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FC(Con)l(ten)l(ts)287 88 y FB(1)76 b(In)m(tro)s(duction)3034 b(3)411 188 y FD(1.1)84 b(Quasi-p)r(erio)r (dic)26 b(solutions)h(for)g(the)h FA(n)p FD(-b)r(o)r(dy)g(problem)81 b(.)42 b(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.) f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)161 b(3)411 288 y(1.2)84 b(A)30 b(stabilit)n(y)f (theorem)f(for)h(the)h(Sun-Jupiter-Victoria)d(system)i(view)n(ed)g(as)f (a)h(restricted,)g(circular,)602 387 y(planar)e(three-b)r(o)r(dy)g (problem)85 b(.)41 b(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.) g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f (.)h(.)f(.)161 b(5)411 487 y(1.3)84 b(Ab)r(out)29 b(the)f(pro)r(of)f (of)g(the)h(Sun-Jupiter-Victoria)e(stabilit)n(y)i(theorem)38 b(.)k(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)161 b(7)411 586 y(1.4)84 b(A)28 b(short)f(history)g(of)g(KAM)h(stabilit)n (y)f(estimates)74 b(.)41 b(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g (.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)161 b(8)411 686 y(1.5)84 b(A)28 b(section-b)n(y-section)e(summary)k(.)42 b(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f (.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)161 b(9)287 869 y FB(2)76 b(Iso-energetic)31 b(KAM)h(Theory)2380 b(11)411 968 y FD(2.1)84 b(Notations)62 b(.)41 b(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.) h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g (.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.) h(.)f(.)119 b(11)411 1068 y(2.2)84 b(KAM)28 b(tori)55 b(.)41 b(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.) g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f (.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)119 b(13)411 1168 y(2.3)84 b(Newton)28 b(sc)n(heme)f(for)g(\014nding)h(iso-energetic)e (KAM)h(tori)70 b(.)42 b(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f (.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)119 b(14)411 1267 y(2.4)84 b(The)28 b(KAM)g(Map)44 b(.)d(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h (.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.) f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)119 b(24)411 1367 y(2.5)84 b(T)-7 b(ec)n(hnical)27 b(T)-7 b(o)r(ols)46 b(.)41 b(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.) f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h (.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)119 b(24)411 1467 y(2.6)84 b(The)28 b(KAM)g(Norm)f(Map)69 b(.)41 b(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h (.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.) f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)119 b(33)411 1566 y(2.7)84 b(Iso-energetic)26 b(KAM)i(Theorem)c(.)41 b(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h (.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)119 b(43)411 1666 y(2.8)84 b(Iso-energetic)26 b(Lindstedt)i(series)72 b(.)42 b(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.) h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)119 b(63)602 1765 y(2.8.1)94 b(Analytic)28 b(dep)r(endence)g(up)r(on)g (parameters)45 b(.)d(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.) f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)119 b(63)602 1865 y(2.8.2)94 b(The)28 b(nearly-in)n(tegrable)d(case:)h(Recursiv)n(e) h(equations)37 b(.)42 b(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g (.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)119 b(65)287 2048 y FB(3)76 b(The)32 b(restricted,)g(circular,)g(planar)h(three-b)s(o)s(dy)e(problem)1353 b(67)411 2147 y FD(3.1)84 b(The)28 b(restricted)f(three-b)r(o)r(dy)g (problem)61 b(.)41 b(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.) h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)119 b(67)411 2247 y(3.2)84 b(Delauna)n(y)27 b(action-angle)f(v)-5 b(ariables)26 b(for)h(the)h(t)n(w)n(o-b)r(o)r(dy)f(problem)48 b(.)42 b(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.) 119 b(67)411 2347 y(3.3)84 b(The)26 b(restricted,)f(circular,)f(planar) h(three-b)r(o)r(dy)g(problem)h(view)n(ed)f(as)g(nearly-in)n(tegrable)e (Hamilto-)602 2446 y(nian)28 b(system)47 b(.)42 b(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h (.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.) f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h (.)f(.)119 b(75)411 2546 y(3.4)84 b(The)28 b(Sun-Jupiter-Asteroid)e (problem)65 b(.)41 b(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.) h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)119 b(78)602 2645 y(3.4.1)94 b(The)28 b(Sun-Jupiter-Victoria)e(mo)r(del)84 b(.)41 b(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.) f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)119 b(79)602 2745 y(3.4.2)94 b(The)28 b(Sun-Jupiter-Victoria)e(phase)h(space)70 b(.)42 b(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.) h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)119 b(81)287 2928 y FB(4)76 b(KAM)32 b(stabilit)m(y)f(of)h(the)g(Sun-Jupiter-Victoria)g(problem) 1358 b(83)411 3027 y FD(4.1)84 b(Iso-energetic)38 b(Lindstedt)j(series) e(for)h(the)g(Sun-Jupiter-Asteroid)f(problem)h(and)g(c)n(hoice)f(of)h (the)602 3127 y(initial)28 b(appro)n(ximate)e(tori)1479 3060 y Fz(\000)1517 3127 y FA(u)1565 3097 y Fy(\(0\))p Fx(\006)1706 3127 y FA(;)14 b(v)1786 3097 y Fy(\(0\))p Fx(\006)1927 3127 y FA(;)g(!)2019 3097 y Fy(\(0\))o Fx(\006)2159 3060 y Fz(\001)2309 3127 y FD(.)42 b(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.) h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)119 b(84)411 3227 y(4.2)84 b(Ev)-5 b(aluation)22 b(of)h(the)g(input)g (parameters)e(of)i(the)g(KAM)f(norm)h(map)f(asso)r(ciated)g(to)g(the)h (appro)n(ximate)602 3326 y(tori)759 3259 y Fz(\000)797 3326 y FA(u)845 3296 y Fy(\(0\))p Fx(\006)986 3326 y FA(;)14 b(v)1066 3296 y Fy(\(0\))p Fx(\006)1207 3326 y FA(;)g(!)1299 3296 y Fy(\(0\))p Fx(\006)1440 3259 y Fz(\001)1534 3326 y FD(.)42 b(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h (.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.) h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)119 b(87)411 3426 y(4.3)84 b(Iterations)27 b(of)g(the)h(KAM)g(map)60 b(.)41 b(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h (.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.) f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)119 b(95)411 3525 y(4.4)84 b(Application)22 b(of)g(the)h(iso-energetic)d(KAM)i (theorem)g(and)g(p)r(erp)r(etual)g(stabilit)n(y)g(of)g(the)g (Sun-Jupiter-)602 3625 y(Victoria)27 b(problem)57 b(.)42 b(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f (.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.) h(.)f(.)h(.)f(.)119 b(98)287 3808 y FB(A)52 b(The)32 b(ellipse)3010 b(102)287 3990 y(B)56 b(Diophan)m(tine)32 b(estimates)2530 b(104)411 4090 y FD(B.1)67 b(Diophan)n(tine)28 b(estimates)f(for)g(sp)r(ecial)h(quadratic)e(n)n(um)n(b)r(ers)52 b(.)41 b(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.) f(.)h(.)f(.)78 b(104)411 4190 y(B.2)67 b(Estimates)27 b(on)h FA(s)1142 4202 y Fw(p;k)1236 4190 y FD(\()p FA(\016)s FD(\))65 b(.)42 b(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f (.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)h(.) g(.)f(.)h(.)f(.)h(.)f(.)78 b(105)287 4372 y FB(C)55 b(In)m(terv)-5 b(al)33 b(arithmetic)2675 b(106)287 4555 y(D)51 b(A)32 b(guide)f(to)h(the)g(computer)f(programs)2002 b(108)3876 4738 y(110)2132 5492 y FD(2)p eop %%Page: 3 3 3 2 bop 287 -94 a FC(1)135 b(In)l(tro)t(duction)287 104 y Fv(1.1)112 b(Quasi-p)s(erio)s(dic)37 b(solutions)f(for)i(the)f Fu(n)p Fv(-b)s(o)s(dy)i(problem)287 257 y FD(The)23 b FA(n)p FD(-b)r(o)r(dy)g(problem)g(consists)f(in)h(studying)g(the)h (dynamics)e(of)i FA(n)f FD(p)r(oin)n(t)g(masses)f(in)h(the)h (three-dimensional)e(space)287 357 y(m)n(utually)k(attracted)g(b)n(y)h (Newton)g(gra)n(vitational)d(la)n(w.)i(Suc)n(h)h(dynamics)f(is)g(go)n (v)n(erned)f(b)n(y)h(the)h(follo)n(wing)f(system)g(of)287 457 y(ordinary)g(di\013eren)n(tial)h(equations)1085 638 y FA(d)1128 608 y Fy(2)1166 638 y FA(u)1214 608 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))p 1085 675 208 4 v 1134 751 a FA(dt)1207 727 y Fy(2)1326 694 y FD(=)22 b Ft(\000)1569 615 y Fz(X)1502 783 y Fs(0)p Fr(\024)p Fq(j)r Fr(\024)p Fq(n)p Fr(\000)p Fs(1)1583 831 y Fq(j)r Fr(6)p Fs(=)p Fq(i)1780 694 y FA(m)1853 706 y Fw(j)1940 638 y FA(u)1988 608 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2085 638 y Ft(\000)c FA(u)2216 608 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))p 1898 675 447 4 v 1898 752 a Ft(j)p FA(u)1969 728 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2067 752 y Ft(\000)g FA(u)2198 728 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))2284 752 y Ft(j)2307 728 y Fy(3)2382 694 y FA(;)180 b(i)23 b FD(=)f(0)p FA(;)14 b FD(1)p FA(;)g(:::;)g(n)j Ft(\000)i FD(1)27 b FA(;)617 b FD(\(1.1\))287 1013 y(where)30 b FA(m)603 1025 y Fw(j)669 1013 y FD(are)h(the)g(masses)f(of)h(the)h(b)r(o)r(dies,)f(the)g FA(n)g FD(functions)h FA(t)d Ft(2)g Fp(R)35 b Ft(!)29 b FA(u)2746 983 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2825 1013 y FD(\()p FA(t)p FD(\))g Ft(2)h Fp(R)3087 983 y Fy(3)3161 1013 y FD(describ)r(e)h(the)g(p)r(osition)g(of)287 1112 y(the)j FA(i)465 1082 y Fy(th)565 1112 y FD(b)r(o)r(dy)g(in)g(space)g(at)f (time)i FA(t)e FD(and)h Ft(j)p FA(u)1718 1082 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1820 1112 y Ft(\000)22 b FA(u)1955 1082 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))2041 1112 y Ft(j)34 b FD(is)g(the)g(Euclidean)f (distance)h(b)r(et)n(w)n(een)g FA(u)3432 1082 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))3545 1112 y FD(and)f FA(u)3760 1082 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))3847 1112 y FD(;)h(the)287 1212 y(gra)n(vitational)25 b(constan)n(t)i(has)g(b)r(een)h(set)g(equal)f(to)g(one)g(\(whic)n(h)h (is)g(alw)n(a)n(ys)d(p)r(ossible)i(up)r(on)h(rescaling)e(of)i(time\).) 287 1336 y(In)34 b(this)h(pap)r(er)e(w)n(e)h(will)h(b)r(e)f(mainly)g (concerned)g(with)g(the)h(construction)e(of)h(quasi-p)r(erio)r(dic)f (solutions)h(for)f(\(1.1\))287 1436 y(and)f(with)h(their)g(dynamical)e (relev)-5 b(ance)32 b(with)h(particular)e(emphasis)h(on)g(stabilit)n(y) -7 b(.)33 b(Roughly)e(sp)r(eaking,)h(a)g(quasi-)287 1536 y(p)r(erio)r(dic)21 b(solution)g(of)g(\(1.1\))g(is)h(a)f(solution,)g (whic)n(h,)g(in)h(suitable)f(co)r(ordinates,)f(ma)n(y)h(b)r(e)h (expressed)e(in)h(terms)h(of)f(linear)287 1635 y(motions)28 b(\014lling)h(out)g(a)g FA(k)s FD(-dimensional)f(torus)g(with)i(2)25 b Ft(\024)g FA(k)j Ft(\024)d FA(d)p FD(,)k FA(d)h FD(b)r(eing)f(the)g (n)n(um)n(b)r(er)g(of)g(degrees)f(of)h(freedom)f(of)287 1735 y(the)g(problem)f(\(w)n(e)g(will)h(come)f(bac)n(k)g(later)g(to)h (a)f(more)g(precise)f(de\014nition)i(of)g(quasi-p)r(erio)r(dic)e (solutions\).)287 1859 y(It)33 b(is)f(w)n(ell)h(kno)n(wn)f(that)h(for)f FA(n)f FD(=)h(2,)g(equations)g(\(1.1\))g(ma)n(y)g(b)r(e)h (\\explicitly")f(solv)n(ed,)g(while,)h(for)f FA(n)f(>)h FD(2,)g(despite)287 1959 y(the)i(e\013ort)f(of)g(mathematicians)g(suc)n (h)g(as)g(Kepler,)g(Newton,)h(Laplace,)e(Lagrange,)f(W)-7 b(eierstrass,)32 b(Mittag-Le\017er,)287 2059 y(P)n(oincar)n(\023)-39 b(e,)27 b(Birkho\013,)i(Siegel,)h(Kolmogoro)n(v,)d(Moser)i(and)h (Arnold,)g(basic)g(questions)f(ab)r(out)h(the)h FA(n)p FD(-b)r(o)r(dy)f(problem)287 2158 y(are)25 b(still)h(unsolv)n(ed.)f(F) -7 b(or)25 b(example,)g(there)h(are)e(no)i(pro)r(ofs)f(of)g(the)h (existence)g(of)f(quasi-p)r(erio)r(dic)g(solutions)g(for)g(the)h FA(n)287 2258 y FD(b)r(o)r(dy-problem)h(with)981 2228 y Fy(1)1018 2258 y FA(n)c Ft(\025)g FD(4.)287 2383 y(P)n(articularly)j (relev)-5 b(an)n(t)27 b(for)g(Celestial)h(Mec)n(hanics)f(is)h(the)h Fo(planetary)e FD(case,)g(i.e,)h(the)g(case)g(when)g(one)g(of)g(the)g (b)r(o)r(dies)287 2482 y(\(\\star"\))e(has)h(mass)g(signi\014can)n(tly) g(larger)e(than)j(the)g(other)f(b)r(o)r(dies)h(\(\\planets"\):)1584 2665 y FA(m)1657 2677 y Fy(0)1717 2665 y Ft(\035)23 b FA(m)1896 2677 y Fw(i)1952 2665 y FA(;)180 b(i)22 b FD(=)h(1)p FA(;)14 b(:::;)g(n)k Ft(\000)g FD(1)27 b FA(:)287 2847 y FD(In)34 b(suc)n(h)g(a)g(case)f(the)i FA(n)p FD(-b)r(o)r(dy)e (problem)h(ma)n(y)g(b)r(e)g(view)n(ed)g(as)f(a)h Fo(p)r(erturbation)g FD(of)g(\()p FA(n)23 b Ft(\000)f FD(1\))34 b(decoupled)g(t)n(w)n(o-b)r (o)r(dy)287 2947 y(problems)27 b(\(star-)p FA(i)872 2917 y Fy(th)964 2947 y FD(planet,)h FA(i)23 b FD(=)f(1)p FA(;)14 b(:::;)g(n)k Ft(\000)g FD(1\).)27 b(The)h(p)r(erturbativ)n(e)e (approac)n(h)g(w)n(as)g(explored)h(with)h(great)e(success,)287 3047 y(esp)r(ecially)-7 b(,)24 b(b)n(y)h(P)n(oincar)n(\023)-39 b(e,)22 b(Birkho\013,)i(Kolmogoro)n(v,)e(Arnold)j(and)f(Moser.)g(P)n (oincar)n(\023)-39 b(e,)22 b(in)j(particular,)f(w)n(as)g(a)n(w)n (arded,)287 3146 y(b)n(y)k(Oscar)f(I)r(I,)i(King)e(of)i(Sw)n(eden)f (and)g(Norw)n(a)n(y)-7 b(,)27 b(a)h(prize)g(for)g(a)g(memoir)g(on)g (the)h(3-b)r(o)r(dy)e(problem)3443 3116 y Fy(2)3480 3146 y FD(.)i(Among)f(man)n(y)287 3246 y(other)37 b(things,)i(in)f(the)h (fundamen)n(tal)f(w)n(ork)f([116)n(],)i(P)n(oincar)n(\023)-39 b(e,)35 b(follo)n(wing)i(New)n(com)n(b)r(e)g(and)h(Lindstedt,)h(tried)f (to)287 3346 y(study)32 b(the)h(existence)f(of)g(quasi-p)r(erio)r(dic)f (solutions)h(for)g(general)e(Hamiltonian)i(systems,)g(b)n(y)g(lo)r (oking)g(at)g(p)r(o)n(w)n(er-)287 3445 y(series)k(expansions)h(in)h (the)g(p)r(erturbation)f(parameter)f(\()p Fo(Lindstedt)j(series)p FD(\).)e(P)n(oincar)n(\023)-39 b(e)35 b(w)n(as)h(not)i(able)f(to)h (decide)p 287 3498 1493 4 v 379 3552 a Fn(1)414 3575 y FH(V.I.)23 b(Arnold)g(in)g(1963)h(\([5]\))g(ga)n(v)n(e)g(the)h (\014rst)e(existence)i(pro)r(of)e(of)g(quasi-p)r(erio)r(dic)g(motions)g (in)g(the)i(case)f(of)f(three)h(co-planar)g(b)r(o)r(dies)287 3654 y(\()p Fm(m)376 3663 y Fn(0)431 3654 y Fl(\035)19 b Fm(m)583 3663 y Fn(1)618 3654 y Fm(;)11 b(m)711 3663 y Fn(2)746 3654 y FH(\))22 b(rev)n(olving)g(on)g(nearly-circular)f (orbits;)g(more)f(than)j(thirt)n(y)f(y)n(ears)f(later,)h(in)f(1995,)h (Arnold's)f(result)g(w)n(as)h(extended)i(b)n(y)287 3733 y(Lask)l(ar)g(and)h(Robutel)h(\([90],)e([118]\))g(to)h(the)h(spatial)e (three-b)r(o)r(dy)i(problem)d(\(small)g(inclinations,)h(small)e(eccen)n (tricities\).)k(Other)e(quasi-)287 3812 y(p)r(erio)r(dic)i(solutions)g (for)f(the)h(three-b)r(o)r(dy)h(problem)e(\(spanning)i(\\lo)n(w)n(er)f (dimensional)f(tori"\))h(where)g(sho)n(wn)g(to)h(exist)f(b)n(y)g (Je\013erys)g(and)287 3891 y(Moser)19 b([75])g(in)g(1966)h(\(linearly)f (unstable)i(case\))f(and)g(recen)n(tly)h(b)n(y)f(F)n(\023)-33 b(ejoz)19 b([54)q(])f(\(linearly)i(stable,)f(planar\))h(and)g(b)n(y)g (Biasco,)f(Chierc)n(hia)g(and)287 3970 y(V)-6 b(aldino)r(ci)26 b([15])g(\(linearly)f(stable,)i(spatial\).)f(A)g(\(long\))h(pro)r(of)f (of)f(the)i(existence)h(of)e(quasi-p)r(erio)r(dic)f(solutions)i(in)e (the)i(general)g Fm(n)p FH(-b)r(o)r(dy)287 4049 y(problem)20 b(w)n(as)g(announced)j([73)q(])d(b)n(y)h(M.)f(Herman)g(in)g(1995,)i (but)f(his)g(un)n(timely)f(death)i(\(2001\))h(did)e(not)g(allo)n(w)g (suc)n(h)g(-)f(certainly)i(b)r(eautiful)287 4128 y(-)h(piece)h(of)g(w)n (ork)f(to)h(b)r(e)h(completed.)379 4183 y Fn(2)414 4207 y FH(\\Oscar)17 b(I)r(I)h(initiated)g(a)f(mathematical)g(comp)r (etition)h(in)f(1887)h(to)g(celebrate)h(his)d(sixtieth)i(birthda)n(y)g (in)f(1889.)h(P)n(oincar)n(\023)-33 b(e)18 b(w)n(as)f(a)n(w)n(arded)287 4286 y(the)23 b(prize)g(for)f(a)h(memoir)d(he)j(submitted)g(on)g(the)g (3-b)r(o)r(dy)g(problem)f(in)g(celestial)h(mec)n(hanics.)g(In)g(this)g (memoir)c(P)n(oincar)n(\023)-33 b(e)24 b(ga)n(v)n(e)g(the)f(\014rst)287 4365 y(description)30 b(of)g(homo)r(clinic)f(p)r(oin)n(ts,)h(ga)n(v)n (e)h(the)g(\014rst)f(mathematical)f(description)i(of)e(c)n(haotic)j (motion,)d(and)h(w)n(as)g(the)h(\014rst)f(to)g(mak)n(e)287 4443 y(ma)t(jor)21 b(use)j(of)f(the)h(idea)g(of)e(in)n(v)l(arian)n(t)i (in)n(tegrals.)f(Ho)n(w)n(ev)n(er,)g(when)h(the)g(memoir)d(w)n(as)i(ab) r(out)i(to)f(b)r(e)f(published)h(in)f(Acta)h(Mathematica,)287 4522 y(Phragmen,)j(who)h(w)n(as)g(editing)g(the)h(memoir)c(for)i (publication,)h(found)h(an)f(error.)e(P)n(oincar)n(\023)-33 b(e)29 b(realized)f(that)h(indeed)g(he)f(had)g(made)g(an)287 4601 y(error)20 b(and)h(Mittag-Le\017er)h(made)e(stren)n(uous)i (e\013orts)f(to)h(prev)n(en)n(t)g(the)g(publication)g(of)f(the)h (incorrect)f(v)n(ersion)g(of)g(the)h(memoir.)17 b(Bet)n(w)n(een)287 4680 y(Marc)n(h)h(1887)g(and)h(July)f(1890)h(P)n(oincar)n(\023)-33 b(e)18 b(and)h(Mittag-Le\017er)f(exc)n(hanged)i(\014ft)n(y)e(letters)g (mainly)f(relating)h(to)g(the)h(Birthda)n(y)f(Comp)r(etition,)287 4759 y(the)25 b(\014rst)e(of)h(these)h(b)n(y)f(P)n(oincar)n(\023)-33 b(e)25 b(telling)f(Mittag-Le\017er)g(that)h(he)f(in)n(tended)i(to)e (submit)f(an)h(en)n(try)-6 b(,)25 b(and)f(of)g(course)g(the)h(later)f (of)g(the)h(50)287 4838 y(letters)h(discuss)f(the)h(problem)e (concerning)i(the)h(error.)d(It)i(is)e(in)n(teresting)i(that)h(this)e (error)f(is)h(no)n(w)h(regarded)g(as)f(marking)f(the)i(birth)f(of)287 4917 y(c)n(haos)f(theory)-6 b(.)24 b(A)f(revised)g(v)n(ersion)h(of)f(P) n(oincar)n(\023)-33 b(e's)23 b(memoir)e(app)r(eared)j(in)f(1890.")h (Extracted)h(from)d(an)h(article)h(b)n(y)f(J.J.)g(O'Connor)g(and)287 4995 y(E.F.)g(Rob)r(ertson)h(\(h)n(ttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/)i (history/Mathematicians/P)n(oincare.h)n(tml\).)2132 5492 y FD(3)p eop %%Page: 4 4 4 3 bop 287 -94 a FD(whether)32 b(suc)n(h)g(series)f(w)n(ere)g(con)n(v) n(ergen)n(t)f(or)h(not)1871 -124 y Fy(3)1940 -94 y FD(and)h(it)h(w)n (as)e(only)h(nearly)f(sev)n(en)n(t)n(y)g(y)n(ears)f(after)i(that)g(J.)g (Moser)287 5 y(\([111)o(]\))c(sho)n(w)n(ed)f(ho)n(w)g(KAM)h(theory)g (could)g(b)r(e)g(used)g(in)g(order)f(to)h(giv)n(e)f(an)h(indirect)g (pro)r(of)f(of)h(the)h(con)n(v)n(ergence)c(of)287 105 y(Lindstedt)j(series.)287 229 y(Kolmogorv-Arnold-Moser)16 b(theory)1468 199 y Fy(4)1526 229 y FD(represen)n(ted)21 b(a)g(ma)5 b(jor)20 b(breakthrough)g(in)h(the)h(study)g(of)f(the)h(b)r (eha)n(vior)e(of)i(gen-)287 329 y(eral)d(conserv)-5 b(ativ)n(e)18 b(dynamical)i(systems,)f(pro)n(viding)g(tec)n(hnical)h(to)r(ols,)f (based)h(up)r(on)g(a)g(quan)n(titativ)n(e)f(\\fast)g(\(Newton\))287 429 y(iteration)30 b(sc)n(heme")g(in)i(suitable)f(decreasing)e(family)i (of)g(Banac)n(h)f(function)i(spaces,)e(whic)n(h)h(allo)n(w)n(ed)f(to)g (o)n(v)n(ercome)287 528 y(crucial)d(di\016culties)i(related)f(to)g (resonances)e(and)i(small)g(divisors.)f(Moser,)h(in)g([111)o(],)g(p)r (oin)n(ted)h(out)f(that)g(the)h(KAM)287 628 y(construction)23 b(of)h(quasi-p)r(erio)r(dic)f(solutions)h(w)n(as)f(uniform)h(in)g (complex)g(parameters)f(so)g(that,)i(b)n(y)f(W)-7 b(eierstrass)22 b(the-)287 728 y(orem)27 b(on)i(uniform)f(limits)h(of)f(analytic)g (functions,)h(the)f(parameter)f(analyticit)n(y)h(w)n(as)f(inherited)i (b)n(y)f(the)h(solutions.)287 827 y(As)35 b(a)g(b)n(y-pro)r(duct)f(the) i(KAM)f(quasi-p)r(erio)r(dic)f(solutions)g(are)g(analytic)h(in)g(the)h (parameter)e(and)g(hence)i(\(b)n(y)f(the)287 927 y(iden)n(tit)n(y)28 b(principle)f(for)g(holomorphic)f(functions\))j(Lindstedt)f(series)e (are)h(con)n(v)n(ergen)n(t.)287 1051 y(Direct)32 b(pro)r(ofs)f(a)n(v)n (oiding)f(fast)h(iteration)g(metho)r(ds)h(are)f(more)g(than)h(t)n(w)n (en)n(t)n(y)f(y)n(ears)f(y)n(ounger)g(than)i(KAM)g(theory)-7 b(.)287 1151 y(The)26 b(\014rst)g(\(semi-\)direct)g(pro)r(of)g(w)n(as)f (giv)n(en)g(b)n(y)h(H.)h(Eliasson)e(in)h(a)g(1984)e(preprin)n(t)i (\(see,)g(also,)f([49)o(]\))i(and)f(it)h(is)f(based)287 1251 y(on)f(an)h(extension)g(of)f(the)i(approac)n(h)d(used)i(b)n(y)f (Siegel)h(in)g(1942)e(\([124)o(]\))i(in)h(order)d(to)i(pro)n(v)n(e)e (the)j(conjugacy)d(of)i(germs)287 1350 y(of)31 b(analytic)f(functions)i (to)e(their)h(linear)g(part)1760 1320 y Fy(5)1796 1350 y FD(.)h(Explicit)e(comp)r(ensations)h(for)f(the)i(co)r(e\016cien)n(ts) e(of)h(the)h(Lindstedt)287 1450 y(series)g(su\016cien)n(t)i(to)f(yield) h(con)n(v)n(ergence)d(w)n(ere)i(pro)n(v)n(en)f(in)i(the)g(90's)e(b)n(y) h(Galla)n(v)n(otti,)g(Gen)n(tile)h(and)f(Mastropietro)287 1550 y(\([59)o(],)22 b([60)o(],)g([61)o(],)g([62)o(],)g([63)o(]\))g (and)g(b)n(y)f(Chierc)n(hia)g(and)g(F)-7 b(alcolini)22 b(\([42)o(],)g([43)o(]\).)g(Comp)r(ensations)f(in)h(a)f(di\013eren)n(t) h(setting)287 1649 y(w)n(ere)k(also)h(in)n(v)n(estigated)f(in)i([64)o (].)287 1774 y(It)e(has)g(to)g(b)r(e)h(p)r(oin)n(ted)g(out)f(that)h (the)f FA(n)p FD(-b)r(o)r(dy)g(problem)g(do)r(es)g(not)h(fall)f(in)h (the)f(category)f(of)h(\\general)e(Hamiltonian)287 1873 y(systems")j(to)g(whic)n(h)h(KAM)g(theory)f(applies.)g(In)h(fact,)g(t)n (ypical)f FA(n)p FD(-b)r(o)r(dy)h(problems)f(are)g(strongly)f Fo(degenerate)h FD(from)287 1973 y(the)j(p)r(oin)n(t)f(of)h(view)f(of)g (KAM)h(theory)1503 1943 y Fy(6)1569 1973 y FD(and)f(this)h(is)f(the)h (\(tec)n(hnical\))f(reason)f(wh)n(y)h(-)g(as)g(men)n(tioned)h(ab)r(o)n (v)n(e)e(-)h(basic)287 2073 y(results)e(are)f(still)i(missing)f(in)h (the)g(mathematical)g(theory)e(of)i(the)g FA(n)p FD(-b)r(o)r(dy)f (problem.)287 2197 y(Ho)n(w)n(ev)n(er,)41 b(in)i(some)f(sp)r(ecial)h (instances)f(-)h(suc)n(h)f(as)h(the)g(Restricted)g(Circular)e(Planar)h (Three-Bo)r(dy)f(Problem)287 2297 y(\(R)n(CPTBP)-7 b(,)37 b(for)h(short\))g(-)g(the)h(non)f(degeneracy)f(assumptions)g(required)h (b)n(y)g(KAM)g(theory)g(are)f(indeed)i(satis-)287 2396 y(\014ed)e(\(the)h(R)n(CPTBP)e(is)i(iso-energetically)d(non)i (degenerate\))f(and)i(the)f(existence)g(of)h(quasi-p)r(erio)r(dic)e (solutions)287 2496 y(follo)n(ws)26 b(at)i(once)f(from)g(standard)g (KAM)g(theory)-7 b(.)27 b(A)h(natural)f(question)g(is)h(then:)287 2621 y Fo(can)k(one)g(establish)g(the)h(existence)f(of)g(quasi-p)r (erio)r(dic)g(motions)g(for)g(the)g(R)n(CPTBP)g(for)f(observ)n(ed)g(v) -5 b(alues)32 b(of)h(the)287 2720 y(astronomical)25 b(parameters)h(en)n (tering)h(in)n(to)g(the)h(problem?)287 2845 y FD(Suc)n(h)j(question,)f (to)h(whic)n(h)f(in)i(this)f(pap)r(er)f(will)h(b)r(e)g(giv)n(en)f(a)g (p)r(ositiv)n(e)h(answ)n(er,)e(will)i(b)r(e)g(discussed)g(in)g(the)g (coming)287 2944 y(sections.)p 287 2997 1493 4 v 379 3051 a Fn(3)414 3075 y FH(\\[)p Fl(\001)11 b(\001)g(\001)p FH(])22 b(Il)h(s'agit)f(main)n(tenan)n(t)h(de)g(reconna)-8 b(^)-27 b(\020)q(tre)23 b(si)f(ces)h(s)n(\023)-33 b(eries)22 b(son)n(t)h(con)n(v)n(ergen)n(tes.)h([)p Fl(\001)11 b(\001)h(\001)o FH(])22 b(Il)h(sem)n(ble)e(donc)j(p)r(ermis)d(de)i(conclure)g(que)g(le) 287 3153 y(s)n(\023)-33 b(eries)26 b(\(2\))h(ne)g(con)n(v)n(ergen)n(t)i (pas.)e(T)-6 b(outefois)27 b(les)f(raisonnemen)n(t)g(qui)h(pr)n(\023) -33 b(ec)n(\022)g(ede)28 b(ne)f(su\016t)f(pas)h(p)r(our)e(\023)-33 b(etablir)26 b(ce)h(p)r(oin)n(t)g(a)n(v)n(ec)h(une)f(rigueur)287 3232 y(compl)n(\022)-33 b(ete.)20 b([)p Fl(\001)11 b(\001)h(\001)o FH(])21 b(Ne)f(p)r(eut-il)h(pas)g(arriv)n(er)e(que)j(le)e(s)n(\023)-33 b(eries)20 b(\(2\))i(con)n(v)n(ergen)n(t)h(quand)f(on)f(donne)h(aux)f Fm(x)2948 3209 y Fk(o)2948 3255 y(i)3003 3232 y FH(certaines)g(v)l (aleurs)g(con)n(v)n(enablemen)n(t)287 3311 y(c)n(hoisies?)i([)p Fl(\001)11 b(\001)g(\001)p FH(])22 b(Les)g(raisonnemen)n(ts)h(de)g(ce)g (Chapitre)g(ne)g(me)e(p)r(ermetten)n(t)j(pas)e(d'a\016rmer)f(que)i(ce)g (fait)g(ne)g(se)f(pr)n(\023)-33 b(esen)n(tera)24 b(pas.)e(T)-6 b(out)23 b(ce)287 3390 y(qu'il)g(m'est)f(p)r(ermis)g(de)i(dire,)f (c'est)h(qu'il)f(est)h(fort)f(in)n(vraisem)n(blable.")f([116)q(],)h(T) -6 b(ome)23 b(I)r(I,)h(Chapitre)g(XI)r(I)r(I,)g(no.)g(146,)f(149.)379 3446 y Fn(4)414 3469 y FH(F)-6 b(undamen)n(tal)36 b(references)f(are:)g ([80],)f([4],)g([5],)g([109],)g([110)q(],)g([111],)h([71].)f(F)-6 b(or)35 b(texts)h(discussing)f(KAM)f(theory)i(and)g(celestial)287 3548 y(mec)n(hanics,)23 b(see,)h(e.g.,)f([125],)g([112])g(and)i([6].) 379 3604 y Fn(5)414 3627 y FH(See)f(also,)f([72)q(],)f([130)q(].)379 3683 y Fn(6)414 3707 y FH(A)29 b(t)n(ypical)h(\(classical\))f(result)g (in)g(KAM)f(theory)i(ma)n(y)f(b)r(e)g(form)n(ulated)g(as)g(follo)n(ws.) f Fj(Consider)g(a)i(nealy-in)n(tegrable)g(Hamiltonian)287 3785 y(system)i(go)n(v)n(erned)i(b)n(y)e(a)h(real-analytic)g (Hamiltonian)e(function)i Fm(H)5 b FH(\()p Fm(x;)12 b(y)r FH(;)f Fm(")p FH(\))35 b(:=)e Fm(H)2614 3794 y Fn(0)2649 3785 y FH(\()p Fm(y)r FH(\))23 b(+)e Fm("H)2930 3794 y Fn(1)2964 3785 y FH(\()p Fm(x;)12 b(y)r FH(\))33 b Fj(de\014ned)h(on)f(the)g(phase)g(space)287 3882 y Fl(M)g FH(:=)f Fp(T)567 3859 y Fk(d)623 3882 y Fl(\002)21 b Fm(B)35 b Fj(\()p Fm(B)g Fj(b)r(eing)d(a)g(ball)f(in)g Fp(R)1456 3859 y Fk(d)1498 3882 y Fj(\))h(endo)n(w)n(ed)h(with)f(the)g (standard)h(symplectic)e(form)2981 3824 y Fz(P)3069 3845 y Fk(d)3069 3912 y(j)s Fn(=1)3190 3882 y Fm(dx)3266 3892 y Fk(j)3320 3882 y Fl(^)21 b Fm(dy)3459 3892 y Fk(j)3491 3882 y Fj(.)31 b(Let)i Fm(y)3712 3891 y Fn(0)3779 3882 y Fl(2)g Fm(B)i Fj(b)r(e)287 3988 y(suc)n(h)c(that)i Fm(!)h FH(:=)d Fm(H)861 3964 y Fi(0)856 4010 y Fn(0)890 3988 y FH(\()p Fm(y)952 3997 y Fn(0)987 3988 y FH(\))h Fj(is)e(a)h(Diophan)n(tine)h(v)n(ector)g(\(i.e.,)e(there)i Fl(9)f Fm(\015)t(;)12 b(\034)40 b(>)31 b FH(0)g Fj(s.t.)g Fl(j)p Fm(!)22 b Fl(\001)e Fm(n)p Fl(j)31 b(\025)h Fm(\015)t Fl(j)p Fm(n)p Fl(j)3094 3964 y Fi(\000)p Fk(\034)3180 3988 y Fj(,)f Fl(8)f Fm(n)h Fl(2)h Fp(Z)3516 3964 y Fk(d)3546 3988 y Fl(nf)p FH(0)p Fl(g)p Fj(\))g(and)g(that)287 4076 y FH(det)13 b Fm(H)460 4052 y Fi(00)455 4098 y Fn(0)500 4076 y FH(\()p Fm(y)562 4085 y Fn(0)597 4076 y FH(\))32 b Fl(6)p FH(=)f(0)p Fj(.)g(Then,)g(there)g(exists)g Fm(")1461 4085 y Fn(0)1527 4076 y Fm(>)g FH(0)g Fj(suc)n(h)g(that)h(the)g(unp)r (erturb)r(ed)g(torus)e Fp(T)2792 4052 y Fk(d)2848 4076 y Fl(\002)21 b(f)p Fm(y)2994 4085 y Fn(0)3028 4076 y Fl(g)31 b Fj(can)h(b)r(e)f(analytically)g(con)n(tin)n(ued)287 4164 y(for)26 b Fl(j)p Fm(")p Fl(j)e Fm(<)i(")609 4173 y Fn(0)670 4164 y Fj(in)n(to)i(an)f(in)n(v)l(arian)n(t)h(torus)f(on)g (whic)n(h)h(the)g Fm(H)5 b Fj(-\015o)n(w)27 b(is)f(analytically)i (conjugated)h(to)f(the)g(linear)f(\015o)n(w)g Fm(\022)h Fl(2)d Fp(T)3645 4141 y Fk(d)3706 4164 y Fl(!)g Fm(\022)20 b FH(+)e Fm(!)r(t)p Fj(.)287 4243 y FH(The)35 b(condition)g(on)g(the)g (Hessian)f(matrix)f Fm(H)1575 4220 y Fi(00)1570 4265 y Fn(0)1616 4243 y FH(\()p Fm(y)1678 4252 y Fn(0)1712 4243 y FH(\))i(is)f(sometimes)e(referred)i(to)h(as)f(non-degeneracy)i (\(or)f(KAM)e(non-degeneracy\))287 4322 y(condition.)21 b(The)g(non-degeneracy)i(condition)e(ma)n(y)f(b)r(e)h(replaced)h(b)n(y) e(the)i(so-called)e Fj(iso-energetic)i(non-degeneracy)g(condition)p FH(,)g(namely)287 4434 y(the)34 b(requiremen)n(t)f(that)i(det)1093 4346 y Fz(\020)1154 4395 y Fm(H)1217 4372 y Fi(00)1212 4417 y Fn(0)1258 4395 y FH(\()p Fm(y)1320 4404 y Fn(0)1355 4395 y FH(\))71 b Fm(!)1245 4474 y(!)169 b FH(0)1511 4346 y Fz(\021)1596 4434 y Fl(6)p FH(=)36 b(0.)d(In)h(suc)n(h)g(a)g (case,)g(the)g(unp)r(erturb)r(ed)h(torus)e Fp(T)3085 4411 y Fk(d)3143 4434 y Fl(\002)22 b(f)p Fm(y)3290 4443 y Fn(0)3325 4434 y Fl(g)34 b FH(ma)n(y)e(b)r(e)i(analytically)287 4571 y(con)n(tin)n(ued)d(within)f(the)g Fj(\014xed)g(energy)h(lev)n(el) e Fm(H)1604 4548 y Fi(\000)p Fn(1)1687 4508 y Fz(\000)1725 4571 y Fm(H)1783 4580 y Fn(0)1817 4571 y FH(\()p Fm(y)1879 4580 y Fn(0)1914 4571 y FH(\))1941 4508 y Fz(\001)2009 4571 y FH(in)g(suc)n(h)h(a)g(w)n(a)n(y)g(that)h(the)f Fm(H)5 b FH(-\015o)n(w)30 b(is)e(analytically)i(conjugated)i(to)e(the) 287 4671 y(linear)21 b(\015o)n(w)h Fm(\022)f Fl(2)f Fp(T)803 4648 y Fk(d)858 4671 y Fl(!)f Fm(\022)13 b FH(+)e(\(1)h(+)g Fm(a)p FH(\))p Fm(!)r(t)p FH(,)22 b Fm(a)g FH(b)r(eing)g(a)g(small)d (real)i(n)n(um)n(b)r(er)g(dep)r(ending)i(\(analytically\))g(on)f Fm(")p FH(.)e(In)i(the)g(general)g(planetary)h Fm(n)p FH(-)287 4750 y(b)r(o)r(dy)f(problem,)e(the)i(Hamiltonian)e(of)h(the)h (in)n(tegrable)g(limit,)d Fm(H)2043 4759 y Fn(0)2078 4750 y FH(,)i(dep)r(ends)h(on)g Fm(y)2520 4760 y Fk(j)2573 4750 y FH(with)g Fm(j)h(<)c(d)p FH(;)i(th)n(us)h(the)g(non-degeneracy)i (conditions)287 4829 y(are)f(violated)i(in)e(the)i(whole)e(phase)i (space.)f(See,)g(e.g.,)f([6)o(].)g(A)g(recen)n(t)i(pap)r(er)f(where)g (the)g(non-degeneracy)i(conditions)f(are)e(w)n(eak)n(ened)j(is)287 4908 y([121].)2132 5492 y FD(4)p eop %%Page: 5 5 5 4 bop 287 -94 a Fv(1.2)112 b(A)51 b(stabilit)m(y)f(theorem)h(for)g (the)h(Sun-Jupiter-Victoria)e(system)h(view)m(ed)g(as)i(a)542 22 y(restricted,)36 b(circular,)g(planar)h(three-b)s(o)s(dy)i(problem) 287 175 y FD(W)-7 b(e)36 b(no)n(w)e(state)h(our)g(main)g(result.)g(By)g (de\014nition,)h(the)g Fo(restricted)e FD(three-b)r(o)r(dy)h(problem)g (consists)g(in)g(studying)287 275 y(the)e(di\013eren)n(tial)g(equation) f(obtained)g(from)h(\(1.1\))f(b)n(y)h(taking)f FA(n)g FD(=)f(3)i(and)f(setting)h(one)f(of)h(the)g(masses,)f(sa)n(y)g FA(m)3959 287 y Fy(2)3996 275 y FD(,)287 374 y(equal)38 b(to)g(zero.)f(In)i(suc)n(h)e(a)h(case,)g(the)h(equations)e(for)h(the)g (\\primary)f(b)r(o)r(dies")h(\()p FA(i)j FD(=)f(0)p FA(;)14 b FD(1\))38 b(decouple)g(from)g(the)287 474 y(equation)27 b(for)g(the)h(p)r(osition)f FA(u)1260 444 y Fy(\(2\))1376 474 y FD(of)h(the)g(\\minor")e(\(or)h(\\small"\))f(b)r(o)r(dy)-7 b(.)28 b(In)g(other)f(w)n(ords,)f(the)i(restricted)f(problem)287 574 y(consists)35 b(in)i(studying)f(the)h(motion)f(of)h(a)f(minor)g(b)r (o)r(dy)g(sub)5 b(ject)37 b(to)f(the)h(gra)n(vitational)d(\014eld)i (generated)g(b)n(y)g(the)287 673 y(motion)29 b(of)h(t)n(w)n(o)f (primary)f(b)r(o)r(dies,)i(whic)n(h)g(are)e(assumed)h(not)h(to)f(b)r(e) h(in\015uenced)h(b)n(y)e(the)h(gra)n(vitational)d(attraction)287 773 y(of)h(the)h(minor)e(b)r(o)r(dy)-7 b(.)29 b(The)g(R)n(CPTBP)d (consists)i(in)g(assuming)g(further)g(that)h(the)f(relativ)n(e)f (motion)h(of)h(the)f(primary)287 873 y(b)r(o)r(dies)34 b(is)h Fo(circular)e FD(and)h(that)h(the)g(motion)f(of)g(the)h(minor)f (b)r(o)r(dy)h(tak)n(es)e(place)h(on)g(the)h Fo(plane)f FD(generated)g(b)n(y)g(the)287 972 y(motion)23 b(of)h(the)g(primaries.) f(As)h(men)n(tioned)g(ab)r(o)n(v)n(e,)e(if)i FA(m)2097 984 y Fy(1)2135 972 y FA(=m)2250 984 y Fy(0)2310 972 y FD(is)g(small,)f(the)i(problem)e(b)r(ecomes)g(p)r(erturbativ)n(e)g (and)287 1072 y(can)33 b(b)r(e)i(describ)r(ed,)e(in)h(suitable)g(ph)n (ysical)f(units)h(and)g(using)g(classical)e(Delauna)n(y)h(action-angle) f(v)-5 b(ariables,)33 b(b)n(y)h(a)287 1171 y(nearly-in)n(tegrable)25 b(Hamiltonian)i(system)h(with)g(Hamiltonian)518 1385 y FA(H)7 b FD(\()p FA(`;)14 b(g)s(;)g(L;)g(G)p FD(;)g FA(")p FD(\))22 b(:=)g Ft(\000)1299 1329 y FD(1)p 1252 1366 136 4 v 1252 1442 a(2)p FA(L)1351 1418 y Fy(2)1415 1385 y Ft(\000)d FA(G)f FD(+)g FA("F)12 b FD(\()p FA(`;)i(g)s(;)g(L;)g (G)p FD(;)g FA(")p FD(\))26 b FA(;)97 b FD(\()p FA(`;)14 b(g)s(;)g(L;)g(G)p FD(\))23 b Ft(2)g(M)g FD(:=)f Fp(T)3131 1351 y Fy(2)3187 1385 y Ft(\002)c(f)p FD(0)k FA(<)g(G)i(<)e(L)p Ft(g)27 b FA(;)287 1597 y FD(where)k Fp(T)587 1567 y Fy(2)653 1597 y FD(:=)e Fp(R)824 1567 y Fy(2)867 1597 y FA(=)p FD(\(2)p FA(\031)s Fp(Z)1094 1567 y Fy(2)1126 1597 y FD(\))j(is)f(the)h(standard)e(2-torus)g(and)i(the)g(p)r (erturbation)f FA(F)43 b FD(is)32 b(a)f(real-analytic)e(function)j(on) 287 1697 y(the)f(phase)f(space)g Ft(M)g FD(endo)n(w)n(ed)f(with)j(the)e (standard)g(symplectic)h(form)f FA(d`)20 b Ft(^)h FA(dL)f FD(+)g FA(dg)j Ft(^)e FA(dG)p FD(;)31 b(here)f(the)h(constan)n(t)287 1796 y(distance)f(b)r(et)n(w)n(een)g(the)h(primaries)e(and)h(their)g (total)g(mass)g(\()p FA(m)2328 1808 y Fy(0)2386 1796 y FD(+)19 b FA(m)2543 1808 y Fy(1)2580 1796 y FD(\))31 b(are)e(normalized)h(to)g(one;)g FA(")g FD(is)g(essen)n(tially)287 1896 y FA(m)360 1908 y Fy(1)430 1896 y FD(\(the)j(mass)f(of)h(the)g (smaller)f(primary)f(b)r(o)r(dy\))i(and)g(the)g(p)r(erio)r(d)g(of)f (the)h(circular)f(motion)g(of)h(the)g(primaries)e(is)287 1995 y(normalized)24 b(to)h(2)p FA(\031)s FD(.)g(The)h(Delauna)n(y)e(v) -5 b(ariables)24 b(are)g(thoroughly)g(discussed)h(in)h(a)e(self-con)n (tained)h(w)n(a)n(y)f(in)h Ft(x)g FD(3.1)p Ft(\004)p FD(3.3)287 2095 y(b)r(elo)n(w)495 2065 y Fy(7)532 2095 y FD(.)287 2219 y(Next,)f(w)n(e)g(select)g(a)g(R)n(CPTBP)f(mo)r(deling) h(the)h(motion)e(of)i(an)f(asteroid)e(in)j(our)e(Solar)g(System.)i(As)f (primary)f(b)r(o)r(dies,)287 2319 y(w)n(e)28 b(consider)f(the)i(ma)5 b(jor)27 b(b)r(o)r(dies)h(of)g(our)g(Solar)f(system,)h(namely)-7 b(,)28 b(Sun)h(and)f(Jupiter.)g(As)g(small)g(b)r(o)r(dy)h(w)n(e)f(pic)n (k)f(an)287 2418 y(asteroid)g(from)i(the)g(Asteroidal)f(Belt,)h(namely) -7 b(,)29 b(the)g(asteroid)e(12)h(Victoria)g(\(the)i(n)n(um)n(b)r(er)e (refers)g(to)h(the)g(standard)287 2518 y(classi\014cation)d(of)i (asteroidal)d(ob)5 b(jects;)28 b(see,)f(e.g.,)g([133)o(]\).)h(The)g (observ)n(ed)e(astronomical)f(data)i(of)h(Victoria)f(are)3858 2488 y Fy(8)1502 2697 y FA(a)1546 2709 y Fy(V)1623 2697 y Ft(')22 b FD(0)p FA(:)p FD(449)k FA(;)346 b(e)2335 2709 y Fy(V)2412 2697 y FD(=)p Ft(')22 b FD(0)p FA(:)p FD(220)k FA(;)1044 b FD(\(1.2\))287 2876 y(where)28 b FA(a)572 2888 y Fy(V)654 2876 y FD(and)g FA(e)855 2888 y Fy(V)937 2876 y FD(denote,)h(resp)r(ectiv)n(ely)-7 b(,)27 b(the)i(ma)5 b(jor)27 b(semi-axis)g(\(divided)i(b)n(y)f(the)h (ma)5 b(jor)27 b(semi-axis)g(of)h(Jupiter\))287 2975 y(and)f(the)h(eccen)n(tricit)n(y)f(of)g(the)h(osculating)f(Keplerian)f (ellipse)i(on)f(whic)n(h)h(Victoria)f(is)g(observ)n(ed)f(to)i(mo)n(v)n (e.)287 3099 y(Considering)h(the)h(system)g(Sun-Jupiter-Victoria)f(as)g (a)h(R)n(CPTBP)f(in)n(v)n(olv)n(es,)f(clearly)-7 b(,)29 b(a)h(lot)g(of)g(ph)n(ysical)f(appro)n(x-)287 3199 y(imations:)39 b(the)i(Sun-Jupiter)f(orbit)f(is)h(assumed)g(to)g(b)r(e)g(circular)f (\(while)h(the)h(observ)n(ed)d(osculating)h(orbit)h(is)g(a)287 3298 y(Keplerian)22 b(ellipse)h(of)h(eccen)n(tricit)n(y)e(4)p FA(:)p FD(82)10 b Ft(\001)g FD(10)1709 3268 y Fx(\000)p Fy(2)1796 3298 y FD(\);)23 b(the)h(gra)n(vitational)d(attraction)h(of)i (all)f(other)f(Solar)h(System)g(b)r(o)r(dies)287 3398 y(are)33 b(neglected)g(\(most)h(notably)-7 b(,)33 b(the)i(attraction)d (of)i(Mars)f(and)g(Saturn\);)h(the)g(orbit)g(of)g(Victoria)e(is)i (assumed)f(to)287 3498 y(b)r(e)c(co-planar)d(with)j(the)f(Sun-Jupiter)g (plane)h(\(while)f(the)h(observ)n(ed)e(relativ)n(e)g(inclination)h(is)g (ab)r(out)h(1)p FA(:)p FD(961)17 b Ft(\001)i FD(10)3876 3467 y Fx(\000)p Fy(2)3964 3498 y FD(\);)287 3597 y(the)29 b(shap)r(e)f(and)g(extension)g(of)g(the)h(b)r(o)r(dies)f(are)f(not)i (tak)n(en)e(in)n(to)h(accoun)n(t)g(\(in)h(particular,)e(asteroids)f (are)i(t)n(ypically)287 3697 y(far)f(from)g(b)r(eing)h(spherical)f (and,)g(therefore,)g(far)g(from)h(b)r(eing)f(w)n(ell)h(appro)n(ximated) e(b)n(y)h(p)r(oin)n(t)h(masses\);)f(dissipativ)n(e)287 3796 y(phenomena)g(are)g(neglected)g(\(tides,)h(solar)e(winds,)i(Y)-7 b(ark)n(o)n(vsky)25 b(e\013ect,...\).)p 287 3848 1493 4 v 379 3902 a Fn(7)414 3925 y FH(A)e(brief)g(summary:)e(denote)k(b)n (y)f Fm(P)1351 3934 y Fn(0)1409 3925 y FH(and)g Fm(P)1591 3934 y Fn(1)1649 3925 y FH(the)h(t)n(w)n(o)f(primary)e(b)r(o)r(dies)i (and)g(b)n(y)g Fm(P)2673 3934 y Fn(2)2731 3925 y FH(the)g(minor)e(b)r (o)r(dy)-6 b(.)24 b(Then:)287 4004 y(\(i\))c(The)h(angle)f Fm(`)g FH(is)f(the)i(mean-anomaly)e(of)g(the)i(osculating)g(ellipse)f (asso)r(ciated)h(to)g(the)f(t)n(w)n(o-b)r(o)r(dy)h(problem)e Fm(P)3295 4013 y Fn(0)3330 4004 y FH(-)p Fm(P)3399 4013 y Fn(2)3452 4004 y FH(\(the)j(\\ma)t(jor-minor)287 4083 y(b)r(o)r(dy")d(or)g(\\Star-asteroid")g(system\);)f Fm(g)k FH(=)d Fm(\015)10 b Fl(\000)c Fm( )r FH(,)18 b(where)h Fm(\015)k FH(is)18 b(the)h(argumen)n(t)g(of)f(the)i(p)r(erihelion)e(of) h(the)g(osculating)h(ellipse)e Fm(P)3699 4092 y Fn(0)3733 4083 y FH(-)p Fm(P)3802 4092 y Fn(2)3854 4083 y FH(\(with)287 4162 y(resp)r(ect)26 b(to)g(an)g(inertial,)e(\\helio)r(cen)n(tric")j (frame)c(with)j(origin)f(coinciding)g(with)h(the)g(p)r(osition)g(of)f Fm(P)3013 4171 y Fn(0)3047 4162 y FH(\),)g(and)h Fm( )i FH(is)c(the)j(longitude)f(of)f(the)287 4241 y(\\planet")e Fm(P)616 4250 y Fn(1)650 4241 y FH(,)f(that,)g(ha)n(ving)h(normalized)d (the)j(p)r(erio)r(d)f(of)f(the)i(motion)e(of)h(the)g(primaries)d(and)k (their)e(total)i(masses)e(to)h(1,)f(coincides)i(with)287 4320 y(the)h(time)e Fm(t)p FH(.)h(The)g(action)h(v)l(ariables)f(are)g (giv)n(en)g(b)n(y)g Fm(L)d FH(=)1822 4271 y Fl(p)p 1881 4271 38 3 v 49 x Fm(a)k FH(and)f Fm(G)d FH(=)f Fm(L)2275 4264 y Fl(p)p 2334 4264 189 3 v 56 x FH(1)d Fl(\000)f Fm(e)2488 4301 y Fn(2)2523 4320 y FH(,)22 b(where)h Fm(a)h FH(and)f Fm(e)g FH(are,)f(resp)r(ectiv)n(ely)-6 b(,)24 b(the)g(semi-ma)t(jor)287 4398 y(axis)f(and)i(the)f(eccen)n(tricit)n(y) i(of)d(the)h(osculating)h Fm(P)1644 4407 y Fn(0)1678 4398 y FH(-)p Fm(P)1747 4407 y Fn(2)1805 4398 y FH(ellipse.)287 4492 y(\(ii\))f(The)g(p)r(erturbativ)n(e)h(parameter)f Fm(")f FH(is)h(de\014ned)h(as)f Fm(m)1814 4501 y Fn(1)1849 4492 y Fm(=m)1946 4457 y Fn(2)p Fk(=)p Fn(3)1946 4515 y(0)2043 4492 y FH(,)g(whic)n(h)g(together)i(with)e(the)h (normalization)e(condition)i Fm(m)3670 4501 y Fn(0)3721 4492 y FH(+)16 b Fm(m)3854 4501 y Fn(1)3909 4492 y FH(=)k(1)287 4582 y(yields)j Fm(m)547 4591 y Fn(1)602 4582 y FH(=)c Fm(")d Fl(\000)805 4555 y Fn(2)p 805 4567 31 4 v 805 4608 a(3)846 4582 y Fm(")879 4559 y Fn(2)928 4582 y FH(+)1009 4555 y Fn(1)p 1009 4567 V 1009 4608 a(3)1049 4582 y Fm(")1082 4559 y Fn(3)1132 4582 y FH(+)g Fl(\001)11 b(\001)g(\001)p FH(,)23 b(suc)n(h)h(series)f(ha)n(ving)i(radius)e(of)g(con)n(v)n (ergence)j(greater)f(than)f(one.)287 4678 y(\(iii\))i(Setting)i Fm(x)713 4654 y Fn(\()p Fk(i)p Fn(\))811 4678 y FH(=)c Fm(u)931 4654 y Fn(\()p Fk(i)p Fn(\))1023 4678 y Fl(\000)17 b Fm(u)1136 4654 y Fn(\(0\))1218 4678 y FH(,)26 b(the)i(p)r (erturbation)f Fm(F)36 b FH(is)25 b(the)j(function)f Fm(x)2403 4654 y Fn(\(2\))2503 4678 y Fl(\001)17 b Fm(x)2580 4654 y Fn(\(1\))2680 4678 y Fl(\000)g(j)p Fm(x)2812 4654 y Fn(\(2\))2911 4678 y Fl(\000)h Fm(x)3024 4654 y Fn(\(1\))3106 4678 y Fl(j)3126 4654 y Fi(\000)p Fn(1)3234 4678 y FH(expressed)28 b(in)e(terms)f(of)h(the)287 4773 y(Delauna)n(y)e(v)l(ariables;)g Fm(x)952 4750 y Fn(\(1\))1057 4773 y FH(b)r(eing,)g(simply)-6 b(,)22 b(the)i(relativ)n(e)g(circular)f(motion)g(of)h Fm(P)2499 4782 y Fn(1)2533 4773 y FH(:)f Fm(x)2616 4750 y Fn(\(1\))2718 4773 y FH(=)2792 4710 y Fz(\000)2842 4773 y FH(cos)q(\()p Fm(t)2989 4782 y Fn(0)3040 4773 y FH(+)16 b Fm(t)p FH(\))p Fm(;)c FH(sin\()p Fm(t)3334 4782 y Fn(0)3385 4773 y FH(+)j Fm(t)p FH(\))3507 4710 y Fz(\001)3546 4773 y FH(.)379 4838 y Fn(8)414 4862 y FH(The)29 b(data)g(are)g(tak)n(en,)g(also,)f(from)e(the)k(NASA)e(site)g ([133)q(].)f(The)i(c)n(hoice)h(of)e(Victoria)g(is,)f(ob)n(viously)-6 b(,)29 b(rather)g(arbitrary;)e(w)n(e)i(only)287 4941 y(remark)20 b(that)j(w)n(e)e(did)h(not)g(w)n(an)n(t)h(to)f(consider)f (the)i(eccen)n(tricit)n(y)g(as)f(a)f(further)h(smallness)d(parameter)i (\(comparable)h(to)g(the)h(disregarded)287 5020 y(ph)n(ysical)h(quan)n (tities;)g(see)g(b)r(elo)n(w\).)2132 5492 y FD(5)p eop %%Page: 6 6 6 5 bop 287 -94 a FD(In)31 b(considering)f(Sun-Jupiter-Victoria)g(as)h (a)g(three-b)r(o)r(dy)g(problem)g(w)n(e)g(mak)n(e)f(a)h(further)g (appro)n(ximation,)f(ph)n(ys-)287 5 y(ically)39 b(consisten)n(t)h(with) g(the)h(already)d(made)i(appro)n(ximations:)e Fo(w)n(e)i(replace)f(the) h(p)r(erturbation)f FA(F)52 b Fo(with)41 b(an)f FA(")p Fo(-)287 105 y(indep)r(enden)n(t)28 b(trigonometric)e(p)r(olynomial)h FA(H)1772 117 y Fy(1)1837 105 y Fo(of)h(degree)e(ten)i FD(obtained)g(b)n(y)f(expanding)g(in)h(p)r(o)n(w)n(er)e(of)1427 326 y FA(a)d FD(:=)g FA(L)1662 292 y Fy(2)1864 326 y FD(and)332 b FA(e)23 b FD(:=)2503 192 y Fz(r)p 2586 192 266 4 v 134 x FD(1)18 b Ft(\000)2739 270 y FA(G)2804 246 y Fy(2)p 2739 307 103 4 v 2743 383 a FA(L)2800 359 y Fy(2)3848 326 y FD(\(1.3\))287 510 y(the)35 b(p)r(erturbation)f FA(F)47 b FD(and)35 b(retaining)e(those)i(terms)f(whic)n(h)h(are)f (\\quan)n(titativ)n(ely)f(compatible")h(with)h(the)h(ab)r(o)n(v)n(e)287 609 y(appro)n(ximations;)25 b(the)j(trigonometric)e(p)r(olynomial)h(th) n(us)h(obtained)f(is:)477 814 y FA(H)546 826 y Fy(1)666 814 y FD(:=)83 b Ft(\000)902 721 y Fz(\020)951 814 y FD(1)18 b(+)1104 757 y FA(a)1148 727 y Fy(2)p 1104 794 82 4 v 1124 870 a FD(4)1213 814 y(+)1327 757 y(9)p 1306 794 84 4 v 1306 870 a(64)1413 814 y FA(a)1457 779 y Fy(4)1513 814 y FD(+)1606 757 y(3)p 1606 794 42 4 v 1606 870 a(8)1685 814 y FA(a)1729 779 y Fy(2)1766 814 y FA(e)1805 779 y Fy(2)1842 721 y Fz(\021)1910 814 y FD(+)1993 721 y Fz(\020)2052 757 y FD(1)p 2052 794 V 2052 870 a(2)2122 814 y(+)2236 757 y(9)p 2215 794 84 4 v 2215 870 a(16)2308 814 y FA(a)2352 779 y Fy(2)2389 721 y Fz(\021)2467 814 y FA(a)2511 779 y Fy(2)2548 814 y FA(e)41 b FD(cos)13 b FA(`)18 b Ft(\000)2889 721 y Fz(\020)2949 757 y FD(3)p 2949 794 42 4 v 2949 870 a(8)3014 814 y FA(a)3058 779 y Fy(3)3114 814 y FD(+)3207 757 y(15)p 3207 794 84 4 v 3207 870 a(64)3300 814 y FA(a)3344 779 y Fy(5)3381 721 y Fz(\021)3458 814 y FD(cos)o(\()p FA(`)g FD(+)g FA(g)s FD(\))837 1013 y(+)902 921 y Fz(\020)961 957 y FD(9)p 961 994 42 4 v 961 1070 a(4)1031 1013 y(+)1124 957 y(5)p 1124 994 V 1124 1070 a(4)1175 1013 y FA(a)1219 979 y Fy(2)1256 921 y Fz(\021)1334 1013 y FA(a)1378 979 y Fy(2)1415 1013 y FA(e)41 b FD(cos)o(\()p FA(`)18 b FD(+)g(2)p FA(g)s FD(\))g Ft(\000)1992 921 y Fz(\020)2052 957 y FD(3)p 2052 994 V 2052 1070 a(4)2117 1013 y FA(a)2161 979 y Fy(2)2217 1013 y FD(+)2330 957 y(5)p 2310 994 84 4 v 2310 1070 a(16)2416 1013 y FA(a)2460 979 y Fy(4)2498 921 y Fz(\021)2575 1013 y FD(cos)o(\(2)c FA(`)k FD(+)g(2)c FA(g)s FD(\))j Ft(\000)3151 957 y FD(3)p 3151 994 42 4 v 3151 1070 a(4)3217 1013 y FA(a)3261 979 y Fy(2)3298 1013 y FA(e)27 b FD(cos)o(\(3)14 b FA(`)k FD(+)g(2)c FA(g)s FD(\))837 1213 y Ft(\000)902 1121 y Fz(\020)961 1157 y FD(5)p 961 1194 V 961 1270 a(8)1026 1213 y FA(a)1070 1179 y Fy(3)1126 1213 y FD(+)1239 1157 y(35)p 1219 1194 125 4 v 1219 1270 a(128)1367 1213 y FA(a)1411 1179 y Fy(5)1448 1121 y Fz(\021)1525 1213 y FD(cos\(3)g FA(`)j FD(+)h(3)c FA(g)s FD(\))k Ft(\000)2102 1157 y FD(35)p 2102 1194 84 4 v 2102 1270 a(64)2209 1213 y FA(a)2253 1179 y Fy(4)2318 1213 y FD(cos)o(\(4)c FA(`)j FD(+)h(4)c FA(g)s FD(\))k Ft(\000)2915 1157 y FD(63)p 2894 1194 125 4 v 2894 1270 a(128)3042 1213 y FA(a)3086 1179 y Fy(5)3151 1213 y FD(cos)o(\(5)c FA(`)k FD(+)g(5)c FA(g)s FD(\))27 b FA(;)181 b FD(\(1.4\))287 1397 y(where)27 b FA(a)g FD(and)h FA(e)f FD(are)g(the)h(action)f(v)-5 b(ariable)26 b(functions)i(de\014ned)g(in)g(\(1.3\).)287 1516 y(Th)n(us,)d(the)h(motion)f(of)g(the)h(asteroid)e(Victoria,)g(in)i (the)g(framew)n(ork)d(of)i(the)h(R)n(CPTBP)-7 b(,)24 b(is)h(go)n(v)n(erned)f(b)n(y)h(the)g(Hamil-)287 1615 y(tonian)p 800 1667 76 4 v 800 1733 a FA(H)875 1745 y Fy(SJV)1000 1733 y FD(\()p FA(`;)14 b(g)s(;)g(L;)g(G)p FD(\))22 b(:=)h Ft(\000)1629 1677 y FD(1)p 1583 1714 136 4 v 1583 1790 a(2)p FA(L)1682 1766 y Fy(2)1746 1733 y Ft(\000)18 b FA(G)h FD(+)f FA(")2025 1754 y Fs(SJ)2093 1733 y FA(H)2162 1745 y Fy(1)2199 1733 y FD(\()p FA(`;)c(g)s(;)g(L;)g (G)p FD(\))27 b FA(;)180 b(")2833 1754 y Fs(SJ)2924 1733 y FD(:=)22 b(0)p FA(:)p FD(954)17 b Ft(\001)h FD(10)3367 1699 y Fx(\000)p Fy(3)3483 1733 y FA(;)342 b FD(\(1.5\))287 1894 y(where)22 b(the)i(v)-5 b(alue)23 b FA(")900 1915 y Fs(SJ)990 1894 y FD(is)g(the)h(observ)n(ed)d(v)-5 b(alue)23 b(of)g(the)g(ratio)f(of)h(the)g(masses)f(of)h(Jupiter)g(and)g(the)g (Sun)h(\(in)f(our)f(system)287 1994 y(of)27 b(units\).)287 2113 y(In)21 b(view)h(of)f(\(1.2\))g(and)g(\(1.3\))h(w)n(e)f Fo(de\014ne)g FD(the)h(osculating)f(v)-5 b(alues)21 b(of)g(the)h (actions)e FA(L)h FD(and)h FA(G)f FD(for)g(the)h(observ)n(ed)e (Victoria)287 2213 y(motion)27 b(as)1166 2328 y FA(L)1223 2340 y Fy(V)1299 2328 y FD(:=)c(0)p FA(:)p FD(670)e Ft(')1710 2270 y(p)p 1779 2270 98 4 v 58 x FA(a)1823 2340 y Fy(V)1904 2328 y FA(;)180 b(G)2172 2340 y Fy(V)2250 2328 y FD(:=)23 b(0)p FA(:)p FD(654)e Ft(')h FA(L)2717 2340 y Fy(V)2771 2228 y Fz(q)p 2854 2228 236 4 v 100 x FD(1)c Ft(\000)g FA(e)3036 2299 y Fy(2)3036 2352 y(V)3117 2328 y FA(:)708 b FD(\(1.6\))287 2473 y(Finally)-7 b(,)27 b(w)n(e)h(also)e(de\014ne)i (the)g Fo(energy)e(v)-5 b(alue)28 b FD(asso)r(ciated)e(to)i(the)g (observ)n(ed)e(Victoria)g(motion)i(as)p 1874 2562 67 4 v 1874 2629 a FA(E)1940 2641 y Fy(V)2017 2629 y FD(:=)23 b Ft(\000)p FD(1)p FA(:)p FD(769)i(;)287 2784 y(suc)n(h)d(v)-5 b(alue)23 b(is)g(obtained)f(b)n(y)h(adding)f(to)h(the)g(Keplerian)f (limiting)h(energy)f Ft(\000)2766 2752 y Fy(1)p 2721 2766 125 4 v 2721 2815 a(2)p Fw(L)2800 2795 y Fs(2)2800 2837 y(V)2864 2784 y Ft(\000)9 b FA(G)3003 2796 y Fy(V)3080 2784 y FD(the)23 b(\\secular")e(con)n(tribution)287 2903 y(giv)n(en)27 b(b)n(y)g FA(")648 2924 y Fs(SJ)743 2903 y FD(times)h(the)g(a)n(v)n(erage)d(o)n(v)n(er)h(the)i(angles)e(of)i FA(H)2140 2915 y Fy(1)2205 2903 y FD(ev)-5 b(aluated)27 b(on)g(the)h(osculating)f(actions)g FA(L)3566 2915 y Fy(V)3647 2903 y FD(and)g FA(G)3873 2915 y Fy(V)3928 2903 y FD(.)287 3022 y(Denote)41 b(b)n(y)g FA(\036)763 2992 y Fw(t)834 3022 y FD(the)h(\015o)n(w)f(go)n(v)n(erned)e(b)n(y)i (the)g(Sun-Jupiter-Victoria)f(Hamiltonian)p 3104 2955 76 4 v 41 w FA(H)3180 3034 y Fy(SJV)3346 3022 y FD(in)i (\(1.5\)-\(1.4\),)e(i.e.,)287 3122 y(\()p FA(z)358 3134 y Fy(0)395 3122 y FA(;)14 b(t)p FD(\))23 b Ft(2)h(M)18 b(\002)g Fp(R)29 b Ft(!)23 b FA(\036)1035 3091 y Fw(t)1065 3122 y FD(\()p FA(z)1136 3134 y Fy(0)1173 3122 y FD(\))g Ft(2)g(M)28 b FD(is)f(the)h(unique)g(function)g(satisfying)f(the)h(ODE) 1301 3264 y FA(d)p 1286 3301 74 4 v 1286 3377 a(dt)1370 3320 y(\036)1419 3286 y Fw(t)1448 3320 y FD(\()p FA(z)1519 3332 y Fy(0)1556 3320 y FD(\))c(=)e FA(J)g Ft(r)p 1836 3254 76 4 v FA(H)1912 3332 y Fy(SJV)2055 3320 y Ft(\016)c FA(\036)2164 3286 y Fw(t)2194 3320 y FD(\()p FA(z)2265 3332 y Fy(0)2302 3320 y FD(\))28 b FA(;)180 b(\036)2614 3286 y Fy(0)2652 3320 y FD(\()p FA(z)2723 3332 y Fy(0)2760 3320 y FD(\))23 b(=)g FA(z)2942 3332 y Fy(0)3006 3320 y FA(;)287 3562 y FD(where)i FA(J)34 b FD(is)26 b(the)h(standard)e(\(4) 15 b Ft(\002)g FD(4\))26 b(symplectic)g(matrix)2118 3445 y Fz(\022)2226 3512 y FD(0)116 b FA(I)2193 3612 y Ft(\000)p FA(I)91 b FD(0)2441 3445 y Fz(\023)2528 3562 y FD(and)26 b FA(z)2727 3574 y Fy(0)2787 3562 y FD(:=)c(\()p FA(`)2964 3574 y Fy(0)3002 3562 y FA(;)14 b(g)3079 3574 y Fy(0)3115 3562 y FA(;)g(L)3209 3574 y Fy(0)3246 3562 y FA(;)g(G)3348 3574 y Fy(0)3385 3562 y FD(\))27 b(is)f(a)f(p)r(oin)n(t)i(in)f(the)287 3707 y(phase)h(space)g Ft(M)p FD(.)g(The)h(main)f(result)h(of)f(this)h (pap)r(er)f(ma)n(y)g(b)r(e)h(shortly)f(describ)r(ed)g(as)g(follo)n(ws.) 287 3862 y FB(Theorem)j(1.1)41 b Fh(One)29 b(c)l(an)h(c)l(onstruct,)f (on)h(the)g(thr)l(e)l(e-dimensional)h(ener)l(gy)f(level)1207 4018 y Ft(S)p 1257 3996 52 4 v 28 x Fw(E)1309 4054 y Fs(V)1382 4018 y FD(=)1470 3951 y Fz(\010)1518 4018 y FD(\()p FA(`;)14 b(g)s(;)g(L;)g(G)p FD(\))22 b Ft(2)i(M)e FD(:)p 2192 3951 76 4 v 53 w FA(H)2268 4030 y Fy(SJV)2393 4018 y FD(\()p FA(`;)14 b(g)s(;)g(L;)g(G)p FD(\))22 b(=)p 2878 3951 67 4 v 23 w FA(E)2944 4030 y Fy(V)2998 3951 y Fz(\011)3076 4018 y FA(;)287 4184 y Fh(a)27 b FA(\036)405 4154 y Fw(t)435 4184 y Fh(-invariant)h(r)l(e)l(gion)g Ft(J)15 b Fh(,)28 b(whose)g(b)l(oundary)g(is)g(given)g(by)g(two)f(KAM)g (tori)h(and)g(whose)g(interior)g(c)l(ontains)g(the)f(set)925 4268 y Fz(n)980 4360 y FD(\()p FA(`;)14 b(g)s(;)g(L;)g(G)p FD(\))23 b Ft(2)g(S)p 1506 4338 52 4 v 28 x Fw(E)1558 4396 y Fs(V)1631 4360 y FD(:)53 b Ft(j)p FA(L)18 b Ft(\000)g FA(L)1945 4372 y Fy(V)1999 4360 y Ft(j)23 b FA(<)f FD(0)p FA(:)p FD(0015)28 b FA(;)183 b Ft(j)p FA(G)19 b Ft(\000)f FA(G)2854 4372 y Fy(V)2908 4360 y Ft(j)23 b FA(<)g FD(0)p FA(:)p FD(0059)3275 4268 y Fz(o)3358 4360 y FA(:)287 4546 y Fh(A)29 b(similar)i(statement)e(holds)i(if)g FA(")1361 4566 y Fs(SJ)1458 4546 y Fh(is)f(r)l(eplac)l(e)l(d)h(by)g(any)f(c)l (omplex)g(p)l(erturb)l(ative)g(p)l(ar)l(ameter)h FA(")e Fh(with)h Ft(j)p FA(")p Ft(j)23 b(\024)g FD(10)3817 4515 y Fx(\000)p Fy(3)3905 4546 y Fh(.)287 4701 y FD(In)28 b(other)f(w)n(ords,)f(the)i(ev)n(olution)e(of)i(astronomical)e(data)h (close)f(to)i(the)g(astronomical)d(observ)n(ed)h(data)h(of)h(Victoria,) 287 4801 y(lie)37 b(forev)n(er)f(on)h(nearly)g(Keplerian)f(orbits)h(ha) n(ving)f(ma)5 b(jor)36 b(semi-axis)g(and)i(eccen)n(tricit)n(y)e(close)h (to)g(the)h(observ)n(ed)287 4900 y(osculating)26 b(data)h FA(a)912 4912 y Fy(V)994 4900 y FD(and)g FA(e)1194 4912 y 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FD(\))i(in)f(the)g(symplectic)g(phase)f(space)h(for)f(the)h(em)n(b)r (edding)g(functions)g(of)g(a)g(KAM)g(torus.)f(No)h(use)f(of)h (symplectic)287 578 y(transformations)35 b(is)i(made,)h(nor)e(the)i (system)f(is)g(required)f(to)h(b)r(e)h(nearly-in)n(tegrable:)d(the)j (metho)r(d)f(consists)g(in)287 678 y(pro)n(viding)30 b(a)i(quan)n(titativ)n(e)f(algorithm)g(apt)h(to)g(detect)g(solutions)f (for)h(the)g(KAM)g(tori)g(equations)f(in)h(the)g(vicinit)n(y)287 777 y(of)38 b(appro)n(ximate)e(solutions)h(\(on)h(\014xed)g(energy)f (lev)n(els\).)g(The)h(metho)r(d)h(w)n(e)e(presen)n(t)h(extends)g (easily)f(to)h(general)287 877 y(symplectic)25 b(manifolds)f(endo)n(w)n (ed)g(with)h(general)e(symplectic)i(forms.)f(Ho)n(w)n(ev)n(er,)f(w)n(e) h(refrain)g(to)h(presen)n(t)f(the)h(theory)287 977 y(in)c(suc)n(h)g (generalit)n(y)f(ha)n(ving)h(in)g(mind)h(the)g(concrete)e(application)h (to)g(the)h(three)f(b)r(o)r(dy)h(problem.)f(The)g(KAM)h(metho)r(d)287 1076 y(presen)n(ted)27 b(here)g(is)g(an)h(ev)n(olution)e(of)i(the)g (KAM)g(theory)e(w)n(ork)n(ed)g(out)i(in)g Ft(x)f FD(4)h(of)2856 1046 y Fy(9)2920 1076 y FD([25)o(].)287 1197 y(Roughly)d(sp)r(eaking,)f (the)i(basic)f(idea)g(is,)g(essen)n(tially)-7 b(,)25 b(the)g(one)g(b)r(ey)n(ond)h(an)n(y)e(constructiv)n(e)g(implicit)j (function)f(theo-)287 1297 y(rem:)d(one)h(starts)f(with)h(an)f(appro)n (ximate)g(\\non)g(degenerate")f(solution)h(and)h(applies)f(a)g(theorem) h(whic)n(h)f(guaran)n(tees)287 1396 y(that)30 b(if)h(the)g(appro)n (ximate)e(solution)h(is)g(\\go)r(o)r(d)f(enough",)g(then)i(near-b)n(y)e (there)h(exists)g(a)g(\(unique\))h(true)g(solution.)287 1496 y(In)k(order)g(to)g(get)g(e\013ectiv)n(e)g(quan)n(titativ)n(e)g (estimates,)g(it)h(is)g(imp)r(ortan)n(t)f(that)g(the)h(appro)n(ximate)e (solution)h(is)g Fo(not)287 1596 y FD(the)26 b(trivial)f(one)g(\(while) h(in)g(standard)e(KAM)i(statemen)n(ts)f(one)g(constructs)g(in)n(v)-5 b(arian)n(t)24 b(tori)h(as)g(con)n(tin)n(uations)f(of)i(the)287 1695 y(unp)r(erturb)r(ed)i(ones;)f(see,)g(for)g(instance,)h(the)g (classical)e(form)n(ulation)h(in)g(fo)r(otnote)h(6\).)287 1816 y(Once)35 b(the)h(KAM)g(mac)n(hinery)f(is)g(w)n(ork)n(ed)f(out)i (\(this)g(is)g(done)f(in)h Ft(x)g FD(2\),)f(the)i(problem)e(b)r(ecomes) g(to)h(\014nd)g(\\go)r(o)r(d")287 1916 y(appro)n(ximate)e(solutions,)i (to)g(whic)n(h)g(the)h(KAM)f(theory)f(of)i Ft(x)f FD(2)g(is)g (applicable.)f(In)i(view)f(of)g(the)h(app)r(earance)d(of)287 2015 y(resonances)j(and)h(small)g(divisors,)g(the)h(problem)f(of)h (constructing)e(appro)n(ximate)g(in)n(v)-5 b(arian)n(t)38 b(tori,)g(ev)n(en)g(from)h(a)287 2115 y(n)n(umerical)33 b(p)r(oin)n(t)g(of)h(view,)f(is)h(w)n(ell)f(kno)n(wn)g(to)g(b)r(e)h(a)f (di\016cult)h(one)g(\(see,)f(e.g.,)g([67)o(],)h([66)o(],)g([17)o(],)g ([41)o(],)g([74)o(],)f([126)o(],)287 2214 y([129)n(]\).)287 2335 y(T)-7 b(o)28 b(describ)r(e)g(the)h(strategy)f(follo)n(w)n(ed)f (in)i(this)g(pap)r(er,)g(let)g(us)f(denote)h(b)n(y)f FA(\022)f Ft(2)e Fp(T)2854 2305 y Fw(d)2917 2335 y Ft(!)g FA(Z)3088 2305 y Fx(\006)3144 2335 y FD(\()p FA(\022)r FD(\))g Ft(2)h(M)i FD(the)h(em)n(b)r(edding)287 2435 y(functions)e(of)g(the)g(t)n(w)n(o)f(KAM)h(tori)f Ft(T)1488 2405 y Fy(+)1570 2435 y FD(and)h Ft(T)1797 2405 y Fx(\000)1880 2435 y FD(forming)f(the)h(\(\\upp)r(er)g(and)f(lo)n(w)n(er"\))f(b)r (oundary)h(of)h(the)g(in)n(v)-5 b(arian)n(t)287 2534 y(region)21 b Ft(J)15 b FD(.)23 b(In)f(order)f(to)i(\014nd)f(appro)n (ximate)f(solutions)h FA(Z)2095 2504 y Fx(\006)2089 2555 y Fy(appr)2247 2534 y FD(to)g(whic)n(h)h(apply)f(the)g(KAM)h(Theorem)e (2.1)h(of)g Ft(x)g FD(2)g(so)g(as)287 2634 y(to)h(establish)h(the)g (existence)f(of)h(the)g(KAM)g(tori)f FA(Z)1884 2604 y Fx(\006)1940 2634 y FD(,)h(w)n(e)f(start)g(b)n(y)h(considering)e(the)i (iso-energetic)e(Lindstedt)i(series)287 2734 y(for)i(t)n(w)n(o)h (Diophan)n(tine)g(tori)g(close)f(to)h(the)g(unp)r(erturb)r(ed)h(tori)f (corresp)r(onding)e(to)i(the)h(Victoria)e(osculating)g(actions)287 2833 y FA(L)344 2845 y Fy(V)437 2833 y FD(and)40 b FA(G)676 2845 y Fy(V)770 2833 y FD(in)g(\(1.6\).)g(W)-7 b(e)40 b(then)g(construct)f(explicitly)h(the)g(12)2457 2803 y Fy(th)2523 2833 y FD(-order)e FA(")p FD(-truncation)h(of)h(suc)n(h)f (iso-energetic)287 2933 y(Lindstedt)e(series)e(and)h(ev)-5 b(aluate)36 b(suc)n(h)g(truncations)f(at)h(the)h(parameter)e(v)-5 b(alue)36 b FA(")h FD(=)g FA(")3147 2954 y Fs(SJ)3251 2933 y FD(corresp)r(onding)e(to)h(the)287 3032 y(Jupiter-Sun)20 b(mass)g(ratio.)g(The)h(th)n(us)g(obtained)f(functions,)h(whic)n(h)g(w) n(e)f(shall)g(denote)h(here)f FA(Z)3223 2997 y Fx(\006)3217 3058 y Fy(Lind)3354 3032 y FD(,)h(are)f(trigonometric)287 3132 y(p)r(olynomials.)287 3253 y(Ev)n(en)26 b(though)h(in)g(form)n (ulating)f(the)i(iso-energetic)d(KAM)i(Theorem)f(2.1)h(w)n(e)f(tak)n(e) h(quite)g(a)g(lot)g(of)g(care)f(in)h(comput-)287 3352 y(ing)j(explicitly)g(and)g(carefully)g(the)g(v)-5 b(arious)29 b(constan)n(ts)g(app)r(earing)g(in)i(the)f(statemen)n(t)3087 3322 y Fy(10)3158 3352 y FD(,)g(a)g(direct)g(application)f(of)287 3452 y(the)d(theorem)f(to)g FA(Z)911 3417 y Fx(\006)905 3477 y Fy(Lind)1068 3452 y FD(w)n(ould)g(not)g(w)n(ork:)f(the)i(KAM)g (smallness)e(requiremen)n(ts)h(necessary)e(in)j(order)e(to)i(apply)f (the)287 3552 y(KAM)d(Theorem)f(2.1)g(are)g(not)h(met)g(if)h(one)e(c)n (ho)r(oses)g(as)g(appro)n(ximate)f(solutions)h(the)i(functions)f FA(Z)3392 3516 y Fx(\006)3386 3577 y Fy(Lind)3523 3552 y FD(.)g(T)-7 b(o)21 b(o)n(v)n(ercome)287 3651 y(this)32 b(di\016cult)n(y)-7 b(,)32 b(using)f(the)i(Newton)e(iteration)g(sc)n (heme,)h(whic)n(h)f(is)h(at)g(the)g(basis)f(of)g(Theorem)g(2.1,)g(w)n (e)h(construct)287 3751 y(b)r(etter)27 b(appro)n(ximate)d(solutions,)i (denoted)h(here)f FA(Z)1935 3721 y Fx(\006)1929 3771 y Fy(appr)2065 3751 y FD(.)g(The)h(functions)g FA(Z)2704 3721 y Fx(\006)2698 3771 y Fy(appr)2860 3751 y FD(are)f(no)g(more)g (trigonometric)f(p)r(oly-)287 3851 y(nomials)34 b(\(and,)i(therefore,)e (their)i(construction)e(is)h(somewhat)g(more)f(implicit\))j(but)f(one)f (has,)f(nev)n(ertheless,)g(an)287 3950 y(excellen)n(t)f(con)n(trol)g (on)h(their)g Fo(norms)p FD(.)f(The)h(new)g(appro)n(ximations)e FA(Z)2536 3920 y Fx(\006)2530 3971 y Fy(appr)2700 3950 y FD(do)i(meet)g(the)g(smallness)f(requiremen)n(ts)287 4050 y(of)i(Theorem)f(2.1)h(and)f(allo)n(w)h(to)g(construct)f(the)i(t)n (w)n(o)e(in)n(v)-5 b(arian)n(t)34 b(tori)h(with)g(em)n(b)r(edding)h (functions)f FA(Z)3649 4020 y Fx(\006)3740 4050 y FD(forming)287 4149 y(the)28 b(b)r(oundary)f(of)h Ft(J)16 b FD(.)28 b(The)g(distance)g(\(in)g(suitable)g(analytic)g(norms\))f(of)h FA(Z)2713 4119 y Fx(\006)2707 4170 y Fy(appr)2871 4149 y FD(from)g(the)g(\014nal)g(solutions)f FA(Z)3806 4119 y Fx(\006)3890 4149 y FD(will)287 4249 y(b)r(e)33 b Ft(k)p FA(Z)510 4219 y Fx(\006)588 4249 y Ft(\000)21 b FA(Z)737 4219 y Fx(\006)731 4270 y Fy(appr)867 4249 y Ft(k)32 b FA(<)g FD(10)1122 4219 y Fx(\000)p Fy(13)1276 4249 y FD(\(compare)g(with)i(estimates)f(\(4.302\),)e(\(4.303\))h(b)r(elo)n (w\),)h(while)h(the)f(distance)g(of)g(the)287 4361 y(solutions)27 b(from)g(the)h(appro)n(ximate)e(Lindstedt)i(p)r(olynomials)f FA(Z)2353 4325 y Fx(\006)2347 4386 y Fy(Lind)2511 4361 y FD(satisfy)h Ft(k)p FA(Z)2876 4331 y Fx(\006)2949 4361 y Ft(\000)18 b FA(Z)3095 4325 y Fx(\006)3089 4386 y Fy(Lind)3226 4361 y Ft(k)23 b FA(<)f FD(10)3462 4331 y Fx(\000)p Fy(8)3551 4361 y FD(.)287 4481 y(The)36 b(pro)r(of)g(is)g Fo(computer)g(assisted) p FD(.)g(As)g(it)h(is)g(w)n(ell)f(kno)n(wn,)f(it)i(is)g(p)r(ossible)f (to)g(p)r(erform)g(computations)g(using)g(a)287 4581 y(mac)n(hine)28 b(in)h(suc)n(h)f(a)g(w)n(a)n(y)g(as)g(to)g(con)n(trol)f (the)i(n)n(umerical)f(errors)e(in)n(tro)r(duced)j(b)n(y)f(the)h (rounding-o\013)e(p)r(erformed)h(b)n(y)p 287 4627 1493 4 v 379 4680 a Fn(9)414 4704 y FH(Analogous)d(KAM)e(tec)n(hniques)i (pro)n(viding)g(similar)c(features)j(in)g(Lagrangian)h(framew)n(ork)d (are)i(older)g(and)h(go)f(bac)n(k)h(to)g(the)g(\\KAM)287 4783 y(theory)34 b(in)f(con\014guration)i(space")f(of)f(Salamon)g(and)h (Zehnder)g([122],)e(whic)n(h,)h(in)g(turn,)g(ma)n(y)g(b)r(e)g(view)n (ed)h(as)f(an)h(ev)n(olution)g(of)f(the)287 4861 y(implicit-function)23 b(metho)r(d)i(of)f(E.)g(Zehnder)i([131],)e([132)q(].)f(F)-6 b(or)25 b(an)g(approac)n(h)h(similar)c(to)j(that)h(in)e([25])h(but)g (more)f(general)h(and)g(with)g(a)287 4940 y(more)d(geometrical)i (insigh)n(t)f(see)i([93].)349 4996 y Fn(10)414 5020 y FH(T)-6 b(o)24 b(get)g(an)g(idea)g(of)g(what)g(w)n(e)g(mean)f(b)n(y)h (that,)h(tak)n(e)g(a)e(lo)r(ok)h(at)h(Prop)r(osition)e(2.2,)h(Lemma)d (2.7)j(and)g(Lemma)e(2.8)i(b)r(elo)n(w.)2132 5492 y FD(7)p eop %%Page: 8 8 8 7 bop 287 -94 a FD(the)24 b(mac)n(hine;)f(see,)g(e.g.,)h([82)o(],)g ([48)o(],)f([108)o(],)h([83)o(],)g([79)o(].)g(The)f(idea)h(is)f (simple.)h(Computers)f(w)n(ork)f(with)i(sp)r(ecial)f(classes)287 5 y(of)37 b(rational)f(n)n(um)n(b)r(ers,)h(called)g(\\represen)n(table) f(n)n(um)n(b)r(ers".)g(In)i(general,)e(an)h(elemen)n(tary)g(op)r (eration)f(\(addition,)287 105 y(subtraction,)29 b(m)n(ultiplication)g (or)g(division\))h(b)r(et)n(w)n(een)f(t)n(w)n(o)g(represen)n(table)f(n) n(um)n(b)r(ers)h(is)h(no)f(more)g(a)g(represen)n(table)287 205 y(n)n(um)n(b)r(er.)35 b(Therefore,)f(computers)g(p)r(erform)h(a)g (round-o\013)f(of)h(the)g(result)g(c)n(ho)r(osing)f(\\the)h(closest")f (represen)n(table)287 304 y(n)n(um)n(b)r(er.)i(It)h(is)g(ho)n(w)n(ev)n (er,)d(p)r(ossible)i(to)h(giv)n(e)e(lo)n(w)n(er)g(and)i(upp)r(er)f(b)r (ounds)h(using)f(represen)n(table)f(n)n(um)n(b)r(ers)h(of)h(the)287 404 y(result)d(of)f(an)h(elemen)n(tary)f(op)r(eration.)g(In)h(suc)n(h)g (a)g(w)n(a)n(y)e(the)j(result)e(of)h(an)g(elemen)n(tary)f(op)r(eration) g(is)h(no)f(more)h(a)287 503 y(n)n(um)n(b)r(er)28 b(but)h(rather)e(an)h Fo(in)n(terv)-5 b(al)28 b FD(\(whose)g(endp)r(oin)n(ts)g(are)g (represen)n(table)e(n)n(um)n(b)r(ers\).)j(One)f(is)g(then)h(naturally)e (led)287 603 y(to)33 b(substitute)h(n)n(um)n(b)r(ers)e(with)i(in)n (terv)-5 b(als)32 b(and)h(to)g(p)r(erform)g(elemen)n(tary)f(op)r (erations)g(b)r(et)n(w)n(een)h(suc)n(h)g(in)n(terv)-5 b(als)32 b(of)287 703 y(represen)n(table)e(n)n(um)n(b)r(ers.)h(F)-7 b(or)31 b(example)g(if)h FA(a)g FD(and)g FA(b)f FD(are)g(real)f(n)n(um) n(b)r(ers,)h(the)h(op)r(eration)f FA(a)21 b FD(+)g FA(b)31 b FD(will)h(b)r(e)g(replaced)287 802 y(b)n(y)i(the)h(op)r(eration)f([)p FA(a)1005 814 y Fx(\000)1061 802 y FA(;)14 b(a)1142 814 y Fy(+)1197 802 y FD(])23 b(+)g([)p FA(b)1390 814 y Fx(\000)1446 802 y FA(;)14 b(b)1519 814 y Fy(+)1573 802 y FD(])35 b(=)g([)p FA(c)1790 814 y Fx(\000)1846 802 y FA(;)14 b(c)1919 814 y Fy(+)1974 802 y FD(])35 b(where)f FA(a)2323 814 y Fx(\006)2379 802 y FD(,)h FA(b)2473 814 y Fx(\006)2563 802 y FD(and)g FA(c)2768 814 y Fx(\006)2858 802 y FD(are)f(represen)n (table)f(n)n(um)n(b)r(ers)i(suc)n(h)287 902 y(that)h FA(a)h Ft(2)h FD([)p FA(a)716 914 y Fx(\000)772 902 y FA(;)14 b(a)853 914 y Fy(+)908 902 y FD(],)36 b FA(b)h Ft(2)g FD([)p FA(b)1214 914 y Fx(\000)1270 902 y FA(;)14 b(b)1343 914 y Fy(+)1398 902 y FD(])36 b(and)g FA(c)1663 914 y Fx(\000)1755 902 y FD(is)g(a)g(represen)n(table)e(n)n(um)n(b)r (er)i(smaller)f(than)h FA(a)3291 914 y Fx(\000)3371 902 y FD(+)24 b FA(b)3496 914 y Fx(\000)3552 902 y FD(,)36 b(while)g FA(c)3872 914 y Fy(+)3963 902 y FD(is)287 1002 y(a)h(represen)n(table)f(n)n(um)n(b)r(er)h(greater)f(than)i FA(a)1734 1014 y Fy(+)1814 1002 y FD(+)24 b FA(b)1939 1014 y Fy(+)1994 1002 y FD(.)38 b(F)-7 b(or)37 b(more)g(information,)g (see)g(App)r(endix)h(C)g(or)f(the)h(ab)r(o)n(v)n(e)287 1101 y(men)n(tioned)27 b(references.)287 1223 y(The)h(computer)g (programs,)d(whic)n(h)j(are)f(used)i(in)f(the)g(pro)r(ofs)f(are)h (four:)f(the)i(\014rst)f(program)e(deals)h(with)i(the)f(c)n(hoice)287 1322 y(of)39 b(the)h(\\initial)g(data")e(in)i(phase)f(space)g(and)g (their)h(n)n(umerical)f(prop)r(erties;)f(the)i(second)f(program)f (\(the)i(main)287 1422 y(one\))31 b(deals)g(with)h(the)g(construction)f (of)h(the)g(Lindstedt)g(p)r(olynomials)f FA(Z)2661 1386 y Fx(\006)2655 1447 y Fy(Lind)2792 1422 y FD(;)h(the)f(third)h(program) e(ev)-5 b(aluates)31 b(the)287 1522 y(principal)26 b(norms)g(asso)r (ciated)f(to)i FA(Z)1439 1486 y Fx(\006)1433 1547 y Fy(Lind)1570 1522 y FD(,)g(while)g(the)g(fourth)g(program)e(estimates)h(the)h(norms) f(of)h FA(Z)3473 1491 y Fx(\006)3467 1542 y Fy(appr)3630 1522 y FD(and)f(c)n(hec)n(ks)287 1621 y(the)i(applicabilit)n(y)f(of)g (the)h(KAM)g(Theorem)f(2.1)g(\(for)g(more)g(details,)g(see)g(App)r (endix)i(D\).)287 1743 y(The)23 b(programs)f(-)h(a)n(v)-5 b(ailable)22 b(up)r(on)i(request)f(to)g(one)g(of)g(the)h(authors)f(-)g (are)f(not)i(repro)r(duced)f(in)g(the)h(pap)r(er;)f(ho)n(w)n(ev)n(er,) 287 1842 y(all)k(the)h(algorithms)e(and)i(form)n(ulas)e(used)i(in)g (the)g(programs)d(are)h(thoroughly)h(discussed)g(in)h(the)g(text.)287 2072 y Fv(1.4)112 b(A)37 b(short)g(history)g(of)h(KAM)f(stabilit)m(y)e (estimates)287 2225 y FD(As)29 b(so)r(on)e(as)h(KAM)h(theory)f(w)n(as)g (form)n(ulated,)g(astronomers)e(tried)j(to)f(apply)g(it)i(to)e (celestial)g(mec)n(hanics.)g(In)h(1966,)287 2325 y(the)22 b(F)-7 b(renc)n(h)22 b(astronomer)e(M.)i(H)n(\023)-39 b(enon)21 b([69)o(])i(\(see)f(also)f([70)o(]\))h(p)r(oin)n(ted)h(out)f (that)g(a)g Fh(tout)i(c)l(ourt)d FD(application)h(of)g(Arnold's)287 2424 y(theorem)29 b(to)g(the)h(restricted)f(three-b)r(o)r(dy)g(problem) g(yields)h(existence)f(of)h(in)n(v)-5 b(arian)n(t)28 b(tori)h(if)h(the)g(mass)f(ratio)f(of)i(the)287 2524 y(primaries)21 b(is)i(less)f(than)1040 2494 y Fy(11)1133 2524 y FD(10)1217 2494 y Fx(\000)p Fy(333)1371 2524 y FD(;)h(H)n(\023)-39 b(enon)22 b(also)f(noted)i(that)g(Moser's)e(v)n (ersion)g(ga)n(v)n(e)g(b)r(etter)i(results)f(since)h(it)g(applies)287 2624 y(for)g(mass)g(ratios)f(up)i(to)f(10)1134 2594 y Fx(\000)p Fy(50)1255 2624 y FD(.)h(These)f(kind)h(of)f(results)g(are)f (so)h(far)g(from)g(ph)n(ysical)g(v)-5 b(alues)3153 2594 y Fy(12)3246 2624 y FD(that)24 b(astronomers)d(and)287 2723 y(mathematicians)30 b(b)r(egun)g(to)h(think)g(that)g(KAM)f(w)n(as) g(a)g(b)r(eautiful)h(\\abstract")e(mathematical)h(theory)g(not)g (really)287 2823 y(applicable)d(to)g(ph)n(ysics.)287 2944 y(In)h(the)g(late)g(70's)f(G.)h(Galla)n(v)n(otti)f(-)h(also)f (making)g(KAM)h(theory)f(a)n(v)-5 b(ailable)27 b(at)h(an)g (undergraduate)e(lev)n(el)i(\(see,)g(e.g.,)287 3044 y([58)o(]\))j(-)f (ga)n(v)n(e)f(a)h(new)h(impulse)g(to)f(this)h(question)f(and)h(most)f (impro)n(v)n(emen)n(ts)f(on)h(KAM)h(stabilit)n(y)f(estimates)h(came)287 3144 y(out)c(under)h(his)f(direct)h(or)f(indirect)g(in\015uence.)287 3265 y(The)37 b(\014rst)g(impro)n(v)n(ed)g(KAM)g(stabilit)n(y)g (estimates)g(concerned)g(simple)g(Hamiltonian)h(mo)r(dels)f(suc)n(h)g (as)g(a)g(forced)287 3365 y(p)r(endulum)25 b(or)d(the)i(so-called)e (Chirik)n(o)n(v-Greene)g(\([44)o(],)i([65)o(]\))g(standard)f(map:)g (see,)g(in)h(particular,)f([29)o(],)h([21)o(])f(\(where)287 3464 y(computer-assisted)29 b(tec)n(hniques)i(w)n(ere)f(in)n(tro)r (duced,)h(for)f(the)h(\014rst)g(time,)h(in)f(the)g(con)n(text)g(of)g (KAM)g(estimates)3894 3434 y Fy(13)3964 3464 y FD(\),)287 3564 y([24)o(],)d([117)n(],)g([34)o(],)g([22)o(],)g([94)o(].)g(F)-7 b(or)27 b(more)g(recen)n(t)f(related)h(results,)h(see)f(also)f([35)o (].)287 3685 y(In)32 b([18)o(],)f([19)o(])h(computer-assisted)e(KAM)i (estimates)f(w)n(ere)f(established)h(for)g(the)h(spin-orbit)f(problem)g (of)h(celestial)287 3785 y(mec)n(hanics;)27 b(see)g(also)f([27])h(and)h ([20)o(])f(\(where)h(libration)f(tori)g(are)f(constructed\).)287 3906 y(Ho)n(w)n(ev)n(er,)31 b(it)i(is)g(only)f(in)i(1997)d(\([25)o(]\)) i(that)g(the)h(problem)e(raised)g(b)n(y)g(M.)i(H)n(\023)-39 b(enon)31 b(\(i.e.,)j(to)f(giv)n(e)f(KAM)g(estimates)287 4006 y(for)h(the)h(restricted,)f(three-b)r(o)r(dy)g(problem\))g(w)n(as) g(reconsidered.)f(In)i([25)o(])g(-)f(with)h(a)f(strategy)f(similar)h (to)h(the)g(one)287 4106 y(used)c(in)g(this)g(pap)r(er)948 4076 y Fy(14)1047 4106 y FD(-)g(the)g(existence)f(of)h(KAM)g(tori)f (for)g(the)h(R)n(CPTBP)f(for)g(mass)g(ratios)g(of)g(the)h(primaries)f (up)p 287 4153 1493 4 v 349 4206 a Fn(11)414 4230 y FH(It)g(app)r(ears) f(as)g(an)h(acciden)n(t)g(that)h(suc)n(h)e(n)n(um)n(b)r(er,)f(10)1906 4206 y Fi(\000)p Fn(333)2050 4230 y FH(,)h(is)f(exactly)i(the)g(n)n(um) n(b)r(er)e(of)h(deriv)l(ativ)n(es)h(required)f(b)n(y)g(Moser)g(in)f (his)287 4309 y(\014rst)f(pap)r(er)h(on)f(KAM)g(theory)h(on)f(the)i (existence)f(of)f(in)n(v)l(arian)n(t)h(curv)n(es)g(for)e(smo)r(oth)h(p) r(erturbations)h(of)f(in)n(tegrable)h(exact)h(symplectic)287 4388 y(mappings)23 b(of)g(the)i(ann)n(ulus)f([109].)349 4443 y Fn(12)414 4467 y FH(The)g(v)l(alue)g(10)811 4443 y Fi(\000)p Fn(50)948 4467 y FH(is)f(ab)r(out)h(the)h(proton-Sun)f (mass)e(ratio:)h(the)i(mass)d(of)h(the)h(Sun)g(is)f(ab)r(out)i(1)p Fm(:)p FH(991)16 b Fl(\001)f FH(10)3262 4443 y Fn(30)3351 4467 y FH(Kg,)23 b(while)g(the)h(mass)e(of)287 4546 y(a)i(proton)g(is)f (ab)r(out)i(1)p Fm(:)p FH(672)16 b Fl(\001)g FH(10)1128 4522 y Fi(\000)p Fn(21)1265 4546 y FH(Kg,)23 b(so)h(that)h(\(mass)d(of) i(a)f(proton\)/\(mass)i(of)e(the)i(Sun\))f Fl(')c FH(8)p Fm(:)p FH(4)c Fl(\001)f FH(10)3101 4522 y Fi(\000)p Fn(52)3215 4546 y FH(.)349 4601 y Fn(13)414 4625 y FH(Computers)23 b(w)n(ere)h(also)f(used)h(in)g(estimating)f(the)i(Siegel)f(radius)f(in) g([91])g(and)i([92].)349 4681 y Fn(14)414 4704 y FH(There)c(are)h(a)f (lot)g(of)g(tec)n(hnical)i(di\013erences)f(and)g(a)f(few)g(conceptual)j (ones)e(b)r(et)n(w)n(een)h(the)f(approac)n(h)g(used)g(in)f([25])g(and)h (the)g(approac)n(h)287 4783 y(used)e(here.)g(As)f(an)i(example,)e(w)n (e)h(men)n(tion)g(that)h(in)f([25])f(w)n(e)h(use)g(standard)h (non-degeneracy)h(h)n(yp)r(otheses)g(\(rather)f(than)f Fj(iso-energetical)287 4862 y FH(non-degeneracy\),)28 b(since)f(the)f(p)r(oin)n(t)h(of)f(that)h(pap)r(er)g(w)n(as)f(just)g (to)g(sho)n(w)h(the)g(p)r(ossibilit)n(y)e(of)h(constructing)h(KAM)f (tori)f(in)h(mo)r(dels)f(not)287 4941 y(to)r(o)d(far)f(from)f (\\realistic)i(ones".)g(By)g(the)g(w)n(a)n(y)-6 b(,)22 b(this)g(p)r(oin)n(t)g(w)n(as)g(o)n(v)n(erlo)r(ok)n(ed)h(in)f(the)g (\014rst)g(AMS)f(Mathematical)h(Review)g(\(MR1462771\):)287 5020 y(the)i(review)n(er)g(w)n(as,)f(apparen)n(tly)-6 b(,)25 b(misled)d(b)n(y)i(the)g(w)n(ord)g(\\stabilit)n(y")g(used)g(in)g (the)g(title)g(\(the)h(Review)f(w)n(as)g(revised)f(in)h(Marc)n(h)f (2001\).)2132 5492 y FD(8)p eop %%Page: 9 9 9 8 bop 287 -94 a FD(to)27 b(10)472 -124 y Fx(\000)p Fy(6)587 -94 y FD(w)n(as)f(pro)n(v)n(ed.)g(KAM)h(\(computer-aided\))f (estimates)h(for)g(the)g(\\secular)e(part")i(of)g(the)g(Hamiltonian)g (of)g(the)287 5 y(three-b)r(o)r(dy)g(problem)g(are)g(discussed)g(in)h ([98)o(])g(and)f([100)o(].)287 130 y(Muc)n(h)41 b(more)g(abundan)n(t)g (is)g(the)h(literature)f(concerning)f(non-rigorous)e(metho)r(ds)k(for)f (determining)g(\\optimal")287 229 y(existence)23 b(estimates,)f(i.e.,)i (parameter)d(v)-5 b(alues)23 b(ab)r(o)n(v)n(e)f(whic)n(h)h(a)g(torus)f (with)h(a)g(giv)n(en)f(frequency)h(v)n(ector)f(is)h(exp)r(ected)287 329 y(to)29 b(disapp)r(ear)740 299 y Fy(15)810 329 y FD(.)g(The)h(parameter)e(v)-5 b(alue)29 b(at)h(whic)n(h)f(a)h(KAM)f (torus)g(is)h(supp)r(osed)f(to)g(disapp)r(ear)g(is)g(usually)h(called) 287 429 y(the)36 b(\\break-do)n(wn)d(threshold".)i(Since)h(KAM)f(tori)h (form)f(\(in)h(a)f(suitable)h(sense\))f(barriers)f(for)h(the)h(motion,) g(the)287 528 y(disapp)r(earance)27 b(of)j(KAM)f(tori)g(is)g(related)f (to)h(the)h(\\onset")e(of)h(c)n(haotic)f(tra)5 b(jectories)28 b(in)h(Hamiltonian)g(systems.)g(A)287 628 y(selection)g(of)h(articles)f (-)g(mostly)h(related)f(to)h(the)g(so-called)f(\\renormalization)e (group")h(-)h(on)h(this)g(sub)5 b(ject)30 b(is:)g([44)o(],)287 728 y([66)o(],)25 b([51)o(],)h([77)o(],)f([123)o(],)g([101)o(],)g([9],) g([107)o(],)g([50)o(],)h([102)n(],)g([114)n(],)g([115)n(],)g([7)o(],)g ([8)o(],)g([53)o(],)f([89)o(],)h([105)n(],)g([16)o(],)f([86)o(],)h ([104)n(],)g([30)o(],)287 827 y([32)o(],)i([56)o(],)g([45)o(],)f([81],) g([1],)h([31)o(],)g([36)o(],)f([57],)g([2],)h([38)o(],)g([39)o(],)f ([78],)g([99)o(],)h([40)o(],)g([55)o(],)g([26)o(],)g([28)o(],)g([37)o (].)287 952 y(While)f(it)g(go)r(es)f(b)r(ey)n(ond)g(the)h(scop)r(e)f (of)h(this)f(in)n(tro)r(duction)h(to)f(review)g(this)h(literature,)f(w) n(e)g(w)n(an)n(t)g(to)h(mak)n(e)e(a)h(couple)287 1051 y(of)37 b(commen)n(ts.)h(One)f(of)h(the)g(most)f(reliable)g(metho)r(ds) h(for)f(determining)h(the)g(break-do)n(wn)d(threshold)j(of)f(KAM)287 1151 y(tori)31 b(\(at)g(list)h(in)g(lo)n(w)f(dimension\))g(is)h(the)g (so-called)e(Greene's)h Fo(residue)g(criterion)f FD([66)o(],)i(whic)n (h)f(relates)g(the)h(break-)287 1251 y(do)n(wn)h(of)h(tori)f(with)i (the)f(c)n(hange)f(in)h(stabilit)n(y)g(of)g(nearb)n(y)e(p)r(erio)r(dic) i(orbits.)f(F)-7 b(or)34 b(partial)f(rigorous)e(justi\014cations)287 1350 y(of)40 b(Greene's)g(criterion,)f(see,)h(e.g.,)g([52)o(],)h([103)n (],)g([47)o(].)f(Also)g(quite)h(e\013ectiv)n(e)f(seems)g(to)g(b)r(e)h (Lask)-5 b(ar's)39 b Fo(frequency)287 1450 y(analysis)c FD(metho)r(d)i([86)o(],)g(used)g(in)f(the)h(n)n(umerical)f(in)n(v)n (estigations)f(of)i(the)f(b)r(eha)n(vior)g(of)g(the)h(solar)e(system)i (\([87)o(],)287 1550 y([88)o(]\).)e(Another)g(in)n(triguing)f (direction)g(disco)n(v)n(ered)f(n)n(umerically)h(in)h([10)o(])g(are)e (the)j FA(")p FD(-complex)d(prop)r(erties)h(of)h(the)287 1649 y(conjugating)40 b(function)h(and)g(the)g(p)r(ossible)g(app)r (earance)e(of)i(natural)f(b)r(oundaries)g(of)h(singularities)e(in)i FA(")p FD(-space;)287 1749 y(compare,)26 b(e.g.,)h(with)i([11)o(],)e ([14],)g([95)o(],)h([96)o(],)g([97)o(],)g([13)o(],)g([12)o(].)287 1873 y(A)37 b(\014nal)h(side)f(remark.)f(The)h(app)r(earance)f(of)h (computers)g(ha)n(v)n(e)f(c)n(hanged)g(quite)i(radically)e(science)h (and)g(life.)h(In)287 1973 y(particular,)27 b(astronomers)f(that)j(w)n (an)n(t)f(to)h(in)n(v)n(estigate)e(the)i(b)r(eha)n(vior)e(of)i(the)g (Solar)e(System)i(use)f(\(more)h(and)f(more)287 2073 y(reliable\))i(n)n(umerical)g(sim)n(ulations)g(\(see,)g(e.g.,)h([3)o (],)g([84)o(],)g([113)o(],)g([127)n(],)g([85)o(],)g([87)o(],)g([88)o (]\).)g(W)-7 b(e)31 b(hop)r(e)g(that)g(this)g(fact,)287 2172 y(based)40 b(on)g(the)h(dev)n(elopmen)n(t)f(of)h(tec)n(hnology)-7 b(,)39 b(do)r(es)h(not)h(subtract)f(motiv)-5 b(ations)40 b(for)g(con)n(tin)n(uing)g(the)h(di\016cult)287 2272 y(mathematical)28 b(in)n(v)n(estigations)g(ab)r(out)h(the)g FA(n)p FD(-b)r(o)r(dy)g(problem,)f(whic)n(h)h(still)h(remains,)e(in)h (our)f(opinion,)h(one)g(of)g(the)287 2371 y(most)e(ric)n(h)g(and)h(in)n (triguing)e(problems)h(in)h(mathematics.)287 2604 y Fv(1.5)112 b(A)37 b(section-b)m(y-section)g(summary)287 2757 y FD(The)20 b(pap)r(er)f(is)h(divided)g(in)g(four)f(c)n(hapters,)g(four)g(app)r (endices)h(\(and)g(four)f(ab)r(o)n(v)n(e)g(men)n(tioned,)g(not)h (included)h(computer)287 2857 y(programs\).)j(Y)-7 b(ou)27 b(are)e(no)n(w)h(reading)g(the)g(end)h(of)g Ft(x)f FD(1)g(\(the)h(in)n (tro)r(duction\).)g(In)f Ft(x)h FD(2)f(the)h(iso-energetic)d(KAM)j (theory)287 2956 y(is)32 b(presen)n(ted.)g(In)h Ft(x)f FD(3,)g(the)h(classical)e(Hamiltonian)h(Delauna)n(y)g(theory)f(for)h (the)h(restricted)f(three-b)r(o)r(dy)g(problem)287 3056 y(is)d(presen)n(ted)f(with)h(full)h(details.)f(In)g Ft(x)g FD(4)g(the)g(main)g(stabilit)n(y)g(theorem)f(of)h(the)g(pap)r(er,)g (concerning)f(the)h(p)r(erp)r(etual)287 3156 y(stabilit)n(y)40 b(of)h(the)g(asteroid)e(Victoria)h(in)h(the)g(framew)n(ork)e(of)h(the)h (R)n(CPTBP)e(Sun-Jupiter-Victoria,)h(is)g(stated)287 3255 y(\(Theorem)27 b(4.1\))g(and)g(pro)n(v)n(ed:)f(the)i(pro)r(of)f (is)h(divided)g(in)n(to)f(four)g(main)h(steps)f(summarized)g(at)h(page) f(83.)287 3380 y(More)g(sp)r(eci\014cally:)299 3521 y FE(x)p FG(2.1:)43 b(Notations)27 b(and)e(a)h(few)h(con)n(v)n(en)n (tions)e(are)h(in)n(tro)r(duced.)299 3645 y FE(x)p FG(2.2:)43 b(The)25 b(de\014nition)f(of)h(KAM)e(torus)i(is)f(giv)n(en)h(and)e(the) h(partial)h(di\013eren)n(tial)g(equation)f(satis\014ed)h(b)n(y)e(the)h (em)n(b)r(edding)f(of)i(a)494 3737 y(KAM)h(torus)g(on)f(a)h(\014xed)f (energy)g(lev)n(el)h(is)h(deriv)n(ed.)299 3861 y FE(x)p FG(2.3:)43 b(The)25 b(notion)f(of)i(\\appro)n(ximate)d(KAM)h(torus")h (is)g(in)n(tro)r(duced.)f(The)h(KAM)f(algorithm)g(is)h(in)n(tro)r (duced)f(and)g(describ)r(ed)494 3953 y(at)k(an)f(\\algebraic)i(lev)n (el".)f(In)e(particular)i(the)f(form)n(ulae)g(whic)n(h,)h(giv)n(en)f (an)g(appro)n(ximate)f(KAM)h(torus,)g(yield)g(a)h(new)494 4044 y(appro)n(ximate)34 b(torus,)g(on)g(the)f(same)h(energy)g(lev)n (el,)g(are)h(presen)n(ted.)e(The)h(main)g(result)g(of)h(this)f(section) g(is)h(Prop)r(o-)494 4135 y(sition)g(2.1.)g(The)f(new)f(appro)n(ximate) g(torus)h(is)g(constructed)g(in)f(suc)n(h)g(a)h(w)n(a)n(y)g(that)f(the) g(error)i(term)d(asso)r(ciated)k(to)494 4227 y(it)c(is)g(\(ignoring)g (the)f(e\013ect)g(of)h(small)g(divisors\))g(quadratically)g(smaller)g (than)e(the)h(error)h(asso)r(ciated)h(to)f(the)f(initial)494 4318 y(appro)n(ximation.)e(The)f(iso-energetical)j Fg(non)d(degeneracy) h FG(assumption)f(is)h(in)n(tro)r(duced;)g(see)g(Remark)e(2.3,)j (where,)f(in)494 4409 y(particular,)f(the)e(relations)h(with)g(the)f (classical)i(KAM)e(non-degeneracy)g(and)g(iso-energetic)i (non-degeneracy)d(condi-)494 4501 y(tions)i(are)f(discussed.)299 4625 y FE(x)p FG(2.4:)43 b(The)28 b Fg(KAM)e(map)h FG(\(i.e.,)h(the)f (functional)h(map)e(whic)n(h)h(to)g(an)g(appro)n(ximate)g(torus)g(asso) r(ciates)j(the)c(new)i(appro)n(ximate)494 4716 y(torus)e(via)g(the)f (KAM)h(algorithm)g(describ)r(ed)g(in)f FE(x)h FG(2.3\))g(is)h (de\014ned.)p 287 4770 1493 4 v 349 4823 a Fn(15)414 4847 y FH(F)-6 b(or)27 b(t)n(wist)h(maps)e(of)h(the)i(ann)n(ulus)f (there)g(are)f(theorems)h(sho)n(wing)f(that)i(ab)r(o)n(v)n(e)g(certain) f(parameter)f(v)l(alues)h(in)n(v)l(arian)n(t)g(curv)n(es)g(do)287 4926 y(not)c(exist)g(an)n(y)h(more;)d(see)i([106].)2132 5492 y FD(9)p eop %%Page: 10 10 10 9 bop 299 -94 a FE(x)p FG(2.5:)43 b(A)31 b(few)h(standard)e (analytical)i(tec)n(hnical)g(to)r(ols,)g(necessary)g(to)f(equip)f(with) h(estimates)g(the)f(KAM)h(map,)f(\(including)494 -3 y(ma)t(joran)n(t)c (theory)g(and)f(optimal)g(small)h(divisor)h(estimates\))e(are)i(review) n(ed)f(\(and)f(complete)g(pro)r(ofs)i(are)f(presen)n(ted\).)299 122 y FE(x)p FG(2.6:)43 b(The)31 b(KAM)g(map)f(is)h(equipp)r(ed)f(with) h(detailed)g(and)f(careful)i(estimates.)g(The)f(results)g(are)g (summarized)f(in)h(Prop)r(o-)494 213 y(sition)h(2.2.)h(A)d(suitable)i (set)f(of)h(non)f(negativ)n(e)g(n)n(um)n(b)r(ers,)f(sa)n(y)h FE(N)11 b FG(,)31 b(con)n(trolling)i(the)e(relev)l(an)n(t)f(norms)h (asso)r(ciated)i(to)494 304 y(an)g(appro)n(ximate)e(torus)i(is)g(in)n (tro)r(duced;)f(the)g(algorithm,)h(whic)n(h)f(to)h FE(N)43 b FG(asso)r(ciates)35 b FE(N)3142 272 y Fi(0)3196 304 y FG(\(the)d(set)h(of)g(non)f(negativ)n(e)494 396 y(n)n(um)n(b)r(ers)25 b(con)n(trolling)j(the)e(corresp)r(onding)i(norms)e(asso)r(ciated)i(to) f(the)f(new)h(appro)n(ximate)f(torus\))h(is)g(de\014ned)e(and)h(is)494 487 y(called)h(the)e Fg(KAM)h(norm)e(map)p FG(.)299 611 y FE(x)p FG(2.7:)43 b(The)35 b(main)f(theorem)g(in)g(this)h(KAM)f (theory)g(is)h(presen)n(ted:)g(it)f(is)h(Theorem)g(2.1.)h(Suc)n(h)d (theorem)h(guaran)n(tees)h(the)494 703 y(existence,)19 b(on)f(a)g(\014xed)f(energy)h(lev)n(el,)h(of)f(a)h(KAM)e(torus)i(nearb) n(y)e(an)h(appro)n(ximate)f(\(iso-energetically)j(non)e(degenerate\)) 494 794 y(KAM)28 b(torus,)h(pro)n(vided)f(the)g(error)h(term)e(asso)r (ciated)k(to)d(the)g(appro)n(ximate)g(torus)h(is)g(small)f(enough,)h (i.e.,)h(pro)n(vided)494 885 y(the)c(\\KAM)f(smallness)i(condition")f (\(2.132\))h(is)f(satis\014ed.)h(The)f(n)n(umerical)f(constan)n(ts)h Ff(c)3129 893 y Fi(\003)3191 885 y FG(and)f Ff(c)3373 893 y Fi(\003\003)3466 885 y FG(app)r(earing)i(in)e(the)494 977 y(smallness)32 b(condition)f(\(2.132\))i(\(together)e(with)h(a)f (related)h(constan)n(t)g(^)-39 b Ff(c)p FG(\))31 b(are)g(explicitly)g (ev)l(aluated)g(in)g(Lemma)f(2.8.)494 1068 y(The)f(most)g(tec)n(hnical) g(part)g(of)g(this)g(section)h(is)f(Lemma)f(2.7,)i(on)f(whic)n(h)g(the) f(pro)r(of)i(of)g(Theorem)e(2.1)i(is)g(based.)f(The)494 1159 y(statemen)n(t)c(of)i(Lemma)e(2.7)i(is)f(a)h(\(length)n(y!\))e (list)i(of)g(simpli\014ed)e(estimates,)i(whic)n(h)f(allo)n(w)h(to)f (iterate)h(in\014nitely)f(man)n(y)494 1251 y(times)g(the)f(KAM)g(map)g (so)h(as)g(to)g(construct)g(the)f(\014nal)h(KAM)f(torus.)299 1375 y FE(x)p FG(2.8:)43 b(The)20 b(\(analytic\))f(dep)r(endence)f(of)i (KAM)e(tori)i(up)r(on)e(parameters)h(is)h(discussed.)g(In)e(particular) i(the)e(theory)h(of)h(Lindstedt)494 1467 y(series)25 b(is)f(brie\015y)f(review)n(ed)h(and)g(the)f(main)g(recursiv)n(e)h (form)n(ulae,)g(whic)n(h)g(allo)n(w)h(to)f(compute)e(iso-energetic)k (Lindstedt)494 1558 y(series)h(are)f(presen)n(ted;)g(see,)g(in)g (particular,)h(Prop)r(osition)g(2.3.)299 1682 y FE(x)p FG(3.1:)43 b(The)26 b(Newton)g(equations)g(for)g(the)g(restricted)g (three-b)r(o)r(dy)e(problem)h(are)h(in)n(tro)r(duced.)299 1807 y FE(x)p FG(3.2:)43 b(The)25 b(Delauna)n(y)g(theory)f(for)h(the)g (Kepler)f(t)n(w)n(o-b)r(o)r(dy)g(problem)g(is)i(presen)n(ted.)e(In)g (particular,)i(using)f(Arnold-Liouville)494 1898 y(theorem,)h (action-angle)h(v)l(ariables)f(for)g(the)g(t)n(w)n(o-b)r(o)r(dy)f (problem)g(are)h(deriv)n(ed)f(and)g(ph)n(ysically)h(in)n(terpreted.)299 2023 y FE(x)p FG(3.3:)43 b(The)30 b(full)f(Hamiltonian)g(for)h(the)e (restricted,)i(circular,)g(planar)g(three-b)r(o)r(dy)e(problem)g(is)h (deriv)n(ed)g(and)f(expressed)h(in)494 2114 y(terms)c(of)i(the)e (Delauna)n(y)g(action-angle)i(v)l(ariables.)299 2239 y FE(x)p FG(3.4:)43 b(The)27 b(astronomical)g(parameters)f(asso)r (ciated)i(to)e(the)g(Sun-Jupiter-Victoria)f(system)g(are)i(in)n(tro)r (duced)e(and)h(a)g(mo)r(del,)494 2330 y(obtained)32 b(truncating)f(the) g(p)r(erturbation)h(function,)g(is)g(giv)n(en.)f(The)h(ph)n(ysical)g (criterion)g(leading)g(to)g(this)f(mo)r(del)g(is)494 2421 y(discussed)18 b(in)f(detail.)h(The)g(astronomically)g(relev)l(an) n(t)f(phase)g(space)h(region)g(asso)r(ciated)h(to)e(the)g(mo)r(del)g (is)h(also)g(discussed.)299 2546 y FE(x)p FG(4.1:)43 b(The)25 b(iso-energetic)i(Lindstedt)d(series)i(for)g(the)e (Sun-Jupiter-Asteroid)g(problem)g(are)h(considered.)h(The)f(c)n(hoice)h (of)f(the)494 2637 y(initial)i(appro)n(ximate)e(tori,)i Ff(Z)1384 2604 y Fi(\006)1379 2659 y Fn(Lind)1505 2637 y FG(,)f(as)h(the)e(12)1855 2605 y Fn(th)1918 2637 y FG(-order)g(truncation)h(of)g(suc)n(h)f(series)i(is)f(discussed.)299 2762 y FE(x)p FG(4.2:)43 b(The)26 b(relev)l(an)n(t)g(norms)f(asso)r (ciated)i(to)f Ff(Z)1690 2729 y Fi(\006)1685 2784 y Fn(Lind)1838 2762 y FG(are)g(computed.)299 2886 y FE(x)p FG(4.3:)43 b(The)22 b(KAM)e(map)g(is)h(applied)h(a)f(few)h(times)e(\(t)n(w)n(o)i (times)e(for)i Ff(Z)2293 2854 y Fn(+)2288 2908 y(Lind)2435 2886 y FG(and)f(four)g(times)g(for)h Ff(Z)3106 2854 y Fi(\000)3101 2908 y Fn(Lind)3228 2886 y FG(\).)f(The)g(norms)f(asso)r (ciated)494 2978 y(to)26 b(the)g(th)n(us)e(obtained)i(new)g(appro)n (ximate)f(tori)h Ff(Z)2009 2946 y Fi(\006)2004 2991 y Fn(appr)2156 2978 y FG(are)g(ev)l(aluated.)299 3102 y FE(x)p FG(4.4:)43 b(The)28 b(KAM)f(smallness)h(condition)g(of)g (Theorem)f(2.1)h(is)g(sho)n(wn)g(to)f(b)r(e)g(satis\014ed)h(b)n(y)f Ff(Z)3066 3070 y Fi(\006)3061 3115 y Fn(appr)3187 3102 y FG(.)g(The)h(main)f(result)g(on)g(the)494 3193 y(p)r(erp)r(etual)32 b(stabilit)n(y)g(of)g(the)g(motion)f(of)h(the)f(asteroid)i(Victoria)g (in)e(the)g(framew)n(ork)h(of)g(the)g(Sun-Jupiter-Victoria)494 3285 y(problem,)26 b(i.e.,)h(Theorem)e(4.1,)i(is)f(stated)g(and)g(pro)n (v)n(en.)374 3409 y(A:)41 b(The)26 b(geometry)f(of)i(the)e(ellipse)i (is)f(review)n(ed)g(and)g(a)g(few)g(classical)i(form)n(ulae)e(are)h (deriv)n(ed.)377 3534 y(B:)42 b(Sharp)c(small)h(divisor)g(estimates)f (are)h(explicitly)g(p)r(erformed.)f(Diophan)n(tine)g(constan)n(ts)h (for)g(noble)g(n)n(um)n(b)r(ers)e(are)494 3625 y(ev)l(aluated.)376 3750 y(C:)42 b(A)26 b(short)f(review)i(of)f(\\in)n(terv)l(al)g (arithmetic")g(and)f(its)h(use)g(in)g(computer-assisted)f(pro)r(ofs)i (is)f(review)n(ed.)373 3874 y(D:)41 b(A)26 b(short)f(guide)h(to)g(the)f (computer)g(programs)h(used)f(in)h(the)f(pro)r(of)i(of)f(Theorem)g(4.1) g(is)h(presen)n(ted.)414 3999 y FE(\017)42 b FG(The)26 b(pap)r(er)g(con)n(tains)g(7)g(\014gures)g(and)f(a)h(bibliograph)n(y)g (of)h(133)f(items.)287 4364 y Fe(Ac)n(kno)n(wledgmen)n(ts.)13 b FH(W)-6 b(e)17 b(are)f(indebted)i(to)f(P)-6 b(.)16 b(Witt)n(w)n(er)g(for)g(man)n(y)f(useful)h(discussions)g(and,)g(esp)r (ecially)-6 b(,)16 b(for)g(v)n(ery)g(helpful)g(suggestions)287 4442 y(ab)r(out)25 b(in)n(terv)l(al)f(arithmetic.)e(W)-6 b(e)25 b(thank)g(E.)e(Lega)h(for)f(in)n(teresting)i(commen)n(ts.)287 4521 y(W)-6 b(e)34 b(gratefully)f(ac)n(kno)n(wledge)i(the)f(use)g(of)e (computers)h(of)g(the)h(Univ)n(ersit)n(y)f(\\Roma)g(T)-6 b(re")33 b(and)h(of)f(the)h(Univ)n(ersit)n(y)f(of)g(Roma)f(\\T)-6 b(or)287 4600 y(V)g(ergata".)287 4700 y(This)17 b(w)n(ork)h(has)f(b)r (een)i(supp)r(orted)g(b)n(y)f(the)g(MIUR)g(\(Ministero)f (dell'Istruzione,)h(dell'Univ)n(ersit\022)-35 b(a)17 b(e)h(della)f(Ricerca\))i(pro)t(jects)f(\\)p Fj(Dynamical)287 4799 y(Systems:)23 b(Classical,)f(Quan)n(tum,)h(Sto)r(c)n(hastic)p FH(")j(and)e(\\)p Fj(V)-6 b(ariational)24 b(Metho)r(ds)h(and)f (Nonlinear)f(Di\013eren)n(tial)h(Equations)p FH(".)2111 5492 y FD(10)p eop %%Page: 11 11 11 10 bop 287 -94 a FC(2)135 b(Iso-energetic)46 b(KAM)e(Theory)287 104 y Fv(2.1)112 b(Notations)287 257 y FD(Let)28 b FA(d)23 b Ft(\025)f FD(2)28 b(b)r(e)g(an)f(in)n(teger)g(and)g(consider)g(a)g (real-analytic)e Fo(Hamiltonian)j(function)1900 440 y FA(H)i FD(=)23 b FA(H)7 b FD(\()p FA(x;)14 b(y)s FD(\))28 b FA(;)287 623 y FD(where)1812 746 y FA(x)c Ft(2)f Fp(T)2017 712 y Fw(d)2078 746 y FD(:=)2189 654 y Fz(\020)2292 690 y Fp(R)p 2248 727 148 4 v 2248 803 a FD(2)p FA(\031)s Fp(Z)2406 654 y Fz(\021)2455 671 y Fw(d)287 932 y FD(and)36 b FA(y)41 b Ft(2)d Fp(R)686 902 y Fw(d)768 932 y FD(are)d(standard)h (symplectic)h(co)r(ordinates)2104 902 y Fy(16)2172 932 y FD(.)g(The)g(Hamiltonian)f(equations,)g(with)h(resp)r(ect)f(to)h(the) 287 1031 y Fo(standard)26 b(symplectic)i(form)1691 1208 y FA(dx)19 b Ft(^)f FA(dy)26 b FD(:=)2137 1105 y Fw(d)2094 1129 y Fz(X)2097 1306 y Fw(j)s Fy(=1)2228 1208 y FA(dx)2318 1220 y Fw(j)2372 1208 y Ft(^)19 b FA(dy)2530 1220 y Fw(j)2592 1208 y FA(;)287 1442 y FD(read)1964 1624 y(_)-38 b FA(x)24 b FD(=)f FA(H)2177 1636 y Fw(y)2216 1624 y FD(\()p FA(x;)14 b(y)s FD(\))29 b FA(;)1964 1749 y FD(_)-38 b FA(y)26 b FD(=)d Ft(\000)p FA(H)2238 1761 y Fw(x)2279 1749 y FD(\()p FA(x;)14 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Fw(d)2123 2802 y Fz(X)2125 2978 y Fw(j)s Fy(=1)2256 2881 y FA(a)2300 2893 y Fw(j)2335 2881 y FA(b)2371 2893 y Fw(j)2433 2881 y FA(:)287 3147 y FD(Giv)n(en)k(t)n(w)n(o)g(v)n (ectors)f FA(a)i FD(and)f FA(b)p FD(,)g FA(a)19 b Ft(\012)f FA(b)27 b FD(denotes)g(the)h(matrix)1838 3330 y(\()p FA(a)18 b Ft(\012)g FA(b)p FD(\))2083 3342 y Fw(ij)2165 3330 y FD(:=)k FA(a)2319 3342 y Fw(i)2347 3330 y FA(b)2383 3342 y Fw(j)2445 3330 y FA(:)287 3512 y FD(If)28 b FA(\022)d Ft(2)f Fp(T)569 3482 y Fw(d)630 3512 y Ft(!)f FA(u)p FD(\()p FA(\022)r FD(\))g Ft(2)h Fp(R)1045 3482 y Fw(d)1117 3512 y FD(is)j(a)h(smo)r(oth)f(function,)h FA(u)1959 3524 y Fw(\022)2024 3512 y FD(denotes)f(the)h(Jacobian)e(matrix)h(with) h(en)n(tries)1867 3646 y Fz(\020)1917 3738 y FA(u)1965 3750 y Fw(\022)2002 3646 y Fz(\021)2052 3796 y Fw(ij)2133 3738 y FD(:=)2254 3682 y FA(@)5 b(u)2351 3694 y Fw(i)p 2254 3719 124 4 v 2255 3795 a FA(@)g(\022)2343 3807 y Fw(j)2415 3738 y FA(:)287 3980 y FD(A)28 b(sup)r(erscript)805 3950 y Fw(T)885 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FA(@)g(x)1972 4480 y Fw(j)2044 4411 y FA(;)2247 4319 y Fz(\020)2297 4411 y FA(H)2366 4423 y Fw(xy)2443 4319 y Fz(\021)2493 4469 y Fw(ij)2574 4411 y FD(:=)2738 4355 y FA(@)2787 4325 y Fy(2)2824 4355 y FA(H)p 2695 4392 249 4 v 2695 4468 a(@)g(x)2791 4480 y Fw(i)2819 4468 y FA(@)g(y)2909 4480 y Fw(j)2981 4411 y FD(;)287 4608 y(in)28 b(particular)1926 4707 y FA(H)1995 4719 y Fw(y)r(x)2095 4707 y FD(=)23 b FA(H)2259 4673 y Fw(T)2252 4728 y(xy)2357 4707 y FA(:)p 287 4760 1493 4 v 349 4814 a Fn(16)414 4837 y FH(Ev)n(en)h(though)g(the)g(theory)g(that)h(w)n(e)e(are)g(going) h(to)g(discuss)f(is)f(v)l(alid)h(for)f(more)g(general)i(situations,)f (for)g(sak)n(e)g(of)g(concreteness)i(and)287 4916 y(ha)n(ving)c(in)f (mind)g(the)h(application)h(to)f(the)h(three-b)r(o)r(dy)f(problem,)e(w) n(e)i(shall)f(con\014ne)i(ourselv)n(es)f(to)g(the)h(case)f(of)g Fp(R)3371 4893 y Fk(d)3422 4916 y Fl(\002)10 b Fp(T)3543 4893 y Fk(d)3599 4916 y FH(endo)n(w)n(ed)22 b(with)287 4995 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Fd(T)2098 1340 y Fq(d)2131 1281 y FA(u)p FD(\()p FA(\022)r FD(\))2350 1225 y FA(d\022)p 2294 1262 196 4 v 2294 1338 a FD(\(2)p FA(\031)s FD(\))2450 1314 y Fw(d)2528 1281 y FA(:)287 1485 y FD(Giv)n(en)27 b(a)g(v)n(ector)g FA(!)e Ft(2)f Fp(R)1056 1454 y Fw(d)1101 1485 y FD(,)j FA(D)1210 1497 y Fw(!)1286 1485 y FD(will)h(denote)f(the)h(directional)f(deriv)-5 b(ativ)n(e)27 b(on)g Fp(T)2816 1454 y Fw(d)2882 1485 y FD(giv)n(en)f(b)n(y)1661 1739 y FA(D)1720 1751 y Fw(!)1791 1739 y FD(:=)c FA(!)g Ft(\001)c FA(@)2060 1751 y Fw(\022)2121 1739 y FD(:=)2274 1635 y Fw(d)2231 1660 y Fz(X)2234 1837 y Fw(j)s Fy(=1)2365 1739 y FA(!)2417 1751 y Fw(j)2499 1683 y FA(@)p 2462 1720 123 4 v 2462 1796 a(@)5 b(\022)2550 1808 y Fw(j)2622 1739 y FA(:)1203 b FD(\(2.8\))287 2013 y(A)28 b(v)n(ector)e FA(!)g Ft(2)d Fp(R)836 1983 y Fw(d)909 2013 y FD(will)k(b)r(e)h(called)g Fo(Diophan)n(tine)f FD(if)h(there)g(exist)f FA(\015)h(>)22 b FD(0,)28 b FA(\034)k Ft(\025)23 b FA(d)c Ft(\000)f FD(1)27 b(suc)n(h)g(that)1288 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Ft(2)d Fp(T)3506 3037 y Fw(d)3569 3067 y Ft(!)g FA(u)p FD(\()p FA(\022)r FD(\))29 b(with)287 3167 y(v)-5 b(anishing)27 b(a)n(v)n(erage,)e FA(D)1046 3137 y Fx(\000)p Fy(1)1034 3188 y Fw(!)1135 3167 y FA(u)i FD(denotes)g(the)h (real-analytic)e(function)2428 3137 y Fy(17)1519 3366 y FA(D)1590 3331 y Fx(\000)p Fy(1)1578 3386 y Fw(!)1679 3366 y FA(u)p FD(\()p FA(\022)r FD(\))e(:=)1985 3287 y Fz(X)1976 3466 y Fq(n)p Fr(2)p Fc(Z)2086 3454 y Fq(d)1992 3513 y(n)p Fr(6)p Fs(=0)2198 3309 y FA(u)2246 3321 y Fw(n)p 2148 3346 194 4 v 2148 3422 a FA(i!)d Ft(\001)e FA(n)2365 3366 y FD(exp\()p FA(in)f Ft(\001)h FA(\022)r FD(\))28 b FA(;)287 3674 y FD(where)f FA(u)575 3686 y Fw(n)647 3674 y FD(denotes)h(F)-7 b(ourier)26 b(co)r(e\016cien)n(ts,) 1503 3889 y FA(u)1551 3901 y Fw(n)1618 3889 y FD(:=)1784 3833 y(1)p 1739 3870 131 4 v 1739 3946 a(2)p FA(\031)1831 3922 y Fw(d)1880 3776 y Fz(Z)1932 3964 y Fd(T)1977 3948 y Fq(d)2010 3889 y FA(u)p FD(\()p FA(\022)r FD(\))42 b(exp\()p Ft(\000)p FA(in)17 b Ft(\001)i 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Fz(P)3291 4635 y Fw(d)3291 4701 y(j)s Fy(=1)3424 4677 y FA(a)3468 4689 y Fw(j)3503 4677 y FA(A)3565 4689 y Fw(j)s(k)3637 4677 y FD(,)g(while)g FA(Aa)287 4803 y FD(denotes)27 b(the)h(v)n(ector)e(with)i FA(k)1214 4773 y Fy(th)1309 4803 y FD(comp)r(onen)n(t)1733 4741 y Fz(P)1821 4761 y Fw(d)1821 4828 y(j)s Fy(=1)1954 4803 y FA(A)2016 4815 y Fw(k)q(j)2088 4803 y FA(a)2132 4815 y Fw(j)2166 4803 y FD(.)p 287 4857 1493 4 v 349 4917 a Fn(17)414 4941 y FH(The)f(analyticit)n(y)g(of)g Fm(D)1059 4911 y Fi(\000)p Fn(1)1046 4953 y Fk(!)1141 4941 y Fm(u)f FH(is)g(consequence)j(of)d (the)i(exp)r(onen)n(tial)g(deca)n(y)g(of)e(F)-6 b(ourier)26 b(co)r(e\016cien)n(ts)i(of)e(analytic)h(functions)g(and)g(of)287 5020 y(the)d(Diophan)n(tine)h(assumption)e(on)h Fm(!)r FH(.)2111 5492 y FD(12)p eop %%Page: 13 13 13 12 bop 287 -94 a Fv(2.2)112 b(KAM)37 b(tori)287 59 y FD(Giv)n(en)22 b(a)f(Diophan)n(tine)h(v)n(ector)f FA(!)26 b Ft(2)d Fp(R)1505 29 y Fw(d)1550 59 y FD(,)f(a)g FB(KAM)j(torus)g (with)g(frequency)i 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(follo)n(wing)f(quasi-linear)f(system)h(of)h(PDE's)e(on)i Fp(T)3566 1534 y Fw(d)3604 1564 y FD(:)1529 1747 y FA(!)21 b FD(+)d FA(D)1744 1759 y Fw(!)1797 1747 y FD(~)-47 b FA(u)18 b Ft(\000)g FA(H)2010 1759 y Fw(y)2050 1747 y FD(\()p FA(\022)j FD(+)i(~)-47 b FA(u)o(;)18 b FD(~)-46 b FA(v)t FD(\))111 b(=)f(0)27 b FA(;)1688 1872 y(D)1747 1884 y Fw(!)1798 1872 y FD(~)-46 b FA(v)22 b FD(+)c FA(H)2008 1884 y Fw(x)2050 1872 y FD(\()p FA(\022)j FD(+)i(~)-47 b FA(u)o(;)18 b FD(~)-46 b FA(v)t FD(\))111 b(=)f(0)27 b FA(;)1044 b FD(\(2.13\))287 2054 y(where)27 b FA(D)586 2066 y Fw(!)661 2054 y FD(is)h(de\014ned)g(in)g(\(2.8\).)f(Without)i (loss)d(of)i(generalit)n(y)-7 b(,)26 b(w)n(e)h(ma)n(y)g(assume)g(that) 1980 2237 y(~)-47 b FA(u)o FD(\(0\))23 b(=)g(0)k FA(;)1476 b FD(\(2.14\))287 2420 y(\(whic)n(h)27 b(is)h(a)f(\\normalization")d (condition)k(that)f(amoun)n(ts)g(to)g(\014x)h(in)f FA(\022)f FD(=)c(0)27 b(the)h(\\origin")d(of)j(the)f(in)n(v)-5 b(arian)n(t)27 b(torus\).)287 2544 y(Vice-v)n(ersa,)j(giv)n(en)h(a)h (triple)g(\()5 b(~)-47 b FA(u)o(;)17 b FD(~)-45 b FA(v)t(;)14 b(!)s FD(\))31 b(satisfying)h(\(2.13\))f(and)h(\(2.11\),)f(one)g (obtains,)h(via)f(\(2.10\),)h(a)f FA(\036)3607 2514 y Fw(t)3607 2567 y(H)3671 2544 y FD(-in)n(v)-5 b(arian)n(t)287 2644 y(torus)30 b(satisfying)g(\(2.12\).)g(By)h(sligh)n(t)f(abuse)h(of) f(notation,)h Fo(w)n(e)f(shall)h(also)e(call)i(the)g(triple)g FD(\()5 b(~)-47 b FA(u;)17 b FD(~)-45 b FA(v)s(;)14 b(!)s FD(\))31 b Fo(a)f(KAM)h(torus)287 2743 y(with)d(frequency)f FA(!)s FD(.)287 2868 y(W)-7 b(e)33 b(shall)e(b)r(e)i(particularly)e(in) n(terested)h(in)g Fo(KAM)h(tori)f(lying)g(o)n(v)n(er)e(a)i(giv)n(en)f (energy)h(surface)f FA(H)3409 2838 y Fx(\000)p Fy(1)3498 2868 y FD(\()p FA(E)5 b FD(\);)33 b(in)g(suc)n(h)f(a)287 2967 y(case)27 b(\(in)h(view)f(of)h(\(2.14\)\),)f(one)g(has)1855 3067 y FA(H)7 b FD(\(0)p FA(;)17 b FD(~)-45 b FA(v)s FD(\(0\)\))23 b(=)g FA(E)33 b(:)287 3217 y FD(Th)n(us,)e(the)g(system)g (of)g(equations)g(that)g(a)g(KAM)g(torus)f(with)i(frequency)f FA(!)j FD(lying)c(on)h(the)h(energy)e(lev)n(el)h FA(H)3800 3186 y Fx(\000)p Fy(1)3888 3217 y FD(\()p FA(E)5 b FD(\))287 3316 y(satis\014es)27 b(is)649 3286 y Fy(18)1529 3499 y FA(!)21 b FD(+)d FA(D)1744 3511 y Fw(!)1797 3499 y FD(~)-47 b FA(u)18 b Ft(\000)g FA(H)2010 3511 y Fw(y)2050 3499 y FD(\()p FA(\022)j FD(+)i(~)-47 b FA(u)o(;)18 b FD(~)-46 b FA(v)t FD(\))111 b(=)f(0)27 b FA(;)1688 3623 y(D)1747 3635 y Fw(!)1798 3623 y FD(~)-46 b FA(v)22 b FD(+)c FA(H)2008 3635 y Fw(x)2050 3623 y FD(\()p FA(\022)j FD(+)i(~)-47 b FA(u)o(;)18 b FD(~)-46 b FA(v)t FD(\))111 b(=)f(0)27 b FA(;)2264 3748 y FD(~)-47 b FA(u)o FD(\(0\))84 b(=)110 b(0)27 b FA(;)1877 3872 y(H)7 b FD(\(0)p FA(;)17 b FD(~)-45 b FA(v)s FD(\(0\)\))18 b Ft(\000)g FA(E)89 b FD(=)110 b(0)27 b FA(:)1044 b FD(\(2.15\))287 4055 y Fo(Henceforth,)33 b(w)n(e)f(shall)g(\014x)h(an)f(energy)g(lev)n(el)g FA(E)37 b Ft(2)32 b Fp(R)p Fo(,)39 b(and)32 b(discuss)h(ho)n(w)f(to)g (construct)h(KAM)f(tori)h(on)f(the)h(\014xed)287 4155 y(energy)26 b(surface)h FA(H)908 4125 y Fx(\000)p Fy(1)997 4155 y FD(\()p FA(E)5 b FD(\))p Fo(.)p 287 4208 1493 4 v 349 4262 a Fn(18)414 4285 y FH(Clearly)-6 b(,)23 b(if)g Fm(!)i FH(is)f(rationally)f(indep)r(enden)n(t)j(and)f Fm(u)e FH(and)h Fm(v)j FH(satisfy)c(the)i(di\013eren)n(tial)f (equations)h Fm(!)18 b FH(+)e Fm(D)3200 4293 y Fk(!)3244 4285 y Fm(u)g Fl(\000)f Fm(H)3429 4293 y Fk(y)3467 4285 y FH(\()p Fm(\022)j FH(+)e Fm(u;)11 b(v)r FH(\))21 b(=)e(0)24 b(and)287 4382 y Fm(D)345 4390 y Fk(!)389 4382 y Fm(v)c FH(+)d Fm(H)573 4390 y Fk(x)612 4382 y FH(\()p Fm(\022)i FH(+)d Fm(u;)11 b(v)r FH(\))24 b(=)e(0,)j(then)h Fm(H)1303 4319 y Fz(\000)1341 4382 y Fm(\022)19 b FH(+)e Fm(u)p FH(\()p Fm(\022)r FH(\))p Fm(;)12 b(v)r FH(\()p Fm(\022)r FH(\))1752 4319 y Fz(\001)1816 4382 y FH(is)25 b(constan)n(t)i(in)e Fm(\022)f Fl(2)f Fp(T)2442 4358 y Fk(d)2477 4382 y FH(.)i(In)g(fact,)h (the)g(di\013eren)n(tial)f(equations)i(imply)d(that)i(the)287 4494 y(function)f Fm(t)c Fl(!)f Fm(H)764 4431 y Fz(\000)802 4494 y Fm(!)r(t)d FH(+)f Fm(u)p FH(\()p Fm(!)r(t)p FH(\))p Fm(;)d(v)r FH(\()p Fm(!)r(t)p FH(\))1321 4431 y Fz(\001)1385 4494 y FH(is)24 b(constan)n(t)i(in)e Fm(t)g FH(\(as)h(one)g(c)n(hec)n (ks)g(b)n(y)g(di\013eren)n(tiating)g(with)f(resp)r(ect)i(to)e Fm(t)p FH(\))h(and)g(the)g(densit)n(y)g(of)287 4593 y(the)f(\015o)n(w)g Fm(t)c Fl(!)g Fm(!)r(t)k FH(on)g Fp(T)940 4570 y Fk(d)999 4593 y FH(yields)f(the)i(claim.)2111 5492 y FD(13)p eop %%Page: 14 14 14 13 bop 287 -94 a Fv(2.3)112 b(Newton)37 b(sc)m(heme)g(for)h (\014nding)f(iso-energetic)f(KAM)i(tori)287 59 y FD(The)32 b(starting)g(p)r(oin)n(t)h(of)f(an)g(iterativ)n(e)g(metho)r(d)h(for)f (\014nding)h(solutions)f(of)g(\(2.15\))g(is)g(the)h(notion)f(of)h Fo(appro)n(ximate)287 159 y(KAM)c(torus)p FD(.)g(By)g(de\014nition,)h (an)f FB(appro)m(ximate)k(KAM)h(torus)29 b FD(is)g Fo(a)g(triple)g FD(\()p FA(u;)14 b(v)s(;)g(!)s FD(\))30 b Fo(where)e FA(u)h Fo(and)g FA(v)k Fo(are)28 b(real-)287 258 y(analytic)f Fp(R)657 228 y Fw(d)701 258 y Fo(-v)-5 b(alued)28 b(functions)g(on)f Fp(T)1519 228 y Fw(d)1585 258 y Fo(with)1103 441 y FD(det)14 b Ft(M)p FD(\()p FA(\022)r FD(\))23 b(:=)g(det)1700 374 y Fz(\000)1738 441 y FA(I)j FD(+)18 b FA(u)1931 453 y Fw(\022)1968 374 y Fz(\001)2029 441 y Ft(6)p FD(=)23 b(0)k FA(;)97 b Ft(8)26 b FA(\022)g Ft(2)d Fp(T)2578 407 y Fw(d)2644 441 y FA(;)180 b(u)p FD(\(0\))23 b(=)f(0)27 b FA(;)287 623 y Fo(and)e FA(!)j Fo(is)d(a)g(Diophan)n(tine)g(v)n (ector)f FD(\(i.e.,)h(v)n(eri\014es)f(\(2.9\)\).)i(T)-7 b(o)24 b(an)h(appro)n(ximate)f(KAM)h(torus)f(\(and)i(the)f(\014xed)g (energy)287 723 y(lev)n(el)i FA(E)5 b FD(\))28 b(w)n(e)f(asso)r(ciate)f (the)i(system)1525 906 y FA(!)21 b FD(+)d FA(D)1740 918 y Fw(!)1788 906 y FA(u)g Ft(\000)g FA(H)2006 918 y Fw(y)2046 906 y FD(\()p FA(\022)j FD(+)d FA(u;)c(v)s FD(\))111 b(=)f FA(f)36 b(;)1683 1030 y(D)1742 1042 y Fw(!)1790 1030 y FA(v)22 b FD(+)c FA(H)2004 1042 y Fw(x)2046 1030 y FD(\()p FA(\022)j FD(+)d FA(u;)c(v)s FD(\))111 b(=)f FA(g)30 b(;)2227 1155 y(u)p FD(\(0\))111 b(=)f(0)27 b FA(;)1845 1279 y(H)7 b FD(\(0)p FA(;)14 b(v)s FD(\(0\)\))19 b Ft(\000)f FA(E)116 b FD(=)110 b FA(h)27 b(;)1042 b FD(\(2.16\))287 1462 y(whic)n(h)29 b Fo(de\014nes)h FD(the)g(\\error)d (functions")j FA(f)9 b FD(,)29 b FA(g)k FD(and)c(the)h(\\error)e(n)n (um)n(b)r(er")g FA(h)p FD(.)i(Ob)n(viously)-7 b(,)29 b(if)h(the)g(error)e(functions)i FA(f)287 1562 y FD(and)22 b FA(g)j FD(and)d(the)h(n)n(um)n(b)r(er)f FA(h)g FD(v)-5 b(anish,)23 b(the)f(appro)n(ximate)f(KAM)h(torus)g Fo(de\014nes)g FD(a)g(KAM)h(torus)e(with)i(frequency)f FA(!)j FD(and)287 1661 y(energy)g FA(E)5 b FD(.)26 b(The)h(idea)f(b)r(ey)n(ond)f(the)i (Newton)f(iteration)g(is)g(that,)h(if)f(the)h(error)d(functions)j FA(f)35 b FD(and)26 b FA(g)j FD(and)d(the)g(n)n(um)n(b)r(er)287 1761 y FA(h)32 b FD(are)f Fo(small)h(enough)p FD(,)f(then)i(one)e(can)h (start)g(an)f(iterativ)n(e)h(pro)r(cess)f(leading)g(to)h Fo(b)r(etter)g(and)g(b)r(etter)h(appro)n(ximate)287 1861 y(KAM)27 b(tori)g FD(\(meaning)h(that)g(the)g(new)f(errors)f(b)r(ecome) h(nearly)g Fo(quadratically)f FD(smaller\).)287 1985 y(In)32 b(this)g(paragraph)d(w)n(e)j(shall)f(describ)r(e,)g Fo(at)h(an)g(algebraic)d(lev)n(el)p FD(,)j(ho)n(w)f(to)h(construct)f(a) g(new)h(appro)n(ximate)e(KAM)287 2085 y(torus)d(giv)n(en)f(b)n(y)1114 2184 y FA(u)1162 2150 y Fx(0)1208 2184 y FD(:=)c FA(u)c FD(+)g FA(z)31 b(;)180 b(v)1783 2150 y Fx(0)1830 2184 y FD(:=)23 b FA(v)e FD(+)d FA(w)31 b(;)180 b(!)2433 2150 y Fx(0)2479 2184 y FD(:=)22 b(\(1)d(+)f FA(a)p FD(\))p FA(!)53 b FD(=:)15 b FA(!)3101 2196 y Fw(a)3169 2184 y FA(;)287 2334 y FD(starting)30 b(from)g(an)g(appro)n(ximate)f(KAM)i (torus)f(\()p FA(u;)14 b(v)s(;)g(!)s FD(\).)31 b(Notice,)f(that,)h(for) f FA(a)e Ft(6)p FD(=)g Ft(\000)p FD(1,)23 b FA(!)3180 2346 y Fw(a)3250 2334 y FD(is)31 b(automatically)e(Dio-)287 2433 y(phan)n(tine)20 b(with)h(Diophan)n(tine)f(constan)n(ts)g FA(\015)1678 2403 y Fx(0)1723 2433 y FD(:=)j Ft(j)p FD(1)t(+)t FA(a)p Ft(j)c FA(\015)25 b FD(and)20 b FA(\034)9 b FD(.)22 b(V)-7 b(arying)19 b FA(!)k FD(b)n(y)d(a)g(\(small\))g(factor)g(will)g (b)r(e)h(necessary)287 2533 y(in)28 b(order)e(to)h(meet)h(the)g(energy) f(constrain)n(t,)f(as)h(explained)g(b)r(elo)n(w.)287 2716 y FB(Notational)k(Remark)g(2.1)40 b FD(In)23 b(what)f(follo)n(ws,) f(giv)n(en)g(an)h(appro)n(ximate)e(KAM)i(torus)g(\()p FA(u;)14 b(v)s(;)g(!)s FD(\),)22 b FA(H)3512 2686 y Fy(0)3571 2716 y FD(\(or)f FA(H)3775 2686 y Fy(0)3768 2736 y Fw(x)3812 2716 y FD(,)i(etc.\))287 2815 y(will)28 b(b)r(e)g(short)e(for)i FA(H)7 b FD(\()p FA(\022)20 b FD(+)e FA(u)p FD(\()p FA(\022)r FD(\))p FA(;)c(v)s FD(\()p FA(\022)r FD(\)\))30 b(\(or)d(for)g FA(H)1877 2827 y Fw(x)1919 2815 y FD(\()p FA(\022)21 b FD(+)d FA(u)p FD(\()p FA(\022)r FD(\))p FA(;)c(v)s FD(\()p FA(\022)r FD(\)\),)29 b(etc.\).)287 2998 y(W)-7 b(e)28 b(start)f(with)h(a)f(preliminary)g(result,)g(whic)n(h)h (re\015ects)f(the)h(symplectic)f(structure)g(of)h(the)g(problem.)287 3181 y FB(Lemma)h(2.1)41 b Fh(L)l(et)32 b FD(\()p FA(u;)14 b(v)s(;)g(!)s FD(\))31 b Fh(b)l(e)i(an)f(appr)l(oximate)i(KAM)e(torus)f (and)i(let)f FA(f)41 b Fh(and)32 b FA(g)j Fh(b)l(e)d(as)h(in)f FD(\(2.16\))p Fh(.)g(Then)g Ft(M)27 b FD(:=)287 3280 y FA(I)e FD(+)18 b FA(u)479 3292 y Fw(\022)546 3280 y Fh(and)30 b FA(v)747 3292 y Fw(\022)815 3280 y Fh(verify)1526 3463 y FA(D)1585 3475 y Fw(!)1633 3463 y Ft(M)18 b(\000)g FA(H)1910 3429 y Fy(0)1903 3483 y Fw(y)r(x)1981 3463 y Ft(M)g(\000)g FA(H)2258 3429 y Fy(0)2251 3483 y Fw(y)r(y)2327 3463 y FA(v)2367 3475 y Fw(\022)2487 3463 y FD(=)83 b FA(f)2676 3475 y Fw(\022)2743 3463 y FA(;)1544 3600 y(D)1603 3612 y Fw(!)1651 3600 y FA(v)1691 3612 y Fw(\022)1747 3600 y FD(+)18 b FA(H)1906 3565 y Fy(0)1899 3620 y Fw(xx)1979 3600 y Ft(M)g FD(+)g FA(H)2256 3565 y Fy(0)2249 3620 y Fw(xy)2327 3600 y FA(v)2367 3612 y Fw(\022)2487 3600 y FD(=)83 b FA(g)2675 3612 y Fw(\022)2742 3600 y FA(:)1042 b FD(\(2.17\))287 3782 y Fh(If)30 b(one)g(de\014nes)1575 3965 y FA(b)22 b FD(:=)h FA(v)1787 3931 y Fw(T)1784 3985 y(\022)1840 3965 y FA(f)k Ft(\000)18 b(M)2091 3931 y Fw(T)2143 3965 y FA(g)1575 4089 y Ft(B)25 b FD(:=)e Ft(M)1866 4055 y Fw(T)1918 4089 y FA(v)1958 4101 y Fw(\022)2014 4089 y Ft(\000)18 b FA(v)2140 4055 y Fw(T)2137 4110 y(\022)2192 4089 y Ft(M)30 b FA(;)1575 4214 y Ft(G)e FD(:=)23 b FA(f)1813 4180 y Fw(T)1804 4234 y(\022)1865 4214 y FA(v)1905 4226 y Fw(\022)1961 4214 y FD(+)18 b Ft(M)2144 4180 y Fw(T)2196 4214 y FA(g)2236 4226 y Fw(\022)2292 4214 y Ft(\000)g FA(v)2418 4180 y Fw(T)2415 4234 y(\022)2470 4214 y FA(f)2511 4226 y Fw(\022)2567 4214 y Ft(\000)g FA(g)2693 4180 y Fw(T)2690 4234 y(\022)2745 4214 y Ft(M)29 b FA(;)910 b FD(\(2.18\))287 4397 y Fh(then,)1745 4496 y Ft(h)q FA(b)p Ft(i)23 b FD(=)f(0)29 b FA(;)184 b Ft(hB)s(i)23 b FD(=)f(0)30 b FA(;)1246 b FD(\(2.19\))287 4646 y Fh(and)30 b Ft(B)i Fh(satis\014es)e(the)g(e)l(quation)1962 4745 y FA(D)2021 4757 y Fw(!)2069 4745 y Ft(B)25 b FD(=)e Ft(G)35 b FA(;)1463 b FD(\(2.20\))287 4895 y Fh(so)30 b(that,)g(in)g(p)l(articular,)1991 4994 y Ft(hG)5 b(i)24 b FD(=)f(0)29 b FA(:)2111 5492 y FD(14)p eop %%Page: 15 15 15 14 bop 287 -94 a FB(Pro)s(of)34 b FD(The)c(system)f(of)h(equations)f (\(2.17\))g(is)g(obtained)h(immediately)g(b)n(y)f(taking)g(the)h (gradien)n(t)f(with)h(resp)r(ect)f(to)287 5 y FA(\022)h FD(of)d(the)h(\014rst)g(t)n(w)n(o)e(equations)h(in)h(\(2.16\).)287 130 y(The)f(follo)n(wing)g(iden)n(tities)h(are)f(immediate)g (consequence)g(of)h(the)g(giv)n(en)e(de\014nitions:)1770 313 y FA(v)1813 278 y Fw(T)1810 333 y(\022)1866 313 y FA(!)g FD(=)c FA(D)2090 325 y Fw(!)2138 313 y FA(v)31 b(;)1575 b FD(\(2.21\))1770 437 y FA(@)1814 449 y Fw(\022)1852 437 y FA(H)1928 403 y Fy(0)1988 437 y FD(=)23 b Ft(M)2176 403 y Fw(T)2228 437 y FA(H)2304 403 y Fy(0)2297 458 y Fw(x)2359 437 y FD(+)18 b FA(v)2485 403 y Fw(T)2482 458 y(\022)2538 437 y FA(H)2614 403 y Fy(0)2607 458 y Fw(y)2678 437 y FA(:)1106 b FD(\(2.22\))287 620 y(Th)n(us,)1111 802 y Ft(h)q FA(b)p Ft(i)124 b FD(:=)g Ft(h)q FA(v)1624 768 y Fw(T)1621 823 y(\022)1676 802 y FA(f)27 b Ft(\000)18 b(M)1927 768 y Fw(T)1979 802 y FA(g)s Ft(i)1295 908 y Fy(\(2)p Fw(:)p Fy(16\))1348 962 y FD(=)135 b Ft(h)q FA(v)1624 928 y Fw(T)1621 983 y(\022)1676 962 y FA(!)21 b FD(+)d FA(v)1875 928 y Fw(T)1872 983 y(\022)1928 962 y FA(D)1987 974 y Fw(!)2035 962 y FA(u)g Ft(\000)g FA(v)2227 928 y Fw(T)2224 983 y(\022)2279 962 y FA(H)2355 928 y Fy(0)2348 983 y Fw(y)2411 962 y Ft(\000)g(M)2594 928 y Fw(T)2646 962 y FA(D)2705 974 y Fw(!)2753 962 y FA(v)j Ft(\000)d(M)2997 928 y Fw(T)3049 962 y FA(H)3125 928 y Fy(0)3118 983 y Fw(x)3162 962 y Ft(i)1295 1079 y Fy(\(2)p Fw(:)p Fy(21\))1348 1134 y FD(=)135 b Ft(h)q FA(v)1624 1099 y Fw(T)1621 1154 y(\022)1676 1134 y FA(D)1735 1146 y Fw(!)1783 1134 y FA(u)18 b Ft(\000)g FA(u)1980 1099 y Fw(T)1980 1154 y(\022)2032 1134 y FA(D)2091 1146 y Fw(!)2139 1134 y FA(v)s Ft(i)h(\000)f(h)p FA(v)2391 1099 y Fw(T)2388 1154 y(\022)2444 1134 y FA(H)2520 1099 y Fy(0)2513 1154 y Fw(y)2575 1134 y FD(+)g Ft(M)2758 1099 y Fw(T)2810 1134 y FA(H)2886 1099 y Fy(0)2879 1154 y Fw(x)2923 1134 y Ft(i)1295 1250 y Fy(\(2)p Fw(:)p Fy(22\))1348 1305 y FD(=)135 b Ft(h)q FA(v)1624 1270 y Fw(T)1621 1325 y(\022)1676 1305 y FA(D)1735 1317 y Fw(!)1783 1305 y FA(u)18 b Ft(\000)g FA(u)1980 1270 y Fw(T)1980 1325 y(\022)2032 1305 y FA(D)2091 1317 y Fw(!)2139 1305 y FA(v)s Ft(i)1348 1429 y FD(=)135 b(0)28 b FA(;)287 1612 y FD(where)36 b(the)h(last)g(iden)n(tit)n(y)g(follo)n(ws)f(b)n(y)g(a)h(double)f(in)n (tegration)g(b)n(y)h(parts)2675 1582 y Fy(19)2744 1612 y FD(.)g(This)g(pro)n(v)n(es)e(the)i(\014rst)g(equation)f(in)287 1711 y(\(2.19\).)287 1836 y(The)27 b(second)g(equation)g(in)h(\(2.19\)) f(also)g(follo)n(ws)f(immediately)i(b)n(y)f(a)h(double)f(in)n (tegration)f(b)n(y)i(parts)3489 1806 y Fy(20)3558 1836 y FD(:)1311 2019 y Ft(hB)s(i)22 b FD(:=)h Ft(hM)1698 1984 y 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FA(f)2665 4325 y Fw(a;\022)2788 4313 y FA(;)1499 4450 y(D)1558 4462 y Fw(!)1600 4470 y Fq(a)1640 4450 y FA(v)1680 4462 y Fw(\022)1737 4450 y FD(+)18 b FA(H)1896 4416 y Fy(0)1889 4471 y Fw(xx)1968 4450 y Ft(M)g FD(+)g FA(H)2245 4416 y Fy(0)2238 4471 y Fw(xy)2316 4450 y FA(v)2356 4462 y Fw(\022)2477 4450 y FD(=)82 b FA(g)2664 4462 y Fw(a;\022)2787 4450 y FA(:)997 b FD(\(2.25\))p 287 4503 1493 4 v 349 4610 a Fn(19)414 4634 y FH(In)24 b(fact:)661 4525 y Fz(Z)709 4714 y Fd(T)754 4700 y Fq(d)797 4588 y Fm(@)t(v)872 4600 y Fk(k)p 797 4619 114 4 v 804 4684 a Fm(@)t(\022)878 4694 y Fk(i)920 4634 y Fm(D)967 4642 y Fk(!)1012 4634 y Fm(u)1053 4646 y Fk(k)1111 4634 y FH(=)1185 4525 y Fz(Z)1234 4714 y Fd(T)1279 4700 y Fq(d)1312 4634 y FH(\()p Fm(D)1386 4642 y Fk(!)1431 4634 y Fm(v)1465 4646 y Fk(k)1504 4634 y FH(\))1541 4588 y Fm(@)t(u)1623 4600 y Fk(k)p 1541 4619 121 4 v 1551 4684 a Fm(@)t(\022)1625 4694 y Fk(i)1671 4634 y FH(.)349 4799 y Fn(20)414 4822 y FH(In)g(fact:)661 4714 y Fz(Z)709 4902 y 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54 y Fy(0)2975 109 y Fw(y)r(y)3050 88 y FA(w)r FD(])31 b FA(;)1104 225 y(Q)1170 237 y Fy(2)1290 225 y FD(:=)83 b FA(f)1502 237 y Fw(a;\022)1595 225 y Ft(M)1695 191 y Fx(\000)p Fy(1)1784 225 y FA(z)33 b(;)1104 350 y(Q)1170 362 y Fy(3)1290 350 y FD(:=)83 b FA(H)1537 315 y Fy(0)1530 370 y Fw(y)r(y)1606 350 y Ft(M)1706 315 y Fx(\000)p Fw(T)1809 350 y FD(\()p FA(D)1912 315 y Fx(\000)p Fy(1)1900 370 y Fw(!)1942 378 y Fq(a)2002 350 y Ft(G)2051 362 y Fw(a)2091 350 y FD(\))30 b Ft(M)2253 315 y Fx(\000)p Fy(1)2342 350 y FA(z)j(;)1104 486 y(Q)1170 498 y Fy(4)1290 486 y FD(:=)83 b FA(H)1530 498 y Fw(x)1572 486 y FD(\()p FA(\022)21 b FD(+)d FA(u)g FD(+)g FA(z)t(;)c(v)21 b FD(+)d FA(w)r FD(\))h Ft(\000)f FA(H)2391 452 y Fy(0)2384 507 y Fw(x)2446 486 y Ft(\000)h FA(H)2606 452 y Fy(0)2599 507 y Fw(xx)2678 486 y FA(z)j Ft(\000)c FA(H)2898 452 y Fy(0)2891 507 y Fw(xy)2968 486 y FA(w)33 b(;)1104 625 y(Q)1170 637 y Fy(5)1290 625 y FD(:=)83 b Ft(M)1561 591 y Fx(\000)p Fw(T)1665 625 y FA(g)1708 591 y Fw(T)1705 646 y(a;\022)1798 625 y FA(z)33 b(;)1104 764 y(Q)1170 776 y Fy(6)1290 764 y FD(:=)83 b Ft(\000M)1626 730 y Fx(\000)p Fw(T)1729 764 y FA(f)1779 730 y Fw(T)1770 785 y(a;\022)1863 764 y FA(w)33 b(;)1104 903 y(Q)1170 915 y Fy(7)1290 903 y FD(:=)83 b Ft(M)1561 869 y Fx(\000)p Fw(T)1695 903 y FA(v)1738 869 y Fw(T)1735 924 y(\022)1790 903 y FD(\()p FA(Q)1888 915 y Fy(2)1944 903 y FD(+)18 b FA(Q)2093 915 y Fy(3)2130 903 y FD(\))30 b FA(;)287 1086 y Fh(then)1192 1186 y FA(f)1242 1151 y Fx(0)1287 1186 y FD(:=)23 b FA(Q)1464 1198 y Fy(1)1519 1186 y FD(+)c FA(Q)1669 1198 y Fy(2)1724 1186 y FD(+)f FA(Q)1873 1198 y Fy(3)1939 1186 y FA(;)184 b(g)2189 1151 y Fx(0)2235 1186 y FD(:=)23 b FA(Q)2412 1198 y Fy(4)2467 1186 y FD(+)18 b FA(Q)2616 1198 y Fy(5)2671 1186 y FD(+)g FA(Q)2820 1198 y Fy(6)2876 1186 y FD(+)g FA(Q)3025 1198 y Fy(7)3091 1186 y FA(:)287 1368 y FB(Remark)31 b(2.2)40 b FD(\(i\))c(The)g (meaning)f(of)g(\(2.29\))g(is)g(the)h(follo)n(wing.)f(The)g(\014rst)h (relation)e(in)i(\(2.29\))f(is)g(equiv)-5 b(alen)n(t)35 b(to)287 1468 y(require)26 b(that)i Ft(h)5 b FD(^)-47 b FA(z)t Ft(i)23 b FD(=)g(0,)k(whic)n(h)h(is)f(necessary)f(in)i(order)e (to)h(b)r(e)h(able)g(to)f(de\014ne)h FA(D)2861 1438 y Fx(\000)p Fy(1)2849 1489 y Fw(!)2891 1497 y Fq(a)2955 1468 y FD(^)-47 b FA(z)31 b FD(and)d(\(hence\))g FA(z)t FD(.)287 1568 y(As)g(for)f(the)h(second)f(relation)f(in)i(\(2.29\),)f (observ)n(e)f(that)1443 1750 y FA(v)1486 1716 y Fx(0)1509 1750 y FD(\(0\))d(=)g FA(v)s FD(\(0\))c(+)f Ft(M)2077 1716 y Fx(\000)p Fw(T)2181 1750 y FD(\(0\)[)p FA(c)g FD(+)g FA(D)2518 1716 y Fx(\000)p Fy(1)2506 1771 y Fw(!)2548 1779 y Fq(a)2607 1750 y FA(b)2643 1762 y Fw(a)2683 1750 y FD(\(0\)])28 b FA(;)287 1933 y FD(whic)n(h)19 b(is)g(exactly)f(the)h (second)g(argumen)n(t)e(of)i FA(H)26 b FD(in)19 b(the)h(second)e (equation)g(of)h(\(2.29\).)g(Therefore,)e(the)j(second)e(relation)287 2033 y(in)33 b(\(2.29\))g(is)g(equiv)-5 b(alen)n(t)32 b(to)h(last)g(equation)g(in)g(\(2.32\).)g(In)g(particular,)f(this)h (means)g(that)g(the)h(new)f(appro)n(ximate)287 2132 y(torus)f(describ)r (es)h(a)f(surface)g(whic)n(h)h(sits)g Fo(exactly)g FD(on)f(the)i (energy)e(lev)n(el)g FA(H)2723 2102 y Fx(\000)p Fy(1)2812 2132 y FD(\()p FA(E)5 b FD(\).)34 b(The)f(solv)-5 b(abilit)n(y)32 b(of)h(equations)287 2232 y(\(2.29\))24 b(will)h(b)r(e)h(discussed)f(b) r(elo)n(w)f(\(see,)h(in)h(particular,)d(Lemma)i(2.4\);)g(w)n(e)g(only)f (observ)n(e,)g(here,)g(that,)i(if)f(the)h(matrix)287 2331 y Ft(hT)21 b(i)27 b FD(is)f(in)n(v)n(ertible)g(\(whic)n(h,)g(in)h (general,)d(is)i(not)h(true\),)f(one)g(can)g(express)f FA(c)h FD(in)g(terms)g(of)g FA(a)h FD(and)f(\(2.29\))f(reduces)h(to)g (a)287 2431 y(single)h(equation)g(for)g(the)h(scalar)e(unkno)n(wn)h FA(a)p FD(.)287 2556 y(\(ii\))h(The)g(de\014nition)g(of)k(^)-47 b FA(z)1098 2568 y Fy(0)1163 2556 y FD(implies)28 b(that)g FA(z)t FD(\(0\))22 b(=)h(0.)k(This)g(implies)h(immediately)g(the)g (third)g(equation)f(in)h(\(2.32\).)287 2680 y(\(iii\))j(The)f (quadratic)e(c)n(haracter)g(of)i(the)g(iteration)g(sc)n(heme)f(describ) r(ed)h(in)g(the)g(ab)r(o)n(v)n(e)f(prop)r(osition)g(ma)n(y)g(b)r(e)h (easily)287 2780 y(explained)i(as)g(follo)n(ws.)g(Imagine)g(to)g (replace)g(the)h(error)d(functions)j FA(f)41 b FD(and)33 b FA(g)s FD(,)f(resp)r(ectiv)n(ely)-7 b(,)32 b(b)n(y)g FA(\021)s(f)42 b FD(and)32 b FA(\021)s(g)k FD(with)287 2879 y(some)27 b(small)g(parameter)f FA(\021)s FD(.)i(No)n(w,)f(assume) g(that)1918 3062 y Ft(j)p FA(c)p Ft(j)h FA(;)41 b Ft(j)p FA(a)p Ft(j)23 b(\030)g FA(\021)31 b(:)1419 b FD(\(2.33\))287 3245 y(Then,)28 b(b)n(y)f(\(2.24\),)g(it)h(is)f FA(f)1112 3257 y Fw(a)1175 3245 y FD(=)c FA(O)r FD(\()p FA(\021)s FD(\))h(=)f FA(g)1588 3257 y Fw(a)1628 3245 y FD(.)k(Then,)h(also)1645 3427 y FA(b)1681 3439 y Fw(a)1743 3427 y FD(=)23 b FA(O)r FD(\()p FA(\021)s FD(\))29 b FA(;)180 b Ft(G)2285 3439 y Fw(a)2349 3427 y FD(=)22 b FA(O)r FD(\()p FA(\021)s FD(\))29 b FA(:)1146 b FD(\(2.34\))287 3610 y(The)27 b(relations)g(\(2.33\))g(and)g(\(2.34\))g(imply)-7 b(,)28 b(no)n(w,)f(that)1675 3793 y FA(z)g FD(=)22 b FA(O)r FD(\()p FA(\021)s FD(\))29 b FA(;)180 b(w)26 b FD(=)d FA(O)r FD(\()p FA(\021)s FD(\))29 b FA(;)287 3975 y FD(whic)n(h,)e(in)h (turn,)g(yields)f(\(as)h(it)g(is)f(immediate)h(to)g(c)n(hec)n(k\))1920 4158 y FA(Q)1986 4170 y Fw(i)2036 4158 y FD(=)23 b FA(O)r FD(\()p FA(\021)2265 4124 y Fy(2)2303 4158 y FD(\))28 b FA(:)287 4341 y FD(But)g(this)g(means)f(that)h FA(f)1098 4310 y Fx(0)1144 4341 y FD(=)22 b FA(O)r FD(\()p FA(\021)1372 4310 y Fy(2)1411 4341 y FD(\))h(=)g FA(g)1597 4310 y Fx(0)1619 4341 y FD(.)287 4573 y FB(Pro)s(of)32 b FD(\(of)27 b(Prop)r(osition)f(2.1\))h(W)-7 b(e)28 b(start)f(b)n(y)h(noticing)f (that)h(\(2.25\))f(ma)n(y)g(b)r(e)h(rewritten)f(as)1197 4756 y Ft(\000)p FA(H)1338 4721 y Fy(0)1331 4776 y Fw(y)r(x)1491 4756 y FD(=)82 b Ft(\000)p FD(\()p FA(D)1794 4768 y Fw(!)1836 4776 y Fq(a)1876 4756 y Ft(M)p FD(\))p Ft(M)2108 4721 y Fx(\000)p Fy(1)2216 4756 y FD(+)18 b FA(H)2375 4721 y Fy(0)2368 4776 y Fw(y)r(y)2443 4756 y FA(v)2483 4768 y Fw(\022)2521 4756 y Ft(M)2621 4721 y Fx(\000)p Fy(1)2728 4756 y FD(+)g FA(f)2852 4768 y Fw(a;\022)2945 4756 y Ft(M)3045 4721 y Fx(\000)p Fy(1)3162 4756 y FA(;)1107 4895 y Ft(M)1207 4860 y Fw(T)1259 4895 y FA(H)1335 4860 y Fy(0)1328 4915 y Fw(xx)1491 4895 y FD(=)82 b Ft(\000)p FA(D)1762 4907 y Fw(!)1804 4915 y Fq(a)1844 4895 y FA(v)1887 4860 y Fw(T)1884 4915 y(\022)1958 4895 y Ft(\000)18 b FA(v)2084 4860 y Fw(T)2081 4915 y(\022)2136 4895 y FA(H)2212 4860 y Fy(0)2205 4915 y Fw(y)r(x)2302 4895 y FD(+)g FA(g)2428 4860 y Fw(T)2425 4915 y(a;\022)2545 4895 y FA(;)1239 b FD(\(2.35\))2111 5492 y(17)p eop %%Page: 18 18 18 17 bop 287 -94 a FD(and)27 b(that,)h(b)n(y)g(de\014nitions)f(of)h FA(z)t FD(,)f FA(w)j FD(in)e(\(2.30\))f(and)g Ft(T)49 b FD(in)28 b(\(2.28\),)f(one)g(has)1396 69 y Ft(M)p FA(D)1555 81 y Fw(!)1597 89 y Fq(a)1637 69 y FD(\()p Ft(M)1769 35 y Fx(\000)p Fy(1)1858 69 y FA(z)t FD(\))22 b(=)h FA(H)2119 35 y Fy(0)2112 90 y Fw(y)r(y)2188 69 y Ft(M)2288 35 y Fx(\000)p Fw(T)2391 69 y FD(\()p FA(c)c FD(+)f FA(D)2632 35 y Fx(\000)p Fy(1)2620 90 y Fw(!)2662 98 y Fq(a)2721 69 y FA(b)2757 81 y Fw(a)2797 69 y FD(\))h Ft(\000)f FA(f)2972 81 y Fw(a)3039 69 y FA(;)1396 208 y Ft(M)1496 174 y Fw(T)1548 208 y FA(w)25 b FD(=)e FA(v)1763 174 y Fw(T)1760 229 y(\022)1816 208 y FA(z)e FD(+)d FA(c)h FD(+)f FA(D)2168 174 y Fx(\000)p Fy(1)2156 229 y Fw(!)2198 237 y Fq(a)2257 208 y FA(b)2293 220 y Fw(a)2360 208 y FA(:)1424 b FD(\(2.36\))287 372 y(Then)1032 535 y FA(!)1084 547 y Fw(a)1142 535 y FD(+)18 b FA(D)1284 547 y Fw(!)1326 555 y Fq(a)1366 535 y FA(u)g FD(+)g FA(D)1574 547 y Fw(!)1616 555 y Fq(a)1656 535 y FA(z)k Ft(\000)c FA(H)1869 547 y Fw(y)1909 535 y FD(\()p FA(\022)j FD(+)d FA(u)g FD(+)g FA(z)t(;)c(v)21 b FD(+)d FA(w)r FD(\))850 644 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))855 699 y FD(=)112 b FA(!)1084 711 y Fw(a)1142 699 y FD(+)18 b FA(D)1284 711 y Fw(!)1326 719 y Fq(a)1366 699 y FA(u)g FD(+)g FA(D)1574 711 y Fw(!)1616 719 y Fq(a)1656 699 y FA(z)k Ft(\000)c FA(H)1876 664 y Fy(0)1869 719 y Fw(y)1931 699 y Ft(\000)h FA(H)2091 664 y Fy(0)2084 719 y Fw(y)r(x)2161 699 y FA(z)j Ft(\000)c FA(H)2381 664 y Fy(0)2374 719 y Fw(y)r(y)2449 699 y FA(w)k FD(+)c FA(Q)2679 711 y Fy(1)838 815 y(\()p Fw(ii)p Fy(\))855 870 y FD(=)112 b FA(D)1091 882 y Fw(!)1133 890 y Fq(a)1173 870 y FA(z)22 b Ft(\000)c FA(H)1393 835 y Fy(0)1386 890 y Fw(y)r(x)1463 870 y FA(z)k Ft(\000)c FA(H)1683 835 y Fy(0)1676 890 y Fw(y)r(y)1752 870 y FA(w)j FD(+)d FA(f)1956 882 y Fw(a)2014 870 y FD(+)g FA(Q)2163 882 y Fy(1)826 987 y(\()p Fw(iii)p Fy(\))855 1041 y FD(=)112 b Ft(M)27 b FA(D)1218 1053 y Fw(!)1260 1061 y Fq(a)1300 1041 y FD(\()p Ft(M)1432 1006 y Fx(\000)p Fy(1)1521 1041 y FA(z)t FD(\))18 b(+)g FA(H)1773 1006 y Fy(0)1766 1061 y Fw(y)r(y)1842 1041 y FA(v)1882 1053 y Fw(\022)1948 1041 y Ft(M)2048 1006 y Fx(\000)p Fy(1)2136 1041 y FA(z)k Ft(\000)c FD(\()p FA(H)2388 1006 y Fy(0)2381 1061 y Fw(y)r(y)2457 1041 y Ft(M)2557 1006 y Fx(\000)p Fw(T)2661 1041 y FD(\)\()p Ft(M)2825 1006 y Fw(T)2878 1041 y FA(w)r FD(\))h(+)f FA(f)3114 1053 y Fw(a)3172 1041 y FD(+)g FA(Q)3321 1053 y Fy(1)3377 1041 y FD(+)g FA(Q)3526 1053 y Fy(2)832 1158 y(\()p Fw(iv)r Fy(\))855 1212 y FD(=)112 b FA(H)1108 1178 y Fy(0)1101 1232 y Fw(y)r(y)1176 1212 y Ft(M)1276 1178 y Fx(\000)p Fw(T)1380 1212 y FD(\()p Ft(M)1512 1178 y Fw(T)1565 1212 y FA(v)1605 1224 y Fw(\022)1661 1212 y Ft(\000)18 b FA(v)1787 1178 y Fw(T)1784 1232 y(\022)1839 1212 y Ft(M)p FD(\))p Ft(M)2071 1178 y Fx(\000)p Fy(1)2160 1212 y FA(z)k FD(+)c FA(Q)2370 1224 y Fy(1)2425 1212 y FD(+)g FA(Q)2574 1224 y Fy(2)844 1329 y(\()p Fw(v)r Fy(\))855 1383 y FD(=)112 b FA(Q)1098 1395 y Fy(1)1153 1383 y FD(+)18 b FA(Q)1302 1395 y Fy(2)1357 1383 y FD(+)h FA(Q)1507 1395 y Fy(3)844 1508 y FD(=:)100 b FA(f)1082 1473 y Fx(0)1132 1508 y FA(;)2652 b FD(\(2.37\))287 1671 y(where:)25 b(\()p FA(i)p FD(\))g(holds)g(b)n(y)g(de\014nition)g(of)g FA(Q)1518 1683 y Fy(1)1555 1671 y FD(;)h(\()p FA(ii)p FD(\))f(holds)g(b)n(y)f(the)i(\014rst)f(of)g(\(2.23\);)g(\()p FA(iii)p FD(\))f(holds)h(b)n(y)g(the)h(\014rst)e(in)i(\(2.35\))e(and) 287 1771 y(observing)i(that)1393 1870 y FA(D)1452 1882 y Fw(!)1494 1890 y Fq(a)1534 1870 y FA(z)c Ft(\000)c FD(\()p FA(D)1769 1882 y Fw(!)1811 1890 y Fq(a)1852 1870 y Ft(M)p FD(\))p Ft(M)2084 1836 y Fx(\000)p Fy(1)2172 1870 y FA(z)27 b FD(=)22 b Ft(M)p FA(D)2484 1882 y Fw(!)2526 1890 y Fq(a)2566 1870 y FD(\()p Ft(M)2698 1836 y Fx(\000)p Fy(1)2787 1870 y FA(z)t FD(\))27 b(;)287 2008 y(\()p FA(iv)s FD(\))k(holds)f(b)r(ecause)g(of)g(\(2.36\);)g(\()p FA(v)s FD(\))h(follo)n(ws)f(from)g(the)h(de\014nition)f(of)h Ft(B)h FD(in)f(\(2.26\),)f(\(2.27\))f(and)i(the)f(de\014nition)h(of)287 2108 y FA(Q)353 2120 y Fy(3)390 2108 y FD(.)287 2229 y(Notice)c(that)h(equating)f(the)h(third)g(and)g(the)f(sixth)h(line)g (in)g(\(2.37\))f(w)n(e)g(ha)n(v)n(e)1437 2392 y FA(D)1496 2404 y Fw(!)1538 2412 y Fq(a)1578 2392 y FA(z)22 b Ft(\000)c FA(H)1798 2358 y 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Fy(0)1048 3725 y FD(:=)23 b FA(v)1202 3691 y Fx(0)1225 3725 y FD(\(0;)14 b(0\))k(+)g FA(t)p FD(\()p FA(v)1616 3691 y Fx(0)1640 3725 y FD(\(0;)c FA(\013)p FD(\))19 b Ft(\000)f FA(v)1981 3691 y Fx(0)2004 3725 y FD(\(0;)c(0\)\))30 b FA(;)184 b(\016)2495 3737 y Fw(v)2530 3721 y Fr(0)2579 3725 y FD(:=)23 b FA(v)2733 3691 y Fx(0)2757 3725 y FD(\(0;)14 b FA(\013)p FD(\))19 b Ft(\000)f FA(v)3098 3691 y Fx(0)3121 3725 y FD(\(0;)c(0\))29 b FA(:)287 3908 y Fh(The)i(Jac)l(obian)f(of)918 3887 y FD(~)899 3908 y FA(F)42 b Fh(has)30 b(the)g(form)731 4219 y Fz(e)714 4240 y FA(F)767 4252 y Fw(\013)815 4240 y FD(\()p FA(\013)p FD(\))24 b(=)1054 4184 y(1)p 1054 4221 43 4 v 1054 4297 a FA(\032)1144 4024 y Fz(0)1144 4170 y(B)1144 4220 y(B)1144 4273 y(@)1393 4100 y FH(0)769 b Fl(\000)p Fm(a)2368 4054 y FH(2)16 b(+)g Fm(a)p 2323 4085 249 4 v 2323 4150 a FH(\(1)h(+)e Fm(a)p FH(\))2536 4131 y Fn(2)2582 4100 y Fl(hT)i Fm(D)2725 4073 y Fi(\000)p Fn(1)2808 4100 y FH(\()p Fm(@)2872 4112 y Fk(\022)2908 4100 y Fm(H)2971 4073 y Fn(0)3005 4100 y FH(\))p Fl(i)1230 4362 y Fm(\016)1261 4373 y Fk(H)1319 4362 y Fl(M)1403 4338 y Fi(\000)p Fk(T)1500 4362 y FH(\(0\))1731 4274 y Fz(\020)1791 4315 y Fm(\016)1822 4326 y Fk(H)p 1791 4347 89 4 v 1817 4411 a Fm(\032)1905 4362 y Fl(\000)1986 4315 y Fm(a)p 1986 4347 38 4 v 1987 4411 a(\032)2111 4315 y FH(2)f(+)g Fm(a)p 2067 4347 249 4 v 2067 4411 a FH(\(1)g(+)g Fm(a)p FH(\))2280 4393 y Fn(2)2325 4362 y Fm(H)2383 4370 y Fk(y)2421 4362 y FH(\(0)p Fm(;)c(v)2551 4334 y Fi(0)2574 4362 y FH(\(0;)g Fm(\013)p FH(\)\))2767 4274 y Fz(\021)2833 4362 y Fl(\001)k(M)2953 4334 y Fi(\000)p Fk(T)3049 4362 y FH(\(0\))p Fm(D)3198 4334 y Fi(\000)p Fn(1)3282 4362 y FH(\()p Fm(@)3346 4374 y Fk(\022)3382 4362 y Fm(H)3445 4334 y Fn(0)3479 4362 y FH(\)\(0\))3611 4024 y Fz(1)3611 4170 y(C)3611 4220 y(C)3611 4273 y(A)3721 4240 y FA(;)3807 4519 y FD(\(2.47\))287 4702 y Fh(wher)l(e)30 b FA(\016)558 4714 y Fw(H)651 4702 y Fh(is)g(short)g(for)1189 4885 y FA(\016)1226 4897 y Fw(H)1312 4885 y FD(:=)23 b FA(H)1492 4897 y Fw(y)1532 4885 y FD(\(0)p FA(;)14 b(v)1686 4850 y Fx(0)1709 4885 y FD(\(0;)g FA(\013)p FD(\)\))19 b Ft(\000)f FA(H)2108 4897 y Fw(y)2148 4885 y FD(\(0)p FA(;)c(v)2302 4850 y Fx(0)2325 4885 y FD(\(0;)g(0\)\))23 b(=)g FA(H)2722 4897 y Fw(y)r(y)2797 4885 y FD(\(0)p FA(;)17 b FD(~)-45 b FA(v)2951 4850 y Fx(0)2948 4905 y Fy(0)2986 4885 y FD(\))p FA(\016)3055 4897 y Fw(v)3090 4881 y Fr(0)p 287 4938 1493 4 v 349 4992 a Fn(22)414 5015 y FH(Recall)23 b(that)i Fm(a)20 b FH(=)h(^)-36 b Fm(a=\032)p FH(.)2111 5492 y FD(20)p eop %%Page: 21 21 21 20 bop 287 -94 a Fh(and)1508 5 y FD(~)-46 b FA(v)1547 -29 y Fx(0)1544 26 y Fy(0)1605 5 y FD(:=)23 b FA(v)1759 -29 y Fx(0)1782 5 y FD(\(0;)14 b(0\))k(+)g FA(t)2098 -29 y Fx(0)2121 5 y FD(\()p FA(v)2196 -29 y Fx(0)2220 5 y FD(\(0;)c FA(\013)p FD(\))19 b Ft(\000)f FA(v)2561 -29 y Fx(0)2585 5 y FD(\(0;)c(0\)\))287 155 y Fh(for)30 b(some)h FD(0)22 b FA(<)h(t)814 125 y Fx(0)860 155 y FA(<)g FD(1)p Fh(.)29 b(Final)t(ly,)1402 337 y FA(@)1446 349 y Fw(\022)1484 337 y FA(H)7 b FD(\()p FA(\022)20 b FD(+)f FA(u;)14 b(v)s FD(\))23 b(=)f FA(@)2049 349 y Fw(\022)2087 337 y FA(D)2158 303 y Fx(\000)p Fy(1)2247 337 y FD(\()p FA(H)2355 303 y Fy(0)2348 358 y Fw(x)2411 337 y Ft(\001)c FA(f)27 b FD(+)18 b FA(H)2679 303 y Fy(0)2672 358 y Fw(y)2735 337 y Ft(\001)g FA(g)s FD(\))30 b FA(:)903 b FD(\(2.48\))287 520 y FB(Remark)31 b(2.3)40 b FD(\(i\))22 b(In)g(view)f(of)g(\(2.44\))g(\(the)h(matrix)f Ft(N)33 b FD(has)21 b(to)g(b)r(e)h(though)n(t)f(small,)g(see)g(next)h(p)r(oin)n (t)f(of)h(this)f(remark\),)287 620 y(one)27 b(sees)g(that)h(the)g (non-degeneracy)d(condition)j(to)f(b)r(e)h(required)f(in)g(order)g(to)g (solv)n(e)g(\(2.29\))f(is)1954 802 y(det)14 b Ft(A)23 b(6)p FD(=)g(0)k FA(;)1455 b FD(\(2.49\))287 985 y(where)549 1247 y Ft(A)24 b FD(:=)749 1080 y Fz(0)749 1229 y(@)876 1147 y Ft(hT)d(i)123 b(\000h)p FA(\037)p Ft(i)836 1346 y FA(\037)p FD(\(0\))994 1316 y Fw(T)1199 1346 y FD(0)1324 1080 y Fz(1)1324 1229 y(A)1411 1247 y FA(;)97 b Ft(T)44 b FD(:=)23 b Ft(M)1831 1212 y Fx(\000)p Fy(1)1919 1247 y FA(H)1995 1212 y Fy(0)1988 1267 y Fw(y)r(y)2064 1247 y Ft(M)2164 1212 y Fx(\000)p Fw(T)2268 1247 y FA(;)97 b Ft(M)23 b FD(:=)f FA(I)k FD(+)18 b FA(u)2814 1259 y Fw(\022)2851 1247 y FA(;)97 b(\037)23 b FD(:=)3167 1190 y(1)p 3167 1227 43 4 v 3167 1303 a FA(\032)3219 1247 y Ft(M)3319 1212 y Fx(\000)p Fy(1)3408 1247 y FA(H)3484 1212 y Fy(0)3477 1267 y Fw(y)3521 1247 y FA(:)263 b FD(\(2.50\))287 1529 y(The)27 b(non-degeneracy)f(condition)h(\(2.49\),)g(in)h(the)g (nearly-in)n(tegrable)d(case)1708 1711 y FA(H)k FD(=)23 b FA(H)1963 1723 y Fy(0)2000 1711 y FD(\()p FA(y)s FD(\))c(+)f FA("H)2318 1723 y Fy(1)2355 1711 y FD(\()p FA(x;)c(y)s FD(\))28 b FA(;)287 1894 y FD(will)f(b)r(e)g(recognized)e(to)h(b)r(e,)h (in)g(the)g(limiting)g(case)f FA(")d FD(=)f(0)27 b(\(taking)f(as)g (appro)n(ximate)f(torus)h(the)h(unp)r(erturb)r(ed)g(torus)287 1994 y FA(u)22 b Ft(\021)h FD(0,)k FA(v)g Ft(\021)22 b FA(y)s FD(\),)28 b Fo(Arnold's)f(iso-energetic)f(non-degeneracy)f (condition)1747 2276 y FD(det)1876 2109 y Fz(0)1876 2259 y(@)1962 2176 y FA(H)2038 2146 y Fx(00)2031 2197 y Fy(0)2164 2176 y FA(H)2240 2146 y Fx(0)2233 2197 y Fy(0)1968 2376 y FA(H)2044 2345 y Fx(0)2037 2396 y Fy(0)2196 2376 y FD(0)2284 2109 y Fz(1)2284 2259 y(A)2379 2276 y Ft(6)p FD(=)e(0)k(;)1248 b(\(2.51\))287 2551 y(compare)26 b(next)i(item.)287 2676 y(\(ii\))h(Let)g(us)g(brie\015y)f(discuss,)g(here,)h(the)g (geometrical)e(meaning)h(of)h(Arnold's)f(iso-energetic)f (non-degeneracy)f(con-)287 2776 y(dition.)287 2875 y(The)19 b(standard)f(KAM)h(non-degeneracy)e(condition)i(for)g FA(H)2133 2887 y Fy(0)2193 2875 y FD(:)k FA(V)42 b Ft(\032)23 b Fp(R)2471 2845 y Fw(d)2539 2875 y Ft(!)g Fp(R)p FD(,at)i(a)19 b(p)r(oin)n(t)g FA(y)3131 2887 y Fy(0)3191 2875 y Ft(2)k FA(V)c FD(,)g(can)g(b)r(e)h(form)n(ulated)287 2975 y(b)n(y)27 b(sa)n(ying)f(that)i(the)g(frequency)f(map)1502 3196 y FA(!)f FD(:)d FA(y)i Ft(2)f FA(V)42 b Ft(!)23 b FA(!)s FD(\()p FA(y)s FD(\))g(:=)2274 3140 y FA(@)5 b(H)2392 3152 y Fy(0)p 2274 3177 155 4 v 2305 3253 a FA(@)g(y)2438 3196 y FD(\()p FA(y)s FD(\))24 b Ft(2)f Fp(R)2702 3162 y Fw(n)2781 3196 y FA(;)287 3423 y FD(is)k(a)g(lo)r(cal)h(smo)r(oth)f (di\013eomorphism)g(near)g FA(y)1739 3435 y Fy(0)1776 3423 y FD(,)g(or)g(equiv)-5 b(alen)n(tly)27 b(\(\\in\014nitesimal)h(v)n (ersion"\),)e(that)1502 3605 y FA(@)1546 3617 y Fw(y)1586 3605 y FA(!)k FD(\()p FA(T)12 b(V)1809 3617 y Fw(y)1843 3625 y Fs(0)1879 3605 y FD(\))23 b(=)g FA(T)12 b Fp(R)2137 3571 y Fw(d)2137 3626 y(y)2171 3634 y Fs(0)2240 3605 y FA(;)180 b FD(\()p FA(y)2516 3617 y Fy(0)2576 3605 y Ft(2)23 b FA(V)c FD(\))28 b FA(;)287 3799 y FD(where)g FA(T)12 b(V)637 3811 y Fw(y)671 3819 y Fs(0)731 3799 y FD(=)24 b Fp(R)874 3769 y Fw(d)947 3799 y FD(denotes)k(the)h(tangen)n (t)f(space)g(of)h FA(V)47 b FD(at)28 b FA(y)2252 3811 y Fy(0)2289 3799 y FD(.)h(The)f(\(in\014nitesimal)h(v)n(ersion)e(of)i (the\))g(iso-energetic)287 3899 y(non-degeneracy)22 b(condition)h(for)h FA(H)1425 3911 y Fy(0)1486 3899 y FD(at)g(a)g(p)r(oin)n(t)g FA(y)1904 3911 y Fy(0)1965 3899 y FD(on)g(the)g(energy)f(lev)n(el)h FA(H)2740 3863 y Fx(\000)p Fy(1)2733 3921 y(0)2829 3899 y FD(\()p FA(E)5 b FD(\),)24 b(can)g(b)r(e)g(form)n(ulated)g(b)n(y)g (sa)n(ying)287 3998 y(that)1325 4098 y FA(@)1369 4110 y Fw(y)1409 4098 y FA(!)31 b FD(\()p FA(T)12 b(S)1636 4110 y Fw(E)s(;y)1742 4118 y Fs(0)1777 4098 y FD(\))18 b Ft(\010)g FA(N)1977 4110 y Fw(y)2011 4118 y Fs(0)2070 4098 y FD(=)23 b FA(T)12 b Fp(R)2273 4064 y Fw(d)2273 4119 y(y)2307 4127 y Fs(0)2376 4098 y FA(;)180 b FD(\()p FA(y)2652 4110 y Fy(0)2712 4098 y Ft(2)24 b FA(S)2842 4110 y Fw(E)2898 4098 y FD(\))k FA(;)826 b FD(\(2.52\))287 4247 y(where)30 b FA(T)12 b(S)642 4259 y Fw(E)s(;y)748 4267 y Fs(0)813 4247 y FD(denotes)30 b(the)h(tangen)n(t)f(space)g(of)g FA(S)1940 4259 y Fw(E)2027 4247 y FD(at)g FA(y)2172 4259 y Fy(0)2240 4247 y FD(and)g FA(N)2471 4259 y Fw(y)2505 4267 y Fs(0)2569 4247 y FD(:=)d Ft(f)p FA(\025!)s FD(\()p FA(y)2902 4259 y Fy(0)2939 4247 y FD(\))p Ft(j)k FA(\025)d Ft(2)g Fp(R)p Ft(g)36 b FD(denotes)30 b(the)h(normal)287 4347 y(space)i(at)g FA(y)663 4359 y Fy(0)734 4347 y FD(to)g FA(T)12 b(S)953 4359 y Fw(E)s(;y)1059 4367 y Fs(0)1094 4347 y FD(.)34 b(Notice)f(that)h(\(2.52\))f(requires)f(implicitly)i (that)g FA(H)2806 4312 y Fx(\000)p Fy(1)2799 4369 y(0)2895 4347 y FD(\()p FA(E)5 b FD(\))34 b(is)g(smo)r(oth)f(ip)r(ersurface)g (in)h(a)287 4447 y(neigh)n(b)r(orho)r(o)r(d)26 b(of)i FA(y)944 4459 y Fy(0)981 4447 y FD(.)287 4546 y(Clearly)-7 b(,)26 b(condition)i(\(2.52\))f(is)g(equiv)-5 b(alen)n(t)28 b(to)f(require)f(\(2.51\))h(at)h(the)g(p)r(oin)n(t)g FA(y)2797 4558 y Fy(0)2857 4546 y Ft(2)23 b FA(S)2986 4558 y Fw(E)3042 4546 y FD(.)287 4646 y(Notice,)i(also,)f(that)h(the)h (matrix)e(in)i(\(2.51\))e(is)h(the)g(Jacobian)f(at)h(\()p FA(y)s(;)14 b(a)p FD(\))23 b(=)g(\()p FA(y)2710 4658 y Fy(0)2747 4646 y FA(;)14 b FD(0\))25 b(of)g(the)g(\\frequency-energy) e(map")1349 4853 y FA(\036)g FD(:)g(\()p FA(y)s(;)14 b(a)p FD(\))23 b Ft(!)h FD(\()p FA(!)s(;)14 b(E)5 b FD(\))23 b(:=)2142 4761 y Fz(\020)2191 4853 y FD(\(1)18 b(+)g FA(a)p FD(\))p FA(!)s FD(\()p FA(y)s FD(\))p FA(;)c(H)2711 4865 y Fy(0)2749 4853 y FD(\()p FA(y)s FD(\))2857 4761 y Fz(\021)2934 4853 y FA(:)2111 5492 y FD(21)p eop %%Page: 22 22 22 21 bop 287 -94 a FD(Another)26 b(v)n(ersion)f(of)h(Arnold's)f (iso-energetic)g(non-degeneracy)f(condition)i(\(corresp)r(onding)e(to)j (ask)e(that)i FA(@)3775 -82 y Fw(y)3814 -94 y FA(!)i FD(is)e(a)287 5 y(lo)r(cal)g(di\013eomorphism)g(in)h(the)g (non-\014xed-energy)d(case\))i(is)h(to)f(require)g(that)h(the)g(map) 1519 186 y(\012)1579 198 y Fw(E)1659 186 y FD(:)23 b FA(y)i Ft(2)f FA(S)1901 198 y Fw(E)1980 186 y Ft(!)f FD(\012)2146 198 y Fw(E)2202 186 y FD(\()p FA(y)s FD(\))g(:=)g FA(\031)f Ft(\016)c FA(!)s FD(\()p FA(y)s FD(\))27 b FA(;)287 366 y FD(where)32 b FA(\031)j FD(is)e(the)g(canonical)e(pro)5 b(jection)31 b(of)i Fp(R)1773 336 y Fw(d)1850 366 y FD(on)n(to)e(the)i (real)f FA(d)21 b Ft(\000)h FD(1)32 b(dimensional)f(pro)5 b(jectiv)n(e)32 b(space)f Fp(P)3711 336 y Fw(d)p Fx(\000)p Fy(1)3834 366 y FD(,)h(is)h(a)287 466 y(lo)r(cal)25 b(smo)r(oth)h (di\013eomorphism)g(near)f FA(y)1580 478 y Fy(0)1640 466 y Ft(2)f FA(S)1770 478 y Fw(E)1826 466 y FD(,)i(i.e.,)g(that)h(the) f(rank)g(of)g(the)g(di\013eren)n(tial)g(\012)3249 478 y Fw(E)s(;)p Fx(\003)3385 466 y FD(of)g(the)h(map)f(\012)3863 478 y Fw(E)3945 466 y FD(at)287 565 y FA(y)328 577 y Fy(0)388 565 y Ft(2)d FA(S)517 577 y Fw(E)601 565 y FD(is)k(maximal)g (\()p FA(d)19 b Ft(\000)f FD(1\).)287 669 y FH(Let)30 b(us)f(sho)n(w,)g(in)f(fact,)i(that)g Fj(the)g(v)l(anishing)g(of)e(the) i(determinan)n(t)g(in)f FH(\(2.51\))h Fj(at)g(a)f(regular)g(p)r(oin)n (t)h Fm(y)3109 678 y Fn(0)3172 669 y Fl(2)f Fm(S)3291 680 y Fk(E)3371 669 y Fj(is)g(equiv)l(alen)n(t)h(to)g(ha)n(v)n(e)287 748 y(rank)p FH(\(\012)504 759 y Fk(E)s(;)p Fi(\003)p Fk(y)635 769 y Fs(0)671 748 y FH(\))c Fm(<)f(d)19 b Fl(\000)f FH(1.)27 b(W)-6 b(e)28 b(pro)n(v)n(e)g(this)f(claim)f(using)h(lo)r(cal) g(co)r(ordinates.)h(Since)g Fm(y)2645 757 y Fn(0)2707 748 y FH(is)f(a)g(regular)g(p)r(oin)n(t)h(of)f Fm(S)3402 759 y Fk(E)3479 748 y FH(=)e Fm(H)3622 718 y Fi(\000)p Fn(1)3617 770 y(0)3705 748 y FH(\()p Fm(E)t FH(\),)i(there)287 826 y(exists)j(1)h Fl(\024)f Fm(i)h Fl(\024)f Fm(d)g FH(suc)n(h)h(that)g Fm(@)1207 834 y Fk(y)1239 845 y Fq(i)1269 826 y Fm(H)1327 835 y Fn(0)1362 826 y FH(\()p Fm(y)1424 835 y Fn(0)1459 826 y FH(\))g(=)f Fm(!)1646 836 y Fk(i)1672 826 y FH(\()p Fm(y)1734 835 y Fn(0)1769 826 y FH(\))h Fl(6)p FH(=)f(0.)g(Let)h(us)f(assume)f(\(without)j(loss)d(of)h (generalit)n(y\))i(that)f Fm(i)f FH(=)h Fm(d)p FH(.)f(Then,)g(as)287 905 y(lo)r(cal)c(co)r(ordinates)h(on)f Fm(S)976 916 y Fk(E)1053 905 y FH(around)h Fm(y)1330 914 y Fn(0)1390 905 y FH(w)n(e)f(can)h(tak)n(e)32 b(^)-40 b Fm(y)26 b FH(:=)c(\()p Fm(y)2003 914 y Fn(1)2038 905 y Fm(;)12 b(:::;)e(y)2195 917 y Fk(d)p Fi(\000)p Fn(1)2309 905 y FH(\))26 b(since,)g(b)n(y)g(the)h(Implicit)e(F)-6 b(unction)27 b(Theorem,)e(there)i(exists)287 984 y(a)d(\(unique\))i(smo)r(oth)e (function)h Fm(g)i FH(from)22 b(a)i(neigh)n(b)r(orho)r(o)r(d)i(of)j(^) -40 b Fm(y)2005 993 y Fn(0)2064 984 y FH(in)n(to)25 b(a)f(neigh)n(b)r (orho)r(o)r(d)i(of)e Fm(y)2827 996 y Fn(0)p Fk(d)2918 984 y FH(suc)n(h)h(that)g Fm(H)3289 993 y Fn(0)3324 984 y FH(\()5 b(^)-40 b Fm(y)s(;)11 b(g)r FH(\()5 b(^)-40 b Fm(y)s FH(\)\))21 b Fl(\021)g Fm(E)t FH(.)i(As)h(lo)r(cal)287 1063 y(co)r(ordinates)h(in)e(a)h(neigh)n(b)r(orho)r(o)r(d)h(of)e Fm(\031)r FH(\()p Fm(!)1440 1072 y Fn(0)1475 1063 y FH(\))d(:=)f Fm(\031)r FH(\()p Fm(!)r FH(\()p Fm(y)1794 1072 y Fn(0)1830 1063 y FH(\)\))24 b(w)n(e)g(can)g(tak)n(e)1564 1231 y(^)-40 b Fm(u)20 b FH(:=)f(\()p Fm(u)1782 1240 y Fn(1)1817 1231 y Fm(;)11 b(:::;)f(u)1979 1243 y Fk(d)p Fi(\000)p Fn(1)2093 1231 y FH(\))21 b Fl(2)e Fm(U)2255 1240 y Fn(0)2309 1231 y Fl(!)g Fm(\031)2442 1143 y Fz(\020)2492 1231 y FH(\()5 b(^)-40 b Fm(u;)11 b FH(1\))2653 1143 y Fz(\021)2727 1231 y Fm(;)287 1441 y FH(where)21 b Fm(U)536 1450 y Fn(0)591 1441 y FH(is)f(a)g(neigh)n(b)r(orho)r(o)r(d)j(of)1232 1353 y Fz(\020)1282 1441 y Fm(!)1326 1450 y Fn(01)1390 1441 y Fm(=!)1469 1453 y Fn(0)p Fk(d)1536 1441 y Fm(;)12 b(:::;)e(!)1702 1455 y Fn(0\()p Fk(d)p Fi(\000)p Fn(1\))1895 1441 y Fm(=!)1974 1453 y Fn(0)p Fk(d)2040 1353 y Fz(\021)2090 1441 y FH(.)20 b(In)h(suc)n(h)g(co)r(ordinates,)h(as)f(it)f(is)g(easy)h (to)h(c)n(hec)n(k,)g(the)f(\()p Fm(d)10 b Fl(\000)g FH(1\))g Fl(\002)g FH(\()p Fm(d)g Fl(\000)g FH(1\))287 1554 y(matrix)22 b(asso)r(ciated)j(to)f(the)h(di\013eren)n(tial)f(\012)1464 1565 y Fk(E)s(;)p Fi(\003)1590 1554 y FH(is)f(giv)n(en)h(b)n(y)972 1730 y(^)964 1747 y(\012)1015 1757 y Fi(\003)p Fk(ij)1122 1747 y FH(=)1228 1701 y(1)p 1206 1732 81 4 v 1206 1797 a Fm(!)1250 1809 y Fk(d)1308 1634 y Fz(\022)1379 1701 y Fm(@)t(!)1464 1711 y Fk(i)p 1379 1732 112 4 v 1380 1797 a Fm(@)t(y)1456 1807 y Fk(j)1516 1747 y FH(+)1596 1699 y Fm(!)1640 1709 y Fk(i)1667 1699 y Fm(!)1711 1709 y Fk(j)p 1596 1732 147 4 v 1629 1797 a Fm(!)1675 1774 y Fn(2)1673 1822 y Fk(d)1763 1701 y Fm(@)t(!)1848 1713 y Fk(d)p 1763 1732 122 4 v 1767 1797 a Fm(@)t(y)1843 1809 y Fk(d)1910 1747 y Fl(\000)1992 1699 y Fm(!)2036 1709 y Fk(j)p 1990 1732 81 4 v 1990 1797 a Fm(!)2034 1809 y Fk(d)2090 1701 y Fm(@)t(!)2175 1713 y Fk(d)p 2090 1732 122 4 v 2100 1797 a Fm(@)t(y)2176 1807 y Fk(i)2237 1747 y Fl(\000)2322 1701 y Fm(!)2366 1711 y Fk(i)p 2318 1732 81 4 v 2318 1797 a Fm(!)2362 1809 y Fk(d)2417 1701 y Fm(@)t(!)2502 1713 y Fk(d)p 2417 1732 122 4 v 2423 1797 a Fm(@)t(y)2499 1807 y Fk(j)2549 1634 y Fz(\023)2645 1747 y Fm(;)152 b FH(\(1)21 b Fl(\024)e Fm(i;)12 b(j)23 b Fl(\024)c Fm(d)d Fl(\000)g FH(1\))287 1936 y(\(ev)n(erything)24 b(is)e(ev)l(aluated)i(at)f Fm(y)1164 1945 y Fn(0)1219 1936 y Fl(2)c Fm(S)1328 1947 y Fk(E)1380 1936 y FH(\).)j(On)h(the)g (other)g(hand,)g(the)g(v)l(anishing)g(of)g(the)g(determinan)n(t)g(in)f (\(2.51\))i(at)f Fm(y)3496 1945 y Fn(0)3553 1936 y FH(is)e(equiv)l (alen)n(t)j(to)287 2015 y(sa)n(y)g(that)h(there)f(exists)g Fm(\030)e Fl(2)e Fp(R)1111 1992 y Fk(d)1153 2015 y Fl(nf)p FH(0)p Fl(g)25 b FH(and)f Fm(\025)c Fl(2)f Fp(R)30 b FH(suc)n(h)1646 2134 y Fm(@)t(!)p 1646 2166 88 4 v 1650 2230 a(@)t(y)1743 2181 y FH(\()p Fm(y)1805 2190 y Fn(0)1840 2181 y FH(\))24 b Fm(\030)e FH(=)e Fm(\025!)2104 2190 y Fn(0)2162 2181 y Fm(;)152 b(!)2378 2190 y Fn(0)2429 2181 y Fl(\001)15 b Fm(\030)22 b FH(=)e(0)j Fm(;)1169 b FH(\(2.53\))287 2346 y(whic)n(h)24 b(is)f(equiv)l(alen)n(t)i(to)1213 2557 y Fm(\030)1244 2569 y Fk(d)1300 2557 y FH(=)20 b Fl(\000)1462 2511 y FH(1)p 1440 2542 81 4 v 1440 2607 a Fm(!)1484 2619 y Fk(d)1546 2458 y(d)p Fi(\000)p Fn(1)1541 2483 y Fz(X)1549 2657 y Fk(j)s Fn(=1)1673 2557 y Fm(!)1717 2567 y Fk(j)1749 2557 y Fm(\030)1780 2567 y Fk(j)1836 2557 y Fm(;)153 b(\025)20 b FH(=)2177 2511 y(1)p 2154 2542 V 2154 2607 a Fm(!)2198 2619 y Fk(d)2261 2458 y(d)p Fi(\000)p Fn(1)2256 2483 y Fz(X)2263 2657 y Fk(j)s Fn(=1)2398 2511 y Fm(@)t(!)2483 2523 y Fk(d)p 2398 2542 122 4 v 2404 2607 a Fm(@)t(y)2480 2617 y Fk(j)2529 2557 y Fm(\030)2560 2567 y Fk(j)2608 2557 y Fl(\000)2711 2511 y FH(1)p 2688 2542 81 4 v 2688 2607 a Fm(!)2734 2585 y Fn(2)2732 2632 y Fk(d)2789 2511 y Fm(@)t(!)2874 2523 y Fk(d)p 2789 2542 122 4 v 2793 2607 a Fm(@)t(y)2869 2619 y Fk(d)2937 2458 y(d)p Fi(\000)p Fn(1)2932 2483 y Fz(X)2939 2657 y Fk(j)s Fn(=1)3064 2557 y Fm(!)3108 2567 y Fk(j)3140 2557 y Fm(\030)3171 2567 y Fk(j)3227 2557 y Fm(;)1218 2751 y Fk(d)p Fi(\000)p Fn(1)1213 2776 y Fz(X)1221 2950 y Fk(j)s Fn(=1)1355 2805 y Fm(@)t(!)1440 2815 y Fk(i)p 1355 2836 112 4 v 1356 2901 a Fm(@)t(y)1432 2911 y Fk(j)1476 2851 y Fm(\030)1507 2861 y Fk(j)1556 2851 y FH(+)1636 2805 y Fm(@)t(!)1721 2815 y Fk(i)p 1636 2836 113 4 v 1636 2901 a Fm(@)t(y)1712 2913 y Fk(d)1758 2851 y Fm(\030)1789 2863 y Fk(d)1845 2851 y FH(=)f Fm(\025!)2004 2861 y Fk(i)2054 2851 y Fm(;)82 b FH(1)20 b Fl(\024)g Fm(i)f Fl(\024)h Fm(d)c Fl(\000)f FH(1)24 b Fm(;)1234 b FH(\(2.54\))287 3088 y(\(ev)n(erything)24 b(is)e(ev)l(aluated)j(at)e Fm(y)1165 3097 y Fn(0)1219 3088 y Fl(2)c Fm(S)1328 3099 y Fk(E)1380 3088 y FH(\).)k(Therefore,)f (if)f(the)j(determinan)n(t)f(in)f(\(2.51\))i(v)l(anishes,)e(then)i (taking)3332 3071 y(^)3325 3088 y Fm(\030)e FH(:=)d(\()p Fm(\030)3530 3097 y Fn(1)3565 3088 y Fm(;)11 b(:::;)f(\030)3717 3100 y Fk(d)p Fi(\000)p Fn(1)3832 3088 y FH(\))23 b(with)287 3179 y Fm(\030)h FH(as)f(in)e(\(2.53\),)i(from)d(\(2.54\))k(it)e(follo) n(ws)f(that)1556 3162 y(^)1548 3179 y(\012)1599 3187 y Fi(\003)1642 3161 y FH(^)1635 3179 y Fm(\030)h FH(=)e(0;)i(vice-v)n (ersa,)g(if)2252 3161 y(^)2245 3179 y Fm(\030)g Fl(2)e Fp(R)2419 3155 y Fk(d)p Fi(\000)p Fn(1)2539 3179 y Fl(nf)p FH(0)p Fl(g)j FH(is)f(suc)n(h)g(that)3089 3162 y(^)3081 3179 y(\012)3132 3187 y Fi(\003)3175 3161 y FH(^)3168 3179 y Fm(\030)g FH(=)e(0,)h(then,)i Fj(de\014ning)g Fm(\030)3847 3191 y Fk(d)3905 3179 y FH(and)287 3286 y Fm(\025)h FH(as)f(in)g(the)i(\014rst)f(line)f(of)g(\(2.54\),)i(one)f (sees)g(that)h(\(2.53\))g(holds)e(\(with)i Fm(\030)d Fl(2)d Fp(R)2399 3263 y Fk(d)2442 3286 y Fl(nf)p FH(0)p Fl(g)p FH(\).)p 2771 3286 41 83 v 287 3608 a FD(\(iii\))25 b(Recall)f(the)h(philosoph)n(y)e(of)h(Remark)g(2.2,)f(p)r(oin)n(t)i (\(iii\);)g(in)g(particular)e(imagine)g(to)h(replace)g(the)g(error)f (functions)287 3708 y FA(f)44 b FD(and)36 b FA(g)s FD(,)g(resp)r(ectiv) n(ely)-7 b(,)35 b(b)n(y)h FA(\021)s(f)45 b FD(and)36 b FA(\021)s(g)j FD(with)d(some)g(small)f(parameter)g FA(\021)s FD(.)h Fo(Assume)g(also)f(the)h(non-degeneracy)287 3807 y(condition)27 b FD(\(2.49\))g Fo(and)g(let)h Ft(j)p FA(c)p Ft(j)c(\024)k FD(\026)-48 b FA(\021)s Fo(,)28 b Ft(j)q FD(^)-43 b FA(a)p Ft(j)23 b(\024)29 b FD(\026)-48 b FA(\021)31 b Fo(with)1933 3988 y FA(\021)c Ft(\034)i FD(\026)-48 b FA(\021)26 b Ft(\034)d FD(1)k FA(:)1435 b FD(\(2.55\))314 4168 y(Then)28 b(\(see)g(also)e(\(2.48\)\),)1360 4268 y FA(b)d FD(:=)f FA(b)1565 4280 y Fy(0)1625 4268 y FD(=)h FA(O)r FD(\()p FA(\021)s FD(\))29 b FA(;)180 b(@)2162 4280 y Fw(\022)2199 4268 y FA(H)7 b FD(\()p FA(\022)21 b FD(+)d FA(u;)c(v)s FD(\))23 b(=)g FA(O)r FD(\()p FA(\021)s FD(\))29 b FA(;)861 b FD(\(2.56\))287 4416 y(and,)27 b(b)n(y)h(\(2.43\),)f(\(2.46\),)f(\(2.47\))h(and)h (\(2.44\),)f(one)g(\014nds)h(easily)1109 4596 y FA(F)12 b FD(\(0\))23 b(=)g FA(O)r FD(\()p FA(\021)s FD(\))29 b FA(;)1731 4575 y FD(~)1713 4596 y FA(F)35 b FD(=)22 b FA(O)r FD(\()6 b(\026)-48 b FA(\021)2029 4562 y Fy(2)2068 4596 y FD(\))28 b FA(;)2266 4575 y FD(~)2247 4596 y FA(F)2300 4608 y Fw(\013)2371 4596 y FD(=)23 b FA(O)r FD(\()6 b(\026)-48 b FA(\021)t FD(\))28 b FA(;)97 b Ft(N)35 b FD(=)23 b FA(O)r FD(\()6 b(\026)-48 b FA(\021)t FD(\))28 b FA(:)610 b FD(\(2.57\))287 4777 y(Th)n(us,)27 b FA(F)585 4746 y Fx(0)608 4777 y FD(\(0\))h(is)g(in)n(v)n(ertible)f(and,)g(denoting)g (b)n(y)h Ft(B)h FD(its)f(in)n(v)n(erse,)e(w)n(e)i(\014nd)1570 4999 y Ft(B)d FD(:=)1761 4907 y Fz(\020)1810 4999 y FA(F)1875 4964 y Fx(0)1898 4999 y FD(\(0\))2004 4907 y Fz(\021)2054 4924 y Fx(\000)p Fy(1)2166 4999 y FD(=)e Ft(A)2320 4964 y Fx(\000)p Fy(1)2428 4999 y FD(+)18 b FA(O)r FD(\()6 b(\026)-48 b FA(\021)t FD(\))28 b FA(:)1071 b FD(\(2.58\))2111 5492 y(22)p eop %%Page: 23 23 23 22 bop 287 -94 a FD(F)-7 b(urthermore,)26 b(recalling)h(the)h (de\014nition)g(of)1749 -115 y(~)1730 -94 y FA(F)12 b FD(,)1089 88 y Ft(j)p FA(\013)19 b Ft(\000)f(B)s FA(F)12 b FD(\()p FA(\013)p FD(\))p Ft(j)83 b FD(=)g Ft(jB)s FA(F)12 b FD(\(0\))17 b(+)h Ft(B)2186 67 y Fz(e)2171 88 y FA(F)11 b FD(\()p FA(\013)p FD(\))p Ft(j)24 b(\024)f(jB)s(j)k FD(\()p Ft(j)p FA(F)12 b FD(\(0\))p Ft(j)19 b FD(+)f Ft(j)3008 67 y Fz(e)2992 88 y FA(F)12 b FD(\()p FA(\013)p FD(\))p Ft(j)p FD(\))1076 223 y Ft(j)p FA(I)26 b Ft(\000)18 b(B)s FA(F)1367 189 y Fx(0)1389 223 y FD(\()p FA(\013)p FD(\))p Ft(j)84 b FD(=)f Ft(jB)1857 202 y Fz(e)1842 223 y FA(F)1895 235 y Fw(\013)1941 223 y Ft(j)23 b(\024)g(jB)s(j)k(j)2245 202 y Fz(e)2229 223 y FA(F)2282 235 y Fw(\013)2330 223 y FD(\()p FA(\013)p FD(\))p Ft(j)h FA(:)1286 b FD(\(2.59\))287 406 y(Th)n(us,)33 b(w)n(e)f(see)h(that)g(\(2.55\))p Ft(\004)p FD(\(2.59\))g(allo)n(w)f(to)g(apply)h(Lemma)g(2.3)f(so)h(as)f(to)h (obtain)g(a)g(ro)r(ot)f FA(\013)3399 418 y Fy(0)3468 406 y FD(=)g(\()p FA(c)3633 418 y Fy(0)3671 406 y FA(;)15 b FD(^)-43 b FA(a)3752 418 y Fy(0)3789 406 y FD(\))33 b(of)g FA(F)287 506 y FD(satisfying)27 b(\(2.41\),)g(i.e.,)1857 605 y(\()p FA(c)1925 617 y Fy(0)1963 605 y FA(;)15 b FD(^)-43 b FA(a)2044 617 y Fy(0)2081 605 y FD(\))23 b(=)g FA(O)r FD(\()p FA(\021)s FD(\))29 b FA(:)287 755 y FD(Notice)e(in)h (particular)f(that)g(suc)n(h)h FA(c)1431 767 y Fy(0)1496 755 y FD(and)g(^)-43 b FA(a)1701 767 y Fy(0)1766 755 y FD(v)n(erify)27 b(\(2.33\),)g(whic)n(h)g(w)n(as)g(assumed)g(in)h (Remark)e(2.2,)h(p)r(oin)n(t)h(\(iii\).)287 987 y FB(Pro)s(of)k FD(\(of)27 b(Lemma)h(2.4\))f(F)-7 b(rom)27 b(the)h(de\014nition)g (\(2.42\))839 1281 y FA(F)12 b FD(\(0\))23 b(=)1121 1114 y Fz(0)1121 1264 y(@)1193 1281 y Ft(\000hM)1390 1247 y Fx(\000)p Fy(1)1479 1281 y FA(f)9 b Ft(i)19 b FD(+)f Ft(hT)j FA(D)1832 1247 y Fx(\000)p Fy(1)1921 1281 y FA(b)p Ft(i)p FA(;)2036 1195 y(H)2112 1102 y Fz(\020)2161 1195 y FD(0)p FA(;)14 b(v)s FD(\(0\))19 b(+)f Ft(M)2591 1164 y Fx(\000)p Fw(T)2694 1195 y FD(\(0\))p FA(D)2871 1164 y Fx(\000)p Fy(1)2961 1195 y FA(b)p FD(\(0\))3103 1102 y Fz(\021)3171 1195 y Ft(\000)g FA(E)p 2036 1262 1284 4 v 2656 1338 a(\032)3330 1114 y Fz(1)3330 1264 y(A)3444 1281 y FA(;)287 1563 y FD(and)27 b(equalit)n(y)g(\(2.43\))g(follo)n(ws) g(immediately)g(from)h(Lagrange)d(form)n(ula.)287 1688 y(W)-7 b(e)29 b(compute)g(no)n(w)f(the)h(linear)f(part)h(of)f FA(F)12 b FD(.)29 b(Recalling)f(\(2.22\))h(and)f(the)h(de\014nitions)g (of)g FA(b)g FD(and)f FA(b)3385 1700 y Fw(a)3454 1688 y FD(\(i.e.,)h(\(2.18\))f(and)287 1787 y(\(2.26\)\),)f(one)g(\014nds)h (that)1700 1887 y FA(b)1736 1899 y Fw(a)1799 1887 y FD(=)23 b(\(1)18 b(+)g FA(a)p FD(\))p FA(b)g FD(+)g FA(a)p FD(\()p FA(@)2395 1899 y Fw(\022)2433 1887 y FA(H)2509 1853 y Fy(0)2546 1887 y FD(\))287 2036 y(and)27 b(therefore)1150 2219 y FA(D)1221 2185 y Fx(\000)p Fy(1)1209 2240 y Fw(!)1251 2248 y Fq(a)1310 2219 y FA(b)1346 2231 y Fw(a)1469 2219 y FD(=)83 b FA(D)1688 2185 y Fx(\000)p Fy(1)1777 2219 y FA(b)18 b FD(+)g FA(aD)2029 2185 y Fx(\000)p Fy(1)2017 2240 y Fw(!)2059 2248 y Fq(a)2118 2219 y FD(\()p FA(@)2194 2231 y Fw(\022)2232 2219 y FA(H)2308 2185 y Fy(0)2345 2219 y FD(\))1469 2373 y(=)83 b FA(D)1688 2339 y Fx(\000)p Fy(1)1777 2373 y FA(b)18 b FD(+)1996 2317 y FA(a)p 1924 2354 187 4 v 1924 2430 a FD(1)g(+)g FA(a)2121 2373 y(D)2192 2339 y Fx(\000)p Fy(1)2281 2373 y FD(\()p FA(@)2357 2385 y Fw(\022)2395 2373 y FA(H)2471 2339 y Fy(0)2508 2373 y FD(\))1469 2594 y(=)83 b FA(D)1688 2560 y Fx(\000)p Fy(1)1777 2594 y FA(b)18 b FD(+)g FA(aD)2029 2560 y Fx(\000)p Fy(1)2118 2594 y FD(\()p FA(@)2194 2606 y Fw(\022)2232 2594 y FA(H)2308 2560 y Fy(0)2345 2594 y FD(\))h Ft(\000)2542 2538 y FA(a)2586 2508 y Fy(2)p 2489 2575 V 2489 2651 a FD(1)f(+)g FA(a)2686 2594 y(D)2757 2560 y Fx(\000)p Fy(1)2846 2594 y FD(\()p FA(@)2922 2606 y Fw(\022)2960 2594 y FA(H)3036 2560 y Fy(0)3073 2594 y FD(\))28 b FA(:)287 2807 y FD(Next,)g(w)n(e)f(remark)f(that)879 2989 y FA(@)923 3001 y Fw(a)963 2989 y FA(f)1004 3001 y Fw(a)1067 2989 y FD(=)c FA(f)27 b FD(+)18 b FA(H)1381 2955 y Fy(0)1374 3010 y Fw(y)1446 2989 y FA(;)879 3126 y(@)923 3138 y Fw(a)963 3126 y FA(g)1003 3138 y Fw(a)1066 3126 y FD(=)k FA(g)f Ft(\000)d FA(H)1373 3092 y Fy(0)1366 3147 y Fw(x)1438 3126 y FA(;)879 3251 y(@)923 3263 y Fw(a)963 3251 y FA(b)999 3263 y Fw(a)1062 3251 y FD(=)k FA(b)c FD(+)g FA(@)1330 3263 y Fw(\022)1368 3251 y FA(H)1444 3216 y Fy(0)1509 3251 y FA(;)879 3392 y(@)923 3404 y Fw(a)963 3392 y FD(\()p FA(D)1066 3358 y Fx(\000)p Fy(1)1054 3412 y Fw(!)1096 3420 y Fq(a)1155 3392 y FA(b)1191 3404 y Fw(a)1231 3392 y FD(\))23 b(=)g FA(D)1445 3358 y Fx(\000)p Fy(1)1433 3412 y Fw(!)1475 3420 y Fq(a)1534 3392 y FD(\()p FA(@)1610 3404 y Fw(\022)1648 3392 y FA(H)1724 3358 y Fy(0)1761 3392 y FD(\))c Ft(\000)1976 3336 y FA(a)p 1905 3373 V 1905 3449 a FD(1)f(+)g FA(a)2102 3392 y(D)2173 3358 y Fx(\000)p Fy(1)2161 3412 y Fw(!)2203 3420 y Fq(a)2262 3392 y FD(\()p FA(@)2338 3404 y Fw(\022)2376 3392 y FA(H)2452 3358 y Fy(0)2489 3392 y FD(\))1286 3599 y(=)1475 3543 y(1)p 1384 3580 225 4 v 1384 3656 a(1)g(+)g FA(a)1571 3632 y Fy(2)1618 3599 y FA(D)1689 3564 y Fx(\000)p Fy(1)1778 3599 y FD(\()p FA(@)1854 3611 y Fw(\022)1892 3599 y FA(H)1968 3564 y Fy(0)2005 3599 y FD(\))28 b FA(;)879 3805 y(@)923 3817 y Fw(a)963 3805 y Ft(hM)1095 3771 y Fx(\000)p Fy(1)1184 3805 y FA(f)1225 3817 y Fw(a)1283 3805 y Ft(\000)18 b(T)k FA(D)1504 3771 y Fx(\000)p Fy(1)1492 3826 y Fw(!)1534 3834 y Fq(a)1593 3805 y FA(b)1629 3817 y Fw(a)1668 3805 y Ft(i)i FD(=)e Ft(hM)1943 3771 y Fx(\000)p Fy(1)2033 3805 y FA(f)9 b Ft(i)18 b FD(+)g Ft(hM)2348 3771 y Fx(\000)p Fy(1)2437 3805 y FA(H)2513 3771 y Fy(0)2506 3826 y Fw(y)2550 3805 y Ft(i)h(\000)2817 3749 y FD(1)p 2694 3786 289 4 v 2694 3862 a(\(1)f(+)g FA(a)p FD(\))2945 3838 y Fy(2)2992 3805 y Ft(hT)k FA(D)3162 3771 y Fx(\000)p Fy(1)3251 3805 y FD(\()p FA(@)3327 3817 y Fw(\022)3365 3805 y FA(H)3441 3771 y Fy(0)3478 3805 y FD(\))p Ft(i)28 b FA(:)287 4045 y FD(Therefore,)e(since)i FA(@)935 4057 y Fy(^)-34 b Fw(a)997 4045 y FD(=)1095 4012 y Fy(1)p 1095 4026 35 4 v 1095 4073 a Fw(\032)1139 4045 y FA(@)1183 4057 y Fw(a)1223 4045 y FD(,)28 b(w)n(e)f(\014nd)707 4506 y FA(F)772 4471 y Fx(0)795 4506 y FD(\()p FA(\013)p FD(\))d(=)1024 4189 y Fz(0)1024 4336 y(B)1024 4385 y(B)1024 4435 y(B)1024 4485 y(B)1024 4535 y(B)1024 4585 y(B)1024 4638 y(@)1499 4395 y Ft(hT)d(i)472 b(\000)2176 4291 y(hM)2308 4257 y Fx(\000)p Fy(1)2397 4291 y FA(f)9 b Ft(i)18 b FD(+)g Ft(hM)2712 4257 y Fx(\000)p Fy(1)2801 4291 y FA(H)2877 4257 y Fy(0)2870 4312 y Fw(y)2914 4291 y Ft(i)h(\000)3058 4235 y(hT)j FA(D)3228 4205 y Fx(\000)p Fy(1)3317 4235 y FD(\()p FA(@)3393 4247 y Fw(\022)3431 4235 y FA(H)3507 4205 y Fy(0)3544 4235 y FD(\))p Ft(i)p 3058 4272 551 4 v 3189 4348 a FD(\(1)c(+)g FA(a)p FD(\))3440 4324 y Fy(2)p 2176 4376 1443 4 v 2875 4423 a FA(\032)1120 4676 y(H)1189 4688 y Fw(y)1229 4676 y FD(\(0)p FA(;)c(v)1383 4642 y Fx(0)1406 4676 y FD(\(0;)g FA(c;)h FD(^)-43 b FA(a)p FD(\)\))p Ft(M)1798 4642 y Fx(\000)p Fw(T)1902 4676 y FD(\(0\))p 1120 4707 889 4 v 1543 4754 a FA(\032)2128 4676 y(H)2197 4688 y Fw(y)2237 4676 y FD(\(0)p FA(;)14 b(v)2391 4642 y Fx(0)2414 4676 y FD(\(0;)g FA(c;)h FD(^)-43 b FA(a)o FD(\)\))19 b Ft(\001)g(M)2866 4642 y Fx(\000)p Fw(T)2970 4676 y FD(\(0\)\()p FA(D)3179 4642 y Fx(\000)p Fy(1)3268 4676 y FA(@)3312 4688 y Fw(\022)3350 4676 y FA(H)3426 4642 y Fy(0)3463 4676 y FD(\)\(0\))p 2128 4707 1474 4 v 2680 4782 a FA(\032)2723 4747 y Fy(2)2760 4782 y FD(\(1)g(+)f FA(a)p FD(\))3012 4747 y Fy(2)3642 4189 y Fz(1)3642 4336 y(C)3642 4385 y(C)3642 4435 y(C)3642 4485 y(C)3642 4535 y(C)3642 4585 y(C)3642 4638 y(A)3728 4506 y FA(;)2111 5492 y FD(23)p eop %%Page: 24 24 24 23 bop 287 -94 a FD(where)740 106 y FA(v)783 71 y Fx(0)806 106 y FD(\(0;)14 b FA(c;)h FD(^)-43 b FA(a)p FD(\))83 b(=)f FA(v)s FD(\(0\))19 b(+)f Ft(M)1647 71 y Fx(\000)p Fw(T)1751 106 y FD(\(0\))p FA(D)1928 71 y Fx(\000)p Fy(1)2017 106 y FA(b)g FD(+)g Ft(M)2254 71 y Fx(\000)p Fw(T)2358 106 y FD(\(0\))2478 -11 y Fz(\022)2539 106 y FA(c)h FD(+)2758 49 y FA(a)p 2687 87 187 4 v 2687 163 a FD(1)f(+)g FA(a)2884 106 y(D)2955 71 y Fx(\000)p Fy(1)3044 106 y FD(\()p FA(@)3120 118 y Fw(\022)3158 106 y FA(H)3234 71 y Fy(0)3271 106 y FD(\))3303 -11 y Fz(\023)1149 341 y FD(=)82 b FA(v)1339 307 y Fx(0)1363 341 y FD(\(0;)14 b(0)p FA(;)g FD(0\))j(+)h Ft(M)1827 307 y Fx(\000)p Fw(T)1931 341 y FD(\(0\))2051 224 y Fz(\022)2112 341 y FA(c)h FD(+)f FA(aD)2365 307 y Fx(\000)p Fy(1)2454 341 y FD(\()p FA(@)2530 353 y Fw(\022)2568 341 y FA(H)2644 307 y Fy(0)2681 341 y FD(\))g Ft(\000)2877 285 y FA(a)2921 255 y Fy(2)p 2824 322 V 2824 398 a FD(1)g(+)g FA(a)3021 341 y(D)3092 307 y Fx(\000)p Fy(1)3181 341 y FD(\()p FA(@)3257 353 y Fw(\022)3295 341 y FA(H)3371 307 y Fy(0)3408 341 y FD(\))3440 224 y Fz(\023)3543 341 y FA(:)287 637 y FD(Setting)28 b(\()p FA(c;)15 b FD(^)-43 b FA(a)p FD(\))23 b(=)g(\(0)p FA(;)14 b FD(0\),)27 b(one)g(obtains)g(immediately)h (\(2.44\).)287 759 y(Subtracting)f(the)h(linear)f(part)g FA(F)12 b FD(\(0\))18 b(+)g FA(F)1630 729 y Fx(0)1654 759 y FD(\(0\))p FA(\013)28 b FD(to)f FA(F)12 b FD(,)28 b(one)f(obtains)g(the)h(expression)e(for)3190 738 y(~)3171 759 y FA(F)40 b FD(giv)n(en)27 b(in)h(\(2.46\).)287 881 y(Notice)23 b(that)h(from)g(the)g(de\014nition)g(of)1525 860 y(~)1506 881 y FA(F)12 b FD(,)24 b(\(2.45\),)f(it)h(follo)n(ws)e (that)2419 860 y(~)2400 881 y FA(F)2453 893 y Fw(\013)2501 881 y FD(\()p FA(\013)p FD(\))i(=)f FA(F)2795 851 y Fx(0)2818 881 y FD(\()p FA(\013)p FD(\))10 b Ft(\000)g FA(F)3085 851 y Fx(0)3110 881 y FD(\(0\))24 b(and)f(a)g(straigh)n(tforw)n(ard)287 981 y(computation)k(yields)g(\(2.47\).)287 1103 y(Finally)-7 b(,)27 b(\(2.48\))g(is)h(obtained)f(b)n(y)g(applying)g FA(@)1748 1115 y Fw(\022)1786 1103 y FA(D)1857 1073 y Fx(\000)p Fy(1)1946 1103 y FD(\()p Ft(\001)p FD(\))i(in)e(the)h(follo)n (wing)f(relation:)1216 1274 y FA(D)r(H)7 b FD(\()p FA(\022)20 b FD(+)e FA(u;)c(v)s FD(\))83 b(=)g FA(H)2004 1240 y Fy(0)1997 1294 y Fw(x)2059 1274 y Ft(\001)19 b FD(\()p FA(!)i FD(+)d FA(D)r(u)p FD(\))h(+)f FA(H)2618 1240 y Fy(0)2611 1294 y Fw(y)2673 1274 y Ft(\001)h FA(D)r(v)1780 1411 y FD(=)83 b FA(H)2004 1376 y Fy(0)1997 1431 y Fw(x)2059 1411 y Ft(\001)19 b FD(\()p FA(H)2209 1376 y Fy(0)2202 1431 y Fw(y)2265 1411 y FD(+)f FA(f)9 b FD(\))18 b(+)g FA(H)2607 1376 y Fy(0)2600 1431 y Fw(y)2663 1411 y Ft(\001)g FD(\()p Ft(\000)p FA(H)2877 1376 y Fy(0)2870 1431 y Fw(x)2932 1411 y FD(+)g FA(g)s FD(\))1780 1558 y(=)83 b FA(H)2004 1524 y Fy(0)1997 1579 y Fw(x)2059 1558 y Ft(\001)19 b FA(f)27 b FD(+)18 b FA(H)2328 1524 y Fy(0)2321 1579 y Fw(y)2384 1558 y Ft(\001)g FA(g)30 b(:)p 2636 1558 41 83 v 287 1789 a Fv(2.4)112 b(The)38 b(KAM)f(Map)287 1942 y FD(W)-7 b(e)22 b(no)n(w)f(de\014ne)h(the)g(KAM)f(functional)h(map)g (as)f(follo)n(ws.)g(Let)g FA(!)26 b Ft(2)d Fp(R)2487 1912 y Fw(d)2554 1942 y FD(b)r(e)f(a)f(\()p FA(\015)5 b(;)14 b(\034)9 b FD(\)-Diophan)n(tine)22 b(v)n(ector)f(\(see)g (\(2.9\)\))287 2042 y(and)j(let)h(us)g(consider)f(an)g(appro)n(ximate)f (KAM)i(torus)f(\()p FA(u;)14 b(v)s(;)g(!)s FD(\))24 b(as)g(in)h (\(2.16\),)f(satisfying)g(\(2.49\),)g(i.e.,)h(follo)n(wing)f(the)287 2141 y(notations)j(in)h Ft(x)f FD(2.3,)g FA(u;)14 b(v)26 b FD(:)d Fp(T)1223 2111 y Fw(d)1284 2141 y Ft(!)g Fp(R)1444 2111 y Fw(d)1516 2141 y FD(are)k(real-analytic)e(function)k(satisfying) 789 2312 y(det)14 b Ft(M)p FD(\()p FA(\022)r FD(\))24 b Ft(6)p FD(=)f(0)p FA(;)96 b Ft(8)27 b FA(\022)e Ft(2)f Fp(T)1669 2278 y Fw(d)1707 2312 y FA(;)97 b Ft(M)p FD(\()p FA(\022)r FD(\))23 b(:=)g FA(I)i FD(+)18 b FA(u)2358 2324 y Fw(\022)2395 2312 y FD(;)1389 b(\(2.60\))789 2536 y(det)14 b Ft(A)24 b(6)p FD(=)e(0)p FA(;)97 b Ft(A)23 b FD(:=)1457 2369 y Fz(0)1457 2519 y(@)1583 2437 y Ft(hT)f(i)123 b(\000h)p FA(\037)p Ft(i)1543 2636 y FA(\037)p FD(\(0\))1701 2606 y Fw(T)1906 2636 y FD(0)2032 2369 y Fz(1)2032 2519 y(A)2118 2536 y FA(;)97 b Ft(T)44 b FD(:=)23 b Ft(M)2538 2502 y Fx(\000)p Fy(1)2627 2536 y FA(H)2703 2502 y Fy(0)2696 2557 y Fw(y)r(y)2772 2536 y Ft(M)2872 2502 y Fx(\000)p Fw(T)2976 2536 y FA(;)96 b(\037)23 b FD(:=)3292 2480 y(1)p 3291 2517 43 4 v 3291 2593 a FA(\032)3344 2536 y Ft(M)3444 2502 y Fx(\000)p Fy(1)3533 2536 y FA(H)3609 2502 y Fy(0)3602 2557 y Fw(y)3646 2536 y FD(;)138 b(\(2.61\))789 2760 y FA(u)p FD(\(0\))23 b(=)g(0)k(;)287 2931 y(where)d FA(\032)f(>)f FD(0)i(is)h(a)e(pre\014xed)h(w)n(eigh)n(t)g(and)g(the)h (su\016x)1976 2901 y Fy(0)2038 2931 y FD(means,)f(here,)g(that)h(the)f (argumen)n(t)g(of)g(the)h(function)g(is)f(giv)n(en)287 3031 y(b)n(y)402 2964 y Fz(\000)440 3031 y FA(\022)d FD(+)d FA(u)p FD(\()p FA(\022)r FD(\))p FA(;)c(v)s FD(\()p FA(\022)r FD(\))921 2964 y Fz(\001)960 3031 y FD(.)28 b(Let)g FA(f)9 b FD(,)27 b FA(g)j FD(and)e FA(h)f FD(b)r(e)h(de\014ned) g(b)n(y)g(the)g(follo)n(wing)e(\\appro)n(ximate)g(torus)g(equations":) 1513 3202 y FA(!)c FD(+)c FA(D)1729 3214 y Fw(!)1776 3202 y FA(u)g Ft(\000)g FA(H)1994 3214 y Fw(y)2034 3202 y FD(\()p FA(\022)j FD(+)d FA(u;)c(v)s FD(\))111 b(=:)f FA(f)37 b(;)1672 3326 y(D)1731 3338 y Fw(!)1779 3326 y FA(v)22 b FD(+)c FA(H)1993 3338 y Fw(x)2034 3326 y FD(\()p FA(\022)j FD(+)d FA(u;)c(v)s FD(\))111 b(=:)f FA(g)31 b(;)2216 3451 y(u)p FD(\(0\))122 b(=)f(0)28 b FA(;)1834 3575 y(H)7 b FD(\(0)p FA(;)14 b(v)s FD(\(0\)\))k Ft(\000)g FA(E)116 b FD(=:)110 b FA(h)28 b(:)1030 b FD(\(2.62\))287 3746 y(The)27 b Fo(functional)h(KAM)g(map)f FD(is)h(de\014ned)g(to)f(b) r(e)h(the)g(map)1184 3917 y Ft(K)c FD(:)f(\()p FA(u;)14 b(v)s(;)g(!)s FD(\))23 b Ft(7!)g FD(\()p FA(u)1810 3883 y Fx(0)1833 3917 y FA(;)14 b(v)1913 3883 y Fx(0)1937 3917 y FA(;)g(!)2029 3883 y Fx(0)2052 3917 y FD(\))23 b(:=)2218 3850 y Fz(\000)2256 3917 y FA(u)18 b FD(+)g FA(z)t(;)c(v)21 b FD(+)d FA(w)r(;)c FD(\(1)k(+)h FA(a)p FD(\))p FA(!)3034 3850 y Fz(\001)3099 3917 y FA(;)685 b FD(\(2.63\))287 4088 y(where)27 b FA(z)t FD(,)g FA(w)j FD(and)e FA(a)f FD(are)g(as)g(in)h(Prop)r(osition)e(2.1.)287 4210 y(In)i(the)g(next)f(sections)g(w)n(e)h(shall)f(equip)g(the)h (functional)g(KAM)g(map)f(with)h(\(careful\))g(estimates.)287 4608 y Fv(2.5)112 b(T)-9 b(ec)m(hnical)36 b(T)-9 b(o)s(ols)287 4761 y FD(In)26 b(this)g(section)g(w)n(e)f(\014x)h(some)g(notation)f (and)h(review)f(a)g(few)i(tec)n(hnical)e(facts,)h(whic)n(h)g(are)f (needed)h(in)g(the)g(estimates)287 4861 y(p)r(erformed)h(in)h(the)g (rest)f(of)g(this)h(pap)r(er.)2111 5492 y(24)p eop %%Page: 25 25 25 24 bop 274 -94 a FF(2.5.1)41 b(Norms)30 b(on)g(n)n(um)n(b)r(ers,)e (matrices)i(and)g(tensors)287 63 y FG(If)c Ff(a)21 b FE(2)g Fp(C)552 32 y Fk(d)594 63 y FG(,)26 b(w)n(e)g(denote)g(b)n(y)e FE(j)18 b(\001)f(j)26 b FG(the)f(standard)h(2-norm)1844 340 y FE(j)p Ff(a)p FE(j)21 b FG(:=)2051 168 y Fz(v)2051 214 y(u)2051 264 y(u)2051 314 y(t)p 2138 168 278 4 v 2182 239 a Fk(d)2138 264 y Fz(X)2148 438 y Fk(i)p Fn(=1)2271 340 y FE(j)p Ff(a)2333 348 y Fk(i)2359 340 y FE(j)2380 319 y Fn(2)2441 340 y Ff(:)287 598 y FG(If)26 b Ff(A)21 b FG(=)g(\()p Ff(a)595 606 y Fk(ij)649 598 y FG(\))g FE(2)h FG(Mat\()p Ff(n)17 b FE(\002)g Ff(m)p FG(\),)26 b(then)1779 781 y FE(j)p Ff(A)p FE(j)21 b FG(:=)126 b(sup)2003 849 y Fk(a)p Fi(2)p Fd(C)2114 835 y Fq(n)2161 849 y Fn(:)p Fi(j)p Fk(a)p Fi(j)p Fn(=1)2339 781 y FE(j)p Ff(Aa)p FE(j)26 b Ff(:)1296 b FG(\(2.64\))287 963 y(Notice)26 b(that)1834 1076 y FE(j)p Ff(A)p FE(j)c(\024)2037 978 y Fz(q)p 2120 978 306 4 v 21 x(X)2252 1076 y FE(j)p Ff(a)2314 1084 y Fk(ij)2369 1076 y FE(j)2390 1054 y Fn(2)2451 1076 y Ff(:)1351 b FG(\(2.65\))287 1223 y(In)25 b(particular,)i(if)f Ff(a;)13 b(b)21 b FE(2)h Fp(C)1085 1191 y Fk(n)1159 1223 y FG(and)j(if)h(w)n(e)g(denote)g(b)n(y)f Ff(a)16 b FE(\012)h Ff(b)26 b FG(the)f(matrix)g(with)h(en)n(tries)g(\()p Ff(a)16 b FE(\012)h Ff(b)p FG(\))3069 1231 y Fk(ij)3145 1223 y FG(=)k Ff(a)3267 1231 y Fk(i)3293 1223 y Ff(b)3326 1231 y Fk(j)3358 1223 y FG(,)26 b(then)1894 1385 y FE(j)p Ff(a)17 b FE(\012)g Ff(b)p FE(j)k(\024)g(j)p Ff(a)p FE(jj)p Ff(b)p FE(j)27 b Ff(:)287 1547 y FG(In)f(the)h(coming)g(sections)h(w)n (e)g(shall)g(also)g(use)g(the)e(follo)n(wing)k(elemen)n(tary)c(b)r (ounds)h(on)g(the)g(\(Euclidean\))g(norm)g(of)g(a)h(matrix)287 1638 y Ff(A)21 b FE(2)g FG(Mat)q(\(\()p Ff(d)16 b FG(+)h(1\))h FE(\002)e FG(\()p Ff(d)h FG(+)g(1\)\):)26 b(write)g Ff(A)g FG(as)1846 1783 y Ff(A)21 b FG(=)2006 1668 y Fz(\022)2080 1738 y Ff(A)2138 1746 y Fn(11)2280 1738 y Ff(a)2321 1746 y Fn(12)2089 1829 y Ff(a)2130 1837 y Fn(21)2280 1829 y Ff(a)2321 1837 y Fn(22)2398 1668 y Fz(\023)287 1972 y FG(with)26 b Ff(A)520 1980 y Fn(11)606 1972 y FE(2)21 b FG(Mat)q(\()p Ff(d)c FE(\002)f Ff(d)p FG(\),)26 b Ff(a)1138 1980 y Fn(12)1203 1972 y Ff(;)13 b(a)1278 1980 y Fn(21)1364 1972 y FE(2)21 b Fp(C)1490 1941 y Fk(d)1533 1972 y FG(,)k Ff(a)1620 1980 y Fn(22)1706 1972 y FE(2)d Fp(C)15 b FG(;)32 b(then)2036 1941 y Fn(23)939 2149 y FE(j)p Ff(A)p FE(j)84 b(\024)1265 2076 y Fz(p)p 1348 2076 1031 4 v 73 x FE(j)p Ff(A)1427 2157 y Fn(11)1492 2149 y FE(j)1513 2128 y Fn(2)1565 2149 y FG(+)17 b FE(j)p Ff(a)1704 2157 y Fn(12)1769 2149 y FE(j)1790 2128 y Fn(2)1842 2149 y FG(+)g FE(j)p Ff(a)1981 2157 y Fn(21)2046 2149 y FE(j)2067 2128 y Fn(2)2119 2149 y FG(+)g FE(j)p Ff(a)2258 2157 y Fn(22)2323 2149 y FE(j)2344 2128 y Fn(2)2404 2149 y Ff(;)1398 b FG(\(2.66\))939 2381 y FE(j)p Ff(A)p FE(j)84 b(\024)1265 2308 y Fz(p)p 1348 2308 1972 4 v 73 x FG(max)o FE(fj)p Ff(A)1608 2389 y Fn(11)1674 2381 y FE(j)1695 2360 y Fn(2)1747 2381 y FG(+)16 b FE(j)p Ff(a)1885 2389 y Fn(21)1950 2381 y FE(j)1971 2360 y Fn(2)2006 2381 y Ff(;)d FE(j)p Ff(a)2102 2389 y Fn(12)2168 2381 y FE(j)2189 2360 y Fn(2)2240 2381 y FG(+)k FE(j)p Ff(a)2379 2389 y Fn(22)2444 2381 y FE(j)2465 2360 y Fn(2)2500 2381 y FE(g)h FG(+)f FE(j)p Ff(A)2712 2356 y Fk(T)2712 2401 y Fn(11)2776 2381 y Ff(a)2817 2389 y Fn(12)2882 2381 y FE(j)h FG(+)e FE(j)p Ff(a)3059 2389 y Fn(21)3124 2381 y FE(j)26 b(j)p Ff(a)3233 2389 y Fn(22)3298 2381 y FE(j)g Ff(:)457 b FG(\(2.67\))287 2543 y(Finally)-6 b(,)26 b(if)g Ff(T)37 b FG(is)26 b(a)g(3-tensor,)g(i.e.,)h(a)f(linear)h (map)d(from)i Fp(C)2001 2512 y Fk(d)2069 2543 y FG(in)n(to)f(Mat)q(\()p Ff(n)17 b FE(\002)g Ff(m)p FG(\),)25 b(then)1270 2705 y FE(j)p Ff(T)11 b FE(j)21 b FG(:=)123 b(sup)1491 2777 y Fk(a)p Fi(2)p Fd(C)1602 2763 y Fq(d)1643 2777 y Fn(:)p Fi(j)p Fk(a)p Fi(j)p Fn(=1)1822 2705 y FE(j)p Ff(T)11 b(a)p FE(j)21 b FG(=)122 b(sup)2063 2777 y Fk(a)p Fi(2)p Fd(C)2174 2763 y Fq(d)2215 2777 y Fn(:)p Fi(j)p Fk(a)p Fi(j)p Fn(=1)2525 2705 y FG(sup)2420 2774 y Fk(b)p Fi(2)p Fd(C)2524 2760 y Fq(m)2586 2774 y Fn(:)p Fi(j)p Fk(b)p Fi(j)p Fn(=1)2758 2705 y FE(j)p FG(\()p Ff(T)11 b(a)p FG(\))p Ff(b)p FE(j)25 b Ff(:)787 b FG(\(2.68\))287 2943 y FF(Remark)29 b(2.4)41 b FG(\(i\))25 b(The)g(space)g Fp(C)1298 2911 y Fk(d)1340 2943 y FG(,)g(though)n(t)e(of)j(as)f(a)g(v)n (ector)f(space)h(o)n(v)n(er)f Fp(C)15 b FG(,)31 b(will)26 b(alw)n(a)n(ys)g(b)r(e)e(endo)n(w)n(ed)g(with)h(the)f(standard)287 3034 y(orthonormal)29 b(basis)h(\(1)p Ff(;)13 b FG(0)p Ff(;)h(:::;)g FG(0\),)29 b(\(0)p Ff(;)13 b FG(1)p Ff(;)h FG(0)p Ff(;)g(:::)p FG(\),...,)31 b(\(0)p Ff(;)13 b(:::;)h FG(0)p Ff(;)g FG(1\).)29 b(Therefore,)i(w)n(e)e(shall)h(iden)n(tify)f (linear)h(maps)e(from)h Fp(C)3796 3002 y Fk(m)3889 3034 y FG(in)n(to)287 3125 y Fp(C)341 3094 y Fk(n)413 3125 y FG(with)c(Mat)726 3139 y Fd(C)772 3125 y FG(\()p Ff(n)14 b FE(\002)g Ff(m)p FG(\))24 b(and)g(3-tensors)h(with)f (\\three-index-ob)t(jects".)h(In)f(particular)h(if)g Ff(T)34 b FG(is)25 b(a)g(3-tensor,)g Ff(T)11 b(a)23 b FG(denotes)h(the)287 3217 y(\()p Ff(n)17 b FE(\002)g Ff(m)p FG(\))25 b(matrix)g(with)h(en)n(tries)1801 3388 y(\()p Ff(T)11 b(a)p FG(\))1958 3396 y Fk(ij)2032 3388 y FG(=)2157 3287 y Fk(d)2113 3311 y Fz(X)2118 3486 y Fk(k)q Fn(=1)2246 3388 y Ff(T)2291 3397 y Fk(ij)s(k)2380 3388 y Ff(a)2421 3397 y Fk(k)2484 3388 y Ff(:)287 3593 y FG(\(ii\))21 b(Notice)h(that)f(if)h Ff(T)32 b FG(is)22 b(a)g(matrix)e(or)i(a)f(tensor)h(with)g(non-negativ)n(e)f(en)n(tries,)h (then)e Fp(C)43 b FG(in)21 b(\(2.64\))h(and)f(\(2.68\))i(can)e(b)r(e)h (replaced)287 3684 y(b)n(y)i Fp(R)447 3692 y Fn(+)526 3684 y FG(:=)d([0)p Ff(;)14 b FE(1)p FG(\).)287 3800 y(\(iii\))32 b(T)-6 b(o)33 b(unify)e(notations,)j(w)n(e)e(let)g Ff(X)1429 3808 y Fn(1)1496 3800 y FG(=)g Ff(X)1651 3808 y Fn(1)1686 3800 y FG(\()p Ff(d)p FG(\),)f Ff(X)1901 3808 y Fn(2)1968 3800 y FG(=)h Ff(X)2123 3808 y Fn(2)2158 3800 y FG(\()p Ff(n;)13 b(m)p FG(\))32 b(and)f Ff(X)2616 3808 y Fn(3)2683 3800 y FG(=)h Ff(X)2838 3808 y Fn(3)2873 3800 y FG(\()p Ff(n;)13 b(m;)g(d)p FG(\))31 b(denote,)i(resp)r(ectiv)n (ely)-6 b(,)32 b Fp(C)3956 3769 y Fk(d)3998 3800 y FG(,)287 3892 y(Mat)425 3906 y Fd(C)472 3892 y FG(\()p Ff(n)17 b FE(\002)g Ff(m)p FG(\))25 b(and)g(the)g(space)i(of)f(linear)h(maps)e (from)g Fp(C)1989 3860 y Fk(d)2057 3892 y FG(in)n(to)g(Mat)2351 3906 y Fd(C)2397 3892 y FG(\()p Ff(n)17 b FE(\002)g Ff(m)p FG(\))25 b(\(i.e.,)i(the)f(space)g(of)g(3-tensors\).)p 287 3945 1493 4 v 349 4034 a Fn(23)414 4058 y FH(The)e(t)n(w)n(o)g (inequalities)g(\(2.66\))h(and)g(\(2.67\))g(are)e(indep)r(enden)n(t,)j (as)e(one)g(c)n(hec)n(ks)h(immediately)d(on)i(the)h(t)n(w)n(o)f (matrices)3618 3970 y Fz(\020)3679 4018 y FH(1)71 b(0)3679 4097 y(0)g(1)3832 3970 y Fz(\021)3905 4058 y FH(and)287 4127 y Fz(\020)348 4176 y FH(1)g(2)348 4255 y(1)g(1)501 4127 y Fz(\021)551 4215 y FH(:)21 b(in)h(the)h(\014rst)f(case)h (\(2.67\))g(is)f(b)r(etter,)g(in)g(the)h(second)h(case)e(\(2.66\))i(is) d(b)r(etter.)i(Let)g(us)f(c)n(hec)n(k)h(here)g(\(2.67\))g(\(\(2.66\))h (is)d(left)h(to)h(the)287 4340 y(reader\).)h(Let)g Fm(x)19 b Fl(2)h Fp(C)856 4316 y Fk(d)922 4340 y FH(and)k Fm(y)e Fl(2)d Fp(C)45 b FH(s.t.)23 b Fl(j)p Fm(x)p Fl(j)1464 4316 y Fn(2)1513 4340 y FH(+)16 b Fl(j)p Fm(y)r Fl(j)1661 4316 y Fn(2)1714 4340 y FH(=)k(1)k(then:)657 4430 y Fz(\014)657 4480 y(\014)657 4530 y(\014)685 4522 y Fm(A)750 4434 y Fz(\020)811 4482 y Fm(x)812 4561 y(y)863 4434 y Fz(\021)924 4430 y(\014)924 4480 y(\014)924 4530 y(\014)952 4447 y Fn(2)1069 4522 y Fl(\024)83 b(j)p Fm(A)1280 4531 y Fn(11)1345 4522 y Fm(x)p Fl(j)1405 4494 y Fn(2)1454 4522 y FH(+)16 b Fl(j)p Fm(a)1582 4531 y Fn(12)1647 4522 y Fl(j)1667 4494 y Fn(2)1701 4522 y Fl(j)p Fm(y)r Fl(j)1778 4494 y Fn(2)1828 4522 y FH(+)f(2)p Fl(j)p Fm(y)r Fl(jj)p Fm(A)2083 4494 y Fk(T)2083 4539 y Fn(11)2148 4522 y Fm(a)2185 4531 y Fn(12)2266 4522 y Fl(\001)g Fm(x)p Fl(j)g FH(+)h Fl(j)p Fm(a)2504 4531 y Fn(21)2585 4522 y Fl(\001)f Fm(x)p Fl(j)2680 4494 y Fn(2)2729 4522 y FH(+)h Fl(j)p Fm(a)2857 4531 y Fn(22)2922 4522 y Fl(j)11 b(j)p Fm(y)r Fl(j)3030 4494 y Fn(2)3080 4522 y FH(+)16 b(2)p Fl(j)p Fm(a)3243 4531 y Fn(21)3324 4522 y Fl(\001)f Fm(x)p Fl(jj)p Fm(a)3476 4531 y Fn(22)3541 4522 y Fl(j)c(j)p Fm(y)r Fl(j)1069 4675 y(\024)83 b FH(\()p Fl(j)p Fm(A)1307 4684 y Fn(11)1372 4675 y Fl(j)1392 4647 y Fn(2)1442 4675 y FH(+)16 b Fl(j)p Fm(a)1570 4684 y Fn(21)1635 4675 y Fl(j)1655 4647 y Fn(2)1689 4675 y FH(\))p Fl(j)p Fm(x)p Fl(j)1796 4647 y Fn(2)1845 4675 y FH(+)g(\()p Fl(j)p Fm(a)2000 4684 y Fn(12)2066 4675 y Fl(j)2086 4647 y Fn(2)2135 4675 y FH(+)g Fl(j)p Fm(a)2263 4684 y Fn(22)2328 4675 y Fl(j)2348 4647 y Fn(2)2382 4675 y FH(\))p Fl(j)p Fm(y)r Fl(j)2486 4647 y Fn(2)2537 4675 y FH(+)f(\()p Fl(j)p Fm(A)2707 4647 y Fk(T)2707 4692 y Fn(11)2772 4675 y Fm(a)2809 4684 y Fn(12)2875 4675 y Fl(j)g FH(+)g Fl(j)p Fm(a)3037 4684 y Fn(22)3103 4675 y Fl(jj)p Fm(a)3180 4684 y Fn(21)3244 4675 y Fl(j)p FH(\)2)p Fl(j)p Fm(x)p Fl(jj)p Fm(y)r Fl(j)1069 4787 y(\024)83 b FH(max)o Fl(fj)p Fm(A)1446 4796 y Fn(11)1511 4787 y Fl(j)1531 4760 y Fn(2)1581 4787 y FH(+)16 b Fl(j)p Fm(a)1709 4796 y Fn(21)1774 4787 y Fl(j)1794 4760 y Fn(2)1828 4787 y Fm(;)11 b Fl(j)p Fm(a)1916 4796 y Fn(12)1982 4787 y Fl(j)2002 4760 y Fn(2)2051 4787 y FH(+)16 b Fl(j)p Fm(a)2179 4796 y Fn(22)2244 4787 y Fl(j)2264 4760 y Fn(2)2298 4787 y Fl(g)g FH(+)g(\()p Fl(j)p Fm(A)2520 4760 y Fk(T)2520 4805 y Fn(11)2585 4787 y Fm(a)2622 4796 y Fn(12)2687 4787 y Fl(j)g FH(+)f Fl(j)p Fm(a)2850 4796 y Fn(22)2915 4787 y Fl(jj)p Fm(a)2992 4796 y Fn(21)3057 4787 y Fl(j)p FH(\))p Fm(:)2111 5492 y FD(25)p eop %%Page: 26 26 26 25 bop 274 97 a FF(2.5.2)41 b(Norms)30 b(on)g(analytic)h(functions) 287 244 y FG(Let)25 b Ff(D)489 212 y Fk(m)487 257 y(r)549 244 y FG(\()p Ff(y)617 252 y Fn(0)651 244 y FG(\))g(and)h Fp(T)912 212 y Fk(m)912 260 y(\030)995 244 y FG(denote)g(the)f(complex) g(sets)h(giv)n(en)g(b)n(y)1384 433 y Ff(D)1449 397 y Fk(m)1447 446 y(r)1508 433 y FG(\()p Ff(y)1576 441 y Fn(0)1611 433 y FG(\))21 b(:=)1764 343 y Fz(n)1819 433 y Ff(y)j FE(2)e Fp(C)2008 397 y Fk(m)2094 433 y FG(:)47 b FE(j)p Ff(y)2221 441 y Fk(i)2265 433 y FE(\000)16 b Ff(y)2379 441 y Fn(0)p Fk(i)2436 433 y FE(j)22 b(\024)f Ff(r)27 b(;)39 b FE(8)25 b Ff(i)2776 343 y Fz(o)2857 433 y Ff(;)1384 618 y Fp(T)1440 582 y Fk(m)1440 631 y(\030)1519 618 y FG(:=)1622 528 y Fz(n)1677 618 y Ff(y)f FE(2)e Fp(C)1866 582 y Fk(m)1952 618 y FG(:)47 b FE(j)13 b FG(Im)e Ff(y)s FE(j)22 b(\024)f Ff(\030)28 b(;)103 b FG(Re)12 b Ff(y)2650 626 y Fk(i)2728 618 y FG(mo)r(d)24 b(2)p Ff(\031)2985 528 y Fz(o)3066 618 y Ff(:)287 808 y FG(If)i Ff(f)34 b FG(is)26 b(an)f(analytic)i(function,)f Ff(f)k FG(:)21 b Fp(T)1398 776 y Fk(d)1398 824 y(\030)1455 808 y FE(!)g Fp(C)15 b FG(,)32 b(with)26 b(F)-6 b(ourier)26 b(expansion)1022 1013 y Ff(f)8 b FG(\()p Ff(x)p FG(\))21 b(=)1290 936 y Fz(X)1273 1117 y Fk(n)p Fi(2)p Fd(Z)1398 1103 y Fq(d)1440 1013 y Ff(f)1477 1021 y Fk(n)1558 1013 y FG(exp)o(\()p Ff(in)d FE(\001)f Ff(x)o FG(\))26 b Ff(;)167 b(f)2157 1021 y Fk(n)2221 1013 y FG(:=)2323 902 y Fz(Z)2374 1090 y Fd(T)2418 1076 y Fq(d)2451 1013 y Ff(f)8 b FG(\()p Ff(\022)r FG(\))13 b(exp\()p FE(\000)p Ff(in)k FE(\001)g Ff(\022)r FG(\))3097 964 y Ff(d\022)p 3046 996 181 4 v 3046 1063 a FG(\(2)p Ff(\031)s FG(\))3191 1042 y Fk(d)3262 1013 y Ff(;)287 1244 y FG(w)n(e)26 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2110 y FE(k)p Ff(f)8 b FE(k)1346 2119 y Fk(\030)q(;r)1452 2110 y FG(:=)1555 2033 y Fz(X)1595 2207 y Fk(n)1687 2110 y FE(j)p Ff(f)1745 2118 y Fk(n)1788 2110 y FE(j)1809 2118 y Fk(r)1857 2110 y FG(exp)o(\()p FE(j)p Ff(n)p FE(j)p Ff(\030)t FG(\))21 b(:=)2284 2033 y Fz(X)2298 2207 y Fk(n;k)2417 2110 y FE(j)p Ff(f)2475 2119 y Fk(nk)2552 2110 y FE(j)p Ff(r)2610 2074 y Fi(j)p Fk(k)q Fi(j)2682 2084 y Fs(1)2731 2110 y FG(exp)o(\()p FE(j)p Ff(n)p FE(j)p Ff(\030)t FG(\))k Ff(;)287 2313 y FG(where)1884 2466 y FE(j)p Ff(k)r FE(j)1968 2474 y Fn(1)2025 2466 y FG(:=)2171 2364 y Fk(d)2127 2389 y Fz(X)2134 2564 y Fk(j)s Fn(=1)2260 2466 y FE(j)p Ff(k)2321 2474 y Fk(j)2354 2466 y FE(j)h Ff(:)287 2669 y FG(Notice)g(that)1867 2761 y(sup)1755 2835 y Fd(T)1800 2818 y Fq(d)1800 2860 y(\030)1829 2835 y Fi(\002)p Fk(D)1929 2818 y Fq(m)1927 2849 y(r)1983 2835 y Fn(\()p Fk(y)2039 2845 y Fs(0)2071 2835 y Fn(\))2108 2761 y FE(j)p Ff(f)8 b FE(j)22 b(\024)f(k)p Ff(f)8 b FE(k)2419 2770 y Fk(\030)q(;r)2529 2761 y Ff(:)287 2964 y FG(The)25 b(ab)r(o)n(v)n(e)g(de\014nitions)f(generalize)j (immediately)d(to)h(the)f(case)i(in)f(whic)n(h)g Ff(f)33 b FG(tak)n(es)25 b(v)l(alue)f(in)n(to)h(spaces)h(of)f(v)n(ectors,)h (matrices)287 3056 y(or)g(tensors.)287 3169 y(If)i Ff(f)37 b FG(is)29 b(a)g Ff(X)650 3177 y Fk(q)685 3169 y FG(-v)l(alued,)f (real-analytic)i(function)e(on)h Fp(T)1890 3137 y Fk(d)1890 3185 y(\030)1925 3169 y FG(,)g(w)n(e)g(let)g Ff(N)2266 3178 y Fk(\030)2300 3169 y FG(\()p Ff(f)8 b FG(\))29 b(denote)f(the)g(elemen)n(t)g(\(with)h(non-negativ)n(e)f(en)n(tries\)) 287 3261 y(in)d Ff(X)439 3269 y Fk(q)500 3261 y FG(de\014ned,)g(for)h Ff(q)f FG(=)c(1)p Ff(;)13 b FG(2)p Ff(;)h FG(3,)26 b(resp)r(ectiv)n (ely)-6 b(,)26 b(as)1147 3412 y Ff(N)1208 3421 y Fk(\030)1242 3412 y FG(\()p Ff(f)8 b FG(\))1347 3420 y Fk(i)1395 3412 y FG(=)21 b FE(k)p Ff(f)1551 3420 y Fk(i)1578 3412 y FE(k)1616 3421 y Fk(\030)1676 3412 y Ff(;)90 b(N)1848 3421 y Fk(\030)1882 3412 y FG(\()p Ff(f)8 b FG(\))1987 3420 y Fk(ij)2064 3412 y FG(=)21 b FE(k)p Ff(f)2220 3420 y Fk(ij)2275 3412 y FE(k)2313 3421 y Fk(\030)2373 3412 y Ff(;)90 b(N)2545 3421 y Fk(\030)2579 3412 y FG(\()p Ff(f)8 b FG(\))2684 3421 y Fk(ij)s(k)2794 3412 y FG(=)21 b FE(k)p Ff(f)2950 3421 y Fk(ij)s(k)3040 3412 y FE(k)3078 3421 y Fk(\030)3138 3412 y FG(;)664 b(\(2.69\))287 3562 y(then,)25 b(w)n(e)h(de\014ne)1868 3654 y FE(k)p Ff(f)8 b FE(k)1989 3663 y Fk(\030)2045 3654 y FG(:=)22 b FE(j)p Ff(N)2230 3663 y Fk(\030)2265 3654 y FG(\()p Ff(f)8 b FG(\))p FE(j)26 b Ff(:)1385 b FG(\(2.70\))287 3773 y(F)-6 b(or)26 b(example,)f(if)h Ff(f)34 b FG(tak)n(es)26 b(v)l(alue)f(in)h Ff(X)1436 3781 y Fn(2)1471 3773 y FG(\()p Ff(n;)13 b(m)p FG(\))21 b(=)g(Mat)1920 3787 y Fd(C)1966 3773 y FG(\()p Ff(n)c FE(\002)g Ff(m)p FG(\),)25 b(it)h(is)2408 3741 y Fn(25)1518 4028 y FE(k)p Ff(f)8 b FE(k)1639 4037 y Fk(\030)1695 4028 y FG(=)52 b(sup)1786 4086 y Fq(a)p Fr(2)p Fc(R)1894 4074 y Fq(m)1894 4116 y Fs(+)1794 4164 y Fr(j)p Fq(a)p Fr(j)p Fs(=1)1966 3866 y Fz(v)1966 3913 y(u)1966 3962 y(u)1966 4012 y(t)p 2053 3866 688 4 v 2094 3926 a Fk(n)2053 3951 y Fz(X)2063 4125 y Fk(i)p Fn(=1)2186 3938 y Fz(\020)2281 3926 y Fk(m)2248 3951 y Fz(X)2256 4125 y Fk(j)s Fn(=1)2381 4028 y FE(k)p Ff(f)2456 4036 y Fk(ij)2511 4028 y FE(k)2549 4037 y Fk(\030)2584 4028 y Ff(a)2625 4036 y Fk(j)2657 3938 y Fz(\021)2707 3953 y Fn(2)2767 4028 y Ff(:)287 4317 y FG(If)26 b Ff(f)34 b FG(is)26 b(real-analytic)h(on)e Fp(T)1116 4285 y Fk(d)1116 4333 y(\030)1169 4317 y FE(\002)17 b Ff(D)1311 4285 y Fk(m)1309 4330 y(r)1370 4317 y FG(\()p Ff(y)1438 4325 y Fn(0)1472 4317 y FG(\))25 b(w)n(e)i(simply)d(replace)j FE(k)17 b(\001)h(k)2279 4326 y Fk(\030)2339 4317 y FG(with)26 b FE(k)17 b(\001)g(k)2645 4326 y Fk(\030)q(;r)2755 4317 y FG(in)25 b(\(2.69\))i(and)f(\(2.70\).)287 4458 y(Consisten)n(tly)-6 b(,)26 b(if)g Ff(f)k FG(=)976 4382 y Fz(X)960 4563 y Fk(k)q Fi(2)p Fd(N)1079 4549 y Fq(d)1125 4458 y Ff(f)1162 4467 y Fk(k)1226 4458 y FG(\()p Ff(y)20 b FE(\000)d Ff(y)1429 4466 y Fn(0)1463 4458 y FG(\))1493 4423 y Fk(k)1557 4458 y FG(is)26 b(real-analytic)h(on)e Ff(D)2247 4427 y Fk(m)2245 4472 y(r)2306 4458 y FG(\()p Ff(y)2374 4466 y Fn(0)2409 4458 y FG(\),)g(w)n(e)h(set)1775 4729 y FE(k)p Ff(f)8 b FE(k)1896 4737 y Fk(r)1953 4729 y FG(:=)2072 4652 y Fz(X)2056 4834 y Fk(k)q Fi(2)p Fd(N)2175 4820 y Fq(d)2221 4729 y FE(j)p Ff(f)2279 4738 y Fk(k)2317 4729 y FE(j)p Ff(r)2375 4693 y Fi(j)p Fk(k)q Fi(j)2447 4703 y Fs(1)2510 4729 y Ff(:)p 287 4861 1493 4 v 349 4917 a Fn(24)414 4940 y FH(As)23 b(standard,)h(\()p Fm(y)19 b Fl(\000)c Fm(y)1018 4949 y Fn(0)1053 4940 y FH(\))1080 4917 y Fk(k)1138 4940 y FH(:=)k(\()p Fm(y)1294 4949 y Fn(1)1344 4940 y Fl(\000)d Fm(y)1450 4949 y Fn(01)1515 4940 y FH(\))1542 4917 y Fk(k)1575 4927 y Fs(1)1624 4940 y Fl(\001)11 b(\001)g(\001)h FH(\()p Fm(y)1780 4948 y Fk(m)1854 4940 y Fl(\000)k Fm(y)1960 4949 y Fn(0)p Fk(m)2049 4940 y FH(\))2076 4917 y Fk(k)2109 4925 y Fq(m)2169 4940 y FH(.)349 4996 y Fn(25)414 5020 y FH(Recall)23 b(p)r(oin)n(t)i(\(ii\))e(of)h(Remark)e(2.4.)2111 5492 y FD(26)p eop %%Page: 27 27 27 26 bop 287 -94 a FG(Clearly)-6 b(,)27 b(if)f Ff(f)34 b FG(is)26 b(a)g Ff(X)914 -86 y Fk(q)949 -94 y FG(-v)l(alued)f (function)g(on)h Fp(T)1679 -126 y Fk(d)1679 -78 y(\030)1732 -94 y FE(\002)16 b Ff(D)1873 -126 y Fk(m)1871 -81 y(r)1933 -94 y FG(\()p Ff(y)2001 -86 y Fn(0)2035 -94 y FG(\),)26 b(a)g(simple)f(b)r(ound)g(on)g(its)i(norm)d(is)i(giv)n(en)g(b)n(y)1629 127 y FE(k)p Ff(f)8 b FE(k)1750 136 y Fk(\030)q(;r)1855 127 y FE(\024)1937 17 y Fz(s)p 2020 17 611 4 v 2062 50 a(X)2020 225 y Fk(i)2042 235 y Fs(1)2074 225 y Fk(;:::;i)2191 233 y Fq(q)2262 127 y FE(k)p Ff(f)2337 135 y Fk(i)2359 145 y Fs(1)2393 135 y Fi(\001\001\001)o Fk(i)2471 143 y Fq(q)2509 127 y FE(k)2547 101 y Fn(2)2547 149 y Fk(\030)q(;r)2656 127 y Ff(:)1146 b FG(\(2.71\))274 574 y FF(2.5.3)41 b(Banac)n(h)29 b(spaces)h(of)f(real-analytic)j(functions)287 732 y FG(Let)26 b(\012)g(b)r(e)g(either)g Fp(T)885 700 y Fk(d)885 748 y(\030)947 732 y FG(or)g Fp(T)1097 700 y Fk(d)1097 748 y(\030)1150 732 y FE(\002)17 b Ff(D)1292 700 y Fk(m)1290 745 y(r)1351 732 y FG(\()p Ff(y)1419 740 y Fn(0)1453 732 y FG(\))26 b(and)g(denote)g(b)n(y)f FE(R)p FG(\(\012)p Ff(;)14 b(X)2262 740 y Fk(q)2296 732 y FG(\))26 b(the)g(space)g(of)h Ff(X)2841 740 y Fk(q)2876 732 y FG(-v)l(alued,)e(real-analytic)j (functions)e(on)287 823 y(\012)g(with)g(\014nite)f(norm)g FE(k)17 b(\001)h(k)1072 832 y Fk(\030)1132 823 y FG(or)26 b FE(k)17 b(\001)h(k)1358 832 y Fk(\030)q(;r)1441 823 y FG(.)26 b(The)g(space)g FE(R)p FG(\(\012)p Ff(;)14 b(X)2099 831 y Fk(q)2134 823 y FG(\))25 b(is)i(a)f Fg(Banac)n(h)g (space)p FG(,)g(as)h(one)e(immediately)g(c)n(hec)n(ks.)274 1147 y FF(2.5.4)41 b(Pro)r(duct)32 b(of)e(real-analytic)i(functions)287 1305 y FG(W)-6 b(e)25 b(\014rst)h(notice)g(that)f FE(R)p FG(\()p Fp(T)1121 1273 y Fk(d)1121 1321 y(\030)1157 1305 y Ff(;)13 b Fp(C)i FG(\))31 b(is)c(a)f Fg(Banac)n(h)g(algebra)p FG(,)h(that)e(is)1414 1480 y FE(k)p Ff(f)8 b(g)s FE(k)1575 1489 y Fk(\030)1631 1480 y FE(\024)21 b(k)p Ff(f)8 b FE(k)1833 1489 y Fk(\030)1894 1480 y FE(k)p Ff(g)s FE(k)2010 1489 y Fk(\030)2070 1480 y Ff(;)166 b FE(8)26 b Ff(f)t(;)13 b(g)24 b FE(2)d(R)p FG(\()p Fp(T)2685 1444 y Fk(d)2685 1493 y(\030)2721 1480 y Ff(;)13 b Fp(C)i FG(\))31 b(;)932 b(\(2.72\))287 1642 y(in)25 b(fact:)1307 1804 y FE(k)p Ff(f)8 b(g)s FE(k)1468 1813 y Fk(\030)1586 1804 y FG(:=)1750 1727 y Fz(X)1791 1901 y Fk(n)1883 1804 y FE(j)p FG(\()p Ff(f)g(g)s FG(\))2049 1812 y Fk(n)2091 1804 y FE(j)13 b FG(exp)o(\()p FE(j)p Ff(n)p FE(j)p Ff(\030)t FG(\))1596 2038 y(=)1750 1961 y Fz(X)1791 2136 y Fk(n)1883 1945 y Fz(\014)1883 1995 y(\014)1883 2044 y(\014)1923 1961 y(X)1956 2136 y Fk(m)2056 2038 y Ff(f)2093 2046 y Fk(m)2152 2038 y Ff(g)2189 2046 y Fk(n)p Fi(\000)p Fk(m)2333 1945 y Fz(\014)2333 1995 y(\014)2333 2044 y(\014)2399 2038 y FG(exp\()p FE(j)p Ff(n)p FE(j)p Ff(\030)s FG(\))1596 2262 y FE(\024)1750 2186 y Fz(X)1754 2360 y Fk(n;m)1883 2262 y FG(exp)o(\()p FE(j)p Ff(m)p FE(j)p FG(\))g(exp)o(\()p FE(j)p Ff(n)18 b FE(\000)e Ff(m)p FE(j)p FG(\))p FE(j)p Ff(f)2668 2270 y Fk(m)2728 2262 y FE(j)25 b(j)p Ff(g)2832 2270 y Fk(n)p Fi(\000)p Fk(m)2977 2262 y FE(j)1596 2467 y FG(=)94 b FE(k)p Ff(f)8 b FE(k)1871 2476 y Fk(\030)1906 2467 y FE(k)p Ff(g)s FE(k)2022 2476 y Fk(\030)2082 2467 y Ff(:)287 2629 y FG(Relation)27 b(\(2.72\))h(generalizes)g(to)f(the)f Ff(X)1495 2637 y Fk(q)1530 2629 y FG(-v)l(alued)f(case,)j(pro)n(vided)e (the)g(pro)r(duct)g Ff(f)8 b(g)29 b FG(is)e(w)n(ell)h(de\014ned)d(\(as) i(in)g(the)f(case)h(when)287 2720 y Ff(f)j FE(2)22 b Ff(X)490 2728 y Fn(2)526 2720 y FG(\()p Ff(n;)13 b(m)p FG(\))25 b(or)i Ff(f)j FE(2)23 b Ff(X)1058 2728 y Fn(3)1093 2720 y FG(\()p Ff(`;)12 b(n;)i(m)p FG(\))25 b(and)h Ff(g)e FE(2)f Ff(X)1740 2728 y Fn(1)1775 2720 y FG(\()p Ff(m)p FG(\)\).)i(F)-6 b(or)26 b(example,)g(let)g(us)g(c)n(hec)n(k)g(the)f (inequalit)n(y)h(in)g(\(2.72\))h(in)f(the)g(case)287 2812 y Ff(f)k FE(2)21 b(R)p FG(\()p Fp(T)577 2780 y Fk(d)577 2828 y(\030)613 2812 y Ff(;)13 b FG(Mat)786 2826 y Fd(C)832 2812 y FG(\()p Ff(n)k FE(\002)g Ff(m)p FG(\)\),)25 b Ff(g)f FE(2)d(R)p FG(\()p Fp(T)1460 2780 y Fk(d)1460 2828 y(\030)1496 2812 y Ff(;)13 b Fp(C)1584 2780 y Fk(m)1649 2812 y FG(\):)1523 2974 y FE(k)p Ff(f)8 b(g)s FE(k)1684 2983 y Fk(\030)1802 2974 y FG(:=)83 b FE(j)p Ff(N)2048 2983 y Fk(\030)2082 2974 y FG(\()p Ff(f)8 b(g)s FG(\))p FE(j)1812 3194 y FG(=)1966 3032 y Fz(v)1966 3079 y(u)1966 3128 y(u)1966 3178 y(t)p 2053 3032 551 4 v 2094 3092 a Fk(n)2053 3117 y Fz(X)2063 3291 y Fk(i)p Fn(=1)2186 3194 y FE(k)2270 3092 y Fk(m)2237 3117 y Fz(X)2244 3291 y Fk(j)s Fn(=1)2370 3194 y Ff(f)2407 3202 y Fk(ij)2462 3194 y Ff(g)2499 3202 y Fk(j)2531 3194 y FE(k)2569 3168 y Fn(2)2569 3216 y Fk(\030)1812 3529 y FE(\024)1966 3368 y Fz(v)1966 3414 y(u)1966 3464 y(u)1966 3514 y(t)p 2053 3368 730 4 v 2094 3427 a Fk(n)2053 3452 y Fz(X)2063 3627 y Fk(i)p Fn(=1)2173 3529 y FG(\()2236 3427 y Fk(m)2203 3452 y Fz(X)2210 3627 y Fk(j)s Fn(=1)2336 3529 y FE(k)p Ff(f)2411 3537 y Fk(ij)2466 3529 y FE(k)2504 3538 y Fk(\030)2539 3529 y FE(k)p Ff(g)2614 3537 y Fk(j)2646 3529 y FE(k)2684 3538 y Fk(\030)2718 3529 y FG(\))2748 3508 y Fn(2)1812 3752 y FG(=)94 b FE(j)p Ff(N)2048 3761 y Fk(\030)2082 3752 y FG(\()p Ff(f)8 b FG(\))26 b Ff(N)2274 3761 y Fk(\030)2308 3752 y FG(\()p Ff(g)s FG(\))p FE(j)1812 3869 y(\024)94 b(j)p Ff(N)2048 3878 y Fk(\030)2082 3869 y FG(\()p Ff(f)8 b FG(\))p FE(j)26 b(j)p Ff(N)2316 3878 y Fk(\030)2351 3869 y FG(\()p Ff(g)s FG(\))p FE(j)1812 3985 y FG(=)94 b FE(k)p Ff(f)8 b FE(k)2087 3994 y Fk(\030)2147 3985 y FE(k)p Ff(g)s FE(k)2263 3994 y Fk(\030)2323 3985 y Ff(;)287 4147 y FG(\(in)25 b(the)h(\014rst)f(inequalit)n(y)g(w)n(e)h (used)g(\(2.72\)\).)287 4263 y(Analogous)c(estimates)g(hold)f(in)g(the) g(case)h(of)g(pro)r(duct)e(of)i(analytic)g(functions)g(on)f Ff(D)2758 4231 y Fk(m)2756 4276 y(r)2817 4263 y FG(\()p Ff(y)2885 4271 y Fn(0)2919 4263 y FG(\):)g(if)h Ff(f)t(;)14 b(g)23 b FE(2)f(R)p FG(\()p Ff(D)3426 4231 y Fk(m)3424 4276 y(r)3485 4263 y FG(\()p Ff(y)3553 4271 y Fn(0)3587 4263 y FG(\))p Ff(;)13 b Fp(C)i FG(\),)28 b(then)3934 4231 y Fn(26)1814 4425 y FE(k)p Ff(f)8 b(g)s FE(k)1975 4433 y Fk(r)2031 4425 y FE(\024)21 b(k)p Ff(f)8 b FE(k)2233 4433 y Fk(r)2295 4425 y FE(k)p Ff(g)s FE(k)2411 4433 y Fk(r)2471 4425 y Ff(:)p 287 4478 1493 4 v 349 4532 a Fn(26)414 4555 y FH(In)24 b(fact:)574 4709 y Fl(k)p Fm(f)7 b(g)r Fl(k)721 4717 y Fk(r)776 4709 y FH(:=)870 4634 y Fz(X)913 4808 y Fk(k)1002 4709 y Fl(j)p FH(\()p Fm(f)g(g)r FH(\))1153 4721 y Fk(k)1192 4709 y Fl(j)23 b Fm(r)1269 4681 y Fi(j)p Fk(k)q Fi(j)1341 4691 y Fs(1)1397 4709 y FH(=)1471 4634 y Fz(X)1514 4808 y Fk(k)1603 4617 y Fz(\014)1603 4667 y(\014)1603 4717 y(\014)1683 4634 y(X)1642 4808 y Fk(l)p Fn(+)p Fk(m)p Fn(=)p Fk(k)1856 4709 y Fm(f)1890 4721 y Fk(l)1914 4709 y Fm(r)1948 4681 y Fi(j)p Fk(l)p Fi(j)2006 4691 y Fs(1)2042 4709 y Fm(g)2076 4717 y Fk(m)2134 4709 y Fm(r)2168 4681 y Fi(j)p Fk(m)p Fi(j)2260 4691 y Fs(1)2297 4617 y Fz(\014)2297 4667 y(\014)2297 4717 y(\014)2344 4709 y Fl(\024)2419 4634 y Fz(X)2462 4808 y Fk(k)2591 4634 y Fz(X)2550 4808 y Fk(l)p Fn(+)p Fk(m)p Fn(=)p Fk(k)2764 4709 y Fl(j)p Fm(f)2818 4721 y Fk(l)2841 4709 y Fl(j)p Fm(r)2895 4681 y Fi(j)p Fk(l)p Fi(j)2953 4691 y Fs(1)2989 4709 y Fl(j)p Fm(g)3043 4717 y Fk(m)3101 4709 y Fl(j)p Fm(r)3155 4681 y Fi(j)p Fk(m)p Fi(j)3247 4691 y Fs(1)3303 4709 y FH(=)c Fl(k)p Fm(f)7 b Fl(k)3488 4717 y Fk(r)3547 4709 y Fl(k)p Fm(g)r Fl(k)3653 4717 y Fk(r)3712 4709 y Fm(:)2111 5492 y FD(27)p eop %%Page: 28 28 28 27 bop 287 -94 a FG(T)-6 b(o)26 b(conclude)g(this)f(paragraph,)i(w)n (e)f(giv)n(e)g(some)f(explicit)h(examples)f(of)i(ev)l(aluations)f(of)h (norms:)1242 68 y FE(k)14 b FG(exp)o(\()p Ff(n)j FE(\001)h Ff(x)p FG(\))p FE(k)1655 77 y Fk(\030)1714 68 y Ff(;)39 b FE(k)13 b FG(sin\()p Ff(n)k FE(\001)h Ff(x)p FG(\))p FE(k)2163 77 y Fk(\030)2222 68 y Ff(;)39 b FE(k)13 b FG(cos)q(\()p Ff(n)k FE(\001)h Ff(x)p FG(\))p FE(k)2680 77 y Fk(\030)2760 68 y FG(=)47 b(exp)o(\()p FE(j)p Ff(n)p FE(j)p Ff(\030)t FG(\))26 b Ff(;)606 b FG(\(2.73\))1242 184 y FE(k)p Ff(f)8 b FG(\()p Ff(y)s FG(\))13 b(sin\()p Ff(n)18 b FE(\001)f Ff(x)p FG(\))p FE(k)1777 193 y Fk(\030)q(;r)1882 184 y FG(=)k FE(k)p Ff(f)8 b FE(k)2084 192 y Fk(r)2132 184 y FG(exp\()p FE(j)p Ff(n)p FE(j)p Ff(\030)s FG(\))26 b Ff(;)1242 300 y FE(k)p Ff(f)8 b FG(\()p Ff(y)s FG(\))13 b(cos)q(\()p Ff(n)k FE(\001)h Ff(x)p FG(\))p FE(k)1786 309 y Fk(\030)q(;r)1890 300 y FG(=)j FE(k)p Ff(f)8 b FE(k)2092 308 y Fk(r)2141 300 y FG(exp)o(\()p FE(j)p Ff(n)p FE(j)p Ff(\030)t FG(\))25 b Ff(;)287 462 y FG(and,)g(more)h(in)f (general,)940 557 y Fz(\015)940 607 y(\015)940 657 y(\015)999 574 y(X)1040 748 y Fk(n)1132 651 y Ff(f)1169 659 y Fk(n)1212 651 y FG(\()p Ff(y)s FG(\))12 b(exp)o(\()p Ff(n)18 b FE(\001)f Ff(x)p FG(\))1648 557 y Fz(\015)1648 607 y(\015)1648 657 y(\015)1693 711 y Fk(\030)q(;r)1802 651 y Ff(;)1837 557 y Fz(\015)1836 607 y(\015)1836 657 y(\015)1896 574 y(X)1936 748 y Fk(n)2028 651 y Ff(f)2065 659 y Fk(n)2108 651 y FG(\()p Ff(y)s FG(\))12 b(sin\()p Ff(n)18 b FE(\001)f Ff(x)p FG(\))2521 557 y Fz(\015)2521 607 y(\015)2521 657 y(\015)2566 711 y Fk(\030)q(;r)2675 651 y Ff(;)2710 557 y Fz(\015)2709 607 y(\015)2709 657 y(\015)2769 574 y(X)2809 748 y Fk(n)2901 651 y Ff(f)2938 659 y Fk(n)2981 651 y FG(\()p Ff(y)s FG(\))12 b(cos)q(\()p Ff(n)17 b FE(\001)h Ff(x)p FG(\))3403 557 y Fz(\015)3403 607 y(\015)3403 657 y(\015)3448 711 y Fk(\030)q(;r)2689 875 y FE(\024)2796 798 y Fz(X)2837 973 y Fk(n)2929 875 y FE(k)p Ff(f)3004 883 y Fk(n)3047 875 y FE(k)3085 883 y Fk(r)3133 875 y FG(exp)o(\()p FE(j)p Ff(n)p FE(j)p Ff(\030)t FG(\))25 b Ff(:)341 b FG(\(2.74\))274 1292 y FF(2.5.5)41 b(Comp)r(osition)32 b(of)d(analytic)i(functions)287 1450 y Fg(Let)25 b FG(0)d Ff(<)f(\030)j(<)712 1430 y FG(\026)704 1450 y Ff(\030)29 b Fg(and)c(let)h Ff(h)c FE(2)f(R)p FG(\()p Fp(T)1316 1418 y Fk(n)1322 1460 y Fn(\026)1316 1473 y Fk(\030)1375 1450 y FE(\002)c Ff(D)1517 1418 y Fk(m)1515 1463 y(r)1576 1450 y FG(\()p Ff(y)1644 1458 y Fn(0)1679 1450 y FG(\))p Ff(;)c(X)1806 1458 y Fk(q)1840 1450 y FG(\))p Fg(,)26 b Ff(f)k FE(2)21 b(R)p FG(\()p Fp(T)2207 1418 y Fk(d)2207 1466 y(\030)2243 1450 y Ff(;)13 b Fp(C)2331 1418 y Fk(n)2380 1450 y FG(\))p Fg(,)25 b Ff(g)f FE(2)e(R)p FG(\()p Fp(T)2741 1418 y Fk(d)2741 1466 y(\030)2776 1450 y Ff(;)13 b Fp(C)2864 1418 y Fk(m)2929 1450 y FG(\))p Fg(.)26 b(Assume)e(that)1281 1624 y FE(k)p Ff(f)8 b FE(k)1402 1633 y Fk(\030)1458 1624 y FE(\024)1547 1605 y FG(\026)1539 1624 y Ff(\030)20 b FE(\000)d Ff(\030)28 b(;)167 b FE(k)p Ff(g)1995 1632 y Fk(s)2046 1624 y FE(\000)16 b Ff(y)2160 1632 y Fn(0)p Fk(s)2224 1624 y FE(k)2262 1633 y Fk(\030)2318 1624 y FE(\024)21 b Ff(r)27 b(;)90 b FG(\(1)22 b FE(\024)f Ff(s)g FE(\024)g Ff(m)p FG(\))k Ff(;)798 b FG(\(2.75\))287 1786 y Fg(and)25 b(de\014ne)1348 1890 y Ff(\036)c FG(:)h Ff(\022)h FE(2)f Fp(T)1646 1854 y Fk(d)1646 1903 y(\030)1703 1890 y FE(!)f Ff(\036)p FG(\()p Ff(\022)r FG(\))g(:=)2068 1800 y Fz(\020)2118 1890 y Ff(\022)e FG(+)d Ff(f)8 b FG(\()p Ff(\022)r FG(\))p Ff(;)14 b(g)s FG(\()p Ff(\022)r FG(\))2565 1800 y Fz(\021)2635 1890 y FE(2)21 b Fp(C)2761 1854 y Fk(n)q Fn(+)p Fk(m)2936 1890 y Ff(:)287 2054 y Fg(Then,)26 b Ff(h)17 b FE(\016)g Ff(\036)22 b FE(2)f(R)p FG(\()p Fp(T)916 2022 y Fk(d)916 2070 y(\030)952 2054 y Ff(;)13 b(X)1049 2062 y Fk(q)1084 2054 y FG(\))25 b Fg(and)1839 2145 y FE(k)p Ff(h)18 b FE(\016)g Ff(\036)p FE(k)2079 2154 y Fk(\030)2134 2145 y FE(\024)j(k)p Ff(h)p FE(k)2341 2148 y Fn(\026)2335 2161 y Fk(\030)s(;r)2445 2145 y Ff(:)287 2329 y FF(Pro)r(of)k FG(W)-6 b(e)21 b(\014rst)f (consider)i(the)e(sp)r(ecial)i(case)g Ff(X)1694 2337 y Fk(q)1750 2329 y FG(=)f Ff(X)1894 2337 y Fn(1)1929 2329 y FG(\(1\))g(=)g Fp(C)15 b FG(.)27 b(Using)21 b(\(rep)r(eatedly\)) g(the)f(fact)i(that)e FE(R)p FG(\()p Fp(T)3459 2297 y Fk(d)3459 2345 y(\030)3495 2329 y Ff(;)13 b Fp(C)i FG(\))26 b(is)c(a)f(Banac)n(h)287 2420 y(algebra)27 b(and)e(using)h(\(in)g(the)f (\014nal)g(inequalit)n(y\))h(the)f(assumptions)g(\(2.75\),)j(w)n(e)e (\014nd)2769 2388 y Fn(27)907 2691 y FE(k)p Ff(h)18 b FE(\016)f Ff(\036)p FE(k)1146 2700 y Fk(\030)1263 2691 y FG(=)1406 2614 y Fz(X)1442 2790 y Fk(`)1468 2776 y Fr(0)1539 2598 y Fz(\014)1539 2647 y(\014)1539 2697 y(\014)1582 2614 y(X)1579 2789 y Fk(`;k)q(;j)1728 2642 y Ff(h)1772 2651 y Fk(`;k)p 1728 2674 128 4 v 1763 2742 a Ff(j)t FG(!)1890 2691 y Ff(i)1916 2655 y Fk(j)1975 2601 y Fz(\020)2024 2691 y FG(\()p Ff(`)g FE(\001)g Ff(f)8 b FG(\))2216 2655 y Fk(j)2249 2691 y FG(\()p Ff(g)19 b FE(\000)e Ff(y)2450 2699 y Fn(0)2485 2691 y FG(\))2515 2655 y Fk(k)2553 2601 y Fz(\021)2602 2751 y Fk(`)2628 2737 y Fr(0)2651 2751 y Fi(\000)p Fk(`)2728 2598 y Fz(\014)2728 2647 y(\014)2728 2697 y(\014)2795 2691 y FG(exp)o(\()p FE(j)p Ff(`)2995 2655 y Fi(0)3017 2691 y FE(j)p Ff(\030)s FG(\))1263 2945 y FE(\024)1442 2868 y Fz(X)1406 3044 y Fk(`)1432 3030 y Fr(0)1454 3044 y Fk(;`;k)q(;j)1612 2945 y FG(exp)o(\()p FE(j)p Ff(`)p FE(j)p Ff(\030)s FG(\))1910 2896 y FE(j)p Ff(h)1975 2905 y Fk(`;k)2059 2896 y 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Ff(f)8 b FE(k)2011 4330 y Fk(\030)2046 4321 y FG(\))2076 4285 y Fk(j)2173 4219 y(m)2147 4244 y Fz(Y)2147 4418 y Fk(s)p Fn(=1)2266 4321 y FE(k)p Ff(g)2341 4329 y Fk(s)2391 4321 y FE(\000)17 b Ff(y)2506 4329 y Fn(0)p Fk(s)2569 4321 y FE(k)2607 4285 y Fk(k)2640 4293 y Fq(s)2607 4341 y Fk(\030)2715 4321 y FG(exp\()p FE(j)p Ff(`)p FE(j)p Ff(\030)s FG(\))1263 4575 y FE(\024)1409 4498 y Fz(X)1406 4672 y Fk(`;k)q(;j)1555 4526 y FE(j)p Ff(h)1620 4535 y Fk(`;k)1703 4526 y FE(j)p 1555 4558 V 1611 4625 a Ff(j)t FG(!)1760 4575 y FE(j)p Ff(`)p FE(j)1834 4539 y Fk(j)1892 4575 y FG(\()1930 4555 y(\026)1922 4575 y Ff(\030)j FE(\000)d Ff(\030)s FG(\))2120 4539 y Fk(j)2178 4575 y Ff(r)2215 4539 y Fi(j)p Fk(k)q Fi(j)2287 4549 y Fs(1)2336 4575 y FG(exp)o(\()p FE(j)p Ff(`)p FE(j)p Ff(\030)s FG(\))1263 4779 y(=)83 b FE(k)p Ff(h)p FE(k)1532 4782 y Fn(\026)1526 4795 y Fk(\030)1557 4796 y(;r)1636 4779 y Ff(:)2166 b FG(\(2.76\))p 287 4832 1493 4 v 349 4889 a Fn(27)414 4912 y FH(The)24 b(indices)g Fm(`)820 4889 y 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3178 y Fi(j)p Fk(")p Fi(j\024)p Fk(")1758 3188 y Fs(0)1803 3112 y FE(k)1858 3092 y FG(~)1841 3112 y Ff(f)1887 3120 y Fk(M)1954 3112 y FE(k)1992 3121 y Fk(\030)2048 3112 y FE(\024)21 b Ff(F)11 b FG(\()p Ff(")2255 3120 y Fn(0)2289 3112 y FG(\))17 b FE(\000)2441 3010 y Fk(M)2413 3035 y Fz(X)2420 3210 y Fk(j)s Fn(=0)2545 3047 y Fz(\002)2580 3112 y Ff(F)2640 3047 y Fz(\003)2674 3147 y Fk(j)2707 3112 y Ff(")2743 3120 y Fn(0)2777 3076 y Fk(j)2837 3112 y Ff(;)965 b FG(\(2.83\))287 3363 y Fb(for)27 b(any)h Ff(")592 3371 y Fn(0)648 3363 y Ff(>)21 b FG(0)28 b Fb(for)f(which)h Ff(F)11 b FG(\()p Ff(")1259 3371 y Fn(0)1293 3363 y FG(\))21 b Ff(<)g FE(1)p Fb(.)287 3454 y(The)28 b(same)g(statement)i(holds)e(if)e Ff(f)36 b Fb(in)27 b FG(\(2.79\))i Fb(is)e(r)l(eplac)l(e)l(d)i(by)1686 3637 y Ff(f)8 b FG(\()p Ff(x;)13 b(y)s FG(\))21 b(:=)2050 3560 y Fz(X)2033 3741 y Fk(n)p Fi(2)p Fd(Z)2158 3727 y Fq(d)2199 3637 y Ff(f)2236 3645 y Fk(n)2279 3637 y FG(\()p Ff(y)s FG(\))12 b Ff(c)2425 3645 y Fk(n)2468 3637 y FG(\()p Ff(x)p FG(\))27 b Ff(;)1203 b FG(\(2.84\))287 3889 y Fb(wher)l(e)28 b Ff(c)536 3897 y Fk(n)579 3889 y FG(\()p Ff(x)p FG(\))21 b(=)g(cos)q(\()p Ff(n)c FE(\001)g Ff(x)p FG(\))27 b Fb(or)h Ff(c)1252 3897 y Fk(n)1295 3889 y FG(\()p Ff(x)p FG(\))20 b(=)i(sin\()p Ff(n)17 b FE(\001)g Ff(x)p FG(\))p Fb(.)287 4113 y FF(Pro)r(of)40 b FG(Estimate)33 b(\(2.83\))i(is)f(an)f(immediate)f(consequence)h(of)h (\(2.82\).)h(Also)f(the)f(\014nal)g(statemen)n(t)g(ab)r(out)g(\(2.84\)) i(follo)n(ws)287 4204 y(immediately)26 b(b)n(y)g(writing)i Ff(c)1133 4212 y Fk(n)1203 4204 y FG(as)1299 4139 y Fz(\000)1350 4204 y FG(exp)o(\()p Ff(in)19 b FE(\001)f Ff(x)p FG(\))g(+)f(exp\()p FE(\000)p Ff(in)h FE(\001)g Ff(x)p FG(\))2207 4139 y Fz(\001)2245 4204 y Ff(=)p FG(2)28 b(or)2444 4139 y Fz(\000)2495 4204 y FG(exp\()p Ff(in)18 b FE(\001)h Ff(x)p FG(\))e FE(\000)h FG(exp)o(\()p FE(\000)p Ff(in)g FE(\001)h Ff(x)p FG(\))3353 4139 y Fz(\001)3390 4204 y Ff(=)p FG(\(2)p Ff(i)p FG(\))28 b(and)f(applying)287 4296 y(t)n(wice)f(the)g(result)f (for)i Ff(f)34 b FG(as)26 b(in)g(\(2.79\).)287 4412 y(It)e(remains)g (to)g(pro)n(v)n(e)g(\(2.82\).)i(T)-6 b(o)24 b(simplify)h(notations,)g (w)n(e)g(shall)g(discuss)g(in)f(detail)h(only)f(the)g(case)h Ff(m)c FG(=)g Ff(d)g FG(=)h(1,)j(lea)n(ving)f(the)287 4503 y(straigh)n(tforw)n(ard)j(generalization)h(to)e(the)f(higher)h (dimensional)g(case)h(to)f(the)f(reader.)287 4619 y(By)g(de\014nition,) h(for)h(an)n(y)e Ff(j)h FE(\025)21 b FG(0,)1265 4715 y Fz(\015)1265 4765 y(\015)1265 4815 y(\015)1311 4718 y(h)1367 4789 y FG(~)1350 4808 y Ff(f)9 b FG(\()p FE(\001)p Ff(;)k(\022)r FG(\))1549 4718 y Fz(i)1588 4868 y Fk(j)1621 4715 y Fz(\015)1621 4765 y(\015)1621 4815 y(\015)1667 4868 y Fk(\030)1722 4808 y FE(\024)1803 4732 y Fz(X)1844 4906 y Fk(n)1936 4715 y Fz(\015)1936 4765 y(\015)1936 4815 y(\015)1982 4718 y(h)2021 4808 y Ff(f)2058 4816 y Fk(n)2101 4808 y FG(\()p Ff(y)2169 4816 y Fn(0)2220 4808 y FG(+)k Ff(b)p FG(\))c(exp)o(\()p Ff(in\022)20 b FG(+)d Ff(ina)p FG(\))2868 4718 y Fz(i)2907 4868 y Fk(j)2939 4715 y Fz(\015)2939 4765 y(\015)2939 4815 y(\015)2986 4868 y Fk(\030)3020 4808 y Ff(;)2111 5492 y FD(30)p eop %%Page: 31 31 31 30 bop 287 -94 a FG(so)26 b(that)f(\(2.82\))i(will)g(follo)n(ws)i (from)567 5 y Fz(\015)567 55 y(\015)567 105 y(\015)613 9 y(h)652 99 y Ff(f)689 107 y Fk(n)732 99 y FG(\()p Ff(y)800 107 y Fn(0)852 99 y FG(+)16 b Ff(b)p FG(\))d(exp)o(\()p Ff(in\022)20 b FG(+)d Ff(ina)p FG(\))1499 9 y Fz(i)1538 159 y Fk(j)1571 5 y Fz(\015)1571 55 y(\015)1571 105 y(\015)1617 159 y Fk(\030)1672 99 y FE(\024)1753 9 y Fz(h)1792 99 y Ff(F)1841 107 y Fk(n)1884 99 y FG(\()p Ff(y)1952 107 y Fn(0)2003 99 y FG(+)g Ff(B)t FG(\))12 b(exp)2315 34 y Fz(\000)2353 99 y FE(j)p Ff(n)p FE(j)p Ff(\030)21 b FG(+)16 b Ff(A)2630 107 y Fk(n)2672 34 y Fz(\001)2711 9 y(i)2750 159 y Fk(j)2808 99 y Ff(;)167 b FE(8)p Ff(n)21 b FE(2)g Fp(Z)e Ff(;)39 b(j)26 b FE(\025)21 b FG(0)26 b Ff(:)281 b FG(\(2.85\))287 304 y(F)-6 b(or)26 b Ff(j)g FG(=)21 b(0)26 b(\(2.85\))g(is)h(immediately)d(implied)h(b)n(y)g (\(2.73\))i(and)e(\(2.80\).)i(Let,)f(no)n(w,)g Ff(j)g FE(\025)c FG(1)k(and)f(let)1180 486 y Ff(f)1217 494 y Fk(n)1260 486 y FG(\()p Ff(y)s FG(\))20 b(:=)1484 409 y Fz(X)1488 584 y Fk(k)q Fi(\025)p Fn(0)1616 486 y Ff(f)1653 495 y Fk(n;k)1762 486 y FG(\()p Ff(y)f FE(\000)e Ff(y)1964 494 y Fn(0)1999 486 y FG(\))2029 450 y Fk(k)2088 486 y FE(\036)2169 409 y Fz(X)2173 584 y Fk(k)q Fi(\025)p Fn(0)2302 486 y Ff(F)2351 495 y Fk(n;k)2459 486 y FG(\()p Ff(y)i FE(\000)e Ff(y)2661 494 y Fn(0)2695 486 y FG(\))2725 450 y Fk(k)2785 486 y FG(=:)k Ff(F)2936 494 y Fk(n)2979 486 y FG(\()p Ff(y)s FG(\))k Ff(:)287 745 y FG(Then)462 713 y Fn(28)659 826 y Fz(\015)659 876 y(\015)659 925 y(\015)705 829 y(h)744 919 y Ff(f)781 927 y Fk(n)824 919 y FG(\()p Ff(y)892 927 y Fn(0)943 919 y FG(+)17 b Ff(b)p FG(\))c(exp)o(\()p Ff(in\022)20 b FG(+)c Ff(ina)p FG(\))1590 829 y Fz(i)1630 979 y Fk(j)1662 826 y Fz(\015)1662 876 y(\015)1662 925 y(\015)1708 979 y Fk(\030)966 1123 y FE(\024)1047 1046 y Fz(X)1062 1221 y Fk(k)q(;h)1180 1030 y Fz(\015)1180 1079 y(\015)1180 1129 y(\015)1239 1123 y FG(exp)o(\()p Ff(in\022)r FG(\))1536 1074 y Ff(f)1573 1083 y Fk(n;k)p 1536 1106 133 4 v 1570 1174 a Ff(h)p FG(!)1679 1033 y Fz(h)1718 1123 y Ff(b)1751 1087 y Fk(k)1789 1123 y FG(\()p Ff(ina)p FG(\))1962 1087 y Fk(h)2002 1033 y Fz(i)2042 1183 y Fk(j)2074 1030 y Fz(\015)2074 1079 y(\015)2074 1129 y(\015)2120 1183 y Fk(\030)966 1372 y FE(\024)21 b FG(exp)o(\()p FE(j)p Ff(n)p FE(j)p Ff(\030)s FG(\))1363 1295 y Fz(X)1378 1469 y Fk(k)q(;h)1505 1323 y Ff(F)1554 1332 y Fk(n;k)p 1505 1355 145 4 v 1545 1422 a Ff(h)p FG(!)1660 1278 y Fz(\015)1660 1328 y(\015)1660 1378 y(\015)1706 1282 y(h)1745 1372 y Ff(b)1778 1336 y Fk(k)1816 1372 y FG(\()p Ff(na)p FG(\))1963 1336 y Fk(h)2003 1282 y Fz(i)2042 1432 y Fk(j)2075 1278 y Fz(\015)2075 1328 y(\015)2075 1378 y(\015)2121 1432 y Fk(\030)966 1664 y FE(\024)g FG(exp)o(\()p FE(j)p Ff(n)p FE(j)p Ff(\030)s FG(\))1363 1587 y Fz(X)1378 1761 y Fk(k)q(;h)1505 1615 y Ff(F)1554 1624 y Fk(n;k)p 1505 1647 V 1545 1714 a Ff(h)p FG(!)1673 1520 y Fz(\015)1673 1570 y(\015)1673 1620 y(\015)1673 1670 y(\015)1673 1720 y(\015)2016 1587 y(X)1744 1761 y Fk(j)1769 1771 y Fs(1)1802 1761 y Fn(+)p Fi(\001\001\001)o Fn(+)p Fk(j)1977 1773 y Fq(k)2014 1761 y Fn(+)p Fk(`)2087 1771 y Fs(1)2119 1761 y Fn(+)p Fi(\001\001\001)o Fn(+)p Fk(`)2295 1773 y Fq(h)2333 1761 y Fn(=)p Fk(j)2446 1664 y Ff(b)2479 1628 y Fn(\()p Fk(j)2528 1638 y Fs(1)2561 1628 y Fn(\))2602 1664 y FE(\001)13 b(\001)g(\001)g Ff(b)2737 1628 y Fn(\()p Fk(j)2786 1640 y Fq(k)2823 1628 y Fn(\))2864 1598 y Fz(\000)2902 1664 y Ff(na)2989 1628 y Fn(\()p Fk(`)3039 1638 y Fs(1)3071 1628 y Fn(\))3099 1598 y Fz(\001)3150 1664 y FE(\001)g(\001)g(\001)3253 1598 y Fz(\000)3291 1664 y Ff(na)3378 1628 y Fn(\()p Fk(`)3428 1640 y Fq(h)3466 1628 y Fn(\))3494 1598 y Fz(\001)3558 1520 y(\015)3558 1570 y(\015)3558 1620 y(\015)3558 1670 y(\015)3558 1720 y(\015)3604 1785 y Fk(\030)966 1928 y FE(\024)21 b FG(exp)o(\()p FE(j)p Ff(n)p FE(j)p Ff(\030)s FG(\))1363 1851 y Fz(X)1378 2026 y Fk(k)q(;h)1505 1879 y Ff(F)1554 1888 y Fk(n;k)p 1505 1911 V 1545 1979 a Ff(h)p FG(!)1944 1851 y Fz(X)1673 2026 y Fk(j)1698 2036 y Fs(1)1730 2026 y Fn(+)p Fi(\001\001\001)p Fn(+)p Fk(j)1906 2038 y Fq(k)1942 2026 y Fn(+)p Fk(`)2015 2036 y Fs(1)2047 2026 y Fn(+)p Fi(\001\001\001)o Fn(+)p Fk(`)2223 2038 y Fq(h)2261 2026 y Fn(=)p Fk(j)2375 1860 y Fz(\015)2375 1909 y(\015)2421 1928 y Ff(b)2454 1892 y Fn(\()p Fk(j)2503 1902 y Fs(1)2535 1892 y Fn(\))2564 1860 y Fz(\015)2564 1909 y(\015)2610 1963 y Fk(\030)2656 1928 y FE(\001)14 b(\001)f(\001)2759 1860 y Fz(\015)2759 1909 y(\015)2805 1928 y Ff(b)2838 1892 y Fn(\()p Fk(j)2887 1904 y Fq(k)2924 1892 y Fn(\))2952 1860 y Fz(\015)2952 1909 y(\015)2998 1963 y Fk(\030)3045 1860 y Fz(\015)3045 1909 y(\015)3091 1928 y Ff(na)3178 1892 y Fn(\()p Fk(`)3228 1902 y Fs(1)3260 1892 y Fn(\))3288 1860 y Fz(\015)3288 1909 y(\015)3334 1963 y Fk(\030)3381 1928 y FE(\001)g(\001)g(\001)3484 1860 y Fz(\015)3484 1909 y(\015)3530 1928 y Ff(na)3617 1892 y Fn(\()p Fk(`)3667 1904 y Fq(h)3705 1892 y Fn(\))3733 1860 y Fz(\015)3733 1909 y(\015)3779 1963 y Fk(\030)966 2179 y FE(\024)21 b FG(exp)o(\()p FE(j)p Ff(n)p FE(j)p Ff(\030)s FG(\))1363 2102 y Fz(X)1378 2276 y Fk(k)q(;h)1505 2130 y Ff(F)1554 2139 y Fk(n;k)p 1505 2162 V 1545 2229 a Ff(h)p FG(!)1944 2102 y Fz(X)1673 2276 y Fk(j)1698 2286 y Fs(1)1730 2276 y Fn(+)p Fi(\001\001\001)p Fn(+)p Fk(j)1906 2288 y Fq(k)1942 2276 y Fn(+)p Fk(`)2015 2286 y Fs(1)2047 2276 y Fn(+)p Fi(\001\001\001)o Fn(+)p Fk(`)2223 2288 y Fq(h)2261 2276 y Fn(=)p Fk(j)2375 2179 y Ff(B)2437 2143 y Fn(\()p Fk(j)2486 2153 y Fs(1)2518 2143 y Fn(\))2559 2179 y FE(\001)13 b(\001)g(\001)h Ff(B)2724 2143 y Fn(\()p Fk(j)2773 2155 y Fq(k)2809 2143 y Fn(\))2850 2179 y Ff(A)2908 2143 y Fn(\()p Fk(`)2958 2153 y Fs(1)2990 2143 y Fn(\))2908 2192 y Fk(n)3031 2179 y FE(\001)f(\001)g(\001)g Ff(A)3191 2143 y Fn(\()p Fk(`)3241 2155 y Fq(h)3279 2143 y Fn(\))3191 2192 y Fk(n)966 2429 y FG(=)21 b(exp)o(\()p FE(j)p Ff(n)p FE(j)p Ff(\030)s FG(\))1363 2353 y Fz(X)1378 2527 y Fk(k)q(;h)1505 2380 y Ff(F)1554 2389 y Fk(n;k)p 1505 2412 V 1545 2480 a Ff(h)p FG(!)1660 2339 y Fz(h)1699 2429 y Ff(B)1761 2393 y Fk(k)1799 2429 y Ff(A)1857 2393 y Fk(h)1857 2442 y(n)1899 2339 y Fz(i)1938 2490 y Fk(j)966 2678 y FG(=)g(exp)o(\()p FE(j)p Ff(n)p FE(j)p Ff(\030)s FG(\))1349 2588 y Fz(h)1402 2601 y(X)1417 2776 y Fk(k)q(;h)1545 2629 y Ff(F)1594 2638 y Fk(n;k)p 1545 2661 V 1584 2729 a Ff(h)p FG(!)1699 2678 y Ff(B)1761 2642 y Fk(k)1799 2678 y Ff(A)1857 2642 y Fk(h)1857 2691 y(n)1899 2588 y Fz(i)1938 2738 y Fk(j)966 2909 y FG(=)g(exp)o(\()p FE(j)p Ff(n)p FE(j)p Ff(\030)s FG(\))1376 2844 y Fz(\002)1410 2909 y Ff(F)1459 2917 y Fk(n)1502 2909 y FG(\()p Ff(y)1570 2917 y Fn(0)1621 2909 y FG(+)c Ff(B)t FG(\))25 b(exp)o(\()p Ff(A)2020 2917 y Fk(n)2062 2909 y FG(\))2092 2844 y Fz(\003)2127 2945 y Fk(j)2185 2909 y Ff(:)p 2324 2909 41 83 v 274 3354 a FF(2.5.7)41 b(Small)30 b(divisor)h(estimates)287 3511 y FG(Let)25 b Ff(!)f FE(2)e Fp(R)623 3480 y Fk(d)690 3511 y FG(b)r(e)k(Diophan)n(tine)f(\(see)h(\(2.9\)\).)h(F)-6 b(or)26 b Ff(p)21 b FE(2)g Fp(N)t FG(,)32 b Ff(k)24 b FE(2)d Fp(N)2187 3480 y Fk(d)2255 3511 y FG(and)k Ff(\016)f(>)d FG(0,)27 b(w)n(e)f(de\014ne)2939 3480 y Fn(29)1204 3704 y Ff(s)1240 3713 y Fk(p;k)1329 3704 y FG(\()p Ff(\016)s FG(;)13 b Ff(!)s FG(\))46 b(=)21 b Ff(s)1674 3713 y Fk(p;k)1763 3704 y FG(\()p Ff(\016)s FG(\))47 b(:=)129 b(sup)2035 3776 y Fk(n)p Fi(2)p Fd(Z)2159 3762 y Fq(d)2188 3776 y Fk(=)p Fi(f)p Fn(0)p Fi(g)2327 3614 y Fz(\020)2377 3704 y FE(j)p Ff(n)2444 3668 y Fk(k)2482 3704 y FE(j)13 b FG(exp\()p FE(\000)p Ff(\016)s FE(j)p Ff(n)p FE(j)p FG(\))p FE(j)p Ff(!)20 b FE(\001)d Ff(n)p FE(j)3073 3668 y Fi(\000)p Fk(p)3158 3614 y Fz(\021)3233 3704 y FG(;)1204 4004 y Ff(s)1240 4012 y Fk(p;)p Fn(1)1326 4004 y FG(\()p Ff(\016)s FG(;)c Ff(!)s FG(\))46 b(=)h Ff(s)1697 4012 y Fk(p;)p Fn(1)1782 4004 y FG(\()p Ff(\016)s FG(\))f(:=)2053 3836 y Fz(v)2053 3883 y(u)2053 3933 y(u)2053 3983 y(t)p 2141 3836 416 4 v 2185 3903 a Fk(d)2141 3928 y Fz(X)2148 4102 y Fk(j)s Fn(=1)2274 4004 y Ff(s)2310 4012 y Fk(p;e)2390 4023 y Fq(j)2425 4004 y FG(\()p Ff(\016)s FG(\))2522 3983 y Fn(2)2582 4004 y Ff(:)1220 b FG(\(2.86\))287 4277 y(Notice)26 b(that)f(\(2.9\))i(implies)e(that,)h(for)h Ff(k)c FE(2)f Fp(N)1634 4245 y Fk(d)1676 4277 y FG(,)1407 4484 y Ff(s)1443 4493 y Fk(p;k)1532 4484 y FG(\()p Ff(\016)s FG(\))f FE(\024)1731 4394 y Fz(\020)1792 4436 y Ff(b)p 1791 4467 36 4 v 1791 4535 a(e)1836 4394 y Fz(\021)1886 4409 y Fk(b)1943 4484 y Ff(\015)1987 4448 y Fi(\000)p Fk(p)2071 4484 y Ff(\016)2108 4448 y Fi(\000)p Fk(b)2213 4484 y Ff(;)167 b(b)21 b FG(:=)g FE(j)p Ff(k)r FE(j)2641 4492 y Fn(1)2694 4484 y FG(+)c Ff(p\034)33 b FG(;)p 287 4560 1493 4 v 349 4616 a Fn(28)414 4639 y FH(The)24 b(dum)n(b)f (indices)h Fm(k)r(;)10 b(h)24 b FH(run)f(o)n(v)n(er)h Fp(N)t FH(,)29 b(while)23 b(the)i(indices)f Fm(j)2073 4647 y Fk(r)2130 4639 y FH(and)h Fm(`)2297 4647 y Fk(r)2355 4639 y FH(run)e(o)n(v)n(er)h Fp(Z)2696 4648 y Fn(+)2741 4639 y FH(.)349 4695 y Fn(29)414 4718 y Fl(f)p Fm(e)482 4728 y Fk(j)514 4718 y Fl(g)g FH(denotes)h(the)g(standard)f (orthonormal)f(basis)h Fm(e)1855 4727 y Fn(1)1909 4718 y FH(:=)19 b(\(1)p Fm(;)12 b FH(0)p Fm(;)f FH(0)p Fm(;)h(:::;)e FH(0\),)24 b Fm(e)2459 4727 y Fn(2)2513 4718 y FH(:=)19 b(\(0)p Fm(;)12 b FH(1)p Fm(;)g FH(0)p Fm(;)g(:::;)e FH(0\),)24 b(...)2111 5492 y FD(31)p eop %%Page: 32 32 32 31 bop 287 -94 a FG(indeed:)1435 68 y Ff(s)1471 77 y Fk(p;k)1560 68 y FG(\()p Ff(\016)s FG(\))82 b FE(\024)h FG(sup)1882 132 y Fk(n)p Fi(6)p Fn(=0)2010 68 y Ff(\015)2054 32 y Fi(\000)p Fk(p)2138 68 y FE(j)p Ff(n)2205 32 y Fk(k)2244 68 y FE(j)26 b(j)p Ff(n)p FE(j)2379 32 y Fk(p\034)2464 68 y FG(exp)o(\()p FE(\000)p Ff(\016)s FE(j)p Ff(n)p FE(j)q FG(\))1739 256 y FE(\024)83 b FG(sup)1882 321 y Fk(n)p Fi(6)p Fn(=0)2010 256 y Ff(\015)2054 220 y Fi(\000)p Fk(p)2138 256 y FE(j)p Ff(n)p FE(j)2226 220 y Fi(j)p Fk(k)q Fi(j)2298 230 y Fs(1)2336 256 y FE(j)p Ff(n)p FE(j)2424 220 y Fk(p\034)2508 256 y FG(exp\()p FE(\000)p Ff(\016)s FE(j)p Ff(n)p FE(j)p FG(\))1739 467 y FE(\024)g Ff(\015)1926 432 y Fi(\000)p Fk(p)2010 467 y Ff(\016)2047 432 y Fi(\000)p Fk(b)2139 467 y FG(sup)2146 532 y Fk(t>)p Fn(0)2268 377 y Fz(\020)2317 467 y Ff(t)2345 432 y Fk(b)2389 467 y FG(exp)o(\()p FE(\000)p Ff(t)p FG(\))2654 377 y Fz(\021)1739 687 y FG(=)g Ff(\015)1926 651 y Fi(\000)p Fk(p)2010 687 y Ff(\016)2047 651 y Fi(\000)p Fk(b)2126 597 y Fz(\020)2187 639 y Ff(b)p 2186 670 36 4 v 2186 738 a(e)2232 597 y Fz(\021)2281 612 y Fk(b)2338 687 y Ff(:)287 888 y Fg(Let)25 b Ff(f)30 b FE(2)22 b(R)p FG(\()p Fp(T)715 857 y Fk(d)715 905 y(\030)750 888 y Ff(;)13 b(X)847 896 y Fk(q)882 888 y FG(\))p Fg(,)26 b(let)g Ff(p)21 b FE(2)g Fp(N)36 b Fg(and)25 b FG(0)d Ff(<)f(\016)j FE(\024)d Ff(\030)s Fg(.)26 b(Then)1584 1061 y FE(k)p Ff(D)1687 1025 y Fi(\000)p Fk(p)1772 1061 y Ff(f)8 b FE(k)1855 1070 y Fk(\030)q Fi(\000)p Fk(\016)2123 1061 y FE(\024)83 b Ff(s)2302 1069 y Fk(p;)p Fn(0)2387 1061 y FG(\()p Ff(\016)s FG(\))25 b FE(k)p Ff(f)8 b FE(k)2630 1070 y Fk(\030)2691 1061 y Ff(;)1111 b FG(\(2.87\))1581 1177 y FE(k)p Ff(D)1684 1141 y Fi(\000)p Fk(p)1769 1177 y Ff(@)1810 1186 y Fk(\022)1844 1177 y Ff(f)8 b FE(k)1927 1186 y Fk(\030)q Fi(\000)p Fk(\016)2123 1177 y FE(\024)83 b Ff(s)2302 1185 y Fk(p;)p Fn(1)2387 1177 y FG(\()p Ff(\016)s FG(\))25 b FE(k)p Ff(f)8 b FE(k)2630 1186 y Fk(\030)2691 1177 y FG(;)1111 b(\(2.88\))287 1339 y Fg(in)25 b FG(\(2.87\))i Ff(f)34 b Fg(is)26 b(assumed)g(to)f(ha)n(v)n(e)g(zero)i(a)n(v)n(erage)f (o)n(v)n(er)g Fp(T)1984 1307 y Fk(d)2019 1339 y Fg(.)287 1455 y FG(Belo)n(w,)31 b(w)n(e)e(shall)h(only)f(use)g(\(2.87\))i(with)e Ff(q)h FG(=)d(1)i(\(i.e.,)i(with)e Ff(f)37 b FG(b)r(eing)30 b Fp(C)2464 1423 y Fk(m)2528 1455 y FG(-v)l(alued\))e(and)h(\(2.88\))h (with)g Ff(p)c FG(=)h(0)j(and)e Ff(q)i FG(=)d(1)p Ff(;)14 b FG(2)287 1547 y(and)25 b(with)h Ff(p)21 b FG(=)g(2)26 b(and)f Ff(f)34 b FG(scalar.)287 1663 y(The)25 b(pro)r(of)h(of)g (\(2.87\))g(and)e(\(2.88\))j(follo)n(ws)g(easily)f(from)f(the)f (de\014nitions)h(giv)n(en;)g(as)h(an)f(example)f(let)h(us)g(c)n(hec)n (k)f(\(2.88\))j(in)d(the)287 1754 y(case)i Ff(f)k FE(2)22 b(R)p FG(\()p Fp(T)740 1722 y Fk(d)740 1770 y(\030)775 1754 y Ff(;)13 b Fp(C)i FG(\))32 b(and)25 b Ff(f)30 b FE(2)21 b(R)p FG(\()p Fp(T)1364 1722 y Fk(d)1364 1770 y(\030)1400 1754 y Ff(;)13 b Fp(C)1488 1722 y Fk(m)1553 1754 y FG(\).)26 b(If)f Ff(f)30 b FE(2)22 b(R)p FG(\()p Fp(T)1997 1722 y Fk(d)1997 1770 y(\030)2032 1754 y Ff(;)13 b Fp(C)i FG(\),)32 b(w)n(e)26 b(\014nd)1110 1956 y FE(k)p Ff(D)1213 1920 y Fi(\000)p Fk(p)1298 1956 y Ff(@)1339 1965 y Fk(\022)1374 1956 y Ff(f)8 b FE(k)1457 1965 y Fk(\030)q Fi(\000)p Fk(\016)1653 1956 y FG(=)82 b FE(k)1847 1880 y Fz(X)1849 2054 y Fk(n)p Fi(6)p Fn(=0)2090 1908 y Ff(in)p 1989 1939 275 4 v 1989 2007 a FG(\()p Ff(i!)20 b FE(\001)d Ff(n)p FG(\))2227 1986 y Fk(p)2274 1956 y Ff(f)2311 1964 y Fk(n)2366 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1407 y Ft(jB)s(j)22 b FD(:=)h Ft(j)p FA(F)1862 1373 y Fx(0)1885 1407 y FD(\(0\))1991 1373 y Fx(\000)p Fy(1)2080 1407 y Ft(j)g(\024)p 2335 1285 V 2335 1351 a FA(A)p 2224 1388 284 4 v 2224 1472 a FD(1)18 b Ft(\000)p 2367 1405 63 4 v 18 w FA(A\021)2470 1484 y Fy(7)2541 1407 y FD(=:)k FA(B)32 b(:)287 1600 y FD(Next,)c(de\014ne)1414 1753 y FA(\021)1455 1765 y Fy(8)1515 1753 y FD(:=)1626 1631 y Fz(r)p 1709 1631 1133 4 v 122 x FD(\()p FA(\021)1782 1765 y Fy(3)1838 1753 y FD(+)18 b FA(\021)1962 1765 y Fy(4)2000 1753 y FD(\))2032 1729 y Fy(2)2088 1753 y FD(+)2200 1697 y(1)p 2181 1734 81 4 v 2181 1810 a FA(\032)2224 1786 y Fy(2)2271 1753 y FD(\()p 2303 1686 48 4 v FA(h)g FD(+)g FA(E)2513 1765 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(1)p 2604 1687 90 4 v 2604 1753 a FA(M)8 b(\021)2734 1765 y Fy(2)2772 1753 y FD(\))2804 1729 y Fy(2)2869 1753 y FA(;)287 1943 y FD(let)28 b FA(\024)f FD(b)r(e)h(as)f(in)h(\(2.93\))f(and)g(let)1744 2085 y FA(\021)1785 2097 y Fy(0)1846 2085 y FD(:=)22 b(min)2109 1993 y Fz(n)2164 2085 y FD(1)p FA(;)2252 2029 y(\024B)t(\021)2408 2041 y Fy(8)p 2252 2066 194 4 v 2328 2142 a FA(\032)2456 1993 y Fz(o)2539 2085 y FA(:)1203 b FD(\(2.101\))287 2270 y(Let,)28 b(also,)1414 2370 y(\012\()p FA(\032\021)1590 2382 y Fy(0)1628 2370 y FD(\))23 b(:=)g Ft(f)p FD(\()p FA(c;)14 b(a)p FD(\))23 b(:)51 b Ft(j)p FA(c)p Ft(j)23 b(\024)f FA(\032\021)2390 2382 y Fy(0)2456 2370 y FA(;)41 b Ft(j)p FA(a)p Ft(j)23 b(\024)g FA(\021)2762 2382 y Fy(0)2799 2370 y Ft(g)k FA(;)287 2516 y FD(and)g Fo(assume)g(that)1297 2692 y Ft(j)p FA(v)s FD(\(0\))19 b Ft(\000)f FA(y)1612 2704 y Fy(0)1649 2692 y Ft(j)1672 2704 y Fx(1)1760 2692 y FD(+)p 1843 2626 90 4 v 18 w FA(M)9 b FD(\()p FA(\021)2006 2704 y Fy(2)2062 2692 y FD(+)18 b FA(\032\021)2229 2704 y Fy(0)2285 2692 y FD(+)2410 2636 y FA(\021)2451 2648 y Fy(0)2489 2636 y FA(\021)2530 2648 y Fy(5)p 2378 2673 222 4 v 2378 2749 a FD(1)g Ft(\000)g FA(\021)2562 2761 y Fy(0)2610 2692 y FD(\))23 b Ft(\024)g FA(r)30 b(:)922 b FD(\(2.102\))287 2992 y Fo(Notice)25 b(that)h FD(\(2.102\))e Fo(implies)i FD(\(2.97\))e Fo(and)h(it)h (implies)g(that)f FA(v)2259 2962 y Fx(0)2256 3013 y Fy(0)2308 2992 y FD(+)13 b FA(t)p FD(\()p FA(v)2491 2962 y Fx(0)2515 2992 y FD(\(0\))h Ft(\000)g FA(v)2757 2962 y Fx(0)2754 3013 y Fy(0)2791 2992 y FD(\))26 b Fo(is)f(inside)h(the)g(set)f Ft(fj)p FA(y)16 b Ft(\000)e FA(y)3674 3004 y Fy(0)3711 2992 y Ft(j)3734 3004 y Fx(1)3827 2992 y FA(<)23 b(r)r Ft(g)p Fo(,)287 3092 y(for)k(all)g FD(0)c Ft(\024)f FA(t)h Ft(\024)g FD(1.)k(F)-7 b(urthermore,)27 b(one)g(sees)g(easily)g(that)h (one)f(has)1069 3268 y Ft(j)p FA(F)12 b FD(\(0\))p Ft(j)83 b(\024)f FA(\021)1557 3280 y Fy(8)1622 3268 y FA(;)734 3517 y Ft(j)p FA(v)800 3483 y Fx(0)824 3517 y FD(\(0;)14 b FA(c;)g(a)p FD(\))k Ft(\000)g FA(v)1228 3483 y Fx(0)1225 3538 y Fy(0)1263 3517 y Ft(j)83 b(\024)p 1516 3450 90 4 v 82 w FA(M)9 b FD(\()p FA(\032\021)1722 3529 y Fy(0)1778 3517 y FD(+)1903 3461 y FA(\021)1944 3473 y Fy(0)1982 3461 y FA(\021)2023 3473 y Fy(5)p 1871 3498 222 4 v 1871 3574 a FD(1)18 b Ft(\000)g FA(\021)2055 3586 y Fy(0)2102 3517 y FD(\))24 b(=:)e FA(\021)2309 3529 y Fy(9)2375 3517 y FA(;)1367 b FD(\(2.103\))880 3839 y(sup)842 3912 y Fy(\012\()p Fw(\032\021)983 3920 y Fs(0)1017 3912 y Fy(\))1057 3839 y Ft(j)1096 3818 y Fz(e)1080 3839 y FA(F)12 b FD(\()p FA(\013)p FD(\))p Ft(j)84 b(\024)1516 3681 y Fz(s)p 1599 3681 1551 4 v 65 x(\020)1690 3782 y FA(\021)1734 3754 y Fy(2)1731 3805 y(0)1771 3782 y FA(\021)1812 3794 y Fy(6)p 1659 3819 222 4 v 1659 3896 a FD(1)18 b Ft(\000)g FA(\021)1843 3908 y Fy(0)1890 3746 y Fz(\021)1940 3764 y Fy(2)1996 3839 y FD(+)2079 3746 y Fz(\020)2138 3782 y FA(E)2199 3794 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(2)2289 3782 y FA(\021)2333 3754 y Fy(2)2330 3805 y(9)p 2138 3819 233 4 v 2212 3896 a FD(2)p FA(\032)2399 3839 y FD(+)2562 3782 y FA(\021)2606 3754 y Fy(2)2603 3805 y(0)p 2492 3819 222 4 v 2492 3896 a FD(1)g Ft(\000)g FA(\021)2676 3908 y Fy(0)2734 3782 y FA(E)2795 3794 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(1)p 2885 3716 90 4 v 2885 3782 a FA(M)9 b(\021)3016 3794 y Fy(5)p 2734 3819 320 4 v 2872 3896 a FA(\032)3063 3746 y Fz(\021)3113 3764 y Fy(2)3173 3839 y FD(=:)23 b FA(\021)3328 3804 y Fy(2)3325 3859 y(10)3423 3839 y FA(;)1140 4088 y Ft(j)p FA(\016)1200 4100 y Fw(H)1263 4088 y Ft(j)83 b(\024)f FA(E)1577 4100 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(2)1668 4088 y FA(\021)1709 4100 y Fy(9)1774 4088 y FA(;)844 4375 y FD(sup)807 4448 y Fy(\012\()p Fw(\032\021)948 4456 y Fs(0)981 4448 y Fy(\))1021 4375 y Ft(j)1060 4354 y Fz(e)1044 4375 y FA(F)1097 4387 y Fw(\013)1145 4375 y FD(\()p FA(\013)p FD(\))p Ft(j)i(\024)1516 4258 y Fz(\024)1560 4375 y FD(max)1728 4258 y Fz(\032)1791 4283 y(\020)1850 4319 y FA(E)1911 4331 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(2)2002 4319 y FA(\021)2043 4331 y Fy(9)p 2080 4252 90 4 v 2080 4319 a FA(M)p 1850 4356 320 4 v 1989 4432 a(\032)2180 4283 y Fz(\021)2229 4300 y Fy(2)2294 4375 y FA(;)2359 4283 y Fz(\020)2469 4319 y FD(2)18 b(+)g FA(\021)2653 4331 y Fy(0)p 2418 4356 324 4 v 2418 4432 a FD(\(1)h Ft(\000)f FA(\021)2635 4444 y Fy(0)2672 4432 y FD(\))2704 4408 y Fy(2)2761 4319 y FA(\021)2802 4331 y Fy(0)2840 4319 y FA(\021)2881 4331 y Fy(6)p 2761 4356 157 4 v 2818 4432 a FA(\032)2928 4283 y Fz(\021)2978 4300 y Fy(2)1720 4625 y FD(+)1785 4533 y Fz(\020)1844 4569 y FA(E)1905 4581 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(2)1995 4569 y FA(\021)2036 4581 y Fy(9)p 1844 4606 230 4 v 1919 4682 a FA(\032)1962 4658 y Fy(2)2102 4625 y FD(+)g FA(\021)2226 4637 y Fy(0)2325 4569 y FD(2)g(+)g FA(\021)2509 4581 y Fy(0)p 2274 4606 324 4 v 2274 4682 a FD(\(1)g Ft(\000)g FA(\021)2490 4694 y Fy(0)2528 4682 y FD(\))2560 4658 y Fy(2)2645 4569 y FA(E)2706 4581 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(1)p 2645 4606 152 4 v 2680 4682 a FA(\032)2723 4658 y Fy(2)2806 4533 y Fz(\021)2856 4550 y Fy(2)p 2893 4558 90 4 v 2893 4625 a FA(M)2982 4572 y Fy(2)3020 4625 y FA(\021)3064 4591 y Fy(2)3061 4645 y(5)3101 4508 y Fz(\033)1516 4895 y FD(+)1605 4803 y Fz(\020)1664 4839 y FA(E)1725 4851 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(2)1816 4839 y FA(\021)1857 4851 y Fy(9)p 1894 4772 V 1894 4839 a FA(M)p 1664 4876 320 4 v 1802 4952 a(\032)1994 4803 y Fz(\021)o(\020)2103 4839 y FA(E)2164 4851 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(2)2254 4839 y FA(\021)2295 4851 y Fy(9)p 2103 4876 230 4 v 2178 4952 a FA(\032)2221 4928 y Fy(2)2361 4895 y FD(+)g FA(\021)2485 4907 y Fy(0)2583 4839 y FD(2)g(+)g FA(\021)2767 4851 y Fy(0)p 2532 4876 324 4 v 2532 4952 a FD(\(1)h Ft(\000)f FA(\021)2749 4964 y Fy(0)2786 4952 y FD(\))2818 4928 y Fy(2)2903 4839 y FA(E)2964 4851 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(1)p 2903 4876 152 4 v 2939 4952 a FA(\032)2982 4928 y Fy(2)3065 4803 y Fz(\021)p 3114 4828 90 4 v 3114 4895 a FA(M)9 b(\021)3245 4907 y Fy(5)3282 4778 y Fz(\025)3336 4764 y Fs(1)p 3336 4773 29 4 v 3336 4806 a(2)3401 4895 y FD(=:)23 b FA(\021)3553 4907 y Fy(11)3651 4895 y FA(;)2111 5492 y FD(35)p eop %%Page: 36 36 36 35 bop 668 -94 a FD(sup)631 -21 y Fy(\012\()p Fw(\032\021)772 -13 y Fs(0)805 -21 y Fy(\))845 -94 y Ft(j)p FA(\013)19 b Ft(\000)f(B)s FA(F)12 b FD(\()p FA(\013)p FD(\))p Ft(j)83 b(\024)f FA(B)t FD(\()p FA(\021)1656 -82 y Fy(8)1713 -94 y FD(+)18 b FA(\021)1840 -129 y Fy(2)1837 -74 y(10)1907 -94 y FD(\))24 b(=:)e FA(\021)2114 -82 y Fy(12)2213 -94 y FA(;)655 155 y FD(sup)618 228 y Fy(\012\()p Fw(\032\021)759 236 y Fs(0)792 228 y Fy(\))832 155 y Ft(j)p FA(I)j Ft(\000)18 b(B)s FA(F)1122 120 y Fx(0)1145 155 y FD(\()p FA(\013)p FD(\))p Ft(j)84 b(\024)e FA(B)t(\021)1624 167 y Fy(11)1723 155 y FA(:)287 400 y FD(The)27 b(conditions)h(for)f(applying)g(Lemma)g (2.3)g(are)f(implied)j(b)n(y)1707 583 y FA(\021)1748 595 y Fy(12)1842 583 y Ft(\024)23 b FA(\032\021)2014 595 y Fy(0)2217 583 y FA(B)t(\021)2325 595 y Fy(11)2419 583 y FA(<)f FD(1)28 b FA(;)287 765 y FD(and)j(one)f(sees)g(that)h FA(\021)1001 777 y Fy(12)1100 765 y Ft(\024)e FA(\032\021)1278 777 y Fy(0)1346 765 y FD(is)i(implied)g(b)n(y)g FA(\021)1894 735 y Fy(2)1891 786 y(10)1990 765 y Ft(\024)d FD(\()p FA(\024)21 b Ft(\000)f FD(1\))p FA(\021)2384 777 y Fy(8)2452 765 y FD(so)30 b(that)h(conditions)g(for)f(applying)g(Lemma)h(2.3)287 865 y(are,)26 b(no)n(w,)i(implied)g(b)n(y)1486 1048 y FA(\021)1530 1013 y Fy(2)1527 1068 y(10)1620 1048 y Ft(\024)23 b FD(\()p FA(\024)c Ft(\000)f FD(1\))p FA(\021)2005 1060 y Fy(8)2070 1048 y FA(;)179 b(B)t(\021)2380 1060 y Fy(11)2474 1048 y FA(<)23 b FD(1)k FA(:)1111 b FD(\(2.104\))287 1230 y(As)28 b(a)f(corollary)e(of)i(Lemma)h(2.3,)e(w)n(e)i(th)n(us)f (obtain)h(the)g(follo)n(wing)287 1413 y FB(Lemma)h(2.6)i(\(On)h(the)g (solution)e(of)i FD(\(2.29\))p FB(\))40 b Fh(Assume)29 b FD(\(2.104\))p Fh(.)g(Then,)i(one)f(has)1554 1596 y FD(sup)1499 1669 y Fx(j)p Fw(\013)p Fx(j\024)p Fw(\032\021)1702 1677 y Fs(0)1748 1596 y Ft(j)p FD(\()p FA(F)1868 1561 y Fx(0)1892 1596 y FD(\()p FA(\013)p FD(\)\))2041 1561 y Fx(\000)p Fy(1)2131 1596 y Ft(j)23 b(\024)g FA(B)t FD(\(1)18 b Ft(\000)g FA(B)t(\021)2615 1608 y Fy(11)2686 1596 y FD(\))2718 1561 y Fx(\000)p Fy(1)287 1846 y Fh(and)30 b(ther)l(e)g(exists)f(a)h(unique)g(solution)g FD(\()p FA(c)1604 1858 y Fy(0)1641 1846 y FA(;)15 b FD(^)-43 b FA(a)1722 1858 y Fy(0)1759 1846 y FD(\))30 b Fh(of)1890 2028 y FA(F)12 b FD(\()p FA(c)2023 2040 y Fy(0)2061 2028 y FA(;)j FD(^)-43 b FA(a)2142 2040 y Fy(0)2179 2028 y FD(\))23 b(=)g(0)29 b FA(;)1349 b FD(\(2.105\))287 2211 y Fh(i.e.,)32 b(of)e FD(\(2.29\))p Fh(.)f(F)-6 b(urthermor)l(e,)31 b FD(\()p FA(c)1395 2223 y Fy(0)1432 2211 y FA(;)15 b FD(^)-43 b FA(a)1513 2223 y Fy(0)1550 2211 y FD(\))30 b Fh(satis\014es)1138 2436 y FD(max)1307 2344 y Fz(n)1362 2436 y Ft(j)p FA(c)1421 2448 y Fy(0)1458 2436 y Ft(j)g FA(;)44 b Ft(j)q FD(^)-43 b FA(a)1645 2448 y Fy(0)1682 2436 y Ft(j)1705 2344 y Fz(o)1783 2436 y Ft(\024)23 b(j)p FD(\()p FA(c)1962 2448 y Fy(0)1999 2436 y FA(;)15 b FD(^)-43 b FA(a)2080 2448 y Fy(0)2117 2436 y FD(\))p Ft(j)24 b(\024)2421 2380 y FA(B)p 2293 2417 322 4 v 2293 2493 a FD(1)18 b Ft(\000)g FA(B)t(\021)2544 2505 y Fy(11)2625 2436 y FA(\021)2666 2448 y Fy(8)2727 2436 y FD(=:)k FA(\021)2878 2448 y Fy(13)2979 2436 y FA(:)763 b FD(\(2.106\))287 2658 y Fo(F)-7 b(rom)27 b(here)g(on,)i FD(^)-44 b FA(a)p Fo(,)28 b FA(a)g Fo(and)f FA(c)h Fo(stands,)f(resp)r(ectiv)n(ely)-7 b(,)27 b(for)h FD(^)-43 b FA(a)2137 2670 y Fy(0)2174 2658 y Fo(,)1981 2879 y FA(a)2025 2891 y Fy(0)2085 2879 y FD(:=)2207 2823 y(^)g FA(a)2250 2835 y Fy(0)p 2206 2860 82 4 v 2225 2936 a FA(\032)3765 2879 y FD(\(2.107\))287 3106 y Fo(and)27 b FA(c)484 3118 y Fy(0)549 3106 y Fo(as)g(in)h FD(\(2.105\))p Fo(,)e FD(\(2.106\))p Fo(.)287 3230 y FD(W)-7 b(e)28 b(no)n(w)f(pro)r(ceed)g(to)g(estimate)h(the)g(new)f(Diophan)n(tine)h (constan)n(t)f FA(\015)2512 3200 y Fx(0)2535 3230 y FD(;)g(let)1793 3413 y FA(!)1848 3379 y Fx(0)1894 3413 y FD(:=)22 b FA(!)2056 3425 y Fw(a)2119 3413 y FD(=)h(\(1)18 b(+)g FA(a)p FD(\))p FA(!)287 3596 y FD(with)28 b FA(a)23 b FD(=)g FA(a)675 3608 y Fy(0)739 3596 y FD(as)k(in)h(\(2.105\))e(and)i(\(2.106\).)e (Then,)i FA(!)1980 3566 y Fx(0)2031 3596 y FD(v)n(eri\014es)1590 3826 y Ft(j)p FA(!)1668 3792 y Fx(0)1710 3826 y Ft(\001)18 b FA(n)p Ft(j)23 b(\025)1978 3770 y FA(\015)2026 3740 y Fx(0)p 1945 3807 138 4 v 1945 3883 a Ft(j)p FA(n)p Ft(j)2041 3859 y Fw(\034)2258 3826 y Ft(8)p FA(n)f Ft(2)i Fp(Z)2517 3792 y Fw(d)2550 3826 y FA(=)p Ft(f)p FD(0)p Ft(g)287 4053 y FD(with)1815 4153 y FA(\015)1863 4118 y Fx(0)1909 4153 y FD(:=)2019 4061 y Fz(\020)2069 4153 y FD(1)18 b Ft(\000)2222 4097 y FA(\021)2263 4109 y Fy(13)p 2222 4134 112 4 v 2256 4210 a FA(\032)2343 4061 y Fz(\021)2393 4153 y FA(\015)32 b(;)287 4342 y FD(pro)n(vided)1995 4441 y FA(\021)2036 4453 y Fy(13)2130 4441 y FA(<)22 b(\032)28 b(:)1454 b FD(\(2.108\))287 4591 y(Next,)28 b(recall)e(the)i(de\014nition)g(of)g FA(z)t FD(:)1775 4690 y FA(z)f FD(:=)22 b Ft(M)p FA(D)2122 4656 y Fx(\000)p Fy(1)2110 4711 y Fw(!)2152 4719 y Fq(a)2216 4690 y FD(^)-47 b FA(z)22 b FD(+)c Ft(M)5 b FD(^)-47 b FA(z)2494 4702 y Fy(0)2111 5492 y FD(36)p eop %%Page: 37 37 37 36 bop 287 -94 a FD(where)1636 55 y(^)-47 b FA(z)86 b FD(:=)d Ft(T)21 b FA(c)e FD(+)f Ft(T)j FA(D)2268 21 y Fx(\000)p Fy(1)2256 75 y Fw(!)2298 83 y Fq(a)2357 55 y FA(b)2393 67 y Fw(a)2451 55 y Ft(\000)d(M)2634 21 y Fx(\000)p Fy(1)2723 55 y FA(f)2764 67 y Fw(a)2832 55 y FA(;)1602 189 y FD(^)-47 b FA(z)1636 201 y Fy(0)1756 189 y FD(:=)83 b Ft(\000)p FD(\()p FA(D)2095 154 y Fx(\000)p Fy(1)2083 209 y Fw(!)2125 217 y Fq(a)2189 189 y FD(^)-47 b FA(z)s FD(\)\(0\))28 b FA(;)1592 322 y(f)1633 334 y Fw(a)1756 322 y FD(:=)83 b(\(1)18 b(+)g FA(a)p FD(\))p FA(f)27 b FD(+)18 b FA(aH)2449 288 y Fy(0)2442 343 y Fw(y)2514 322 y FA(;)1593 459 y(g)1633 471 y Fw(a)1756 459 y FD(:=)83 b(\(1)18 b(+)g FA(a)p FD(\))p FA(g)j Ft(\000)d FA(aH)2442 425 y Fy(0)2435 480 y Fw(x)2507 459 y FA(;)1597 584 y(b)1633 596 y Fw(a)1756 584 y FD(:=)83 b FA(v)1970 549 y Fw(T)1967 604 y(\022)2022 584 y FA(f)2063 596 y Fw(a)2122 584 y Ft(\000)18 b(M)2305 549 y Fw(T)2357 584 y FA(g)2397 596 y Fw(a)2464 584 y FA(;)1437 708 y(D)1508 674 y Fx(\000)p Fy(1)1496 729 y Fw(!)1538 737 y Fq(a)1597 708 y FA(b)1633 720 y Fw(a)1768 708 y FD(=)94 b FA(D)1998 674 y Fx(\000)p Fy(1)2087 708 y FA(b)18 b FD(+)g FA(aD)2339 674 y Fx(\000)p Fy(1)2327 729 y Fw(!)2369 737 y Fq(a)2428 708 y FD(\()p FA(@)2504 720 y Fw(\022)2542 708 y FA(H)2618 674 y Fy(0)2655 708 y FD(\))28 b FA(;)1479 842 y(@)1523 854 y Fw(\022)1560 842 y FA(H)1636 808 y Fy(0)1768 842 y FD(=)94 b FA(@)1971 854 y Fw(\022)2009 842 y FA(D)2080 808 y Fx(\000)p Fy(1)2169 842 y FD(\()p FA(H)2277 808 y Fy(0)2270 863 y Fw(x)2332 842 y Ft(\001)19 b FA(f)27 b FD(+)18 b FA(H)2601 808 y Fy(0)2594 863 y Fw(y)2657 842 y Ft(\001)g FA(g)s FD(\))28 b FA(;)287 991 y FD(\(recall)f(that)h Ft(h)p FA(H)829 961 y Fy(0)822 1012 y Fw(x)884 991 y Ft(\001)19 b FA(f)27 b FD(+)18 b FA(H)1153 961 y Fy(0)1146 1012 y Fw(y)1208 991 y Ft(\001)h FA(g)s Ft(i)k FD(=)f(0\).)287 1109 y(Then,)28 b(the)g(follo)n(wing)e(b)r(ounds)i(are)f(easily)f(c)n (hec)n(k)n(ed:)1015 1278 y Ft(j)p FA(f)1079 1290 y Fw(a)1119 1278 y Ft(j)1142 1290 y Fw(\030)1273 1278 y Ft(\024)1432 1186 y Fz(\020)1482 1278 y FD(1)18 b(+)1635 1222 y FA(\021)1676 1234 y Fy(13)p 1635 1259 112 4 v 1669 1335 a FA(\032)1756 1186 y Fz(\021)1806 1278 y FA(F)30 b FD(+)1982 1222 y FA(\021)2023 1234 y Fy(13)p 1982 1259 V 2016 1335 a FA(\032)2104 1278 y(E)2165 1290 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(1)2278 1278 y FD(=:)23 b FA(\021)2430 1290 y Fy(14)2528 1278 y FA(;)1016 1480 y Ft(j)p FA(g)1079 1492 y Fw(a)1119 1480 y Ft(j)1142 1492 y Fw(\030)1273 1480 y Ft(\024)1432 1388 y Fz(\020)1482 1480 y FD(1)18 b(+)1635 1424 y FA(\021)1676 1436 y Fy(13)p 1635 1461 V 1669 1537 a FA(\032)1756 1388 y Fz(\021)1806 1480 y FA(G)g FD(+)1982 1424 y FA(\021)2023 1436 y Fy(13)p 1982 1461 V 2017 1537 a FA(\032)2104 1480 y(E)2165 1492 y Fy(1)p Fw(;)p Fy(0)2278 1480 y FD(=:)23 b FA(\021)2430 1492 y Fy(15)2528 1480 y FA(;)1020 1663 y Ft(j)p FA(b)1079 1675 y Fw(a)1119 1663 y Ft(j)1142 1675 y Fw(\030)1273 1663 y Ft(\024)1445 1642 y FD(~)1432 1663 y FA(V)c(\021)1540 1675 y Fy(14)1629 1663 y FD(+)f FA(M)9 b(\021)1843 1675 y Fy(15)1936 1663 y FD(=:)23 b FA(\021)2088 1675 y Fy(16)2186 1663 y FA(;)994 1810 y Ft(jT)e FA(c)p Ft(j)1142 1822 y Fw(\030)1273 1810 y Ft(\024)p 1432 1743 90 4 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Fx(\000)p Fy(1)p 2145 1725 V 2145 1791 a Ft(C)2193 1803 y Fx(\003)2231 1791 y FD(\))2263 1757 y Fx(\000)p Fy(1)2371 1791 y Ft(\000)g FA(I)7 b Ft(gA)2605 1757 y Fx(\000)p Fy(1)2722 1791 y FA(:)287 1941 y FD(Therefore,)1189 2112 y Ft(j)p 1212 2045 V(C)e(j)23 b(\024)p 1457 1989 63 4 v 1457 2056 a FA(A)1520 2003 y Fy(2)1557 2056 y Ft(j)p 1580 1989 49 4 v(C)1629 2068 y Fx(\003)1667 2056 y Ft(j)p 1405 2093 339 4 v 1405 2176 a FD(1)17 b Ft(\000)p 1548 2110 63 4 v 19 w FA(A)p Ft(j)p 1633 2110 49 4 v(C)1681 2188 y Fx(\003)1720 2176 y Ft(j)1776 2112 y(\024)p 1926 1989 63 4 v 1926 2056 a FA(A)1988 2003 y Fy(2)2026 1983 y Fz(p)p 2109 1983 650 4 v 73 x FA(\021)2153 2027 y Fy(2)2150 2078 y(30)2239 2056 y FD(+)h FA(\021)2366 2027 y Fy(2)2363 2078 y(31)2452 2056 y FD(+)g FA(\021)2576 2068 y Fy(30)2646 2056 y FA(\021)2687 2068 y Fy(31)p 1873 2093 938 4 v 1873 2182 a FD(1)g Ft(\000)p 2016 2115 63 4 v 18 w FA(A)2078 2110 y Fz(p)p 2162 2110 650 4 v 2162 2182 a FA(\021)2206 2153 y Fy(2)2203 2204 y(30)2292 2182 y FD(+)g FA(\021)2419 2153 y Fy(2)2416 2204 y(31)2505 2182 y FD(+)g FA(\021)2629 2194 y Fy(30)2699 2182 y FA(\021)2740 2194 y Fy(31)2844 2112 y FD(=:)k FA(\021)2995 2124 y Fy(32)3094 2112 y FA(;)287 2322 y FD(pro)n(vided)p 1654 2387 63 4 v 1654 2454 a FA(A)1717 2353 y Fz(q)p 1800 2353 650 4 v 101 x FA(\021)1844 2425 y Fy(2)1841 2476 y(30)1930 2454 y FD(+)c FA(\021)2057 2425 y Fy(2)2054 2476 y(31)2143 2454 y FD(+)g FA(\021)2267 2466 y Fy(30)2337 2454 y FA(\021)2378 2466 y Fy(31)2472 2454 y FA(<)k FD(1)28 b FA(:)1113 b FD(\(2.112\))287 2615 y(W)-7 b(e)28 b(shall)f(then)h(set)p 1853 2648 63 4 v 1853 2714 a FA(A)1915 2661 y Fx(0)1989 2714 y FD(:=)p 2127 2648 V 50 w FA(A)19 b FD(+)f FA(\021)2332 2726 y Fy(32)2430 2714 y FA(:)287 2864 y FD(The)27 b(computation)h(of)f (the)h(KAM)g(norm)f(map)1825 2843 y Fz(b)1811 2864 y Ft(K)1874 2876 y Fw(\016)o(;\033)1961 2885 y Fq(p;k)2079 2864 y FD(is)h(completed)g(and)f(w)n(e)g(ha)n(v)n(e)g(pro)n(v)n(en)f (the)i(follo)n(wing)287 3047 y FB(Prop)s(osition)i(2.2)h(\(The)h(KAM)f (norm)g(map\))41 b Fh(Fix)24 b FA(E)k Ft(2)c Fp(R)30 b Fh(and)25 b(let)f FD(\()p FA(u;)14 b(v)s(;)g(!)s FD(\))24 b Fh(b)l(e)g(an)h(appr)l(oximate)g(KAM)g(torus)287 3138 y(with)31 b FA(u)e Fh(and)i FA(v)i Fh(r)l(e)l(al-analytic)f(on)e Fp(T)1428 3108 y Fw(d)1428 3161 y(\030)1497 3138 y Fh(and)g(such)h (that)f(the)g(matrix)g Ft(A)h Fh(in)f FD(\(2.50\))f Fh(is)i(invertible) g(on)g Fp(T)3494 3108 y Fw(d)3494 3161 y(\030)3532 3138 y Fh(.)f(L)l(et)3740 3116 y FD(\026)3731 3138 y FA(\030)e(>)c(\030)t Fh(,)30 b FA(r)287 3258 y Fh(and)c FA(E)505 3270 y Fw(p;q)622 3258 y Fh(b)l(e)h(as)f(in)g FD(\(2.90\))p Fh(;)g(let)g FA(\015)31 b Fh(b)l(e)26 b(as)g(in)h FD(\(2.9\))p Fh(;)f(let)g FA(F)12 b Fh(,)26 b FA(G)p Fh(,)2240 3236 y FD(\026)2239 3258 y FA(h)p Fh(,)h FA(M)9 b Fh(,)p 2480 3191 90 4 v 26 w FA(M)f Fh(,)27 b FA(U)9 b Fh(,)26 b FA(V)19 b Fh(,)2869 3237 y FD(~)2857 3258 y FA(V)f Fh(,)p 2975 3191 63 4 v 27 w FA(A)26 b Fh(b)l(e)h(as)f(in)g FD(\(2.91\))g Fh(and)g(assume)287 3349 y FD(\(2.92\))p Fh(.)33 b(Fix)i FA(\024)e Fh(and)i FA(\016)i Fh(as)d(in)h FD(\(2.93\))e Fh(and)h(let)g FA(\033)1828 3361 y Fw(p;k)1954 3349 y FD(=)d FA(\033)2097 3361 y Fw(p;k)2192 3349 y FD(\()p FA(\016)s FD(;)14 b FA(!)s FD(\))34 b Fh(b)l(e)g(as)h(in)f FD(\(2.94\))p Fh(,)f FD(\(2.86\))p Fh(.)h(De\014ne)f(the)i(fol)t(lowing)287 3448 y(non-ne)l(gative)30 b(numb)l(ers)1074 3418 y Fy(33)1143 3448 y Fh(:)518 3610 y Ff(\021)556 3618 y Fn(2)612 3610 y FG(:=)21 b Ff(\033)758 3618 y Fn(1)p Fk(;)p Fn(0)842 3610 y FG(\()p Ff(\030)s FG(\)\()981 3591 y(~)969 3610 y Ff(V)c(F)27 b FG(+)17 b Ff(M)8 b(G)p FG(\))13 b(;)518 3727 y Ff(\021)556 3735 y Fn(3)612 3727 y FG(:=)p 714 3666 83 4 v 21 w Ff(M)c(F)23 b FG(;)518 3854 y Ff(\021)556 3862 y Fn(4)612 3854 y FG(:=)p 714 3793 V 21 w Ff(M)797 3806 y Fn(2)831 3854 y Ff(E)888 3862 y Fn(0)p Fk(;)p Fn(2)972 3854 y Ff(\021)1010 3862 y Fn(2)1057 3854 y FG(;)518 3970 y Ff(\021)556 3978 y Fn(5)612 3970 y FG(:=)e Ff(\033)758 3978 y Fn(2)p Fk(;)p Fn(1)842 3970 y FG(\()p Ff(\030)s FG(\)\()p Ff(E)1026 3978 y Fn(1)p Fk(;)p Fn(0)1109 3970 y Ff(F)28 b FG(+)17 b Ff(E)1320 3978 y Fn(0)p Fk(;)p Fn(1)1403 3970 y Ff(G)p FG(\))c(;)518 4101 y Ff(\021)556 4109 y Fn(6)612 4101 y FG(:=)p 714 4040 V 21 w Ff(M)797 4054 y Fn(2)831 4101 y Ff(E)888 4109 y Fn(0)p Fk(;)p Fn(2)972 4101 y Ff(\021)1010 4109 y Fn(5)1057 4101 y FG(;)518 4320 y Ff(\021)556 4328 y Fn(7)612 4320 y FG(:=)725 4272 y(1)p 724 4303 40 4 v 724 4371 a Ff(\032)787 4320 y FG(max)942 4152 y Fz(8)942 4227 y(<)942 4376 y(:)1016 4161 y(s)p 1099 4161 1065 4 v 159 x FG([)p 1120 4259 83 4 v Ff(M)1203 4273 y Fn(2)1237 4320 y Ff(E)1294 4328 y Fn(0)p Fk(;)p Fn(2)1378 4320 y Ff(\021)1416 4328 y Fn(2)1451 4320 y FG(])1472 4299 y Fn(2)1524 4320 y FG(+)p 1610 4211 V 1610 4272 a Ff(M)1693 4225 y Fn(3)1727 4272 y Ff(E)1784 4280 y Fn(0)p Fk(;)p Fn(2)1868 4272 y Ff(\021)1906 4280 y Fn(2)1941 4272 y Ff(E)1998 4280 y Fn(0)p Fk(;)p Fn(1)2081 4272 y Ff(\021)2119 4280 y Fn(5)p 1610 4303 544 4 v 1863 4371 a Ff(\032)2190 4320 y(;)2224 4161 y Fz(s)p 2307 4161 1514 4 v 159 x FG(\()p Ff(\021)2375 4328 y Fn(3)2427 4320 y FG(+)k Ff(\021)2542 4328 y Fn(6)2576 4320 y FG(\))2606 4299 y Fn(2)2658 4320 y FG(+)2735 4230 y Fz(h)p 2784 4211 83 4 v 2784 4272 a Ff(M)8 b(E)2923 4280 y Fn(0)p Fk(;)p Fn(1)3007 4272 y Ff(\021)3045 4280 y Fn(5)p 2784 4303 296 4 v 2912 4371 a Ff(\032)3090 4230 y Fz(i)3129 4245 y Fn(2)3180 4320 y FG(+)p 3267 4211 83 4 v 3267 4272 a Ff(M)3349 4225 y Fn(3)3384 4272 y Ff(E)3441 4280 y Fn(0)p Fk(;)p Fn(2)3524 4272 y Ff(\021)3562 4280 y Fn(2)3597 4272 y Ff(E)3654 4280 y Fn(0)p Fk(;)p Fn(1)3738 4272 y Ff(\021)3776 4280 y Fn(5)p 3267 4303 544 4 v 3519 4371 a Ff(\032)3821 4152 y Fz(9)3821 4227 y(=)3821 4376 y(;)3920 4320 y FG(;)518 4610 y Ff(\021)556 4618 y Fn(8)612 4610 y FG(:=)714 4491 y Fz(r)p 797 4491 1051 4 v 119 x FG(\()p Ff(\021)865 4618 y Fn(3)917 4610 y FG(+)17 b Ff(\021)1032 4618 y Fn(4)1067 4610 y FG(\))1097 4589 y Fn(2)1148 4610 y FG(+)1253 4562 y(1)p 1235 4593 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Fn(24)2305 2067 y Ff(;)p 1792 2108 V 1792 2169 a(M)1875 2122 y Fi(0)1918 2169 y FG(=)p 1999 2108 V 21 w Ff(M)26 b FG(+)17 b Ff(\021)2214 2177 y Fn(28)2305 2169 y Ff(;)1792 2260 y(U)1852 2228 y Fi(0)1896 2260 y FG(=)k Ff(U)26 b FG(+)17 b Ff(\021)2170 2268 y Fn(23)2261 2260 y Ff(;)1792 2351 y(V)1854 2320 y Fi(0)1898 2351 y FG(=)k Ff(V)34 b FG(+)17 b Ff(\021)2173 2359 y Fn(25)2264 2351 y Ff(;)1804 2429 y FG(~)1792 2448 y Ff(V)1854 2416 y Fi(0)1898 2448 y FG(=)1991 2429 y(~)1979 2448 y Ff(V)34 b FG(+)17 b Ff(\021)2173 2456 y Fn(26)2264 2448 y Ff(;)p 1792 2489 58 4 v 1792 2550 a(A)1850 2503 y Fi(0)1894 2550 y FG(=)p 1975 2489 V 21 w Ff(A)f FG(+)h Ff(\021)2164 2558 y Fn(32)2255 2550 y Ff(:)3784 2048 y FG(\(2.121\))321 2709 y Fh(L)l(et)34 b FD(\()p FA(u)549 2679 y Fx(0)572 2709 y FA(;)14 b(v)652 2679 y Fx(0)675 2709 y FA(;)g(!)767 2679 y Fx(0)790 2709 y FD(\))31 b(=)g Ft(K)q FD(\()p FA(u;)14 b(v)s(;)g(!)s FD(\))34 b Fh(b)l(e)g(as)h(in)f FD(\(2.63\))p Fh(,)f(and)i(let)f FA(f)2262 2679 y Fx(0)2285 2709 y Fh(,)g FA(g)2387 2679 y Fx(0)2410 2709 y Fh(,)h FA(h)2518 2679 y Fx(0)2541 2709 y Fh(,)g Ft(M)2701 2679 y Fx(0)2758 2709 y Fh(and)f Ft(A)2989 2679 y Fx(0)3047 2709 y Fh(b)l(e)g(as)g(in)h FD(\(2.62\))p Fh(,)e FD(\(2.60\))h Fh(and)287 2800 y FD(\(2.61\))29 b Fh(after)h(having)h(r)l(eplac)l(e)l (d)g FD(\()p FA(u;)14 b(v)s(;)g(!)s FD(\))30 b Fh(with)1769 2770 y Fy(34)1869 2800 y FD(\()p FA(u)1949 2770 y Fx(0)1972 2800 y FA(;)14 b(v)2052 2770 y Fx(0)2076 2800 y FA(;)g(!)2168 2770 y Fx(0)2191 2800 y FD(\))p Fh(.)30 b(Then)h FA(!)2550 2770 y Fx(0)2602 2800 y Fh(is)f FD(\()p FA(\015)2771 2770 y Fx(0)2795 2800 y FA(;)14 b(\034)9 b FD(\))p Fh(-Diophantine)31 b(and)1350 2952 y FE(k)p Ff(f)1433 2916 y Fi(0)1457 2952 y FE(k)1495 2964 y Fk(\030)1524 2950 y Fr(0)1573 2952 y FE(\024)21 b Ff(F)1714 2916 y Fi(0)1761 2952 y Ff(;)310 b FE(k)p Ff(g)2170 2916 y Fi(0)2192 2952 y FE(k)2230 2964 y Fk(\030)2259 2950 y Fr(0)2309 2952 y FE(\024)21 b Ff(G)2450 2916 y Fi(0)2498 2952 y Ff(;)166 b(h)2729 2916 y Fi(0)2773 2952 y FG(=)21 b(0)h(=)2996 2932 y(\026)2995 2952 y Ff(h)3039 2916 y Fi(0)3087 2952 y Ff(;)1350 3082 y FE(kM)1480 3046 y Fi(0)1503 3082 y FE(k)1541 3094 y Fk(\030)1570 3080 y Fr(0)1619 3082 y FE(\024)f Ff(M)1782 3046 y Fi(0)1830 3082 y Ff(;)233 b FE(kM)2214 3046 y Fi(0)2237 3039 y(\000)p Fn(1)2320 3082 y FE(k)2358 3094 y Fk(\030)2387 3080 y Fr(0)2436 3082 y FE(\024)p 2517 3021 83 4 v 21 w Ff(M)2599 3034 y Fi(0)2647 3082 y Ff(;)1350 3198 y FG(sup)1361 3272 y Fd(T)1406 3255 y Fq(d)1406 3304 y(\030)1434 3292 y Fr(0)1479 3198 y FE(j)13 b FG(Im)37 b Ff(u)1687 3162 y Fi(0)1710 3198 y FE(j)21 b(\024)g Ff(U)1893 3162 y Fi(0)1942 3198 y Ff(;)166 b FE(k)p Ff(v)2207 3162 y Fi(0)2230 3198 y FE(k)2268 3210 y Fk(\030)2297 3196 y Fr(0)2346 3198 y FE(\024)21 b Ff(V)2489 3162 y Fi(0)2537 3198 y Ff(;)1350 3428 y FE(k)p Ff(v)1428 3392 y Fi(0)1425 3441 y Fk(\022)1461 3428 y FE(k)1499 3440 y Fk(\030)1528 3426 y Fr(0)1577 3428 y FE(\024)1670 3409 y FG(~)1659 3428 y Ff(V)1720 3392 y Fi(0)1768 3428 y Ff(;)285 b FE(kA)2173 3392 y Fi(0)2196 3385 y(\000)p Fn(1)2278 3428 y FE(k)2316 3440 y Fk(\030)2345 3426 y Fr(0)2394 3428 y FE(\024)p 2475 3367 58 4 v 21 w Ff(A)2533 3381 y Fi(0)2581 3428 y Ff(:)1182 b FG(\(2.122\))317 3580 y Fh(F)-6 b(urthermor)l(e)1862 3732 y FG(sup)1873 3806 y Fd(T)1917 3789 y Fq(d)1917 3838 y(\030)1946 3826 y Fr(0)1990 3732 y FE(j)13 b FG(Im)f Ff(u)2173 3696 y Fi(0)2195 3732 y FE(j)22 b Ff(<)2327 3712 y FG(\026)2319 3732 y Ff(\030)e FE(\000)d Ff(\030)2487 3696 y Fi(0)2535 3732 y Ff(;)1228 b FG(\(2.123\))1862 3951 y(sup)1873 4025 y Fd(T)1917 4008 y Fq(d)1917 4057 y(\030)1946 4045 y Fr(0)1990 3951 y FE(j)p Ff(v)2051 3915 y Fi(0)2074 3951 y FG(\()p Ff(\022)r FG(\))17 b FE(\000)f Ff(y)2303 3959 y Fn(0)2338 3951 y FE(j)2359 3959 y Fi(1)2446 3951 y Ff(<)21 b(r)27 b(:)1174 b FG(\(2.124\))287 4312 y FD(Note)22 b(that)f(the)h(conditions)g(\(2.113\))p Ft(\004)p FD(\(2.118\))d (corresp)r(ond)h(to,)i(resp)r(ectiv)n(ely)-7 b(,)21 b(\(2.102\))f (\(whic)n(h)i(implies)g(also)f(\(2.97\)\),)287 4412 y(\(2.104\),)30 b(\(2.108\),)g(\(2.111\),)g(\(2.112\),)h(whic)n(h)g(are)f(all)i(the)f (conditions)g(used)h(in)f(this)h(section)f(to)g(deriv)n(e)g(the)h(ab)r (o)n(v)n(e)287 4511 y(estimates.)287 4634 y(Condition)27 b(\(2.119\))g(together)f(with)i(\(2.121\),)f(\(2.122\))f(and)i (\(2.92\))e(imply)i(that)1093 4804 y(sup)1109 4883 y Fd(T)1154 4863 y Fq(d)1154 4911 y(\030)1182 4899 y Fr(0)1232 4804 y Ft(j)14 b FD(Im)g FA(u)1430 4769 y Fx(0)1453 4804 y Ft(j)23 b(\024)g FA(U)k FD(+)18 b FA(\021)1795 4816 y Fy(23)1888 4804 y FA(<)1985 4782 y FD(\026)1976 4804 y FA(\030)23 b Ft(\000)18 b FA(\030)k FD(+)c FA(\021)2300 4816 y Fy(23)2394 4804 y Ft(\024)2490 4782 y FD(\026)2481 4804 y FA(\030)23 b Ft(\000)18 b FA(\030)23 b FD(+)18 b(2)p FA(\016)25 b FD(=)2965 4782 y(\026)2957 4804 y FA(\030)e Ft(\000)18 b FA(\030)3139 4769 y Fx(0)3190 4804 y FA(;)p 287 4942 1493 4 v 349 4996 a Fn(34)414 5020 y FH(In)24 b(particular,)f Fm(H)910 4996 y Fn(0)905 5036 y Fk(:)968 5020 y FH(has)h(to)g(b)r(e)g(replaced)h(b)n(y)f Fm(H)1711 5028 y Fk(:)1734 5020 y FH(\()p Fm(\022)18 b FH(+)e Fm(u)1924 4996 y Fi(0)1946 5020 y Fm(;)11 b(v)2013 4996 y Fi(0)2036 5020 y FH(\).)2111 5492 y FD(42)p eop %%Page: 43 43 43 42 bop 287 -94 a FD(whic)n(h)27 b(pro)n(v)n(es)f(\(2.123\).)287 30 y(Condition)h(\(2.120\))g(together)f(with)i(\(2.110\))f(and)g (\(2.92\))g(imply)h(that)782 213 y(sup)797 292 y Fd(T)842 272 y Fq(d)842 320 y(\030)870 308 y Fr(0)920 142 y Fz(\014)920 192 y(\014)948 213 y FA(v)991 179 y Fx(0)1015 213 y FD(\()p FA(\022)r FD(\))19 b Ft(\000)f FA(y)1263 225 y Fy(0)1300 142 y Fz(\014)1300 192 y(\014)1327 246 y Fx(1)1421 213 y Ft(\024)23 b FD(sup)1524 292 y Fd(T)1569 272 y Fq(d)1569 320 y(\030)1597 308 y Fr(0)1647 142 y Fz(\014)1647 192 y(\014)1675 213 y FA(v)s FD(\()p FA(\022)r FD(\))d Ft(\000)e FA(y)1967 225 y Fy(0)2004 142 y Fz(\014)2004 192 y(\014)2031 246 y Fx(1)2120 213 y FD(+)g Ft(k)p FA(w)r Ft(k)2348 225 y Fw(\030)2380 209 y Fr(0)2430 213 y Ft(\024)k FD(sup)2533 292 y Fd(T)2578 272 y Fq(d)2578 320 y(\030)2606 308 y Fr(0)2656 142 y Fz(\014)2656 192 y(\014)2684 213 y FA(v)s FD(\()p FA(\022)r FD(\))d Ft(\000)f FA(y)2975 225 y Fy(0)3012 142 y Fz(\014)3012 192 y(\014)3040 246 y Fx(1)3129 213 y FD(+)g FA(\021)3253 225 y Fy(25)3346 213 y FA(<)23 b(r)30 b(;)287 511 y FD(whic)n(h)d(pro)n(v)n(es)f(\(2.124\).)p 1204 511 41 83 v 287 793 a FB(Remark)31 b(2.7)40 b FD(\(i\))29 b(Relations)d(\(2.123\))h(and)g(\(2.124\))g(imply)h(that,)g(for)f FA(\022)e Ft(2)e Fp(T)2780 763 y Fw(d)2780 816 y(\030)2812 800 y Fr(0)2838 793 y FD(,)28 b(one)f(has)1551 926 y Fz(\000)1589 994 y FA(\022)20 b FD(+)e FA(u)1779 959 y Fx(0)1802 994 y FD(\()p FA(\022)r FD(\))p FA(;)c(v)1987 959 y Fx(0)2011 994 y FD(\()p FA(\022)r FD(\))2116 926 y Fz(\001)2178 994 y Ft(2)24 b Fp(T)2313 959 y Fw(d)2320 1006 y Fy(\026)2313 1021 y Fw(\030)2369 994 y Ft(\002)18 b FA(D)2523 959 y Fw(d)2521 1014 y(r)2562 994 y FD(\()p FA(y)2635 1006 y Fy(0)2672 994 y FD(\))28 b FA(;)287 1186 y FD(whic)n(h)22 b(is)h(inside)f(the)h(analyticit)n(y)f(domain)g (of)h FA(H)7 b FD(.)22 b(Th)n(us)g(if)h(\(2.123\))f(and)g(\(2.124\))f (are)h(satis\014ed)g(one)g(can)g(apply)g(again)287 1286 y(the)28 b(KAM)f(map)h Ft(K)h FD(to)f(\()p FA(u)1119 1256 y Fx(0)1142 1286 y FA(;)14 b(v)1222 1256 y Fx(0)1245 1286 y FA(;)g(!)1337 1256 y Fx(0)1360 1286 y FD(\).)287 1410 y(\(ii\))36 b(When)g(one)e(iterates)h(the)g(KAM)h(maps,)e(it)i(is) f(useful)h(to)f(simplify)g(conditions)g(\(2.113\))f(and)h(\(2.120\),)f (as)h(w)n(e)287 1510 y(pro)r(ceed)27 b(to)g(explain.)h(Let,)f(for)g(1)c Ft(\024)g FA(i)f Ft(\024)h FA(j)5 b FD(,)1367 1625 y Fz(\000)1405 1693 y FA(u)1453 1658 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1532 1693 y FA(;)14 b(v)1612 1658 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1692 1693 y FA(;)g(!)1784 1658 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1863 1625 y Fz(\001)1924 1693 y FD(:=)23 b Ft(K)2099 1625 y Fz(\000)2137 1693 y FA(u)2185 1658 y Fy(\()p Fw(i)p Fx(\000)p Fy(1\))2349 1693 y FA(;)14 b(v)2429 1658 y Fy(\()p Fw(i)p Fx(\000)p Fy(1\))2594 1693 y FA(;)g(!)2686 1658 y Fy(\()p Fw(i)p Fx(\000)p Fy(1\))2850 1625 y Fz(\001)2916 1693 y FA(;)287 1887 y FD(and)32 b(let)h FA(f)628 1857 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))707 1887 y FD(,)g FA(g)806 1857 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))885 1887 y FD(,)f FA(h)988 1857 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1068 1887 y FD(,)g Ft(M)1223 1857 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1335 1887 y FD(and)g Ft(A)1567 1857 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1680 1887 y FD(b)r(e)g(as)g(in)h(\(2.62\),) f(\(2.60\))f(and)i(\(2.61\))e(after)h(ha)n(ving)g(replaced)f(\()p FA(u;)14 b(v)s(;)g(!)s FD(\))287 2012 y(with)42 b(\()p FA(u)570 1982 y Fy(\()p Fw(i)p Fx(\000)p Fy(1\))734 2012 y FA(;)14 b(v)814 1982 y Fy(\()p Fw(i)p Fx(\000)p Fy(1\))979 2012 y FA(;)g(!)1071 1982 y Fy(\()p Fw(i)p Fx(\000)p Fy(1\))1235 2012 y FD(\);)41 b(let)h FA(F)1530 1982 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1609 2012 y FD(,...,)p 1766 1946 63 4 v 42 w FA(A)1828 1959 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1949 2012 y FD(b)r(e)g(the)f(corresp)r(onding)f(b)r(ounds)h(on)g(the)h (norms)e Ft(k)p FA(f)3723 1982 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))3802 2012 y Ft(k)3844 2024 y Fw(\030)3874 2032 y Fq(i)3904 2012 y FD(,...,)287 2141 y Ft(j)p 310 2074 67 4 v(A)376 2088 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))456 2141 y Ft(j)h FD(with)g FA(\030)758 2153 y Fw(i)832 2141 y FD(=)k FA(\030)978 2153 y Fw(i)p Fx(\000)p Fy(1)1118 2141 y Ft(\000)27 b FD(2)p FA(\016)1289 2153 y Fw(i)p Fx(\000)p Fy(1)1442 2141 y FD(\()p FA(\016)1511 2153 y Fw(i)1580 2141 y FD(b)r(eing)41 b(assigned)f(n)n(um)n(b)r(ers)g(suc)n(h)h(that)g FA(\030)2937 2153 y Fw(i)p Fx(\000)p Fy(1)3077 2141 y Ft(\000)27 b FD(2)p FA(\016)3248 2153 y Fw(i)p Fx(\000)p Fy(1)3405 2141 y FA(>)45 b FD(0)c(for)f FA(i)45 b Ft(\025)g FD(1\).)287 2232 y(Then,)25 b(conditions)g(\(2.113\))p Ft(\004)p FD(\(2.120\),)e(indexed)j(b)n(y)f FA(j)5 b FD(,)25 b(needed)g(to)g (construct)g(and)g(con)n(trol)f(the)h(appro)n(ximate)f(torus)287 2268 y Fz(\000)325 2335 y FA(u)373 2305 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(+1\))543 2335 y FA(;)14 b(v)623 2305 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(+1\))794 2335 y FA(;)g(!)886 2305 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(+1\))1057 2268 y Fz(\001)1095 2335 y FD(,)28 b(are)e(immediately)i (seen)f(to)h(b)r(e)g(implied)g(b)n(y)2535 2305 y Fy(35)p 1168 2527 83 4 v 1168 2588 a Ff(M)1251 2541 y Fn(\()p Fk(j)s Fn(\))1331 2498 y Fz(\020)1381 2588 y Ff(\021)1422 2550 y Fn(\()p Fk(j)s Fn(\))1419 2608 y(2)1519 2588 y FG(+)17 b Ff(\032\021)1677 2550 y Fn(\()p Fk(j)s Fn(\))1674 2608 y(0)1774 2588 y FG(+)1866 2538 y Ff(\021)1907 2500 y Fn(\()p Fk(j)s Fn(\))1904 2558 y(0)1988 2538 y Ff(\021)2029 2500 y Fn(\()p Fk(j)s Fn(\))2026 2558 y(5)p 1861 2571 254 4 v 1861 2657 a FG(1)g FE(\000)g Ff(\021)2034 2618 y Fn(\()p Fk(j)s Fn(\))2031 2676 y(0)2125 2498 y Fz(\021)2191 2588 y FG(+)2275 2484 y Fk(j)s Fi(\000)p Fn(1)2268 2511 y Fz(X)2278 2686 y Fk(i)p Fn(=0)2401 2588 y Ff(\021)2442 2550 y Fn(\()p Fk(i)p Fn(\))2439 2608 y(25)2538 2588 y FE(\024)k Ff(r)d FE(\000)f(j)p Ff(v)2810 2552 y Fn(\(0\))2893 2588 y FG(\(0\))g FE(\000)g Ff(y)3123 2596 y Fn(0)3158 2588 y FE(j)3179 2596 y Fi(1)3269 2588 y Ff(;)1168 2744 y 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Ff(\021)2083 3340 y Fn(\()p Fk(j)s Fn(\))2080 3398 y(30)2163 3379 y Ff(\021)2204 3340 y Fn(\()p Fk(j)s Fn(\))2201 3398 y(31)2306 3379 y Ff(<)k FG(1)26 b Ff(;)1168 3529 y(\021)1209 3491 y Fn(\()p Fk(j)s Fn(\))1206 3549 y(23)1311 3529 y FE(\024)21 b FG(2)p Ff(\016)1464 3537 y Fk(j)1523 3529 y Ff(;)1214 3623 y Fk(j)1168 3651 y Fz(X)1179 3825 y Fk(i)p Fn(=0)1301 3727 y Ff(\021)1342 3689 y Fn(\()p Fk(i)p Fn(\))1339 3747 y(25)1438 3727 y Ff(<)g(r)e FE(\000)d FG(sup)1656 3802 y Fd(T)1701 3785 y Fq(d)1701 3827 y(\030)1728 3839 y Fs(0)1778 3727 y FE(j)p Ff(v)1839 3692 y Fn(\(0\))1922 3727 y FG(\()p Ff(\022)r FG(\))h FE(\000)f Ff(y)2151 3735 y Fn(0)2186 3727 y FE(j)2207 3735 y Fi(1)2298 3727 y Ff(:)287 4159 y Fv(2.7)112 b(Iso-energetic)37 b(KAM)g(Theorem)287 4312 y FD(W)-7 b(e)26 b(are)f(no)n(w)g(ready)g(to)h(form)n(ulate)f(an)h (iso-energetic)e(KAM)i(theorem)f(based)h(up)r(on)g(the)g(ab)r(o)n(v)n (e)f(analysis.)g(F)-7 b(or)25 b(con-)287 4412 y(v)n(enience,)e(w)n(e)g (form)n(ulate)g(the)h(theorem)g(in)g(a)f(self-con)n(tained)g(w)n(a)n(y) f(\(rep)r(eating,)h(therefore,)g(some)g(of)h(the)g(de\014nitions)287 4511 y(giv)n(en)j(in)g(the)h(previous)f(sections\).)p 287 4635 1493 4 v 349 4706 a Fn(35)414 4729 y FH(Just)d(recall)f(that)i Fm(v)945 4706 y Fn(\()p Fk(j)s Fn(\))1046 4729 y FH(=)20 b Fm(v)1157 4706 y Fn(\(0\))1256 4729 y FH(+)1326 4671 y Fz(P)1414 4692 y Fk(j)s Fi(\000)p Fn(1)1414 4758 y Fk(i)p Fn(=0)1536 4729 y Fm(w)1589 4706 y Fn(\()p Fk(i)p Fn(\))1687 4729 y FH(and)k Fl(k)p Fm(w)1912 4706 y Fn(\()p Fk(i)p Fn(\))1986 4729 y Fl(k)2021 4741 y Fk(\030)2049 4752 y Fq(i)2100 4729 y Fl(\024)19 b Fm(\021)2211 4694 y Fn(\()p Fk(i)p Fn(\))2209 4752 y(25)2286 4729 y FH(;)24 b(see)g(\(2.31\))g(and)h(\(2.110\).)2111 5492 y FD(43)p eop %%Page: 44 44 44 43 bop 287 -94 a FB(Theorem)30 b(2.1)41 b Fh(L)l(et)f FA(d)i Ft(\025)g FD(2)e Fh(and)h(let)f FA(H)48 b Fh(b)l(e)40 b(a)h(sc)l(alar,)h(r)l(e)l(al-analytic)f(function)g(on)3079 -124 y Fy(36)3190 -94 y 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2589 y Ft(\025)22 b FA(\024)1717 2554 y Fx(\000)p Fy(1)1834 2589 y FA(\015)1882 2554 y Fy(\()p Fw(i)p Fx(\000)p Fy(1\))2074 2589 y FA(;)180 b Ft(8)26 b FD(1)d Ft(\024)g FA(i)f Ft(\024)h FA(j)g Ft(\000)18 b FD(1)27 b FA(;)287 2758 y FD(imply)h(immediately)g(that)f FA(s)1211 2770 y Fw(p;k)1306 2758 y FD(\()p FA(\030)1374 2770 y Fw(i)1402 2758 y FA(;)14 b(!)1494 2728 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1573 2758 y FD(\))28 b(and)g FA(s)1834 2770 y Fw(p;k)1929 2758 y FD(\()p FA(\016)1998 2770 y Fw(i)2025 2758 y FA(;)14 b(!)2117 2728 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2196 2758 y FD(\))28 b(v)n(erify)-7 b(,)27 b(for)g(0)c Ft(\024)g FA(i)f Ft(\024)h FA(j)g Ft(\000)18 b FD(1,)28 b(the)g(follo)n(wing)e(b) r(ounds)982 2937 y FA(s)1021 2949 y Fy(1)p Fw(;)p Fy(0)1111 2937 y FD(\()p FA(\030)1179 2949 y Fw(i)1207 2937 y FA(;)14 b(!)1299 2903 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1378 2937 y FD(\))95 b Ft(\024)f FA(c\015)1748 2903 y Fx(\000)p Fy(1)1837 2937 y FA(\030)1877 2902 y Fx(\000)p Fw(\034)1873 2960 y(i)1994 2937 y Ft(\024)22 b FA(c\015)2165 2903 y Fx(\000)p Fy(1)2254 2937 y FA(\030)2294 2903 y Fx(\000)p Fw(\034)2290 2958 y Fx(\003)1494 3062 y FD(=:)82 b FA(c)28 b FD(\(\012)1820 3027 y Fx(\003)1858 3062 y FD(\))1890 3027 y Fx(\000)p Fy(1)1980 3062 y FA(\014)2027 3074 y Fy(1)2064 3062 y FA(\030)2104 3027 y Fx(\000)p Fw(\034)2100 3082 y Fx(\003)2225 3062 y FA(;)981 3311 y(s)1020 3323 y Fw(p;)p Fy(1)1111 3311 y FD(\()p FA(\030)1179 3323 y Fw(i)1207 3311 y FA(;)14 b(!)1299 3277 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1378 3311 y FD(\))95 b Ft(\024)f FA(c)1700 3277 y Fy(\()p Fw(p)p Fy(\))1818 3311 y FA(\015)1866 3277 y Fx(\000)p Fw(p)1984 3311 y FA(\030)2024 3268 y Fx(\000)p Fy(\()p Fw(p\034)7 b Fy(+1\))2020 3334 y Fw(i)2311 3311 y Ft(\024)22 b FA(c)2434 3277 y Fy(\()p Fw(p)p Fy(\))2552 3311 y FA(\015)2600 3277 y Fx(\000)p Fw(p)2718 3311 y FA(\030)2758 3268 y Fx(\000)p Fy(\()p Fw(p\034)7 b Fy(+1\))2754 3323 y Fx(\003)1494 3454 y FD(=:)82 b FA(c)1700 3420 y Fy(\()p Fw(p)p Fy(\))1818 3454 y FD(\(\012)1910 3420 y Fx(\003)1949 3454 y FD(\))1981 3420 y Fx(\000)p Fw(p)2071 3454 y FA(\014)2122 3415 y Fw(p)2118 3477 y Fy(1)2189 3454 y FA(\030)2229 3411 y Fx(\000)p Fy(\()p Fw(p\034)7 b Fy(+1\))2225 3466 y Fx(\003)2520 3454 y FA(;)982 3704 y(s)1021 3716 y Fy(1)p Fw(;)p Fy(0)1111 3704 y FD(\()p FA(\016)1180 3716 y Fw(i)1207 3704 y FA(;)14 b(!)1299 3669 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1378 3704 y FD(\))95 b Ft(\024)f FA(c\015)1748 3669 y Fx(\000)p Fy(1)1837 3704 y FA(\016)1877 3668 y Fx(\000)p Fw(\034)1874 3727 y(i)1994 3704 y Ft(\024)22 b FA(c\015)2165 3669 y Fx(\000)p Fy(1)2254 3704 y FA(\030)2294 3669 y Fx(\000)p Fw(\034)2290 3724 y Fx(\003)2387 3704 y FD(2)2429 3669 y Fw(\034)7 b(i)1494 3828 y FD(=:)82 b FA(c)p FD(\(\012)1792 3794 y Fx(\003)1831 3828 y FD(\))1863 3794 y Fx(\000)p Fy(1)1952 3828 y FA(\014)1999 3840 y Fy(1)2036 3828 y FA(\030)2076 3794 y Fx(\000)p Fw(\034)2072 3849 y Fx(\003)2170 3828 y FD(2)2212 3794 y Fw(\034)7 b(i)2304 3828 y FA(;)980 4077 y(s)1019 4089 y Fw(p;)p Fy(1)1111 4077 y FD(\()p FA(\016)1180 4089 y Fw(i)1207 4077 y FA(;)14 b(!)1299 4043 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1378 4077 y FD(\))95 b Ft(\024)f FA(c)1700 4043 y Fy(\()p Fw(p)p Fy(\))1818 4077 y FA(\015)1866 4043 y Fx(\000)p Fw(p)1984 4077 y FA(\016)2024 4034 y Fx(\000)p Fy(\()p Fw(p\034)7 b Fy(+1\))2021 4100 y Fw(i)2338 4077 y Ft(\024)23 b FA(c)2462 4043 y Fy(\()p Fw(p)p Fy(\))2580 4077 y FA(\015)2628 4043 y Fx(\000)p Fw(p)2745 4077 y FA(\030)2785 4034 y Fx(\000)p Fy(\()p Fw(p\034)7 b Fy(+1\))2781 4089 y Fx(\003)3049 4077 y FD(2)3091 4043 y Fy(\()p Fw(p\034)g Fy(+1\))p Fw(i)1494 4221 y FD(=:)82 b FA(c)1700 4187 y Fy(\()p Fw(p)p Fy(\))1818 4221 y FD(\(\012)1910 4187 y Fx(\003)1949 4221 y FD(\))1981 4187 y Fx(\000)p Fw(p)2071 4221 y FA(\014)2122 4181 y Fw(p)2118 4243 y Fy(1)2189 4221 y FA(\030)2229 4178 y Fx(\000)p Fy(\()p Fw(p\034)7 b Fy(+1\))2225 4233 y Fx(\003)2492 4221 y FD(2)2534 4187 y Fy(\()p Fw(p\034)g Fy(+1\))p Fw(i)2797 4221 y FA(:)945 b FD(\(2.164\))287 4390 y(Clearly)-7 b(,)26 b(for)i FA(i)22 b FD(=)h(0,)k(\(2.164\))f(holds)i(without)g(an)n(y)f(further)g (assumption.)287 4512 y(\(ii\))h(Notice)g(that)2022 4598 y(\012)p 2022 4635 60 4 v 2028 4711 a FA(\015)2114 4654 y Ft(\025)23 b FD(1)k FA(;)287 4850 y FD(as)20 b(it)i(follo)n(ws)e (from)h(\(2.126\))f(b)n(y)h(taking)g(as)f FA(n)h FD(the)h(v)n(ersor)d FA(e)2130 4820 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))2238 4850 y FD(\(so)i(that)g Ft(j)p FA(!)2614 4862 y Fw(j)2649 4850 y Ft(j)i(\025)g FA(\015)5 b FD(,)20 b Ft(8)p FA(j)5 b FD(\).)21 b(Th)n(us)g FA(\014)3287 4862 y Fy(1)3347 4850 y Ft(\025)i FD(1.)e(F)-7 b(urthermore,)1835 5020 y(min)p Ft(f)p FA(M)t(;)p 2137 4953 90 4 v 14 w(M)8 b Ft(g)23 b(\025)g FD(1)k(;)2111 5492 y(50)p eop %%Page: 51 51 51 50 bop 287 -94 a FD(in)28 b(fact,)1370 5 y FA(M)k Ft(\025)22 b(kMk)1754 17 y Fw(\030)1812 5 y FD(=)h Ft(kM)2042 -29 y Fw(T)2094 5 y Ft(k)2136 17 y Fw(\030)2195 5 y Ft(\025)f(kM)2424 -29 y Fw(T)2476 5 y Ft(k)2518 17 y Fy(0)2578 5 y FD(=)g Ft(kMk)2849 17 y Fy(0)2913 5 y FA(;)287 154 y FD(and)1741 276 y Ft(M)1841 242 y Fw(T)1893 276 y FA(e)1932 242 y Fy(\(1\))2044 276 y FD(=)h FA(e)2171 242 y Fy(\(1\))2278 276 y FD(+)2371 220 y FA(@)5 b(u)2468 232 y Fy(1)p 2371 257 134 4 v 2392 333 a FA(@)g(\022)2542 276 y(:)287 452 y FD(Th)n(us,)27 b(if)h FA(\022)635 464 y Fy(0)700 452 y FD(is)g(a)f(critical)g(p)r(oin)n(t)h(of)f(the)h(m)n(ulti-p)r(erio)r (dic)g(function)g FA(\022)d Ft(!)e FA(u)2665 464 y Fy(1)2702 452 y FD(\()p FA(\022)r FD(\),)29 b(w)n(e)e(ha)n(v)n(e)f(that)1798 633 y Ft(M)1898 599 y Fw(T)1950 633 y FD(\()p FA(\022)2021 645 y Fy(0)2059 633 y FD(\))p FA(e)2130 599 y Fy(\(1\))2242 633 y FD(=)c FA(e)2368 599 y Fy(\(1\))2485 633 y FA(;)1257 b FD(\(2.165\))287 814 y(and)27 b(\(recall)g(the)h(notation)f(in)h Ft(x)g FD(2.5\))1080 1057 y Ft(kM)1222 1023 y Fw(T)1273 1057 y Ft(k)1315 1069 y Fy(0)1435 1057 y FD(:=)83 b Ft(j)p FA(N)1696 1069 y Fy(0)1733 1057 y FD(\()p Ft(M)1865 1023 y Fw(T)1917 1057 y FD(\))p Ft(j)23 b FD(=)122 b(sup)2083 1133 y Fw(c)p Fx(2)p Fd(C)2193 1116 y Fq(d)2234 1133 y Fy(:)p Fx(j)p Fw(c)p Fx(j)p Fy(=1)2420 931 y Fz(s)p 2503 931 724 4 v 47 x(X)2551 1155 y Fw(i)2637 962 y Fz(\014)2637 1012 y(\014)2637 1062 y(\014)2678 978 y(X)2723 1155 y Fw(j)2812 1057 y Ft(kM)2954 1069 y Fw(j)s(i)3012 1057 y Ft(k)3054 1069 y Fy(0)3090 1057 y FA(c)3126 1069 y Fw(j)3161 962 y Fz(\014)3161 1012 y(\014)3161 1062 y(\014)3189 982 y Fy(2)1446 1343 y Ft(\025)1606 1217 y Fz(s)p 1689 1217 847 4 v 47 x(X)1737 1441 y Fw(i)1822 1247 y Fz(\014)1822 1297 y(\014)1822 1347 y(\014)1864 1264 y(X)1908 1441 y Fw(j)1998 1343 y Ft(jM)2121 1355 y Fw(j)s(i)2179 1343 y FD(\()p FA(\022)2250 1355 y Fy(0)2287 1343 y FD(\))p Ft(j)p FA(e)2381 1300 y Fy(\(1\))2381 1366 y Fw(j)2471 1247 y Fz(\014)2471 1297 y(\014)2471 1347 y(\014)2498 1268 y Fy(2)2558 1343 y FD(=)23 b(1)k FA(:)287 1614 y FD(Clearly)-7 b(,)26 b(since,)i(b)n(y)f(\(2.165\),)g(one)g(has)1772 1714 y Ft(M)1872 1679 y Fx(\000)p Fw(T)1976 1714 y FD(\()p FA(\022)2047 1726 y Fy(0)2085 1714 y FD(\))p FA(e)2156 1679 y Fy(\(1\))2268 1714 y FD(=)22 b FA(e)2394 1679 y Fy(\(1\))2511 1714 y FA(;)287 1862 y FD(the)28 b(same)f(argumen)n(t)f (applies)i(to)f Ft(M)1488 1832 y Fx(\000)p Fy(1)1605 1862 y FD(.)g(W)-7 b(e,)28 b(therefore,)f(ha)n(v)n(e)1243 2081 y(min)1395 1989 y Fz(n)1450 2081 y FA(M)t(;)p 1572 2015 90 4 v 14 w(M)9 b(;)1709 2025 y FD(\012)p 1709 2062 60 4 v 1715 2138 a FA(\015)1779 2081 y(;)1826 2025 y FD(\012)1886 1995 y Fx(\003)p 1826 2062 99 4 v 1845 2138 a FD(\012)1934 2081 y FA(;)14 b(\014)2018 2093 y Fw(k)2058 2081 y FA(;)g(c)2131 2093 y Fw(k)2172 2081 y FA(;)i FD(\026)-44 b FA(c)2245 2093 y Fw(k)2286 2081 y FA(;)14 b(\027)2364 2093 y Fw(k)2405 2081 y FA(;)k FD(\026)-46 b FA(\027)2483 2093 y Fw(k)2523 2081 y FA(;)14 b(B)2623 2093 y Fw(k)2664 2081 y FA(;)2721 2060 y FD(\026)2701 2081 y FA(B)2764 2093 y Fw(k)2805 1989 y Fz(o)2883 2081 y Ft(\025)23 b FD(1)k FA(:)287 2331 y FD(\(iii\))h(By)g(\(2.137\),)e(one)h(sees)g (that)h(\(2.141\))e(implies)p 1335 2484 63 4 v 1335 2551 a FA(A)1398 2498 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1477 2551 y FA(\021)1521 2508 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1518 2573 y(7)1624 2551 y Ft(\024)1722 2495 y FA(\024)18 b Ft(\000)g FD(1)p 1722 2532 191 4 v 1793 2608 a FA(\024)2051 2551 y Ft(\()-14 b(\))2526 2495 y FD(1)p 2343 2532 409 4 v 2343 2638 a(1)18 b Ft(\000)p 2486 2571 63 4 v 18 w FA(A)2548 2585 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2628 2638 y FA(\021)2672 2595 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2669 2660 y(7)2784 2551 y Ft(\024)23 b FA(\024)k(;)287 2807 y FD(whic)n(h,)g(in)h(turn,)g(implies)1604 2984 y FA(B)1671 2950 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1774 2984 y FD(:=)p 2028 2862 V 2028 2928 a FA(A)2090 2875 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))p 1895 2965 409 4 v 1895 3072 a FD(1)18 b Ft(\000)p 2038 3005 63 4 v 18 w FA(A)2100 3019 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2180 3072 y FA(\021)2224 3029 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2221 3094 y(7)2336 2984 y Ft(\024)23 b FA(\024)2472 2950 y Fy(2)p 2509 2918 V 2509 2984 a FA(A)2571 2932 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2678 2984 y FA(:)1064 b FD(\(2.166\))287 3238 y(\(iv\))19 b(The)f(t)n(w)n(en)n(t)n(y)g(three)g(inductiv)n(e)g (assumptions)g(\(2.134\))p Ft(\004)p FD(\(2.156\))e(include)j(the)g (eigh)n(t)f(conditions)g(\(2.113\))p Ft(\004)p FD(\(2.120\))287 3337 y(plus)30 b(\014fteen)g(conditions,)g(whic)n(h)g(are)f(used)g(to)h Fo(simplify)g FD(the)h(b)r(ounds)f(giv)n(en)f(in)h(\(2.157\))f(\(in)h (the)g(same)f(fashion)h(as)287 3437 y(\(2.141\))c(has)h(b)r(een)h(used) g(in)g(the)g(previous)e(p)r(oin)n(t)i(to)f(simplify)h(the)g(estimate)g (of)g FA(B)2942 3407 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))3021 3437 y FD(\).)287 3534 y(F)-7 b(or)39 b(later)h(use)g(w)n(e)g(sp)r(ecify)h (where,)f(in)g(the)h(pro)r(of)f(of)g(Lemma)g(2.7,)f(it)i(is)f(used)h (eac)n(h)e(single)h(assumption)g(in)3949 3503 y Fy(39)287 3612 y FD(\(2.134\))p Ft(\004)p FD(\(2.156\):)494 3716 y FH(the)22 b(eigh)n(t)g(conditions)f(\(2.113\))p Fl(\004)p FH(\(2.120\))k(corresp)r(ond)c(to)h(or)e(are)h(implied)e(b)n(y)-6 b(,)21 b(resp)r(ectiv)n(ely)-6 b(,)21 b(\(2.140\),)h(\(2.146\),)g (\(2.147\),)g(\(2.148\),)494 3795 y(\(2.150\),)j(\(2.154\),)g (\(2.155\))g(and)f(\(2.156\);)494 3906 y(\(2.134\))p Fl(\004)p FH(\(2.138\))k(are)c(used)g(systematically)f(to)i(deriv)n(e)e (\(2.157\))j(\(for)d Fm(i)d Fl(\025)f FH(1\);)494 4018 y(\(2)p Fm(:)p FH(157\))k(for)d Fm(k)h FH(=1,)g(2,)g(3,)g(4,)f(5,)h(6,) g(7,)g(8,)g(0,)f(18)i(and)g(19)f Fj(needs)h(no)f(other)h(inductiv)n(e)g (assumptions)f(in)f(order)h(to)h(b)r(e)f(deriv)n(ed)h FH(b)r(esides)494 4115 y(\(2.134\))p Fl(\004)p FH(\(2.138\);)28 b(the)c(estimates)g(on)g Fm(\021)1591 4080 y Fn(\()p Fk(i)p Fn(\))1589 4138 y(12)1689 4115 y FH(and)h Fm(\021)1864 4080 y Fn(\()p Fk(i)p Fn(\))1862 4138 y(16)1962 4115 y FH(do)f(not)h(app)r(ear)f(in)f(the)i(sequel;)494 4226 y(\(2.141\))h Fl(!)d FH(\(2.166\);)494 4338 y(\(2.139\))j Fl(!)d FH(\(2.157\))i(with)f Fm(k)d FH(=)e(9;)494 4417 y(\(2.142\))26 b(and)e(\(2.143\))h Fl(!)e FH(\(2.157\))i(with)f Fm(k)d FH(=)e(10;)494 4496 y(\(2.144\))26 b(and)e(\(2.145\))h Fl(!)e FH(\(2.157\))i(with)f Fm(k)d FH(=)e(11;)494 4574 y(\(2.147\))26 b Fl(!)d FH(\(2.157\))i(with)f Fm(k)d FH(=)e(13;)494 4653 y(\(2.148\))26 b Fl(!)d FH(\(2.157\))i(with)f Fm(k)d FH(=)e(14;)494 4732 y(\(2.147\))26 b Fl(!)d FH(\(2.157\))i(with) f Fm(k)d FH(=)e(15;)494 4811 y(\(2.147\))26 b Fl(!)d FH(\(2.157\))i(with)f Fm(k)d FH(=)e(17;)494 4890 y(\(2.149\))26 b Fl(!)d FH(\(2.157\))i(with)f Fm(k)d FH(=)e(20;)p 287 4942 1493 4 v 349 4996 a Fn(39)414 5020 y FH(W)-6 b(e)24 b(use)g(the)h(notation)g(\\\(a\))g Fl(!)e FH(\(b\)")i(meaning\\\(a\))g (is)e(used)h(in)f(the)i(deriv)l(ation)f(of)f(\(b\)".)2111 5492 y FD(51)p eop %%Page: 52 52 52 51 bop 494 -94 a FH(\(2.147\))p Fl(\004)p FH(\(2.149\))28 b Fl(!)23 b FH(\(2.157\))i(with)f Fm(k)d FH(=)f(21)p Fm(;)12 b FH(22)p Fm(;)g FH(23)p Fm(;)f FH(24)p Fm(;)h FH(25)p Fm(;)g FH(26;)494 -15 y(\(2.147\))26 b(and)e(\(2.148\))h Fl(!)e FH(\(2.157\))i(with)f Fm(k)d FH(=)e(27;)494 63 y(\(2.147\))p Fl(\004)p FH(\(2.150\))28 b Fl(!)23 b FH(\(2.157\))i (with)f Fm(k)d FH(=)f(28;)494 142 y(\(2.147\))p Fl(\004)p FH(\(2.149\))28 b Fl(!)23 b FH(\(2.157\))i(with)f Fm(k)d FH(=)f(29;)494 221 y(\(2.147\))p Fl(\004)p FH(\(2.152\))28 b Fl(!)23 b FH(\(2.157\))i(with)f Fm(k)d FH(=)f(30;)494 300 y(\(2.147\))p Fl(\004)p FH(\(2.150\))28 b(and)c(\(2.153\))h Fl(!)f FH(\(2.157\))h(with)e Fm(k)f FH(=)d(31;)494 379 y(\(2.147\))p Fl(\004)p FH(\(2.154\))28 b Fl(!)23 b FH(\(2.157\))i (with)f Fm(k)d FH(=)f(32.)287 605 y FD(\(v\))28 b(In)g(view)f(of)h(the) g(de\014nitions)f(of)33 b(\026)-47 b FA(\027)1493 617 y Fy(0)1530 605 y FD(,)38 b(\026)-52 b FA(\037)1633 617 y Fy(0)1698 605 y FD(and)27 b FA(\037)1911 617 y Fy(0)1948 605 y FD(,)h(the)g(\014rst)f(condition)h(in)g(\(2.132\))e(ma)n(y)h(b)r (e)h(rewritten)f(as)1916 822 y FA(\026)d Ft(\024)2187 766 y FD(1)p 2087 803 242 4 v 2087 879 a FA(c)2123 891 y Fx(\003)2166 879 y FD(\026)-47 b FA(\027)2202 891 y Fy(0)2249 879 y FD(\026)c FA(\037)2292 891 y Fy(0)2366 822 y FA(:)1376 b FD(\(2.167\))287 1067 y(\(vi\))28 b(A)g(quadratic)e (relation)h(\(among)g(p)r(ositiv)n(e)g(n)n(um)n(b)r(ers\))g(of)h(the)g (form)1688 1245 y FA(\026)1738 1257 y Fw(i)p Fy(+1)1873 1245 y Ft(\024)23 b FA(ab)2041 1210 y Fw(i)2068 1245 y FA(\026)2118 1210 y Fy(2)2118 1265 y Fw(i)2183 1245 y FA(;)180 b(i)23 b Ft(\025)f FD(0)27 b FA(;)1148 b FD(\(2.168\))287 1422 y(is)27 b(equiv)-5 b(alen)n(t)28 b(to)f(the)h(relation)1599 1522 y(^)-49 b FA(\026)1642 1534 y Fw(i)p Fy(+1)1777 1522 y Ft(\024)29 b FD(^)-48 b FA(\026)1915 1487 y Fy(2)1915 1542 y Fw(i)1980 1522 y FA(;)186 b FD(^)-48 b FA(\026)2233 1534 y Fw(i)2283 1522 y FD(:=)23 b FA(ab)2474 1487 y Fw(i)p Fy(+1)2585 1522 y FA(\026)2635 1534 y Fw(i)2691 1522 y FA(:)1051 b FD(\(2.169\))287 1668 y(Iterating)27 b(\(2.169\),)f(one)h(gets)1777 1784 y(^)-48 b FA(\026)1821 1796 y Fw(i)1872 1784 y Ft(\024)29 b FD(^)-49 b FA(\026)2009 1750 y Fy(2)2042 1725 y Fq(i)2009 1805 y Fy(0)2101 1784 y FA(;)179 b(i)23 b Ft(\025)g FD(0)k FA(;)287 1930 y FD(whic)n(h)g(corresp)r(onds)f(to)1876 2094 y FA(\026)1926 2106 y Fw(i)1977 2094 y Ft(\024)2074 2038 y FD(\()p FA(ab\026)2236 2050 y Fy(0)2273 2038 y FD(\))2305 2008 y Fy(2)2338 1983 y Fq(i)p 2074 2075 295 4 v 2126 2151 a FA(ab)2206 2127 y Fw(i)p Fy(+1)2407 2094 y FA(:)287 2264 y FD(In)i(particular,)e(if) 1876 2363 y(^)-49 b FA(\026)1919 2375 y Fy(0)1979 2363 y FD(=)23 b FA(ab\026)2197 2375 y Fy(0)2257 2363 y Ft(\024)g FD(1)k FA(;)1328 b FD(\(2.170\))287 2509 y(then)34 b(^)-48 b FA(\026)526 2521 y Fw(i)577 2509 y Ft(\024)22 b FD(1)27 b(for)h(all)f FA(i)g FD(and)1860 2609 y(^)-48 b FA(\026)1904 2621 y Fw(i)p Fy(+1)2038 2609 y Ft(\024)30 b FD(^)-49 b FA(\026)2176 2575 y Fy(2)2176 2630 y Fw(i)2236 2609 y Ft(\024)30 b FD(^)-49 b FA(\026)2374 2621 y Fw(i)2429 2609 y FA(;)287 2755 y FD(whic)n(h)27 b(yields)34 b(^)-48 b FA(\026)808 2767 y Fw(i)858 2755 y Ft(\024)30 b FD(^)-49 b FA(\026)996 2767 y Fy(0)1033 2755 y FD(,)28 b(i.e.,)1881 2872 y FA(\026)1931 2884 y Fw(i)1982 2872 y Ft(\024)2079 2816 y FA(\026)2129 2828 y Fy(0)p 2079 2853 88 4 v 2091 2929 a FA(b)2127 2905 y Fw(i)2199 2872 y Ft(\024)23 b FA(\026)2337 2884 y Fy(0)2402 2872 y FA(:)1340 b FD(\(2.171\))287 3052 y(Indeed,)28 b(\(2.162\))e(has)h(the)h(form)f(\(2.168\))g(with)h FA(a)23 b FD(:=)h(\026)-44 b FA(c)2032 3064 y Fy(0)2074 3052 y FD(\026)e FA(\027)2111 3064 y Fy(0)2158 3052 y FD(\026)-52 b FA(\037)2200 3064 y Fy(0)2265 3052 y FD(and)27 b FA(b)c FD(:=)2615 3031 y(\026)2596 3052 y FA(B)2659 3064 y Fy(0)2696 3052 y FD(.)28 b(Therefore,)e Fo(assuming)h(that)1810 3229 y FA(c)1846 3241 y Fx(\003)1907 3229 y Ft(\025)2015 3208 y FD(\026)1995 3229 y FA(B)2058 3241 y Fy(0)2097 3229 y FD(\026)-44 b FA(c)2131 3241 y Fy(0)2191 3229 y FD(=)23 b(2)2321 3195 y Fy(4)p Fw(\034)2397 3229 y FD(\026)-44 b FA(c)2431 3241 y Fy(0)3765 3229 y FD(\(2.172\))287 3407 y(\(as)24 b(w)n(e)f(shall)h(do)g(later:)g(see)f(\(2.182\))g(and)h (\(2.181\))f(b)r(elo)n(w\),)h(w)n(e)g(see)g(that)g(\(2.167\))f(implies) h(\(2.170\),)f(so)h(that)g(\(2.171\),)287 3506 y(i.e.,)1838 3623 y FA(\026)1888 3635 y Fw(i)1939 3623 y Ft(\024)2043 3567 y FA(\026)2093 3579 y Fy(0)p 2037 3604 101 4 v 2056 3661 a FD(\026)2037 3682 y FA(B)2104 3653 y Fw(i)2100 3704 y Fy(0)2170 3623 y FD(=)2312 3567 y FA(\026)p 2267 3604 140 4 v 2267 3680 a FD(2)2309 3656 y Fy(4)p Fw(\034)7 b(i)2445 3623 y FA(;)1297 b FD(\(2.173\))287 3821 y(holds)27 b(under)h(the)g(h)n(yp)r(otheses)e(of)i(Lemma)f(2.7)g(\(and)h (\(2.172\)\))e(for)i FA(i)22 b Ft(\024)h FA(j)5 b FD(.)287 3945 y(\(vii\))28 b(F)-7 b(or)27 b(later)g(use,)g(w)n(e)h(note)f(that) 1068 4122 y(\026)-46 b FA(\027)1105 4134 y Fy(0)1165 4122 y Ft(\025)22 b FA(\027)1293 4134 y Fw(k)1362 4122 y FA(;)180 b Ft(8)27 b FA(k)j(;)1074 4239 y(B)1137 4251 y Fw(k)p 1074 4276 104 4 v 1095 4333 a FD(\026)1076 4354 y FA(B)1139 4366 y Fy(0)1210 4295 y Ft(\024)1308 4239 y FD(2)1350 4209 y Fy(2)p Fw(\034)7 b Fy(+1)p 1308 4276 201 4 v 1350 4352 a FD(2)1392 4328 y Fy(4)p Fw(\034)1541 4295 y Ft(\024)1639 4239 y FD(1)p 1639 4276 42 4 v 1639 4352 a(2)1718 4295 y FA(;)180 b Ft(8)27 b FA(k)j(;)1073 4520 y FD(\026)-51 b FA(\037)1116 4532 y Fy(0)1176 4520 y Ft(\025)22 b FD(max)1432 4403 y Fz(\032)1494 4520 y FA(\014)1541 4532 y Fy(1)1578 4520 y FA(\037)1630 4532 y Fy(0)1667 4520 y FA(;)14 b(\037)1756 4532 y Fy(24)1827 4520 y FA(;)g(\037)1916 4532 y Fy(28)1986 4520 y FA(;)p 2023 4454 63 4 v 14 w(A)2085 4468 y Fx(\000)p Fy(1)2174 4520 y FA(\037)2226 4532 y Fy(32)2296 4520 y FA(;)2343 4464 y(\037)2395 4476 y Fy(26)p 2343 4501 123 4 v 2383 4577 a FA(\032)2476 4520 y(;)2522 4464 y(\037)2574 4476 y Fy(5)p 2522 4501 90 4 v 2545 4577 a FA(\032)2622 4520 y(;)2668 4464 y(\037)2720 4476 y Fy(25)p 2668 4501 123 4 v 2708 4577 a FA(\032)2801 4520 y(;)p 2838 4454 63 4 v 14 w(A\037)2952 4532 y Fy(7)2989 4520 y FA(;)p 3026 4454 V 14 w(AE)3154 4486 y Fx(\003)3149 4541 y Fy(2)3192 4520 y FA(\037)3244 4532 y Fy(0)3282 4403 y Fz(\033)3385 4520 y FA(:)3765 4695 y FD(\(2.174\))287 4920 y FB(Pro)s(of)36 b FD(\(of)c(Lemma)f(2.7\))g(The)g(estimating)g(tec)n(hnique,)h(based)f (on)g(a)g(systematic)g(use)g(of)h(p)r(oin)n(ts)f(\(i\))p Ft(\004)p FD(\(iv\))i(of)e(Re-)287 5020 y(mark)c(2.8,)f(is)i(rather)e (straigh)n(tforw)n(ard)f(and)i(go)r(es)g(along)f(the)i(follo)n(wing)f (lines:)2111 5492 y(52)p eop %%Page: 53 53 53 52 bop 379 -94 a FD(a\))41 b(use)29 b(\(2.134\))p Ft(\004)p FD(\(2.138\))e(and)h(\(2.166\))g(to)g(get)h(rid)f(of)h(the)g FA(i)p FD(-dep)r(endence)f(in)h(the)g(parameters)e FA(M)3553 -82 y Fw(i)3580 -94 y FD(,)p 3632 -161 90 4 v 29 w FA(M)3722 -82 y Fw(i)3749 -94 y FD(,)p 3801 -161 63 4 v 29 w FA(A)3864 -82 y Fw(i)3891 -94 y FD(,)3956 -115 y(~)3943 -94 y FA(V)3991 -82 y Fw(i)494 5 y FD(and)h FA(B)719 17 y Fw(i)746 5 y FD(;)384 169 y(c\))41 b(de\014ne)28 b(the)g(upp)r(er)g(b)r(ounds)g FA(\033)1451 181 y Fw(p;k)1569 169 y Ft(\025)23 b FA(s)1696 181 y Fw(p;k)1818 169 y FD(as)k(the)h(righ)n(t)f(hand)g(sides)h(of)f (\(2.164\);)374 332 y(d\))42 b(in)32 b(eac)n(h)f(expression)f(factor)h (out)h(the)g(terms)f(\(all)h(of)f(whic)n(h)h(are)e(greater)g(or)h (equal)g(than)h(one\))f FA(M)9 b FD(,)p 3745 266 90 4 v 31 w FA(M)g FD(,)32 b FA(\030)3930 302 y Fx(\000)p Fy(1)3926 353 y Fx(\003)494 432 y FD(with)c(the)g(maximal)f(p)r(o)n(w)n (er)g(with)h(whic)n(h)f(they)h(app)r(ear:)f(this)h(term)f(giv)n(es)g (the)h FA(\027)3067 444 y Fw(k)3135 432 y FD(or)f(the)33 b(\026)-47 b FA(\027)3421 444 y Fw(k)3462 432 y FD(;)384 596 y(e\))41 b(in)30 b(eac)n(h)e(expression)f(factor)i(out)g(the)g (term)g(2)1957 565 y Fw(i)2013 596 y FD(with)h(the)f(maximal)f(p)r(o)n (w)n(er:)g(this)i(term)f(giv)n(es)e(the)j FA(B)3731 608 y Fw(k)3801 596 y FD(or)e(the)514 674 y(\026)494 695 y FA(B)557 707 y Fw(k)598 695 y FD(;)389 859 y(f)6 b(\))42 b(in)25 b(eac)n(h)e(expression)f(factor)h(out)h(the)g(maximal)f(term)h (in)n(v)n(olving)f FA(\015)5 b FD(,)23 b(\012,)h FA(E)2828 871 y Fw(p;q)2919 859 y FD(,)g FA(\032)p FD(,)3069 838 y(~)3056 859 y FA(V)19 b FD(,)p 3170 792 63 4 v 24 w FA(A)p FD(,)24 b FA(F)3332 871 y Fw(i)3360 859 y FD(,)g FA(G)3472 871 y Fw(i)3500 859 y FD(,)3548 837 y(\026)3547 859 y FA(h)3595 871 y Fw(i)3647 859 y FD(expressing)494 958 y(it)k(in)g(term)g(of)940 928 y Fy(40)1038 958 y FA(\014)1085 970 y Fy(0)1122 958 y FD(,)g FA(\014)1220 970 y Fy(1)1257 958 y FD(,)g FA(E)1374 928 y Fx(\003)1369 979 y Fw(p)1412 958 y FD(,)g FA(\013)g FD(and)f FA(\026)1755 970 y Fw(i)1783 958 y FD(:)g(this)h(term)g(will)g(giv)n(e)e(the)i FA(\037)2716 970 y Fw(k)2757 958 y FA(\026)2807 970 y Fw(i)2863 958 y FD(or)36 b(\026)-52 b FA(\037)3016 970 y Fw(k)3057 958 y FA(\026)3107 928 y Fy(2)3107 980 y Fw(i)3144 958 y FD(;)379 1122 y(g\))41 b(the)28 b(expression)e(that)i (remains)f(after)g(the)h(ab)r(o)n(v)n(e)f(op)r(erations)f(giv)n(es)g (the)i(n)n(umerical)f(constan)n(t)g FA(c)3604 1134 y Fw(k)3672 1122 y FD(or)i(\026)-44 b FA(c)3810 1134 y Fw(k)3851 1122 y FD(.)287 1307 y(T)-7 b(o)22 b(illustrate)h(the)g(ab)r (o)n(v)n(e)f(strategy)f(w)n(e)i(start)f(b)n(y)h(p)r(erforming,)f(in)h (details,)g(the)h(\014rst)e(few)i(estimates.)e(F)-7 b(or)23 b(clarit)n(y)-7 b(,)22 b(w)n(e)287 1406 y(denote)28 b(b)n(y)h(\(2)p FA(:)p FD(157\))925 1431 y Fw(k)995 1406 y FD(the)g(estimate)f (\(2.157\).)f(Let)i(us)g(b)r(egin)f(with)h(\(2)p FA(:)p FD(157\))2703 1431 y Fy(1)2740 1406 y FD(.)g(By)f(\(2.138\),)g (\(2.135\),)f(the)i(de\014nition)287 1506 y(of)e FA(\026)431 1518 y Fw(i)487 1506 y FD(and)g(the)h(fact)g(that)g FA(\014)1182 1518 y Fy(0)1247 1506 y FD(and)f FA(M)36 b FD(are)27 b(greater)f(or)g(equal)i(than)f(one,)h(w)n(e)f(\014nd)986 1694 y FA(\021)1030 1651 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1027 1716 y(1)1193 1694 y FD(:=)1376 1673 y(~)1363 1694 y FA(V)1411 1706 y Fw(i)1439 1694 y FA(F)1492 1706 y Fw(i)1539 1694 y FD(+)18 b FA(M)1703 1706 y Fw(i)1730 1694 y FA(G)1795 1706 y Fw(i)1846 1694 y Ft(\024)23 b FA(\024)p FD(\()p FA(\032\014)2104 1706 y Fy(0)2141 1694 y FA(F)2194 1706 y Fw(i)2240 1694 y FD(+)18 b FA(M)9 b(G)2478 1706 y Fw(i)2506 1694 y FD(\))23 b Ft(\024)g FA(\024)p FD(\()p FA(\032\014)2819 1706 y Fy(0)2856 1694 y FD(\012)c(+)f FA(M)9 b FD(\012)p FA(\032)p FD(\))p FA(\026)3293 1706 y Fw(i)1204 1818 y Ft(\024)94 b FD(\(2)p FA(\024)p FD(\))p FA(M)36 b FD(\(\012)p FA(\032\014)1816 1830 y Fy(0)1854 1818 y FD(\))28 b FA(\026)1964 1830 y Fw(i)2015 1818 y FD(=:)22 b FA(c)2161 1830 y Fy(1)2198 1818 y FA(\027)2239 1830 y Fy(1)2277 1818 y FA(\037)2329 1830 y Fy(1)2366 1818 y FA(B)2433 1784 y Fw(i)2429 1839 y Fy(1)2466 1818 y FA(\026)2516 1830 y Fw(i)2571 1818 y FA(;)287 1995 y FD(pro)n(ving)k(\(2)p FA(:)p FD(157\))841 2020 y Fy(1)878 1995 y FD(.)i(Estimate)f(\(2)p FA(:)p FD(157\))1534 2020 y Fy(2)1599 1995 y FD(is)h(gotten)f(similarly)g (using)g(\(2.164\).)f(Estimate)i(\(2)p FA(:)p FD(157\))3408 2020 y Fy(3)3473 1995 y FD(is)g(ob)n(vious.)287 2142 y(Since,)g(b)n(y)f(the)h(de\014nitions)g(\(2.130\),)e(it)i(is)1797 2241 y FA(\032E)1901 2253 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(2)2014 2241 y Ft(\024)23 b FA(\032E)2211 2207 y Fx(\003)2206 2262 y Fy(2)2272 2241 y Ft(\024)g FD(\012)2420 2207 y Fx(\003)2486 2241 y FA(;)1256 b FD(\(2.175\))287 2387 y(one)27 b(\014nds,)h(using)f (\(2.136\),)g(\(2)p FA(:)p FD(157\))1436 2412 y Fy(2)1501 2387 y FD(and)h(\(2.175\),)815 2587 y FA(\021)859 2544 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))856 2609 y(4)1021 2587 y FD(:=)p 1192 2520 90 4 v 83 w FA(M)1282 2534 y Fy(2)1282 2608 y Fw(i)1319 2587 y FA(E)1380 2599 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(2)1470 2587 y FA(\021)1514 2544 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1511 2609 y(2)1617 2587 y Ft(\024)23 b FA(\024)1753 2553 y Fy(2)p 1790 2520 V 1790 2587 a FA(M)1879 2534 y Fy(2)1917 2587 y FA(E)1978 2599 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(2)2068 2587 y FA(\021)2112 2544 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2109 2609 y(2)1033 2734 y Ft(\024)94 b FD(\()p FA(\024)1272 2700 y Fy(2)1309 2734 y FA(c)1345 2746 y Fy(2)1383 2734 y FD(\)\()p 1447 2668 V FA(M)1537 2681 y Fy(2)1574 2734 y FA(M)9 b(\030)1704 2700 y Fx(\000)p Fw(\034)1700 2755 y Fx(\003)1797 2734 y FD(\)\()p FA(\032E)1965 2746 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(2)2056 2734 y FA(\014)2103 2746 y Fy(0)2140 2734 y FA(\014)2187 2746 y Fy(1)2224 2734 y FD(\))p FA(\026)2306 2746 y Fw(i)2357 2734 y Ft(\024)23 b FD(\()p FA(\024)2525 2700 y Fy(2)2562 2734 y FA(c)2598 2746 y Fy(2)2636 2734 y FD(\)\()p 2700 2668 V FA(M)2790 2681 y Fy(2)2827 2734 y FA(M)9 b(\030)2957 2700 y Fx(\000)p Fw(\034)2953 2755 y Fx(\003)3050 2734 y FD(\)\(\012)3174 2700 y Fx(\003)3213 2734 y FA(\014)3260 2746 y Fy(0)3297 2734 y FA(\014)3344 2746 y Fy(1)3381 2734 y FD(\))p FA(\026)3463 2746 y Fw(i)1021 2859 y FD(=:)83 b FA(c)1228 2871 y Fy(4)1265 2859 y FA(\027)1306 2871 y Fy(4)1344 2859 y FA(\037)1396 2871 y Fy(4)1433 2859 y FA(B)1500 2825 y Fw(i)1496 2879 y Fy(4)1533 2859 y FA(\026)1583 2871 y Fw(i)1638 2859 y FA(:)287 3035 y FD(Observ)n(e)26 b(that)1230 3157 y(max)1399 3065 y Fz(n)1464 3101 y FA(E)1525 3113 y Fy(1)p Fw(;)p Fy(0)p 1464 3138 152 4 v 1518 3214 a FA(\032)1625 3157 y(;)14 b(E)1723 3169 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(1)1814 3065 y Fz(o)1892 3157 y FD(=)23 b FA(E)2046 3123 y Fx(\003)2041 3177 y Fy(1)2112 3157 y FA(;)179 b FD(max)2483 3065 y Fz(n)2548 3101 y FA(E)2614 3071 y Fx(\003)2609 3121 y Fy(1)p 2548 3138 105 4 v 2551 3214 a FD(\012)2611 3190 y Fx(\003)2662 3157 y FA(;)2728 3101 y FD(\012)p 2709 3138 99 4 v 2709 3214 a(\012)2769 3190 y Fx(\003)2817 3065 y Fz(o)2896 3157 y Ft(\024)22 b FD(1)28 b FA(:)689 b FD(\(2.176\))287 3347 y(Then,)28 b(b)n(y)f(\(2.164\))f(and)i(\(2.176\),)e(one)h(\014nds) 726 3565 y FA(\021)770 3522 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))767 3587 y(5)932 3565 y FD(:=)83 b FA(\033)1150 3577 y Fy(2)p Fw(;)p Fy(1)1240 3565 y FD(\()p FA(\030)1308 3577 y Fw(i)1337 3565 y FA(;)14 b(!)1429 3531 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1508 3565 y FD(\)\()p FA(E)1633 3577 y Fy(1)p Fw(;)p Fy(0)1724 3565 y FA(F)1777 3577 y Fw(i)1823 3565 y FD(+)k FA(E)1967 3577 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(1)2058 3565 y FA(G)2123 3577 y Fw(i)2150 3565 y FD(\))24 b Ft(\024)e FA(\033)2340 3577 y Fy(2)p Fw(;)p Fy(1)2431 3565 y FD(\()p FA(\030)2499 3577 y Fw(i)2527 3565 y FA(;)14 b(!)2619 3531 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2698 3565 y FD(\)\012)p FA(\032)2833 3473 y Fz(\020)2893 3509 y FA(E)2954 3521 y Fy(1)p Fw(;)p Fy(0)p 2893 3546 152 4 v 2947 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FA(c)1139 3960 y Fy(5)1176 3948 y FA(\027)1217 3960 y Fy(5)1254 3948 y FA(\037)1306 3960 y Fy(5)1344 3948 y FA(B)1411 3913 y Fw(i)1407 3968 y Fy(5)1444 3948 y FA(\026)1494 3960 y Fw(i)1549 3948 y FA(:)287 4124 y FD(Estimate)27 b(\(2)p FA(:)p FD(157\))893 4149 y Fy(6)958 4124 y FD(follo)n(ws)f(at)i(once)f(from)1366 4300 y FA(E)1427 4312 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(2)1517 4300 y FA(\037)1569 4312 y Fy(5)1629 4300 y FD(:=)c FA(E)1801 4312 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(2)1891 4300 y FA(\032\014)1985 4266 y Fy(2)1981 4321 y(1)2046 4300 y Ft(\024)f FA(E)2199 4266 y Fx(\003)2194 4321 y Fy(2)2238 4300 y FA(\032\014)2332 4266 y Fy(2)2328 4321 y(1)2392 4300 y Ft(\024)h FD(\012)2540 4266 y Fx(\003)2578 4300 y FA(\014)2629 4266 y Fy(2)2625 4321 y(1)2690 4300 y FD(=:)f FA(\037)2852 4312 y Fy(6)2917 4300 y FA(:)287 4477 y FD(Let)28 b(us)f(turn)h(to)f(\(2)p FA(:)p FD(157\))1082 4502 y Fy(7)1119 4477 y FD(.)h(Recalling)f (\(2.100\))f(and)i(\(2.99\),)f(one)g(\014nds)h(that)989 4742 y FA(\021)1030 4754 y Fy(7)1091 4742 y Ft(\024)22 b FA(c)1214 4754 y Fy(7)1251 4742 y FA(\027)1292 4754 y Fy(7)1368 4686 y FD(1)p 1367 4723 43 4 v 1367 4799 a FA(\032)1434 4742 y FD(max)1602 4600 y Fz(\()1669 4742 y FA(E)1730 4754 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(2)1821 4742 y FA(\037)1873 4754 y Fy(2)1910 4742 y FA(;)1947 4593 y Fz(s)p 2030 4593 501 4 v 149 x FA(E)2091 4754 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(2)2181 4742 y FA(\037)2233 4754 y Fy(2)2280 4686 y FA(E)2341 4698 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(1)2431 4686 y FA(\037)2483 4698 y Fy(5)p 2280 4723 241 4 v 2379 4799 a FA(\032)2531 4742 y(;)14 b(\037)2620 4754 y Fy(3)2657 4742 y FA(;)g(\037)2746 4754 y Fy(6)2783 4742 y FA(;)2830 4686 y(E)2891 4698 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(1)2981 4686 y FA(\037)3033 4698 y Fy(5)p 2830 4723 V 2928 4799 a FA(\032)3080 4600 y Fz(\))3189 4742 y FA(\026)3239 4754 y Fw(i)3294 4742 y FA(;)p 287 4864 1493 4 v 349 4917 a Fn(40)414 4941 y FH(In)26 b(doing)g(this)g(op) r(eration)h(there)g(is,)d(in)i(general,)g(some)f(freedom)g(and)h(w)n(e) g(shall)f(try)-6 b(,)26 b(in)g(the)g(follo)n(wing,)f(to)i(discuss)e(it) h(with)g(some)287 5020 y(care.)2111 5492 y FD(53)p eop %%Page: 54 54 54 53 bop 287 -94 a FD(and)421 -124 y Fy(41)826 96 y FD(1)p 825 133 43 4 v 825 210 a FA(\032)892 153 y FD(max)1060 11 y Fz(\()1127 153 y FA(E)1188 165 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(2)1278 153 y FA(\037)1330 165 y Fy(2)1368 153 y FA(;)1405 4 y Fz(s)p 1488 4 501 4 v 149 x FA(E)1549 165 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(2)1639 153 y FA(\037)1691 165 y Fy(2)1738 96 y FA(E)1799 108 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(1)1889 96 y FA(\037)1941 108 y Fy(5)p 1738 133 241 4 v 1837 210 a FA(\032)1989 153 y(;)14 b(\037)2078 165 y Fy(3)2115 153 y FA(;)g(\037)2204 165 y Fy(6)2241 153 y FA(;)2288 96 y(E)2349 108 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(1)2439 96 y FA(\037)2491 108 y Fy(5)p 2288 133 V 2386 210 a FA(\032)2538 11 y Fz(\))981 410 y Ft(\024)1080 354 y FD(1)p 1079 391 43 4 v 1079 467 a FA(\032)1146 410 y FD(max)1314 293 y Fz(\032)1376 410 y FA(E)1437 422 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(2)1527 410 y FA(\037)1579 422 y Fy(2)1617 410 y FA(;)g(\037)1706 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FD(.)287 987 y(Estimate)h(\(2)p FA(:)p FD(157\))893 1011 y Fy(8)958 987 y FD(follo)n(ws)f(observing)g(that)914 1216 y(max)1083 1124 y Fz(n)1138 1216 y FA(\037)1190 1228 y Fy(3)1227 1216 y FA(;)14 b(\037)1316 1228 y Fy(4)1353 1216 y FA(;)g FD(\012)p FA(;)1497 1160 y(E)1558 1172 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(1)p 1497 1197 152 4 v 1551 1273 a FA(\032)1658 1216 y(\037)1710 1228 y Fy(2)1747 1124 y Fz(o)1897 1216 y Ft(\024)94 b FD(max)2225 1124 y Fz(n)2280 1216 y FD(\012)p FA(;)14 b(E)2443 1181 y Fx(\003)2438 1236 y Fy(2)2481 1216 y FA(\032\014)2571 1228 y Fy(0)2608 1216 y FA(\014)2655 1228 y Fy(1)2693 1216 y FA(;)g(E)2791 1228 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(1)2881 1216 y FA(\014)2928 1228 y Fy(0)2965 1216 y FA(\014)3012 1228 y Fy(1)3049 1124 y Fz(o)1897 1417 y Ft(\024)94 b FD(\()p FA(\014)2135 1429 y Fy(0)2173 1417 y FA(\014)2220 1429 y Fy(1)2257 1417 y FD(\))14 b(max)2472 1325 y Fz(n)2527 1417 y FD(\012)p FA(;)g(E)2690 1383 y Fx(\003)2685 1438 y Fy(2)2728 1417 y FA(\032;)g(E)2869 1429 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(1)2959 1325 y Fz(o)3038 1417 y Ft(\024)22 b FD(\012)3185 1383 y Fx(\003)3223 1417 y FA(\014)3270 1429 y Fy(0)3308 1417 y FA(\014)3355 1429 y Fy(1)1886 1542 y FD(=:)82 b FA(\037)2108 1554 y Fy(8)2173 1542 y FA(:)287 1725 y FD(Estimate)27 b(\(2)p FA(:)p FD(157\))893 1750 y Fy(0)958 1725 y FD(follo)n(ws)f(easily)h (recalling)f(\(2.166\))h(and)g(the)h(de\014nition)g(of)g FA(\013)p FD(.)287 1849 y(By)f(\(2.139\))f(one)i(gets)p 1656 1898 90 4 v 1656 1965 a FA(M)9 b(\032\021)1833 1922 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1830 1987 y(0)1936 1965 y Ft(\024)22 b FA(\021)2067 1922 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2064 1987 y(9)2170 1965 y Ft(\024)h FA(\024)2306 1931 y Fy(2)p 2343 1898 V 2343 1965 a FA(M)8 b(\032\021)2519 1922 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2516 1987 y(0)2627 1965 y FA(:)1115 b FD(\(2.177\))287 2114 y(The)27 b(second)g(estimate)h(in)g(\(2.177\))e (together)h(with)h(\(2)p FA(:)p FD(157\))2207 2139 y Fy(0)2272 2114 y FD(implies)f(at)h(once)f(\(2)p FA(:)p FD(157\))3098 2139 y Fy(9)3135 2114 y FD(.)287 2239 y(Using)g (\(2.142\))g(and)g(\(2.143\),)f(one)i(\014nds)f(that)1770 2209 y Fy(42)1721 2494 y FD(\()p FA(\021)1797 2451 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1794 2516 y(10)1877 2494 y FD(\))1909 2460 y Fy(2)1970 2494 y Ft(\024)c FA(\024)2106 2460 y Fy(2)2153 2438 y FD(\012)2213 2408 y Fx(\003)p 2153 2475 99 4 v 2162 2551 a FA(\032)2205 2527 y Fy(2)2298 2438 y FD(\()p FA(\021)2374 2395 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2371 2460 y(9)2454 2438 y FD(\))2486 2408 y Fy(2)p 2298 2475 226 4 v 2390 2551 a FD(2)2562 2494 y FA(;)1180 b FD(\(2.178\))287 2721 y(whic)n(h,)27 b(b)n(y)h(\(2)p FA(:)p FD(157\))916 2745 y Fy(9)954 2721 y FD(,)f(implies)h(immediately)g(\(2)p FA(:)p FD(157\))2013 2745 y Fy(10)2083 2721 y FD(.)287 2845 y(By)f(\(2.144\))f(and)i(\(2.145\),)e(one)i(\014nds)f(that)1667 2815 y Fy(43)1807 3071 y FA(\021)1851 3027 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1848 3093 y(11)1954 3071 y Ft(\024)22 b FA(\024)2099 3014 y FD(\012)2159 2984 y Fx(\003)p 2099 3051 99 4 v 2108 3127 a FA(\032)2151 3103 y Fy(2)2207 3071 y FA(\021)2251 3027 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2248 3093 y(9)p 2331 3004 90 4 v 2331 3071 a FA(M)2421 3083 y Fw(i)2476 3071 y FA(;)287 3297 y FD(from)27 b(whic)n(h)h(\(2)p FA(:)p FD(157\))974 3322 y Fy(11)1072 3297 y FD(follo)n(ws.)287 3422 y(As)g(men)n(tioned)f(ab)r(o)n(v)n(e,)f(the)i(explicit)g(estimate) g(on)f FA(\021)1996 3434 y Fy(12)2094 3422 y FD(is)h(nev)n(er)e (needed.)287 3546 y(As)i(p)r(oin)n(ted)f(out)h(in)g(\(iii\))g(of)g (Remark)e(2.8,)h(\(2.137\))g(and)g(\(2.141\))f(imply)i(\(2.166\),)f (i.e.,)1925 3729 y FA(B)1992 3695 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2095 3729 y Ft(\024)c FA(\024)2231 3695 y Fy(2)p 2268 3662 63 4 v 2268 3729 a FA(A)28 b(:)1384 b FD(\(2.179\))287 3936 y(By)27 b(\(2.147\))f(and)i(\(2.179\),)e(one)i(\014nds)1875 4052 y FA(\021)1919 4009 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1916 4074 y(13)2022 4052 y Ft(\024)22 b FA(\024)2157 4018 y Fy(3)p 2194 3986 V 2194 4052 a FA(A)q(\021)2301 4009 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2298 4074 y(8)2408 4052 y FA(;)287 4202 y FD(from)27 b(whic)n(h)h(\(2)p FA(:)p FD(157\))974 4227 y Fy(13)1072 4202 y FD(follo)n(ws.)287 4326 y(Condition)f (\(2.148\))g(implies)g(that)1861 4442 y FA(\021)1905 4399 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1902 4464 y(13)2008 4442 y Ft(\024)c FA(\032)p FD(\()p FA(\024)18 b Ft(\000)g FD(1\))28 b FA(;)1320 b FD(\(2.180\))p 287 4495 1493 4 v 349 4556 a Fn(41)414 4580 y FH(F)-6 b(or)23 b(an)n(y)i Fm(a;)11 b(b)20 b Fl(\025)g FH(0,)945 4523 y Fl(p)p 1004 4523 68 3 v 57 x Fm(ab)g Fl(\024)g FH(max)o Fl(f)p Fm(a;)12 b(b)p Fl(g)p FH(.)349 4642 y Fn(42)414 4665 y FH(If)28 b Fm(a;)12 b(b;)f(c)28 b FH(are)g(non)h(negativ)n(e)h(n)n(um)n(b)r(ers) d(suc)n(h)i(that)g Fm(c)e Fl(\024)g FH(\()p Fm(\024)19 b Fl(\000)f FH(1\))p Fm(b)29 b FH(and)g Fm(a)f Fl(\024)f Fm(\024)p FH(\()p Fm(\024)18 b Fl(\000)h FH(1\))p Fm(b)29 b FH(\(whic)n(h)g(is)e(less)h(than)h Fm(\024)3521 4609 y Fl(p)p 3580 4609 197 3 v 56 x Fm(\024)3621 4646 y Fn(2)3671 4665 y Fl(\000)15 b FH(1)q Fm(b)p FH(\),)28 b(then)287 4697 y Fz(p)p 370 4697 395 4 v 67 x Fm(a)407 4745 y Fn(2)458 4764 y FH(+)15 b(\()p Fm(b)h FH(+)g Fm(c)p FH(\))730 4745 y Fn(2)784 4764 y Fl(\024)k Fm(\024)900 4741 y Fn(2)934 4764 y Fm(b)p FH(.)349 4825 y Fn(43)414 4848 y FH(If)h Fm(a;)12 b(b;)f(c)21 b FH(are)g(non)h(negativ)n(e)h(n)n(um)n(b)r(ers)d (suc)n(h)h(that)i Fm(b)11 b FH(+)g Fm(c)g FH(+)g Fm(d)18 b Fl(\024)i Fm(a)p FH(,)h(then)h Fm(b)2389 4825 y Fn(2)2434 4848 y FH(+)11 b(\()p Fm(c)g FH(+)g Fm(d)p FH(\))2698 4825 y Fn(2)2752 4848 y Fl(\024)20 b Fm(a)2864 4825 y Fn(2)2920 4848 y FH(so)h(that)h(max)p Fl(f)p Fm(a)3358 4825 y Fn(2)3393 4848 y Fm(;)11 b(b)3454 4825 y Fn(2)3500 4848 y FH(+)g(\()p Fm(c)g FH(+)g Fm(d)p FH(\))3764 4825 y Fn(2)3798 4848 y Fl(g)20 b FH(=)f Fm(a)3964 4825 y Fn(2)3999 4848 y FH(;)287 4947 y(furthermore,)j(if)g Fm(c)16 b FH(+)f Fm(d)20 b Fl(\024)g FH(\()p Fm(\024)1077 4924 y Fn(2)1127 4947 y Fl(\000)c FH(1\))p Fm(a)24 b FH(then)1482 4880 y Fz(p)p 1565 4880 404 4 v 67 x Fm(a)1602 4928 y Fn(2)1653 4947 y FH(+)15 b Fm(a)p FH(\()p Fm(c)i FH(+)e Fm(d)p FH(\))20 b Fl(\024)g Fm(\024a)p FH(.)2111 5492 y FD(54)p eop %%Page: 55 55 55 54 bop 287 -94 a FD(whic)n(h,)27 b(in)h(turn,)g(implies)g(that)1239 115 y FA(\021)1283 72 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1280 138 y(14)1446 115 y Ft(\024)82 b FA(\024F)1694 127 y Fw(i)1741 115 y FD(+)18 b FA(\021)1868 72 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1865 138 y(13)1957 59 y FA(E)2018 71 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(1)p 1957 96 152 4 v 2012 172 a FA(\032)2142 115 y Ft(\024)k FD(\()p FA(\024)p FD(\012)d(+)f FA(c)2507 127 y Fy(13)2577 115 y FA(\027)2618 127 y Fy(13)2689 115 y FA(\037)2741 127 y Fy(0)2778 115 y FA(E)2839 127 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(1)2929 115 y FD(\))28 b FA(\026)3039 127 y Fw(i)1446 275 y Ft(\024)82 b FA(c)1629 287 y Fy(14)1700 275 y FA(\027)1741 287 y Fy(14)1811 275 y FA(\037)1863 287 y Fy(14)1933 275 y FA(\026)1983 287 y Fw(i)2039 275 y FA(:)287 447 y FD(The)27 b(estimate)h(\(2)p FA(:)p FD(157\))1044 472 y Fy(15)1142 447 y FD(is)f(completely)h(analogous)d(\(using,)i(again,)g (\(2.180\)\).)287 569 y(As)h(men)n(tioned)f(ab)r(o)n(v)n(e,)f(the)i (explicit)g(estimate)g(on)f FA(\021)1996 581 y Fy(16)2094 569 y FD(is)h(nev)n(er)e(needed.)287 691 y(The)h(estimate)h(\(2)p FA(:)p FD(157\))1044 716 y Fy(17)1142 691 y FD(is)f(ob)n(vious)f (\(since)i FA(E)1822 703 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(2)1912 691 y FA(\032)23 b Ft(\024)g FD(\012)2126 661 y Fx(\003)2164 691 y FD(\).)287 814 y(Also)k(the)h(estimates)f(\(2)p FA(:)p FD(157\))1236 839 y Fy(18)1334 814 y FD(and)g(\(2)p FA(:)p FD(157\))1749 839 y Fy(19)1847 814 y FD(are)g(completely)g (straigh)n(tforw)n(ard.)287 936 y(Condition)g(\(2.149\))g(implies)g (that)1514 1147 y FA(\021)1558 1104 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1555 1170 y(20)1661 1147 y Ft(\024)22 b FA(\021)1792 1104 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1789 1170 y(18)1891 1147 y FD(+)2186 1091 y FA(\024)d Ft(\000)f FD(1)p 1984 1128 597 4 v 1984 1225 a FA(\030)2024 1182 y Fx(\000)p Fy(\()p Fw(\034)7 b Fy(+1\))2020 1237 y Fx(\003)2253 1225 y FA(\014)2300 1237 y Fy(1)2337 1225 y FD(2)2379 1201 y Fy(\()p Fw(\034)g Fy(+1\))p Fw(i)2617 1147 y FA(\021)2661 1104 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2658 1170 y(19)2769 1147 y FA(;)287 1384 y FD(whic)n(h)27 b(yields)h(easily)f(\(2)p FA(:)p FD(157\))1240 1409 y Fy(20)1311 1384 y FD(.)287 1507 y(Estimates)32 b(\(2)p FA(:)p FD(157\))930 1532 y Fy(21)1033 1507 y Ft(\004)i FD(\(2)p FA(:)p FD(157\))1384 1532 y Fy(29)1487 1507 y FD(follo)n(w,)e(no)n(w,)g(easily)g(along)f(the)i(ab)r(o)n(v)n(e) f(lines)g(\(using)h(\(2.148\))e(for)h(\(2)p FA(:)p FD(157\))3926 1532 y Fy(22)3996 1507 y FD(,)287 1606 y(\(2)p FA(:)p FD(157\))540 1631 y Fy(23)639 1606 y FD(and)27 b(\(2)p FA(:)p FD(157\))1054 1631 y Fy(24)1152 1606 y FD(and)g(\(2.150\))f(for) h(\(2)p FA(:)p FD(157\))1975 1631 y Fy(28)2046 1606 y FD(\).)287 1729 y(By)g(\(2.151\))f(and)i(\(2.152\))e(one)h(\014nds)1570 1920 y FA(\021)1614 1877 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1611 1943 y(30)1716 1920 y Ft(\024)c FD(2)p FA(\024E)1955 1932 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(2)p 2045 1854 90 4 v 2045 1920 a FA(M)2134 1932 y Fw(i)2162 1920 y FA(\021)2206 1877 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2203 1943 y(28)2304 1920 y FD(+)18 b FA(\024)p 2435 1854 V(M)2525 1868 y Fy(2)2525 1941 y Fw(i)2562 1920 y FA(\021)2606 1877 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2603 1943 y(29)2713 1920 y FA(;)287 2093 y FD(whic)n(h)27 b(yields)h(immediately)g(\(2)p FA(:)p FD(157\))1484 2117 y Fy(30)1555 2093 y FD(.)287 2215 y(By)f(\(2.153\))f(one)i(\014nds)1306 2354 y FA(\021)1350 2311 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1347 2376 y(31)1453 2354 y Ft(\024)1551 2298 y FD(1)p 1550 2335 43 4 v 1550 2411 a FA(\032)1603 2262 y Fz(h)1643 2354 y FA(\024)1691 2319 y Fy(2)p 1728 2287 90 4 v 1728 2354 a FA(M)8 b FD(\()p FA(E)1910 2366 y Fy(1)p Fw(;)p Fy(1)2001 2354 y FA(\021)2045 2311 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2042 2376 y(23)2143 2354 y FD(+)18 b FA(E)2287 2366 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(2)2377 2354 y FA(\021)2421 2311 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2418 2376 y(25)2501 2354 y FD(\))h(+)f FA(E)2696 2366 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(1)2786 2354 y FA(\021)2830 2311 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2827 2376 y(28)2910 2262 y Fz(i)2977 2354 y FA(;)287 2541 y FD(whic)n(h)27 b(yields)h(immediately)g(\(2)p FA(:)p FD(157\))1484 2566 y Fy(31)1555 2541 y FD(.)287 2663 y(Finally)-7 b(,)27 b(b)n(y)h(\(2.154\))e(w)n(e)h(get)1426 2810 y FA(\021)1470 2767 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1467 2833 y(32)1573 2810 y Ft(\024)p 1660 2744 63 4 v 22 w FA(A)1723 2758 y Fy(2)1760 2810 y FA(\024)1808 2776 y Fy(3)1845 2699 y Fz(q)p 1928 2699 902 4 v 111 x FD(\()p FA(\021)2004 2767 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2001 2833 y(30)2084 2810 y FD(\))2116 2786 y Fy(2)2172 2810 y FD(+)18 b(\()p FA(\021)2331 2767 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2328 2833 y(31)2411 2810 y FD(\))2443 2786 y Fy(2)2499 2810 y FD(+)g FA(\021)2626 2767 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2623 2833 y(30)2706 2810 y FA(\021)2750 2767 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2747 2833 y(31)2857 2810 y FA(;)287 2953 y FD(from)27 b(whic)n(h)h(\(2)p FA(:)p FD(157\))974 2978 y Fy(32)1072 2953 y FD(follo)n(ws)f(easily)-7 b(.)287 3076 y(A)n(t)39 b(this)g(p)r(oin)n(t,)g(the)g(estimate)g (\(2.158\))f(\(with)h(1)i Ft(\024)h FA(k)i Ft(\024)e FD(6\),)c(as)h(w)n(ell)f(as)g(\(2.159\))p Ft(\004)p FD(\(2.162\),)f (are)h(immediately)287 3188 y(c)n(hec)n(k)n(ed.)p 732 3188 41 83 v 287 3451 a FB(Lemma)29 b(2.8)41 b Fh(Under)c(the)h(hyp)l (otheses)h(of)f(The)l(or)l(em)h(2.1,)g(the)f(b)l(ounds)f FD(\(2.134\))p Ft(\004)p FD(\(2.156\))e Fh(and)j FD(\(2.157\))p Ft(\004)p FD(\(2.162\))287 3550 y Fh(hold)30 b(for)f(any)g FA(i)22 b Ft(\025)h FD(0)p Fh(.)28 b(In)g(fact,)i(the)e(c)l(onstants)g FA(c)1818 3562 y Fx(\003)1884 3550 y Fh(and)h FA(c)2080 3562 y Fx(\003\003)2181 3550 y Fh(in)f FD(\(2.132\))f Fh(and)k FD(^)-44 b FA(c)28 b Fh(in)h FD(\(2.133\))e Fh(c)l(an)h(b)l(e)g(taken)h(as)g(fol)t(lows.)287 3650 y(L)l(et)401 3620 y Fy(44)1072 3855 y FD(^)-44 b FA(c)1106 3867 y Fy(1)1167 3855 y FD(:=)22 b FA(\024)1325 3821 y Fy(2)1362 3855 y FA(c)1398 3867 y Fy(13)1570 3778 y FD(\026)1550 3799 y FA(B)1613 3811 y Fy(0)p 1479 3836 244 4 v 1498 3893 a FD(\026)1479 3914 y FA(B)1542 3926 y Fy(0)1597 3914 y Ft(\000)c FD(1)1761 3855 y FA(;)101 b FD(^)-44 b FA(c)1919 3867 y Fy(2)1979 3855 y FD(:=)23 b(2)p FA(c)2168 3867 y Fy(24)2268 3855 y FA(;)100 b FD(^)-44 b FA(c)2425 3867 y Fy(3)2486 3855 y FD(:=)22 b(2)p FA(c)2674 3867 y Fy(28)2774 3855 y FA(;)100 b FD(^)-43 b FA(c)2932 3867 y Fy(4)2992 3855 y FD(:=)22 b(2)p FA(c)3180 3867 y Fy(32)3280 3855 y FA(;)1072 4104 y FD(^)-44 b FA(c)1106 4116 y Fy(5)1167 4104 y FD(:=)22 b(2)p FA(c)1355 4116 y Fy(26)1455 4104 y FA(;)100 b FD(^)-44 b FA(c)1612 4116 y Fy(6)1673 4104 y FD(:=)22 b FA(\024c)1867 4116 y Fy(0)1934 4104 y FA(;)101 b FD(^)-44 b FA(c)2092 4116 y Fy(7)2152 4104 y FD(:=)23 b FA(\024c)2347 4116 y Fy(5)2414 4104 y FA(;)1072 4353 y FD(^)-44 b FA(c)1106 4365 y Fy(9)1167 4353 y FD(:=)22 b FA(\024)1325 4319 y Fy(2)1362 4353 y FA(c)1398 4365 y Fy(7)1465 4353 y FA(;)101 b FD(^)-44 b FA(c)1623 4365 y Fy(10)1716 4353 y FD(:=)23 b(2)p FA(\024)1917 4319 y Fy(2)1954 4353 y FA(c)1990 4365 y Fy(5)2056 4353 y FA(;)101 b FD(^)-44 b FA(c)2214 4365 y Fy(11)2308 4353 y FD(:=)22 b(2)p FA(c)2496 4365 y Fy(6)2563 4353 y FA(;)100 b FD(^)-44 b FA(c)2720 4365 y Fy(12)2814 4353 y FD(:=)22 b(3)p FA(\024)3014 4319 y Fy(5)3051 4353 y FA(c)3087 4365 y Fy(5)3154 4353 y FA(;)1072 4621 y FD(^)-44 b FA(c)1106 4633 y Fy(13)1200 4621 y FD(:=)1320 4565 y(1)p 1320 4602 42 4 v 1320 4678 a(2)1372 4621 y FA(\024)1420 4586 y Fy(9)1457 4621 y FA(c)1493 4633 y Fy(0)1560 4621 y FA(;)100 b FD(^)-44 b FA(c)1717 4633 y Fy(14)1811 4621 y FD(:=)22 b FA(\024)1969 4586 y Fy(3)2007 4621 y FA(c)2043 4633 y Fy(11)2143 4621 y FA(;)100 b FD(^)-44 b FA(c)2300 4633 y Fy(15)2394 4621 y FD(:=)22 b FA(\024c)2588 4633 y Fy(13)2688 4621 y FA(;)101 b FD(^)-44 b FA(c)2846 4633 y Fy(16)2939 4621 y FD(:=)25 b(^)-44 b FA(c)3086 4633 y Fy(15)3186 4621 y FA(;)1072 4870 y FD(^)g FA(c)1106 4882 y Fy(17)1200 4870 y FD(:=)22 b FA(\024)1358 4835 y Fy(2)1395 4870 y FA(c)1431 4882 y Fy(24)1531 4870 y FA(;)101 b FD(^)-44 b FA(c)1689 4882 y Fy(18)1782 4870 y FD(:=)23 b(2)p FA(\024c)2019 4882 y Fy(28)2118 4870 y FA(;)101 b FD(^)-44 b FA(c)2276 4882 y Fy(19)2370 4870 y FD(:=)2490 4814 y FA(c)2526 4826 y Fy(32)p 2490 4851 107 4 v 2501 4927 a FA(\024)2549 4903 y Fy(3)2636 4870 y FA(:)p 287 4942 1493 4 v 349 4996 a Fn(44)414 5020 y FH(The)24 b(constan)n(ts)h Fm(c)902 5032 y Fk(k)964 5020 y FH(and)1117 5003 y(\026)1101 5020 y Fm(B)1154 5029 y Fn(0)1212 5020 y FH(are)f(listed)f(in)h(\(2.163\).)g (Note)h(that)h(^)-36 b Fm(c)2214 5029 y Fn(8)2272 5020 y FH(do)r(es)24 b(not)g(exist.)2111 5492 y FD(55)p eop %%Page: 56 56 56 55 bop 287 -94 a Fh(and)1284 5 y FD(^)-44 b FA(c)1318 17 y Fy(0)1378 5 y FD(:=)122 b(max)1489 60 y Fy(1)p Fx(\024)p Fw(i)p Fx(\024)p Fy(19)p Fw(;i)p Fx(6)p Fy(=8)1888 5 y FD(^)-44 b FA(c)1922 17 y Fw(i)1979 5 y FA(;)101 b FD(~)-44 b FA(c)2137 17 y Fy(0)2197 5 y FD(:=)23 b(max)o Ft(f)p FD(2)2546 -29 y Fy(4)p Fw(\034)2622 5 y FD(\026)-44 b FA(c)2656 17 y Fy(0)2693 5 y FA(;)14 b FD(3)p FA(\024)2820 -29 y Fy(4)2857 5 y FA(c)2893 17 y Fy(6)2930 5 y Ft(g)29 b FA(:)741 b FD(\(2.181\))287 191 y Fh(Then,)31 b(one)f(c)l(an)f(take) 416 412 y FD(^)-44 b FA(c)23 b FD(:=)g(2)14 b(max)n Ft(f)p FA(c)871 424 y Fy(13)941 412 y FA(;)g(c)1014 424 y Fy(23)1084 412 y FA(;)g(c)1157 424 y Fy(24)1228 412 y FA(;)g(c)1301 424 y Fy(25)1371 412 y FA(;)g(c)1444 424 y Fy(26)1514 412 y Ft(g)29 b FA(;)99 b(c)1743 424 y Fx(\003)1804 412 y FD(:=)23 b(max)2083 295 y Fz(\032)2147 412 y FD(~)-44 b FA(c)2181 424 y Fy(0)2219 412 y FA(;)2326 355 y FD(^)g FA(c)2360 367 y Fy(0)p 2265 392 191 4 v 2265 469 a FA(\024)19 b Ft(\000)f FD(1)2466 295 y Fz(\033)2572 412 y FA(;)99 b(c)2730 424 y Fx(\003\003)2825 412 y FD(:=)2946 355 y(4)p 2946 392 42 4 v 2946 469 a(3)2997 412 y FA(c)3033 424 y Fy(25)3122 412 y FD(+)18 b FA(\024c)3289 424 y Fy(2)3344 412 y FD(+)g FA(\024)3475 377 y Fy(2)3512 412 y FA(c)3548 424 y Fy(0)3615 412 y FA(:)127 b FD(\(2.182\))287 637 y FB(Remark)31 b(2.9)40 b FD(\(i\))29 b(The)f(pro)r(of)f(of)h(this) g(lemma)g(is)f(b)n(y)h(induction:)g(\014rst)g(one)f(sho)n(ws)g(that)h (\(2.132\))f(with)h FA(c)3683 649 y Fx(\003)3749 637 y FD(and)g FA(c)3947 649 y Fx(\003\003)287 737 y FD(giv)n(en)h(in)h (\(2.182\))f(imply)h(\(2.134\))p Ft(\004)p FD(\(2.156\))f(with)h FA(i)d FD(=)f(0;)k(b)n(y)g(Lemma)g(2.7)f(it)h(then)h(follo)n(ws)e(that) h(\(2.157\))p Ft(\004)p FD(\(2.162\))287 836 y(hold)c(for)g FA(i)d FD(=)f(0;)k(then)h(one)f(\014xes)h FA(j)h Ft(\025)22 b FD(1)k(and)h(assumes)e(that)i(\(2.134\))p Ft(\004)p FD(\(2.156\))d(hold)j(for)e(0)e Ft(\024)g FA(i)f Ft(\024)h FA(j)e Ft(\000)16 b FD(1)26 b(and)g(pro)n(v)n(es)287 936 y(that,)35 b(thanks)g(to)g(\(2.132\),)f(they)h(hold)g(also)f(for)g FA(i)h FD(=)h FA(j)5 b FD(;)35 b(again,)f(b)n(y)g(Lemma)h(2.7,)f(it)i (will)f(then)h(follo)n(w)e(that)h(also)287 1036 y(\(2.157\))p Ft(\004)p FD(\(2.162\))25 b(hold)j(for)f(an)n(y)g FA(i)22 b FD(=)h FA(j)33 b FD(completing)27 b(the)h(inductiv)n(e)g(argumen)n (t.)287 1159 y(\(ii\))g(As)g(ab)r(o)n(v)n(e,)e(w)n(e)h(shall)g(attac)n (h)g(an)g(index)1717 1171 y Fy(0)1754 1159 y FD(,)1805 1171 y Fw(i)1860 1159 y FD(or)1961 1171 y Fw(j)2024 1159 y FD(to)g(the)h(inequalities)g(\(2.134\))p Ft(\004)p FD(\(2.162\))d(to)i(sp)r(ecify)h(the)g(index)287 1258 y(with)g(whic)n(h)f(suc)n(h)h(inequalities)f(are)g(considered.)287 1381 y(\(iii\))39 b(Note)f(that)g(in)g(the)h(pro)r(of)e(of)h(\(2)p FA(:)p FD(157\))1707 1406 y Fw(i)1772 1381 y FD(for)g FA(k)43 b FD(=1,)37 b(2,)h(3,)g(4,)f(5,)h(6,)g(7,)f(8,)h(0,)f(18)h(and) f(19,)h(the)g(assumptions)287 1481 y(\(2)p FA(:)p FD(134\))540 1506 y Fw(i)568 1481 y Ft(\004)p FD(\(2)p FA(:)p FD(156\))886 1506 y Fw(i)954 1481 y Fo(are)i(not)g(needed)h FD(\(compare)e(also)g (\(iv\),)i(Remark)f(2.8\).)g(In)g(particular,)g(\(2)p FA(:)p FD(157\))3624 1506 y Fy(0)3702 1481 y Fo(with)h(the)287 1581 y(ab)r(o)n(v)n(e)26 b(listed)i FA(k)s Fo('s)f(hold)h(without)g(an) n(y)f(further)g(assumption)p FD(.)287 1704 y(\(iv\))g(In)f(the)h (\014rst)f(part)g(of)g(the)g(follo)n(wing)g(pro)r(of,)f(namely)-7 b(,)27 b(in)f(the)h(pro)r(of)e(of)i(\(2)p FA(:)p FD(134\))2963 1729 y Fy(0)3001 1704 y Ft(\004)p FD(\(2)p FA(:)p FD(156\))3319 1729 y Fy(0)3356 1704 y FD(,)g(there)f(will)g(app)r(ear)287 1803 y(p)r(o)n(w)n(ers)36 b(of)h FA(\024)p FD(,)h(sometimes,)f(in)h (excess:)e(the)i(reason)e(for)h(this)h(will)g(b)r(e)f(plain)h(in)g(the) g(second)e(part)h(of)h(the)g(pro)r(of)287 1903 y(\(compare)26 b(also)h(with,)h(e.g.,)f(fo)r(otnotes)h(45)e(and)i(46)e(b)r(elo)n(w\).) 287 2126 y FB(Pro)s(of)32 b FD(First,)27 b(w)n(e)g(sho)n(w)g(ho)n(w)g (\(2.132\))f(imply)i(\(2)p FA(:)p FD(134\))2045 2151 y Fy(0)2082 2126 y Ft(\004)p FD(\(2)p FA(:)p FD(156\))2400 2151 y Fy(0)2438 2126 y FD(.)287 2272 y Fo(In)g(the)f(follo)n(wing)g (estimates)g(w)n(e)g(shall)g(use)h(p)r(oin)n(t)f(\(iii\))i(of)e(Remark) g(2.9,)g(b)r(esides)g FD(\(2.132\))g Fo(and)g FD(\(2.174\))p Fo(.)f FD(W)-7 b(e)28 b(recall)287 2372 y(also)f(\(iv\))i(and)f(\(v\))g (of)h(Remark)e(2.8)g(and,)h(in)h(particular,)e(\(2.167\),)g(whic)n(h)h (is)g(equiv)-5 b(alen)n(t)28 b(to)g(the)h(\014rst)f(condition)g(in)287 2472 y(\(2.132\).)287 2618 y(\(2)p FA(:)p FD(134\))540 2643 y Fy(0)578 2618 y Ft(\004)p FD(\(2)p FA(:)p FD(137\))896 2643 y Fy(0)961 2618 y FD(are)f(ob)n(vious)f(since)h FA(\024)c(>)g FD(1.)287 2765 y(\(2)p FA(:)p FD(138\))540 2790 y Fy(0)605 2765 y FD(follo)n(ws)k(from)g(the)h(de\014nition)g(of)g FA(\014)1728 2777 y Fy(0)1765 2765 y FD(.)287 2912 y(No)n(w)f(w)n(e)g (pro)n(v)n(e)f(that)2028 2990 y(1)p 1910 3027 277 4 v 1910 3123 a(1)18 b Ft(\000)g FA(\021)2097 3080 y Fy(\(0\))2094 3145 y(0)2220 3046 y Ft(\024)k FA(\024)28 b(:)1359 b FD(\(2.183\))287 3262 y(In)28 b(fact,)f(b)n(y)h(\(2)p FA(:)p FD(157\))946 3287 y Fy(0)1011 3262 y FD(with)g FA(k)e FD(=)d(0,)k(\(2.167\))g(and)g(\(2.174\),)1519 3481 y FA(\021)1563 3437 y Fy(\(0\))1560 3503 y(0)1736 3481 y Ft(\024)82 b FA(c)1919 3493 y Fy(0)1956 3481 y FA(\027)1997 3493 y Fy(0)2035 3481 y FA(\037)2087 3493 y Fy(0)2124 3481 y FA(\026)23 b Ft(\024)g FA(c)2321 3493 y Fy(0)2358 3481 y FA(\027)2399 3493 y Fy(0)2436 3481 y FA(\037)2488 3493 y Fy(0)2635 3424 y FD(1)p 2535 3461 242 4 v 2535 3538 a FA(c)2571 3550 y Fx(\003)2614 3538 y FD(\026)-47 b FA(\027)2650 3550 y Fy(0)2697 3538 y FD(\026)-52 b FA(\037)2739 3550 y Fy(0)1736 3697 y Ft(\024)1894 3640 y FA(c)1930 3652 y Fy(0)p 1893 3677 75 4 v 1893 3754 a FA(c)1929 3766 y Fx(\003)2000 3697 y Ft(\024)2098 3640 y FA(\024)18 b Ft(\000)g FD(1)p 2098 3677 191 4 v 2169 3754 a FA(\024)2326 3697 y(;)1416 b FD(\(2.184\))287 3913 y(where)27 b(the)h(last)f(inequalit)n(y)g(holds)h(since)f(\(b)n(y) h(de\014nition)g(of)f FA(c)2280 3925 y Fx(\003)2318 3913 y FD(\))1671 4127 y FA(c)1707 4139 y Fx(\003)1768 4127 y Ft(\025)1940 4071 y FD(1)p 1865 4108 V 1865 4184 a FA(\024)19 b Ft(\000)f FD(1)2096 4127 y(^)-44 b FA(c)2130 4139 y Fy(6)2190 4127 y FD(:=)2382 4071 y FA(\024)p 2311 4108 V 2311 4184 a(\024)18 b Ft(\000)g FD(1)2511 4127 y FA(c)2547 4139 y Fy(0)2612 4127 y FA(:)287 4338 y FD(Inequalit)n(y)27 b(\(2.184\))f(is)i(equiv)-5 b(alen)n(t)27 b(to)h(\(2.183\).)287 4484 y(\(2)p FA(:)p FD(139\))540 4509 y Fy(0)578 4484 y FD(:)f(b)n(y)h(\(2.183\),)e(\(2)p FA(:)p FD(157\))1302 4509 y 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y(three)d(inequalities:)1454 193 y(2)18 b(+)g FA(\021)1641 150 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1638 215 y(0)p 1403 230 369 4 v 1403 327 a FD(\(1)g Ft(\000)h FA(\021)1623 284 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1620 349 y(0)1702 327 y FD(\))1734 303 y Fy(2)1792 193 y FA(\021)1836 150 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1833 215 y(0)1915 193 y FA(\021)1959 150 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1956 215 y(6)p 1792 230 248 4 v 1894 306 a FA(\032)2072 249 y Ft(\024)2192 193 y FD(1)p 2170 230 86 4 v 2170 306 a FA(\024)2218 282 y Fy(2)2302 193 y FD(\012)2362 163 y Fx(\003)2401 193 y FA(\021)2445 150 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2442 215 y(9)p 2524 126 90 4 v 2524 193 a FA(M)2614 205 y Fw(i)p 2302 230 340 4 v 2432 306 a FA(\032)2475 282 y Fy(2)2679 249 y FA(;)1063 b FD(\(2.188\))1403 502 y(\012)1463 472 y Fx(\003)1501 502 y FA(\021)1545 459 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1542 524 y(9)p 1625 435 90 4 v 1625 502 a FA(M)1715 514 y Fw(i)1742 502 y FA(\021)1786 459 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1783 524 y(5)p 1403 539 463 4 v 1595 615 a FA(\032)1638 591 y 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FD(\(see)g(\(2.101\)\),)g(one)g(\014nds)1903 3714 y FA(\021)1947 3670 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1944 3736 y(8)2050 3714 y FD(=)2161 3657 y FA(\021)2205 3614 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2202 3680 y(0)2285 3657 y FA(\032)p 2148 3695 195 4 v 2148 3772 a(\024B)2263 3748 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2380 3714 y FA(;)287 3930 y FD(so)g(that,)h(for)f FA(i)22 b FD(=)h(0,)k(recalling)g(that)h FA(B)f Ft(\024)22 b FA(\024)1688 3900 y Fy(2)p 1725 3864 63 4 v 1725 3930 a FA(A)q FD(,)1907 4174 y FA(\021)1951 4131 y Fy(\(0\))1948 4196 y(8)2064 4174 y Ft(\025)2161 4118 y FA(\021)2205 4075 y Fy(\(0\))2202 4140 y(0)2295 4118 y FA(\032)p 2161 4155 177 4 v 2176 4238 a(\024)2224 4214 y Fy(3)p 2261 4172 63 4 v 2261 4238 a FA(A)2375 4174 y(;)287 4391 y FD(and)27 b(\(2)p FA(:)p FD(146\))702 4416 y Fy(0)739 4391 y FD(,)h(in)g(view)f(also)g(of)g(the)h(de\014nition)g(of)g FA(\013)g FD(\(in)g(\(2.130\)\),)f(is)g(seen)h(to)f(b)r(e)h(implied)g (b)n(y)3354 4361 y Fy(46)1691 4568 y FA(\024)1739 4538 y Fy(9)p 1691 4605 86 4 v 1713 4681 a FD(2)1814 4624 y FA(\013)p 1895 4558 90 4 v 28 w(M)1985 4571 y Fy(2)2050 4624 y FA(\021)2094 4581 y Fy(\(0\))2091 4646 y(0)2295 4568 y FD(1)p 2221 4605 191 4 v 2221 4681 a FA(\024)18 b Ft(\000)g FD(1)2445 4624 y Ft(\024)k FD(1)27 b FA(:)1141 b FD(\(2.192\))p 287 4705 1493 4 v 349 4759 a Fn(45)436 4783 y FH(The)23 b(b)r(ound)g(\(2.191\))h(holds,)e(in)g(fact,)h(with)f Fm(\024)1676 4759 y Fn(2)1733 4783 y FH(in)g(place)h(of)f Fm(\024)2113 4759 y Fn(6)2147 4783 y FH(.)g(Ho)n(w)n(ev)n(er,)h(later)f (\(in)h(the)g(case)g Fm(i)d(>)f FH(0\))k(the)g(p)r(o)n(w)n(er)g Fm(\024)3601 4759 y Fn(6)3658 4783 y FH(will)e(app)r(ear;)287 4861 y(compare)i(also)h(p)r(oin)n(t)g(\(iv\))g(of)g(Remark)e(2.9.)349 4917 y Fn(46)444 4941 y FH(Here)30 b(w)n(ould)g(b)r(e)h(enough)g(to)g (require)f(the)h(b)r(ound)g(\(2.192\))g(with)f Fm(\024)2323 4917 y Fn(5)2388 4941 y FH(replacing)g Fm(\024)2737 4917 y Fn(9)2771 4941 y FH(;)g(ho)n(w)n(ev)n(er,)h(since)f(later)g(w)n(e)g (shall)g(need)h(the)287 5020 y(stronger)24 b(condition)g(with)g Fm(\024)1073 4996 y Fn(9)1107 5020 y FH(,)g(w)n(e)g(require)f(it)g (already)h(here.)2111 5492 y FD(58)p eop %%Page: 59 59 59 58 bop 287 -91 a FD(But,)28 b(b)n(y)f(de\014nition)h(of)g FA(\021)1098 -134 y Fy(\(0\))1095 -68 y(0)1187 -91 y FD(,)g(b)n(y)f(\(2.167\),)f(the)i(relations)1649 108 y(\026)-47 b FA(\027)1685 120 y Fy(0)1745 108 y Ft(\025)p 1833 41 90 4 v 23 w FA(M)1923 55 y Fy(2)1960 108 y FA(\027)2001 120 y Fy(0)2066 108 y FA(;)190 b FD(\026)-52 b FA(\037)2321 120 y Fy(0)2381 108 y Ft(\025)23 b FA(\013\037)2574 120 y Fy(0)2639 108 y FA(;)1103 b FD(\(2.193\))287 285 y(\(whic)n(h)28 b(follo)n(w)e(b)n(y)i(de\014nition\),)g(the)g(de\014nitions)g(of)h(^) -44 b FA(c)2011 297 y Fy(13)2109 285 y FD(and)28 b(of)f FA(c)2401 297 y Fx(\003)2439 285 y FD(,)h(one)f(\014nds)1210 460 y FA(\024)1258 430 y Fy(9)p 1210 497 86 4 v 1231 573 a FD(2)1332 516 y FA(\013)p 1414 449 90 4 v 29 w(M)1503 463 y Fy(2)1568 516 y FA(\021)1612 473 y Fy(\(0\))1609 538 y(0)1814 460 y FD(1)p 1739 497 191 4 v 1739 573 a FA(\024)18 b Ft(\000)g FD(1)2023 516 y Ft(\024)2180 460 y FA(\024)2228 430 y Fy(9)p 2180 497 86 4 v 2202 573 a FD(2)2303 516 y FA(\013)p 2412 449 90 4 v 56 w(M)2501 463 y Fy(2)2577 460 y FA(c)2613 472 y Fy(0)2650 460 y FA(\027)2691 472 y Fy(0)2728 460 y FA(\037)2780 472 y Fy(0)p 2576 497 242 4 v 2576 573 a FA(c)2612 585 y Fx(\003)2655 573 y FD(\026)-47 b FA(\027)2691 585 y Fy(0)2738 573 y FD(\026)c FA(\037)2781 585 y Fy(0)2940 460 y FD(1)p 2865 497 191 4 v 2865 573 a FA(\024)19 b Ft(\000)f FD(1)2023 746 y Ft(\024)2180 690 y FA(\024)2228 660 y Fy(9)p 2180 727 86 4 v 2202 803 a FD(2)2313 690 y FA(c)2349 702 y Fy(0)p 2313 727 75 4 v 2313 803 a FA(c)2349 815 y Fx(\003)2482 690 y FD(1)p 2407 727 191 4 v 2407 803 a FA(\024)g Ft(\000)g FD(1)2631 746 y(=:)2753 690 y(^)-43 b FA(c)2788 702 y Fy(13)p 2752 727 107 4 v 2768 803 a FA(c)2804 815 y Fx(\003)2980 690 y FD(1)p 2905 727 191 4 v 2905 803 a FA(\024)19 b Ft(\000)f FD(1)2023 902 y Ft(\024)82 b FD(1)28 b FA(;)287 1080 y FD(sho)n(wing)e(the)i(v)-5 b(alidit)n(y)28 b(of)f(\(2.192\))g (and,)g(hence,)h(of)f(\(2)p FA(:)p FD(146\))2206 1104 y Fy(0)2243 1080 y FD(.)287 1227 y(\(2)p FA(:)p FD(147\))540 1252 y Fy(0)578 1227 y FD(:)g(observing)f(that,)i(b)n(y)g(de\014nition) g(of)f FA(\037)1834 1239 y Fy(11)1905 1227 y FD(,)g(the)h(de\014nition) g(of)g FA(\013)g FD(and)f(\(2.193\),)p 1616 1385 63 4 v 1616 1451 a FA(A)q(\037)1731 1463 y Fy(11)1824 1451 y FD(=)p 1912 1385 V 23 w FA(A)1984 1395 y FD(\012)2044 1365 y Fx(\003)p 1984 1432 99 4 v 2011 1508 a FA(\032)2120 1451 y(\037)2172 1463 y Fy(0)2232 1451 y Ft(\024)22 b FA(\013)29 b(\037)2453 1463 y Fy(0)2513 1451 y Ft(\024)j FD(\026)-52 b FA(\037)2652 1463 y Fy(0)287 1673 y FD(one)21 b(sees)f(that)h(\(2)p FA(:)p FD(147\))1020 1698 y Fy(0)1078 1673 y FD(is)g(immediately)h(implied)f(b)n(y)g(the)h(de\014nition)f(of) i(^)-44 b FA(c)2642 1685 y Fy(14)2734 1673 y FD(and)21 b(the)g(de\014nition)h(of)f FA(c)3512 1685 y Fx(\003)3550 1673 y FD(.)g Fo(The)g(b)r(ounds)287 1772 y FD(\(2)p FA(:)p FD(157\))540 1797 y Fy(0)605 1772 y Fo(with)29 b FA(k)c FD(=)e(13)p FA(;)14 b FD(15)26 b Fo(and)h FD(17)g Fo(then)h(follo)n(w)f FD(\(compare)f(\(iv\),)j(Remark)d(2.8\).)287 1920 y(\(2)p FA(:)p FD(148\))540 1945 y Fy(0)578 1920 y FD(:)g(it)g(follo)n(ws)f(from)g(the)i(de\014nitions)f(of)g FA(\037)1860 1932 y Fy(13)1930 1920 y FD(,)i(^)-44 b FA(c)2015 1932 y Fy(15)2111 1920 y FD(and)26 b FA(c)2307 1932 y Fx(\003)2345 1920 y FD(.)g Fo(The)g(b)r(ound)g FD(\(2)p FA(:)p FD(157\))3071 1945 y Fy(0)3134 1920 y Fo(with)g FA(k)g FD(=)d(14)i Fo(then)h(follo)n(ws)287 2019 y FD(\(compare)g(\(iv\),)j(Remark)d(2.8\).)287 2167 y(\(2)p FA(:)p FD(149\))540 2192 y Fy(0)578 2167 y FD(:)h(using)h(\(2)p FA(:)p FD(148\))1099 2192 y Fw(i)1155 2167 y FD(one)f(sees)g(that)h (\(2)p FA(:)p FD(149\))1907 2192 y Fw(i)1963 2167 y FD(is)f(implied)h (b)n(y)1551 2364 y FA(\021)1595 2321 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1592 2386 y(13)p 1551 2401 124 4 v 1592 2477 a FA(\032)1713 2421 y(\024)f(\030)1828 2377 y Fx(\000)p Fy(\()p Fw(\034)7 b Fy(+1\))1824 2432 y Fx(\003)2086 2421 y FA(\014)2133 2433 y Fy(1)2170 2421 y FD(2)2212 2386 y Fy(\()p Fw(\034)g Fy(+1\))p Fw(i)2435 2421 y Ft(\024)23 b FA(\024)18 b Ft(\000)g FD(1)27 b FA(;)287 2637 y FD(whic)n(h,)g(for)g FA(i)c FD(=)g(0,)k(holds)g(b)r(ecause)1441 2775 y FA(\037)1493 2787 y Fy(13)p 1441 2812 123 4 v 1481 2888 a FA(\032)1601 2832 y(\014)1648 2844 y Fy(1)1708 2832 y Ft(\024)33 b FD(\026)-52 b FA(\037)1848 2844 y Fy(0)1913 2832 y FA(;)p 2116 2765 90 4 v 180 w(M)2206 2779 y Fy(2)2243 2832 y FA(M)9 b(\030)2373 2788 y Fx(\000)p Fy(\(2)p Fw(\034)e Fy(+1\))2369 2843 y Fx(\003)2658 2832 y Ft(\024)27 b FD(\026)-46 b FA(\027)2787 2844 y Fy(0)2852 2832 y FA(;)287 3058 y FD(and)31 b(b)r(ecause)h FA(c)800 3070 y Fx(\003)868 3058 y Ft(\025)d FD(\()p FA(\024)21 b Ft(\000)g FD(1\))1223 3028 y Fx(\000)p Fy(1)1314 3058 y FD(^)-44 b FA(c)1348 3070 y Fy(16)1448 3058 y FD(:=)30 b(\()p FA(\024)21 b Ft(\000)g FD(1\))1827 3028 y Fx(\000)p Fy(1)1916 3058 y FA(\024c)2000 3070 y Fy(13)2070 3058 y FD(.)32 b Fo(The)f(b)r(ounds)h FD(\(2)p FA(:)p FD(157\))2846 3083 y Fy(0)2915 3058 y Fo(with)g FD(21)d Ft(\024)g FA(k)k Ft(\024)d FD(27)g Fo(and)i FA(k)h FD(=)c(29)287 3158 y Fo(then)f(follo)n(w)f FD(\(compare)f(\(iv\),)j(Remark)d(2.8\).)287 3305 y(\(2)p FA(:)p FD(150\))540 3330 y Fy(0)578 3305 y FD(:)k(it)h(holds)f(b)r (ecause)g FA(c)1283 3317 y Fx(\003)1349 3305 y Ft(\025)d FD(\()p FA(\024)21 b Ft(\000)f FD(1\))1701 3275 y Fx(\000)p Fy(1)1792 3305 y FD(^)-44 b FA(c)1826 3317 y Fy(17)1924 3305 y FD(:=)27 b(\()p FA(\024)21 b Ft(\000)f FD(1\))2299 3275 y Fx(\000)p Fy(1)2388 3305 y FA(\024)2436 3275 y Fy(2)2473 3305 y FA(c)2509 3317 y Fy(24)2579 3305 y FD(.)30 b Fo(The)h(b)r(ound)g FD(\(2)p FA(:)p FD(157\))3318 3330 y Fy(0)3386 3305 y Fo(with)g FA(k)g FD(=)c(28)j Fo(then)287 3405 y(follo)n(ws)c FD(\(compare)h(\(iv\),)h(Remark)f(2.8\).)287 3552 y(\(2)p FA(:)p FD(151\))540 3577 y Fy(0)578 3552 y FD(,)c(\(2)p FA(:)p FD(152\))877 3577 y Fy(0)937 3552 y FD(and)g(\(2)p FA(:)p FD(153\))1348 3577 y Fy(0)1385 3552 y FD(:)g(\014rst)f(notice)h(that)g(\(2)p FA(:)p FD(151\))2265 3577 y Fw(i)2316 3552 y FD(is)f(implied)i(b)n(y)e(\(2)p FA(:)p FD(152\))3049 3577 y Fw(i)3077 3552 y FD(,)g(whic)n(h,)h(in)g (turn,)g(is)g(implied)287 3652 y(b)n(y)375 3622 y Fy(47)1846 3786 y FA(\021)1890 3743 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1887 3808 y(28)1993 3786 y Ft(\024)2091 3730 y FA(\024)18 b Ft(\000)g FD(1)p 2091 3767 191 4 v 2141 3843 a(2)p FA(\024)p 2319 3719 90 4 v 2319 3786 a(M)36 b(:)1306 b FD(\(2.194\))287 3960 y(Suc)n(h)21 b(relation)e(implies)i(also)f(\(2) p FA(:)p FD(153\))1467 3985 y Fw(i)1494 3960 y FD(.)h Fo(Th)n(us)g FD(\(2.194\))e Fo(implies)i FD(\(2)p FA(:)p FD(151\))2545 3985 y Fw(i)2573 3960 y Fo(,)g FD(\(2)p FA(:)p FD(152\))2870 3985 y Fw(i)2919 3960 y Fo(and)f FD(\(2)p FA(:)p FD(153\))3327 3985 y Fw(i)3355 3960 y Fo(.)h FD(F)-7 b(or)20 b FA(i)i FD(=)h(0,)d(\(2.194\))287 4060 y(is)k(immediately)h(seen)f(to)g(hold)g(since)h FA(c)1530 4072 y Fx(\003)1591 4060 y Ft(\025)d FD(\()p FA(\024)12 b Ft(\000)g FD(1\))1921 4030 y Fx(\000)p Fy(1)2012 4060 y FD(^)-44 b FA(c)2046 4072 y Fy(18)2140 4060 y FD(:=)22 b(\()p FA(\024)12 b Ft(\000)g FD(1\))2493 4030 y Fx(\000)p Fy(1)2582 4060 y FD(2)p FA(\024c)2708 4072 y Fy(28)2778 4060 y FD(.)24 b Fo(The)h(b)r(ounds)f FD(\(2)p FA(:)p FD(157\))3532 4085 y Fy(0)3594 4060 y Fo(with)h FA(k)g FD(=)e(30)287 4159 y Fo(and)k FD(31)g Fo(then)h(follo)n(w)f FD(\(compare)f(\(iv\),)j(Remark)d(2.8\).)287 4307 y(\(2)p FA(:)p FD(154\))540 4332 y Fy(0)578 4307 y FD(:)h(using)h(the)g(b)r (ounds)f(\(2)p FA(:)p FD(157\))1531 4332 y Fy(0)1596 4307 y FD(with)h FA(k)e FD(=)d(30)j(and)i(31,)f(the)h(de\014nitions)f (of)h FA(c)3023 4319 y Fy(32)3093 4307 y FD(,)g FA(\027)3185 4319 y Fy(32)3283 4307 y FD(and)f FA(\037)3496 4319 y Fy(32)3567 4307 y FD(,)g(one)h(\014nds)p 1136 4469 63 4 v 1136 4536 a FA(A)1199 4424 y Fz(q)p 1282 4424 940 4 v 112 x FD(\()p FA(\021)1358 4493 y Fy(\(0\))1355 4558 y(30)1447 4536 y FD(\))1479 4512 y Fy(2)1535 4536 y FD(+)18 b(\()p FA(\021)1694 4493 y Fy(\(0\))1691 4558 y(31)1784 4536 y FD(\))1816 4512 y Fy(2)1872 4536 y FD(+)g FA(\021)1999 4493 y Fy(\(0\))1996 4558 y(30)2088 4536 y FA(\021)2132 4493 y Fy(\(0\))2129 4558 y(31)2245 4536 y Ft(\024)2342 4480 y FA(c)2378 4492 y Fy(32)p 2342 4517 107 4 v 2353 4593 a FA(\024)2401 4569 y Fy(3)2486 4536 y FA(\027)2527 4548 y Fy(32)2635 4480 y FA(\037)2687 4492 y Fy(32)p 2635 4517 123 4 v 2665 4533 63 4 v 2665 4600 a FA(A)2767 4536 y(\026)23 b Ft(\024)g FA(\024)18 b Ft(\000)g FD(1)28 b FA(;)287 4742 y FD(since)1607 4841 y FA(\027)1648 4853 y Fy(32)1741 4841 y Ft(\024)f FD(\026)-46 b FA(\027)1870 4853 y Fy(0)1935 4841 y FA(;)180 b(\013\014)2238 4853 y Fy(0)2275 4841 y FA(\014)2322 4853 y Fy(1)2359 4841 y FA(\037)2411 4853 y Fy(0)2472 4841 y Ft(\024)32 b FD(\026)-52 b FA(\037)2611 4853 y Fy(0)2676 4841 y FA(;)p 287 4892 1493 4 v 349 4980 a Fn(47)497 4957 y FH(1)p 494 4988 41 4 v 494 5053 a Fm(\024)561 5003 y FH(+)641 4957 y Fm(\024)16 b Fl(\000)f FH(1)p 641 4988 163 4 v 667 5053 a(4)p Fm(\024)743 5034 y Fn(2)833 5003 y Fm(<)k FH(1.)2111 5492 y FD(59)p eop %%Page: 60 60 60 59 bop 287 -94 a FD(and)27 b FA(c)484 -82 y Fx(\003)545 -94 y Ft(\025)c FD(\()p FA(\024)c Ft(\000)f FD(1\))r(^)-44 b FA(c)925 -82 y Fy(19)1018 -94 y FD(=)22 b(\()p FA(\024)d Ft(\000)f FD(1\))1361 -124 y Fx(\000)p Fy(1)1478 -94 y FA(c)1514 -82 y Fy(32)1584 -94 y FA(=\024)1674 -124 y Fy(3)1710 -94 y FD(.)287 5 y Fo(The)27 b(b)r(ound)h FD(\(2)p FA(:)p FD(157\))967 30 y Fy(0)1032 5 y Fo(with)g FA(k)e FD(=)d(32)j Fo(then)i(follo)n(ws)f FD(\(compare)g(\(iv\),)h (Remark)f(2.8\).)287 151 y(\(2)p FA(:)p FD(155\))540 176 y Fy(0)578 151 y FD(:)g(the)h(condition)g(\(2)p FA(:)p FD(155\))e(is)i(equiv)-5 b(alen)n(t)27 b(to)1635 292 y FA(c)1671 304 y Fy(23)p 1635 329 107 4 v 1668 405 a FD(2)1779 349 y FA(\030)1819 314 y Fx(\000)p Fy(1)1815 369 y Fx(\003)1909 349 y FA(\027)1950 361 y Fy(23)2048 349 y FA(\037)2100 361 y Fy(23)2197 349 y FD(2)2239 314 y Fw(i)2267 349 y FA(B)2334 314 y Fw(i)2330 369 y Fy(23)2400 349 y FA(\026)2450 361 y Fw(i)2501 349 y Ft(\024)22 b FD(1)27 b FA(;)287 554 y FD(whic)n(h,)g(for)g FA(i)c FD(=)g(0,)k(is)h(satis\014ed)f(since)1485 524 y Fy(48)1582 554 y FA(c)1618 566 y Fx(\003)1680 554 y Ft(\025)22 b FA(c)1803 566 y Fy(23)1873 554 y FD(.)287 699 y(\(2)p FA(:)p FD(156\))540 724 y Fy(0)578 699 y FD(:)j(b)n(y)f(\(2)p FA(:)p FD(157\))992 724 y Fy(0)1053 699 y FD(with)i FA(k)g FD(=)c(25,)i(the)h(de\014nition)g(of)g FA(\027)2166 711 y Fy(25)2236 699 y FD(,)g FA(\037)2336 711 y Fy(25)2406 699 y FD(,)g FA(\037)2506 711 y Fy(0)2543 699 y FD(,)g FA(c)2627 711 y Fx(\003\003)2724 699 y FD(and)f(the)h(second)f (condition)g(in)h(\(2.132\),)287 799 y(w)n(e)i(\014nd)1143 971 y(sup)1169 1050 y Fd(T)1214 1030 y Fq(d)1214 1072 y(\030)1282 971 y Ft(j)p FA(v)22 b Ft(\000)c FA(y)1491 983 y Fy(0)1528 971 y Ft(j)1551 983 y Fx(1)1640 971 y FD(+)g FA(\021)1767 928 y Fy(\(0\))1764 994 y(25)1939 971 y Ft(\024)86 b FD(^)-45 b FA(r)21 b FD(+)d FA(c)2264 983 y Fy(25)2334 971 y FA(\027)2375 983 y Fy(25)2445 971 y FA(\037)2497 983 y Fy(25)2568 971 y FA(\026)1939 1212 y Ft(\024)86 b FD(^)-45 b FA(r)21 b FD(+)d FA(c)2264 1224 y Fy(25)p 2334 1145 90 4 v 2334 1212 a FA(M)2424 1159 y Fy(5)2461 1212 y FA(M)2551 1178 y Fy(2)2615 1212 y FA(\030)2655 1178 y Fx(\000)p Fy(2)p Fw(\034)2651 1233 y Fx(\003)2782 1212 y FA(\013\032)28 b(\014)2957 1178 y Fy(2)2953 1233 y(0)2995 1212 y FA(\014)3046 1178 y Fy(2)3042 1233 y(1)3111 1212 y FA(\026)1939 1356 y Ft(\024)86 b FD(^)-45 b FA(r)21 b FD(+)d FA(c)2264 1368 y Fx(\003\003)p 2336 1289 V 2336 1356 a FA(M)2425 1303 y Fy(5)2463 1356 y FA(M)2553 1322 y Fy(2)2617 1356 y FA(\030)2657 1322 y Fx(\000)p Fy(2)p Fw(\034)2653 1377 y Fx(\003)2784 1356 y FA(\013\032)28 b(\014)2959 1322 y Fy(2)2955 1377 y(0)2996 1356 y FA(\014)3047 1322 y Fy(2)3043 1377 y(1)3113 1356 y FA(\026)1939 1481 y Ft(\024)86 b FD(^)-45 b FA(r)21 b FD(+)d FA(r)j Ft(\000)h FD(^)-46 b FA(r)26 b FD(=)c FA(r)31 b(:)287 1653 y FD(This)c(\014nishes)h(the)g(pro)r(of)f(of)g (\(2)p FA(:)p FD(134\))1476 1678 y Fy(0)1532 1653 y Ft(\004)19 b FD(\(2)p FA(:)p FD(156\))1869 1678 y Fy(0)1906 1653 y FD(.)27 b(Th)n(us,)h(b)n(y)f(Lemma)h(2.7,)e(\(2)p FA(:)p FD(158\))3012 1678 y Fy(0)3068 1653 y Ft(\004)19 b FD(\(2)p FA(:)p FD(162\))3404 1678 y Fy(0)3469 1653 y FD(follo)n(w.)287 1798 y Fo(Fix,)35 b(no)n(w,)g FA(j)41 b Ft(\025)36 b FD(1)f Fo(and)g(assume,)g(b)n(y)g(induction,)h(that)f FD(\(2)p FA(:)p FD(134\))2374 1823 y Fw(i)2425 1798 y Ft(\004)25 b FD(\(2)p FA(:)p FD(156\))2767 1823 y Fw(i)2830 1798 y Fo(hold)36 b(for)f(an)n(y)f FD(0)i Ft(\024)f FA(i)h Ft(\024)g FA(j)28 b Ft(\000)23 b FD(1)p Fo(.)35 b FD(By)287 1898 y(Lemma)24 b(2.7,)g(\(2)p FA(:)p FD(157\))988 1923 y Fw(i)1028 1898 y Ft(\004)13 b FD(\(2)p FA(:)p FD(162\))1359 1923 y Fw(i)1412 1898 y FD(hold)24 b(for)h(an)n(y)f(0)e Ft(\024)h FA(i)f Ft(\024)h FA(j)18 b Ft(\000)13 b FD(1.)23 b(If)j(w)n(e)e(sho)n(w)g(that)h(\(2)p FA(:)p FD(134\))3214 1923 y Fw(j)3262 1898 y Ft(\004)13 b FD(\(2)p FA(:)p FD(156\))3593 1923 y Fw(j)3653 1898 y FD(hold,)25 b(then)287 1998 y(\(again)h(b)n(y)i(Lemma)f(2.7\))g(the)h(pro)r(of)f(of)h(Lemma)f (2.8)g(will)h(b)r(e)g(complete.)287 2143 y(\(2)p FA(:)p FD(134\))540 2168 y Fw(j)575 2143 y FD(:)g(w)n(e)f(shall)h(use)f(the)h (follo)n(wing)f(elemen)n(tary)f(inequalit)n(y)1167 2370 y(\(1)18 b Ft(\000)g FA(x)p FD(\))24 b Ft(\025)e FD(exp\()p Ft(\000)p FA(tx)p FD(\))28 b FA(;)180 b Ft(8)27 b FA(t)c(>)g FD(1)k FA(;)97 b Ft(8)27 b FD(0)22 b Ft(\024)h FA(x)g Ft(\024)g FD(1)18 b Ft(\000)3037 2314 y FD(1)p 3037 2351 42 4 v 3043 2427 a FA(t)3116 2370 y(:)287 2595 y FD(Th)n(us,)30 b(in)g(view)g(of)g(\(2)p FA(:)p FD(148\))1167 2619 y Fw(i)1225 2595 y FD(\(whic)n(h)g(implies)h(that)f FA(\021)2008 2551 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2005 2617 y(13)2088 2595 y FA(=\032)d Ft(\024)g FD(1)19 b Ft(\000)h FD(1)p FA(=\024)p FD(\))30 b(and)g(in)g(view)g(of)g(the)h(de\014nition)f(of)h FA(\015)3844 2607 y Fw(i)3871 2595 y FD(,)g(w)n(e)287 2694 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(inductiv)n(e)f(assumption\))g(and)g(b)n(y)g(\(2.167\),)g(w)n(e)287 4328 y(get)1315 4523 y FA(\024)1363 4493 y Fy(2)p 1262 4560 V 1262 4636 a FA(\024)18 b Ft(\000)g FD(1)1473 4523 y(1)p 1472 4560 43 4 v 1472 4636 a FA(\032)1541 4472 y Fw(j)s Fx(\000)p Fy(1)1539 4501 y Fz(X)1545 4677 y Fw(i)p Fy(=0)1673 4579 y FA(\021)1717 4536 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1714 4602 y(13)1880 4579 y Ft(\024)2090 4523 y FA(\024)2138 4493 y Fy(2)p 2037 4560 191 4 v 2037 4636 a FA(\024)h Ft(\000)f FD(1)2238 4579 y FA(c)2274 4591 y Fy(13)2344 4579 y FA(\027)2385 4591 y Fy(13)2456 4579 y FA(\037)2508 4591 y Fy(0)2561 4472 y Fw(j)s Fx(\000)p Fy(1)2559 4501 y Fz(X)2565 4677 y Fw(i)p Fy(=0)2692 4579 y FA(\026)2742 4591 y Fw(i)p 287 4701 1493 4 v 349 4755 a Fn(48)437 4779 y FH(In)25 b(fact,)e(b)n(y)h(\(2.182\),)h(\(2.181\))g (and)f(the)h(de\014nitions)f(in)g(\(2.163\))h(one)f(sees)g(that)h (\(recall)f(that)h Fm(\034)i Fl(\025)20 b FH(1\))1497 4899 y Fm(c)1528 4907 y Fi(\003)1583 4899 y Fl(\025)h FH(~)-37 b Fm(c)1688 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FA(c)2029 4270 y Fw(k)2070 4258 y FA(=)p FD(\()p FA(\024)18 b Ft(\000)g FD(1\))27 b(and)j(^)-44 b FA(c)2592 4270 y Fy(3)2652 4258 y FD(:=)23 b(2)p FA(c)2841 4270 y Fy(28)2910 4258 y FD(,)30 b(^)-44 b FA(c)2997 4270 y Fy(4)3057 4258 y FD(:=)23 b(2)p FA(c)3246 4270 y Fy(32)3316 4258 y FD(,)29 b(^)-43 b FA(c)3403 4270 y Fy(5)3463 4258 y FD(:=)23 b(2)p FA(c)3652 4270 y Fy(26)3721 4258 y FD(.)287 4405 y(In)28 b(exactly)f(the)h(same)f(w)n (a)n(y)f(w)n(e)h(pro)n(v)n(ed)f(\(2.183\),)h(one)g(sees)g(that,)h (since)f FA(c)2654 4417 y Fx(\003)2715 4405 y Ft(\025)e FD(^)-44 b FA(c)2839 4417 y Fy(6)2876 4405 y FA(=)p FD(\()p FA(\024)18 b Ft(\000)g FD(1\),)1786 4567 y(1)p 1674 4604 267 4 v 1674 4700 a(1)g Ft(\000)g FA(\021)1861 4657 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1858 4723 y(0)1973 4623 y Ft(\024)23 b FA(\024)28 b(;)179 b Ft(8)27 b FA(i)c Ft(\024)g FA(j)32 b(:)1123 b FD(\(2.197\))287 4920 y(\(2)p FA(:)p FD(139\))540 4945 y Fw(j)575 4920 y FD(:)29 b(in)f(view)g(of)g(\(2.197\),)f(one)h (sees)g(that)g(the)h(argumen)n(t)e(used)h(to)g(c)n(hec)n(k)g(\(2)p FA(:)p FD(139\))3103 4945 y Fy(0)3169 4920 y FD(extends)g(immediately)g (to)287 5020 y FA(j)g(>)22 b FD(0.)2111 5492 y(61)p eop %%Page: 62 62 62 61 bop 287 -94 a FD(\(2)p FA(:)p FD(140\))540 -69 y Fw(j)575 -94 y FD(:)38 b(b)n(y)g(\(2)p FA(:)p FD(135\))1016 -69 y Fw(j)1088 -94 y FD(\(whic)n(h)g(has)g(b)r(een)g(already)e(pro)n (v)n(ed\),)h(b)n(y)g(\(2)p FA(:)p FD(139\))2751 -69 y Fw(j)2786 -94 y FD(,)h(b)n(y)f(de\014nition)h(of)k(^)-46 b FA(r)40 b FD(\(see)e(\(2.127\)\),)287 5 y(\(2)p FA(:)p FD(157\))540 30 y Fw(i)597 5 y FD(with)29 b FA(k)f FD(=)d(25)p FA(;)14 b FD(2)p FA(;)g FD(0)27 b(and)h FA(i)d Ft(\024)g FA(j)f Ft(\000)19 b FD(1,)28 b(\(2.173\))g(\(whic)n(h,)h(b)n(y)f(the)i (inductiv)n(e)f(assumptions)f(and)g(Lemma)h(2.7,)287 105 y(holds)e(for)g FA(i)c Ft(\024)f FA(j)5 b FD(\),)28 b(the)g(de\014nition)g(of)g FA(c)1535 117 y Fx(\003\003)1635 105 y FD(and)f(the)h(second)f(condition)g(in)h(\(2.132\),)f(w)n(e)g (\014nd)1053 347 y Ft(j)p FA(v)1119 312 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))1206 347 y FD(\(0\))19 b Ft(\000)f FA(y)1455 359 y Fy(0)1492 347 y Ft(j)1515 359 y Fx(1)1604 347 y FD(+)p 1687 280 90 4 v 18 w FA(M)1776 359 y Fw(j)1811 254 y Fz(\020)1861 347 y FA(\021)1905 303 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))1902 369 y(2)2010 347 y FD(+)g FA(\032\021)2180 303 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))2177 369 y(0)2286 347 y FD(+)2385 290 y FA(\021)2429 247 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))2426 313 y(0)2516 290 y FA(\021)2560 247 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))2557 313 y(5)p 2379 327 275 4 v 2379 424 a FD(1)g Ft(\000)g FA(\021)2566 381 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))2563 446 y(0)2663 254 y Fz(\021)1385 634 y Ft(\024)23 b(j)p FA(v)s FD(\(0\))c Ft(\000)f FA(y)1788 646 y Fy(0)1825 634 y Ft(j)1848 646 y Fx(1)1936 634 y FD(+)2022 526 y Fw(j)s Fx(\000)p Fy(1)2019 555 y Fz(X)2026 732 y Fw(i)p Fy(=0)2153 634 y Ft(j)p FA(w)2237 600 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2317 634 y FD(\(0\))p Ft(j)h FD(+)f FA(\024)p 2596 567 90 4 v(M)2686 542 y Fz(\020)2735 634 y FA(\021)2779 591 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))2776 656 y(2)2885 634 y FD(+)g FA(\024\032\021)3103 591 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))3100 656 y(0)3189 542 y Fz(\021)1385 928 y Ft(\024)27 b FD(^)-46 b FA(r)21 b FD(+)1616 820 y Fw(j)s Fx(\000)p Fy(1)1614 849 y Fz(X)1620 1026 y Fw(i)p Fy(=0)1748 928 y FA(\021)1792 885 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1789 950 y(25)1890 928 y FD(+)d FA(\024)p 2021 861 V(M)2110 836 y Fz(\020)2160 928 y FA(\021)2204 885 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))2201 950 y(2)2310 928 y FD(+)g FA(\024\032\021)2528 885 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))2525 950 y(0)2614 836 y Fz(\021)1385 1222 y Ft(\024)27 b FD(^)-46 b FA(r)21 b FD(+)d FA(c)1650 1234 y Fy(25)1720 1222 y FA(\027)1761 1234 y Fy(25)1832 1222 y FA(\037)1884 1234 y Fy(25)1970 1114 y Fw(j)s Fx(\000)p Fy(1)1968 1143 y Fz(X)1974 1320 y Fw(i)p Fy(=0)2102 1222 y FA(B)2169 1188 y Fw(i)2165 1242 y Fy(25)2235 1222 y FA(\026)2285 1234 y Fw(i)2331 1222 y FD(+)g FA(\024)p 2462 1155 V(M)2551 1130 y Fz(\020)2601 1222 y FA(c)2637 1234 y Fy(2)2674 1222 y FA(\027)2715 1234 y Fy(2)2752 1222 y FA(\037)2804 1234 y Fy(2)2860 1222 y FD(+)g FA(\024\032c)3070 1234 y Fy(0)3107 1222 y FA(\027)3148 1234 y Fy(0)3185 1222 y FA(\037)3237 1234 y Fy(0)3274 1130 y Fz(\021)3324 1222 y FA(\026)3374 1234 y Fw(j)1385 1516 y Ft(\024)27 b FD(^)-46 b FA(r)21 b FD(+)1614 1424 y Fz(\020)1664 1516 y FA(c)1700 1528 y Fy(25)1770 1516 y FA(\027)1811 1528 y Fy(25)1891 1460 y FA(\037)1943 1472 y Fy(25)p 1891 1497 123 4 v 1931 1573 a FA(\032)2039 1408 y Fw(j)s Fx(\000)p Fy(1)2037 1437 y Fz(X)2043 1614 y Fw(i)p Fy(=0)2195 1460 y FD(1)p 2181 1497 70 4 v 2181 1573 a(4)2223 1549 y Fw(i)2279 1516 y FD(+)d FA(\024c)2446 1528 y Fy(2)p 2483 1449 90 4 v 2483 1516 a FA(M)8 b(\027)2613 1528 y Fy(2)2660 1460 y FA(\037)2712 1472 y Fy(2)p 2660 1497 V 2684 1573 a FA(\032)2778 1516 y FD(+)18 b FA(\024)2909 1481 y Fy(2)2946 1516 y FA(c)2982 1528 y Fy(0)p 3019 1449 V 3019 1516 a FA(M)9 b(\027)3150 1528 y Fy(0)3187 1516 y FA(\037)3239 1528 y Fy(0)3276 1424 y Fz(\021)3326 1516 y FA(\032\026)1385 1765 y Ft(\024)27 b FD(^)-46 b FA(r)21 b FD(+)1614 1673 y Fz(\020)1674 1709 y FD(4)p 1674 1746 42 4 v 1674 1822 a(3)1725 1765 y FA(c)1761 1777 y Fy(25)1850 1765 y FD(+)d FA(\024c)2017 1777 y Fy(2)2072 1765 y FD(+)g FA(\024)2203 1731 y Fy(2)2240 1765 y FA(c)2276 1777 y Fy(0)2314 1673 y Fz(\021)2391 1765 y FA(\027)2432 1777 y Fy(25)2502 1765 y FA(\037)2554 1777 y Fy(25)2652 1765 y FA(\026)1385 1951 y Ft(\024)27 b FD(^)-46 b FA(r)21 b FD(+)d FA(\032)1657 1858 y Fz(\020)1707 1951 y FA(c)1743 1963 y Fx(\003\003)p 1842 1884 90 4 v 1842 1951 a FA(M)1932 1898 y Fy(5)1969 1951 y FA(M)2059 1916 y Fy(2)2124 1951 y FA(\030)2164 1916 y Fx(\000)p Fy(2)p Fw(\034)2160 1971 y Fx(\003)2318 1951 y FA(\013\014)2422 1916 y Fy(2)2418 1971 y(0)2460 1951 y FA(\014)2511 1916 y Fy(2)2507 1971 y(1)2576 1858 y Fz(\021)2653 1951 y FA(\026)1385 2100 y Ft(\024)27 b FD(^)-46 b FA(r)21 b FD(+)d(\()p FA(r)k Ft(\000)f FD(^)-45 b FA(r)r FD(\))24 b(=)e FA(r)31 b(:)287 2314 y FD(Using)e(\(2.173\))f(\(and)h(pla)n(ying) f(some)h(atten)n(tion)g(to)g(the)g(use)g(of)g(the)h(inductiv)n(e)f (assumptions)f(together)h(with)g(their)287 2413 y(consequences\),)g (one)h(c)n(hec)n(ks)f(easily)h(that)g Fo(the)h(argumen)n(t)e(used)h(to) g(deriv)n(e)g FD(\(2)p FA(:)p FD(141\))2991 2438 y Fy(0)3049 2413 y Ft(\004)21 b FD(\(2)p FA(:)p FD(155\))3387 2438 y Fy(0)3455 2413 y Fo(ma)n(y)29 b(b)r(e)i(used)f(to)287 2513 y(deriv)n(e)d(also)f FD(\(2)p FA(:)p FD(141\))952 2538 y Fw(j)1005 2513 y Ft(\004)19 b FD(\(2)p FA(:)p FD(155\))1342 2538 y Fw(j)1377 2513 y FD(;)28 b(the)g(pro)r(of)f(of)g (\(2)p FA(:)p FD(156\))2136 2538 y Fw(j)2198 2513 y FD(is)h(analogous)d (to)j(that)g(of)f(\(2)p FA(:)p FD(140\))3295 2538 y Fw(j)3330 2513 y FD(.)287 2702 y(Finally)-7 b(,)30 b(w)n(e)f(pro)n(v)n(e)f (\(2.133\).)h(F)-7 b(rom)29 b(the)h(de\014nitions)g(giv)n(en)f (\(compare,)g(in)h(particular,)f(\(2.182\)\),)g(one)g(sees)g(imme-)287 2801 y(diately)f(that)714 2771 y Fy(49)815 2801 y FD(^)-44 b FA(c)24 b(<)g(c)998 2813 y Fx(\003)1036 2801 y FD(.)29 b(F)-7 b(urthermore,)27 b(recalling)g Ft(x)h FD(2.4,)g(from)g(what)g(w) n(e)g(ha)n(v)n(e)f(pro)n(v)n(ed)g(un)n(til)i(no)n(w)f(\(in)g (particular,)287 2901 y(that,)g(thanks)f(to)h(\(2.132\),)e(the)i(KAM)g (map)f(is)h(w)n(ell)f(de\014ned)h(for)f(all)g FA(i)c Ft(\025)f FD(0\))28 b(w)n(e)f(ha)n(v)n(e)g(that)1308 3137 y Ft(k)5 b FD(~)-47 b FA(u)18 b Ft(\000)g FA(u)p Ft(k)1589 3149 y Fw(\030)1619 3157 y Fr(1)1706 3137 y Ft(\024)1820 3033 y Fx(1)1793 3058 y Fz(X)1800 3235 y Fw(i)p Fy(=0)1927 3137 y FA(\021)1971 3094 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1968 3159 y(23)2079 3137 y FA(;)179 b Ft(k)5 b FD(~)-47 b FA(u)2371 3149 y Fw(\022)2426 3137 y Ft(\000)19 b FA(u)2558 3149 y Fw(\022)2595 3137 y Ft(k)2637 3149 y Fw(\030)2667 3157 y Fr(1)2754 3137 y Ft(\024)2869 3033 y Fx(1)2842 3058 y Fz(X)2848 3235 y Fw(i)p Fy(=0)2976 3137 y FA(\021)3020 3094 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))3017 3159 y(24)3127 3137 y FA(;)1308 3413 y Ft(k)s FD(~)-45 b FA(v)21 b Ft(\000)d FA(v)s Ft(k)1579 3425 y Fw(\030)1609 3433 y Fr(1)1697 3413 y Ft(\024)1812 3310 y Fx(1)1785 3334 y Fz(X)1791 3511 y Fw(i)p Fy(=0)1918 3413 y FA(\021)1962 3370 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1959 3435 y(25)2070 3413 y FA(;)180 b Ft(k)s FD(~)-45 b FA(v)2355 3425 y Fw(\022)2411 3413 y Ft(\000)18 b FA(v)2534 3425 y Fw(\022)2571 3413 y Ft(k)2613 3425 y Fw(\030)2643 3433 y Fr(1)2731 3413 y Ft(\024)2846 3310 y Fx(1)2819 3334 y Fz(X)2825 3511 y Fw(i)p Fy(=0)2952 3413 y FA(\021)2996 3370 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2993 3435 y(26)3104 3413 y FD(;)638 b(\(2.198\))287 3655 y(and,)27 b(since)1703 3825 y(~)-44 b FA(a)23 b FD(:=)1879 3683 y Fz(")1948 3721 y Fx(1)1928 3746 y Fz(Y)1927 3923 y Fw(i)p Fy(=0)2049 3733 y Fz(\020)2098 3825 y FD(1)18 b(+)g FA(a)2285 3837 y Fw(i)2313 3733 y Fz(\021)2362 3683 y(#)2429 3825 y Ft(\000)g FD(1)28 b FA(;)287 4039 y FD(w)n(e)f(ha)n(v)n(e)f(also)h(that)1655 4184 y Ft(j)q FD(~)-43 b FA(a)p Ft(j)23 b(\024)g FD(exp)1996 4092 y Fz(\020)2057 4128 y FD(1)p 2056 4165 43 4 v 2056 4241 a FA(\032)2177 4081 y Fx(1)2150 4106 y Fz(X)2156 4282 y Fw(i)p Fy(=0)2284 4184 y FA(\021)2328 4141 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2325 4207 y(13)2408 4092 y Fz(\021)2476 4184 y Ft(\000)18 b FD(1)27 b FA(;)1114 b FD(\(2.199\))287 4403 y(F)-7 b(rom)27 b(\(2.198\),)f(\(2.157\))h(\(with)h FA(k)e FD(=)h(23,)g(24,)g(25,)g(26\),)g(the)h(de\014nition)g(of)h(^)-44 b FA(c)p FD(,)28 b(\(2.173\),)e(w)n(e)h(\014nd)h(that)1013 4597 y(max)1182 4505 y Fz(n)1237 4597 y Ft(k)5 b FD(~)-47 b FA(u)18 b Ft(\000)g FA(u)p Ft(k)1518 4609 y Fw(\030)1548 4617 y Fr(1)1639 4597 y FA(;)42 b Ft(k)5 b FD(~)-47 b FA(u)1794 4609 y Fw(\022)1849 4597 y Ft(\000)18 b FA(u)1980 4609 y Fw(\022)2017 4597 y Ft(k)2059 4609 y Fw(\030)2089 4617 y Fr(1)2181 4597 y FA(;)42 b(\032)2289 4563 y Fx(\000)p Fy(1)2378 4597 y Ft(k)s FD(~)-45 b FA(v)21 b Ft(\000)d FA(v)s Ft(k)2649 4609 y Fw(\030)2679 4617 y Fr(1)2771 4597 y FA(;)42 b(\032)2879 4563 y Fx(\000)p Fy(1)2968 4597 y Ft(k)s FD(~)-45 b FA(v)3050 4609 y Fw(\022)3106 4597 y Ft(\000)18 b FA(v)3229 4609 y Fw(\022)3267 4597 y Ft(k)3309 4609 y Fw(\030)3339 4617 y Fr(1)3403 4505 y Fz(o)1179 4822 y Ft(\024)1282 4765 y FD(^)-44 b FA(c)p 1277 4802 42 4 v 1277 4878 a FD(2)p 1356 4755 90 4 v 1356 4822 a FA(M)1446 4769 y Fy(5)1483 4822 y FA(M)1573 4787 y Fy(2)1610 4822 y FA(\030)1650 4778 y Fx(\000)p Fy(\(2)p Fw(\034)7 b Fy(+1\))1646 4833 y Fx(\003)1912 4822 y FA(\013\014)2016 4787 y Fy(2)2012 4842 y(0)2054 4822 y FA(\014)2105 4787 y Fy(2)2101 4842 y(1)2198 4822 y FA(\026)2317 4718 y Fx(1)2290 4743 y Fz(X)2296 4920 y Fw(i)p Fy(=0)2424 4729 y Fz(\020)2483 4765 y FD(2)2525 4735 y Fy(2)p Fw(\034)g Fy(+1)p 2483 4802 201 4 v 2553 4860 a FD(\026)2533 4881 y FA(B)2596 4893 y Fy(0)2693 4729 y Fz(\021)2743 4747 y Fw(i)p 287 4942 1493 4 v 349 4996 a Fn(49)414 5020 y FH(The)24 b(argumen)n(t)g(is)f(similar)d(to)25 b(that)f(used)h(in)e(the)h(fo)r(otnote)i(48.)2111 5492 y FD(62)p eop %%Page: 63 63 63 62 bop 1179 -40 a Ft(\024)1282 -96 y FD(^)-44 b FA(c)p 1277 -59 42 4 v 1277 17 a FD(2)p 1356 -107 90 4 v 1356 -40 a FA(M)1446 -93 y Fy(5)1483 -40 y FA(M)1573 -74 y Fy(2)1610 -40 y FA(\030)1650 -83 y Fx(\000)p Fy(\(2)p Fw(\034)7 b Fy(+1\))1646 -28 y Fx(\003)1912 -40 y FA(\013\014)2016 -74 y Fy(2)2012 -20 y(0)2054 -40 y FA(\014)2105 -74 y Fy(2)2101 -20 y(1)2198 -40 y FA(\026)2317 -144 y Fx(1)2290 -119 y Fz(X)2296 58 y Fw(i)p Fy(=0)2447 -96 y FD(1)p 2434 -59 70 4 v 2434 17 a(2)2476 -7 y Fw(i)1179 195 y FD(=)1267 103 y Fz(\020)1318 195 y FD(^)-43 b FA(c)p 1380 128 90 4 v 27 w(M)1470 142 y Fy(5)1507 195 y FA(M)1597 160 y Fy(2)1634 195 y FA(\030)1674 152 y Fx(\000)p Fy(\(2)p Fw(\034)7 b Fy(+1\))1670 206 y Fx(\003)1964 195 y FA(\013\014)2068 160 y Fy(2)2064 215 y(0)2106 195 y FA(\014)2157 160 y Fy(2)2153 215 y(1)2195 103 y Fz(\021)2272 195 y FA(\026)28 b(:)287 402 y FD(Next,)g(observ)n(e)e(that)i(b)n(y)f(\(2.182\),)f (\(2.181\),)h(\(2.163\))f(and)i(\(2.132\))e(it)i(follo)n(ws)e(that)1138 628 y FA(c)1174 640 y Fy(13)1267 628 y Ft(\024)1370 572 y FD(^)-44 b FA(c)p 1365 609 42 4 v 1365 685 a FD(2)1444 628 y FA(;)180 b(c)1683 640 y Fy(13)1776 628 y Ft(\024)25 b FD(\026)-44 b FA(c)1900 640 y Fy(0)1960 628 y Ft(\024)2062 572 y FA(c)2098 584 y Fx(\003)p 2058 609 84 4 v 2058 685 a FD(16)2179 628 y FA(;)179 b(\032)2424 594 y Fx(\000)p Fy(1)2514 628 y FA(c)2550 640 y Fy(13)2620 628 y FA(\027)2661 640 y Fy(13)2731 628 y FA(\037)2783 640 y Fy(13)2853 628 y FA(\026)24 b Ft(\024)3045 572 y FD(1)p 3024 609 V 3024 685 a(16)3145 628 y FA(:)597 b FD(\(2.200\))287 834 y(Th)n(us,)1220 1023 y(1)p 1220 1060 43 4 v 1220 1136 a FA(\032)1313 975 y Fx(1)1286 1000 y Fz(X)1293 1177 y Fw(i)p Fy(=0)1420 1079 y FA(\021)1464 1036 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1461 1101 y(13)1567 1079 y Ft(\024)23 b FA(c)1691 1091 y Fy(13)1761 1079 y FA(\027)1802 1091 y Fy(13)1872 1079 y FA(\037)1924 1091 y Fy(0)1961 1079 y FA(\026)2052 975 y Fx(1)2025 1000 y Fz(X)2031 1177 y Fw(i)p Fy(=0)2199 1023 y FD(1)p 2169 1060 103 4 v 2169 1136 a(2)2211 1112 y Fy(4)p Fw(i)2304 1079 y FD(=)2402 1023 y(16)p 2402 1060 84 4 v 2402 1136 a(15)2523 1079 y FA(c)2559 1091 y Fy(13)2629 1079 y FA(\027)2670 1091 y Fy(13)2740 1079 y FA(\037)2792 1091 y Fy(0)2829 1079 y FA(\026)28 b(;)287 1344 y FD(so)f(that,)h(b)n(y)f(\(2.199\))f(and)i (\(2.200\),)e(one)h(\014nds)1777 1314 y Fy(50)1370 1566 y Ft(j)q FD(~)-43 b FA(a)p Ft(j)83 b(\024)1701 1509 y FD(16)p 1701 1546 V 1701 1623 a(15)1822 1566 y FA(c)1858 1578 y Fy(13)1928 1566 y FA(\027)1969 1578 y Fy(13)2039 1566 y FA(\037)2091 1578 y Fy(0)2128 1566 y FA(\026)2206 1473 y Fz(\020)2256 1566 y FD(1)18 b(+)2409 1509 y(16)p 2409 1546 V 2409 1623 a(15)2529 1566 y FA(c)2565 1578 y Fy(13)2635 1566 y FA(\027)2676 1578 y Fy(13)2747 1566 y FA(\037)2799 1578 y Fy(0)2836 1566 y FA(\026)2886 1473 y Fz(\021)1543 1765 y Ft(\024)1701 1709 y FD(16)p 1701 1746 V 1701 1822 a(15)1822 1765 y FA(c)1858 1777 y Fy(13)1928 1765 y FA(\027)1969 1777 y Fy(13)2039 1765 y FA(\037)2091 1777 y Fy(0)2128 1765 y FA(\026)2206 1673 y Fz(\020)2256 1765 y FD(1)g(+)2429 1709 y(1)p 2409 1746 V 2409 1822 a(15)2502 1673 y Fz(\021)1543 1993 y FD(=)1691 1876 y Fz(\022)1762 1937 y FD(16)p 1762 1974 V 1762 2050 a(15)1855 1876 y Fz(\023)1916 1893 y Fy(2)1995 1993 y FA(c)2031 2005 y Fy(13)2101 1993 y FA(\027)2142 2005 y Fy(13)2212 1993 y FA(\037)2264 2005 y Fy(0)2302 1993 y FA(\026)1543 2158 y(<)83 b FD(2)p FA(c)1769 2170 y Fy(13)1839 2158 y FA(\027)1880 2170 y Fy(13)1950 2158 y FA(\037)2002 2170 y Fy(0)2039 2158 y FA(\026)1543 2303 y Ft(\024)1691 2211 y Fz(\020)1742 2303 y FD(^)-44 b FA(c)p 1804 2237 90 4 v 28 w(M)1894 2250 y Fy(5)1931 2303 y FA(M)2021 2269 y Fy(2)2058 2303 y FA(\030)2098 2260 y Fx(\000)p Fy(\(2)p Fw(\034)7 b Fy(+1\))2094 2315 y Fx(\003)2388 2303 y FA(\013\014)2492 2269 y Fy(2)2488 2324 y(0)2530 2303 y FA(\014)2581 2269 y Fy(2)2577 2324 y(1)2619 2211 y Fz(\021)2696 2303 y FA(\026)28 b(:)287 2531 y FD(completing)f(the)h (pro)r(of)f(of)h(\(2.133\).)p 1588 2531 41 83 v 287 2863 a Fv(2.8)112 b(Iso-energetic)37 b(Lindstedt)g(series)287 3017 y FD(In)32 b(this)h(section,)e(w)n(e)h(discuss)g(shortly)f(\(con)n (v)n(ergen)n(t\))f(p)r(o)n(w)n(er)h(series)g(expansions)g(for)h(KAM)g (iso-energetic)e(tori)i(in)287 3116 y(terms)22 b(of)h(a)g(smallness)f (parameter.)f(Suc)n(h)i(series)f(\(in)h(the)g(non-\014xed)g(energy)e (case\))i(are)e(kno)n(wn)i(as)f Fo(Lindstedt)h(series)p FD(.)287 3216 y(Here,)k(w)n(e)g(follo)n(w,)g(essen)n(tially)-7 b(,)27 b(Moser's)f(original)g(\(indirect\))j(argumen)n(t)d(\([111)o (]\).)287 3432 y FB(2.8.1)94 b(Analytic)32 b(dep)s(endence)f(up)s(on)g (parameters)287 3585 y FD(Roughly)26 b(sp)r(eaking,)h(if)g(the)h (system)f(dep)r(ends)h(analytically)e(and)h(uniformly)g(on)g(a)f(set)i (of)f(parameters,)e(then)j(so)e(do)287 3684 y(the)i(KAM)f(tori)g (obtained)h(via)f(Theorem)g(2.1.)287 3809 y(More)35 b(precisely)-7 b(,)36 b(let)h Ft(E)44 b FD(b)r(e)37 b(the)g(closure)e(of)h(an)g(op)r (en,)h(connected,)f(b)r(ounded)h(set)g(of)f(parameters)f(in)i Fp(C)3720 3779 y Fw(m)3825 3809 y FD(\(with)287 3909 y(non-empt)n(y)27 b(in)n(tersection)g(with)h Fp(R)1391 3878 y Fw(m)1460 3909 y FD(\))g(and)f(assume)g(that,)h(in)g(Theorem)f (2.1,)1284 4116 y FA(H)j FD(=)23 b FA(H)7 b FD(\()p FA(x;)14 b(y)s FD(;)g FA(")p FD(\))28 b FA(;)97 b(E)28 b FD(=)22 b FA(E)5 b FD(\()p FA(")p FD(\))28 b FA(;)97 b(!)26 b FD(:=)2645 4024 y Fz(\020)2694 4116 y FD(1)18 b(+)g FA(a)p FD(\()p FA(")p FD(\))2984 4024 y Fz(\021)3034 4116 y FA(!)3086 4128 y Fy(0)3151 4116 y FA(;)1284 4266 y(u)23 b FD(=)g FA(u)p FD(\()p FA(\022)r FD(;)14 b FA(")p FD(\))27 b FA(;)97 b(v)27 b FD(=)22 b FA(v)s FD(\()p FA(\022)r FD(;)14 b FA(")p FD(\))29 b FA(;)1516 b FD(\(2.201\))287 4448 y(are)30 b(real-analytic)e(\(and)j(b)r(ounded\))h(also)d(in)i(the) g(parameters)e FA(")f FD(=)g(\()p FA(")2560 4460 y Fy(1)2597 4448 y FA(;)14 b(:::;)g(")2779 4460 y Fw(m)2842 4448 y FD(\))29 b Ft(2)f(E)7 b FD(;)31 b(th)n(us,)g FA(f)9 b FD(,)31 b FA(g)i FD(and)e FA(h)f FD(will)h(also)287 4548 y(dep)r(end)d(analytically)e(up)r(on)i FA(")p FD(.)287 4672 y(Let)h(us,)g(no)n(w,)f(indicate)h(the)g(mo)r(di\014cations)f (that)h(are)f(needed)h(in)g(order)e(to)i(extend)g(Theorem)f(2.1)g(to)h (the)g(presen)n(t)287 4772 y(parameter-dep)r(enden)n(t)d(case.)p 287 4825 1493 4 v 349 4879 a Fn(50)414 4902 y FH(Observ)n(e)e(that)h (exp)q(\()p Fm(x)p FH(\))16 b Fl(\000)f FH(1)20 b Fl(\024)g Fm(x)p FH(\(1)c(+)f Fm(x)p FH(\))24 b(for)f(an)n(y)h(0)c Fl(\024)g Fm(x)f Fl(\024)h FH(1.)2111 5492 y FD(63)p eop %%Page: 64 64 64 63 bop 287 -94 a FD(Assume)27 b(that)h FA(!)826 -82 y Fy(0)891 -94 y FD(is)f(\()p FA(\015)1049 -82 y Fy(0)1087 -94 y FA(;)14 b(\034)9 b FD(\)-Diophan)n(tine)28 b(and)g(let)1703 59 y FA(\015)f FD(:=)c(\(1)18 b Ft(\000)g FD(sup)2101 129 y Fx(E)2198 59 y Ft(j)p FA(a)p Ft(j)p FD(\))p FA(\015)2363 71 y Fy(0)2424 59 y FA(>)k FD(0)27 b FA(;)287 261 y FD(so)d(that)g (\(2.126\))g(holds)g(also)f(in)i(the)g(presen)n(t)f(case)f Fo(uniformly)i(in)f FA(")f Ft(2)g(E)7 b FD(.)25 b(Next,)g(replace)f (systematically)f(the)i(norms)287 361 y Ft(k)18 b(\001)g(k)430 373 y Fw(\030)494 361 y FD(and)27 b Ft(k)18 b(\001)h(k)799 373 y Fw(\030)r(;r)915 361 y FD(with,)28 b(resp)r(ectiv)n(ely)-7 b(,)1270 515 y Ft(k)18 b(\001)h(k)1414 527 y Fw(\030)r(;)p Fx(E)1533 515 y FD(:=)k(sup)1686 584 y Fx(E)1782 515 y Ft(k)18 b(\001)h(k)1926 527 y Fw(\030)1989 515 y FA(;)180 b Ft(k)18 b(\001)h(k)2336 527 y Fw(\030)r(;r)n(;)p Fx(E)2504 515 y FD(:=)k(sup)2657 584 y Fx(E)2753 515 y Ft(k)18 b(\001)h(k)2897 527 y Fw(\030)r(;r)3013 515 y FA(:)287 717 y FD(Th)n(us,)27 b(for)g(example,)h(the)f FA(E)1199 729 y Fw(p;q)1290 717 y FD('s)h(are)e(upp)r(er)i(b)r(ounds)g(on)f Ft(k)p FA(H)2265 729 y Fx(\001)2289 717 y Ft(k)2331 729 y Fw(\030)r(;r)n(;)p Fx(E)2476 717 y FD(;)g(\(2.127\))g(reads,)f(no)n (w,)1190 870 y(sup)1186 949 y Fd(T)1230 929 y Fq(d)1230 971 y(\030)1259 949 y Fw(;)p Fx(E)1334 870 y Ft(j)14 b FD(Im)f FA(u)p Ft(j)23 b(\024)1673 848 y FD(\026)1665 870 y FA(\030)f Ft(\000)c FA(\030)32 b(;)184 b FD(^)-46 b FA(r)26 b FD(:=)h(sup)2251 949 y Fd(T)2295 929 y Fq(d)2295 971 y(\030)2324 949 y Fw(;)p Fx(E)2398 870 y Ft(j)p FA(v)s FD(\()p FA(\022)r FD(;)14 b FA(")p FD(\))20 b Ft(\000)e FA(y)2789 882 y Fy(0)2826 870 y Ft(j)2849 882 y Fx(1)2942 870 y FA(<)23 b(r)30 b FD(;)287 1112 y(\012)d(in)h(\(2.129\))f(is,)g (no)n(w,)g(an)h(upp)r(er)f(b)r(ound)h(on)g(sup)1905 1132 y Fx(E)1963 1112 y Ft(j)p FA(!)s Ft(j)p FD(,)g(whic)n(h)f(w)n(e)h (shall)f(tak)n(e)g(to)g(b)r(e)1757 1265 y(\012)c Ft(\025)f FD(\(1)c(+)g(sup)2145 1335 y Fx(E)2241 1265 y Ft(j)p FA(a)p Ft(j)p FD(\))p Ft(j)p FA(!)2438 1277 y Fy(0)2476 1265 y Ft(j)27 b FA(:)287 1468 y FD(Then:)j Fo(if)h FD(\(2.132\))e Fo(holds,)h(there)h(exists)f(a)g(\(lo)r(cally)f(unique\))i (real-analytic)e(solution)h FD(\()5 b(~)-47 b FA(u)o(;)17 b FD(~)-45 b FA(v)s FD(\))28 b(=)g(\()5 b(~)-47 b FA(u)o FD(\()p FA(\022)r FD(;)14 b FA(")p FD(\))p FA(;)k FD(~)-46 b FA(v)t FD(\()p FA(\022)r FD(;)14 b FA(")p FD(\)\))31 b Fo(of)287 1567 y(the)d(system)1415 1721 y FA(!)1468 1733 y Fy(~)-34 b Fw(a)1525 1721 y FD(+)18 b FA(D)1678 1733 y Fy(~)-34 b Fw(a)1722 1721 y FD(~)-47 b FA(u)18 b Ft(\000)g FA(H)1935 1733 y Fw(y)1975 1721 y FD(\()p FA(\022)j FD(+)i(~)-47 b FA(u)o(;)17 b FD(~)-45 b FA(v)s FD(;)14 b FA(")p FD(\))111 b(=)f(0)27 b FA(;)1610 1845 y(D)1680 1857 y Fy(~)-34 b Fw(a)1722 1845 y FD(~)-45 b FA(v)22 b FD(+)c FA(H)1933 1857 y Fw(x)1975 1845 y FD(\()p FA(\022)j FD(+)i(~)-47 b FA(u)o(;)17 b FD(~)-45 b FA(v)s FD(;)14 b FA(")p FD(\))111 b(=)f(0)27 b FA(;)2189 1970 y FD(~)-47 b FA(u)o FD(\(0;)14 b FA(")p FD(\))83 b(=)110 b(0)27 b FA(;)1969 2094 y(H)7 b FD(\(0)p FA(;)17 b FD(~)-45 b FA(v)s FD(\(0\);)14 b FA(")p FD(\))83 b(=)110 b FA(E)5 b FD(\()p FA(")p FD(\))28 b FA(;)874 b FD(\(2.202\))287 2248 y Fo(where)26 b FA(!)579 2260 y Fy(~)-34 b Fw(a)641 2248 y FD(:=)23 b(\(1)17 b(+)h(~)-43 b FA(a)p FD(\))p FA(!)s Fo(,)27 b FA(D)1176 2260 y Fy(~)-34 b Fw(a)1238 2248 y FD(:=)22 b FA(D)1417 2260 y Fw(!)1461 2268 y Fs(~)-30 b Fq(a)1522 2248 y FD(:=)23 b FA(!)1686 2260 y Fy(~)-34 b Fw(a)1742 2248 y Ft(\001)18 b FA(@)1827 2260 y Fw(\022)1864 2248 y Fo(;)33 b FD(~)-48 b FA(u)27 b Fo(and)j FD(~)-45 b FA(v)30 b Fo(are)c(real-analytic)f(on)i Fp(T)3006 2218 y Fw(d)3006 2271 y(\030)3036 2279 y Fr(1)3117 2248 y Ft(\002)17 b(E)7 b Fo(,)29 b FD(~)-43 b FA(a)27 b Fo(is)f (real-analytic)f(on)287 2348 y Ft(E)7 b Fo(.)28 b(F)-7 b(urthermore,)26 b Ft(j)q FD(~)-43 b FA(a)p Ft(j)p Fo(,)28 b Ft(k)p FA(u)18 b Ft(\000)23 b FD(~)-47 b FA(u)o Ft(k)27 b Fo(and)h Ft(k)p FA(v)21 b Ft(\000)g FD(~)-45 b FA(v)s Ft(k)27 b Fo(are)g(small)g(with)h FA(\026)p FD(:)779 2526 y(max)947 2434 y Fz(n)1003 2526 y Ft(j)q FD(~)-43 b FA(a)p Ft(j)1093 2538 y Fx(E)1165 2526 y FA(;)42 b Ft(k)5 b FD(~)-47 b FA(u)17 b Ft(\000)h FA(u)p Ft(k)1510 2538 y Fw(\030)1540 2546 y Fr(1)1600 2538 y Fw(;)p Fx(E)1692 2526 y FA(;)42 b Ft(k)5 b FD(~)-47 b FA(u)1847 2538 y Fw(\022)1902 2526 y Ft(\000)18 b FA(u)2033 2538 y Fw(\022)2070 2526 y Ft(k)2112 2538 y Fw(\030)2142 2546 y Fr(1)2203 2538 y Fw(;)p Fx(E)2295 2526 y FA(;)41 b(\032)2402 2492 y Fx(\000)p Fy(1)2491 2526 y Ft(k)s FD(~)-45 b FA(v)22 b Ft(\000)c FA(v)s Ft(k)2763 2538 y Fw(\030)2793 2546 y Fr(1)2853 2538 y Fw(;)p Fx(E)2945 2526 y FA(;)42 b(\032)3053 2492 y Fx(\000)p Fy(1)3142 2526 y Ft(k)s FD(~)-45 b FA(v)3224 2538 y Fw(\022)3280 2526 y Ft(\000)18 b FA(v)3403 2538 y Fw(\022)3441 2526 y Ft(k)3483 2538 y Fw(\030)3513 2546 y Fr(1)3573 2538 y Fw(;)p Fx(E)3638 2434 y Fz(o)945 2709 y Ft(\024)1033 2616 y Fz(\020)1084 2709 y FD(^)-44 b FA(c)p 1146 2642 90 4 v 28 w(M)1235 2656 y Fy(5)1273 2709 y FA(M)1363 2674 y Fy(2)1400 2709 y FA(\030)1440 2665 y Fx(\000)p Fy(\(2)p Fw(\034)7 b Fy(+1\))1436 2720 y Fx(\003)1730 2709 y FA(\013\014)1834 2674 y Fy(2)1830 2729 y(0)1872 2709 y FA(\014)1923 2674 y Fy(2)1919 2729 y(1)1960 2616 y Fz(\021)2038 2709 y FA(\026)27 b(:)1627 b FD(\(2.203\))287 2882 y(The)23 b(pro)r(of)f(of)h(this)g(statemen)n(t) g(rests)g(up)r(on)g(the)g(complex)g(extension)f(of)h(Lemma)g(2.3)f(and) h(on)f(W)-7 b(eierstrass)22 b(theorem)287 2982 y(\(on)28 b(the)i(analyticit)n(y)d(of)i(uniform)g(limits)g(of)f(analytic)g (functions\).)i(The)e(complex)h(v)n(ersion)e(of)h(Lemma)h(2.3)f (\(whose)287 3081 y(pro)r(of)f(is)g(basically)g(iden)n(tical)g(to)h (the)g(real)e(case)h(and)g(is)h(omitted\))g(reads)f(as)g(follo)n(ws.) 287 3235 y FB(Lemma)i(2.9)41 b Fh(L)l(et)28 b FD(\012)23 b(:=)g Ft(f)p FA(c)g Ft(2)g Fp(C)1358 3205 y Fw(d)1426 3235 y FD(:)52 b Ft(j)p FA(c)p Ft(j)23 b(\024)g FA(\032)1737 3247 y Fy(1)1774 3235 y Ft(g)16 b(\002)g(f)q FD(^)-43 b FA(a)23 b Ft(2)g Fp(C)44 b FD(:)52 b Ft(j)q FD(^)-43 b FA(a)p Ft(j)23 b(\024)g FA(\032)2502 3247 y Fy(2)2539 3235 y Ft(g)29 b Fh(for)h(some)f FA(\032)2996 3247 y Fy(1)3033 3235 y Fh(,)g FA(\032)3130 3247 y Fy(2)3191 3235 y FA(>)22 b FD(0)p Fh(;)29 b(let)g FA(\013)24 b FD(:=)e(\()p FA(c;)16 b FD(^)-44 b FA(a)p FD(\))30 b Fh(and)287 3335 y(let)h FD(\()p FA(\013;)14 b(")p FD(\))27 b Ft(2)g FD(\012)20 b Ft(\002)f(E)33 b(\032)26 b Fp(C)1093 3304 y Fw(d)p Fy(+1)1242 3335 y Ft(\002)19 b Fp(C)47 b Ft(!)27 b FA(F)12 b FD(\()p FA(\013)p FD(;)i FA(")p FD(\))32 b Fh(b)l(e)f(a)h(r)l(e)l(al-analytic)h(function)f(with)g (values)g(in)g Fp(C)3382 3304 y Fw(d)p Fy(+1)3510 3335 y Fh(.)g(Assume)f(that)287 3434 y(the)f(Jac)l(obian)h FA(F)823 3446 y Fw(\013)900 3434 y Fh(is)f(invertible)h(for)g(al)t(l)f FD(\()p FA(\013;)14 b(")p FD(\))24 b Ft(2)f FD(\012)c Ft(\002)f(E)7 b Fh(.)30 b(L)l(et)g FA(F)2364 3446 y Fw(\013)2411 3434 y FD(\(0;)14 b FA(")p FD(\))2593 3404 y Fx(\000)p Fy(1)2705 3434 y FD(=:)23 b Ft(B)i FD(:=)e Ft(B)s FD(\()p FA(")p FD(\))29 b Fh(and)h(assume)g(that)1544 3588 y FD(sup)1536 3657 y Fy(\012)p Fx(\002E)1690 3588 y Ft(j)p FA(\013)19 b Ft(\000)f(B)s FD(\()p FA(")p FD(\))p FA(F)12 b FD(\()p FA(\013)p FD(;)i FA(")p FD(\))p Ft(j)53 b(\024)22 b FD(min)q Ft(f)p FA(\032)2674 3600 y Fy(1)2710 3588 y FA(;)14 b(\032)2790 3600 y Fy(2)2828 3588 y Ft(g)29 b FA(;)1544 3768 y FD(sup)1536 3838 y Fy(\012)p Fx(\002E)1690 3768 y Ft(j)p FA(I)d Ft(\000)18 b(B)s FD(\()p FA(")p FD(\))29 b FA(F)2101 3780 y Fw(\013)2148 3768 y FD(\()p FA(\013)p FD(;)14 b FA(")p 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(there)g(exists)g(a)f(real-analytic)g(solution)g FD(\()5 b(~)-47 b FA(u;)17 b FD(~)-45 b FA(v)s FD(\))24 b(=)e(\()5 b(~)-47 b FA(u)p FD(\()p FA(\022)r FD(;)14 b FA(")p FD(\))p FA(;)k FD(~)-46 b FA(v)t FD(\()p FA(\022)r FD(;)14 b FA(")p FD(\)\))23 b Fo(of)f(the)g(system)g FD(\(2.202\))p Fo(,)f(whic)n(h)287 1628 y(satis\014es)27 b FD(\(2.203\))f Fo(and)h(is)h(the)g FA(")p Fo(-analytic)e(con)n(tin)n(uation)h(of)g (the)h(unp)r(erturb)r(ed)h(solution)e FD(\(0)p FA(;)14 b(y)3308 1640 y Fy(0)3344 1628 y FA(;)g(!)3433 1640 y Fy(0)3470 1628 y FD(\).)287 1747 y(Th)n(us,)27 b(the)h(functions)33 b(~)-47 b FA(u)p FD(,)31 b(~)-46 b FA(v)31 b FD(and)d(the)g(n)n(um)n(b) r(er)g(~)-43 b FA(a)28 b FD(admit)f(con)n(v)n(ergen)n(t)f(p)r(o)n(w)n (er)g(series)h(expansions)1044 1966 y(~)-47 b FA(u)22 b FD(=)1224 1862 y Fx(1)1197 1887 y Fz(X)1199 2064 y Fw(j)s Fy(=1)1331 1966 y FA(")1370 1932 y Fw(j)1404 1966 y FA(u)1452 1978 y Fw(j)1487 1966 y FD(\()p FA(\022)r FD(\))28 b FA(;)183 b FD(~)-45 b FA(v)27 b 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2530 y(tion)27 b(on)n(to)g(the)h FA(k)833 2500 y Fy(th)928 2530 y FD(co)r(e\016cien)n(t)f(of)h(an)f FA(")p FD(-p)r(o)n(w)n(er)f(series,)1759 2739 y([)14 b Ft(\001)g FD(])1856 2751 y Fw(k)1920 2739 y FD(:=)2054 2683 y(1)p 2041 2720 69 4 v 2041 2796 a FA(k)s FD(!)2153 2683 y FA(d)2196 2652 y Fw(k)2237 2683 y FD(\()p Ft(\001)p FD(\))p 2153 2720 172 4 v 2178 2796 a FA(d")2260 2772 y Fw(k)2335 2618 y Fz(\014)2335 2668 y(\014)2335 2718 y(\014)2335 2768 y(\014)2363 2822 y Fw(")p Fy(=0)2524 2739 y FA(;)287 2950 y FD(and,)27 b(for)g FA(k)f Ft(\025)d FD(1,)k(de\014ne)h(\(recall)f(that)h FA(!)e FD(=)c FA(!)1738 2962 y Fy(0)1775 2950 y FD(\))746 3206 y FA(X)815 3218 y Fw(k)938 3206 y FD(:=)83 b Ft(\000)1188 3102 y Fw(k)q Fx(\000)p Fy(1)1188 3127 y Fz(X)1191 3304 y Fw(j)s Fy(=1)1323 3206 y FA(a)1367 3218 y Fw(j)1402 3206 y FA(D)1461 3218 y Fw(!)1509 3206 y FA(u)1557 3218 y Fw(k)q Fx(\000)p Fw(j)1698 3206 y FD(+)1781 3039 y Fz(2)1781 3189 y(4)1836 3206 y FA(H)1912 3172 y Fx(0)1905 3227 y Fy(0)1943 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3984 y Fw(j)s Fy(=1)1323 3886 y FA(a)1367 3898 y Fw(j)1402 3886 y FA(D)1461 3898 y Fw(!)1509 3886 y FA(v)1549 3898 y Fw(k)q Fx(\000)p Fw(j)1691 3886 y Ft(\000)1774 3719 y Fz(2)1774 3868 y(4)1829 3886 y FA(H)1898 3898 y Fy(1)p Fw(;x)1993 3793 y Fz(\020)2042 3886 y FA(\022)21 b FD(+)2185 3782 y Fw(k)q Fx(\000)p Fy(1)2186 3807 y Fz(X)2189 3984 y Fw(j)s Fy(=1)2321 3886 y FA(")2360 3851 y Fw(j)2394 3886 y FA(u)2442 3898 y Fw(j)2477 3886 y FA(;)14 b(y)2555 3898 y Fy(0)2610 3886 y FD(+)2693 3782 y Fw(k)q Fx(\000)p Fy(1)2694 3807 y Fz(X)2697 3984 y Fw(j)s Fy(=1)2829 3886 y FA(")2868 3851 y Fw(j)2902 3886 y FA(v)2942 3898 y Fw(j)2978 3793 y Fz(\021)3027 3719 y(3)3027 3868 y(5)3083 4018 y Fw(k)q Fx(\000)p Fy(1)3222 3886 y FA(;)758 4229 y(Z)815 4241 y Fw(k)938 4229 y FD(:=)83 b Ft(\000)1188 4062 y Fz(2)1188 4211 y(4)1243 4229 y FA(H)1312 4241 y Fy(0)1349 4137 y Fz(\020)1398 4229 y FA(y)1439 4241 y Fy(0)1495 4229 y FD(+)1578 4125 y Fw(k)q Fx(\000)p Fy(1)1579 4150 y Fz(X)1581 4327 y Fw(j)s Fy(=1)1713 4229 y FA(")1752 4195 y Fw(j)1787 4229 y FA(v)1827 4241 y Fw(j)1862 4229 y FD(\(0\))1968 4137 y Fz(\021)2018 4062 y(3)2018 4211 y(5)2073 4362 y Fw(k)2133 4229 y Ft(\000)2216 4062 y Fz(2)2216 4211 y(4)2271 4229 y FA(H)2340 4241 y Fy(1)2377 4137 y Fz(\020)2427 4229 y FD(0)p FA(;)14 b(y)2547 4241 y Fy(0)2602 4229 y FD(+)2685 4125 y Fw(k)q Fx(\000)p Fy(1)2686 4150 y Fz(X)2688 4327 y Fw(j)s Fy(=1)2820 4229 y FA(")2859 4195 y Fw(j)2894 4229 y FA(v)2934 4241 y Fw(j)2969 4229 y FD(\(0\))3075 4137 y Fz(\021)3125 4062 y(3)3125 4211 y(5)3180 4362 y Fw(k)q Fx(\000)p Fy(1)3324 4229 y FD(+)k FA(E)3468 4241 y Fw(k)3537 4229 y FA(:)p 287 4411 1493 4 v 349 4465 a Fn(51)414 4489 y FH(With:)24 b Fm(m)c FH(=)f(1)24 b(and)g Fl(E)i(\021)19 b Fm(D)1165 4465 y Fn(1)1163 4505 y Fk(")1192 4515 y Fs(0)1229 4489 y FH(\(0\).)349 4547 y Fn(52)414 4570 y FH(The)28 b(assumption)g(that)i Fm(!)1143 4579 y Fn(0)1205 4570 y FH(is)e(Diophan)n(tine,)h(thanks)g (to)g(the)g(iso-energetic)g(non-degeneracy)i(\(2.205\),)e(can)g(alw)n (a)n(ys)f(b)r(e)h(met)f(b)n(y)287 4649 y(a)i(sligh)n(t)g(c)n(hange)h (of)f Fm(y)910 4658 y Fn(0)974 4649 y FH(on)g Fm(H)1141 4619 y Fi(\000)p Fn(1)1136 4672 y(0)1224 4649 y FH(\()p Fm(E)1303 4658 y Fn(0)1337 4649 y FH(\).)g(In)g(fact,)g(as)g(discussed) g(in)g(p)r(oin)n(t)g(\(ii\))g(of)g(the)h(Remark)d(2.3,)i(\(2.205\))h (implies)d(that)j(the)g(map)287 4742 y Fm(y)22 b Fl(2)d Fm(H)473 4712 y Fi(\000)p Fn(1)468 4764 y(0)556 4742 y FH(\()p Fm(E)635 4751 y Fn(0)670 4742 y FH(\))h Fl(!)f Fm(\031)d Fl(\016)f Fm(H)977 4718 y Fi(0)972 4764 y Fn(0)1006 4742 y FH(\()p Fm(y)r FH(\))24 b(\()p Fm(\031)h FH(b)r(eing)f(the)f (canonical)h(pro)t(jection)g(of)e Fp(R)2301 4718 y Fk(d)2366 4742 y FH(on)n(to)i Fp(P)2576 4718 y Fk(d)p Fi(\000)p Fn(1)2690 4742 y FH(\))f(is)f(a)h(lo)r(cal)g(di\013eomorphism)e(and)i (this)g(implies)287 4835 y(that)i(the)f(set)g(of)g(Diophan)n(tine)h(p)r (oin)n(ts)f(on)g Fm(H)1526 4805 y Fi(\000)p Fn(1)1521 4857 y(0)1608 4835 y FH(\()p Fm(E)1687 4844 y Fn(0)1722 4835 y FH(\))g(is)f(dense)i(in)e(an)n(y)h(small)e(neigh)n(b)r(orho)r(o) r(d)j(of)e Fm(y)2995 4844 y Fn(0)3030 4835 y FH(.)349 4894 y Fn(53)414 4917 y FH(Notice)35 b(that)h Fm(f)46 b FH(=)38 b Fl(\000)p Fm("@)1108 4925 y Fk(y)1145 4917 y Fm(H)1203 4926 y Fn(1)1237 4917 y FH(\()p Fl(\001)p Fm(;)12 b(y)1351 4926 y Fn(0)1385 4917 y FH(\),)35 b Fm(g)40 b FH(=)e Fm("@)1704 4925 y Fk(x)1743 4917 y Fm(H)1801 4926 y Fn(1)1835 4917 y FH(\()p Fl(\001)p Fm(;)12 b(y)1949 4926 y Fn(0)1983 4917 y FH(\),)35 b Fm(h)j FH(=)g Fm(")p FH(\()p Fm(H)2355 4926 y Fn(1)2389 4917 y FH(\(0)p Fm(;)12 b(y)2518 4926 y Fn(0)2553 4917 y FH(\))23 b Fl(\000)g Fm(E)2733 4926 y Fn(1)2768 4917 y FH(\))g(+)2896 4859 y Fz(P)2984 4880 y Fi(1)2984 4946 y Fk(j)s Fn(=2)3105 4917 y Fm(E)3157 4927 y Fk(j)3189 4917 y Fm(")3222 4894 y Fk(j)3289 4917 y FH(so)35 b(that)h Fm(\026)f FH(in)f(\(2.130\))j(is) 287 5020 y(prop)r(ortional)24 b(to)g Fm(")812 5029 y Fn(0)846 5020 y FH(.)2111 5492 y FD(65)p eop %%Page: 66 66 66 65 bop 287 -94 a FB(Remark)31 b(2.10)40 b FA(X)930 -82 y Fw(k)1003 -94 y FD(and)32 b FA(Y)1217 -82 y Fw(k)1290 -94 y FD(are)f(real-analytic)g(function)h(of)h FA(\022)g Ft(2)e Fp(T)2559 -124 y Fw(d)2559 -71 y(\030)2589 -63 y Fr(1)2653 -94 y FD(,)h(while)h FA(Z)2987 -82 y Fw(k)3059 -94 y FD(is)g(just)f(a)g(real)f(n)n(um)n(b)r(er;)h FA(X)3955 -82 y Fw(k)3996 -94 y FD(,)287 5 y FA(Y)335 17 y Fw(k)406 5 y FD(and)e FA(Z)627 17 y Fw(k)698 5 y FD(dep)r(end)g(up)r(on)h Ft(f)p FA(a)1287 17 y Fw(j)1321 5 y Ft(g)p FD(,)f Ft(f)p FA(u)1506 17 y Fw(j)1540 5 y Ft(g)p FD(,)g Ft(f)p FA(v)1717 17 y Fw(j)1751 5 y Ft(g)g FD(for)g(1)c Ft(\024)h FA(j)32 b Ft(\024)27 b FA(k)c Ft(\000)d FD(1)29 b(only)-7 b(.)30 b(When)h FA(k)f FD(=)d(1)j(the)g(sums)g(o)n(v)n(er)e FA(j)5 b FD(,)30 b(in)h(the)287 105 y(form)n(ulae)26 b(\(2.208\),)h(are)f(absen)n(t.)287 288 y FB(Prop)s(osition)k(2.3)41 b Fh(L)l(et,)29 b(for)i FA(k)26 b Ft(\025)c FD(1)p Fh(,)30 b FA(X)1590 300 y Fw(k)1631 288 y Fh(,)g FA(Y)1734 300 y Fw(k)1805 288 y Fh(and)g FA(Z)2023 300 y Fw(k)2093 288 y Fh(as)g(in)g FD(\(2.208\))p Fh(.)f(Then)h Ft(h)q FA(Y)2907 300 y Fw(k)2948 288 y Ft(i)23 b FD(=)g(0)29 b Fh(and,)i(if)f(one)g(sets)1576 403 y Fz(\022)1688 470 y FD(\026)-45 b FA(v)1725 482 y Fw(k)1651 570 y Ft(\000)p FA(a)1760 582 y Fw(k)1814 403 y Fz(\023)1958 520 y FD(=)83 b Ft(A)2172 485 y Fx(\000)p Fy(1)2172 542 y(0)2275 403 y Fz(\022)2350 470 y Ft(\000h)p FA(X)2516 482 y Fw(k)2556 470 y Ft(i)2420 570 y FA(Z)2477 582 y Fw(k)2602 403 y Fz(\023)2707 520 y FA(;)1035 b FD(\(2.209\))287 748 y Fh(then)1815 848 y FA(v)1855 860 y Fw(k)1919 848 y FD(=)23 b FA(D)2078 813 y Fx(\000)p Fy(1)2066 868 y Fw(!)2167 848 y FA(Y)2215 860 y Fw(k)2274 848 y FD(+)e(\026)-45 b FA(v)2397 860 y Fw(k)2468 848 y FA(:)1274 b FD(\(2.210\))287 997 y Fh(F)-6 b(urthermor)l(e)1603 1004 y Fz(D)1654 1097 y FA(H)1730 1062 y Fx(00)1723 1117 y Fy(0)1772 1097 y FD(\()p FA(y)1845 1109 y Fy(0)1882 1097 y FD(\))p FA(v)1954 1109 y 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FD(=)g(0)j(together)g (with)h(\(2.211\))f(ma)n(y)g(b)r(e)h(in)n(terpreted)f(as)g Fo(compatibilit)n(y)h(conditions)p FD(,)287 1938 y(while)h(\(2.209\),)e (\(2.210\),)g(\(2.212\))h(and)g(\(2.213\))g(ma)n(y)f(b)r(e)i(view)n(ed) g(as)f Fo(de\014nitions)g FD(of)h FA(a)3044 1950 y Fw(k)3085 1938 y FD(,)f FA(u)3183 1950 y Fw(k)3251 1938 y FD(and)h FA(v)3453 1950 y Fw(k)3494 1938 y FD(.)287 2062 y(The)j(pro)r(of)f(of)h (this)h(Prop)r(osition)d(2.3)h(is,)h(at)g(this)g(p)r(oin)n(t,)g (trivial:)g(plug)g(the)g FA(")p FD(-expansion)e(of)k(~)-44 b FA(a)p FD(,)37 b(~)-48 b FA(u)31 b FD(and)j(~)-45 b FA(v)34 b FD(in)n(to)d(the)287 2162 y(system)20 b(\(2.202\))g(and)g (expand)g(in)h FA(")p FD(;)g(the)g(compatibilit)n(y)f(conditions)g(are) g(immediately)h(c)n(hec)n(k)n(ed)e(b)n(y)h(taking)g(a)n(v)n(erages)287 2274 y(o)n(v)n(er)26 b Fp(T)521 2244 y Fw(d)586 2274 y FD(of)i(the)g(obtained)f(relations.)p 1644 2274 41 83 v 2111 5492 a(66)p eop %%Page: 67 67 67 66 bop 287 -94 a FC(3)135 b(The)44 b(restricted,)i(circular,)g (planar)f(three-b)t(o)t(dy)g(problem)287 104 y Fv(3.1)112 b(The)38 b(restricted)e(three-b)s(o)s(dy)i(problem)287 282 y FD(Roughly)26 b(sp)r(eaking)h(the)h Fo(restricted)e(three-b)r(o)r (dy)h(problem)g FD(is)g(the)h(problem)f(of)g(describing)f(the)i(b)r (ounded)g(motions)287 382 y(of)j(a)g(\\zero-mass")c(b)r(o)r(dy)32 b(sub)5 b(ject)31 b(to)g(the)g(gra)n(vitational)e(\014eld)i(generated)f (b)n(y)h(an)g(assigned)f(t)n(w)n(o-b)r(o)r(dy)g(system)3926 352 y Fy(54)3996 382 y FD(.)287 482 y(T)-7 b(o)30 b(describ)r(e)f (mathematically)h(suc)n(h)g(system,)g(let)g FA(P)1992 494 y Fy(0)2029 482 y FD(,)h FA(P)2136 494 y Fy(1)2173 482 y FD(,)f FA(P)2279 494 y Fy(2)2347 482 y FD(b)r(e)h(three)f(b)r(o)r (dies)g(\(\\p)r(oin)n(t)g(masses"\))f(with)h(masses)287 581 y FA(m)360 593 y Fy(0)397 581 y FD(,)i FA(m)525 593 y Fy(1)562 581 y FD(,)g FA(m)690 593 y Fy(2)759 581 y FD(in)n(teracting)f(only)h(through)f(the)h(gra)n(vitational)e (attraction.)h(If)h FA(u)2877 551 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2987 581 y Ft(2)e Fp(R)3126 551 y Fy(3)3170 581 y FD(,)i FA(i)e FD(=)g(1)p FA(;)14 b FD(2)p FA(;)g FD(3,)30 b(denote)i(the)287 681 y(p)r(osition)27 b(of)g(the)g(b)r(o)r(dies)g(in)h(some)e (\(inertial\))h(reference)g(frame)f(\(and)h(assuming,)g(without)g(loss) f(of)h(generalit)n(y)-7 b(,)26 b(that)287 780 y(the)i(gra)n(vitational) d(constan)n(t)i(is)g(one)1462 750 y Fy(55)1532 780 y FD(\),)h(the)g(Newton)g(equations)f(for)g(this)h(system)f(ha)n(v)n(e)f (the)i(form)1244 966 y FA(d)1287 936 y Fy(2)1325 966 y FA(u)1373 936 y Fy(\(0\))p 1244 1003 218 4 v 1298 1079 a FA(dt)1371 1055 y Fy(2)1554 1022 y FD(=)83 b Ft(\000)1777 966 y FA(m)1850 978 y Fy(1)1887 966 y FD(\()p FA(u)1967 936 y Fy(\(0\))2074 966 y Ft(\000)18 b FA(u)2205 936 y Fy(\(1\))2294 966 y FD(\))p 1777 1003 550 4 v 1822 1081 a Ft(j)p FA(u)1893 1057 y Fy(\(1\))2000 1081 y Ft(\000)g FA(u)2131 1057 y Fy(\(0\))2220 1081 y Ft(j)2243 1057 y Fy(3)2355 1022 y Ft(\000)2447 966 y FA(m)2520 978 y Fy(2)2558 966 y FD(\()p FA(u)2638 936 y Fy(\(0\))2745 966 y Ft(\000)g FA(u)2876 936 y Fy(\(2\))2965 966 y FD(\))p 2447 1003 V 2493 1081 a Ft(j)p FA(u)2564 1057 y Fy(\(2\))2671 1081 y Ft(\000)g FA(u)2802 1057 y Fy(\(0\))2891 1081 y Ft(j)2914 1057 y Fy(3)3035 1022 y FA(;)1244 1209 y(d)1287 1178 y Fy(2)1325 1209 y FA(u)1373 1178 y Fy(\(1\))p 1244 1246 218 4 v 1298 1322 a FA(dt)1371 1298 y Fy(2)1554 1265 y FD(=)83 b Ft(\000)1777 1209 y FA(m)1850 1221 y Fy(0)1887 1209 y FD(\()p FA(u)1967 1178 y Fy(\(1\))2074 1209 y Ft(\000)18 b FA(u)2205 1178 y Fy(\(0\))2294 1209 y FD(\))p 1777 1246 550 4 v 1822 1323 a Ft(j)p FA(u)1893 1299 y Fy(\(1\))2000 1323 y Ft(\000)g FA(u)2131 1299 y Fy(\(0\))2220 1323 y Ft(j)2243 1299 y Fy(3)2355 1265 y Ft(\000)2447 1209 y FA(m)2520 1221 y Fy(2)2558 1209 y FD(\()p FA(u)2638 1178 y Fy(\(1\))2745 1209 y Ft(\000)g FA(u)2876 1178 y Fy(\(2\))2965 1209 y FD(\))p 2447 1246 V 2493 1323 a Ft(j)p FA(u)2564 1299 y Fy(\(2\))2671 1323 y Ft(\000)g FA(u)2802 1299 y Fy(\(1\))2891 1323 y Ft(j)2914 1299 y Fy(3)3035 1265 y FA(;)1244 1451 y(d)1287 1421 y Fy(2)1325 1451 y FA(u)1373 1421 y Fy(\(2\))p 1244 1488 218 4 v 1298 1564 a FA(dt)1371 1540 y Fy(2)1554 1507 y FD(=)83 b Ft(\000)1777 1451 y FA(m)1850 1463 y Fy(0)1887 1451 y FD(\()p FA(u)1967 1421 y Fy(\(2\))2074 1451 y Ft(\000)18 b FA(u)2205 1421 y Fy(\(0\))2294 1451 y FD(\))p 1777 1488 550 4 v 1822 1565 a Ft(j)p FA(u)1893 1541 y Fy(\(2\))2000 1565 y Ft(\000)g FA(u)2131 1541 y Fy(\(0\))2220 1565 y Ft(j)2243 1541 y Fy(3)2355 1507 y Ft(\000)2447 1451 y FA(m)2520 1463 y Fy(1)2558 1451 y FD(\()p FA(u)2638 1421 y Fy(\(2\))2745 1451 y Ft(\000)g FA(u)2876 1421 y Fy(\(1\))2965 1451 y FD(\))p 2447 1488 V 2493 1565 a Ft(j)p FA(u)2564 1541 y Fy(\(2\))2671 1565 y Ft(\000)g FA(u)2802 1541 y Fy(\(1\))2891 1565 y Ft(j)2914 1541 y Fy(3)3035 1507 y FA(:)707 b FD(\(3.214\))287 1740 y(The)27 b Fo(restricted)f(three-b)r(o)r(dy)h(problem)f(\(with)i(\\primary)d(b)r (o)r(dies")i FA(P)2501 1752 y Fy(0)2565 1740 y Fo(and)g FA(P)2779 1752 y Fy(1)2816 1740 y Fo(\))h(is)p FD(,)f(b)n(y)f (de\014nition,)i Fo(the)f(problem)f(of)287 1839 y(studying)h(the)h(b)r (ounded)g(motions)f(of)h(the)g(system)f FD(\(3.214\))g Fo(after)g(ha)n(ving)f(set)i FA(m)2883 1851 y Fy(2)2943 1839 y FD(=)23 b(0,)k(i.e.,)h(of)f(the)h(system)1006 2025 y FA(d)1049 1995 y Fy(2)1086 2025 y FA(u)1134 1995 y Fy(\(0\))p 1006 2062 218 4 v 1059 2138 a FA(dt)1132 2114 y Fy(2)1316 2081 y FD(=)83 b Ft(\000)1539 2025 y FA(m)1612 2037 y Fy(1)1648 2025 y FD(\()p FA(u)1728 1995 y Fy(\(0\))1836 2025 y Ft(\000)18 b FA(u)1967 1995 y Fy(\(1\))2055 2025 y FD(\))p 1539 2062 550 4 v 1584 2140 a Ft(j)p FA(u)1655 2116 y Fy(\(1\))1762 2140 y Ft(\000)g FA(u)1893 2116 y Fy(\(0\))1982 2140 y Ft(j)2005 2116 y Fy(3)2125 2081 y FA(;)2338 2025 y(d)2381 1995 y Fy(2)2419 2025 y FA(u)2467 1995 y Fy(\(1\))p 2338 2062 218 4 v 2392 2138 a FA(dt)2465 2114 y Fy(2)2588 2081 y FD(=)23 b Ft(\000)2751 2025 y FA(m)2824 2037 y Fy(0)2861 2025 y FD(\()p FA(u)2941 1995 y Fy(\(1\))3048 2025 y Ft(\000)18 b FA(u)3179 1995 y Fy(\(0\))3268 2025 y FD(\))p 2751 2062 550 4 v 2796 2140 a Ft(j)p FA(u)2867 2116 y Fy(\(1\))2974 2140 y Ft(\000)g FA(u)3105 2116 y Fy(\(0\))3194 2140 y Ft(j)3217 2116 y Fy(3)1006 2267 y FA(d)1049 2237 y Fy(2)1086 2267 y FA(u)1134 2237 y Fy(\(2\))p 1006 2305 218 4 v 1059 2381 a FA(dt)1132 2357 y Fy(2)1316 2324 y FD(=)83 b Ft(\000)1539 2267 y FA(m)1612 2279 y Fy(0)1648 2267 y FD(\()p FA(u)1728 2237 y Fy(\(2\))1836 2267 y Ft(\000)18 b FA(u)1967 2237 y Fy(\(0\))2055 2267 y FD(\))p 1539 2305 550 4 v 1584 2382 a Ft(j)p FA(u)1655 2358 y Fy(\(2\))1762 2382 y Ft(\000)g FA(u)1893 2358 y Fy(\(0\))1982 2382 y Ft(j)2005 2358 y Fy(3)2116 2324 y Ft(\000)2209 2267 y FA(m)2282 2279 y Fy(1)2319 2267 y FD(\()p FA(u)2399 2237 y Fy(\(2\))2507 2267 y Ft(\000)g FA(u)2638 2237 y Fy(\(1\))2726 2267 y FD(\))p 2209 2305 V 2255 2382 a Ft(j)p FA(u)2326 2358 y Fy(\(1\))2433 2382 y Ft(\000)g FA(u)2564 2358 y Fy(\(2\))2653 2382 y Ft(j)2676 2358 y Fy(3)2796 2324 y FA(:)946 b FD(\(3.215\))287 2552 y(Notice)28 b(that)h(the)f(equations)g(for)f(the)i(t)n(w)n(o)f(primaries)f FA(P)2093 2564 y Fy(0)2158 2552 y FD(and)i FA(P)2374 2564 y Fy(1)2439 2552 y Fo(decouple)f FD(and)h(describ)r(e)e(an)h Fo(unp)r(erturb)r(ed)h(t)n(w)n(o-)287 2651 y(b)r(o)r(dy)34 b(system)p FD(,)f(whic)n(h)h(can)f(b)r(e)i(solv)n(ed)d(and)i(the)g (solution)f(can)g(b)r(e)i(plugged)e(in)n(to)g(the)h(equation)g(for)f FA(u)3664 2621 y Fy(\(2\))3752 2651 y FD(,)h(whic)n(h)287 2751 y(b)r(ecomes)27 b(a)g(second-order,)f Fo(p)r(erio)r(dically)g (forced)h FD(equation)g(in)h Fp(R)2381 2721 y Fy(3)2425 2751 y FD(.)287 2983 y Fv(3.2)112 b(Delauna)m(y)38 b(action-angle)f(v) -6 b(ariables)37 b(for)h(the)f(t)m(w)m(o-b)s(o)s(dy)h(problem)287 3137 y FD(In)31 b(this)h(section)e(w)n(e)h(review)g(the)g(construction) g(of)g(the)g(classical)f(Delauna)n(y)g([46])h(action-angle)e(v)-5 b(ariables)30 b(for)h(the)287 3236 y(t)n(w)n(o-b)r(o)r(dy)26 b(problem.)287 3361 y(The)e(equations)g(of)h(motion)f(of)h(t)n(w)n(o)f (b)r(o)r(dies)g FA(P)1747 3373 y Fy(0)1810 3361 y FD(and)g FA(P)2021 3373 y Fy(1)2083 3361 y FD(of)h(masses)e FA(m)2518 3373 y Fy(0)2580 3361 y FD(and)i FA(m)2812 3373 y Fy(1)2849 3361 y FD(,)g(in)n(teracting)e(through)h(gra)n(vitation)287 3460 y(\(with)k(gra)n(vitational)d(constan)n(t)i(equal)g(to)h(one\))f (are)g(giv)n(en)g(\(as)g(in)h(the)g(\014rst)f(line)h(of)f(\(3.215\)\))g (b)n(y)635 3646 y FA(d)678 3616 y Fy(2)716 3646 y FA(u)764 3616 y Fy(\(0\))p 635 3683 218 4 v 689 3759 a FA(dt)762 3735 y Fy(2)886 3702 y FD(=)22 b Ft(\000)1048 3646 y FA(m)1121 3658 y Fy(1)1158 3646 y FD(\()p FA(u)1238 3616 y Fy(\(0\))1345 3646 y Ft(\000)c FA(u)1476 3616 y Fy(\(1\))1565 3646 y FD(\))p 1048 3683 550 4 v 1093 3761 a Ft(j)p FA(u)1164 3737 y Fy(\(1\))1272 3761 y Ft(\000)g FA(u)1403 3737 y Fy(\(0\))1491 3761 y Ft(j)1514 3737 y Fy(3)1635 3702 y FA(;)1848 3646 y(d)1891 3616 y Fy(2)1928 3646 y FA(u)1976 3616 y Fy(\(1\))p 1848 3683 218 4 v 1901 3759 a FA(dt)1974 3735 y Fy(2)2098 3702 y FD(=)23 b Ft(\000)2261 3646 y FA(m)2334 3658 y 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3431 y(.)2089 3427 y(.)2089 3424 y(.)2089 3421 y(.)2089 3418 y(.)2089 3414 y(.)2089 3411 y(.)2089 3408 y(.)2089 3404 y(.)2089 3401 y(.)2089 3398 y(.)2089 3354 y(.)2089 3351 y(.)2089 3348 y(.)2089 3344 y(.)2089 3341 y(.)2089 3338 y(.)2089 3334 y(.)2089 3331 y(.)2089 3328 y(.)2089 3325 y(.)2089 3321 y(.)2089 3318 y(.)2089 3315 y(.)2014 3257 y FA(r)2051 3269 y Fy(+)2106 3257 y FD(\()p FA(E)5 b FD(\))1367 3326 y Ft(\017)1413 3386 y FA(r)1450 3398 y Fw(min)1300 3490 y Fs(.)1300 3487 y(.)1300 3484 y(.)1300 3480 y(.)1300 3477 y(.)1300 3474 y(.)1300 3471 y(.)1300 3467 y(.)1300 3464 y(.)1300 3461 y(.)1300 3457 y(.)1300 3454 y(.)1300 3451 y(.)1300 3407 y(.)1300 3404 y(.)1300 3401 y(.)1300 3397 y(.)1300 3394 y(.)1300 3391 y(.)1300 3388 y(.)1300 3384 y(.)1300 3381 y(.)1300 3378 y(.)1300 3374 y(.)1300 3371 y(.)1300 3368 y(.)1300 3324 y(.)1300 3321 y(.)1300 3318 y(.)1300 3315 y(.)1300 3311 y(.)1307 3257 y FA(r)1323 3269 y Fx(\000)1379 3257 y FD(\()p FA(E)g FD(\))1217 3392 y FA(r)1233 3404 y Fx(1)855 4109 y FB(Figure)32 b(2:)f FD(The)c(e\013ectiv)n(e)h(p)r(oten)n(tial)g(of)f(the)h(t)n(w)n (o{b)r(o)r(dy)f(problem)287 4467 y(The)g(motion)h(on)f(the)h(energy)f (lev)n(el)g FA(H)1528 4432 y Fx(\000)p Fy(1)1521 4492 y(e\013)1617 4467 y FD(\()p FA(E)5 b FD(\))28 b(is)f(b)r(ounded)h (\(and)g(p)r(erio)r(dic\))g(if)g(and)f(only)h(if)929 4707 y FA(E)g Ft(2)23 b FD([)p FA(E)1180 4719 y Fy(min)1295 4707 y FA(;)14 b FD(0\))27 b FA(;)180 b(E)1697 4719 y Fy(min)1834 4707 y FD(:=)23 b FA(V)1993 4719 y Fy(e\013)2071 4707 y FD(\()p FA(r)2140 4719 y Fy(min)2255 4707 y FD(\))h(=)e Ft(\000)2473 4651 y FA(\026)2523 4621 y Fy(3)2560 4651 y FA(M)2650 4621 y Fy(2)p 2473 4688 215 4 v 2510 4764 a FD(2\010)2612 4740 y Fy(2)2724 4707 y FA(;)97 b(r)2881 4719 y Fy(min)3019 4707 y FD(:=)3180 4651 y(\010)3240 4621 y Fy(2)p 3140 4688 177 4 v 3140 4764 a FA(\026)3190 4740 y Fy(2)3227 4764 y FA(M)3354 4707 y(:)388 b FD(\(3.222\))p 287 4800 1493 4 v 349 4856 a Fn(56)414 4879 y FH(\\)p Fl(\002)p FH(")24 b(denotes,)h(here,)e(the)i(standard)f(\\v)n(ector)h (pro)r(duct")g(in)f Fp(R)2110 4856 y Fn(3)2150 4879 y FH(.)2111 5492 y FD(69)p eop %%Page: 70 70 70 69 bop 287 -94 a FD(F)-7 b(or)27 b FA(E)h Ft(2)23 b FD(\()p FA(E)696 -82 y Fy(min)811 -94 y FA(;)14 b FD(0\))27 b(the)h(p)r(erio)r(d)g FA(T)12 b FD(\()p FA(E)5 b FD(\))27 b(is)h(giv)n(en)f(b)n(y)1509 149 y FA(T)12 b FD(\()p FA(E)5 b FD(\))23 b(=)f(2)1852 36 y Fz(Z)1935 56 y Fw(r)1966 64 y Fs(+)2012 56 y Fy(\()p Fw(E)s Fy(\))1877 225 y Fw(r)1908 233 y Fr(\000)1957 225 y Fy(\()p Fw(E)s Fy(\))2392 93 y FA(dr)p 2130 130 606 4 v 2130 146 a Fz(q)p 2213 146 523 4 v 2227 204 a Fy(2)p 2223 218 41 4 v 2223 265 a Fw(\026)2274 237 y FD(\()p FA(E)i Ft(\000)18 b FA(V)2522 249 y Fy(e\013)2600 237 y FD(\()p FA(r)r FD(\)\))2774 149 y FA(;)968 b FD(\(3.223\))287 441 y(where)27 b FA(r)564 453 y Fx(\006)620 441 y FD(\()p FA(E)5 b FD(\))24 b(=)f FA(r)899 453 y Fx(\006)955 441 y FD(\()p FA(E)5 b FD(;)14 b(\010\))28 b(are)f(the)h(t)n(w)n(o)f(real)f(ro)r(ots)h(of)h FA(E)23 b Ft(\000)18 b FA(V)2331 453 y Fy(e\013)2409 441 y FD(\()p FA(r)r FD(\))25 b(=)d(0,)28 b(i.e.,)1559 661 y FA(E)23 b Ft(\000)18 b FA(V)1774 673 y Fy(e\013)1853 661 y FD(\()p FA(r)r FD(\))24 b(=:)2101 605 y Ft(\000)p FA(E)p 2101 642 131 4 v 2127 718 a(r)2166 694 y Fy(2)2241 661 y FD(\()p FA(r)2310 673 y Fy(+)2385 661 y Ft(\000)18 b FA(r)r FD(\)\()p FA(r)k Ft(\000)c FA(r)2750 673 y Fx(\000)2807 661 y FD(\))28 b FA(;)1559 937 y(r)1596 949 y Fx(\006)1652 937 y FD(\()p FA(E)5 b FD(;)14 b(\010\))24 b(=)2001 851 y FA(\026M)j Ft(\006)2242 758 y Fz(q)p 2325 758 528 4 v 93 x FD(\()p FA(\026M)9 b FD(\))2529 827 y Fy(2)2585 851 y FD(+)2678 819 y Fy(2)p Fw(E)s Fy(\010)2810 802 y Fs(2)p 2678 833 165 4 v 2740 880 a Fw(\026)p 2001 918 852 4 v 2340 994 a Ft(\000)p FD(2)p FA(E)2890 937 y(:)852 b FD(\(3.224\))287 1149 y(The)27 b(in)n(tegral)g(in)h(\(3.223\))e(is)i (readily)e(computed)i(yielding)f(Kepler's)g(second)g(la)n(w)1661 1375 y FA(T)12 b FD(\()p FA(E)5 b FD(\))22 b(=)h(2)p FA(\031)31 b(M)2199 1283 y Fz(\020)2319 1319 y FA(\026)p 2258 1356 173 4 v 2258 1432 a Ft(\000)p FD(2)p FA(E)2441 1283 y Fz(\021)2490 1300 y Fy(3)p Fw(=)p Fy(2)2622 1375 y FA(:)287 1588 y FD(Let)c(us)g(no)n(w)g(in)n(tegrate)f(the)h(motion)g (in)h(the)f(\()p FA(r)n(;)14 b(')p FD(\))28 b(co)r(ordinates.)e(The)h (equations)f(of)i(motion)e(in)i(suc)n(h)f(co)r(ordinates)287 1687 y(are)f(giv)n(en)h(b)n(y)1519 1824 y(_)-46 b FA(')24 b FD(=)1705 1768 y(\010)p 1671 1805 128 4 v 1671 1881 a FA(\026r)1760 1857 y Fy(2)1836 1824 y FA(;)193 b FD(_)-36 b FA(r)2078 1790 y Fy(2)2139 1824 y FD(=)2241 1768 y(2)p 2236 1805 51 4 v 2236 1881 a FA(\026)2296 1824 y FD(\()p FA(E)24 b Ft(\000)18 b FA(V)2544 1836 y Fy(e\013)2622 1824 y FD(\()p FA(r)r FD(\)\))30 b FA(:)955 b FD(\(3.225\))287 2015 y(By)25 b(symmetry)g(argumen)n(ts,)f(it)i(is)f(enough)g(to)g (consider)f(the)i(motion)f(for)g(0)e Ft(\024)f FA(t)h Ft(\024)g FA(T)12 b FD(\()p FA(E)5 b FD(\))p FA(=)p FD(2;)24 b(furthermore,)h(w)n(e)g(shall)287 2115 y(c)n(ho)r(ose)h(the)h(initial) g(time)h(so)e(that)h FA(r)r FD(\(0\))d(=)f FA(r)1694 2127 y Fx(\000)1778 2115 y FD(\(i.e.,)k(at)g(the)g(initial)h(time)f (the)h(system)e(is)h(at)g(the)h(\\)p Fo(p)r(erihelion)p FD("\):)e(the)287 2214 y(corresp)r(onding)f(angle)i(will)h(b)r(e)g(a)f (certain)g FA(')1707 2226 y Fy(0)1772 2214 y FD(and)h(w)n(e)f(shall)g (mak)n(e)g(the)h(\(trivial\))g(c)n(hange)e(of)i(v)-5 b(ariables)1180 2392 y FA(')23 b FD(=)g FA(')1399 2404 y Fy(0)1455 2392 y FD(+)18 b Fo(f)44 b FA(;)180 b FD(so)27 b(that)83 b FA(r)r FD(\(0\))24 b(=)f FA(r)2441 2404 y Fx(\000)2497 2392 y FD(\()p FA(E)5 b FD(\))29 b FA(;)96 b Fo(f)17 b FD(\(0\))23 b(=)g(0)k FA(:)639 b FD(\(3.226\))287 2570 y(The)32 b(angle)g Fo(f)49 b FD(is)33 b(commonly)e(called)i(the)f Fo(true)h(anomaly)p FD(;)e(the)i(angle)f FA(')2605 2582 y Fy(0)2675 2570 y FD(\(i.e.,)h(the)g(constan)n(t)f(angle)f(b)r(et)n(w) n(een)i(the)287 2669 y(p)r(erihelion)d(line,)i(joining)e(the)i(fo)r(ci) f(of)g(the)g(ellipse)g(and)g(the)g FA(x)2298 2681 y Fy(1)2366 2669 y FD(axis\))g(is)g(called)f Fo(the)h(argumen)n(t)f(of)h(the)g(p)r (erihelion)287 2769 y FD(\(compare)26 b(\014gure)h(at)h(page)e(68\).) 287 2893 y(Equations)g(\(3.225\))h(b)r(ecome)1411 2925 y Fz(\()1528 2988 y FD(_)1519 3010 y Fo(f)39 b FD(=)1710 2977 y Fy(\010)p 1681 2991 106 4 v 1681 3038 a Fw(\026r)1754 3022 y Fs(2)1824 3010 y FA(;)516 b Fo(f)17 b FD(\(0\))23 b(=)f(0)1532 3120 y(_)-36 b FA(r)1558 3090 y Fy(2)1619 3120 y FD(=)1720 3087 y Fy(2)p 1717 3101 41 4 v 1717 3149 a Fw(\026)1767 3120 y FD(\()p FA(E)24 b Ft(\000)18 b FA(V)2015 3132 y Fy(e\013)2093 3120 y FD(\()p FA(r)r FD(\)\))29 b FA(;)83 b(r)r FD(\(0\))24 b(=)f FA(r)2657 3132 y Fx(\000)2713 3120 y FD(\()p FA(E)5 b FD(\))287 3288 y(Eliminating)27 b(time)h(\(for)f FA(t)c Ft(2)h FD(\(0)p FA(;)14 b(T)e FD(\()p FA(E)5 b FD(\)\),)40 b(_)-36 b FA(r)26 b(>)d FD(0\))k(w)n(e)g(\014nd)i(\(recall)d(the)i (de\014nitions)g(in)g(\(3.222\)\))1161 3519 y Fo(f)39 b FD(=)23 b(\010)1373 3406 y Fz(Z)1456 3427 y Fw(r)1398 3595 y(r)1429 3603 y Fr(\000)1478 3595 y Fy(\()p Fw(E)s Fy(\))1839 3463 y FA(d\032=\032)2010 3433 y Fy(2)p 1623 3500 641 4 v 1623 3517 a Fz(p)p 1706 3517 558 4 v 71 x FD(2)p FA(\026)p FD(\()p FA(E)h Ft(\000)18 b FA(V)2046 3600 y Fy(e\013)2124 3588 y FD(\()p FA(\032)p FD(\)\))2297 3519 y(=)36 b(Arccos)2753 3424 y Fw(r)2784 3432 y Fs(min)p 2753 3439 129 4 v 2801 3487 a Fw(r)2910 3458 y Ft(\000)18 b FD(1)p 2692 3500 393 4 v 2692 3517 a Fz(q)p 2775 3517 310 4 v 92 x FD(1)g Ft(\000)2975 3577 y Fw(E)p 2928 3591 147 4 v 2928 3638 a(E)2977 3646 y Fs(min)3122 3519 y FA(:)620 b FD(\(3.227\))287 3806 y(Setting)1552 3963 y FA(e)23 b FD(:=)1724 3837 y Fz(r)p 1807 3837 339 4 v 126 x FD(1)18 b Ft(\000)2015 3907 y FA(E)p 1960 3944 176 4 v 1960 4020 a(E)2021 4032 y Fy(min)2173 3963 y FA(;)180 b(p)23 b FD(:=)g FA(r)2589 3975 y Fy(min)2731 3963 y FA(;)1011 b FD(\(3.228\))287 4146 y(w)n(e)27 b(get)g(the)h (classical)f(fo)r(cal)g(equation)1487 4340 y FA(r)f FD(=)1807 4284 y FA(p)p 1647 4321 362 4 v 1647 4397 a FD(1)18 b(+)g FA(e)c FD(cos)f Fo(f)2042 4340 y FD(=)2428 4284 y FA(p)p 2140 4321 619 4 v 2140 4397 a FD(1)18 b(+)g FA(e)c FD(cos)n(\()p FA(')19 b Ft(\000)g FA(')2689 4409 y Fy(0)2726 4397 y FD(\))2796 4340 y FA(;)946 b FD(\(3.229\))287 4567 y(whic)n(h)32 b(sho)n(ws)f(that)h FA(P)1009 4579 y Fy(0)1078 4567 y FD(and)g FA(P)1297 4579 y Fy(1)1367 4567 y FD(describ)r(e)f(t)n(w)n(o)h (ellipses)f(of)h(eccen)n(tricit)n(y)f FA(e)f Ft(2)h FD(\(0)p FA(;)14 b FD(1\))32 b(with)g(common)g(fo)r(cus)g(in)g(the)287 4666 y(cen)n(ter)27 b(of)g(mass)g(\(\014rst)h(Kepler)f(la)n(w\).)287 4790 y(If)h FA(a)23 b Ft(\025)f FA(b)h(>)g FD(0)k(denote)g(the)h (semi-axis)f(of)g(the)h(ellipse,)g(from)f(\(3.229\))g(it)h(follo)n(ws)e (immediately)i(that)1057 4989 y FA(r)1094 5001 y Fx(\006)1174 4989 y FD(=)1342 4933 y FA(p)p 1272 4970 182 4 v 1272 5046 a FD(1)18 b Ft(\007)g FA(e)1491 4989 y(;)97 b(r)1648 5001 y Fy(+)1722 4989 y FD(+)18 b FA(r)1842 5001 y 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FA(E)1016 615 y Fy(min)1153 603 y FD(=)c Ft(\000)1316 547 y FA(\026M)p 1316 584 140 4 v 1344 660 a FD(2)p FA(p)1493 603 y(;)97 b(E)28 b FD(=)23 b Ft(\000)1865 547 y FA(\026M)p 1865 584 V 1891 660 a FD(2)p FA(a)2041 603 y(;)97 b(E)24 b Ft(\000)18 b FA(V)2377 615 y Fy(e\013)2478 603 y FD(=)2576 547 y FA(\026M)p 2576 584 V 2603 660 a FD(2)p FA(a)2739 486 y Fz(\022)2886 547 y FA(e)c FD(sin)f FA(u)p 2810 584 368 4 v 2810 660 a FD(1)18 b Ft(\000)g FA(e)c FD(cos)f FA(u)3188 486 y Fz(\023)3249 504 y Fy(2)3328 603 y FA(:)414 b FD(\(3.232\))287 831 y FB(Remark)31 b(3.2)40 b FD(The)32 b Fo(circular)e(motion)h FD(for)f(the)i(t)n(w)n(o-b)r(o)r(dy)e(problem) h(is)g(obtained)g(for)g(the)h(minimal)f(v)-5 b(alue)32 b(of)f(the)287 945 y(energy)26 b FA(E)i FD(=)23 b FA(E)790 957 y Fy(min)928 945 y FD(=)f Ft(\000)1090 908 y Fw(\026)1130 882 y Fs(3)1162 908 y Fw(M)1231 882 y Fs(2)p 1090 925 175 4 v 1121 973 a Fy(2\010)1201 957 y Fs(2)1274 945 y FD(.)28 b(In)g(suc)n(h)f(a)g(case)1536 1188 y FA(e)c FD(=)f(0)27 b FA(;)180 b(r)26 b Ft(\021)d FA(p)g FD(=)f FA(r)2297 1200 y Fy(min)2435 1188 y FD(=)2572 1132 y(\010)2632 1102 y Fy(2)p 2533 1169 177 4 v 2533 1245 a FA(\026)2583 1221 y Fy(2)2620 1245 y FA(M)2747 1188 y FD(;)995 b(\(3.233\))287 1410 y(the)28 b(constan)n(t)f(angular)f(v)n(elo)r(cit)n(y)g(and)i(the)g (p)r(erio)r(d)f(are)g(resp)r(ectiv)n(ely)g(giv)n(en)f(b)n(y)1464 1642 y FA(!)1516 1654 y Fy(circ)1646 1642 y FD(=)1744 1585 y FA(\026)1794 1555 y Fy(3)1831 1585 y FA(M)1921 1555 y Fy(2)p 1744 1622 215 4 v 1802 1698 a FD(\010)1862 1674 y Fy(3)1996 1642 y FA(;)180 b(T)2248 1654 y Fy(circ)2378 1642 y FD(=)23 b(2)p FA(\031)2626 1585 y FD(\010)2686 1555 y Fy(3)p 2567 1622 V 2567 1698 a FA(\026)2617 1674 y Fy(3)2655 1698 y FA(M)2745 1674 y Fy(2)2819 1642 y FA(:)923 b FD(\(3.234\))287 1868 y(Eliminating)27 b(\010)h(in)f (\(3.233\))g(and)g(\(3.234\))g(one)g(gets)1491 2121 y FA(!)1543 2133 y Fy(circ)1674 2121 y FD(=)1762 1989 y Fz(r)p 1845 1989 110 4 v 1855 2065 a FA(M)p 1855 2102 90 4 v 1861 2178 a(r)1900 2154 y Fy(3)1982 2121 y FA(;)180 b(T)2234 2133 y Fy(circ)2364 2121 y FD(=)23 b(2)p FA(\031)2571 1987 y Fz(r)p 2654 1987 110 4 v 2671 2065 a FA(r)2710 2041 y Fy(3)p 2664 2102 90 4 v 2664 2178 a FA(M)2792 2121 y(:)287 2334 y FD(The)k(motion)h(in)g(the)g FA(x)p FD(-v)-5 b(ariables)26 b(is)i(giv)n(en)e(b)n(y)1325 2537 y FA(x)p FD(\()p FA(t)p FD(\))e(=)f FA(r)1617 2445 y Fz(\020)1681 2537 y FD(cos)o(\()p FA(')1878 2549 y Fy(0)1934 2537 y FD(+)18 b FA(!)2069 2549 y Fy(circ)2205 2537 y FA(t)p FD(\))p FA(;)c FD(sin\()p FA(')2492 2549 y Fy(0)2548 2537 y FD(+)k FA(!)2683 2549 y Fy(circ)2818 2537 y FA(t)p FD(\))2880 2445 y Fz(\021)2958 2537 y FA(:)784 b FD(\(3.235\))287 2770 y(W)-7 b(e)32 b(turn)g(to)f(the)h(construction)f(of)g(the)h Fo(action-angle)e(v)-5 b(ariables)p FD(.)31 b(F)-7 b(or)31 b FA(E)j Ft(2)c FD(\()p FA(E)2868 2782 y Fy(min)2983 2770 y FA(;)14 b FD(0\),)32 b(denote)f(b)n(y)g FA(S)3590 2782 y Fw(E)3678 2770 y FD(the)h(curv)n(e)287 2869 y(\(energy)25 b(lev)n(el\))g Ft(f)p FD(\()p FA(r)n(;)14 b(R)q FD(\))23 b(:)g FA(H)1182 2881 y Fy(e\013)1260 2869 y FD(\()p FA(r)n(;)14 b(R)q FD(\))23 b(=)g FA(E)5 b Ft(g)25 b FD(\(at)h(a)g(\014xed)f(v)-5 b(alue)26 b(of)g(\010\).)g(The)g(area)e FA(A)p FD(\()p FA(E)5 b FD(\))27 b(encircled)e(b)n(y)g(suc)n(h)h(a)f(curv)n(e)287 2969 y(in)j(the)g(\()p FA(r)n(;)14 b(R)q FD(\)-plane)27 b(is)h(giv)n(en)e(b)n(y)967 3217 y FA(A)p FD(\()p FA(E)5 b FD(\))24 b(=)e(2)1312 3104 y Fz(Z)1395 3125 y Fw(r)1426 3133 y Fs(+)1472 3125 y Fy(\()p Fw(E)s Fy(\))1337 3293 y Fw(r)1368 3301 y Fr(\000)1417 3293 y Fy(\()p Fw(E)s Fy(\))1608 3092 y Fz(r)p 1691 3092 589 4 v 125 x FD(2)p FA(\026)1783 3125 y Fz(\020)1832 3217 y FA(E)i Ft(\000)18 b FA(V)2048 3229 y Fy(e\013)2126 3217 y FD(\()p FA(r)r FD(\))2229 3125 y Fz(\021)2280 3217 y FA(dr)26 b FD(=)c(2)p FA(\031)31 b(\026M)2760 3099 y Fz(r)p 2843 3099 193 4 v 2914 3161 a FA(\026)p 2853 3198 173 4 v 2853 3274 a Ft(\000)p FD(2)p FA(E)3054 3217 y Ft(\000)18 b FD(2)p FA(\031)s FD(\010)27 b FA(:)287 3461 y FD(Th)n(us,)g(\(b)n(y)h(the)g (theorem)f(of)g(Liouville-Arnold\))g(the)h(action)f(v)-5 b(ariable)27 b(is)g(giv)n(en)g(b)n(y)1522 3698 y FA(I)7 b FD(\()p FA(E)e FD(\))23 b(=)1816 3642 y FA(A)p FD(\()p FA(E)5 b FD(\))p 1816 3679 193 4 v 1867 3755 a(2)p FA(\031)2042 3698 y FD(=)23 b FA(\026M)2297 3580 y Fz(r)p 2380 3580 V 2451 3642 a FA(\026)p 2390 3679 173 4 v 2390 3755 a Ft(\000)p FD(2)p FA(E)2590 3698 y Ft(\000)18 b FD(\010)28 b FA(;)287 3930 y FD(whic)n(h,)e(in)n(v)n(erted,)g(giv)n(es)f(the)h (form)g(of)h(the)f(Hamiltonian)g FA(H)2207 3942 y Fy(e\013)2311 3930 y FD(in)h(the)g(action-angle)d(v)-5 b(ariables)25 b(\()p FA(\022)r(;)14 b(I)7 b FD(\))27 b(\(and)g(param-)287 4029 y(eterized)g(b)n(y)g(\010\):)1574 4182 y FA(h)p FD(\()p FA(I)7 b FD(\))23 b(:=)g FA(h)p FD(\()p FA(I)7 b FD(;)14 b(\010\))23 b(:=)g Ft(\000)2390 4126 y FA(\026)2440 4096 y Fy(3)2478 4126 y FA(M)2568 4096 y Fy(2)p 2324 4163 348 4 v 2324 4239 a FD(2\()p FA(I)i FD(+)18 b(\010\))2634 4215 y Fy(2)2709 4182 y FA(:)287 4380 y FD(F)-7 b(urthermore)26 b(\(again)h(b)n(y)h(Liouville-Arnold\),)e(the)j(symplectic)e (transformation)f(b)r(et)n(w)n(een)i(\()p FA(r)n(;)14 b(R)q FD(\))28 b(\(in)g(a)g(neigh)n(b)r(or-)287 4480 y(ho)r(o)r(d)i(of)g(a)g(p)r(oin)n(t)g(with)g FA(R)e(>)f FD(0\))j(and)g(the)g(action)g(v)-5 b(ariables,)29 b(\()p FA(\022)r(;)14 b(I)7 b FD(\),)31 b(for)e(the)i(Hamiltonian)f FA(H)3357 4492 y Fy(e\013)3465 4480 y FD(is)g Fo(generated)e FD(b)n(y)287 4579 y(the)g(generating)e(function)1133 4549 y Fy(57)876 4823 y FA(S)927 4835 y Fy(0)964 4823 y FD(\()p FA(I)7 b(;)14 b(r)r FD(;)g(\010\))24 b(:=)1379 4710 y Fz(Z)1462 4731 y Fy(\()p Fw(r)n(;R)1587 4739 y Fs(+)1633 4731 y Fy(\()p Fw(r)r Fy(;)p Fw(I)5 b Fy(\)\))1403 4899 y(\()p Fw(r)1460 4907 y Fr(\000)1509 4899 y Fy(\()p Fw(h)p Fy(\()p Fw(I)g Fy(\)\))p Fw(;)p Fy(0\))1828 4823 y FA(R)q(dr)30 b(;)180 b(R)2268 4835 y Fy(+)2324 4823 y FD(\()p FA(r)r FD(;)14 b FA(I)7 b FD(\))24 b(:=)2642 4723 y Fz(q)p 2725 4723 655 4 v 100 x 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(symplectic\))h(c)n(hange)f(of)g(v)-5 b(ariables)27 b(giv)n(en)g(b)n(y) 1392 3440 y FA(\036)1441 3404 y Fx(\000)p Fy(1)1441 3465 y(lin)1554 3440 y FD(:)1683 3323 y Fz(\032)1787 3389 y FD(\003)22 b(=)h FA(I)j FD(+)18 b FA(J)35 b(;)249 b FD(\000)23 b(=)g FA(J)36 b(;)1787 3489 y(\025)23 b FD(=)g FA(\022)30 b(;)415 b(\015)28 b FD(=)23 b FA( )e Ft(\000)d FA(\022)30 b(:)287 3646 y FD(The)d(v)-5 b(ariables)27 b(\()p FA(\025;)14 b(\015)5 b(;)14 b FD(\003)p FA(;)g FD(\000\))27 b(are)g(the)h(celebrated)f Fo(Delauna)n(y)g(v)-5 b(ariables)26 b(for)h(the)h(t)n(w)n(o-b)r(o)r(dy)f(problem)p FD(.)g(If)h(w)n(e)f(set)1771 3802 y FA(\036)1820 3814 y Fy(D)1898 3802 y FD(:=)c FA(\036)2058 3814 y Fy(p)r(c)2149 3802 y Ft(\016)18 b FA(\036)2258 3814 y Fy(aa)2347 3802 y Ft(\016)g FA(\036)2456 3814 y Fy(lin)3765 3802 y FD(\(3.236\))287 3959 y(b)n(y)27 b(the)h(ab)r(o)n(v)n(e)e(analysis)h(w)n(e)g(get)1345 4163 y FA(h)1393 4175 y Fy(Kep)1532 4163 y Ft(\016)18 b FA(\036)1641 4175 y Fy(D)1696 4163 y FD(\()p 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FA(<)f FD(\003)p Ft(g)p FD(.)287 2280 y(The)27 b(angle)g FA(\025)h FD(is)g(computed)g (from)f(the)h(generating)e(function)i FA(S)2338 2292 y Fy(2)2375 2280 y FD(:)1125 2494 y FA(\025)153 b FD(=)1553 2438 y FA(@)5 b(S)1653 2450 y Fy(2)p 1553 2475 137 4 v 1568 2551 a FA(@)g FD(\003)1723 2494 y(=)1810 2373 y Fz(r)p 1893 2373 70 4 v 1903 2438 a FA(\026)p 1903 2475 51 4 v 1907 2551 a FD(2)1996 2438 y FA(\026)2046 2408 y Fy(3)2084 2438 y FA(M)2174 2408 y Fy(2)p 1996 2475 215 4 v 2056 2551 a FD(\003)2114 2527 y Fy(3)2244 2381 y Fz(Z)2327 2402 y Fw(r)2268 2570 y(r)2299 2578 y Fr(\000)2729 2438 y FA(d\032)p 2373 2475 799 4 v 2373 2492 a Fz(p)p 2456 2492 716 4 v 69 x FA(h)2504 2573 y Fy(Kep)2625 2561 y FD(\(\003\))19 b Ft(\000)f FA(V)2897 2573 y Fy(e\013)2975 2561 y FD(\()p FA(\032)p FD(;)c(\000\))1256 2706 y Fy(\(3)p Fw(:)p Fy(239\))1326 2760 y FD(=)1543 2628 y Fz(r)p 1626 2628 160 4 v 1636 2704 a FA(\026M)p 1636 2741 140 4 v 1663 2817 a FD(2)p FA(a)1820 2704 y FD(1)p 1819 2741 44 4 v 1819 2817 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FD(\)\))2128 3569 y FA(;)1614 b FD(\(3.240\))287 3779 y(where)24 b(\(compare)g(App)r(endix)h(A\),)h Ft(E)7 b FD(\()p Fo(f)17 b FD(\))25 b(is)g(the)g(area)e(\(on)i(the)g(ellipse)f (\(3.229\)\))g(\\spanned)g(b)n(y)h(the)g(orbital)f(radius":)1236 3941 y Ft(E)7 b FD(\()p Fo(f)17 b FD(\))23 b(:=)g Ft(f)p FA(x)g FD(=)g FA(x)p FD(\()p FA(r)1845 3907 y Fx(0)1869 3941 y FA(;)14 b Fo(f)1948 3907 y Fx(0)1971 3941 y FD(\))23 b(:)g(0)g Ft(\024)g FA(r)2264 3907 y Fx(0)2311 3941 y Ft(\024)f FA(r)r FD(\()p Fo(f)c FD(\))28 b FA(;)14 b FD(0)22 b Ft(\024)h Fo(f)2802 3907 y Fx(0)2849 3941 y Ft(\024)f Fo(f)17 b Ft(g)27 b FD(;)287 4103 y(w)n(e)k(ha)n(v)n(e)g (also)g(used)h(the)h(fact)f(that)g FA(\032)g FD(as)g(a)f(function)i(of) f FA(u)e Ft(2)h FD([0)p FA(;)14 b(\031)s FD(])32 b(is)f(a)h(strictly)g (increasing)e(function)j(and)f(that)287 4202 y FA(\032)p FD(\(0\))23 b(=)g FA(r)584 4214 y Fx(\000)640 4202 y FD(.)287 4323 y(In)38 b(view)f(of)h(\(3.240\),)e FA(\025)i FD(is)g(called)f Fo(the)h(mean)f(anomaly)p FD(.)g(Analogously)-7 b(,)36 b Fo(the)i(angle)e FA(\015)43 b Fo(is)37 b(recognized)f(to)i(b)r (e)g(the)287 4422 y(argumen)n(t)26 b(of)i(the)g(p)r(erihelion)f FA(')1335 4434 y Fy(0)1400 4422 y FD(in)n(tro)r(duced)h(ab)r(o)n(v)n(e) e(\(just)j(b)r(efore)e(Remark)g(3.2\):)1150 4631 y FA(\015)157 b FD(=)1577 4575 y FA(@)5 b(S)1677 4587 y Fy(2)p 1577 4612 137 4 v 1595 4688 a FA(@)g FD(\000)1747 4631 y(=)23 b FA(')18 b Ft(\000)g FD(\000)2042 4518 y Fz(Z)2125 4538 y Fw(r)2067 4707 y(r)2098 4715 y Fr(\000)2572 4575 y FD(1)p 2172 4612 841 4 v 2172 4628 a Fz(p)p 2255 4628 758 4 v 67 x FD(2)p FA(\026)p FD(\()p FA(h)2427 4710 y Fy(Kep\(\003\))2664 4695 y Ft(\000)g FA(V)2795 4707 y Fy(e\013)2873 4695 y FD(\()p FA(\032)p FD(\)\))3060 4575 y FA(d\032)p 3060 4612 87 4 v 3063 4688 a(\032)3106 4664 y Fy(2)1280 4810 y(\(3)p Fw(:)p Fy(227\))1350 4864 y FD(=)152 b FA(')19 b Ft(\000)f Fo(f)1280 4965 y Fy(\(3)p Fw(:)p Fy(226\))1350 5020 y FD(=)152 b FA(')1621 5032 y Fy(0)1686 5020 y FA(:)2056 b FD(\(3.241\))2111 5492 y(73)p eop %%Page: 74 74 74 73 bop 2388 539 a FA(\015)28 b FD(=)22 b FA(')2600 551 y Fy(0)2217 584 y FA(')2152 508 y(f)1926 449 y Ft(E)7 b FD(\()p FA(f)i FD(\))1652 883 y Ft(\017)2120 625 y(\017)1082 1203 y Fs(.)1084 1206 y(.)1086 1209 y(.)1088 1212 y(.)1089 1215 y(.)1091 1218 y(.)1093 1220 y(.)1095 1223 y(.)1097 1226 y(.)1099 1228 y(.)1101 1231 y(.)1103 1234 y(.)1105 1236 y(.)1107 1239 y(.)1109 1241 y(.)1111 1244 y(.)1113 1246 y(.)1116 1249 y(.)1118 1251 y(.)1120 1254 y(.)1122 1256 y(.)1125 1258 y(.)1127 1261 y(.)1130 1263 y(.)1132 1265 y(.)1134 1268 y(.)1137 1270 y(.)1139 1272 y(.)1142 1274 y(.)1144 1276 y(.)1147 1278 y(.)1150 1280 y(.)1152 1283 y(.)1155 1285 y(.)1158 1287 y(.)1160 1289 y(.)1163 1291 y(.)1166 1292 y(.)1168 1294 y(.)1171 1296 y(.)1174 1298 y(.)1177 1300 y(.)1180 1302 y(.)1182 1303 y(.)1185 1305 y(.)1188 1307 y(.)1191 1308 y(.)1194 1310 y(.)1197 1312 y(.)1200 1313 y(.)1203 1315 y(.)1206 1316 y(.)1209 1318 y(.)1212 1319 y(.)1214 1320 y(.)1217 1322 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b(the)h(geometry)e(of)i(the)g(ellipse)f(it)h(follo) n(ws)f(that)h(\(compare)f(\(A.306\))g(in)h(App)r(endix)g(A\))g FA(r)j FD(is)c(related)g(to)h FA(a)p FD(,)f FA(e)287 252 y FD(and)d FA(u)g FD(b)n(y)1814 352 y FA(r)f FD(=)d FA(a)p FD(\(1)18 b Ft(\000)g FA(e)c FD(cos)e FA(u)p FD(\))28 b FA(:)287 498 y FD(Th)n(us)f(b)n(y)g(\(3.239\),)g(\(3.238\))f(and)i (\(3.242\))e(w)n(e)h(\014nd)901 666 y FA(r)p 899 703 44 4 v 899 779 a(a)1047 722 y FD(=)1216 666 y FA(r)1253 678 y Fy(0)1291 666 y FD(\()p FA(\025;)14 b(e)p FD(\))p 1216 703 264 4 v 1326 779 a FA(a)1036 875 y FD(:=)82 b(1)18 b Ft(\000)g FA(e)c FD(cos)f FA(u)1575 887 y Fy(0)1612 875 y FD(\()p FA(\025;)h(e)p FD(\))1047 1053 y(=)94 b(1)18 b Ft(\000)g FA(e)28 b FD(cos)13 b FA(\025)18 b FD(+)1700 996 y FA(e)1739 966 y Fy(2)p 1700 1034 76 4 v 1718 1110 a FD(2)1800 960 y Fz(\020)1850 1053 y FD(1)g Ft(\000)g FD(cos)13 b(2)h FA(\025)2222 960 y Fz(\021)2290 1053 y FD(+)2383 996 y(3)p 2383 1034 42 4 v 2383 1110 a(8)2448 1053 y FA(e)2487 1018 y Fy(3)2538 960 y Fz(\020)2601 1053 y FD(cos)f FA(\025)19 b Ft(\000)f FD(cos)13 b(3)h FA(\025)3105 960 y Fz(\021)3173 1053 y FD(+)k Ft(\001)c(\001)g(\001)41 b FA(;)348 b FD(\(3.245\))287 1263 y(where)27 b FA(e)c FD(=)f FA(e)p FD(\(\003)p FA(;)14 b FD(\000\))28 b(and)f FA(a)c FD(=)g FA(a)p FD(\(\003\))g(:=)f(\003)1627 1233 y Fy(2)1664 1263 y FA(=)p FD(\()p FA(\026)1788 1233 y Fy(2)1825 1263 y FA(M)9 b FD(\))28 b(\(see)f(\(3.238\))g(and)g (\(3.239\)\).)287 1494 y Fv(3.3)112 b(The)46 b(restricted,)e(circular,) f(planar)j(three-b)s(o)s(dy)h(problem)d(view)m(ed)h(as)h(nearly-)542 1610 y(in)m(tegrable)36 b(Hamiltonian)f(system)287 1764 y FD(Let)g(us)g(go)g(bac)n(k)f(to)h(\(3.215\).)f(Since)i(w)n(e)f(shall) g(study)g(the)h Fo(planar)e(three-b)r(o)r(dy)h(problem)p FD(,)g(w)n(e)g Fo(assume)f(that)i(the)287 1863 y(motion)27 b(tak)n(es)g(place)g(on)g(the)h(plane)g(hosting)f(the)h(Keplerian)e (motion)h(of)h FA(P)2714 1875 y Fy(0)2779 1863 y Fo(and)g FA(P)2994 1875 y Fy(1)3031 1863 y FD(.)g(This)g(amoun)n(ts)e(to)i (require)1585 2052 y FA(u)1633 2009 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1633 2074 y(3)1735 2052 y Ft(\021)23 b FD(0)f Ft(\021)37 b FD(_)-37 b FA(u)2023 2009 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2023 2074 y(3)2130 2052 y FA(;)180 b(i)22 b FD(=)h(0)p FA(;)14 b FD(1)p FA(;)g FD(2)26 b FA(:)1044 b FD(\(3.246\))287 2229 y(Observ)n(e)27 b(that,)j(since)e(w)n(e)h(are)f(considering)g(the) h Fo(restricted)g FD(problem)f(\(i.e.)i(w)n(e)e(ha)n(v)n(e)g(set)h(in)g (\(3.214\))f FA(m)3625 2241 y Fy(2)3688 2229 y FD(=)d(0\),)k(the)287 2328 y(\\conserv)-5 b(ation)19 b(la)n(ws")h(are)h(those)g(of)g(the)h(t) n(w)n(o-b)r(o)r(dy)f(system)g FA(P)2270 2340 y Fy(0)2314 2328 y Ft(\000)6 b FA(P)2438 2340 y Fy(1)2475 2328 y FD(:)22 b(in)g(particular)e(the)i(total)f(angular)f(momen)n(tum)287 2428 y(is)26 b(parallel)f(to)h(the)h FA(u)953 2440 y Fy(3)990 2428 y FD(-axis)e(\(consisten)n(tly)h(with)h(\(3.246\)\))e (and)h(the)h(cen)n(ter)f(of)g(mass)g(\(and)g(hence)h(the)f(origin)g(of) g(the)287 2527 y FA(u)p FD(-frame\))g(is)i(simply)1754 2627 y FA(m)1827 2639 y Fy(0)1864 2627 y FA(u)1912 2593 y Fy(\(0\))2019 2627 y FD(+)18 b FA(m)2175 2639 y Fy(1)2212 2627 y FA(u)2260 2593 y Fy(\(1\))2372 2627 y FD(=)23 b(0)k FA(:)1213 b FD(\(3.247\))287 2773 y(Next,)28 b(w)n(e)f(pass,)g (as)g(in)h Ft(x)f FD(3.2,)g(to)h Fo(helio)r(cen)n(tric)f(co)r (ordinates)p FD(:)805 2966 y(\()p FA(x)884 2932 y Fy(\(1\))974 2966 y FA(;)14 b FD(0\))23 b(:=)f FA(u)1266 2932 y Fy(\(1\))1373 2966 y Ft(\000)c FA(u)1504 2932 y Fy(\(0\))1621 2966 y FA(;)180 b FD(\()p FA(x)1903 2932 y Fy(\(2\))1993 2966 y FA(;)14 b FD(0\))22 b(:=)h FA(u)2285 2932 y Fy(\(2\))2392 2966 y Ft(\000)18 b FA(u)2523 2932 y Fy(\(0\))2639 2966 y FA(;)2842 2874 y Fz(\020)2892 2966 y FA(x)2939 2932 y Fy(\(1\))3029 2966 y FA(;)c(x)3113 2932 y Fy(\(2\))3225 2966 y Ft(2)23 b Fp(R)3357 2932 y Fy(2)3401 2874 y Fz(\021)3478 2966 y FA(;)287 3168 y FD(whic)n(h)k(transform)g(\(3.215\))f(in)n(to) 1303 3404 y(\177)-47 b FA(x)1345 3370 y Fy(\(1\))1457 3404 y FD(:=)23 b Ft(\000)p FA(M)1714 3416 y Fy(0)1802 3348 y FA(x)1849 3318 y Fy(\(1\))p 1760 3385 220 4 v 1760 3463 a Ft(j)p FA(x)1830 3439 y Fy(\(1\))1920 3463 y Ft(j)1943 3439 y Fy(3)2018 3404 y FA(;)180 b(M)2302 3416 y Fy(0)2362 3404 y FD(:=)22 b FA(m)2545 3416 y Fy(0)2601 3404 y FD(+)c FA(m)2757 3416 y Fy(1)2822 3404 y FA(;)920 b FD(\(3.248\))1303 3646 y(\177)-47 b FA(x)1345 3612 y Fy(\(2\))1457 3646 y FD(:=)23 b Ft(\000)p FA(m)1706 3658 y Fy(0)1794 3590 y FA(x)1841 3560 y Fy(\(2\))p 1753 3627 V 1753 3705 a Ft(j)p FA(x)1823 3681 y Fy(\(2\))1912 3705 y Ft(j)1935 3681 y Fy(3)2001 3646 y Ft(\000)18 b FA(m)2157 3658 y Fy(1)2246 3590 y FA(x)2293 3560 y Fy(\(1\))p 2204 3627 V 2204 3705 a Ft(j)p FA(x)2274 3681 y Fy(\(1\))2364 3705 y Ft(j)2387 3681 y Fy(3)2453 3646 y Ft(\000)g FA(m)2609 3658 y Fy(1)2697 3590 y FA(x)2744 3560 y Fy(\(2\))2852 3590 y Ft(\000)g FA(x)2982 3560 y Fy(\(1\))p 2656 3627 459 4 v 2656 3705 a Ft(j)p FA(x)2726 3681 y Fy(\(2\))2834 3705 y Ft(\000)g FA(x)2964 3681 y Fy(\(1\))3053 3705 y Ft(j)3076 3681 y Fy(3)3151 3646 y FA(:)591 b FD(\(3.249\))287 3873 y(In)30 b(view)g(of)f(\(3.247\))g(the)h(motion)g(in)g(the)h (original)d FA(u)p FD(-co)r(ordinates)g(is)h(related)h(to)f(the)i (motion)e(in)h(the)h(helio)r(cen)n(tric)287 3973 y(co)r(ordinates)26 b(b)n(y)784 4179 y FA(u)832 4145 y Fy(\(0\))943 4179 y FD(=)1031 4087 y Fz(\020)1091 4123 y Ft(\000)p FA(m)1229 4135 y Fy(1)p 1091 4160 175 4 v 1119 4236 a FA(M)1200 4248 y Fy(0)1275 4179 y FA(x)1322 4145 y Fy(\(1\))1412 4179 y FA(;)14 b FD(0)1491 4087 y Fz(\021)1567 4179 y FA(;)97 b(u)1735 4145 y Fy(\(1\))1847 4179 y FD(=)1935 4087 y Fz(\020)1998 4123 y FA(m)2071 4135 y Fy(0)p 1994 4160 118 4 v 1994 4236 a FA(M)2075 4248 y Fy(0)2122 4179 y FA(x)2169 4145 y Fy(\(1\))2259 4179 y FA(;)14 b FD(0)2338 4087 y Fz(\021)2414 4179 y FA(;)97 b(u)2582 4145 y Fy(\(2\))2694 4179 y FD(=)2782 4087 y Fz(\020)2831 4179 y FA(x)2878 4145 y Fy(\(2\))2986 4179 y Ft(\000)3083 4123 y FA(m)3156 4135 y Fy(1)p 3079 4160 V 3079 4236 a FA(M)3160 4248 y Fy(0)3207 4179 y FA(x)3254 4145 y Fy(\(1\))3344 4179 y FA(;)14 b FD(0)3423 4087 y Fz(\021)3499 4179 y FA(:)287 4397 y FD(The)26 b(equation)f(in)i(\(3.248\))e(describ)r(es)g(the)i (decoupled)e(t)n(w)n(o-b)r(o)r(dy)h(system)g FA(P)2741 4409 y Fy(0)2793 4397 y Ft(\000)15 b FA(P)2926 4409 y Fy(1)2964 4397 y FD(,)26 b(whic)n(h)g(has)g(b)r(een)g(discussed)g(in) 287 4496 y Ft(x)h FD(3.2.)287 4620 y Fo(In)h(the)g(restricted,)f (circular,)f(planar)g(three-b)r(o)r(dy)i(problem)f(suc)n(h)g(motion)g (is)h(assumed)f(to)g(b)r(e)h(circular)p FD(.)287 4743 y(It)d(is)g(con)n(v)n(enien)n(t)g(to)g Fo(\014x)g(the)h(measure)e (units)h(for)g(lengths)g(and)g(masses)f(so)h(that)g(the)h(\(\014xed\))g (distance)f(b)r(et)n(w)n(een)g(the)287 4843 y(t)n(w)n(o)i(primary)f(b)r (o)r(dies)i(is)f(one)g(and)h(the)g(sum)g(of)f(their)h(masses)e(is)i (one)p FD(:)1365 5020 y(dist\()p FA(P)1584 5032 y Fy(0)1622 5020 y FA(;)14 b(P)1712 5032 y Fy(1)1750 5020 y FD(\))23 b(=)g(1)k FA(;)180 b(M)2246 5032 y Fy(0)2305 5020 y FD(:=)23 b FA(m)2489 5032 y Fy(0)2545 5020 y FD(+)18 b FA(m)2701 5032 y Fy(1)2761 5020 y FD(=)23 b(1)k FA(:)824 b FD(\(3.250\))2111 5492 y(75)p eop %%Page: 76 76 76 75 bop 287 -94 a FD(Recalling)28 b(Remark)g(3.2,)g(one)h(sees)f (that)h Fo(the)h(p)r(erio)r(d)f(of)f(rev)n(olution)g(of)h FA(P)2667 -82 y Fy(0)2734 -94 y Fo(and)f FA(P)2949 -82 y Fy(1)3016 -94 y Fo(around)g(their)h(cen)n(ter)f(of)h(mass)287 5 y(\(the)f(\\y)n(ear"\))e(is,)h(in)h(suc)n(h)f(units,)h FD(2)p FA(\031)s FD(;)g(the)g FA(x)1712 -25 y Fy(\(1\))1801 5 y FD(-motion)f(is)h(simply)g(\(compare)e(\(3.235\)\))1218 207 y(^)-47 b FA(x)1260 163 y Fy(\(1\))1260 230 y(circ)1368 207 y FD(\()p FA(t)p FD(\))23 b(=)g FA(x)1620 163 y Fy(\(1\))1620 230 y(circ)1729 207 y FD(\()p FA(t)1791 219 y Fy(0)1846 207 y FD(+)18 b FA(t)p FD(\))24 b(:=)2126 114 y Fz(\020)2189 207 y FD(cos)o(\()p FA(t)2362 219 y Fy(0)2418 207 y FD(+)18 b FA(t)p FD(\))p FA(;)c FD(sin\()p FA(t)2764 219 y Fy(0)2820 207 y FD(+)46 b FA(t)p FD(\))2993 114 y Fz(\021)3070 207 y FA(:)287 431 y FD(Ev)n(en)37 b(though)g(the)h(system)g(of)f (equations)g(\(3.248\))g Fo(and)g FD(\(3.249\))g(is)g Fo(not)h FD(a)f(Hamiltonian)h(system)f(of)h(equation,)287 531 y(\(3.248\))27 b(and)g(\(3.249\))g(tak)n(en)g Fo(separately)g FD(are)g(Hamiltonian:)g(w)n(e)h(ha)n(v)n(e)f(already)f(seen)i(that)g (\(3.248\))f(represen)n(t)g(just)287 631 y(the)34 b(equations)f(of)g(a) h(t)n(w)n(o-b)r(o)r(dy)e(system;)i(equations)f(\(3.249\))f(represen)n (t)h(a)g(2)2824 598 y Fy(1)p 2823 612 34 4 v 2823 659 a(2)2866 631 y FD(-degree-of-freedom)e(Hamiltonian)287 730 y(system)c(with)h(Hamiltonian)613 940 y(~)591 961 y FA(H)660 973 y Fy(1)698 961 y FD(\()p FA(x)777 927 y Fy(\(2\))867 961 y FA(;)14 b(X)980 927 y Fy(\(2\))1068 961 y FA(;)g(t)p FD(\))23 b(:=)1305 905 y Ft(j)p FA(X)1404 875 y Fy(\(2\))1492 905 y Ft(j)1515 875 y Fy(2)p 1305 942 248 4 v 1383 1018 a FD(2)p FA(\026)1581 961 y Ft(\000)18 b FA(\026m)1787 973 y Fy(0)1905 905 y FD(1)p 1834 942 183 4 v 1834 1020 a Ft(j)p FA(x)1904 996 y Fy(\(2\))1994 1020 y Ft(j)2045 961 y FD(+)g FA(\026m)2251 973 y Fy(1)2289 869 y Fz(\020)2338 961 y FA(x)2385 927 y Fy(\(2\))2493 961 y Ft(\001)24 b FD(^)-47 b FA(x)2582 918 y Fy(\(1\))2582 985 y(circ)2690 961 y FD(\()p FA(t)p FD(\))2784 869 y Fz(\021)2853 961 y Ft(\000)18 b FA(\026m)3059 973 y Fy(1)3352 905 y FD(1)p 3106 942 535 4 v 3106 1039 a Ft(j)p FA(x)3176 1015 y Fy(\(2\))3284 1039 y Ft(\000)23 b FD(^)-47 b FA(x)3414 996 y Fy(\(1\))3414 1063 y(circ)3522 1039 y FD(\()p FA(t)p FD(\))p Ft(j)3678 961 y FA(;)1295 1174 y FD(\()p FA(x)1374 1140 y Fy(\(2\))1464 1174 y FA(;)14 b(X)1577 1140 y Fy(\(2\))1665 1174 y FD(\))24 b Ft(2)f Fp(R)1853 1140 y Fy(2)1896 1174 y Ft(nf)p FD(0)p Ft(g)17 b(\002)h Fp(R)2218 1140 y Fy(2)2289 1174 y FA(;)41 b(t)23 b Ft(2)h Fp(T)j FA(;)1174 b FD(\(3.251\))287 1350 y(with)31 b(resp)r(ect)f(to)g(the)h(standard)f(symplectic)g(form)g FA(dx)2066 1320 y Fy(\(2\))2176 1350 y Ft(^)21 b FA(dX)2371 1320 y Fy(\(2\))2460 1350 y FD(;)30 b(here,)g FA(\026)e(>)f FD(0)j(is)h(a)f(free)g(parameter.)f(T)-7 b(o)30 b(mak)n(e)287 1450 y(the)d(system)g(\(3.251\))e(autonomous,)h(w)n(e)g(in)n(tro)r (duce)h(a)f(linear)g(symplectic)h(v)-5 b(ariable)26 b Fo(T)33 b FD(conjugated)26 b(to)g(time)i FA(\034)33 b FD(=)22 b FA(t)p FD(:)852 1605 y(~)830 1626 y FA(H)899 1638 y Fy(1)936 1626 y FD(\()p FA(x)1015 1592 y Fy(\(2\))1105 1626 y FA(;)14 b(X)1218 1592 y Fy(\(2\))1306 1626 y FA(;)g(\034)5 b(;)14 b Fo(T)6 b FD(\))913 1810 y(:=)1034 1754 y Ft(j)p FA(X)1133 1724 y Fy(\(2\))1221 1754 y Ft(j)1244 1724 y Fy(2)p 1034 1791 248 4 v 1112 1867 a FD(2)p FA(\026)1310 1810 y Ft(\000)18 b FA(\026m)1516 1822 y Fy(0)1634 1754 y FD(1)p 1563 1791 183 4 v 1563 1868 a Ft(j)p FA(x)1633 1844 y Fy(\(2\))1723 1868 y Ft(j)1774 1810 y FD(+)g Fo(T)25 b FD(+)18 b FA(\026m)2148 1822 y Fy(1)2185 1718 y Fz(\020)2234 1810 y FA(x)2281 1776 y Fy(\(2\))2389 1810 y Ft(\001)h FA(x)2478 1767 y Fy(\(1\))2478 1834 y(circ)2586 1810 y FD(\()p FA(\034)9 b FD(\))2695 1718 y Fz(\021)2765 1810 y Ft(\000)18 b FA(\026m)2971 1822 y Fy(1)3272 1754 y FD(1)p 3018 1791 550 4 v 3018 1888 a Ft(j)p FA(x)3088 1864 y Fy(\(2\))3196 1888 y Ft(\000)g FA(x)3326 1844 y Fy(\(1\))3326 1911 y(circ)3434 1888 y FD(\()p FA(\034)9 b FD(\))p Ft(j)3605 1810 y FA(;)913 2022 y FD(\()p FA(x)992 1988 y Fy(\(2\))1082 2022 y FA(;)14 b(X)1195 1988 y Fy(\(2\))1283 2022 y FD(\))24 b Ft(2)f Fp(R)1471 1988 y Fy(2)1514 2022 y Ft(nf)p FD(0)p Ft(g)17 b(\002)h Fp(R)1836 1988 y Fy(2)1907 2022 y FA(;)41 b FD(\()p FA(\034)5 b(;)14 b Fo(T)6 b FD(\))24 b Ft(2)f Fp(T)18 b Ft(\002)g Fp(R)p FA(:)1250 b FD(\(3.252\))287 2199 y FB(Remark)31 b(3.4)40 b FD(In)28 b(the)g(limiting)f(case)g(of)g(a)g(primary)g(b)r(o)r(dy)g(with)h(mass)f FA(m)2699 2211 y Fy(1)2759 2199 y FD(=)c(0,)k(the)h(Hamiltonian)3581 2178 y(~)3559 2199 y FA(H)3628 2211 y Fy(1)3693 2199 y FD(describ)r(es)287 2298 y(a)f(t)n(w)n(o-b)r(o)r(dy)g(system)g(as)g (in)h(\(3.220\))e(with)i(\\total)f(mass")1972 2475 y FA(M)32 b FD(=)23 b FA(m)2246 2487 y Fy(0)2310 2475 y FA(;)287 2651 y FD(re\015ecting)k(the)h(fact)g(that)f(the)h(asteroid)f (mass)g(has)g(b)r(een)h(set)f(equal)g(to)h(zero.)287 2812 y(If)33 b(the)g(mass)f FA(m)805 2824 y Fy(1)875 2812 y FD(do)r(es)h(not)f(v)-5 b(anish)33 b(but)g(it)g(is)g(small)g (compared)e(to)i(the)g(mass)f(of)h FA(m)3059 2824 y Fy(0)3096 2812 y FD(,)g(the)g(system)f(\(3.252\))g(ma)n(y)287 2912 y(b)r(e)26 b(view)n(ed)g(as)f(a)h Fo(nearly-in)n(tegrable)e(system)p FD(.)i(This)g(is)g(more)f(transparen)n(t)g(if)h(w)n(e)g(use,)g(for)g (the)g(in)n(tegrable)f(part,)h(the)287 3011 y(Delauna)n(y)j(v)-5 b(ariables)29 b(in)n(tro)r(duced)g(in)h Ft(x)g FD(3.2)f(\(see)h(in)g (particular)f(\(3.236\)\).)g(Recall)g(that)i(the)f(symplectic)g (transfor-)287 3111 y(mation)25 b FA(\036)615 3123 y Fy(D)669 3111 y FD(,)g(mapping)g(the)g(Delauna)n(y)g(v)-5 b(ariables)23 b(to)i(the)h(original)d(Cartesian)h(v)-5 b(ariables,)24 b(dep)r(ends)h(parametrically)287 3211 y(also)35 b(on)h FA(\026)h FD(and)f FA(M)45 b FD(and)36 b(that)g FA(M)45 b FD(is)37 b(no)n(w)e FA(m)1800 3223 y Fy(0)1837 3211 y FD(.)i(Next,)g(w)n(e)f(c)n(ho)r(ose)f(the)h(free)g (parameter)f FA(\026)i FD(so)e(as)h(to)g(mak)n(e)g(the)287 3310 y(Keplerian)27 b(part)i(equal)f(to)h Ft(\000)p FD(1)p FA(=)p FD(\(2\003)1452 3280 y Fy(2)1487 3310 y FD(\))g(\(see)g (\(3.254\))e(b)r(elo)n(w\))i(and)g(w)n(e)f(in)n(tro)r(duce)g(also)g(a)g (p)r(erturbation)h(parameter)287 3410 y FA(")e FD(closely)g(related)g (to)g(the)h(mass)f FA(m)1417 3422 y Fy(1)1482 3410 y FD(of)h(the)g(primary)e(b)r(o)r(dy:)1278 3621 y FA(\026)d FD(:=)1539 3564 y(1)p 1471 3602 178 4 v 1471 3698 a FA(m)1544 3655 y Fy(2)p Fw(=)p Fy(3)1544 3720 y(0)1686 3621 y FA(;)346 b(")23 b FD(:=)2271 3564 y FA(m)2344 3576 y Fy(1)p 2238 3602 V 2238 3698 a FA(m)2311 3655 y Fy(2)p Fw(=)p Fy(3)2311 3720 y(0)2448 3621 y FD(=)2702 3564 y FA(m)2775 3576 y Fy(1)p 2546 3602 423 4 v 2546 3679 a FD(\(1)18 b Ft(\000)g FA(m)2794 3691 y Fy(1)2831 3679 y FD(\))2863 3655 y Fy(2)p Fw(=)p Fy(3)3005 3621 y FA(:)737 b FD(\(3.253\))287 3863 y(No)n(w,)27 b(letting)1315 4039 y(\()p FA(\025;)14 b(\015)5 b(;)14 b FD(\003)p FA(;)g FD(\000\))23 b(=)f FA(\036)1855 4004 y Fx(\000)p Fy(1)1855 4064 y(D)1945 4039 y FD(\()p FA(x)2024 4005 y Fy(\(2\))2114 4039 y FA(;)14 b(X)2227 4005 y Fy(\(2\))2315 4039 y FD(\))28 b FA(;)1326 4171 y FD(^)1315 4192 y FA(\036)1364 4204 y Fy(D)1418 4100 y Fz(\020)1468 4192 y FD(\()p FA(\025;)14 b(\015)5 b(;)14 b FD(\003)p FA(;)g FD(\000\))p FA(;)g FD(\()p FA(\034)5 b(;)14 b Fo(T)6 b FD(\))2094 4100 y Fz(\021)2167 4192 y FD(:=)2277 4100 y Fz(\020)2327 4192 y FA(\036)2376 4204 y Fy(D)2431 4192 y FD(\()p FA(\025;)14 b(\015)5 b(;)14 b FD(\003)p FA(;)g FD(\000\))p FA(;)g FD(\()p FA(\034)5 b(;)14 b Fo(T)6 b FD(\))3057 4100 y Fz(\021)3134 4192 y FA(;)287 4399 y FD(w)n(e)27 b(\014nd)h(that)727 4369 y Fy(58)922 4608 y FD(~)901 4629 y FA(H)970 4641 y Fy(2)1030 4629 y FD(:=)1162 4608 y(~)1141 4629 y FA(H)1210 4641 y Fy(1)1265 4629 y Ft(\016)1336 4607 y FD(^)1325 4629 y FA(\036)1374 4641 y Fy(D)1452 4629 y FD(=)23 b Ft(\000)1662 4573 y FD(1)p 1615 4610 137 4 v 1615 4686 a(2\003)1715 4662 y Fy(2)1779 4629 y FD(+)18 b(T)g(+)g FA(")2076 4487 y Fz( )2142 4629 y FA(x)2189 4595 y Fy(\(2\))2297 4629 y Ft(\001)g FA(x)2385 4586 y Fy(\(1\))2385 4653 y(circ)2494 4629 y FD(\()p FA(\034)9 b FD(\))19 b Ft(\000)2969 4573 y FD(1)p 2715 4610 550 4 v 2715 4707 a Ft(j)p FA(x)2785 4683 y Fy(\(2\))2893 4707 y Ft(\000)f FA(x)3023 4664 y Fy(\(1\))3023 4731 y(circ)3132 4707 y FD(\()p FA(\034)9 b FD(\))p Ft(j)3275 4487 y Fz(!)3382 4629 y FA(;)360 b FD(\(3.254\))287 4892 y(where,)27 b(of)h(course,)e FA(x)969 4862 y Fy(\(2\))1086 4892 y FD(is)i(no)n(w)f(a)g(function)h (of)g(the)g(new)f(symplectic)h(v)-5 b(ariables.)p 287 4942 1493 4 v 349 4996 a Fn(58)414 5020 y FH(Recall)23 b(\(3.237\).)2111 5492 y FD(76)p eop %%Page: 77 77 77 76 bop 287 -94 a FD(Let)28 b(us)f(no)n(w)g(analyze)g(more)f(in)i (detail)g(the)g(p)r(erturbing)f(function)h(in)g(\(3.254\).)287 42 y(Recalling)g(the)h(de\014nition)g(of)f FA(')h FD(in)g(\(3.221\),)e (one)h(sees)g(that)h(the)g(angle)f(b)r(et)n(w)n(een)g(the)h(ra)n(ys)e (\(0)p FA(;)14 b(x)3408 12 y Fy(\(2\))3497 42 y FD(\))29 b(and)g(\(0)p FA(;)14 b(x)3879 -1 y Fy(\(1\))3879 66 y(circ)3987 42 y FD(\))287 142 y(is)27 b FA(')19 b Ft(\000)f FA(\034)9 b FD(.)1526 1570 y Ft(\017)1769 1430 y(\017)993 1869 y Fs(.)995 1872 y(.)996 1875 y(.)998 1878 y(.)1000 1881 y(.)1001 1883 y(.)1003 1886 y(.)1005 1889 y(.)1007 1892 y(.)1008 1895 y(.)1010 1898 y(.)1012 1900 y(.)1014 1903 y(.)1015 1906 y(.)1017 1909 y(.)1019 1912 y(.)1021 1914 y(.)1023 1917 y(.)1024 1920 y(.)1026 1923 y(.)1028 1925 y(.)1030 1928 y(.)1032 1931 y(.)1034 1934 y(.)1036 1936 y(.)1038 1939 y(.)1040 1942 y(.)1041 1945 y(.)1043 1947 y(.)1045 1950 y(.)1047 1953 y(.)1049 1955 y(.)1051 1958 y(.)1053 1961 y(.)1055 1963 y(.)1057 1966 y(.)1059 1968 y(.)1061 1971 y(.)1063 1974 y(.)1065 1976 y(.)1067 1979 y(.)1069 1981 y(.)1071 1984 y(.)1074 1987 y(.)1076 1989 y(.)1078 1992 y(.)1080 1994 y(.)1082 1997 y(.)1084 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y(.)1691 970 y(.)1694 968 y(.)1696 965 y(.)1699 963 y(.)1661 996 y(.)1664 995 y(.)1667 994 y(.)1671 993 y(.)1674 992 y(.)1677 991 y(.)1680 990 y(.)1683 989 y(.)1686 988 y(.)1690 987 y(.)1693 986 y(.)1696 984 y(.)1699 983 y(.)1702 982 y(.)1705 981 y(.)1708 980 y(.)907 2652 y FB(Figure)32 b(5:)f FD(Angle)c(v)-5 b(ariables)27 b(for)g(the)h(R)n(CPTBP)287 2991 y(Therefore,)e(if)i(w)n(e)g(let)1932 3091 y FA(r)1969 3103 y Fy(2)2030 3091 y FD(:=)22 b Ft(j)p FA(x)2210 3057 y Fy(\(2\))2300 3091 y Ft(j)28 b FA(;)287 3228 y FD(w)n(e)f(get)951 3377 y(~)929 3398 y FA(H)998 3410 y Fy(2)1058 3398 y FD(=)c Ft(\000)1268 3342 y FD(1)p 1221 3379 137 4 v 1221 3455 a(2\003)1321 3431 y Fy(2)1385 3398 y FD(+)18 b(T)h(+)f FA(")1683 3256 y Fz( )1748 3398 y FA(r)1785 3410 y Fy(2)1836 3398 y FD(cos\()p FA(')h Ft(\000)f FA(\034)9 b FD(\))19 b Ft(\000)2760 3342 y FD(1)p 2325 3379 912 4 v 2325 3395 a Fz(p)p 2408 3395 829 4 v 73 x FD(1)f(+)g FA(r)2590 3439 y Fy(2)2588 3490 y(2)2647 3468 y Ft(\000)g FD(2)p FA(r)2809 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FD(=)f(\003)28 b FA(;)249 b(G)23 b FD(=)g(\000)k FA(;)2732 4093 y FD(^)2716 4114 y FA(T)34 b FD(=)22 b Fo(T)j FD(+)18 b(\000)1543 4214 y FA(`)23 b FD(=)g FA(\025)28 b(;)280 b(g)26 b FD(=)c FA(\015)h Ft(\000)18 b FA(\034)38 b(;)253 b FD(^)-46 b FA(\034)32 b FD(=)23 b FA(\034)37 b(:)287 4377 y FD(No)n(w,)27 b(recalling)f(\(3.245\),)h(\(3.253\))f (and)i(\(3.250\))e(w)n(e)h(see)g(that)1671 4555 y FA(a)c FD(=)g FA(L)1883 4521 y Fy(2)1919 4555 y FA(=)p FD(\()p FA(\026)2043 4521 y Fy(2)2081 4555 y FA(M)9 b FD(\))22 b(=)h FA(m)2386 4512 y Fy(1)p Fw(=)p Fy(3)2386 4577 y(0)2490 4555 y FA(L)2547 4521 y Fy(2)2612 4555 y FA(;)287 4717 y FD(so)k(that,)h(in)g(the)g(new)f(symplectic)h(v)-5 b(ariables,)26 b(it)i(is:)1386 4879 y FA(')19 b Ft(\000)f FA(\034)33 b FD(=)22 b Fo(f)35 b FD(+)18 b FA(g)26 b FD(=)c Fo(f)2019 4891 y Fy(0)2057 4879 y FD(\()p FA(`;)14 b(e)p FD(\))k(+)g FA(g)26 b FD(=)c FA(`)c FD(+)h FA(g)i FD(+)d FA(e)2806 4857 y FD(~)2806 4879 y Fo(f)e FD(\()p FA(`;)e(e)p FD(\))27 b FA(;)1386 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FA(;)287 1739 y FD(where)1132 1857 y FA(F)1185 1869 y Fw(")1244 1857 y FD(:=)c FA(\032)1398 1869 y Fw(")1447 1857 y FD(cos\()p FA(`)18 b FD(+)g FA(g)j FD(+)d FA(\033)s FD(\))h Ft(\000)2568 1801 y FD(1)p 2065 1838 1048 4 v 2065 1855 a Fz(p)p 2148 1855 965 4 v 71 x FD(1)f(+)g FA(\032)2334 1902 y Fy(2)2334 1946 y Fw(")2390 1926 y Ft(\000)g FD(2)p FA(\032)2558 1938 y Fw(")2607 1926 y FD(cos)o(\()p FA(`)g FD(+)g FA(g)j FD(+)d FA(\033)s FD(\))3150 1857 y FA(:)592 b FD(\(3.255\))287 2088 y(The)26 b(v)-5 b(ariable)29 b(^)-46 b FA(\034)35 b FD(is)26 b(cyclic)g(\(this)g(is)g (the)g(reason)e(for)i(ha)n(ving)f(in)n(tro)r(duced)2634 2066 y(^)2623 2088 y FA(\036)2672 2100 y Fy(lin)2751 2088 y FD(\))h(and)g(the)g(linear)f(constan)n(t)h(of)f(motion)303 2167 y(^)287 2188 y FA(T)51 b FD(can)39 b(b)r(e)h(dropp)r(ed)g(from) 1244 2167 y(~)1222 2188 y FA(H)1291 2200 y Fy(3)1328 2188 y FD(.)g(The)g(\014nal)g(form)f(of)h Fo(the)g(Hamiltonian)f(for)h (the)g(restricted,)f(circular,)f(planar,)287 2288 y(three-b)r(o)r (dy-problem)26 b FD(is:)1258 2504 y FA(H)1327 2516 y Fy(prc)1424 2504 y FD(\()p FA(`;)14 b(g)s(;)g(L;)g(G)p FD(;)g FA(")p FD(\))21 b(:=)i Ft(\000)2129 2448 y FD(1)p 2082 2485 136 4 v 2082 2561 a(2)p FA(L)2181 2537 y Fy(2)2245 2504 y Ft(\000)18 b FA(G)h FD(+)f FA("F)2587 2516 y Fw(")2623 2504 y FD(\()p FA(`;)c(g)s(;)g(L;)g(G)p FD(\))27 b(;)717 b(\(3.256\))287 2719 y(the)32 b(phase)f(space)g(is)h(the)g(t)n(w)n (o-torus)e Fp(T)1560 2689 y Fy(2)1628 2719 y FD(times)i(the)g(p)r (ositiv)n(e)g(cone)f Ft(f)p FD(0)e FA(<)g(G)h(<)g(L)p Ft(g)p FD(;)h(the)h(symplectic)g(form)f(is)h(the)287 2819 y(standard)26 b(t)n(w)n(o-form)h FA(d`)18 b Ft(^)h FA(dL)f FD(+)g FA(dg)j Ft(^)e FA(dG)p FD(.)287 2943 y(F)-7 b(rom)27 b(the)h(p)r(oin)n(t)g(of)f(view)h(of)f(KAM)h(theory)-7 b(,)27 b(the)h(in)n(tegrable)e(part)h(of)h(\(3.256\))1493 3164 y FA(H)1562 3176 y Fy(0)1600 3164 y FD(\()p FA(L;)14 b(G)p FD(\))23 b(:=)g FA(H)2026 3176 y Fy(prc)2122 3164 y Ft(j)2145 3176 y Fw(")p Fy(=0)2288 3164 y FD(=)f Ft(\000)2497 3108 y FD(1)p 2450 3145 V 2450 3221 a(2)p FA(L)2549 3197 y Fy(2)2613 3164 y Ft(\000)d FA(G)27 b(;)287 3369 y FD(is)g Fo(iso-energetically)f(non-degenerate)f FD(since)1158 3737 y(det)1287 3570 y Fz(0)1287 3720 y(@)1373 3638 y FA(H)1449 3607 y Fx(00)1442 3658 y Fy(0)1575 3638 y FA(H)1651 3607 y Fx(0)1644 3658 y Fy(0)1379 3837 y FA(H)1455 3807 y Fx(0)1448 3857 y Fy(0)1607 3837 y FD(0)1695 3570 y Fz(1)1695 3720 y(A)1790 3737 y FD(=)e(det)2007 3496 y Fz(0)2007 3642 y(B)2007 3691 y(B)2007 3741 y(B)2007 3794 y(@)2094 3538 y Ft(\000)2191 3505 y Fy(3)p 2168 3519 78 4 v 2168 3567 a Fw(L)2214 3550 y Fs(4)2371 3538 y FD(0)2565 3505 y Fy(1)p 2542 3519 V 2542 3567 a Fw(L)2588 3550 y Fs(3)2154 3737 y FD(0)175 b(0)115 b Ft(\000)p FD(1)2158 3904 y Fy(1)p 2136 3918 V 2136 3965 a Fw(L)2182 3948 y Fs(3)2339 3936 y Ft(\000)p FD(1)g(0)2648 3496 y Fz(1)2648 3642 y(C)2648 3691 y(C)2648 3741 y(C)2648 3794 y(A)2744 3737 y FD(=)2868 3681 y(3)p 2841 3718 94 4 v 2841 3794 a FA(L)2898 3770 y Fy(4)2968 3737 y FA(>)23 b FD(0)k FA(:)287 4151 y Fv(3.4)112 b(The)38 b(Sun-Jupiter-Asteroid)f (problem)287 4304 y FD(In)29 b(order)f(to)h(apply)g(the)h(ab)r(o)n(v)n (e)d(theory)i(to)g(a)g(ph)n(ysical)f(mo)r(del,)h(w)n(e)g(shall)g (consider)f(a)h(restricted,)f(circular,)g(planar)287 4404 y(three-b)r(o)r(dy)33 b(problem)h(extrap)r(olated)f(from)g(the)i (Solar)d(system.)i(As)g(primary)f(b)r(o)r(dies,)h(w)n(e)g(tak)n(e)f (\(ob)n(viously\))g(the)287 4503 y(Sun)28 b(\()p FA(P)538 4515 y Fy(0)576 4503 y FD(\))h(and)f(Jupiter)g(\()p FA(P)1172 4515 y Fy(1)1209 4503 y FD(\),)h(and)f(w)n(e)g(shall)f(appro)n(ximate)g (their)h(motion)g(b)n(y)g(a)f Fo(circular)g FD(one.)h(In)g(realit)n(y)f (Jupiter)287 4603 y(is)g(observ)n(ed)f(to)i(rev)n(olv)n(e)d(on)j(an)f (\\osculating")f(ellipse)h(of)h(eccen)n(tricit)n(y)1844 4785 y FA(e)1883 4797 y Fy(J)1944 4785 y FD(=)22 b(4)p FA(:)p FD(82)17 b Ft(\001)i FD(10)2323 4750 y Fx(\000)p Fy(2)2439 4785 y FA(;)p 287 4837 1493 4 v 349 4896 a Fn(59)414 4920 y FH(In)24 b(fact,)f(from)e(\(3.253\))k(one)f(can)g(in)n (v)n(ert)g(the)g(function)g Fm(m)1984 4929 y Fn(1)2039 4920 y Fl(!)19 b Fm(")p FH(\()p Fm(m)2251 4929 y Fn(1)2286 4920 y FH(\))h(=)g Fm(m)2470 4929 y Fn(1)2505 4920 y Fm(=)p FH(\(1)c Fl(\000)f Fm(m)2750 4929 y Fn(1)2785 4920 y FH(\))2812 4896 y Fn(2)p Fk(=)p Fn(3)2932 4920 y FH(and)24 b(c)n(hec)n(k)h(that)g(the)f(in)n(v)n(erse)f(function)287 5020 y Fm(m)349 5029 y Fn(1)384 5020 y FH(\()p Fm(")p FH(\))d(=)f(1)d Fl(\000)g Fm(m)749 5029 y Fn(0)784 5020 y FH(\()p Fm(")p FH(\))24 b(has)g(radius)f(of)g(con)n(v)n(ergence)j (\(27)p Fm(=)p FH(4\))1907 4971 y Fs(1)p 1909 4980 29 4 v 1909 5012 a(3)1971 5020 y FH(=)20 b(1)p Fm(:)p FH(889881)p Fm(:::)p FH(.)2111 5492 y FD(78)p eop %%Page: 79 79 79 78 bop 287 -94 a FD(and,)24 b(as)f(w)n(e)g(shall)h(explain)f(b)r (elo)n(w,)h(considering)e(circular)h(the)h(orbit)f(of)h(Jupiter)g(is)g (the)g(w)n(orst)e(ph)n(ysical)h(appro)n(xima-)287 5 y(tion)28 b(in)h(our)e(mo)r(del.)i(The)f(size)g(of)h(the)f(p)r(erturbation)g (parameter)f FA(")h FD(as)g(de\014ned)h(ab)r(o)n(v)n(e)e(\(see)h (\(3.253\))f(and)h(\(3.250\)\))287 105 y(is)f(giv)n(en)g(b)n(y)675 75 y Fy(60)1362 248 y FA(")1391 269 y Fs(SJ)1481 248 y FD(:=)c(0)p FA(:)p FD(954)17 b Ft(\001)h FD(10)1925 214 y Fx(\000)p Fy(3)2036 248 y Ft(')2237 192 y FA(m)2310 204 y Fy(J)2348 192 y FA(=)p FD(\()p FA(m)2495 204 y Fy(S)2554 192 y FD(+)g FA(m)2710 204 y Fy(J)2748 192 y FD(\))p 2134 229 750 4 v 2134 265 a Fz(\020)2184 357 y FA(m)2257 369 y Fy(S)2297 357 y FA(=)p FD(\()p FA(m)2444 369 y Fy(S)2503 357 y FD(+)g FA(m)2659 369 y Fy(J)2697 357 y FD(\))2729 265 y Fz(\021)2779 282 y Fy(2)p Fw(=)p Fy(3)2921 248 y FA(:)821 b FD(\(3.257\))287 542 y(As)21 b(third)g(b)r(o)r(dy)-7 b(,)21 b(assumed)f(not)h(to)f(a\013ect)h(the)g (motion)g(of)g(the)g(primaries,)e(w)n(e)i(tak)n(e)f(an)g(asteroid)g (from)g(the)h(Asteroidal)287 642 y(b)r(elt:)30 b(this)g(is)g(an)f (instance)h(of)f Fo(inner)h(restricted)f(problem)g FD(since)h(the)g (Asteroidal)e(b)r(elt)j(lies)e(b)r(et)n(w)n(een)h(the)g(Sun)g(and)287 742 y(the)25 b(tra)5 b(jectory)24 b(of)h(Jupiter.)f(W)-7 b(e)26 b(shall)e(consider)g(asteroids)g(whose)g(observ)n(ed)g (osculating)g(ellipses)g(around)g(the)i(Sun)287 841 y(are)g(rather)h (eccen)n(tric)992 811 y Fy(61)1089 841 y FD(\()p FA(e)c Ft(')g FD(0)p FA(:)p FD(2)p FA(;)14 b FD(0)p FA(:)p FD(3\).)287 1055 y FB(3.4.1)94 b(The)32 b(Sun-Jupiter-Victoria)g(mo)s(del)287 1208 y FD(T)-7 b(o)27 b(b)r(e)h(sp)r(eci\014c)g(w)n(e)f(c)n(ho)r(ose)f (the)i(asteroid)f Fo(12)f(Victoria)2058 1178 y Fy(62)2156 1208 y FD(whose)g(observ)n(ed)g(osculating)h(data)g(are)g(the)h(follo)n (wing)1195 1379 y FA(a)1239 1391 y Fy(V)1316 1379 y Ft(')23 b FD(0)p FA(:)p FD(449)j FA(;)180 b(e)1863 1391 y Fy(V)1940 1379 y Ft(')22 b FD(0)p FA(:)p FD(220)k FA(;)180 b({)2474 1391 y Fy(V)2551 1379 y Ft(')22 b FD(1)p FA(:)p FD(961)17 b Ft(\001)i FD(10)2972 1345 y Fx(\000)p Fy(2)3087 1379 y FA(;)655 b FD(\(3.258\))287 1550 y(where:)25 b FA(a)592 1562 y Fy(V)672 1550 y FD(denotes)945 1519 y Fy(63)1041 1550 y FD(the)h(ratio)f(b)r(et)n(w)n(een)g(the)h(observ)n(ed)f(semi-ma) 5 b(jor)24 b(axis)h(of)g(Victoria)g(and)h(that)g(of)g(Jupiter;)f FA(e)3965 1562 y Fy(V)287 1649 y FD(is)j(the)h(observ)n(ed)e(eccen)n (tricit)n(y)h(of)g(the)h(osculating)f(ellipse)g(of)h(Victoria)e(and)i FA({)2790 1661 y Fy(V)2872 1649 y FD(is)g(the)f(relativ)n(e)g (inclination)g(of)h(the)287 1749 y(observ)n(ed)d(orbital)h(planes)g(of) g(Victoria)g(and)g(Jupiter)h(measured)f(in)g(degrees)g(and)g (normalized)g(to)g(one)3585 1719 y Fy(64)3655 1749 y FD(.)287 1871 y(Clearly)-7 b(,)24 b(in)i(considering)e (Sun-Jupiter-Victoria)g(as)h(a)g(restricted,)g(circular,)f(planar)h (three-b)r(o)r(dy)g(problem,)g(w)n(e)g(are)287 1971 y(making)30 b Fo(a)h(lot)g FD(of)h(appro)n(ximations)d(disregarding:)g(the)j(eccen) n(tricit)n(y)e(of)h(Jupiter;)g(the)h(inclinations;)f(the)h(gra)n(vita-) 287 2070 y(tional)g(e\013ects)h(of)f(all)h(other)f(b)r(o)r(dies)g(in)h (the)g(Solar)e(system)i(\(most)f(notably)g(Mars)g(and)g(Saturn\);)h (the)g(shap)r(e)f(and)287 2170 y(extension)24 b(of)h(the)g(b)r(o)r (dies)g(\(in)h(particular,)d(asteroids)h(are)g(t)n(ypically)g(far)g (from)h(b)r(eing)g(spherical)f(and,)h(therefore,)f(far)287 2269 y(from)29 b(b)r(eing)h(w)n(ell)g(appro)n(ximated)e(b)n(y)h(p)r (oin)n(t)h(masses\);)f(dissipativ)n(e)g(phenomena)g(\(tides,)i(solar)d (winds,)i(Y)-7 b(ark)n(o)n(vsky)287 2369 y(e\013ect,...\),...)287 2491 y(A)41 b(rough)e(quan)n(titativ)n(e)h(analysis)g(sho)n(ws,)f(ho)n (w)n(ev)n(er,)g(that)i Fo(the)g(w)n(orst)e(appro)n(ximation)g(is)i (actually)f(to)g(neglect)287 2591 y(Jupiter's)27 b(eccen)n(tricit)n(y)p FD(.)287 2713 y(Accordingly)-7 b(,)22 b(w)n(e)i(shall)f(adopt)g(the)h (follo)n(wing)f(\\empirical)f(criterion":)g Fo(in)i(considering)f(the)h (p)r(erturbation)f(function)287 2813 y FA(F)340 2825 y Fw(")407 2813 y Fo(in)32 b FD(\(3.255\))e Fo(w)n(e)h(shall)g(expand)g (in)1478 2782 y Fy(65)1580 2813 y FA(e)g Fo(and)g FA(a)g Fo(neglecting)g(the)h(con)n(tributions)e(of)h FA(O)r FD(\()p FA(e)3176 2782 y Fy(3)3214 2813 y FD(\))p Fo(,)h FA(O)r FD(\()p FA(a)3442 2782 y Fy(6)3480 2813 y FD(\))p Fo(,)g FA(O)r FD(\()p FA(e)3703 2782 y Fy(2)3741 2813 y FA(a)3785 2782 y Fy(2)3822 2813 y FD(\))f Fo(and)287 2912 y FA(O)r FD(\()p FA(a)428 2882 y Fy(3)466 2912 y FA(e)p FD(\))c(since)h(suc)n(h)f(terms)g(in)h(the)g(case)f FA(e)c FD(=)f FA(e)1790 2924 y Fy(V)1872 2912 y FD(and)27 b FA(a)c FD(=)g FA(a)2232 2924 y Fy(V)2313 2912 y FD(are)k (\(de\014nitely\))i(smaller)d(than)i FA(e)3398 2924 y Fy(J)3436 2912 y FD(:)1456 3083 y FA(e)1495 3049 y Fy(3)1495 3103 y(V)1572 3083 y Ft(')22 b FD(1)p FA(:)p FD(06)17 b Ft(\001)i FD(10)1951 3049 y Fx(\000)p Fy(2)2067 3083 y FA(;)179 b(a)2313 3049 y Fy(6)2313 3103 y(V)2390 3083 y Ft(')23 b FD(8)p FA(:)p FD(19)17 b Ft(\001)i FD(10)2770 3049 y Fx(\000)p Fy(3)2886 3083 y FA(;)1456 3207 y(e)1495 3173 y Fy(2)1495 3228 y(V)1548 3207 y FA(a)1592 3173 y Fy(2)1592 3228 y(V)1669 3207 y Ft(')k FD(9)p FA(:)p FD(76)17 b Ft(\001)i FD(10)2049 3173 y Fx(\000)p Fy(3)2164 3207 y FA(;)97 b(a)2328 3173 y Fy(3)2328 3228 y(V)2382 3207 y FA(e)2421 3219 y Fy(V)2498 3207 y Ft(')23 b FD(1)p FA(:)p FD(99)17 b Ft(\001)h FD(10)2877 3173 y Fx(\000)p Fy(2)2993 3207 y FA(:)287 3378 y FD(Also,)26 b(in)g(view)g(of)g (\(3.257\),)f(w)n(e)h(shall)g(neglect)g(terms)g(of)g(order)f FA(O)r FD(\()p FA(")p FD(\))i(in)g FA(F)2654 3390 y Fw(")2690 3378 y FD(,)f(i.e.,)g(w)n(e)g(shall)g(replace)f FA(F)3541 3390 y Fw(")3603 3378 y FD(b)n(y)h FA(F)3770 3390 y Fy(0)3808 3378 y FD(.)g(This)287 3494 y(amoun)n(ts)h(to)g(replace)g FA(m)1078 3451 y Fy(1)p Fw(=)p Fy(3)1078 3516 y(0)1210 3494 y FD(with)h(1)f(and)g FA(a)1673 3506 y Fw(")1736 3494 y FD(and)h FA(\032)1941 3506 y Fw(")2004 3494 y FD(with,)g(resp)r(ectiv)n(ely)-7 b(,)880 3691 y FA(a)924 3703 y Fy(0)984 3691 y FD(=)22 b FA(L)1128 3657 y Fy(2)1193 3691 y FA(;)180 b(\032)1439 3703 y Fy(0)1499 3691 y FD(=)23 b FA(a)1631 3703 y Fy(0)1668 3599 y Fz(\020)1717 3691 y FD(1)18 b Ft(\000)g FA(e)c FD(cos)f FA(u)2086 3703 y Fy(0)2123 3691 y FD(\()p FA(`;)h(e)p FD(\))2298 3599 y Fz(\021)2375 3691 y FA(;)2577 3599 y Fz(\020)2627 3691 y FA(e)23 b FD(=)f(\(1)d Ft(\000)f FA(G)3017 3657 y Fy(2)3054 3691 y FA(=L)3153 3657 y Fy(2)3189 3691 y FD(\))3221 3657 y Fy(1)p Fw(=)p Fy(2)3326 3599 y Fz(\021)3403 3691 y FA(:)339 b FD(\(3.259\))287 3909 y(An)28 b(easy)f(computation)g (\(based)g(on)h(\(3.244\))e(and)h(\(3.245\)\))g(sho)n(ws)f(that,)i (setting)1686 4096 y FA(F)1739 4108 y Fy(0)1800 4096 y FD(=)1912 4017 y Fz(X)1887 4196 y Fw(j;k)q Fx(\025)p Fy(0)2070 4096 y FA(F)2123 4108 y Fw(j)s(k)2195 4096 y FD(\()p FA(`;)14 b(g)s FD(\))p FA(e)2413 4062 y Fw(j)2447 4096 y FA(a)2491 4108 y Fy(0)2528 4062 y Fw(k)2597 4096 y FA(;)p 287 4231 1493 4 v 349 4285 a Fn(60)414 4308 y Fm(m)476 4319 y Fn(J)512 4308 y FH(:=mass)26 b(of)j(Jupiter)g Fl(')f FH(1)p Fm(:)p FH(9)19 b Fl(\002)g FH(10)1435 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4624 y(observ)n(ed)d(data,)h(...)349 4680 y Fn(62)414 4703 y FH(The)f(n)n(um)n(b)r(er)f(refers)f(to)j(the)f (standard)h(classi\014cation)f(of)g(asteroidal)f(ob)t(jects;)i(see,)e (e.g.,)g([133)q(].)349 4759 y Fn(63)414 4782 y FH(Recall)g(that)i(in)f (our)f(units)h(the)h(orbital)e(radius)g(of)h(the)g(primaries)d(is)i (normalized)g(to)h(b)r(e)g(1.)349 4838 y Fn(64)414 4861 y FH(The)c(observ)n(ed)g(inclination)f(on)h(the)g(ecliptic)g(of)f (Jupiter)h(is)e(1)p Fm(:)p FH(305)2177 4838 y Fn(o)2232 4861 y FH(while)h(that)h(of)f(Victoria)g(is)g(8)p Fm(:)p FH(363)3131 4838 y Fn(o)3185 4861 y FH(and)h(the)g(normalized)f (relativ)n(e)287 4940 y(inclination)24 b(is)f Fm({)730 4951 y Fn(V)799 4940 y Fl(')d FH(\(8)p Fm(:)p FH(363)c Fl(\000)g FH(1)p Fm(:)p FH(305\))p Fm(=)p FH(360.)349 4996 y Fn(65)414 5020 y Fm(F)459 5028 y Fk(")515 5020 y FH(is)23 b(analytic)i(for)e Fl(j)p Fm(a)p Fl(j)c Fm(<)h FH(1)j(and)i Fl(j)p Fm(e)p Fl(j)18 b Fm(<)i FH(1.)2111 5492 y FD(79)p eop %%Page: 80 80 80 79 bop 287 -94 a FD(then)28 b(the)g(function)g FA(F)1009 -124 y Fy(trunc)997 -74 y(0)1196 -94 y FD(obtained)f(from)g FA(F)1786 -82 y Fw(")1850 -94 y FD(neglecting)g(the)h(ab)r(o)n(v)n(e)e (men)n(tioned)i(terms)f(is)g(giv)n(en)g(b)n(y:)1268 99 y Ft(\000)p FA(F)1398 65 y Fy(trunc)1386 120 y(0)1639 99 y FD(:=)83 b Ft(\000)2007 20 y Fz(X)1955 188 y Fq(j)r(<)p Fs(3)p Fq(;k)q(<)p Fs(6)1898 235 y Fq(j)r Fs(+)p Fq(k)q(<)p Fs(4)11 b(&)f Fq(j)r Fr(\025)p Fs(1)2260 99 y FA(F)2313 111 y Fw(j)s(k)2385 99 y FD(\()p FA(`;)k(g)s FD(\))p FA(e)2603 65 y Fw(j)2637 99 y FA(a)2681 111 y Fy(0)2719 65 y Fw(k)1651 410 y FD(=)94 b(1)18 b(+)1963 354 y FA(a)2007 366 y Fy(0)2044 324 y(2)p 1963 391 119 4 v 2001 467 a FD(4)2110 410 y(+)2223 354 y(9)p 2203 391 84 4 v 2203 467 a(64)2309 410 y FA(a)2353 422 y Fy(0)2391 376 y(4)1810 624 y Ft(\000)1885 568 y FA(a)1929 580 y Fy(0)1966 537 y(2)2017 568 y FA(e)p 1885 605 171 4 v 1949 681 a FD(2)2093 624 y(cos)13 b FA(`)1810 824 y FD(+)1875 731 y Fz(\020)1934 767 y FD(3)p 1934 804 42 4 v 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a(8)1999 1623 y FA(a)2043 1635 y Fy(0)2080 1589 y(3)2136 1623 y FD(+)2250 1567 y(35)p 2229 1604 125 4 v 2229 1680 a(128)2377 1623 y FA(a)2421 1635 y Fy(0)2459 1589 y(5)2496 1531 y Fz(\021)2573 1623 y FD(cos)o(\(3)g FA(`)k FD(+)g(3)c FA(g)s FD(\))1810 1823 y(+)1885 1766 y(35)p 1885 1804 84 4 v 1885 1880 a(64)1991 1823 y FA(a)2035 1835 y Fy(0)2072 1788 y(4)2137 1823 y FD(cos)o(\(4)g FA(`)k FD(+)g(4)c FA(g)s FD(\))1810 2022 y(+)1905 1966 y(63)p 1885 2003 125 4 v 1885 2079 a(128)2033 2022 y FA(a)2077 2034 y Fy(0)2114 1988 y(5)2179 2022 y FD(cos)o(\(5)g FA(`)k FD(+)g(5)c FA(g)s FD(\))27 b FA(:)287 2227 y FD(W)-7 b(e)28 b(mak)n(e)f(a)g(\014nal)g(addition:)h (to)g(\(someho)n(w\))f(balance)f(the)i(fact)g(that)g(the)g(lo)n(w)n(er) e(harmonics)h(are)f(ph)n(ysically)h(more)287 2327 y(imp)r(ortan)n(t)22 b(than)h(the)g(higher)g(ones)1409 2297 y Fy(66)1478 2327 y FD(,)g(w)n(e)g(rein)n(tro)r(duce)e(in)j(the)f(lo)n(w)n(est)e(order)h (harmonics)f(the)j(\014rst)e(discarded)g(term.)287 2427 y(W)-7 b(e)28 b(are)e(then)j(led)e(to)h(the)g(follo)n(wing)e (one-parameter)g(family)h(of)h(Hamiltonians:)636 2638 y FA(H)705 2650 y Fy(SJV)830 2638 y FD(\()p FA(`;)14 b(g)s(;)g(L;)g(G)p FD(;)g FA(")p FD(\))82 b(:=)g Ft(\000)1655 2582 y FD(1)p 1608 2619 136 4 v 1608 2695 a(2)p FA(L)1707 2671 y Fy(2)1771 2638 y Ft(\000)19 b FA(G)f Ft(\000)g FA("P)2113 2650 y Fy(SJV)2238 2638 y FD(\()p FA(`;)c(g)s(;)g(L;)g(G)p FD(\))27 b FA(;)1102 b FD(\(3.260\))1363 2800 y(=:)82 b FA(H)1602 2812 y Fy(0)1640 2800 y FD(\()p FA(L;)14 b(G)p FD(\))k(+)g FA("H)2072 2812 y Fy(1)2109 2800 y FD(\()p FA(`;)c(g)s(;)g(L;)g(G)p FD(\))27 b FA(;)180 b FD(\()p FA(`;)14 b(g)s FD(\))23 b Ft(2)g Fp(T)3050 2766 y Fy(2)3114 2800 y FA(;)97 b FD(0)23 b FA(<)g(G)g(<)g(L)k(;)287 2977 y FD(with)599 3187 y FA(P)652 3199 y Fy(SJV)777 3187 y FD(\()p FA(`;)14 b(g)s(;)g(L;)g(G)p FD(\))82 b(:=)h(1)18 b(+)1558 3131 y FA(a)1602 3143 y Fy(0)1639 3100 y(2)p 1558 3168 119 4 v 1596 3244 a FD(4)1704 3187 y(+)1818 3131 y(9)p 1797 3168 84 4 v 1797 3244 a(64)1904 3187 y FA(a)1948 3199 y Fy(0)1985 3152 y(4)2041 3187 y FD(+)2134 3131 y(3)p 2134 3168 42 4 v 2134 3244 a(8)2213 3187 y FA(a)2257 3199 y Fy(0)2294 3152 y(2)2332 3187 y FA(e)2371 3152 y Fy(2)3765 3187 y FD(\(3.261\))1405 3387 y Ft(\000)1470 3294 y Fz(\020)1529 3330 y FD(1)p 1529 3367 V 1529 3443 a(2)1599 3387 y(+)1713 3330 y(9)p 1692 3367 84 4 v 1692 3443 a(16)1785 3387 y FA(a)1829 3399 y Fy(0)1866 3352 y(2)1903 3294 y Fz(\021)1980 3387 y FA(a)2024 3399 y Fy(0)2061 3352 y(2)2099 3387 y FA(e)41 b FD(cos)13 b FA(`)1405 3586 y FD(+)1470 3494 y Fz(\020)1529 3530 y FD(3)p 1529 3567 42 4 v 1529 3643 a(8)1594 3586 y FA(a)1638 3598 y Fy(0)1675 3552 y(3)1731 3586 y FD(+)1824 3530 y(15)p 1824 3567 84 4 v 1824 3643 a(64)1917 3586 y FA(a)1961 3598 y Fy(0)1998 3552 y(5)2035 3494 y Fz(\021)2113 3586 y FD(cos)o(\()p FA(`)18 b FD(+)g FA(g)s FD(\))1405 3786 y Ft(\000)1470 3694 y Fz(\020)1529 3730 y FD(9)p 1529 3767 42 4 v 1529 3843 a(4)1599 3786 y(+)1692 3730 y(5)p 1692 3767 V 1692 3843 a(4)1743 3786 y FA(a)1787 3798 y Fy(0)1824 3752 y(2)1862 3694 y Fz(\021)1939 3786 y FA(a)1983 3798 y Fy(0)2020 3752 y(2)2057 3786 y FA(e)41 b FD(cos\()p FA(`)18 b FD(+)g(2)p FA(g)s FD(\))1405 3986 y(+)1470 3894 y Fz(\020)1529 3930 y FD(3)p 1529 3967 V 1529 4043 a(4)1594 3986 y FA(a)1638 3998 y Fy(0)1675 3952 y(2)1731 3986 y FD(+)1845 3930 y(5)p 1824 3967 84 4 v 1824 4043 a(16)1931 3986 y FA(a)1975 3998 y Fy(0)2012 3952 y(4)2049 3894 y Fz(\021)2126 3986 y FD(cos\(2)c FA(`)j FD(+)h(2)c FA(g)s FD(\))1405 4186 y(+)1480 4130 y(3)p 1480 4167 42 4 v 1480 4243 a(4)1545 4186 y FA(a)1589 4198 y Fy(0)1626 4152 y(2)1663 4186 y FA(e)27 b FD(cos)o(\(3)14 b FA(`)k FD(+)g(2)c FA(g)s FD(\))1405 4386 y(+)1470 4294 y Fz(\020)1529 4329 y FD(5)p 1529 4367 V 1529 4443 a(8)1594 4386 y FA(a)1638 4398 y Fy(0)1675 4351 y(3)1731 4386 y FD(+)1845 4329 y(35)p 1824 4367 125 4 v 1824 4443 a(128)1972 4386 y FA(a)2016 4398 y Fy(0)2053 4351 y(5)2091 4294 y Fz(\021)2168 4386 y FD(cos)o(\(3)g FA(`)k FD(+)g(3)c FA(g)s FD(\))1405 4585 y(+)1480 4529 y(35)p 1480 4566 84 4 v 1480 4642 a(64)1586 4585 y FA(a)1630 4597 y Fy(0)1667 4551 y(4)1732 4585 y FD(cos)o(\(4)g FA(`)k FD(+)g(4)c FA(g)s FD(\))1405 4821 y(+)1500 4765 y(63)p 1480 4802 125 4 v 1480 4878 a(128)1628 4821 y FA(a)1672 4833 y Fy(0)1709 4787 y(5)1774 4821 y FD(cos)o(\(5)g FA(`)j FD(+)h(5)c FA(g)s FD(\))27 b(;)2635 4679 y Fz( )2701 4821 y FA(a)2745 4833 y Fy(0)2805 4821 y FD(=)c FA(L)2950 4787 y Fy(2)3014 4821 y FA(;)42 b(e)23 b FD(=)3228 4687 y Fz(r)p 3311 4687 266 4 v 134 x FD(1)18 b Ft(\000)3464 4765 y FA(G)3529 4741 y Fy(2)p 3464 4802 103 4 v 3468 4878 a FA(L)3525 4854 y Fy(2)3577 4679 y Fz(!)3684 4821 y FA(;)p 287 4942 1493 4 v 349 4996 a Fn(66)414 5020 y FH(Think,)23 b(for)g(example,)g(to)h(a)n(v)n(eraging)h(theory)-6 b(.)2111 5492 y FD(80)p eop %%Page: 81 81 81 80 bop 287 -94 a FD(and)28 b Fo(\014xing)g(the)h(p)r(erturbation)f (parameter)f(at)i(the)g(v)-5 b(alue)28 b FA(")c FD(=)h FA(")2352 -74 y Fs(SJ)2419 -94 y FD(,)k(w)n(e)f(obtain)g(the)h Fo(Sun-Jupiter-Victoria)e(Hamil-)287 5 y(tonian)p FD(:)p 1138 140 76 4 v 1138 206 a FA(H)1214 218 y Fy(SJV)1339 206 y FD(\()p FA(`;)14 b(g)s(;)g(L;)g(G)p FD(\))82 b(:=)g Ft(\000)2088 150 y FD(1)p 2041 187 136 4 v 2041 263 a(2)p FA(L)2140 239 y Fy(2)2205 206 y Ft(\000)18 b FA(G)g Ft(\000)g FA(")2483 227 y Fs(SJ)2551 206 y FA(P)2604 218 y Fy(SJV)2729 206 y FD(\()p FA(`;)c(g)s(;)g(L;)g(G)p FD(\))27 b FA(;)1796 359 y FD(=:)82 b FA(H)2035 371 y Fy(0)2073 359 y FD(\()p FA(L;)14 b(G)p FD(\))k(+)g FA(")2426 379 y Fs(SJ)2494 359 y FA(H)2563 371 y Fy(1)2600 359 y FD(\()p FA(`;)c(g)s(;)g(L;)g(G)p FD(\))27 b FA(:)287 541 y FB(Remark)k(3.5)40 b FD(\(i\))29 b(Note)e(that)1779 641 y FA(a)1823 653 y Fy(0)1860 607 y(2)1898 641 y FA(e)1937 607 y Fy(2)1997 641 y FD(=)22 b FA(L)2141 607 y Fy(4)2197 641 y Ft(\000)c FA(G)2345 607 y Fy(2)2382 641 y FA(L)2439 607 y Fy(2)2503 641 y FA(;)287 790 y FD(so)k(that)g(the)h(eccen)n(tricit)n(y)f FA(e)h FD(=)f FA(e)p FD(\()p FA(L;)14 b(G)p FD(\))23 b(app)r(ears)e(in)i FA(P)2013 802 y Fy(SJV)2138 790 y FD(,)f(only)g(linearly)g(and)g(in)h(fron)n(t)f(of)g(the)h Fo(o)r(dd)g FD(F)-7 b(ourier)21 b(mo)r(des.)287 915 y(\(ii\))28 b(Observ)n(e,)e(also,)h(that)1300 1058 y FA(a)1344 1070 y Fy(0)1381 1024 y(2)1437 1002 y FA(@)5 b(e)p 1428 1039 106 4 v 1428 1115 a(@)g(L)1567 1058 y FD(=)22 b FA(e)1693 1024 y Fx(\000)p Fy(1)1810 1058 y FA(G)1875 1024 y Fy(2)1912 1058 y FA(L)27 b(;)194 b(a)2257 1070 y Fy(0)2294 1024 y(2)2355 1002 y FA(@)5 b(e)p 2341 1039 114 4 v 2341 1115 a(@)g(G)2488 1058 y FD(=)23 b Ft(\000)p FA(e)2680 1024 y Fx(\000)p Fy(1)2796 1058 y FA(GL)2918 1024 y Fy(2)2983 1058 y FA(:)287 1235 y FD(Th)n(us,)36 b(in)h(the)f(gradien)n(t)g(of)g (the)h(p)r(erturbation)f FA(P)1925 1247 y Fy(SJV)2049 1235 y FD(,)h(the)g(expressions)d(whic)n(h)j(are)e(not)h(p)r(olynomial) g(in)h(\()p FA(L;)14 b(G)p FD(\))287 1335 y(app)r(ear)26 b(only)i(through)f FA(e)g FD(and)g FA(e)1324 1305 y Fx(\000)p Fy(1)1413 1335 y FD(.)287 1517 y FB(Remark)k(3.6)40 b FD(\(i\))34 b(Of)f(course,)e(other)i(inner)g(asteroids)e(with)i (similar)f(orbital)h(c)n(haracteristics)d(could)j(as)f(w)n(ell)h(b)r(e) 287 1617 y(considered:)38 b(Victoria)h(is)g(just)h(a)f(sample)g(\(with) h(an)f(encouraging)e(name\).)j(F)-7 b(or)39 b(example,)g(our)f(main)h (stabilit)n(y)287 1717 y(theorem)27 b(applies)g(also)f(to)i(the)g (asteroids)e(Iris)h(\(7\))g(and)h(Renzia)f(\(1204\).)f(The)i(orbital)f (elemen)n(ts)g(of)g(suc)n(h)h(asteroids)287 1816 y(are)e(giv)n(en)h(b)n (y:)1060 1999 y FA(a)1104 2011 y Fy(Iris)1226 1999 y Ft(')22 b FD(0)p FA(:)p FD(459)k FA(;)277 b(e)1869 2011 y Fy(Iris)1991 1999 y Ft(')23 b FD(0)p FA(:)p FD(230)i FA(;)277 b({)2622 2011 y Fy(Iris)2744 1999 y Ft(')23 b FD(1)p FA(:)p FD(172)16 b Ft(\001)j FD(10)3165 1965 y Fx(\000)p Fy(2)3281 1999 y FA(;)1060 2124 y(a)1104 2136 y Fy(Renzia)1327 2124 y Ft(')j FD(0)p FA(:)p FD(435)k FA(;)180 b(e)1873 2136 y Fy(Renzia)2096 2124 y Ft(')22 b FD(0)p FA(:)p FD(294)k FA(;)180 b({)2630 2136 y Fy(Renzia)2853 2124 y Ft(')22 b FD(1)p FA(:)p FD(603)17 b Ft(\001)h FD(10)3273 2089 y Fx(\000)p Fy(3)3389 2124 y FA(:)287 2331 y FD(\(ii\))33 b(A)g(n)n(umerical)f(in)n(v)n(estigation)f(of)i (the)g(v)-5 b(alidit)n(y)33 b(of)f(the)h(mo)r(del)g(with)g(Hamiltonian) g(\(3.260\)-\(3.261\))d(has)i(b)r(een)287 2431 y(p)r(erformed)21 b(in)h([33)o(],)h(where)e(Lask)-5 b(ar's)20 b(frequency)i(analysis)e (\([86)o(]\))j(has)e(b)r(een)h(used)g(to)g(determine)g(the)g(critical)g (break-)287 2530 y(do)n(wn)k(threshold)h(of)g(some)f(in)n(v)-5 b(arian)n(t)26 b(tori.)g(The)h(dynamics)g(of)g(the)g(truncated)g (Hamiltonian)g(has)f(b)r(een)h(compared)287 2630 y(with)34 b(the)g(dynamics)g(generated)e(b)n(y)i(the)g(complete)g(Hamiltonian)g (function.)g(The)g(results)f(sho)n(w,)g(in)h(particular,)287 2730 y(that,)i(in)h(the)f(case)f(of)h(Victoria,)g(the)g(break-do)n(wn)e (threshold)i(of)g(upp)r(er)g(and)g(lo)n(w)n(er)f(b)r(ounding)h(tori)f (agrees)g(for)287 2829 y(b)r(oth)h(mo)r(dels.)f(A)h(similar)e(n)n (umerical)h(analysis)f(has)h(b)r(een)g(p)r(erformed)g(in)h(order)e(to)h (ev)-5 b(aluate)35 b(the)h(e\013ect)f(of)h(the)287 2929 y(eccen)n(tricit)n(y)29 b(of)h(the)h(orbit)e(of)h(Jupiter)g(and)g(of)g (the)h(relativ)n(e)d(inclination)i(of)g(the)h(asteroid-Jupiter)d (orbits)i(and)f(no)287 3028 y(relev)-5 b(an)n(t)27 b(discrepancy)f(has) h(b)r(een)h(found)g(in)g(b)r(oth)g(mo)r(dels.)287 3244 y FB(3.4.2)94 b(The)32 b(Sun-Jupiter-Victoria)g(phase)f(space)287 3398 y FD(Let)18 b(us)h(no)n(w)f(select)g(the)h(region)e(of)i(the)g (phase)f(space)g(for)g(the)g(dynamical)g(system)h(\(3.260\),)e(whic)n (h)h(ma)n(y)g(b)r(e)h(considered)287 3497 y(more)27 b(in)n(teresting)f (from)i(an)f(astronomical)f(p)r(oin)n(t)h(of)h(view.)287 3622 y(First)21 b(of)h(all,)g(recall)e(the)j(observ)n(ed)d(osculating)g (data)i(for)f(the)h(asteroid)e(Victoria)h(\(3.258\),)g(whic)n(h)h(are)e (obtained)i(com-)287 3721 y(puting)j(the)h(instan)n(taneous)d (osculating)h(ellipses)h(of)g(the)h(t)n(w)n(o-b)r(o)r(dy)e(system)g (Sun-Asteroid)h(\(see)g([133)o(]\).)g(In)g(view)g(of)287 3821 y(the)e(appro)n(ximations)d(w)n(e)i(ha)n(v)n(e)f(made)h(and)g(of)h (the)f(relation)g(\(3.259\),)f(w)n(e)h(compute)h(the)f(corresp)r (onding)f(\\observ)n(ed")287 3921 y(v)-5 b(alue)29 b(for)g(the)h (action)e(v)-5 b(ariable)29 b FA(L)g FD(and)g(hence,)g(b)n(y)g(the)h (eccen)n(tricit)n(y)f(relation)f(in)i(\(3.259\),)e(the)i(\\observ)n (ed")c(v)-5 b(alue)287 4020 y(of)27 b(the)h(action)f(v)-5 b(ariable)27 b FA(G)p FD(:)1706 4145 y Ft(p)p 1775 4145 98 4 v 58 x FA(a)1819 4215 y Fy(V)1896 4203 y Ft(')c FD(0)p FA(:)p FD(670)e(=:)h FA(L)2363 4215 y Fy(V)2445 4203 y FA(;)1706 4365 y(L)1763 4377 y Fy(V)1844 4265 y Fz(q)p 1927 4265 236 4 v 100 x FD(1)c Ft(\000)g FA(e)2109 4336 y Fy(2)2109 4389 y(V)2186 4365 y Ft(')k FD(0)p FA(:)p FD(654)g(=:)g FA(G)2661 4377 y Fy(V)2743 4365 y FA(:)287 4560 y FD(T)-7 b(aking)29 b(in)n(to)h(accoun)n(t)f(that)h(the)g(observ) n(ed)e(astronomical)g(data)i(are)f(giv)n(en)g(in)h(terms)g(of)f (\\osculating")f(Keplerian)287 4659 y(ellipses,)g(it)h(seems)g (reasonable)e(to)h(de\014ne)h(the)g(\\osculating)e(energy)h(v)-5 b(alue")28 b(in)h(terms)g(of)f(the)h(Keplerian)f(appro)n(xi-)287 4759 y(mation.)23 b(Ho)n(w)n(ev)n(er,)e(since)i(the)h(\\secular")d (e\013ects)1858 4729 y Fy(67)1952 4759 y FD(are)h(also)g(certainly)g (noticeable,)h(w)n(e)g(shall)g(in)n(tro)r(duce)g(them)g(in)n(to)p 287 4812 1493 4 v 349 4866 a Fn(67)414 4889 y FH(Roughly)h(sp)r (eaking,)g(the)h(e\013ects)g(of)e(the)i(a)n(v)n(erage)g(o)n(v)n(er)f (the)g(angles)g(of)g(the)g(p)r(erturbation.)2111 5492 y FD(81)p eop %%Page: 82 82 82 81 bop 287 -94 a FD(the)27 b(de\014nition)g(of)g(the)g(osculating)f (energy)g(v)-5 b(alue.)27 b(Recalling)f(\(3.260\),)g(\(3.261\))f(and)i (p)r(oin)n(t)g(\(i\))h(of)e(Remark)g(3.5,)h(w)n(e)287 21 y(therefore)g(de\014ne)g FA(E)941 -22 y Fy(\(0\))936 46 y(V)1058 21 y FD(and)h FA(E)1286 -22 y Fy(\(1\))1281 46 y(V)1403 21 y FD(as)e(follo)n(ws)802 242 y FA(H)871 254 y Fy(0)908 242 y FD(\()p FA(L)997 254 y Fy(V)1051 242 y FA(;)14 b(G)1153 254 y Fy(V)1207 242 y FD(\))24 b(=)e Ft(\000)1480 186 y FD(1)p 1425 223 153 4 v 1425 299 a(2)p FA(L)1524 270 y Fy(2)1524 323 y(V)1605 242 y Ft(\000)c FA(G)1753 254 y Fy(V)1831 242 y Ft(')23 b(\000)p FD(1)p FA(:)p FD(768)d(=:)j FA(E)2372 199 y Fy(\(0\))2367 266 y(V)2489 242 y FA(;)802 413 y Fz(\012)841 480 y FA(H)910 492 y Fy(1)948 480 y FD(\()p Ft(\001)p FA(;)14 b(L)1097 492 y Fy(V)1150 480 y FA(;)g(G)1252 492 y Fy(V)1307 480 y FD(\))1339 413 y Fz(\013)1401 480 y FD(=)23 b Ft(\000)1554 388 y Fz(\020)1603 480 y FD(1)18 b(+)1756 424 y FA(L)1813 394 y Fy(4)1813 447 y(V)p 1756 461 111 4 v 1790 537 a FD(4)1895 480 y(+)2009 424 y(9)p 1988 461 84 4 v 1988 537 a(64)2095 480 y FA(L)2152 446 y Fy(8)2152 501 y(V)2224 480 y FD(+)2317 424 y(3)p 2317 461 42 4 v 2317 537 a(8)2396 480 y(\()p FA(L)2485 446 y Fy(4)2485 501 y(V)2557 480 y Ft(\000)g FA(G)2705 446 y Fy(2)2705 501 y(V)2759 480 y FA(L)2816 446 y Fy(2)2816 501 y(V)2870 480 y FD(\))2902 388 y Fz(\021)2975 480 y Ft(')23 b(\000)p FD(1)p FA(:)p FD(060)d(=:)j FA(E)3516 437 y Fy(\(1\))3511 504 y(V)3633 480 y FA(;)802 657 y(E)863 669 y Fy(V)917 657 y FD(\()p FA(")p FD(\))h(:=)f FA(E)1221 614 y Fy(\(0\))1216 681 y(V)1328 657 y FD(+)18 b FA("E)1516 614 y Fy(\(1\))1511 681 y(V)1633 657 y FA(:)2109 b FD(\(3.262\))287 834 y(The)27 b(osculating)g(energy)f(lev)n(el)i(of)f(the)h(Sun-Jupiter-Victoria)e (mo)r(del)i(is,)g(then,)g(de\014ned)g(as)p 1371 957 67 4 v 1371 1024 a FA(E)1437 1036 y Fy(V)1514 1024 y FD(:=)22 b FA(E)1685 1036 y Fy(V)1740 1024 y FD(\()p FA(")1801 1044 y Fs(SJ)1869 1024 y FD(\))h(=)g FA(E)2078 980 y Fy(\(0\))2073 1048 y(V)2185 1024 y FD(+)18 b FA(")2297 1044 y Fs(SJ)2365 1024 y FA(E)2431 980 y Fy(\(1\))2426 1048 y(V)2543 1024 y Ft(')23 b(\000)p FD(1)p FA(:)p FD(769)i FA(:)287 1201 y Fo(F)-7 b(rom)27 b(no)n(w)g(on,)g(our)g(theorems)g (will)h(b)r(e)g(concerned)e(with)j(suc)n(h)e(one-parameter)e(family)j (of)f(energy)g(surfaces)p FD(:)1739 1379 y Ft(S)1789 1391 y Fw(";)p Fy(V)1917 1379 y FD(:=)c FA(H)2104 1343 y Fx(\000)p Fy(1)2097 1403 y(SJV)2222 1311 y Fz(\000)2260 1379 y FA(E)2321 1391 y Fy(V)2375 1379 y FD(\()p FA(")p FD(\))2478 1311 y Fz(\001)2544 1379 y FA(:)287 1556 y FD(Next,)33 b(w)n(e)f(consider)g(t)n(w)n(o)g(in)n(v)-5 b(arian)n(t)31 b(tori)i(on)f Ft(S)1822 1568 y Fy(0)p Fw(;)p Fy(V)1929 1556 y FD(,)h(whic)n(h)g(b)r(ound)g(from)f(ab)r(o)n(v) n(e)f(and)i(b)r(elo)n(w)f(the)h(observ)n(ed)e(v)-5 b(alue)287 1656 y FA(L)344 1668 y Fy(V)397 1656 y FD(:)28 b(w)n(e)f(de\014ne)1823 1734 y(~)1814 1755 y FA(L)1871 1767 y Fx(\006)1949 1755 y FD(=)c FA(L)2094 1767 y Fw(V)2169 1755 y Ft(\006)18 b FD(0)p FA(:)p FD(001)26 b FA(:)287 1902 y FD(The)h(corresp)r(onding)f (frequencies)h(are:)1400 2118 y(~)-49 b FA(!)1445 2130 y Fx(\006)1524 2118 y FD(:=)1703 2062 y FA(@)5 b(H)1821 2074 y Fy(0)p 1644 2099 272 4 v 1644 2175 a FA(@)g FD(\()p FA(L;)14 b(G)p FD(\))1949 2118 y(=)2037 2026 y Fz(\020)2132 2062 y FD(1)p 2097 2099 113 4 v 2107 2164 a(~)2097 2185 y FA(L)2154 2157 y Fy(3)2154 2206 y Fx(\006)2219 2118 y FA(;)g Ft(\000)p FD(1)2363 2026 y Fz(\021)2435 2118 y FD(=:)22 b(\()8 b(~)-50 b FA(\013)2630 2130 y Fx(\006)2687 2118 y FA(;)14 b Ft(\000)p FD(1\))27 b FA(:)287 2357 y FD(Since)e(w)n(e)g(need)g(Diophan)n(tine)g(frequencies)f(to)h(study)g (the)g(KAM)g(con)n(tin)n(uation)f(of)h(unp)r(erturb)r(ed)h(tori,)e(w)n (e)h(pro)r(ceed)287 2456 y(as)g(follo)n(ws.)g(W)-7 b(e)26 b(compute)f(the)h(con)n(tin)n(ued)g(fraction)f(represen)n(tation)f(up)i (to)f(the)h(order)e(5)i(of)f(the)h(n)n(um)n(b)r(ers)34 b(~)-51 b FA(\013)3780 2468 y Fx(\006)3862 2456 y FD(and,)287 2556 y(then,)33 b(w)n(e)f(mo)r(dify)h(the)g(frequencies)g(b)n(y)f (adding)g(a)g(tail)h(of)g(all)f(one's.)g(In)h(suc)n(h)f(a)g(w)n(a)n(y)g (w)n(e)g(obtain)g(t)n(w)n(o)g(quadratic)287 2656 y(\\noble")26 b(n)n(um)n(b)r(ers)h FA(\013)979 2668 y Fx(\006)1063 2656 y FD(giv)n(en)g(b)n(y:)1238 2833 y FA(\013)1291 2845 y Fx(\000)1430 2833 y FD(:=)82 b([3;)14 b(3)p FA(;)g FD(4)p FA(;)g FD(2)p FA(;)g FD(1)1981 2799 y Fx(1)2049 2833 y FD(])23 b(=)g(3)p FA(:)p FD(309769376313)o(89)o FA(:::)1239 2958 y(\013)1292 2970 y Fy(+)1430 2958 y FD(:=)82 b([3;)14 b(2)p FA(;)g FD(1)p FA(;)g FD(17)p FA(;)g FD(5)p FA(;)g FD(1)2102 2923 y Fx(1)2169 2958 y FD(])23 b(=)g(3)p FA(:)p FD(339559906478)o(60)o FA(:::)f(:)697 b FD(\(3.263\))287 3135 y(W)-7 b(e)28 b(can)f(no)n(w)g(de\014ne)h(the)g (Diophan)n(tine)f(frequencies)1849 3313 y FA(!)1901 3325 y Fx(\006)1979 3313 y FD(:=)c(\()p FA(\013)2175 3325 y Fx(\006)2231 3313 y FA(;)14 b Ft(\000)p FD(1\))27 b FA(:)1308 b FD(\(3.264\))287 3490 y(The)27 b(corresp)r(onding)f (Diophan)n(tine)i(constan)n(ts)e(are)h(easily)g(computed)h(\(compare)e Ft(x)i FD(B.1,)f(App)r(endix)h(B\):)907 3668 y FA(\034)943 3680 y Fx(\006)1022 3668 y FD(:=)23 b FA(\034)33 b FD(=)22 b(1)28 b FA(;)180 b(\015)1605 3680 y Fx(\000)1684 3668 y FD(:=)22 b(7)p FA(:)p FD(224496)15 b Ft(\001)k FD(10)2252 3634 y Fx(\000)p Fy(3)2368 3668 y FA(;)180 b(\015)2614 3680 y Fy(+)2692 3668 y FD(:=)23 b(3)p FA(:)p FD(324329)15 b Ft(\001)j FD(10)3260 3634 y Fx(\000)p Fy(2)3376 3668 y FA(:)287 3845 y FD(W)-7 b(e)29 b(are)g(in)n(terested)g(in)g(the)h (KAM)f(con)n(tin)n(uation)f(of)i(the)f(follo)n(wing)g(unp)r(erturb)r (ed)g(tori,)g(whic)n(h)g(lie)h(on)f(the)g(energy)287 3957 y(lev)n(el)e FA(H)552 3921 y Fx(\000)p Fy(1)545 3979 y(0)641 3957 y FD(\()p FA(E)739 3913 y Fy(\(0\))734 3981 y Fw(V)828 3957 y FD(\):)1693 4056 y Ft(T)1760 4021 y Fx(\006)1738 4078 y Fy(0)1839 4056 y FD(:=)22 b Ft(f)p FD(\()p FA(L)2080 4068 y Fx(\006)2136 4056 y FA(;)14 b(G)2238 4068 y Fx(\006)2294 4056 y FD(\))p Ft(g)k(\002)g Fp(T)2525 4022 y Fy(2)2590 4056 y FA(;)1152 b FD(\(3.265\))287 4203 y(with)448 4172 y Fy(68)1342 4320 y FA(L)1399 4332 y Fx(\006)1478 4320 y FD(:=)1657 4264 y(1)p 1598 4301 158 4 v 1598 4398 a FA(\013)1651 4355 y Fy(1)p Fw(=)p Fy(3)1651 4419 y Fx(\006)1794 4320 y FA(;)346 b(G)2228 4332 y Fx(\006)2307 4320 y FD(:=)23 b Ft(\000)2549 4264 y FD(1)p 2493 4301 155 4 v 2493 4377 a(2)p FA(L)2592 4349 y Fy(2)2592 4398 y Fx(\006)2675 4320 y Ft(\000)18 b FA(E)2824 4277 y Fy(\(0\))2819 4345 y Fw(V)2941 4320 y FA(;)287 4538 y FD(and)27 b(w)n(e)g(shall)h(pro)n(v)n(e)e(the)i (follo)n(wing)e(statemen)n(t,)i(whic)n(h)f(shall)g(b)r(e)h(made)g (precise)f(in)h(the)g(next)f(paragraph.)p 287 4589 1493 4 v 349 4643 a Fn(68)414 4667 y FH(The)d(n)n(umerical)e(v)l(alues)j(of) e Fm(L)1221 4676 y Fi(\006)1297 4667 y FH(and)h Fm(G)1489 4676 y Fi(\006)1564 4667 y FH(are)1307 4791 y Fm(L)1355 4800 y Fn(+)1425 4791 y FH(=)19 b(0)p Fm(:)p FH(671017866335225)p Fm(:::)27 b(;)82 b(G)2323 4800 y Fn(+)2393 4791 y FH(=)20 b(0)p Fm(:)p FH(656922466367295)p Fm(:::)26 b(;)1307 4895 y(L)1355 4904 y Fi(\000)1426 4895 y FH(=)20 b(0)p Fm(:)p FH(669016633073288)p Fm(:::)26 b(;)82 b(G)2324 4904 y Fi(\000)2396 4895 y FH(=)19 b(0)p Fm(:)p FH(650269096020133)p Fm(:::)27 b(:)646 b FH(\(3.266\))2111 5492 y FD(82)p eop %%Page: 83 83 83 82 bop 287 -94 a FB(Claim)30 b(3.1)40 b Fh(The)33 b(tori)g Ft(T)1131 -130 y Fx(\006)1110 -72 y Fy(0)1220 -94 y FD(\(3.265\))e Fh(c)l(an)h(b)l(e)g(analytic)l(al)t(ly)j(c)l (ontinue)l(d)d(for)2685 -124 y Fy(69)2788 -94 y Ft(j)p FA(")p Ft(j)c(\024)f FD(10)3077 -124 y Fx(\000)p Fy(3)3197 -94 y Fh(into)33 b(invariant)g(tori)g Ft(T)3963 -124 y Fx(\006)3942 -74 y Fw(")287 5 y Fh(on)38 b(the)g(ener)l(gy)h(level)g Ft(S)1076 17 y Fw(";)p Fy(V)1220 5 y FD(=)f FA(H)1399 -30 y Fx(\000)p Fy(1)1392 30 y(SJV)1517 5 y FD(\()p FA(E)1610 17 y Fy(V)1664 5 y FD(\()p FA(")p FD(\)\))h Fh(ke)l(eping)g(\014xe)l(d) f(the)g(r)l(atio)h(of)g(the)g(fr)l(e)l(quencies.)g(Sinc)l(e)f(the)g (system)287 105 y FD(\(3.260\))p Fh(-)p FD(\(3.261\))32 b Fh(is)k(a)f(two-de)l(gr)l(e)l(e-of-fr)l(e)l(e)l(dom,)i(iso-ener)l (getic)l(al)t(ly)h(non-de)l(gener)l(ate,)d(the)h(tori)f Ft(T)3460 75 y Fy(+)3438 125 y Fw(")3459 148 y Fs(SJ)3567 105 y Fh(and)h Ft(T)3800 75 y Fx(\000)3779 125 y Fw(")3800 148 y Fs(SJ)3908 105 y Fh(ar)l(e)287 224 y(the)h(b)l(oundary)g(of)h(an) f(invariant)g(r)l(e)l(gion)h Ft(J)15 b Fh(;)37 b(such)g(r)l(e)l(gion)h (c)l(ontains)e(the)h(surfac)l(e)h FD(\()p FA(L)3092 236 y Fy(V)3145 224 y FA(;)14 b(G)3247 236 y Fy(V)3302 224 y FD(\))24 b Ft(\002)f Fp(T)3502 193 y Fy(2)3538 224 y Fh(,)37 b(showing,)i(in)287 323 y(p)l(articular,)31 b(that)f(the)g(motions)1324 506 y FD(\()p FA(`)p FD(\()p FA(t)p FD(\))p FA(;)14 b(g)s FD(\()p FA(t)p FD(\))p FA(;)g(L)p FD(\()p FA(t)p FD(\))p FA(;)g(G)p FD(\()p FA(t)p FD(\)\))25 b(:=)d FA(\036)2259 472 y Fw(t)p 2259 492 59 4 v 2259 541 a(H)2318 549 y Fs(SJV)2428 506 y FD(\()p FA(`)2495 518 y Fy(0)2532 506 y FA(;)14 b(g)2609 518 y Fy(0)2646 506 y FA(;)g(L)2740 518 y Fy(V)2793 506 y FA(;)g(G)2895 518 y Fy(V)2950 506 y FD(\))287 708 y Fh(b)l(elongs)32 b(for)g(any)f FA(t)26 b Ft(2)g Fp(R)37 b Fh(and)32 b(any)g FD(\()p FA(`)1486 720 y Fy(0)1523 708 y FA(;)14 b(g)1600 720 y Fy(0)1637 708 y FD(\))26 b Ft(2)g Fp(T)1832 678 y Fy(2)1899 708 y Fh(to)32 b(the)f(r)l(e)l(gion)h Ft(J)15 b Fh(.)32 b(As)f(a)g(c)l(or)l(ol)t(lary)j(the)d(values)h(of)g(the)f(p)l (erturb)l(e)l(d)287 808 y(inte)l(gr)l(als)h FA(L)p FD(\()p FA(t)p FD(\))g Fh(and)h FA(G)p FD(\()p FA(t)p FD(\))f Fh(stay)h(close)g(to)f(their)g(initial)h(values)g FA(L)2396 820 y Fy(V)2481 808 y Fh(and)g FA(G)2710 820 y Fy(V)2796 808 y Fh(for)l(ever)g(and)g(the)f(actual)h(motion)f(\(in)287 908 y(the)e(mathematic)l(al)h(mo)l(del\))f(is)h(ne)l(arly)f(el)t (liptic)l(al)i(with)e(osculating)h(orbital)g(values)f(close)h(to)e(the) h(observe)l(d)h(ones.)287 1182 y FC(4)135 b(KAM)44 b(stabilit)l(y)j(of) e(the)g(Sun-Jupiter-Victoria)h(problem)287 1364 y FD(In)26 b(this)g(section)g(w)n(e)g(pro)n(v)n(e)e(Claim)i(3.1,)f(i.e.,)h(the)h (stabilit)n(y)e(of)h(the)h(Sun-Jupiter-Victoria)d(problem)i(mo)r (delled)g(b)n(y)g(a)287 1464 y(restricted,)h(circular,)f(planar)h (three-b)r(o)r(dy)g(problem,)g(as)g(describ)r(ed)g(in)h Ft(x)g FD(3.4.)287 1588 y(The)j(analysis)e(in)i(divided)g(in)n(to)g (four)f(mains)g(steps,)h(whic)n(h)g(w)n(e)f(pro)r(ceed)g(to)h (brie\015y)f(describ)r(e.)h(All)g(of)g(these)f(steps)287 1688 y(are)36 b(\\computer)h(assisted",)f(namely)-7 b(,)37 b(they)g(are)g(implemen)n(ted)h(on)f(a)g(computer)g(using)g(the)g (so-called)f(\\in)n(terv)-5 b(al)287 1787 y(arithmetic")32 b(to)g(k)n(eep)h(trac)n(k)e(of)i(the)g(n)n(umerical)f(errors)e(in)n (tro)r(duced)j(b)n(y)f(the)h(mac)n(hine.)f(In)n(terv)-5 b(al)32 b(arithmetic)h(is)g(a)287 1887 y(standard)22 b(tec)n(hnique,)h(whic)n(h)g(allo)n(ws)f(to)h(use)g(computers)g(in)g (order)f(to)h(pro)n(v)n(e)f(theorems;)g(see)h(App)r(endix)h(C)f(for)g (more)287 1987 y(information.)379 2169 y FB(1.)40 b FD(F)-7 b(ollo)n(wing)27 b Ft(x)g FD(2.8.2,)g(w)n(e)g(pro)n(vide)f(form)n(ulae) h(for)g(the)g(explicit)h(computation)f(of)h(the)g(iso-energetic)e (Lindstedt)494 2269 y(series)j(\(up)g(to)g(an)n(y)g(order)f(in)h FA(")p FD(\))g(of)g(KAM)h(tori)e(ha)n(ving)g(Diophan)n(tine)i (frequencies.)e(W)-7 b(e)30 b(then)g(compute)f(the)494 2369 y(12)578 2338 y Fy(th)644 2369 y FD(-order)19 b(truncation)h(of)h (the)g(iso-energetic)e(Lindstedt)i(series)f(for)g(t)n(w)n(o)g(tori)g Ft(T)3044 2338 y Fx(\006)3023 2389 y Fw(")3044 2411 y Fs(SJ)3137 2369 y FD(\(describ)r(ed)h(in)g(Claim)g(3.1\);)494 2490 y(the)34 b(energy)f(lev)n(el)g(b)r(eing)h(\014xed)g(at)f(the)i(v) -5 b(alue)33 b FA(E)2085 2502 y Fy(V)2140 2490 y FD(\()p FA(")p FD(\),)h(see)f(\(3.262\).)g(Suc)n(h)g(12)3041 2460 y Fy(th)3107 2490 y FD(-order)f(truncations)h(of)h(the)494 2590 y(iso-energetic)26 b(Lindstedt)i(series)f(are)f(tak)n(en)i(as)e (appro)n(ximate)g(tori)2644 2560 y Fy(70)1535 2772 y FD(\()p FA(u)1615 2738 y Fy(\(0\))1704 2772 y FA(;)14 b(v)1784 2738 y Fy(\(0\))1874 2772 y FA(;)g(!)1966 2738 y Fy(\(0\))2054 2772 y FD(\))24 b(:=)e(\()p FA(u)2300 2738 y Fy(\(0\))p Fx(\006)2441 2772 y FA(;)14 b(v)2521 2738 y Fy(\(0\))p Fx(\006)2662 2772 y FA(;)g(!)2754 2738 y Fy(\(0\))p Fx(\006)2895 2772 y FD(\))28 b FA(:)787 b FD(\(4.267\))494 2955 y(By)28 b(applying)f(the)h(KAM)f(map)h Ft(K)h FD(in)f(\(2.63\))f(one)g(can)g(get)g(b)r(etter)h(appro)n(ximate) e(tori)1340 3138 y(\()p FA(u)1420 3103 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(+1\))p Fx(\006)1635 3138 y FA(;)14 b(v)1715 3103 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(+1\))p Fx(\006)1931 3138 y FA(;)g(!)2023 3103 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(+1\))p Fx(\006)2238 3138 y FD(\))23 b(=)g Ft(K)q FD(\()p FA(u)2525 3103 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))p Fx(\006)2656 3138 y FA(;)14 b(v)2736 3103 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))p Fx(\006)2868 3138 y FA(;)g(!)2960 3103 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))p Fx(\006)3091 3138 y FD(\))28 b FA(:)591 b FD(\(4.268\))494 3320 y(In)30 b(the)g(next)f(t)n(w)n(o)g (steps,)g(implemen)n(ting)h(with)f(estimates)g(this)h(strategy)-7 b(,)28 b(one)h(sho)n(ws)f(that)i(this)g(is)f(actually)494 3420 y(the)f(case.)379 3586 y FB(2.)40 b FD(W)-7 b(e)35 b(pro)n(vide)e(form)n(ulae)g(for)h(estimating)g(the)h(input)g (parameters)d(of)j(the)f(KAM)h(norm)e(map)3572 3565 y Fz(b)3558 3586 y Ft(K)j FD(de\014ned)f(in)494 3686 y(Prop)r(osition)22 b(2.2)h(asso)r(ciated)g(to)g(the)h(appro)n(ximate)e(tori)h(de\014ned)h (in)g(\(4.267\).)f(The)h(p)r(erturbation)f(parameter)494 3785 y FA(")28 b FD(is)f(tak)n(en)g(in)h(the)g(complex)f(disk)1669 3968 y Ft(E)k FD(:=)22 b Ft(fj)p FA(")p Ft(j)h(\024)f FA(")2130 3980 y Fy(0)2167 3968 y Ft(g)h FD(:=)g Ft(fj)p FA(")p Ft(j)f(\024)h FD(10)2664 3934 y Fx(\000)p Fy(3)2752 3968 y Ft(g)k FA(;)921 b FD(\(4.269\))494 4151 y(whic)n(h)24 b(con)n(tains)g(the)g(ph)n(ysical)f(p)r(erturbation)h(parameter)f FA(")2412 4171 y Fs(SJ)2504 4151 y FD(of)h(the)g(Sun-Jupiter)g (problem.)g(Recall)g(that)g(in)494 4250 y(our)29 b(c)n(hoice)f(of)h (the)h(norms)f(it)g(is)g(tak)n(en)g(the)h(suprem)n(um)f(o)n(v)n(er)e (complex)i FA(")g FD(for)g Ft(j)p FA(")p Ft(j)c(\024)h FA(")3276 4262 y Fy(0)3342 4250 y FD(so)i(that,)i(as)f(already)494 4350 y(p)r(oin)n(ted)f(out,)g(the)g(results)f(holds)g(uniformly)h(for)f (all)g Ft(j)p FA(")p Ft(j)c(\024)f FD(10)2489 4320 y Fx(\000)p Fy(3)2578 4350 y FD(;)27 b(compare)g Ft(x)g FD(2.8.1.)379 4516 y FB(3.)40 b FD(W)-7 b(e)29 b(iterate)f(the)g(KAM)g (map)g Ft(K)i FD(a)e(few)g(times)g(so)g(as)f(to)h(obtain)g(new)g(appro) n(ximate)f(tori)g(as)h(in)g(\(4.268\).)f(The)494 4626 y(norms)g(relativ)n(e)g(to)g(these)h(new)f(appro)n(ximate)f(tori)h(are) g(con)n(trolled)f(b)n(y)i(means)f(of)g(the)h(KAM)g(norm)f(map)3938 4605 y Fz(b)3924 4626 y Ft(K)r FD(.)p 287 4679 1493 4 v 349 4733 a Fn(69)414 4756 y FH(Recall)c(from)f(\(3.257\))j(that)g Fm(")1208 4775 y Fs(SJ)1295 4756 y Fl(')20 b FH(0)p Fm(:)p FH(954)c Fl(\001)g FH(10)1652 4733 y Fi(\000)p Fn(3)1754 4756 y Fm(<)k FH(10)1899 4733 y Fi(\000)p Fn(3)1982 4756 y FH(.)349 4812 y Fn(70)414 4835 y FH(Often,)25 b(to)h(a)n(v)n(oid)g (hea)n(vy)h(notations,)f(w)n(e)g(shall)e(drop)i(the)g(su\016x)f Fl(\006)p FH(,)g(but)h(k)n(eep)g(in)f(mind)f(that,)j(in)e(actual)h (computations,)g(one)g(has)287 4914 y(to)e(treat)h(separately)f(the)h (prolongation)g(of)e(the)h(t)n(w)n(o)h(tori)e Fl(T)1939 4884 y Fi(\006)1922 4937 y Fn(0)1991 4914 y FH(.)2111 5492 y FD(83)p eop %%Page: 84 84 84 83 bop 379 -94 a FB(4.)40 b FD(W)-7 b(e)29 b(\014nally)f(apply)g (the)h(iso-energetic)e(KAM)h(theorem)g(2.1)f(\(in)i(the)g(parameter)e (dep)r(enden)n(t)i(case)e(describ)r(ed)494 5 y(in)h Ft(x)g FD(2.8.1)e(with)i Ft(E)35 b FD(as)27 b(in)h(\(4.269\)\))f(to)g(the)h(t) n(w)n(o)f(appro)n(ximate)f(tori)1391 188 y(\()p FA(u;)14 b(v)s(;)g(!)s FD(\))22 b(=)h(\()p FA(u)1865 154 y Fy(+)1920 188 y FA(;)14 b(v)2000 154 y Fy(+)2055 188 y FA(;)g(!)2147 154 y Fy(+)2202 188 y FD(\))23 b(:=)g(\()p FA(u)2448 154 y Fy(\(3\)+)2588 188 y FA(;)14 b(v)2668 154 y Fy(\(3\)+)2808 188 y FA(;)g(!)2900 154 y Fy(\(3\)+)3040 188 y FD(\))28 b FA(;)494 371 y FD(and)1388 470 y(\()p FA(u;)14 b(v)s(;)g(!)s FD(\))23 b(=)f(\()p FA(u)1862 436 y Fx(\000)1918 470 y FA(;)14 b(v)1998 436 y Fx(\000)2054 470 y FA(;)g(!)2146 436 y Fx(\000)2202 470 y FD(\))23 b(:=)g(\()p FA(u)2448 436 y Fy(\(4\))p Fx(\000)2589 470 y FA(;)14 b(v)2669 436 y Fy(\(4\))p Fx(\000)2810 470 y FA(;)g(!)2902 436 y Fy(\(4\))p Fx(\000)3043 470 y FD(\))28 b FA(;)494 620 y FD(obtaining)c(t)n(w)n(o)f(in)n(v)-5 b(arian)n(t)23 b(tori)h(\()5 b(~)-47 b FA(u)1592 590 y Fx(\006)1648 620 y FA(;)17 b FD(~)-45 b FA(v)1728 590 y Fx(\006)1784 620 y FA(;)20 b FD(~)-48 b FA(!)1876 590 y Fx(\006)1931 620 y FD(\))25 b(on)f(the)g(energy)f(lev)n(el)h FA(H)2763 584 y Fx(\000)p Fy(1)2756 644 y(SJV)2881 620 y FD(\()p FA(E)2974 632 y Fy(V)3028 620 y FD(\).)h(Claim)f(3.1)f(will)h(then)h (easily)494 719 y(follo)n(w.)287 952 y Fv(4.1)112 b(Iso-energetic)30 b(Lindstedt)g(series)g(for)g(the)g(Sun-Jupiter-Asteroid)g(problem)f (and)542 1068 y(c)m(hoice)37 b(of)g(the)h(initial)c(appro)m(ximate)j (tori)f FI(\()p Fu(u)2477 1032 y FH(\(0\))p Fl(\006)2625 1068 y Fu(;)17 b(v)2720 1032 y FH(\(0\))q Fl(\006)2869 1068 y Fu(;)g(!)2978 1032 y FH(\(0\))p Fl(\006)3126 1068 y FI(\))287 1221 y FD(Recall)33 b(that)h(the)h(co)r(e\016cien)n(ts)e (of)h(the)g(iso-energetic)e(Lindstedt)i(series,)f FA(u)2718 1233 y Fw(j)2753 1221 y FD(,)h FA(v)2850 1233 y Fw(j)2885 1221 y FD(,)g FA(a)2986 1233 y Fw(j)3021 1221 y FD(,)g(in)g(\(2.207\))e (are)h(determined)287 1321 y(recursiv)n(ely)27 b(as)h(follo)n(ws)g (\(compare)g(Prop)r(osition)f(2.3\).)i(The)g(functions)g FA(X)2684 1333 y Fw(k)2725 1321 y FD(,)g FA(Y)2825 1333 y Fw(k)2866 1321 y FD(,)g FA(Z)2975 1333 y Fw(k)3045 1321 y FD(in)g(\(2.208\))f(are)g(computed)h(in)287 1420 y(terms)h(of)h FA(y)660 1432 y Fy(0)697 1420 y FD(,)f FA(!)h FD(=)d FA(!)978 1432 y Fy(0)1045 1420 y FD(and)j Ft(f)p FA(u)1300 1432 y Fw(j)1334 1420 y FD(,)f FA(v)1427 1432 y Fw(j)1462 1420 y FD(,)h FA(a)1560 1432 y Fw(j)1595 1420 y Ft(g)f FD(with)h(1)d Ft(\024)f FA(j)33 b Ft(\024)28 b FA(k)23 b Ft(\000)d FD(1)30 b(\(for)h FA(k)g FD(=)c(1,)j FA(X)2897 1432 y Fy(1)2934 1420 y FD(,)h FA(Y)3036 1432 y Fy(1)3074 1420 y FD(,)f FA(Z)3184 1432 y Fy(1)3252 1420 y FD(dep)r(end)h(only)f(up)r(on)h FA(y)3982 1432 y Fy(0)287 1520 y FD(and)c FA(!)s FD(\);)h(then,)g(\(2.209\),)f (\(2.210\),)f(\(2.212\))g(and)i(\(2.213\))e(yield)i FA(u)2380 1532 y Fw(k)2420 1520 y FD(,)g FA(v)2511 1532 y Fw(k)2580 1520 y FD(and)f FA(a)2785 1532 y Fw(k)2826 1520 y FD(.)287 1645 y(In)h(the)g(Sun-Jupiter-Victoria)e(mo)r(del)i(w)n(e)f(ha)n(v)n (e:)1110 1827 y FA(d)c FD(=)g(2)k FA(;)180 b(x)23 b FD(=)g(\()p FA(x)1773 1839 y Fy(1)1811 1827 y FA(;)14 b(x)1895 1839 y Fy(2)1932 1827 y FD(\))24 b(=)e(\()p FA(`;)14 b(g)s FD(\))28 b FA(;)180 b(y)25 b FD(=)e(\()p FA(y)2712 1839 y Fy(1)2749 1827 y FA(;)14 b(y)2827 1839 y Fy(2)2864 1827 y FD(\))23 b(=)g(\()p FA(L;)14 b(G)p FD(\))28 b FA(;)1110 1991 y(H)1179 2003 y Fy(0)1216 1991 y FD(\()p FA(y)s FD(\))23 b(=)g Ft(\000)1550 1935 y FD(1)p 1510 1972 123 4 v 1510 2048 a(2)p FA(y)1596 2019 y Fy(2)1593 2070 y(1)1660 1991 y Ft(\000)18 b FA(y)1784 2003 y Fy(2)1849 1991 y FA(;)180 b(H)2121 2003 y Fy(1)2158 1991 y FD(\()p FA(x;)14 b(y)s FD(\))24 b(=)e Ft(\000)p FA(P)2579 2003 y Fy(SJV)2704 1991 y FD(\()p FA(x)2783 2003 y Fy(1)2821 1991 y FA(;)14 b(x)2905 2003 y Fy(2)2942 1991 y FA(;)g(y)3020 2003 y 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1979 y Fy(0)563 1967 y FD(=)23 b(exp\()p FA(w)869 1979 y Fy(0)907 1967 y FD(\))30 b Fh(and,)g(for)h FA(k)26 b Ft(\025)c FD(1)p Fh(,)1365 2230 y FA(b)1401 2242 y Fw(k)1464 2230 y FD(=)1564 2174 y(1)p 1562 2211 46 4 v 1562 2287 a FA(k)1673 2126 y Fw(k)1632 2151 y Fz(X)1634 2328 y Fw(j)s Fy(=1)1765 2230 y FA(j)5 b(b)1840 2242 y Fw(k)q Fx(\000)p Fw(j)1964 2230 y FA(w)2023 2242 y Fw(j)2081 2230 y FD(=)2181 2174 y(1)p 2179 2211 V 2179 2287 a FA(k)2248 2126 y Fw(k)q Fx(\000)p Fy(1)2249 2151 y Fz(X)2252 2328 y Fw(j)s Fy(=0)2370 2230 y FD(\()p FA(k)22 b Ft(\000)c FA(j)5 b FD(\))14 b FA(b)2671 2242 y Fw(j)2705 2230 y FA(w)2764 2242 y Fw(k)q Fx(\000)p Fw(j)2918 2230 y FA(:)824 b FD(\(4.273\))287 2499 y(T)-7 b(o)32 b(c)n(hec)n(k)f(\(4.273\),)g(di\013eren)n(tiate)g (\(4.272\))g(with)i(resp)r(ect)f(to)g FA(")p FD(,)f(use)h(\(4.272\))f (to)h(eliminate)g(the)h(exp)r(onen)n(tial)e(and)287 2611 y(equate)c(co)r(e\016cien)n(ts)g(of)h(the)g(p)r(o)n(w)n(er)e(series.)p 1816 2611 41 83 v 287 2833 a(Before)g(pro)r(ceeding,)h(w)n(e)g(recall)g (in)h(the)g(next)g(remark)e(the)i(form)f(of)h(the)g(p)r(erturbation)f (function)h FA(H)3500 2845 y Fy(1)3560 2833 y FD(=)23 b Ft(\000)p FA(P)3766 2845 y Fy(SJV)3890 2833 y FD(.)287 3013 y FB(Remark)31 b(4.1)40 b FD(F)-7 b(rom)27 b Ft(x)h FD(3.4.1)e(it)i(follo)n(ws)f(that)h FA(H)1899 3025 y Fy(1)1964 3013 y FD(and)f(its)h(deriv)-5 b(ativ)n(es)26 b(are)h(of)h(the)g(form)1867 3127 y Fz(X)1853 3305 y Fw(n)p Fx(2N)2015 3206 y FA(f)2056 3218 y Fw(n)2101 3206 y FD(\()p FA(y)s FD(\))p FA(c)2245 3218 y Fw(n)2291 3206 y FD(\()p FA(x)p FD(\))g FA(;)287 3474 y FD(where)f Ft(N)40 b FD(is)27 b(a)h(\014nite)g(set)f(in)h Fp(Z)1288 3444 y Fy(2)1319 3474 y FD(,)g FA(f)1411 3486 y Fw(n)1483 3474 y FD(are)f(real-analytic)e(functions)j(in)g(a)f(neigh)n(b)r(orho)r (o)r(d)g(of)g FA(y)3280 3486 y Fy(0)3317 3474 y FD(,)1654 3667 y FA(f)1695 3679 y Fw(n)1740 3667 y FD(\()p FA(y)s FD(\))c(=)1975 3588 y Fz(X)1959 3770 y Fw(r)r Fx(2)p Fd(N)2080 3753 y Fs(2)2125 3667 y FA(f)2175 3632 y Fy(\()p Fw(r)r Fy(\))2166 3687 y Fw(n)2277 3667 y FD(\()p FA(y)e Ft(\000)d FA(y)2495 3679 y Fy(0)2532 3667 y FD(\))2564 3632 y Fw(r)2629 3667 y FA(;)1113 b FD(\(4.274\))287 3934 y(and)25 b(the)i FA(c)624 3946 y Fw(n)669 3934 y FD('s)f(are)e(either)i(all)g(cos)o(\()p FA(n)15 b Ft(\001)g FA(x)p FD(\))27 b(\(if)f(the)g(n)n(um)n(b)r(er)g(of)g FA(x)p FD(-deriv)-5 b(ativ)n(es)25 b(of)g FA(H)2876 3946 y Fy(1)2940 3934 y FD(is)g(ev)n(en\))h(or)f(all)h(sin)o(\()p FA(n)16 b Ft(\001)f FA(x)p FD(\))26 b(\(if)h(the)287 4033 y(n)n(um)n(b)r(er)f(of)f FA(x)p FD(-deriv)-5 b(ativ)n(es)25 b(of)h FA(H)1329 4045 y Fy(1)1393 4033 y FD(is)f(o)r(dd\).)i(F)-7 b(urthermore,)25 b(\(recall)g(also)g(Remark)g(3.5\))g(the)i(F)-7 b(ourier)25 b(co)r(e\016cien)n(ts)g FA(f)3974 4045 y Fw(n)287 4133 y FD(are)h(of)i(the)g(form)899 4313 y FA(c)f(y)1006 4274 y Fw(j)1003 4336 y Fy(1)1041 4313 y FA(y)1085 4279 y Fw(k)1082 4334 y Fy(2)1126 4313 y FA(e)p FD(\()p FA(y)s FD(\))1273 4279 y Fw(`)1332 4313 y FA(;)97 b(e)p FD(\()p FA(y)s FD(\))23 b(:=)1733 4238 y Fz(p)p 1816 4238 443 4 v 75 x FD(1)18 b Ft(\000)g FD(\()p FA(y)2032 4325 y Fy(2)2069 4313 y FA(=y)2152 4325 y Fy(1)2188 4313 y FD(\))2220 4289 y Fy(2)2286 4313 y FA(;)2406 4221 y Fz(\020)2455 4313 y FA(c)23 b Ft(2)g Fp(R)34 b FA(;)42 b(j;)14 b(`)23 b Ft(2)g Fp(Z)e FA(;)42 b(k)25 b Ft(2)f Fp(N)3301 4221 y Fz(\021)3384 4313 y FA(:)358 b FD(\(4.275\))287 4514 y(In)36 b(fact,)g(for)f(the)i(\014rst)e(order)g(deriv)-5 b(ativ)n(es)35 b(of)g FA(H)1879 4526 y Fy(1)1953 4514 y FD(the)h(ab)r(o)n(v)n(e)e(exp)r(onen)n(ts)i FA(j)41 b FD(and)35 b FA(k)k FD(assume)c(only)h(non-negativ)n(e)287 4625 y(v)-5 b(alues)23 b(while)h FA(`)f FD(assumes)f(the)i(v)-5 b(alues)23 b Ft(\000)p FD(1)p FA(;)14 b FD(0)p FA(;)g FD(1.)22 b(The)h(computation)g(of)h(the)f(co)r(e\016cien)n(ts)g FA(f)3149 4582 y Fy(\()p Fw(r)r Fy(\))3140 4635 y Fw(n)3261 4625 y FD(is)h(seen)f(to)g(b)r(e)h(a)f(simple)287 4725 y(exercise,)j(whic)n(h)i(can)f(b)r(e)h(implemen)n(ted,)g(in)g(a)f(fast) h(w)n(a)n(y)-7 b(,)26 b(on)i(a)f(computer.)p 287 4777 1493 4 v 349 4905 a Fn(72)414 4928 y FH(Recall)c(that)779 4840 y Fz(\020)882 4829 y Fk(n)841 4854 y Fz(X)849 5028 y Fk(`)p Fn(=1)972 4928 y Fm(x)1012 4940 y Fk(`)1042 4840 y Fz(\021)1092 4853 y Fk(j)1144 4928 y FH(=)1354 4854 y Fz(X)1218 5032 y Fk(\013)p Fi(2)p Fd(N)1343 5018 y Fq(n)1383 5032 y Fn(:)g Fi(j)p Fk(\013)p Fi(j)1502 5042 y Fs(1)1534 5032 y Fn(=)p Fk(j)1684 4882 y Fm(j)t FH(!)p 1678 4913 65 4 v 1678 4978 a Fm(\013)p FH(!)1776 4928 y Fm(x)1816 4901 y Fk(\013)1884 4928 y Fm(:)2111 5492 y FD(85)p eop %%Page: 86 86 86 85 bop 287 -94 a FD(Let)28 b(us)f(turn)h(to)f(the)h(\\explicit")f (computation)g(of)h FA(X)1995 -82 y Fw(k)2063 -94 y FA(Y)2111 -82 y Fw(k)2180 -94 y FD(and)g FA(Z)2399 -82 y Fw(k)2467 -94 y FD(in)g(\(2.208\).)287 23 y(Let)36 b(us)g(set)g(\()p FA(u)777 35 y Fy(0)814 23 y FA(;)14 b(v)891 35 y Fy(0)928 23 y FA(;)g(a)1009 35 y Fy(0)1046 23 y FD(\))38 b(=)e(\(0)p FA(;)14 b(y)1369 35 y Fy(0)1406 23 y FA(;)g FD(0\))36 b(and)g(assume)f(to)h(kno)n(w)f(the)h(co)r(e\016cien)n(ts)g(of)g(the)g (iso-energetic)f(Lindstedt)287 123 y(series)1380 222 y(\()p FA(u)1460 234 y Fw(j)1494 222 y FA(;)14 b(v)1571 234 y Fw(j)1607 222 y FA(;)g(a)1688 234 y Fw(j)1722 222 y FD(\))24 b(=)e(\()p FA(u)1945 187 y Fx(\006)1945 246 y Fw(j)2001 222 y FA(;)14 b(v)2081 187 y Fx(\006)2078 246 y Fw(j)2137 222 y FA(;)g(a)2218 187 y Fx(\006)2218 246 y Fw(j)2274 222 y FD(\))28 b FA(;)180 b(j)28 b Ft(\024)23 b FA(k)e Ft(\000)d FD(1)27 b FA(;)287 351 y FD(for)g(some)g FA(k)f Ft(\025)c FD(1.)287 468 y(In)28 b(view)f(of)h(Lemma)f(4.2,)g (for)g(0)22 b Ft(\024)h FA(h)g Ft(\024)g FA(k)e Ft(\000)d FD(1,)27 b(w)n(e)g(\014nd)h(that)2247 438 y Fy(73)1300 544 y Fz(2)1300 693 y(4)1355 711 y FD(cos)1480 618 y Fz(\020)1530 711 y FA(n)18 b Ft(\001)g FA(\022)j FD(+)1782 607 y Fw(k)q Fx(\000)p Fy(1)1783 632 y Fz(X)1785 809 y Fw(j)s Fy(=1)1918 711 y FA(n)d Ft(\001)g FA(u)2075 723 y Fw(j)2124 711 y FA(")2163 676 y Fw(j)2197 618 y Fz(\021)2247 544 y(3)2247 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Fw(n)828 1322 y FD(are)f(recursiv)n(ely)e(de\014ned)j(as)587 1547 y FA(b)623 1513 y Fy(\(0\))623 1568 y Fw(n)712 1547 y FD(\()p FA(\022)r FD(\))c(=)e(exp\()p FA(in)c Ft(\001)h FA(\022)r FD(\))28 b FA(;)180 b(b)1566 1513 y Fy(\()p Fw(h)p Fy(\))1566 1568 y Fw(n)1660 1547 y FD(\()p FA(\022)r FD(\))24 b(=)1890 1491 y(1)p 1887 1528 48 4 v 1887 1604 a FA(h)1999 1443 y Fw(h)1959 1468 y Fz(X)1961 1645 y Fw(j)s Fy(=1)2092 1547 y FA(j)5 b(b)2167 1513 y Fy(\()p Fw(h)p Fx(\000)p Fw(j)s Fy(\))2167 1568 y Fw(n)2358 1547 y FD(\()p FA(n)19 b Ft(\001)g FA(u)2549 1559 y Fw(j)2583 1547 y FD(\))k(=)2739 1491 y(1)p 2736 1528 V 2736 1604 a FA(h)2808 1443 y Fw(h)p Fx(\000)p Fy(1)2810 1468 y Fz(X)2812 1645 y Fw(j)s Fy(=0)2931 1547 y FD(\()p FA(h)c Ft(\000)f FA(j)5 b FD(\))14 b FA(b)3234 1513 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))3234 1568 y Fw(n)3321 1547 y FD(\()p FA(n)k Ft(\001)h FA(u)3511 1559 y Fw(h)p Fx(\000)p Fw(j)3636 1547 y FD(\))28 b FA(:)287 1783 y FD(Th)n(us,)f(b)n(y)h(Lemma)f(4.1)g (and)g(\(4.276\),)f(one)i(\014nds,)g(for)f FA(h)22 b FD(=)h FA(k)e Ft(\000)d FD(1)28 b(or)e FA(h)d FD(=)g FA(k)s FD(,)665 1863 y Fz(2)665 2012 y(4)734 1951 y(X)720 2129 y Fw(n)p Fx(2N)883 2030 y FA(f)924 2042 y Fw(n)968 1938 y Fz(\020)1018 2030 y FA(y)1059 2042 y Fy(0)1114 2030 y FD(+)1197 1926 y Fw(k)q Fx(\000)p Fy(1)1198 1951 y Fz(X)1201 2128 y Fw(j)s Fy(=1)1333 2030 y FA(")1372 1996 y Fw(j)1407 2030 y FA(v)1447 2042 y Fw(j)1482 1938 y Fz(\021)1559 2030 y FA(c)1595 2042 y Fw(n)1640 1938 y Fz(\020)1690 2030 y FA(\022)e FD(+)1833 1926 y Fw(k)q Fx(\000)p Fy(1)1833 1951 y Fz(X)1836 2128 y Fw(j)s Fy(=1)1968 2030 y FA(")2007 1996 y Fw(j)2042 2030 y FA(u)2090 2042 y Fw(j)2124 1938 y Fz(\021)2174 1863 y(3)2174 2012 y(5)2229 2163 y Fw(h)748 2343 y FD(=)874 2264 y Fz(X)845 2432 y Fs(0)p Fr(\024)p Fq(`)p Fr(\024)p Fq(h)856 2479 y(n)27 b Fr(2N)1217 2264 y Fz(X)1088 2450 y Fw(\013)1131 2433 y Fs(\(1\))1208 2450 y Fw(;\013)1271 2433 y Fs(\(2\))1349 2450 y Fx(2I)1436 2430 y Fs(2)1432 2472 y Fq(`)1491 2283 y FA(b)1527 2240 y Fy(\()p Fw(h)p Fx(\000)p Fw(`)p Fy(\))1527 2292 y Fw(n)1720 2283 y FD(+)18 b FA(b)1839 2240 y Fy(\()p Fw(h)p Fx(\000)p Fw(`)p Fy(\))1839 2303 y Fx(\000)p Fw(n)p 1491 2324 522 4 v 1731 2400 a FD(2)2050 2343 y FA(f)2100 2308 y Fy(\()p Fx(j)p Fw(\013)2189 2283 y Fs(\(1\))2266 2308 y Fx(j)2286 2316 y Fs(1)2318 2308 y Fw(;)p Fx(j)p Fw(\013)2401 2283 y Fs(\(2\))2478 2308 y Fx(j)2498 2316 y Fs(1)2530 2308 y Fy(\))2091 2363 y Fw(n)2584 2286 y Ft(j)p FA(\013)2660 2256 y Fy(\(1\))2750 2286 y Ft(j)2773 2298 y Fy(1)2810 2286 y FD(!)c Ft(j)p FA(\013)2923 2256 y Fy(\(2\))3013 2286 y Ft(j)3036 2298 y Fy(1)3073 2286 y FD(!)p 2584 2324 512 4 v 2668 2401 a FA(\013)2721 2377 y Fy(\(1\))2810 2401 y FD(!)g FA(\013)2900 2377 y Fy(\(2\))2990 2401 y FD(!)3172 2264 y Fz(Y)3130 2437 y Fs(1)p Fr(\024)p Fq(`)3228 2425 y Fr(0)3250 2437 y(\024)p Fq(`)3137 2486 y Fs(1)p Fr(\024)p Fq(q)q Fr(\024)p Fs(2)3344 2250 y Fz(\020)3393 2343 y FA(f)3443 2308 y Fy(\()p Fw(`)3497 2283 y 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Fr(\024)p Fq(`)p Fr(\024)p Fq(h)858 3319 y(n)28 b Fr(2N)1220 3103 y Fz(X)1091 3289 y Fw(\013)1134 3272 y Fs(\(1\))1211 3289 y Fw(;\013)1274 3272 y Fs(\(2\))1351 3289 y Fx(2I)1438 3269 y Fs(2)1434 3311 y Fq(`)1494 3122 y FA(b)1530 3079 y Fy(\()p Fw(h)p Fx(\000)p Fw(`)p Fy(\))1530 3131 y Fw(n)1722 3122 y Ft(\000)18 b FA(b)1841 3079 y Fy(\()p Fw(h)p Fx(\000)p Fw(`)p Fy(\))1841 3142 y Fx(\000)p Fw(n)p 1494 3163 522 4 v 1720 3239 a FD(2)p FA(i)2053 3182 y(f)2103 3147 y Fy(\()p Fx(j)p Fw(\013)2192 3122 y Fs(\(1\))2269 3147 y Fx(j)2289 3155 y Fs(1)2321 3147 y Fw(;)p Fx(j)p Fw(\013)2404 3122 y Fs(\(2\))2481 3147 y Fx(j)2501 3155 y Fs(1)2533 3147 y Fy(\))2094 3202 y Fw(n)2587 3126 y Ft(j)p FA(\013)2663 3095 y Fy(\(1\))2753 3126 y Ft(j)2776 3138 y Fy(1)2813 3126 y FD(!)c Ft(j)p FA(\013)2926 3095 y Fy(\(2\))3016 3126 y Ft(j)3039 3138 y Fy(1)3076 3126 y FD(!)p 2587 3163 512 4 v 2671 3240 a FA(\013)2724 3216 y Fy(\(1\))2813 3240 y FD(!)g FA(\013)2903 3216 y Fy(\(2\))2993 3240 y FD(!)3175 3103 y Fz(Y)3133 3277 y Fs(1)p Fr(\024)p Fq(`)3231 3265 y Fr(0)3253 3277 y(\024)p Fq(`)3140 3325 y Fs(1)p Fr(\024)p Fq(q)q Fr(\024)p Fs(2)3347 3090 y Fz(\020)3396 3182 y FA(a)3440 3147 y Fy(\()p Fw(`)3494 3122 y Fr(0)3516 3147 y Fw(q)r Fy(\))3440 3202 y Fw(n)3579 3090 y Fz(\021)3629 3107 y Fw(\013)3672 3076 y Fs(\()p Fq(q)q Fs(\))3672 3135 y Fq(`)3697 3123 y Fr(0)3782 3182 y FA(;)287 3461 y FD(when)28 b(the)g FA(c)683 3473 y Fw(n)728 3461 y FD(\()p FA(x)p FD(\)'s)g(are)f(sin\()p FA(n)18 b Ft(\001)h FA(x)p FD(\)'s.)287 3579 y(A)n(t)j(this)h(p)r(oin)n (t,)f(it)h(is)f(simple)g(to)g(compute)g(the)g(F)-7 b(ourier)22 b(co)r(e\016cien)n(ts)f(of)h FA(X)2627 3543 y Fx(\006)2620 3604 y Fw(k)2705 3579 y FD(and)g FA(Y)2927 3543 y Fx(\006)2909 3604 y Fw(k)3006 3579 y FD(and)g(to)g(compute,)g(via)f(\(2.209\),)287 3678 y(\(2.210\),)26 b(\(2.212\))h(and)g(\(2.213\),)f(the)i(\(F)-7 b(ourier)27 b(co)r(e\016cien)n(ts)g(of)h(the)g(\))g(functions)g FA(u)2925 3643 y Fx(\006)2925 3703 y Fw(k)2980 3678 y FD(,)g 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FD(and)44 b Ft(j)p FA(h)2956 3341 y Fy(\(0\))3045 3371 y Ft(j)3068 3383 y Fx(E)3113 3371 y FD(,)g(whic)n(h)g(are)f(based)h(up)r(on)287 3471 y(Lemma)27 b(2.5.)287 3593 y(Recalling)22 b(once)h(more)g(Remark)f (4.1,)h(w)n(e)g(see)g(that)h(the)f(form)g(of)h(\(the)g(comp)r(onen)n (ts)e(of)6 b(\))3108 3571 y(~)3091 3593 y FA(f)3141 3563 y Fy(\(0\))3229 3593 y FD(,)27 b(~)-45 b FA(g)3319 3563 y Fy(\(0\))3431 3593 y FD(and)23 b FA(h)3636 3563 y Fy(\(0\))3748 3593 y FD(is)h(equal)287 3693 y(to)c(the)h(form)f(of)h(\(sum)g(of)6 b(\))1139 3671 y(~)1121 3693 y FA(f)1162 3705 y Fw(M)1256 3693 y FD(in)20 b(\(2.81\))g(with:)h FA(j)28 b Ft(\024)23 b FA(M)31 b FD(=)23 b(12,)d FA(a)2304 3663 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))2414 3693 y FD(=)i FA(u)2549 3657 y Fx(\006)2549 3716 y Fw(j)2605 3693 y FD(,)e FA(b)2684 3663 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))2794 3693 y FD(=)j FA(v)2925 3657 y Fx(\006)2922 3716 y Fw(j)2981 3693 y FD(,)d FA(f)9 b FD(\()p FA(x;)14 b(y)s FD(\))24 b(=)3377 3631 y Fz(P)3465 3718 y Fw(n)p Fx(2N)3632 3693 y FA(f)3673 3705 y Fw(n)3718 3693 y FD(\()p FA(y)s FD(\))p FA(c)3862 3705 y Fw(n)3907 3693 y FD(\()p FA(x)p FD(\))287 3792 y(b)r(eing)k(giv)n(en)e(b)n(y)i FA(H)912 3804 y Fw(i)939 3792 y FD(,)g FA(@)1034 3804 y Fw(x)1072 3813 y Fq(k)1112 3792 y FA(H)1181 3804 y Fw(i)1236 3792 y FD(or)f FA(@)1382 3804 y Fw(y)1416 3813 y Fq(k)1456 3792 y FA(H)1525 3804 y Fw(i)1581 3792 y FD(for)g FA(i)22 b FD(=)h(0)p FA(;)14 b FD(1)27 b(and)g FA(k)f FD(=)d(1)p FA(;)14 b FD(2.)26 b(F)-7 b(or)27 b(example)998 4020 y(~)980 4042 y FA(f)1030 3999 y Fy(\(0\))1021 4065 y(1)1142 4042 y FD(=)c Ft(\000)1325 3963 y Fz(X)1309 4142 y Fw(k)q Fx(\025)p Fy(13)1477 3900 y Fz(")1637 3986 y FD(1)p 1535 4023 246 4 v 1535 4053 a Fz(\000)1573 4121 y FA(v)1616 4078 y Fy(\(0\))1613 4143 y(1)1705 4053 y Fz(\001)1744 4071 y Fy(3)1791 3900 y Fz(#)1839 4154 y Fw(k)1894 4042 y FA(")1933 4008 y Fw(k)1992 4042 y Ft(\000)2092 3963 y Fz(X)2075 4142 y Fw(k)q Fx(\025)p Fy(13)2243 3950 y Fz(h)2283 4042 y FA(@)2327 4054 y Fw(y)2361 4062 y Fs(1)2397 4042 y FA(H)2466 4054 y Fy(1)2503 4042 y FD(\()p FA(\022)e FD(+)d FA(u)2726 4008 y Fy(\(0\))2815 4042 y FA(;)c(v)2895 4008 y Fy(\(0\))2984 4042 y FD(\))3016 3950 y Fz(i)3056 4100 y Fw(k)q Fx(\000)p Fy(1)3195 4042 y FA(")3234 4008 y Fw(k)3303 4042 y FA(;)439 b FD(\(4.292\))287 4304 y(and)27 b(the)h(\\)p FA(f)9 b FD(")27 b(\(compare)f(\(2.84\))h (and)g(\(2.81\)\))h(corresp)r(onding)d(to)j(the)g(\014rst)f(sum)h(in)g (\(4.292\))e(is)h(simply)1868 4516 y FA(f)9 b FD(\()p FA(x;)14 b(y)s FD(\))24 b(=)e Ft(\000)2316 4460 y FD(1)p 2296 4497 81 4 v 2296 4573 a FA(y)2340 4544 y Fy(3)2337 4595 y(1)2414 4516 y FA(;)287 4738 y FD(while)28 b(the)g(\\)p FA(f)9 b FD(")26 b(corresp)r(onding)g(to)h(the)h(second)f(sum)h(in)g (\(4.292\))e(is)h(giv)n(en)g(b)n(y)1558 4927 y FA(f)9 b FD(\()p FA(x;)14 b(y)s FD(\))24 b(=)1967 4848 y Fz(X)1911 5030 y Fx(j)p Fw(n)p Fx(j)1992 5038 y Fs(1)2024 5030 y Fx(\024)p Fy(10)2156 4927 y FA(f)2197 4939 y Fw(n)2242 4927 y FD(\()p FA(y)s FD(\))14 b(cos)o(\()p FA(n)19 b Ft(\001)f FA(x)p FD(\))29 b FA(;)2111 5492 y FD(93)p eop %%Page: 94 94 94 93 bop 287 -94 a FD(with)23 b(the)g(explicit)g(form)g(of)f(the)i FA(f)1358 -82 y Fw(n)1402 -94 y FD('s)f(deduced)g(b)n(y)g(di\013eren)n (tiating)f(with)h(resp)r(ect)g(to)f FA(y)3041 -82 y Fy(1)3101 -94 y FD(the)h(function)h Ft(\000)p FA(H)3694 -82 y Fy(1)3754 -94 y FD(=)e FA(P)3894 -82 y Fy(SJV)287 5 y FD(giv)n(en)29 b(in)h(\(3.261\))e(\(where)h(\()p FA(L;)14 b(G)p FD(\))27 b(=)f FA(y)s FD(\).)k(In)g(general,)e(the)i(form)f(of)h(the)g(co)r (e\016cien)n(ts)f FA(a)3100 17 y Fw(n)3175 5 y FD(has)g(b)r(een)h(sp)r (elled)g(out)g(in)287 105 y(Remark)d(4.1:)f(see,)i(in)f(particular,)g (\(4.274\).)287 229 y(The)e(functions)h FA(F)864 241 y Fw(n)935 229 y FD(needed)f(in)h(order)e(to)h(apply)g(Lemma)h(2.5)e (are)g(obtained)i(b)n(y)f(ma)5 b(jorizing)23 b(the)j(ab)r(o)n(v)n(e)e (men)n(tioned)287 329 y FA(f)328 341 y Fw(n)373 329 y FD('s)j(and)h(can)f(b)r(e)h(obtained)f(b)n(y)g(using)h(\(2.78\))e(in)i Ft(x)g FD(2.5.6.)e(F)-7 b(or)27 b(example,)1628 554 y Ft(\006)1722 497 y FD(1)p 1703 535 81 4 v 1703 611 a FA(y)1747 582 y Fy(3)1744 633 y(1)1816 554 y Ft(\036)1904 461 y Fz(\020)2226 497 y FD(1)p 1963 535 568 4 v 1963 611 a FA(y)2004 623 y Fy(01)2093 611 y Ft(\000)18 b FD(\()p FA(y)2249 623 y Fy(1)2304 611 y Ft(\000)g FA(y)2428 623 y Fy(01)2499 611 y FD(\))2541 461 y Fz(\021)2590 479 y Fy(3)2655 554 y FD(;)287 760 y(or)1381 859 y FA(c)c(y)1475 825 y Fy(2)1472 880 y(2)1525 859 y FA(e)p FD(\()p FA(y)s FD(\))1672 825 y Fx(\000)p Fy(3)1784 859 y Ft(\036)23 b(j)p FA(c)p Ft(j)1968 792 y Fz(\000)2006 859 y FA(y)2047 871 y Fy(02)2136 859 y FD(+)18 b(\()p FA(y)2292 871 y Fy(2)2347 859 y Ft(\000)g FA(y)2471 871 y Fy(02)2541 859 y FD(\))2573 792 y Fz(\001)2612 809 y Fy(2)2682 838 y FD(~)2663 859 y FA(E)5 b FD(\()p FA(y)s FD(\))2837 825 y Fy(3)2902 859 y FA(:)287 1033 y FD(The)27 b(n)n(um)n(b)r(ers)h FA(A)855 990 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))855 1043 y Fw(n)969 1033 y FD(and)g FA(B)1198 990 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))1194 1056 y Fw(i)1312 1033 y FD(are)f(immediately)h(computed)g(using)f (\(4.277\):)f(for)h FA(n)c Ft(2)h Fp(Z)3168 1003 y Fy(2)3227 1033 y FD(w)n(e)j(\014nd)1304 1173 y Fz(\015)1304 1222 y(\015)1350 1243 y FA(n)19 b Ft(\001)f FA(u)1508 1208 y Fx(\006)1508 1266 y Fw(j)1564 1173 y Fz(\015)1564 1222 y(\015)1610 1276 y Fw(\030)1642 1260 y Fs(\(0\))1818 1243 y FD(=)1977 1148 y Fz(\015)1977 1198 y(\015)1977 1247 y(\015)2023 1243 y FA(n)h Ft(\001)2176 1164 y Fz(X)2133 1342 y Fw(m)p Fx(2N)2300 1322 y Fq(u)2291 1363 y(j)2353 1243 y FA(u)2401 1209 y Fw(j)s Fx(\006)2401 1264 y Fw(m)2501 1243 y FD(sin\()p FA(m)g Ft(\001)f FA(\022)r FD(\))2841 1148 y Fz(\015)2841 1198 y(\015)2841 1247 y(\015)2888 1301 y Fw(\030)2920 1285 y Fs(\(0\))1818 1500 y Ft(\024)2020 1421 y Fz(X)1977 1599 y Fw(m)p Fx(2N)2144 1579 y Fq(u)2135 1620 y(j)2197 1430 y Fz(\014)2197 1479 y(\014)2225 1500 y FA(n)g Ft(\001)h FA(u)2383 1466 y Fw(j)s Fx(\006)2383 1521 y Fw(m)2469 1430 y Fz(\014)2469 1479 y(\014)2510 1500 y FD(exp\()p Ft(j)p FA(m)p Ft(j)p FA(\030)2828 1466 y Fy(\(0\))2918 1500 y FD(\))1807 1748 y(=:)82 b FA(A)2039 1713 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))2039 1768 y Fw(n)2154 1748 y FD(;)287 1930 y(and,)27 b(for)g FA(i)c FD(=)g(1)p FA(;)14 b FD(2,)1409 2063 y Fz(\015)1409 2113 y(\015)1455 2133 y FA(v)1498 2098 y Fx(\006)1495 2156 y Fw(j)s(i)1554 2063 y Fz(\015)1554 2113 y(\015)1600 2166 y Fw(\030)1632 2150 y Fs(\(0\))1808 2133 y FD(=)1968 2038 y Fz(\015)1968 2088 y(\015)1968 2137 y(\015)2069 2054 y(X)2027 2233 y Fw(m)p Fx(2N)2194 2212 y Fq(v)2185 2253 y(j)2244 2133 y FA(v)2287 2093 y Fw(j)s Fx(\006)2284 2156 y Fw(mi)2388 2133 y FD(cos)o(\()p FA(m)k Ft(\001)h FA(\022)r FD(\))2737 2038 y Fz(\015)2737 2088 y(\015)2737 2137 y(\015)2784 2191 y Fw(\030)2816 2175 y Fs(\(0\))1808 2390 y Ft(\024)2009 2311 y Fz(X)1968 2489 y Fw(m)p Fx(2N)2135 2469 y Fq(v)2126 2510 y(j)2184 2320 y Fz(\014)2184 2369 y(\014)2211 2390 y FA(v)2254 2350 y Fw(j)s Fx(\006)2251 2413 y Fw(mi)2341 2320 y Fz(\014)2341 2369 y(\014)2383 2390 y FD(exp\()p Ft(j)p FA(m)p Ft(j)p FA(\030)2701 2356 y Fy(\(0\))2790 2390 y FD(\))1797 2647 y(=:)83 b FA(B)2035 2604 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))2031 2670 y Fw(i)2149 2647 y FA(:)1593 b FD(\(4.293\))287 2829 y(A)n(t)35 b(this)g(p)r(oin)n(t)g(the)g(pro)r (cedure)f(should)g(b)r(e)i(clear.)e(As)g(an)h(explicit)g(\(simple\))g (example,)g(an)f(estimate,)h(based)f(on)287 2929 y(Lemma)27 b(2.5,)g(of)h(the)g(\014rst)f(sum)h(in)f(\(4.292\))g(is:)518 3041 y Fz(\015)518 3091 y(\015)518 3141 y(\015)518 3190 y(\015)518 3240 y(\015)518 3290 y(\015)565 3211 y Ft(\000)660 3132 y Fz(X)644 3311 y Fw(k)q Fx(\025)p Fy(13)812 3119 y Fz(h)989 3155 y FD(1)p 861 3192 298 4 v 861 3222 a Fz(\000)899 3290 y FA(v)942 3246 y Fy(\(0\))p Fx(\006)939 3312 y Fy(1)1083 3222 y Fz(\001)1121 3239 y Fy(3)1168 3119 y Fz(i)1208 3269 y Fw(k)1248 3211 y FA(")1287 3177 y Fw(k)1328 3041 y Fz(\015)1328 3091 y(\015)1328 3141 y(\015)1328 3190 y(\015)1328 3240 y(\015)1328 3290 y(\015)1374 3344 y Fw(\030)1406 3327 y Fs(\(0\))1484 3344 y Fw(;)p Fx(E)1571 3211 y Ft(\024)1659 3069 y Fz( )2046 3155 y FD(1)p 1735 3192 665 4 v 1735 3289 a FA(L)1792 3301 y Fx(\006)1866 3289 y Ft(\000)1949 3226 y Fz(P)2036 3247 y Fy(12)2036 3314 y Fw(j)s Fy(=1)2169 3289 y FA(B)2236 3246 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))2232 3311 y(1)2323 3289 y FA(")2362 3249 y Fw(j)2362 3311 y Fy(0)2409 3069 y Fz(!)2475 3086 y Fy(3)2530 3211 y Ft(\000)2640 3107 y Fy(12)2613 3132 y Fz(X)2616 3309 y Fw(j)s Fy(=0)2747 3069 y Fz(")2796 3119 y(\020)3166 3155 y FD(1)p 2855 3192 663 4 v 2855 3289 a FA(L)2912 3301 y Fx(\006)2986 3289 y Ft(\000)3069 3226 y Fz(P)3157 3247 y Fy(12)3157 3314 y Fw(j)s Fy(=1)3290 3289 y FA(B)3357 3246 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))3353 3311 y(1)3444 3289 y FA(")3483 3265 y Fw(j)3527 3119 y Fz(\021)3577 3136 y Fy(3)3614 3069 y Fz(#)3663 3329 y Fw(j)3711 3211 y FA(")3750 3171 y Fw(j)3750 3233 y Fy(0)287 3533 y FD(where)g(the)h FA(B)737 3490 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))733 3555 y(1)852 3533 y FD(is)f(as)g(in)h(\(4.293\).)e(Observ)n(e)g(that)i(the)g (explicit)g(computation)f(of)h(the)g(13)e(n)n(um)n(b)r(ers)1331 3650 y Fz(")1379 3700 y(\020)1749 3736 y FD(1)p 1439 3773 V 1439 3870 a FA(L)1496 3882 y Fx(\006)1570 3870 y Ft(\000)1653 3807 y Fz(P)1740 3828 y Fy(12)1740 3895 y Fw(j)s Fy(=1)1873 3870 y FA(B)1940 3827 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))1936 3892 y(1)2027 3870 y FA(")2066 3846 y Fw(j)2111 3700 y Fz(\021)2161 3717 y Fy(3)2198 3650 y Fz(#)2246 3910 y Fw(j)2323 3792 y FA(;)180 b FD(\(0)23 b Ft(\024)f FA(j)28 b Ft(\024)23 b FD(12\))287 4070 y(ma)n(y)k(b)r(e)h(trivially)f (implemen)n(ted)h(on)f(a)g(mac)n(hine.)287 4195 y Fo(Implemen)n(ting)h (this)g(discussion)e(one)i(obtains)f(the)h(follo)n(wing)e(n)n(umerical) h(v)-5 b(alues:)1124 4477 y FA(F)1189 4443 y Fy(\(0\)+)1352 4477 y Ft(\024)23 b FD(7)p FA(:)p FD(463545)p FA(:::)15 b Ft(\001)j FD(10)1966 4443 y Fx(\000)p Fy(22)2115 4477 y FA(;)180 b(F)2383 4443 y Fy(\(0\))p Fx(\000)2547 4477 y Ft(\024)23 b FD(8)p FA(:)p FD(488723)p FA(:::)15 b Ft(\001)k FD(10)3162 4443 y Fx(\000)p Fy(21)3311 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FA(:::)15 b Ft(\001)k FD(10)3109 1466 y Fx(\000)p Fy(3)3225 1500 y FA(:)287 1646 y FD(The)27 b FA(\033)504 1658 y Fw(p;k)627 1646 y FD(shall)h(b)r(e)g(tak)n(en)f (as)f(follo)n(ws.)h(First,)h(observ)n(e)e(that,)i(since)1785 1802 y FA(!)1840 1768 y Fy(\(0\))p Fx(\006)2004 1802 y FD(=)23 b(\(1)18 b(+)g FA(a)2311 1814 y Fx(\006)2367 1802 y FD(\))c FA(!)2465 1814 y Fx(\006)287 1948 y FD(with)30 b(\(1)20 b(+)g FA(a)701 1960 y Fx(\006)757 1948 y FD(\))27 b FA(>)f FD(0)k(\(compare)f(\(4.278\),)f(\(4.279\))h(and)h (\(4.280\)\),)f(from)h(the)g(de\014nition)g(of)g FA(s)3290 1960 y Fw(p;k)3385 1948 y FD(\()p FA(\016)o(;)14 b(!)s FD(\),)29 b(\(2.86\),)h(one)287 2048 y(has)d(that)1485 2147 y FA(s)1524 2159 y Fw(p;k)1618 2147 y FD(\()p FA(\016)s FD(;)14 b FA(!)1782 2113 y Fy(\(0\))p Fx(\006)1923 2147 y FD(\))24 b(=)e(\(1)d(+)f FA(a)2286 2159 y Fx(\006)2341 2147 y FD(\))c FA(s)2426 2159 y Fw(p;k)2521 2147 y FD(\()p FA(\016)s FD(;)g FA(!)2682 2159 y Fx(\006)2738 2147 y FD(\))28 b FA(:)287 2275 y 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Fw(p)2091 3635 y FD(1)p 2020 3672 185 4 v 2020 3748 a(\()p FA(\015)2095 3760 y Fy(g)2133 3748 y FD(\))2165 3724 y Fw(p)2270 3635 y FD(1)p 2252 3672 79 4 v 2252 3748 a FA(\016)2292 3724 y Fw(p)2368 3691 y FA(;)190 b FD(max)2519 3757 y Fs(1)p Fr(\024)p Fq(n)2629 3769 y Fs(1)2661 3757 y Fq()3388 3571 y(>)3388 3596 y(=)3388 3745 y(>)3388 3770 y(>)3388 3795 y(;)3503 3691 y FA(;)766 4008 y(\033)813 4020 y Fw(p;)p Fy(1)904 4008 y FD(\()p FA(\016)s FD(;)c FA(!)1065 4020 y Fx(\006)1121 4008 y FD(\))84 b(:=)1407 3910 y Fz(q)p 1490 3910 725 4 v 1494 4008 a FD(^)-46 b FA(\033)1537 4020 y Fw(p;e)1622 4028 y Fs(1)1660 4008 y FD(\()p FA(\016)s FD(\))1764 3984 y Fy(2)1820 4008 y FD(+)22 b(^)-46 b FA(\033)1950 4020 y Fw(p;e)2035 4028 y Fs(2)2072 4008 y FD(\()p FA(\016)s FD(\))2176 3984 y Fy(2)2242 4008 y FA(;)287 4168 y FD(where)531 4443 y(^)g FA(\033)574 4455 y Fw(p;e)659 4463 y Fs(1)696 4443 y FD(\()p FA(\016)s FD(;)14 b FA(!)857 4455 y Fx(\006)913 4443 y FD(\))83 b(:=)g(max)1367 4223 y Fz(8)1367 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y(;)1670 4818 y FD(2)1722 4760 y Fq(p)p Fs(+1)p 1721 4775 102 4 v 1758 4808 a(2)p 1670 4855 168 4 v 1734 4931 a FA(e)1847 4782 y Fz(\020)1906 4818 y FA(p)p 1906 4855 42 4 v 1908 4931 a(e)1958 4782 y Fz(\021)2008 4799 y Fw(p)2155 4818 y FD(1)p 2084 4855 185 4 v 2084 4931 a(\()p FA(\015)2159 4943 y Fy(g)2197 4931 y FD(\))2229 4907 y Fw(p)2376 4818 y FD(1)p 2315 4855 163 4 v 2315 4931 a FA(\016)2355 4907 y Fw(p)p Fy(+1)2515 4874 y FA(;)191 b FD(max)2666 4940 y Fs(1)p Fr(\024)p Fq(n)2776 4952 y Fs(1)2809 4940 y Fq()3587 4754 y(>)3587 4779 y(=)3587 4928 y(>)3587 4953 y(>)3587 4978 y(;)3702 4874 y FA(:)2111 5492 y FD(95)p eop %%Page: 96 96 96 95 bop 287 -94 a FD(Recall)27 b(that)h(b)n(y)f(construction)g(\(see) g(\(2.63\)\))1456 135 y FA(!)1511 101 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))p Fx(\006)1665 135 y FD(=)1752 43 y Fz(\020)1819 32 y Fw(i)p Fx(\000)p Fy(1)1820 57 y Fz(Y)1816 233 y Fw(j)s Fy(=0)1931 135 y FD(\(1)18 b(+)g FA(a)2150 101 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))p Fx(\006)2289 135 y FD(\))2321 43 y Fz(\021)2371 135 y FD(\(1)g(+)g FA(a)2590 147 y Fx(\006)2646 135 y FD(\))c FA(!)2744 147 y Fx(\006)2827 135 y FD(;)915 b(\(4.294\))287 374 y(recall)26 b(also)h(that)h (\(compare)e(\(2.107\))h(and)g(\(2.106\)\))1856 596 y Ft(j)p FA(a)1923 562 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))p Fx(\006)2062 596 y Ft(j)c(\024)2206 540 y FA(\021)2250 497 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))p Fx(\006)2247 562 y Fy(13)p 2206 577 183 4 v 2276 653 a FA(\032)2426 596 y(:)1316 b FD(\(4.295\))287 785 y(W)-7 b(e,)28 b(therefore,)f(see)g(that,)h(as)f(explicit)h(upp)r (er)f(b)r(ounds)1702 946 y FA(\033)1752 903 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))p Fx(\006)1749 971 y Fw(p;k)1884 946 y FD(\()p FA(\016)s FD(\))d(:=)e FA(\033)2169 958 y Fw(p;k)2265 879 y Fz(\000)2303 946 y FA(\016)s FD(;)14 b FA(!)2435 912 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))p Fx(\006)2566 879 y Fz(\001)287 1112 y FD(for)27 b(the)h FA(i)586 1081 y Fy(th)680 1112 y FD(iteration,)f(one)g(can)g(recursiv)n(ely)f(c)n(ho)r(ose)g(the)i (follo)n(wing)f(n)n(um)n(b)r(ers:)1330 1273 y FA(\033)1380 1230 y Fy(\(0\))p Fx(\006)1377 1298 y Fw(p;k)1544 1273 y FD(:=)c(\(1)18 b(+)g FA(a)1874 1285 y Fx(\006)1930 1273 y FD(\))c FA(\033)2023 1285 y Fw(p;k)2119 1273 y FD(\()p FA(\016)s FD(;)g FA(!)2280 1285 y Fx(\006)2336 1273 y FD(\))28 b FA(;)1330 1513 y(\033)1380 1469 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))p Fx(\006)1377 1538 y Fw(p;k)1535 1513 y FD(:=)1646 1346 y Fz(0)1646 1495 y(@)1721 1409 y Fw(i)p Fx(\000)p Fy(1)1723 1434 y Fz(Y)1718 1611 y Fw(j)s Fy(=0)1847 1420 y Fz(\020)1897 1513 y FD(1)17 b(+)2049 1456 y FA(\021)2093 1413 y Fy(\()p Fw(j)s Fy(\))p Fx(\006)2090 1479 y Fy(13)p 2049 1494 V 2119 1570 a FA(\032)2242 1420 y Fz(\021)2292 1346 y(1)2292 1495 y(A)2378 1513 y FD(\(1)i(+)f FA(a)2598 1525 y Fx(\006)2654 1513 y FD(\))c FA(\033)2747 1525 y Fw(p;k)2842 1513 y FD(\()p FA(\016)s FD(;)g FA(!)3003 1525 y Fx(\006)3059 1513 y FD(\))28 b FA(:)287 1757 y FD(W)-7 b(e,)28 b(then,)g(set)g(for)f FA(i)22 b Ft(\025)h FD(0,)1369 1857 y Ft(K)1433 1790 y Fz(\000)1471 1857 y FA(u)1519 1823 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1598 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Fw(;)p Fx(E)3362 2709 y FA(;)1073 2946 y FD(\()p FA(\021)1149 2903 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1146 2968 y(10)1229 2946 y FD(\))1261 2912 y Fy(2)1322 2946 y Ft(\024)k FD(\()p FA(\024)d Ft(\000)f FD(1\))p FA(\021)1709 2903 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1706 2968 y(8)1816 2946 y FA(;)1073 3088 y(B)1140 3054 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1220 3088 y FA(\021)1264 3045 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1261 3110 y(11)1367 3088 y FA(<)k FD(1)27 b FA(;)1073 3230 y(\021)1117 3187 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1114 3252 y(13)1220 3230 y FA(<)c(\032)k(;)p 1073 3315 90 4 v 1073 3382 a(M)1163 3329 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1242 3382 y FA(\021)1286 3339 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1283 3404 y(24)1389 3382 y FA(<)c FD(1)k FA(;)p 1073 3489 63 4 v 1073 3556 a(A)1135 3503 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1215 3444 y Fz(q)p 1298 3444 902 4 v 112 x FD(\()p FA(\021)1374 3512 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1371 3578 y(30)1454 3556 y FD(\))1486 3532 y Fy(2)1542 3556 y FD(+)18 b(\()p FA(\021)1701 3512 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))1698 3578 y(31)1781 3556 y FD(\))1813 3532 y 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Ft(\024)h FD(1)k(in)g(the)g(\\+)g(case")e(and)287 4269 y(for)i(0)22 b Ft(\024)h FA(i)g Ft(\024)f FD(3)28 b(on)f(the)h(\\)p Ft(\000)f FD(case".)287 4387 y Fo(In)h(fact,)f(implemen)n(ting)h(this)g (discussion)f(one)g(obtains)g(the)h(follo)n(wing)f(n)n(umerical)g(v)-5 b(alues:)1187 4611 y Ft(j)p FA(v)1253 4577 y Fy(\(0\)+)1393 4611 y FD(\(0\))19 b Ft(\000)f FA(y)1645 4577 y Fy(+)1700 4611 y Ft(j)1723 4623 y Fx(E)1791 4611 y Ft(\024)1905 4507 y Fy(12)1879 4532 y Fz(X)1878 4711 y Fw(k)q Fy(=1)2013 4515 y Fz(\014)2013 4565 y(\014)2013 4615 y(\014)2087 4532 y(X)2054 4710 y Fw(n)p Fx(2N)2203 4690 y Fq(v)2194 4732 y(k)2253 4611 y FA(v)2296 4577 y Fw(k)q Fy(+)2293 4631 y Fw(n)2388 4515 y Fz(\014)2388 4565 y(\014)2388 4615 y(\014)2415 4611 y FA(")2454 4577 y Fw(k)2454 4631 y Fy(0)2518 4611 y Ft(\024)23 b FD(5)p FA(:)p FD(051313)p FA(:::)15 b Ft(\001)j FD(10)3132 4577 y Fx(\000)p Fy(5)3248 4611 y FA(;)1187 4923 y Ft(k)p FA(v)1272 4889 y Fy(\(0\)+)1430 4923 y Ft(\000)g FA(y)1557 4889 y Fy(+)1612 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Fw(\030)1896 1561 y Fs(\(2\))2001 1559 y Ft(\024)2132 1455 y Fy(1)2088 1480 y Fz(X)2094 1656 y Fw(i)p Fy(=0)2222 1559 y FA(\021)2266 1515 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))q(+)2263 1581 y(25)2420 1559 y Ft(\024)k FD(1)p FA(:)p FD(388253)15 b Ft(\001)k FD(10)2965 1524 y Fx(\000)p Fy(13)3114 1559 y FA(;)628 b FD(\(4.298\))287 1814 y(for)27 b(the)h(\\+)f(case")f(and,)h(for)g(the)h(\\-)f(case":) 1322 2071 y Ft(k)p FA(u)1412 2036 y Fy(\(4\))p Fx(\000)1571 2071 y Ft(\000)18 b FA(u)1702 2036 y Fy(\(0\))o Fx(\000)1843 2071 y Ft(k)1885 2090 y Fw(\030)1917 2073 y Fs(\(4\))2021 2071 y Ft(\024)2152 1967 y Fy(3)2108 1992 y Fz(X)2115 2169 y Fw(i)p Fy(=0)2242 2071 y FA(\021)2286 2028 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))q Fx(\000)2283 2093 y Fy(23)2441 2071 y Ft(\024)23 b FD(5)p FA(:)p FD(332983)15 b Ft(\001)j FD(10)2986 2036 y Fx(\000)p Fy(9)3102 2071 y FA(;)1322 2360 y Ft(k)p FA(v)1407 2325 y Fy(\(4\))p Fx(\000)1567 2360 y Ft(\000)g FA(v)1693 2325 y Fy(\(0\))p Fx(\000)1834 2360 y Ft(k)1876 2379 y Fw(\030)1908 2362 y Fs(\(4\))2012 2360 y Ft(\024)2143 2256 y Fy(3)2100 2281 y Fz(X)2106 2458 y Fw(i)p Fy(=0)2234 2360 y FA(\021)2278 2317 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))p Fx(\000)2275 2382 y Fy(25)2432 2360 y Ft(\024)23 b FD(8)p FA(:)p FD(353437)15 b Ft(\001)k FD(10)2978 2325 y Fx(\000)p Fy(12)3126 2360 y FA(:)616 b FD(\(4.299\))287 2660 y Fv(4.4)112 b(Application)38 b(of)i(the)h(iso-energetic)e(KAM)g(theorem)h(and)h(p)s(erp)s(etual)g (stabilit)m(y)542 2776 y(of)d(the)f(Sun-Jupiter-Victoria)f(problem)287 2929 y FD(W)-7 b(e)36 b(are,)f(no)n(w,)g(in)h(a)f(p)r(osition)h(to)f (apply)h(the)g(iso-energetic)e(KAM)i(theorem)f(2.1)g(to)g(the)i (Sun-Jupiter-Victoria)287 3029 y(problem.)25 b(W)-7 b(e)26 b(shall)f(treat)h(sim)n(ultaneously)e(the)i(\\+)f(case")f(and)i(the)g (\\)p Ft(\000)f FD(case",)f(i.e.,)i(the)g(construction)f(of)h(the)g (tori)287 3128 y Ft(T)353 3098 y Fy(+)332 3149 y Fw(")436 3128 y FD(and)h Ft(T)664 3098 y Fx(\000)642 3149 y Fw(")720 3128 y FD(.)287 3253 y(As)h(appro)n(ximate)d(solution)j(\()p FA(u;)14 b(v)s(;)g(!)s FD(\))27 b(in)h(Theorem)f(2.1,)f(w)n(e)i(tak)n (e)1306 3460 y(\()p FA(u;)14 b(v)s(;)g(!)s FD(\))23 b(:=)1723 3393 y Fz(\000)1762 3460 y FA(u)1810 3426 y Fy(\(2\)+)1949 3460 y FA(;)14 b(v)2029 3426 y Fy(\(2\)+)2169 3460 y FA(;)g(!)2261 3426 y Fy(\(2\)+)2401 3393 y Fz(\001)2467 3460 y FA(;)2670 3368 y Fz(\020)2719 3460 y FD(\\)k(+)g(case")3052 3368 y Fz(\021)3129 3460 y FA(;)1306 3643 y FD(\()p FA(u;)c(v)s(;)g(!)s FD(\))23 b(:=)1723 3576 y Fz(\000)1762 3643 y FA(u)1810 3609 y Fy(\(4\))p Fx(\000)1950 3643 y FA(;)14 b(v)2030 3609 y Fy(\(4\))p Fx(\000)2171 3643 y FA(;)g(!)2263 3609 y Fy(\(4\))p Fx(\000)2404 3576 y Fz(\001)2470 3643 y FA(;)2672 3551 y Fz(\020)2722 3643 y FD(\\)k Ft(\000)g FD(case")3055 3551 y Fz(\021)3132 3643 y FA(;)610 b FD(\(4.300\))287 3862 y(de\014ned)31 b(in)g(\(4.296\).)f(Then,)h(\()p FA(f)t(;)14 b(g)s(;)g(h)p FD(\))31 b(is)g(de\014ned)g(as,)f(resp)r (ectiv)n(ely)-7 b(,)2508 3795 y Fz(\000)2547 3862 y FA(f)2597 3832 y Fy(\(2\)+)2736 3862 y FA(;)14 b(g)2816 3832 y Fy(\(2\)+)2956 3862 y FA(;)g FD(0\))30 b(and)3262 3795 y Fz(\000)3300 3862 y FA(f)3350 3832 y Fy(\(4\))p Fx(\000)3491 3862 y FA(;)14 b(g)3571 3832 y Fy(\(4\))p Fx(\000)3711 3862 y FA(;)g FD(0\).)31 b(The)287 3962 y(other)g(parameters)f(are,)h (consisten)n(tly)-7 b(,)31 b(tak)n(en)g(to)h(b)r(e)g(as)f(follo)n(ws:) 2448 3940 y(\026)2440 3962 y FA(\030)2480 3932 y Fx(\006)2536 3962 y FD(,)h FA(r)2630 3932 y Fx(\006)2687 3962 y FD(,)g FA(\024)p FD(,)f FA(\032)p FD(,)h FA(")2981 3974 y Fy(0)3050 3962 y FD(are)f(as)g(in)h Ft(x)f FD(4.2.1;)g FA(y)3735 3974 y Fy(0)3802 3962 y FD(=)e FA(y)3940 3932 y Fx(\006)3996 3962 y FD(,)287 4061 y FA(E)f FD(:=)23 b FA(E)548 4073 y Fy(0)613 4061 y FD(as)k(in)h(\(4.271\);)e FA(E)1177 4073 y Fw(p;q)1296 4061 y FD(are)g(as)h(in)h Ft(x)g FD(4.2.2;)835 4254 y FA(\015)f FD(=)c FA(\015)1041 4220 y Fy(\()p Fw(k)q Fy(\))p Fx(\006)1213 4254 y FD(;)180 b FA(\030)27 b FD(=)c FA(\030)1607 4220 y Fy(\()p Fw(k)q Fy(\))p Fx(\006)1779 4254 y FD(;)180 b FA(F)35 b FD(=)23 b FA(F)2223 4220 y Fy(\()p Fw(k)q Fy(\))p Fx(\006)2395 4254 y FD(;)180 b FA(G)23 b FD(=)g FA(G)2839 4220 y Fy(\()p Fw(k)q Fy(\))p Fx(\006)3011 4254 y FD(;)180 b FA(h)23 b FD(=)3374 4232 y(\026)3373 4254 y FA(h)g FD(=)f(0)27 b(;)835 4400 y FA(M)k FD(=)23 b FA(M)1125 4366 y Fy(\()p Fw(k)q Fy(\))p Fx(\006)1297 4400 y FD(;)p 1500 4333 90 4 v 180 w FA(M)31 b FD(=)p 1700 4333 V 23 w FA(M)1790 4347 y Fy(\()p Fw(k)q Fy(\))p Fx(\006)1962 4400 y FD(;)p 2165 4333 63 4 v 180 w FA(A)23 b FD(=)p 2338 4333 V 23 w FA(A)2400 4347 y Fy(\()p Fw(k)q Fy(\))p Fx(\006)2572 4400 y FD(;)2788 4379 y(~)2775 4400 y FA(V)42 b FD(=)2966 4379 y(~)2953 4400 y FA(V)3020 4366 y Fy(\()p Fw(k)q Fy(\))p Fx(\006)3192 4400 y FD(;)287 4583 y(with)32 b FA(k)h FD(=)c(2)j(in)g(the)g(\\+)f (case")f(and)i FA(k)h FD(=)c(4)j(in)g(the)g(\\)p Ft(\000)f FD(case".)f(Recalling)h(\(4.294\))g(and)g(\(4.295\),)g(w)n(e)g(see)h (that)g(as)287 4682 y(parameter)26 b(\012)i(w)n(e)f(can)g(tak)n(e)1434 4859 y(\012)c(:=)1628 4717 y Fz( )1693 4755 y Fw(k)q Fx(\000)p Fy(1)1701 4780 y Fz(Y)1700 4957 y Fw(i)p Fy(=0)1829 4767 y Fz(\020)1878 4859 y FD(1)18 b(+)2031 4803 y FA(\021)2075 4760 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))p Fx(\006)2072 4825 y Fy(13)p 2031 4840 176 4 v 2098 4916 a FA(\032)2217 4767 y Fz(\021)2267 4717 y(!)2346 4859 y FD(\(1)g(+)g FA(a)2565 4871 y Fx(\006)2621 4859 y FD(\))c Ft(j)p FA(!)2742 4871 y Fx(\006)2798 4859 y Ft(j)28 b FA(;)2111 5492 y FD(98)p eop %%Page: 99 99 99 98 bop 287 -94 a FD(with)27 b FA(k)f FD(=)c(1)k(in)h(the)g(\\+)e (case")h(and)g FA(k)g FD(=)c(3)k(in)h(the)g(\\)p Ft(\000)e FD(case".)h(No)n(w,)g(observ)n(e)e(that,)j(since)f(\(4.297\))g(are)f(v) n(eri\014ed)h(for,)287 5 y(resp)r(ectiv)n(ely)-7 b(,)27 b FA(i)22 b FD(=)h(1)k(and)h FA(i)22 b FD(=)h(3,)k(b)n(y)g(Prop)r (osition)f(2.2,)h(\(2.123\))g(and)g(\(2.124\))f(hold,)i(i.e.,)947 169 y(sup)910 246 y Fd(T)955 226 y Fs(2)955 285 y Fq(\030)984 270 y Fs(\()p Fq(k)q Fs(\))p Fr(\006)1122 98 y Fz(\014)1122 148 y(\014)1163 169 y FD(Im)14 b FA(u)1324 135 y Fy(\()p Fw(k)q Fy(\))p Fx(\006)1468 98 y Fz(\014)1468 148 y(\014)1519 169 y FA(<)1615 147 y FD(\026)1607 169 y FA(\030)22 b Ft(\000)c FA(\030)1788 135 y Fy(\()p Fw(k)q Fy(\))p Fx(\006)1961 169 y FA(;)184 b FD(^)-46 b FA(r)2203 135 y Fx(\006)2283 169 y FD(:=)59 b(sup)2393 248 y Fd(T)2438 228 y Fq(d)2438 287 y(\030)2467 272 y Fs(\()p Fq(k)q Fs(\))p Fr(\006)2605 169 y Ft(j)p FA(v)2671 135 y Fy(\()p Fw(k)q Fy(\))p Fx(\006)2816 169 y FD(\()p FA(\022)r FD(\))19 b Ft(\000)f FA(y)3064 181 y Fy(0)3101 169 y Ft(j)3124 181 y Fx(1)3217 169 y FA(<)23 b(r)30 b(;)287 438 y FD(for)h FA(k)i FD(=)c(2)j(and)f FA(k)i FD(=)d(4)h(in,)h(resp)r(ectiv)n(ely)-7 b(,)31 b(the)h(\\+)f(case")f(and)i(the)g(\\)p Ft(\000)f FD(case".)g(Th)n(us)g (\(2.127\))f(in)i(Theorem)f(2.1)g(is)287 538 y(v)n(eri\014ed)c(b)n(y)g (our)g(appro)n(ximate)f(tori)h(\()p FA(u;)14 b(v)s(;)g(!)s FD(\))27 b(in)h(\(4.300\).)287 658 y(Next,)g(w)n(e)f(ev)-5 b(aluate)27 b(the)h(w)n(eigh)n(ted)e(norms)h(de\014ned)h(in)g (\(2.130\).)e Fo(Implemen)n(ting)h(this)h(discussion)f(one)g(obtains)g (the)287 758 y(follo)n(wing)f(n)n(umerical)h(v)-5 b(alues:)1314 1021 y FA(E)1380 986 y Fx(\003)p Fy(+)1375 1043 y(1)1492 1021 y FD(=)23 b(3)p FA(:)p FD(515464)p FA(:::)h(;)180 b(E)2259 986 y Fx(\003)p Fy(+)2254 1043 y(2)2372 1021 y FD(=)22 b(15)p FA(:)p FD(384979)p FA(:::)i(;)1314 1146 y(E)1380 1110 y Fx(\003)p Fy(+)1375 1168 y(3)1492 1146 y FD(=)f(119)p FA(:)p FD(267702)p FA(:::)g(;)180 b(E)2342 1112 y Fx(\003)p Fy(+)2455 1146 y FD(=)22 b(4)p FA(:)p FD(770708)p FA(:::)j(;)1314 1270 y FD(\012)1374 1236 y Fx(\003)p Fy(+)1486 1270 y FD(=)e(4)p FA(:)p FD(770708)h FA(;)1314 1395 y(\014)1365 1359 y Fy(+)1361 1417 y(0)1443 1395 y FD(=)f(1)k FA(;)180 b(\014)1854 1359 y Fy(+)1850 1417 y(1)1933 1395 y FD(=)22 b(23)p FA(:)p FD(853540)p FA(:::)i(;)1314 1519 y(\013)1367 1485 y Fy(+)1446 1519 y FD(=)e(110)p FA(:)p FD(667935)p FA(:::)i(;)180 b(\026)2280 1485 y Fy(+)2358 1519 y FD(=)22 b(2)p FA(:)p FD(482139)p FA(:::)16 b Ft(\001)i FD(10)2972 1485 y Fx(\000)p Fy(30)3121 1519 y FA(;)1334 1872 y(E)1400 1836 y Fx(\003\000)1395 1894 y Fy(1)1513 1872 y FD(=)23 b(3)p FA(:)p FD(488445)p FA(:::)h(;)180 b(E)2280 1836 y Fx(\003\000)2275 1894 y Fy(2)2393 1872 y FD(=)23 b(15)p FA(:)p FD(335556)p FA(:::)h(;)1334 1996 y(E)1400 1961 y Fx(\003\000)1395 2018 y Fy(3)1513 1996 y FD(=)f(159)p FA(:)p FD(060236)p FA(:::)g(;)180 b(E)2363 1962 y Fx(\003\000)2476 1996 y FD(=)23 b(6)p FA(:)p FD(362409)p FA(:::)h(;)1334 2121 y FD(\012)1394 2086 y Fx(\003\000)1507 2121 y FD(=)e(6)p FA(:)p FD(362409)p FA(:::)j(;)1334 2245 y(\014)1385 2210 y Fx(\000)1381 2267 y Fy(0)1464 2245 y FD(=)e(1)k FA(;)180 b(\014)1875 2210 y Fx(\000)1871 2267 y Fy(1)1954 2245 y FD(=)23 b(31)p FA(:)p FD(812047)p FA(:::)h(;)1334 2370 y(\013)1387 2335 y Fx(\000)1466 2370 y FD(=)f(1369)p FA(:)p FD(353670)g FA(;)180 b(\026)2273 2335 y Fx(\000)2352 2370 y FD(=)22 b(1)p FA(:)p FD(967516)p FA(:::)16 b Ft(\001)i FD(10)2966 2335 y Fx(\000)p Fy(38)3115 2370 y FA(:)287 2658 y FD(No)n(w,)27 b(w)n(e)g(\014x)h FA(\030)775 2670 y Fx(1)873 2658 y FD(b)n(y)f(letting)1921 2758 y FA(\030)1957 2770 y Fx(1)2051 2758 y FD(:=)c(10)2246 2723 y Fx(\000)p Fy(3)2362 2758 y FA(;)1380 b FD(\(4.301\))287 2896 y(so)27 b(that)h(\(see)f(\(2.131\)\))1412 2995 y FA(\030)1452 2961 y Fy(+)1448 3016 y Fx(\003)1531 2995 y FD(=)22 b(10)1702 2961 y Fx(\000)p Fy(3)1818 2995 y FA(;)180 b(\030)2061 2961 y Fx(\000)2057 3016 y(\003)2140 2995 y FD(=)23 b(7)p FA(:)p FD(734375)p FA(:::)15 b Ft(\001)k FD(10)2755 2961 y Fx(\000)p Fy(4)2871 2995 y FA(:)287 3133 y FD(The)27 b(constan)n(ts)g FA(c)861 3145 y Fx(\003)899 3133 y FD(,)h FA(c)986 3145 y Fx(\003\003)1086 3133 y FD(and)h(^)-44 b FA(c)p FD(,)28 b(according)e(to)h(Lemma)g(2.8,)g(can)g(b)r(e)h(tak)n (en)f(to)h(b)r(e)902 3297 y FA(c)938 3309 y Fx(\003)999 3297 y FD(=)23 b(38528)p FA(:)p FD(281271)p FA(:::)g(;)180 b(c)1903 3309 y Fx(\003\003)1998 3297 y FD(=)22 b(49)p FA(:)p FD(087867)p FA(:::)i(;)182 b FD(^)-44 b FA(c)23 b FD(=)g(111)p FA(:)p FD(699232)p FA(:::)h(:)287 3461 y FD(A)n(t)k(this)g(p)r(oin)n(t)f(w)n(e)h(can)f(c)n(hec)n(k)g(the)h (main)f(h)n(yp)r(otheses)g(of)h(Theorem)e(2.1,)h(namely)g(\(2.132\).) 287 3581 y Fo(Implemen)n(ting)h(this)g(discussion)e(one)i(obtains)f (the)h(follo)n(wing)e(n)n(umerical)h(v)-5 b(alues:)653 3783 y Fz(\020)703 3875 y FA(c)739 3887 y Fx(\003)804 3808 y Fz(\000)p 843 3809 90 4 v 843 3875 a FA(M)932 3823 y Fy(\(2\)+)1072 3808 y Fz(\001)1110 3825 y Fy(10)1181 3808 y Fz(\000)1219 3875 y FA(M)1309 3841 y Fy(\(2\)+)1448 3808 y Fz(\001)1486 3825 y Fy(4)1551 3875 y FD(\()p FA(\030)1623 3841 y Fy(+)1619 3896 y Fx(\003)1679 3875 y FD(\))1711 3841 y Fx(\000)p Fy(\(4)p Fw(\034)7 b Fy(+1\))2011 3819 y FD(\012)2071 3789 y Fx(\003)p Fy(+)p 2011 3856 150 4 v 2028 3932 a FD(\012)2088 3908 y Fy(+)2170 3875 y FD(\()p FA(\013)2255 3841 y Fy(+)2311 3875 y FD(\))2343 3841 y Fy(2)2381 3875 y FD(\()p FA(\014)2464 3840 y Fy(+)2460 3898 y(0)2519 3875 y FD(\))2551 3841 y Fy(4)2589 3875 y FD(\()p FA(\014)2672 3840 y Fy(+)2668 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2270 y Fy(\(4\))p Fx(\000)2105 2338 y Fw(\022)2245 2313 y Ft(k)2287 2325 y Fw(\030)2317 2333 y Fr(1)2412 2313 y FA(;)2488 2257 y Ft(k)s FD(~)-45 b FA(v)2573 2227 y Fx(\000)2647 2257 y Ft(\000)18 b FA(v)2773 2227 y Fy(\(4\))p Fx(\000)2915 2257 y Ft(k)2957 2269 y Fw(\030)2987 2277 y Fr(1)p 2488 2294 564 4 v 2748 2370 a FA(\032)3091 2313 y(;)3167 2256 y Ft(k)s FD(~)-45 b FA(v)3252 2220 y Fx(\000)3249 2281 y Fw(\022)3327 2256 y Ft(\000)18 b FA(v)3453 2213 y Fy(\(4\))p Fx(\000)3450 2281 y Fw(\022)3594 2256 y Ft(k)3636 2268 y Fw(\030)3666 2276 y Fr(1)p 3167 2294 V 3427 2370 a FA(\032)3740 2221 y Fz(o)846 2491 y Ft(\024)23 b FD(7)p FA(:)p FD(437412)15 b Ft(\001)j FD(10)1391 2457 y Fx(\000)p Fy(21)1542 2491 y FA(:)2200 b FD(\(4.303\))287 2674 y Fh(F)-6 b(urthermor)l(e)31 b FD(~)-44 b FA(a)810 2644 y Fx(\006)889 2674 y FD(=)24 b(~)-43 b FA(a)1021 2644 y Fx(\006)1077 2674 y FD(\()p FA(")p FD(\))30 b Fh(is)g(r)l(e)l(al-analytic)h(on)f(the)g(c)l(omplex)g (disc)h Ft(f)p FA(")22 b Ft(2)i Fp(C)44 b FD(:)23 b Ft(j)p FA(")p Ft(j)g(\024)f FD(10)3102 2644 y Fx(\000)p Fy(3)3190 2674 y Ft(g)30 b Fh(and)1658 2856 y FD(\()p FA(\022)r(;)14 b(")p FD(\))24 b Ft(!)1969 2789 y Fz(\000)2012 2856 y FD(~)-47 b FA(u)2055 2822 y Fx(\006)2111 2856 y FD(\()p FA(\022)r FD(;)14 b FA(")p FD(\))p FA(;)j FD(~)-45 b FA(v)2372 2822 y Fx(\006)2428 2856 y FD(\()p FA(\022)r FD(;)14 b FA(")p FD(\))2609 2789 y Fz(\001)287 3039 y Fh(is)30 b(r)l(e)l(al-analytic)h(on)f Fp(T)1023 3009 y Fy(2)1023 3063 y Fw(\030)1053 3071 y Fr(1)1136 3039 y Ft(\002)18 b(f)p FA(")k Ft(2)h Fp(C)44 b FD(:)23 b Ft(j)p FA(")p Ft(j)g(\024)g FD(10)1809 3009 y Fx(\000)p Fy(3)1897 3039 y Ft(g)p Fh(.)287 3156 y(Final)t(ly,)32 b(the)e(Lindste)l(dt)f(p)l(olynomials)1549 3089 y Fz(\000)1587 3156 y FA(u)1635 3126 y Fy(\(0\)+)1775 3156 y FA(;)14 b(v)1855 3126 y Fy(\(0\)+)1995 3089 y Fz(\001)2033 3156 y Fh(,)2089 3089 y Fz(\000)2127 3156 y FA(u)2175 3126 y Fy(\(0\))p Fx(\000)2315 3156 y FA(;)g(v)2395 3126 y Fy(\(0\))p Fx(\000)2536 3089 y Fz(\001)2604 3156 y Fh(de\014ne)l(d)30 b(in)g FD(\(4.278\))e Fh(satisfy)j(the)f(b)l(ounds)829 3354 y Ft(k)5 b FD(~)-47 b FA(u)919 3320 y Fy(+)992 3354 y Ft(\000)18 b FA(u)1123 3320 y Fy(\(0\)+)1263 3354 y Ft(k)1305 3366 y Fw(\030)1335 3374 y Fr(1)1422 3354 y Ft(\024)23 b FD(8)p FA(:)p FD(804933)15 b Ft(\001)k FD(10)1968 3320 y Fx(\000)p Fy(11)2119 3354 y FA(;)183 b Ft(k)s FD(~)-45 b FA(v)2410 3320 y Fy(+)2483 3354 y Ft(\000)18 b FA(v)2609 3320 y Fy(\(0\)+)2750 3354 y Ft(k)2792 3366 y Fw(\030)2822 3374 y Fr(1)2909 3354 y Ft(\024)23 b FD(1)p FA(:)p FD(427268)15 b Ft(\001)k FD(10)3455 3320 y Fx(\000)p Fy(13)3606 3354 y FA(;)829 3489 y Ft(k)5 b FD(~)-47 b FA(u)919 3455 y Fx(\000)993 3489 y Ft(\000)18 b FA(u)1124 3455 y Fy(\(0\))p Fx(\000)1265 3489 y Ft(k)1307 3501 y Fw(\030)1337 3509 y Fr(1)1424 3489 y Ft(\024)23 b FD(5)p FA(:)p FD(332984)15 b Ft(\001)j FD(10)1969 3455 y Fx(\000)p Fy(9)2087 3489 y FA(;)214 b Ft(k)s FD(~)-45 b FA(v)2409 3455 y Fx(\000)2483 3489 y Ft(\000)18 b FA(v)2609 3455 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FD(2.8.1.)g(Estimates)f(\(4.304\))h(comes)g(from)g(\(4.298\),)f (\(4.299\))287 4383 y(and)e(\(4.302\),)g(\(4.303\).)p 1175 4383 41 83 v 287 4607 a(T)-7 b(o)27 b(complete)h(the)g(pro)r(of)f (of)g(Claim)h(3.1,)e(it)i(remains)f(to)h(sho)n(w)e(that)1236 4790 y(\()p FA(`)p FD(\()p FA(t)p FD(\))p FA(;)14 b(g)s FD(\()p FA(t)p FD(\))p FA(;)g(L)p FD(\()p FA(t)p FD(\))p FA(;)g(G)p FD(\()p FA(t)p FD(\)\))24 b(:=)f FA(\036)2171 4755 y Fw(t)2171 4812 y(H)2225 4820 y Fs(SJV)2331 4812 y Fx(j)2351 4820 y Fq(")p Fs(=)p Fq(")2440 4843 y Fs(SJ)2516 4790 y FD(\()p FA(`)2583 4802 y Fy(0)2620 4790 y FA(;)14 b(g)2697 4802 y Fy(0)2734 4790 y FA(;)g(L)2828 4802 y Fy(V)2881 4790 y FA(;)g(G)2983 4802 y Fy(V)3038 4790 y FD(\))p 287 4863 1493 4 v 349 4916 a Fn(84)414 4940 y FH(Compare)23 b(\(4.270\),)i(\(4.271\),)f(\(4.296\),)h (\(4.278\)-\(4.279\))h(and)f(\(4.301\).)2091 5492 y FD(100)p eop %%Page: 101 101 101 100 bop 287 -94 a FD(b)r(elongs)27 b(for)g(an)n(y)g FA(t)c Ft(2)g Fp(R)34 b FD(and)27 b(an)n(y)g(\()p FA(`)1473 -82 y Fy(0)1510 -94 y FA(;)14 b(g)1587 -82 y Fy(0)1624 -94 y FD(\))23 b Ft(2)h Fp(T)1814 -124 y Fy(2)1878 -94 y FD(to)j(the)h(region)f Ft(J)15 b FD(.)28 b(T)-7 b(o)27 b(pro)n(v)n(e)f(this,)i(w)n(e)f(shall)h(sho)n(w)e(that)1013 88 y(sup)1040 162 y Fd(T)1085 145 y Fs(2)1155 88 y FD(~)-45 b FA(v)1195 53 y Fy(+)1192 110 y(1)1250 88 y FD(\()p FA(\022)r FD(\))24 b FA(<)f(L)1524 100 y Fy(V)1600 88 y FA(<)g FD(inf)1703 146 y Fd(T)1748 129 y Fs(2)1806 88 y FD(~)-45 b FA(v)1846 53 y Fx(\000)1843 110 y Fy(1)1902 88 y FD(\()p FA(\022)r FD(\))29 b FA(;)180 b FD(sup)2265 162 y Fd(T)2310 145 y Fs(2)2381 88 y FD(~)-46 b FA(v)2420 53 y Fy(+)2417 110 y(2)2476 88 y FD(\()p FA(\022)r FD(\))24 b FA(<)e(G)2757 100 y Fy(V)2835 88 y FA(<)g FD(inf)2937 146 y Fd(T)2982 129 y Fs(2)3040 88 y FD(~)-45 b FA(v)3080 53 y Fx(\000)3077 110 y Fy(2)3136 88 y FD(\()p FA(\022)r FD(\))29 b FA(;)287 348 y FD(whic)n(h)g(clearly)g(implies)h(the)g(ab)r (o)n(v)n(e)e(statemen)n(t.)i(Recalling)f(that)h Ft(j)p FA(w)2500 318 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2580 348 y Ft(j)c(\024)h FA(\021)2765 305 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))2762 370 y(25)2844 348 y FD(,)j(b)n(y)f(Theorem)g(4.1)g(and)h(the)g(ab)r(o)n(v)n(e)287 448 y(de\014nitions)e(and)f(estimates,)g(w)n(e)h(\014nd:)722 705 y(sup)710 778 y Fw(\022)r Fx(2)p Fd(T)833 761 y Fs(2)876 705 y FD(~)-45 b FA(v)916 669 y Fy(+)913 727 y(1)971 705 y FD(\()p FA(\022)r FD(\))84 b Ft(\024)f FA(L)1365 717 y Fy(+)1438 705 y FD(+)1521 612 y Fz(\020)1611 601 y Fy(12)1585 626 y Fz(X)1584 805 y Fw(k)q Fy(=1)1719 705 y FD(10)1803 670 y Fx(\000)p Fy(3)p Fw(k)1974 626 y Fz(X)1941 804 y Fw(n)p Fx(2N)2090 784 y Fq(v)2081 826 y(k)2140 634 y Fz(\014)2140 684 y(\014)2167 705 y FA(v)2210 669 y Fw(k)q Fy(+)2207 727 y Fw(n)p Fy(1)2303 634 y Fz(\014)2303 684 y(\014)2330 612 y(\021)2398 705 y FD(+)2525 601 y Fy(2)2481 626 y Fz(X)2487 803 y Fw(i)p Fy(=1)2615 705 y FA(\021)2659 662 y Fy(\()p Fw(i)p Fy(\))q(+)2656 727 y(25)2808 705 y FD(+)18 b FA(\032)2934 612 y Fz(\020)2984 705 y FD(r)p FA(:)p FD(h)p 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4241 y FB(Figure)31 b(6:)g FD(Ellipse)c(of)h(eccen)n (tricit)n(y)e(0.78)287 4588 y FB(F)-8 b(o)s(cal)41 b(equation.)36 b FD(In)n(tro)r(ducing)f(p)r(olar)g(co)r(ordinates)g(\()p Fo(f)17 b FA(;)d(r)r FD(\))37 b(in)f(the)g(ab)r(o)n(v)n(e)f FA(x)p FD(-plane)h(taking)f(as)h(p)r(ole)g(the)g(fo)r(cus)287 4688 y FA(O)26 b FD(=)c(\()p FA(c;)14 b FD(0\),)25 b(as)f Fo(f)41 b FD(the)26 b(angle)e(b)r(et)n(w)n(een)g(the)i FA(x)1715 4700 y Fy(1)1752 4688 y FD(-axis)e(and)h(the)g(axis)f (joining)h FA(O)i FD(with)e(the)h(p)r(oin)n(t)f FA(x)g FD(on)f(the)i(ellipse)e(and)287 4788 y FA(r)i FD(=)c FA(r)r FD(\()p Fo(f)c FD(\))28 b(as)f(the)h(distance)f Ft(j)p FA(x)19 b Ft(\000)f FA(O)r Ft(j)28 b FD(one)g(\014nds)f(the)h (follo)n(wing)f Fo(fo)r(cal)g(equation)1722 4989 y FA(r)f FD(=)c FA(r)r FD(\()p Fo(f)c FD(\))23 b(:=)2322 4933 y FA(p)p 2162 4970 362 4 v 2162 5046 a FD(1)18 b(+)g FA(e)c FD(cos)e Fo(f)2561 4989 y FA(;)2091 5492 y FD(102)p eop %%Page: 103 103 103 102 bop 287 -94 a FD(where)27 b FA(p)g FD(is)h(called)f(the)h Fo(parameter)e FD(of)i(the)g(ellipse)f(and)h(is)f(giv)n(en)g(b)n(y)1786 125 y FA(p)c FD(=)f FA(a)p FD(\(1)d Ft(\000)f FA(e)2197 91 y Fy(2)2233 125 y FD(\))24 b(=)2386 69 y FA(b)2422 39 y Fy(2)p 2386 106 73 4 v 2401 182 a FA(a)2497 125 y(:)287 320 y FD(The)j(angle)g Fo(f)44 b FD(is)28 b(called)f(the)h Fo(true)g(anomaly)p FD(.)287 442 y FB(P)m(arametric)c(represen)m (tation.)d FD(The)f(ab)r(o)n(v)n(e)g(ellipse)h(is)f(also)g(describ)r (ed)g(b)n(y)h(the)g(follo)n(wing)f(parametric)f(equations)1595 613 y FA(x)1642 625 y Fy(1)1703 613 y FD(=)k FA(a)14 b FD(cos)e FA(u)28 b(;)180 b(x)2299 625 y Fy(2)2359 613 y FD(=)23 b FA(b)14 b FD(sin)f FA(u)27 b(:)287 785 y FD(The)g(angle)g FA(u)g FD(is)h(called)f(the)h Fo(eccen)n(tric)f (anomaly)p FD(.)2450 2025 y Ft(\017)-1241 b(\017)557 b(\017)1094 2010 y Fs(.)1094 2013 y(.)1095 2016 y(.)1095 2020 y(.)1095 2023 y(.)1095 2026 y(.)1095 2030 y(.)1095 2033 y(.)1096 2036 y(.)1096 2040 y(.)1096 2043 y(.)1097 2046 y(.)1097 2049 y(.)1098 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