)l(et)h Fi(F)45 b Fj(b)l(e)32 b(given)h(by)f(\(1.3\),)j(wher)l(e)d(in)h(p)l (articular)g Fi(D)h Fj(has)f(the)f(pr)l(op)l(erty)h(that)g Fi(D)r Fm(\()p Fi(t)p Fm(\))28 b(=)f Ff(1)32 b Fj(for)h Fi(t)27 b(>)g(b)3811 3345 y Fg(\000)p Fl(1)0 3491 y Fj(for)k(some)f Fi(b)22 b(>)h Fm(0)p Fj(.)38 b(Then,)31 b(for)g(al)t(l)g Fi(n)1140 3503 y Fl(1)1206 3491 y Fj(and)g Fi(n)1418 3503 y Fl(2)1484 3491 y Fj(and)g(al)t(l)f Fi(\014)t Fj(,)1246 3703 y Ff(F)8 b Fm(\()p Fi(n)1396 3715 y Fl(1)1433 3703 y Fi(;)14 b(n)1520 3715 y Fl(2)1557 3703 y Fi(;)g(\014)t Fm(\))24 b(=)233 b(inf)1788 3761 y Fl(\()p Fh(\032)1848 3769 y Fb(1)1881 3761 y Fh(;\032)1935 3769 y Fb(2)1968 3761 y Fl(\))p Fg(2D)r Fl(\()p Fh(n)2160 3769 y Fb(1)2191 3761 y Fh(;n)2252 3769 y Fb(2)2285 3761 y Fl(\))2324 3703 y Ff(F)8 b Fm(\()p Fi(\032)2467 3715 y Fl(1)2505 3703 y Fi(;)14 b(\032)2585 3715 y Fl(2)2622 3703 y Fm(\))1075 b(\(2)p Fi(:)p Fm(8\))0 3974 y Fj(is)30 b(achieve)l(d)i(at)e(le)l(ast)g (at)f(one)h(minimizing)h(p)l(air)g Fm(\()p Fi(\032)1644 3986 y Fl(1)1681 3974 y Fi(;)14 b(\032)1761 3986 y Fl(2)1798 3974 y Fm(\))p Fj(.)39 b(A)n(ny)30 b(such)g(p)l(air)g(satis\014es)g (the)g(Euler{L)l(agr)l(ange)h(e)l(quations)42 4186 y Fi(G)107 4152 y Fg(0)130 4186 y Fm(\()p Fi(\032)205 4198 y Fl(1)243 4186 y Fm(\))12 b(+)g Fi(D)435 4152 y Fg(0)459 4186 y Fm(\()p Fi(\032)534 4198 y Fl(1)584 4186 y Fm(+)g Fi(\032)704 4198 y Fl(2)741 4186 y Fm(\))g(+)g Fi(\014)t(V)32 b Ff(\003)12 b Fi(\032)1090 4198 y Fl(2)1140 4186 y Ff(\000)g Fi(\014)t(U)21 b Ff(\003)12 b Fi(\032)1443 4198 y Fl(1)1504 4186 y Fm(=)22 b Fi(C)1650 4198 y Fl(1)1773 4186 y Fm(and)84 b Fi(G)2056 4152 y Fg(0)2080 4186 y Fm(\()p Fi(\032)2155 4198 y Fl(2)2192 4186 y Fm(\))12 b(+)g Fi(D)2384 4152 y Fg(0)2409 4186 y Fm(\()p Fi(\032)2484 4198 y Fl(1)2533 4186 y Fm(+)g Fi(\032)2653 4198 y Fl(2)2691 4186 y Fm(\))g(+)g Fi(\014)t(V)32 b Ff(\003)12 b Fi(\032)3040 4198 y Fl(1)3090 4186 y Ff(\000)g Fi(\014)t(U)21 b Ff(\003)12 b Fi(\032)3393 4198 y Fl(2)3454 4186 y Fm(=)22 b Fi(C)3600 4198 y Fl(1)3665 4186 y Fi(:)41 b Fm(\(2)p Fi(:)p Fm(9\))0 4398 y Fj(Mor)l(e)l(over,) 1272 4514 y Ff(kr)p Fi(\032)1426 4526 y Fl(1)1463 4514 y Ff(k)1505 4526 y Fl(1)1571 4514 y Fi(;)14 b Ff(kr)p Fi(\032)1762 4526 y Fl(2)1799 4514 y Ff(k)1841 4526 y Fl(1)1930 4514 y Ff(\024)23 b(j)p Fm(\003)p Ff(j)2122 4480 y Fl(\()p Fh(d)p Fg(\000)p Fl(1\))p Fh(=d)2366 4514 y Fm(2)p Fi(db)2487 4480 y Fg(\000)p Fl(1)2605 4514 y Fi(;)1060 b Fm(\(2)p Fi(:)p Fm(10\))0 4687 y Fj(and)30 b(if)h Fm(\()p Fi(\032)317 4699 y Fl(1)354 4687 y Fi(;)14 b(\032)434 4699 y Fl(2)471 4687 y Fm(\))30 b Fj(is)g(any)h(minimizing)f (p)l(air,)i(then)d Fi(\032)1638 4699 y Fl(1)1699 4687 y Fm(=)22 b Fi(\032)1829 4656 y Fh(?)1829 4707 y Fl(1)1897 4687 y Fj(and)30 b Fi(\032)2101 4699 y Fl(2)2161 4687 y Fm(=)23 b Fi(\032)2292 4699 y Fl(2)2329 4707 y Fh(?)2397 4687 y Fj(up)30 b(to)f(a)i(c)l(ommon)f(tr)l(anslation.)100 4804 y(Likewise,)h(for)g(any)f Fi(\026)803 4816 y Fl(1)840 4804 y Fj(,)h Fi(\026)946 4816 y Fl(2)983 4804 y Fj(,)f(let)662 5069 y Ff(F)8 b Fm(\()p Fi(\026)812 5081 y Fl(1)849 5069 y Fi(;)14 b(\026)936 5081 y Fl(2)973 5069 y Fi(;)g(\014)t Fm(\))24 b(=)124 b(inf)1204 5126 y Fl(\()p Fh(\032)1264 5134 y Fb(1)1297 5126 y Fh(;\032)1351 5134 y Fb(2)1384 5126 y Fl(\))p Fg(2D)1522 4952 y Fd(\032)1584 5069 y Ff(F)8 b Fm(\()p Fi(\032)1727 5081 y Fl(1)1764 5069 y Fi(;)14 b(\032)1844 5081 y Fl(2)1882 5069 y Fm(\))k Ff(\000)g Fi(\026)2065 5081 y Fl(1)2116 4956 y Fd(Z)2162 5144 y Fl(\003)2226 5069 y Fi(\032)2269 5081 y Fl(1)2306 5069 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)d)p Fi(x)i Ff(\000)e Fi(\026)2663 5081 y Fl(2)2714 4956 y Fd(Z)2760 5144 y Fl(\003)2824 5069 y Fi(\032)2867 5081 y Fl(2)2904 5069 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)d)p Fi(x)3108 4952 y Fd(\033)3215 5069 y Fi(:)450 b Fm(\(2)p Fi(:)p Fm(11\))0 5340 y Fj(Then)30 b(the)g(minimizers)h(do)g (exist)e(and)h(satisfy)h(the)f(ab)l(ove)h(c)l(onditions)g(with)f Fi(C)2511 5352 y Fl(1)2578 5340 y Fj(and)g Fi(C)2798 5352 y Fl(2)2866 5340 y Fj(in)g(\(2.9\))g(r)l(eplac)l(e)l(d)i(by)e Fi(\026)3649 5352 y Fl(1)3686 5340 y Fj(,)g Fi(\026)3791 5352 y Fl(2)3828 5340 y Fj(.)1929 5539 y Fm(7)p eop end %%Page: 8 8 TeXDict begin 8 7 bop 0 83 a Fn(Pro)s(of:)36 b Fm(W)-7 b(e)28 b(\014rst)g(observ)n(e)e(that)h(w)n(e)h(ma)n(y)f(assume)f Fi(\032)1717 95 y Fl(1)1755 83 y Fi(;)14 b(\032)1835 95 y Fl(2)1895 83 y Ff(\024)22 b Fi(b)2018 53 y Fg(\000)p Fl(1)2107 83 y Fm(.)37 b(These)27 b Fj(a{priori)k Fm(b)r(ound)d(mak)n (es)e(this)i(case)f(easier.)100 200 y(The)g(functional)1622 316 y Fi(\032)1665 328 y Fl(1)1702 316 y Fi(;)14 b(\032)1782 328 y Fl(2)1842 316 y Ff(7!)23 b(F)8 b Fm(\()p Fi(\032)2091 328 y Fl(1)2129 316 y Fi(;)14 b(\032)2209 328 y Fl(2)2246 316 y Fm(\))1410 b(\(2)p Fi(:)p Fm(12\))0 481 y(is)27 b(join)n(tly)h(con)n(tin)n(uous)f(in)h(the)f Fi(L)1056 451 y Fl(1)1121 481 y Fm(top)r(ology)f(b)n(y)i(the)g(dominated)f(con)n (v)n(ergence)e(theorem.)100 598 y(No)n(w)g(let)h(\()p Fi(\032)480 555 y Fl(\()p Fh(k)q Fl(\))480 621 y(1)573 598 y Fi(;)14 b(\032)653 555 y Fh(k)q Fl(\))653 621 y(2)720 598 y Fm(\))26 b(b)r(e)g(a)f(minimizing)i(sequence)e(satisfying)g(the)h (constrain)n(t)f(\(1.8\))2795 610 y Fl(1)2832 598 y Fm(,)h(and)g(suc)n (h)f(that)h(\()p Fi(\032)3479 555 y Fl(\()p Fh(k)q Fl(\))3479 621 y(1)3572 598 y Fi(;)14 b(\032)3652 555 y Fh(k)q Fl(\))3652 621 y(2)3719 598 y Fm(\))26 b(is)f(a)0 715 y(symmetric)k(monotone)g (pair.)43 b(Suc)n(h)30 b(a)f(sequence)h(exists)f(b)n(y)g(Lemma)h(2.2.) 42 b(By)30 b(the)g(Helly)g(selection)f(principle)h(and)g(the)0 831 y Fj(a{priori)24 b Fm(p)r(oin)n(t)n(wise)d(b)r(ound,)j(this)e (sequence)f(is)g(strongly)f(compact)h(in)h Fi(L)2308 801 y Fl(1)2351 831 y Ff(\002)6 b Fi(L)2479 801 y Fl(1)2516 831 y Fm(.)35 b(P)n(assing)20 b(to)h(a)g(con)n(v)n(ergen)n(t)f (subsequence,)0 947 y(w)n(e)27 b(ha)n(v)n(e)g(our)f(minimizing)i(pair.) 100 1064 y(The)f(Euler{Lagrange)c(equations)j(no)n(w)g(easily)g(follo)n (w,)h(and)f(then)i(\(2.10\))e(follo)n(ws)g(from)h(\(2.3\))f(and)h(the)g Fj(a{priori)j Fm(sup)0 1180 y(norm)d(b)r(ound)h(pro)n(vided)f(b)n(y)g Fi(D)r Fm(.)p 1144 1180 59 59 v 0 1477 a Fk(3.)50 b(Large)38 b(V)-9 b(olume.)100 1594 y Fm(In)33 b(this)g(section)f(w)n(e)h(fo)r (cus)g(on)f(the)h(case)f(in)i(whic)n(h)e Fi(L)p Fm(,)i(the)f(p)r(erio)r (d)g(of)g(the)g(torus)f(\003,)i(is)f(large)e(compared)h(to)h Fi(`)p Fm(,)h(the)0 1711 y(length)28 b(scale)e(of)i(the)g(in)n (teraction)f(de\014ned)h(in)f(\(1.7\).)0 1918 y Fn(Lemma)32 b(3.1)26 b Fj(L)l(et)k Fm(\()p Fi(\032)707 1930 y Fl(1)744 1918 y Fi(;)14 b(\032)824 1930 y Fl(2)861 1918 y Fm(\))30 b Fj(b)l(e)g(any)g(minimizer)h(for)f(the)g(fr)l(e)l(e)g(ener)l(gy)g (functional.)40 b(Then,)30 b(using)g Ff(\003)f Fj(for)i(c)l (onvolution,)830 2096 y Fl(2)787 2121 y Fd(X)789 2298 y Fh(j)s Fl(=1)920 2087 y Fd(Z)966 2276 y Fl(\003)1030 2200 y Ff(j)p Fi(V)37 b Ff(\003)18 b Fi(\032)1241 2212 y Fh(j)1295 2200 y Ff(\000)g Fi(\013\032)1474 2212 y Fh(j)1509 2200 y Ff(j)c Fm(d)p Fi(x)19 b Fm(+)1784 2096 y Fl(2)1741 2121 y Fd(X)1743 2298 y Fh(j)s Fl(=1)1875 2087 y Fd(Z)1921 2276 y Fl(\003)1984 2200 y Ff(j)p Fi(U)27 b Ff(\003)18 b Fi(\032)2194 2212 y Fh(j)2248 2200 y Ff(\000)g Fi(\033)s(\032)2424 2212 y Fh(j)2459 2200 y Ff(j)c Fm(d)p Fi(x)24 b Ff(\024)e Fi(C)6 b Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)2869 2166 y Fl(\()p Fh(d)p Fg(\000)p Fl(1\))p Fh(=d)3729 2200 y Fm(\(3)p Fi(:)p Fm(1\))0 2487 y Fj(for)31 b(some)f(c)l(onstant)f Fi(C)36 b Fj(dep)l(ending)31 b(only)f(on)g Fi(\014)k Fj(and)c Fi(n)1748 2499 y Fl(1)1785 2487 y Fi(;)14 b(n)1872 2499 y Fl(2)1909 2487 y Fj(.)39 b(As)29 b(a)i(c)l(onse)l(quenc)l(e,)477 2661 y Fl(2)433 2686 y Fd(X)436 2863 y Fh(j)s Fl(=1)567 2644 y Fd(\014)567 2694 y(\014)567 2744 y(\014)567 2794 y(\014)595 2652 y(Z)641 2840 y Fl(\003)704 2765 y Fi(\032)747 2777 y Fh(i)775 2765 y Fi(V)37 b Ff(\003)18 b Fi(\032)963 2777 y Fh(j)998 2765 y Fm(d)p Fi(x)h Ff(\000)f Fi(\013)1260 2652 y Fd(Z)1306 2840 y Fl(\003)1370 2765 y Fi(\032)1413 2777 y Fh(i)1440 2765 y Fi(\032)1483 2777 y Fh(j)1518 2765 y Fm(d)p Fi(x)1611 2644 y Fd(\014)1611 2694 y(\014)1611 2744 y(\014)1611 2794 y(\014)1658 2765 y Fm(+)1784 2661 y Fl(2)1741 2686 y Fd(X)1743 2863 y Fh(j)s Fl(=1)1875 2644 y Fd(\014)1875 2694 y(\014)1875 2744 y(\014)1875 2794 y(\014)1902 2652 y(Z)1948 2840 y Fl(\003)2012 2765 y Fi(\032)2055 2777 y Fh(i)2082 2765 y Fi(U)28 b Ff(\003)18 b Fi(\032)2270 2777 y Fh(j)2304 2765 y Fm(d)p Fi(x)h Ff(\000)f Fi(\033)2564 2652 y Fd(Z)2610 2840 y Fl(\003)2673 2765 y Fi(\032)2716 2777 y Fh(i)2744 2765 y Fi(\032)2787 2777 y Fh(j)2822 2765 y Fm(d)p Fi(x)2915 2644 y Fd(\014)2915 2694 y(\014)2915 2744 y(\014)2915 2794 y(\014)2966 2765 y Ff(\024)23 b Fi(C)6 b Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)3223 2731 y Fl(\()p Fh(d)p Fg(\000)p Fl(1\))p Fh(=d)3729 2765 y Fm(\(3)p Fi(:)p Fm(2\))0 3052 y Fj(wher)l(e)30 b(again,)i Fi(C)k Fj(dep)l(ends)31 b(only)f(on)g Fi(\014)k Fj(and)c Fi(n)1481 3064 y Fl(1)1518 3052 y Fi(;)14 b(n)1605 3064 y Fl(2)1642 3052 y Fj(.)0 3259 y Fn(Pro)s(of:)251 3501 y Fi(\032)294 3513 y Fh(j)347 3501 y Ff(\003)k Fi(V)h Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))g Ff(\000)f Fi(\013\032)783 3513 y Fh(j)819 3501 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))24 b(=)1041 3388 y Fd(Z)1088 3577 y Fl(\003)1151 3501 y Fi(V)19 b Fm(\()p Fi(y)s Fm(\))14 b([)p Fi(\032)1406 3513 y Fh(j)1441 3501 y Fm(\()p Fi(x)19 b Ff(\000)f Fi(y)s Fm(\))h Ff(\000)f Fi(\032)1843 3513 y Fh(j)1877 3501 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)])d(d)p Fi(y)26 b Fm(=)d Ff(\000)2306 3388 y Fd(Z)2388 3409 y Fl(1)2351 3577 y(0)2439 3388 y Fd(Z)2486 3577 y Fl(\003)2549 3501 y Fi(V)c Fm(\()p Fi(y)s Fm(\))p Ff(r)p Fi(\032)2836 3513 y Fh(j)2871 3501 y Fm(\()p Fi(x)g Ff(\000)f Fi(ty)s Fm(\))h Ff(\001)f Fi(y)s Fm(d)p Fi(y)s Fm(d)p Fi(t)28 b(:)250 b Fm(\(3)p Fi(:)p Fm(3\))0 3745 y(Hence)963 3786 y Fd(Z)1009 3975 y Fl(\003)1072 3899 y Ff(j)p Fi(\032)1138 3911 y Fh(j)1192 3899 y Ff(\003)18 b Fi(V)h Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))g Ff(\000)f Fi(\013\032)1628 3911 y Fh(j)1663 3899 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p Ff(j)d Fm(d)p Fi(x)24 b Ff(\024)2017 3782 y Fd(\022)2078 3786 y(Z)2124 3975 y Fl(\003)2187 3899 y Fi(V)19 b Fm(\()p Fi(y)s Fm(\))p Ff(j)p Fi(y)s Ff(j)p Fm(d)p Fi(y)2542 3782 y Fd(\023)2617 3899 y Ff(kr)p Fi(\032)2771 3911 y Fl(1)2808 3899 y Ff(k)2850 3911 y Fl(1)2914 3899 y Fi(;)792 b Fm(\(3)p Fi(:)p Fm(4\))0 4118 y(and)27 b(from)h(Lemma)f(2.1,)884 4253 y Fd(Z)930 4442 y Fl(\003)994 4366 y Ff(j)p Fi(\032)1060 4378 y Fh(j)1113 4366 y Ff(\003)18 b Fi(V)h Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))g Ff(\000)f Fi(\013\032)1549 4378 y Fh(j)1585 4366 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p Ff(j)d Fm(d)p Fi(x)23 b Ff(\024)g Fi(C)2017 4249 y Fd(\022)2078 4253 y(Z)2124 4442 y Fl(\003)2188 4366 y Fi(V)18 b Fm(\()p Fi(y)s Fm(\))p Ff(j)p Fi(y)s Ff(j)p Fm(d)p Fi(y)2542 4249 y Fd(\023)2617 4366 y Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)2721 4332 y Fl(\()p Fh(d)p Fg(\000)p Fl(1\))p Fh(=d)2993 4366 y Fi(:)713 b Fm(\(3)p Fi(:)p Fm(5\))0 4615 y(The)28 b(same)f(argumen)n(t)f(applies)h(to)h(the)g(terms)f(in)n (v)n(olving)f Fi(U)9 b Fm(.)p 2021 4615 V 100 4913 a(No)n(w)23 b(\014x)g(an)n(y)g Fi(\017)g(>)f Fm(0.)36 b(A)23 b(simple)h(Cheb)n (yshev)f(argumen)n(t)g(based)g(on)g(the)h(in)n(tegral)e(b)r(ounds)i(of) f(Lemma)h(3.1)e(sho)n(ws)h(that,)0 5029 y(b)n(y)31 b(c)n(ho)r(osing)e (\003)i(su\016cien)n(tly)g(large,)g(o\013)g(of)g(a)f(set)h(of)g (\\surface)f(term)h(size",)g Fi(V)39 b Ff(\003)21 b Fi(\032)2666 5041 y Fh(i)2722 5029 y Fm(=)28 b Fi(\013\032)2911 5041 y Fh(i)2960 5029 y Ff(\006)20 b Fi(\017)31 b Fm(and)g Fi(U)e Ff(\003)21 b Fi(\032)3467 5041 y Fh(i)3523 5029 y Fm(=)28 b Fi(\033)s(\032)3709 5041 y Fh(i)3758 5029 y Ff(\006)20 b Fi(\017)p Fm(.)0 5145 y(More)27 b(precisely)-7 b(,)27 b(with)h Ff(j)p Fi(A)p Ff(j)g Fm(denoting)f(the)h(Leb)r(esgue)f (measure)g(of)g(a)g(set)h Fi(A)p Fm(,)825 5340 y Ff(jf)p Fi(x)g Ff(j)g(j)p Fi(V)37 b Ff(\003)18 b Fi(\032)1227 5352 y Fh(i)1254 5340 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))i Ff(\000)e Fi(\013\032)1564 5352 y Fh(i)1592 5340 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p Ff(j)24 b(\025)f Fi(\017)k Ff(gj)c(\024)f Fi(C)6 b(\017)2173 5306 y Fg(\000)p Fl(1)2262 5340 y Fi(`)p Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)2401 5306 y Fl(\()p Fh(d)p Fg(\000)p Fl(1\))p Fh(=d)2645 5340 y Fi(;)97 b(i)23 b Fm(=)f(1)p Fi(;)14 b Fm(2)27 b Fi(;)654 b Fm(\(3)p Fi(:)p Fm(6\))1929 5539 y(8)p eop end %%Page: 9 9 TeXDict begin 9 8 bop 0 83 a Fm(and)27 b(lik)n(ewise)g(for)g Fi(U)9 b Fm(.)100 201 y(Let)27 b Fi(G)313 213 y Fh(\017)373 201 y Fm(b)r(e)h(the)g(\\go)r(o)r(d")e(set)493 356 y Fd(0)493 505 y(@)606 419 y Fl(2)577 444 y Fd(\\)565 621 y Fh(j)s Fl(=1)680 523 y Ff(f)p Fi(x)i Ff(j)f(j)p Fi(V)38 b Ff(\003)18 b Fi(\032)1059 535 y Fh(j)1094 523 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))h Ff(\000)f Fi(\013\032)1403 535 y Fh(j)1439 523 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p Ff(j)24 b Fi(<)e(\017)28 b Ff(g)1788 356 y Fd(1)1788 505 y(A)1874 444 y(\\)1980 356 y(0)1980 505 y(@)2093 419 y Fl(2)2064 444 y Fd(\\)2052 621 y Fh(j)s Fl(=1)2167 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b(F)p 1325 1359 V 1325 1435 a(@)g(\032)1417 1447 y Fl(2)1463 1378 y Fm(\()p Fi(\032)1538 1390 y Fl(1)1576 1378 y Fi(;)14 b(\032)1656 1390 y Fl(2)1693 1378 y Fm(\))19 b(+)f Fi(V)37 b Ff(\003)18 b Fi(\032)2015 1390 y Fl(1)2071 1378 y Ff(\000)g Fi(U)27 b Ff(\003)18 b Fi(\032)2341 1390 y Fl(2)2401 1378 y Fm(=)23 b Fi(C)2548 1390 y Fl(2)3729 1256 y Fm(\(3)p Fi(:)p Fm(8\))0 1602 y(for)k(some)g Fi(C)394 1614 y Fl(1)459 1602 y Fm(and)h Fi(C)680 1614 y Fl(2)717 1602 y Fm(.)100 1720 y(Lik)n(ewise,)36 b(an)n(y)e(minimizing)i(pair)e(of)h(densities)g (\()5 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1767 1732 y Fl(1)1805 1720 y Fi(;)19 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1885 1732 y Fl(2)1922 1720 y Fm(\))35 b(for)g Ff(F)2184 1732 y Fl(0)2256 1720 y Fm(with)h Fi(n)2503 1732 y Fl(1)2575 1720 y Fm(and)f Fi(n)2794 1732 y Fl(2)2866 1720 y Fm(\014xed)g(m)n(ust)h(satisfy)e(the) i(Euler)0 1837 y(Lagrange)25 b(equations)1399 1981 y Fd(e)1382 2002 y Fi(C)1441 2014 y Fl(1)1502 2002 y Fm(=)1607 1946 y Fi(@)5 b(F)p 1599 1983 V 1599 2059 a(@)10 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1691 2071 y Fl(1)1738 2002 y Fm(\()5 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1813 2014 y Fl(1)1851 2002 y Fi(;)19 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1931 2014 y Fl(2)1968 2002 y Fm(\))18 b(+)g Fi(\013)6 b Fd(e)-52 b Fi(\032)2197 2014 y Fl(2)2254 2002 y Ff(\000)18 b Fi(\033)8 b Fd(e)-51 b Fi(\032)2430 2014 y Fl(1)2467 2002 y Fi(;)1399 2226 y Fd(e)1382 2247 y Fi(C)1441 2259 y Fl(2)1502 2247 y Fm(=)1607 2191 y Fi(@)5 b(F)p 1599 2228 V 1599 2304 a(@)10 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1691 2316 y Fl(2)1738 2247 y Fm(\()5 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1813 2259 y Fl(1)1851 2247 y Fi(;)19 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1931 2259 y Fl(2)1968 2247 y Fm(\))18 b(+)g Fi(\013)6 b Fd(e)-52 b Fi(\032)2197 2259 y Fl(1)2254 2247 y Ff(\000)18 b Fi(\033)8 b Fd(e)-51 b Fi(\032)2430 2259 y Fl(2)2495 2247 y Fi(:)3729 2125 y Fm(\(3)p Fi(:)p Fm(9\))100 2478 y(Giv)n(en)27 b(a)g(minimizing)h(pair)f(\()p Fi(\032)1084 2490 y Fl(1)1122 2478 y Fi(;)14 b(\032)1202 2490 y Fl(2)1239 2478 y Fm(\))28 b(for)f Ff(F)8 b Fm(,)27 b(de\014ne)h(functions)g Fi(C)2201 2490 y Fl(1)2239 2478 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))g(and)g Fi(C)2599 2490 y Fl(2)2636 2478 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))h(through)1315 2748 y Fi(C)1374 2760 y Fl(1)1411 2748 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))24 b(:=)1675 2692 y Fi(@)5 b(F)p 1667 2729 V 1667 2805 a(@)g(\032)1759 2817 y Fl(1)1806 2748 y Fm(\()p Fi(\032)1881 2760 y Fl(1)1918 2748 y Fi(;)14 b(\032)1998 2760 y Fl(2)2035 2748 y Fm(\))19 b(+)f Fi(\013\032)2265 2760 y Fl(2)2321 2748 y Ff(\000)g Fi(\033)s(\032)2497 2760 y Fl(1)2535 2748 y Fi(;)1315 2993 y(C)1374 3005 y Fl(2)1411 2993 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))24 b(:=)1675 2937 y Fi(@)5 b(F)p 1667 2974 V 1667 3050 a(@)g(\032)1759 3062 y Fl(2)1806 2993 y Fm(\()p Fi(\032)1881 3005 y Fl(1)1918 2993 y Fi(;)14 b(\032)1998 3005 y Fl(2)2035 2993 y Fm(\))19 b(+)f Fi(\013\032)2265 3005 y Fl(1)2321 2993 y Ff(\000)g Fi(\033)s(\032)2497 3005 y Fl(2)2562 2993 y Fi(:)3688 2871 y Fm(\(3)p Fi(:)p Fm(10\))0 3260 y(It)28 b(follo)n(ws)f(from)g(the)h(de\014nitions)g (that)f(on)h Fi(G)1464 3272 y Fh(\017)1095 3478 y Ff(j)p Fi(C)1177 3490 y Fl(1)1214 3478 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))20 b Ff(\000)e Fi(C)1487 3490 y Fl(1)1524 3478 y Ff(j)23 b(\024)g Fi(\017)166 b Fm(and)g Ff(j)p Fi(C)2240 3490 y Fl(2)2277 3478 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))20 b Ff(\000)e Fi(C)2550 3490 y Fl(2)2587 3478 y Ff(j)23 b(\024)g Fi(\017)k(:)883 b Fm(\(3)p Fi(:)p Fm(11\))0 3696 y(Therefore,)32 b(on)g(the)g(set)g Fi(G)871 3708 y Fh(\017)903 3696 y Fm(,)i(\()p Fi(\032)1035 3708 y Fl(1)1072 3696 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p Fi(;)14 b(\032)1263 3708 y Fl(2)1301 3696 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)\))33 b(is)f(a)g(solution)g(of)g(\(3.10\))f(with)h Fi(C)2553 3708 y Fl(1)2591 3696 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))h(and)f Fi(C)2960 3708 y Fl(2)2997 3696 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))i(v)n(ery)c (close)i(to)g Fi(C)3697 3708 y Fl(1)3766 3696 y Fm(and)0 3813 y Fi(C)59 3825 y Fl(2)97 3813 y Fm(.)37 b(W)-7 b(e)28 b(wish)f(to)h(conclude)f(that)h(on)f Fi(G)1292 3825 y Fh(\017)1324 3813 y Fm(,)h(the)g(v)-5 b(alues)27 b(of)h(\()p Fi(\032)1935 3825 y Fl(1)1972 3813 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p Fi(;)14 b(\032)2163 3825 y Fl(2)2201 3813 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)\))29 b(are)e(essen)n(tially)f(those)i(of)f(a)g(minimizer)h(of)g Fi(F)3826 3825 y Fl(0)3863 3813 y Fm(.)100 3931 y(T)-7 b(o)n(w)n(ard)19 b(this)i(end,)h(w)n(e)f(mak)n(e)f(a)h(\\stabilit)n(y") e(assumption)i(on)f(the)i(Euler)e(Lagrange)e(equations)i(describing)g (minimizers)0 4047 y(of)30 b Ff(F)38 b Fm(under)30 b(the)g(constrain)n (t)f(for)g(\014xed)h Fi(n)1353 4059 y Fl(1)1420 4047 y Fm(and)g Fi(n)1634 4059 y Fl(2)1671 4047 y Fm(.)44 b(This)30 b(condition)g(is)g(easy)f(to)h(v)n(erify)f(for)g(man)n(y)h (particular)e(c)n(hoices)0 4163 y(of)g Fi(F)12 b Fm(,)27 b(as)g(w)n(e)g(shall)h(see.)0 4384 y Fn(De\014nition:)37 b(\(Amenable)23 b(F)-8 b(ree)24 b(Energy)g(F)-8 b(unction\))21 b Fm(W)-7 b(e)21 b(sa)n(y)f(that)h(the)g(free)f(energy)g(function)h Fi(F)12 b Fm(\()p Fi(\032)3356 4396 y Fl(1)3394 4384 y Fi(;)i(\032)3474 4396 y Fl(2)3511 4384 y Fm(\))5 b(+)g Fi(\013\032)3714 4396 y Fl(1)3751 4384 y Fi(\032)3794 4396 y Fl(2)3835 4384 y Ff(\000)0 4500 y Fm(\()p Fi(\032)75 4470 y Fl(2)75 4521 y(1)128 4500 y Fm(+)16 b Fi(\032)252 4470 y Fl(2)252 4521 y(2)289 4500 y Fm(\))26 b(is)g Fj(amenable)i Fm(when)e(for)g(an)n(y)g(giv)n(en)f(constan)n(ts)g Fi(C)1928 4512 y Fl(1)1992 4500 y Fm(and)h Fi(C)2211 4512 y Fl(2)2249 4500 y Fm(,)h(there)f(are)f(at)h(most)g(a)g(\014nite)h(n)n(um)n(b)r(er) f Fi(N)35 b Fm(of)26 b(pairs)0 4616 y(of)i(n)n(um)n(b)r(ers)1473 4735 y(\()p Fi(\032)1548 4692 y Fl(\()p Fh(i)p Fl(\))1548 4757 y(1)1628 4735 y Fi(;)14 b(\032)1708 4692 y Fl(\()p Fh(i)p Fl(\))1708 4757 y(2)1787 4735 y Fm(\))167 b Fi(i)22 b Fm(=)h(1)p Fi(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(N)1270 b Fm(\(3)p Fi(:)p Fm(12\))0 4912 y(so)26 b(that)i(for)e(an)n(y)h(giv)n(en)f Fi(\017)d(>)g Fm(0,)j(there)h(is)g(a)g Fi(\016)f(>)d Fm(0)k(dep)r(ending)g(only)g(on)g Fi(\017)p Fm(,)g Fi(C)2438 4924 y Fl(1)2503 4912 y Fm(and)f Fi(C)2722 4924 y Fl(2)2787 4912 y Fm(suc)n(h)h(that)g(the)h(follo)n(wing)e(is)h(true:)100 5030 y(Whenev)n(er)g(an)n(y)f(pair)h(of)h(n)n(um)n(b)r(ers)f(\()5 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1322 5042 y Fl(1)1359 5030 y Fi(;)20 b Fd(e)-52 b Fi(\032)1439 5042 y Fl(2)1476 5030 y Fm(\))28 b(satis\014es)624 5244 y Fi(@)5 b(F)p 617 5281 V 617 5357 a(@)g(\032)709 5369 y Fl(1)756 5300 y Fm(\()g Fd(e)-51 b Fi(\032)831 5312 y Fl(1)868 5300 y Fi(;)19 b Fd(e)-51 b Fi(\032)948 5312 y Fl(2)985 5300 y Fm(\))19 b(+)f Fi(\013)6 b Fd(e)-52 b Fi(\032)1215 5312 y Fl(2)1271 5300 y Ff(\000)18 b Fi(\033)8 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1447 5312 y Fl(1)1507 5300 y Fm(=)1612 5279 y Fd(e)1595 5300 y Fi(C)1654 5312 y Fl(1)1858 5300 y Fm(and)2175 5244 y Fi(@)5 b(F)p 2168 5281 V 2168 5357 a(@)g(\032)2260 5369 y Fl(2)2306 5300 y Fm(\()g Fd(e)-51 b Fi(\032)2381 5312 y Fl(1)2419 5300 y Fi(;)19 b Fd(e)-51 b Fi(\032)2499 5312 y Fl(2)2536 5300 y Fm(\))19 b(+)f Fi(\013)6 b Fd(e)-52 b Fi(\032)2766 5312 y Fl(1)2822 5300 y Ff(\000)18 b Fi(\033)8 b Fd(e)-51 b Fi(\032)2998 5312 y Fl(2)3058 5300 y Fm(=)3162 5279 y Fd(e)3146 5300 y Fi(C)3205 5312 y Fl(2)3270 5300 y Fi(:)395 b Fm(\(3)p Fi(:)p Fm(13\))1929 5539 y(9)p eop end %%Page: 10 10 TeXDict begin 10 9 bop 0 83 a Fm(for)27 b(some)352 62 y Fd(e)335 83 y Fi(C)394 95 y Fl(1)459 83 y Fm(and)637 62 y Fd(e)621 83 y Fi(C)680 95 y Fl(2)745 83 y Fm(with)h Ff(j)974 62 y Fd(e)957 83 y Fi(C)1016 95 y Fl(1)1072 83 y Ff(\000)18 b Fi(C)1214 95 y Fl(1)1252 83 y Ff(j)g Fm(+)g Ff(j)1416 62 y Fd(e)1399 83 y Fi(C)1458 95 y Fl(2)1514 83 y Ff(\000)g Fi(C)1656 95 y Fl(2)1694 83 y Ff(j)23 b Fi(<)g(\016)s Fm(,)28 b(it)g(follo)n(ws)e(that)1013 301 y Ff(j)5 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1079 313 y Fl(1)1134 301 y Ff(\000)18 b Fi(\032)1260 258 y Fl(\()p Fh(i)p Fl(\))1260 323 y(1)1340 301 y Ff(j)g Fm(+)g Ff(j)5 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1530 313 y Fl(2)1586 301 y Ff(\000)18 b Fi(\032)1712 258 y Fl(\()p Fh(i)p Fl(\))1712 323 y(2)1792 301 y Ff(j)23 b Fi(<)f(\017;)97 b Fm(for)27 b(some)82 b(1)23 b Ff(\024)g Fi(i)f Ff(\024)h Fi(N)36 b(:)801 b Fm(\(3)p Fi(:)p Fm(14\))100 623 y(Chec)n(king)30 b(this)h(in)g (practice)f(amoun)n(ts)g(to)g(c)n(hec)n(king)g(that)h(there)f(is)h(con) n(tin)n(uous)f(dep)r(endence)h(of)g(solutions)f(to)g(\(3.9\))0 739 y(from)23 b(\()p Fi(C)283 751 y Fl(1)321 739 y Fi(;)14 b(C)417 751 y Fl(2)455 739 y Fm(\).)36 b(Just)23 b(to)h(concrete,)g (consider)e(the)i(simple)g(case)f(in)h(whic)n(h)g Fi(F)12 b Fm(\()p Fi(\032)2521 751 y Fl(1)2558 739 y Fi(;)i(\032)2638 751 y Fl(2)2675 739 y Fm(\))24 b(=)e(\()p Fi(\032)2893 751 y Fl(1)2945 739 y Fm(log)14 b Fi(\032)3109 751 y Fl(1)3157 739 y Fm(+)d Fi(\032)3276 751 y Fl(2)3326 739 y Fm(log)j Fi(\032)3490 751 y Fl(2)3527 739 y Fm(\))p Fi(=\014)t Fm(.)36 b(Then)0 856 y(\(3.9\))27 b(are)1015 974 y(log)14 b Fi(\032)1179 986 y Fl(1)1235 974 y Fm(+)k Fi(\014)t(\013\032)1465 986 y Fl(2)1526 974 y Fm(=)23 b Fi(C)1673 986 y Fl(1)1876 974 y Fm(and)180 b(log)14 b Fi(\032)2354 986 y Fl(2)2410 974 y Fm(+)k Fi(\014)t(\013\032)2640 986 y Fl(1)2701 974 y Fm(=)k Fi(C)2847 986 y Fl(2)3688 974 y Fm(\(3)p Fi(:)p Fm(15\))0 1151 y(Then)28 b(with)1155 1269 y Fi(h)1203 1281 y Fh(C)1251 1289 y Fb(1)1283 1281 y Fh(;C)1351 1289 y Fb(2)1387 1269 y Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\))c(=)e Fi(e)1644 1235 y Fh(C)1692 1243 y Fb(1)1742 1269 y Fm(exp\()p Ff(\000)p Fi(\014)t(\013e)2109 1235 y Fh(C)2157 1243 y Fb(2)2193 1269 y Fm(\(exp\()p Ff(\000)p Fi(\014)t(\013\032)p Fm(\)\)\))30 b Fi(;)0 1446 y(\032)43 1458 y Fl(1)108 1446 y Fm(and)d Fi(\032)312 1458 y Fl(2)377 1446 y Fm(satisfy)g(the)h(\014xed)g(p)r(oin)n(t)g(equations)1224 1664 y Fi(\032)23 b Fm(=)g Fi(h)1426 1676 y Fh(C)1474 1684 y Fb(1)1506 1676 y Fh(;C)1574 1684 y Fb(2)1610 1664 y Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\))166 b(and)g Fi(\032)23 b Fm(=)g Fi(h)2385 1676 y Fh(C)2433 1684 y Fb(2)2464 1676 y Fh(;C)2532 1684 y Fb(1)2568 1664 y Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\))0 1882 y(resp)r(ectiv)n(ely)-7 b(.)51 b(F)-7 b(or)31 b(eac)n(h)h Fi(C)897 1894 y Fl(1)967 1882 y Fm(and)g Fi(C)1192 1894 y Fl(2)1263 1882 y Fm(there)g(is)g(a)g(n)n(um)n(b)r(er)g Fi(R)h Fm(dep)r(ending)g(only)f(on)g Fi(C)2815 1894 y Fl(1)2886 1882 y Fm(and)g Fi(C)3111 1894 y Fl(2)3181 1882 y Fm(so)g(that)g Fi(h)3520 1894 y Fh(C)3568 1902 y Fb(1)3600 1894 y Fh(;C)3668 1902 y Fb(2)3704 1882 y Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\))h(is)0 1998 y(con)n(v)n(ex)21 b(for)i Fi(\032)g(<)f(R)q Fm(,)i(and)f(conca)n(v)n(e)e(for)h Fi(\032)h(>)g(R)q Fm(.)35 b(One)22 b(sees)g(that)h(there)g(are)f(alw)n (a)n(ys)f(one,)i(t)n(w)n(o)f(or)g(three)h(solutions)f(to)h(\(3.15\))0 2114 y(in)29 b(this)g(case.)39 b(As)29 b Fi(C)655 2126 y Fl(1)721 2114 y Fm(and)g Fi(C)943 2126 y Fl(2)1009 2114 y Fm(v)-5 b(ary)28 b(in)h(small)f(in)n(terv)-5 b(als,)29 b(there)f(are)g(at)g(most)h(three)f(small)h(pairs)f(in)n(terv)-5 b(als)27 b(required)h(to)0 2230 y(hold)f(all)h(of)f(the)h(solutions.)36 b(This)28 b(is)g(the)g(situation)f(describ)r(ed)g(in)h(general)e(b)n(y) i(the)g(de\014nition.)100 2348 y(W)-7 b(e)25 b(will)g(giv)n(e)f (further)g(ph)n(ysical)g(examples)g(in)h(the)g(next)g(section,)g(and)g (here)f(w)n(e)h(fo)r(cus)f(on)h(the)g(general)e(consequences)0 2464 y(of)28 b(amenabilit)n(y)-7 b(.)100 2582 y(The)21 b(main)h(consequence)e(is)i(that)g(on)f(the)h(\\go)r(o)r(d)f(set")g Fi(G)1895 2594 y Fh(\017)1927 2582 y Fm(,)i(an)n(y)e(minimizers)g Fi(\032)2581 2594 y Fl(1)2640 2582 y Fm(and)g Fi(\032)2838 2594 y Fl(2)2897 2582 y Fm(of)h Ff(F)29 b Fm(are)21 b(essen)n(tially)g (discrete,)0 2698 y(taking)30 b(their)g(v)-5 b(alues)30 b(in)h(the)g(union)f(of)g(a)g(\014nite)h(n)n(um)n(b)r(er)g(of)f(short)g (in)n(terv)-5 b(als.)44 b(W)-7 b(e)31 b(no)n(w)f(iden)n(tify)g(these)h (in)n(terv)-5 b(als,)30 b(and)0 2815 y(relate)d(the)h(minimization)g (of)f Ff(F)36 b Fm(and)27 b Ff(F)1288 2827 y Fl(0)1325 2815 y Fm(.)0 3035 y Fn(Theorem)38 b(3.2)32 b Fj(Supp)l(ose)j(that)g (the)f(fr)l(e)l(e)i(ener)l(gy)f(function)f(is)h(amenable.)55 b(F)-6 b(or)35 b(any)g(\014xe)l(d)g Fm(\()p Fi(n)3078 3047 y Fl(1)3115 3035 y Fi(;)14 b(n)3202 3047 y Fl(2)3239 3035 y Fm(\))p Fj(,)37 b(let)d Fm(\()p Fi(\032)3529 3047 y Fl(1)3567 3035 y Fi(;)14 b(\032)3647 3047 y Fl(2)3684 3035 y Fm(\))35 b Fj(b)l(e)g(a)0 3151 y(minimizer)c(for)f Ff(F)38 b Fj(in)30 b Ff(D)r Fm(\()p Fi(n)876 3163 y Fl(1)913 3151 y Fi(;)14 b(n)1000 3163 y Fl(2)1037 3151 y Fm(\))p Fj(.)39 b(Then)31 b(ther)l(e)f(is)g(a)g(\014nite)f(set)h(of)g(p)l(airs) h(of)g(numb)l(ers)1471 3369 y Fm(\()p Fi(\032)1546 3326 y Fl(\()p Fh(i)p Fl(\))1546 3391 y(1)1626 3369 y Fi(;)14 b(\032)1706 3326 y Fl(\()p Fh(i)p Fl(\))1706 3391 y(2)1786 3369 y Fm(\))170 b Fi(i)22 b Fm(=)h(1)p Fi(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(N) 1268 b Fm(\(3)p Fi(:)p Fm(16\))0 3587 y Fj(such)30 b(that)g(for)g(al)t (l)h Fi(\017)23 b(>)f Fm(0)p Fj(,)30 b(and)g(al)t(l)h Fi(L)e Fj(su\016ciently)h(lar)l(ge,)h(ther)l(e)f(is)g(a)g(set)g Fi(G)23 b Ff(\032)g Fm(\003)29 b Fj(such)h(that)1676 3801 y Ff(j)p Fi(G)p Ff(j)p 1676 3838 112 4 v 1680 3914 a(j)p Fm(\003)p Ff(j)1820 3857 y Fi(<)23 b(C)6 b Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)2077 3823 y Fg(\000)p Fl(1)p Fh(=d)0 4127 y Fj(such)30 b(that)g(for)g(al)t(l)h Fi(x)f Fj(in)g Fi(G)854 4139 y Fh(\017)886 4127 y Fj(,)1365 4246 y Ff(j)p Fi(\032)1431 4258 y Fl(1)1468 4246 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))20 b Ff(\000)e Fi(\032)1725 4203 y Fl(\()p Fh(i)p Fl(\))1725 4268 y(1)1804 4246 y Ff(j)h Fm(+)f Ff(j)p Fi(\032)1995 4258 y Fl(2)2032 4246 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))h Ff(\000)f Fi(\032)2288 4203 y Fl(\()p Fh(i)p Fl(\))2288 4268 y(2)2368 4246 y Ff(j)23 b Fi(<)f(\017)1153 b Fm(\(3)p Fi(:)p Fm(17\))0 4422 y Fj(for)29 b(some)g Fm(1)23 b Ff(\024)f Fi(i)h Ff(\024)g Fi(N)9 b Fj(.)38 b(Mor)l(e)l(over,)30 b(ther)l(e)f(is)g(a)g (p)l(air)g Fm(\()5 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1771 4434 y Fl(1)1809 4422 y Fi(;)19 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1889 4434 y Fl(2)1926 4422 y Fm(\))28 b Fj(satisfying)i Ff(j)5 b Fd(e)-51 b Fi(\032)2420 4434 y Fl(1)2473 4422 y Ff(\000)16 b Fi(\032)2597 4379 y Fl(\()p Fh(i)p Fl(\))2597 4444 y(1)2676 4422 y Ff(j)g Fm(+)f Ff(j)5 b Fd(e)-51 b Fi(\032)2861 4434 y Fl(2)2914 4422 y Ff(\000)15 b Fi(\032)3037 4379 y Fl(\()p Fh(i)p Fl(\))3037 4444 y(2)3117 4422 y Ff(j)23 b Fi(<)g(\017)28 b Fj(that)g(satis\014es)h(the)0 4539 y(Euler{L)l(agr)l(ange)g(e)l (quation)e(\(3.9\))i(for)f(a)g(minimizer)g(of)g Ff(F)1872 4551 y Fl(0)1936 4539 y Fj(in)g Ff(D)r Fm(\()r Fd(e)-48 b Fi(n)2184 4551 y Fl(1)2221 4539 y Fi(;)16 b Fd(e)-48 b Fi(n)2308 4551 y Fl(2)2345 4539 y Fm(\))28 b Fj(for)g(some)i Fd(e)-48 b Fi(n)2795 4551 y Fl(1)2859 4539 y Fj(and)30 b Fd(e)-48 b Fi(n)3068 4551 y Fl(2)3132 4539 y Fj(with)28 b Ff(j)r Fd(e)-48 b Fi(n)3383 4551 y Fl(1)3433 4539 y Ff(\000)13 b Fi(n)3561 4551 y Fl(1)3598 4539 y Ff(j)g Fm(+)g Ff(j)r Fd(e)-48 b Fi(n)3785 4551 y Fl(2)3835 4539 y Ff(\000)0 4655 y Fi(n)50 4667 y Fl(2)87 4655 y Ff(j)23 b Fi(<)g(\017)p Fj(.)0 4875 y Fn(Pro)s(of:)41 b Fm(F)-7 b(or)30 b(some)f Fi(\024)h Fm(to)g(b)r(e)h(determined)f(later,)g(let)g Fi(G)e Fm(=)e Fi(G)1987 4887 y Fh(\024)2031 4875 y Fm(.)44 b(Then,)31 b(as)e(a)h(consequence)f(of)h(Lemma)g(3.1,)g Fi(\032)3587 4887 y Fl(1)3624 4875 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))h(and)0 4991 y Fi(\032)43 5003 y Fl(2)80 4991 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))k(satisfy)e(\(3.10\))g(for)g Fi(C)929 5003 y Fl(1)967 4991 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))i(and)e Fi(C)1339 5003 y Fl(2)1377 4991 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))i(nearly)e(constan)n(t)g(on)g Fi(G)p Fm(.)56 b(Let)33 b Fi(C)2600 5003 y Fl(1)2672 4991 y Fm(and)g Fi(C)2898 5003 y Fl(2)2970 4991 y Fm(b)r(e)h(the)g (resp)r(ectiv)n(e)f(a)n(v)n(erage)0 5108 y(v)-5 b(alues)32 b(of)g Fi(C)410 5120 y Fl(1)448 5108 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))h(and)g Fi(C)818 5120 y Fl(2)855 5108 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))h(on)e(\003.)51 b(It)33 b(follo)n(ws)e(that)i(on)f Fi(G)p Fm(,)i Fi(\032)2094 5120 y Fl(1)2163 5108 y Fm(and)f Fi(\032)2373 5120 y Fl(2)2442 5108 y Fm(ha)n(v)n(e)f(v)-5 b(alues)32 b(lying)g(\014nite)h(n)n(um)n(b)r(er)f(of)g(pairs)0 5224 y(of)d(in)n(terv)-5 b(als.)41 b(As)29 b Fi(\024)g Fm(is)g(decreased,)f(so)h(is)g(the)g(width)h(of)f(these)h(in)n(terv)-5 b(als.)40 b(Eac)n(h)28 b(pair)h(of)g(v)-5 b(alues)29 b(in)g(these)g(in)n(terv)-5 b(als)28 b(is)h(a)0 5340 y(solution)24 b(of)g(the)h(Euler{Lagrange)c(equations)i(\(3.9\))h(for)g (some)g(v)-5 b(alues)24 b(of)2381 5319 y Fd(e)2364 5340 y Fi(C)2423 5352 y Fl(1)2485 5340 y Fm(and)2660 5319 y Fd(e)2644 5340 y Fi(C)2703 5352 y Fl(2)2765 5340 y Fm(close)f(to)h Fi(C)3117 5352 y Fl(1)3180 5340 y Fm(and)g Fi(C)3397 5352 y Fl(2)3459 5340 y Fm(resp)r(ectiv)n(ely)-7 b(.)1908 5539 y(10)p eop end %%Page: 11 11 TeXDict begin 11 10 bop 0 83 a Fm(By)26 b(decreasing)f Fi(\024)p Fm(,)h(w)n(e)g(can)g(ensure)g(that)h Ff(j)1375 62 y Fd(e)1359 83 y Fi(C)1418 95 y Fl(1)1471 83 y Ff(\000)16 b Fi(C)1611 95 y Fl(1)1648 83 y Ff(j)g Fm(+)g Ff(j)1807 62 y Fd(e)1791 83 y Fi(C)1850 95 y Fl(2)1903 83 y Ff(\000)g Fi(C)2043 95 y Fl(2)2080 83 y Ff(j)23 b Fi(<)g(\016)s Fm(,)k(where)f Fi(\016)j Fm(is)d(related)g(to)g Fi(\017)g Fm(as)g(in)h(the)f(de\014nition)h(of)0 199 y(amenabilit)n(y)-7 b(.)p 514 199 59 59 v 100 404 a(W)g(e)30 b(remark)f(that)i(in)g(sp)r (eci\014c)g(cases,)f(it)h(is)f(p)r(ossible)g(to)g(carry)f(the)i (analysis)e(further,)i(and)g(to)f(sho)n(w)f(that)i(the)g(pairs)0 520 y(of)26 b(v)-5 b(alues)26 b(\()5 b Fd(e)-51 b Fi(\032)414 532 y Fl(1)451 520 y Fi(;)20 b Fd(e)-52 b Fi(\032)531 532 y Fl(2)569 520 y Fm(\))26 b(corresp)r(ond)f(to)h(v)-5 b(alues)26 b(of)g(minimizers)g(for)g Ff(F)2093 532 y Fl(0)2129 520 y Fm(,)h(and)f(not)g(simply)h(solutions)e(of)h(the)h (Euler{Lagrange)0 637 y(equation.)36 b(A)n(t)28 b(this)g(lev)n(el)f(of) h(generalit)n(y)-7 b(,)26 b(that)i(is)f(not)h(p)r(ossible.)100 754 y(In)k(this)h(section)f(w)n(e)g(ha)n(v)n(e)f(only)h(considered)f (the)i(constrained)e(problem)h(b)r(ecause)g(in)h(the)g(unconstrained)e (case)h(the)0 870 y(situation)25 b(is)g(m)n(uc)n(h)h(simpler.)35 b(In)26 b(the)g(unconstrained)e(case)h(surface)f(tension)h(w)n(ould)g (discourage)e(partitioning)i(\003)g(among)0 986 y(di\013eren)n(t)j (minimizing)g(phases.)0 1278 y Fk(4.)50 b(Lo)s(cal)38 b(In)m(teractions.)100 1483 y Fm(In)33 b(this)h(section)e(w)n(e)h (consider)f(the)i(case)e(in)i(whic)n(h)f Fi(V)19 b Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))33 b(=)f Fi(\013\016)s Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))j(and)e Fi(U)9 b Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))33 b(=)f Fi(\033)s(\016)s Fm(\()p Fi(x)p Fm(\).)56 b(This)33 b(will)g(enable)g(us)g(to)0 1599 y(obtain)21 b(a)g(v)n(ery)f(complete)h(picture)h(of)f(the)g (minimizers)h(when)f Fi(\033)k Fm(is)c(su\016cien)n(tly)g(small)g(and)g (a)g(rather)f(clear)h(understanding)0 1715 y(for)27 b(arbitrary)f Fi(\033)s Fm(,)i(as)f(w)n(e)g(sho)n(w)g(in)g(the)h(next)g(section.)37 b(Note)27 b(that)h(this)g(corresp)r(onds)e(exactly)h(to)g(replacing)g Ff(F)35 b Fm(b)n(y)28 b Ff(F)3760 1727 y Fl(0)3797 1715 y Fm(.)100 1832 y(W)-7 b(e)36 b(b)r(egin)g(our)f(analysis)g(b)n(y)h(lo) r(oking)f(for)g(the)i(unconstrained)e(spatially)g(homogeneous)g (minimizers)h(of)g Ff(F)3666 1844 y Fl(0)3739 1832 y Fm(with)0 1948 y(additional)d(c)n(hemical)f(p)r(oten)n(tials)h Fi(\026)1181 1960 y Fl(1)1252 1948 y Fm(and)g Fi(\026)1469 1960 y Fl(2)1539 1948 y Fm(\()p Fj(gr)l(and-c)l(anonic)l(al)k(ensemble) p Fm(\))d(whic)n(h)f(will)g(pla)n(y)g(the)g(role)f(of)i(Lagrange)0 2065 y(m)n(ultipliers)c(later)f(on.)43 b(Therefore,)30 b(\014xing)f Fi(\026)1449 2077 y Fl(1)1516 2065 y Fm(and)h Fi(\026)1730 2077 y Fl(2)1767 2065 y Fm(,)h(w)n(e)f(lo)r(ok)f(at)g(the) i(minimizers)e(of)h(grand)f(canonical)g(free)g(energy)0 2181 y(densit)n(y)e(on)h Fi(I)-14 b(R)488 2193 y Fl(+)561 2181 y Ff(\002)18 b Fi(I)-14 b(R)730 2193 y Fl(+)813 2181 y Fm(giv)n(en)27 b(b)n(y)820 2370 y Fi(f)861 2382 y Fh(\026)901 2390 y Fb(1)933 2382 y Fh(;\026)993 2390 y Fb(2)1030 2370 y Fm(\()p Fi(\032)1105 2382 y Fl(1)1142 2370 y Fi(;)14 b(\032)1222 2382 y Fl(2)1259 2370 y Fm(\))24 b(=)e Fi(F)12 b Fm(\()p Fi(\032)1542 2382 y Fl(1)1580 2370 y Fi(;)i(\032)1660 2382 y Fl(2)1697 2370 y Fm(\))k(+)g Fi(\013\032)1926 2382 y Fl(1)1964 2370 y Fi(\032)2007 2382 y Fl(2)2063 2370 y Ff(\000)2156 2314 y Fi(\033)p 2156 2351 51 4 v 2160 2427 a Fm(2)2216 2370 y(\()p Fi(\032)2291 2336 y Fl(2)2291 2391 y(1)2347 2370 y Fm(+)g Fi(\032)2473 2336 y Fl(2)2473 2391 y(2)2510 2370 y Fm(\))h Ff(\000)f Fi(\026)2694 2382 y Fl(1)2731 2370 y Fi(\032)2774 2382 y Fl(1)2830 2370 y Ff(\000)g Fi(\026)2963 2382 y Fl(2)3000 2370 y Fi(\032)3043 2382 y Fl(2)3729 2370 y Fm(\(4)p Fi(:)p Fm(1\))100 2560 y(Since)23 b(this)h(mo)r(del)g(exhibits)g(b)r (oth)g(condensation-ev)-5 b(ap)r(oration)21 b(transition)i(and)h (segregation)d(transition)i(the)h(natural)0 2676 y(v)-5 b(ariables)26 b(are)h(not)h Fi(\032)674 2688 y Fl(1)738 2676 y Fm(and)g Fi(\032)943 2688 y Fl(2)1008 2676 y Fm(but)g Fi(\032)f Fm(and)h Fi(\036)g Fm(where)927 2917 y Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))c(=)f Fi(\032)1236 2929 y Fl(1)1273 2917 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))c(+)f Fi(\032)1529 2929 y Fl(2)1566 2917 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))168 b(and)d Fi(\036)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))25 b(=)2426 2861 y Fi(\032)2469 2873 y Fl(1)2507 2861 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))19 b Ff(\000)f Fi(\032)2763 2873 y Fl(2)2800 2861 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p 2426 2898 486 4 v 2592 2974 a Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))2950 2917 y Fi(:)756 b Fm(\(4)p Fi(:)p Fm(2\))0 3163 y(Then)28 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Fm(can)g(tak)n(e)g(on)g(at)h(most)f(four)g(v)-5 b(alues.)36 b(The)24 b(region)g(\003)g(is)g(decomp)r(osed)g(in)n(to)h (at)f(most)g(four)h(subregions)0 4434 y(in)39 b(whic)n(h)g(b)r(oth)g Fi(\032)607 4446 y Fl(1)684 4434 y Fm(and)f Fi(\032)899 4446 y Fl(2)976 4434 y Fm(are)g(constan)n(t.)70 b(The)39 b(four)f(p)r(ossible)h(v)-5 b(alues)38 b(of)h(the)h(densities)f(result) f(from)h(a)f(p)r(ossible)0 4550 y(condensation-ev)-5 b(ap)r(oration)25 b(transition,)i(together)g(with)h(a)f(p)r(ossible)g (segregation)e(transition.)100 4667 y(Let)j Fd(e)-47 b Fi(g)288 4679 y Fh(\026;h)419 4667 y Fm(b)r(e)28 b(the)g Fj(c)l(onvex)h(minor)l(ant)f Fm(of)g Fi(g)1435 4679 y Fh(\026;h)1537 4667 y Fm(.)37 b(That)28 b(is,)1132 4856 y Fd(e)-47 b Fi(g)1171 4868 y Fh(\026;h)1274 4856 y Fm(\()p Fi(\032;)14 b(\036)p Fm(\))24 b(=)e(sup)1582 4926 y Fh(`)p Fg(2L)1703 4856 y Ff(f)p Fi(`)p Fm(\()p Fi(\032;)14 b(\036)p Fm(\))28 b Ff(j)g Fi(`)p Fm(\()p Fi(\032;)14 b(\036)p Fm(\))23 b Ff(\024)g Fi(g)2431 4868 y 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Fd(e)-47 b Fi(g)2904 1907 y Fh(\026;h)3035 1895 y Fm(on)n(to)27 b(the)h Fi(\032;)14 b(z)30 b Fm(plane.)100 2013 y(It)e(is)f(clear)g (that)1126 2074 y(1)p 1095 2111 V 1095 2187 a Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)1223 2017 y Fd(Z)1269 2206 y Fl(\003)1333 2130 y Fd(e)-47 b Fi(g)1372 2142 y Fh(\026;h)1475 2130 y Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p Fi(;)14 b(\036)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)\)d)p Fi(x)27 b Ff(\025)2138 2074 y Fm(1)p 2107 2111 V 2107 2187 a Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)2235 2017 y Fd(Z)2281 2206 y Fl(\003)2359 2108 y Fd(e)2344 2130 y Fi( )2398 2142 y Fh(\026;h)2502 2130 y Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)\)d)p Fi(x)875 b Fm(\(4)p Fi(:)p Fm(12\))0 2363 y(with)28 b(equalit)n(y)f(if)h(and)g(only)f(if)h (for)f(almost)g(ev)n(ery)f Fi(x)p Fm(,)i Fi(\036)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))i(minimizes)e Fd(e)-47 b Fi(g)2330 2375 y Fh(\026;h)2433 2363 y Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p Fi(;)14 b(\036)p Fm(\))30 b(considered)c(as)h(a)g(function)i (of)e Fi(\036)p Fm(.)100 2481 y(No)n(w)g(let)h Fi(\032)452 2493 y Fl(a)n(v)n(e)577 2481 y Fm(b)r(e)g(giv)n(en)f(b)n(y)1551 2645 y Fi(\032)1594 2657 y Fl(a)n(v)n(e)1715 2645 y Fm(=)1844 2588 y(1)p 1813 2625 V 1813 2701 a Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)1940 2532 y Fd(Z)1986 2720 y Fl(\003)2050 2645 y Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)d)p Fi(x)i(:)1339 b Fm(\(4)p Fi(:)p Fm(13\))0 2873 y(Then)28 b(b)n(y)f(Jensen's)g(inequalit)n(y)-7 b(,)1370 2980 y(1)p 1339 3017 V 1339 3093 a Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)1467 2924 y Fd(Z)1513 3112 y Fl(\003)1591 3015 y Fd(e)1576 3037 y Fi( )1630 3049 y Fh(\026;h)1733 3037 y Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)\)d)p Fi(x)26 b Ff(\025)2172 3015 y Fd(e)2157 3037 y Fi( )2211 3049 y Fh(\026;h)2314 3037 y Fm(\()p Fi(\032)2389 3049 y Fl(a)n(v)n(e)2488 3037 y Fm(\))i Fi(:)1117 b Fm(\(4)p Fi(:)p Fm(14\))0 3289 y(It)35 b(is)g(w)n(ell)f(kno)n(wn)g(that)h(if)918 3267 y Fd(e)903 3289 y Fi( )957 3301 y Fh(\014)s(;\026;h)1155 3289 y Fm(is)g(strictly)f(con)n(v)n(ex,)h(then)h(there)e(is)h(equalit)n (y)f(if)h(and)f(only)h(if)g Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))h(=)e Fi(\032)3527 3301 y Fl(a)n(v)n(e)3660 3289 y Fm(almost)0 3405 y(ev)n(erywhere.)59 b(Ho)n(w)n(ev)n(er,)36 b(ev)n(en)f(if)1152 3383 y Fd(e)1137 3405 y Fi( )1191 3417 y Fh(\026;h)1330 3405 y Fm(is)g(not)h(strictly)f(con)n(v)n(ex,)i (the)f(pro)r(of)f(of)g(Jensen's)g(inequalit)n(y)g(has)g(imp)r(ortan)n (t)0 3521 y(consequences)26 b(for)h(our)g(problem.)100 3639 y(T)-7 b(o)21 b(explain)g(these,)i(w)n(e)e(\014rst)g(recall)g (that)g(if)h Fi( )j Fm(is)c(an)n(y)g(con)n(v)n(ex)f(function)i(on)f (the)h(p)r(ositiv)n(e)f(axis,)h(then)g(an)f(a\016ne)h(function)0 3755 y Fi(`)p Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\))h(=)g Fi(a\032)16 b Fm(+)h Fi(b)26 b Fm(is)h(a)f Fj(supp)l(orting)k(line)d Fm(for)g Fi( )j Fm(in)d(case)e Fi( )s Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\))f Ff(\025)f Fi(`)p Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\))k(for)f(all)g Fi(\032)p Fm(,)i(and)e(if)h Fi( )s Fm(\()p Fi(\032)2840 3767 y Fl(0)2878 3755 y Fm(\))c(=)g Fi(`)p Fm(\()p Fi(\032)3131 3767 y Fl(0)3168 3755 y Fm(\))k(for)f(some)h Fi(\032)3604 3767 y Fl(0)3641 3755 y Fm(.)36 b(If)28 b Fi(`)e Fm(is)0 3871 y(an)n(y)h(supp)r(orting)g(line)h(for)f Fi( )s Fm(,)h(then)g(the)g (set)1602 3989 y Ff(f)p Fi(\032)50 b Fm(:)h Fi(`)p Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\))23 b(=)g Fi( )s Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\))28 b Ff(g)1390 b Fm(\(4)p Fi(:)p Fm(15\))0 4165 y(is)36 b(a)g(closed)g(in)n(terv)-5 b(al.)62 b(Suc)n(h)36 b(an)g(in)n(terv)-5 b(al)36 b(is)g(called)g(a)g Fj(supp)l(ort)i(interval)f Fm(of)f Fi( )s Fm(.)64 b(The)36 b(follo)n(wing)f(is)h(simply)h (Jensen's)0 4281 y(inequalit)n(y)-7 b(,)37 b(with)f(the)g(only)f(no)n (v)n(el)g(feature)g(b)r(eing)h(that)g(the)g(statemen)n(t)f(ab)r(out)h (the)g(cases)e(of)i(equalit)n(y)f(that)g(applies)0 4397 y(outside)27 b(the)h(strictly)g(con)n(v)n(ex)e(case.)0 4566 y Fn(Lemma)33 b(4.1)28 b Fj(L)l(et)i Fm(\(\012)p Fi(;)14 b Ff(S)6 b Fi(;)14 b(\027)5 b Fm(\))32 b Fj(b)l(e)e(a)i(pr)l (ob)l(ability)g(me)l(asur)l(e)f(sp)l(ac)l(e,)h Fi( )i Fj(a)d(c)l(onvex)f(function)h(on)g(the)g(p)l(ositive)h(axis,)g(and)f Fi(\032)g Fj(a)0 4682 y(non{ne)l(gative)g(me)l(asur)l(able)f(function.) 39 b(Then)1472 4840 y Fd(Z)1569 4953 y Fi( )s Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\)d)p Fi(\027)29 b Ff(\025)22 b Fi( )2007 4836 y Fd(\022)2068 4840 y(Z)2165 4953 y Fi(\032)p Fm(d)p Fi(\027)2300 4836 y Fd(\023)2405 4953 y Fi(;)1260 b Fm(\(4)p Fi(:)p Fm(16\))0 5224 y Fj(and)30 b(ther)l(e)f(is)g(e)l(quality)h(if)g (and)f(only)h(if,)g(up)f(to)g(a)h(set)f(of)g(me)l(asur)l(e)g(zer)l(o,)h Fi(\032)f Fj(takes)g(it)g(values)h(in)f(a)g(single)h(supp)l(ort)f (interval)0 5340 y(of)i Fi( )s Fj(.)1908 5539 y Fm(12)p eop end %%Page: 13 13 TeXDict begin 13 12 bop 0 83 a Fn(Pro)s(of:)41 b Fm(This)30 b(follo)n(ws)f(from)h(a)f(close)g(examination)g(of)h(the)h(standard)e (pro)r(of)g(of)h(Jensen's)f(inequalit)n(y)-7 b(,)31 b(whic)n(h)f(turns) f(on)0 199 y(the)f(fact)g(that)g(if)g Fi(f)36 b Fm(and)27 b Fi(g)k Fm(are)26 b(t)n(w)n(o)h(measurable)f(functions,)1145 333 y Fd(Z)1242 446 y Fm(max)o Ff(f)p Fi(f)t(;)14 b(g)s Ff(g)p Fm(d)p Fi(\027)27 b Ff(\025)c Fm(max)1975 329 y Fd(\032)2038 333 y(Z)2134 446 y Fi(f)9 b Fm(d)p Fi(\027)33 b(;)2369 333 y Fd(Z)2466 446 y Fi(g)s Fm(d)p Fi(\027)2628 329 y Fd(\033)2732 446 y Fi(;)933 b Fm(\(4)p Fi(:)p Fm(17\))0 698 y(with)28 b(equalit)n(y)f(if)h(and)g(only)f(if)h(either)f Fi(f)32 b Fm(=)23 b(max)o Ff(f)p Fi(f)t(;)14 b(g)s Ff(g)26 b Fm(or)h Fi(g)f Fm(=)c(max)p Ff(f)p Fi(f)t(;)14 b(g)s Ff(g)26 b Fm(almost)h(ev)n(erywhere.)35 b(This)27 b(applied)h(to)1672 892 y Fi( )s Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\))c(=)e(sup)1996 962 y Fh(`)2086 892 y Fi(`)p Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\))1460 b(\(4)p Fi(:)p Fm(18\))0 1139 y(where)34 b(the)h(suprem)n(um)f(is)g (tak)n(en)g(o)n(v)n(er)e(all)i(supp)r(orting)g(lines)g(of)h Fi( )i Fm(yields)d(the)h(inequalit)n(y)-7 b(.)57 b(By)34 b(the)g(ab)r(o)n(v)n(e,)h(there)f(is)0 1255 y(equalit)n(y)c(if)i(and)e (only)h(if)g(for)f(an)n(y)g(t)n(w)n(o)g(supp)r(orting)h(lines)f Fi(`)1927 1267 y Fl(1)1995 1255 y Fm(and)h Fi(`)2195 1267 y Fl(2)2232 1255 y Fm(,)g(either)g Fi(`)2560 1267 y Fl(1)2597 1255 y Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)\))f(=)e(max)o Ff(f)p Fi(`)3169 1267 y Fl(1)3206 1255 y Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)\))p Fi(;)14 b(`)3496 1267 y Fl(2)3534 1255 y Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)\))p Ff(g)32 b Fm(or)0 1371 y Fi(`)35 1383 y Fl(2)72 1371 y Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)\))24 b(=)f(max)p Ff(f)p Fi(`)634 1383 y Fl(1)670 1371 y Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)\))p Fi(;)14 b(`)960 1383 y Fl(2)998 1371 y Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)\))p Ff(g)29 b Fm(for)d(almost)h(ev)n(ery)f Fi(x)p Fm(.)38 b(This)27 b(can)g(only)g(happ)r(en)g(if,)h(almost)f(ev)n(erywhere,)f Fi(\032)h Fm(tak)n(es)0 1488 y(on)g(all)h(of)f(its)h(v)-5 b(alues)27 b(in)h(a)f(single)g(supp)r(orting)g(in)n(terv)-5 b(al.)p 1919 1488 59 59 v 100 1694 a(This)29 b(has)h(the)g(immediate)g (consequence)f(that)h(for)f(an)n(y)g(minimizer)h(of)g(the)g(lo)r(cal)f (in)n(teraction)g(problem,)h(the)g(v)-5 b(alues)0 1811 y(of)28 b Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))g(all)f(lie)h(in)g(a)f(single) g(supp)r(ort)h(in)n(terv)-5 b(al)27 b(of)1617 1789 y Fd(e)1602 1811 y Fi( )1656 1823 y Fh(\026;h)1759 1811 y Fm(.)37 b(No)n(w)28 b(in)f(most)h(cases)e(that)i(w)n(e)f(will)h (consider,)1630 2004 y Fi( )1684 2016 y Fh(\026;h)1787 2004 y Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\))c Fi(>)2020 1982 y Fd(e)2005 2004 y Fi( )2059 2016 y Fh(\026;h)2163 2004 y Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\))1418 b(\(4)p Fi(:)p Fm(19\))0 2198 y(for)33 b(all)g Fi(\032)g Fm(in)h(an)n(y)e(supp)r(ort)h(in)n(terv)-5 b(al,)34 b(except)g(at)f(the)g(endp)r(oin)n(ts.)54 b(In)34 b(particular,)f(this)h(is)f(the)h(case)e(if)i Fi( )3434 2210 y Fh(\026;h)3571 2198 y Fm(is)f(almost)0 2314 y(ev)n(erywhere)22 b(either)h(strictly)g(con)n(v)n(ex)f(or)h(strictly)g(conca)n(v)n(e,)g (and)g(there)g(are)g(no)g(lines)g(that)h(are)f(tangen)n(t)g(at)g(three) g(or)g(more)0 2430 y(p)r(oin)n(ts.)36 b(Then)25 b(a)f(minimizer)g(for)h (our)e(problem)i(cannot)f(ha)n(v)n(e)f Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))j(in)f(the)g(in)n(terior)e(of)h(the)h(supp)r(ort)g(in)n (terv)-5 b(al)24 b(b)r(ecause)g(of)0 2547 y(\(4.19\).)40 b(In)30 b(exceptional)e(cases,)g(there)h(ma)n(y)f(b)r(e)i(ph)n(ysical)e (v)-5 b(alues)29 b(in)g(the)g(in)n(terior)f(of)h(a)g(supp)r(ort)f(in)n (terv)-5 b(al.)41 b(This)29 b(o)r(ccurs)0 2663 y(when)f(there)f(is)h(a) f(p)r(oin)n(t)h(of)f(triple)h(tangency)-7 b(,)27 b(or)f(higher.)100 2780 y(Putting)j(aside)f(this)h(exceptional)f(case)h(for)f(the)h(momen) n(t,)h(there)f(are)f(only)g(t)n(w)n(o)g(p)r(ossibilities)h(for)g(an)n (y)f(minimizer)h(in)0 2896 y(our)e(problem:)36 b(Either)0 3058 y Ff(\017)e Fj(The)i(supp)l(ort)g(interval)g(of)980 3036 y Fd(e)965 3058 y Fi( )1019 3070 y Fh(\026;h)1158 3058 y Fj(that)f(c)l(ontains)h Fi(\032)1711 3070 y Fl(a)n(v)n(e)1845 3058 y Fj(c)l(onsists)f(of)i Fi(\032)2305 3070 y Fl(a)n(v)n(e)2438 3058 y Fj(alone.)58 b(In)35 b(this)h(c)l(ase,)i Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))d(=)e Fi(\032)3531 3070 y Fl(a)n(v)n(e)3664 3058 y Fj(almost)0 3174 y(everywher)l(e.)0 3336 y Ff(\017)d Fj(The)k(supp)l(ort)e(interval)i(of)964 3314 y Fd(e)949 3336 y Fi( )1003 3348 y Fh(\026;h)1139 3336 y Fj(that)e(c)l(ontains)h Fi(\032)1686 3348 y Fl(a)n(v)n(e)1816 3336 y Fj(c)l(onsists)g(of)g(a)g (close)l(d)g(interval)h Fm([)p Fi(\032)2920 3348 y Fh(v)2959 3336 y Fi(;)14 b(\032)3039 3348 y Fh(`)3071 3336 y Fm(])32 b Fj(with)i Fi(\032)3353 3348 y Fh(v)3420 3336 y Fi(<)28 b(\032)3556 3348 y Fh(`)3587 3336 y Fj(.)47 b(In)33 b(this)0 3452 y(c)l(ase,)e Fm(\003)22 b(=)h(\003)430 3464 y Fh(v)488 3452 y Ff([)18 b Fm(\003)619 3464 y Fh(`)681 3452 y Fj(with)30 b Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))24 b(=)f Fi(\032)1170 3464 y Fh(v)1239 3452 y Fj(almost)30 b(everywher)l(e)h(in)f Fm(\003)2088 3464 y Fh(v)2157 3452 y Fj(and)g Fi(\032)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))24 b(=)f Fi(\032)2627 3464 y Fh(`)2688 3452 y Fj(almost)31 b(everywher)l(e)g(in)f Fm(\003)3538 3464 y Fh(`)3569 3452 y Fj(.)100 3614 y Fm(W)-7 b(e)27 b(sa)n(y)e(that)i(there)f(is)h(a)f Fj(c)l(ondensation-evap)l(or)l (ation)j Fm(transition)d(in)h(the)g(second)f(case;)g(the)h(region)e (\003)3394 3626 y Fh(v)3460 3614 y Fm(con)n(tains)h(the)0 3731 y(v)-5 b(ap)r(or)27 b(state)g(and)h(\003)654 3743 y Fh(`)713 3731 y Fm(con)n(tains)f(the)h(liquid)f(state.)37 b(The)28 b(v)n(olumes)f(of)g(these)h(t)n(w)n(o)f(regions)f(are)g(giv)n (en)h(b)n(y)1285 3924 y Ff(j)p Fm(\003)1366 3936 y Fh(`)1398 3924 y Ff(j)p Fi(\032)1464 3936 y Fh(`)1514 3924 y Fm(+)18 b Ff(j)p Fm(\003)1678 3936 y Fh(v)1717 3924 y Ff(j)p Fi(\032)1783 3936 y Fh(v)1846 3924 y Fm(=)k Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)p Fi(\032)2080 3936 y Fl(a)n(v)n(e)2201 3924 y Fm(=)h Fi(n)2339 3936 y Fl(1)2394 3924 y Fm(+)18 b Fi(n)2527 3936 y Fl(2)2592 3924 y Fi(:)1073 b Fm(\(4)p Fi(:)p Fm(20\))0 4118 y(Note)30 b(that)g(the)g(v)n(olume)f(fractions)g(of)g(the)h (liquid)g(and)g(v)-5 b(ap)r(or)29 b(states)g(are)g(determined)h(b)n(y)f (this)h(relation)f(alone,)g(b)r(efore)0 4234 y(w)n(e)e(b)r(egin)h (considering)e(an)n(y)h(p)r(ossible)g(segregation)f(in)h(either)h(the)g (v)-5 b(ap)r(or)27 b(or)f(the)i(liquid.)100 4351 y(W)-7 b(e)19 b(note)g(that)g(there)g(is)g(a)g(condensation-ev)-5 b(ap)r(oration)16 b(transition)i(exactly)h(where)f Fi( )2796 4363 y Fh(\026;h)2919 4351 y Fm(has)g(an)h(in)n(terv)-5 b(al)19 b(of)g(conca)n(vit)n(y)-7 b(.)0 4468 y(An)n(y)28 b(suc)n(h)f(in)n(terv)-5 b(al)27 b(is)g(con)n(tained)g(in)h(an)f(in)n (terv)-5 b(al)27 b([)p Fi(\032)1702 4480 y Fh(v)1742 4468 y Fi(;)14 b(\032)1822 4480 y Fh(`)1854 4468 y Fm(])27 b(with)992 4661 y Fi( )1046 4673 y Fh(\026;h)1149 4661 y Fm(\()p Fi(\032)1224 4673 y Fh(v)1264 4661 y Fm(\))c(=)1421 4639 y Fd(e)1407 4661 y Fi( )1461 4673 y Fh(\026;h)1564 4661 y Fm(\()p Fi(\032)1639 4673 y Fh(v)1678 4661 y Fm(\))167 b(and)f Fi( )2231 4673 y Fh(\026;h)2334 4661 y Fm(\()p Fi(\032)2409 4673 y Fh(`)2441 4661 y Fm(\))23 b(=)2599 4639 y Fd(e)2584 4661 y Fi( )2638 4673 y Fh(\026;h)2741 4661 y Fm(\()p Fi(\032)2816 4673 y Fh(`)2848 4661 y Fm(\))808 b(\(4)p Fi(:)p Fm(21\))0 4855 y(and)1569 4971 y Fi( )1626 4937 y Fg(0)1623 4992 y Fh(\026;h)1726 4971 y Fm(\()p Fi(\032)1801 4983 y Fh(v)1841 4971 y Fm(\))23 b(=)g Fi( )2041 4937 y Fg(0)2038 4992 y Fh(\026;h)2141 4971 y Fm(\()p Fi(\032)2216 4983 y Fh(`)2248 4971 y Fm(\))28 b Fi(:)0 5136 y Fm(This)g(means)f(that)1669 5173 y Fd(Z)1752 5194 y Fh(\032)1786 5203 y Fc(`)1715 5362 y Fh(\032)1749 5370 y Fc(v)1833 5286 y Fi( )1890 5252 y Fg(00)1887 5307 y Fh(\026;h)1990 5286 y Fm(d)p Fi(\032)c Fm(=)g(0)1456 b(\(4)p Fi(:)p Fm(22\))1908 5539 y(13)p eop end %%Page: 14 14 TeXDict begin 14 13 bop 0 83 a Fm(whic)n(h)28 b(is)f(Maxw)n(ell's)g (equal)g(area)f(rule)h(for)g(determining)h(the)g(v)-5 b(alues)27 b(of)g Fi(\032)2388 95 y Fh(v)2455 83 y Fm(and)h Fi(\032)2660 95 y Fh(`)2692 83 y Fm(.)100 203 y(Supp)r(ose)f(for)g(all) h Fi(t)23 b Ff(2)g Fm(\(0)p Fi(;)14 b Fm(1\))1024 426 y Fi( )1078 438 y Fh(\026;h)1181 426 y Fm(\(\(1)19 b Ff(\000)f Fi(t)p Fm(\))p Fi(\032)1494 438 y Fh(v)1552 426 y Fm(+)g Fi(t\032)1708 438 y Fh(`)1740 426 y Fm(\))23 b Fi(>)g Fm(\(1)18 b Ff(\000)g Fi(t)p Fm(\))p Fi( )2174 438 y Fh(\026;h)2278 426 y Fm(\()p Fi(\032)2353 438 y Fh(v)2392 426 y Fm(\))h(+)f Fi(t )2610 438 y Fh(\026;h)2713 426 y Fm(\()p Fi(\032)2788 438 y Fh(`)2820 426 y Fm(\))p Fi(:)813 b Fm(\(4)p Fi(:)p Fm(23\))0 649 y(Supp)r(ose)25 b(also)e(that)i(the)h(in\014m)n(um)f(in)g(\(4.9\))f(is)h(attained)g (exactly)f(at)h(one)f(or)g(t)n(w)n(o)g(v)-5 b(alues)24 b(of)h Fi(\036)g Fm(when)g Fi(\032)e Fm(=)g Fi(\032)3426 661 y Fh(v)3490 649 y Fm(and)h Fi(\032)f Fm(=)g Fi(\032)3845 661 y Fh(`)3877 649 y Fm(.)0 765 y(Then,)g(dep)r(ending)f(whether)g Fi(\032)984 777 y Fh(v)1045 765 y Fm(equals)f(or)g(not)g Fi(\032)1571 777 y Fh(`)1625 765 y Fm(and)g(whether)h(there)f(are)g (one)g(or)g(t)n(w)n(o)g(minimizers)h(for)f Fi(\036)h Fm(in)g(\(4.9\))f(there)0 882 y(will)30 b(b)r(e)f(one,)h(t)n(w)n(o,)f (three)g(or)f(four)h(states.)42 b(T)-7 b(o)29 b(determine)g(if)h(these) f(h)n(yp)r(otheses)g(hold)g(w)n(e)g(m)n(ust)h(examine)e(a)h(particular) 0 998 y(free)e(energy)-7 b(.)0 1224 y Fk(5.)50 b(v)-6 b(an)38 b(der)g(W)-9 b(aals)38 b(Gas.)100 1453 y Fm(In)27 b(this)h(section,)g(w)n(e)f(fo)r(cus)g(on)h(the)g(v)-5 b(an)27 b(der)g(W)-7 b(aals)27 b(gas)g(for)g(whic)n(h)482 1719 y Fi(f)523 1731 y Fh(\014)s(;\026)624 1739 y Fb(1)656 1731 y Fh(;\026)716 1739 y Fb(2)752 1719 y Fm(\()p Fi(\032)827 1731 y Fl(1)865 1719 y Fi(;)14 b(\032)945 1731 y Fl(2)982 1719 y Fm(\))23 b(=)1140 1663 y(1)p 1135 1700 52 4 v 1135 1776 a Fi(\014)1196 1652 y Fd(\002)1231 1719 y Fi(G)p Fm(\()p Fi(\032)1371 1731 y Fl(1)1408 1719 y Fm(\))c(+)f Fi(G)p Fm(\()p Fi(\032)1682 1731 y Fl(2)1720 1719 y Fm(\))h(+)f Fi(D)r Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\))2032 1652 y Fd(\003)2085 1719 y Fm(+)g Fi(\013\032)2264 1731 y Fl(1)2302 1719 y Fi(\032)2345 1731 y Fl(2)2400 1719 y Ff(\000)2493 1663 y Fi(\033)p 2493 1700 51 4 v 2497 1776 a Fm(2)2554 1719 y(\()p Fi(\032)2629 1685 y Fl(2)2629 1739 y(1)2685 1719 y Fm(+)g Fi(\032)2811 1685 y Fl(2)2811 1739 y(2)2848 1719 y Fm(\))h Ff(\000)f Fi(\026)3032 1731 y Fl(1)3069 1719 y Fi(\032)3112 1731 y Fl(1)3168 1719 y Ff(\000)g Fi(\026)3301 1731 y Fl(2)3338 1719 y Fi(\032)3381 1731 y Fl(2)3729 1719 y Fm(\(5)p Fi(:)p Fm(1\))0 1990 y(and)27 b(hence)86 2213 y Fi(g)126 2225 y Fh(\014)s(;\026;h)289 2213 y Fm(\()p Fi(\032;)14 b(\036)p Fm(\))24 b(=)608 2157 y(1)p 604 2194 52 4 v 604 2270 a Fi(\014)665 2146 y Fd(\002)699 2213 y Fi(G)778 2121 y Fd(\020)838 2157 y Fi(\032)p 838 2194 43 4 v 839 2270 a Fm(2)891 2213 y(\(1)18 b(+)g Fi(\036)p Fm(\))1147 2121 y Fd(\021)1216 2213 y Fm(+)g Fi(G)1378 2121 y Fd(\020)1438 2157 y Fi(\032)p 1438 2194 V 1439 2270 a Fm(2)1491 2213 y(\(1)g Ff(\000)g Fi(\036)p Fm(\))1747 2121 y Fd(\021)1816 2213 y Fm(+)g Fi(D)r Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\))2077 2146 y Fd(\003)2130 2213 y Fm(+)2223 2157 y Fi(\013)p 2223 2194 54 4 v 2229 2270 a Fm(4)2287 2213 y Fi(\032)2330 2179 y Fl(2)2367 2213 y Fm(\(1)g Ff(\000)g Fi(\036)2591 2179 y Fl(2)2629 2213 y Fm(\))g Ff(\000)2772 2157 y Fi(\033)p 2772 2194 51 4 v 2776 2270 a Fm(4)2833 2213 y Fi(\032)2876 2179 y Fl(2)2913 2213 y Fm(\(1)g(+)g Fi(\036)3137 2179 y Fl(2)3175 2213 y Fm(\))h Ff(\000)f Fi(\026\032)g Ff(\000)g Fi(h\032\036)86 b Fm(\(5)p Fi(:)p Fm(2\))100 2488 y(The)27 b(function)h Fi(G)p Fm(,)g(de\014ned)g(in)g Fi(I)-14 b(R)1180 2500 y Fl(+)1235 2488 y Fm(,)28 b(is)g(assumed)f(to)g(b)r(e)h(smo)r(oth)f (and)h(moreo)n(v)n(er)-76 2607 y(\(1\))70 b Fi(G)28 b Fm(and)f Fi(G)419 2577 y Fg(00)489 2607 y Fm(strictly)h(con)n(v)n(ex;) -76 2727 y(\(2\))70 b Fi(G)165 2697 y Fg(0)188 2727 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))24 b Ff(!)f(\0001)p Fi(;)97 b(G)762 2697 y Fg(00)805 2727 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))24 b Ff(!)f Fm(+)p Ff(1)82 b Fm(for)27 b Fi(x)d Ff(!)f Fm(0)p Fi(:)100 2846 y Fm(The)28 b(function)h Fi(D)h Fm(is)e(de\014ned)h(in)g(some)e (in)n(terv)-5 b(al)28 b(\(0)p Fi(;)14 b(b)1821 2816 y Fg(\000)p Fl(1)1910 2846 y Fm(\))28 b(con)n(tained)g(in)g(\(and)h(p)r (ossibly)f(coinciding)f(with\))j Fi(I)-14 b(R)3660 2858 y Fl(+)3715 2846 y Fm(,)28 b(and)0 2962 y(is)h(smo)r(oth)g(and)f (strictly)h(con)n(v)n(ex.)40 b(F)-7 b(or)28 b(example,)h(with)h Fi(G)p Fm(\()p Fi(t)p Fm(\))c(=)f Fi(t)14 b Fm(log)43 b Fi(t)29 b Fm(and)f Fi(D)k Fm(giv)n(en)c(b)n(y)g(\(1.5\),)i(these)f (conditions)f(are)0 3079 y(satis\014ed.)36 b(This)28 b(is)g(the)f(usual)h(t)n(w)n(o)f(comp)r(onen)n(ts)g(v)-5 b(an)27 b(der)g(W)-7 b(aals)27 b(gas.)100 3198 y(The)h(existence)h(of)f (minimizers)g(follo)n(ws)g(from)g(the)h(considerations)e(of)h(Section)h (2,)f(whic)n(h)h(apply)f(also)g(in)g(the)h(case)f(of)0 3314 y(lo)r(cal)d(in)n(teractions.)34 b(Note)26 b(ho)n(w)n(ev)n(er)d (that)i(w)n(e)g(ha)n(v)n(e)f(no)h(symmetric)g(monotonicit)n(y)f(of)h (the)g(minimizers)g(and,)h(in)f(general,)0 3431 y(no)f(reason)g(to)g (ha)n(v)n(e)g(regularit)n(y)f(prop)r(erties.)35 b(Moreo)n(v)n(er,)22 b(the)k(same)e(argumen)n(t)g(that)h(w)n(e)f(used)h(in)g(the)g(pro)r(of) f(of)h(Theorem)0 3547 y(2.3)i(sho)n(ws)f(that)i(an)n(y)f(minimizer)h (satis\014es)e(the)i(Euler{Lagrange)c(equations)1172 3774 y Fi(G)1237 3740 y Fg(0)1261 3774 y Fm(\()p Fi(\032)1336 3786 y Fl(1)1373 3774 y Fm(\))19 b(+)f Fi(D)1578 3740 y Fg(0)1601 3774 y Fm(\()p Fi(\032)1676 3786 y Fl(1)1732 3774 y Fm(+)g Fi(\032)1858 3786 y Fl(2)1895 3774 y Fm(\))h(+)f Fi(\014)t(\013\032)2176 3786 y Fl(2)2233 3774 y Ff(\000)g Fi(\014)t(\033)s(\032)2460 3786 y Fl(1)2521 3774 y Fm(=)k Fi(C)2667 3786 y Fl(1)1172 3915 y Fi(G)1237 3881 y Fg(0)1261 3915 y Fm(\()p Fi(\032)1336 3927 y Fl(2)1373 3915 y Fm(\))d(+)f Fi(D)1578 3881 y Fg(0)1601 3915 y Fm(\()p Fi(\032)1676 3927 y Fl(1)1732 3915 y Fm(+)g Fi(\032)1858 3927 y Fl(2)1895 3915 y Fm(\))h(+)f Fi(\014)t(\013\032)2176 3927 y Fl(1)2233 3915 y Ff(\000)g Fi(\014)t(\033)s(\032)2460 3927 y Fl(2)2521 3915 y Fm(=)k Fi(C)2667 3927 y Fl(2)2705 3915 y Fi(:)3729 3845 y Fm(\(5)p Fi(:)p Fm(3\))100 4145 y(W)-7 b(e)30 b(no)n(w)g(turn)g(to)h(the)f(study)h(of)f(the)h(structure)e(of)i(these) f(minimizers.)45 b(The)30 b(follo)n(wing)f(theorem)h(giv)n(es)f(a)h (criterion)0 4262 y(for)d(segregation:)0 4491 y Fn(Theorem)34 b(5.1)p Fm(.)44 b Fj(With)32 b Fi(g)j Fj(given)d(by)h(\(5.2\),)h(the)e (in\014mum)g(in)g(\(4.9\))h(is)f(attaine)l(d)h(in)f(exactly)h(one)f(p)l (oint)3409 4469 y Fd(b)3400 4491 y Fi(\036)q Fm(\()p Fi(\032)p Fm(;)14 b Fi(\014)t(;)g(\026;)g(h)p Fm(\))32 b Fj(if)0 4607 y Fi(h)23 b Ff(6)p Fm(=)g(0)p Fj(,)29 b(indep)l(endently)i(of)g Fi(\032)p Fj(,)f(or)g(if)g Fi(h)23 b Fm(=)g(0)29 b Fj(and)h Fi(\014)t Fm(\()p Fi(\033)22 b Fm(+)c Fi(\013)p Fm(\))24 b Ff(\024)f Fi(G)2048 4577 y Fg(00)2090 4607 y Fm(\()p Fi(\032=)p Fm(2\))p Fj(.)38 b(If)31 b Fi(h)22 b Fm(=)h(0)29 b Fj(and)h Fi(\014)t Fm(\()p Fi(\033)23 b Fm(+)18 b Fi(\013)p Fm(\))23 b Fi(>)g(G)3319 4577 y Fg(00)3362 4607 y Fm(\()p Fi(\032=)p Fm(2\))p Fj(,)29 b(then)h(the)0 4723 y(in\014mum)f(is)h(attaine)l(d)g(in)g(two)g (p)l(oints)g Fi(\036)1286 4735 y Fg(\006)1365 4723 y Fm(=)23 b Ff(\006)1527 4701 y Fd(b)1518 4723 y Fi(\036)p Fm(\()p Fi(\032)p Fm(;)14 b Fi(\014)t(;)g(\026;)g Fm(0\))0 4914 y Fn(Pro)s(of:)35 b Fm(When)26 b(there)g(is)f(no)g(am)n(biguit)n (y)-7 b(,)25 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y(equation)1470 315 y Fi(H)1539 327 y Fh(\032)1578 315 y Fm(\()1619 294 y Fd(b)1610 315 y Fi(\036)p Fm(\))24 b(=)e Fi(\014)t Fm(\()p Fi(\013)e Fm(+)e Fi(\033)s Fm(\))p Fi(\032)2175 294 y Fd(b)2166 315 y Fi(\036)h Fm(+)g(2)p Fi(h;)1298 b Fm(\(5)p Fi(:)p Fm(5\))0 487 y(with)1249 603 y Fi(H)1318 615 y Fh(\032)1356 603 y Fm(\()p Fi(\036)p Fm(\))24 b(:=)f Fi(G)1669 569 y Fg(0)1693 603 y Fm(\()1735 547 y Fi(\032)p 1735 584 43 4 v 1736 660 a Fm(2)1788 603 y(\(1)18 b(+)g Fi(\036)p Fm(\)\))h Ff(\000)f Fi(G)2243 569 y Fg(0)2267 603 y Fm(\()2309 547 y Fi(\032)p 2309 584 V 2310 660 a Fm(2)2362 603 y(\(1)g Ff(\000)g Fi(\036)p Fm(\)\))1079 b(\(5)p Fi(:)p Fm(6\))0 774 y(The)28 b(follo)n(wing)e(prop)r(erties)h (of)g(the)h(function)h Fi(H)1544 786 y Fh(\032)1610 774 y Fm(will)f(b)r(e)g(relev)-5 b(an)n(t)27 b(b)r(elo)n(w.)36 b(Assume)28 b Fi(\032)23 b(>)f Fm(0:)1404 1008 y Fi(H)1473 1020 y Fh(\032)1511 1008 y Fm(\()p Ff(\000)p Fi(\036)p Fm(\))i(=)f Ff(\000)p Fi(H)1935 1020 y Fh(\032)1973 1008 y Fm(\()p Fi(\036)p Fm(\))p Fi(;)98 b(H)2276 1020 y Fh(\032)2314 1008 y Fm(\(0\))24 b(=)e(0;)1133 b(\(5)p Fi(:)p Fm(7\))1560 1296 y Fi(H)1636 1262 y Fg(0)1629 1317 y Fh(\032)1667 1296 y Fm(\()p Fi(\036)p Fm(\))25 b Fi(>)d Fm(0)p Fi(;)14 b Ff(8)p Fi(\036)23 b Ff(2)h Fm(\()p Ff(\000)p Fm(1)p Fi(;)14 b Fm(1\);)1288 b(\(5)p Fi(:)p Fm(8\))1169 1585 y Fi(H)1238 1597 y Fh(\032)1276 1585 y Fm(\()p Fi(\036)p Fm(\))24 b Ff(!)f(\0061)p Fi(;)97 b(H)1863 1550 y Fg(0)1856 1605 y Fh(\032)1895 1585 y Fm(\()p Fi(\036)p Fm(\))24 b Ff(!)f Fm(+)p Ff(1)110 b Fm(for)27 b Fi(\036)d Ff(!)f(\006)p Fm(1;)897 b(\(5)p Fi(:)p Fm(9\))1303 1873 y Fi(\036H)1428 1839 y Fg(00)1421 1894 y Fh(\032)1471 1873 y Fm(\()p Fi(\036)p Fm(\))24 b Fi(>)f Fm(0)110 b(for)27 b Fi(\036)d Ff(6)p Fm(=)e(0)p Fi(;)97 b(H)2373 1839 y Fg(00)2366 1894 y Fh(\032)2415 1873 y Fm(\(0\))23 b(=)g(0;)991 b(\(5)p Fi(:)p Fm(10\))100 2044 y(\(Notice)28 b(that)f(if)h Fi(G)p Fm(\()p Fi(t)p Fm(\))c(=)f Fi(t)14 b Fm(log)g Fi(t)28 b Fm(then)g Fi(H)1400 2056 y Fh(\032)1438 2044 y Fm(\()p Fi(\036)p Fm(\))c(=)f(2)14 b(tanh)1884 2007 y Fg(\000)p Fl(1)1974 2044 y Fm(\()p Fi(\036)p Fm(\)\).)38 b(In)28 b(particular,)e(\(5.10\))h(implies)h(that)869 2286 y(inf)790 2344 y Fh(\036)p Fg(2)p Fl([)p Fg(\000)p Fl(1)p Fh(;)p Fl(1])1064 2286 y Fi(H)1140 2252 y Fg(0)1133 2307 y Fh(\032)1171 2286 y Fm(\()p Fi(\036)p Fm(\))d(=)d Fi(H)1472 2252 y Fg(0)1465 2307 y Fh(\032)1504 2286 y Fm(\(0\))h(=)g Fi(\032G)1829 2252 y Fg(00)1871 2286 y Fm(\()1913 2230 y Fi(\032)p 1913 2267 V 1914 2343 a Fm(2)1966 2286 y(\))111 b(and)28 b Fi(H)2347 2252 y Fg(0)2340 2307 y Fh(\032)2378 2286 y Fm(\()p Fi(\036)p Fm(\))c Fi(>)f(\032G)2711 2252 y Fg(00)2754 2286 y Fm(\()2796 2230 y Fi(\032)p 2796 2267 V 2797 2343 a Fm(2)2849 2286 y(\))28 b(if)g Fi(\036)23 b Ff(6)p Fm(=)g(0)p Fi(:)478 b Fm(\(5)p Fi(:)p Fm(11\))100 2555 y(The)27 b(ab)r(o)n(v)n(e)f(relations)g(are)h(immediate)g (consequences)g(of)g(the)h(assumptions)e(on)i Fi(G)p Fm(:)37 b(in)27 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b(the)h(other)f(hand,)h(if)1605 4769 y Fi(\014)t Fm(\()p Fi(\013)19 b Fm(+)f Fi(\033)s Fm(\))24 b Fi(>)f(G)2102 4735 y Fg(00)2145 4769 y Fm(\()2187 4713 y Fi(\032)p 2187 4750 V 2188 4826 a Fm(2)2240 4769 y(\))p Fi(;)1393 b Fm(\(5)p Fi(:)p Fm(16\))0 5015 y(b)n(y)40 b(\(5.10\),)j(there)d(is)g (an)g(in)n(terv)-5 b(al)40 b(\()p Ff(\000)p Fi(\036)1315 5027 y Fh(s)1350 5015 y Fi(;)14 b(\036)1436 5027 y Fh(s)1472 5015 y Fm(\))41 b(where)f(the)g(function)h Fi(g)s Fm(\()p Fi(\032;)14 b(\036)p Fm(\),)44 b(for)c Fi(\032)g Fm(\014xed)g(is)g (conca)n(v)n(e)f(while)h(in)h(the)0 5131 y(complemen)n(t)28 b(it)g(is)f(con)n(v)n(ex.)35 b(The)28 b(v)-5 b(alue)28 b Fi(\036)1369 5143 y Fh(s)1432 5131 y Fm(is)g(determined)f(b)n(y)h (the)g(condition)1572 5340 y Fi(H)1648 5306 y Fg(0)1641 5361 y Fh(\032)1680 5340 y Fm(\()p Fi(\036)1761 5352 y Fh(s)1797 5340 y Fm(\))c(=)e(\()p Fi(\013)d Fm(+)f Fi(\033)s Fm(\))p Fi(\014)t(\032:)1362 b Fm(\(5)p Fi(:)p Fm(17\))1908 5539 y(15)p eop end %%Page: 16 16 TeXDict begin 16 15 bop 0 83 a Fm(Therefore,)26 b(it)i(is)g(p)r (ossible)f(to)h(get)f(more)g(than)h(one)f(stationary)f(p)r(oin)n(t,)i (satisfying)f(\(5.5\).)100 200 y(W)-7 b(e)27 b(assume)f(that)i (\(5.16\))e(is)h(v)n(eri\014ed)f(and)h(lo)r(ok)f(at)h(the)h(stationary) d(p)r(oin)n(ts.)37 b(W)-7 b(e)27 b(distinguish)g(t)n(w)n(o)g(cases:)35 b Fi(h)23 b Fm(=)g(0)j(and)0 316 y Fi(h)d Ff(6)p Fm(=)g(0.)100 434 y(W)-7 b(e)34 b(assume)e(\014rst)i Fi(h)e Fm(=)h(0.)54 b(Then,)35 b(clearly)-7 b(,)34 b Fi(\036)g Fm(=)e(0)i(solv)n(es)e (\(5.5\).)54 b(The)34 b(condition)f(\(5.16\))g(ensures)f(that)i Fi(g)s Fm(\()p Fi(\032;)14 b(\036)p Fm(\))34 b(is)0 550 y(conca)n(v)n(e)e(in)i Fi(\036)f Fm(=)g(0)g(and)h(hence)f Fi(\036)h Fm(=)f(0)g(is)g(not)h(a)f(minimizer.)55 b(Moreo)n(v)n(er,)33 b(b)n(y)g(the)h(symmetry)-7 b(,)35 b(if)3256 528 y Fd(b)3247 550 y Fi(\036)q Fm(\()p Fi(\032)p Fm(;)14 b Fi(\014)t(;)g(\026;)g Fm(0\))34 b(solv)n(es)0 666 y(\(5.5\))39 b(the)g(same)f(is)h(true)g (for)g Ff(\000)1078 644 y Fd(b)1069 666 y 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Fi(>)g Fm(0.)36 b(Hence,)28 b(in)g(this)g(case)e Fi(D)2855 519 y Fl(2)2893 549 y Fi(f)36 b Fm(is)27 b(p)r(ositiv)n(e)h(de\014nite)g(in)1461 754 y Ff(Q)23 b Fm(=)f Ff(f)p Fm(\()p Fi(\032)1756 766 y Fl(1)1793 754 y Fi(;)14 b(\032)1873 766 y Fl(2)1910 754 y Fm(\))g Ff(j)28 b Fm(det)q(\()p Fi(D)2226 720 y Fl(2)2263 754 y Fi(f)9 b Fm(\))23 b Fi(>)g Fm(0)p Ff(g)1148 b Fm(\(5)p Fi(:)p Fm(33\))100 959 y(and)27 b(its)h(b)r(oundary)-7 b(,)1437 1075 y Fi(@)5 b Ff(Q)22 b Fm(=)h Ff(f)p Fm(\()p Fi(\032)1781 1087 y Fl(1)1818 1075 y Fi(;)14 b(\032)1898 1087 y Fl(2)1935 1075 y Fm(\))g Ff(j)28 b Fm(det\()p Fi(D)2250 1041 y Fl(2)2287 1075 y Fi(f)9 b Fm(\))23 b(=)g(0)p Ff(g)100 1245 y Fm(separates)30 b(it)i(from)g(the)g(region)e(where)i Fi(D)1469 1215 y Fl(2)1506 1245 y Fi(f)41 b Fm(is)31 b(not)h(p)r(ositiv)n(e)g(de\014nite.)50 b(Explicitly)-7 b(,)33 b(the)f(condition)g(det\()p Fi(D)3614 1215 y Fl(2)3652 1245 y Fi(f)9 b Fm(\))30 b Fi(>)f Fm(0)100 1361 y(can)e(b)r(e)h (written)1283 1421 y(1)p 1223 1458 161 4 v 1223 1534 a Fi(\032)1266 1546 y Fl(1)1304 1534 y Fi(\032)1347 1546 y Fl(2)1412 1477 y Ff(\000)18 b Fi(\013)1548 1443 y Fl(2)1586 1477 y Fi(\014)1637 1443 y Fl(2)1693 1477 y Fm(+)g Fi(D)1847 1443 y Fg(00)1889 1477 y Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\)\()2058 1421 y(1)p 2038 1458 81 4 v 2038 1534 a Fi(\032)2081 1546 y Fl(1)2148 1477 y Fm(+)2260 1421 y(1)p 2241 1458 V 2241 1534 a Fi(\032)2284 1546 y Fl(2)2349 1477 y Ff(\000)g Fm(2)p Fi(\013\014)t Fm(\))24 b Fi(>)f Fm(0)p Fi(:)901 b Fm(\(5)p Fi(:)p Fm(34\))100 1695 y(Note)27 b(that)h(the)g(set)g Ff(Q)f Fm(con)n(tains)g(the)h(set)1408 1934 y Ff(P)h Fm(=)23 b Ff(f)p Fm(\()p Fi(\032)1700 1946 y Fl(1)1737 1934 y Fi(;)14 b(\032)1817 1946 y Fl(2)1854 1934 y Fm(\))g Ff(j)2007 1878 y Fm(1)p 1947 1915 161 4 v 1947 1991 a Fi(\032)1990 2003 y Fl(1)2027 1991 y Fi(\032)2070 2003 y Fl(2)2136 1934 y Ff(\000)k Fi(\013)2272 1900 y Fl(2)2310 1934 y Fi(\014)2361 1900 y Fl(2)2421 1934 y Fi(>)23 b Fm(0)p Ff(g)1095 b Fm(\(5)p Fi(:)p Fm(35\))100 2187 y(b)r(ecause)35 b(the)h(arithmetic)g(mean)g(of)g(t)n(w)n(o)f(p)r(ositiv)n(e)g(n)n(um)n (b)r(ers)g(is)h(not)g(less)f(than)h(the)h(geometric)d(mean.)62 b(Since)36 b(the)100 2303 y(equation)26 b(for)g Fi(\036)i Fm(is)f(una\013ected)g(b)n(y)g(the)g(presence)f(of)h Fi(D)r Fm(,)g Fi( )s Fm(\()p Fi(\032)p Fm(\))h(is)f(strictly)g(con)n(v) n(ex)e(and)i(w)n(e)f(get)h(the)h(same)e(conclusion)100 2420 y(as)h(b)r(efore.)-16 2537 y(3\))42 b(If)28 b Fi(\033)e(>)d Fm(0,)k(the)h(set)g Ff(P)34 b Fm(is)27 b(replaced)g(b)n(y)1100 2789 y Ff(P)1158 2801 y Fh(\033)1225 2789 y Fm(=)c Ff(f)p Fm(\()p Fi(\032)1430 2801 y Fl(1)1467 2789 y Fi(;)14 b(\032)1547 2801 y Fl(2)1584 2789 y Fm(\))g Ff(j)g Fm(\()1728 2733 y(1)p 1709 2770 81 4 v 1709 2846 a Fi(\032)1752 2858 y Fl(1)1818 2789 y Ff(\000)k Fi(\014)t(\033)s Fm(\)\()2096 2733 y(1)p 2076 2770 V 2076 2846 a Fi(\032)2119 2858 y Fl(2)2185 2789 y Ff(\000)h Fi(\014)t(\033)s Fm(\))g Ff(\000)f Fi(\013)2557 2755 y Fl(2)2595 2789 y Fi(\014)2646 2755 y Fl(2)2706 2789 y Fi(>)23 b Fm(0)p Ff(g)p Fi(:)787 b Fm(\(5)p Fi(:)p Fm(36\))100 3043 y(Therefore,)26 b(as)h Fi(\033)k Fm(increases)26 b(the)i(set)g Ff(P)1357 3055 y Fh(\033)1429 3043 y Fm(shrinks)f(th)n(us)g(encouraging)f(the)i (condensation-ev)-5 b(ap)r(oration)25 b(transition.)100 3207 y(Kortew)n(eg)e([10])i(has)h(also)e(discussed)i(a)f(situation)h (with)g(segregation)e(and)h(four)h(phases)f(in)h(equilibrium)g(in)g(a)f (mixture)0 3324 y(of)32 b(t)n(w)n(o)f(v)-5 b(an)32 b(der)g(W)-7 b(aals)31 b(gases.)49 b(Kortew)n(eg's)29 b(pap)r(er)j(concerns)f(the)h Fi(\013)f(<)f Fm(0)i(case)f(where)g(there)h(is)g(attraction)f(b)r(et)n (w)n(een)0 3440 y(di\013eren)n(t)22 b(sp)r(ecies)g(to)r(o,)h(and)f(to)g (whic)n(h)g(rearrangemen)n(t)d(argumen)n(ts)i(do)h(not)g(apply)-7 b(,)23 b(though)e(segregation)f(is)i(still)g(p)r(ossible)0 3556 y(b)r(ecause)27 b(it)h(is)g(con)n(trolled)e(b)n(y)h Fi(\033)22 b Fm(+)c Fi(\013)p Fm(.)100 3673 y(Up)33 b(to)g(no)n(w)f(w)n (e)h(just)h(ga)n(v)n(e)d(general)g(conditions)i(for)f(the)i(absence)e (of)h(condensation-ev)-5 b(ap)r(oration)30 b(transition.)53 b(W)-7 b(e)0 3789 y(no)n(w)27 b(deriv)n(e)g(a)g(form)n(ula)f(for)i(the) g(pressure)e(whic)n(h)h(allo)n(ws)g(us)g(to)h(dra)n(w)e(conclusions)h (ab)r(out)g(the)h(not)g(strict)f(con)n(v)n(exit)n(y)f(of)0 3906 y(the)i(function)g Fi( )s Fm(.)37 b(In)n(tro)r(duce)27 b(the)h(sp)r(eci\014c)g(v)n(olume)f Fi(v)f Fm(=)d Fi(\032)1876 3876 y Fg(\000)p Fl(1)1993 3906 y Fm(and)k(de\014ne)h(the)g(function) 1661 4111 y Fi(q)s Fm(\()p Fi(v)s Fm(\))23 b(=)g Fi(v)s( )s Fm(\()p Fi(v)2094 4076 y Fg(\000)p Fl(1)2184 4111 y Fm(\))p Fi(;)1449 b Fm(\(5)p Fi(:)p Fm(37\))0 4316 y(whic)n(h)27 b(has)f(the)h(same)f(con)n(v)n(exit)n(y)f(prop)r(erties)h(of)h Fi( )j Fm(in)d(the)g(corresp)r(onding)e(p)r(oin)n(ts.)36 b(A)27 b(simple)g(calculation)f(sho)n(ws)g(that,)1108 4592 y Fi(q)s Fm(\()p Fi(v)s Fm(\))e(=)f Ff(\000)14 b Fm(log\()p Fi(v)22 b Ff(\000)c Fi(b)p Fm(\))g Ff(\000)1909 4536 y Fi(\014)7 b Fd(e)-49 b Fi(\033)t Fm(\()2052 4514 y Fd(b)2043 4536 y Fi(\036)p Fm(\()p Fi(v)2167 4506 y Fg(\000)p Fl(1)2257 4536 y Fm(\)\))p 1909 4573 413 4 v 2073 4649 a(4)p Fi(v)2350 4592 y Fm(+)18 b Fi(\015)5 b Fm(\()2522 4570 y Fd(b)2513 4592 y Fi(\036)p Fm(\()p Fi(v)2637 4558 y Fg(\000)p Fl(1)2727 4592 y Fm(\)\))897 b(\(5)p Fi(:)p Fm(38\))0 4797 y(with)1025 4976 y Fi(\015)5 b Fm(\()1114 4954 y Fd(b)1105 4976 y Fi(\036)q Fm(\))23 b(=)1307 4920 y(1)p 1307 4957 42 4 v 1307 5033 a(2)1373 4976 y(log)1494 4834 y Fd( )1570 4920 y Fm(1)18 b Ff(\000)1721 4898 y Fd(b)1713 4920 y Fi(\036)1762 4889 y Fl(2)p 1570 4957 230 4 v 1664 5033 a Fm(4)1809 4834 y Fd(!)1893 4976 y Fm(+)1995 4898 y Fd(b)1986 4920 y Fi(\036)p 1986 4957 50 4 v 1990 5033 a Fm(2)2060 4976 y(log)2181 4834 y Fd( )2256 4920 y Fm(1)g(+)2408 4898 y Fd(b)2399 4920 y Fi(\036)p 2256 4957 193 4 v 2256 5049 a Fm(1)g Ff(\000)2408 5027 y Fd(b)2399 5049 y Fi(\036)2459 4834 y Fd(!)2543 4976 y Ff(\000)g Fi(h)2683 4954 y Fd(b)2674 4976 y Fi(\036)h Ff(\000)f Fi(\026)813 b Fm(\(5)p Fi(:)p Fm(39\))0 5224 y(and)1471 5340 y Fd(e)-48 b Fi(\033)t Fm(\()1561 5318 y Fd(b)1552 5340 y Fi(\036)p Fm(\))24 b(=)e Fi(\033)g Ff(\000)c Fi(\013)h Fm(+)2060 5318 y Fd(b)2051 5340 y Fi(\036)2100 5306 y Fl(2)2138 5340 y Fm(\()p Fi(\033)j Fm(+)c Fi(\013)p Fm(\))p Fi(:)1258 b Fm(\(5)p Fi(:)p Fm(40\))1908 5539 y(18)p eop end %%Page: 19 19 TeXDict begin 19 18 bop 0 83 a Fm(No)n(w,)27 b(b)n(y)g(\(5.5\),)h(w)n (e)f(ha)n(v)n(e)1714 199 y Fi(\014)7 b Fd(e)-49 b Fi(\033)1815 169 y Fg(0)p 1714 236 126 4 v 1734 313 a Fm(4)p Fi(v)1867 256 y Fm(+)18 b Fi(\015)1998 221 y Fg(0)2044 256 y Fm(=)23 b(0)p Fi(:)1491 b Fm(\(5)p Fi(:)p Fm(41\))0 418 y(Hence)28 b(the)g(pressure)e Fi(p)h Fm(as)g(function)i(of)e(the)h(sp)r(eci\014c)g (v)n(olume)f(is)g(giv)n(en)g(b)n(y)1231 680 y Fi(\014)t(p)p Fm(\()p Fi(v)s Fm(\))d(:=)e Ff(\000)p Fi(q)1670 646 y Fg(0)1693 680 y Fm(\()p Fi(v)s Fm(\))i(=)1991 624 y(1)p 1922 661 181 4 v 1922 737 a Fi(v)d Ff(\000)d Fi(b)2131 680 y Ff(\000)2223 624 y Fi(\014)7 b Fd(e)-49 b Fi(\033)t Fm(\()2366 602 y Fd(b)2357 624 y Fi(\036)q Fm(\()p Fi(v)2482 594 y Fg(\000)p Fl(1)2572 624 y Fm(\)\))p 2223 661 413 4 v 2369 737 a(4)p Fi(v)2454 713 y Fl(2)2646 680 y Fi(:)1019 b Fm(\(5)p Fi(:)p Fm(42\))0 911 y(This)27 b(expression)f(is)h(similar)f (to)h(that)g(for)g(the)g(one)g(comp)r(onen)n(t)g(v)-5 b(an)26 b(der)h(W)-7 b(aals)27 b(gas,)f(but)h(for)g(the)g(dep)r (endence)h(of)h Fd(e)-48 b Fi(\033)30 b Fm(on)0 1027 y Fi(v)h Fm(through)393 1005 y Fd(b)385 1027 y Fi(\036)p Fm(.)100 1144 y(Sev)n(eral)37 b(cases)g(are)h(p)r(ossible,)j(dep)r (ending)e(on)g Fi(\013)g Fm(and)f Fi(\033)s Fm(.)71 b(Consider)37 b(for)i(example)f(the)h(case)f Fi(\013)k(>)f(\033)s Fm(.)70 b(Then,)42 b(in)0 1260 y(the)33 b(absence)f(of)g(segregation,)g(the)h (pressure)e(is)i(a)f(strictly)g(decreasing)f(function)i(of)g Fi(v)s Fm(.)52 b(Since)33 b(the)g(pressure)e(m)n(ust)i(b)r(e)0 1377 y(equal)27 b(in)g(the)g(liquid)h(and)e(v)-5 b(ap)r(or)27 b(phases,)f(this)h(precludes)g(a)g(condensation-ev)-5 b(ap)r(oration)24 b(transition)i(in)h(the)h(absence)e(of)0 1493 y(segregation.)34 b(\(This)24 b(is)h(quite)g(di\013eren)n(t)f (from)h(the)g(usual)f(v)-5 b(an)24 b(der)g(W)-7 b(aals)24 b(case,)h(or)e(the)i(case)f(considered)g(b)n(y)g(Kortew)n(eg\).)0 1609 y(The)29 b(segregation)d(p)r(ermits)j(a)g(condensation-ev)-5 b(ap)r(oration)26 b(transition,)i(and)h(lo)n(w)n(ers)e(the)i(pressure)e (in)i(the)g(liquid)h(phase)0 1725 y(from)j(what)g(it)g(w)n(ould)g(b)r (e)g(without)h(segregation.)51 b(As)33 b(the)h(temp)r(erature)e(is)h (lo)n(w)n(ered)f(further,)i(the)g(v)-5 b(ap)r(or)32 b(phase)h(ma)n(y)0 1841 y(also)28 b(undergo)h(segregation.)40 b(In)30 b(this)g(situation,) g(the)g(v)n(olume)f(fractions)f(are)h(not)g(determined.)43 b(Ho)n(w)n(ev)n(er,)28 b(in)i(the)g(\014nal)0 1958 y(section)23 b(of)g(the)h(pap)r(er)f(w)n(e)g(shall)g(see)g(that)g(b)r(ecause)g(the)h (lo)r(cal)e(in)n(teraction)h(mo)r(del)g(is)g(the)h(large)e(v)n(olume)h (limit)h(of)f(a)g(mo)r(del)0 2074 y(in)i(whic)n(h)g(the)g(minimizers)g (m)n(ust)g(b)r(e)g(symmetric)g(decreasing,)f(w)n(e)g(can)h(sa)n(y)e (more)i(ab)r(out)f(this)i(case.)35 b(Th)n(us)24 b(when)h Fi(\013)f(>)f(\033)s Fm(,)0 2190 y(w)n(e)k(ha)n(v)n(e)g(three)h (critical)f(in)n(v)n(erse)f(temp)r(eratures)h Fi(\014)1632 2202 y Fl(1)1693 2190 y Fi(<)c(\014)1828 2202 y Fl(2)1889 2190 y Fi(<)g(\014)2024 2202 y Fl(3)2061 2190 y Fm(.)38 b(The)28 b(\014rst)f(corresp)r(onds)f(to)i(a)f(segregation)f (transition.)0 2306 y(A)n(t)f(the)g(second)f(there)g(is)h(a)f (condensation-ev)-5 b(ap)r(oration)21 b(transition)j(at)h(whic)n(h)f(a) g(segregated)f(liquid)i(phase)f(is)g(pro)r(duced,)0 2423 y(and)h(an)h(unsegregated)d(v)-5 b(ap)r(or)25 b(phase.)36 b(A)n(t)26 b(the)f(third,)i(the)e(v)-5 b(ap)r(or)25 b(phase)g(as)g(w)n (ell)g(segregates.)34 b(As)26 b(a)f(consequence)f(of)i(the)0 2539 y(ab)r(o)n(v)n(e)g(form)n(ula)h(for)g(the)h(pressure,)e(w)n(e)h (pro)n(v)n(e)f(the)i(follo)n(wing:)0 2744 y Fn(Theorem)33 b(5.3)p Fm(.)39 b Fj(Supp)l(ose)31 b(that)g Fi(\013)25 b Ff(\024)g Fi(\033)s Fj(.)42 b(Then)31 b(ther)l(e)g(is)g(a)g(critic)l (al)h(inverse)g(temp)l(er)l(atur)l(e)e Fi(\014)3022 2756 y Fh(c)3086 2744 y Fj(such)h(that)g(for)g Fi(\014)f(>)24 b(\014)3793 2756 y Fh(c)3858 2744 y Fj(a)0 2860 y(c)l(ondensation-evap) l(or)l(ation)29 b(tr)l(ansition)e(o)l(c)l(curs,)h(with)g(or)f(without)h (se)l(gr)l(e)l(gation,)g(dep)l(ending)h(on)e(the)g(values)g(of)h Fi(\014)t Fj(,)h Fi(h)d Fj(and)0 2977 y Fi(mu)p Fj(,)k(ac)l(c)l(or)l (ding)h(to)e(The)l(or)l(em)i(5.1.)40 b(On)29 b(the)h(other)g(hand,)h (if)g Fi(\013)23 b(>)g(\033)s Fj(,)31 b(then)e(either)i(ther)l(e)e(is)i (a)f(unique)f(minimizer)i(or)f(the)0 3093 y(c)l(ondensation-evap)l(or)l (ation)i(happ)l(ens)f(at)f(lower)h(temp)l(er)l(atur)l(e)e(than)g(se)l (gr)l(e)l(gation.)0 3298 y Fn(Pro)s(of:)36 b Fm(First)28 b(w)n(e)f(consider)g(the)h(case)e Fi(\013)e(<)e(\033)s Fm(.)38 b(W)-7 b(e)28 b(di\013eren)n(tiate)f(\(5.42\))g(and)g(get)940 3564 y Fi(\014)t(p)1033 3530 y Fg(0)1056 3564 y Fm(\()p Fi(v)s Fm(\))d(=)f Ff(\000)1469 3508 y Fm(1)p 1350 3545 283 4 v 1350 3621 a(\()p Fi(v)e Ff(\000)d Fi(b)p Fm(\))1594 3597 y Fl(2)1660 3564 y Fm(+)1753 3508 y Fi(\014)7 b Fd(e)-49 b Fi(\033)s Fm(\()1895 3486 y Fd(b)1886 3508 y Fi(\036)q Fm(\()p Fi(v)2011 3478 y Fg(\000)p Fl(1)2101 3508 y Fm(\)\))p 1753 3545 413 4 v 1898 3621 a(2)p Fi(v)1983 3597 y Fl(3)2194 3564 y Fm(+)2287 3508 y Fi(\014)2347 3486 y Fd(b)2338 3508 y Fi(\036)q Fm(\()p Fi(\033)22 b Fm(+)c Fi(\013)p Fm(\))2666 3486 y Fd(b)2657 3508 y Fi(\036)2706 3478 y Fg(0)2730 3508 y Fm(\()p Fi(v)2805 3478 y Fg(\000)p Fl(1)2895 3508 y Fm(\))p 2287 3545 641 4 v 2546 3621 a(2)p Fi(v)2631 3597 y Fl(4)2937 3564 y Fi(:)728 b Fm(\(5)p Fi(:)p Fm(43\))0 3831 y(Since)221 3809 y Fd(b)212 3831 y Fi(\036)24 b Fm(is)f(non)g(decreasing,)g(the)g (last)g(t)n(w)n(o)g(terms)g(are)f(b)r(oth)h(p)r(ositiv)n(e)g(and)g(at)g (least)g(linearly)g(increasing)e(with)j Fi(\014)t Fm(.)36 b(Hence,)0 3947 y(for)25 b(an)n(y)g(\014xed)h Fi(v)j Fm(and)d(su\016cien)n(tly)f(large)g Fi(\014)30 b Fm(they)c(dominate)f (the)h(\014rst)g(term.)36 b(On)26 b(the)g(other)f(hand,)h(for)f(an)n(y) g(\014xed)h Fi(\014)k Fm(and)0 4063 y Fi(v)h Fm(su\016cien)n(tly)c (close)g(to)h Fi(b)p Fm(,)f(the)h(\014rst)f(term)h(dominates.)36 b(Therefore)27 b(the)h(pressure)e(is)h(not)h(monotone.)100 4180 y(Let)j(us)f(no)n(w)h(consider)e(the)j(case)e Fi(\013)f(>)f(\033)s Fm(.)47 b(In)31 b(the)g(absence)f(of)h(segregation,)e(the)i(pressure)f (is)h(a)f(strictly)h(decreasing)0 4297 y(function)f(of)e Fi(v)33 b Fm(and)c(this)g(precludes)f(a)h(condensation-ev)-5 b(ap)r(oration)26 b(transition)i(in)i(the)f(absence)f(of)h (segregation.)39 b(\(This)0 4413 y(is)29 b(quite)g(di\013eren)n(t)g (from)g(the)g(usual)f(v)-5 b(an)29 b(der)g(W)-7 b(aals)28 b(case,)g(or)h(the)g(case)f(considered)g(b)n(y)g(Kortew)n(eg\).)39 b(The)29 b(segregation)0 4529 y(p)r(ermits)37 b(a)g(condensation-ev)-5 b(ap)r(oration)34 b(transition,)39 b(and)e(lo)n(w)n(ers)e(the)i (pressure)f(in)h(the)g(liquid)h(phase)e(from)h(what)g(it)0 4645 y(w)n(ould)c(b)r(e)h(without)g(segregation.)52 b(As)34 b(the)g(temp)r(erature)f(is)g(lo)n(w)n(ered)f(further,)j(the)f(v)-5 b(ap)r(or)33 b(phase)g(ma)n(y)g(also)f(undergo)0 4761 y(segregation.)p 503 4761 59 59 v 100 5055 a(In)27 b(conclusion)g(w)n (e)g(ma)n(y)g(ha)n(v)n(e)g(at)g(most)h(four)f(phases,)g(c)n (haracterized)e(b)n(y)i(the)h(follo)n(wing)f(v)-5 b(alues)27 b(of)h(the)g(densit)n(y:)1241 5316 y Fi(\032)1284 5282 y Fg(\006)1284 5337 y Fh(v)1363 5316 y Fm(=)23 b Fi(\032)1494 5328 y Fh(v)1543 5260 y Fm(1)18 b Ff(\006)1695 5238 y Fd(b)1686 5260 y Fi(\036)q Fm(\()p Fi(\032)1811 5272 y Fh(v)1850 5260 y Fm(\))p 1543 5297 340 4 v 1692 5373 a(2)1892 5316 y Fi(;)97 b(\032)2055 5281 y Fg(\006)2055 5341 y Fh(l)2134 5316 y Fm(=)23 b Fi(\032)2265 5328 y Fh(l)2300 5260 y Fm(1)18 b Ff(\006)2452 5238 y Fd(b)2443 5260 y Fi(\036)q Fm(\()p Fi(\032)2568 5272 y Fh(l)2594 5260 y Fm(\))p 2300 5297 326 4 v 2442 5373 a(2)2636 5316 y Fi(:)1029 b Fm(\(5)p Fi(:)p Fm(44\))1908 5539 y(19)p eop end %%Page: 20 20 TeXDict begin 20 19 bop 100 83 a Fm(W)-7 b(e)30 b(no)n(w)g(return)g(to) g(the)h(searc)n(h)e(for)h(the)h(constrained)e(minimizers)h(whic)n(h)h (are)e(densit)n(y)h(pro\014les)g Fi(\032)3332 95 y Fl(1)3369 83 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))p Fi(;)14 b(\032)3560 95 y Fl(2)3598 83 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))31 b(suc)n(h)0 199 y(that)1185 203 y Fd(Z)1231 391 y Fl(\003)1294 316 y Fi(dx\032)1427 328 y Fl(1)1465 316 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))24 b(=)f Fi(n)1738 328 y Fl(1)1775 316 y Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)p Fi(;)1998 203 y Fd(Z)2045 391 y Fl(\003)2108 316 y Fi(dx\032)2241 328 y Fl(2)2279 316 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))h(=)f Fi(n)2552 328 y Fl(2)2589 316 y Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)p Fi(:)972 b Fm(\(5)p Fi(:)p Fm(45\))100 555 y(Clearly)30 b(if)h(min)q Ff(f)p Fi(n)702 567 y Fl(1)738 555 y Fi(;)14 b(n)825 567 y Fl(2)862 555 y Ff(g)29 b(\024)f Fi(\032)1069 525 y Fg(\000)1069 576 y Fh(v)1156 555 y Fm(or)i(max)p Ff(f)p Fi(n)1508 567 y Fl(1)1544 555 y Fi(;)14 b(n)1631 567 y Fl(2)1668 555 y Ff(g)29 b(\025)f Fi(\032)1875 520 y Fl(+)1875 581 y Fh(l)1961 555 y Fm(the)k(only)f(p)r(ossible)f (solutions)h(are)f Fi(\032)3145 567 y Fl(1)3211 555 y Fm(=)e Fi(n)3354 567 y Fl(1)3422 555 y Fm(and)j Fi(\032)3630 567 y Fl(2)3696 555 y Fm(=)e Fi(n)3840 567 y Fl(2)3877 555 y Fm(.)0 672 y(Otherwise,)36 b(non)g(homogeneous)d(minimizers)i (are)g(p)r(ossible.)59 b(Because)35 b(of)g(the)h(previous)e(lemma)h(it) h(is)f(clear)f(that)i Fi(\032)3863 684 y Fl(1)0 788 y Fm(and)29 b Fi(\032)206 800 y Fl(2)273 788 y Fm(can)g(only)g(tak)n(e)g (the)h(ab)r(o)n(v)n(e)e(v)-5 b(alues)29 b(in)h(four)f(regions)f Fi(A)p Fm(,)j Fi(B)t Fm(,)f Fi(C)36 b Fm(and)29 b Fi(D)j Fm(whose)d(v)n(olumes)f(are)h(the)h(only)f(relev)-5 b(an)n(t)0 904 y(prop)r(erties)27 b(b)r(ecause)g(w)n(e)g(are)g(dealing)g(with)h (the)g(lo)r(cal)f(in)n(teraction)f(case.)36 b(The)28 b(minimizer)g(\()p Fi(\032)3032 874 y Fh(?)3032 925 y Fl(1)3070 904 y Fi(;)14 b(\032)3150 874 y Fh(?)3150 925 y Fl(2)3188 904 y Fm(\))28 b(is)g(giv)n(en)e(b)n(y)930 1278 y Fi(\032)973 1244 y Fh(?)973 1299 y Fl(1)1011 1278 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))f(=)1234 1058 y Fd(8)1234 1133 y(>)1234 1158 y(>)1234 1183 y(<)1234 1332 y(>)1234 1357 y(>)1234 1382 y(:)1322 1133 y Fi(\032)1365 1098 y Fl(+)1365 1158 y Fh(l)1531 1133 y Fm(if)j Fi(x)23 b Ff(2)h Fi(A;)1322 1233 y(\032)1365 1197 y Fg(\000)1365 1258 y Fh(l)1531 1233 y Fm(if)29 b Fi(x)23 b Ff(2)g Fi(B)t(;)1322 1333 y(\032)1365 1303 y Fl(+)1365 1353 y Fh(v)1531 1333 y Fm(if)28 b Fi(x)23 b Ff(2)h Fi(C)q(;)1322 1432 y(\032)1365 1402 y Fg(\000)1365 1453 y Fh(v)1531 1432 y Fm(if)29 b Fi(x)23 b Ff(2)g Fi(D)r(;)2040 1278 y(\032)2083 1244 y Fh(?)2083 1299 y Fl(2)2121 1278 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))i(=)2344 1058 y Fd(8)2344 1133 y(>)2344 1158 y(>)2344 1183 y(<)2344 1332 y(>)2344 1357 y(>)2344 1382 y(:)2432 1133 y Fi(\032)2475 1098 y Fg(\000)2475 1158 y Fh(l)2642 1133 y Fm(if)j Fi(x)23 b Ff(2)h Fi(A;)2432 1233 y(\032)2475 1197 y Fl(+)2475 1258 y Fh(l)2641 1233 y Fm(if)k Fi(x)23 b Ff(2)h Fi(B)t(;)2432 1333 y(\032)2475 1303 y Fg(\000)2475 1353 y Fh(v)2642 1333 y Fm(if)k Fi(x)23 b Ff(2)h Fi(C)q(;)2432 1432 y(\032)2475 1402 y Fl(+)2475 1453 y Fh(v)2641 1432 y Fm(if)k Fi(x)23 b Ff(2)h Fi(D)r(:)3688 1278 y Fm(\(5)p Fi(:)p Fm(46\))0 1652 y(or)j(vicev)n(ersa.)35 b(Let)27 b Fi(a)p Fm(,)h Fi(b)p Fm(,)f Fi(c)h Fm(and)f Fi(d)h Fm(denote)g(the)g(ratios)e(of)i (ab)r(o)n(v)n(e)e(v)n(olumes)g(with)j Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)p Fm(.)36 b(The)28 b(constrain)n(ts)e(are)h(then)824 1868 y Fi(a\032)911 1833 y Fl(+)911 1893 y Fh(l)984 1868 y Fm(+)18 b Fi(b\032)1146 1833 y Fg(\000)1146 1893 y Fh(l)1220 1868 y Fm(+)g Fi(c\032)1382 1834 y Fl(+)1382 1889 y Fh(v)1456 1868 y Fm(+)g Fi(d\032)1625 1834 y Fg(\000)1625 1889 y Fh(v)1704 1868 y Fm(=)k Fi(n)1841 1880 y Fl(1)1879 1868 y Fi(;)96 b(a\032)2085 1833 y Fg(\000)2085 1893 y Fh(l)2160 1868 y Fm(+)18 b Fi(b\032)2322 1833 y Fl(+)2322 1893 y Fh(l)2395 1868 y Fm(+)g Fi(c\032)2557 1834 y Fg(\000)2557 1889 y Fh(v)2631 1868 y Fm(+)g Fi(d\032)2800 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(terc)n(hange)f(the)i(minim)n(um)g(and)g(maxim)n(um)f(in)h(\(A.3\))100 316 y(W)-7 b(e)28 b(no)n(w)f(state)g(the)h(lemma)f(for)h(whic)n(h)f (these)h(de\014nitions)f(w)n(ere)g(made.)0 522 y Fn(Lemma)37 b(A.1)31 b Fj(L)l(et)i Fi(F)46 b Fj(b)l(e)34 b(a)g(symmetric)g (function)g(on)g Fi(I)-15 b(R)1897 534 y Fl(+)1974 522 y Ff(\002)21 b Fi(I)-15 b(R)2145 534 y Fl(+)2234 522 y Fj(that)34 b(satis\014es)f(\(1.2\))i(everywher)l(e)h(on)e(its)f (domain.)0 638 y(L)l(et)k Fi(K)44 b Fj(b)l(e)38 b(any)g(strictly)g(de)l (cr)l(e)l(asing)h(non-ne)l(gative)f(function)g(on)g Fm(I)-13 b(R)2268 650 y Fl(+)2323 638 y Fj(.)63 b(Then)39 b(for)f(any)h(two)f(b) l(ounde)l(d)g(non{ne)l(gative)0 754 y(me)l(asur)l(able)30 b(functions)g Fi(g)i Fj(and)e Fi(h)g Fj(on)g Ff(S)1270 724 y Fl(1)1337 754 y Fj(identi\014e)l(d)h(with)f Fm([)p Ff(\000)p Fi(\031)s(;)14 b(\031)s Fm(\))p Fj(,)573 887 y Fd(Z)656 907 y Fh(\031)619 1075 y Fg(\000)p Fh(\031)730 887 y Fd(Z)813 907 y Fh(\031)776 1075 y Fg(\000)p Fh(\031)887 1000 y Fi(g)s Fm(\()p Fi(\022)r Fm(\))p Fi(K)6 b Fm(\()p Ff(j)p Fi(\022)21 b Ff(\000)d Fi(\036)p Ff(j)p Fm(\))p Fi(h)p Fm(\()p Fi(\036)p Fm(\)d)p Fi(\022)r Fm(d)p Fi(\036)25 b Ff(\025)1870 887 y Fd(Z)1953 907 y Fh(\031)1916 1075 y Fg(\000)p Fh(\031)2027 887 y Fd(Z)2110 907 y Fh(\031)2073 1075 y Fg(\000)p Fh(\031)2184 1000 y Fi(R)2248 965 y Fl(+)2247 1020 y Fh(u)2303 1000 y Fi(g)s Fm(\()p Fi(\022)r Fm(\))p Fi(K)6 b Fm(\()p Ff(j)p Fi(\022)21 b Ff(\000)d Fi(\036)p Ff(j)p Fm(\))p Fi(R)2894 965 y Fg(\000)2893 1020 y Fh(u)2950 1000 y Fi(h)p Fm(\()p Fi(\036)p Fm(\)\)d)p Fi(\022)r Fm(d)p Fi(\036)384 b Fm(\(A)p Fi(:)p Fm(4\))0 1247 y Fj(and)1052 1285 y Fd(Z)1135 1306 y Fh(\031)1098 1474 y Fg(\000)p Fh(\031)1209 1398 y Fi(F)12 b Fm(\()p Fi(g)s Fm(\()p Fi(\022)r Fm(\))p Fi(;)i(h)p Fm(\()p Fi(\022)r Fm(\)d)p Fi(\022)27 b Ff(\025)1844 1285 y Fd(Z)1927 1306 y Fh(\031)1890 1474 y Fg(\000)p Fh(\031)2000 1398 y Fi(F)12 b Fm(\()p Fi(R)2161 1364 y Fl(+)2160 1419 y Fh(u)2216 1398 y Fi(g)s Fm(\()p Fi(\022)r Fm(\))p Fi(;)i(R)2465 1364 y Fg(\000)2464 1419 y Fh(u)2522 1398 y Fi(h)p Fm(\()p Fi(\022)r Fm(\)\)d)p Fi(\022)33 b(:)861 b Fm(\(A)p Fi(:)p Fm(5\))0 1627 y Fj(Mor)l(e)l(over,)41 b(ther)l(e)d(is)g(e)l(quality)g (in)g(ine)l(quality)h(\(A.4\))f(if)g(and)g(only)g(if)h(for)f(some)g (\014xe)l(d)g Fi(\022)2885 1639 y Fl(0)2922 1627 y Fj(,)i Fi(R)3051 1597 y Fl(+)3050 1647 y Fh(u)3106 1627 y Fi(g)s Fm(\()p Fi(\022)26 b Ff(\000)e Fi(\022)3374 1639 y Fl(0)3411 1627 y Fm(\))38 b(=)e Fi(g)s Fm(\()p Fi(\022)r Fm(\))i Fj(and)0 1743 y Fi(R)64 1713 y Fg(\000)63 1763 y Fh(u)120 1743 y Fi(h)p Fm(\()p Fi(\022)21 b Ff(\000)d Fi(\022)382 1755 y Fl(0)419 1743 y Fm(\))23 b(=)g Fi(h)p Fm(\()p Fi(\022)r Fm(\))30 b Fj(for)h(almost)f(al)t(l)h Fi(\022)r Fj(.)100 1948 y Fm(Lemma)e(A.1)g(will)h(b)r(e)g(pro)n(v)n(ed)d(after)j (using)f(it)g(to)h(pro)n(v)n(e)e(Lemma)h(2.2.)41 b(The)30 b(argumen)n(t)e(is)h(adapted)g(from)g([3],)h(whic)n(h)0 2064 y(ho)n(w)n(ev)n(er)25 b(do)r(es)j(not)f(consider)g(cases)f(of)i (equalit)n(y)-7 b(.)100 2182 y(Consider)27 b(\014rst)h(\(2.5\).)39 b(Fix)29 b(an)n(y)e(index)i Fi(i)p Fm(,)f(and)g(\014x)h(v)-5 b(alues)28 b(of)g Fi(x)2135 2194 y Fh(j)2199 2182 y Fm(and)g Fi(y)2402 2194 y Fh(j)2465 2182 y Fm(for)g Fi(j)i Ff(6)p Fm(=)24 b Fi(i)p Fm(.)38 b(Determine)29 b(a)f(sequence)g(of)g(unit)0 2298 y(v)n(ectors)g Ff(f)p Fi(u)374 2310 y Fh(j)408 2298 y Ff(g)i Fm(inductiv)n(ely)g(as)f(follo)n(ws.)43 b(Supp)r(ose)30 b(that)g(the)h Fi(u)2029 2310 y Fh(i)2086 2298 y Fm(ha)n(v)n(e)e(b)r (een)h(determined)g(for)g Fi(i)c(<)h(j)5 b Fm(.)44 b(F)-7 b(or)29 b Fi(i)e(<)f(j)5 b Fm(,)31 b(de\014ne)0 2414 y Fi(g)40 2426 y Fh(i)95 2414 y Fm(and)c Fi(h)304 2426 y Fh(i)359 2414 y Fm(inductiv)n(ely)h(b)n(y)753 2604 y Fi(g)793 2616 y Fh(i)843 2604 y Fm(=)23 b Fi(R)995 2570 y Fl(+)994 2625 y Fh(u)1033 2633 y Fc(i)1064 2604 y Fi(g)1104 2616 y Fh(i)p Fg(\000)p Fl(1)1244 2604 y Fi(;)180 b(g)1487 2616 y Fl(0)1547 2604 y Fm(=)22 b Fi(g)169 b Fm(and)d Fi(h)2191 2616 y Fh(i)2241 2604 y Fm(=)23 b Fi(R)2393 2570 y Fg(\000)2392 2625 y Fh(u)2431 2633 y Fc(i)2461 2604 y Fi(h)2509 2616 y Fh(i)p Fg(\000)p Fl(1)2650 2604 y Fi(;)180 b(h)2901 2616 y Fl(0)2961 2604 y Fm(=)22 b Fi(h)28 b(:)562 b Fm(\(A)p Fi(:)p Fm(6\))0 2795 y(No)n(w)27 b(c)n(ho)r(ose)f Fi(u)500 2807 y Fh(j)563 2795 y Fm(so)h(that)139 2930 y Fd(Z)222 2951 y Fh(\031)185 3119 y Fg(\000)p Fh(\031)295 2930 y Fd(Z)378 2951 y Fh(\031)342 3119 y Fg(\000)p Fh(\031)452 3043 y Fi(R)516 3009 y Fl(+)515 3064 y Fh(u)554 3072 y Fc(j)590 3043 y Fi(g)630 3055 y Fh(j)s Fg(\000)p Fl(1)749 3043 y Fm(\()p Fi(\022)r Fm(\))p Fi(K)6 b Fm(\()p Ff(j)p Fi(\022)22 b Ff(\000)c Fi(\036)p Ff(j)p Fm(\))p Fi(R)1298 3009 y Fg(\000)1297 3064 y Fh(u)1336 3072 y Fc(j)1372 3043 y Fi(h)1420 3055 y Fh(j)s Fg(\000)p Fl(1)1540 3043 y Fm(\()p Fi(\036)p Fm(\)\)d)p Fi(\022)r Fm(d)p Fi(\036)j Ff(\000)1971 2930 y Fd(Z)2054 2951 y Fh(\031)2017 3119 y Fg(\000)p Fh(\031)2128 2930 y Fd(Z)2211 2951 y Fh(\031)2174 3119 y Fg(\000)p Fh(\031)2284 3043 y Fi(g)2324 3055 y Fh(j)s Fg(\000)p Fl(1)2444 3043 y Fm(\()p Fi(\022)r Fm(\))p Fi(K)6 b Fm(\()p Ff(j)p Fi(\022)21 b Ff(\000)d Fi(\036)p Ff(j)p Fm(\))p Fi(h)2976 3055 y Fh(j)s Fg(\000)p Fl(1)3097 3043 y Fm(\()p Fi(\036)p Fm(\)\)d)p Fi(\022)r Fm(d)p Fi(\036)148 3304 y Ff(\024)245 3248 y Fm(1)p 245 3285 42 4 v 245 3361 a(2)311 3304 y(sup)354 3370 y Fh(u)449 3187 y Fd(\032)q(\022)573 3191 y(Z)656 3212 y Fh(\031)619 3380 y Fg(\000)p Fh(\031)730 3191 y Fd(Z)813 3212 y Fh(\031)776 3380 y Fg(\000)p Fh(\031)887 3304 y Fi(R)951 3270 y Fl(+)950 3325 y Fh(u)1005 3304 y Fi(g)s Fm(\()p Fi(\022)r Fm(\))p Fi(K)6 b Fm(\()p Ff(j)p Fi(\022)21 b Ff(\000)d Fi(\036)p Ff(j)p Fm(\))p Fi(R)1596 3270 y Fg(\000)1595 3325 y Fh(u)1653 3304 y Fi(h)p Fm(\()p Fi(\036)p Fm(\)\)d)p Fi(\022)r Fm(d)p Fi(\036)j Ff(\000)2132 3191 y Fd(Z)2215 3212 y Fh(\031)2178 3380 y Fg(\000)p Fh(\031)2289 3191 y Fd(Z)2372 3212 y Fh(\031)2335 3380 y Fg(\000)p Fh(\031)2445 3304 y Fi(g)2485 3316 y Fh(j)s Fg(\000)p Fl(1)2605 3304 y Fm(\()p Fi(\022)r Fm(\))p Fi(K)6 b Fm(\()p Ff(j)p Fi(\022)21 b Ff(\000)d Fi(\036)p Ff(j)p Fm(\))p Fi(h)3137 3316 y Fh(j)s Fg(\000)p Fl(1)3258 3304 y Fm(\()p Fi(\036)p Fm(\)\)d)p Fi(\022)r Fm(d)p Fi(\036)3585 3187 y Fd(\023)r(\033)3752 3304 y Fi(:)0 3552 y Fm(That)28 b(is,)g(w)n(e)g(c)n(ho)r(ose)f(the)i(direction)f Fi(u)1241 3564 y Fh(j)1303 3552 y Fm(to)g(get)g(an)g(e\013ect)h(that)f (is)g(at)h(least)e(half)i(of)f(the)g(largest)f(p)r(ossible)h(e\013ect)h (at)f(that)0 3668 y(stage.)100 3785 y(The)g(op)r(erations)f Fi(R)740 3755 y Fg(\006)739 3806 y Fh(u)778 3814 y Fc(j)842 3785 y Fm(preserv)n(e)g(the)i(mo)r(dulus)g(of)f(con)n(tin)n(uit)n(y)-7 b(,)29 b(so)e(if)j Fi(g)h Fm(and)d Fi(h)g Fm(are)g(con)n(tin)n(uous,)g (the)h(sequences)e Ff(f)p Fi(g)3824 3797 y Fh(j)3858 3785 y Ff(g)0 3901 y Fm(and)g Ff(f)p Fi(h)251 3913 y Fh(j)286 3901 y Ff(g)g Fm(are)g(strongly)f(compact.)36 b(P)n(assing)26 b(to)h(a)g(subsequence)g(along)g(whic)n(h)g(limits)h (exist,)g(de\014ne)1242 4092 y Fi(g)1285 4058 y Fh(?)1346 4092 y Fm(=)46 b(lim)1433 4144 y Fh(j)s Fg(!1)1610 4092 y Fi(g)1650 4104 y Fh(j)1851 4092 y Fm(and)166 b Fi(h)2199 4104 y Fh(?)2260 4092 y Fm(=)46 b(lim)2348 4144 y Fh(j)s Fg(!1)2525 4092 y Fi(h)2573 4104 y Fh(j)2635 4092 y Fi(:)1051 b Fm(\(A)p Fi(:)p Fm(7\))0 4329 y(It)28 b(follo)n(ws)f(from)g(the)h(c)n (hoice)f(of)g(the)h(sequence)f(that)h(for)f(ev)n(ery)f Fi(u)p Fm(,)437 4457 y Fd(Z)520 4477 y Fh(\031)483 4645 y Fg(\000)p Fh(\031)594 4457 y Fd(Z)677 4477 y Fh(\031)640 4645 y Fg(\000)p Fh(\031)751 4570 y Fi(R)815 4535 y Fl(+)814 4590 y Fh(u)853 4598 y Fc(j)888 4570 y Fi(g)931 4535 y Fh(?)969 4570 y Fm(\()p Fi(\022)r Fm(\))p Fi(K)6 b Fm(\()p Ff(j)p Fi(\022)21 b Ff(\000)d Fi(\036)p Ff(j)p Fm(\))p Fi(R)1517 4535 y Fg(\000)1516 4590 y Fh(u)1555 4598 y Fc(j)1591 4570 y Fi(h)1639 4582 y Fh(?)1677 4570 y Fm(\()p Fi(\036)p Fm(\)\)d)p Fi(\022)r Fm(d)p Fi(\036)26 b Fm(=)2117 4457 y Fd(Z)2200 4477 y Fh(\031)2164 4645 y Fg(\000)p Fh(\031)2274 4457 y Fd(Z)2357 4477 y Fh(\031)2320 4645 y Fg(\000)p Fh(\031)2431 4570 y Fi(g)2474 4535 y Fh(?)2512 4570 y Fm(\()p Fi(\022)r Fm(\))p Fi(K)6 b Fm(\()p Ff(j)p Fi(\022)21 b Ff(\000)d Fi(\036)p Ff(j)p Fm(\))p Fi(h)3044 4582 y Fh(?)3083 4570 y Fm(\()p Fi(\036)p Fm(\)\)d)p Fi(\022)r Fm(d)p Fi(\036)30 b(:)246 b Fm(\(A)p Fi(:)p Fm(8\))0 4817 y(By)22 b(Lemma)f(5.3,)i(this)f(is)g(only)g(p)r(ossible)f (if)i Fi(g)1399 4787 y Fh(?)1459 4817 y Fm(is)e(symmetric)h(monotone)f (ab)r(out)h(the)h(\\north)e(p)r(ole",)i(and)e Fi(h)3385 4829 y Fh(?)3446 4817 y Fm(is)g(symmetric)0 4933 y(monotone)28 b(ab)r(out)i(the)f(south)g(p)r(ole,)h Ff(\000)p Fi(u)1312 4945 y Fl(0)1348 4933 y Fm(.)42 b(Th)n(us,)29 b(since)g(the)h Ff(f)p Fi(g)2080 4945 y Fh(j)2114 4933 y Ff(g)f Fm(are)f (equimeasurable,)g(as)h(are)f(the)h Ff(f)p Fi(h)3412 4945 y Fh(j)3447 4933 y Ff(g)p Fm(,)g Fi(g)3584 4903 y Fh(?)3651 4933 y Fm(and)g Fi(h)3862 4945 y Fh(?)0 5050 y Fm(are)e(the)h(symmetric)f(monotone)g(rearrangemen)n(ts)d(of)k Fi(g)i Fm(and)e Fi(h)f Fm(resp)r(ectiv)n(ely)-7 b(.)36 b(Since)134 5178 y Fd(Z)217 5198 y 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(densities)g(is)f(assumed,)g(or)g(the)h(en)n(trop)n(y)e(term)i(do)r(es) f(not)h(necessarily)e(prev)n(en)n(ts)g(v)-5 b(acuum,)28 b(or)f(b)r(oth.)0 4778 y Fn(Theorem)k(B.1)c Fj(Assume:)-2 4895 y(i\))43 b Fi(G)30 b Fj(and)g Fi(D)i Fj(strictly)e(c)l(onvex)f (functions)-28 5012 y(ii\))44 b Fm(lim)215 5024 y Fh(r)r Fg(!1)408 4972 y Fh(F)9 b Fl(\()p Fh(r)r Fl(\))p 408 4993 136 4 v 459 5041 a Fh(r)576 5012 y Fm(=)23 b Ff(1)30 b Fi(;)-53 5129 y Fj(iii\))44 b Fi(G)30 b Fj(and)g Fi(D)i Fj(satisfy)e(the)g(fol)t(lowing)j(doubling)d(c)l(ondition:)40 b(ther)l(e)30 b(exists)f(a)h(c)l(onstant)f Fi(K)36 b Fj(so)30 b(that)f(for)i(al)t(l)g Fi(r)r Fj(,)1163 5340 y Fi(G)p Fm(\(2)p Fi(r)r Fm(\))24 b Ff(\024)f Fi(K)6 b(G)p Fm(\()p Fi(r)r Fm(\))171 b(and)e Fi(D)r Fm(\(2)p Fi(r)r Fm(\))24 b Ff(\024)f Fi(K)6 b(D)r Fm(\()p Fi(r)r Fm(\))30 b Fi(:)876 b Fm(\(B)p Fi(:)p Fm(1\))1908 5539 y(26)p eop end %%Page: 27 27 TeXDict begin 27 26 bop -40 83 a Fj(iv\))43 b(ther)l(e)29 b(is)i(an)e Fi(L)23 b(>)g Ff(\0001)29 b Fj(so)h(that)g(for)g(al)t(l)h Fi(r)26 b Ff(\025)d Fm(0)p Fj(,)1397 266 y Fi(G)p Fm(\()p Fi(r)r Fm(\))i Ff(\025)d Fi(L)170 b Fm(and)f Fi(D)r Fm(\()p Fi(r)r Fm(\))25 b Ff(\025)d Fi(L)29 b(:)1110 b Fm(\(B)p Fi(:)p Fm(2\))0 449 y Fj(Then,)32 b(under)e(the)g(same)h(assumptions)g (on)f(the)h(inter)l(actions)f(of)i(The)l(or)l(em)f(2.3,)h(the)f(c)l (onclusions)f(of)i(The)l(or)l(em)f(2.3)h(ar)l(e)0 566 y(stil)t(l)e(true.)0 768 y Fn(Pro)s(of:)36 b Fm(W)-7 b(e)28 b(\014rst)g(observ)n(e)e(that)h(for)g(an)n(y)g(\014xed)h (admissible)f Fi(\032)2015 725 y Fl(\(0\))2015 790 y(1)2104 768 y Fm(,)h(the)g(functional)g Ff(G)5 b Fm(\()p Fi(\032)2817 780 y Fl(2)2854 768 y Fm(\))28 b(de\014ned)g(b)n(y)1604 951 y Ff(G)5 b Fm(\()p Fi(\032)1733 963 y Fl(2)1771 951 y Fm(\))23 b(=)g Ff(F)8 b Fm(\()p Fi(\032)2057 908 y Fl(\(0\))2057 973 y(1)2146 951 y Fi(;)14 b(\032)2226 963 y Fl(2)2263 951 y Fm(\))1417 b(\(B)p Fi(:)p Fm(3\))0 1134 y(is)26 b(strictly)g(con)n(v)n(ex)f(on)h(the)h(set)f(of)g (densities)h(satisfying)e(the)i(mean)f(densit)n(y)g(constrain)n(t.)36 b(By)26 b(F)-7 b(atou's)26 b(lemma,)g(it)h(is)f(also)0 1250 y(lo)n(w)n(er)g(semicon)n(tin)n(uous)g(in)i(the)g Fi(L)1091 1220 y Fl(1)1156 1250 y Fm(top)r(ology)-7 b(.)100 1367 y(No)n(w)26 b(since)h(w)n(e)g(seek)f(minimizers)h(of)g Ff(F)8 b Fm(,)27 b(w)n(e)g(ma)n(y)f(assume)g(that)i Fi(\032)2232 1324 y Fl(\(0\))2232 1390 y(1)2348 1367 y Fm(is)f(symmetric)g(monotone) f(ab)r(out)h(the)g(p)r(oin)n(t)g(on)0 1484 y(the)i(torus)f(that)h(is)g (an)n(tip)r(o)r(dal)f(to)h(the)g(origin,)f(and)h(then)g(w)n(e)f(ma)n(y) h(restrict)f(our)g(consideration)f(of)i Fi(\032)3246 1496 y Fl(2)3308 1484 y Ff(7!)c(F)8 b Fm(\()p Fi(\032)3559 1441 y Fl(\(0\))3559 1506 y(1)3648 1484 y Fi(;)14 b(\032)3728 1496 y Fl(2)3765 1484 y Fm(\))29 b(to)0 1600 y(densities)f(that)g(are)e (symmetric)h(monotone)g(ab)r(out)h(the)g(origin.)100 1717 y(No)n(w)35 b(for)h(an)n(y)g(\014xed)g(constan)n(t)f Fi(M)9 b Fm(,)38 b(the)f(set)f(of)h(densities)f Fi(\032)2085 1729 y Fl(2)2158 1717 y Fm(suc)n(h)g(that)h Fi(\032)2586 1729 y Fl(2)2623 1717 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))h Ff(\024)g Fi(M)44 b Fm(for)36 b(all)g Fi(x)p Fm(,)j(and)d(that)h Fi(\032)3771 1729 y Fl(2)3844 1717 y Fm(is)0 1833 y(symmetric)26 b(monotone)g(is)h(strongly)e(compact)h(in)h Fi(L)1672 1803 y Fl(1)1709 1833 y Fm(\(\003\))g(b)n(y)f(the)h(Helly)g(selection)f (principle.)36 b(It)27 b(therefore)f(follo)n(ws)g(that)0 1949 y(there)35 b(is)h(a)f(unique)h(minimizer)41 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1106 1961 y Fl(2)1179 1949 y Fm(of)35 b Fi(\032)1324 1961 y Fl(2)1398 1949 y Ff(7!)i(F)8 b Fm(\()p Fi(\032)1661 1906 y Fl(\(0\))1661 1972 y(1)1750 1949 y Fi(;)14 b(\032)1830 1961 y Fl(2)1867 1949 y Fm(\))36 b(in)g(this)g(class.)60 b(By)35 b(Lemma)h(2.2,)h(this)f(is)f(also)g(the)h(unique)0 2066 y(minimizer)28 b(of)f Ff(G)5 b Fm(\()p Fi(\032)611 2078 y Fl(2)649 2066 y Fm(\))28 b(in)g(the)g(class)e(of)i(densities)g (satisfying:)-30 2225 y(\(i\))100 2158 y Fd(R)139 2255 y Fl(\003)202 2225 y Fi(\032)245 2237 y Fl(2)282 2225 y Fm(d)p Fi(x)c Fm(=)f Fi(n)537 2237 y Fl(2)574 2225 y Fm(.)-53 2385 y(\(ii\))43 b Fi(\032)143 2397 y Fl(2)207 2385 y Fm(is)28 b(symmetric)f(monotone)g(with)h(its)g(maxim)n(um)f(at)h (the)g(p)r(oin)n(t)g(an)n(tip)r(o)r(dal)f(to)g(the)h(origin.)-76 2544 y(\(iii\))43 b Ff(k)p Fi(\032)185 2556 y Fl(2)221 2544 y Ff(k)263 2556 y Fg(1)356 2544 y Ff(\024)23 b Fi(M)100 2662 y Fm(W)-7 b(e)26 b(no)n(w)g(sho)n(w)g(that)h(for)f Fi(M)35 b Fm(large)25 b(enough,)h(this)h(minimizer)f(ceases)f(to)i(dep) r(end)g(on)f Fi(M)9 b Fm(,)27 b(so)e(that)i(the)g(condition)f(\(iii\))0 2778 y(b)r(ecomes)h(sup)r(er\015uous.)100 2895 y(Consider)f(a)h(v)-5 b(ariation)32 b Fd(e)-51 b Fi(\032)907 2907 y Fl(2)963 2895 y Fm(+)18 b Fi(h)27 b Fm(of)33 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1259 2907 y Fl(2)1296 2895 y Fm(.)37 b(Clearly)-7 b(,)26 b(w)n(e)i(m)n(ust)f (ha)n(v)n(e)g Fi(h)c Ff(\024)f Fm(0)27 b(on)1514 3078 y Fi(A)1576 3090 y Fh(M)1673 3078 y Fm(=)c Ff(f)p Fi(x)28 b Ff(j)5 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1944 3090 y Fl(2)1981 3078 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))24 b(=)f Fi(M)9 b Ff(g)26 b Fi(;)1327 b Fm(\(B)p Fi(:)p Fm(4\))0 3261 y(and)27 b Fi(h)c Ff(\025)g Fm(0)k(on)1549 3377 y Fi(A)1611 3389 y Fh(Z)1687 3377 y Fm(=)c Ff(f)p Fi(x)28 b Ff(j)5 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1958 3389 y Fl(2)1995 3377 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\))24 b(=)f(0)p Ff(g)j Fi(:)0 3537 y Fm(W)-7 b(e)28 b(m)n(ust)g(also)e(ha)n(v)n(e)1692 3540 y Fd(Z)1739 3729 y Fl(\003)1802 3653 y Fi(h)p Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)d)p Fi(x)e Fm(=)f(0)1504 b(\(B)p Fi(:)p Fm(5\))0 3893 y(in)33 b(order)d(to)j(preserv)n(e)d(the)j(condition)f(that)g(\()p Fi(\032)1534 3850 y Fl(\(0\))1534 3915 y(1)1624 3893 y Fi(;)19 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1704 3905 y Fl(2)1762 3893 y Fm(+)21 b Fi(h)p Fm(\))33 b(b)r(elongs)e(to)i Ff(D)r Fm(\()p Fi(n)2518 3905 y Fl(1)2555 3893 y Fi(;)14 b(n)2642 3905 y Fl(2)2679 3893 y Fm(\).)52 b(The)32 b(Euler{Lagrange)c (condition)0 4009 y(then)g(is)1100 4012 y Fd(Z)1146 4201 y Fl(\003)1209 4033 y Fd(\020)1259 4125 y Fi(F)1324 4091 y Fg(0)1347 4125 y Fm(\()5 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1422 4137 y Fl(2)1459 4125 y Fm(\))19 b(+)f Fi(D)1664 4091 y Fg(0)1687 4125 y Fm(\()p Fi(\032)1762 4082 y Fl(\(0\))1762 4147 y(1)1870 4125 y Fm(+)24 b Fd(e)-52 b Fi(\032)1996 4137 y Fl(2)2033 4125 y Fm(\))19 b(+)f Fi(U)27 b Ff(\003)18 b Fi(\032)2354 4082 y Fl(\(0\))2354 4147 y(1)2443 4033 y Fd(\021)2507 4125 y Fi(h)p Fm(d)p Fi(x)23 b Ff(\025)g Fm(0)911 b(\(B)p Fi(:)p Fm(6\))100 4341 y(Let)28 b Fi(B)33 b Fm(denote)c(\()p Fi(A)708 4353 y Fh(M)801 4341 y Ff([)20 b Fi(A)938 4353 y Fh(Z)991 4341 y Fm(\))1023 4311 y Fh(c)1057 4341 y Fm(.)40 b(W)-7 b(e)29 b(\014rst)g(sho)n(w)e(that)i(for)f Fi(M)38 b Fm(su\016cien)n(tly)28 b(large,)g Ff(j)p Fi(B)t Ff(j)d(6)p Fm(=)f(0.)40 b(Indeed,)29 b(if)g Ff(j)p Fi(B)t Ff(j)c Fm(=)f(0,)29 b(then)5 4457 y Fd(e)-51 b Fi(\032)43 4469 y Fl(2)103 4457 y Fm(=)23 b Fi(M)9 b Fm(1)323 4469 y Fh(A)373 4477 y Fc(M)438 4457 y Fm(.)37 b(Since)715 4390 y Fd(R)754 4486 y Fl(\003)823 4457 y Fd(e)-52 b Fi(\032)860 4469 y Fl(2)898 4457 y Fm(\()p Fi(x)p Fm(\)d)p Fi(x)24 b Fm(=)f Fi(n)1264 4469 y Fl(1)1301 4457 y Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)p Fm(,)k Ff(j)p Fi(A)1540 4469 y Fh(Z)1594 4457 y Ff(j)h Fm(then)g(equals)f Fi(n)2136 4469 y Fl(2)2173 4457 y Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)p Fi(=)-5 b(M)36 b Fm(and)27 b(consequen)n(tly)-7 b(,)1555 4705 y Ff(G)5 b Fm(\()g Fd(e)-51 b Fi(\032)1684 4717 y Fl(2)1722 4705 y Fm(\))23 b Ff(\025)1875 4649 y Fi(F)12 b Fm(\()p Fi(M)d Fm(\))p 1875 4686 220 4 v 1939 4762 a Fi(M)2104 4705 y(n)2154 4717 y Fl(2)2191 4705 y Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)27 b Fi(:)1367 b Fm(\(B)p Fi(:)p Fm(7\))0 4924 y(Since)40 b Fi(F)12 b Fm(\()p Fi(M)d Fm(\))p Fi(=)-5 b(M)48 b Fm(tends)40 b(to)f(in\014nit)n(y)h(with)g Fi(M)9 b Fm(,)43 b(and)c(since)g Ff(G)5 b Fm(\()g Fd(e)-51 b Fi(\032)2133 4936 y Fl(2)2171 4924 y Fm(\))44 b Ff(\024)e(G)5 b Fm(\()p Fi(n)2490 4936 y Fl(2)2528 4924 y Fi(=)p Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)p Fm(\))39 b(whenev)n(er)g Fi(M)51 b Ff(\025)43 b Fi(n)3412 4936 y Fl(2)3449 4924 y Fi(=)p Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)c Fm(so)g(that)0 5041 y Fi(\032)43 5053 y Fl(2)111 5041 y Fm(=)30 b Fi(n)256 5053 y Fl(2)293 5041 y Fi(=)p Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)i Fm(is)g(an)f(admissible)h(trial)g(densit)n(y)-7 b(,)33 b(w)n(e)f(obtain)g(a)f(con)n(tradiction.)50 b(Henceforth)32 b(tak)n(e)f Fi(M)41 b Fm(large)31 b(enough)g(to)0 5157 y(ensure)c(that)h Ff(j)p Fi(B)t Ff(j)23 b(6)p Fm(=)g(0.)36 b(Note)28 b(that)g(on)f Fi(B)32 b Fm(that)c(the)g(Euler)f(Lagrange)e (equation)1270 5340 y Fi(F)1335 5306 y Fg(0)1358 5340 y Fm(\()5 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1433 5352 y Fl(2)1470 5340 y Fm(\))19 b(+)f Fi(D)1675 5306 y Fg(0)1698 5340 y Fm(\()p Fi(\032)1773 5297 y Fl(\(0\))1773 5362 y(1)1881 5340 y Fm(+)24 b Fd(e)-52 b Fi(\032)2007 5352 y Fl(2)2044 5340 y Fm(\))19 b(+)f Fi(U)27 b Ff(\003)18 b Fi(\032)2365 5297 y Fl(\(0\))2365 5362 y(1)2477 5340 y Fm(=)23 b Fi(C)1088 b Fm(\(B)p Fi(:)p Fm(8\))1908 5539 y(27)p eop end %%Page: 28 28 TeXDict begin 28 27 bop 0 83 a Fm(holds)27 b(for)g(some)g(v)-5 b(alue)28 b(of)f Fi(C)6 b Fm(,)28 b(since)g(on)f(this)h(set,)g(if)g Fi(h)f Fm(is)h(an)f(admissible)g(v)-5 b(ariations,)27 b(so)f(is)i Ff(\000)p Fi(h)p Fm(.)100 201 y(W)-7 b(e)28 b(ha)n(v)n(e)e(the)i(Cheb)n(yshev)f(estimate)1683 373 y Ff(j)p Fi(A)1768 385 y Fh(Z)1822 373 y Ff(j)c(\024)1965 317 y Fi(n)2015 329 y Fl(2)2053 317 y Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)p 1965 354 191 4 v 2016 430 a Fi(M)2194 373 y(:)1495 b Fm(\(B)p Fi(:)p Fm(9\))0 587 y(F)-7 b(urther)27 b(increasing)g Fi(M)9 b Fm(,)27 b(w)n(e)g(ma)n(y)g(assume)g(that)h Ff(j)p Fi(A)1684 599 y Fh(Z)1738 587 y Ff(j)23 b Fi(<)f Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)p Fi(=)p Fm(3.)36 b(It)28 b(then)g(follo)n(ws)f(that) 1163 863 y(either)166 b Ff(j)p Fi(B)t Ff(j)23 b(\025)1770 807 y(j)p Fm(\003)p Ff(j)p 1770 844 104 4 v 1802 920 a Fm(3)2050 863 y(or)165 b Ff(j)p Fi(A)2375 875 y Fh(Z)2429 863 y Ff(j)23 b(\025)2573 807 y(j)p Fm(\003)p Ff(j)p 2573 844 V 2604 920 a Fm(3)2714 863 y Fi(:)934 b Fm(\(B)p Fi(:)p Fm(10\))0 1083 y(Our)24 b(next)h(goal)e(is)i(to)f(obtain)g(an)h Fj(a{priori)i Fm(b)r(ound)e(on)g Fi(C)6 b Fm(.)36 b(W)-7 b(e)25 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Ff(G)5 b Fm(\()p Fi(n)1888 2189 y Fl(2)1926 2177 y Fi(=)p Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)p Fm(\))18 b(+)2215 2121 y(1)p 2215 2158 42 4 v 2215 2234 a(2)2266 2177 y Fi(D)r Fm(\(2\))h(+)f Fi(\013n)2648 2189 y Fl(1)2685 2177 y Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)2789 2060 y Fd(\023)2892 2177 y Fi(:)756 b Fm(\(B)p Fi(:)p Fm(21\))0 2447 y(No)n(w)27 b(notice)g(that)g(in)g(the)h(case)e Fi(F)12 b Fm(\()p Fi(t)p Fm(\))23 b(=)g Fi(t)14 b Fm(log)g Fi(t)p Fm(,)27 b Fi(F)1606 2417 y Fg(0)1630 2447 y Fm(\(0\))c(=)f Ff(\0001)p Fm(,)27 b(so)g(in)g(this)g(case,)g Ff(j)p Fi(A)2687 2459 y Fh(Z)2741 2447 y Ff(j)c Fi(>)f Fm(0)27 b(is)g(precluded.)37 b(W)-7 b(e)27 b(therefore)0 2563 y(ha)n(v)n(e)f(the)i Fj(a{priori)j Fm(estimate)652 2829 y Fi(C)e Ff(\024)23 b Fm(max)o Ff(f)p Fi(F)1089 2795 y Fg(0)1112 2829 y Fm(\(0\))p Fi(;)14 b Fm(0)p Ff(g)k Fm(+)1481 2773 y(3)p 1449 2810 104 4 v 1449 2886 a Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)1577 2712 y Fd(\022)1648 2773 y Fi(K)p 1648 2810 77 4 v 1666 2886 a Fm(2)1735 2829 y Ff(G)5 b Fm(\()p Fi(n)1871 2841 y Fl(2)1908 2829 y Fi(=)p Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)p Fm(\))18 b(+)2197 2773 y(1)p 2197 2810 42 4 v 2197 2886 a(2)2263 2829 y(\()p Fi(F)12 b Fm(\(2\))18 b(+)g Fi(D)r Fm(\(2\)\))h(+)f Fi(\013n)2981 2841 y Fl(1)3019 2829 y Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)3123 2712 y Fd(\023)3225 2829 y Fi(:)423 b Fm(\(B)p Fi(:)p Fm(22\))100 3100 y(T)-7 b(o)31 b(apply)h(his,)h(w)n(e)f(supp)r (ose)g Ff(j)p Fi(A)1146 3112 y Fh(M)1220 3100 y Ff(j)e Fi(>)g Fm(0,)j(and)f(consider)f(a)g(v)-5 b(ariation)31 b(of)h(the)g(follo)n(wing)f(t)n(yp)r(e:)46 b(Let)32 b Fi(h)g Fm(satisfy)g(\(B.5\))0 3217 y(with)23 b Fi(h)232 3229 y Fg(\000)288 3217 y Fm(,)h(the)g(negativ)n(e)d(part)i(of)g Fi(h)p Fm(,)h(supp)r(orted)e(b)n(y)h Fi(A)1715 3229 y Fh(M)1789 3217 y Fm(,)h(and)f(with)g Fi(h)2225 3229 y Fl(+)2303 3217 y Fm(supp)r(orted)g(in)g Fi(B)t Fm(.)36 b(Then)23 b(if)g(w)n(e)g(let)g Fi(a)g Fm(=)3578 3150 y Fd(R)3617 3246 y Fl(\003)3680 3217 y Fi(h)3728 3229 y Fl(+)3783 3217 y Fm(d)p Fi(x)p Fm(,)0 3333 y(w)n(e)k(ha)n(v)n(e)g (from)g(\(B.6\))h(that)927 3596 y Ff(\000)1006 3483 y Fd(Z)1052 3671 y Fl(\003)1115 3504 y Fd(\020)1165 3596 y Fi(F)1230 3561 y Fg(0)1253 3596 y Fm(\()5 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1328 3608 y Fl(2)1365 3596 y Fm(\))19 b(+)f Fi(D)1570 3561 y Fg(0)1593 3596 y Fm(\()p Fi(\032)1668 3553 y Fl(\(0\))1668 3618 y(1)1776 3596 y Fm(+)23 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1902 3608 y Fl(2)1939 3596 y Fm(\))19 b(+)f Fi(U)27 b Ff(\003)18 b Fi(\032)2260 3553 y Fl(\(0\))2260 3618 y(1)2349 3504 y Fd(\021)2413 3596 y Fi(h)2461 3608 y Fg(\000)2517 3596 y Fm(d)p Fi(x)h Fm(+)f Fi(C)6 b(a)23 b Ff(\025)f Fm(0)698 b(\(B)p Fi(:)p Fm(23\))0 3858 y(This)28 b(means)f(that)1123 3918 y(1)p 1122 3955 44 4 v 1122 4031 a Fi(a)1190 3861 y Fd(Z)1236 4050 y Fl(\003)1299 3882 y Fd(\020)1349 3974 y Fi(F)1414 3940 y Fg(0)1437 3974 y Fm(\()5 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1512 3986 y Fl(2)1550 3974 y Fm(\))18 b(+)g Fi(D)1754 3940 y Fg(0)1778 3974 y Fm(\()5 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1853 3986 y Fl(2)1890 3974 y Fm(\))19 b(+)f Fi(U)27 b Ff(\003)18 b Fi(\032)2211 3931 y Fl(\(0\))2211 3997 y(1)2300 3882 y Fd(\021)2364 3974 y Fi(h)2412 3986 y Fg(\000)2467 3974 y Fm(d)p Fi(x)24 b Ff(\024)f Fi(C)34 b(;)883 b Fm(\(B)p Fi(:)p Fm(24\))0 4202 y(whic)n(h)28 b(in)f(turn,)h(since)g Fi(D)817 4172 y Fg(0)868 4202 y Fm(is)f(an)g(increasing)g(function,)h(means)f(that) 1715 4414 y Fi(F)1780 4380 y Fg(0)1804 4414 y Fm(\()p Fi(M)9 b Fm(\))23 b Ff(\024)g Fi(C)33 b(:)1487 b Fm(\(B)p Fi(:)p Fm(25\))0 4627 y(Let)28 b Fi(G)g Fm(b)r(e)g(the)g(in)n(v)n(erse) e(function)i(to)f Fi(F)1264 4597 y Fg(0)1288 4627 y Fm(;)g(i.e.,)1382 4839 y Fi(G)p Fm(\()p Fi(t)p Fm(\))d(=)e(inf)7 b Ff(f)p Fi(r)26 b Ff(\025)c Fm(0)27 b Ff(j)h Fi(F)2130 4805 y Fg(0)2153 4839 y Fm(\()p Fi(r)r Fm(\))d Ff(\025)d Fi(t)28 b Ff(g)f Fi(:)1153 b Fm(\(B)p Fi(:)p Fm(26\))0 5051 y(Then,)28 b(w)n(e)f(ha)n(v)n(e)f(the)i Fj(a{priori)j Fm(b)r(ound)1727 5167 y Fi(M)h Ff(\024)22 b Fi(G)p Fm(\()p Fi(C)6 b Fm(\))29 b Fi(;)0 5340 y Fm(whic)n(h,)f(when)f(com)n(bined)h(with)g(our)f Fj(a{priori)j Fm(b)r(ound)e(on)f Fi(C)34 b Fm(implies)28 b(that)g(for)f(su\016cien)n(tly)h(large)e Fi(M)9 b Fm(,)27 b Ff(j)p Fi(A)3401 5352 y Fh(M)3475 5340 y Ff(j)c Fm(=)g(0.)1908 5539 y(29)p eop end %%Page: 30 30 TeXDict begin 30 29 bop 100 83 a Fm(Therefore,)26 b(our)h(minimizer)33 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1078 95 y Fl(2)1142 83 y Fm(satis\014es)549 359 y Fd(e)g Fi(\032)587 371 y Fl(2)647 359 y Ff(\024)23 b Fi(G)814 242 y Fd(\022)875 359 y Fm(max)o Ff(f)p Fi(F)1136 325 y Fg(0)1159 359 y Fm(\(0\))p Fi(;)14 b Fm(0)p Ff(g)k Fm(+)1528 303 y(3)p 1496 340 104 4 v 1496 416 a Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)1624 242 y Fd(\022)1695 303 y Fi(K)p 1695 340 77 4 v 1713 416 a Fm(2)1782 359 y Ff(G)5 b Fm(\()p Fi(n)1918 371 y Fl(2)1955 359 y Fi(=)p Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)p Fm(\))18 b(+)2244 303 y(1)p 2244 340 42 4 v 2244 416 a(2)2310 359 y(\()p Fi(F)12 b Fm(\(2\))18 b(+)g Fi(D)r Fm(\(2\)\))h(+)f Fi(\013n)3028 371 y Fl(1)3066 359 y Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)3170 242 y Fd(\023\023)3333 359 y Fi(:)315 b Fm(\(B)p Fi(:)p Fm(27\))0 637 y(Moreo)n(v)n(er,)25 b(w)n(e)i(see)g(that)h(wherev)n(er)k Fd(e)-52 b Fi(\032)1218 649 y Fl(2)1278 637 y Ff(6)p Fm(=)23 b(0,)k(it)h(satis\014es)f(the)h (Euler{Lagrange)c(equation.)100 756 y(No)n(w)j(\014x)g(this)h (minimizer)33 b Fd(e)-51 b Fi(\032)999 768 y Fl(2)1064 756 y Fm(and)27 b(consider)g(the)h(functional)1589 979 y Ff(G)1638 991 y Fl(1)1675 979 y Fm(\()p Fi(\032)1750 991 y Fl(1)1788 979 y Fm(\))23 b(=)g Ff(F)8 b Fm(\()p Fi(\032)2074 991 y Fl(1)2111 979 y Fi(;)19 b Fd(e)-51 b Fi(\032)2191 991 y Fl(2)2228 979 y Fm(\))28 b Fi(:)1360 b Fm(\(B)p Fi(:)p Fm(28\))0 1201 y(Exactly)28 b(the)g(same)g(argumen)n (t)g(sho)n(ws)f(that)i(this)g(has)f(a)g(minimizer)34 b Fd(e)-51 b Fi(\032)2266 1213 y Fl(1)2332 1201 y Fm(in)28 b(the)h(class)f(of)g(densities)h(that)g(are)e(symmetric)0 1317 y(monotone)j(with)h(a)g(maxim)n(um)f(at)h(the)g(origin,)g(and)f (with)1911 1250 y Fd(R)1951 1347 y Fl(\003)2014 1317 y Fi(\032)2057 1329 y Fl(1)2094 1317 y Fm(d)p Fi(x)f Fm(=)f Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)p Fi(n)2463 1329 y Fl(1)2500 1317 y Fm(.)46 b(Moreo)n(v)n(er,)29 b(w)n(e)i(obtain)f(in)h(this)g(w)n (a)n(y)f(the)0 1433 y Fj(a{priori)g Fm(b)r(ound)549 1709 y Fd(e)-51 b Fi(\032)587 1721 y Fl(1)647 1709 y Ff(\024)23 b Fi(G)814 1592 y Fd(\022)875 1709 y Fm(max)o Ff(f)p Fi(F)1136 1675 y Fg(0)1159 1709 y Fm(\(0\))p Fi(;)14 b Fm(0)p Ff(g)k Fm(+)1528 1653 y(3)p 1496 1690 104 4 v 1496 1766 a Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)1624 1592 y Fd(\022)1695 1653 y Fi(K)p 1695 1690 77 4 v 1713 1766 a Fm(2)1782 1709 y Ff(G)5 b Fm(\()p Fi(n)1918 1721 y Fl(1)1955 1709 y Fi(=)p Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)p Fm(\))18 b(+)2244 1653 y(1)p 2244 1690 42 4 v 2244 1766 a(2)2310 1709 y(\()p Fi(F)12 b Fm(\(2\))18 b(+)g Fi(D)r Fm(\(2\)\))h(+)f Fi(\013n)3028 1721 y Fl(2)3066 1709 y Ff(j)p Fm(\003)p Ff(j)3170 1592 y Fd(\023\023)3333 1709 y Fi(:)315 b Fm(\(B)p Fi(:)p Fm(29\))100 2017 y(No)n(w)37 b(consider)f(a)i(minimizing)g(sequence)f (\()p Fi(\032)1580 1974 y Fl(\()p Fh(k)q Fl(\))1580 2039 y(1)1673 2017 y Fi(;)14 b(\032)1753 1974 y Fl(\()p Fh(k)q Fl(\))1753 2039 y(2)1845 2017 y Fm(\))38 b(in)g Ff(D)r Fm(\()p Fi(n)2170 2029 y Fl(1)2208 2017 y Fi(;)14 b(n)2295 2029 y Fl(2)2332 2017 y Fm(\))38 b(for)f Ff(F)8 b Fm(.)67 b(By)38 b(the)g(argumen)n(t)e(ab)r(o)n(v)n(e,)j(w)n(e)e(can)0 2133 y(replace)d(eac)n(h)g(pair)g(\()p Fi(\032)736 2090 y Fl(\()p Fh(k)q Fl(\))736 2156 y(1)829 2133 y Fi(;)14 b(\032)909 2090 y Fl(\()p Fh(k)q Fl(\))909 2156 y(2)1002 2133 y Fm(\))35 b(b)n(y)g(another)f(pair)g(\()5 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1757 2090 y Fl(\()p Fh(k)q Fl(\))1757 2156 y(1)1850 2133 y Fi(;)19 b Fd(e)-51 b Fi(\032)1930 2090 y Fl(\()p Fh(k)q Fl(\))1930 2156 y(2)2022 2133 y Fm(\))36 b(in)f Ff(D)r Fm(\()p Fi(n)2342 2145 y Fl(1)2380 2133 y Fi(;)14 b(n)2467 2145 y Fl(2)2504 2133 y Fm(\))35 b(so)f(that)41 b Fd(e)-52 b Fi(\032)2910 2090 y Fl(\()p Fh(k)q Fl(\))2910 2156 y(1)3038 2133 y Fm(and)40 b Fd(e)-51 b Fi(\032)3250 2090 y Fl(\()p Fh(k)q Fl(\))3250 2156 y(2)3377 2133 y Fm(are)34 b(symmetric)0 2250 y(monotone)23 b(ab)r(out)i(the)f(origin)f (and)h(its)h(an)n(tip)r(o)r(dal)e(p)r(oin)n(t)i(resp)r(ectiv)n(ely)-7 b(,)24 b(and)g(so)g(that)29 b Fd(e)-51 b Fi(\032)2779 2206 y Fl(\()p Fh(k)q Fl(\))2779 2272 y(1)2896 2250 y Fm(and)29 b Fd(e)-51 b Fi(\032)3097 2206 y Fl(\()p Fh(k)q Fl(\))3097 2272 y(2)3214 2250 y Fm(satisfy)24 b(the)g Fj(a{priori)0 2366 y Fi(L)57 2336 y Fg(1)155 2366 y Fm(b)r(ounds)j(ab)r (o)n(v)n(e,)g(and)g(last)g(but)h(not)g(least,)f(so)g(that)1429 2588 y Ff(F)8 b Fm(\()d Fd(e)-51 b Fi(\032)1572 2545 y Fl(\()p Fh(k)q Fl(\))1572 2610 y(1)1664 2588 y Fi(;)20 b Fd(e)-52 b Fi(\032)1744 2545 y Fl(\()p Fh(k)q Fl(\))1744 2610 y(2)1837 2588 y Fm(\))23 b Ff(\024)g(F)8 b Fm(\()p Fi(\032)2123 2545 y Fl(\()p Fh(k)q Fl(\))2123 2610 y(1)2216 2588 y Fi(;)14 b(\032)2296 2545 y Fl(\()p Fh(k)q Fl(\))2296 2610 y(2)2388 2588 y Fm(\))28 b Fi(:)1200 b Fm(\(B)p Fi(:)p Fm(30\))0 2811 y(No)n(w)27 b(b)n(y)g(the)h(Helly)g(selection)f (principle)h(again,)e(w)n(e)i(ha)n(v)n(e)e(that)i(for)f(a)g (subsequence,)1679 3033 y Fd(e)-52 b 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