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(necessary)f(for)g(the)395 3910 y(app)r(earance)i(of)i(coheren)n(t)g(b) r(eha)n(vior)e(in)j(net)n(w)n(orks)d(of)i(c)n(haotic)f(systems)h(gro)n (w)e(with)j(the)g(size)e(of)h(the)395 4010 y(net)n(w)n(ork)k([5)o (],[4],[15)o(].)66 b(F)-7 b(or)37 b(instance,)i(estimates)e(of)g (Afraimo)n(vic)n(h)f(and)h(Lin)h([5)o(])g(suggest)e(that)h(the)395 4110 y(coupling)32 b(strength)g(necessary)f(to)h(sync)n(hronize)f(a)h (lattice)h(of)f(generalized)f(forced)h(Du\016ng)h(systems)395 4209 y(gro)n(ws)g(as)i(a)g(high)g(p)r(o)n(w)n(er)g(of)g(the)h(size)f (of)h(the)f(lattice.)61 b(Since)36 b(stable,)h(coheren)n(t)d(states)h (in)h(lattices)395 4309 y(ma)n(y)27 b(frequen)n(tly)h(b)r(e)g(view)n (ed)g(as)f(instances)h(of)g(generalized)e(sync)n(hronization)h([19)o (],)h(one)g(migh)n(t)g(guess)395 4408 y(that)c(the)h(app)r(earance)e (of)h(dynamically)g(stable)g(states)g(of)g(this)h(t)n(yp)r(e)g(also)e (requires)g(that)i(the)f(coupling)395 4508 y(gro)n(ws)i(with)k(the)f(n) n(um)n(b)r(er)f(of)h(oscillators)e(in)i(the)g(system.)40 b(This)28 b(w)n(ould)h(mak)n(e)f(it)h(unlik)n(ely)f(that)h(suc)n(h)395 4608 y(net)n(w)n(orks)20 b(are)i(of)g(imp)r(ortance)g(in)h(nature,)g (since)f(the)h(coupling)e(strength)h(in)h(realistic)e(systems)h(cannot) 395 4707 y(b)r(e)28 b(v)-5 b(aried)27 b(b)n(y)g(orders)f(of)i (magnitude.)519 4807 y(In)d(con)n(trast)f(to)h(these)g(theoretical)f (results,)h(the)h(n)n(umerical)e(exp)r(erimen)n(ts)g(of)h(Huerta,)h (et.)36 b(al.)g([18)o(])395 4907 y(indicate)28 b(that)g(partial)f(sync) n(hronization)g(ma)n(y)g(app)r(ear)g(in)h(certain)g(net)n(w)n(orks)e (of)i(c)n(haotic)f(systems)h(at)395 5006 y(a)34 b(nearly)g(constan)n(t) h(coupling)f(strength,)j(regardless)32 b(of)j(the)h(size)f(of)g(the)g (net)n(w)n(ork.)58 b(In)35 b(particular,)2024 5255 y(1)p eop %%Page: 2 2 2 1 bop 395 523 a FB([18)o(])30 b(considered)f(a)h(system)g(with)h(ab)r (out)f(10)1829 493 y Fx(4)1895 523 y FB(coupled)g(neurons.)44 b(Eac)n(h)29 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1851 y FB(\001)p Fw(z)2449 1863 y Fu(i)395 2034 y FB(where)24 b(\001)p Fw(x)748 2046 y Fu(i)799 2034 y FB(=)f Fw(x)934 2046 y Fu(i)p Fv(\000)p Fx(1)1059 2034 y Ft(\000)12 b FB(2)p Fw(x)1225 2046 y Fu(i)1264 2034 y FB(+)g Fw(x)1388 2046 y Fu(i)p Fx(+1)1524 2034 y FB(with)25 b(the)g(index)f Fw(i)h FB(tak)n(en)e(mo)r(dulo)i Fw(n)f FB(is)g(the)h(discretized)f (Laplacian)395 2134 y(with)29 b(p)r(erio)r(dic)g(b)r(oundary)g (conditions.)41 b(The)29 b(constan)n(ts)f Fw(\033)h FB(=)c(10)p Fw(;)14 b(r)27 b FB(=)e(27,)k(and)g Fw(\014)h FB(=)25 b(8)p Fw(=)p FB(3)j(are)g(c)n(hosen)395 2233 y(so)g(that)g(eac)n(h)g (uncoupled)h(system)f(w)n(ould)g(b)r(e)h(in)g(the)f(c)n(haotic)g (regime.)39 b(F)-7 b(ollo)n(wing)27 b(the)i(w)n(ork)e(of)i([18)o(],)395 2333 y(w)n(e)c(will)h(fo)r(cus)f(on)h(the)g(case)e Fw(d)1351 2345 y Fu(x)1417 2333 y Ft(6)p FB(=)e(0,)k Fw(d)1638 2345 y Fu(y)1701 2333 y FB(=)d Fw(d)1832 2345 y Fu(z)1893 2333 y FB(=)g(0.)36 b(As)25 b(sho)n(wn)g(in)h([19)o(],)g(suc)n(h)g(a)f (ring)g(is)g(sync)n(hronized)395 2433 y(iden)n(tically)30 b(for)h(su\016cien)n(tly)g(large)e(v)-5 b(alues)31 b(of)f Fw(d)1946 2445 y Fu(x)1988 2433 y FB(.)47 b(W)-7 b(e)32 b(will)f(b)r(e)g(concerned)f(with)h(the)h(case)e(when)h Fw(d)3653 2445 y Fu(x)395 2532 y FB(is)25 b(su\016cien)n(tly)g(large)g (for)f(coheren)n(t)h(spatial)g(structures)f(to)i(emerge)e(in)i(the)g(c) n(hain,)f(but)h(insu\016cien)n(t)g(to)395 2632 y(sync)n(hronize)g(the)i (ring.)519 2731 y(The)41 b(pap)r(er)g(is)f(organized)f(as)i(follo)n (ws:)62 b(T)n(ypical)40 b(spatial)g(structures)g(observ)n(ed)g(in)h(n)n (umerical)395 2831 y(exp)r(erimen)n(ts)26 b(are)g(describ)r(ed)h(in)g (section)f(2.)37 b(In)27 b(particular,)e(w)n(e)i(giv)n(e)f(examples)g (of)h(stable)f(stationary)395 2931 y(states,)21 b(tra)n(v)n(eling)e(w)n (a)n(v)n(es,)h(and)g(breathers.)33 b(In)20 b(section)g(3)g(a)g(general) f(framew)n(ork)f(for)i(the)h(study)f(of)h(\014xed)395 3030 y(states)32 b(in)g(c)n(hains)g(and)g(rings)f(of)h(dynamical)g (systems)f(is)i(discussed.)50 b(W)-7 b(e)33 b(sho)n(w)e(that)h(the)h (existence)395 3130 y(of)k(suc)n(h)g(states)g(can)h(b)r(e)f(reduced)h (to)f(the)h(study)g(of)f(p)r(erio)r(dic)g(solutions)g(of)h(rev)n (ersible)d(dynamical)395 3230 y(systems)29 b(on)g Fs(R)876 3199 y Fu(n)927 3230 y FB(.)44 b(W)-7 b(e)30 b(then)g(apply)f(these)h (results)f(to)g(t)n(w)n(o)g(di\013eren)n(t)h(cases,)f(including)h(the)g (c)n(hains)f(of)395 3329 y(coupled)e(Lorenz)g(oscillators)e(\(1\),)j (to)g(sho)n(w)e(that)i(a)f(large)g(n)n(um)n(b)r(er)g(of)g(\014xed)h (states)f(can)g(b)r(e)h(exp)r(ected)395 3429 y(in)d(suc)n(h)g(rings.)35 b(The)25 b(conditions)g(under)g(whic)n(h)g(these)g(states)g(are)f (stable)h(are)f(in)n(v)n(estigated)g(in)h(section)395 3528 y(5.)35 b(W)-7 b(e)25 b(then)f(sho)n(w)g(ho)n(w)f(Flo)r(quet)i (theory)e(can)h(b)r(e)g(used)h(to)f(reduce)f(the)i(stabilit)n(y)f (question)g(in)g(lattices)395 3628 y(of)32 b(arbitrarily)e(man)n(y)i (oscillators)e(to)i(the)h(study)f(of)h(the)f(sp)r(ectrum)h(of)f(a)g (matrix)f(of)i(\014xed)f(size)g(\(but)395 3728 y(dep)r(ending)g(on)g(a) g(parameter)e({)i(the)h(\\quasi-momen)n(tum".\))48 b(Finally)-7 b(,)34 b(in)e(section)g(6)f(w)n(e)h(implemen)n(t)395 3827 y(this)i(program)d(to)j(rigorously)d(construct)i(an)g(example)h (of)f(a)h(spatially)e(p)r(erio)r(dic)i(stable)f(\014xed)h(state)395 3927 y(whic)n(h)27 b(remains)g(stable)g(for)g(rings)g(of)h(arbitrary)d (size.)395 4201 y Fy(2)134 b(Numerical)46 b(Exp)t(erimen)l(ts)395 4383 y FB(Numerical)20 b(exp)r(erimen)n(ts)g(w)n(ere)f(p)r(erformed)h (on)g(a)g(Sun)h(Sup)r(erSparc)f(using)g(the)h(n)n(umerical)e(in)n (tegration)395 4483 y(program)27 b(XPP)-7 b(.)29 b(Sev)n(eral)e (di\013eren)n(t)j(in)n(tegration)d(metho)r(ds)j(w)n(ere)e(used)h(to)g (c)n(hec)n(k)g(the)g(v)-5 b(alidit)n(y)29 b(of)g(the)395 4583 y(results.)37 b(These)27 b(included)h(\014xed)g(and)g(v)-5 b(ariable)26 b(step)i(Runge-Kutta)f(metho)r(ds)h(of)g(v)-5 b(arying)27 b(order)f(and)395 4682 y(the)i(Gear)e(metho)r(d.)519 4782 y(A)n(t)21 b(v)n(ery)e(lo)n(w)g(v)-5 b(alues)20 b(of)g(the)g(coupling)g(constan)n(t)f Fw(d)2106 4794 y Fu(x)2148 4782 y FB(,)j(the)e(individual)h(systems)e(in)i(the)f(ring) g(b)r(eha)n(v)n(ed)395 4881 y(as)38 b(if)h(they)g(w)n(ere)e(uncoupled.) 70 b(As)39 b(the)g(coupling)f(strength)g(w)n(as)g(increased)g(the)h(b)r (eha)n(vior)e(of)h(the)395 4981 y(ring)32 b(b)r(ecame)g(more)g(coheren) n(t.)52 b(Since)33 b(the)g(discrete)f(Laplacian)g(acts)g(to)h(sync)n (hronize)e(neigh)n(b)r(oring)2024 5255 y(2)p eop %%Page: 3 3 3 2 bop 395 523 a FB(systems)32 b(in)g(the)h(ring,)g(these)f(results)g (agree)f(with)i(our)e(exp)r(ectations.)51 b(As)32 b(w)n(as)g (emphasized)g(in)g(the)395 623 y(in)n(tro)r(duction,)20 b(the)g(onset)f(of)g(the)g(coheren)n(t)f(b)r(eha)n(vior)g(o)r(ccurred)g (at)h(coupling)g(strengths)f(whic)n(h)h(seemed)395 722 y(to)31 b(b)r(e)g(indep)r(enden)n(t)h(of)f(the)g(n)n(um)n(b)r(er)g(of)f (oscillators)f(in)j(the)f(ring.)46 b(Some)31 b(of)g(the)g(t)n(ypical)g (structures)395 822 y(observ)n(ed)26 b(in)i(these)f(n)n(umerical)g(exp) r(erimen)n(ts)g(are)g(discussed)g(b)r(elo)n(w.)395 1054 y Fr(2.1)112 b(Breathers)395 1208 y FB(If)30 b(some)f(of)h(the)g (systems)f(in)h(the)g(ring)f(are)g(nearly)f(stationary)-7 b(,)29 b(while)h(others)f(are)g(undergoing)f(oscil-)395 1307 y(lations)g(w)n(e)h(sa)n(y)f(that)h(the)h(oscillating)e(systems)h (form)g(a)f(breather.)41 b(Since)29 b(w)n(e)g(are)f(considering)g (rings)395 1407 y(of)i(\014nite)g(size,)h(it)f(is)g(not)h(exp)r(ected)f (that)g(an)n(y)g(single)f(system)h(in)g(the)h(ring)e(is)h(stationary)-7 b(,)30 b(unless)f(the)395 1506 y(en)n(tire)e(ring)g(is)g(stationary)-7 b(.)519 1606 y(An)26 b(example)e(of)h(a)g(system)g(with)h(t)n(w)n(o)e (breathers)g(is)h(sho)n(wn)f(in)h(\014gure)g(1.)35 b(It)26 b(is)f(in)n(teresting)f(to)h(note)395 1706 y(that)35 b(in)g(these)g(states)f(eac)n(h)g(of)h(the)g(individual)g(systems)g (undergo)r(es)e(oscillations)h(that)h(are)f(nearly)395 1805 y(p)r(erio)r(dic,)h(and)f(that)g(there)g(is)g(a)f(strong)g (spatial)h(dep)r(endence)g(on)g(the)g(motion.)56 b(Lo)r(osely)33 b(sp)r(eaking)395 1905 y(the)39 b(motion)g(of)g(eac)n(h)f(individual)h (system)g(is)f(trapp)r(ed)h(in)h(a)e(region)g(close)g(to)h(one)f(of)h (the)h(`lob)r(es")395 2005 y(of)33 b(the)h(Lorenz)f(attractor.)54 b(No)33 b(stable)h(states)f(in)h(whic)n(h)g(all)f(systems)g(in)h(the)g (ring)f(are)g(trapp)r(ed)h(in)395 2104 y(the)c(vicinit)n(y)h(of)f(only) g Fq(one)37 b FB(\\lob)r(e")29 b(has)h(b)r(een)h(observ)n(ed.)43 b(Similar)30 b(breathers)f(ha)n(v)n(e)g(b)r(een)i(studied)g(in)395 2204 y(coupled)d(map)h(lattices)f(in)h([8],)g(while)g(o)r(ccurrences)e (of)i(nearly)f(p)r(erio)r(dic)g(b)r(eha)n(vior)g(with)h(pronounced)395 2303 y(spatial)g(patterns)g(in)h(lattices)g(of)f(c)n(haotically)g (bursting)g(neurons)g(ha)n(v)n(e)f(b)r(een)j(observ)n(ed)d(n)n (umerically)395 2403 y(b)n(y)f(M.I.)h(Rabino)n(vic)n(h,)e(et.)38 b(al.)e([23)o(].)519 2503 y(Another)19 b(in)n(teresting)f(feature)h(of) g(breathers,)g(whic)n(h)g(is)g(also)e(shared)h(with)i(other)e(t)n(yp)r (es)h(of)g(solutions)395 2602 y(of)30 b(this)g(net)n(w)n(ork,)f(is)h (that)g(frequen)n(tly)f(nonadjacen)n(t)g(systems)h(sync)n(hronize)e (without)j(sync)n(hronizing)395 2702 y(with)k(the)h(oscillators)c(that) k(lie)f(b)r(et)n(w)n(een)g(them.)59 b(The)35 b(sync)n(hron)n(y)e(is)i (usually)g(not)g(exact,)h(ho)n(w)n(ev)n(er)395 2802 y(this)k(ma)n(y)e (b)r(e)i(due)g(to)g(n)n(umerical)e(errors)g(in)h(the)h(calculations.)72 b(Due)40 b(to)f(the)h(man)n(y)f(symmetries)395 2901 y(of)g(the)g (system)g(this)h(sometimes)f(seems)f(to)h(b)r(e)h(due)f(to)g(the)h (stabilit)n(y)f(of)g(an)g(in)n(v)-5 b(arian)n(t)38 b(manifold)395 3001 y(corresp)r(onding)22 b(to)h(a)h(partially)f(sync)n(hronized)f (state)i(in)g(the)h(c)n(hain)e(as)g(discussed)h([19)o(].)36 b(In)24 b(other)f(cases)395 3100 y(the)32 b(state)f(do)r(es)g(not)g (app)r(ear)g(to)g(b)r(e)h(symmetric,)g(and)g(it)g(is)f(unclear)g(what)g (the)h(mec)n(hanism)f(b)r(ehind)395 3200 y(this)d(sync)n(hronization)d (is.)519 3300 y(It)37 b(is)f(imp)r(ortan)n(t)g(to)g(note)g(that)g(some) g(of)g(the)g(qualitativ)n(e)g(features)f(of)h(the)h(dynamics)e(remain) 395 3399 y(una\013ected)22 b(b)n(y)f(the)h(size,)h(or)e(the)h(coupling) f(strength)g(in)h(the)g(ring.)34 b(Figure)21 b(2)h(sho)n(ws)e(t)n (ypical)h(timeseries)395 3499 y(of)i(the)g Fw(x)g FB(v)-5 b(ariable)22 b(at)g(four)h(di\013eren)n(t)g(coupling)f(v)-5 b(alues)23 b(in)g(a)f(ring)g(of)h(32)f(oscillators.)33 b(Note)23 b(the)g(smo)r(oth)395 3599 y(en)n(v)n(elop)r(e)g(and)h (regularit)n(y)e(of)i(the)h(oscillations,)e(as)h(w)n(ell)g(as)f(the)i (agreemen)n(t)e(of)h(the)g(timescales)g(among)395 3698 y(the)g(di\013eren)n(t)h(timeseries.)35 b(These)24 b(general)f (features)h(remain)f(unc)n(hanged)h(as)f(the)i(n)n(um)n(b)r(er)f(of)g (systems)395 3798 y(in)36 b(the)f(ring)g(is)h(v)-5 b(aried,)37 b(as)d(long)h(as)g(the)h(coupling)f(is)g(b)r(elo)n(w)g(the)h(sync)n (hronization)e(threshold)h(and)395 3897 y(ab)r(o)n(v)n(e)26 b(the)i(v)-5 b(alue)27 b(necessary)f(for)h(the)h(app)r(earance)e(of)i (coheren)n(t)f(b)r(eha)n(vior.)395 4130 y Fr(2.2)112 b(Stable)37 b(Stationary)g(States)395 4283 y FB(In)30 b(n)n(umerical)f(exp)r(erimen)n(ts)g(with)h(rings)f(of)h(8)f(to)h(52)f (systems)g(stable)h(steady)f(states)h(w)n(ere)e(observ)n(ed)395 4383 y(for)c(a)h(v)-5 b(ariet)n(y)24 b(of)h(initial)h(conditions)e(for) h Fw(d)1750 4395 y Fu(x)1815 4383 y Fw(>)e FB(10.)35 b(T)n(ypical)24 b(stable)h(\014xed)g(states)g(are)f(sho)n(wn)g(in)i (\014gure)395 4482 y(3.)519 4582 y(F)-7 b(or)25 b(certain)h(v)-5 b(alues)25 b(of)h(the)g(coupling)f(it)i(app)r(ears)d(that)i(all)g (initial)g(conditions)f(lead)h(to)f(one)h(of)f(the)395 4682 y(stationary)30 b(states)i(of)h(the)f(system.)51 b(The)32 b(basins)g(of)g(attraction)f(of)i(the)f(stationary)f(states)h (seem)g(to)395 4781 y(b)r(e)26 b(in)n(tert)n(wined)g(in)h(a)e (complicated)h(w)n(a)n(y)f(in)i(this)f(case,)g(as)f(sho)n(wn)h(in)g (\014gure)f(3.)36 b(The)27 b(same)e(is)h(true)g(for)395 4881 y(other)f(stable)g(states)g(of)h(the)g(system.)36 b(Small)26 b(c)n(hanges)e(in)i(the)g(initial)g(v)-5 b(alues)25 b(of)h(the)g(parameters,)e(and)395 4981 y(c)n(hanges)k(in)i(the)g(in)n (tegrating)f(metho)r(ds)h(can)g(result)f(in)h(v)n(ery)f(di\013eren)n(t) h(asymptotic)f(b)r(eha)n(vior)g(of)g(the)2024 5255 y(3)p eop %%Page: 4 4 4 3 bop 395 523 a FB(system.)41 b(This)30 b(situation)f(is)g(similar)f (to)i(that)f(of)g(attractors)f(with)i(riddled)f(basins)f(of)i (attraction)e([7],)395 623 y(and)f(w)n(as)f(also)f(observ)n(ed)h(in)h (n)n(umerical)f(sim)n(ulations)g(of)h(net)n(w)n(orks)f(of)h(c)n (haotically)e(bursting)i(neurons)395 722 y([18)o(].)395 953 y Fr(2.3)112 b(T)-9 b(ra)m(v)m(eling)36 b(Pulses)395 1106 y FB(T)-7 b(ra)n(v)n(eling)21 b(pulses)j(w)n(ere)e(observ)n(ed)g (in)i(the)g(ring)f(only)g(when)h Fw(d)2355 1118 y Fu(x)2420 1106 y Ft(6)p FB(=)f(0)g(and)h Fw(d)2774 1118 y Fu(y)2837 1106 y Ft(6)p FB(=)e(0.)35 b(A)24 b(t)n(ypical)g(tra)n(v)n(eling)395 1205 y(pulse)i(is)g(sho)n(wn)f(in)i(\014gure)e(4.)36 b(The)26 b(pulse)g(oscillates)f(as)h(it)g(propagates)e(along)h(the)i(c) n(hain,)f(and)g(is)g(th)n(us)395 1305 y(a)h(p)r(erio)r(dic,)g(rather)f (than)i(a)e(\014xed)i(state)f(in)g(a)g(mo)n(ving)g(co)r(ordinate)f (frame.)36 b(This)27 b(can)g(b)r(e)h(seen)f(in)g(the)395 1405 y(timeseries)g(in)h(\014gure)e(4.)395 1677 y Fy(3)134 b(A)40 b(General)g(F)-11 b(ramew)l(ork)40 b(for)g(the)g(Study)f(of)h (Steady)g(States)395 1859 y FB(System)27 b(\(1\))h(is)g(a)f(sp)r(ecial) g(case)g(of)g(a)h(lattice)f(discrete)g(or)g(con)n(tin)n(uous)g(time)h (dynamical)f(system)1739 2030 y(\()p Fw(u)1819 2042 y Fu(j)1854 2030 y FB(\))1886 1995 y Fv(0)1932 2030 y FB(=)c Fw(F)12 b FB(\()p Ft(f)p Fw(u)2207 2042 y Fu(j)2241 2030 y Ft(g)2283 1995 y Fu(s)2318 2030 y FB(\))1239 b(\(2\))395 2209 y(where)29 b Fw(j)k Ft(2)28 b Fs(Z)848 2178 y Fu(D)902 2209 y FB(,)j Fw(u)1004 2221 y Fu(j)1066 2209 y Ft(2)d Fs(R)1203 2178 y Fu(p)1278 2209 y FB(and)i Ft(f)p Fw(u)1532 2221 y Fu(j)1566 2209 y Ft(g)1608 2178 y Fu(s)1671 2209 y FB(=)d Ft(f)p Fw(u)1853 2221 y Fu(i)1907 2209 y FB(:)g Ft(j)p Fw(i)20 b Ft(\000)g Fw(j)5 b Ft(j)27 b(\024)h Fw(s)p Ft(g)p FB(.)44 b(In)30 b(the)h(follo)n(wing)e(discussion)h(w)n (e)g(will)395 2308 y(use)25 b(the)h(con)n(v)n(en)n(tion)e(that)h(in)h Fw(u)1410 2278 y Fu(k)1410 2330 y(i)1476 2308 y FB(the)g(subscript)f Fw(i)e Ft(2)g Fs(Z)2162 2278 y Fu(D)2242 2308 y FB(denotes)i(the)h(p)r (osition)f(in)h(the)g(lattice,)g(while)395 2408 y(the)h(sup)r(erscript) g(1)22 b Ft(\024)h Fw(k)j Ft(\024)c Fw(p)27 b FB(denotes)g(the)g(comp)r (onen)n(t)g(of)g(the)g(v)n(ector)f Fw(u)2741 2420 y Fu(i)2768 2408 y FB(.)37 b(Suc)n(h)27 b(systems)g(ha)n(v)n(e)e(b)r(een)395 2507 y(studied)31 b(b)n(y)g(man)n(y)g(authors)f([2],)i([10)o(],)g([22)o (])g(as)e(discrete)h(v)n(ersions)e(of)i(partial)g(di\013eren)n(tial)g (equations)395 2607 y(of)c(ev)n(olution)g(t)n(yp)r(e.)519 2707 y(W)-7 b(e)33 b(will)f(mainly)g(b)r(e)g(concerned)f(with)i (systems)e(con)n(tin)n(uous)g(in)h(time)h(with)f Fw(D)h FB(=)d(1)h(and)h Fw(s)e FB(=)g(1.)395 2806 y(These)e(are)g(simply)h(c)n (hains)f(of)h(systems)f(coupled)h(to)g(their)f(nearest)g(neigh)n(b)r (ors.)39 b(The)29 b(sp)r(ecial)g(case)f(of)395 2906 y Fq(rings)p FB(,)g(that)g(is)g(c)n(hains)f(of)h(\014nite)h(size)e(with)i (p)r(erio)r(dic)e(b)r(oundary)g(condition)h(will)g(b)r(e)h(the)f(fo)r (cus)g(of)g(our)395 3006 y(atten)n(tion.)45 b(A)31 b(state)g(in)f(a)h (ring)e(of)i Fw(n)f FB(systems)h(corresp)r(onds)d(to)j(a)f(state)g(of)h (p)r(erio)r(d)f Fw(n)h FB(in)f(the)h(spatial)395 3105 y(v)-5 b(ariable)26 b(in)i(an)f(in\014nite)i(c)n(hain.)519 3205 y(A)f(steady)f(state)h(of)f(a)g(c)n(hain)g(giv)n(en)g(in)h(\(2\))g (is)f(determined)h(b)n(y)1376 3375 y Fw(F)12 b FB(\()p Ft(f)p Fw(u)1563 3387 y Fu(j)1597 3375 y Ft(g)1639 3341 y Fu(s)1674 3375 y FB(\))23 b(=)g Fw(F)12 b FB(\()p Fw(u)1962 3387 y Fu(j)s Fv(\000)p Fx(1)2081 3375 y Fw(;)i(u)2166 3387 y Fu(j)2201 3375 y Fw(;)g(u)2286 3387 y Fu(j)s Fx(+1)2404 3375 y FB(\))24 b(=)e(0)1000 b(\(3\))1335 3500 y Fw(F)12 b FB(\()p Ft(f)p Fw(u)1522 3512 y Fu(j)1556 3500 y Ft(g)1598 3466 y Fu(s)1633 3500 y FB(\))23 b(=)g Fw(F)12 b FB(\()p Fw(u)1921 3512 y Fu(j)s Fv(\000)p Fx(1)2040 3500 y Fw(;)i(u)2125 3512 y Fu(j)2160 3500 y Fw(;)g(u)2245 3512 y Fu(j)s Fx(+1)2363 3500 y FB(\))24 b(=)e Fw(u)2554 3512 y Fu(j)3589 3500 y FB(\(4\))395 3670 y(in)f(the)f(con)n(tin)n(uous,)h(resp)r(ectiv)n (ely)f(discrete)g(case.)34 b(W)-7 b(e)21 b(will)f(study)h(systems)f (that)h(satisfy)f(the)h(follo)n(wing)395 3770 y(condition:)519 3870 y Fp(Condition)39 b(1)34 b FB(If)i(w)n(e)e(write)g Fw(F)47 b FB(:)35 b Fs(R)1706 3839 y Fx(3)p Fu(p)1818 3870 y Ft(!)g Fs(R)1990 3839 y Fu(p)2070 3870 y FB(as)f Fw(F)12 b FB(\()p Fw(\037;)i(\021)s(;)g(\020)6 b FB(\))35 b(=)g(\()p Fw(F)2752 3839 y Fx(1)2789 3870 y FB(\()p Fw(\037;)14 b(\021)s(;)g(\020)6 b FB(\))p Fw(;)36 b(F)3189 3839 y Fx(2)3226 3870 y FB(\()p Fw(\037;)14 b(\021)s(;)g(\020)6 b FB(\))p Fw(;)36 b(:)14 b(:)g(:)g(;)395 3994 y(F)460 3964 y Fu(p)498 3994 y FB(\()p Fw(\037;)g(\021)s(;)g(\020)6 b FB(\)\))29 b(then)f(det)1153 3902 y Fo(h)1202 3961 y Fu(@)t(F)1292 3936 y Fn(i)p 1202 3975 117 4 v 1208 4023 a Fu(@)t(\020)1281 4006 y Fn(j)1329 3994 y FB(\()p Fw(\037;)14 b(\021)s(;)g(\020)6 b FB(\))1605 3902 y Fo(i)1645 4052 y Fu(i;j)1746 3994 y Ft(6)p FB(=)23 b(0.)519 4167 y(By)e(the)h(Implicit)g(F)-7 b(unction)21 b(Theorem)g(in)g(the)h(case)e (of)i(con)n(tin)n(uous)e(time)h(if)h(det)3038 4075 y Fo(h)3088 4135 y Fu(@)t(F)3178 4110 y Fn(i)p 3088 4149 V 3094 4196 a Fu(@)t(\020)3167 4179 y Fn(j)3214 4167 y FB(\()p Fw(\037;)14 b(\021)s(;)g(\020)6 b FB(\))3490 4075 y Fo(i)3531 4225 y Fu(i;j)3630 4167 y Ft(6)p FB(=)395 4313 y(0)20 b(for)h(all)g(v)-5 b(alues)20 b(of)h Fw(\037;)14 b(\021)s(;)g(\020)28 b FB(then)21 b(either)g(there)g(exists)g(a)g(p)r (oin)n(t)g(\()p Fw(a;)14 b(b;)g(c)p FB(\))23 b Ft(2)g Fs(R)2771 4283 y Fx(3)p Fu(p)2870 4313 y FB(suc)n(h)d(that)i Fw(F)12 b FB(\()p Fw(a;)i(b;)g(c)p FB(\))23 b(=)f(0)395 4412 y(and)33 b(therefore)h(a)f(function)i Fw(G)p FB(\()p Fw(\021)s(;)14 b(\037)p FB(\))34 b(suc)n(h)g(that)g Fw(F)12 b FB(\()p Fw(\037;)i(\021)s(;)g(G)p FB(\()p Fw(\021)s(;)g(\037)p FB(\)\))35 b(=)e(0,)j(or)d Fw(F)12 b FB(\()p Fw(\037;)i(\021)s(;)g (\020)6 b FB(\))34 b(=)f(0)h(has)f(no)395 4512 y(solutions)h(and)g (there)g(are)g(no)g(\014xed)h(p)r(oin)n(ts)f(of)h(\(2\).)58 b(If)34 b(suc)n(h)h(a)f(function)h Fw(G)g FB(exists)f(and)g(w)n(e)h (de\014ne)395 4612 y Fw(u)443 4624 y Fu(j)s Fx(+1)584 4612 y FB(=)23 b Fw(G)p FB(\()p Fw(u)817 4624 y Fu(j)852 4612 y Fw(;)14 b(u)937 4624 y Fu(j)s Fv(\000)p Fx(1)1056 4612 y FB(\),)27 b Fw(x)1185 4624 y Fu(j)1244 4612 y FB(=)22 b Fw(u)1379 4624 y Fu(j)1440 4612 y FB(and)k Fw(y)1641 4624 y Fu(j)1698 4612 y FB(=)d Fw(u)1834 4624 y Fu(j)s Fv(\000)p Fx(1)1979 4612 y FB(this)k(leads)e(to)h(the)g(follo) n(wing)f(dynamical)g(system)h(on)395 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Fw(u)1905 1628 y Fu(j)1965 1616 y FB(=)d Fw(u)2103 1628 y Fu(j)s Fv(\000)p Fx(1)2242 1616 y Ft(\000)19 b FB(2)p Fw(u)2416 1628 y Fu(j)2470 1616 y FB(+)g Fw(u)2602 1628 y Fu(j)s Fx(+1)2749 1616 y FB(and)29 b(\011)p Fw(u)3025 1628 y Fu(j)3085 1616 y FB(=)c Fw(u)3223 1628 y Fu(j)s Fv(\000)p Fx(1)3342 1616 y Fw(u)3390 1628 y Fu(j)s Fx(+1)3528 1616 y FB(+)19 b Fw(u)3660 1628 y Fu(j)395 1715 y FB(are)30 b(of)i(this)g(t)n(yp)r(e.)49 b(The)32 b(stationary)e(states)h(of)h (symmetrically)f(coupled)g(c)n(hains)g(are)g(related)g(to)g(the)395 1815 y(follo)n(wing)26 b(class)h(of)g(dynamical)g(systems:)395 1963 y Fp(De\014nition)k(3.2)40 b Fq(Given)33 b(a)f(di\013e)l (omorphism)j FB(\010)27 b(:)g Fs(R)2099 1933 y Fx(2)p Fu(p)2203 1963 y Ft(!)g Fs(R)2367 1933 y Fx(2)p Fu(p)2477 1963 y Fq(and)32 b(an)g(involution)h Fw(R)28 b FB(:)f Fs(R)3349 1933 y Fx(2)p Fu(p)3453 1963 y Ft(!)g Fs(R)3617 1933 y Fx(2)p Fu(p)395 2062 y Fq(such)j(that)f(the)h(dimension)h(of)g (the)f(\014xe)l(d)f(p)l(oint)h(set)f(of)i Fw(R)f Fq(is)g Fw(p)g Fq(we)g(say)g(that)g FB(\010)g Fq(is)37 b FB(R-rev)n(ersible)27 b Fq(if)1743 2222 y Fw(R)19 b Ft(\016)f FB(\010)23 b(=)g(\010)2116 2188 y Fv(\000)p Fx(1)2223 2222 y Ft(\016)18 b Fw(R)1243 b FB(\(6\))395 2382 y Fq(The)30 b(dynamic)l(al)i(system)e(de\014ne)l(d) g(by)g Fw(x)1664 2394 y Fu(i)p Fx(+1)1799 2382 y FB(=)23 b(\010\()p Fw(x)2026 2394 y Fu(i)2054 2382 y FB(\))30 b Fq(is)g(also)h(said)g(to)f(b)l(e)f(R-r)l(eversible.)395 2530 y FB(The)j(relation)g(b)r(et)n(w)n(een)h(symmetrically)e(coupled)i (c)n(hains)f(and)g(rev)n(ersible)f(systems)h(is)h(giv)n(en)f(in)g(the) 395 2630 y(follo)n(wing)395 2778 y Fp(Theorem)e(3.3)41 b Fq(The)30 b(\014xe)l(d)f(states)g(of)i(a)e(symmetric)l(al)t(ly)i(c)l (ouple)l(d)g(chain)g(of)f(systems)f(satisfying)i(c)l(on-)395 2877 y(dition)c(1)f(c)l(orr)l(esp)l(ond)h(to)f(the)h(orbits)f(of)h(a)g (dynamic)l(al)h(system)d(of)i(the)g(form)f(\(5\))h(which)h(is)e Fw(R)q Fq(-r)l(eversible)395 2977 y(and)k(volume)g(pr)l(eserving.)40 b(F)-6 b(or)30 b(such)g(a)g(system)f Fw(R)q FB(\()p Fw(x;)14 b(y)s FB(\))24 b(=)e(\()p Fw(y)s(;)14 b(x)p FB(\))p Fq(,)31 b(with)f Fw(x;)14 b(y)27 b Ft(2)c Fs(R)3035 2947 y Fu(p)3079 2977 y Fq(.)519 3125 y Fp(Pro)s(of:)32 b FB(The)19 b(argumen)n(ts)e (for)h(the)h(con)n(tin)n(uous)e(and)h(discrete)g(case)g(are)f (virtually)h(iden)n(tical,)i(so)e(only)395 3224 y(the)26 b(\014rst)f(will)h(b)r(e)g(considered.)36 b(Equation)24 b(\(3\))i(together)f(with)h(the)g(assumption)g(that)g(the)g(coupling)f (is)395 3324 y(symmetric)i(implies)h(that)1293 3484 y Fw(F)12 b FB(\()p Fw(u)1438 3496 y Fu(j)s Fv(\000)p Fx(1)1558 3484 y Fw(;)i(u)1643 3496 y Fu(j)1678 3484 y Fw(;)g(u)1763 3496 y Fu(j)s Fx(+1)1881 3484 y FB(\))23 b(=)g Fw(F)12 b FB(\()p Fw(u)2169 3496 y Fu(j)s Fx(+1)2288 3484 y Fw(;)i(u)2373 3496 y Fu(j)2407 3484 y Fw(;)g(u)2492 3496 y Fu(j)s Fv(\000)p Fx(1)2612 3484 y FB(\))23 b(=)g(0)792 b(\(7\))395 3644 y(Therefore)26 b(this)i(leads)f(to)g(the)h(recursion)f(equations)1268 3804 y Fw(u)1316 3816 y Fu(j)s Fx(+1)1457 3804 y FB(=)c Fw(G)p FB(\()p Fw(u)1690 3816 y Fu(j)1725 3804 y Fw(;)14 b(u)1810 3816 y Fu(j)s Fv(\000)p Fx(1)1929 3804 y FB(\))84 b Fw(u)2093 3816 y Fu(j)s Fv(\000)p Fx(1)2235 3804 y FB(=)23 b Fw(G)p FB(\()p Fw(u)2468 3816 y Fu(j)2503 3804 y Fw(;)14 b(u)2588 3816 y Fu(j)s Fx(+1)2706 3804 y FB(\))851 b(\(8\))395 3963 y(and)27 b(the)h(t)n(w)n(o)f(dynamical)g(systems)1265 4118 y Fw(x)1312 4130 y Fu(j)s Fx(+1)1455 4118 y FB(=)22 b Fw(G)p FB(\()p Fw(x)1686 4130 y Fu(j)1722 4118 y Fw(;)14 b(y)1800 4130 y Fu(j)1835 4118 y FB(\))1272 4242 y Fw(y)1313 4254 y Fu(j)s Fx(+1)1455 4242 y FB(=)22 b Fw(x)1589 4254 y Fu(j)2234 4118 y Fw(z)2273 4130 y Fu(j)s Fv(\000)p Fx(1)2416 4118 y FB(=)g Fw(G)p FB(\()p Fw(z)2639 4130 y Fu(j)2674 4118 y Fw(;)14 b(w)2770 4130 y Fu(j)2806 4118 y FB(\))2213 4242 y Fw(w)2272 4254 y Fu(j)s Fv(\000)p Fx(1)2416 4242 y FB(=)22 b Fw(z)2542 4254 y Fu(j)3589 4181 y FB(\(9\))395 4398 y(where)36 b Fw(x)691 4410 y Fu(j)764 4398 y FB(=)h Fw(z)905 4410 y Fu(j)977 4398 y FB(=)g Fw(u)1127 4410 y Fu(j)1162 4398 y FB(,)h Fw(y)1264 4410 y Fu(j)1337 4398 y FB(=)f Fw(u)1487 4410 y Fu(j)s Fv(\000)p Fx(1)1643 4398 y FB(and)f Fw(w)1872 4410 y Fu(j)1945 4398 y FB(=)h Fw(u)2095 4410 y Fu(j)s Fx(+1)2214 4398 y FB(.)63 b(The)36 b(action)g(of)g(these)h(systems)e(is)i(sho)n (wn)395 4498 y(sc)n(hematically)26 b(in)i(\014gure)f(5.)519 4598 y(Let)32 b Fw(R)q FB(\()p Fw(x;)14 b(y)s FB(\))29 b(=)f(\()p Fw(y)s(;)14 b(x)p FB(\))32 b(and)f(\010\()p Fw(x;)14 b(y)s FB(\))29 b(=)g(\()p Fw(G)p FB(\()p Fw(x;)14 b(y)s FB(\))p Fw(;)g(x)p FB(\))33 b(so)d(that)i(the)f(dynamical)g (systems)f(in)i(\(9\))f(is)395 4697 y(generated)26 b(b)n(y)h(\010.)37 b(By)28 b(the)g(de\014nition)g(of)f(this)h(di\013eomorphism)994 4852 y Fw(R)19 b Ft(\016)f FB(\010)h Ft(\016)e Fw(R)j Ft(\016)e FB(\010\()p Fw(x)1556 4864 y Fu(i)1584 4852 y Fw(;)c(y)1662 4864 y Fu(i)1689 4852 y FB(\))23 b(=)g Fw(R)c Ft(\016)f FB(\010\()p Fw(y)2107 4864 y Fu(i)p Fx(+1)2219 4852 y Fw(;)c(x)2303 4864 y Fu(i)p Fx(+1)2415 4852 y FB(\))23 b(=)g Fw(R)c Ft(\016)f FB(\010\()p Fw(z)2831 4864 y Fu(i)2858 4852 y Fw(;)c(w)2954 4864 y Fu(i)2982 4852 y FB(\))1744 4976 y(=)23 b Fw(R)q FB(\()p Fw(z)1967 4988 y Fu(i)p Fv(\000)p Fx(1)2079 4976 y Fw(;)14 b(w)2175 4988 y Fu(i)p Fv(\000)p Fx(1)2288 4976 y FB(\))24 b(=)e Fw(R)q FB(\()p Fw(y)2568 4988 y Fu(i)2596 4976 y Fw(;)14 b(x)2680 4988 y Fu(i)2708 4976 y FB(\))23 b(=)g(\()p Fw(x)2930 4988 y Fu(i)2958 4976 y Fw(;)14 b(y)3036 4988 y Fu(i)3063 4976 y FB(\))3547 4915 y(\(10\))2024 5255 y(5)p eop %%Page: 6 6 6 5 bop 395 523 a FB(Since)36 b Fw(R)i FB(is)e(an)h(in)n(v)n(olution)e (with)i(Fix\()p Fw(R)q FB(\))i(=)e Ft(f)p FB(\()p Fw(x;)14 b(y)s FB(\))38 b(:)g Fw(x)h FB(=)f Fw(y)s Ft(g)d FB(the)i (di\013eomorphism)f(\010)h(and)f(the)395 623 y(dynamical)27 b(system)g(it)h(induces)g(on)f(the)h(plane)f(are)g Fw(R)q FB(-rev)n(ersible.)519 722 y(T)-7 b(o)27 b(pro)n(v)n(e)f(that)i(the)g (map)g(\010)f(is)h(v)n(olume)f(preserving)f(notice)h(that)1660 950 y Fw(D)r FB(\010)c(=)1902 833 y Fo(\024)1946 899 y Fw(D)2015 911 y Fx(1)2052 899 y Fw(G)83 b(D)2269 911 y Fx(2)2306 899 y Fw(G)2010 999 y(I)219 b FB(0)2371 833 y Fo(\025)3547 950 y FB(\(11\))395 1183 y(By)23 b(the)i(de\014nition)f (of)g(the)g(function)g(G)h(w)n(e)e(kno)n(w)g(that)h Fw(F)12 b FB(\()p Fw(\037;)i(\021)s(;)g(G)p FB(\()p Fw(\021)s(;)g(\037)p FB(\)\))25 b(=)d(0)i(so)f(that)h(di\013eren)n(tiating)395 1282 y(with)k(resp)r(ect)f(to)h Fw(\037)f FB(leads)g(to)1661 1465 y Fw(D)1730 1477 y Fx(1)1767 1465 y Fw(F)k FB(+)18 b Fw(D)2003 1477 y Fx(3)2040 1465 y Fw(F)12 b(D)2174 1477 y Fx(2)2211 1465 y Fw(G)23 b FB(=)g(0)1118 b(\(12\))395 1648 y Fw(D)464 1660 y Fx(3)501 1648 y Fw(F)34 b FB(is)23 b(an)f(in)n(v)n(ertible)g(matrix)g(b)n(y)h(Condition)f(1,)i(so)e(that)h Fw(D)2327 1660 y Fx(2)2364 1648 y Fw(G)g FB(=)g Ft(\000)p Fw(D)2674 1660 y Fx(1)2710 1648 y Fw(F)12 b FB(\()p Fw(D)2876 1660 y Fx(3)2913 1648 y Fw(F)g FB(\))3010 1617 y Fv(\000)p Fx(1)3100 1648 y FB(.)35 b(By)22 b(assumption)395 1747 y(the)33 b(system)f(is)h(symmetric)f(so)g(that)h Fw(D)1682 1759 y Fx(1)1719 1747 y Fw(F)44 b FB(=)31 b Fw(D)1981 1759 y Fx(3)2018 1747 y Fw(F)44 b FB(at)33 b(all)f(p)r(oin)n(ts)h(in)g Fs(R)2753 1717 y Fx(3)p Fu(p)2863 1747 y FB(and)g(hence)f Fw(D)3334 1759 y Fx(2)3371 1747 y Fw(G)g FB(=)f Ft(\000)p Fw(I)7 b FB(.)395 1847 y(Since)1354 1941 y Fo(\024)1431 2008 y FB(0)115 b Fw(I)1398 2107 y Ft(\000)p Fw(I)90 b FB(0)1631 1941 y Fo(\025)14 b(\024)1733 2008 y Fw(D)1802 2020 y Fx(1)1839 2008 y Fw(G)83 b Ft(\000)p Fw(I)1797 2107 y(I)187 b FB(0)2095 1941 y Fo(\025)2162 2058 y FB(=)2249 1941 y Fo(\024)2389 2008 y Fw(I)h FB(0)2293 2107 y Ft(\000)p Fw(D)2427 2119 y Fx(1)2464 2107 y Fw(G)83 b(I)2655 1941 y Fo(\025)2713 2058 y Fw(:)811 b FB(\(13\))395 2286 y(and)1399 2498 y(det)1528 2381 y Fo(\024)1605 2447 y FB(0)115 b Fw(I)1572 2547 y Ft(\000)p Fw(I)90 b FB(0)1805 2381 y Fo(\025)1872 2498 y FB(=)23 b(det)2089 2381 y Fo(\024)2229 2447 y Fw(I)187 b FB(0)2133 2547 y Ft(\000)p Fw(D)2267 2559 y Fx(1)2303 2547 y Fw(G)84 b(I)2495 2381 y Fo(\025)2562 2498 y FB(=)22 b(1)856 b(\(14\))395 2726 y(it)28 b(follo)n(ws)e(that)i (det)14 b Fw(D)r FB(\010)23 b(=)g(1)k(and)h(the)g(di\013eomorphism)f (\010)g(is)h(v)n(olume)f(preserving.)35 b Ft(})519 2826 y Fw(R)q FB(-rev)n(ersible)25 b(systems)h(ha)n(v)n(e)f(man)n(y)h(prop)r (erties)g(that)h(facilitate)g(their)f(study)-7 b(.)37 b(W)-7 b(e)27 b(will)g(mak)n(e)f(use)395 2925 y(of)h(sev)n(eral)f(of)i (these)f(summarized)g(in)h(the)g(follo)n(wing)f(prop)r(osition)f (adopted)h(from)h([12)o(])395 3108 y Fp(Prop)s(osition)i(3.4)40 b Fq(L)l(et)30 b Fw(R)g Fq(and)g FB(\010)g Fq(b)l(e)g(as)g(in)g (De\014nition)f(\(3.2\).)493 3274 y(a.)42 b(If)c Fw(p)f Ft(2)h Fq(Fix\()p Fw(R)q Fq(\))f(and)h FB(\010)1385 3244 y Fu(k)1426 3274 y FB(\()p Fw(p)p FB(\))g Ft(2)g Fq(Fix\()p Fw(R)q Fq(\),)h(then)f FB(\010)2230 3244 y Fx(2)p Fu(k)2304 3274 y FB(\()p Fw(p)p FB(\))f(=)g Fw(p)p Fq(.)62 b(Such)37 b(p)l(erio)l(dic)j(p)l(oints)e(wil)t(l)h(b)l(e)602 3373 y(r)l(eferr)l(e)l(d)31 b(to)e(as)37 b FB(symmetric)28 b(p)r(erio)r(dic)f(p)r(oin)n(ts)p Fq(.)497 3540 y(b.)42 b(L)l(et)24 b Fw(p)f Ft(2)i Fq(Fix\()p Fw(R)q Fq(\))f(b)l(e)g(a)h (\014xe)l(d)e(p)l(oint)i(of)g FB(\010)p Fq(,)h(then)e Fw(R)q FB(\()p Fw(W)2280 3509 y Fu(u)2323 3540 y FB(\()p Fw(p)p FB(\)\))g(=)f Fw(W)2663 3509 y Fu(s)2698 3540 y FB(\()p Fw(p)p FB(\))i Fq(and)f Fw(R)q FB(\()p Fw(W)3170 3509 y Fu(s)3206 3540 y FB(\()p Fw(p)p FB(\)\))f(=)g Fw(W)3545 3509 y Fu(u)3588 3540 y FB(\()p Fw(p)p FB(\))602 3639 y Fq(so)30 b(that)g(if)h Fw(q)26 b Ft(2)d Fw(W)1190 3609 y Fu(u)1234 3639 y FB(\()p Fw(p)p FB(\))p Ft(\\)30 b Fq(Fix\()p Fw(R)q Fq(\))f(then)h Fw(q)j Fq(is)d(a)g(homo)l(clinic)i (p)l(oint.)497 3805 y(c.)42 b(If)25 b Fw(p)e Ft(2)i Fq(Fix\()p Fw(R)q Fq(\))g(is)g(a)g(\014xe)l(d)f(p)l(oint)i(of)f FB(\010)g Fq(such)g(that)g Fw(W)2263 3775 y Fu(u)2306 3805 y FB(\()p Fw(p)p FB(\))g Fq(interse)l(cts)f(Fix\()p Fw(R)q Fq(\))h(tr)l(ansversal)t(ly)h(at)e(a)602 3905 y(p)l(oint)i Fw(q)s Fq(,)g(then)f(ther)l(e)g(exist)g(in\014nitely)g (many)g(symmetric)g(p)l(erio)l(dic)i(p)l(oints)f(in)f(any)g(neighb)l (orho)l(o)l(d)602 4004 y(of)31 b Fw(p)p Fq(.)395 4279 y Fy(4)134 b(Steady)40 b(States)g(In)f(the)h(Case)g(of)f(Discrete)i (Laplacian)f(Cou-)596 4428 y(pling)395 4610 y FB(F)-7 b(or)29 b(a)h(c)n(hain)f(of)h(systems)f(of)h(the)g(form)g Fw(u)1735 4580 y Fv(0)1785 4610 y FB(=)c Fw(f)9 b FB(\()p Fw(u)p FB(\))30 b(coupled)g(through)f(a)g(discrete)h(Laplacian)f(\001)p Fw(u)3569 4622 y Fu(j)3630 4610 y FB(=)395 4710 y(\()p Fw(u)475 4722 y Fu(j)s Fv(\000)p Fx(1)613 4710 y Ft(\000)18 b FB(2)p Fw(u)786 4722 y Fu(j)838 4710 y FB(+)g Fw(u)969 4722 y Fu(j)s Fx(+1)1088 4710 y FB(\))28 b(the)g(equation)f(\(2\))h (tak)n(es)e(the)i(form)1371 4893 y(\()p Fw(u)1451 4905 y Fu(j)1486 4893 y FB(\))1518 4858 y Fv(0)1564 4893 y FB(=)23 b Fw(f)9 b FB(\()p Fw(u)1782 4905 y Fu(j)1816 4893 y FB(\))19 b(+)f Fw(d)p FB(\()p Fw(u)2073 4905 y Fu(j)s Fv(\000)p Fx(1)2211 4893 y Ft(\000)g FB(2)p Fw(u)2384 4905 y Fu(j)2437 4893 y FB(+)g Fw(u)2568 4905 y Fu(j)s Fx(+1)2686 4893 y FB(\))829 b(\(15\))2024 5255 y(6)p eop %%Page: 7 7 7 6 bop 395 523 a FB(and)27 b(the)h(dynamical)f(system)g(\(5\))h(tak)n (es)f(the)h(form)1443 745 y Fw(x)1490 757 y Fu(i)p Fx(+1)1625 745 y FB(=)23 b Ft(\000)1789 689 y FB(1)p 1788 726 44 4 v 1788 802 a Fw(d)1840 745 y(f)9 b FB(\()p Fw(x)1969 757 y Fu(i)1997 745 y FB(\))19 b Ft(\000)f Fw(y)2172 757 y Fu(i)2218 745 y FB(+)g(\(2)g(+)2490 689 y Fw(c)p 2486 726 V 2486 802 a(d)2539 745 y FB(\))p Fw(x)2618 757 y Fu(i)3547 745 y FB(\(16\))1450 905 y Fw(y)1491 917 y Fu(i)p Fx(+1)1625 905 y FB(=)23 b Fw(x)1760 917 y Fu(i)395 1084 y FB(where)34 b Fw(c)g FB(=)h(0)f(in)h(the)g(case)e(of) i(con)n(tin)n(uous)f(time)h(and)f Fw(c)h FB(=)f(1)g(in)h(the)g(case)f (of)g(discrete)g(time.)59 b(The)395 1183 y(follo)n(wing)26 b(prop)r(osition)h(follo)n(ws)f(immediately)i(from)f(these)h (de\014nitions)395 1349 y Fp(Prop)s(osition)i(4.1)40 b Fq(The)d(\014xe)l(d)d(p)l(oints)i(of)g(\(16\))g(ar)l(e)g(of)g(the)f (form)h Fw(x)2633 1361 y Fu(i)2694 1349 y FB(=)d Fw(y)2833 1361 y Fu(i)2893 1349 y FB(=)g Fw(u)3039 1361 y Fx(0)3111 1349 y Fq(wher)l(e)j Fw(u)3399 1361 y Fx(0)3471 1349 y Fq(is)f(any)395 1449 y(solution)40 b(of)g(the)g(e)l(quation)h Fw(f)9 b FB(\()p Fw(u)p FB(\))41 b(=)f(0)g Fq(in)g(the)g(c)l(ontinuous) f(time)h(and)g Fw(f)9 b FB(\()p Fw(u)p FB(\))41 b(=)g Fw(u)e Fq(in)h(the)g(discr)l(ete)395 1548 y(time)c(c)l(ase.)58 b(Thus)36 b(al)t(l)h(\014xe)l(d)f(p)l(oints)g(of)h(\(16\))g(lie)g(on)f (Fix)p FB(\()p Fw(R)q FB(\))f(=)f Ft(f)p FB(\()p Fw(x;)14 b(y)s FB(\))34 b(:)h Fw(x)g FB(=)f Fw(y)s Ft(g)h Fq(and)i(ar)l(e)f(in)g (1-1)395 1648 y(c)l(orr)l(esp)l(ondenc)l(e)30 b(with)h(the)f(ste)l(ady) g(states)f(of)i(an)f(unc)l(ouple)l(d)g(system)f(in)h(the)g(chain.)519 1814 y FB(The)e(\014xed)g(p)r(oin)n(ts)g(of)f(\(5\))h(corresp)r(ond)f (to)g(states)h(of)f(the)i(c)n(hain)e(that)h(are)f(constan)n(t)g(in)h (space)f(and)395 1914 y(time)k(and)f(prop)r(osition)f(4.1)h(sho)n(ws)f (that)h(the)h(only)f(suc)n(h)g(states)g Ft(f)p Fw(u)2600 1926 y Fu(j)2634 1914 y Ft(g)2676 1926 y Fu(j)s Fv(2)p Fm(Z)2824 1914 y FB(in)h(the)g(case)e(of)h(a)g(discrete)395 2013 y(Laplacian)37 b(coupling)h(are)f(giv)n(en)g(b)n(y)h Fw(u)1678 2025 y Fu(j)1754 2013 y FB(=)i Fw(u)1907 2025 y Fx(0)1982 2013 y FB(for)e(all)g Fw(j)45 b Ft(2)d Fs(Z)31 b FB(where)38 b Fw(u)2814 2025 y Fx(0)2889 2013 y FB(is)g(a)g(\014xed)g (p)r(oin)n(t)h(of)f(an)395 2113 y(uncoupled)f(system)h(of)f(the)h(c)n (hain)f Fw(u)1621 2083 y Fv(0)1684 2113 y FB(=)i Fw(f)9 b FB(\()p Fw(u)p FB(\).)67 b(Since)38 b(the)g(\014xed)g(p)r(oin)n(ts)f (of)h(\(16\))f(are)g(\()p Fw(u)3409 2125 y Fx(0)3446 2113 y Fw(;)14 b(u)3531 2125 y Fx(0)3567 2113 y FB(\))40 b Ft(2)395 2213 y FB(Fix\()p Fw(R)q FB(\))28 b(this)g(allo)n(ws)e(us)h (to)h(mak)n(e)f(use)g(of)h(prop)r(osition)e(3.4.c)2347 2183 y Fx(1)2411 2213 y FB(.)519 2312 y(Moreo)n(v)n(er)37 b(w)n(e)i(can)g(apply)g(Theorem)f(3.3)h(directly)g(in)g(this)h(case)e (to)i(conclude)f(that)g(the)h(map)395 2412 y(de\014ning)27 b(the)h(\014xed)g(p)r(oin)n(ts)g(is)f Fw(R)q FB(-rev)n(ersible)e(and)j (v)n(olume)f(preserving.)519 2512 y Fp(Remark:)38 b FB(It)29 b(is)f(in)n(teresting)g(to)h(note)f(that)h(if)h(the)f(\014xed)f(states) g(of)h(a)f(c)n(hain)g(of)h(one)f(dimensional)395 2611 y(systems)23 b(are)g(determined)g(b)n(y)h(a)f(dynamical)g(system)g(of)h (the)g(form)f(\(16\))g(on)h Fs(R)2865 2581 y Fx(2)2932 2611 y FB(and)f(\()p Fw(x)3168 2623 y Fx(0)3206 2611 y Fw(;)14 b(y)3284 2623 y Fx(0)3321 2611 y FB(\))24 b(is)g(a)f(\014xed) 395 2711 y(p)r(oin)n(t)28 b(of)f(\(16\))g(then)h(the)g(discriminan)n(t) f(of)h(the)g(c)n(haracteristic)e(p)r(olynomial)h(of)g Fw(D)r FB(\010\()p Fw(x)3173 2723 y Fx(0)3211 2711 y Fw(;)14 b(y)3289 2723 y Fx(0)3326 2711 y FB(\))28 b(is)1512 2830 y Fo(r)p 1595 2830 960 4 v 130 x FB(\()p Ft(\000)1703 2904 y FB(1)p 1702 2941 44 4 v 1702 3017 a Fw(d)1755 2960 y(f)1805 2936 y Fv(0)1828 2960 y FB(\()p Fw(x)1907 2972 y Fx(0)1945 2960 y FB(\))18 b(+)g(2)g(+)g Fw(c=d)p FB(\))2374 2936 y Fx(2)2430 2960 y Ft(\000)g FB(4)p Fw(:)969 b FB(\(17\))395 3179 y(Since)28 b(det)g Fw(D)r FB(\010\()p Fw(x)965 3191 y Fx(0)1002 3179 y Fw(;)14 b(y)1080 3191 y Fx(0)1117 3179 y FB(\))24 b(=)e(1)27 b(w)n(e)h(can)f(conclude)g(the)h (follo)n(wing:)496 3345 y(a.)41 b(In)29 b(the)g(case)e(of)i(discrete)f (time)h(the)g(eigen)n(v)-5 b(alues)27 b(of)h Fw(D)r FB(\010\()p Fw(x)2498 3357 y Fx(0)2536 3345 y Fw(;)14 b(y)2614 3357 y Fx(0)2651 3345 y FB(\))29 b(are)f(on)g(the)h(unit)g(circle)f(when)602 3445 y Fw(f)652 3415 y Fv(0)675 3445 y FB(\()p Fw(x)754 3457 y Fx(0)792 3445 y FB(\))23 b Fw(>)g FB(1)k(and)h Fw(d)23 b(>)g FB(\()p Fw(f)1402 3415 y Fv(0)1425 3445 y FB(\()p Fw(x)1504 3457 y Fx(0)1542 3445 y FB(\))c Ft(\000)f FB(1\))p Fw(=)p FB(4\))26 b(or)h Fw(f)2044 3415 y Fv(0)2067 3445 y FB(\()p Fw(x)2146 3457 y Fx(0)2184 3445 y FB(\))c Fw(<)g FB(1)k(and)g Fw(d)d(<)e FB(\()p Fw(f)2793 3415 y Fv(0)2817 3445 y FB(\()p Fw(x)2896 3457 y Fx(0)2934 3445 y FB(\))c Ft(\000)g FB(1\))p Fw(=)p FB(4\).)492 3611 y(b.)41 b(In)26 b(the)g(case)f(of)g(con)n(tin)n(uous)g(time,)h (the)g(eigen)n(v)-5 b(alues)24 b(of)i Fw(D)r FB(\010\()p Fw(x)2606 3623 y Fx(0)2644 3611 y Fw(;)14 b(y)2722 3623 y Fx(0)2759 3611 y FB(\))26 b(are)e(on)h(the)h(unit)g(circle)f(for)602 3710 y(su\016cien)n(tly)i(large)e Fq(p)l(ositive)35 b Fw(d)27 b FB(when)f Fw(f)1857 3680 y Fv(0)1880 3710 y FB(\()p Fw(x)1959 3722 y Fx(0)1997 3710 y FB(\))e Fw(>)e FB(0)27 b(and)f(for)g(su\016cien)n(tly)h(large)e Fq(ne)l(gative)34 b Fw(d)27 b FB(when)602 3810 y Fw(f)652 3780 y Fv(0)675 3810 y FB(\()p Fw(x)754 3822 y Fx(0)792 3810 y FB(\))c Fw(<)g FB(0,)395 3976 y(By)31 b(a)g(theorem)g(of)h(Birkho\013)f(\(see)g (for)g(example)h([20)o(]\))g(since)f(\010)h(is)f(area)f(preserving,)h (the)h(dynamical)395 4076 y(system)37 b(\(16\))g(will)h(generically)d (ha)n(v)n(e)i(in\014nitely)h(man)n(y)e(p)r(erio)r(dic)i(orbits)e(in)i (an)n(y)f(neigh)n(b)r(orho)r(o)r(d)f(of)395 4175 y(\()p Fw(x)474 4187 y Fx(0)512 4175 y Fw(;)14 b(y)590 4187 y Fx(0)627 4175 y FB(\).)46 b(An)n(y)31 b(suc)n(h)f(p)r(erio)r(dic)h (orbit)f(will)h(corresp)r(ond)e(to)i(a)f(\014xed)h(state)g(of)f(\(15\)) h(whic)n(h)f(is)h(p)r(erio)r(dic)395 4275 y(in)d(space,)f(i.e.)36 b(in)28 b(the)g(v)-5 b(ariable)27 b Fw(j)5 b FB(.)519 4375 y(The)23 b(condition)f(det)h Fw(D)r FB(\010\()p Fw(x)1392 4387 y Fx(0)1430 4375 y Fw(;)14 b(y)1508 4387 y Fx(0)1544 4375 y FB(\))24 b(=)e(1)g(is)h(not)f(su\016cien)n(t)g(to)h (guaran)n(tee)d(that)j Fw(D)r FB(\010\()p Fw(x)3172 4387 y Fx(0)3210 4375 y Fw(;)14 b(y)3288 4387 y Fx(0)3325 4375 y FB(\))22 b(will)h(ha)n(v)n(e)395 4474 y(eigen)n(v)-5 b(alues)32 b(on)h(the)h(unit)g(circle)e(if)i(\(16\))f(is)g(not)g(a)g (dynamical)g(system)g(on)g(the)h(plane.)54 b(Additional)p 395 4548 1320 4 v 487 4602 a Fl(1)522 4625 y Fk(The)24 b(c)n(hains)g(under)g(consideration)h(are)e(a)h(sp)r(ecial)g(case)g(of) g(c)n(hains)g(of)f(the)i(form)1530 4754 y(\()p Fj(u)1598 4764 y Fi(j)1631 4754 y Fk(\))1658 4726 y Fh(0)1700 4754 y Fk(=)20 b Fj(f)7 b Fk(\()p Fj(u)1884 4764 y Fi(j)1917 4754 y Fk(\))16 b(+)f Fj(g)r Fk(\()p Fj(u)2134 4764 y Fi(j)s Fh(\000)p Fl(1)2246 4754 y Fj(;)c(u)2318 4764 y Fi(j)2350 4754 y Fj(;)h(u)2423 4764 y Fi(j)s Fl(+1)2532 4754 y Fk(\))395 4891 y(where)33 b Fj(g)r Fk(\()p Fj(u)712 4901 y Fi(j)s Fh(\000)p Fl(1)823 4891 y Fj(;)11 b(u)895 4901 y Fi(j)928 4891 y Fj(;)g(u)1000 4901 y Fi(j)s Fl(+1)1109 4891 y Fk(\))33 b(is)f(a)h(symmetric)e(coupling)i(v)l(anishing)g(on)g (the)g(linear)f(submanifold)g(of)g Fg(R)3269 4868 y Fl(3)p Fi(p)3368 4891 y Fk(de\014ned)i(b)n(y)395 4970 y Fj(u)436 4980 y Fi(j)s Fh(\000)p Fl(1)566 4970 y Fk(=)20 b Fj(u)682 4980 y Fi(j)734 4970 y Fk(=)f Fj(u)849 4980 y Fi(j)s Fl(+1)978 4970 y Fk(=)h(0.)31 b(Suc)n(h)24 b(systems)f(can)i(b)r(e)f (analyzed)h(using)e(the)i(approac)n(h)g(of)e(this)h(section)2024 5255 y FB(7)p eop %%Page: 8 8 8 7 bop 395 523 a FB(information)26 b(needs)i(to)f(b)r(e)h(considered)e (to)h(conclude)g(the)h(existence)f(of)g(suc)n(h)g(p)r(erio)r(dic)g (orbits)g(in)h(this)395 623 y(case.)519 840 y Fp(Example)36 b(1:)46 b FB(Consider)31 b(a)h(c)n(hain)g(of)g(ten)n(t)h(maps)f (coupled)g(through)g(a)g(discrete)g(Laplacian)f(de-)395 940 y(scrib)r(ed)c(b)n(y)g(the)h(equation)f Fw(u)1324 910 y Fv(0)1324 962 y Fu(j)1382 940 y FB(=)c Fw(f)9 b FB(\()p Fw(u)1600 952 y Fu(j)1634 940 y FB(\))19 b(+)f(\001)p Fw(u)1885 952 y Fu(j)1947 940 y FB(with)1430 1210 y Fw(f)9 b FB(\()p Fw(u)1560 1222 y Fu(j)1594 1210 y FB(\))24 b(=)1737 1068 y Fo(\()1804 1153 y FB(2)p Fw(u)1894 1165 y Fu(j)2219 1153 y FB(if)k Fw(u)2343 1165 y Fu(j)2400 1153 y Fw(<)23 b FB(1)p Fw(=)p FB(2)o Fw(;)1804 1272 y Ft(\000)p FB(2)p Fw(u)1959 1284 y Fu(j)2011 1272 y FB(+)18 b(2)83 b(if)28 b Fw(u)2343 1284 y Fu(j)2400 1272 y Ft(\025)23 b FB(1)p Fw(=)p FB(2)o Fw(:)3547 1210 y FB(\(18\))395 1462 y(This)31 b(is)g(a)f(discrete)h(dynamical)f(system)h (with)g(\014xed)g(states)g(determined)g(b)n(y)g(a)f(homeomorphism)g(of) 395 1562 y(the)e(plane)f(giv)n(en)g(in)h(\(16\))f(with)h Fw(c)23 b FB(=)g(1.)519 1662 y(The)30 b(only)g(\014xed)g(p)r(oin)n(ts)g (of)h(\(16\))e(are)h(\(0,0\))f(and)h(\(2/3,)g(2/3\))f(b)n(y)h(prop)r (osition)f(4.1.)44 b(Since)30 b(in)h(this)395 1761 y(case)26 b(the)h(dynamical)f(system)h(\(16\))f(is)h(linear)f(in)h(eac)n(h)f(of)h (the)g(t)n(w)n(o)f(halv)n(es)g(of)h(the)g(plane)f Fw(x)e(<)f FB(1)p Fw(=)p FB(2)i(and)395 1861 y Fw(x)j Ft(\025)g FB(1)p Fw(=)p FB(2)i(the)h(analysis)e(of)i(the)g(dynamics)f(around)g (the)h(\014xed)f(p)r(oin)n(ts)h(is)g(straigh)n(tforw)n(ard.)43 b(A)31 b(direct)395 1960 y(calculation)h(sho)n(ws)h(that)g(in)h(the)g (region)e Fw(x)h(<)g FB(1)p Fw(=)p FB(2)f(there)h(is)g(a)g(family)h(of) f(in)n(v)-5 b(arian)n(t)32 b(ellipses)h(whose)395 2060 y(ma)5 b(jor)28 b(axis)h(lies)g(on)h(the)f(diagonal)g Fw(D)f FB(=)e Ft(f)p FB(\()p Fw(x;)14 b(y)s FB(\))26 b Ft(2)h Fs(R)2136 2030 y Fx(2)2206 2060 y FB(:)f Fw(x)h FB(=)f Fw(y)s Ft(g)i FB(and)i(on)f(whic)n(h)h(the)g(action)f(of)g (\(16\))395 2160 y(is)e(a)g(rotation.)36 b(As)28 b Fw(d)g FB(is)f(increased,)g(these)g(ellipses)h(b)r(ecome)f(more)g(eccen)n (tric.)519 2259 y(The)k(\014xed)g(states)f(of)h(the)g(c)n(hain)f (corresp)r(onding)f(to)h(these)h(orbits)f(are)f(not)i(dynamically)f (stable.)395 2359 y(If)38 b(^)-48 b Fw(u)30 b FB(=)g Ft(f)5 b FB(^)-47 b Fw(u)745 2371 y Fu(j)779 2359 y Ft(g)821 2371 y Fu(j)s Fv(2)p Fm(Z)971 2359 y FB(is)32 b(a)g(\014xed)g(state)g (in)g(the)g(c)n(hain)g(suc)n(h)g(that)37 b(^)-47 b Fw(u)2442 2371 y Fu(j)2507 2359 y Fw(<)30 b FB(1)p Fw(=)p FB(2)h(for)g(all)h Fw(j)37 b FB(then)32 b(around)g(this)395 2459 y(state)27 b(the)h(dynamics)f(of)h(the)g(c)n(hain)f(are)f(describ)r(ed)i(b)n(y:) 1738 2641 y Fw(u)1786 2607 y Fv(0)1786 2662 y Fu(j)1844 2641 y FB(=)22 b(2)p Fw(u)2021 2653 y Fu(j)2074 2641 y FB(+)c Fw(d)p FB(\001)p Fw(u)2317 2653 y Fu(j)3547 2641 y FB(\(19\))395 2824 y(The)30 b(sp)r(ectrum)g(of)g(the)h(op)r (erator)d(2)20 b(+)g Fw(d)p FB(\001)30 b(is)g(the)h(in)n(terv)-5 b(al)30 b([2)19 b Ft(\000)h FB(4)p Fw(d;)14 b FB(2])30 b(and)g(so)k(^)-47 b Fw(u)30 b FB(cannot)f(b)r(e)i(stable,)395 2923 y(and)c(w)n(ould)g(not)h(b)r(e)g(observ)n(ed)e(in)i(n)n(umerical)f (exp)r(erimen)n(ts.)519 3023 y(Besides)j(these)h(in)n(v)-5 b(arian)n(t)29 b(ellipses,)i(this)g(system)f(will)h(also)e(t)n (ypically)h(ha)n(v)n(e)g(in\014nitely)h(man)n(y)f(p)r(e-)395 3123 y(rio)r(dic)j(orbits,)h(and)g(will)g(exhibit)g(complicated)f(b)r (eha)n(vior,)h(as)f(the)h(follo)n(wing)e(argumen)n(t)h(sho)n(ws.)53 b(A)395 3222 y(simple)34 b(calculation)f(sho)n(ws)f(that)i(the)g(p)r (oin)n(t)g Fw(p)f FB(=)g(\(2)p Fw(=)p FB(3)p Fw(;)14 b FB(2)p Fw(=)p FB(3\))32 b(is)h(h)n(yp)r(erb)r(olic)h(for)f(all)g(v)-5 b(alues)34 b Fw(d)f(>)g FB(0.)395 3322 y(Since)e(the)h(dynamics)f(is)g (piecewise)g(linear)f(the)i(stable)f(and)g(unstable)g(manifold)h(can)f (b)r(e)g(calculated)395 3422 y(explicitly)-7 b(.)35 b Fw(W)868 3392 y Fu(u)911 3422 y FB(\()p Fw(p)p FB(\))23 b(will)g(consist)f(of)g(a)g(ra)n(y)f(con)n(tained)h(in)h(the)g(half)f (plane)g Fw(x)i(>)e FB(1)p Fw(=)p FB(2)g(and)g(a)g(second)g(more)395 3521 y(complicated)27 b(part)h(whic)n(h)f(is)h(constructed)g(as)f (follo)n(ws.)36 b(The)28 b(\014rst)g(section)f(of)h Fw(W)3019 3491 y Fu(u)3063 3521 y FB(\()p Fw(p)p FB(\))g(is)g(a)f(line)h Fw(A)p FB(,)g(as)395 3621 y(sho)n(wn)h(in)i(\014gure)f(6.)44 b(The)31 b(part)f(of)g Fw(A)h FB(con)n(tained)e(in)i(the)g(half)f (plane)g Fw(x)e(<)g FB(1)p Fw(=)p FB(2)g(is)j(rotated)e(along)g(the)395 3721 y(in)n(v)-5 b(arian)n(t)27 b(ellipses)i(around)e(the)j(origin)d (to)i(the)g(line)g Fw(A)2158 3690 y Fv(0)2210 3721 y FB(under)g(forw)n(ard)e(iteration.)39 b(The)29 b(subsequen)n(t)395 3820 y(images)i(of)i Fw(A)834 3790 y Fv(0)890 3820 y FB(are)e(lines)i(that)g(are)e(rotated)h(further.)51 b(Therefore)32 b Fw(f)2610 3790 y Fu(n)2651 3798 y Ff(0)2687 3820 y FB(\()p Fw(A)2781 3790 y Fv(0)2805 3820 y FB(\))h(in)n(tersects)e(the)i (diagonal)395 3920 y Fw(D)38 b FB(for)d(some)h Fw(n)904 3932 y Fx(0)941 3920 y FB(.)63 b(Whenev)n(er)35 b(the)h(angle)g(of)g (this)g(in)n(tersection)f(is)h(not)g(a)g(righ)n(t)f(angle)h Fw(W)3380 3890 y Fu(u)3423 3920 y FB(\()p Fw(p)p FB(\))h(will)395 4019 y(in)n(tersect)27 b Fw(W)820 3989 y Fu(s)855 4019 y FB(\()p Fw(p)p FB(\))h(transv)n(ersely)e(since)h(b)n(y)h(prop)r (osition)e(3.4.b)i(the)g(stable)f(manifold)h(is)f(the)h(re\015ection) 395 4119 y(of)23 b(the)h(unstable)g(manifold)f(through)g(the)h (diagonal)e Fw(W)2159 4089 y Fu(u)2202 4119 y FB(\()p Fw(p)p FB(\).)36 b(This)24 b(sho)n(ws)e(that)i(complicated)f(dynam-)395 4219 y(ics)29 b(of)g(\(16\))g(can)g(b)r(e)h(exp)r(ected)f(and)g (implies)h(the)g(existence)f(of)g(in\014nitely)h(man)n(y)f(p)r(erio)r (dic)g(as)f(w)n(ell)h(as)395 4318 y(spatially)e(c)n(haotic)f(states)h (in)h(the)g(c)n(hain)f(of)h(ten)n(t)g(maps.)519 4418 y Fp(Example)k(2:)40 b FB(Next)30 b(w)n(e)e(consider)h(the)g(c)n(hain)g (of)g(di\013usiv)n(ely)h(coupled)f(Lorenz)f(system)h(\(1\))g(with)395 4518 y Fw(d)438 4530 y Fu(y)501 4518 y FB(=)23 b Fw(d)632 4530 y Fu(z)693 4518 y FB(=)g(0.)35 b(This)25 b(system)g(do)r(es)g(not) g(satisfy)g(condition)g(1,)g(ho)n(w)n(ev)n(er)e(after)i(setting)g(the)g (righ)n(t{hand)395 4617 y(side)31 b(of)g(equations)f(\(1\))h(to)g(0)f (and)h(using)g(the)g(second)g(and)f(third)i(equation)e(in)h(\(1\))g(to) g(eliminate)g(the)2024 5255 y(8)p eop %%Page: 9 9 9 8 bop 395 523 a FB(v)-5 b(ariables)26 b Fw(y)780 535 y Fu(i)835 523 y FB(and)i Fw(z)1036 535 y Fu(i)1090 523 y FB(the)g(follo)n(wing)f(equation)g(for)g(a)g(\014xed)h(state)f(is)h (obtained)1242 743 y Fw(\033)s FB(\()5 b(^)-47 b Fw(x)1371 755 y Fu(i)1419 743 y Ft(\000)1593 687 y Fw(\014)t(r)8 b FB(^)-48 b Fw(x)1730 699 y Fu(i)p 1512 724 330 4 v 1512 800 a Fw(\014)22 b FB(+)d(\()5 b(^)-47 b Fw(x)1744 812 y Fu(i)1772 800 y FB(\))1804 776 y Fx(2)1851 743 y FB(\))p Ft(\000)p Fw(d)p FB(\()5 b(^)-47 b Fw(x)2070 755 y Fu(i)p Fv(\000)p Fx(1)2202 743 y Ft(\000)18 b FB(2)5 b(^)-47 b Fw(x)2374 755 y Fu(i)2420 743 y FB(+)24 b(^)-48 b Fw(x)2550 755 y Fu(i)p Fx(+1)2663 743 y FB(\))23 b(=)f(0)700 b(\(20\))1798 968 y(^)-48 b Fw(y)1833 980 y Fu(i)1884 968 y FB(=)2040 911 y Fw(\014)t(r)8 b FB(^)-48 b Fw(x)2177 923 y Fu(i)p 1958 949 V 1958 1025 a Fw(\014)23 b FB(+)18 b(\()5 b(^)-47 b Fw(x)2190 1037 y Fu(i)2218 1025 y FB(\))2250 1001 y Fx(2)3547 968 y FB(\(21\))1799 1202 y(^)g Fw(z)1833 1214 y Fu(i)1884 1202 y FB(=)2015 1146 y Fw(r)r FB(\()5 b(^)-47 b Fw(x)2133 1158 y Fu(i)2162 1146 y FB(\))2194 1116 y Fx(2)p 1958 1183 V 1958 1259 a Fw(\014)23 b FB(+)18 b(\()5 b(^)-47 b Fw(x)2190 1271 y Fu(i)2218 1259 y FB(\))2250 1235 y Fx(2)2298 1202 y Fw(:)1226 b FB(\(22\))395 1432 y(The)24 b(function)g(on)g(the)g(left)g(hand)g(side)g(of)f(equation)h (\(20\))f(satis\014es)g(condition)h(1,)g(and)g(w)n(e)f(can)g(pro)r (ceed)395 1532 y(as)k(in)h(the)g(previous)e(example.)519 1631 y(Equation)h(\(20\))g(de\014nes)h(the)g(follo)n(wing)e(dynamical)h (system)h(on)f(the)h(plane)1103 1756 y Fo(\024)1147 1822 y Fw(x)1194 1834 y Fu(i)p Fx(+1)1151 1922 y Fw(y)1192 1934 y Fu(i)p Fx(+1)1306 1756 y Fo(\025)1373 1873 y FB(=)23 b Fw(F)1540 1756 y Fo(\022\024)1645 1822 y Fw(x)1692 1834 y Fu(i)1648 1922 y Fw(y)1689 1934 y Fu(i)1720 1756 y Fo(\025\023)1848 1873 y FB(=)1935 1756 y Fo(\024)1989 1787 y Fu(\033)p 1989 1801 41 4 v 1992 1848 a(d)2040 1820 y FB(\()p Fw(x)2119 1832 y Fu(i)2165 1820 y Ft(\000)2310 1783 y Fu(\014)s(r)r(x)2422 1791 y Fn(i)p 2258 1800 240 4 v 2258 1848 a Fu(\014)s Fx(+\()p Fu(x)2414 1856 y Fn(i)2440 1848 y Fx(\))2466 1832 y Ff(2)2508 1820 y FB(\))c(+)f(2)p Fw(x)2731 1832 y Fu(i)2777 1820 y Ft(\000)g Fw(y)2901 1832 y Fu(i)2416 1932 y Fw(x)2463 1944 y Fu(i)2928 1756 y Fo(\025)3547 1873 y FB(\(23\))395 2110 y(Orbits)j(of)g(p)r(erio)r(d)h Fw(n)g FB(of)f(this)h(system)f(are)g(in)h(1{1)e(corresp)r(ondence)g (with)i(the)g(steady)f(states)h(in)f(the)i(ring)395 2210 y(of)18 b Fw(n)g FB(Lorenz)g(systems.)33 b(The)19 b(t)n(w)n(o)e (\014xed)i(p)r(oin)n(ts)f(of)g(\(23\))g(are)g(\(0,0\))g(and)g(\()p Ft(\006)2710 2139 y Fo(p)p 2793 2139 299 4 v 71 x Fw(\014)t FB(\()p Fw(r)k Ft(\000)c FB(1\))p Fw(;)c Ft(\006)3194 2139 y Fo(p)p 3276 2139 V 3276 2210 a Fw(\014)t FB(\()p Fw(r)22 b Ft(\000)c FB(1\)\))23 b(=)395 2309 y(\()p Ft(\006)p FB(8)p Fw(:)p FB(32)641 2291 y(\026)641 2309 y(6)n Fw(;)14 b Ft(\006)p FB(8)p Fw(:)p FB(32)932 2291 y(\026)932 2309 y(6)m(\))28 b(whic)n(h)g(b)r(oth)g(lie)f(on)h(lie)g(on)f(Fix\()p Fw(R)q FB(\).)519 2409 y(The)h(follo)n(wing)e(de\014nition)i(from)g ([12)o(])g(will)f(b)r(e)h(used)g(in)g(the)g(remainder)e(of)i(the)g (argumen)n(t.)395 2590 y Fp(De\014nition)j(4.2)40 b Fq(A)25 b(c)l(omp)l(act)h(r)l(e)l(gion)g Fw(H)32 b Fq(in)26 b(the)g(plane)g(is) g(c)l(al)t(le)l(d)35 b FB(o)n(v)n(er\015o)n(wing)23 b Fq(in)i(the)h Fw(y)s Fq(-dir)l(e)l(ction)g(for)395 2690 y(a)k(function)g Fw(F)41 b Fq(if)31 b(the)f(image)h(of)f(any)g(p)l (oint)g FB(\()p Fw(x)1894 2702 y Fx(0)1932 2690 y Fw(;)14 b(y)2010 2702 y Fx(0)2047 2690 y FB(\))24 b Ft(2)30 b Fq(int\()p Fw(H)7 b Fq(\))29 b(lies)h(strictly)g(ab)l(ove)h(the)f(line) g Fw(y)c FB(=)d Fw(y)3608 2702 y Fx(0)3645 2690 y Fq(.)519 2871 y FB(Notice)k(that)f(an)n(y)g(p)r(oin)n(t)h(in)f(the)h(in)n (terior)e(of)h Fw(H)34 b FB(either)26 b(lea)n(v)n(es)f Fw(H)33 b FB(or)25 b(is)i(asymptotic)f(to)g(a)g(p)r(erio)r(dic)395 2971 y(p)r(oin)n(t)i(on)f(the)h(b)r(oundary)f(of)g Fw(H)7 b FB(.)395 3152 y Fp(Theorem)30 b(4.3)41 b Fq(The)27 b(map)g(\(23\))f(has)h(a)g(homo)l(clinic)h(p)l(oint)e(and)h (in\014nitely)f(many)g(p)l(erio)l(dic)j(p)l(oints)d(for)395 3251 y(al)t(l)31 b FB(0)22 b Fw(<)h(d)g Ft(\024)g FB(20)p Fq(.)519 3433 y Fp(Pro)s(of:)58 b FB(Let)39 b Fw(p)f FB(denote)g(the)h(\014xed)g(p)r(oin)n(t)f(\()p Ft(\000)2044 3362 y Fo(p)p 2127 3362 V 71 x Fw(\014)t FB(\()p Fw(r)22 b Ft(\000)c FB(1\))p Fw(;)38 b Ft(\000)2552 3362 y Fo(p)p 2635 3362 V 71 x Fw(\014)t FB(\()p Fw(r)22 b Ft(\000)c FB(1\)\))38 b(of)h(\(23\),)i Fw(G)d FB(the)h(ra)n(y)395 3544 y Fw(y)28 b FB(=)d Ft(\000)619 3473 y Fo(p)p 701 3473 V 701 3544 a Fw(\014)t FB(\()p Fw(r)d Ft(\000)c FB(1\))29 b(with)g Fw(x)d(>)f Ft(\000)1447 3473 y Fo(p)p 1530 3473 V 71 x Fw(\014)t FB(\()p Fw(r)c Ft(\000)e FB(1\))o(,)30 b(and)f Fw(D)e FB(=)e Ft(f)p FB(\()p Fw(x;)14 b(y)s FB(\))25 b(:)h Fw(x)f FB(=)g Fw(y)s Ft(g)k FB(the)g(diagonal)e(in)j Fs(R)3445 3514 y Fx(2)3488 3544 y FB(.)41 b(The)395 3644 y(image)27 b(of)g(the)h(triangular)e(region)g Fw(W)40 b FB(b)r(ounded)28 b(b)n(y)f Fw(D)j FB(and)d Fw(G)h FB(lies)g(b)r(et)n (w)n(een)f(the)h(t)n(w)n(o)f(cubics)1475 3863 y Fw(F)12 b FB(\()p Fw(D)r FB(\))23 b(=)g Ft(f)p FB(\()p Fw(x;)14 b(y)s FB(\))23 b(:)g Fw(x)h FB(=)2257 3807 y Fw(\033)p 2257 3844 51 4 v 2261 3920 a(d)2318 3863 y FB(\()p Fw(y)d Ft(\000)2555 3807 y Fw(\014)t(r)r(y)p 2505 3844 234 4 v 2505 3920 a(\014)i FB(+)18 b Fw(y)2702 3896 y Fx(2)2749 3863 y FB(\))g(+)h Fw(y)s Ft(g)578 b FB(\(24\))956 4084 y Fw(F)12 b FB(\()p Fw(G)p FB(\))24 b(=)e Ft(f)p FB(\()p Fw(x;)14 b(y)s FB(\))23 b(:)g Fw(x)h FB(=)1733 4027 y Fw(\033)p 1733 4064 51 4 v 1737 4141 a(d)1793 4084 y FB(\()p Fw(y)d Ft(\000)2030 4027 y Fw(\014)t(r)r(y)p 1980 4064 234 4 v 1980 4141 a(\014)i FB(+)18 b Fw(y)2177 4117 y Fx(2)2224 4084 y FB(\))h(+)f(2)p Fw(y)i FB(+)2545 4009 y Fo(p)p 2628 4009 299 4 v 75 x Fw(\014)t FB(\()p Fw(r)h Ft(\000)d FB(1\))p Ft(g)579 b FB(\(25\))395 4309 y(Consider)22 b(the)j(region)d Fw(F)12 b FB(\()p Fw(W)g FB(\))f Ft(\\)g Fw(W)35 b FB(=)23 b Fw(H)30 b FB(depicted)25 b(in)f(\014gure)f(7.)35 b(Let)24 b(\()p Fw(x)2691 4321 y Fx(0)2729 4309 y Fw(;)14 b(y)2807 4321 y Fx(0)2843 4309 y FB(\))24 b Ft(2)g FB(in)n(t\()p Fw(H)7 b FB(\))24 b(and)g(consider)395 4408 y(the)j(v)n(ertical)f(line)i(segmen)n(t)e Fw(l)j FB(passing)d(through)g(\()p Fw(x)2046 4420 y Fx(0)2084 4408 y Fw(;)14 b(y)2162 4420 y Fx(0)2199 4408 y FB(\))27 b(and)g(connecting)g Fw(G)h FB(and)e Fw(D)r FB(.)37 b(The)27 b(image)g(of)395 4508 y Fw(l)g FB(is)f(a)g(horizon)n(tal)e(line)i (segmen)n(t)g(connecting)f Fw(F)12 b FB(\()p Fw(G)p FB(\))27 b(and)f Fw(F)12 b FB(\()p Fw(D)r FB(\))26 b(con)n(tained)g(in)g(the)g (line)g Fw(y)g FB(=)d Fw(x)3448 4520 y Fx(0)3485 4508 y FB(.)37 b(An)n(y)395 4608 y(p)r(oin)n(t)32 b(of)g(this)h(line)f (segmen)n(t)g(lies)g(ab)r(o)n(v)n(e)e(the)j(line)f Fw(y)i FB(=)c Fw(y)2276 4620 y Fx(0)2313 4608 y FB(.)51 b(Therefore)31 b Fw(H)39 b FB(is)32 b(o)n(v)n(er\015o)n(wing)d(in)j(the)h Fw(y)395 4707 y FB(direction.)519 4807 y(Since)g(in)n(t\()p Fw(F)12 b FB(\()p Fw(H)7 b FB(\))p Ft(\000)33 b FB(in)n(t\()p Fw(H)7 b FB(\)\))34 b(and)e(in)n(t\()p Fw(H)7 b FB(\))34 b(lie)e(on)h(opp)r(osite)f(sides)h(of)f Fw(D)r FB(,)i(an)n(y)e(p)r(oin) n(t)h(in)g Fw(H)40 b FB(m)n(ust)395 4907 y(ha)n(v)n(e)32 b(an)h(iterate)g(whic)n(h)h(either)f(lies)g(on)g Fw(D)j FB(or)c(crosses)g Fw(D)r FB(.)55 b(A)33 b(direct)h(calculation)e(sho)n (ws)g(that)i(one)395 5006 y(branc)n(h)d(of)i Fw(W)864 4976 y Fu(u)907 5006 y FB(\()p Fw(p)p FB(\))g(en)n(ters)f Fw(H)7 b FB(.)52 b(Since)33 b Fw(H)39 b FB(is)32 b(o)n(v)n(er\015o)n (wing)e(in)j(the)g Fw(y)i FB(direction,)f Fw(W)3094 4976 y Fu(u)3137 5006 y FB(\()p Fw(p)p FB(\))f(m)n(ust)g(either)2024 5255 y(9)p eop %%Page: 10 10 10 9 bop 395 523 a FB(cross)25 b Fw(D)30 b FB(or)c(b)r(e)i(asymptotic)e (to)i(the)f(\014xed)g(p)r(oin)n(t)h(\(0)p Fw(;)14 b FB(0\))27 b(creating)f(a)h(saddle-saddle)e(connection.)37 b(The)395 623 y(second)27 b(p)r(ossibilit)n(y)g(can)g(b)r(e)h(excluded)g(as)f (follo)n(ws:)519 722 y(The)g(eigen)n(v)n(ector)d(of)i(the)h (linearization)e(of)h(F)g(around)g(\(0,0\))g(corresp)r(onding)e(to)i (the)h(stable)f(direc-)395 822 y(tion)k(is)g Fp(v)704 834 y Fx(1)768 822 y FB(=)d(\(1)p Fw(;)14 b Ft(\000)1282 789 y Fu(d)p 1045 803 510 4 v 1045 859 a(d)p Fv(\000)p Fx(130+2)1315 812 y Fv(p)p 1369 812 186 3 v 1369 859 a Fx(65)1435 843 y Ff(2)1468 859 y Fv(\000)p Fu(d)1564 822 y FB(\).)44 b(The)30 b(v)n(ector)f Fp(v)2138 834 y Fx(2)2203 822 y FB(=)d(\(1)p Fw(;)2415 789 y Fu(d)p Fv(\000)p Fx(260)p 2415 803 186 4 v 2490 851 a Fu(d)2610 822 y FB(\))31 b(is)e(tangen)n(t)h(to)g Fw(F)12 b FB(\()p Fw(D)r FB(\))30 b(at)g(\(0,0\).)395 933 y(A)37 b(direct)g(computation)f (sho)n(ws)g(that)h(for)f(0)i Fw(<)g(d)g(<)g FB(20)e(the)h(v)n(ector)f Fp(v)2753 945 y Fx(1)2827 933 y FB(p)r(oin)n(ts)h(to)g(the)g(left)g(of) g Fp(v)3657 945 y Fx(2)395 1033 y FB(and)31 b(so)g(the)h(tangen)n(t)f (to)h Fw(W)1315 1003 y Fu(s)1350 1033 y FB(\(0)p Fw(;)14 b FB(0\))32 b(at)f(\(0,0\))h(do)r(es)f(not)h(p)r(oin)n(t)f(in)n(to)h Fw(H)7 b FB(.)49 b(This)31 b(situation)h(is)f(depicted)395 1132 y(sc)n(hematically)26 b(in)i(\014gure)f(8)g(and)g(excludes)h(the)g (p)r(ossibilit)n(y)f(that)h Fw(W)2604 1102 y Fu(u)2647 1132 y FB(\()p Fw(p)p FB(\))g(is)g(asymptotic)f(to)g(\(0,0\).)519 1232 y(By)g(prop)r(osition)e(3.4.b)h(the)h(fact)g(that)g Fw(W)1860 1202 y Fu(u)1903 1232 y FB(\()p Fw(p)p FB(\))g(meets)g Fw(D)h FB(implies)f(the)g(existence)f(of)h(a)f(homo)r(clinic)395 1332 y(p)r(oin)n(t.)519 1431 y(By)31 b(prop)r(osition)g(3.4.c)g(in)g (the)h(case)f(of)g Fw(R)q FB(-rev)n(ersible)f(systems)h(an)g (in\014nite)h(n)n(um)n(b)r(er)f(of)h(p)r(erio)r(dic)395 1531 y(p)r(oin)n(ts)27 b(exists)f(whenev)n(er)g Fw(W)1326 1501 y Fu(u)1369 1531 y FB(\()p Fw(p)p FB(\))i(crosses)d Fw(D)k FB(transv)n(ersely)24 b(at)j(a)g(homo)r(clinic)f(p)r(oin)n(t.)37 b(If)28 b(this)f(p)r(oin)n(t)g(of)395 1630 y(in)n(tersection)20 b(is)h(not)g(transv)n(erse)e(then)j(a)f(transv)n(erse)e(in)n (tersection)h(of)h Fw(W)2689 1600 y Fu(u)2733 1630 y FB(\()p Fw(p)p FB(\))g(and)g Fw(D)j FB(can)d(b)r(e)g(pro)r(duced)395 1730 y(nearb)n(y)26 b(b)n(y)h(an)h(argumen)n(t)e(giv)n(en)h(in)h([12)o (,)g(p.)37 b(261].)e Ft(})519 1830 y FB(Numerical)41 b(in)n(v)n(estigations)e(suggest)g(that)i(the)g(theorem)g(remains)f (true)g(for)g(arbitrarily)f(large)395 1929 y(v)-5 b(alues)27 b(of)h(d.)519 2029 y(This)g(theorem)e(sho)n(ws)g(that)i(rings)e(of)i (Lorenz)e(systems)h(coupled)g(through)f(the)i(\014rst)f(v)-5 b(ariable)26 b(can)395 2129 y(b)r(e)35 b(exp)r(ected)f(to)h(ha)n(v)n(e) e(man)n(y)h(p)r(erio)r(dic)g(stationary)f(states.)58 b(Numerical)34 b(computations)g(of)g Fw(W)3545 2098 y Fu(u)3588 2129 y FB(\()p Fw(p)p FB(\))395 2228 y(suggest)17 b(that)i(ev)n(en)f(more)g(complicated)h(stationary)e(states)h(can)g(b)r (e)h(exp)r(ected)g(\(see)g(\014gure)f(9\).)34 b(Ho)n(w)n(ev)n(er)395 2328 y(it)c(is)h(unclear)e(whether)h(an)n(y)g(of)g(them)h(are)e (stable.)45 b(Numerical)30 b(in)n(v)n(estigations)e(sho)n(w)h(that)i (not)f(only)395 2427 y(are)h(they)i(stable,)h(but)g(their)e(basins)g (of)h(attraction)f(o)r(ccup)n(y)g(a)g(large)g(p)r(ortion)g(of)h(phase)f (space.)51 b(W)-7 b(e)395 2527 y(next)28 b(address)e(the)i(problem)f (of)h(stabilit)n(y)f(of)g(these)h(\014xed)g(states.)395 2802 y Fy(5)134 b(Stabilit)l(y)47 b(of)e(Steady)h(States)g(in)e(a)i (Ring)395 2983 y FB(The)29 b(study)h(of)g(stable)f(\014xed)g(states)g (in)h(a)f(c)n(hain)g(of)h(oscillators)e(is)h(not)g(new.)43 b(They)30 b(are)e(describ)r(ed)i(in)395 3083 y([13)o(],)c([6)o(])g(as)e (instances)h(of)g(oscillator)e(death)j(in)f(a)g(c)n(hain)g(of)g(neural) f(oscillators,)g(in)h([4])g(as)g(sync)n(hronous)395 3183 y(states)38 b(of)h(phase)g(lo)r(c)n(k)f(lo)r(ops,)k(and)d(conditions)f (for)h(the)g(stabilit)n(y)g(of)g(complex)g(stationary)e(states)395 3282 y(in)i(general)e(lattices)h(are)g(giv)n(en)f(in)i([3].)70 b(The)38 b(situation)g(presen)n(ted)g(here)g(is)h(di\013eren)n(t)f(in)h (that)g(an)395 3382 y(explicit)30 b(p)r(erio)r(dic)g(stationary)e (state)h(is)h(analyzed)f(in)h(a)f(case)g(where)h(the)g(metho)r(ds)g (from)f(the)i(theory)395 3482 y(of)25 b(parab)r(olic)f(partial)g (di\013eren)n(tial)h(equations)g(used)g(in)g([13)o(])h(are)e(not)h (applicable,)h(and)f(the)g(conditions)395 3581 y(prop)r(osed)k(in)i([3) o(])g(cannot)f(b)r(e)h(v)n(eri\014ed.)44 b(In)31 b(addition,)g(since)f (the)h(coupling)e(strength)h(is)h(neither)f(v)n(ery)395 3681 y(large)c(nor)h(v)n(ery)f(small,)h(there)h(is)f(no)h(ob)n(vious)e (p)r(erturbativ)n(e)h(approac)n(h)e(to)j(the)g(problem.)519 3780 y(Ev)n(en)d(if)h(some)e(of)i(the)f(\014xed)h(states)e(in)i(a)f (ring)g(of)g Fw(n)g FB(systems)g(are)f(stable)h(it)h(can)f(not)g(b)r(e) h(concluded)395 3880 y(that)k(stable)g(equilibria)g(exist)g(in)h (arbitrarily)d(long)h(rings)h(of)g(suc)n(h)g(systems.)44 b(If)31 b(a)f(stable)g(\014xed)g(state)395 3980 y(is)e(view)n(ed)g(as)f (a)h(sp)r(ecial)g(case)f(of)h(sync)n(hronization,)f(one)h(migh)n(t)g (guess)f(from)h(results)g(in)g(Afraimo)n(vic)n(h)395 4079 y(and)c(Lin)h([5)o(])g(that)f(the)h(coupling)f(necessary)f(to)h (ha)n(v)n(e)f(stable)h(steady)g(states)g(in)h(longer)e(rings)g (increases)395 4179 y(as)k(a)g(p)r(o)n(w)n(er)f(of)i(the)g(size)f(of)h (the)g(ring.)36 b(It)28 b(has)f(already)f(b)r(een)i(argued)f(that)g (this)h(is)g(not)f(realistic)g(from)395 4279 y(a)g(ph)n(ysical)g(viewp) r(oin)n(t,)g(and)h(w)n(e)f(will)h(sho)n(w)e(b)r(elo)n(w)i(that)g(it)g (is)f(not)h(the)g(case.)519 4378 y(In)g(the)g(follo)n(wing)e(sections)h (w)n(e)g(will)g(concen)n(trate)f(on)h(the)h(sp)r(eci\014c)g(example)f (of)g(a)g(ring)g(of)g(Lorenz)395 4478 y(systems)j(coupled)h(in)g(the)g Fw(x)g FB(v)-5 b(ariable)30 b(discussed)g(in)h(example)g(2)f(of)h(the)g (last)g(section.)46 b(Ho)n(w)n(ev)n(er)28 b(the)395 4577 y(ideas)35 b(presen)n(ted)g(can)h(b)r(e)g(applied)g(to)f(an)n(y)g(c)n (hain)h(of)g(symmetrically)f(coupled)g(systems)h(for)f(whic)n(h)395 4677 y(condition)27 b(1)g(holds.)519 4777 y(The)k(linearization)e(of)i (eac)n(h)f(of)g(the)h(Lorenz)f(equations)g(around)f(a)i(p)r(oin)n(t)h Fp(^)-50 b(v)2980 4789 y Fe(i)3034 4777 y FB(=)28 b(\()5 b(^)-47 b Fw(x)3206 4789 y Fu(i)3234 4777 y Fw(;)20 b FB(^)-48 b Fw(y)3312 4789 y Fu(i)3339 4777 y Fw(;)19 b FB(^)-47 b Fw(z)3415 4789 y Fu(i)3443 4777 y FB(\))31 b(when)2003 5255 y(10)p eop %%Page: 11 11 11 10 bop 395 523 a Fw(d)23 b FB(=)g(0)k(is)1525 780 y Fw(D)1596 792 y Fe(^)-40 b(v)1634 801 y Fd(i)1660 780 y Fw(f)32 b FB(=)1820 613 y Fo(2)1820 763 y(4)1922 680 y Ft(\000)p Fw(\033)160 b(\033)j FB(0)1876 780 y Fw(r)21 b Ft(\000)i FB(^)-47 b Fw(z)2056 792 y Fu(i)2166 780 y Ft(\000)p FB(1)82 b Ft(\000)5 b FB(^)-47 b Fw(x)2467 792 y Fu(i)1951 879 y FB(^)f Fw(y)1986 891 y Fu(i)2187 879 y FB(^)h Fw(x)2229 891 y Fu(i)2375 879 y Ft(\000)p Fw(b)2495 613 y Fo(3)2495 763 y(5)3547 780 y FB(\(26\))395 1058 y(and)29 b(hence)g(linearizing)g(the)h(en)n(tire)e(ring)h(around)g (the)g(steady)g(state)2648 1057 y(^)2642 1058 y Fp(v)f FB(=)e(\()r Fp(^)-50 b(v)2893 1070 y Fe(i)2919 1058 y FB(\))2951 1028 y Fu(n)2951 1080 y(i)p Fx(=1)3089 1058 y FB(=)26 b(\()5 b(^)-47 b Fw(x)3259 1070 y Fx(1)3296 1058 y Fw(;)20 b FB(^)-48 b Fw(y)3374 1070 y Fx(1)3411 1058 y Fw(;)19 b FB(^)-47 b Fw(z)3487 1070 y Fx(1)3524 1058 y Fw(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)400 1158 y FB(^)-47 b Fw(x)442 1170 y Fu(n)487 1158 y Fw(;)34 b FB(^)-48 b Fw(y)579 1170 y Fu(n)624 1158 y Fw(;)33 b FB(^)-47 b Fw(z)714 1170 y Fu(n)759 1158 y FB(\))28 b(leads)f(to)g(the)h(3)p Fw(n)18 b Ft(\002)g FB(3)p Fw(n)27 b FB(matrix)932 1486 y Fw(D)1003 1498 y Fe(^)-40 b(v)1046 1486 y Fw(F)35 b FB(=)1222 1269 y Fo(2)1222 1415 y(6)1222 1465 y(6)1222 1518 y(4)1277 1336 y Fw(D)1348 1348 y Fe(^)-40 b(v)1386 1356 y Fd(1)1425 1336 y Fw(f)27 b Ft(\000)18 b FB(2\000)253 b(\000)259 b(0)87 b Fw(:)14 b(:)g(:)102 b FB(0)260 b(\000)1447 1435 y(\000)254 b Fw(D)1824 1447 y Fe(^)-40 b(v)1862 1455 y Fd(2)1901 1435 y Fw(f)27 b Ft(\000)18 b FB(2\000)82 b(\000)h Fw(:)14 b(:)g(:)102 b FB(0)265 b(0)1279 1535 y Fw(:)43 b(:)g(:)g(:)g(:)g(:)g(:)g(:)g(:)g(:)h(:)f(:)g(:)g(:)g(:)g(:)g (:)g(:)g(:)g(:)h(:)f(:)g(:)g(:)g(:)g(:)g(:)g(:)1447 1635 y FB(\000)429 b(0)264 b(0)87 b Fw(:)14 b(:)g(:)97 b FB(\000)83 b Fw(D)2763 1647 y Fe(^)-40 b(v)2801 1655 y Fd(n)2843 1635 y Fw(f)27 b Ft(\000)18 b FB(2\000)3088 1269 y Fo(3)3088 1415 y(7)3088 1465 y(7)3088 1518 y(5)3547 1486 y FB(\(27\))395 1809 y(where)27 b(the)h(matrix)f(\000)g(is)h(de\014ned)g(as:)1755 2067 y(\000)23 b(=)1918 1900 y Fo(2)1918 2049 y(4)1973 1966 y Fw(d)83 b FB(0)g(0)1974 2066 y(0)g(0)g(0)1974 2165 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b Ft(f)r Fp(^)-50 b(v)r Fw(;)15 b Fp(^)-49 b(v)q Fw(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)i Fp(^)-50 b(v)q Ft(g)22 b FB(pro)r(duces)g(a)g(steady)g(state)g(in)h(a)f(c)n(hain)g(of)g Fw(K)6 b(n)22 b FB(oscillators.)33 b(W)-7 b(e)23 b(refer)395 2938 y(to)f(suc)n(h)f(a)h(state)g(as)f(the)h Fw(K)6 b FB(-)p Fq(multiple)22 b FB(of)g(the)g(steady)g(state)h Fp(^)-50 b(v)r FB(.)35 b(An)23 b(example)e(of)h(a)g(stationary)e(state) i(and)395 3037 y(its)29 b(4-m)n(ultiple)g(is)g(giv)n(en)f(in)i (\014gure)e(10.)41 b(W)-7 b(e)29 b(next)h(deriv)n(e)e(conditions)g (under)h(whic)n(h)h(all)e Fw(K)6 b FB(-m)n(ultiples)395 3137 y(of)31 b(a)h(stable)f(steady)g(state)h(are)e(themselv)n(es)h (stable)h(and)f(demonstrate)g(that)h(these)g(conditions)f(hold)395 3237 y(in)d(a)f(particular)f(case.)519 3336 y(The)i(linearization)e (around)h(the)h(steady)f(state)i Fp(^)-50 b(v)2105 3306 y Fx(\()p Fu(K)t Fx(\))2250 3336 y FB(leads)27 b(to)g(the)h(follo)n (wing)f(stabilit)n(y)g(matrix:)1268 3660 y Fw(D)1339 3679 y Fe(^)-40 b(v)1378 3662 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Fw(:)14 b(:)g(:)102 b FB(0)265 b(0)1234 4339 y Fw(:)43 b(:)g(:)g(:)g(:)h(:)f(:)g(:)g(:)g(:)g(:)g(:)g(:)g(:)g(:)h(:)f (:)g(:)g(:)g(:)g(:)g(:)g(:)g(:)h(:)f(:)g(:)g(:)1408 4439 y FB(0)434 b(0)263 b(0)88 b Fw(:)14 b(:)g(:)96 b FB(\000)83 b Fw(D)2718 4451 y Fe(^)-40 b(v)2756 4459 y Fd(n)2799 4439 y Fw(f)27 b Ft(\000)18 b FB(2\000)3043 4073 y Fo(3)3043 4219 y(7)3043 4269 y(7)3043 4322 y(5)395 4613 y FB(and)27 b Fw(E)33 b FB(is)27 b(an)h(3)p Fw(n)18 b Ft(\002)g FB(3)p Fw(n)27 b FB(matrix)g(of)g(the)h(form)1268 4878 y Fw(E)1329 4890 y Fu(u)1396 4878 y FB(=)1483 4711 y Fo(2)1483 4860 y(4)1539 4777 y FB(0)82 b Fw(:)14 b(:)g(:)97 b FB(\000)1542 4877 y Fw(:)45 b(:)g(:)g(:)g(:)g(:)1539 4976 y FB(0)82 b Fw(:)14 b(:)g(:)102 b FB(0)1909 4711 y Fo(3)1909 4860 y(5)2130 4878 y Fw(E)2191 4890 y Fu(d)2253 4878 y FB(=)2341 4711 y Fo(2)2341 4860 y(4)2401 4777 y FB(0)88 b Fw(:)14 b(:)g(:)97 b FB(0)2400 4877 y Fw(:)45 b(:)g(:)g(:)g(:)g(:)2396 4976 y FB(\000)83 b Fw(:)14 b(:)g(:)97 b FB(0)2766 4711 y Fo(3)2766 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Ff(\))3338 4095 y Fw(F)12 b Fp(e)34 b FB(=)f Fw(\025)p Fp(e)p FB(.)395 4195 y(Using)27 b(the)h(expressions)e(obtained)h(in)h (\(31\))f(w)n(e)h(get)466 4413 y(exp)607 4296 y Fo(\022)678 4357 y FB(2)p Fw(\031)s(iq)p 678 4394 161 4 v 695 4470 a(nK)848 4413 y(j)887 4296 y Fo(\023)14 b(\022)1023 4413 y Fw(de)1115 4352 y Ff(2)p Fn(\031)q(iq)p 1115 4366 116 3 v 1129 4399 a(nK)1256 4392 y FB(~)1244 4413 y(\011)1309 4425 y Fu(q)1346 4413 y FB(\()p Fw(j)23 b FB(+)18 b(1)c(mo)r(d)27 b Fw(n)p FB(\))19 b(+)f Fw(de)2026 4379 y Fv(\000)2088 4352 y Ff(2)p Fn(\031)q(iq)p 2088 4366 V 2102 4399 a(nK)2229 4392 y FB(~)2217 4413 y(\011)2282 4425 y Fu(q)2318 4413 y FB(\()p Fw(j)24 b Ft(\000)18 b FB(1)c(mo)r(d)27 b Fw(n)p FB(\))19 b Ft(\000)452 4601 y FB(2)506 4580 y(~)494 4601 y(\011)559 4613 y Fu(q)595 4601 y FB(\()p Fw(j)5 b FB(\))19 b(+)f Fw(v)840 4613 y Fx(1)877 4601 y FB(\()p Fw(j)5 b FB(\))992 4580 y(~)980 4601 y(\011)1045 4613 y Fu(q)1082 4601 y FB(\()p Fw(j)g FB(\))19 b(+)f Fw(w)1346 4613 y Fx(1)1384 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Fs(R)34 b FB(b)n(y)27 b(replacing)g(the)h(matrices)e Fw(E)5 b FB(\()p Fw(q)s FB(\))2727 2433 y Fv(\006)2812 2463 y FB(with)28 b(the)g(matrices)1648 2746 y Fw(E)1714 2710 y Fv(\006)1709 2766 y Fu(t)1793 2746 y FB(=)1881 2579 y Fo(2)1881 2728 y(4)1936 2645 y Fw(de)2018 2615 y Fv(\006)p Fu(it)2206 2645 y FB(0)82 b(0)2009 2745 y(0)155 b(0)82 b(0)2009 2844 y(0)155 b(0)82 b(0)2372 2579 y Fo(3)2372 2728 y(5)395 3028 y FB(in)31 b(the)h(expression)e(for)h Ft(D)r FB(.)48 b(If)32 b(w)n(e)f(can)g(sho)n (w)f(that)i Ft(D)r FB(\()p Fw(t)p FB(\))g(has)f(eigen)n(v)-5 b(alues)30 b(with)i(negativ)n(e)e(real)g(part)395 3127 y(for)d(all)g Fw(t)c Ft(2)h Fs(R)33 b FB(then)28 b(the)g(same)f(is)h (true)f(for)g Ft(D)r FB(\()p Fw(q)s FB(\))i(for)e(an)n(y)g(v)-5 b(alues)27 b(of)h Fw(K)33 b FB(and)27 b Fw(q)k FB(in)d Fs(Z)o FB(.)519 3227 y(The)k(follo)n(wing)f(lemma)h(ab)r(out)g(the)g (class)f(of)h(matrices)f(of)h(t)n(yp)r(e)g(\(33\))g(will)g(b)r(e)g (used)g(in)g(the)h(next)395 3327 y(section.)395 3509 y Fp(Lemma)c(5.1)41 b Fq(L)l(et)36 b Fw(E)5 b FB(\()p Fw(t)p FB(\))1207 3479 y Fv(\006)1299 3509 y Fq(b)l(e)37 b(as)f(in)g(the)h(pr)l(evious)g(lemma.)59 b(The)37 b(char)l(acteristic) h(p)l(olynomial)g(of)f(a)395 3609 y Fw(K)6 b(m)18 b Ft(\002)g Fw(K)6 b(m)29 b Fq(matrix)913 3977 y Fw(B)e FB(=)1091 3711 y Fo(2)1091 3857 y(6)1091 3906 y(6)1091 3956 y(6)1091 4006 y(6)1091 4059 y(4)1196 3777 y Fw(M)1277 3789 y Fx(1)1446 3777 y Fw(E)5 b FB(\()p Fw(t)p FB(\))1606 3747 y Fx(+)1832 3777 y FB(0)190 b Fw(:)14 b(:)g(:)205 b FB(0)264 b(0)177 b Fw(E)5 b FB(\()p Fw(t)p FB(\))3051 3747 y Fv(\000)1146 3877 y Fw(E)g FB(\()p Fw(t)p FB(\))1306 3846 y Fv(\000)1495 3877 y Fw(M)1576 3889 y Fx(2)1745 3877 y Fw(E)g FB(\()p Fw(t)p FB(\))1905 3846 y Fx(+)2043 3877 y Fw(:)14 b(:)g(:)g FB(0)476 b(0)264 b(0)1147 3976 y Fw(:)42 b(:)h(:)f(:)h(:)f(:)h(:)f(:)h (:)f(:)h(:)f(:)h(:)f(:)h(:)f(:)h(:)f(:)g(:)h(:)f(:)h(:)f(:)h(:)f(:)h(:) 1234 4076 y FB(0)257 b(0)g(0)190 b Fw(:)14 b(:)g(:)118 b(E)5 b FB(\()p Fw(t)p FB(\))2439 4046 y Fv(\000)2578 4076 y Fw(M)2659 4088 y Fu(K)t Fv(\000)p Fx(1)2891 4076 y Fw(E)g FB(\()p Fw(t)p FB(\))3051 4046 y Fx(+)1147 4175 y Fw(E)g FB(\()p Fw(t)p FB(\))1307 4145 y Fx(+)1533 4175 y FB(0)257 b(0)190 b Fw(:)14 b(:)g(:)205 b FB(0)177 b Fw(E)5 b FB(\()p Fw(t)p FB(\))2745 4145 y Fv(\000)2927 4175 y Fw(M)3008 4187 y Fu(K)3107 3711 y Fo(3)3107 3857 y(7)3107 3906 y(7)3107 3956 y(7)3107 4006 y(7)3107 4059 y(5)395 4354 y Fq(is)30 b(of)g(the)g(form)1038 4625 y Fw(p)1080 4637 y Fu(M)1153 4625 y FB(\()p Fw(t;)14 b(\025)p FB(\))24 b(=)1444 4514 y Fx(\()p Fu(K)t Fv(\000)p Fx(1\))p Fu(m)1512 4546 y Fo(X)1518 4723 y Fu(i)p Fx(=0)1700 4625 y FB(\()p Fw(\013)1785 4637 y Fu(i)1831 4625 y FB(+)18 b Fw(\014)1961 4637 y Fu(i)2002 4625 y FB(cos)13 b Fw(K)6 b(t)p FB(\))p Fw(\025)2314 4590 y Fu(i)2361 4625 y FB(+)2591 4521 y Fu(K)t(m)2591 4546 y Fo(X)2444 4728 y Fu(i)p Fx(=\()p Fu(K)t Fv(\000)p Fx(1\))p Fu(m)p Fx(+1)2872 4625 y Fw(\013)2925 4637 y Fu(i)2952 4625 y Fw(\025)3000 4590 y Fu(i)3029 4625 y Fw(:)495 b FB(\(35\))519 4900 y(A)28 b(pro)r(of)f(of)h(this)g (lemma)f(is)h(giv)n(en)e(in)i(the)g(app)r(endix.)2003 5255 y(13)p eop %%Page: 14 14 14 13 bop 395 523 a Fy(6)134 b(An)45 b(Example)395 705 y FB(This)38 b(section)h(giv)n(es)e(a)h(computer)g(assisted)g(pro)r(of) g(that)h(an)n(y)f Fw(K)6 b FB(-m)n(ultiple)38 b(of)h(a)f(particular)f (stable)395 805 y(\014xed)c(state)g(in)h(a)f(ring)g(of)g(four)g(Lorenz) f(system)h(is)h(stable.)53 b(The)34 b(pro)r(of)f(in)n(v)n(olv)n(es)e (the)j(use)f(of)g(in)n(ter-)395 904 y(v)-5 b(al)30 b(arithmetic)g(and)g (the)h(follo)n(wing)e(theorems)h(ab)r(out)g(the)g(con)n(v)n(ergence)e (of)i(the)h(Newton-Raphson-)395 1004 y(Kan)n(toro)n(vic)n(h)23 b(metho)r(d.)37 b(The)27 b(computations)e(w)n(ere)h(p)r(erformed)f (using)h(Mathematica's)g(implemen)n(ta-)395 1103 y(tion)h(of)h(in)n (terv)-5 b(al)27 b(arithmetic.)395 1269 y Fp(Theorem)j(6.1)41 b Fq(L)l(et)22 b Fw(f)9 b FB(\()p Fw(z)t FB(\))22 b Fq(b)l(e)g(a)h(c)l (omplex)g(analytic)h(function)e(and)h(assume)g Fw(f)9 b FB(\()p Fw(z)2930 1281 y Fx(0)2967 1269 y FB(\))p Fw(f)3049 1239 y Fv(0)3072 1269 y FB(\()p Fw(z)3143 1281 y Fx(0)3180 1269 y FB(\))23 b Ft(6)p FB(=)g(0)f Fq(for)h(some)395 1369 y Fw(z)434 1381 y Fx(0)471 1369 y Fq(.)38 b(De\014ne)28 b Fw(h)843 1381 y Fx(0)903 1369 y FB(=)23 b Ft(\000)p Fw(f)9 b FB(\()p Fw(z)1177 1381 y Fx(0)1213 1369 y FB(\))p Fw(=f)1337 1339 y Fv(0)1360 1369 y FB(\()p Fw(z)1431 1381 y Fx(0)1468 1369 y FB(\))p Fq(,)29 b(the)g(disc)g Fw(K)1930 1381 y Fx(0)1990 1369 y FB(=)23 b Ft(f)p Fw(z)j FB(:)d Ft(j)p Fw(z)c Ft(\000)c Fw(z)2431 1381 y Fx(0)2468 1369 y Ft(j)23 b(\024)g(j)p Fw(h)2673 1381 y Fx(0)2710 1369 y Ft(jg)28 b Fq(and)h Fw(M)j FB(=)23 b(max)3318 1381 y Fu(K)3374 1389 y Ff(0)3424 1369 y Ft(j)p Fw(f)3497 1339 y Fv(00)3539 1369 y FB(\()p Fw(z)t FB(\))p Ft(j)p Fq(.)395 1469 y(If)30 b FB(2)p Ft(j)p Fw(h)595 1481 y Fx(0)632 1469 y Ft(j)p Fw(M)h Ft(\024)23 b(j)p Fw(f)928 1438 y Fv(0)951 1469 y FB(\()p Fw(z)1022 1481 y Fx(0)1059 1469 y FB(\))p Ft(j)30 b Fq(then)g(ther)l(e)f(is)i(exactly)f(one)g(r)l (o)l(ot)f(of)i Fw(f)38 b Fq(in)30 b(the)g(close)l(d)h(disc)g Fw(K)3126 1481 y Fx(0)3162 1469 y Fq(.)395 1635 y Fp(Theorem)f(6.2)h (\(Kan)m(toro)m(vic)m(h's)i(Con)m(v)m(ergence)f(Theorem\))40 b Fq(Given)22 b(a)g(twic)l(e)g(di\013er)l(entiable)h(func-)395 1734 y(tion)45 b Fw(f)59 b FB(:)50 b Fs(R)809 1704 y Fu(n)911 1734 y Ft(!)g Fs(R)1098 1704 y Fu(n)1194 1734 y Fq(which)d(is)e(nonsingular)g(at)g(a)g(p)l(oint)h Fw(x)2490 1746 y Fx(0)2578 1734 y FB(=)k(\()p Fw(x)2772 1704 y Fx(0)2772 1755 y(1)2810 1734 y Fw(;)14 b(x)2894 1704 y Fx(0)2894 1755 y(2)2931 1734 y Fw(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g(x)3163 1704 y Fx(0)3163 1755 y Fu(n)3208 1734 y FB(\))46 b Fq(let)e FB([\000)3492 1746 y Fu(ik)3557 1734 y FB(])50 b(=)395 1834 y([)435 1797 y Fu(@)t(f)506 1805 y Fn(i)p 428 1815 113 4 v 428 1862 a Fu(@)t(x)505 1871 y Fn(k)551 1834 y FB(\()p Fw(x)630 1846 y Fx(0)668 1834 y FB(\)])723 1804 y Fv(\000)p Fx(1)812 1834 y Fq(.)39 b(L)l(et)29 b Fw(A;)14 b(B)t(;)g(C)36 b Fq(b)l(e)30 b(p)l(ositive)h(r)l(e)l(al)f (numb)l(ers)f(such)h(that)917 2083 y FB(max)983 2135 y Fu(i)1125 1979 y(n)1086 2004 y Fo(X)1085 2183 y Fu(k)q Fx(=1)1220 2083 y Ft(j)p FB(\000)1295 2095 y Fu(ik)1359 2083 y Ft(j)23 b(\024)g Fw(A)184 b FB(max)1804 2135 y Fu(i)1947 1979 y(n)1908 2004 y Fo(X)1907 2183 y Fu(k)q Fx(=1)2042 2083 y Ft(j)p FB(\000)2117 2095 y Fu(ik)2181 2083 y Fw(f)2222 2095 y Fu(k)2263 2083 y FB(\()p Fw(x)2342 2095 y Fx(0)2380 2083 y FB(\))p Ft(j)23 b(\024)g Fw(B)174 b(C)29 b Ft(\024)3033 2027 y FB(1)p 2968 2064 171 4 v 2968 2140 a(2)p Fw(AB)3149 2083 y(:)375 b FB(\(36\))395 2339 y Fq(De\014ne)29 b(the)h(r)l(e)l(gion)g Fw(R)24 b FB(=)e Ft(f)p Fw(x)h Ft(2)h Fs(R)1461 2309 y Fu(n)1535 2339 y FB(:)f(max)1736 2351 y Fu(i)1777 2339 y Ft(j)p Fw(x)1847 2351 y Fu(i)1894 2339 y Ft(\000)18 b Fw(x)2024 2309 y Fx(0)2024 2361 y Fu(i)2061 2339 y Ft(j)24 b(\024)e FB(\()p Fw(AC)6 b FB(\))2386 2309 y Fv(\000)p Fx(1)2476 2339 y FB(\(1)19 b Ft(\000)2652 2273 y(p)p 2721 2273 380 4 v 66 x FB(1)f Ft(\000)g FB(2)p Fw(AB)t(C)6 b FB(\))p Ft(g)p Fq(.)38 b(If)1274 2573 y FB(max)1285 2626 y Fu(x)p Fv(2)p Fu(R)1482 2469 y(n)1443 2494 y Fo(X)1445 2671 y Fu(j)s Fx(=1)1616 2469 y Fu(n)1577 2494 y Fo(X)1576 2673 y Fu(k)q Fx(=1)1711 2452 y Fo(\014)1711 2502 y(\014)1711 2552 y(\014)1711 2602 y(\014)1806 2517 y Fw(@)1855 2486 y Fx(2)1891 2517 y Fw(f)1932 2529 y Fu(i)p 1749 2554 269 4 v 1749 2630 a Fw(@)5 b(x)1845 2642 y Fu(j)1880 2630 y Fw(@)g(x)1976 2642 y Fu(k)2027 2452 y Fo(\014)2027 2502 y(\014)2027 2552 y(\014)2027 2602 y(\014)2077 2573 y Ft(\024)23 b Fw(C)176 b(i)23 b FB(=)f(1)p Fw(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h (n)732 b FB(\(37\))395 2827 y Fq(then)29 b(the)h(e)l(quation)g Fw(f)9 b FB(\()p Fw(x)p FB(\))24 b(=)f(0)29 b Fq(has)h(a)g(solution)g (in)g Fw(R)q Fq(.)519 2993 y FB(The)35 b(argumen)n(t)e(will)i(pro)r (ceed)f(as)g(follo)n(ws:)50 b(First)35 b(a)f(steady)g(state)g(of)h(the) g(ring)f(is)g(found)h(using)395 3093 y(in)n(terv)-5 b(al)39 b(arithmetic.)72 b(Next)40 b(it)g(is)f(sho)n(wn)g(that)g(the)h(c)n (haracteristic)d(p)r(olynomial)i Fw(p)3196 3105 y Fv(D)3254 3093 y FB(\()p Fw(\025;)14 b(t)p FB(\))40 b(of)f(the)395 3192 y(matrix)26 b Ft(D)r FB(\()p Fw(q)s FB(\))h(in)g(\(33\))f(corresp) r(onding)e(to)i(this)h(steady)f(state)g(has)g(ro)r(ots)f(with)i (negativ)n(e)e(real)g(part)h(for)395 3292 y Fw(t)f FB(=)549 3259 y Fu(\031)p 549 3273 41 4 v 553 3321 a Fx(4)600 3292 y FB(.)40 b(Finally)28 b(it)i(is)e(pro)n(v)n(ed)f(that)i Fw(p)1609 3304 y Fv(D)1667 3292 y FB(\()p Fw(\025;)14 b(t)p FB(\))29 b(do)r(es)f(not)h(ha)n(v)n(e)f(ro)r(ots)f(on)i(the)g (imaginary)e(axis)g(for)i(an)n(y)395 3392 y Fw(t)e Ft(2)h Fs(R)p FB(.)51 b(Since)30 b(the)h(ro)r(ots)e(of)h(a)g(p)r(olynomial)f (dep)r(end)i(con)n(tin)n(uously)e(on)h(its)g(co)r(e\016cien)n(ts)g (this)h(implies)395 3491 y(that)e(the)g(ro)r(ots)f(of)h Fw(p)1070 3503 y Fv(D)1128 3491 y FB(\()p Fw(\025;)14 b(t)p FB(\))30 b(cannot)e(cross)g(in)n(to)h(righ)n(t)f(half)h(of)g Fs(C)15 b FB(.)48 b(By)28 b(the)i(results)e(of)h(section)g(5)g(this)395 3591 y(implies)f(that)f(all)h Fw(K)6 b FB(-m)n(ultiples)27 b(of)g(the)h(\014xed)g(state)f(under)h(consideration)e(m)n(ust)i(b)r(e) g(stable.)519 3691 y(In)h(the)f(follo)n(wing)f(in)n(terv)-5 b(als)27 b(of)h(n)n(um)n(b)r(ers)g(will)g(b)r(e)g(denoted)h(with)f(o)n (v)n(erbars)d(to)j(distinguish)g(them)395 3790 y(from)36 b(real)f(n)n(um)n(b)r(ers,)j(and)e(mak)n(e)g(the)h(notation)e(less)h (cum)n(b)r(ersome.)63 b(F)-7 b(or)35 b(instance)3217 3768 y(\026)3213 3790 y Fw(\025)i FB(denotes)f(an)395 3890 y(in)n(terv)-5 b(al)27 b(and)g(the)h(in)n(terv)-5 b(al)27 b([3)p Fw(:)p FB(16524)p Fw(;)14 b FB(3)p Fw(:)p FB(16533])22 b(is)28 b(denoted)p 2351 3826 190 4 v 27 w(3)p Fw(:)p FB(165)n(.)519 3989 y(Numerical)i(in)n(v)n(estigations)f (with)i(the)f(program)f(XPP)g(sho)n(w)h(that)g(a)g(stable)g(state)h(in) f(a)g(c)n(hain)g(of)395 4089 y(four)37 b(oscillators)f(coupled)h(with)h Fw(d)i FB(=)f(1)p Fw(:)p FB(5)e(o)r(ccurs)g(close)g(to)2413 4088 y(^)2408 4089 y Fp(x)j FB(=)g(\()5 b(^)-47 b Fw(x)2682 4101 y Fx(1)2720 4089 y Fw(;)19 b FB(^)-47 b Fw(x)2804 4101 y Fx(2)2841 4089 y Fw(;)19 b FB(^)-47 b Fw(x)2925 4101 y Fx(3)2963 4089 y Fw(;)19 b FB(^)-47 b Fw(x)3047 4101 y Fx(4)3084 4089 y FB(\))38 b(=)g(\(-6.4114408,)395 4189 y(7.3696656,)25 b(8.1984129,)h(7.3696656\).)38 b(Notice)29 b(that)g(the)h(orbit)f(of)g(\(23\))f(describing)h(this)g(state)g(is)g (not)395 4288 y(symmetric)h(in)i(the)f(sense)g(of)g(prop)r(osition)f (3.4)g(although)h(it)g(is)g(mapp)r(ed)g(in)n(to)g(itself)h(under)f Fw(R)q FB(.)47 b(This)395 4388 y(n)n(umerically)29 b(obtained)g (solution)h(is)g(used)g(as)f(an)h(initial)g(guess)f(in)h(Mathematica's) g(implemen)n(tation)395 4488 y(of)d(Newton's)h(metho)r(d)g(to)f (determine)h(the)g(ro)r(ots)f Fw(x)2044 4457 y Fu(i)2044 4508 y(a)2112 4488 y FB(of)g(the)h(set)g(of)g(equations)563 4697 y Fw(\033)s FB(\()p Fw(x)692 4709 y Fu(i)739 4697 y Ft(\000)914 4640 y Fw(\014)t(r)r(x)1051 4652 y Fu(i)p 832 4677 330 4 v 832 4754 a Fw(\014)23 b FB(+)18 b(\()p Fw(x)1064 4766 y Fu(i)1093 4754 y FB(\))1125 4730 y Fx(2)1172 4697 y FB(\))h Ft(\000)f FB(1)p Fw(:)p FB(5\()p Fw(x)1492 4712 y Fx(\()p Fu(i)p Fv(\000)p Fx(1\))11 b(mo)r(d)22 b(4+1)1952 4697 y Ft(\000)c FB(2)p Fw(x)2124 4709 y Fu(i)2170 4697 y FB(+)g Fw(x)2300 4712 y Fx(\()p Fu(i)p Fx(+1\))12 b(mo)r(d)22 b(4+1)2741 4697 y FB(\))167 b Fw(i)22 b FB(=)h(1)p Fw(;)14 b FB(2)p Fw(;)g FB(3)p Fw(;)g FB(4)p Fw(:)166 b FB(\(38\))395 4907 y(Although)25 b(Mathematica)g(can)g(b)r(e)h (instructed)f(to)g(\014nd)h(ro)r(ots)e(to)i(an)f(arbitrary)e (precision,)i(so)f(far)h(only)395 5006 y(\015oating)i(p)r(oin)n(t)g (arithmetic)h(w)n(as)e(used)i(so)f(that)h(none)f(of)h(the)g(results)f (are)f(rigorous)f(y)n(et.)2003 5255 y(14)p eop %%Page: 15 15 15 14 bop 519 523 a FB(A)n(t)23 b(this)h(p)r(oin)n(t)f(all)f(the)i (quan)n(tities)e(in)h(the)h(computations)e(are)g(rede\014ned)h(as)f(in) n(terv)-5 b(als)22 b(rather)g(than)395 623 y(\015oating)32 b(p)r(oin)n(t)i(n)n(um)n(b)r(ers)e(and)i(using)f(in)n(terv)-5 b(al)32 b(arithmetic)h(and)h(theorem)e(6.2)h(w)n(e)g(\014nd)g(an)g(in)n (terv)-5 b(al)395 722 y(around)21 b(eac)n(h)g Fw(x)899 692 y Fu(i)899 743 y(a)962 722 y FB(in)h(whic)n(h)g(the)h(ro)r(ots)e (of)h(equation)f(\(38\))h(m)n(ust)g(lie.)36 b(These)21 b(b)r(ounds)i(are)e(no)n(w)g(rigorous.)519 822 y(In)31 b(section)g(5)f(it)h(w)n(as)f(sho)n(wn)g(that)h(a)g(\014xed)g(state)f (and)h(all)g(of)f(its)h Fw(K)6 b FB(-m)n(ultiples)31 b(are)f(stable)g(if)h(the)395 922 y(p)r(olynomial)k Fw(p)874 934 y Fv(D)932 922 y FB(\()p Fw(\025;)14 b(t)p FB(\))37 b(corresp)r(onding)e(to)h(that)g(state)h(has)e(ro)r(ots)h(with)h (negativ)n(e)e(real)g(part)h(for)g(all)395 1021 y Fw(t)23 b Ft(2)g FB([0)p Fw(;)14 b(\031)s(=)p FB(2].)36 b(Using)27 b(in)n(terv)-5 b(al)27 b(arithmetic)h(it)g(is)f(sho)n(wn)g(that)402 1205 y(\026)-49 b Fw(p)437 1217 y Fv(D)494 1205 y FB(\()p Fw(\025;)14 b(t)p FB(\))24 b(=)p 762 1142 273 4 v(3)p Fw(:)p FB(61524)15 b Ft(\002)j FB(10)1218 1171 y Fx(12)1307 1205 y Ft(\000)p 1390 1142 V 18 w FB(5)p Fw(:)p FB(02753)e Ft(\002)i FB(10)1848 1171 y Fx(7)1898 1205 y FB(cos)13 b(4)p Fw(t)18 b FB(+)g(\()p 2228 1142 V(9)p Fw(:)p FB(49583)e Ft(\002)i FB(10)2686 1171 y Fx(11)2773 1205 y Ft(\000)p 2856 1142 V 18 w FB(1)p Fw(:)p FB(33199)e Ft(\002)i FB(10)3314 1171 y Fx(7)3364 1205 y FB(cos)13 b(4)p Fw(t)p FB(\))h Fw(\025)19 b FB(+)762 1340 y(\()p 794 1276 V(2)p Fw(:)p FB(67802)d Ft(\002)i FB(10)1252 1306 y Fx(11)1339 1340 y Ft(\000)p 1422 1276 V 18 w FB(4)p Fw(:)p FB(94338)e Ft(\002)i FB(10)1880 1306 y Fx(6)1930 1340 y FB(cos)13 b(4)p Fw(t)p FB(\))h Fw(\025)2221 1306 y Fx(2)2277 1340 y FB(+)k(\()p 2392 1276 V(4)p Fw(:)p FB(90382)e Ft(\002)i FB(10)2850 1306 y Fx(10)2938 1340 y Ft(\000)p 3021 1276 250 4 v 18 w FB(771725)10 b(cos)j(4)p Fw(t)p FB(\))h Fw(\025)3574 1306 y Fx(3)3630 1340 y FB(+)762 1475 y(\()p 794 1411 190 4 v(7)p Fw(:)p FB(551)i Ft(\002)j FB(10)1169 1440 y Fx(9)1223 1475 y Ft(\000)p 1306 1411 250 4 v 18 w FB(144880)11 b(cos)i(4)p Fw(t)p FB(\))h Fw(\025)1860 1440 y Fx(4)1916 1475 y FB(+)k(\()p 2031 1411 273 4 v(9)p Fw(:)p FB(81388)e Ft(\002)i FB(10)2489 1440 y Fx(8)2544 1475 y Ft(\000)p 2627 1411 V 18 w FB(13673)p Fw(:)p FB(3)10 b(cos)j(4)p Fw(t)p FB(\))p Fw(\025)3189 1440 y Fx(5)3245 1475 y FB(+)762 1609 y(\()p 794 1546 V(1)p Fw(:)p FB(03403)j Ft(\002)i FB(10)1252 1575 y Fx(8)1306 1609 y Ft(\000)p 1389 1546 V 18 w FB(1560)p Fw(:)p FB(66)11 b(cos)i(4)p Fw(t)p FB(\))p Fw(\025)1952 1575 y Fx(6)2008 1609 y FB(+)18 b(\()p 2123 1546 V(9)p Fw(:)p FB(39525)e Ft(\002)i FB(10)2581 1575 y Fx(6)2636 1609 y Ft(\000)p 2719 1546 190 4 v 18 w FB(74)p Fw(:)p FB(25)12 b(cos)h(4)p Fw(t)p FB(\))p Fw(\025)3199 1575 y Fx(7)3255 1609 y FB(+)762 1744 y(\()p 794 1681 250 4 v(703005)i Ft(\000)p 1144 1681 231 4 v 18 w FB(5)p Fw(:)p FB(0625)d(cos)h(4)p Fw(t)p FB(\))p Fw(\025)1666 1710 y Fx(8)1722 1744 y FB(+)p 1805 1681 273 4 v 18 w(42026)p Fw(:)p FB(7)e Fw(\025)2139 1710 y Fx(9)2195 1744 y FB(+)p 2278 1681 V 18 w(2023)p Fw(:)p FB(92)g Fw(\025)2612 1710 y Fx(10)2701 1744 y FB(+)p 2784 1681 V 18 w(66)p Fw(:)p FB(6667)m Fw(\025)3104 1710 y Fx(11)3194 1744 y FB(+)18 b Fw(\025)3325 1710 y Fx(12)3547 1852 y FB(\(39\))395 2031 y(for)27 b(the)h(\014xed)f(state)h(under)f (consideration.)519 2131 y(In)h(the)f(next)g(step)g(the)h(ro)r(ots)e (of)h(the)g(p)r(olynomial)34 b(\026)-49 b Fw(p)2186 2143 y Fv(D)2243 2131 y FB(\()p Fw(\025;)2371 2098 y Fu(\031)p 2371 2112 41 4 v 2375 2159 a Fx(2)2422 2131 y FB(\))27 b(are)f(found.)37 b(T)-7 b(o)27 b(emplo)n(y)f(Mathemat-)395 2230 y(ica's)31 b(implemen)n(tation)h(of)f(Newton's)h(metho)r(d)g(w)n (e)f(need)h(a)f(p)r(olynomial)g(with)i(co)r(e\016cien)n(ts)e(that)h (are)395 2330 y(\015oating)g(p)r(oin)n(t)i(n)n(um)n(b)r(ers)e(rather)h (than)g(in)n(terv)-5 b(als.)53 b(Floating)32 b(p)r(oin)n(t)i(n)n(um)n (b)r(ers)f(inside)g(the)h(in)n(terv)-5 b(als)395 2430 y(whic)n(h)26 b(determine)g(the)h(co)r(e\016cien)n(ts)f(of)g(the)h(p)r (olynomial)32 b(\026)-49 b Fw(p)2282 2442 y Fv(D)2340 2430 y FB(\()p Fw(\025;)2467 2397 y Fu(\031)p 2467 2411 V 2471 2458 a Fx(2)2518 2430 y FB(\))27 b(can)f(b)r(e)g(c)n(hosen)g(to) g(de\014ne)g(a)g(p)r(oly-)395 2529 y(nomial)32 b Fw(p)714 2499 y Fu(a)714 2552 y Fv(D)772 2529 y FB(\()p Fw(\025;)899 2497 y Fu(\031)p 899 2511 V 903 2558 a Fx(2)950 2529 y FB(\))h(whic)n(h)g(appro)n(ximates)e Fw(p)1818 2541 y Fv(D)1876 2529 y FB(\()p Fw(\025;)2003 2497 y Fu(\031)p 2003 2511 V 2007 2558 a Fx(2)2054 2529 y FB(\).)54 b(The)33 b(ro)r(ots)f(of)h Ft(f)p Fw(r)2736 2499 y Fu(a)2734 2551 y(i)2776 2529 y Ft(g)2818 2499 y Fx(12)2818 2551 y Fu(i)p Fx(=1)2962 2529 y FB(of)g Fw(p)3104 2499 y Fu(a)3104 2552 y Fv(D)3162 2529 y FB(\()p Fw(\025;)3289 2497 y Fu(\031)p 3289 2511 V 3293 2558 a Fx(2)3340 2529 y FB(\))g(are)f(no)n (w)395 2629 y(found)c(using)f(Newton's)g(metho)r(d.)519 2728 y(The)e(complex)g(in)n(terv)-5 b(als)1316 2698 y Fx(2)1377 2728 y FB(con)n(taining)24 b(the)h(ro)r(ots)f(of)31 b(\026)-49 b Fw(p)2259 2740 y Fv(D)2317 2728 y FB(\()p Fw(\025;)2444 2696 y Fu(\031)p 2444 2710 V 2448 2757 a Fx(2)2495 2728 y FB(\))25 b(are)f(found)h(b)n(y)g(using)f(theorem)h (6.1.)395 2828 y(W)-7 b(e)27 b(set)f Fw(z)704 2840 y Fx(0)768 2828 y FB(equal)g(to)g(complex)g(in)n(terv)-5 b(als)26 b(around)g Fw(r)2062 2798 y Fu(a)2060 2850 y(i)2129 2828 y FB(and)h(use)f(complex)g(in)n(terv)-5 b(al)26 b(arithmetic)h(to)f(\014nd)395 2928 y(the)31 b(radius)g Fw(K)866 2940 y Fx(0)934 2928 y FB(and)g(c)n(hec)n(k)f(the)i (conditions)f(of)g(the)h(theorem)f(for)f(eac)n(h)h(ro)r(ot)f Fw(r)2987 2898 y Fu(a)2985 2949 y(i)3028 2928 y FB(.)48 b(The)32 b(4)f(real)f(ro)r(ots)395 3027 y(and)d(4)g(complex)h(pairs)e (obtained)h(b)n(y)h(this)g(pro)r(cedure)e(are)h(giv)n(en)g(in)h(the)f (table)h(b)r(elo)n(w.)p 1453 3173 1184 4 v 1451 3273 4 100 v 1468 3273 V 1519 3180 296 4 v 1519 3243 a Ft(\000)p FB(18)p Fw(:)p FB(481)p 1863 3273 4 100 v 1935 3180 296 4 v 118 w Ft(\000)p FB(0)p Fw(:)p FB(2463)16 b Ft(\006)i Fw(i)p 2361 3180 190 4 v FB(9)p Fw(:)p FB(769)p 2618 3273 4 100 v 2635 3273 V 1453 3277 1184 4 v 1451 3377 4 100 v 1468 3377 V 1519 3283 296 4 v 1519 3347 a Ft(\000)p FB(17)p Fw(:)p FB(173)p 1863 3377 4 100 v 1935 3283 296 4 v 118 w Ft(\000)p FB(0)p Fw(:)p FB(1961)e Ft(\006)i Fw(i)p 2361 3283 190 4 v FB(9)p Fw(:)p FB(317)p 2618 3377 4 100 v 2635 3377 V 1453 3380 1184 4 v 1451 3480 4 100 v 1468 3480 V 1519 3387 296 4 v 1519 3450 a Ft(\000)p FB(15)p Fw(:)p FB(437)p 1863 3480 4 100 v 1935 3387 296 4 v 118 w Ft(\000)p FB(0)p Fw(:)p FB(1345)e Ft(\006)i Fw(i)p 2361 3387 190 4 v FB(9)p Fw(:)p FB(164)p 2618 3480 4 100 v 2635 3480 V 1453 3483 1184 4 v 1451 3583 4 100 v 1468 3583 V 1519 3490 296 4 v 1519 3553 a Ft(\000)p FB(14)p Fw(:)p FB(238)p 1863 3583 4 100 v 1914 3490 337 4 v 97 w Ft(\000)p FB(0)p Fw(:)p FB(09054)d Ft(\006)j Fw(i)p 2381 3490 190 4 v FB(8)p Fw(:)p FB(622)p 2618 3583 4 100 v 2635 3583 V 1453 3586 1184 4 v 519 3771 a(Since)j(in)n(terv)-5 b(al)20 b(arithmetic)h(w)n(as)f(used)g(in)h (these)g(calculations,)g(these)g(estimates)f(are)g(no)n(w)g(rigorous.) 395 3870 y(The)28 b(remainder)e(of)i(the)g(argumen)n(t)f(sho)n(ws)f (that)i(these)g(ro)r(ots)f(will)g(not)h(cross)e(the)i(imaginary)f(axis) f(as)395 3970 y Fw(t)h FB(v)-5 b(aries.)519 4069 y(By)25 b(lemma)g(5.1)f(the)h(c)n(haracteristic)e(p)r(olynomial)h Fw(p)2159 4081 y Fv(D)2216 4069 y FB(\()p Fw(\025;)14 b(t)p FB(\))26 b(tak)n(es)e(the)h(follo)n(wing)f(form)g(when)h(ev)-5 b(al-)395 4169 y(uated)27 b(on)h(the)g(imaginary)e(axis:)511 4426 y Fw(p)553 4438 y Fv(D)610 4426 y FB(\()p Fw(i\026;)14 b(t)p FB(\))23 b(=)1056 4322 y Fx(12)1029 4347 y Fo(X)931 4524 y Fu(j)s Fx(=0)p Fu(;j)k Fx(ev)n(en)1248 4426 y FB(\()p Fw(\013)1333 4438 y Fu(j)1386 4426 y FB(+)18 b Fw(\014)1516 4438 y Fu(j)1565 4426 y FB(cos)13 b(4)p Fw(t)p FB(\))p Fw(\026)1844 4392 y Fu(j)1879 4426 y FB(\()p Ft(\000)p FB(1\))2061 4365 y Fn(j)p 2060 4379 29 3 v 2060 4412 a Ff(2)2120 4426 y FB(+)18 b Fw(i)2361 4322 y Fx(11)2334 4347 y Fo(X)2246 4526 y Fu(j)s Fx(=1)p Fu(;j)27 b Fx(o)r(dd)2542 4426 y FB(\()p Fw(\013)2627 4438 y Fu(j)2681 4426 y FB(+)18 b Fw(\014)2811 4438 y Fu(j)2859 4426 y FB(cos)13 b(4)p Fw(t)p FB(\))p Fw(\026)3138 4392 y Fu(j)3173 4426 y FB(\()p Ft(\000)p FB(1\))3354 4365 y Fn(j)r Fc(\000)p Ff(1)p 3354 4379 101 3 v 3390 4412 a(2)3491 4426 y FB(=)843 4653 y(=)23 b Fw(p)973 4618 y Fx(R)973 4673 y Fv(D)1030 4653 y FB(\()p Fw(\026;)14 b(t)p FB(\))19 b(+)f Fw(ip)1384 4618 y Fx(I)1384 4673 y Fv(D)1441 4653 y FB(\()p Fw(\026;)c(t)p FB(\))p 395 4736 1320 4 v 487 4789 a Fl(2)522 4813 y Fk(There)28 b(are)g(sev)n(eral)h(w)n(a)n(ys)f(in)g(whic)n(h)g(complex)g (in)n(terv)l(als)h(can)f(b)r(e)h(de\014ned.)46 b(In)29 b(this)f(case)h(w)n(e)f(use)h(regions)f(of)g(the)395 4892 y(form)e(\026)-40 b Fj(z)23 b Fk(=)g(\026)-39 b Fj(x)16 b Fk(+)f Fj(i)5 b Fk(\026)-40 b Fj(y)26 b Fk(where)i(\026)-39 b Fj(x)23 b Fk(and)29 b(\026)-40 b Fj(y)26 b Fk(are)e(real)f(in)n(terv) l(als.)31 b(These)24 b(are)g(simply)e(rectangular)j(regions)e(in)g Fg(C)9 b Fk(.)2003 5255 y FB(15)p eop %%Page: 16 16 16 15 bop 395 523 a FB(Since)35 b(the)h(ro)r(ots)e(of)h Fw(p)1132 535 y Fv(D)1189 523 y FB(\()p Fw(\025;)14 b(t)p FB(\))36 b(dep)r(end)g(con)n(tin)n(uously)e(on)h(the)g(parameter)f Fw(t)p FB(,)j(if)f Fw(p)3084 535 y Fv(D)3141 523 y FB(\()p Fw(\025;)14 b(t)p FB(\))36 b(has)f(ro)r(ots)395 623 y(with)27 b(p)r(ositiv)n(e)f(real)g(part)h(for)f(some)g Fw(t)1593 635 y Fx(1)1657 623 y FB(then)h(there)g(m)n(ust)g(exist)g(a)f Fw(t)2556 635 y Fx(0)2620 623 y FB(suc)n(h)h(that)g Fw(p)3028 635 y Fv(D)3085 623 y FB(\()p Fw(\025;)14 b(t)3232 635 y Fx(0)3270 623 y FB(\))27 b(has)f(a)h(ro)r(ot)395 722 y(on)g(the)h(imaginary)e(axis.)36 b(In)28 b(other)f(w)n(ords)f(there)i (m)n(ust)f(exist)h(a)f Fw(\026)2537 734 y Fx(0)2602 722 y FB(suc)n(h)g(that)1546 865 y Fw(p)1588 831 y Fx(R)1588 885 y Fv(D)1646 865 y FB(\()p Fw(\026)1728 877 y Fx(0)1765 865 y Fw(;)14 b(t)1832 877 y Fx(0)1869 865 y FB(\))24 b(=)e Fw(p)2054 831 y Fx(I)2054 885 y Fv(D)2112 865 y FB(\()p Fw(\026)2194 877 y Fx(0)2231 865 y Fw(;)14 b(t)2298 877 y Fx(0)2336 865 y FB(\))23 b(=)g(0)p Fw(:)1003 b FB(\(40\))395 1007 y(W)-7 b(e)30 b(will)g(use)f(in)n(terv)-5 b(al)29 b(arithmetic)h(to)f(sho)n(w)g(that)h(this)g(cannot)f(happ)r (en.)43 b(The)30 b(p)r(olynomial)e Fw(p)3457 1019 y Fv(D)3515 1007 y FB(\()p Fw(\025;)14 b(t)p FB(\))395 1107 y(is)40 b(split)g(in)n(to)g(a)g(real)f(and)h(complex)g(part)g(to)g(a)n(v)n(oid) f(using)g(complex)h(in)n(terv)-5 b(al)40 b(arithmetic)g(in)g(the)395 1207 y(n)n(umerical)33 b(calculations)g(since)g(complex)h(in)n(terv)-5 b(al)33 b(arithmetic)h(leads)f(to)h(m)n(uc)n(h)g(rougher)e(estimates) 395 1306 y(than)27 b(real)g(in)n(terv)-5 b(al)27 b(arithmetic.)519 1406 y(By)e(Gre)l(\024)-37 b(sgorin's)23 b(theorem)i(the)h(eigen)n(v)-5 b(alues)24 b(of)h(the)h(matrix)f Ft(D)r FB(\()p Fw(t)p FB(\))i(lie)e(in)h(the)g(union)g(of)f(discs)g Fw(C)3579 1418 y Fu(i)3630 1406 y FB(=)395 1514 y Ft(f)p Fw(z)j FB(:)e Ft(j)p Fw(z)d Ft(\000)c(D)786 1526 y Fu(ii)837 1514 y Ft(j)26 b Fw(<)f(R)1039 1526 y Fu(i)1067 1514 y Ft(g)j FB(where)h Ft(D)1443 1526 y Fu(ij)1531 1514 y FB(are)f(the)i(en)n(tries)e(in)i(the)f(matrix)g Ft(D)r FB(\()p Fw(t)p FB(\))h(and)f Fw(R)3014 1526 y Fu(i)3067 1514 y FB(=)3158 1452 y Fo(P)3245 1472 y Fx(12)3245 1539 y Fu(j)s Fx(=1)p Fu(;j)s Fv(6)p Fx(=)p Fu(i)3503 1514 y Ft(jD)3590 1526 y Fu(ij)3649 1514 y Ft(j)p FB(.)395 1626 y(A)40 b(direct)g(computation)f(sho)n(ws)g(that)h(the)h(in)n (tersection)e(of)h Ft([)2460 1596 y Fx(12)2460 1648 y Fu(i)p Fx(=1)2572 1626 y Fw(C)2631 1638 y Fu(i)2699 1626 y FB(with)g(the)g(imaginary)f(axis)g(is)395 1726 y(con)n(tained)26 b(in)i(the)f(in)n(terv)-5 b(al)27 b([)p Ft(\000)p FB(17)p Fw(i;)14 b FB(17)p Fw(i)p FB(])24 b(and)j(it)g(is)g(therefore)g (su\016cien)n(t)g(to)g(sho)n(w)f(that)i Fw(p)3258 1696 y Fx(R)3258 1749 y Fv(D)3315 1726 y FB(\()p Fw(\026;)14 b(t)3464 1738 y Fx(0)3501 1726 y FB(\))28 b(and)395 1825 y Fw(p)437 1795 y Fx(I)437 1848 y Fv(D)494 1825 y FB(\()p Fw(\026;)14 b(t)643 1837 y 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2124 y FB(so)26 b(that)h([)p Ft(\000)p FB(17)p Fw(;)14 b FB(17])21 b Ft(\032)i([)3327 2094 y Fu(N)3327 2146 y(i)p Fx(=1)3445 2124 y FB(\026)-48 b Fw(\026)3489 2136 y Fu(n)3561 2124 y FB(and)395 2224 y([0)p Fw(;)506 2191 y Fu(\031)p 506 2205 V 510 2253 a Fx(2)557 2224 y FB(])38 b Ft(\032)e([)774 2194 y Fu(M)774 2245 y(m)p Fx(=1)923 2209 y FB(\026)922 2224 y Fw(t)952 2236 y Fu(m)1051 2224 y FB(with)h(the)g(prop)r(ert)n(y) e(that)h(the)h(in)n(terv)-5 b(als)42 b(\026)-49 b Fw(p)2472 2194 y Fx(R)2472 2247 y Fv(D)2529 2224 y FB(\()7 b(\026)-49 b Fw(\026)2611 2236 y Fu(n)2657 2224 y Fw(;)2695 2209 y FB(\026)2694 2224 y Fw(t)2724 2236 y Fu(m)2787 2224 y FB(\))36 b(and)44 b(\026)-49 b Fw(p)3068 2194 y Fx(I)3068 2247 y Fv(D)3125 2224 y FB(\()7 b(\026)-49 b Fw(\026)3207 2236 y Fu(n)3252 2224 y Fw(;)3290 2209 y FB(\026)3289 2224 y Fw(t)3319 2236 y Fu(m)3382 2224 y FB(\))37 b(do)f(not)395 2324 y(con)n(tain)e(zero)g(sim)n(ultaneously)h(for)g(an)n(y)f(giv)n(en) g(pair)h(of)g(subin)n(terv)-5 b(als)41 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(part)g(b)n(y)g(NSF)h(gran)n(t)d(DMS-)395 3021 y(9803164.)j(K.J.)24 b(w)n(ould)f(lik)n(e)h(to)g(thank)g(the)h(Departmen)n(t)f(of)g (Mathematics)g(at)g(Boston)f(Univ)n(ersit)n(y)g(for)395 3121 y(its)31 b(hospitalit)n(y)g(while)h(he)g(conducted)f(his)h (researc)n(h.)47 b(The)31 b(authors)g(also)f(thank)i(J.P)-7 b(.)31 b(Ec)n(kmann)f(for)395 3220 y(useful)e(discussions)e(concerning) h(this)h(problem.)395 3488 y Fy(A)134 b(Pro)t(of)45 b(of)g(Lemma)g(5.1) 395 3670 y Fp(Sublemma)29 b(A.1)40 b Fq(Assume)29 b Fw(A)h Fq(is)g(an)g FB(\()p Fw(n)19 b FB(+)f Fw(m)p FB(\))h Ft(\002)f FB(\()p Fw(n)g FB(+)g Fw(m)p FB(\))30 b Fq(matrix)g(of)g(the) g(form)1477 4053 y Fw(A)23 b FB(=)1650 3762 y Fo(2)1650 3908 y(6)1650 3958 y(6)1650 4008 y(6)1650 4057 y(6)1650 4107 y(6)1650 4160 y(4)1735 3811 y Fw(B)117 b(D)1986 3781 y Fx(+)2154 3811 y FB(0)112 b Fw(:)14 b(:)g(:)97 b FB(0)1705 3911 y Fw(D)1776 3881 y Fv(\000)1748 4039 y FB(0)335 b Fb(C)1756 4127 y Fq(.)1756 4161 y(.)1756 4194 y(.)1748 4294 y FB(0)2543 3762 y Fo(3)2543 3908 y(7)2543 3958 y(7)2543 4008 y(7)2543 4057 y(7)2543 4107 y(7)2543 4160 y(5)3547 4053 y FB(\(41\))395 4441 y Fq(wher)l(e)29 b Fw(m)23 b(>)g(n)p Fq(,)29 b Fw(B)k Fq(and)c Fw(C)35 b Fq(ar)l(e)29 b(arbitr)l(ary)h Fw(n)16 b Ft(\002)g Fw(n)p Fq(,)30 b(r)l(esp)l(e)l(ctively)g Fw(m)16 b Ft(\002)g Fw(m)28 b Fq(matric)l(es)i(and)f Fw(D)3273 4411 y Fv(\006)3358 4441 y Fq(ar)l(e)g Fw(n)16 b Ft(\002)g Fw(n)395 4540 y Fq(matric)l(es)30 b(of)g(the)g(form)1581 4828 y Fw(D)1652 4793 y Fv(\006)1731 4828 y FB(=)1819 4611 y Fo(2)1819 4757 y(6)1819 4807 y(6)1819 4860 y(4)1874 4677 y Fw(d)1917 4689 y Fv(\006)2056 4677 y FB(0)83 b Fw(:)14 b(:)g(:)97 b FB(0)1903 4777 y(0)111 b(0)83 b Fw(:)14 b(:)g(:)97 b FB(0)1874 4877 y Fw(:)42 b(:)g(:)g(:)g(:)f(:)h(:)g(:)g(:)1903 4976 y FB(0)111 b(0)83 b Fw(:)14 b(:)g(:)97 b FB(0)2416 4611 y Fo(3)2416 4757 y(7)2416 4807 y(7)2416 4860 y(5)2485 4828 y Fw(:)1039 b FB(\(42\))2003 5255 y(16)p eop %%Page: 17 17 17 16 bop 395 523 a Fq(Writing)30 b(the)g(determinant)f(of)i Fw(A)f Fq(as)1538 759 y FB(det)14 b Fw(A)23 b FB(=)1840 680 y Fo(X)1880 854 y Fu(\033)1974 759 y Fq(sgn)g Fw(\033)2180 655 y Fu(m)p Fx(+)p Fu(n)2202 680 y Fo(Y)2201 857 y Fu(i)p Fx(=1)2345 759 y Fw(a)2389 774 y Fu(i;\033)r Fx(\()p Fu(i)p Fx(\))3547 759 y FB(\(43\))395 994 y Fq(then)29 b(if)i Fw(a)704 1009 y Fx(1)p Fu(;\033)r Fx(\(1\))909 994 y FB(=)23 b Fw(a)1041 1006 y Fx(1)p Fu(;n)p Fx(+1)1246 994 y FB(=)g Fw(d)1377 1006 y Fx(+)1462 994 y Fq(then)1777 1143 y Fu(M)6 b Fx(+)p Fu(n)1805 1168 y Fo(Y)1804 1345 y Fu(i)p Fx(=2)1953 1247 y Fw(a)1997 1262 y Fu(i;\033)r Fx(\()p Fu(i)p Fx(\))2183 1247 y Ft(6)p FB(=)23 b(0)1234 b(\(44\))395 1482 y Fq(only)30 b(if)h Fw(a)700 1497 y Fu(n)p Fx(+1)p Fu(;\033)r Fx(\()p Fu(n)p Fx(+1\))1089 1482 y FB(=)23 b Fw(a)1221 1494 y Fu(n)p Fx(+1)p Fu(;)p Fx(1)1426 1482 y FB(=)f Fw(d)1556 1494 y Fv(\000)1613 1482 y Fq(.)519 1645 y FB(This)e(lemma)f(simply)g(states)g(that)g(the)h (only)f(nonzero)f(pro)r(ducts)h(in)g(\(43\))g(con)n(taining)g Fw(d)3256 1657 y Fx(+)3330 1645 y FB(as)g(a)g(factor)395 1745 y(necessarily)27 b(con)n(tain)g Fw(d)1146 1757 y Fv(\000)1231 1745 y FB(as)h(a)g(factor.)39 b(Notice)28 b(that)h(since)g(w)n(e)f(can)g(in)n(terc)n(hange)f(ro)n(ws)g(and)h (columns)395 1845 y(when)d(calculating)g(determinan)n(ts)f(the)i(opp)r (osite)f(is)g(also)f(true:)36 b(nonzero)24 b(pro)r(ducts)h(con)n (taining)f Fw(d)3539 1857 y Fv(\000)3620 1845 y FB(as)395 1944 y(a)j(factor)g(necessarily)f(con)n(tain)h Fw(d)1452 1956 y Fx(+)1535 1944 y FB(as)f(a)i(factor.)519 2044 y Fp(Pro)s(of:)37 b FB(W)-7 b(rite)27 b(the)h(matrix)f Fw(A)h FB(as)1242 2512 y Fw(A)23 b FB(=)1415 2121 y Fo(2)1415 2268 y(6)1415 2317 y(6)1415 2367 y(6)1415 2417 y(6)1415 2467 y(6)1415 2517 y(6)1415 2566 y(6)1415 2616 y(6)1415 2666 y(6)1415 2719 y(4)1470 2185 y Fw(b)1506 2197 y Fx(1)p Fu(;)p Fx(1)1679 2185 y Fw(b)1715 2197 y Fx(1)p Fu(;)p Fx(2)1888 2185 y Fw(:)14 b(:)g(:)97 b(b)2118 2197 y Fx(1)p Fu(;n)2298 2185 y Fw(d)2341 2197 y Fx(+)2507 2185 y FB(0)109 b Fw(:)14 b(:)g(:)1470 2285 y(b)1506 2297 y Fx(2)p Fu(;)p Fx(1)1679 2285 y Fw(b)1715 2297 y Fx(2)p Fu(;)p Fx(2)1888 2285 y Fw(:)g(:)g(:)97 b(b)2118 2297 y Fx(2)p Fu(;n)2327 2285 y FB(0)138 b(0)109 b Fw(:)14 b(:)g(:)1472 2384 y(:)43 b(:)g(:)h(:)f(:)g(:)g(:)h(:)f(:)g(:)g(:)h(:)f(:)g(:)g(:)h(:)f(:)g(:)g (:)g(:)1484 2484 y(d)1527 2496 y Fv(\000)1721 2484 y FB(0)125 b Fw(:)14 b(:)g(:)143 b FB(0)1512 2584 y(0)167 b(0)125 b Fw(:)14 b(:)g(:)143 b FB(0)1522 2672 y(.)1522 2705 y(.)1522 2739 y(.)1730 2672 y(.)1730 2705 y(.)1730 2739 y(.)1932 2672 y(.)1932 2705 y(.)1932 2739 y(.)2137 2672 y(.)2137 2705 y(.)2137 2739 y(.)320 b Fa(C)1512 2838 y FB(0)167 b(0)159 b(0)164 b(0)2755 2121 y Fo(3)2755 2268 y(7)2755 2317 y(7)2755 2367 y(7)2755 2417 y(7)2755 2467 y(7)2755 2517 y(7)2755 2566 y(7)2755 2616 y(7)2755 2666 y(7)2755 2719 y(5)2824 2512 y Fw(:)700 b FB(\(45\))395 3002 y(If)25 b Fw(a)519 3017 y Fu(n)p Fx(+1)p Fu(;\033)r Fx(\()p Fu(n)p Fx(+1\))909 3002 y FB(=)d Fw(a)1040 3014 y Fu(n)p Fx(+1)p Fu(;)p Fx(1)1246 3002 y FB(=)g Fw(d)1376 3014 y Fx(+)1457 3002 y FB(and)j Fw(\033)s FB(\()p Fw(i)p FB(\))f(=)e(1)j(for)g(some)f(2)f Ft(\024)g Fw(i)f Ft(\024)h Fw(n)i FB(another)f Fw(n)14 b Ft(\000)g FB(1)24 b(nonzero)g(factors)395 3101 y(in)32 b(the)g(pro)r(duct)g(\(44\))g(need)g(to)f(b)r(e)i(c)n (hosen)e(from)g(columns)h(2)f(through)g Fw(n)p FB(.)50 b(Ho)n(w)n(ev)n(er,)31 b(barring)f(ro)n(ws)395 3201 y(1)f(and)g Fw(i)h FB(whic)n(h)f(w)n(ere)g(already)f(used,)j(there)e(are)g(only)g Fw(n)20 b Ft(\000)f FB(2)29 b(ro)n(ws)f(remaining)h(whic)n(h)h(ha)n(v)n (e)e(nonzero)395 3301 y(en)n(tries)23 b(in)h(these)g(columns.)35 b(This)24 b(sho)n(ws)e(that)i(factors)f Fw(a)2220 3316 y Fx(2)p Fu(;\033)r Fx(\(2\))2402 3301 y Fw(;)14 b(a)2483 3316 y Fx(3)p Fu(;\033)r Fx(\(3\))2665 3301 y Fw(;)g(:)g(:)g(:)g(;)g(a) 2894 3316 y Fu(n;\033)r Fx(\()p Fu(n)p Fx(\))3116 3301 y FB(m)n(ust)24 b(come)f(from)395 3400 y(columns)35 b(2)g(through)g Fw(n)p FB(.)62 b(Since)35 b(the)i(ro)n(ws)d(1)h(through)g Fw(n)h FB(are)e(no)n(w)h(exhausted,)j(the)e(only)f(nonzero)395 3500 y(elemen)n(t)27 b(remaining)g(in)h(column)g(1)f(is)g Fw(d)1672 3512 y Fv(\000)1728 3500 y FB(.)37 b(This)28 b(pro)n(v)n(es)e(the)i(lemma.)36 b Ft(})395 3663 y Fp(Sublemma)29 b(A.2)40 b Fq(The)31 b(char)l(acteristic)h(p)l(olynomial)g(of)e(the)g Fw(K)6 b(m)18 b Ft(\002)g Fw(K)6 b(m)29 b Fq(matrix)937 4020 y Fw(A)23 b FB(=)1109 3754 y Fo(2)1109 3900 y(6)1109 3950 y(6)1109 4000 y(6)1109 4049 y(6)1109 4102 y(4)1214 3820 y Fw(M)1295 3832 y Fx(1)1465 3820 y Fw(E)5 b FB(\()p Fw(t)p FB(\))1625 3790 y Fx(+)1850 3820 y FB(0)170 b Fw(:)14 b(:)g(:)184 b FB(0)264 b(0)g(0)1165 3920 y Fw(E)5 b FB(\()p Fw(t)p FB(\))1325 3890 y Fv(\000)1514 3920 y Fw(M)1595 3932 y Fx(2)1763 3920 y Fw(E)g FB(\()p Fw(t)p FB(\))1923 3890 y Fx(+)2062 3920 y Fw(:)14 b(:)g(:)184 b FB(0)264 b(0)g(0)1167 4019 y Fw(:)43 b(:)g(:)h(:)f(:)h(:)f(:)g(:)h(:) f(:)h(:)f(:)g(:)h(:)f(:)h(:)f(:)g(:)h(:)f(:)h(:)f(:)g(:)h(:)f(:)1252 4119 y FB(0)258 b(0)e(0)170 b Fw(:)14 b(:)g(:)97 b(E)5 b FB(\()p Fw(t)p FB(\))2416 4089 y Fv(\000)2555 4119 y Fw(M)2636 4131 y Fu(K)t Fv(\000)p Fx(1)2868 4119 y Fw(E)g FB(\()p Fw(t)p FB(\))3028 4089 y Fx(+)1252 4219 y FB(0)258 b(0)e(0)170 b Fw(:)14 b(:)g(:)184 b FB(0)177 b Fw(E)5 b FB(\()p Fw(t)p FB(\))2722 4189 y Fv(\000)2904 4219 y Fw(M)2985 4231 y Fu(K)3084 3754 y Fo(3)3084 3900 y(7)3084 3950 y(7)3084 4000 y(7)3084 4049 y(7)3084 4102 y(5)395 4386 y Fq(wher)l(e)30 b Fw(M)710 4398 y Fu(i)767 4386 y Fq(ar)l(e)g(arbitr)l(ary)h Fw(m)18 b Ft(\002)g Fw(m)30 b Fq(matric)l(es)g(and)g Fw(E)5 b FB(\()p Fw(t)p FB(\))2187 4356 y Fv(\006)2274 4386 y Fq(ar)l(e)30 b Fw(m)18 b Ft(\002)g Fw(m)30 b Fq(matric)l(es)g(de\014ne)l(d)g(as)1504 4699 y Fw(E)5 b FB(\()p Fw(t)p FB(\))1664 4664 y Fv(\006)1744 4699 y FB(=)1832 4482 y Fo(2)1832 4628 y(6)1832 4678 y(6)1832 4731 y(4)1887 4548 y Fw(de)1969 4518 y Fv(\006)p Fu(it)2156 4548 y FB(0)83 b Fw(:)14 b(:)g(:)97 b FB(0)1959 4648 y(0)155 b(0)83 b Fw(:)14 b(:)g(:)97 b FB(0)1889 4748 y Fw(:)44 b(:)g(:)g(:)g(:)f(:)h(:)g(:)g(:)g(:)1959 4847 y FB(0)155 b(0)83 b Fw(:)14 b(:)g(:)97 b FB(0)2516 4482 y Fo(3)2516 4628 y(7)2516 4678 y(7)2516 4731 y(5)395 5006 y Fq(do)l(es)30 b(not)g(dep)l(end)g(on)g Fw(t)p Fq(.)2003 5255 y FB(17)p eop %%Page: 18 18 18 17 bop 519 523 a Fp(Pro)s(of:)40 b FB(De\014ne)30 b(the)g(matrix)f Fw(C)k FB(=)25 b Fw(A)20 b Ft(\000)f Fw(\025I)7 b FB(.)43 b(W)-7 b(e)30 b(need)g(to)f(sho)n(w)g(that)h(the)f (determinan)n(t)h(of)f Fw(C)36 b FB(is)395 623 y(indep)r(enden)n(t)d (of)g Fw(t)p FB(.)51 b(The)33 b(pro)r(of)f(is)g(b)n(y)g(induction)h(on) f Fw(K)6 b FB(.)51 b(When)33 b Fw(K)k FB(=)31 b(1)h(the)h(matrix)f Fw(C)38 b FB(is)33 b(itself)g Fw(t)395 722 y FB(indep)r(enden)n(t)c(so) f(the)h(statemen)n(t)f(is)h(trivial.)39 b(The)29 b(cofactors)e(of)h (the)h(en)n(tries)f Fw(c)2930 734 y Fx(1)p Fu(;j)3046 722 y FB(for)g(1)c Ft(\024)h Fw(j)k Ft(\024)24 b Fw(m)29 b FB(are)395 822 y(of)e(the)h(form)1222 919 y Fo(2)1222 1065 y(6)1222 1115 y(6)1222 1165 y(6)1222 1215 y(6)1222 1265 y(6)1222 1314 y(6)1222 1364 y(6)1222 1414 y(6)1222 1464 y(6)1222 1517 y(4)1307 983 y Fw(c)1343 995 y Fx(2)p Fu(;)p Fx(1)1547 983 y Fw(:)14 b(:)g(:)111 b FB(^)-44 b Fw(c)1789 995 y Fx(2)p Fu(;j)1973 983 y Fw(:)14 b(:)g(:)110 b(c)2216 995 y Fx(1)p Fu(;m)2427 983 y FB(0)89 b Fw(:)14 b(:)g(:)102 b FB(0)1278 1083 y Fw(:)42 b(:)h(:)f(:)g(:)h(:)f(:)g(:)h(:) f(:)g(:)h(:)f(:)g(:)h(:)f(:)g(:)h(:)f(:)g(:)h(:)f(:)1295 1182 y(c)1331 1194 y Fu(m;)p Fx(1)1547 1182 y Fw(:)14 b(:)g(:)98 b FB(^)-44 b Fw(c)1776 1194 y Fu(m;j)1973 1182 y Fw(:)14 b(:)g(:)97 b(c)2203 1194 y Fu(m;m)2427 1182 y FB(0)89 b Fw(:)14 b(:)g(:)102 b FB(0)1277 1282 y Fw(de)1359 1252 y Fv(\000)p Fu(it)1581 1282 y FB(0)137 b Fw(:)14 b(:)g(:)116 b(:)14 b(:)g(:)165 b FB(0)1350 1381 y(0)189 b(0)137 b Fw(:)14 b(:)g(:)116 b(:)14 b(:)g(:)165 b FB(0)1359 1470 y(.)1359 1503 y(.)1359 1536 y(.)1591 1470 y(.)1591 1503 y(.)1591 1536 y(.)1804 1470 y(.)1804 1503 y(.)1804 1536 y(.)2017 1470 y(.)2017 1503 y(.)2017 1536 y(.)2244 1470 y(.)2244 1503 y(.)2244 1536 y(.)285 b Fa(M)1350 1636 y FB(0)189 b(0)171 b(0)h(0)185 b(0)2798 919 y Fo(3)2798 1065 y(7)2798 1115 y(7)2798 1165 y(7)2798 1215 y(7)2798 1265 y(7)2798 1314 y(7)2798 1364 y(7)2798 1414 y(7)2798 1464 y(7)2798 1517 y(5)3547 1310 y FB(\(46\))395 1815 y(where)26 b(the)h(hat)g(signi\014es)f(the)h(omission)f(of)h(that) g(particular)e(column.)37 b(Since)27 b(the)g(columns)g(and)f(ro)n(ws) 395 1914 y(can)21 b(b)r(e)i(in)n(terc)n(hanged)d(when)i(the)h (determinan)n(t)e(is)h(computed)g(lemma)g(A.1)g(implies)g(that)h(an)n (y)e(pro)r(duct)395 2014 y(in)33 b(\(43\))g(con)n(taining)f Fw(de)1169 1984 y Fv(\000)p Fu(it)1306 2014 y FB(as)g(a)h(factor)f (also)g(con)n(tains)g Fw(c)2270 2026 y Fx(1)p Fu(;n)p Fx(+1)2484 2014 y FB(=)g(0)g(as)g(a)h(factor)f(and)h(is)g(th)n(us)g (zero.)395 2114 y(Lemma)38 b(A.1)g(also)g(implies)h(that)f(an)n(y)g (nonzero)f(pro)r(duct)i(con)n(taining)e Fw(c)2789 2126 y Fx(1)p Fu(;n)p Fx(+1)3013 2114 y FB(=)j Fw(de)3200 2084 y Fu(it)3292 2114 y FB(as)e(a)g(factor)395 2213 y(necessarily)30 b(con)n(tains)i Fw(c)1180 2225 y Fx(1)p Fu(;n)p Fx(+1)1393 2213 y FB(=)e Fw(de)1570 2183 y Fv(\000)p Fu(it)1707 2213 y FB(as)i(a)g(factor)g(and)g(so)g(do)r(es)g(not)g(dep)r (end)h(on)f Fw(t)h FB(either.)51 b(Since)395 2313 y(this)34 b(exhausts)g(all)g(p)r(ossible)g(cofactors)f(of)h(the)h(nonzero)e (elemen)n(ts)h(of)g(the)h(\014rst)f(ro)n(w)f(the)i(lemma)f(is)395 2413 y(pro)n(v)n(ed.)h Ft(})519 2512 y FB(Lemma)30 b(5.1)e(can)h(no)n (w)g(b)r(e)h(pro)n(v)n(ed.)41 b(W)-7 b(e)30 b(need)g(to)f(sho)n(w)g (that)g(the)h(determinan)n(t)f(of)h Fw(C)i FB(=)26 b Fw(B)e Ft(\000)19 b Fw(\025I)395 2612 y FB(is)31 b(of)h(the)g(form)f (\(35\).)49 b(De\014nition)33 b(\(43\))e(will)h(again)f(b)r(e)h(used)f (for)h(the)g(determinan)n(t.)49 b(W)-7 b(e)32 b(no)n(w)f(ha)n(v)n(e)395 2711 y(three)c(cases:)519 2811 y Fq(Case)i(1:)41 b FB(Assume)25 b(that)g(for)g Fw(\033)j FB(in)d(the)h(pro)r(duct)e(in)i(\(43\))e(w)n (e)h(ha)n(v)n(e)f(1)e Ft(\024)h Fw(\033)s FB(\(1\))h Ft(\024)e Fw(m)p FB(.)36 b(Since)25 b(the)h(next)395 2911 y Fw(m)19 b Ft(\000)g FB(1)29 b(ro)n(ws)f(ha)n(v)n(e)g(zero)h(en)n (tries)f(in)i(all)f(but)h(the)f(\014rst)h Fw(m)f FB(columns)g(this)h (particular)e(pro)r(duct)h(will)g(b)r(e)395 3010 y(zero)22 b(unless)g(it)i(con)n(tains)e Fw(c)1242 3022 y Fu(j;)p Fx(1)1349 3010 y FB(as)g(a)h(factor)f(for)g(some)h(1)f Ft(\024)h Fw(j)28 b Ft(\024)23 b Fw(m)p FB(.)35 b(This)23 b(excludes)g(the)g(p)r(ossibilit)n(y)g(that)395 3110 y(either)e Fw(c)660 3125 y Fx(1)p Fu(;)p Fx(\()p Fu(K)t Fv(\000)p Fx(1\))p Fu(m)p Fx(+1)1080 3110 y FB(=)i Fw(de)1250 3080 y Fv(\000)p Fu(it)1376 3110 y FB(or)e Fw(c)1508 3125 y Fx(\()p Fu(K)t Fv(\000)p Fx(1\))p Fu(m)p Fx(+1)p Fu(;)p Fx(1)1928 3110 y FB(=)h Fw(de)2097 3080 y Fu(it)2172 3110 y FB(app)r(ear)e(as)i(factors.)33 b(If)23 b(w)n(e)e(\014x)h Fw(\033)s FB(\(1\))p Fw(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(\033)s FB(\()p Fw(m)p FB(\),)395 3210 y(the)28 b(part)f(of)g(the)h(sum)g (\(43\))f(corresp)r(onding)f(to)h(all)h(suc)n(h)f(p)r(erm)n(utations)g Fw(\033)k FB(is)d(equal)f(to)716 3592 y Fw(c)752 3607 y Fx(1)p Fu(;\033)r Fx(\(1\))949 3592 y Fw(:)14 b(:)g(:)f(c)1095 3607 y Fu(m;\033)r Fx(\()p Fu(m)p Fx(\))1343 3322 y Fo(\014)1343 3372 y(\014)1343 3421 y(\014)1343 3471 y(\014)1343 3521 y(\014)1343 3571 y(\014)1343 3621 y(\014)1343 3670 y(\014)1343 3720 y(\014)1343 3770 y(\014)1420 3391 y Fw(M)1501 3403 y Fx(2)1671 3391 y Fw(E)5 b FB(\()p Fw(t)p FB(\))1831 3361 y Fx(+)2057 3391 y FB(0)190 b Fw(:)14 b(:)g(:)205 b FB(0)264 b(0)g(0)1371 3491 y Fw(E)5 b FB(\()p Fw(t)p FB(\))1531 3461 y Fv(\000)1720 3491 y Fw(M)1801 3503 y Fx(3)1969 3491 y Fw(E)g FB(\()p Fw(t)p FB(\))2129 3461 y Fx(+)2268 3491 y Fw(:)14 b(:)g(:)g FB(0)476 b(0)264 b(0)1372 3591 y Fw(:)42 b(:)h(:)f(:)h(:)f(:)h(:)f(:)h(:)f(:)h(:)f(:)h (:)f(:)h(:)f(:)g(:)h(:)f(:)h(:)f(:)h(:)f(:)h(:)f(:)h(:)1459 3690 y FB(0)257 b(0)g(0)190 b Fw(:)14 b(:)g(:)117 b(E)5 b FB(\()p Fw(t)p FB(\))2663 3660 y Fv(\000)2803 3690 y Fw(M)2884 3702 y Fu(K)t Fv(\000)p Fx(1)3116 3690 y Fw(E)g FB(\()p Fw(t)p FB(\))3276 3660 y Fx(+)1459 3790 y FB(0)257 b(0)g(0)190 b Fw(:)14 b(:)g(:)205 b FB(0)177 b Fw(E)5 b FB(\()p Fw(t)p FB(\))2970 3760 y Fv(\000)3151 3790 y Fw(M)3232 3802 y Fu(K)3331 3322 y Fo(\014)3331 3372 y(\014)3331 3421 y(\014)3331 3471 y(\014)3331 3521 y(\014)3331 3571 y(\014)3331 3621 y(\014)3331 3670 y(\014)3331 3720 y(\014)3331 3770 y(\014)3547 3592 y FB(\(47\))395 3969 y(b)n(y)27 b(cofactor)f(expansion.)36 b(By)27 b(sublemma)h(A.2)f (these)h(summands)f(will)h(not)g(dep)r(end)g(on)f Fw(t)p FB(.)519 4068 y Fq(Case)38 b(2:)57 b FB(Assume)35 b(that)g Fw(\033)s FB(\(1\))h(=)f Fw(m)23 b FB(+)g(1)34 b(so)h(that)g(the)g (\014rst)g(factor)f(in)h(the)g(pro)r(duct)g(in)g(\(43\))g(is)395 4168 y Fw(c)431 4180 y Fx(1)p Fu(;m)p Fx(+1)654 4168 y FB(=)22 b Fw(de)823 4138 y Fu(it)876 4168 y FB(.)37 b(Then)28 b(the)g(elemen)n(ts)f Fw(c)1671 4183 y Fx(2)p Fu(;\033)r Fx(\(2\))1854 4168 y Fw(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h(c)2074 4183 y Fu(m;\033)r Fx(\()p Fu(m)p Fx(\))2336 4168 y FB(m)n(ust)27 b(come)h(from)f(the)h(matrix)1610 4488 y(~)1591 4509 y Fw(C)i FB(=)1767 4292 y Fo(2)1767 4438 y(6)1767 4488 y(6)1767 4541 y(4)1836 4359 y Fw(c)1872 4371 y Fx(2)p Fu(;)p Fx(2)2058 4359 y Fw(:)14 b(:)g(:)109 b(c)2300 4371 y Fx(2)p Fu(;m)1836 4458 y Fw(c)1872 4470 y Fx(3)p Fu(;)p Fx(2)2058 4458 y Fw(:)14 b(:)g(:)109 b(c)2300 4470 y Fx(3)p Fu(;m)1823 4558 y Fw(:)42 b(:)f(:)h(:)g(:)g(:)f(:)h(:)g (:)g(:)1823 4658 y(c)1859 4670 y Fu(m;)p Fx(2)2058 4658 y Fw(:)14 b(:)g(:)96 b(c)2287 4670 y Fu(m;m)2429 4292 y Fo(3)2429 4438 y(7)2429 4488 y(7)2429 4541 y(5)395 4841 y FB(b)n(y)37 b(an)h(argumen)n(t)f(iden)n(tical)g(to)h(the)g(one)g (giv)n(en)f(in)h(the)g(second)f(paragraph)f(of)i(sublemma)f(\(A.1\).) 395 4941 y(The)c(only)h(nonzero)e(factors)g(that)i(can)f(b)r(e)h(c)n (hosen)f(from)g(column)h(1)f(are)f(therefore)h Fw(c)3195 4956 y Fu(m)p Fx(+1)p Fu(;\033)r Fx(\()p Fu(m)p Fx(+1\))3630 4941 y FB(=)2003 5255 y(18)p eop %%Page: 19 19 19 18 bop 395 523 a Fw(c)431 535 y Fu(m)p Fx(+1)p Fu(;)p Fx(1)668 523 y FB(=)36 b Fw(de)851 493 y Fv(\000)p Fu(it)992 523 y FB(and)g Fw(c)1198 538 y Fx(\()p Fu(K)t Fv(\000)p Fx(1\))p Fu(m)p Fx(+1)p Fu(;\033)r Fx(\()p Fu(K)t Fv(\000)p Fx(1\))p Fu(m)p Fx(+1)1978 523 y FB(=)h Fw(c)2116 538 y Fx(\()p Fu(K)t Fv(\000)p Fx(1\))p Fu(m)p Fx(+1)p Fu(;)p Fx(1)2550 523 y FB(=)f Fw(de)2733 493 y Fu(it)2786 523 y FB(.)62 b(W)-7 b(e)37 b(therefore)e(ha)n(v)n(e)f(the)395 623 y(follo)n(wing)26 b(t)n(w)n(o)h(sub)r(cases:)519 722 y Fq(Case)32 b(2a:)47 b FB(If)30 b Fw(c)1001 734 y Fu(m)p Fx(+1)p Fu(;)p Fx(1)1226 722 y FB(=)c Fw(de)1399 692 y Fv(\000)p Fu(it)1532 722 y FB(is)k(c)n(hosen)e(it)i(cancels)e (the)i(term)f Fw(c)2634 734 y Fx(1)p Fu(;m)p Fx(+1)2860 722 y FB(=)c Fw(de)3032 692 y Fu(it)3114 722 y FB(that)k(w)n(as)g(c)n (hosen)395 822 y(as)23 b(the)i(\014rst)e(factor)h(in)g(the)g(pro)r (duct.)36 b(In)24 b(this)h(case)e(w)n(e)g(are)g(again)g(in)i(the)f (situation)g(of)g(sublemma)g(A.2)395 922 y(using)j(Laplace)g(expansion) f(as)h(in)h(case)f(1,)g(and)g(so)g(this)h(pro)r(duct)g(will)g(not)f (dep)r(end)h(on)g Fw(t)p FB(.)519 1021 y(The)23 b(con)n(tributions)f (to)h(the)h(c)n(haracteristic)d(p)r(olynomial)h(from)g(Case)h(1)f(and)h (2a)f(are)g(time)h(indep)r(en-)395 1121 y(den)n(t)28 b(and)f(therefore)g(en)n(ter)g(the)h(term)1644 1059 y Fo(P)1732 1079 y Fu(K)t(m)1732 1146 y(i)p Fx(=\()p Fu(K)t Fv(\000)p Fx(1\))p Fu(m)p Fx(+1)2164 1121 y Fw(\013)2217 1133 y Fu(i)2245 1121 y Fw(\025)2293 1091 y Fu(i)2349 1121 y FB(in)g(\(35\).)37 b(The)27 b(remainder)g(of)h(the)g(lemma)395 1220 y(follo)n(ws)e(from)i(induction.)519 1320 y Fq(Case)f(2b:)40 b FB(If)23 b(the)g(assumptions)g(of)f(Case)g(2)h(hold)g(and)f Fw(c)2268 1335 y Fx(\()p Fu(K)t Fv(\000)p Fx(1\))p Fu(m)p Fx(+1)p Fu(;\033)r Fx(\(\()p Fu(K)t Fv(\000)p Fx(1\))p Fu(m)p Fx(+1\))3087 1320 y FB(=)h Fw(c)3211 1335 y Fx(\()p Fu(K)t Fv(\000)p Fx(1\))p Fu(m)p Fx(+1)p Fu(;)p Fx(1)3630 1320 y FB(=)395 1420 y Fw(de)477 1390 y Fu(it)556 1420 y FB(then)j(if)h(a)f(p)r(erm)n(utation)g Fw(\033)k FB(leads)25 b(to)h(a)g(nonzero)f(pro)r(duct)h(in)h(\(43\))f(it)g(m)n(ust)h(satisfy) f Fw(\033)s FB(\()p Fw(j)5 b(m)16 b FB(+)f(1\))23 b(=)395 1519 y(\()p Fw(j)i FB(+)20 b(1\))p Fw(m)g FB(+)f(1)30 b(for)g(all)f Fw(j)k(<)26 b(K)g Ft(\000)20 b FB(1.)44 b(This)30 b(simply)g(means)g(that)g(an)n(y)f(nonzero)g(pro)r(duct)h(of) g(this)h(kind)395 1619 y(con)n(tains)24 b(all)g(the)h(en)n(tries)g Fw(c)1270 1634 y Fu(j)s(m)p Fx(+1)p Fu(;)p Fx(\()p Fu(j)s Fx(+1\))p Fu(m)p Fx(+1)1800 1619 y FB(=)e Fw(de)1970 1589 y Fu(it)2047 1619 y FB(as)h(factors.)35 b(This)25 b(assertion)e(is)i(pro)n(v)n(ed)f(as)g(follo)n(ws:)519 1719 y(The)i(factor)f Fw(c)960 1731 y Fx(1)p Fu(;m)p Fx(+1)1186 1719 y FB(is)h(con)n(tained)f(in)h(the)g(pro)r(duct)g(b)n(y) g(assumption.)36 b(Assume)26 b(that)g Fw(\033)s FB(\()p Fw(l)r(m)15 b FB(+)f(1\))23 b(=)395 1818 y(\()p Fw(l)f FB(+)f(1\))p Fw(m)g FB(+)f(1)31 b(for)g(all)g Fw(l)g(<)d(j)5 b FB(.)49 b(It)31 b(will)h(b)r(e)g(sho)n(wn)e(that)i(in)f(this)h(case)f Fw(\033)s FB(\()p Fw(j)5 b(m)21 b FB(+)g(1\))29 b(=)f(\()p Fw(j)5 b(m)22 b FB(+)e(1\))p Fw(m)h FB(+)f(1)395 1918 y(whic)n(h)27 b(will)h(complete)g(the)g(induction)g(argumen)n(t.)519 2017 y(By)j(assumption)g(the)g Fw(\033)s FB(\(\()p Fw(j)c Ft(\000)21 b FB(1\))p Fw(m)f FB(+)h(1\))29 b(=)f Fw(j)5 b(m)21 b FB(+)f(1.)48 b(The)31 b(only)g(nonzero)f(elemen)n(ts)h(in)g (columns)395 2117 y Fw(j)5 b(m)18 b FB(+)g(2)p Fw(;)c(:)g(:)g(:)f FB(\()p Fw(j)24 b FB(+)18 b(1\))p Fw(m)27 b FB(come)g(from)h(the)g (submatrix)1359 2232 y Fo(2)1359 2379 y(6)1359 2428 y(6)1359 2482 y(4)1440 2299 y Fw(c)1476 2311 y Fu(j)s(m)p Fx(+2)p Fu(;j)s(m)p Fx(+2)1957 2299 y Fw(:)14 b(:)g(:)122 b(c)2212 2314 y Fu(j)s(m)p Fx(+2)p Fu(;)p Fx(\()p Fu(j)s Fx(+1\))p Fu(m)1440 2399 y Fw(c)1476 2411 y Fu(j)s(m)p Fx(+3)p Fu(;j)s(m)p Fx(+2)1957 2399 y Fw(:)14 b(:)g(:)122 b(c)2212 2414 y Fu(j)s(m)p Fx(+3)p Fu(;)p Fx(\()p Fu(j)s Fx(+1\))p Fu(m)1417 2498 y Fw(:)45 b(:)g(:)f(:)h(:)g(:)f(:)h(:)g(:)f(:)h(:)g(:)f (:)h(:)g(:)f(:)h(:)g(:)f(:)1414 2598 y(c)1450 2613 y Fx(\()p Fu(j)s Fx(+1\))p Fu(m;j)s(m)p Fx(+2)1957 2598 y Fw(:)14 b(:)g(:)96 b(c)2186 2613 y Fx(\()p Fu(j)s Fx(+1\))p Fu(m;)p Fx(\()p Fu(j)s Fx(+1\))p Fu(m)2661 2232 y Fo(3)2661 2379 y(7)2661 2428 y(7)2661 2482 y(5)395 2777 y FB(and)24 b(since)h(an)f(en)n(try)h(from)f(ro)n(w)g Fw(j)5 b(m)13 b FB(+)g(1)23 b(has)h(already)g(b)r(een)h(c)n(hosen,)f(the)h(co)r (e\016cien)n(ts)g Fw(c)3208 2792 y Fu(j)s(m)p Fx(+2)p Fu(;\033)r Fx(\()p Fu(j)s(m)p Fx(+2\))3672 2777 y Fw(;)395 2876 y(:)14 b(:)g(:)f(;)40 b(c)604 2891 y Fx(\()p Fu(j)s Fx(+1\))p Fu(m;\033)r Fx(\(\()p Fu(j)s Fx(+1\))p Fu(m)p Fx(\))1211 2876 y FB(m)n(ust)f(all)g(come)g(from)g(this)h(submatrix.)71 b(The)39 b(only)g(nonzero)f(en)n(tries)h(re-)395 2976 y(maining)c(on)h(ro)n(w)f Fw(j)5 b(m)24 b FB(+)g(1)35 b(are)g Fw(c)1498 2991 y Fu(j)s(m)p Fx(+1)p Fu(;)p Fx(\()p Fu(j)s Fv(\000)p Fx(1\))p Fu(m)p Fx(+1)2044 2976 y FB(=)i Fw(de)2228 2946 y Fv(\000)p Fu(it)2368 2976 y FB(and)f Fw(c)2574 2991 y Fu(j)s(m)p Fx(+1)p Fu(;)p Fx(\()p Fu(j)s Fx(+1\))p Fu(m)p Fx(+1)3119 2976 y FB(=)h Fw(de)3303 2946 y Fu(it)3355 2976 y FB(.)63 b(By)35 b(the)395 3076 y(induction)e(h)n(yp)r(othesis)g(w)n(e)g(can)g(exclude)g(the)g(\014rst) g(p)r(ossibilit)n(y)g(and)g(w)n(e)g(are)f(left)i(to)f(conclude)g(that) 395 3175 y Fw(c)431 3190 y Fu(j)s(m)p Fx(+1)p Fu(;)p Fx(\()p Fu(j)s Fx(+1\))p Fu(m)p Fx(+1)961 3175 y FB(=)23 b Fw(de)1131 3145 y Fu(it)1210 3175 y FB(for)k(an)n(y)f(1)d Fw(<)f(j)28 b(<)23 b(K)32 b FB(is)27 b(a)g(co)r(e\016cien)n(t)f(in)i (an)n(y)e(nonzero)f(pro)r(duct)i(in)g(the)h(case)395 3275 y(2b.)519 3374 y(This)c(sho)n(ws)f(that)h(an)n(y)f(p)r(erm)n (utation)g Fw(\033)28 b FB(of)c(the)g(t)n(yp)r(e)g(describ)r(ed)f(in)h (Case)g(2b)f(con)n(tributes)g(a)h(factor)395 3474 y Fw(\015)438 3486 y Fu(\033)482 3474 y Fw(e)521 3444 y Fu(K)t(it)634 3474 y Fw(r)r FB(\()p Fw(\025)p 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Fy(References)395 705 y FB([1])41 b(H.D.I.)34 b(Abarbanel,)g(et.)g(al.)f(\\Sync)n(hronized)e(Action)j(of) f(Synaptically)g(Coupled)g(Chaotic)g(Neu-)524 805 y(rons,")26 b(Neural)h(Comp.)h Fp(8,)f FB(1567)e({)i(1602)f(\(1996\).)395 967 y([2])41 b(V.S.)31 b(Afraimo)n(vic)n(h,)g(S-N)g(Cho)n(w,)g(T)-7 b(op)r(ological)29 b(Spatial)h(Chaos)g(and)h(Homo)r(clinic)g(P)n(oin)n (ts)e(of)i Fs(Z)3634 937 y Fu(d)3667 967 y FB(-)524 1067 y(Actions)k(in)g(Lattice)f(Dynamical)h(Systems,)h(Japan)e(J.)g(of)h (Ind.)g(and)g(Appl.)g(Math)g Fp(12)f FB(367{383)524 1167 y(\(1995\).)395 1330 y([3])41 b(V.S.)f(Afraimo)n(vic)n(h,)i(S-N)d(Cho)n (w,)j(Hyp)r(erb)r(olic)e(Homo)r(clinic)g(P)n(oin)n(t)e(of)i Fs(Z)2956 1300 y Fu(d)2989 1330 y FB(-Actions)f(in)h(Lattice)524 1429 y(Dynamical)27 b(Systems,)h(In)n(t.)g(J.)f(of)g(Bif.)h(and)g (Chaos)e Fp(6)i FB(1059)e({)h(1075)e(\(1996\).)395 1592 y([4])41 b(Afraimo)n(vic)n(h,)25 b(V.)i(S.,)g(et.)g(al.)f Fq(Stability,)k(Structur)l(es)c(and)k(Chaos)g(in)e(Nonline)l(ar)i 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(Press)f(\(1985\).)2003 5255 y(20)p eop %%Page: 21 21 21 20 bop 395 523 a FB([18])40 b(R.)23 b(Huerta,)g(M.)g(Bazheno)n(v,)e (and)i(M.I.)f(Rabino)n(vic)n(h,)g(\\Clusters)g(of)g(Sync)n(hronization) f(and)h(Bista-)524 623 y(bilit)n(y)28 b(in)g(Lattices)f(of)g(Chaotic)g (Neurons,")g(Europh)n(y)-7 b(.)26 b(Lett.)i Fp(43,)f FB(719{724)d(\(1998\).)395 789 y([19])40 b(K.)33 b(Josi)n(\023)-39 b(c)31 b Fq(Synchr)l(onization)36 b(of)g(Chaotic)h(Systems)p FB(,)d(Ph.D.)f(Thesis,)i(P)n(ennsylv)-5 b(ania)31 b(State)j(Uni-)524 888 y(v)n(ersit)n(y)26 b(\(1999\).)395 1054 y([20])40 b(J.)25 b(Moser,)g(Pro)r(of)f(of)h(a)f(Generalized)g(F)-7 b(orm)25 b(of)g(a)g(Fixed)g(P)n(oin)n(t)f(Theorem)g(Due)i(to)f(G.D.)g (Birkho\013)395 1220 y([21])40 b(A.M.)f(Ostro)n(wski,)f Fq(Solutions)h(of)h(Equations)g(and)g(Systems)e(of)i(Equations)p FB(,)i(Academic)37 b(Press)524 1320 y(\(1960\).)395 1486 y([22])j(D.R.)35 b(Orendo)n(vici,)g(Y)-7 b(a.)34 b(B.)g(P)n(esin,)i (Chaos)d(in)h(T)-7 b(ra)n(v)n(eling)33 b(W)-7 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280 string def % space for gray scale line /npixls 0 def /rgbindx 0 def % lower left corner 166 268 translate % size of image (on paper, in 1/72inch coords) 280.00800 256.03200 scale % define 'colorimage' if it isn't defined % ('colortogray' and 'mergeprocs' come from xwd2ps % via xgrab) /colorimage where % do we know about 'colorimage'? { pop } % yes: pop off the 'dict' returned { % no: define one /colortogray { % define an RGB->I function /rgbdata exch store % call input 'rgbdata' rgbdata length 3 idiv /npixls exch store /rgbindx 0 store 0 1 npixls 1 sub { grays exch rgbdata rgbindx get 20 mul % Red rgbdata rgbindx 1 add get 32 mul % Green rgbdata rgbindx 2 add get 12 mul % Blue add add 64 idiv % I = .5G + .31R + .18B put /rgbindx rgbindx 3 add store } for grays 0 npixls getinterval } bind def % Utility procedure for colorimage operator. % This procedure takes two procedures off the % stack and merges them into a single procedure. /mergeprocs { % def dup length 3 -1 roll dup length 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@llx 307 @lly 430 @urx 563 @ury 1267 @rwi 1133 @rhi @setspecial %%BeginDocument: sensitive1.ps % remember original state /origstate save def % build a temporary dictionary 20 dict begin % define string to hold a scanline's worth of data /pix 840 string def % define space for color conversions /grays 280 string def % space for gray scale line /npixls 0 def /rgbindx 0 def % lower left corner 150 307 translate % size of image (on paper, in 1/72inch coords) 280.00800 256.03200 scale % define 'colorimage' if it isn't defined % ('colortogray' and 'mergeprocs' come from xwd2ps % via xgrab) /colorimage where % do we know about 'colorimage'? { pop } % yes: pop off the 'dict' returned { % no: define one /colortogray { % define an RGB->I function /rgbdata exch store % call input 'rgbdata' rgbdata length 3 idiv /npixls exch store /rgbindx 0 store 0 1 npixls 1 sub { grays exch rgbdata rgbindx get 20 mul % Red rgbdata rgbindx 1 add get 32 mul % Green rgbdata rgbindx 2 add get 12 mul % Blue add add 64 idiv % I = .5G + .31R + .18B put /rgbindx rgbindx 3 add store } for grays 0 npixls getinterval } bind def % Utility procedure for colorimage operator. % This procedure takes two procedures off the % stack and merges them into a single procedure. /mergeprocs { % def dup length 3 -1 roll dup length dup 5 1 roll 3 -1 roll add array cvx dup 3 -1 roll 0 exch putinterval dup 4 2 roll putinterval } bind def /colorimage { % def pop pop % remove 'false 3' operands {colortogray} mergeprocs image } bind def } ifelse % end of 'false' case 280 256 8 % dimensions of data [280 0 0 -256 0 256] % mapping matrix {currentfile pix readhexstring pop} false 3 colorimage ffffff000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 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/colorimage where % do we know about 'colorimage'? { pop } % yes: pop off the 'dict' returned { % no: define one /colortogray { % define an RGB->I function /rgbdata exch store % call input 'rgbdata' rgbdata length 3 idiv /npixls exch store /rgbindx 0 store 0 1 npixls 1 sub { grays exch rgbdata rgbindx get 20 mul % Red rgbdata rgbindx 1 add get 32 mul % Green rgbdata rgbindx 2 add get 12 mul % Blue add add 64 idiv % I = .5G + .31R + .18B put /rgbindx rgbindx 3 add store } for grays 0 npixls getinterval } bind def % Utility procedure for colorimage operator. % This procedure takes two procedures off the % stack and merges them into a single procedure. /mergeprocs { % def dup length 3 -1 roll dup length dup 5 1 roll 3 -1 roll add array cvx dup 3 -1 roll 0 exch putinterval dup 4 2 roll putinterval } bind def /colorimage { % def pop pop % remove 'false 3' operands {colortogray} mergeprocs image } bind def } ifelse % end of 'false' case 281 256 8 % dimensions of data [281 0 0 -256 0 256] % mapping matrix {currentfile pix readhexstring pop} false 3 colorimage ffffffffffffffffff000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 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4007 1151 l 3928 1060 l cp clip [100.0] 0 sd n 1575 2895 m 1880.0 2876.0 2011.0 2861.0 2100 2835 curveto 2198.0 2808.0 2405.0 2704.0 2490 2655 curveto 2614.0 2586.0 2892.0 2404.0 3000 2310 curveto 3090.0 2234.0 3279.0 2034.0 3345 1935 curveto 3409.0 1842.0 3488.0 1593.0 3555 1500 curveto 3612.0 1423.0 3709.0 1329.0 3945 1125 curveto gs col-1 s gr gr [] 0 sd % arrowhead n 3683 1272 m 3904 1160 l 3762 1363 l 3723 1317 l 3683 1272 l cp gs 0.00 setgray ef gr col-1 s 7.500 slw % Interp Spline gs n 1545 2370 m 1338.0 2371.0 1248.0 2364.0 1185 2340 curveto 1156.0 2329.0 1103.0 2285.0 1080 2265 curveto 1051.0 2240.0 984.0 2177.0 960 2145 curveto 944.0 2124.0 925.0 2090.0 885 2010 curveto gs col-1 s gr gr % Interp Spline gs n 1605 3585 m 1256.0 3536.0 1106.0 3506.0 1005 3465 curveto 881.0 3416.0 623.0 3261.0 525 3165 curveto 458.0 3100.0 387.0 2991.0 240 2730 curveto gs col-1 s gr gr /Times-Roman ff 180.00 scf sf 4260 3195 m gs 1 -1 sc 270.0 rot (D) col-1 sh gr /Times-Roman ff 255.00 scf sf 3210 2520 m gs 1 -1 sc 270.0 rot (H) col-1 sh gr /Times-Roman ff 255.00 scf sf 1710 1845 m gs 1 -1 sc 270.0 rot (v) col-1 sh gr /Times-Roman ff 255.00 scf sf 1575 1950 m gs 1 -1 sc 270.0 rot (1) col-1 sh gr /Times-Roman ff 255.00 scf sf 2235 2520 m gs 1 -1 sc 270.0 rot (2) col-1 sh gr /Times-Roman ff 255.00 scf sf 2310 2370 m gs 1 -1 sc 270.0 rot (v) col-1 sh gr /Times-Roman ff 255.00 scf sf 1635 2940 m gs 1 -1 sc 270.0 rot (W) col-1 sh gr /Times-Roman ff 255.00 scf sf 1740 3165 m gs 1 -1 sc 270.0 rot (u) col-1 sh gr /Times-Roman ff 255.00 scf sf 1620 3255 m gs 1 -1 sc 270.0 rot (\(p\)) col-1 sh gr $F2psEnd rs %%EndDocument @endspecial 395 1824 a FB(Figure)24 b(8:)35 b(If)26 b Fw(W)925 1794 y Fu(u)968 1824 y FB(\()p Fw(p)p FB(\))f(coincides)g (with)g(the)g(stable)g(manifold)g(of)g(the)g(origin)f(then)h Fw(v)3044 1836 y Fx(1)3107 1824 y FB(m)n(ust)g(b)r(e)g(tangen)n(t)395 1924 y(to)i Fw(W)586 1894 y Fu(u)630 1924 y FB(\()p Fw(p)p FB(\))h(at)f(the)h(origin.)36 b(Since)28 b Fw(v)1533 1936 y Fx(1)1598 1924 y FB(p)r(oin)n(ts)f(outside)h(of)f Fw(H)35 b FB(this)28 b(is)f(imp)r(ossible.)1288 3620 y @beginspecial 0 @llx 0 @lly 612 @urx 792 @ury 1782 @rwi @setspecial %%BeginDocument: stablemanofp.ps % begin the prolog... % Prolog.ps % Define plotting symbols. % Symbols are defined in two parts: a "glyph" which is an absolute symbol, and the command % for plotting the glyph, which scales the glyph into user coordinates. % To make symbols have different linewidths, uncomment the commands "linewidth setlinewidth" % and replace it with something like "0.1 setlinewidth". % Also, boxes and triangles can be filled in by adding the command % "fill" instead of the "stroke" command. % First, we define the glyphs... /Boxglyph {newpath dup scale %linewidth setlinewidth 0.5 0.5 moveto -0.5 0.5 lineto -0.5 -0.5 lineto 0.5 -0.5 lineto 0.5 0.5 lineto closepath stroke} def /Triangleglyph {newpath dup scale %linewidth setlinewidth 0 1 moveto 0.866 -0.5 lineto -0.866 -0.5 lineto closepath stroke} def /Circleglyph {newpath dup scale %linewidth setlinewidth 0 0 0.5 0 360 arc fill } def /Crossglyph {newpath dup scale %linewidth setlinewidth 0.75 0 moveto -0.75 0 lineto 0 0.75 moveto 0 -0.75 lineto stroke} def % Now define the symbol commands... % procedure to draw a box. Called as: x y scalefactor Box -- /Box{3 1 roll moveto currentpoint gsave translate xscalei yscalei scale Boxglyph grestore }def % procedure to draw a triangle. Called as: x y scalefactor Triangle -- /Triangle{3 1 roll moveto currentpoint gsave translate xscalei yscalei scale Triangleglyph grestore }def % procedure to draw a cross. Called as: x y scalefactor Cross -- /Cross{3 1 roll moveto currentpoint gsave translate xscalei yscalei scale Crossglyph grestore }def % procedure to draw a dot. Called as: x y scalefactor Dot -- /Dot{3 1 roll moveto currentpoint gsave translate xscalei yscalei scale Circleglyph grestore }def % procedure to draw a line to a symbol. Called as: x y Line x y /Line{linewidth 8 div setlinewidth lineto currentpoint stroke} def % draws ticks on the bounding box. Called as: num_x_ticks num_y_ticks Ticks -- % For thicker tick marks, uncomment the end of the first line /Ticks{ gsave % 1 setlinewidth 1 add yBBoxSide exch div dup 0 0 moveto dup yBBoxSide{0 exch moveto TickSize 0 rlineto}for %left xBBoxSide 0 moveto dup yBBoxSide{xBBoxSide exch moveto TickSize neg 0 rlineto}for %rt 1 add xBBoxSide exch div dup 0 0 moveto dup xBBoxSide{0 moveto 0 TickSize rlineto}for %bottom 0 yBBoxSide moveto dup xBBoxSide{yBBoxSide moveto 0 TickSize neg rlineto}for %top stroke grestore }def % draws box of sidelength (xBBoxSide, yBBoxSide) beginning at origin /BoundingBox{ gsave 1 setlinewidth 0 0 moveto xBBoxSide 0 rlineto 0 yBBoxSide rlineto xBBoxSide neg 0 rlineto closepath stroke grestore }def % macros for string positioning and manipulation /Display{0 Yp moveto show /Yp Yp HeadPtSize sub def }def % display header info % centers arbitrary string at current point. Called as: (str) CenterString (str) /CenterString { dup stringwidth pop 2 div currentpoint 3 -2 roll exch sub exch moveto }def % vertically centers string at current point. Called as:fontheight (str) VCenterString (str) /VCenterString{dup length .5 add 2 div 3 -1 roll mul currentpoint 3 -1 roll add moveto }def % prints figure titles centered at given pt % requires: CenterString; TitlePtSize; TitleFont % called as: x y (title) (caption) FigureTitle -- /FigureTitle { gsave TitleFont setfont 4 2 roll moveto gsave exch CenterString show grestore currentpoint TitlePtSize sub moveto CenterString show grestore }def % prints x-axis label % requires: CenterString; LabelPtSize; LabelFont % called as: (label) XLabel -- /XLabel { gsave LabelFont setfont xBBoxSide 2 div LabelPtSize -3 mul moveto CenterString show grestore }def % prints y-axis label horizontally % requires: CenterString; LabelFont % called as: (label) HorYLabel -- /HorYLabel { gsave LabelFont setfont dup stringwidth pop -2 div HorSpace 2 mul sub yBBoxSide 2 div moveto CenterString show grestore }def % prints list of n strings along x axis at evenly spaced intervals % requires: LabelFont; LabelPtSize; CenterString % called as: (s_1) (s_2) ... (s_n) n PlaceXLabels -- /PlaceXLabels { gsave LabelFont setfont dup 1 le { % if n==1, center string pop xBBoxSide 2 div LabelPtSize -1.5 mul moveto CenterString show } { % else place labels at intervals of length xBBoxSide/(n-1) 1 sub xBBoxSide exch div % set length -1 mul xBBoxSide exch 0{ % for i=xBBoxside to 0 step (-length) LabelPtSize -1.5 mul moveto CenterString show }for } ifelse grestore}def % prints list of n strings along y axis at evenly spaced intervals % requires: LabelFont; LabelPtSize;CenterString % called as: (s_1) (s_2) ... (s_n) n PlaceYLabels -- /PlaceYLabels { gsave LabelFont setfont dup 1 le { % if n==1, center string pop dup stringwidth pop -2 div HorSpace sub yBBoxSide 2 div moveto CenterString show } { % else place labels at intervals of length yBBoxSide/(n-1) 1 sub yBBoxSide exch div % set length -1 mul yBBoxSide exch 0 { % for i=yBBoxside to 0 step (-length) exch dup stringwidth pop -2 div HorSpace sub 3 -1 roll moveto CenterString show }for } ifelse grestore}def % % The following macros are not explicitly used by dstool but may be useful % % prints y-axis label vertically % requires: VCenterString; LabelPtSize; LabelFont % called as: (label) VerYLabel -- /VerYLabel { gsave LabelFont setfont LabelPtSize -1.5 mul yBBoxSide 2 div moveto LabelPtSize exch VCenterString LabelPtSize exch vshow grestore }def % The following proc is from PostScript Tutorial and Cookbook by Adobe Systems Inc., p. 165 /vshowdict 4 dict def % called as: vert_space (string) vshow -- /vshow{ vshowdict begin /thestring exch def /lineskip exch def thestring { /charcode exch def /thechar ( ) dup 0 charcode put def 0 lineskip neg rmoveto gsave thechar stringwidth pop 2 div neg 0 rmoveto thechar show grestore } forall end }def % prints annotations on graph. Called as: (label) xpos ypos Annotation -- % requires: CenterString; LabelPtSize; LabelFont % xpos and ypos are between 0 and 1 /Annotation{ gsave LabelFont setfont yBBoxSide mul exch xBBoxSide mul exch moveto CenterString show grestore }def % declare global constants (edit with care). 72 points = 1 inch /x0 0 def /xf 1 def /y0 0 def /yf 1 def % dstool scales output into [0,1] x [0,1] /TickSize 5 def % size (in pts) of tick marks /linewidth 0.005 def % width of line for plotting (smallest resolution=0) /HeadPtSize 6 def % print the header in this font size /HorSpace 8 def % pts left of BBox for hor labels /Sm 1 def % typical sizes of symbols /Md 2 def /Lg 4 def /XL 6 def % The below are model-specific definitions. Written by dstool. /SetFonts { /LabelPtSize 10 def /TitlePtSize 14 def /LabelFont /Times-Roman findfont LabelPtSize scalefont def /TitleFont /Times-Roman findfont TitlePtSize scalefont def } def /xBBoxSide 450 def % length (in pts) of bounding box /yBBoxSide 450 def % height (in pts) of bounding box /xorigin 80 def % displacement (in pts) from left side of page /yorigin 145 def % displacement (in pts) from bottom of page % The below are not model specific but depend on the above definitions /Yp yBBoxSide 60 add 6 HeadPtSize mul add def % print 6 header lines at this height /xscale xBBoxSide xf x0 sub div def % horizontal scaling factor /yscale yBBoxSide yf y0 sub div def % vertical scaling factor /xscalei 1 xscale div def % horizontal scaling factor inverse /yscalei 1 yscale div def % vertical scaling factor inverse gsave xorigin yorigin translate linewidth setlinewidth SetFonts xBBoxSide 2 div yBBoxSide TitlePtSize 2 mul add (-15) (15) 2 PlaceXLabels (-15) (15) 2 PlaceYLabels (x) XLabel (y) HorYLabel % Place all Labels and Annotations BEFORE this line % translate to user coords gsave xscale yscale scale x0 neg y0 neg translate 0.222445 0.222445 Lg Cross 0.222445 0.222445 Md Dot 0.222445 0.222445 Md Dot 0.222445 0.222445 Md Dot 0.222445 0.222445 Md Dot 0.222446 0.222445 Md Dot 0.222448 0.222446 Md Dot 0.222454 0.222448 Md Dot 0.222468 0.222454 Md Dot 0.222505 0.222468 Md Dot 0.222599 0.222505 Md Dot 0.222842 0.222599 Md Dot 0.223468 0.222842 Md Dot 0.225082 0.223468 Md Dot 0.229246 0.225082 Md Dot 0.240030 0.229246 Md Dot 0.268230 0.240030 Md Dot 0.344109 0.268230 Md Dot 0.570748 0.344109 Md Dot 0.477613 0.570748 Md Dot 0.631786 0.477613 Md Dot 0.592566 0.631786 Md Dot 0.278539 0.592566 Md Dot 0.024110 0.278539 Md Dot 0.222445 0.222445 Md Dot 0.222445 0.222445 Md Dot 0.222445 0.222445 Md Dot 0.222445 0.222445 Md Dot 0.222446 0.222445 Md Dot 0.222448 0.222446 Md Dot 0.222454 0.222448 Md Dot 0.222468 0.222454 Md Dot 0.222505 0.222468 Md Dot 0.222600 0.222505 Md Dot 0.222846 0.222600 Md Dot 0.223478 0.222846 Md Dot 0.225107 0.223478 Md Dot 0.229311 0.225107 Md Dot 0.240198 0.229311 Md Dot 0.268674 0.240198 Md Dot 0.345330 0.268674 Md Dot 0.574765 0.345330 Md Dot 0.491919 0.574765 Md Dot 0.511777 0.491919 Md Dot 0.385648 0.511777 Md Dot 0.487523 0.385648 Md Dot 0.743187 0.487523 Md Dot 0.963808 0.743187 Md Dot 0.222445 0.222445 Md Dot 0.222445 0.222445 Md Dot 0.222445 0.222445 Md Dot 0.222445 0.222445 Md Dot 0.222446 0.222445 Md Dot 0.222448 0.222446 Md Dot 0.222454 0.222448 Md Dot 0.222468 0.222454 Md Dot 0.222506 0.222468 Md Dot 0.222602 0.222506 Md Dot 0.222850 0.222602 Md Dot 0.223488 0.222850 Md Dot 0.225133 0.223488 Md Dot 0.229377 0.225133 Md Dot 0.240368 0.229377 Md Dot 0.269121 0.240368 Md Dot 0.346563 0.269121 Md Dot 0.578840 0.346563 Md Dot 0.506957 0.578840 Md Dot 0.346145 0.506957 Md Dot 0.339469 0.346145 Md Dot 0.476005 0.339469 Md Dot 0.871772 0.476005 Md Dot 0.222445 0.222445 Md Dot 0.222445 0.222445 Md Dot 0.222445 0.222445 Md 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