Content-Type: multipart/mixed; boundary="-------------0009150401806" This is a multi-part message in MIME format. ---------------0009150401806 Content-Type: text/plain; name="00-361.keywords" Content-Transfer-Encoding: 7bit Content-Disposition: attachment; filename="00-361.keywords" Stochastic PDE ---------------0009150401806 Content-Type: application/postscript; name="submitted.ps" Content-Transfer-Encoding: 7bit Content-Disposition: inline; filename="submitted.ps" %!PS-Adobe-2.0 %%Creator: dvips(k) 5.86 Copyright 1999 Radical Eye Software %%Title: unique.dvi %%Pages: 45 %%PageOrder: Ascend %%BoundingBox: 0 0 596 842 %%DocumentFonts: Times-Bold Times-Roman Times-Italic %%DocumentPaperSizes: a4 %%EndComments %DVIPSWebPage: (www.radicaleye.com) %DVIPSCommandLine: dvips -t a4 -D 600 -Z -f unique %DVIPSParameters: dpi=600, compressed %DVIPSSource: TeX output 2000.09.15:1053 %%BeginProcSet: texc.pro %! /TeXDict 300 dict def TeXDict begin/N{def}def/B{bind def}N/S{exch}N/X{S N}B/A{dup}B/TR{translate}N/isls false N/vsize 11 72 mul N/hsize 8.5 72 mul N/landplus90{false}def/@rigin{isls{[0 landplus90{1 -1}{-1 1}ifelse 0 0 0]concat}if 72 Resolution div 72 VResolution div neg scale isls{ landplus90{VResolution 72 div vsize mul 0 exch}{Resolution -72 div hsize mul 0}ifelse TR}if Resolution VResolution vsize -72 div 1 add mul TR[ matrix currentmatrix{A A round sub abs 0.00001 lt{round}if}forall round exch round exch]setmatrix}N/@landscape{/isls true N}B/@manualfeed{ statusdict/manualfeed true put}B/@copies{/#copies X}B/FMat[1 0 0 -1 0 0] N/FBB[0 0 0 0]N/nn 0 N/IEn 0 N/ctr 0 N/df-tail{/nn 8 dict N nn begin /FontType 3 N/FontMatrix fntrx N/FontBBox FBB N string/base X array /BitMaps X/BuildChar{CharBuilder}N/Encoding IEn N end A{/foo setfont}2 array copy cvx N load 0 nn put/ctr 0 N[}B/sf 0 N/df{/sf 1 N/fntrx FMat N df-tail}B/dfs{div/sf X/fntrx[sf 0 0 sf neg 0 0]N df-tail}B/E{pop nn A definefont setfont}B/Cw{Cd A length 5 sub get}B/Ch{Cd A length 4 sub get }B/Cx{128 Cd A length 3 sub get sub}B/Cy{Cd A length 2 sub get 127 sub} B/Cdx{Cd A length 1 sub get}B/Ci{Cd A type/stringtype ne{ctr get/ctr ctr 1 add N}if}B/id 0 N/rw 0 N/rc 0 N/gp 0 N/cp 0 N/G 0 N/CharBuilder{save 3 1 roll S A/base get 2 index get S/BitMaps get S get/Cd X pop/ctr 0 N Cdx 0 Cx Cy Ch sub Cx Cw add Cy setcachedevice Cw Ch true[1 0 0 -1 -.1 Cx sub Cy .1 sub]/id Ci N/rw Cw 7 add 8 idiv string N/rc 0 N/gp 0 N/cp 0 N{ rc 0 ne{rc 1 sub/rc X rw}{G}ifelse}imagemask restore}B/G{{id gp get/gp gp 1 add N A 18 mod S 18 idiv pl S get exec}loop}B/adv{cp add/cp X}B /chg{rw cp id gp 4 index getinterval putinterval A gp add/gp X adv}B/nd{ /cp 0 N rw exit}B/lsh{rw cp 2 copy get A 0 eq{pop 1}{A 255 eq{pop 254}{ A A add 255 and S 1 and or}ifelse}ifelse put 1 adv}B/rsh{rw cp 2 copy get A 0 eq{pop 128}{A 255 eq{pop 127}{A 2 idiv S 128 and or}ifelse} ifelse put 1 adv}B/clr{rw cp 2 index string putinterval adv}B/set{rw cp fillstr 0 4 index getinterval putinterval adv}B/fillstr 18 string 0 1 17 {2 copy 255 put pop}for N/pl[{adv 1 chg}{adv 1 chg nd}{1 add chg}{1 add chg nd}{adv lsh}{adv lsh nd}{adv rsh}{adv rsh nd}{1 add adv}{/rc X nd}{ 1 add set}{1 add clr}{adv 2 chg}{adv 2 chg nd}{pop nd}]A{bind pop} forall N/D{/cc X A type/stringtype ne{]}if nn/base get cc ctr put nn /BitMaps get S ctr S sf 1 ne{A A length 1 sub A 2 index S get sf div put }if put/ctr ctr 1 add N}B/I{cc 1 add D}B/bop{userdict/bop-hook known{ bop-hook}if/SI save N @rigin 0 0 moveto/V matrix currentmatrix A 1 get A mul exch 0 get A mul add .99 lt{/QV}{/RV}ifelse load def pop pop}N/eop{ SI restore userdict/eop-hook known{eop-hook}if showpage}N/@start{ userdict/start-hook known{start-hook}if pop/VResolution X/Resolution X 1000 div/DVImag X/IEn 256 array N 2 string 0 1 255{IEn S A 360 add 36 4 index cvrs cvn put}for pop 65781.76 div/vsize X 65781.76 div/hsize X}N /p{show}N/RMat[1 0 0 -1 0 0]N/BDot 260 string N/Rx 0 N/Ry 0 N/V{}B/RV/v{ /Ry X/Rx X V}B statusdict begin/product where{pop false[(Display)(NeXT) (LaserWriter 16/600)]{A length product length le{A length product exch 0 exch getinterval eq{pop true exit}if}{pop}ifelse}forall}{false}ifelse end{{gsave TR -.1 .1 TR 1 1 scale Rx Ry false RMat{BDot}imagemask grestore}}{{gsave TR -.1 .1 TR Rx Ry scale 1 1 false RMat{BDot} imagemask grestore}}ifelse B/QV{gsave newpath transform round exch round exch itransform moveto Rx 0 rlineto 0 Ry neg rlineto Rx neg 0 rlineto fill grestore}B/a{moveto}B/delta 0 N/tail{A/delta X 0 rmoveto}B/M{S p delta add tail}B/b{S p tail}B/c{-4 M}B/d{-3 M}B/e{-2 M}B/f{-1 M}B/g{0 M} B/h{1 M}B/i{2 M}B/j{3 M}B/k{4 M}B/w{0 rmoveto}B/l{p -4 w}B/m{p -3 w}B/n{ p -2 w}B/o{p -1 w}B/q{p 1 w}B/r{p 2 w}B/s{p 3 w}B/t{p 4 w}B/x{0 S rmoveto}B/y{3 2 roll p a}B/bos{/SS save N}B/eos{SS restore}B end %%EndProcSet %%BeginProcSet: 8r.enc % @@psencodingfile@{ % author = "S. Rahtz, P. MacKay, Alan Jeffrey, B. Horn, K. Berry", % version = "0.6", % date = "1 July 1998", % filename = "8r.enc", % email = "tex-fonts@@tug.org", % docstring = "Encoding for TrueType or Type 1 fonts % to be used with TeX." % @} % % Idea is to have all the characters normally included in Type 1 fonts % available for typesetting. This is effectively the characters in Adobe % Standard Encoding + ISO Latin 1 + extra characters from Lucida. % % Character code assignments were made as follows: % % (1) the Windows ANSI characters are almost all in their Windows ANSI % positions, because some Windows users cannot easily reencode the % fonts, and it makes no difference on other systems. The only Windows % ANSI characters not available are those that make no sense for % typesetting -- rubout (127 decimal), nobreakspace (160), softhyphen % (173). quotesingle and grave are moved just because it's such an % irritation not having them in TeX positions. % % (2) Remaining characters are assigned arbitrarily to the lower part % of the range, avoiding 0, 10 and 13 in case we meet dumb software. % % (3) Y&Y Lucida Bright includes some extra text characters; in the % hopes that other PostScript fonts, perhaps created for public % consumption, will include them, they are included starting at 0x12. % % (4) Remaining positions left undefined are for use in (hopefully) % upward-compatible revisions, if someday more characters are generally % available. % % (5) hyphen appears twice for compatibility with both % ASCII and Windows. % /TeXBase1Encoding [ % 0x00 (encoded characters from Adobe Standard not in Windows 3.1) /.notdef /dotaccent /fi /fl /fraction /hungarumlaut /Lslash /lslash /ogonek /ring /.notdef /breve /minus /.notdef % These are the only two remaining unencoded characters, so may as % well include them. /Zcaron /zcaron % 0x10 /caron /dotlessi % (unusual TeX characters available in, e.g., Lucida Bright) /dotlessj /ff /ffi /ffl /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef % very contentious; it's so painful not having quoteleft and quoteright % at 96 and 145 that we move the things normally found there to here. /grave /quotesingle % 0x20 (ASCII begins) /space /exclam /quotedbl /numbersign /dollar /percent /ampersand /quoteright /parenleft /parenright /asterisk /plus /comma /hyphen /period /slash % 0x30 /zero /one /two /three /four /five /six /seven /eight /nine /colon /semicolon /less /equal /greater /question % 0x40 /at /A /B /C /D /E /F /G /H /I /J /K /L /M /N /O % 0x50 /P /Q /R /S /T /U /V /W /X /Y /Z /bracketleft /backslash /bracketright /asciicircum /underscore % 0x60 /quoteleft /a /b /c /d /e /f /g /h /i /j /k /l /m /n /o % 0x70 /p /q /r /s /t /u /v /w /x /y /z /braceleft /bar /braceright /asciitilde /.notdef % rubout; ASCII ends % 0x80 /.notdef /.notdef /quotesinglbase /florin /quotedblbase /ellipsis /dagger /daggerdbl /circumflex /perthousand /Scaron /guilsinglleft /OE /.notdef /.notdef /.notdef % 0x90 /.notdef /.notdef /.notdef /quotedblleft /quotedblright /bullet /endash /emdash /tilde /trademark /scaron /guilsinglright /oe /.notdef /.notdef /Ydieresis % 0xA0 /.notdef % nobreakspace /exclamdown /cent /sterling /currency /yen /brokenbar /section /dieresis /copyright /ordfeminine /guillemotleft /logicalnot /hyphen % Y&Y (also at 45); Windows' softhyphen /registered /macron % 0xD0 /degree /plusminus /twosuperior /threesuperior /acute /mu /paragraph /periodcentered /cedilla /onesuperior /ordmasculine /guillemotright /onequarter /onehalf /threequarters /questiondown % 0xC0 /Agrave /Aacute /Acircumflex /Atilde /Adieresis /Aring /AE /Ccedilla /Egrave /Eacute /Ecircumflex /Edieresis /Igrave /Iacute /Icircumflex /Idieresis % 0xD0 /Eth /Ntilde /Ograve /Oacute /Ocircumflex /Otilde /Odieresis /multiply /Oslash /Ugrave /Uacute /Ucircumflex /Udieresis /Yacute /Thorn /germandbls % 0xE0 /agrave /aacute /acircumflex /atilde /adieresis /aring /ae /ccedilla /egrave /eacute /ecircumflex /edieresis /igrave /iacute /icircumflex /idieresis % 0xF0 /eth /ntilde /ograve /oacute /ocircumflex /otilde /odieresis /divide /oslash /ugrave /uacute /ucircumflex /udieresis /yacute /thorn /ydieresis ] def %%EndProcSet %%BeginProcSet: texps.pro %! TeXDict begin/rf{findfont dup length 1 add dict begin{1 index/FID ne 2 index/UniqueID ne and{def}{pop pop}ifelse}forall[1 index 0 6 -1 roll exec 0 exch 5 -1 roll VResolution Resolution div mul neg 0 0]/Metrics exch def dict begin Encoding{exch dup type/integertype ne{pop pop 1 sub dup 0 le{pop}{[}ifelse}{FontMatrix 0 get div Metrics 0 get div def} ifelse}forall Metrics/Metrics currentdict end def[2 index currentdict end definefont 3 -1 roll makefont/setfont cvx]cvx def}def/ObliqueSlant{ dup sin S cos div neg}B/SlantFont{4 index mul add}def/ExtendFont{3 -1 roll mul exch}def/ReEncodeFont{CharStrings rcheck{/Encoding false def dup[exch{dup CharStrings exch known not{pop/.notdef/Encoding true def} if}forall Encoding{]exch pop}{cleartomark}ifelse}if/Encoding exch def} def end %%EndProcSet %%BeginProcSet: special.pro %! TeXDict begin/SDict 200 dict N SDict begin/@SpecialDefaults{/hs 612 N /vs 792 N/ho 0 N/vo 0 N/hsc 1 N/vsc 1 N/ang 0 N/CLIP 0 N/rwiSeen false N /rhiSeen false N/letter{}N/note{}N/a4{}N/legal{}N}B/@scaleunit 100 N /@hscale{@scaleunit div/hsc X}B/@vscale{@scaleunit div/vsc X}B/@hsize{ /hs X/CLIP 1 N}B/@vsize{/vs X/CLIP 1 N}B/@clip{/CLIP 2 N}B/@hoffset{/ho X}B/@voffset{/vo X}B/@angle{/ang X}B/@rwi{10 div/rwi X/rwiSeen true N}B /@rhi{10 div/rhi X/rhiSeen true N}B/@llx{/llx X}B/@lly{/lly X}B/@urx{ /urx X}B/@ury{/ury X}B/magscale true def end/@MacSetUp{userdict/md known {userdict/md get type/dicttype eq{userdict begin md length 10 add md maxlength ge{/md md dup length 20 add dict copy def}if end md begin /letter{}N/note{}N/legal{}N/od{txpose 1 0 mtx defaultmatrix dtransform S atan/pa X newpath clippath mark{transform{itransform moveto}}{transform{ itransform lineto}}{6 -2 roll transform 6 -2 roll transform 6 -2 roll transform{itransform 6 2 roll itransform 6 2 roll itransform 6 2 roll curveto}}{{closepath}}pathforall newpath counttomark array astore/gc xdf pop ct 39 0 put 10 fz 0 fs 2 F/|______Courier fnt invertflag{PaintBlack} if}N/txpose{pxs pys scale ppr aload pop por{noflips{pop S neg S TR pop 1 -1 scale}if xflip yflip and{pop S neg S TR 180 rotate 1 -1 scale ppr 3 get ppr 1 get neg sub neg ppr 2 get ppr 0 get neg sub neg TR}if xflip yflip not and{pop S neg S TR pop 180 rotate ppr 3 get ppr 1 get neg sub neg 0 TR}if yflip xflip not and{ppr 1 get neg ppr 0 get neg TR}if}{ noflips{TR pop pop 270 rotate 1 -1 scale}if xflip yflip and{TR pop pop 90 rotate 1 -1 scale ppr 3 get ppr 1 get neg sub neg ppr 2 get ppr 0 get neg sub neg TR}if xflip yflip not and{TR pop pop 90 rotate ppr 3 get ppr 1 get neg sub neg 0 TR}if yflip xflip not and{TR pop pop 270 rotate ppr 2 get ppr 0 get neg sub neg 0 S TR}if}ifelse scaleby96{ppr aload pop 4 -1 roll add 2 div 3 1 roll add 2 div 2 copy TR .96 dup scale neg S neg S TR}if}N/cp{pop pop showpage pm restore}N end}if}if}N/normalscale{ Resolution 72 div VResolution 72 div neg scale magscale{DVImag dup scale }if 0 setgray}N/psfts{S 65781.76 div N}N/startTexFig{/psf$SavedState save N userdict maxlength dict begin/magscale true def normalscale currentpoint TR/psf$ury psfts/psf$urx psfts/psf$lly psfts/psf$llx psfts /psf$y psfts/psf$x psfts currentpoint/psf$cy X/psf$cx X/psf$sx psf$x psf$urx psf$llx sub div N/psf$sy psf$y psf$ury psf$lly sub div N psf$sx psf$sy scale psf$cx psf$sx div psf$llx sub psf$cy psf$sy div psf$ury sub TR/showpage{}N/erasepage{}N/copypage{}N/p 3 def @MacSetUp}N/doclip{ psf$llx psf$lly psf$urx psf$ury currentpoint 6 2 roll newpath 4 copy 4 2 roll moveto 6 -1 roll S lineto S lineto S lineto closepath clip newpath moveto}N/endTexFig{end psf$SavedState restore}N/@beginspecial{SDict begin/SpecialSave save N gsave normalscale currentpoint TR @SpecialDefaults count/ocount X/dcount countdictstack N}N/@setspecial{ CLIP 1 eq{newpath 0 0 moveto hs 0 rlineto 0 vs rlineto hs neg 0 rlineto closepath clip}if ho vo TR hsc vsc scale ang rotate rwiSeen{rwi urx llx sub div rhiSeen{rhi ury lly sub div}{dup}ifelse scale llx neg lly neg TR }{rhiSeen{rhi ury lly sub div dup scale llx neg lly neg TR}if}ifelse CLIP 2 eq{newpath llx lly moveto urx lly lineto urx ury lineto llx ury lineto closepath clip}if/showpage{}N/erasepage{}N/copypage{}N newpath}N /@endspecial{count ocount sub{pop}repeat countdictstack dcount sub{end} repeat grestore SpecialSave restore end}N/@defspecial{SDict begin}N /@fedspecial{end}B/li{lineto}B/rl{rlineto}B/rc{rcurveto}B/np{/SaveX currentpoint/SaveY X N 1 setlinecap newpath}N/st{stroke SaveX SaveY moveto}N/fil{fill SaveX SaveY moveto}N/ellipse{/endangle X/startangle X /yrad X/xrad X/savematrix matrix currentmatrix N TR xrad yrad scale 0 0 1 startangle endangle arc savematrix setmatrix}N end %%EndProcSet TeXDict begin 39158280 55380996 1200 600 600 (unique.dvi) @start %DVIPSBitmapFont: Fa cmmi6 7.2 4 /Fa 4 108 df<14FCEB07FF90381F07C090383E03E013789038F001F01201EA03E0D807 C013F8A2120F13801403001F14F01300A214074814E0A2003EEB0FC01580007F131F006F EB3F00147E386780FC3863C1F038E1FFC0D8E07FC7FC48C8FCA37EA27EB512E06C13F87E 1207C712181D277A9A26>37 D<123812FEA212FFA3123B1203A312071206A2120E121C12 181238127012600813788617>59 D105 D<133EEA07FEA3EA007E137CA213FCA25BA21201A25BA20003EB01F0EC07F89038E01E1C EC383C0007EB707CECE0FCEBC1C0EBC380390FC7007001DE130013B813F0EA1FFEEBFFC0 EB07E06D7E486C7E01001304003E140CA2007E141C1518007CEBF038153000FCEBF870EC 78E048EB3FC00070EB0F001E2B7BA928>107 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fb rsfs5 6 1 /Fb 1 74 df73 D E %EndDVIPSBitmapFont /Fc 175[49 10[53 69[{TeXBase1Encoding ReEncodeFont}2 79.7011 /Times-Bold rf %DVIPSBitmapFont: Fd rsfs10 12 7 /Fd 7 90 df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ndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fe rsfs7 8.4 2 /Fe 2 74 df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ndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Ff cmsy8 9.6 1 /Ff 1 1 df<007FB812C0B912E0A26C17C03304799542>0 D E %EndDVIPSBitmapFont /Fg 200[30 30 30 30 30 30 30 49[{TeXBase1Encoding ReEncodeFont}7 59.7758 /Times-Roman rf /Fh 165[33 90[{TeXBase1Encoding ReEncodeFont}1 49.8132 /Times-Bold rf %DVIPSBitmapFont: Fi cmsy5 6 8 /Fi 8 113 df0 D<13301378A30060131800F8137C38FC30FCEA FF33381FFFE0000713803800FC003807FF80001F13E038FF33FCEAFC3038F8787C006013 1800001300A313301615799625>3 D<0107B512F8133F5BD801FCC8FCEA03E0485A48C9 FC121E121C123C123812781270A212F05AA77E1270A212781238123C121C121E7EEA07C0 EA03F0EA01FED8007FB512F8131F13032525789E36>26 D<017FEC01FC2603FFE090380F FF804801F890381FC7C0260F87FE90387C00E0261C00FF01F013304890263F81E0131848 90261FC380130C0060D90FE7C7FC00E0D907FE14064813036E5A6E7E157F4B7E70130E00 60902601CFE0130C91260387F0131C6C90260F03F813386C90261E01FE1370000E903A7C 00FFC3E02607C7F090383FFFC06CB448010F1380C66CC73801FC0037177A9544>49 D<903807FFFC133F5BD801FCC7FCEA03E0485A48C8FC121E121C123C123812781270A212 F05AA2B612FCA300E0C8FCA27E1270A212781238123C121C121E7EEA07C0EA03F0EA01FC 39007FFFFC131F13071E25789E2F>I102 DI112 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fj cmmi5 6 14 /Fj 14 121 df11 D<13FCD803FF130648EB800C4813C0 481418383C01E0397000F0300060137048EB3060EC18C0C7FCEC1980141D140DEC0F00A2 140EA2140CA3141CA214181438A45CA31460A21F217C9525>13 D<390F803F80391FC0FF C03931E3C1F03861F70001FE13F8EAC1FC5B5B3903E001F0A43907C003E0A4390F8007C0 A4391F000F80A2120EC7FCEC1F00A4143EA3143C14181D217B9525>17 D34 D<127812FCA212FEA2127E1206A3120CA2121C12181230126012400710788517>59 D<90B57EA2D907C0C7FC130FA25CA2131FA291C8FCA25BA2133EA2137EA2137CA213FCA2 491460A2000115E016C0491301ED03801203ED0700495B153F0007EB01FEB6FC5D23227A A130>76 D<001FB71280A29039000F800F003C011F130700381503003014000070160000 605B12E048133EA2147EC791C7FC147CA214FCA25CA21301A25CA21303A25CA21307A25C A2130F0007B57EA229227BA129>84 D<14F0EB01F8EB0398EB070C130FEB0E08EB1E1813 1C133CA2EB7830A2EBF860A2EBF0C01201EBF180EBF300EA03E6A213EC13F85B485A5BA3 485A121F123F126300C3130800031318EBC070000113E03800FF80EB7F0016257DA31E> 96 D<1318133C137CA213381300A7EA07C0EA0FE0EA38F01230EA60F8EAC0F012C1A2EA 03E0A3EA07C0A2EA0F8013821383EA1F06A2EA1E0CA21338EA0FF0EA03C010237BA11B> 105 D<137CEA0FFC5B1200A212015BA312035BA30007EB0F809038C03FC01470EBC1C138 0FC383EB8607138C9038B80380D81FE0C7FC13FCEBFF80EB1FC0383F03E0003E7F010113 401560397E03E0C0127CECE180130100FCEBE30038F800FE0070133C1B247BA226>107 D<3B0F803F803F803B1FC0FFC0FFE03B31E3C1F1C1F03A61F700F30001FE01FE7FD8C1FC 5B495B5B3B03E001F001F0A34C5A3907C003E0A2933807C08018C0270F8007C0EBC180EE 0F81EF830017873B1F000F80078EEE03FC000E9039070001F032177B953D>109 D<380F807F391FC1FFC03931E383E03861F60101FC7FEAC1F813F0A23903E003E0A34A5A EA07C0A2EC0F811680D80F80EB8300EC1F031506150E48486C5AEC07F8000EEB03E02117 7B952C>I<1338137813F8A4485AA4485AB512C0A23803E000485AA4485AA448C7FCA214 8014C0383E0180EB0300A21306EA1E1CEA0FF8EA03E012217B9F1C>116 D<3801F00F3907FC3FC0390E1E70E038180FC0003013C114831260EC81C0C648C7FCA413 3EA2154000301460D8787C13C012F8EC018039F0FC030038619E0E387F0FFC381E03F01B 177B9527>120 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fk cmr5 6 8 /Fk 8 77 df<141CB3B81280A3C7001CC8FCB329297CA033>43 D48 D<13381378EA03F812FF12FC1200B3A7487E387FFFF8A215217AA022>III<1438147814F8A2130113031307130E130C13181338137013E013C0EA018012 03EA0700120E120C5A12385A5AB612C0A2C7EAF800A6497E90383FFFC0A21A227DA122> I61 D76 D E %EndDVIPSBitmapFont /Fl 165[47 90[{TeXBase1Encoding ReEncodeFont}1 69.7385 /Times-Bold rf %DVIPSBitmapFont: Fm cmsy7 8.4 18 /Fm 18 111 df<007FB712FCB812FEA26C16FC2F0479923E>0 D<123C127E12FFA4127E 123C0808789418>I<130FA28091C7FCA3007014E000F8EB01F000FE130700FF130F397F 8F1FE0391FE67F803907F6FE003800FFF0EB3FC0A2EBFFF03807F6FE391FE67F80397F8F 1FE039FF0F0FF000FE130700F813010070EB00E000001400A38091C7FCA21C1E7A9F29> 3 D<15E081B3A5007FB812C0B912E0A26C17C0C800F0C8FCB3A2007FB812C0B912E0A26C 17C033347BB03E>6 D<170C173E17FEEE03FCEE0FF8EE3FE0EEFF80923803FE00ED0FF8 ED3FE0EDFF80DA03FEC7FCEC0FF8EC3FE0ECFF80D903FEC8FCEB0FF8EB3FE0EBFF80D803 FEC9FCEA0FF8EA3FE0EA7F8000FECAFCA2EA7F80EA3FE0EA0FF8EA03FEC66C7EEB3FE0EB 0FF8EB03FE903800FF80EC3FE0EC0FF8EC03FE913800FF80ED3FE0ED0FF8ED03FE923800 FF80EE3FE0EE0FF8EE03FCEE00FE173E170C1700AC007FB712FCB812FEA26C16FC2F4079 AF3E>20 D<126012F812FEEA7F80EA3FE0EA0FF8EA03FEC66C7EEB3FE0EB0FF8EB03FE90 3800FF80EC3FE0EC0FF8EC03FE913800FF80ED3FE0ED0FF8ED03FE923800FF80EE3FE0EE 0FF8EE03FCEE00FEA2EE03FCEE0FF8EE3FE0EEFF80923803FE00ED0FF8ED3FE0EDFF80DA 03FEC7FCEC0FF8EC3FE0ECFF80D903FEC8FCEB0FF8EB3FE0EBFF80D803FEC9FCEA0FF8EA 3FE0EA7F8000FECAFC12F81260CBFCAC007FB712FCB812FEA26C16FC2F4079AF3E>I<13 1EEB3F80137FA313FF1400A25A5BA25B12035BA212075BA25B120F5BA2121F5BA290C7FC 5A123EA2127E127CA2127812F8A2127011247DA617>48 DI<91383FFFFC49B512FE1307011F 14FCD93FE0C7FC01FFC8FCEA01FCEA03F0485A485A5B48C9FC5A123E123C127CA2127812 F8A25AA2B712FC16FEA216FC00F0C9FCA27EA21278127CA2123C123E123F7E6C7E7F6C7E 6C7EEA01FC6CB4FCEB3FE06DB512FC010714FE1301D9003F13FC273079A836>I<02E0EB 1FE00103903801FFF890260FC00713FC013F011F13FE01FF137F489138FC07FF489038C3 F00190399FC7C00039001FCF8002DFC7127F02BE147E14FC177C494814F84AEB01F0EE07 E04AEB1F804AEB7F00ED03FC90397F801FF015FF028313FE4AEBFF804A14C001FE15E0DA 000313F09238007FF849141FEE0FFC00011507491403A2160112035BA217F8485A17F016 03484815E0EE07C0018FEC0F80261FBFC0EB3F0090397FF803FC48B65AD83E7F14E0486C 1480D8780F01FCC7FCD8E001138030327DB035>66 D71 DI<02E0EC0FC00103ED7FE0010F913801FFF0013F140701FFEC1FC34849EB7F01D803 EFD901FC13E0018FD903F013C0D8001FD90FC0C7FC4BC8FC157E15F8ECC1F0EC87C0EC8F 80029FC9FCEB3FBE14FC5CA3497E137EA2147CEBFE7E13FC147F80D801F87F141F813803 F00F811407D807E07F6E7EA248486C6C14106E6C147818F84848017FEB01F0ED3F8090C7 9038C003E04891391FE007C092390FF83F80007E913907FFFE00007C6E5B00786E13E000 E06E6CC7FC35327DB03D>75 D78 D83 D<126012F0B3B3B3AD1260044576B318>106 D<0060136000F013F0B3B3B3AE00601360144676B329>I<126012F07EA21278127CA27E A2121E121FA26C7EA212077FA26C7EA212017FA26C7EA21378137CA27FA2131E131FA26D 7EA2130780A26D7EA2130180A26D7EA21478147CA280A2141E141FA2EC0F80A2140715C0 A2EC03E0A2140115F0A2EC00F8A21578157CA2153C15181E457BB329>110 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fn cmmi7 8.4 44 /Fn 44 123 df<14FF010713C090381F81F090383E00FC01FC90387E01E0D801F0133E00 03023F13C0485A4848EB1F8348481580168748C7EBC70016CF4815CE007EEC0FDE16DC16 FC00FE5D485DA25E5EA2127C151F007E143F003E9138FFC1C06C903801E7E13A0F800F87 E33B07C07E03E7803B01FFF801FF003A007F80007C2B207C9E34>11 DIII17 D<130E013F1470ED01F8A2491303A2017E5CA201FE1307A2495CA20001140FA2495CA200 03141FA2495CA2000791383F83C0A249EC0380A2000FEC7F0703FF13009038F001FE0203 130E391FF807BF9039FC1F1F1C9039BFFC0FF890398FF003E0D83F80C9FCA290CAFCA25A A2127EA212FEA25AA312702A2E7D9E30>22 D<01FC1470003FEC01F8485AA20003140316 F05B1507000715E0150F4914C0151F000F1580ED3F00495B157E001F5C4A5A49485A4A5A 003F495A4AC7FCEB007E5C387F01F0EB07C0D87E1FC8FC137CEAFFF0138000FCC9FC251F 7C9E28>I<141CA2143C1438A2EC1FFCECFFFE903803FC0E90380FEFFE90381F83F8017F C7FC13FE5B1201485A5BA312075B7F1203A27F0001EBFF806CB512C0EB3F01EB7FFFD801 E11300D803C0C7FC485A48C8FC121EA25A5AA312F8A37EA2B4FCEA7FC013F86CB4FC6C13 C06C13F8000313FFC614C0011F13E0010313F0EB007F140F14031401A215E090381C03C0 EB0F07903803FF00EB00FC1F3F7EAF24>I<017FB6FC48B712805A120F481600902601C0 38C7FC003C14781278D8F003137000E01380EA4007000014F0A2EB0F00A35B131EEB3E01 81137E137C13FC81EBF800120181120349137E157CD801C01338291F7D9D2F>I<017FB5 12F048B612F85A120F4815F0D90078C7FC123C5A485B5A1240EA0001A25CA21303A3495A A3130FA25C131FA3133FA291C8FC131E251F7D9D25>28 D<17E0D801E0EC03F012034915 F812074848140190C8FC481500121E001C16F0003C1670003813074A6C13F00078011F14 E01270A21601030013C000F0491303A2023EEB0780A26C017EEB0F0002FF5BD87C01143E D87E07EBC0FE3A7FFFEFFFFC6C01CF5B02875B6C01035B260FFC0113802703F0007EC7FC 2D207E9E32>33 D<903801FF80010F13E0013F13F890B512FE3803FC00D807E0133CD80F 80130090C8FC120E121EA2120E380F3FF06CB47E3803F878380FFFF8381E0FC048C8FC5A 1270A212F05AA26C147000781460007C14E0003FEB07C06CB512806CEBFE00000313F838 007FC01F207D9E26>I37 D39 D<123C127EB4FCA21380A2127F123D1201A312031300A25A1206120E120C121C5A5A1260 0916788718>59 D<170C173E17FEEE03FCEE0FF8EE3FE0EEFF80923803FE00ED0FF8ED3F E0EDFF80DA03FEC7FCEC0FF8EC3FE0ECFF80D903FEC8FCEB0FF8EB3FE0EBFF80D803FEC9 FCEA0FF8EA3FE0EA7F8000FECAFCA2EA7F80EA3FE0EA0FF8EA03FEC66C7EEB3FE0EB0FF8 EB03FE903800FF80EC3FE0EC0FF8EC03FE913800FF80ED3FE0ED0FF8ED03FE923800FF80 EE3FE0EE0FF8EE03FCEE00FE173E170C2F3079A83E>I<1518153C157CA2157815F8A2EC 01F0A215E01403A2EC07C0A21580140FA2EC1F00A2141E143EA25CA2147814F8A2495AA2 5C1303A2495AA25C130FA249C7FCA2131E133EA25BA2137813F8A2485AA25B1203A2485A A25B120FA248C8FCA2121E123EA25AA2127812F8A25A12601E457BB329>I<160F5EA25E A25E5E835D5D16BFED073F150F150E031C7FA2ED381F1578157015E0140115C0DA03807F A2913807000F140EA25C143C0238805C02F0130791B6FC5BA2903903800007130791C77F 130E011E1403131C5BA25B13F0000182D807F81407B591B512F0A334327CB13C>65 D<010FB712FC5BA2903A003F80000FEF01F8027F1400187892C8FCA25CA25C1870130116 0E5CA20103021E1300161C4A133CA2010714FC91B55AA390380FF0016F5A4A1370A2011F 14F05E5CA2013F91C8FCA25CA2137FA291CAFCA25BA25B1201B512FEA336307CAF33>70 D<011FB51280A39039003FC0005D147FA292C7FCA25CA25CA21301A25CA21303A25CA213 07A25CA2130FA25CA2131FA25CA2133FA25CA2137FA291C8FCA25BA25B1201B512FCA321 307CAF23>73 D<010FB56C90B5FC495DA29026003FC0C7EA3FE04B1500027F157C6092C7 EA01E0EF07C04A4AC7FC173E4A5C17F00101EC03E0EE07804A011FC8FC163E010314784B 5AECF803150F0107497E157F9138F0FBFCECF1E390390FF7C1FEECFF814AC67E5CD91FF0 6D7E5C4A6D7EA2013F6E7EA24A6D7EA2017F6E7EA291C76C7EA2496E7EA2496E7E00014B 7FB500FC011F13FCA24A5D40307CAF43>75 D<010FB512E05B5E9026003FC0C7FC5D147F A292C8FCA25CA25CA21301A25CA21303A25CA21307A25CA2130FA25CA2011F151817385C 1778013F1570A24A14F017E0017F1401160391C713C0160749EC0F80163F49147F000191 3807FF00B8FCA25E2D307CAF37>I<90260FFFC092381FFFC0497F61D9003F93387FE000 62027F16FFDA7BF0913801DF801473F0039F02F3ED073F97C7FC02E3150E181C902601E1 F85DF0387E02C11570A20103EEE0FE4D485AEC80FCEF03800107ED0701610200140E171C 491603037E01385B010E1570A2011EEDE007DC01C05B131C92383F0380013C160FDC0700 5B0138140EA201784A131FDB1FB85C137016F001F04A133F96C8FC00015DD807F84A5BB5 D8C00F90383FFFFE1600DA800E5D4A307BAF4C>I<010FB67E4915F017FC903A003F8001 FF9338007F80027FEC1FC0EF0FE092C7FC18F05CA25CA21301EF1FE05CEF3FC001031680 EF7F004A14FE4C5A0107EC07F0EE3FC091B500FEC7FC16F890390FF000FE163F4A6D7E83 011F140F835CA2013F141FA25C5F017F143FA291C7FC180C49161E181C5B00011738B500 FC90381FE07893380FF0F04A903803FFC0CAEA7F0037317CAF3C>82 D<0007B812F05AA2903BF000FE000FE0D81F801503EB0001001E16015D4817C014031238 00785C12700207140300F01780485CA2C7000F91C7FCA25DA2141FA25DA2143FA25DA214 7FA292C9FCA25CA25CA21301A25CA21303A25C497E001FB512FEA25D34307DAF2F>84 D86 DI96 D<137EEA1FFE123F5B1201A35BA21203A25BA21207A25BA2380FE1FCEBE7FF9038DF0780 9038FC03E0381FF00101E013F013C0EC00F8485AA290C7FCA2481301A2127EA2140300FE 14F05AA2EC07E0A2EC0FC0A2007CEB1F80EC3F00003C133E003E5B6C485A380F83E03803 FF80D800FCC7FC1D317CAF23>98 D<147F903803FFE090380F80F090383E003801FC137C 484813FC3803F001EA07E0EA0FC0018013F8001FEB00F048C8FCA25A127EA312FE5AA412 7C150C151E6C143C15786CEB01F0390F8007E03907C03F803901FFFE0038007FE01F207C 9E24>I104 DI<153815FC15FE140115FC140015701500A9147E 903801FF80903803C7C090380703E0010E13F0131C133C1378EB700713F001E013E0A2EB 000FA215C0A2141FA21580A2143FA21500A25CA2147EA214FEA25CA21301A25CA2130300 385BEAFE075C495A48485A49C7FCEAF07CEA7FF0EA1FC01F3E80AE21>II109 D<3907C001FC3A0FF007FF803A1CF81E07C03A387C7803E0D97EF07F 38787FE00070EBC001148000F0EB0003EAE0FEA25B0000140700015D5BA2150F00035D5B 151FEE83C00007143F49EC0380A2ED7F07000F027E1300495C160EED3E1C001F5D49EB0F F00007C7EA03C02A207D9E31>I<013E133F9039FF80FFC03A01E7C3C1F09039C3E780F8 3A0383FE00784A137C260703F8133E5C1307120F000E5BA2D8000F147EA25CA2011F14FE 16FC5CA2013FEB01F8A291380003F0A249EB07E016C09138800F80ED1F009038FFC03E90 38FEE0F89038FC7FE0EC1F80000190C8FCA25BA21203A25BA21207A2387FFF80B5FC91C8 FC272D819E29>112 D<3907C007E0390FF01FF8391CF8781C393C7CE01E39387FC07E00 78EB80FE00701300A2D8F07E13FCD8E0FE1378491300A2120012015BA312035BA312075B A3120F5BA3121F5B0007C8FC1F207D9E25>114 DI<1307EB0F80131FA3133FA21400A25B A2137EA213FEB512FEA33801FC00A25BA21203A25BA21207A25BA2120FA25BA2001F131E A2EB801C143C14381470EB00F0EB01E0EB83C0380F87803807FE00EA01F8172D7DAB1E> I<01F81307D803FEEB1F80EA071F260E0F8013C0121CD8381F130FA200701407133F00F0 903800038012E05BD8007E1307160013FE5B5D0001140E5B151E151C153C484813381578 000114705DEBF8014A5A6C6C485AD97E0FC7FCEB1FFCEB07F022207D9E28>118 D<90391F801F8090397FE07FE03A01F0F8F0F03A03C07DE0783A07807FC1F8390F003F83 120E001E1403001C017F13F0003C90387E01E0003891C7FCA2C712FE5CA313015CA30103 14F0A2001C4913E0007E1401010714C000FE1403010F1480ED070039781EF81E90383C78 3C393FF03FF03907C00FC025207D9E2D>120 D<13F8D803FE14E0D8071FEB03F0380E0F 80001C1407D8381F14E0A21270013F130F00F0010013C012E05BD8007E131F168013FE5B 153F000115005BA25D0003147E5BA215FE00015C1401EBF8030000130790387C1FF8EB3F FDEB07E1EB00035DA2390F8007E0121F003F495A4A5A92C7FCEB003E003C5B381C01F838 0F07E03807FF80D801FCC8FC242E7D9E28>I<90380F800F90383FE00E90387FF01E9038 FFF83C48EBFC38ECFFF83903E03FF090388001E0EC03C09038000780C7EA0F00141E5C5C 495AEB03C0495A49C7FC131E5B49133C48481338EA03C04848137890C712F0380FFC0348 B512E0D83C1F13C0486C1380D87007130038F003FE38E000F020207C9E26>I E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fo cmex10 12 39 /Fo 39 114 df0 D<12E07E12787E7E7E7F6C7E6C7E7F12016C7E7F137C137E7FA26D7EA26D7EA26D7EA36D 7EA2801301A2801300A280A2147EA2147FA4801580A7EC1FC0B3A5EC3F80A715005CA414 7EA214FEA25CA213015CA213035CA2495AA3495AA2495AA249C7FCA2137E137C13FC5B48 5A12035B485A485A90C8FC121E5A5A5A5A1A777C832E>II I8 D<12F012FEEAFFC0EA3FF0EA07FCEA01FE6C6C7EEB3FC06D7E130F801307801303B3B080 1301A26D7E806E7E6E7E6E7EEC07F8EC01FC9138007F80ED1FE01503151FED7F80913801 FC00EC07F8EC1FE04A5A4A5A4AC7FC5C495AA213035CB3B013075C130F5C131F495AEBFF 804848C8FCEA07FCEA3FF0EAFFC048C9FC12F0237775833A>I<1518153C157CA215F8A2 15F01401A2EC03E0A2EC07C0A2EC0F80A215005CA2143EA25CA25CA2495AA25C1303A249 5AA2495AA249C7FCA2131E133EA25BA25BA2485AA2485AA25B1207A2485AA248C8FCA212 3EA2123C127CA25AA4127CA2123C123EA27EA26C7EA26C7EA212037FA26C7EA26C7EA213 7CA27FA2131E131FA26D7EA26D7EA26D7EA2130180A26D7EA2147CA280A280A2801580A2 EC07C0A2EC03E0A2EC01F0A2140015F8A2157CA2153C15181E7877832F>I<126012F07E A2127CA2123C123EA27EA26C7EA26C7EA212037FA26C7EA26C7EA2137CA27FA2131E131F A26D7EA26D7EA26D7EA2130180A26D7EA2147CA280A280A2801580A2EC07C0A2EC03E0A2 EC01F0A2140015F8A2157CA415F8A215F01401A2EC03E0A2EC07C0A2EC0F80A215005CA2 143EA25CA25CA2495AA25C1303A2495AA2495AA249C7FCA2131E133EA25BA25BA2485AA2 485AA25B1207A2485AA248C8FCA2123EA2123C127CA25AA25A12601E7879832F>I<12F0 B3B3B3AA0440728121>I<00F0EB03C0B3B3B3AA1A40728137>I<16F01501ED03E0ED07C0 ED0F80ED1F005D157E5D5D14014A5A4A5A4A5AA24A5A143F92C7FC147EA25C13015C1303 5C13075C130F5C131FA2495AA349C8FCA213FEA312015BA212035BA21207A25BA2120FA2 5BA2121FA45BA2123FA55B127FA990C9FC5AB3AA7E7FA9123F7FA5121FA27FA4120FA27F A21207A27FA21203A27F1201A27F1200A3137FA26D7EA36D7EA2130F8013078013038013 01801300147EA28081141F6E7EA26E7E6E7E6E7E140081157E8181ED0F80ED07C0ED03E0 ED01F0150024B26E833B>16 D<12F07E127C7E7E6C7E7F6C7E6C7E12017F6C7E137E7FA2 6D7E80130F6D7EA26D7E80130180130080147E147F8081A26E7EA36E7EA26E7EA3811403 A2811401A281A21400A281A281A21680A4153FA216C0A5151F16E0A9150F16F0B3AA16E0 151FA916C0153FA51680A2157FA41600A25DA25DA21401A25DA214035DA214075DA34A5A A24A5AA34A5AA292C7FC5C147E14FE5C13015C13035C495AA2495A131F5C49C8FCA2137E 5B485A5B1203485A485A5B48C9FC123E5A5A5A24B27C833B>I<171E173E177C17F8EE01 F0EE03E0EE07C0160FEE1F80EE3F00167E167C16FC4B5A4B5A15075E4B5A4B5A153F93C7 FC5D15FE5D14015D14034A5AA24A5AA24A5AA24A5AA24AC8FCA214FEA213015C13035C13 07A25C130F5C131FA25C133FA3495AA349C9FCA35A5BA312035BA31207A25BA2120FA35B A3121FA35BA3123FA55BA2127FAB485AB3B06C7EAB123FA27FA5121FA37FA3120FA37FA3 1207A27FA21203A37F1201A37F7EA36D7EA36D7EA3131F80A2130F80130780A213038013 01801300A2147FA26E7EA26E7EA26E7EA26E7EA26E7E140181140081157F8182151F6F7E 6F7E8215036F7E6F7E167C167E82EE1F80EE0FC01607EE03E0EE01F0EE00F8177C173E17 1E2FEE6B8349>I<12F07E127C7E7E6C7E6C7E7F6C7E6C7E6C7E137C137E7F6D7E80130F 6D7E6D7E801301806D7E147E147F80816E7EA26E7EA26E7EA26E7EA26E7EA26E7EA28181 82153F82A2151F82150F82A2150782A36F7EA36F7EA38281A31780167FA317C0A2163FA2 17E0A3161FA317F0A3160FA317F8A51607A217FCABEE03FEB3B0EE07FCAB17F8A2160FA5 17F0A3161FA317E0A3163FA317C0A2167FA21780A316FF1700A35D5EA34B5AA34B5AA35E 150FA25E151F5E153FA25E157F93C7FC5D5DA24A5AA24A5AA24A5AA24A5AA24A5AA24A5A 92C8FC5C147E14FE495A5C13035C495A495A131F5C49C9FC137E137C13FC485A485A485A 5B485A48CAFC123E5A5A5A2FEE7C8349>I<170F173F17FF1603EE0FFCEE1FF0EE7FE0EE FF804B13004B5A4B5A4B5A4B5A4B5A4B5A15FF5E5C93C7FC5C5D14075DA3140F5DB3B3B3 AE4A5AA3143F5DA24A5AA24A5AA24990C8FC495AA2495A495A495A495A495A49C9FC485A EA07FCEA0FF0EA3FC0B4CAFC12FCA2B4FCEA3FC0EA0FF0EA07FCEA01FE6C7EEB7FC06D7E 6D7E6D7E6D7E6D7EA26D7E6D7FA26E7EA26E7EA281141FA36E7EB3B3B3AE811407A38114 038180828082157F6F7E6F7E6F7E6F7E6F7E6F7E6F1380EE7FE0EE1FF0EE0FFCEE03FF16 00173F170F30EE73834B>26 D[51 298 104 131 79 32 D[<12F87E127E7E7F12 1F6C7E6C7E7F6C7E12016C7E7F137F7F806D7E6D7EA26D7E8013036D7EA26D7E80808114 3F81141F816E7EA26E7EA26E7EA26E7EA36E7EA26F7EA282153FA282151F82150FA28215 07A282150382A3150182A28183A3707EA4707EA483161FA483160FA383A31607A383A316 03A383A582A21880A882A218C0AD177F18E0B3B3A618C017FFAD1880A25EA81800A25EA5 5FA31607A35FA3160FA35FA3161F5FA4163F5FA44C5AA44C5AA394C7FC5DA25E1503A35E 15075EA2150F5EA2151F5E153F5EA2157F5EA24BC8FCA24A5AA34A5AA24A5AA24A5AA24A 5A5D143F5D147F92C9FC5C5C495AA2495A13075C495AA2495A495A91CAFC5B13FE5B485A 1203485A5B485A485A123F90CBFC127E5A5A>51 298 125 131 79 I<187C18FCEF01F8A2EF03F0EF07E0EF0FC0171F1880EF3F005F177E17FE4C5A5F16034C 5AA24C5A4C5AA24C5A167F94C7FC5E5E15015E15034B5AA24B5AA24B5AA24B5AA2157F5E 15FF93C8FCA24A5AA214035D14075DA2140F5D141FA25D143FA24A5AA34A5AA34990C9FC A35B5CA213075CA3130F5CA2131FA25CA2133FA35C137FA4495AA5485BA55A91CAFCA55A 5BA5120FA35BA4121FA55BA4123FA75BA4127FAF5BA212FFB3A836B3638257>48 D<12F87E127EA27E6C7E6C7E7F12076C7E7F12017F6C7E137E137F6D7EA26D7E6D7EA26D 7E801303801301801300806E7EA26E7EA26E7EA26E7EA2811407811403A26E7EA2818082 157FA282153F82A2151F82A26F7EA36F7EA36F7EA38281A28381A383167FA283A2163FA2 83A3161F83A4707EA5707EA58382A5188082A518C0A382A418E0A5177FA418F0A7173FA4 18F8AF171FA218FCB3A836B37D8257>I56 D58 D<913807FF80B3B3B04A1300A55D141FA35D143F 5DA2147F5D14FF5DA2495B5D5B4990C7FC5C130F5C495A495A495AA2495A485B4890C8FC EA07FC485A485AEA7FE0EAFF8090C9FC12FCB4FC7FEA7FE0EA1FF06C7E6C7E6CB4FC6C7F 6C7F6D7EA26D7E6D7E6D7E801307806D7F7F816D7FA281147F81143FA281141F81A3140F 81A56E1380B3B3B021B56F8059>60 D62 D64 DIII<160E161FA2163F163EA2167E167C16FC16F8A2150116F0150316E0A21507 16C0150F1680A2151F16005D153EA2157E157C15FC5DA214015D14035DA214075D140F5D A2141F92C7FC5C143E147E147CA214FC5C13015CA213035C13075CA2130F5C131F91C8FC A25B133E137E137CA213FC5B12015BA212035B12075BA2120F5B121F90C9FCA25A123E12 7E127CA212FC5A7E127CA2127E123E123F7EA27F120F7F1207A27F12037F1201A27F1200 7F137CA2137E133E133F7FA280130F801307A2801303801301A280130080147CA2147E14 3E143F8081140FA2811407811403A2811401811400A281157C157E153EA2153F81168015 0FA216C0150716E01503A216F0150116F81500A216FC167C167E163EA2163F161FA2160E 28B375833D>I<127012F8A27E127CA2127E123E123F7EA27F120F7F1207A27F12037F12 01A27F12007F137CA2137E133E133F7FA280130F801307A2801303801301A28013008014 7C147E143EA2143F8081140FA2811407811403A2811401811400A281157C157E153EA215 3F811680150FA216C0150716E01503A216F0150116F81500A216FC167C167E163EA2163F 161F163F163EA2167E167C16FC16F8A2150116F0150316E0A2150716C0150F1680A2151F 16005D153EA2157E157C15FC5DA214015D14035DA214075D140F5DA2141F92C7FC5C143E A2147E147C14FC5C13015CA213035C13075CA2130F5C131F91C8FCA25B133E137E137CA2 13FC5B12015BA212035B12075BA2120F5B121F90C9FCA25A123E127E127CA212FC5AA212 7028B377833D>I80 D<17FF040313C093380F81F093381E0078 043E137C93387C01FC9338F803FEA2150116F01503EF01FC9338E0007003071400A3150F A45E151FA7153FA74B5AA715FFA85C93C8FCA95C5DA85DA74A5AA75DA75D140FA45DA300 1C5C007F131FEAFF8092C9FC5C143EA26C485A007C5B003C5B381F03E03807FF80D801FE CAFC376F7B7F2F>82 D88 DI<1B3FF3FFC0973803E0F0973807C03897380F801C081F137E97383F01FEF303 FF1A7E1AFE1AFC1901A2963903F801FEF300781C004F5AA2190FA262191FA34F5AA44F5A A319FF97C8FCA360A261A21803A3611807A461180FA44E5AA4183FA261A2187FA361A218 FFA44D5BA55F96C9FCA35FA360A2170FA460171FA460173FA54D5AA54D5AA45E60A55E60 A44C90CAFCA54C5AA55F161FA45F163FA45FA2167FA35FA316FF5FA54B5BA494CBFCA25D A35EA21507A25EA44B5AA45E151FA45E153FA35EA2157FA25EA315FF93CCFCA34A5AA44A 5AA35D14075DA2140F5D121E397F801FC0EAFFC05D143F92CDFC5C147E6C485AEA7E0038 3801F86C485A380F07C03803FF80D800FCCEFC58DD7B7F37>I<003EF407C0007FF40FE0 486CF31FF0B3B3B3B3B3A56D1B3F007F1DE0A46D1B7F003F1DC0A26D1BFF001F1D806D62 A26C6C501300A26C6C505A6D1A0F6C6D4F5AA26C6D4F5A6E197F6C6D4F5A6D6C4E5B6D6C 4E5B6E606D6C4E5B6D01C0053F90C7FC6D6D4D5A6D01F84C485A6D01FE04075B6D6D6C03 1F5B6E01E0037F5B021F01FE0207B512806ED9FFF090B6C8FC020391B712FC6E606E6C17 E0031F178003074CC9FC030116F8DB003F15C0040302FCCAFCDC001F1380648B7B7F6F> I<153015FC4A7E913807FF80021F13E0027F13F89138FFCFFC0103EB03FF90260FFC0013 C0D93FF0EB3FF0D97FC0EB0FF84848C7EA03FED807F89138007F80D81FE0ED1FE0D87F80 ED07F800FEC9EA01FC00F8EE007C00E0171C361280C937>98 D101 D<1DC0F401E01C03A2F407C0A2F40F80A2F41F00A21C3EA264A264A2641B01A2515AA251 5AA2515AA251C7FCA21B3EA263A263A2505AA2505AA2505AA2505AA250C8FCA21A3EA21A 3C1A7CA262A24F5AA24F5AA24F5AA24F5AA24FC9FCA20104173E130E011E5F137F495F5A 486D4B5A120F261C7FC04B5A123826F03FE04B5A124000004D5A6D7E96CAFC6D6C5DA26D 6C153EA2606D7E606D7E4D5A6D7F4D5AA26E6C495AA26E6C495AA26E6C49CBFCA26E6C13 3EA25F6E7E5F6E7E4C5AEC01FF4C5AA26EEB83C01687ED7FC7EECF80ED3FEF04FFCCFCA2 6F5AA26F5AA26F5AA25E15035E6F5A5B78758364>112 D<1DC0F401E0A21C03A21DC01C 07A21D801C0FA21D0064A21C1E1C3EA21C3C1C7CA21C781CF8A2641B01A264A21B03A264 1B07A2641B0FA299C7FC63A21B1E1B3EA21B3C1B7CA21B781BF8A2631A01A263A21A03A2 631A07A2631A0FA298C8FC62A21A1E1A3EA21A3C1A7CA21A781AF8A2621901A262A21903 A2621907A262190FA297C9FC61A2191E0104173E130E011E173C197C133E017F17784917 F85A486D5E48170112064860486C7E003817031270486C6C5E0040170712006D6C5E180F A296CAFC6D6C5DA2181E6D6C153EA2183C187C6D7E187818F86D7E601701A26D6D5CA217 036E7E601707A26E6C5C170FA26E6C91CBFC5FA26E6C131E173EA2173C6E6C137CA21778 6E6C13F8A25F1601EC01FF5FA26E1383A25F1687ED7FC75F16CFED3FEF94CCFC16FFA26F 5AA36F5AA36F5AA35E1503A25E15015E5BB3758364>I E %EndDVIPSBitmapFont /Fp 87[33 17[50 27[39 44 44 66 44 50 28 39 39 50 50 50 50 72 28 44 28 28 50 50 28 44 50 44 50 50 3[39 1[39 55 2[83 61 72 55 50 61 1[61 72 66 83 55 2[33 72 72 61 61 72 66 61 61 6[33 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 1[25 33 25 2[33 33 33 35[50 50 2[{TeXBase1Encoding ReEncodeFont}70 99.6264 /Times-Italic rf /Fq 141[23 1[35 2[54 7[31 17[39 9[23 50 16[35 35 35 35 35 35 35 49[{TeXBase1Encoding ReEncodeFont}14 69.7385 /Times-Roman rf %DVIPSBitmapFont: Fr cmr7 8.4 19 /Fr 19 117 df<14C01301EB0780EB0F00131E5B5BA25B485AA2485A12075B120FA248C7 FCA3123EA3127E127CA412FCA35AAA7EA3127CA4127E123EA37EA36C7EA212077F12036C 7EA26C7E1378A27F7F7FEB0780EB01C01300124678B31F>40 D<12C07E12787E7E7E6C7E A26C7E6C7EA26C7E7F1378137CA27FA37FA31480130FA414C0A31307AA130FA31480A413 1F1400A3133EA35BA2137813F85B485AA2485A485AA248C7FC121E5A5A12E05A12467BB3 1F>I<156015F0B3A5007FB812C0B912E0A26C17C0C800F0C8FCB3A5156033347BAA3D> 43 D48 D<13075B133F13FFB5FCA213 3F1200B3B1497E007FB512C0A31A2E78AD28>IIII<14FF010713C0011F13F090383F80F89038FC0078484813 FC3803F001EA07E013C0120F391F8000F8150048C8FCA25AA2127EEB07F838FE1FFE9038 380F8090387007E09038E003F039FFC001F890388000FCA290C712FE157E157F5AA3127E A3127FA26C147EA26C14FE6D13FC390FC001F80007EB03F09038E007E03901F80FC06CB5 128090383FFE00EB0FF0202F7CAD28>54 D56 D<007FB812C0B912E0A26C17C0CCFCAC007FB812C0B912E0A26C17C0 33147B9A3D>61 D72 D76 D91 D93 D102 D104 DI<1370A513 F0A31201A212031207120F381FFFFEB5FCA23803F000AE1407A83801F80EA23800FC1EEB 7E3CEB3FF8EB07E0182C7EAA1F>116 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fs cmsy10 12 35 /Fs 35 108 df<007FB912E0BA12F0A26C18E03C04789A4D>0 D<121FEA3F80EA7FC0EA FFE0A5EA7FC0EA3F80EA1F000B0B789E1C>I<0060160600F8160F6C161F007E163F6C16 7E6C6C15FC6C6CEC01F86C6CEC03F06C6CEC07E06C6CEC0FC06C6CEC1F80017EEC3F006D 147E6D6C5B6D6C485A6D6C485A6D6C485A6D6C485A6D6C485ADA7E3FC7FCEC3F7E6E5A6E 5A6E5AA24A7E4A7EEC3F7EEC7E3F4A6C7E49486C7E49486C7E49486C7E49486C7E49486C 7E49C7127E017E8049EC1F804848EC0FC04848EC07E04848EC03F04848EC01F84848EC00 FC48C9127E007E163F48161F48160F00601606303072B04D>I<16C04B7EB3AC007FBA12 80BB12C0A26C1980C8D801E0C9FCB3A9007FBA1280BB12C0A26C198042427BC14D>6 D8 D<49B4FC010F13E0013F13F849 7F3901FF01FF3A03F8003F80D807E0EB0FC04848EB07E04848EB03F090C71201003EEC00 F8A248157CA20078153C00F8153EA248151EA56C153EA20078153C007C157CA26C15F8A2 6CEC01F06D13036C6CEB07E06C6CEB0FC0D803F8EB3F803A01FF01FF0039007FFFFC6D5B 010F13E0010190C7FC27277BAB32>14 D<007FBA1280BB12C0A26C1980CEFCB0007FBA12 80BB12C0A26C1980CEFCB0007FBA1280BB12C0A26C1980422C7BAE4D>17 D<19E0F003F0180FF03FE0F0FF80943803FE00EF0FF8EF3FE0EFFF80DC03FEC7FCEE0FF8 EE3FE0EEFF80DB03FEC8FCED1FF8ED7FE0913801FF80DA07FEC9FCEC1FF0EC7FC04948CA FCEB07FCEB1FF0EB7FC04848CBFCEA07FCEA1FF0EA7FC048CCFCA2EA7FC0EA1FF0EA07FC EA01FF38007FC0EB1FF0EB07FCEB01FF9038007FC0EC1FF0EC07FC913801FF809138007F E0ED1FF8ED07FE923800FF80EE3FE0EE0FF8EE03FE933800FF80EF3FE0EF0FF8EF03FE94 3800FF80F03FE0F00FF01803F000E01900B0007FB912E0BA12F0A26C18E03C4E78BE4D> 20 D<127012FCB4FCEA7FC0EA1FF0EA07FCEA01FF38007FC0EB1FF0EB07FCEB01FF9038 007FC0EC1FF0EC07FC913801FF809138007FE0ED1FF8ED07FE923800FF80EE3FE0EE0FF8 EE03FE933800FF80EF3FE0EF0FF8EF03FE943800FF80F03FE0F00FF0A2F03FE0F0FF8094 3803FE00EF0FF8EF3FE0EFFF80DC03FEC7FCEE0FF8EE3FE0EEFF80DB03FEC8FCED1FF8ED 7FE0913801FF80DA07FEC9FCEC1FF0EC7FC04948CAFCEB07FCEB1FF0EB7FC04848CBFCEA 07FCEA1FF0EA7FC048CCFC12FC1270CDFCB0007FB912E0BA12F0A26C18E03C4E78BE4D> I<037FB612E00207B712F0143F91B812E0010301C0C9FCD907FCCAFCEB0FE0EB3F8049CB FC13FC485A485A485A5B485A121F90CCFC123EA2123C127CA2127812F8A25AA87EA21278 127CA2123C123EA27E7F120F6C7E7F6C7E6C7E6C7E137E6D7EEB1FE0EB07FC6DB47E0100 90B712E0023F16F01407020016E03C3A78B54D>26 D<1AF0A3861A78A21A7C1A3CA21A3E 1A1E1A1F747EA2747E747E87747E747E1B7E87757EF30FE0F303F8007FBC12FEBE1280A2 6CF3FE00CEEA03F8F30FE0F31F8051C7FC1B7E63505A505A63505A505AA250C8FC1A1E1A 3E1A3CA21A7C1A78A21AF862A359347BB264>33 D<49B4EF3FC0010F01E0923803FFF801 3F01FC030F13FE4901FF92383FE01F48B66C91397E0007C02603F80301E0D901F8EB01E0 2807E0007FF049486D7E01806D6CD907C0147048C76C6C494880001EDA07FE49C87E001C 6E6C013E150C486E6D48150E71481506486E01E0160793387FF1F0006092263FF3E08193 381FFBC000E004FF1780486F4915017090C9FC82707F8482717E844D7E6C4B6D15030060 04EF1700933803E7FE0070922607C7FF5DDC0F837F003004816D140E00384BC6FC001803 3E6D6C5C001C4B6D6C143C6C4BD91FFC5C6C4A486D6C5C6DD907E06D6C13036C6C49486D 9038E00FE0D801F0013FC890B55A27007C03FE6F91C7FC90263FFFF8031F5B010F01E003 0313F8D901FECAEA7FC0592D7BAB64>49 D<92B6FC02071580143F91B7120001030180C8 FCD907FCC9FCEB1FE0EB3F80017ECAFC5B485A485A485A5B485A121F90CBFC123EA2123C 127CA2127812F8A25AA2B9FC1880A2180000F0CBFCA27EA21278127CA2123C123EA27E7F 120F6C7E7F6C7E6C7E6C7E137E6D7EEB1FE0EB07FC6DB47E010090B6FC023F1580140702 001500313A78B542>I<1706170F171FA2173EA2177CA217F8A2EE01F0A2EE03E0A2EE07 C0A2EE0F80A2EE1F00A2163EA25EA25EA24B5AA24B5AA24B5AA24B5AA24BC7FCA2153EA2 5DA25DA24A5AA24A5AA24A5AA24A5AA24AC8FCA2143EA25CA25CA2495AA2495AA2495AA2 495AA249C9FCA2133EA25BA25BA2485AA2485AA2485AA2485AA248CAFCA2123EA25AA25A A25A1260305C72C600>54 D<126012F0B012FC12FEA212FC12F0B0126007267BAB00>I< DA01C0EB01FE020791381FFF80021F91B512E091267F800314F0D901FF010F14F8010714 3F49DA7E0113FC49903981F8007F013CD983E0EB1FFE0120D987C0130F0100494813074B C7FC033E1403157E494915FC5D19F85DF007F04B15E04949EC0FC019804BEC1F00187E18 F892C7EA03F049ED1FC04AEC7F80DC03FEC7FC4AEB1FF893B5FC010F010314C04A4814F0 4B804B809126F000077F011F02007F173F4A020F138083013F6F13C04A807113E0A2187F 495A183FA349C9FC19C0A25B00011880187F491700120318FE495E00074C5AD9F0205DD9 F1F04A5A260FF7F84A5AD9EFFEEC1F8048B56C017EC7FC01DF9038F003FC92B512F0D83F 8F15C0010792C8FCD87E0114F82678007F13C000E0D90FFCC9FC3F487DC541>66 D I<031FB512C00203B7FC021F16E091B812F8010317FE010F717E90283FE07FC03F80D9FE 00020080D801F8041F7FD803E04A01077F48481601000F716C7E4848717E003F02FF151F 007F180F90C7707E00FE92C8FC488400F01A80008084C75AA24B81A414035DA21B00A24A 5AA24F5AA24A5A621903624A5A4F5AA24B4B5A023F5F191F4B5E027F4CC7FC197E92C912 7C4A5E4E5A4A4B5A01014C5AF01F804A033EC8FC01035E4A4A5AEF07E00107ED1FC04A02 FFC9FC010FEC07FC4AEBFFF091B612C0017F4ACAFC90B612F04815804802F8CBFC4891CC FC49447EC34D>I71 DI 75 D77 DII<031FB512F00203B77E02 1F16F091B812FC010317FF010F188090283FE07FC00F14C0D9FE00DA007F13E0D801F84A 010F13F0D803E016034848040013F8000F187F484801FF153F003FF01FFC007F180F90C7 FC00FE92C8FC48180712F01280C74817F85DA21AF0190F020317E05DF11FC01A80193F02 0717004B157E61614E5A4A484A5A4E5AF01F80063EC7FC4A4814FCEF07F0EF7FE09239C0 7FFF8091273FC1FFFEC8FC03C713F003CF138091267F9FFCC9FC16800380CAFC92CBFC5C A25C1301A25C1303A25C13075CA2130F5C131FA25C133F5C91CCFC137E137C136046497E C345>I83 D87 D<0060170C00F0171EB3B3A66C173EA20078173C007C177C00 7E17FC003E17F86CEE01F06D15036C6CED07E06C6CED0FC0D803F8ED3F80D801FEEDFF00 26007FC0EB07FCD93FFCEB7FF8010FB612E001031580D9007F01FCC7FC020713C0373D7B BA42>91 D<913807FFC0027F13FC0103B67E010F15E0903A3FFC007FF8D97FC0EB07FCD8 01FEC8B4FCD803F8ED3F80D807E0ED0FC04848ED07E04848ED03F090C91201003EEE00F8 007E17FC007C177C0078173C00F8173EA248171EB3B3A60060170C373D7BBA42>I102 D<12FEEAFFE0EA07F8EA00FEEB7F806D7E6D7E130F6D7EA26D7EB3AD6D7EA26D7E806E7E 6E7EEC0FE0EC03FC913800FFE0A2913803FC00EC0FE0EC3FC04A5A4AC7FC5C495AA2495A B3AD495AA2495A131F495A495A01FEC8FCEA07F8EAFFE048C9FC236479CA32>I<140C14 1E143EA2143C147CA214F8A214F01301A2EB03E0A214C01307A2EB0F80A214005BA2133E A2133C137CA2137813F8A2485AA25B1203A2485AA25B120FA248C7FCA2121E123EA25AA2 127812F8A41278127CA27EA2121E121FA26C7EA212077FA26C7EA212017FA26C7EA21378 137CA2133C133EA27FA27F1480A2EB07C0A2130314E0A2EB01F0A2130014F8A2147CA214 3C143EA2141E140C176476CA27>I<126012F07EA21278127CA27EA2121E121FA26C7EA2 12077FA26C7EA212017FA26C7EA21378137CA2133C133EA27FA27F1480A2EB07C0A21303 14E0A2EB01F0A2130014F8A2147CA2143C143EA4143C147CA214F8A214F01301A2EB03E0 A214C01307A2EB0F80A214005BA2133EA2133C137CA2137813F8A2485AA25B1203A2485A A25B120FA248C7FCA2121E123EA25AA2127812F8A25A126017647BCA27>I<126012F0B3 B3B3B3B3A81260046474CA1C>I<0070130700F01480B3B3B3B3B3A800701400196474CA 32>I E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Ft cmr10 12 31 /Ft 31 127 df<163CA2167EA216FFA24B7FA24B7FA24B6C7EA292380E3FF0A24B6C7EA2 4B6C7EA24B6C7EA29238F003FF15E002016D7F15C002036D7F5D02076E7E92C7FC4A6E7E 140E021E6E7E141C023C6E7E143802786E7E147002F06E7E5C01016F7F5C01036F7F5C01 07707E91C9FC49707E130E011E707E131C013C707E13380178707E137001F0707E5B0001 7113805B00037113C05B0007F07FE090CBFC48F03FF0120E001EF01FF8001FBAFC4819FC A24819FEA2BCFCA348477BC653>1 D5 D<0103B7FCA390C7D87FF8 C8FC6F5A6F5AA8EDFFF8021FEBFFC09139FF9FEFF8903A03F81FE0FED90FE0EC3F80D93F 80EC0FE0D9FF00EC07F848486F7E48486F7E48486F7E4848EE7F80001F18C049163F003F 18E0A2007F18F049161F00FF18F8A8007F18F06D163F003F18E0A2001F18C06D167F000F 18806C6CEEFF006C6C4B5A6C6C4B5A6C6C4B5AD93F80EC0FE0D90FE0EC3F80D903F802FE C7FC903A00FF9FEFF8021FB512C0020001F8C8FCED1FE0A84B7E4B7E0103B7FCA33D447B C348>8 D<91B712C0A39126001FFEC9FC6F5A6F5AA8B46CEF7FC001E0EE01FFD81FF093 3803FE006C6C4C5A0007606D160F000360A26D161F000160AC6C6C4C5AA5D97F804B5AA2 013F94C7FC02C05D011F5E02E01401010F5ED907F04A5AD903F84A5AD901FC4A5AD900FE 4A5A027F4A5ADA1FC701FEC8FC0207B512F8020114E09126001FFEC9FCED07F8A84B7E4B 7E91B712C0A342447BC34D>II22 D<1406140E141C143814F014E0 1301EB03C0EB0780EB0F005B131E133E5B137813F85B1201A2485AA2485AA2120F5BA212 1FA290C7FCA25AA3123E127EA65AB3A2127EA6123E123FA37EA27FA2120FA27F1207A26C 7EA26C7EA212007F1378137C7F131E131F7FEB0780EB03C0EB01E0130014F01438141C14 0E1406176476CA27>40 D<12C07E12707E121E120E120F6C7E6C7E6C7E7F12007F137C13 3C133E131E131FA2EB0F80A2EB07C0A214E01303A214F0A21301A214F8A3130014FCA614 7EB3A214FCA614F81301A314F0A21303A214E0A2130714C0A2EB0F80A2EB1F00A2131E13 3E133C137C5B5B12015B485A485A48C7FC120E121E12385A5A5A17647BCA27>I<16C04B 7EB3AC007FBA1280BB12C0A26C1980C8D801E0C9FCB3AC6F5A42427BB94D>43 D48 D<1438147814F81303130F137FB5 FC13F71387EA0007B3B3B0497E497E007FB61280A3214278C132>II<49B47E010F13F090383F01FC9038F8007F D801E0EB3FC048486D7E48488048C7120F6D8013E0486C806D1307A56C48130F6C485CC8 FCA25E151F5E4B5AA24B5A03FEC7FC4A5AEC03F0EC1FC090380FFF8015F090380001FCEC 007FED3FC06F7E6F7E6F7E82A26F7E82A2811780A3121FEA7FC0A2487EA317005D5B6C48 5C007EC7FC00784A5A6C5D6C140F6C4A5AD807C0495AD803F0EB7F802701FE01FFC7FC39 007FFFFC010F13F00101138029447CC132>II<00061560D807C0EB03E001FCEB3F C090B6128016005D5D5D15E01580D91FF8C7FC90C9FCAD14FF010713E090381F01F89038 38007E497F49148049EB1FC049EB0FE090C7FC0006EC07F0C8FC16F8A2ED03FCA316FEA5 123EEA7F8012FF7FA34914FCA248C71207007015F8A20078EC0FF01238003C15E06C141F ED3FC06CEC7F80D807C0EBFF003903E001FC3901FC07F839007FFFE0011F1380D903FCC7 FC27447BC132>II56 D<121FEA3F80EA7FC0EAFFE0A5EA7FC0EA3F80EA1F00C7FCB3A3121FEA3F 80EA7FC0EAFFE0A5EA7FC0EA3F80EA1F000B2B78AA1C>58 D<121FEA3F80EA7FC0EAFFE0 A5EA7FC0EA3F80EA1F00C7FCB3A3121EEA3F80EA7FC012FFA213E0A3127F123FEA1F6012 00A413E013C0A312011380120313005A1206120E5A1218123812300B3E78AA1C>I<007F BA1280BB12C0A26C1980CEFCB0007FBA1280BB12C0A26C198042187BA44D>61 D76 D91 D93 D<121FEA3F80EA7FC0EAFFE0A5EA7FC0EA3F80EA1F000B0B78C31C>95 D100 D<14FF010713E090381F81F890387E00FC49137F4848EB3F800003141F484814C04848EB 0FE0A2121F49EB07F0123FA2007F15F85BA200FF1403A390B6FCA20180C8FCA6127FA37F 123F1638121F6D1478000F15706C6C14F016E06C6C13016C6CEB03C0D8007EEB07806DEB 1F0090380FC07C903803FFF09038007F80252E7DAC2C>II105 D 110 D<130EA6131EA4133EA2137EA213FE120112031207001FB512F8B6FCA2C648C7FCB3 A4150EAA017E131E017F131CA26D133C90381F8038ECC070903807E0E0903801FFC09038 007F001F3E7EBC27>116 D<01F85BD803FEEB03803A07FF80070048EBE00E391F1FFC7C 393803FFF848C65B48EB3FE00040EB0F80210978C232>126 D E %EndDVIPSBitmapFont /Fu 134[40 40 58 40 40 22 31 27 40 40 40 40 62 22 2[22 40 40 27 35 40 35 40 35 7[58 58 1[58 58 49 44 53 1[44 58 58 71 49 2[27 58 58 44 49 58 53 53 58 13[40 1[40 2[20 1[20 2[27 27 37[44 2[{TeXBase1Encoding ReEncodeFont}51 79.7011 /Times-Roman rf %DVIPSBitmapFont: Fv cmmi10 12 69 /Fv 69 123 df11 DI<14FE902603FFC01478010F7F013F01F814F04916E090B56C1301486E14C048018714 032707F800FF1480D80FE0013F13070180D91F80130048C7120F003E6E6C5A003C020313 0E48161E0301131C0070EDE03C0300133800F01678C9137016F0EE70F05F16715FA21673 EE7B80167F70C7FCA3163EA35EA21678A31670A316F0A25E1501A44B5AA315075EA44BC8 FCA4150EA2150C35417FAB34>I<157C913807FFE0021F13FE91383E7FFFEC700FEC6003 ECE0019138C0007E6E13181600A280A280A280147C147E147F8081816E7EA26E7E816E7E A2EC1FFE91B5FCEB03F1D907C11380EB1F80494813C0017E137F5B4848133F000315E048 5A49131F120F485AA24848130FA348C7FCA34815C048141FA316805A153FA216005D157E A25D127E4A5A003E5C003F495A6C495AD80F805B2607C01FC7FC3801F03E38007FF8EB1F E028487CC62C>I<1538A515301538ED39FF033F13C092383E00E0EDFE01913901EFFFC0 DA078313004AC8FC141E5C5C5C495A495A495A130F49C9FC131E133E5B137813F8485AA2 485AA2485AA2485AA248CAFCA35A123EA3127E127CA412FCA67EA3127FA27F6C7E7F13F8 EA1FFE6C6C7E6C13F06C13FE6CEBFFC06C14F8013F7F01077F01017FD9003F7F14070200 7F153F151F150FA315074B5AA2010291C7FC903803801F903801C03E903800F07CEC3FF0 EC0FC02B597CC42C>16 D<01F8EB03FCD803FE90380FFF803B078F803C07C03B0F0FC0F0 03F0391E07C1C0001C9039E38001F8ECE700003813EE02FC14FC130F00785B00705BA226 F01FE0130300E016F85C1200013F1407A24A14F0A2017F140FA291C713E0A249141FA249 15C0A20001153FA2491580A20003157FA2491500A200075DA2495CA215015B5EEA0380C8 1203A25EA21507A25EA2150FA25EA2151FA25EA35EA2030EC7FC2E417DAB31>I<1470D9 01F8141E0103153F5FA201075D5F5CA2010F14015F5CA2011F14035F5CA2013F14075F5C A2017F140F5F91C7FCA249141F5F5BA20001033F1338EF8078491670A21203047F13F093 38FF00E0A2486C491301DB03BF13C0030713036DD90F3F1380489039801C1F07913AC0F8 0F8F00903AE3FFE007FE903AE07F8000F8001F90CAFCA25BA2123FA25BA2127FA290CBFC A25AA25AA35AA2127035417CAB3C>22 DI<1570A515601570ED7FFE92B51280913907F801C091381FFC0391393F9FFF809139FF 07FE004948C8FC495A495A495A495A133F5C137F5CA213FF91C9FCA77F80133F90391FC3 FF806DB512E0903807FC0001031301010FB55AD91F0F90C7FC013CC9FC5B5B485A485A12 07485A90CAFC5A123EA35AA312FCA47EA27E6C7E13E013F8EA3FFE381FFFC06C13F06C13 FE6C6D7EC614F0011F13FC010713FF010014C0143F02077F1401EC003F150F1507A21503 A249495AEB0380903901E00F809026007C1FC7FCEC1FFCEC03F02A597EC42C>I<010FB7 12F0013F16F85B48B8FC4817F04817E09027E00F0038C7FC380F800ED81F001478001E13 1E48157048131C007015F000F0133C1260C712381478150102F85B14F0A21301A2ECE003 1303A201078014C0130FA21480131F82133F14005B825B496D7EA21201495C491300D800 701470352C7DAA39>I<0203B612F0021F15F8147F49B7FC010716F04916E090271FF80F F8C7FC90393FC003FC90387F800101FEC77E485A4848147E0007157F5B485AA2485AA212 3F5B5E007F5D90C8FCA21501485D5AA24B5AA24B5AA2007E4A5A5E4B5A003E4AC8FC003F 147E6C5C6D485A000F495A3907C007C02601F03FC9FC38007FFCEB1FE0352C7DAA39>27 D<0107B612FE013F15FF5B48B8FC4816FE4816FC9026E001C0C7FC380F8003EA1F00121E 5A48495A127012F00060130FC7FC92C8FC5CA4143EA3147EA2147C14FCA4495AA31303A3 495AA4495A1307EB0380302C7DAA2C>I<137F2601FFE0150726078FF8150FEB07FC260E 03FE151E0101163C001E6D1578C716F06FEB01E0027FEC03C0EF07806FEB0F00023F5C6F 131E021F5C5F6F5B020F495A4C5A4C5A6E6C48C7FC161E163E913803FC3C5E5E913801FD E0EDFFC05E93C8FC80A4825C5CEC07BF91380F3FC0141E143C91387C1FE0147814F04948 6C7EEB03C0EB0780D90F007F011E13075B498001F81303498048481301485A48488048C8 FC001EEE807848037F13704816C04892383FE0E0EE1FF148923807FF80CAEAFE0038407D AB3E>31 D<0110161E0178163F01F8EE7F8018FF485A120349167F4848163FA24848161F 90CA120FA2121EA248EF0700150E0038141F4B5C0078170E12705D037E141E00F0171C5A 037C143C15FC18384B1478A24B5C6C010114016F5C020314036C496C495A020F140F6CD9 3FFE495A6CD97F7F133F26FFC7FFD9E3FFC7FC6CB4486CB45A02FC5C6C497E02F014F06C D9C00F5B0007D900031380D801FCD900FEC8FC392D7EAB3E>33 DI<157F913803FFC091380FC1F091 383F00FC027C137E4A133ED903F0133F49487F49481480A2494814C0133F49C7FCA213FE A2485A163F12035BA2167F000716805BA216FF000F16005B5E1501001F5D15035E150700 3F5D4B5A003B5D6D495A00394AC7FC0079147ED870F85B90387C01F090383E07C0D90FFF C8FC38F003FC90CAFCA25AA37EA37EB4FC90B512C06C14F86C806C801207C6FC90C7121E A22A3F78AB34>37 D<177F0138913801FFC00178020713F049021F13F848484A13FC4848 5C499138FF01FE0007913901FC007E90C701F0133E484A48131F000E4A5A001E4B130F00 1C4AC7FC150E003C141E0038021C1407153C0338140F00784A140E1270A24B141E00F017 1C4A5A183C18784A5A18F0007016010078010715E0EF03C0007C91C712076CEE1F80003F 49EC3F00D81F80157E01E04A5A260FF81EEB07F8D807FEEC1FF03B03FFFE01FFE06C90B6 12806C6C92C7FC6D14FC010714F0010114809026007FFCC8FC02FCC9FCA25CA21301A349 5AA31307A25C130FA4495A130F6D5A38417BAB41>39 D<121FEA3F80EA7FC0EAFFE0A5EA 7FC0EA3F80EA1F000B0B788A1C>58 D<121FEA3F80EA7FC0EAFFE0A313F0A2127FEA3FB0 EA1F301200A413701360A213E013C0A2120113801203EA07001206120E5A5A12300C1E78 8A1C>I<19E0F003F0180FF03FE0F0FF80943803FE00EF0FF8EF3FE0EFFF80DC03FEC7FC EE0FF8EE3FE0EEFF80DB07FEC8FCED1FF8ED7FE0913801FF80DA07FCC9FCEC1FF0EC7FC0 4948CAFCEB07FCEB1FF0EB7FC04848CBFCEA07FCEA1FF0EA7FC048CCFCA2EA7FC0EA1FF0 EA07FCEA01FF38007FC0EB1FF0EB07FCEB01FF9038007FC0EC1FF0EC07FC913801FF8091 38007FE0ED1FF8ED07FE923800FF80EE3FE0EE0FF8EE03FE933800FF80EF3FE0EF0FF8EF 03FE943800FF80F03FE0F00FF01803F000E03C3A78B54D>I<160C161E163EA2163C167C A2167816F8A216F01501A2ED03E0A216C01507A21680150FA216005DA2153EA2153C157C A2157815F8A25D1401A24A5AA25D1407A25D140FA292C7FC5CA2143EA2143C147CA21478 14F8A2495AA25C1303A25C1307A25C130FA249C8FCA2131E133EA2133C137CA2137813F8 A2485AA25B1203A25B1207A25B120FA248C9FCA2121E123EA2123C127CA2127812F8A25A 126027647BCA32>I<127012FCB4FCEA7FC0EA1FF0EA07FCEA01FF38007FC0EB1FF0EB07 FCEB01FF9038007FC0EC1FF0EC07FE913801FF809138007FE0ED1FF8ED03FE923800FF80 EE3FE0EE0FF8EE03FE933800FF80EF3FE0EF0FF8EF03FE943800FF80F03FE0F00FF0A2F0 3FE0F0FF80943803FE00EF0FF8EF3FE0EFFF80DC03FEC7FCEE0FF8EE3FE0EEFF80DB03FE C8FCED1FF8ED7FE0913801FF80DA07FEC9FCEC1FF0EC7FC04948CAFCEB07FCEB1FF0EB7F C04848CBFCEA07FCEA1FF0EA7FC048CCFC12FC12703C3A78B54D>I<18381878187C18FC 1701A21703A21707A2170F171F84173FA2177317F317E3EE01C3A2EE038316071703040E 7FA24C7E163C16381670A216E0150116C0ED038085ED07004B7F150E5DA25D157815705D 854AB7FCA25CDA0780C7127F92C8FC140EA25C143C14384A82A24A153F13015C495A1307 91C9FC5B5B4983D9FF80157F00036D4A487E007F01FC027FEBFFF0B5FCA244477DC64B> 65 D<027FB712C091B812FC19FF9128007FE0000113806F489038007FE0037FED1FF0F1 0FF85EF107FCA203FF16FE93C81203A35C5D1907A2020317FC4B150F1AF8191F020717F0 4BED3FE0F17FC0F1FF80020F4B13004B4A5AF007F8F01FF0021FEDFFC04BD90FFEC7FC92 B612F818FFDA3FE0C7EA3FC04BEC1FF0F007F885027F6F7E5D727EA202FF178092C8FCA3 5B5CA3010318004A5DA24E5A13074A4B5A61181F010F4C5A4A4B5A4E5A011F4B5BDD07FE C7FC4AEC1FFC017FEDFFF0B912C04DC8FC17F047447CC34C>I<932601FFC01306041F01 F8130E93B500FE131E03039039803F803E923B1FF80007C07CDB7FC0903801E0FC4BC812 F1DA03FE157BDA07F8ED3FF8DA1FF0151FEC3FC04A48150F4AC913F049481607495A495A 010F18E049481603495A137F4A17C0495A5A91CAFC481980485AA2485A96C7FCA2485AA2 123F5BA3127F5BA45B12FFA31970A219F0007F60A21801611803003F6018076D4CC7FC00 1F170E181E6C6C5E606C6C5E6D4B5A00034C5A6C6C4B5A6C6C031FC8FC6D6C143CD93FE0 14F8D90FF8EB07E0D903FFEB3F800100D9FFFEC9FC023F13F80203138047487CC547>I< 027FB712C091B812FC19FF9128007FF0000113C06F489038003FE0037FED0FF8737E4C6E 7E1901737E03FFEE7F805EF23FC0A24AEF1FE093C9FCA21BF05C4B160FA314074B17F81A 1FA2140F4B17F0A3141F4B163FA3023F18E04B167FA3027F18C04B16FF1B80A202FF5E4B 17006162496092C91207624F5A49171F4A5F4F5A4F5A01074DC7FC4A5E4E5AF007F8010F 4C5A4A4B5AF07FC0011F4CC8FCEF03FE4AEC1FF8017FEDFFE0B9128005FCC9FC17C04D44 7DC352>I<027FB812FE91B9FCA29126007FF0C7121F6F48EC03FC037F150119004C157C A21A3C15FF5EA34A173893C9FCA35C5D183818780207037013005DA218F0020F5D4B1301 A21703021F4A5A4B133F92B6FCA24A5D9238E0003F170FA2027F92C8FC4B7FA25F02FF14 0E5DA2171E49151C92CBFCA35B5CA313075CA3130F5CA2131FA3EB7FFCB7FCA347447DC3 40>70 D<4CB46C130C041F01F0131C93B500FC133C0307D9003F137CDB1FF890380F80F8 DB7FC0EB03C14A48C7EA01E3DA03FCEC00F7DA0FF8ED7FF04A48153FEC3FC04A48151F49 48C913E04948160F495A495AF107C0495A495A495A01FF18805C5A91CAFC481900485AA2 485A96C7FC121F5BA2123F5BA3127F5BA4485A4CB612E05E1AC093C7EBF000725AA2127F 61A218FF61A2123F6D5DA2001F95C7FC7F000F5E6C6C5E17076C6C150F6C6C151F6C6CED 3EFC6D6C147CD93FE0903801F07CD90FF8EB07E06DB490383F803801019039FFFE0018D9 003F01F890C8FC0203138046487CC54E>I<91B612FCA39139007FF8005E5EA25EA315FF 5EA35C93C7FCA35C5DA314075DA3140F5DA3141F5DA3143F5DA3147F5DA314FF5DA35B92 C8FCA35B5CA313075CA3130F5CA2131FA2133F137FB612FCA32E447DC32C>73 D<027FB500FC0103B512F091B6FCA29126007FF8C8387FFE00DB3FE0ED3FF0037F17C098 C7FC4C157C624F5A03FFED03C04C4A5A071FC8FC193E4A167893C85AF003E0F007804A4B C9FC4B141E187C18F002074A5A4BEB07C04D5A051ECAFC020F143E4B13FE4C7E5E021F5B DBF01F7F5E04787F023F5BDBE3E07F9238E7C07FEDEF00DA7FFE6D7E5D03F06D7E5D4A5A 4B6D7EA2717E5B92C77F83A2496F7F5C717FA213074A6F7EA2727E130F5C727E131F854A 4B7ED97FF84B7EB600FC010FB512FCA24B5E54447DC355>75 D<027FB6FC91B7FCA29126 007FF8C8FC6F5A4B5AA25EA315FF5EA35C93C9FCA35C5DA314075DA3140F5DA3141F5DA3 143F5DA3147F5DA302FF16204B1570A219F04917E092C8120119C0A24916034A16801807 180F010717004A5D181E183E010F167E4A5D1701011F15074D5A4A147F017F913803FFF0 B9FCA2603C447DC344>I<91267FFFF094387FFFF891B57E99B5FCDA007F4DEBF000033F 19C0037F5FF3077FDB73FC601B0EF31CFF15F303E34D90C7FCA21B71912601E1FE16E103 C160F201C1F203831403038193380703FC1A0EDB80FF16070207171C4B04385BA2F2700F 5C020E05E05BF101C0706C151F021EEE0380021CDC07005BA2070E133F023C5E02386170 6C5B1B7F02785E02704C5CA24E4813FF02F04B5A4AD91FE093C8FC4EC7FC060E5B13014A 4B5C601A0301036E6C5A4A6060DDF1C01307130791C7D9F3805C05F7C7FC70B4140F495D 010E4B5D131E4D141F133F494B5D2603FFC06D48EC7FF0B693B612F85F4A4A5E65447DC3 61>I<91267FFFF00203B512F891B56C5CA29126003FFC9139001FFE00F207F0634B6C6F 5A1577DB73FF5E1A0703F17F03E194C7FCA203E06D5C14014B6C6C140EA2706C141E1403 DB801F151C831A3C02076D7E03001638707E1A784A1303020E6E1470A2706D13F0141E02 1C6D6D5BA2057F1301023C15E002385FEF3FF019030278EC1FF802705F170FF0FC0714F0 4ADA07FE90C8FCA2716C5A13014A6E138EA2199E01036F13DE4A16DCF07FFCA20107163F 91C95BA2181F5B010E705A131E1807133F49705A3803FFC0B6FC18014A5E55447DC350> I<027FB712C091B812F819FF9128007FF0000313806F489038007FE0037FED1FF0F10FF8 4C1407F103FC03FF16FEA25E1AFF5CA293C8FCA25CF107FE5DA2020717FC190F4B16F8F1 1FF0140FF13FE04BED7FC0F1FF80021F4B1300F003FC4BEC0FF8F03FE0023F913801FF80 92B648C7FC18E003E0CAFC147FA25DA214FFA25DA25BA292CBFCA25BA25CA21307A25CA2 130FA25CA2131FA25CEB7FF8B612FCA25D48447DC340>80 D<933803FF80043F13F09239 01FE01FE923A07F0003F80DB3F806D7E037EC7EA07F04A486E7E4A486E7EDA0FE0814A48 14004A48157F4AC91380D901FE163F494817C0495AF11FE0495A495A013F18F0495A5C13 FF4890CAFC1AF8485AA212075B120F5B001F19F0193F5B123FA34848EF7FE0A31AC019FF 485A1A80601A0060A2614E5AA2007F4D5A61181F4E5A61003F021F4A5ADB7FC013FF281F E001E07091C7FC913A03803001FE000F49486C485AD9F0064A5A0007010E90381C0FE0D9 F80C90380C1FC000034C5A2601FC1C4AC8FC2600FE18EB0FFCD97F1C14F0D91F8C5CD90F ECEB3F80902703FE03FEC712300100B512EE91260FFE0F147091C748146019E018017148 5A1807EFC00F9438E03F8094B5FC96C7FC60A2705B6060705B701380DC00FEC8FC45597C C54F>I<027FB612FC91B812C019F8913B007FF0001FFC6F48EB01FF037F9138007F80F1 3FC04CEC1FE01AF0F10FF815FF5E1AFCA25C93C8FCA34AEE1FF85DA2F13FF0020717E04B 157F1AC0F1FF80020F4B13004B5DF007F84E5A021FED3FC04B02FFC7FCEF0FF892B612C0 4A92C8FC9239E0001FE0EF07F0EF03FC027F6E7E4B80838514FF4B147FA218FF5B92C8FC A25F5B5CA24D90C7FC13075CA3010F180E5CA2011F4C131E1A1C4A6F133CD97FF86E1478 B600FC16707114E04B91383F83C0CB380FFF80953801FC0047467DC34C>II<90BA12E05A1AC048D98001EBC0 00D9FC004A131F01F0170F484892C712075B49491680120F90C7491403120E001E020715 07A2001C5D003C19000038140FA200785D1270031F5D00F0180EC84991C7FCA2153FA25E A2157FA25EA215FFA25EA25CA293CAFCA25CA25DA21407A25DA2140FA25DA2141FA25DA2 143FA25DA2147FA214FF01037F003FB7FCA343437EC23A>I<003FB500FE49B512FC485E A226003FFCC8000F1300D91FF0ED03F8013F5F725A5C611803017F5F5CA2180701FF94C7 FC5CA26048170E91C9FCA2181E48171C5BA2183C000717385BA21878120F491670A218F0 121F495EA21701123F495EA21703127F495EA2170700FF94C8FC5BA2170EA2171E90C912 1C173C5F17706C6C15F04C5A4C5A003F4B5A6D4AC9FC001F151E6C6C5C6D14F86C6C495A D801FCEB0FC02700FF807FCAFC90383FFFFC010F13F00101138046467AC344>I<007FB5 00F091383FFFFEB6FC5DC601F8C8000313C002E0923801FE006D486F5A61614E5A6E5E4E 5A133F4EC7FC180EA260183C6E153860131F604D5AA24D5A17076E92C8FC170E130F5F5F A25F17F06E5C4C5A010714035F4CC9FCA2160E161E6E131C5E0103147816705EA24B5AEC FF035E4BCAFC6D5B150E5DA25D15F85D5D7F5D5DA292CBFCA25C5C147C1478147047467B C33A>II<027FB500F8017FB51280A3DA007F90C70007EBE000DB 3FFC6E90C7FC6F48EC01FC1AF0704A5A030F5E4F5A6F6C4AC8FC191E705C6F5D19706F6D 5B4E5A6F6D485A4EC9FC6093387FE01E60706C5A60EFF1E093381FFBC0EFFF807090CAFC 5F5F707EA2707EA34C7F5E041E7F5E16384C6C7E16E04B486C7E1503ED07804B486C7E15 1E4B6D7E5D5D4A486D7E5D4A486D7E4AC7FC140E021E6E7F5C4A6E7F5C4948824948157F 130F011F83D97FE015FF2603FFF0020313FCB6023FEBFFF85F5C51447DC353>II<020FB812E05C1AC09326C00001138003FCC7FCDA3FF04A13 0003C04A5A4B4A5A4AC8485A027E4B5A027C4B5A4A4B5A5F4A5E4A4A90C7FC01014B5A4D 5A4A4A5A01034B5A4A4A5A4D5A5E90C85C4C90C8FC4C5A4C5A4C5A4C5A4C5A16FF5F4B5B 4B90C9FC4B5A4B5A4B5A4B5A4B5A15FF5E4A5B4A90CAFC4A4814074A5A4A5A4A485C027F 150E5D4A48141E4949141C4990C8123C495A49485D495A494815F8017F5E4A1401494814 0348494A5A4890C8120F4848151F48484B5A484815FF48481403043F5B48B8FCB9FC95C8 FC43447BC344>I96 DIIIIII<157F913801FFC0913907C0E0E091391F8073F891387E003B4A133F4948131F01 0315F04948130F495AA2494814E0133F4A131F137F91C713C05B163F5A491580A2167F12 03491500A25EA2495CA21501A25EA21503A200014A5A150F0000141F6D133F017C495A90 383E01E790381F07CF903807FF0FD901FC5B90C7FC151FA25EA2153FA25E121ED87F8049 C7FCA200FF14FE4A5A4A5A49485A48495A48495A007E017FC8FC381FFFF8000313C02D40 7FAB30>II<140EEC3F80147F14FFA4EC7F00 143C91C7FCAE133FEBFFC03801C3E0380381F0EA0701000E7F121E121CEA3C031238A2EA 70075CA2EAF00F00E05BEA001F5CA2133F5CA2137F91C7FC5B5BA212015BEC03C0000314 8013F81207EBF0071500A2EBE00EA25C143C143800035B3801F1E06CB45A013FC7FC1A44 7DC222>I<161C167F16FF5DA316FE150016781600AE15FCEC03FF91380F07C0021E13E0 EC3C03027813F014F014E01301ECC007EB0380A2EB0700150F5B010E14E090C7FC151FA2 16C0A2153FA21680A2157FA21600A25DA25DA21401A25DA21403A25DA21407A25DA2140F A25DA2141F5DA2001E133FD87F805BA200FF49C7FC14FE5CEB01F848485A48485A38781F 80D81FFEC8FCEA07F0285781C229>II<01F8D901FEEC3FC0D803FE90260FFFC0EBFFF83E070F 803E07E003C07C000F903CC0F003F00F003F3C1E07C1E001F81C001C9028E38000FC386D 7E02E7C75B003801EE5D02FCDAFFC080130F0078495D00704992C7FCA226F01FE0494814 3F00E0624A5C1200013F0203157F98C7FC4A5CA2017F02075D6291C75B190149020F5DA2 494B1303620001031FEE078007071400494B14F0190F0003033F4B5A1B0E495D505A0007 157F634992C714781B7007075B49027E913803E3C073B45AD803800238DA007EC7FC512D 7DAB57>109 D<01F8EB03FCD803FE90380FFF803B078F803C07C03B0F0FC0F003F0390E 07C1C0001C9039E38001F8ECE700003C13EE003801FC80130F00785B00705BA226F01FE0 130300E05E5C1200013F14075F5CA2017F140F5F91C7FC161F495DA249143F5F00011778 047F13704915005E00034B13F018E05B9338FC01C01207EF03804915071800EE7C0E49EC 3E3CEE1FF8D80380EC07E0352D7DAB3C>I112 D<91390FE0018091383FF8 079138F81C0F903A03F00E1F00903907C0073FD91F8013FF49487E495C01FE13015B1201 48485C12075B000F14035E485AA2003F1407495CA3007F140F495CA3151F90C75B5AA215 3F6C5DA2127E007F147F4BC7FC6C5BA25C6C6C485A000F131E3807C03C3803E0F93900FF E1FCEB3F01130014035DA314075DA3140F5DA2141FA2143F011FB512C05BA2293F7DAB2C >I<01F8EB0FE0D803FEEB3FF83A078F80F03C3A0F0FC1C07E3A0E07C780FE001CEBEF01 ECEE03003C13FC1238D90FF813FC007813F00070EC00F04A1300EAF01F12E05C1200133F A25CA2137FA291C8FCA25BA25BA21201A25BA21203A25BA21207A25BA35BA2EA0380272D 7DAB2D>II<143814FEA21301A25CA21303A25CA21307A25CA2130FA25CA2007FB512FCB6FC 15F839001FC000133FA25CA2137FA291C7FCA25BA25BA21201A25BA21203A25BA21207A2 5BA2000F14F015E05B140115C0001F130301C013801407EC0F00000F130E5C143C000713 703803E1E06CB45AD8007EC7FC1E3F7EBD24>I<133FD9FFC014782601C3E014FC260381 F01301EA0701000E6D1303001E5E121CEA3C03003815075FEA70075C160FD8F00F5D00E0 5BEA001F4A131F5F133F5C163F017F5D91C7FCA2167F4992C7FC5BA24C13E0EEFE014848 16C0A303011303000003FC13801503030713076D1600017E010E5B031C130E6D9038787C 1E903A1F81F03E3C903A07FFC01FF8903A00FE0003E0332D7DAB39>I<013F1407D9FFC0 EB1F802601C3E0EB3FC0380381F0D80701147F000E7F001E153F001C151FD83C03140F12 381607EA70075CA2D8F00FEC038000E05BEA001F4A13071700133F5C5E017F140E91C7FC A2161E49141C5B5EA2167848481470A25E12004B5A15036D5C4BC7FC017E130E6D5B6D6C 5A90380FC0F0903803FFC0010090C8FC2A2D7DAB30>I<013F173CD9FFC0D901E0137E26 01C3E0496C13FF260381F01307D807015E000E6D130F001E4C7E001C187FD83C03173F00 38151F4D131FEA70075C163FD8F00F170E00E0495CEA001F4A017F141E191C013F92C7FC 5C4C143C017F173891C75AA203011578491770495CA219E0A2495C0303EC01C0A2F00380 A20307EC07006D80017E010F140E030E5C6DD91C7E5B6D6C486C5B903B0FE0F01F81E090 3B03FFE007FFC09028007F8000FEC7FC402D7DAB47>I<027EEB07F8903A03FF801FFE90 3B0F83E03C0F8090271E01F07013C0013C9038F8E01F903A7800F9C03F4901FF137F4848 1480491400000317805B00074AEB1E0090C791C7FC1401485C120EC7FC14035DA314075D A3140F5DA3021F141E171C5D173C000F013F1438EA3F80D87FC05D4A4813F06F5B26FF80 FF495A02E71303267F01C7495A287C0383E00EC7FC3A3E0F01F03C3A0FFE007FF0D803F8 EB1FC0322D7EAB39>I<133FD9FFC014F02601C3E0EB01F8260381F01303EA0701000E6D 1307001E16F0121CEA3C030038150F17E0EA70075C161FD8F00F15C000E05BEA001F4A13 3F1780133F5C167F017F150091C7FCA25E495C5BA215015E485AA215035EA200001407A2 4B5A017E131F153F6D137F90391F81EFE0903807FF8F903800FE0FEC001F5EA2153FD807 805CEA1FC0486C49C7FC157E15FE4848485A5D49485A393E0007E00038495A003C495A6C 013EC8FC380F81F83803FFE0C690C9FC2D407DAB31>I<027EEB01C049B413034901C013 8049EBE00749EC0F0049EBF01E49EBF81C90397F01FEFC90397C003FF80170EB01F001F0 5C49495A90C7485A4BC7FC151E5D5D5D4A5A4A5A4A5A4AC8FC141E5C5C5CEB03E0EB0780 49C9FC011E141E49141C5B49143C48485C4914F8D803D0130148B46C485A3A0FEFF80FE0 D81F03B5FCD81E015C486C5C486D90C7FC0070EB3FFC00F06D5A48EB07C02A2D7CAB2E> I E %EndDVIPSBitmapFont /Fw 138[45 3[45 2[45 4[25 3[40 101[{TeXBase1Encoding ReEncodeFont}5 89.6638 /Times-Italic rf /Fx 87[33 46[50 50 72 50 55 33 39 44 55 55 50 55 83 28 55 1[28 55 50 33 44 55 44 55 50 6[66 5[66 55 72 1[61 78 72 94 66 2[39 78 1[61 66 72 72 66 72 7[50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 1[25 33 3[33 33 37[55 2[{TeXBase1Encoding ReEncodeFont}57 99.6264 /Times-Bold rf %DVIPSBitmapFont: Fy cmtt9 10.8 23 /Fy 23 122 df<007FB612E0A2B712F0A36C15E0A224077B9E2F>45 D<120FEA3FC0EA7FE0A2EAFFF0A4EA7FE0A2EA3FC0EA0F000C0C6F8B2F>I64 D<007FB612FEB8FCA47ED803F8C77EA8163E93C7FCA4157C15FE A490B5FCA6EBF800A4157C92C8FCA4EE0F80EE1FC0A9007FB7FCB8FCA46C16802A377EB6 2F>69 D<3B3FFF801FFFC0486D4813E0B56C4813F0A26C496C13E06C496C13C03B03F800 01FC00B190B6FCA69038F80001B3A23B3FFF801FFFC0486D4813E0B56C4813F0A26C496C 13E06C496C13C02C377FB62F>72 D<49B512F04914F85BA27F6D14F090C7EAFE00B3B112 1C123E127F487EA214014A5A1407397FE01FF890B55A6C5C6C5C00075C000149C7FC3800 3FF025387BB62F>74 D77 D<007FB512F0B612FE8116C016E06C15F03A03F8007FF8150FED07FC1503ED01FE150016 FF167FA716FF16FE1501ED03FC1507ED0FF8157F90B612F016E016C016005D15F001F8C8 FCB0387FFFC0B57EA46C5B28377EB62F>80 D97 D<903801FFF0010F13FE013F7F491480 48B612C05A48EB007FEA0FFC01F0EB3F80485A4848EB0E004990C7FC127F90C9FCA25A5A A77E7EA27F003FEC07C06DEB0FE06C7E6C6C131F01FC133F6CB4EBFFC06C90B512806C15 006C6C5B6D5B010F13F00101138023277AA62F>99 D<49B4FC010F13C0013F13F090B512 FC488048804801031380390FFC007FD81FF0EB3FC049131F484814E049130F127F90C713 F015075A90B6FCA516E048C9FC7E7EA27F6C6CEB03E0ED07F06C7ED80FF8130F6C6C131F 9039FF80FFE06C90B512C0C615806D1400011F5B010713F8010013C024277CA62F>101 D103 DII107 D<3A7FC1F801F83AFFE7FE07FE9039EFFF0FFF90B5009F138092B512C07E0007010F130F 01FE01FE13E09039FC07FC0701F813F801F013F0A301E013E0B3A23B7FFE0FFE0FFEB539 1FFF1FFFA43B7FFE0FFE0FFE302781A62F>109 D<393FFC03FC3A7FFE1FFF8000FF497F 91B57E6CB67E7EC69038FE07F8ECF80302E07FECC00114801400A35BB33B3FFFF81FFFF0 486D4813F8B500FE14FCA26C01FC14F86C496C13F02E2780A62F>I<393FFC07F8397FFE 1FFF00FF017F13C090B67E6C816C81C69038FC0FFC9138F003FE9138C000FF4A7F178091 C7123FEE1FC05BA217E0160FA7161F6D15C0A2163F6E1480167F6EEBFF006E5A6E485A91 38FC1FFC91B55A5E495C6E13806E48C7FCEC07F891C9FCAE383FFFF8487FB57EA26C5B6C 5B2B3B80A62F>112 D<3A3FFF800FF0489038C07FFCB500C1B5FC14C36C01CF14806C13 DF3A001FFFF87F15C09238803F009138FE001E4A90C7FCA25C5CA25CA35CAF003FB512FC 4880B6FCA27E6C5C29277EA62F>114 D<90381FFE1E48B6FC12075A5A5A387FF00390C7 FC00FE805AA36C143ED87F8090C7FC13F8383FFFE06C13FF6C14E0000314F8C614FE011F 7FD9007F1380020113C0EC003F003CEC0FE0127E00FE1407A27E150F6D14C001E0133F90 39F801FF8090B6FC16005D00FD14F8D8FC7F13E0D8780F90C7FC23277AA62F>I II<3A3F FFC07FFF486DB51280B500E114C0A26C01E014806C496C13003A01F80007E07F12004B5A 7F137E017F131F6D5CA2EC803F011F91C7FCA214C0010F137EA214E001075BA2EB03F05D 14F11301ECF9F0A2130014FBEC7FE0A36E5AA36E5AA2143F92C8FCA25C147EA3380F80FC EA1FC0EA3FE1EBE3F813E7EB9FF0EBFFE06C5B5C6C90C9FC6C5AEA03F02A3B7EA62F> 121 D E %EndDVIPSBitmapFont /Fz 75[30 57[40 45 1[65 45 45 25 35 30 45 45 45 45 70 25 2[25 45 45 30 40 45 40 45 40 9[85 1[65 55 50 2[50 2[80 55 4[65 1[55 65 9[25 11[22 30 22 2[30 30 9[30 27[50 2[{TeXBase1Encoding ReEncodeFont}42 89.6638 /Times-Roman rf %DVIPSBitmapFont: FA cmr6 7.2 3 /FA 3 52 df<131C133C13FC120712FF137C12F81200B3AB13FEB512FEA3172879A725> 49 DII E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: FB cmmi8 9.6 7 /FB 7 123 df<121C127FEAFF80A213C0A3127F121C1200A312011380A2120313005A12 06120E5A5A5A12600A18798818>59 D<17F0A21601A21603160783160F161FA2163BA216 7316F3EEE3FCED01C316C1ED0381ED0701A2150E151E151C03387F16005D15F05D4A5AA2 4A5A4AC7FC83020E80141E141C023FB6FCA25C02F0C77E5C494881173F495A49C8FCA213 0E131E131C4982137801F8151F0001163FD807FC4B7EB56C010FB512805EA239397DB83F >65 D<0107B812E0A39026000FF0C7127F180F4B14071803021F16C0A24B1401A2143FA2 5D1803027F168017E092C7FC95C7FC4A13015F5C160301011407EE1F8091B6FCA25B9126 FC001FC8FC4A7FA21307160E5CA2010F141E161C4A90C9FCA2131FA25CA2133FA25CA213 7FA291CBFC497E007FEBFF80B6FCA23B367DB536>70 D<0107B512FCA39026000FF8C8FC 5D5DA2141FA25DA2143FA25DA2147FA292C9FCA25CA25CA21301A25CA21303A25CA21307 A24A15E0A2010F150118C04A1403A2011F168017075CEF0F00013F5D171E4A143E177E01 7F5D160391C7120F49EC7FF8007F90B6FCB8FC5F33367DB53A>76 D81 D<13FCD803FF143826078F8013FCEA0E0F39 1C07C001123CD8380F5C127800701403EAF01F00E001805BA2013F130700001300495C13 7E150F13FE495CA2151F1201495C17E0153FEE81C016015BED7F036D01FF1380A2000049 EB07009039FC039F0F90397E0F0F8E90391FFC07FC903907F001F02B247DA231>117 D122 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: FC cmr8 9.6 8 /FC 8 62 df1 D<146014E0EB01C0EB0380EB0700130E131E5B5B 13F85B485AA2485AA212075B120F90C7FC5AA3123EA45AA612FCA25AAC7EA2127CA67EA4 7EA37E7F12077F1203A26C7EA26C7E7F13787F7F130E7FEB0380EB01C0EB00E014601350 78BB21>40 D<12C07E12707E7E7E120F6C7E6C7E7F12016C7EA21378A2137C133C133E13 1E131FA3EB0F80A4EB07C0A614E0A21303AC1307A214C0A6EB0F80A4EB1F00A3131E133E 133C137C1378A25BA2485A12035B485A48C7FC120E5A5A5A5A5A13507BBB21>I<151815 3CB3A7007FB812FCB912FEA26C17FCC8003CC8FCB3A7151837387BAF42>43 D49 DII<007FB812FCB912FEA26C 17FCCCFCAE007FB812FCB912FEA26C17FC37167B9E42>61 D E %EndDVIPSBitmapFont /FD 134[60 60 1[60 66 40 47 53 1[66 60 66 100 33 66 1[33 66 60 40 53 66 53 66 60 12[80 66 86 1[73 2[113 2[60 47 93 1[73 80 86 86 10[60 60 60 60 60 60 60 60 2[30 40 30 44[{TeXBase1Encoding ReEncodeFont}45 119.552 /Times-Bold rf /FE 87[33 17[50 1[44 44 10[33 13[44 50 50 72 50 50 28 39 33 50 50 50 50 78 28 50 28 28 50 50 33 44 50 44 50 44 3[33 1[33 61 72 1[94 1[72 61 55 66 1[55 72 72 89 61 72 39 33 72 72 55 61 72 66 66 72 6[28 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 1[25 33 25 2[33 33 33 35[55 55 2[{ TeXBase1Encoding ReEncodeFont}75 99.6264 /Times-Roman rf /FF 134[72 2[72 80 48 56 64 80 1[72 80 4[40 80 72 48 64 1[64 80 72 11[104 1[80 2[88 1[104 135 3[56 3[96 104 68[{TeXBase1Encoding ReEncodeFont}25 143.462 /Times-Bold rf end %%EndProlog %%BeginSetup %%Feature: *Resolution 600dpi TeXDict begin %%BeginPaperSize: a4 a4 %%EndPaperSize %%EndSetup %%Page: 1 1 1 0 bop 666 552 a FF(Uniqueness)33 b(of)j(the)f(In)-6 b(v)o(ariant)33 b(Measur)m(e)i(f)l(or)h(a)615 732 y(Stochastic)d(PDE)i (Dri)o(v)o(en)f(by)h(Degenerate)e(Noise)1558 993 y FE(September)25 b(15,)g(2000)424 1643 y FD(J)n(.-P)-13 b(.)29 b(Eckmann)1162 1601 y FC(1)6 b FB(;)t FC(2)1285 1643 y FD(,)30 b(M.)g(Hair)n(er)1861 1601 y FC(1)424 1815 y FA(1)510 1853 y Fz(D)5 b(\264)-35 b(epartement)21 b(de)h(Physique)f(Th)5 b(\264)-35 b(eorique,)21 b(Uni)n(v)o(ersit)5 b(\264)-35 b(e)20 b(de)i(Gen)5 b(\036)-35 b(ev)o(e)424 1924 y FA(2)510 1962 y Fz(Section)22 b(de)g(Math)5 b(\264)-35 b(ematiques,)20 b(Uni)n(v)o(ersit)5 b(\264)-35 b(e)21 b(de)h(Gen)5 b(\036)-35 b(ev)o(e)424 2072 y(Email:)27 b Fy(Jean-Pierre.Eckmann@physics.unige.ch)424 2181 y Fz(Email:)g Fy(Martin.Hairer@physics.unige.ch)424 2429 y Fx(Abstract)424 2575 y Fz(W)-7 b(e)26 b(consider)g(the)g(stochastic)g (Ginzb)n(ur)n(g-Landau)f(equation)g(in)i(a)g(bounded)e(domain.)41 b(W)-7 b(e)26 b(as-)424 2684 y(sume)f(the)h(stochastic)e(forcing)h (acts)h(only)f(on)h(high)f(spatial)g(frequencies.)37 b(The)26 b(lo)n(w-lying)e(fre-)424 2794 y(quencies)19 b(are)g(then)h(only)f(connected)f(to)i(this)g(forcing)f(through)g(the)g (non-linear)g(\(cubic\))g(term)g(of)424 2904 y(the)j(Ginzb)n(ur)n (g-Landau)f(equation.)27 b(Under)21 b(these)h(assumptions,)f(we)h(sho)n (w)g(that)g(the)g(stochastic)424 3013 y(PDE)29 b(has)g(a)g Fw(unique)g Fz(in)l(v)n(ariant)f(measure.)48 b(The)29 b(techniques)f(of)h(proof)f(combine)h(a)g(controlla-)424 3123 y(bility)d(ar)n(gument)g(for)g(the)h(lo)n(w-lying)e(frequencies)g (with)h(an)g(in\002nite)g(dimensional)g(v)o(ersion)f(of)424 3232 y(the)d(Mallia)n(vin)f(calculus)f(to)i(sho)n(w)f(positi)n(vity)g (and)h(re)o(gularity)e(of)i(the)f(in)l(v)n(ariant)g(measure.)27 b(This)424 3342 y(then)22 b(implies)f(the)h(uniqueness)f(of)h(that)g (measure.)240 3588 y FD(Contents)240 3897 y Fx(1)99 b(Intr)n(oduction) 2699 b(2)240 4116 y(2)99 b(Some)26 b(Pr)n(eliminaries)e(on)h(the)h (Dynamics)1673 b(5)240 4335 y(3)99 b(Contr)n(ollability)2608 b(6)240 4555 y(4)99 b(Str)n(ong)26 b(F)n(eller)e(Pr)n(operty)i(and)g (Pr)n(oof)f(of)g(Theor)n(em)h(1.1)1161 b(9)240 4774 y(5)99 b(Regularity)25 b(of)g(the)g(Cutoff)h(Pr)n(ocess)1823 b(11)389 4893 y FE(5.1)104 b(Splitting)24 b(and)g(Interpolation)g (Spaces)87 b(.)50 b(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h (.)g(.)f(.)h(.)g(.)149 b(12)389 5013 y(5.2)104 b(Proof)26 b(of)e(Theorem)h(4.3)53 b(.)d(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g (.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)g(.)149 b(12)389 5132 y(5.3)104 b(Smoothing)24 b(Properties)g(of)h(the)g(T)m (ransition)e(Semigroup)97 b(.)50 b(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)g(.) 149 b(14)240 5352 y Fx(6)99 b(Mallia)n(vin)23 b(Calculus)2385 b(17)389 5471 y FE(6.1)104 b(The)25 b(Construction)f(of)h Fv(v)41 b FE(.)50 b(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)g (.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)g(.)149 b(19)p eop %%Page: 2 2 2 1 bop 242 -75 a FE(I)t Fu(N)t(T)t(R)q(O)t(D)t(U)t(C)t(T)t(I)5 b(O)t(N)2731 b Fx(2)240 273 y(7)99 b(The)26 b(P)o(artial)e(Mallia)n (vin)f(Matrix)1949 b(22)389 393 y FE(7.1)104 b(Finite)25 b(Dimensional)e(Case)81 b(.)50 b(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)f(.) h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)g(.)149 b(23)389 512 y(7.2)104 b(In\002nite)25 b(Dimensional)e(Case)j(.)50 b(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f (.)h(.)g(.)f(.)h(.)g(.)149 b(25)389 632 y(7.3)104 b(The)25 b(Restricted)g(H)8 b(\250)-41 b(ormander)25 b(Condition)i(.)49 b(.)h(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)g(.)149 b(26)389 752 y(7.4)104 b(Estimates)24 b(on)g(the)h(Lo)n(w-Frequenc)o(y) f(Deri)n(v)n(ati)n(v)o(es)e(\(Proof)k(of)f(Proposition)e(5.3\))113 b(31)240 971 y Fx(8)99 b(Existence)26 b(Theor)n(ems)2336 b(33)389 1090 y FE(8.1)104 b(The)25 b(Noise)f(T)-7 b(erm)47 b(.)i(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)g (.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)g(.)149 b(35)389 1210 y(8.2)104 b(A)25 b(Deterministic)e(Problem)64 b(.)50 b(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f (.)h(.)g(.)f(.)h(.)g(.)149 b(36)389 1329 y(8.3)104 b(Stochastic)25 b(Dif)n(ferential)f(Equations)f(in)i(Hilbert)f(Spaces)81 b(.)50 b(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)g(.)149 b(39)389 1449 y(8.4)104 b(Bounds)25 b(on)f(the)h(Cutof)n(f)f(Dynamics)g(\(Proof) i(of)f(Proposition)e(5.1\))69 b(.)50 b(.)g(.)f(.)h(.)g(.)149 b(40)389 1568 y(8.5)104 b(Bounds)25 b(on)f(the)h(Of)n(f-Diagonal)f(T)-7 b(erms)32 b(.)50 b(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h (.)g(.)f(.)h(.)g(.)149 b(43)389 1688 y(8.6)104 b(Proof)26 b(of)e(Proposition)g(2.3)k(.)49 b(.)h(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g (.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)f(.)h(.)g(.)149 b(44)240 1962 y FD(1)119 b(Intr)n(oduction)240 2171 y FE(In)23 b(this)f(paper)l(,)i(we)f(study)f(a)h(stochastic)f(v)n(ariant) g(of)h(the)g(Ginzb)n(ur)n(g-Landau)g(equation)f(on)h(a)g(\002nite)240 2291 y(domain)h(with)g(periodic)g(boundary)g(conditions.)29 b(The)c(deterministic)e(equation)h(is)1163 2510 y Ft(_)-45 b Fv(u)27 b Ft(=)i(\001)p Fv(u)22 b Ft(+)g Fv(u)h Fs(\000)f Fv(u)1833 2467 y Fr(3)1906 2510 y FE(,)99 b Fv(u)p Ft(\(0\))27 b(=)h Fv(u)2404 2467 y Fr(\(0\))2539 2510 y Fs(2)g(H)h FE(,)715 b(\(1.1\))240 2729 y(where)21 b Fs(H)h FE(is)f(the)g(real)g (Hilbert)g(space)g Fs(W)1663 2686 y Fr(1)1655 2756 y Fq(per)1749 2729 y Ft(\([)p Fs(\000)p Fv(\031)t(;)c(\031)t Ft(]\))p FE(,)i Fp(i.e)o(.)p FE(,)i(the)g(closure)g(of)g(the)g(space)g (of)g(smooth)240 2849 y(periodic)j(functions)g Fv(u)k Ft(:)f([)p Fs(\000)p Fv(\031)t(;)17 b(\031)t Ft(])25 b Fs(!)j Fx(R)d FE(equipped)f(with)g(the)g(norm)1203 3124 y Fs(k)p Fv(u)p Fs(k)1360 3081 y Fr(2)1432 3124 y Ft(=)1537 2989 y Fo(Z)1637 3013 y Fn(\031)1592 3215 y Fm(\000)p Fn(\031)1709 3043 y Fo(\000)1754 3124 y Fs(j)p Fv(u)p Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p Fs(j)2002 3081 y Fr(2)2068 3124 y Ft(+)f Fs(j)p Fv(u)2253 3081 y Fm(0)2280 3124 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p Fs(j)2443 3081 y Fr(2)2487 3043 y Fo(\001)2549 3124 y Fv(dx)28 b(:)240 3408 y FE(\(The)e(restriction)g (to)g(the)g(interv)n(al)f Ft([)p Fs(\000)p Fv(\031)t(;)17 b(\031)t Ft(])24 b FE(is)i(irrele)n(v)n(ant)f(since)i(other)f(lengths)f (of)i(interv)n(als)e(can)240 3527 y(be)31 b(obtained)f(by)h(scaling)g (space,)i(time)d(and)h(amplitude)f Fv(u)h FE(in)g(\(1.1\).\))50 b(While)31 b(we)g(w)o(ork)g(e)o(xclu-)240 3647 y(si)n(v)o(ely)d(with)h (the)g(real)i(Ginzb)n(ur)n(g-Landau)e(equation)g(\(1.1\))h(our)f (methods)g(generalize)h(immedi-)240 3766 y(ately)24 b(to)h(the)f (comple)o(x)g(Ginzb)n(ur)n(g-Landau)g(equation)953 3985 y Ft(_)-45 b Fv(u)28 b Ft(=)g(\(1)21 b(+)i Fv(ia)p Ft(\)\001)p Fv(u)f Ft(+)h Fv(u)f Fs(\000)g Ft(\(1)g(+)h Fv(ib)p Ft(\))p Fs(j)p Fv(u)p Fs(j)2342 3943 y Fr(2)2386 3985 y Fv(u)k FE(,)100 b Fv(a;)17 b(b)26 b Fs(2)i Fx(R)g FE(,)505 b(\(1.2\))240 4205 y(which)20 b(has)g(a)h(more)g(interesting)e(dynamics)g(than)h (\(1.1\).)30 b(But)20 b(the)h(notational)e(details)h(are)h(slightly)240 4324 y(more)j(in)l(v)n(olv)o(ed)f(because)j(of)f(the)f(comple)o(x)g(v)n (alues)g(of)h Fv(u)g FE(and)f(so)h(we)g(stick)f(with)g(\(1.1\).)389 4444 y(While)30 b(a)g(lot)g(is)g(kno)n(wn)f(about)g(e)o(xistence)h(and) g(re)o(gularity)f(of)h(solutions)e(of)j(\(1.1\))f(or)g(\(1.2\),)240 4563 y(only)25 b(v)o(ery)h(little)f(information)g(has)h(been)g (obtained)g(about)f(the)h(attractor)h(of)f(such)g(systems,)f(and)240 4683 y(in)f(particular)l(,)h(nothing)e(seems)h(to)h(be)g(kno)n(wn)e (about)i(in)l(v)n(ariant)e(measures)i(on)f(the)h(attractor)-5 b(.)389 4802 y(On)20 b(the)f(other)h(hand,)h(when)e(\(1.1\))h(is)f (replaced)i(by)e(a)h(stochastic)f(dif)n(ferential)g(equation,)h(more) 240 4922 y(can)k(be)g(said)f(about)g(the)h(in)l(v)n(ariant)f(measure,)h (see)g([DPZ96])g(and)g(references)h(therein.)30 b(Since)24 b(the)240 5041 y(problem)37 b(\(1.1\))i(in)l(v)n(olv)o(es)e(only)h (functions)f(with)h(periodic)g(boundary)g(conditions,)i(it)e(can)h(be) 240 5161 y(re)n(written)24 b(in)g(terms)g(of)h(the)g(F)o(ourier)g (series)f(for)i Fv(u)p FE(:)782 5413 y Fv(u)p Ft(\()p Fv(x;)17 b(t)p Ft(\))43 b(=)1220 5318 y Fo(X)1219 5533 y Fn(k)r Fm(2)p Fl(Z)1380 5413 y Fv(e)1426 5370 y Fn(ik)r(x)1549 5413 y Fv(u)1606 5440 y Fn(k)1655 5413 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))27 b FE(,)100 b Fv(u)1978 5440 y Fn(k)2071 5413 y Ft(=)2235 5346 y(1)p 2205 5390 111 4 v 2205 5481 a(2)p Fv(\031)2343 5277 y Fo(Z)2443 5302 y Fn(\031)2399 5504 y Fm(\000)p Fn(\031)2532 5413 y Fv(e)2578 5370 y Fm(\000)p Fn(ik)r(x)2763 5413 y Fv(u)p Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))17 b Fv(dx)26 b(:)p eop %%Page: 3 3 3 2 bop 242 -75 a FE(I)t Fu(N)t(T)t(R)q(O)t(D)t(U)t(C)t(T)t(I)5 b(O)t(N)2731 b Fx(3)240 273 y FE(W)-8 b(e)28 b(call)g Fv(k)i FE(the)e(momenta,)f Fv(u)1283 300 y Fn(k)1360 273 y FE(the)h(modes,)f(and,)i(since)e Fv(u)p Ft(\()p Fv(x;)17 b(t)p Ft(\))27 b FE(is)g(real)h(we)g(must)f(al)o(w)o(ays)g(ha) n(v)o(e)240 393 y Fv(u)297 420 y Fn(k)346 393 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))42 b(=)50 b(\026)-56 b Fv(u)680 420 y Fm(\000)p Fn(k)791 393 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))p FE(,)34 b(where)40 b Ft(\026)-56 b Fv(z)38 b FE(is)32 b(the)h(comple)o(x)f(conjugate)g(of) h Fv(z)t FE(.)56 b(W)l(ith)33 b(these)g(notations)e(\(1.1\))240 512 y(tak)o(es)24 b(the)h(form)1066 632 y Ft(_)-45 b Fv(u)1106 659 y Fn(k)1199 632 y Ft(=)45 b(\(1)22 b Fs(\000)g Fv(k)1586 589 y Fr(2)1631 632 y Ft(\))p Fv(u)1727 659 y Fn(k)1798 632 y Fs(\000)2061 537 y Fo(X)1898 752 y Fn(k)1940 762 y Fk(1)1979 752 y Fr(+)p Fn(k)2082 762 y Fk(2)2121 752 y Fr(+)p Fn(k)2224 762 y Fk(3)2264 752 y Fr(=)p Fn(k)2385 632 y Fv(u)2442 659 y Fn(k)2484 669 y Fk(1)2529 632 y Fv(u)2586 659 y Fn(k)2628 669 y Fk(2)2672 632 y Fv(u)2729 659 y Fn(k)2771 669 y Fk(3)2843 632 y FE(,)240 922 y(for)h(all)f Fv(k)30 b Fs(2)f Fx(Z)23 b FE(and)f(the)g(initial)g(condition)f(satis\002es)h Fs(f)p Ft(\(1)14 b(+)g Fs(j)p Fv(k)s Fs(j)p Ft(\))p Fv(u)2521 949 y Fn(k)2568 922 y Ft(\(0\))p Fs(g)27 b(2)h Fv(`)2909 879 y Fr(2)2953 922 y FE(.)i(In)23 b(the)f(sequel,)h(we)240 1041 y(will)g(use)i(the)f(symbol)f Fs(H)i FE(indif)n(ferently)e(for)i (the)f(space)h Fs(W)2309 998 y Fr(1)2301 1068 y Fq(per)2396 1041 y Ft(\([)p Fs(\000)p Fv(\031)t(;)17 b(\031)t Ft(]\))k FE(and)k(for)f(its)g(counterpart)240 1161 y(in)33 b(F)o(ourier)g (space.)57 b(In)34 b(the)f(earlier)h(literature)f(on)h(uniqueness)e(of) i(the)f(in)l(v)n(ariant)f(measure)i(for)240 1280 y(stochastic)21 b(dif)n(ferential)h(equations,)g(see)i Fp(e)o(.g)o(.)p FE(,)e([DPZ96],)h(the)f(authors)h(are)g(mostly)e(interested)h(in)240 1400 y(systems)j(where)h(each)h(of)f(the)h Fv(u)1375 1427 y Fn(k)1450 1400 y FE(is)f(forced)h(by)e(some)h(e)o(xternal)g (noise)g(term.)34 b(The)26 b(main)g(aim)g(of)240 1519 y(our)g(w)o(ork)f(is)h(to)f(study)g(forcing)h(by)f(noise)h(which)f Fp(acts)h(only)f(on)h(the)f(high-fr)l(equency)h(part)f FE(of)h Fv(u)p FE(,)240 1639 y(namely)c(on)g(the)h Fv(u)880 1666 y Fn(k)952 1639 y FE(with)f Fs(j)p Fv(k)s Fs(j)27 b(\025)h Fv(k)1447 1666 y Fm(\003)1516 1639 y FE(for)23 b(some)f(\002nite)h Fv(k)2168 1666 y Fm(\003)2241 1639 y Fs(2)28 b Fx(N)p FE(.)i(The)23 b(lo)n(w-frequenc)o(y)f(amplitudes)240 1759 y Fv(u)297 1785 y Fn(k)370 1759 y FE(with)i Fs(j)p Fv(k)s Fs(j)j Fv(<)h(k)867 1785 y Fm(\003)937 1759 y FE(are)d(then)f(only)g Fp(indir)l(ectly)g FE(forced)h(through)e(the)h (noise,)g(namely)g(through)f(the)240 1878 y(nonlinear)32 b(coupling)g(of)h(the)g(modes.)54 b(In)33 b(this)f(respect,)j(our)e (approach)h(is)e(reminiscent)g(of)h(the)240 1998 y(w)o(ork)26 b(done)h(on)g(thermally)e(dri)n(v)o(en)h(chains)g(in)h([EPR99a)q(,)f (EPR99b)q(,)g(EH00],)h(where)h(the)e(chains)240 2117 y(were)f(only)f(stochastically)g(dri)n(v)o(en)f(at)i(the)f(ends.)389 2237 y(In)31 b(the)f(conte)o(xt)f(of)i(our)f(problem,)h(the)f Fp(e)n(xistence)h FE(of)f(an)h(in)l(v)n(ariant)e(measure)i(is)f(a)g (classical)240 2356 y(result)18 b(for)i(the)f(noise)f(we)h(consider)g ([DPZ96],)i(and)e(the)g(main)f(no)o(v)o(elty)f(of)i(our)g(paper)h(is)e (a)i(proof)f(of)240 2476 y Fp(uniqueness)27 b FE(of)i(that)e(measure.) 42 b(T)-8 b(o)28 b(pro)o(v)o(e)g(uniqueness)f(we)i(be)o(gin)e(by)h(pro) o(ving)f(controllability)240 2595 y(of)32 b(the)g(equations,)i Fp(i.e)o(.)p FE(,)f(to)f(sho)n(w)f(that)h(the)g(high-frequenc)o(y)g (noise)g(together)g(with)f(non-linear)240 2715 y(coupling)19 b(ef)n(fecti)n(v)o(ely)f(dri)n(v)o(es)h(the)h(lo)n(w-frequenc)o(y)f (modes.)29 b(Using)19 b(this,)h(we)h(then)e(use)h(Mallia)n(vin)240 2834 y(calculus)27 b(in)h(in\002nite)f(dimensions,)f(to)i(sho)n(w)e(re) o(gularity)h(of)h(the)g(transition)e(probabilities.)38 b(This)240 2954 y(then)24 b(implies)f(uniqueness)h(of)h(the)g(in)l(v)n (ariant)e(measure.)389 3074 y(W)-8 b(e)25 b(will)f(study)g(the)h (system)e(of)i(equations)703 3302 y Fv(du)812 3329 y Fn(k)888 3302 y Ft(=)j Fs(\000)p Fv(k)1125 3260 y Fr(2)1171 3302 y Fv(u)1228 3329 y Fn(k)1293 3302 y Fv(dt)22 b Ft(+)1503 3222 y Fo(\000)1549 3302 y Fv(u)1606 3329 y Fn(k)1677 3302 y Fs(\000)g Ft(\()p Fv(u)1872 3260 y Fr(3)1917 3302 y Ft(\))1956 3329 y Fn(k)2005 3222 y Fo(\001)2067 3302 y Fv(dt)g Ft(+)2521 3235 y Fv(q)2565 3262 y Fn(k)p 2288 3280 559 4 v 2288 3299 a Fo(p)p 2388 3299 459 4 v 86 x Ft(4)p Fv(\031)t Ft(\(1)f(+)i Fv(k)2764 3356 y Fr(2)2808 3385 y Ft(\))2876 3302 y Fv(dw)2999 3329 y Fn(k)3048 3302 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))k FE(,)272 b(\(1.3\))240 3581 y(with)24 b Fv(u)j Fs(2)i(H)q FE(.)h(The)25 b(abo)o(v)o(e)f (equations)g(hold)g(for)h Fv(k)31 b Fs(2)d Fx(Z)p FE(,)d(and)g(it)f(is) g(al)o(w)o(ays)h(understood)f(that)1305 3804 y Ft(\()p Fv(u)1401 3761 y Fr(3)1446 3804 y Ft(\))1485 3831 y Fn(k)1561 3804 y Ft(=)1817 3710 y Fo(X)1678 3910 y Fj(k)1716 3925 y Fk(1)1755 3910 y(+)p Fj(k)1844 3925 y Fk(2)1883 3910 y(+)p Fj(k)1972 3925 y Fk(3)2011 3910 y(=)p Fj(k)1711 3972 y(k)1749 3987 y Fk(1)1788 3972 y Fj(;k)1849 3987 y Fk(2)1888 3972 y Fj(;k)1949 3987 y Fk(3)1987 3972 y Fi(2)p Fh(Z)2129 3804 y Fv(u)2186 3831 y Fn(k)2228 3841 y Fk(1)2272 3804 y Fv(u)2329 3831 y Fn(k)2371 3841 y Fk(2)2415 3804 y Fv(u)2472 3831 y Fn(k)2514 3841 y Fk(3)2586 3804 y FE(,)875 b(\(1.4\))240 4162 y(with)37 b Fv(u)512 4189 y Fm(\000)p Fn(k)675 4162 y Ft(=)58 b(\026)-56 b Fv(u)861 4189 y Fn(k)910 4162 y FE(.)69 b Fp(T)-9 b(o)38 b(avoid)g(inessential)e(notational)f(pr)l(oblems)h(we)j(will)e(work)h (with)g(e)o(ven)240 4281 y(periodic)24 b(functions,)f(so)h(that)g Fv(u)1362 4308 y Fn(k)1439 4281 y Ft(=)k Fv(u)1601 4308 y Fm(\000)p Fn(k)1740 4281 y Fs(2)g Fx(R)p FE(.)j(W)-8 b(e)25 b(will)f(w)o(ork)h(with)f(the)g(basis)1297 4545 y Fv(e)1343 4572 y Fn(k)1392 4545 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))44 b(=)1934 4478 y(1)p 1705 4522 509 4 v 1705 4542 a Fo(p)p 1804 4542 410 4 v 1804 4627 a Fv(\031)t Ft(\(1)21 b(+)i Fv(k)2130 4599 y Fr(2)2175 4627 y Ft(\))2242 4545 y FE(cos)p Ft(\()p Fv(k)s(x)p Ft(\))k Fv(:)866 b FE(\(1.5\))240 4823 y(Note)22 b(that)g(this)f(basis)h(is)g(orthonormal)f(w)-6 b(.r)h(.t.)21 b(the)h(scalar)h(product)f(in)g Fs(H)q FE(,)h(b)n(ut)f(the)g Fv(u)3146 4850 y Fn(k)3217 4823 y FE(are)h(actually)240 4955 y(gi)n(v)o(en)g(by)h Fv(u)663 4982 y Fn(k)739 4955 y Ft(=)k(\(4)p Fv(\031)t Ft(\(1)19 b(+)i Fv(k)1255 4912 y Fr(2)1300 4955 y Ft(\)\))1378 4912 y Fm(\000)p Fr(1)p Fn(=)p Fr(2)1564 4955 y Fs(h)p Fv(u;)c(e)1751 4982 y Fn(k)1800 4955 y Fs(i)p FE(.)30 b(\(W)-8 b(e)25 b(choose)f(this)g(to)f(mak)o(e)i(the)f(cubic)g(term)g (\(1.4\))240 5074 y(look)g(simple.\))389 5194 y(The)29 b(noise)g(is)g(supposed)f(to)h(act)g(only)g(on)g(the)g(high)f (frequencies,)j(b)n(ut)d(there)i(we)f(need)h(it)e(to)240 5313 y(be)g(strong)g(enough)g(in)g(the)g(follo)n(wing)f(w)o(ay)-6 b(.)41 b(Let)29 b Fv(a)2072 5340 y Fn(k)2155 5313 y Ft(=)35 b Fv(k)2322 5271 y Fr(2)2392 5313 y Ft(+)25 b(1)p FE(.)42 b(Then)28 b(we)h(require)g(that)f(there)240 5433 y(e)o(xist)23 b(constants)h Fv(c)890 5460 y Fr(1)935 5433 y Fv(;)17 b(c)1023 5460 y Fr(2)1095 5433 y Fv(>)28 b Ft(0)c FE(such)h(that)f(for) h Fv(k)31 b Fs(\025)d Fv(k)2037 5460 y Fm(\003)2083 5433 y FE(,)804 5653 y Fv(c)847 5680 y Fr(1)892 5653 y Fv(a)945 5610 y Fm(\000)p Fn(\013)945 5683 y(k)1091 5653 y Fs(\024)h Fv(q)1241 5680 y Fn(k)1318 5653 y Fs(\024)f Fv(c)1466 5680 y Fr(2)1511 5653 y Fv(a)1564 5605 y Fm(\000)p Fn(\014)1564 5683 y(k)1707 5653 y FE(,)199 b Fv(\013)28 b Fs(\025)g Ft(2)g FE(,)99 b Fv(\013)22 b Fs(\000)h Ft(1)p Fv(=)p Ft(8)k Fv(<)h(\014)34 b Fs(\024)28 b Fv(\013)g(:)373 b FE(\(1.6\))p eop %%Page: 4 4 4 3 bop 242 -75 a FE(I)t Fu(N)t(T)t(R)q(O)t(D)t(U)t(C)t(T)t(I)5 b(O)t(N)2731 b Fx(4)240 273 y FE(These)25 b(conditions)e(imply)1438 444 y Fm(1)1406 474 y Fo(X)1405 688 y Fn(k)r Fr(=0)1550 568 y Ft(\(1)f(+)g Fv(k)1815 525 y Fr(4)p Fn(\013)p Fm(\000)p Fr(3)p Fn(=)p Fr(2)2094 568 y Ft(\))p Fv(q)2181 525 y Fr(2)2177 595 y Fn(k)2254 568 y Fv(<)28 b Fs(1)g FE(,)1674 826 y(sup)1648 912 y Fn(k)r Fm(\025)p Fn(k)1796 922 y Fi(\003)1855 826 y Fv(k)1910 783 y Fm(\000)p Fr(2)p Fn(\013)2069 826 y Fv(q)2117 783 y Fm(\000)p Fr(1)2113 855 y Fn(k)2251 826 y Fv(<)h Fs(1)e Fv(:)389 1119 y FE(W)-8 b(e)27 b(formulate)f(the)h (problem)f(in)g(a)h(more)g(general)g(setting:)33 b(Let)26 b Fv(F)14 b Ft(\()p Fv(u)p Ft(\))26 b FE(be)h(a)g(polynomial)e(of)240 1238 y(odd)30 b(de)o(gree)g(with)f(ne)o(gati)n(v)o(e)f(leading)i(coef)n (\002cient.)47 b(Let)30 b Fv(A)h FE(be)f(the)g(operator)g(of)h (multiplication)240 1358 y(by)24 b Ft(1)e(+)h Fv(k)591 1315 y Fr(2)660 1358 y FE(and)i(let)g Fv(Q)f FE(be)h(the)g(operator)g (of)g(multiplication)d(by)i Fv(q)2540 1385 y Fn(k)2590 1358 y FE(.)31 b(Then)24 b(\(1.3\))h(is)f(of)h(the)g(form)1098 1576 y Fv(d)p Ft(\010)1222 1533 y Fn(t)1301 1576 y Ft(=)45 b Fs(\000)p Fv(A)p Ft(\010)1647 1533 y Fn(t)1699 1576 y Fv(dt)22 b Ft(+)h Fv(F)14 b Ft(\(\010)2098 1533 y Fn(t)2132 1576 y Ft(\))j Fv(dt)22 b Ft(+)g Fv(Q)17 b(dW)d Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))26 b FE(,)668 b(\(1.7\))240 1795 y(where)29 b Fv(dW)14 b Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))34 b(=)932 1720 y Fo(P)1037 1744 y Fm(1)1037 1824 y Fn(k)r Fr(=0)1204 1795 y Fv(e)1250 1821 y Fn(k)1299 1795 y Fv(dw)1422 1821 y Fn(k)1471 1795 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))29 b FE(is)f(the)g(c)o(ylindrical)g(W)l(iener)g (process)h(on)f Fs(H)i FE(with)e(the)h Fv(w)3628 1821 y Fn(k)240 1925 y FE(mutually)19 b(independent)i(real)g(Bro)n(wnian)g (motions.)2054 1882 y Fq(1)2122 1925 y FE(W)-8 b(e)21 b(de\002ne)h Ft(\010)2610 1882 y Fn(t)2645 1925 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))20 b FE(as)h(the)g(solution)f(of)h(\(1.7\))240 2044 y(with)i(initial)g(condition)g Ft(\010)1171 2001 y Fr(0)1216 2044 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))26 b(=)j Fv(\030)5 b FE(.)29 b(Clearly)-6 b(,)25 b(the)f(conditions)f(on)h Fv(Q)g FE(can)h(be)f(formulated)g(as)1523 2273 y Fs(k)p Fv(A)1648 2230 y Fn(\013)p Fm(\000)p Fr(3)p Fn(=)p Fr(8)1886 2273 y Fv(Q)p Fs(k)2015 2300 y Fq(HS)2137 2273 y Fv(<)k Fs(1)f FE(,)1048 b(\(1.8a\))1292 2423 y Fv(q)1340 2380 y Fm(\000)p Fr(1)1336 2452 y Fn(k)1447 2423 y Fv(k)1502 2380 y Fm(\000)p Fr(2)p Fn(\013)1686 2423 y FE(is)24 b(bounded)g(for)h Fv(k)31 b Fs(\025)d Fv(k)2526 2450 y Fm(\003)2599 2423 y FE(,)812 b(\(1.8b\))240 2641 y(where)24 b Fs(k)17 b(\001)e(k)667 2668 y Fq(HS)785 2641 y FE(is)23 b(the)g(Hilbert-Schmidt)g(norm)f(on)i Fs(H)q FE(.)30 b(Note)23 b(that)g(for)h(each)g Fv(k)s FE(,)g(\(1.3\))g(is)f(obtained) 240 2774 y(by)h(multiplying)e(\(1.7\))j(by)g Ft(\(4)p Fv(\031)t Ft(\(1)20 b(+)j Fv(k)1609 2731 y Fr(2)1653 2774 y Ft(\)\))1731 2731 y Fm(\000)p Fr(1)p Fn(=)p Fr(2)1918 2774 y Fs(h\001)p Fv(;)17 b(e)2076 2801 y Fn(k)2125 2774 y Fs(i)p FE(.)240 2992 y Fx(Important)25 b(Remark.)51 b FE(The)19 b(crucial)h(aspect)f(of)g(our)g(conditions)f(is)h(the)g (possibility)e(of)i(choosing)240 3112 y Fv(q)284 3139 y Fn(k)361 3112 y Ft(=)28 b(0)20 b FE(for)h(all)f Fv(k)31 b(<)d(k)1033 3139 y Fm(\003)1079 3112 y FE(,)21 b Fp(i.e)o(.)p FE(,)g(the)f(noise)g(dri)n(v)o(es)f(only)g(the)i(high)e(frequencies.)30 b(But)20 b(we)h(also)f(allo)n(w)240 3231 y(an)o(y)g(of)i(the)f Fv(q)695 3258 y Fn(k)765 3231 y FE(with)g Fv(k)30 b(<)e(k)1203 3258 y Fm(\003)1270 3231 y FE(to)21 b(be)g(dif)n(ferent)g(from)g(0,)h (which)e(corresponds)h(to)g(long)f(w)o(a)n(v)o(elength)240 3351 y(forcing.)40 b(Furthermore,)29 b(as)f(we)g(are)h(allo)n(wing)e Fv(\013)h FE(to)g(be)g(arbitrarily)f(lar)n(ge,)j(this)d(means)g(that)h (the)240 3471 y(forcing)35 b(at)h(high)e(frequencies)i(has)f(an)h (amplitude)e(which)h(can)h(decay)g(lik)o(e)f(an)o(y)g(po)n(wer)-5 b(.)62 b(The)240 3590 y(point)22 b(of)g(this)g(paper)i(is)e(to)h(sho)n (w)e(that)i(these)f(conditions)g(are)h(suf)n(\002cient)f(to)h(ensure)g (the)g(e)o(xistence)240 3710 y(of)i(a)g(unique)f(in)l(v)n(ariant)f (measure)i(for)g(\(1.7\).)240 3948 y Fx(Theor)n(em)h(1.1)50 b Fp(The)25 b(pr)l(ocess)f(\(1.7\))g(has)h(a)f(unique)h(in)l(variant)e (Bor)l(el)h(measur)l(e)h(on)g Fs(H)q Fp(.)389 4147 y FE(There)38 b(are)g(tw)o(o)f(main)g(steps)g(in)g(the)g(proof)g(of)g (Theorem)h(1.1.)68 b(First,)40 b(the)d(nature)h(of)f(the)240 4267 y(nonlinearity)24 b Fv(F)40 b FE(implies)24 b(that)h(the)h(modes)f (with)g Fv(k)32 b Fs(\025)e Fv(k)2225 4294 y Fm(\003)2296 4267 y FE(couple)c(in)f(such)g(a)h(w)o(ay)g(to)g(those)f(with)240 4386 y Fv(k)31 b(<)d(k)480 4413 y Fm(\003)551 4386 y FE(as)d(to)f(allo)n(w)g Fp(contr)l(ollability)p FE(.)k(Intuiti)n(v)o (ely)-6 b(,)21 b(this)j(means)h(that)f(an)o(y)g(point)g(in)h(phase)g (space)240 4506 y(can)37 b(be)f(reached)i(to)e(arbitrary)g(precision)g (in)g(an)o(y)g(gi)n(v)o(en)f(time,)j(by)f(a)f(suitable)g(choice)h(of)f (the)240 4626 y(high-frequenc)o(y)24 b(controls.)389 4745 y(Second,)34 b(we)e(sho)n(w)e(that)h(a)h(v)o(ersion)e(of)i(the)g (Mallia)n(vin)e(calculus)h(can)h(be)f(implemented)f(in)240 4865 y(our)d(in\002nite-dimensional)d(conte)o(xt.)36 b(This)27 b(will)f(be)h(the)g(hard)g(part)g(of)g(our)g(study)-6 b(,)26 b(and)h(the)g(main)240 4984 y(result)h(of)h(that)f(part)g(is)h (a)g(proof)f(that)g(the)h(strong)f(Feller)h(property)f(holds.)41 b(This)28 b(means)g(that)h(for)240 5104 y(an)o(y)24 b(measurable)h (function)f Fv(')j Fs(2)h(B)1494 5131 y Fn(b)1535 5104 y Ft(\()p Fs(H)q Ft(\))p FE(,)c(the)h(function)1344 5273 y Fo(\000)1389 5354 y Fs(P)1466 5311 y Fn(t)1502 5354 y Fv(')1567 5273 y Fo(\001)1613 5354 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))43 b Fs(\021)h Fx(E)1971 5243 y Fo(\020)2030 5273 y(\000)2076 5354 y Fv(')22 b Fs(\016)g Ft(\010)2307 5311 y Fn(t)2342 5273 y Fo(\001)2388 5354 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))2515 5243 y Fo(\021)3486 5354 y FE(\(1.9\))p 240 5432 1375 4 v 348 5499 a Fg(1)383 5542 y Fu(It)18 b(is)f(con)m(v)o(enient)h(to)g(ha)n(v)o(e,)h(in)f(the)g(case)g(of)g (\(1.3\),)e FB(A)24 b FC(=)g(1)10 b Ff(\000)g FC(\001)17 b Fu(and)h FB(F)12 b FC(\()p FB(u)p FC(\))23 b(=)g(2)p FB(u)10 b Ff(\000)g FB(u)2818 5499 y FA(3)2877 5542 y Fu(rather)18 b(than)g FB(A)24 b FC(=)f Ff(\000)p FC(1)10 b Ff(\000)g FC(\001)240 5653 y Fu(and)20 b FB(F)12 b FC(\()p FB(u)p FC(\))23 b(=)g Ff(\000)p FB(u)783 5610 y FA(3)824 5653 y Fu(.)p eop %%Page: 5 5 5 4 bop 242 -75 a FE(S)t Fu(O)t(M)t(E)32 b FE(P)t Fu(R)t(E)t(L)t(I)t(M) t(I)t(N)r(A)t(R)5 b(I)g(E)t(S)36 b(O)t(N)30 b(T)t(H)t(E)g FE(D)o Fu(Y)t(N)q(A)t(M)t(I)t(C)t(S)1599 b Fx(5)240 273 y FE(is)28 b Fp(continuous)p FE(.)799 230 y Fq(2)879 273 y FE(W)-8 b(e)29 b(sho)n(w)e(this)h(by)g(pro)o(ving)f(that)h(a)h (cutof)n(f)f(v)o(ersion)f(of)i(\(1.7\))f(\(modifying)f(the)240 393 y(dynamics)d(at)g(lar)n(ge)i(amplitudes)d(by)h(a)h(parameter)h Fv(\045)p FE(\))e(mak)o(es)h Fs(P)2510 350 y Fn(t)2488 420 y(\045)2545 393 y Fv(')g FE(a)g Fp(dif)n(fer)l(entiable)f FE(map.)389 512 y(The)32 b(interest)e(in)h(such)h(highly)e(de)o (generate)h(stochastic)g(PDE')-5 b(s)31 b(is)g(related)g(to)g (questions)f(in)240 632 y(hydrodynamics)k(where)i(one)h(w)o(ould)e(ask) h(ho)n(w)f(\223ener)n(gy\224)i(is)f(transferred)h(from)f(high)f(to)h (lo)n(w)240 752 y(frequenc)o(y)26 b(modes,)f(and)h(vice)g(v)o(ersa)g (when)f(only)h(some)f(of)h(the)g(modes)f(are)i(dri)n(v)o(en.)32 b(This)25 b(could)240 871 y(then)k(shed)g(some)g(light)g(on)g(the)g (entrop)o(y-enstrophy)f(problem)h(in)g(the)g(\(dri)n(v)o(en\))g(Na)n (vier)n(-Stok)o(es)240 991 y(equation.)389 1110 y(T)-8 b(o)35 b(end)g(this)f(introduction,)h(we)h(will)e(try)g(to)h(compare)g (the)g(results)f(of)h(our)g(paper)g(to)f(cur)n(-)240 1230 y(rent)f(w)o(ork)g(of)g(others.)56 b(These)33 b(groups)f(consider) h(the)g Ft(2)p FE(-D)h(Na)n(vier)f(Stok)o(es)g(equation)f(without)240 1349 y(deterministic)26 b(e)o(xternal)h(forces,)h(also)f(in)g(bounded)g (domains.)37 b(In)28 b(these)f(equations,)g(an)o(y)g(initial)240 1469 y(condition)f(e)n(v)o(entually)h(con)l(v)o(er)n(ges)h(to)g(zero,)h (as)g(long)e(as)i(there)f(is)g(no)g(stochastic)f(forcing.)41 b(First)240 1588 y(there)30 b(is)f(earlier)i(w)o(ork)e(by)h (Flandoli-Maslo)o(vski)d([FM95])j(dealing)f(with)g(noise)g(whose)h (ampli-)240 1708 y(tude)f(is)h(bounded)f(belo)n(w)g(by)h Fs(j)p Fv(k)s Fs(j)1423 1665 y Fm(\000)p Fn(c)1525 1708 y FE(.)46 b(In)30 b(the)g(w)o(ork)g(of)g([BKL00],)h(the)f(stochastic)f (forcing)h(acts)240 1827 y(on)23 b(modes)f(with)h(lo)n(w)f Fv(k)s FE(,)i(and)f(the)o(y)f(get)i(uniqueness)e(of)h(the)g(in)l(v)n (ariant)f(measure)i(and)f(analyticity)-6 b(,)240 1947 y(with)32 b(probability)g(1.)55 b(In)34 b(the)f(w)o(ork)g(of)g(K)o (uksin)f(and)h(Shirik)o(yan)f([KA00])h(the)g(bounded)g(noise)240 2067 y(is)28 b(quite)g(general)h(acts)f(on)h(all)f(F)o(ourier)h(modes,) f(and)h(acts)g(at)f(de\002nite)h(times)f(with)f(\224noise-less\224)240 2186 y(interv)n(als)h(in-between.)44 b(Again,)30 b(the)f(measure)h(is)f (unique.)44 b(It)29 b(is)g(supported)g(by)g Fs(C)3167 2143 y Fm(1)3281 2186 y FE(functions,)240 2306 y(is)c(mixing)g(and)h (has)g(a)h(Gibbs)e(property)-6 b(.)34 b(In)26 b(the)g(w)o(ork)g(of)h ([ESM00)o(],)g(uniqueness)e(is)h(sho)n(wn)f(for)240 2425 y(NS)g(by)f(forcing)h(only)f(3)h(modes.)389 2545 y(The)30 b(main)f(dif)n(ference)i(between)f(those)f(results)g(and)h(the)g (present)g(paper)g(is)g(our)g(control)f(of)240 2664 y(a)h(situation)f (which)h(is)f(already)i(unstable)e(at)i(the)f(deterministic)e(le)n(v)o (el.)46 b(Thus,)31 b(in)f(this)f(sense,)i(it)240 2784 y(comes)i(closer)g(to)f(a)i(description)e(of)h(a)h(deterministically)d (turb)n(ulent)h(\003uid)h(\()p Fp(e)o(.g)o(.)p FE(,)h(obtained)e(by)240 2903 y(an)d(e)o(xternal)f(force\).)43 b(On)29 b(the)f(other)h(hand,)g (in)f(our)h(w)o(ork,)g(we)g(need)g(to)g(actually)f(force)h(all)g(high) 240 3023 y(spatial)19 b(frequencies.)30 b(Perhaps,)21 b(this)f(could)g(be)g(eliminated)f(by)h(a)h(combination)d(with)i(ideas) g(from)240 3143 y(the)k(papers)h(abo)o(v)o(e.)240 3412 y FD(2)119 b(Some)30 b(Pr)n(eliminaries)g(on)g(the)h(Dynamics)240 3621 y FE(Here,)26 b(we)g(summarize)e(some)h(f)o(acts)h(about)f (deterministic)f(and)h(stochastic)f(GL)i(equations)e(from)240 3740 y(the)g(literature)h(which)f(we)h(need)g(to)g(get)f(started.)389 3860 y(W)-8 b(e)25 b(will)f(consider)h(the)f(dynamics)g(on)h(the)f (follo)n(wing)f(space:)240 4083 y Fx(De\002nition)i(2.1)50 b Fp(W)-9 b(e)31 b(de\002ne)f Fs(H)i Fp(as)f(the)f(subspace)g(of)h(e)o (ven)g(functions)e(in)h Fs(W)2992 4040 y Fr(1)2984 4110 y Fq(per)3078 4083 y Ft(\([)p Fs(\000)p Fv(\031)t(;)17 b(\031)t Ft(]\))p Fp(.)46 b(The)240 4202 y(norm)24 b(on)g Fs(H)i Fp(will)f(be)g(denoted)f(by)h Fs(k)39 b(\001)f(k)17 b Fp(,)24 b(and)h(the)f(scalar)g(pr)l(oduct)g(by)h Fs(h\001)p Fv(;)17 b Fs(\001i)d Fp(.)389 4394 y FE(W)-8 b(e)25 b(consider)g (\002rst)g(the)f(deterministic)g(equation)1163 4586 y Ft(_)-45 b Fv(u)27 b Ft(=)i(\001)p Fv(u)22 b Ft(+)g Fv(u)h Fs(\000)f Fv(u)1833 4543 y Fr(3)1906 4586 y FE(,)99 b Fv(u)p Ft(\(0\))27 b(=)h Fv(u)2404 4543 y Fr(\(0\))2539 4586 y Fs(2)g(H)h FE(,)715 b(\(2.1\))240 4778 y(Due)28 b(to)g(its)g(dissipati)n(v)o(e)e(character)j(the)g(solutions)d(are,)k (for)f(positi)n(v)o(e)d(times,)i(analytic)g(in)g(a)h(strip)240 4897 y(around)24 b(the)h(real)g(axis.)30 b(More)25 b(precisely)-6 b(,)24 b(denote)h(by)f Fs(k)e(\001)g(k)2309 4924 y Fe(A)2373 4934 y Fj(\021)2446 4897 y FE(the)j(norm)1464 5101 y Fs(k)p Fv(f)11 b Fs(k)1624 5128 y Fe(A)1688 5138 y Fj(\021)1764 5101 y Ft(=)94 b FE(sup)1869 5192 y Fm(j)p Fq(Im)p Fn(z)s Fm(j\024)p Fn(\021)2157 5101 y Fs(j)p Fv(f)11 b Ft(\()p Fv(z)t Ft(\))p Fs(j)27 b FE(,)240 5371 y(and)h(by)f Fd(A)619 5398 y Fn(\021)696 5371 y FE(the)g(corresponding)g(Banach)i(space)f(of) g(analytic)g(functions.)38 b(Then)28 b(the)g(follo)n(wing)240 5491 y(result)c(holds.)p 240 5544 1375 4 v 348 5610 a Fg(2)383 5653 y Fu(Throughout)18 b(the)j(paper)m(,)e Fc(E)i Fu(denotes)f(e)o(xpectation)h(and)f Fc(P)g Fu(denotes)g (probability)g(for)f(the)h(random)f(v)n(ariables.)p eop %%Page: 6 6 6 5 bop 242 -75 a FE(C)t Fu(O)t(N)t(T)t(R)q(O)t(L)t(L)t(A)t(B)5 b(I)g(L)t(I)g(T)t(Y)2568 b Fx(6)240 273 y(Lemma)25 b(2.2)49 b Fp(F)-10 b(or)30 b(e)o(very)h(initial)d(value)i Fv(u)1751 230 y Fr(\(0\))1896 273 y Fs(2)39 b(H)q Fp(,)32 b(ther)l(e)e(e)n(xist)g (a)h(time)f Fv(T)44 b Fp(and)30 b(a)g(constant)g Fv(C)240 393 y Fp(suc)o(h)g(that)f(for)i Ft(0)38 b Fv(<)h(t)g Fs(\024)g Fv(T)14 b Fp(,)32 b(the)f(solution)d Fv(u)p Ft(\()p Fv(t;)17 b(u)2047 350 y Fr(\(0\))2153 393 y Ft(\))31 b Fp(of)f(\(2.1\))h(belongs)f(to)g Fd(A)3058 401 y Fi(p)p 3112 401 29 3 v 3112 443 a Fj(t)3181 393 y Fp(and)g(satis\002es)240 553 y Fs(k)p Fv(u)p Ft(\()p Fv(t;)17 b(u)524 511 y Fr(\(0\))630 553 y Ft(\))p Fs(k)719 580 y Fe(A)783 562 y Fi(p)p 837 562 V 837 603 a Fj(t)902 553 y Fs(\024)29 b Fv(C)7 b Fp(.)240 784 y(Pr)l(oof)o(.)47 b FE(The)32 b(statement)f(is)g(pro)o(v)o (en)f(in)h([Col94])h(for)g(the)f(case)h(of)g(the)f(in\002nite)g(line.) 51 b(Since)32 b(the)240 903 y(periodic)24 b(functions)f(form)i(an)g(in) l(v)n(ariant)e(subspace)h(under)h(the)f(e)n(v)n(olution,)f(the)h (result)g(applies)g(to)240 1023 y(our)g(case.)3677 1023 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 1023 a 240 1239 a FE(W)-8 b(e)25 b(ne)o(xt)f(collect)g(some)h (useful)f(results)g(for)h(the)g(stochastic)f(equation)g(\(1.7\):)240 1476 y Fx(Pr)n(oposition)g(2.3)50 b Fp(F)-10 b(or)34 b(e)o(very)h Fv(t)46 b(>)h Ft(0)34 b Fp(and)h(e)o(very)g Fv(p)46 b Fs(\025)h Ft(1)34 b Fp(the)h(solution)e(of)h(\(1.7\))h(with)g (initial)240 1596 y(condition)c Ft(\010)721 1553 y Fr(0)765 1596 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))41 b(=)h Fv(\030)k Fs(2)c(H)33 b Fp(e)n(xists)f(in)g Fs(H)i Fp(up)e(to)g(time)g Fv(t)p Fp(.)53 b(It)32 b(de\002nes)h(by)f(\(1.9\))g(a)h(Mark)o(o)o(vian)240 1715 y(tr)o(ansition)22 b(semigr)l(oup)h(on)h Fs(H)q Fp(.)31 b(One)25 b(has)f(the)h(bound)1148 1957 y Fx(E)1215 1846 y Fo(\020)1320 1957 y FE(sup)1274 2048 y Fn(s)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;t)p Fr(])1521 1957 y Fs(k)p Ft(\010)1643 1914 y Fn(s)1685 1957 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p Fs(k)1862 1914 y Fn(p)1907 1846 y Fo(\021)1994 1957 y Fs(\024)28 b Fv(C)2170 1984 y Fn(t;p)2270 1957 y Ft(\(1)22 b(+)g Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)p Ft(\))2668 1914 y Fn(p)2741 1957 y Fv(:)240 2250 y Fp(Furthermor)l(e)o(,)24 b(the)g(pr)l(ocess)g (\(1.7\))h(has)f(an)h(in)l(variant)e(measur)l(e)o(.)240 2448 y FE(These)30 b(results)f(are)i(well-kno)n(wn)e(and)h(in)g (Section)g(8.6)g(we)h(sk)o(etch)f(where)g(to)g(\002nd)h(them)e(in)h (the)240 2568 y(literature.)240 2841 y FD(3)119 b(Contr)n(ollability) 240 3050 y FE(In)21 b(this)f(section)h(we)g(sho)n(w)f(the)h (\223approximate)f(controllability\224)g(of)h(\(1.3\).)29 b(The)21 b(control)g(problem)240 3170 y(under)j(consideration)g(is)927 3386 y Ft(_)-45 b Fv(u)27 b Ft(=)h(\001)p Fv(u)23 b Ft(+)f Fv(u)g Fs(\000)h Fv(u)1597 3343 y Fr(3)1664 3386 y Ft(+)f Fv(Q)17 b(f)11 b Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))26 b FE(,)200 b Fv(u)p Ft(\(0\))27 b(=)h Fv(u)2658 3343 y Fr(\(i\))2775 3386 y Fs(2)g(H)h FE(,)479 b(\(3.1\))240 3602 y(where)27 b Fv(f)38 b FE(is)27 b(the)f(control.)37 b(Using)26 b(F)o(ourier)h (series')g(and)g(the)g(hypotheses)f(on)h Fv(Q)p FE(,)g(we)g(see)h(that) e(by)240 3722 y(choosing)d Fv(f)673 3749 y Fn(k)750 3722 y Fs(\021)28 b Ft(0)d FE(for)g Fs(j)p Fv(k)s Fs(j)i Fv(<)h(k)1366 3749 y Fm(\003)1412 3722 y FE(,)c(\(3.1\))h(can)g(be)g(brought)f(to)h (the)f(form)291 4126 y Ft(_)-45 b Fv(u)331 4152 y Fn(k)407 4126 y Ft(=)513 3862 y Fo(8)513 3951 y(>)513 3981 y(>)513 4011 y(<)513 4190 y(>)513 4220 y(>)513 4250 y(:)651 3965 y Fs(\000)p Fv(k)783 3923 y Fr(2)828 3965 y Fv(u)885 3992 y Fn(k)956 3965 y Ft(+)23 b Fv(u)1113 3992 y Fn(k)1184 3965 y Fs(\000)1402 3871 y Fo(X)1284 4085 y Fn(`)p Fr(+)p Fn(m)p Fr(+)p Fn(n)p Fr(=)p Fn(k)1681 3965 y Fv(u)1738 3992 y Fn(`)1776 3965 y Fv(u)1833 3992 y Fn(m)1909 3965 y Fv(u)1966 3992 y Fn(n)2043 3965 y Ft(+)2387 3898 y Fv(q)2431 3925 y Fn(k)p 2154 3942 559 4 v 2154 3962 a Fo(p)p 2254 3962 459 4 v 86 x Ft(4)p Fv(\031)t Ft(\(1)e(+)h Fv(k)2629 4019 y Fr(2)2674 4048 y Ft(\))2725 3965 y Fv(f)2774 3992 y Fn(k)2822 3965 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))28 b FE(,)199 b Fs(j)p Fv(k)s Fs(j)27 b(\025)h Fv(k)3483 3992 y Fm(\003)3556 3965 y FE(,)651 4208 y Fs(\000)p Fv(k)783 4165 y Fr(2)828 4208 y Fv(u)885 4235 y Fn(k)956 4208 y Ft(+)23 b Fv(u)1113 4235 y Fn(k)1184 4208 y Fs(\000)1402 4113 y Fo(X)1284 4328 y Fn(`)p Fr(+)p Fn(m)p Fr(+)p Fn(n)p Fr(=)p Fn(k)1681 4208 y Fv(u)1738 4235 y Fn(`)1776 4208 y Fv(u)1833 4235 y Fn(m)1909 4208 y Fv(u)1966 4235 y Fn(n)2048 4208 y FE(,)1115 b Fs(j)p Fv(k)s Fs(j)27 b Fv(<)h(k)3483 4235 y Fm(\003)3556 4208 y FE(,)3486 4424 y(\(3.2\))240 4544 y(with)39 b Fs(f)p Fv(u)564 4571 y Fn(k)613 4544 y Fs(g)56 b(2)h(H)41 b FE(and)f Fv(t)56 b Fs(7!)g(f)p Fv(f)1498 4571 y Fn(k)1547 4544 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))p Fs(g)f(2)i Ft(L)1951 4501 y Fm(1)2035 4544 y Ft(\([0)p Fv(;)17 b(\034)11 b Ft(])p Fv(;)17 b Fs(H)q Ft(\))p FE(.)74 b(W)-8 b(e)41 b(will)e(refer)i(in)f(the)g(sequel)240 4663 y(to)d Fs(f)p Fv(u)462 4690 y Fn(k)511 4663 y Fs(g)561 4690 y Fm(j)p Fn(k)r Fm(j)p Fn()28 b Ft(0)c Fp(the)g(following)g(is)g(true:)30 b(F)-10 b(or)24 b(e)o(very)g Fv(u)3007 5336 y Fr(\(i\))3097 5379 y Fv(;)17 b(u)3199 5336 y Fr(\(f)6 b(\))3324 5379 y Fs(2)28 b(H)d Fp(and)240 5498 y(e)o(very)32 b Fv(")43 b(>)f Ft(0)p Fp(,)34 b(ther)l(e)f(e)n (xists)f(a)g(contr)l(ol)f Fv(f)52 b Fs(2)43 b Ft(L)1959 5455 y Fm(1)2043 5498 y Ft(\([0)p Fv(;)17 b(\034)11 b Ft(])p Fv(;)17 b Fs(H)q Ft(\))30 b Fp(suc)o(h)i(that)f(the)i(solution)d Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))i Fp(of)240 5628 y(\(3.1\))25 b(with)f Fv(u)p Ft(\(0\))j(=)h Fv(u)1026 5585 y Fr(\(i\))1141 5628 y Fp(satis\002es)23 b Fs(k)p Fv(u)p Ft(\()p Fv(\034)11 b Ft(\))22 b Fs(\000)g Fv(u)1899 5585 y Fr(\(f)6 b(\))1997 5628 y Fs(k)27 b(\024)i Fv(")p Fp(.)p eop %%Page: 7 7 7 6 bop 242 -75 a FE(C)t Fu(O)t(N)t(T)t(R)q(O)t(L)t(L)t(A)t(B)5 b(I)g(L)t(I)g(T)t(Y)2568 b Fx(7)240 273 y Fp(Pr)l(oof)o(.)47 b FE(The)37 b(construction)f(of)h(the)f(control)h(proceeds)g(in)f(4)h (dif)n(ferent)f(phases,)k(of)d(which)f(the)240 393 y(third)22 b(is)g(the)h(actual)g(controlling)e(of)i(the)f(lo)n(w-frequenc)o(y)g (part)h(by)f(the)h(high-frequenc)o(y)f(controls.)240 512 y(In)38 b(the)g(construction,)i(we)e(will)g(encounter)g(a)g(time)g Fv(\034)11 b Ft(\()p Fv(R)q(;)17 b(")2419 470 y Fm(0)2445 512 y Ft(\))38 b FE(which)g(depends)g(on)g(the)g(norm)240 642 y Fv(R)f FE(of)g Fv(u)530 600 y Fr(\(f)6 b(\))664 642 y FE(and)37 b(some)f(precision)g Fv(")1540 600 y Fm(0)1568 642 y FE(.)67 b(Gi)n(v)o(en)35 b(this)h(function,)j(we)e (split)e(the)i(gi)n(v)o(en)e(time)h Fv(\034)48 b FE(as)240 762 y Fv(\034)k Ft(=)455 687 y Fo(P)560 712 y Fr(4)560 792 y Fn(i)p Fr(=1)711 762 y Fv(\034)755 789 y Fn(i)788 762 y FE(,)34 b(with)d Fv(\034)1100 789 y Fr(4)1186 762 y Fs(\024)42 b Fv(\034)11 b Ft(\()p Fs(k)p Fv(u)1506 719 y Fr(\(f)6 b(\))1603 762 y Fs(k)f Fv(;)17 b("=)p Ft(2\))31 b FE(and)h(all)g Fv(\034)2271 789 y Fn(i)2346 762 y Fv(>)41 b Ft(0)p FE(.)53 b(W)-8 b(e)33 b(will)f(use)g(the)g (cumulated)240 898 y(times)24 b Fv(t)517 925 y Fn(j)586 898 y Ft(=)691 823 y Fo(P)796 848 y Fn(j)796 928 y(i)p Fr(=1)947 898 y Fv(\034)991 925 y Fn(i)1024 898 y FE(.)240 1140 y Fx(Step)i(1.)49 b FE(In)27 b(this)f(step)g(we)h(choose)f Fv(f)41 b Fs(\021)32 b Ft(0)p FE(,)27 b(and)f(we)h(de\002ne)g Fv(u)2432 1098 y Fr(\(1\))2570 1140 y Ft(=)32 b Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)2811 1167 y Fr(1)2855 1140 y Ft(\))p FE(,)27 b(where)g Fv(t)k Fs(7!)f Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))c FE(is)240 1272 y(the)k(solution)f(of)h(\(3.1\))g(with)g(initial)f (condition)g Fv(u)p Ft(\(0\))37 b(=)i Fv(u)2351 1230 y Fr(\(i\))2441 1272 y FE(.)47 b(Since)31 b(there)g(is)f(no)g(control,) h(we)240 1402 y(really)24 b(ha)n(v)o(e)h(\(2.1\))g(and)g(hence,)g(by)f (Lemma)g(2.2,)h(we)g(see)g(that)f Fv(u)2520 1360 y Fr(\(1\))2655 1402 y Fs(2)k Fd(A)2829 1429 y Fn(\021)2903 1402 y FE(for)d(some)f Fv(\021)32 b(>)c Ft(0)p FE(.)240 1645 y Fx(Step)e(2.)49 b FE(W)-8 b(e)31 b(will)f(construct)g(a)h(smooth)e(control)h Fv(f)49 b Ft(:)38 b([)p Fv(t)2260 1672 y Fr(1)2305 1645 y Fv(;)17 b(t)2386 1672 y Fr(2)2430 1645 y Ft(])38 b Fs(!)g(H)32 b FE(such)e(that)g Fv(u)3200 1602 y Fr(\(2\))3346 1645 y Ft(=)39 b Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)3594 1672 y Fr(2)3638 1645 y Ft(\))240 1764 y FE(satis\002es:)1671 1884 y Ft(\005)1746 1911 y Fr(H)1810 1884 y Fv(u)1867 1841 y Fr(\(2\))2018 1884 y Ft(=)45 b(0)27 b Fv(:)240 2061 y FE(In)g(other)h(w)o(ords,)f(in) g(this)g(step,)g(we)h(dri)n(v)o(e)e(the)h(high-frequenc)o(y)g(part)h (to)f Ft(0)p FE(.)38 b(T)-8 b(o)27 b(construct)g Fv(f)11 b FE(,)28 b(we)240 2181 y(choose)g(a)g Fs(C)675 2138 y Fm(1)788 2181 y FE(function)f Fv(')34 b Ft(:)f([)p Fv(t)1372 2208 y Fr(1)1416 2181 y Fv(;)17 b(t)1497 2208 y Fr(2)1541 2181 y Ft(])33 b Fs(!)h Fx(R)p FE(,)28 b(interpolating)f (between)h Ft(1)g FE(and)g Ft(0)g FE(with)f(v)n(anishing)240 2313 y(deri)n(v)n(ati)n(v)o(es)33 b(at)k(the)f(ends.)65 b(De\002ne)37 b Fv(u)1603 2340 y Fr(H)1667 2313 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))48 b(=)i Fv(')p Ft(\()p Fv(t)p Ft(\)\005)2210 2340 y Fr(H)2273 2313 y Fv(u)2330 2270 y Fr(\(1\))2473 2313 y FE(for)37 b Fv(t)49 b Fs(2)g Ft([)p Fv(t)2890 2340 y Fr(1)2935 2313 y Fv(;)17 b(t)3016 2340 y Fr(2)3060 2313 y Ft(])p FE(.)65 b(This)35 b(will)h(be)240 2433 y(the)26 b(e)n(v)n(olution)f(of)i(the)g(high-frequenc)o(y)f(part.)37 b(W)-8 b(e)27 b(ne)o(xt)g(de\002ne)g(the)g(lo)n(w-frequenc)o(y)f(part)h Fv(u)3514 2460 y Fr(L)3599 2433 y Ft(=)240 2552 y Fv(u)297 2579 y Fr(L)351 2552 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))d FE(as)h(the)g(solution)e (of)i(the)f(ordinary)h(dif)n(ferential)f(equation)1205 2768 y Ft(_)-46 b Fv(u)1244 2795 y Fr(L)1326 2768 y Ft(=)28 b(\001)p Fv(u)1571 2795 y Fr(L)1648 2768 y Ft(+)22 b Fv(u)1804 2795 y Fr(L)1881 2768 y Fs(\000)g Ft(\005)2055 2795 y Fr(L)2109 2688 y Fo(\000)2155 2768 y Ft(\()p Fv(u)2251 2795 y Fr(L)2327 2768 y Ft(+)h Fv(u)2484 2795 y Fr(H)2548 2768 y Ft(\))2587 2726 y Fr(3)2631 2688 y Fo(\001)2704 2768 y FE(,)240 3005 y(with)31 b Fv(u)506 3032 y Fr(L)560 3005 y Ft(\()p Fv(t)635 3032 y Fr(1)680 3005 y Ft(\))40 b(=)h(\005)952 3032 y Fr(L)1006 3005 y Fv(u)1063 2962 y Fr(\(1\))1170 3005 y FE(.)53 b(W)-8 b(e)32 b(then)f(set)h Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))40 b(=)i Fv(u)2143 3032 y Fr(L)2197 3005 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))27 b Fs(\010)h Fv(u)2500 3032 y Fr(H)2564 3005 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))j FE(and)h(substitute)e(into)h(\(3.1\))240 3125 y(which)24 b(we)h(need)g(to)g(solv)o(e)e(for)i(the)g(control)f Fv(Qf)11 b Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))24 b FE(for)h Fv(t)j Fs(2)g Ft([)p Fv(t)2433 3152 y Fr(1)2477 3125 y Fv(;)17 b(t)2558 3152 y Fr(2)2602 3125 y Ft(])p FE(.)389 3244 y(Since)34 b Fv(u)701 3271 y Fr(L)755 3244 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))28 b Fs(\010)h Fv(u)1060 3271 y Fr(H)1124 3244 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))k FE(as)g(constructed)g(abo)o(v)o(e)f(is)h(in)g Fd(A)2439 3271 y Fn(\021)2521 3244 y FE(and)g(since)h Fv(Qf)53 b Ft(=)62 b(_)-46 b Fv(u)29 b Fs(\000)g Ft(\001)p Fv(u)f Fs(\000)240 3383 y Fv(u)i Ft(+)h Fv(u)492 3340 y Fr(3)537 3383 y FE(,)39 b(and)d Ft(\001)h FE(maps)e Fd(A)1227 3409 y Fn(\021)1312 3383 y FE(to)h Fd(A)1506 3409 y Fn(\021)s(=)p Fr(2)1671 3383 y FE(we)h(conclude)f(that)g Fv(Qf)59 b Fs(2)49 b Fd(A)2788 3409 y Fn(\021)s(=)p Fr(2)2917 3383 y FE(.)65 b(By)36 b(construction,)240 3502 y(the)e(components)g Fv(q)957 3529 y Fn(k)1042 3502 y FE(of)h Fv(Q)f FE(decay)i (polynomially)c(with)i Fv(k)k FE(and)d(do)g(not)f(v)n(anish)g(for)h Fv(k)49 b Fs(\025)e Fv(k)3606 3529 y Fm(\003)3652 3502 y FE(.)240 3622 y(Therefore,)24 b Fv(Q)760 3579 y Fm(\000)p Fr(1)891 3622 y FE(is)f(a)h(bounded)f(operator)h(from)g Fd(A)2070 3649 y Fn(\021)s(=)p Fr(2)2217 3622 y Fs(\\)18 b(H)2385 3649 y Fr(H)2473 3622 y FE(to)23 b Fs(H)2658 3649 y Fr(H)2722 3622 y FE(.)31 b(Thus,)23 b(we)h(can)g(solv)o(e)f(for) 240 3741 y Fv(f)35 b FE(in)25 b(this)e(step.)240 3958 y Fx(Step)j(3.)49 b FE(As)29 b(mentioned)f(before,)i(this)e(step)h (really)f(e)o(xploits)f(the)i(coupling)f(between)h(high)f(and)240 4077 y(lo)n(w)h(frequencies.)49 b(Here,)33 b(we)e(start)f(from)g Fv(u)1831 4034 y Fr(\(2\))1969 4077 y FE(at)h(time)f Fv(t)2316 4104 y Fr(2)2391 4077 y FE(and)h(we)g(w)o(ant)f(to)g(reach)i Ft(\005)3366 4104 y Fr(L)3420 4077 y Fv(u)3477 4034 y Fr(\(f)6 b(\))3605 4077 y FE(at)240 4209 y(time)24 b Fv(t)478 4236 y Fr(3)522 4209 y FE(.)31 b(In)25 b(f)o(act,)g(we)g(will) f(instead)g(reach)i(a)f(point)f Fv(u)2109 4166 y Fr(\(3\))2241 4209 y FE(with)g Fs(k)p Ft(\005)2568 4236 y Fr(L)2622 4209 y Fv(u)2679 4166 y Fr(\(3\))2808 4209 y Fs(\000)e Ft(\005)2982 4236 y Fr(L)3036 4209 y Fv(u)3093 4166 y Fr(\(f)6 b(\))3191 4209 y Fs(k)32 b Fv(<)c("=)p Ft(2)p FE(.)389 4329 y(The)23 b(idea)f(is)g(to)g(choose)g(for)g(e)n(v)o(ery)g (lo)n(w)g(frequenc)o(y)g Fs(j)p Fv(k)s Fs(j)27 b Fv(<)h(k)2505 4356 y Fm(\003)2573 4329 y FE(a)23 b(set)f(of)g(three)3077 4286 y Fq(3)3140 4329 y FE(high)f(frequen-)240 4448 y(cies)k(that)f (will)g(be)h(used)f(to)h(control)f Fv(u)1567 4475 y Fn(k)1616 4448 y FE(.)240 4686 y Fx(De\002nition)h(3.2)50 b Fp(W)-9 b(e)22 b(assign)g(to)g(e)o(very)h Fv(k)j Fp(with)c Fs(j)p Fv(k)s Fs(j)27 b Fv(<)h(k)2182 4712 y Fm(\003)2251 4686 y Fp(a)22 b(set)h Fd(I)2538 4712 y Fn(k)2614 4686 y Fs(\032)28 b(f)p Fv(k)58 b Ft(:)d Fs(j)p Fv(k)s Fs(j)27 b(\025)h Fv(k)3257 4712 y Fm(\003)3303 4686 y Fs(g)23 b Fp(of)f(thr)l(ee)240 4805 y(indices.)32 b(The)26 b(sets)f Fd(I)1011 4832 y Fn(k)1086 4805 y Fp(ar)l(e)h(disjoint)d(for)i(dif)n(fer)l(ent)g Fv(k)s Fp(.)33 b(W)-9 b(e)26 b(also)f(de\002ne)g Fd(I)2844 4832 y Fr(L)2928 4805 y Ft(=)k Fs(f)p Fv(k)61 b Ft(:)d Fs(j)p Fv(k)s Fs(j)29 b Fv(<)g(k)3581 4832 y Fm(\003)3627 4805 y Fs(g)240 4925 y Fp(and)1455 5044 y Fd(I)47 b Ft(=)28 b Fd(I)1755 5071 y Fr(L)1831 5044 y Fs([)1920 4934 y Fo(\020)2043 4950 y([)1979 5168 y Fm(j)p Fn(k)r Fm(j)p Fn()g Ft(0)p FE(,)30 b Fp(we)f(can)f(\002nd)240 3859 y(a)k(set)g(of)g (bounded)g(functions)f Fv(t)41 b Fs(7!)h Fv(z)1614 3886 y Fn(k)1663 3859 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))32 b Fp(suc)o(h)g(that)f(the)i (solution)d(of)i(\(3.4\))h(shadows)e Fv(\015)38 b Fp(at)32 b(a)240 3979 y(distance)24 b(at)g(most)g Fv(")p Fp(.)389 4099 y FE(T)-8 b(o)30 b(pro)o(v)o(e)f(this)f(statement,)i(consider)g (the)f(map)h Fv(F)51 b Ft(:)36 b Fx(R)2359 4056 y Fn(k)2401 4066 y Fi(\003)2485 4099 y Fs(!)h Fx(R)2694 4056 y Fn(k)2736 4066 y Fi(\003)2812 4099 y FE(of)30 b(the)g(form)g(\(obtained)240 4218 y(when)24 b(substituting)e(the)j(path)f Fv(\015)31 b FE(into)23 b(\(3.4\)\))600 4637 y Fv(F)42 b Ft(:)761 4377 y Fo(0)761 4552 y(B)761 4612 y(B)761 4676 y(@)938 4424 y Fv(z)984 4451 y Fr(0)938 4544 y Fv(z)984 4570 y Fr(1)971 4650 y FE(.)971 4690 y(.)971 4730 y(.)865 4849 y Fv(z)911 4876 y Fn(k)953 4886 y Fi(\003)995 4876 y Fm(\000)p Fr(1)1119 4377 y Fo(1)1119 4552 y(C)1119 4612 y(C)1119 4676 y(A)1234 4637 y Fs(7!)1361 4377 y Fo(0)1361 4552 y(B)1361 4612 y(B)1361 4676 y(@)1538 4424 y Fv(F)1602 4451 y Fr(0)1647 4424 y Ft(\()p Fv(z)t Ft(\))1538 4544 y Fv(F)1602 4570 y Fr(1)1647 4544 y Ft(\()p Fv(z)t Ft(\))1644 4650 y FE(.)1644 4690 y(.)1644 4730 y(.)1465 4849 y Fv(F)1529 4876 y Fn(k)1571 4886 y Fi(\003)1613 4876 y Fm(\000)p Fr(1)1720 4849 y Ft(\()p Fv(z)t Ft(\))1865 4377 y Fo(1)1865 4552 y(C)1865 4612 y(C)1865 4676 y(A)1979 4637 y Ft(=)2085 4377 y Fo(0)2085 4552 y(B)2085 4612 y(B)2085 4676 y(@)2234 4424 y Ft(2)p Fv(z)2334 4381 y Fr(3)2330 4451 y(0)2234 4544 y Fv(z)2284 4501 y Fr(3)2280 4570 y(1)2295 4650 y FE(.)2295 4690 y(.)2295 4730 y(.)2188 4849 y Fv(z)2238 4807 y Fr(3)2234 4876 y Fn(k)2276 4886 y Fi(\003)2319 4876 y Fm(\000)p Fr(1)2442 4377 y Fo(1)2442 4552 y(C)2442 4612 y(C)2442 4676 y(A)2552 4637 y Ft(+)2651 4377 y Fo(0)2651 4552 y(B)2651 4612 y(B)2651 4676 y(@)2828 4424 y Fs(P)2897 4451 y Fr(0)2942 4424 y Ft(\()p Fv(z)t Ft(\))2828 4544 y Fs(P)2897 4570 y Fr(1)2942 4544 y Ft(\()p Fv(z)t Ft(\))2937 4650 y FE(.)2937 4690 y(.)2937 4730 y(.)2755 4849 y Fs(P)2824 4876 y Fn(k)2866 4886 y Fi(\003)2908 4876 y Fm(\000)p Fr(1)3015 4849 y Ft(\()p Fv(z)t Ft(\))3160 4377 y Fo(1)3160 4552 y(C)3160 4612 y(C)3160 4676 y(A)3291 4637 y FE(,)240 5052 y(where)20 b(the)f Fs(P)713 5079 y Fn(m)808 5052 y FE(are)i(polynomials)c(of)i(de)o(gree)h(at)f(most)g Ft(2)p FE(.)28 b(W)-8 b(e)20 b(w)o(ant)f(to)g(\002nd)h(a)g(solution)d (to)i Fv(F)42 b Ft(=)28 b(0)p FE(.)240 5172 y(The)j Fv(F)490 5198 y Fn(m)597 5172 y FE(form)g(a)g(Gr)8 b(\250)-41 b(obner)31 b(basis)g(for)g(the)g(ideal)g(of)g(the)g(ring)g(of)g (polynomials)e(the)o(y)i(generate.)240 5291 y(As)26 b(an)h(immediate)f (consequence,)h(the)f(equation)g Fv(F)14 b Ft(\()p Fv(z)t Ft(\))32 b(=)f(0)c FE(possesses)f(e)o(xactly)g Ft(3)3220 5248 y Fn(k)3262 5258 y Fi(\003)3335 5291 y FE(comple)o(x)p 240 5355 1375 4 v 348 5422 a Fg(4)383 5464 y Fu(It)e(is)h(here)f(that)h (our)e(choice)i(of)f(e)n(v)o(en)h(functions)e FB(u)i Fu(some)n(what)f(simpli\002es)h(the)g(discussion.)38 b(In)23 b(the)i(general)g(case,)240 5559 y(one)20 b(w)o(ould)f(ha)n(v)o (e)i(to)f(ar)o(gue)f(with)h(comple)o(x)g(functions)g FB(z)1849 5586 y Fa(k)1895 5559 y Fu(,)g(b)n(ut)g(there)g(are)g(no)g (dif)n(\002culties)h(with)e(this.)p eop %%Page: 9 9 9 8 bop 242 -75 a FE(S)t Fu(T)t(R)q(O)t(N)t(G)33 b FE(F)t Fu(E)t(L)t(L)t(E)t(R)h FE(P)t Fu(R)q(O)t(P)t(E)t(R)o(T)5 b(Y)34 b(A)t(N)t(D)d FE(P)t Fu(R)q(O)t(O)t(F)i(O)t(F)e FE(T)t Fu(H)t(E)t(O)t(R)t(E)t(M)i FE(1)t(.)t(1)919 b Fx(9)240 273 y FE(solutions,)21 b(if)j(the)o(y)f(are)h(counted)f(with)g (multiplicities)e([MS95b].)30 b(Since)24 b(the)g(coef)n(\002cients)f (of)h(the)240 393 y Fs(P)309 420 y Fn(m)410 393 y FE(are)h(real)g(this) f(implies)g(that)g(there)h(e)o(xists)e(at)i(least)g(one)f(real)i (solution.)389 512 y(Ha)n(ving)20 b(found)h(a)g(\(possibly)e (discontinuous\))g(solution)g(for)i(the)g Fv(z)2682 539 y Fn(k)2731 512 y FE(,)h(we)f(\002nd)g(nearby)g(smooth)240 632 y(functions)29 b Ft(~)-56 b Fv(z)681 659 y Fn(k)756 632 y FE(with)24 b(the)g(follo)n(wing)f(properties:)332 801 y(\226)56 b(The)26 b(equation)g(\(3.4\))g(with)31 b Ft(~)-56 b Fv(z)1455 828 y Fn(k)1530 801 y FE(replacing)26 b Fv(z)1973 828 y Fn(k)2049 801 y FE(and)g(initial)f(condition)f Fv(u)2937 828 y Fn(k)2986 801 y Ft(\()p Fv(t)3061 828 y Fr(2)3106 801 y Ft(\))29 b(=)i Fv(u)3339 749 y Fr(\(2\))3339 831 y Fn(k)3472 801 y FE(leads)438 936 y(to)25 b(a)g(solution)e Fv(u)i FE(with)f Fs(k)p Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)1422 963 y Fr(3)1466 936 y Ft(\))e Fs(\000)g Ft(\005)1701 963 y Fr(L)1755 936 y Fv(u)1812 894 y Fr(\(f)6 b(\))1910 936 y Fs(k)49 b(\024)c Fv("=)p Ft(2)p FE(.)332 1084 y(\226)56 b(One)25 b(has)31 b Ft(~)-56 b Fv(z)833 1111 y Fn(k)882 1084 y Ft(\()p Fv(t)957 1111 y Fr(3)1002 1084 y Ft(\))27 b(=)h(0)p FE(.)240 1232 y(Ha)n(ving)38 b(found)g(the)45 b Ft(~)-56 b Fv(z)1048 1259 y Fn(k)1136 1232 y FE(we)39 b(construct)f(the)g Fv(f)1904 1259 y Fn(k)1992 1232 y FE(in)g(such)h(a)g(w)o(ay)g(that)f(for)h Fv(n)53 b Fs(2)h Fd(I)3274 1259 y Fn(k)3361 1232 y FE(one)39 b(has)240 1352 y Fv(u)297 1379 y Fn(n)351 1352 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))27 b(=)34 b(~)-56 b Fv(z)643 1379 y Fn(k)693 1352 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))p FE(.)29 b(Finally)-6 b(,)21 b(for)i Fv(k)41 b(=)-61 b Fs(2)28 b Fd(I)41 b FE(we)23 b(choose)e(the)h(controls)f(in)h(such)g(a)g(w)o(ay)g(that)g Fv(u)3332 1379 y Fn(k)3381 1352 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))27 b Fs(\021)h Ft(0)240 1484 y FE(for)d Fv(t)i Fs(2)i Ft([)p Fv(t)603 1511 y Fr(2)647 1484 y Fv(;)17 b(t)728 1511 y Fr(3)772 1484 y Ft(])p FE(.)30 b(W)-8 b(e)26 b(de\002ne)f Fv(u)1336 1441 y Fr(\(3\))1468 1484 y FE(as)g(the)f(solution)f (obtained)h(in)h(this)f(w)o(ay)h(for)g Fv(t)i Ft(=)h Fv(t)3243 1511 y Fr(3)3288 1484 y FE(.)240 1699 y Fx(Step)e(4.)49 b FE(Starting)32 b(from)f Fv(u)1207 1657 y Fr(\(3\))1346 1699 y FE(we)h(w)o(ant)g(to)f(reach)i Fv(u)2133 1657 y Fr(\(f)6 b(\))2230 1699 y FE(.)52 b(Note)32 b(that)f Fv(u)2771 1657 y Fr(\(3\))2910 1699 y FE(is)g(in)h Fd(A)3198 1726 y Fn(\021)3278 1699 y FE(\(for)h(e)n(v)o(ery)240 1819 y Fv(\021)k(>)c Ft(0)p FE(\))28 b(since)g(it)f(has)h(only)f(a)h (\002nite)f(number)g(of)h(non-v)n(anishing)e(modes.)38 b(By)28 b(construction)f(we)240 1939 y(also)f(ha)n(v)o(e)h Fs(k)p Ft(\005)764 1965 y Fr(L)817 1939 y Fv(u)874 1896 y Fr(\(3\))1003 1939 y Fs(\000)c Ft(\005)1178 1965 y Fr(L)1232 1939 y Fv(u)1289 1896 y Fr(\(f)6 b(\))1387 1939 y Fs(k)52 b(\024)d Fv("=)p Ft(2)p FE(.)36 b(W)-8 b(e)28 b(only)e(need)h(to)f(adapt)h(the)f(high)g(frequenc)o(y)h(part) 240 2058 y(without)c(mo)o(ving)g(the)i(lo)n(w-frequenc)o(y)e(part)i (too)g(much.)389 2178 y(Since)30 b Fd(A)720 2205 y Fn(\021)798 2178 y FE(is)f(dense)h(in)f Fs(H)q FE(,)i(there)e(is)g(a)h Fv(u)1854 2135 y Fr(\(4\))1997 2178 y Fs(2)37 b Fd(A)2180 2205 y Fn(\021)2258 2178 y FE(with)29 b Fs(k)p Fv(u)2572 2135 y Fr(\(4\))2701 2178 y Fs(\000)23 b Fv(u)2858 2135 y Fr(\(f)6 b(\))2955 2178 y Fs(k)58 b(\024)53 b Fv("=)p Ft(4)p FE(.)45 b(By)30 b(the)240 2310 y(reasoning)k(of)h(Step)g(2)g (there)g(is)g(for)g(e)n(v)o(ery)f Fv(\034)1871 2267 y Fm(0)1945 2310 y Fv(>)47 b Ft(0)35 b FE(a)g(control)f(for)h(which)g Ft(\005)3055 2337 y Fr(H)3118 2310 y Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)3250 2337 y Fr(3)3324 2310 y Ft(+)30 b Fv(\034)3486 2267 y Fm(0)3514 2310 y Ft(\))46 b(=)240 2442 y(\005)315 2469 y Fr(H)378 2442 y Fv(u)435 2399 y Fr(\(4\))574 2442 y FE(when)31 b(starting)f(from)h Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)1508 2469 y Fr(3)1553 2442 y Ft(\))39 b(=)h Fv(u)1805 2399 y Fr(\(3\))1912 2442 y FE(.)50 b(Gi)n(v)o(en)30 b Fv(")i FE(there)g(is)e(a)i Fv(\034)2784 2469 y Fm(\003)2861 2442 y FE(such)f(that)g(if)g Fv(\034)3403 2399 y Fm(0)3470 2442 y Fv(<)40 b(\034)3631 2469 y Fm(\003)240 2574 y FE(then)24 b Fs(k)p Ft(\005)561 2601 y Fr(L)615 2574 y Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)747 2601 y Fr(3)814 2574 y Ft(+)e Fv(\034)968 2531 y Fm(0)996 2574 y Ft(\))g Fs(\000)h Ft(\005)1232 2601 y Fr(L)1286 2574 y Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)1418 2601 y Fr(3)1462 2574 y Ft(\))p Fs(k)33 b Fv(<)28 b("=)p Ft(4)p FE(.)j Fp(This)25 b Fv(\034)2132 2601 y Fm(\003)2202 2574 y Fp(depends)g(only)g(on)f Fs(k)p Fv(u)2982 2531 y Fr(\(f)6 b(\))3080 2574 y Fs(k)30 b Fp(and)24 b Fv(")p FE(,)i(as)f(can)240 2706 y(be)c(seen)g(from)f(the)h(follo)n(wing)e(ar)n (gument:)28 b(Since)21 b Ft(\005)2064 2733 y Fr(H)2128 2706 y Fv(u)2185 2663 y Fr(\(3\))2319 2706 y Ft(=)28 b(0)p FE(,)22 b(we)f(can)g(choose)g(the)f(controls)g(in)240 2825 y(such)k(a)h(w)o(ay)g(that)f Fs(k)p Ft(\005)1005 2852 y Fr(H)1068 2825 y Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)1200 2852 y Fr(3)1267 2825 y Ft(+)e Fv(t)p Ft(\))p Fs(k)30 b FE(is)24 b(an)g(increasing)h(function)e(of)i Fv(t)g FE(and)f(is)g(therefore)i (bounded)240 2957 y(by)19 b Fs(k)p Ft(\005)484 2984 y Fr(H)548 2957 y Fv(u)605 2914 y Fr(\(f)6 b(\))702 2957 y Fs(k)f FE(.)29 b(The)20 b(equation)f(for)h(the)g(lo)n(w-frequenc)o(y) f(part)g(is)h(then)f(a)h(\002nite)g(dimensional)e(ODE)240 3089 y(in)24 b(which)h(all)f(high-frequenc)o(y)g(contrib)n(utions)f (can)i(be)g(bounded)f(in)g(terms)h(of)g Fv(R)j Ft(=)g Fs(k)p Fv(u)3339 3046 y Fr(\(f)6 b(\))3436 3089 y Fs(k)f FE(.)389 3292 y(Combining)23 b(the)i(estimates)f(we)h(see)g(that)683 3496 y Fs(k)p Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)865 3523 y Fr(4)910 3496 y Ft(\))d Fs(\000)g Fv(u)1127 3453 y Fr(\(f)6 b(\))1225 3496 y Fs(k)49 b Ft(=)c Fs(k)p Ft(\005)1571 3523 y Fr(L)1624 3496 y Ft(\()p Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)1795 3523 y Fr(4)1840 3496 y Ft(\))21 b Fs(\000)i Fv(u)2057 3453 y Fr(\(f)6 b(\))2155 3496 y Ft(\))o Fs(k)27 b Ft(+)c Fs(k)p Ft(\005)2495 3523 y Fr(H)2558 3496 y Ft(\()p Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)2729 3523 y Fr(4)2773 3496 y Ft(\))f Fs(\000)h Fv(u)2991 3453 y Fr(\(f)6 b(\))3088 3496 y Ft(\))p Fs(k)1324 3658 y(\024)45 b(k)p Ft(\005)1571 3684 y Fr(L)1624 3658 y Ft(\()p Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)1795 3684 y Fr(4)1840 3658 y Ft(\))21 b Fs(\000)i Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)2132 3684 y Fr(3)2177 3658 y Ft(\)\))o Fs(k)k Ft(+)c Fs(k)p Ft(\005)2556 3684 y Fr(L)2609 3658 y Ft(\()p Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)2780 3684 y Fr(3)2825 3658 y Ft(\))e Fs(\000)i Fv(u)3042 3615 y Fr(\(f)6 b(\))3140 3658 y Ft(\))o Fs(k)1368 3819 y Ft(+)23 b Fs(k)p Ft(\005)1593 3846 y Fr(H)1656 3819 y Ft(\()p Fv(u)1752 3777 y Fr(\(4\))1881 3819 y Fs(\000)g Fv(u)2038 3777 y Fr(\(f)6 b(\))2135 3819 y Ft(\))p Fs(k)82 b(\024)c Fv(")25 b(:)240 4023 y FE(The)g(proof)f(of)h(Theorem)g(3.1)f(is)g (complete.)3677 4023 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 4023 a 240 4294 a FD(4)119 b(Str)n(ong)30 b(F)m(eller)h(Pr)n(operty)f(and)g(Pr)n(oof)g(of)f(Theor) n(em)h(1.1)240 4503 y FE(The)d(aim)f(of)i(this)e(section)g(is)h(to)f (sho)n(w)g(the)h(strong)f(Feller)i(property)f(of)g(the)g(process)g (de\002ned)g(by)240 4623 y(\(1.3\))e(resp.)f(\(1.7\).)240 4852 y Fx(Theor)n(em)i(4.1)50 b Fp(The)25 b(Mark)o(o)o(v)g(semigr)l (oup)e Fs(P)1850 4809 y Fn(t)1910 4852 y Fp(de\002ned)i(in)f(\(1.9\))h (is)f(str)l(ong)f(F)-7 b(eller)c(.)240 5055 y(Pr)l(oof)23 b(of)i(Theor)l(em)g(1.1.)49 b FE(This)36 b(proof)h(follo)n(ws)e(a)i (well-kno)n(wn)f(strate)o(gy)-6 b(,)38 b(see)f Fp(e)o(.g)o(.)p FE(,)i([DPZ96].)240 5175 y(First)d(of)g(all,)j(there)d(is)g(at)g(least) g(one)g(in)l(v)n(ariant)f(measure)h(for)g(the)g(process)g(\(1.7\),)j (since)d(for)h(a)240 5294 y(problem)19 b(in)g(a)h(\002nite)g(domain,)f (the)h(semigroup)e Fv(t)28 b Fs(7!)f Fv(e)2141 5252 y Fm(\000)p Fn(At)2318 5294 y FE(is)20 b(compact,)g(and)g(therefore)g ([DPZ96,)240 5414 y(Theorem)k(6.1.2])h(applies.)389 5534 y(By)k(the)f(controllability)d(Theorem)j(3.1,)h(we)f(deduce,)h(see)f ([DPZ96,)h(Theorem)f(7.4.1],)g(that)240 5653 y(the)e(transition)e (probability)g(from)i(an)o(y)g(point)f(in)g Fs(H)i FE(to)f(an)o(y)g (open)f(set)h(in)g Fs(H)h FE(cannot)f(v)n(anish,)f Fp(i.e)o(.)p FE(,)p eop %%Page: 10 10 10 9 bop 242 -75 a FE(S)t Fu(T)t(R)q(O)t(N)t(G)33 b FE(F)t Fu(E)t(L)t(L)t(E)t(R)h FE(P)t Fu(R)q(O)t(P)t(E)t(R)o(T)5 b(Y)34 b(A)t(N)t(D)d FE(P)t Fu(R)q(O)t(O)t(F)i(O)t(F)e FE(T)t Fu(H)t(E)t(O)t(R)t(E)t(M)i FE(1)t(.)t(1)869 b Fx(10)240 273 y FE(the)27 b(Mark)o(o)o(v)f(process)h(is)g(irreducible.) 37 b(Furthermore,)28 b(by)e(Theorem)h(4.1)g(the)g(process)g(is)g (strong)240 393 y(Feller)-5 b(.)36 b(Therefore)27 b(we)g(can)g(use)f (Doob')-5 b(s)26 b(theorem)g([DPZ96,)h(pp.42\22643])e(to)i(conclude)f (that)g(the)240 512 y(in)l(v)n(ariant)d(measure)i(is)g(unique.)30 b(This)24 b(completes)f(the)i(proof)g(of)g(Theorem)f(1.1.)3677 512 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 512 a 389 725 a FE(Before)29 b(we)g(start)e(with)g(the)h (proof)g(of)g(Theorem)g(4.1,)g(we)g(e)o(xplain)f(our)h(strate)o(gy)-6 b(.)39 b(Since)28 b(the)240 845 y(nonlinearity)23 b Fv(F)39 b FE(in)24 b(\(1.3\))h(is)f(unbounded,)g(we)h(consider)g(\002rst)f(a)i (cutof)n(f)e(v)o(ersion)g Fv(F)3131 872 y Fn(\045)3202 845 y FE(of)h Fv(F)14 b FE(:)1226 1073 y Fv(F)1276 1100 y Fn(\045)1323 1073 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))44 b(=)1624 992 y Fo(\000)1669 1073 y Ft(1)22 b Fs(\000)h Fv(\037)1903 992 y Fo(\000)1949 1073 y Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)p Fv(=)p Ft(\(3)p Fv(\045)p Ft(\))2336 992 y Fo(\001)n(\001)2425 1073 y Fv(F)14 b Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))27 b FE(,)240 1286 y(where)e Fv(\037)g FE(is)g(a)g(smooth,)e(non-ne)o(gati)n(v)o(e)f (function)i(satisfying)1440 1555 y Fv(\037)p Ft(\()p Fv(z)t Ft(\))45 b(=)1797 1415 y Fo(\032)1921 1494 y Ft(1)100 b FE(if)24 b Fv(z)33 b(>)28 b Ft(2)p FE(,)1921 1614 y Ft(0)100 b FE(if)24 b Fv(z)33 b(<)28 b Ft(1)p FE(.)240 1821 y(Similarly)-6 b(,)23 b(we)i(de\002ne)1338 1941 y Fv(Q)1417 1967 y Fn(\045)1463 1941 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))44 b(=)h Fv(Q)22 b Ft(+)g Fv(\037)p Ft(\()p Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)p Fv(=\045)p Ft(\)\005)2438 1967 y Fn(k)2480 1977 y Fi(\003)2553 1941 y FE(,)908 b(\(4.1\))240 2116 y(where)25 b Ft(\005)583 2143 y Fn(k)625 2153 y Fi(\003)697 2116 y FE(is)f(the)h(projection)f(onto)g(the)g(frequencies)h(belo)n(w)f Fv(k)2514 2143 y Fm(\003)2560 2116 y FE(.)240 2351 y Fx(Remark)h(4.2)50 b FE(These)24 b(cutof)n(fs)g(ha)n(v)o(e)h(the)g (follo)n(wing)d(ef)n(fect)k(as)f(a)g(function)f(of)h Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)5 b FE(:)332 2499 y(\226)56 b(When)25 b Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)32 b(\024)c Fv(\045)d FE(then)f Fv(Q)1347 2526 y Fn(\045)1393 2499 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))j(=)i Fv(Q)24 b FE(and)h Fv(F)1983 2526 y Fn(\045)2030 2499 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))i(=)h Fv(F)14 b Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p FE(.)332 2647 y(\226)56 b(When)25 b Fv(\045)i(<)h Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)33 b(\024)28 b Ft(2)p Fv(\045)c FE(then)g Fv(Q)1581 2674 y Fn(\045)1627 2647 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))h FE(depends)f(on)h Fv(x)g FE(and)f Fv(F)2563 2674 y Fn(\045)2610 2647 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))j(=)h Fv(F)14 b Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p FE(.)332 2795 y(\226)56 b(When)28 b Ft(2)p Fv(\045)33 b(<)h Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)k(\024)c Ft(6)p Fv(\045)27 b FE(then)h(all)f(F)o(ourier)h(components)f(of)h Fv(Q)2732 2822 y Fn(\045)2778 2795 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))f Fp(including)f(the)i (ones)438 2915 y(below)d Fv(k)753 2942 y Fm(\003)824 2915 y FE(are)g(non-zero)g(and)g Fv(F)1568 2942 y Fn(\045)1615 2915 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))f FE(is)g(proportional)g(to)g(a)h Fv(F)14 b Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))25 b FE(times)e(a)j(f)o(actor)f Fs(\024)j Ft(1)p FE(.)332 3063 y(\226)56 b(When)27 b Ft(6)p Fv(\045)j(<)h Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)g FE(then)c(all)f(F)o(ourier)g (components)f(of)i Fv(Q)2471 3089 y Fn(\045)2517 3063 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))f Fp(including)f(the)i(ones)f(below)438 3182 y Fv(k)490 3209 y Fm(\003)561 3182 y FE(are)f(non-zero)g(and)g Fv(F)1305 3209 y Fn(\045)1352 3182 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))i(=)h(0)p FE(.)240 3330 y(Thus,)i(at)f(high)g(amplitudes,)g(the)g(nonlinearity)g (is)g(truncated)g(to)g(0)h(and)f(the)h(stochastic)e(forcing)240 3450 y(e)o(xtends)c(to)g Fp(all)g FE(de)o(grees)h(of)g(freedom.)240 3647 y(Instead)f(of)h(\(1.7\))g(we)g(then)g(consider)f(the)h (modi\002ed)f(problem)860 3860 y Fv(d)p Ft(\010)984 3817 y Fn(t)984 3887 y(\045)1057 3860 y Ft(=)29 b Fs(\000)p Fv(A)p Ft(\010)1387 3817 y Fn(t)1387 3887 y(\045)1450 3860 y Fv(dt)22 b Ft(+)1659 3779 y Fo(\000)1705 3860 y Fv(F)1755 3887 y Fn(\045)1824 3860 y Fs(\016)g Ft(\010)1968 3817 y Fn(t)1968 3887 y(\045)2014 3779 y Fo(\001)2076 3860 y Fv(dt)g Ft(+)2286 3779 y Fo(\000)2332 3860 y Fv(Q)2411 3887 y Fn(\045)2479 3860 y Fs(\016)g Ft(\010)2623 3817 y Fn(t)2623 3887 y(\045)2669 3779 y Fo(\001)2731 3860 y Fv(dW)14 b Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))27 b FE(,)429 b(\(4.2\))240 4091 y(with)34 b Ft(\010)524 4048 y Fr(0)524 4118 y Fn(\045)570 4091 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))45 b(=)i Fv(\030)k Fs(2)c(H)q FE(.)61 b(Note)35 b(that)g(the)f(cutof)n(fs)h(are)g(chosen)g(in)g(such) f(a)i(w)o(ay)f(that)f(the)h(dy-)240 4227 y(namics)29 b(of)i Ft(\010)738 4184 y Fn(t)738 4254 y(\045)784 4227 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))29 b Fp(coincides)h FE(with)f(that)h(of)g Ft(\010)1919 4184 y Fn(t)1954 4227 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))29 b FE(as)i(long)e(as)i Fs(k)p Ft(\010)2667 4184 y Fn(t)2702 4227 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p Fs(k)36 b Fv(<)i(\045)p FE(.)47 b(Furthermore,)240 4347 y(as)28 b(will)g(be)g(seen)h(later)l(,)g(the)f(de\002nition)f(of)i Fv(Q)1841 4374 y Fn(\045)1915 4347 y FE(has)f(been)h(made)f(in)g(such)g (a)h(w)o(ay)f(as)h(to)f Fp(pr)l(eserve)240 4466 y(contr)l(ollability)p FE(.)f(W)-8 b(e)25 b(will)f(sho)n(w)g(that)g(the)h(solution)e(of)i (\(4.2\))g(de\002nes)g(a)g(Mark)o(o)o(v)f(semigroup)1433 4679 y Fs(P)1510 4636 y Fn(t)1488 4706 y(\045)1546 4679 y Fv(')p Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))26 b(=)j Fx(E)1936 4598 y Fo(\000)1982 4679 y Fv(')22 b Fs(\016)g Ft(\010)2213 4636 y Fn(t)2213 4706 y(\045)2259 4598 y Fo(\001)2305 4679 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))26 b FE(,)240 4892 y(with)e(the)g (follo)n(wing)f(smoothing)g(property:)240 5127 y Fx(Theor)n(em)j(4.3)50 b Fp(Ther)l(e)30 b(e)n(xist)g(e)n(xponents)g Fv(\026;)17 b(\027)43 b(>)38 b Ft(0)p Fp(,)31 b(and)f(for)g(all)f Fv(\045)37 b(>)h(\045)2857 5154 y Fr(0)2931 5127 y Fp(ther)l(e)31 b(is)e(a)h(constant)240 5247 y Fv(C)311 5274 y Fn(\045)385 5247 y Fp(suc)o(h)c(that)h(for)g(e)o(very)g Fv(')33 b Fs(2)g(B)1423 5274 y Fn(b)1464 5247 y Ft(\()p Fs(H)q Ft(\))p Fp(,)27 b(for)g(e)o(very)h Fv(t)k(>)h Ft(0)28 b Fp(and)f(for)f(e)o(very)i Fv(\030)37 b Fs(2)c(H)q Fp(,)28 b(the)f(function)240 5383 y Fs(P)317 5340 y Fn(t)295 5410 y(\045)352 5383 y Fv(')e Fp(is)g(dif)n(fer)l(entiable)e(and)h(its) g(derivative)h(satis\002es)1116 5613 y Fs(k)p Fv(D)s Fs(P)1328 5570 y Fn(t)1306 5640 y(\045)1364 5613 y Fv(')p Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p Fs(k)26 b(\024)i Fv(C)1808 5640 y Fn(\045)1855 5613 y Fv(t)1891 5570 y Fm(\000)p Fn(\026)2007 5613 y Ft(\(1)21 b(+)i Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)2366 5570 y Fn(\027)2414 5613 y Ft(\))p Fs(k)p Fv(')p Fs(k)2618 5640 y Fr(L)2667 5620 y Fi(1)2773 5613 y Fv(:)685 b FE(\(4.3\))p eop %%Page: 11 11 11 10 bop 242 -75 a FE(R)t Fu(E)t(G)t(U)t(L)t(A)t(R)t(I)t(T)t(Y)35 b(O)t(F)c(T)t(H)t(E)f FE(C)t Fu(U)t(T)s(O)t(FF)j FE(P)t Fu(R)q(O)t(C)t(E)t(S)t(S)1664 b Fx(11)389 273 y FE(Using)24 b(this)g(theorem,)g(the)h(proof)g(of)f(Theorem)h(4.1)f(follo)n(ws)g (from)g(a)h(limiting)e(ar)n(gument.)240 492 y Fp(Pr)l(oof)g(of)i(Theor) l(em)g(4.1.)49 b FE(Choose)33 b Fv(x)43 b Fs(2)g(H)q FE(,)35 b Fv(t)43 b(>)h Ft(0)p FE(,)34 b(and)f Fv(")44 b(>)f Ft(0)p FE(.)55 b(W)-8 b(e)34 b(denote)e(by)h Fs(B)k FE(the)32 b(ball)240 612 y(of)e(radius)f Ft(2)p Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)h FE(centered)g(around)g(the)g(origin)f(in)g Fs(H)q FE(.)47 b(Using)29 b(Proposition)f(2.3)i(we)g(can)h(\002nd)f(a) 240 732 y(constant)24 b Fv(\045)g FE(\(suf)n(\002ciently)g(lar)n(ge\))h (such)g(that)f(for)h(e)n(v)o(ery)g Fv(y)31 b Fs(2)d(B)s FE(,)d(the)g(inequality)1380 977 y Fx(P)1441 867 y Fo(\020)1547 977 y FE(sup)1501 1068 y Fn(s)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;t)p Fr(])1731 893 y Fo(\015)1731 952 y(\015)1786 977 y Ft(\010)1858 934 y Fn(s)1901 977 y Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))2032 893 y Fo(\015)2032 952 y(\015)2113 977 y Fv(>)k(\045)2271 867 y Fo(\021)2357 977 y Fs(\024)2476 910 y Fv(")p 2474 954 50 4 v 2474 1046 a Ft(8)240 1280 y FE(holds.)g(Choose)c Fv(')j Fs(2)g(B)1087 1306 y Fn(b)1128 1280 y Ft(\()p Fs(H)q Ft(\))c FE(with)g Fs(k)p Fv(')p Fs(k)1682 1306 y Fr(L)1731 1286 y Fi(1)1837 1280 y Fs(\024)k Ft(1)p FE(.)i(W)-8 b(e)26 b(ha)n(v)o(e)e(by)h(the)f(triangle)h(inequality)617 1414 y Fo(\014)617 1474 y(\014)650 1499 y Fs(P)727 1456 y Fn(t)763 1499 y Fv(')p Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))c Fs(\000)i(P)1161 1456 y Fn(t)1196 1499 y Fv(')p Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))1392 1414 y Fo(\014)1392 1474 y(\014)1452 1499 y Fs(\024)1558 1414 y Fo(\014)1558 1474 y(\014)1591 1499 y Fs(P)1668 1456 y Fn(t)1703 1499 y Fv(')p Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))f Fs(\000)h(P)2102 1456 y Fn(t)2080 1526 y(\045)2137 1499 y Fv(')p Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))2337 1414 y Fo(\014)2337 1474 y(\014)2392 1499 y Ft(+)2492 1414 y Fo(\014)2492 1474 y(\014)2525 1499 y Fs(P)2602 1456 y Fn(t)2580 1526 y(\045)2638 1499 y Fv(')p Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))e Fs(\000)i(P)3036 1456 y Fn(t)3014 1526 y(\045)3072 1499 y Fv(')p Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))3268 1414 y Fo(\014)3268 1474 y(\014)1546 1665 y Ft(+)1646 1580 y Fo(\014)1646 1640 y(\014)1679 1665 y Fs(P)1756 1622 y Fn(t)1792 1665 y Fv(')p Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))e Fs(\000)i(P)2186 1622 y Fn(t)2164 1692 y(\045)2221 1665 y Fv(')p Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))2417 1580 y Fo(\014)2417 1640 y(\014)2477 1665 y Fv(:)240 1884 y FE(Since)33 b(the)f(dynamics)f(of)i(the)f(cutof)n(f)g(equation)g(and) h(the)f(dynamics)f(of)i(the)f(original)g(equation)240 2003 y(coincide)24 b(on)h(the)f(ball)h(of)g(radius)f Fv(\045)p FE(,)g(we)h(can)h(write,)e(for)h(e)n(v)o(ery)f Fv(z)33 b Fs(2)28 b(B)s FE(,)700 2138 y Fo(\014)700 2198 y(\014)733 2223 y Fs(P)810 2180 y Fn(t)845 2223 y Fv(')p Ft(\()p Fv(z)t Ft(\))23 b Fs(\000)g(P)1238 2180 y Fn(t)1216 2250 y(\045)1273 2223 y Fv(')p Ft(\()p Fv(z)t Ft(\))1466 2138 y Fo(\014)1466 2198 y(\014)1527 2223 y Ft(=)29 b Fx(E)1699 2138 y Fo(\014)1699 2198 y(\014)1732 2142 y(\000)1778 2223 y Fv(')22 b Fs(\016)g Ft(\010)2009 2180 y Fn(t)2044 2142 y Fo(\001)2090 2223 y Ft(\()p Fv(z)t Ft(\))g Fs(\000)2340 2142 y Fo(\000)2386 2223 y Fv(')g Fs(\016)g Ft(\010)2617 2180 y Fn(t)2617 2250 y(\045)2663 2142 y Fo(\001)2709 2223 y Ft(\()p Fv(z)t Ft(\))2837 2138 y Fo(\014)2837 2198 y(\014)1527 2418 y Fs(\024)29 b Ft(2)p Fs(k)p Fv(')p Fs(k)1848 2444 y Fr(L)1897 2424 y Fi(1)2007 2418 y Fx(P)2068 2307 y Fo(\020)2174 2418 y FE(sup)2128 2508 y Fn(s)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;t)p Fr(])2358 2333 y Fo(\015)2358 2393 y(\015)2413 2418 y Ft(\010)2485 2375 y Fn(s)2528 2418 y Ft(\()p Fv(z)t Ft(\))2656 2333 y Fo(\015)2656 2393 y(\015)2739 2418 y Fv(>)f(\045)2896 2307 y Fo(\021)2983 2418 y Fs(\024)3101 2350 y Fv(")p 3100 2395 V 3100 2486 a Ft(4)3189 2418 y Fv(:)240 2713 y FE(This)c(implies)f(that)958 2870 y Fo(\014)958 2929 y(\014)992 2954 y Fs(P)1069 2912 y Fn(t)1104 2954 y Fv(')p Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))f Fs(\000)h(P)1503 2912 y Fn(t)1538 2954 y Fv(')p Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))1734 2870 y Fo(\014)1734 2929 y(\014)1794 2954 y Fs(\024)1913 2887 y Fv(")p 1911 2931 V 1911 3023 a Ft(2)1995 2954 y(+)2095 2870 y Fo(\014)2095 2929 y(\014)2128 2954 y Fs(P)2205 2912 y Fn(t)2183 2981 y(\045)2241 2954 y Fv(')p Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))e Fs(\000)i(P)2639 2912 y Fn(t)2617 2981 y(\045)2674 2954 y Fv(')p Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))2870 2870 y Fo(\014)2870 2929 y(\014)2930 2954 y Fv(:)240 3200 y FE(By)i(Theorem)f(4.3)h(we)g(see)g(that)f(if)h Fv(y)k FE(is)24 b(suf)n(\002ciently)g(close)g(to)h Fv(x)g FE(then)1423 3357 y Fo(\014)1423 3417 y(\014)1457 3442 y Fs(P)1534 3399 y Fn(t)1512 3469 y(\045)1569 3442 y Fv(')p Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))d Fs(\000)g(P)1967 3399 y Fn(t)1945 3469 y(\045)2003 3442 y Fv(')p Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))2199 3357 y Fo(\014)2199 3417 y(\014)2259 3442 y Fs(\024)2378 3374 y Fv(")p 2376 3419 V 2376 3510 a Ft(2)2466 3442 y Fv(:)240 3705 y FE(Since)j Fv(")g FE(is)g(arbitrary)g (we)g(conclude)g(that)f Fs(P)1794 3663 y Fn(t)1829 3705 y Fv(')i FE(is)e(continuous)f(when)i Fs(k)p Fv(')p Fs(k)2879 3732 y Fr(L)2928 3712 y Fi(1)3034 3705 y Fs(\024)j Ft(1)p FE(.)j(The)24 b(gener)n(-)240 3825 y(alization)f(to)g(an)o(y)g(v)n (alue)g(of)h Fs(k)p Fv(')p Fs(k)1383 3852 y Fr(L)1432 3832 y Fi(1)1533 3825 y FE(follo)n(ws)e(by)h(linearity)g(in)g Fv(')p FE(.)31 b(The)24 b(proof)f(of)h(Theorem)f(4.1)g(is)240 3944 y(complete.)3677 3944 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 3944 a 240 4218 a FD(5)119 b(Regularity)31 b(of)e(the)h(Cutoff)g(Pr)n(ocess)240 4428 y FE(In)j(this)g(section,)i(we)f(start)f(the)h(proof)f(of)h (Theorem)f(4.3.)57 b(If)34 b(the)g(cutof)n(f)f(problem)g(were)h (\002nite)240 4547 y(dimensional,)d(a)g(result)g(lik)o(e)g(Theorem)g (4.3)g(could)g(be)g(deri)n(v)o(ed)g(easily)f(using,)i Fp(e)o(.g)o(.)p FE(,)g(the)f(w)o(orks)240 4667 y(of)f(H)8 b(\250)-41 b(ormander)30 b([H)8 b(\250)-41 b(or67,)30 b(H)8 b(\250)-41 b(or85])31 b(or)f(Norris)g([Nor86].)47 b(In)31 b(the)f(present)g(in\002nite-dimensional)240 4786 y(conte)o(xt)24 b(we)i(need)f(to)g(modify)g(the)g(corresponding)f (techniques,)h(b)n(ut)g(the)g(general)g(idea)h(retained)240 4906 y(is)21 b(Norris'.)29 b(The)21 b(main)g(idea)h(will)e(be)i(to)f (treat)g(the)h(\(in\002nite)f(number)f(of\))i(high-frequenc)o(y)f (modes)240 5025 y(by)30 b(a)i(method)d(which)i(is)f(an)h(e)o(xtension)f (of)h([DPZ96,)g(Cer99],)i(while)d(the)h(lo)n(w-frequenc)o(y)f(part)240 5145 y(is)k(handled)g(by)h(a)g(v)n(ariant)f(of)h(the)g(Mallia)n(vin)e (calculus)i(adapted)g(from)f([Nor86].)61 b(It)35 b(is)f(at)h(the)240 5265 y(juncture)24 b(of)h(these)g(tw)o(o)f(techniques)g(that)g(we)h (need)g(a)h(cutof)n(f)e(in)g(the)h(nonlinearity)-6 b(.)p eop %%Page: 12 12 12 11 bop 242 -75 a FE(R)t Fu(E)t(G)t(U)t(L)t(A)t(R)t(I)t(T)t(Y)35 b(O)t(F)c(T)t(H)t(E)f FE(C)t Fu(U)t(T)s(O)t(FF)j FE(P)t Fu(R)q(O)t(C)t(E)t(S)t(S)1664 b Fx(12)240 273 y(5.1)99 b(Splitting)25 b(and)h(Inter)o(polation)f(Spaces)240 429 y FE(Throughout)19 b(the)h(remainder)g(of)h(this)e(paper)l(,)j(we)e (will)g(again)g(denote)g(by)g Fs(H)2867 456 y Fr(L)2942 429 y FE(and)g Fs(H)3190 456 y Fr(H)3275 429 y FE(the)g(spaces)240 548 y(corresponding)i(to)g(the)h(lo)n(w)f(\(resp.)i(high\)-frequenc)o (y)e(parts.)30 b(W)-8 b(e)23 b(slightly)f(change)h(the)g(meaning)240 668 y(of)33 b(\223lo)n(w-frequenc)o(y\224)f(by)h(including)e(in)i(the)f (lo)n(w-frequenc)o(y)g(part)h(all)g(those)f(frequencies)h(that)240 787 y(are)j(dri)n(v)o(en)e(by)g(the)i(noise)e(which)h(are)h(in)f Fd(I)54 b FE(as)35 b(de\002ned)h(abo)o(v)o(e.)61 b(More)35 b(precisely)-6 b(,)37 b(the)e(lo)n(w-)240 907 y(frequenc)o(y)29 b(part)g(is)f(no)n(w)g Fs(f)p Fv(k)67 b Ft(:)d Fs(j)p Fv(k)s Fs(j)35 b(\024)h Fv(L)25 b Fs(\000)h Ft(1)p Fs(g)p FE(,)j(where)h Fv(L)35 b Ft(=)h FE(max)o Fs(f)p Fv(k)67 b Ft(:)d Fv(k)39 b Fs(2)c Fd(I)19 b Fs(g)25 b Ft(+)h(1)p FE(.)43 b(The)240 1026 y(important)23 b(f)o(act)i(is)g(that)332 1174 y(\226)56 b Fs(H)522 1201 y Fr(L)601 1174 y FE(is)25 b(\002nite)g(dimensional)e(and)332 1322 y(\226)56 b(for)43 b(e)n(v)o(ery)g(unforced)g(frequenc)o(y)g Fv(k)s FE(,)k(there)d(e)o (xist)d(three)j(dif)n(ferent)e(forced)i(frequencies)438 1442 y Fv(k)490 1469 y Fr(1)535 1442 y Fv(;)17 b(k)632 1469 y Fr(2)676 1442 y Fv(;)g(k)773 1469 y Fr(3)839 1442 y FE(in)22 b(the)g(lo)n(w-frequenc)o(y)f(part)h(for)h(which)e Fv(k)2315 1469 y Fr(1)2373 1442 y Ft(+)13 b Fv(k)2515 1469 y Fr(2)2572 1442 y Ft(+)g Fv(k)2714 1469 y Fr(3)2786 1442 y Ft(=)28 b Fv(k)s FE(,)23 b(and,)g(as)f(e)o(xplained)438 1561 y(abo)o(v)o(e,)i(none)g(of)h(these)g(frequencies)g(is)f(in)h(the)f (triplet)g(for)h(another)g Fv(k)s FE(.)240 1709 y(Since)39 b Fv(A)52 b Ft(=)h(1)32 b Fs(\000)h Ft(\001)38 b FE(is)g(diagonal)f (with)h(respect)h(to)e(this)h(splitting,)h(we)g(can)f(de\002ne)h(its)f (lo)n(w)240 1829 y(\(resp.)31 b(high\)-frequenc)o(y)f(parts)g Fv(A)1465 1856 y Fr(L)1550 1829 y FE(and)h Fv(A)1800 1856 y Fr(H)1894 1829 y FE(as)g(operators)g(on)f Fs(H)2624 1856 y Fr(L)2709 1829 y FE(and)h Fs(H)2968 1856 y Fr(H)3032 1829 y FE(.)49 b(From)30 b(no)n(w)g(on,)240 1948 y Fv(L)37 b FE(will)f(al)o(w)o(ays)g(denote)h(the)g(dimension)e(of)i Fs(H)1966 1975 y Fr(L)2021 1948 y FE(,)j(which)c(will)g(therefore)i(be) f(identi\002ed)g(with)240 2068 y Fx(R)312 2025 y Fn(L)371 2068 y FE(.)396 2025 y Fq(5)467 2068 y FE(W)-8 b(e)24 b(also)g(allo)n(w)g(ourselv)o(es)f(to)h(switch)f(freely)i(between)f (equi)n(v)n(alent)f(norms)g(on)h Fx(R)3352 2025 y Fn(L)3412 2068 y FE(,)g(when)240 2187 y(deri)n(ving)f(the)i(v)n(arious)f(bounds.) 389 2307 y(In)d(the)g(sequel,)h(we)f(will)f(al)o(w)o(ays)h(use)g(the)g (notations)e Fv(D)2312 2334 y Fr(L)2388 2307 y FE(and)i Fv(D)2635 2334 y Fr(H)2720 2307 y FE(to)g(denote)g(the)g(deri)n(v)n (ati)n(v)o(es)240 2427 y(with)31 b(respect)g(to)h Fs(H)956 2453 y Fr(L)1042 2427 y FE(\(resp.)f Fs(H)1381 2453 y Fr(H)1445 2427 y FE(\))h(of)g(a)g(dif)n(ferentiable)f(function)f (de\002ned)i(on)g Fs(H)q FE(.)51 b(The)31 b(w)o(ords)240 2546 y(\223deri)n(v)n(ati)n(v)o(e\224)25 b(and)i(\223dif)n (ferentiable\224)h(will)e(al)o(w)o(ays)h(be)h(understood)e(in)h(the)g (strong)g(sense,)h Fp(i.e)o(.)p FE(,)f(if)240 2666 y Fv(f)42 b Ft(:)31 b Fd(B)480 2693 y Fr(1)556 2666 y Fs(!)g Fd(B)777 2693 y Fr(2)849 2666 y FE(with)26 b Fd(B)1143 2693 y Fr(1)1215 2666 y FE(and)h Fd(B)1476 2693 y Fr(2)1548 2666 y FE(some)f(Banach)i(spaces,)f(then)f Fv(D)s(f)42 b Ft(:)31 b Fd(B)2946 2693 y Fr(1)3023 2666 y Fs(!)g Fd(L)19 b Ft(\()p Fd(B)3389 2693 y Fr(1)3434 2666 y Fv(;)e Fd(B)3569 2693 y Fr(2)3613 2666 y Ft(\))p FE(,)240 2785 y Fp(i.e)o(.)p FE(,)24 b(it)g(is)g(bounded)g(from)h Fd(B)1258 2812 y Fr(1)1328 2785 y FE(to)f Fd(B)1520 2812 y Fr(2)1566 2785 y FE(.)389 2905 y(W)-8 b(e)26 b(introduce)e(the)h(interpolation)e (spaces)i Fs(H)1997 2862 y Fn(\015)2073 2905 y FE(\(for)h(e)n(v)o(ery)e Fv(\015)33 b Fs(\025)28 b Ft(0)p FE(\))d(de\002ned)h(as)f(being)f (equal)240 3024 y(to)g(the)h(domain)f(of)g Fv(A)995 2982 y Fn(\015)1071 3024 y FE(equipped)g(with)g(the)h(graph)g(norm)1238 3218 y Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)1395 3175 y Fr(2)1395 3244 y Fn(\015)1474 3218 y Ft(=)j Fs(k)p Fv(A)1704 3175 y Fn(\015)1754 3218 y Fv(x)p Fs(k)1861 3175 y Fr(2)1933 3218 y Ft(=)h Fs(k)p Ft(\(1)21 b Fs(\000)i Ft(\001\))2421 3175 y Fn(\015)2472 3218 y Fv(x)p Fs(k)2579 3175 y Fr(2)2651 3218 y Fv(:)240 3411 y FE(Clearly)-6 b(,)24 b(the)h Fs(H)808 3368 y Fn(\015)884 3411 y FE(are)h(Hilbert)e(spaces)h(and)g(we)g(ha)n (v)o(e)f(the)h(inclusions)1483 3604 y Fs(H)1568 3561 y Fn(\015)1647 3604 y Fs(\032)j(H)1837 3561 y Fn(\016)1980 3604 y FE(if)100 b Fv(\015)32 b Fs(\025)d Fv(\016)i(:)240 3797 y FE(Note)c(that)g(in)g(usual)f(con)l(v)o(entions,)g Fs(H)1594 3754 y Fn(\015)1673 3797 y FE(w)o(ould)g(be)i(the)f(Sobole)n (v)f(space)i(of)f(inde)o(x)g Ft(2)p Fv(\015)h Ft(+)d(1)p FE(.)38 b(Our)240 3917 y(moti)n(v)n(ation)23 b(for)j(using)f (non-standard)g(notation)g(comes)g(from)h(the)g(f)o(act)g(that)f(our)h (basic)g(space)g(is)240 4036 y(that)g(with)h Fp(one)g FE(deri)n(v)n(ati)n(v)o(e,)e(which)h(we)i(call)f Fs(H)q FE(,)g(and)g(that)g Fv(\015)32 b FE(measures)27 b(additional)f (smoothness)240 4156 y(in)e(terms)g(of)h(po)n(wers)f(of)h(the)g (generator)g(of)g(the)g(linear)f(part.)240 4360 y Fx(5.2)99 b(Pr)n(oof)25 b(of)g(Theor)n(em)h(4.3)240 4516 y FE(The)31 b(proof)g(of)g(Theorem)f(4.3)h(is)f(based)h(on)g(Proposition)f(5.1)g (and)h(Proposition)f(5.2)g(which)h(we)240 4635 y(no)n(w)24 b(state.)240 4859 y Fx(Pr)n(oposition)g(5.1)50 b Fp(Assume)30 b(that)h(the)g(noise)f(satis\002es)g(condition)g(\(1.6\).)49 b(Then)32 b(\(4.2\))f(de\002nes)g(a)240 4978 y(stoc)o(hastic)23 b(\003ow)i Ft(\010)925 4936 y Fn(t)925 5005 y(\045)996 4978 y Fp(on)f Fs(H)i Fp(with)f(the)g(following)e(pr)l(operties)g(whic) o(h)h(hold)g(for)h(any)f Fv(p)k Fs(\025)g Ft(1)p Fp(:)243 5126 y FE(\(A\))57 b Fp(If)30 b Fv(\030)41 b Fs(2)c(H)802 5083 y Fn(\015)883 5126 y Fp(with)30 b(some)g Fv(\015)35 b Fp(satisfying)28 b Ft(0)36 b Fs(\024)i Fv(\015)k Fs(\024)37 b Fv(\013)p Fp(,)31 b(the)f(solution)e(of)h(\(4.2\))h(stays)f(in)h Fs(H)3601 5083 y Fn(\015)3652 5126 y Fp(,)438 5246 y(with)25 b(a)f(bound)1148 5439 y Fx(E)1215 5328 y Fo(\020)1359 5439 y FE(sup)1302 5525 y Fr(0)p Fn()h Ft(0)32 b Fp(and)h(e)o(very)438 541 y Fv(\030)f Fs(2)c(H)q Fp(.)j(Furthermor)l(e)o(,)24 b(for)g(e)o(very)h Fv(T)42 b(>)28 b Ft(0)d Fp(ther)l(e)g(is)f(a)h(constant)e Fv(C)2794 568 y Fn(T)6 b(;p;\045)3008 541 y Fp(for)24 b(whic)o(h)1104 773 y Fx(E)1171 662 y Fo(\020)1315 773 y FE(sup)1258 859 y Fr(0)p Fn()28 b Ft(0)p Fp(.)243 1791 y FE(\(D\))57 b Fp(F)-10 b(or)25 b(e)o(very)h Fv(h)j Fs(2)g(H)e Fp(and)e Fv(\030)33 b Fs(2)d(H)1568 1748 y Fn(\013)1625 1791 y Fp(,)25 b(the)h(quantity)2175 1710 y Fo(\000)2221 1791 y Fv(D)s Ft(\010)2378 1748 y Fn(t)2378 1818 y(\045)2424 1791 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))2551 1710 y Fo(\001)2595 1791 y Fv(h)27 b Fp(is)e(in)g Fs(H)2959 1748 y Fn(\013)3041 1791 y Fp(with)g(pr)l(obability)438 1911 y Ft(1)g Fp(for)f(e)o(very)h Fv(t)j(>)g Ft(0)p Fp(.)j(Furthermor)l(e)o(,)23 b(for)i(a)f Fv(\027)32 b Fp(depending)24 b(only)g(on)h Fv(\013)g Fp(the)f(bound)711 2123 y Fx(E)777 2012 y Fo(\020)921 2123 y FE(sup)864 2209 y Fr(0)p Fn()28 b Ft(0)p Fp(.)254 2517 y FE(\(E\))57 b Fp(F)-10 b(or)24 b(e)o(very)h Fv(\030)32 b Fs(2)c(H)1096 2474 y Fn(\015)1172 2517 y Fp(with)d Fv(\015)33 b Fs(\024)28 b Fv(\013)p Fp(,)d(we)g(have)g(the)g (small-time)e(estimate)752 2729 y Fx(E)818 2619 y Fo(\020)952 2729 y FE(sup)906 2813 y Fr(0)p Fn()28 b Ft(0)p Fp(.)240 3169 y FE(This)c(proposition)f(will)g (be)i(pro)o(v)o(ed)f(in)g(Section)h(8.4.)240 3389 y Fx(Pr)n(oposition)f (5.2)50 b Fp(Ther)l(e)24 b(e)n(xist)g(a)f(time)g Fv(T)1727 3346 y Fm(\003)1801 3389 y Fv(>)28 b Ft(0)c Fp(and)f(e)n(xponents)g Fv(\026;)17 b(\027)33 b(>)c Ft(0)23 b Fp(suc)o(h)g(that)g(for)g(e)o (very)240 3508 y Fv(')28 b Fs(2)g(C)485 3465 y Fr(2)479 3535 y Fn(b)530 3508 y Ft(\()p Fs(H)q Ft(\))p Fp(,)c(e)o(very)h Fv(\030)32 b Fs(2)c(H)1236 3465 y Fn(\013)1318 3508 y Fp(and)c(e)o(very)h Fv(t)j Fs(\024)g Fv(T)1972 3465 y Fm(\003)2018 3508 y Fp(,)1125 3695 y Fs(k)p Fv(D)s Fs(P)1337 3652 y Fn(t)1315 3722 y(\045)1373 3695 y Fv(')p Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p Fs(k)26 b(\024)j Fv(C)7 b(t)1861 3652 y Fm(\000)p Fn(\026)1977 3614 y Fo(\000)2022 3695 y Ft(1)22 b(+)h Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)2343 3652 y Fn(\027)2343 3722 y(\013)2398 3614 y Fo(\001)2444 3695 y Fs(k)p Fv(')p Fs(k)2609 3722 y Fr(L)2658 3702 y Fi(1)2763 3695 y Fv(:)695 b FE(\(5.2\))240 3900 y Fp(Pr)l(oof)23 b(of)i(Theor)l(em)g(4.3.)49 b FE(W)-8 b(e)29 b(\002rst)f(pro)o(v)o(e)g(the)g(bound)f(for)i(the)f (case)h Fv(')35 b Fs(2)f(C)2939 3857 y Fr(2)2933 3927 y Fn(b)2984 3900 y Ft(\()p Fs(H)q Ft(\))p FE(.)41 b(Let)29 b Fv(h)34 b Fs(2)h(H)q FE(.)240 4020 y(Using)24 b(the)g(de\002nition)g (\(1.9\))h(of)g Fs(P)1457 3977 y Fn(t)1435 4047 y(\045)1492 4020 y Fv(')g FE(and)g(the)g(Mark)o(o)o(v)f(property)g(of)h(the)g (\003o)n(w)f(we)h(write)382 4252 y Fs(k)p Fv(D)s Fs(P)594 4209 y Fr(2)p Fn(t)572 4279 y(\045)669 4252 y Fv(')p Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p Fv(h)p Fs(k)27 b Ft(=)1100 4167 y Fo(\015)1100 4227 y(\015)1155 4252 y Fv(D)s Fx(E)1307 4171 y Fo(\000)1353 4252 y Fs(P)1430 4209 y Fn(t)1408 4279 y(\045)1465 4252 y Fv(')c Fs(\016)f Ft(\010)1697 4209 y Fn(t)1697 4279 y(\045)1743 4171 y Fo(\001)1788 4252 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p Fv(h)1972 4167 y Fo(\015)1972 4227 y(\015)2055 4252 y Ft(=)2160 4137 y Fo(\015)2160 4197 y(\015)2160 4257 y(\015)2215 4252 y Fx(E)2282 4141 y Fo(\020)2341 4171 y(\000)2387 4252 y Fv(D)s Fs(P)2549 4209 y Fn(t)2527 4279 y(\045)2585 4252 y Fv(')22 b Fs(\016)g Ft(\010)2816 4209 y Fn(t)2816 4279 y(\045)2862 4171 y Fo(\001)2908 4252 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p Fv(D)s Ft(\010)3192 4209 y Fn(t)3192 4279 y(\045)3237 4252 y Ft(\()p Fv(\030)g Ft(\))p Fv(h)3421 4141 y Fo(\021)3479 4137 y(\015)3479 4197 y(\015)3479 4257 y(\015)995 4492 y Fs(\024)1100 4364 y Fo(q)p 1200 4364 915 4 v 128 x Fx(E)1266 4407 y Fo(\015)1266 4467 y(\015)1321 4411 y(\000)1367 4492 y Fv(D)s Fs(P)1529 4463 y Fn(t)1507 4519 y(\045)1565 4492 y Fv(')22 b Fs(\016)g Ft(\010)1796 4463 y Fn(t)1796 4519 y(\045)1842 4411 y Fo(\001)1888 4492 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))2015 4407 y Fo(\015)2015 4467 y(\015)2069 4432 y Fr(2)2114 4364 y Fo(q)p 2213 4364 609 4 v 2213 4492 a Fx(E)2280 4407 y Fo(\015)2280 4467 y(\015)2335 4492 y Fv(D)s Ft(\010)2492 4463 y Fn(t)2492 4519 y(\045)2539 4492 y Ft(\()p Fv(\030)g Ft(\))p Fv(h)2723 4407 y Fo(\015)2723 4467 y(\015)2777 4432 y Fr(2)2850 4492 y Fv(:)240 4678 y FE(Bounding)31 b(the)i(\002rst)f(square)h(root)f(by)g(Proposition)f (5.2)h(and)g(then)g(applying)f(Proposition)g(5.1,)240 4798 y(we)25 b(get)f(a)i(bound)547 5032 y Fs(k)p Fv(D)s Fs(P)759 4989 y Fr(2)p Fn(t)737 5059 y(\045)835 5032 y Fv(')p Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p Fv(h)p Fs(k)26 b(\024)i Fv(C)7 b Fs(k)p Fv(')p Fs(k)1508 5059 y Fr(L)1557 5039 y Fi(1)1636 5032 y Fv(t)1672 4989 y Fm(\000)p Fn(\026)1787 4905 y Fo(q)p 1887 4905 775 4 v 127 x Fx(E)1953 4951 y Fo(\000)1999 5032 y Ft(1)22 b(+)h Fs(k)p Ft(\010)2293 5003 y Fn(t)2293 5059 y(\045)2339 5032 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p Fs(k)2516 5003 y Fn(\027)2516 5059 y(\013)2571 4951 y Fo(\001)2617 4972 y Fr(2)2661 4905 y Fo(q)p 2761 4905 609 4 v 127 x Fx(E)2827 4947 y Fo(\015)2827 5007 y(\015)2883 5032 y Fv(D)s Ft(\010)3040 5003 y Fn(t)3040 5059 y(\045)3086 5032 y Ft(\()p Fv(\030)g Ft(\))p Fv(h)3270 4947 y Fo(\015)3270 5007 y(\015)3325 4972 y Fr(2)1160 5206 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b Fs(k)p Fv(')p Fs(k)1508 5233 y Fr(L)1557 5213 y Fi(1)1636 5206 y Fv(t)1672 5163 y Fm(\000)p Fn(\026)1787 5206 y Fv(t)1823 5163 y Fm(\000)p Fn(\013\027)1987 5206 y Ft(\(1)22 b(+)g Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)p Ft(\))2385 5163 y Fn(\027)2433 5206 y Fs(k)p Fv(h)p Fs(k)28 b Fv(:)240 5392 y FE(Thus,)33 b(we)f(ha)n(v)o(e)g(sho)n (wn)e(\(4.3\))i(when)g Fv(')41 b Fs(2)g(C)1894 5350 y Fr(2)1888 5419 y Fn(b)1939 5392 y Ft(\()p Fs(H)q Ft(\))p FE(.)52 b(The)32 b(method)f(of)h(e)o(xtension)e(to)i(arbitrary)240 5512 y Fv(')47 b Fs(2)g(B)530 5539 y Fn(b)571 5512 y Ft(\()p Fs(H)q Ft(\))35 b FE(can)g(be)h(found)f(in)g([DPZ96,)i(Lemma)e (7.1.5].)62 b(The)35 b(proof)g(of)g(Theorem)g(4.3)g(is)240 5632 y(complete.)3677 5632 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 5632 a eop %%Page: 14 14 14 13 bop 242 -75 a FE(R)t Fu(E)t(G)t(U)t(L)t(A)t(R)t(I)t(T)t(Y)35 b(O)t(F)c(T)t(H)t(E)f FE(C)t Fu(U)t(T)s(O)t(FF)j FE(P)t Fu(R)q(O)t(C)t(E)t(S)t(S)1664 b Fx(14)240 273 y(5.3)99 b(Smoothing)25 b(Pr)n(operties)h(of)f(the)h(T)-7 b(ransition)25 b(Semigr)n(oup)240 429 y FE(In)33 b(this)f(subsection)f(we)j(pro)o(v)o (e)e(the)g(smoothing)f(bound)h(Proposition)g(5.2.)55 b(Thus,)34 b(we)f(will)f(no)240 548 y(longer)26 b(be)h(interested)g(in) f(smoothing)f(in)h(position)g(space)h(as)g(sho)n(wn)e(in)i(Proposition) e(5.1)i(b)n(ut)f(in)240 668 y(smoothing)c(properties)j(of)g(the)f (transition)f(semigroup)h(associated)g(to)h(\(4.2\).)240 871 y Fx(Important)g(r)n(emark.)51 b FE(In)36 b(this)e(section)g(and)i (up)f(to)f(Section)i(8.6)f(we)g(al)o(w)o(ays)g(tacitly)g(assume)240 991 y(that)24 b(we)h(are)h(considering)d(the)i(cutof)n(f)f(equation)g (\(4.2\))h(and)g(we)g(will)f(omit)g(the)g(inde)o(x)g Fv(\045)p FE(.)389 1194 y(Thus,)g(we)h(will)f(write)h(Eq.\(4.2\))f(as) 913 1397 y Fv(d)p Ft(\010)1037 1354 y Fn(t)1100 1397 y Ft(=)k Fs(\000)p Fv(A)p Ft(\010)1429 1354 y Fn(t)1481 1397 y Fv(dt)22 b Ft(+)1690 1316 y Fo(\000)1736 1397 y Fv(F)36 b Fs(\016)22 b Ft(\010)1980 1354 y Fn(t)2015 1316 y Fo(\001)2077 1397 y Fv(dt)g Ft(+)2287 1316 y Fo(\000)2333 1397 y Fv(Q)f Fs(\016)h Ft(\010)2577 1354 y Fn(t)2612 1316 y Fo(\001)2675 1397 y Fv(dW)14 b Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))27 b Fv(:)482 b FE(\(5.3\))389 1600 y(The)26 b(solution)e(of)i (\(5.3\))g(generates)g(a)h(semigroup)d(on)i(the)g(space)g Fs(B)2748 1627 y Fn(b)2789 1600 y Ft(\()p Fs(H)q Ft(\))f FE(of)h(bounded)f(Borel)240 1720 y(functions)e(o)o(v)o(er)h Fs(H)29 b Ft(=)f Fs(H)1136 1747 y Fr(L)1213 1720 y Fs(\010)22 b(H)1396 1747 y Fr(H)1485 1720 y FE(by)1210 1923 y Fs(P)1287 1880 y Fn(t)1322 1923 y Fv(')28 b Ft(=)g Fx(E)1587 1842 y Fo(\000)1633 1923 y Fv(')22 b Fs(\016)g Ft(\010)1864 1880 y Fn(t)1899 1842 y Fo(\001)1972 1923 y FE(,)199 b Fv(')28 b Fs(2)g(B)2448 1950 y Fn(b)2489 1923 y Ft(\()p Fs(H)q Ft(\))f Fv(:)240 2126 y FE(Our)40 b(goal)g(will)g(be)g(to)g(sho) n(w)g(that)g(the)g(mixing)f(properties)h(of)g(the)h(nonlinearity)e(are) i(strong)240 2246 y(enough)24 b(to)g(mak)o(e)h Fs(P)977 2203 y Fn(t)1013 2246 y Fv(')g FE(dif)n(ferentiable,)f(e)n(v)o(en)g(if) g Fv(')i FE(is)e(only)g(measurable.)389 2365 y(W)-8 b(e)40 b(will)f(need)h(a)g(separate)h(treatment)e(of)h(the)f(high)g(and)h(lo)n (w)f(frequencies,)k(and)d(so)g(we)240 2485 y(reformulate)24 b(\(5.3\))h(as)432 2688 y Fv(d)p Ft(\010)556 2645 y Fn(t)556 2715 y Fr(L)638 2688 y Ft(=)j Fs(\000)p Fv(A)895 2715 y Fr(L)949 2688 y Ft(\010)1021 2645 y Fn(t)1021 2715 y Fr(L)1092 2688 y Fv(dt)22 b Ft(+)1302 2607 y Fo(\000)1347 2688 y Fv(F)1411 2715 y Fr(L)1488 2688 y Fs(\016)g Ft(\010)1632 2645 y Fn(t)1667 2607 y Fo(\001)1729 2688 y Fv(dt)g Ft(+)1939 2607 y Fo(\000)1984 2688 y Fv(Q)2063 2715 y Fr(L)2139 2688 y Fs(\016)g Ft(\010)2283 2645 y Fn(t)2318 2607 y Fo(\001)2381 2688 y Fv(dW)2527 2715 y Fr(L)2581 2688 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))27 b FE(,)209 b Ft(\010)3028 2645 y Fn(t)3028 2715 y Fr(L)3110 2688 y Fs(2)28 b(H)3288 2715 y Fr(L)3370 2688 y FE(,)47 b(\(5.4a\))422 2848 y Fv(d)p Ft(\010)546 2806 y Fn(t)546 2875 y Fr(H)638 2848 y Ft(=)28 b Fs(\000)p Fv(A)895 2875 y Fr(H)959 2848 y Ft(\010)1031 2806 y Fn(t)1031 2875 y Fr(H)1111 2848 y Fv(dt)22 b Ft(+)1321 2768 y Fo(\000)1366 2848 y Fv(F)1430 2875 y Fr(H)1516 2848 y Fs(\016)g Ft(\010)1660 2806 y Fn(t)1695 2768 y Fo(\001)1758 2848 y Fv(dt)g Ft(+)g Fv(Q)2046 2875 y Fr(H)2126 2848 y Fv(dW)2272 2875 y Fr(H)2336 2848 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))27 b FE(,)444 b Ft(\010)3018 2806 y Fn(t)3018 2875 y Fr(H)3110 2848 y Fs(2)28 b(H)3288 2875 y Fr(H)3379 2848 y FE(,)k(\(5.4b\))240 3052 y(where)c Fs(H)595 3079 y Fr(L)677 3052 y FE(and)g Fs(H)933 3079 y Fr(H)1025 3052 y FE(are)g(de\002ned)g(in)g(Section)g(5.1)f(and)h(the) f(cutof)n(f)h(v)o(ersion)e(of)i Fv(Q)g FE(w)o(as)g(de\002ned)240 3171 y(in)c(\(4.1\).)30 b(Note)24 b(that)g Fv(Q)1059 3198 y Fr(H)1122 3090 y Fo(\000)1168 3171 y Ft(\010)1240 3128 y Fn(t)1275 3171 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))1402 3090 y Fo(\001)1471 3171 y FE(is)24 b(independent)f(of)h Fv(\030)29 b FE(and)24 b Fv(t)g FE(by)g(construction,)f(which)h(is)g (why)240 3291 y(we)h(can)g(use)g Fv(Q)781 3318 y Fr(H)869 3291 y FE(in)g(\(5.4b\).)389 3410 y(The)g(proof)g(of)g(Proposition)e (5.2)i(is)f(based)h(on)g(the)f(follo)n(wing)f(tw)o(o)i(results)f (dealing)g(with)g(the)240 3530 y(lo)n(w-frequenc)o(y)19 b(part)h(and)f(the)h(cross-terms)f(between)h(lo)n(w)f(and)h(high)f (frequencies,)i(respecti)n(v)o(ely)-6 b(.)240 3759 y Fx(Pr)n(oposition)24 b(5.3)50 b Fp(Ther)l(e)24 b(e)n(xist)g(a)f(time)g Fv(T)1727 3716 y Fm(\003)1801 3759 y Fv(>)28 b Ft(0)c Fp(and)f(e)n(xponents)g Fv(\026;)17 b(\027)33 b(>)c Ft(0)23 b Fp(suc)o(h)g(that)g(for)g(e)o(very)240 3879 y Fv(')28 b Fs(2)g(C)485 3836 y Fr(2)479 3906 y Fn(b)530 3879 y Ft(\()p Fs(H)q Ft(\))p Fp(,)c(e)o(very)h Fv(\030)32 b Fs(2)c(H)1236 3836 y Fn(\013)1318 3879 y Fp(and)c(e)o(very)50 b Fv(t)28 b Fs(\024)g Fv(T)1997 3836 y Fm(\003)2043 3879 y Fp(,)678 3999 y Fo(\015)678 4059 y(\015)678 4119 y(\015)734 4114 y Fx(E)800 4003 y Fo(\020)860 4033 y(\000)905 4114 y Fv(D)987 4141 y Fr(L)1042 4114 y Fv(')22 b Fs(\016)g Ft(\010)1273 4071 y Fn(t)1308 4033 y Fo(\001)1354 4114 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\)\()p Fv(D)1602 4141 y Fr(L)1655 4114 y Ft(\010)1727 4071 y Fn(t)1727 4141 y Fr(L)1781 4114 y Ft(\)\()p Fv(\030)g Ft(\))1947 4003 y Fo(\021)2005 3999 y(\015)2005 4059 y(\015)2005 4119 y(\015)2088 4114 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b(t)2307 4071 y Fm(\000)p Fn(\026)2423 4033 y Fo(\000)2469 4114 y Ft(1)22 b(+)h Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)2790 4071 y Fn(\027)2790 4141 y(\013)2845 4033 y Fo(\001)2891 4114 y Fs(k)p Fv(')p Fs(k)3056 4141 y Fr(L)3105 4121 y Fi(1)3210 4114 y Fv(:)240 4367 y Fx(Lemma)25 b(5.4)49 b Fp(F)-10 b(or)28 b(e)o(very)i Fv(T)49 b(>)35 b Ft(0)29 b Fp(and)g(e)o(very)g Fv(p)35 b Fs(\025)h Ft(1)p Fp(,)30 b(ther)l(e)f(ar)l(e)g(constants)e Fv(C)3064 4394 y Fr(1)3109 4367 y Fv(;)17 b(C)3225 4394 y Fr(2)3304 4367 y Fv(>)36 b Ft(0)29 b Fp(suc)o(h)240 4487 y(that)24 b(for)g(e)o(very)h Fv(t)j Fs(\024)g Fv(T)14 b Fp(,)25 b(one)f(has)h(the)f(estimates)g(\(valid)g(for)h Fv(h)2421 4514 y Fr(L)2503 4487 y Fs(2)j(H)2681 4514 y Fr(L)2760 4487 y Fp(and)d Fv(h)2992 4514 y Fr(H)3083 4487 y Fs(2)k(H)3262 4514 y Fr(H)3325 4487 y Fp(\):)1060 4690 y Fx(E)64 b FE(sup)1143 4773 y Fr(0)p Fn()28 b Ft(0)23 b FE(such)f(that)g Fv(f)2363 1862 y Fn(')2448 1835 y Ft(:)27 b(\()p Fv(t;)17 b(\030)5 b Ft(\))26 b Fs(7!)2864 1754 y Fo(\000)2910 1835 y Fv(D)s Fs(P)3072 1792 y Fn(t)3108 1835 y Fv(')3173 1754 y Fo(\001)3219 1835 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))21 b FE(belongs)240 1955 y(to)27 b Fd(B)435 1982 y Fn(T)6 b(;\026)560 1992 y Fi(\003)603 1982 y Fn(;\027)667 1992 y Fi(\003)741 1955 y FE(and)27 b(that)g Fs(j)-17 b(j)g(j)p Fv(f)1188 1982 y Fn(')1245 1955 y Fs(j)g(j)g(j)1295 1982 y Fn(T)6 b(;\026)1420 1992 y Fi(\003)1463 1982 y Fn(;\027)1527 1992 y Fi(\003)1606 1955 y Fs(\024)33 b Fv(C)7 b Fs(k)p Fv(')p Fs(k)1959 1982 y Fr(L)2008 1962 y Fi(1)2086 1955 y FE(,)29 b(thus)e(pro)o(ving)f(Proposition)g(5.2.)39 b(The)28 b(f)o(act)240 2093 y(that)g Fv(f)467 2120 y Fn(')558 2093 y Fs(2)35 b Fd(B)749 2120 y Fn(T)6 b(;\026)874 2130 y Fi(\003)916 2120 y Fn(;\027)980 2130 y Fi(\003)1055 2093 y FE(for)29 b(e)n(v)o(ery)f Fv(T)42 b FE(if)28 b Fv(')35 b Fs(2)g(C)1894 2050 y Fr(2)1888 2120 y Fn(b)1938 2093 y Ft(\()p Fs(H)q Ft(\))29 b FE(is)e(sho)n(wn)h(in)g([DPZ96],)h(so) f(we)h(only)e(ha)n(v)o(e)240 2212 y(to)d(sho)n(w)g(the)h(bound)e(on)i (its)f(norm.)389 2332 y(By)31 b(Proposition)e(5.1,)j(Eqs.\(5.5b\))d (and)i(\(5.8\),)g(and)g(the)f(Cauchy-Schw)o(arz)i(inequality)-6 b(,)30 b(we)240 2452 y(ha)n(v)o(e)24 b(the)h(estimate,)f(v)n(alid)f (for)i Fv(h)k Fs(2)f(H)1604 2478 y Fr(H)1668 2452 y FE(:)324 2688 y Fo(\014)324 2748 y(\014)358 2692 y(\000)403 2773 y Fv(D)485 2800 y Fr(H)549 2773 y Fs(P)626 2730 y Fn(t)662 2773 y Fv(')727 2692 y Fo(\001)773 2773 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p Fv(h)957 2688 y Fo(\014)957 2748 y(\014)1017 2773 y Fs(\024)28 b(k)p Fv(')p Fs(k)1287 2800 y Fr(L)1336 2780 y Fi(1)1426 2706 y Ft(2)p 1426 2750 50 4 v 1433 2841 a Fv(t)1504 2603 y Fo( )1583 2773 y Fx(E)1666 2637 y Fo(Z)1766 2662 y Fr(3)p Fn(t=)p Fr(4)1721 2864 y Fn(t=)p Fr(4)1921 2688 y Fo(\015)1921 2748 y(\015)1976 2773 y Fv(Q)2055 2730 y Fm(\000)p Fr(1)2055 2802 y(H)2162 2692 y Fo(\000)2208 2773 y Fv(D)2290 2800 y Fr(H)2354 2773 y Ft(\010)2426 2730 y Fn(s)2426 2800 y Fr(H)2490 2692 y Fo(\001)2535 2773 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p Fv(h)2719 2688 y Fo(\015)2719 2748 y(\015)2774 2713 y Fr(2)2835 2773 y Fv(ds)2934 2603 y Fo(!)3013 2623 y Fr(1)p Fn(=)p Fr(2)671 3101 y Ft(+)783 3033 y(2)p 783 3078 V 790 3169 a Fv(t)845 3101 y Fs(j)-17 b(j)g(j)p Fv(f)944 3128 y Fn(')1001 3101 y Fs(j)g(j)g(j)1051 3128 y Fn(t;\026)1153 3138 y Fi(\003)1194 3128 y Fn(;\027)1258 3138 y Fi(\003)1321 3101 y Fx(E)1404 2965 y Fo(Z)1504 2990 y Fr(3)p Fn(t=)p Fr(4)1459 3191 y Fn(t=)p Fr(4)1688 3033 y Ft(1)22 b(+)g Fs(k)p Ft(\010)1981 2990 y Fn(s)2024 3033 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p Fs(k)2201 2990 y Fn(\027)2241 3000 y Fi(\003)2201 3060 y Fn(\013)p 1688 3078 598 4 v 1798 3169 a Ft(\()p Fv(t)22 b Fs(\000)h Fv(s)p Ft(\))2081 3140 y Fn(\026)2129 3150 y Fi(\003)2298 3016 y Fo(\015)2298 3076 y(\015)2353 3020 y(\000)2399 3101 y Fv(D)2481 3128 y Fr(H)2545 3101 y Ft(\010)2617 3058 y Fn(s)2617 3128 y Fr(L)2671 3020 y Fo(\001)2717 3101 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p Fv(h)2901 3016 y Fo(\015)2901 3076 y(\015)2972 3101 y Fv(ds)577 3335 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b(t)796 3292 y Fm(\000)p Fn(\013)916 3335 y Fs(k)p Fv(')p Fs(k)1081 3362 y Fr(L)1130 3342 y Fi(1)1207 3254 y Fo(\000)1253 3335 y Ft(1)22 b(+)h Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)1574 3292 y Fn(\027)1614 3302 y Fi(\003)1574 3362 y Fn(\013)1659 3254 y Fo(\001)1705 3335 y Fs(k)p Fv(h)p Fs(k)671 3611 y Ft(+)23 b Fv(C)7 b(t)885 3569 y Fm(\000)p Fn(\026)995 3579 y Fi(\003)1042 3611 y Fs(j)-17 b(j)g(j)p Fv(f)1141 3638 y Fn(')1198 3611 y Fs(j)g(j)g(j)1248 3638 y Fn(t;\026)1350 3648 y Fi(\003)1392 3638 y Fn(;\027)1456 3648 y Fi(\003)1519 3441 y Fo( )1598 3611 y Fx(E)100 b FE(sup)1681 3709 y Fn(s)p Fm(2)p Fr([)1810 3682 y Fj(t)p 1807 3693 34 4 v 1807 3733 a Fk(4)1853 3709 y Fn(;)1888 3682 y Fk(3)p Fj(t)p 1888 3693 62 4 v 1902 3733 a Fk(4)1962 3709 y Fr(])1985 3531 y Fo(\000)2030 3611 y Ft(1)22 b(+)h Fs(k)p Ft(\010)2324 3569 y Fn(s)2366 3611 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p Fs(k)2543 3569 y Fn(\027)2583 3579 y Fi(\003)2543 3638 y Fn(\013)2628 3531 y Fo(\001)2674 3551 y Fr(2)2719 3441 y Fo(!)2798 3462 y Fr(1)p Fn(=)p Fr(2)771 3984 y Fs(\002)870 3814 y Fo( )949 3984 y Fx(E)100 b FE(sup)1032 4081 y Fn(s)p Fm(2)p Fr([)1161 4055 y Fj(t)p 1158 4066 34 4 v 1158 4105 a Fk(4)1204 4081 y Fn(;)1240 4055 y Fk(3)p Fj(t)p 1240 4066 62 4 v 1254 4105 a Fk(4)1314 4081 y Fr(])1336 3900 y Fo(\015)1336 3959 y(\015)1392 3904 y(\000)1437 3984 y Fv(D)1519 4011 y Fr(H)1583 3984 y Ft(\010)1655 3942 y Fn(s)1655 4011 y Fr(L)1710 3904 y Fo(\001)1755 3984 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p Fv(h)1939 3900 y Fo(\015)1939 3959 y(\015)1994 3924 y Fr(2)2038 3814 y Fo(!)2117 3835 y Fr(1)p Fn(=)p Fr(2)577 4250 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b(t)796 4208 y Fm(\000)p Fn(\013)916 4250 y Fs(k)p Fv(')p Fs(k)1081 4277 y Fr(L)1130 4257 y Fi(1)1207 4170 y Fo(\000)1253 4250 y Ft(1)22 b(+)h Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)1574 4208 y Fn(\027)1614 4218 y Fi(\003)1574 4277 y Fn(\013)1659 4170 y Fo(\001)1705 4250 y Fs(k)p Fv(h)p Fs(k)22 b Ft(+)h Fv(C)7 b(t)2098 4208 y Fm(\000)p Fn(\026)2208 4218 y Fi(\003)2250 4208 y Fr(+1)p Fn(=)p Fr(4)2437 4250 y Fs(j)-17 b(j)g(j)p Fv(f)2536 4277 y Fn(')2593 4250 y Fs(j)g(j)g(j)2643 4277 y Fn(t;\026)2745 4287 y Fi(\003)2786 4277 y Fn(;\027)2850 4287 y Fi(\003)2896 4250 y Ft(\(1)22 b(+)h Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)3256 4208 y Fn(\027)3296 4218 y Fi(\003)3256 4277 y Fn(\013)3341 4250 y Ft(\))p Fs(k)p Fv(h)p Fs(k)28 b Fv(:)240 4452 y FE(F)o(or)c(the)f(lo)n(w-frequenc)o(y)g(part,)i(we)f (use)g(Proposition)e(5.3,)i(Eqs.\(5.5a\))f(and)h(\(5.9\),)g(and)g(the)g (prop-)240 4572 y(erty)h(that)f Fs(kP)721 4529 y Fn(t)756 4572 y Fv(')p Fs(k)871 4599 y Fr(L)920 4579 y Fi(1)1026 4572 y Fs(\024)k(k)p Fv(')p Fs(k)1296 4599 y Fr(L)1345 4579 y Fi(1)1448 4572 y FE(and)d(\002nd)g(for)g Fv(h)j Fs(2)g(H)2201 4599 y Fr(L)2255 4572 y FE(,)390 4689 y Fo(\014)390 4749 y(\014)423 4693 y(\000)469 4774 y Fv(D)551 4801 y Fr(L)606 4774 y Fs(P)683 4731 y Fn(t)718 4774 y Fv(')783 4693 y Fo(\001)829 4774 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p Fv(h)1013 4689 y Fo(\014)1013 4749 y(\014)1073 4774 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b(t)1292 4731 y Fm(\000)p Fn(\026)1402 4741 y Fi(\003)1450 4774 y Fs(k)p Fv(')p Fs(k)1615 4801 y Fr(L)1664 4781 y Fi(1)1742 4693 y Fo(\000)1787 4774 y Ft(1)22 b(+)h Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)2108 4731 y Fn(\027)2148 4741 y Fi(\003)2108 4801 y Fn(\013)2193 4693 y Fo(\001)2256 4774 y Fs(k)p Fv(h)p Fs(k)591 4963 y Ft(+)22 b Fv(C)7 b(t)804 4921 y Fm(\000)p Fn(\026)914 4931 y Fi(\003)962 4963 y Fs(j)-17 b(j)g(j)p Fv(f)1061 4990 y Fn(')1118 4963 y Fs(j)g(j)g(j)1168 4990 y Fn(t;\026)1270 5000 y Fi(\003)1312 4990 y Fn(;\027)1376 5000 y Fi(\003)1422 4963 y Fx(E)1488 4853 y Fo(\020)1548 4883 y(\000)1593 4963 y Ft(1)22 b(+)h Fs(k)p Ft(\010)1887 4921 y Fn(t=)p Fr(2)2002 4963 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p Fs(k)2179 4921 y Fn(\027)2219 4931 y Fi(\003)2179 4990 y Fn(\013)2264 4883 y Fo(\001)2310 4879 y(\015)2310 4939 y(\015)2365 4883 y(\000)2411 4963 y Fv(D)2493 4990 y Fr(L)2548 4963 y Ft(\010)2620 4912 y Fn(t=)p Fr(2)2620 4993 y(H)2735 4883 y Fo(\001)2781 4963 y Ft(\()p Fv(\030)g Ft(\))p Fv(h)2965 4879 y Fo(\015)2965 4939 y(\015)3019 4853 y(\021)497 5211 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b(t)716 5168 y Fm(\000)p Fn(\026)826 5178 y Fi(\003)873 5211 y Fs(k)p Fv(')p Fs(k)1038 5238 y Fr(L)1087 5218 y Fi(1)1165 5130 y Fo(\000)1211 5211 y Ft(1)22 b(+)g Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)1531 5168 y Fn(\027)1571 5178 y Fi(\003)1531 5238 y Fn(\013)1617 5130 y Fo(\001)1679 5211 y Fs(k)p Fv(h)p Fs(k)591 5424 y Ft(+)22 b Fv(C)7 b(t)804 5381 y Fm(\000)p Fn(\026)914 5391 y Fi(\003)962 5424 y Fs(j)-17 b(j)g(j)p Fv(f)1061 5450 y Fn(')1118 5424 y Fs(j)g(j)g(j)1168 5450 y Fn(t;\026)1270 5460 y Fi(\003)1312 5450 y Fn(;\027)1376 5460 y Fi(\003)1422 5293 y Fo(q)p 1521 5293 874 4 v 1521 5424 a Fx(E)1588 5343 y Fo(\000)1634 5424 y Ft(1)22 b(+)g Fs(k)p Ft(\010)1927 5395 y Fn(t=)p Fr(2)2043 5424 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p Fs(k)2220 5379 y Fn(\027)2260 5389 y Fi(\003)2220 5435 y Fn(\013)2305 5343 y Fo(\001)2350 5364 y Fr(2)2395 5293 y Fo(q)p 2495 5293 821 4 v 131 x Fx(E)2561 5339 y Fo(\015)2561 5399 y(\015)2616 5343 y(\000)2662 5424 y Fv(D)2744 5450 y Fr(L)2799 5424 y Ft(\010)2871 5372 y Fn(t=)p Fr(2)2871 5453 y(H)2986 5343 y Fo(\001)3032 5424 y Ft(\()p Fv(\030)g Ft(\))p Fv(h)3216 5339 y Fo(\015)3216 5399 y(\015)3270 5364 y Fr(2)497 5653 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b(t)716 5610 y Fm(\000)p Fn(\026)826 5620 y Fi(\003)873 5653 y Fs(k)p Fv(')p Fs(k)1038 5680 y Fr(L)1087 5660 y Fi(1)1165 5572 y Fo(\000)1211 5653 y Ft(1)22 b(+)g Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)1531 5610 y Fn(\027)1571 5620 y Fi(\003)1531 5680 y Fn(\013)1617 5572 y Fo(\001)1679 5653 y Fs(k)p Fv(h)p Fs(k)27 b Ft(+)c Fv(C)7 b(t)2077 5610 y Fm(\000)p Fn(\026)2187 5620 y Fi(\003)2230 5610 y Fr(+1)2335 5653 y Fs(j)-17 b(j)g(j)p Fv(f)2434 5680 y Fn(')2491 5653 y Fs(j)g(j)g(j)2541 5680 y Fn(t;\026)2643 5690 y Fi(\003)2685 5680 y Fn(;\027)2749 5690 y Fi(\003)2795 5572 y Fo(\000)2841 5653 y Ft(1)22 b(+)h Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)3162 5610 y Fn(\027)3202 5620 y Fi(\003)3162 5680 y Fn(\013)3247 5572 y Fo(\001)3309 5653 y Fs(k)p Fv(h)p Fs(k)33 b Fv(:)p eop %%Page: 17 17 17 16 bop 242 -75 a FE(M)t Fu(A)t(L)t(L)t(I)t(A)-7 b(V)t(I)t(N)33 b FE(C)t Fu(A)t(L)t(C)t(U)t(L)t(U)t(S)2345 b Fx(17)240 273 y FE(Combining)23 b(the)i(abo)o(v)o(e)f(e)o(xpressions)f(we)i(get)g (for)g(e)n(v)o(ery)f Fv(T)42 b(<)28 b(T)2556 230 y Fm(\003)2626 273 y FE(a)e(bound)e(of)g(the)h(type)960 482 y Fs(j)-17 b(j)g(j)p Fv(f)1059 509 y Fn(')1116 482 y Fs(j)g(j)g(j)1166 509 y Fn(T)6 b(;\026)1291 519 y Fi(\003)1333 509 y Fn(;\027)1397 519 y Fi(\003)1471 482 y Fs(\024)28 b Fv(C)1647 509 y Fr(1)1692 482 y Fs(k)p Fv(')p Fs(k)1857 509 y Fr(L)1906 489 y Fi(1)2006 482 y Ft(+)22 b Fv(C)2176 509 y Fr(2)2221 482 y Fv(T)2293 439 y Fr(1)p Fn(=)p Fr(4)2418 482 y Fs(j)-17 b(j)g(j)p Fv(f)2517 509 y Fn(')2574 482 y Fs(j)g(j)g(j)2624 509 y Fn(T)6 b(;\026)2749 519 y Fi(\003)2791 509 y Fn(;\027)2855 519 y Fi(\003)2929 482 y Fv(:)240 716 y FE(Choosing)24 b Fv(T)719 673 y Fr(1)p Fn(=)p Fr(4)872 716 y Fv(<)k Ft(1)p Fv(=)p Ft(\(2)p Fv(C)1237 743 y Fr(2)1281 716 y Ft(\))p FE(,)c(we)h(\002nd)1437 925 y Fs(j)-17 b(j)g(j)p Fv(f)1536 951 y Fn(')1593 925 y Fs(j)g(j)g(j)1643 951 y Fn(T)6 b(;\026)1768 961 y Fi(\003)1811 951 y Fn(;\027)1875 961 y Fi(\003)1948 925 y Fs(\024)29 b Fv(C)7 b Fs(k)p Fv(')p Fs(k)2297 951 y Fr(L)2346 931 y Fi(1)2451 925 y Fv(:)957 b FE(\(5.11\))240 1150 y(Since)32 b Fv(f)542 1176 y Fn(')599 1150 y Ft(\()p Fv(t;)17 b(\030)5 b Ft(\))38 b(=)962 1069 y Fo(\000)1008 1150 y Fv(D)s Fs(P)1170 1107 y Fn(t)1206 1150 y Fv(')1271 1069 y Fo(\001)1317 1150 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p FE(,)31 b(inspection)f(of)i(\(5.10\))f (sho)n(ws)f(that)h(\(5.11\))h(is)f(equi)n(v)n(alent)e(to)240 1269 y(\(5.2\).)h(The)25 b(proof)g(of)g(Proposition)e(5.2)i(is)f (complete.)3677 1269 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 1269 a 240 1541 a FD(6)119 b(Mallia)m(vin)31 b(Calculus)240 1750 y FE(T)-8 b(o)26 b(pro)o(v)o(e)f(Proposition)g(5.3)h(we)h(will)e(apply)h(a)g (modi\002cation)f(of)i(Norris')f(v)o(ersion)f(of)i(the)f(Malli-)240 1870 y(a)n(vin)h(calculus.)38 b(This)26 b(modi\002cation)h(tak)o(es)g (into)f(account)i(some)e(ne)n(w)h(features)h(which)f(are)h(nec-)240 1989 y(essary)i(due)g(to)f(our)h(splitting)e(of)i(the)g(problem)f(in)h (high)f(and)h(lo)n(w)f(frequencies)h(\(which)g(in)f(turn)240 2109 y(w)o(as)c(done)f(to)h(deal)f(with)g(the)h(in\002nite)f (dimensional)f(nature)i(of)g(the)g(problem\).)389 2229 y(Consider)g(\002rst)g(the)f(deterministic)g(PDE)h(for)g(a)g(\003o)n (w:)1212 2414 y Fv(d)p Ft(\011)1341 2372 y Fn(t)1377 2414 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p 1212 2459 291 4 v 1313 2550 a Fv(dt)1542 2482 y Ft(=)28 b Fs(\000)p Fv(A)p Ft(\011)1876 2439 y Fn(t)1912 2482 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))21 b(+)2159 2401 y Fo(\000)2205 2482 y Fv(F)36 b Fs(\016)22 b Ft(\011)2454 2439 y Fn(t)2490 2401 y Fo(\001)2535 2482 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))27 b Fv(:)769 b FE(\(6.1\))240 2718 y(This)25 b(is)h(really)g(an)g(abstract)h(reformulation)e(for)h (the)g(\003o)n(w)g(de\002ned)h(by)f(the)g(GL)g(equation,)g(and)g Fv(\030)240 2838 y FE(belongs)j(to)h(a)h(space)g Fs(H)q FE(,)h(which)e(for)h(our)f(problem)g(is)g(a)g(suitable)g(Sobole)n(v)g (space.)48 b(The)30 b(linear)240 2957 y(operator)h Fv(A)f FE(is)h(chosen)f(as)h Ft(1)c Fs(\000)g Ft(\001)p FE(,)33 b(while)d(the)h(non-linear)f(term)h Fv(F)45 b FE(corresponds)30 b(to)g Ft(2)p Fv(u)d Fs(\000)g Fv(u)3632 2914 y Fr(3)240 3077 y FE(in)35 b(the)g(GL)g(equation.)61 b(Belo)n(w)-6 b(,)37 b(we)f(will)e(w)o(ork)h(with)g(approximations)e(to)i(the)g(GL)g (equation,)240 3196 y(and)27 b(all)h(we)g(need)g(to)f(kno)n(w)g(is)g (that)g Fv(A)33 b Ft(:)g Fs(H)h(!)f(H)c FE(is)e(the)g(generator)h(of)g (a)g(strongly)f(continuous)240 3316 y(semigroup,)c(and)i Fv(F)39 b FE(will)24 b(be)h(seen)g(to)f(be)h(bounded)f(with)g(bounded)g (deri)n(v)n(ati)n(v)o(es.)389 3436 y(F)o(or)h(each)g(\002x)o(ed)g Fv(\030)32 b Fs(2)c(H)e FE(we)f(consider)f(the)h(follo)n(wing)e (stochastic)h(v)n(ariant)g(of)h(\(6.1\):)654 3644 y Fv(d)p Ft(\011)783 3601 y Fn(t)819 3644 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))26 b(=)i Fs(\000)p Fv(A)p Ft(\011)1306 3601 y Fn(t)1342 3644 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))17 b Fv(dt)j Ft(+)1694 3563 y Fo(\000)1740 3644 y Fv(F)36 b Fs(\016)22 b Ft(\011)1989 3601 y Fn(t)2024 3563 y Fo(\001)2070 3644 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))17 b Fv(dt)j Ft(+)2422 3563 y Fo(\000)2467 3644 y Fv(Q)i Fs(\016)g Ft(\011)2717 3601 y Fn(t)2753 3644 y Ft(\)\()p Fv(\030)5 b Ft(\))17 b Fv(dW)d Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))25 b Fv(:)223 b FE(\(6.2\))240 3865 y(with)31 b(initial)f(condition)g Ft(\011)1198 3823 y Fr(0)1243 3865 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))40 b(=)h Fv(\030)5 b FE(.)50 b(Furthermore,)34 b Fv(W)46 b FE(is)31 b(the)h(c)o (ylindrical)e(W)l(iener)i(process)240 3985 y(on)38 b(a)i(separable)f (Hilbert)f(space)h Fs(W)48 b FE(and)39 b Fv(Q)g FE(is)f(a)h(strongly)f (dif)n(ferentiable)g(map)h(from)f Fs(H)i FE(to)240 4104 y Fd(L)346 4062 y Fr(2)391 4104 y Ft(\()p Fs(W)8 b Fv(;)17 b Fs(H)q Ft(\))p FE(,)24 b(the)h(space)g(of)g(bounded)f(linear)g (Hilbert-Schmidt)g(operators)g(from)h Fs(W)34 b FE(to)24 b Fs(H)q FE(.)389 4224 y(W)-8 b(e)24 b(ne)o(xt)e(introduce)g(the)h (notion)f(of)h(directional)g(deri)n(v)n(ati)n(v)o(e)d(\(in)j(the)g (direction)f(of)h(the)g(noise\))240 4344 y(and)j(the)h(reader)h(f)o (amiliar)e(with)g(this)g(concept)h(can)g(pass)f(directly)g(to)h (\(6.3\).)36 b(T)-8 b(o)27 b(understand)f(this)240 4463 y(concept)e(consider)g(\002rst)g(the)h(case)f(of)h(a)g(function)e Fv(t)28 b Fs(7!)f Fv(v)2233 4420 y Fn(t)2229 4490 y(i)2296 4463 y Fs(2)h(W)8 b FE(.)31 b(Then)24 b(the)g(v)n(ariation)f Fd(D)3380 4490 y Fn(v)3420 4500 y Fj(i)3457 4463 y Ft(\011)3534 4420 y Fn(t)3594 4463 y FE(of)240 4596 y Ft(\011)317 4553 y Fn(t)374 4596 y FE(in)f(the)g(direction)f Fv(v)1042 4623 y Fn(i)1098 4596 y FE(is)g(obtained)h(by)f(replacing)h Fv(dW)14 b Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))22 b FE(by)f Fv(dW)14 b Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))e(+)g Fv("v)2956 4553 y Fn(t)2952 4623 y(i)3008 4596 y Fv(dt)22 b FE(and)g(it)f(satis\002es)240 4715 y(the)j(equation)383 4924 y Fv(d)p Fd(D)512 4951 y Fn(v)552 4961 y Fj(i)588 4924 y Ft(\011)665 4881 y Fn(t)745 4924 y Ft(=)867 4843 y Fo(\000)913 4924 y Fs(\000)p Fv(A)p Fd(D)1142 4951 y Fn(v)1182 4961 y Fj(i)1218 4924 y Ft(\011)1295 4881 y Fn(t)1353 4924 y Ft(+)f(\()p Fv(D)s(F)36 b Fs(\016)22 b Ft(\011)1826 4881 y Fn(t)1861 4924 y Ft(\))p Fd(D)1977 4951 y Fn(v)2017 4961 y Fj(i)2054 4924 y Ft(\011)2131 4881 y Fn(t)2166 4843 y Fo(\001)2228 4924 y Fv(dt)g Ft(+)2438 4843 y Fo(\000)2484 4924 y Ft(\()p Fv(D)s(Q)g Fs(\016)g Ft(\011)2858 4881 y Fn(t)2893 4924 y Ft(\))p Fd(D)3009 4951 y Fn(v)3049 4961 y Fj(i)3085 4924 y Ft(\011)3162 4881 y Fn(t)3198 4843 y Fo(\001)3260 4924 y Fv(dW)14 b Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))790 5086 y(+)22 b(\()p Fv(Q)g Fs(\016)g Ft(\011)1178 5043 y Fn(t)1213 5086 y Ft(\))p Fv(v)1304 5043 y Fn(t)1300 5113 y(i)1356 5086 y Fv(dt)27 b(:)240 5294 y FE(Intuiti)n(v)o(ely)-6 b(,)18 b(the)i(\002rst)g(line)g (comes)g(from)g(v)n(arying)g Ft(\011)2067 5252 y Fn(t)2123 5294 y FE(with)f(respect)i(to)f(the)g(noise)g(and)g(the)g(second)240 5414 y(comes)k(from)h(v)n(arying)f(the)g(noise)g(itself.)389 5534 y(W)-8 b(e)22 b(will)e(need)h(a)g(\002nite)g(number)f Fv(L)h FE(of)g(directional)f(deri)n(v)n(ati)n(v)o(es,)f(and)i(so)g(we)g (introduce)g(some)240 5653 y(more)27 b(general)h(notation.)38 b(W)-8 b(e)29 b(combine)d Fv(L)i FE(v)o(ectors)f Fv(v)2171 5680 y Fn(i)2232 5653 y FE(as)h(used)g(abo)o(v)o(e)e(into)h(a)h(matrix) f(called)h Fv(v)p eop %%Page: 18 18 18 17 bop 242 -75 a FE(M)t Fu(A)t(L)t(L)t(I)t(A)-7 b(V)t(I)t(N)33 b FE(C)t Fu(A)t(L)t(C)t(U)t(L)t(U)t(S)2345 b Fx(18)240 273 y FE(which)28 b(is)g(an)h(element)g(of)g Ft(\012)c Fs(\002)g Ft([0)p Fv(;)17 b Fs(1)p Ft(\))33 b Fs(!)i(W)1922 230 y Fn(L)1982 273 y FE(.)43 b(W)-8 b(e)29 b(identify)f Fs(W)2654 230 y Fn(L)2743 273 y FE(with)g Fd(L)19 b Ft(\()p Fx(R)3166 230 y Fn(L)3226 273 y Fv(;)e Fs(W)8 b Ft(\))p FE(.)42 b(Note)240 393 y(that)30 b(we)i(no)n(w)e(allo)n(w)g Fv(v)35 b FE(to)c(depend)g(on)f Ft(\012)p FE(,)j(and)e(to)g(mak)o(e)g (things)f(w)o(ork,)i(we)f(require)h Fv(v)j FE(to)30 b(be)i(a)240 512 y(predictable)h(stochastic)f(process,)k Fp(i.e)o(.)p FE(,)e Fv(v)1734 470 y Fn(t)1803 512 y FE(only)f(depends)g(on)g(the)g (noise)g(before)h(time)e Fv(t)p FE(.)57 b(The)240 632 y(stochastic)28 b(process)i Fv(G)1069 589 y Fn(t)1069 659 y(v)1153 632 y Fs(2)37 b(H)1341 589 y Fn(L)1431 632 y FE(\(corresponding)29 b(to)g Fd(D)2248 659 y Fn(v)2295 632 y Ft(\011)2372 589 y Fn(t)2408 632 y FE(\))h(is)f(then)g(de\002ned) i(as)e(the)h(solution)240 752 y(of)25 b(the)f(equation)848 997 y Fv(dG)978 954 y Fn(t)978 1024 y(v)1026 997 y Fv(h)k Ft(=)1216 887 y Fo(\020)1275 997 y Fs(\000)p Fv(AG)1505 954 y Fn(t)1505 1024 y(v)1575 997 y Ft(+)1675 917 y Fo(\000)1721 997 y Fv(D)s(F)36 b Fs(\016)22 b Ft(\011)2055 954 y Fn(t)2090 917 y Fo(\001)2136 997 y Fv(G)2214 954 y Fn(t)2214 1024 y(v)2284 997 y Ft(+)2384 917 y Fo(\000)2429 997 y Fv(Q)g Fs(\016)g Ft(\011)2679 954 y Fn(t)2715 917 y Fo(\001)2760 997 y Fv(v)2812 954 y Fn(t)2847 887 y Fo(\021)2907 997 y Fv(h)17 b(dt)1304 1216 y Ft(+)1404 1106 y Fo(\020)1463 1136 y(\000)1509 1216 y Fv(D)s(Q)22 b Fs(\016)g Ft(\011)1844 1174 y Fn(t)1880 1136 y Fo(\001)1942 1216 y Fv(G)2020 1174 y Fn(t)2020 1243 y(v)2068 1216 y Fv(h)2125 1106 y Fo(\021)2201 1216 y Fv(dW)14 b Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))27 b FE(,)957 1409 y Fv(G)1035 1366 y Fr(0)1035 1436 y Fn(v)1111 1409 y Ft(=)h(0)f FE(,)3486 1184 y(\(6.3\))240 1636 y(which)d(has)h(to) f(hold)g(for)h(all)g Fv(h)j Fs(2)g Fx(R)1487 1593 y Fn(L)1547 1636 y FE(.)389 1755 y(Ha)n(ving)20 b(gi)n(v)o(en)e(the)i(detailed)f (de\002nition)g(of)h Fv(G)1998 1713 y Fn(t)1998 1782 y(v)2046 1755 y FE(,)h(we)f(will)f(denote)h(it)g(henceforth)g(by)f(the) h(more)240 1875 y(suggesti)n(v)o(e)1542 1994 y Fv(G)1620 1952 y Fn(t)1620 2021 y(v)1668 1994 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))43 b(=)h Fd(D)2036 2021 y Fn(v)2084 1994 y Ft(\011)2161 1952 y Fn(t)2196 1994 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))27 b FE(,)240 2174 y(to)h(mak)o(e)g(clear)i(that)e(it)g(is)g(a)h (directional)f(deri)n(v)n(ati)n(v)o(e.)40 b(W)-8 b(e)29 b(use)f(the)h(notation)e Fd(D)3057 2201 y Fn(v)3133 2174 y FE(to)h(distinguish)240 2293 y(this)c(deri)n(v)n(ati)n(v)o(e)e(from)j (the)f(deri)n(v)n(ati)n(v)o(e)f Fv(D)28 b FE(with)c(respect)h(to)f(the) h(initial)e(condition)h Fv(\030)5 b FE(.)389 2413 y(F)o(or)25 b(\(6.2\))g(and)g(\(6.3\))f(to)h(mak)o(e)f(sense,)h(tw)o(o)f (assumptions)f(on)h Fv(F)14 b FE(,)25 b Fv(Q)g FE(and)g Fv(v)j FE(are)e(needed:)260 2561 y Fx(A1)56 b Fv(F)g Ft(:)41 b Fs(H)i(!)e(H)34 b FE(and)e Fv(Q)42 b Ft(:)f Fs(H)i(!)e Fd(L)1753 2518 y Fr(2)1798 2561 y Ft(\()p Fs(W)8 b Fv(;)17 b Fs(H)q Ft(\))32 b FE(are)h(of)g(at)f(most)f(linear)i (gro)n(wth)e(and)h(ha)n(v)o(e)438 2680 y(bounded)24 b(\002rst)h(and)g (second)f(deri)n(v)n(ati)n(v)o(es.)260 2828 y Fx(A2)56 b FE(The)26 b(stochastic)g(process)g Fv(t)k Fs(7!)g Fv(v)1612 2785 y Fn(t)1673 2828 y FE(is)c(predictable,)g(has)g(a)g(continuous)f (v)o(ersion,)g(and)i(satis-)438 2948 y(\002es)1579 3067 y Fx(E)1645 2957 y Fo(\020)1751 3067 y FE(sup)1705 3158 y Fn(s)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;t)p Fr(])1951 3067 y Fs(k)p Fv(v)2053 3025 y Fn(s)2096 3067 y Fs(k)2146 3025 y Fn(p)2192 2957 y Fo(\021)2279 3067 y Fv(<)h Fs(1)f FE(,)438 3345 y(for)e(e)n(v)o(ery)f Fv(t)k(>)g Ft(0)d FE(and)g(e)n(v)o(ery)f Fv(p)k Fs(\025)g Ft(1)p FE(.)i(\(The)25 b(norm)g(being)f(the)h(norm)f (of)h Fs(W)3055 3303 y Fn(L)3115 3345 y FE(.\))240 3493 y(It)37 b(is)f(easy)i(to)e(see)i(that)e(these)h(conditions)e(imply)h (the)h(hypotheses)e(of)i(Theorem)g(8.9)g(for)g(the)240 3613 y(problems)19 b(\(6.2\))h(and)h(\(6.3\).)29 b(Therefore)21 b Fv(G)1743 3570 y Fn(t)1743 3640 y(v)1811 3613 y FE(is)f(a)h (well-de\002ned)g(strongly)e(Mark)o(o)o(vian)g(stochastic)240 3732 y(process.)389 3852 y(W)l(ith)29 b(these)g(notations)f(one)h(has)g (the)g(well-kno)n(wn)f(Bismut)h(inte)o(gration)e(by)i(parts)g(formula) 240 3972 y([Nor86)o(].)240 4211 y Fx(Pr)n(oposition)24 b(6.1)50 b Fp(Let)35 b Ft(\011)1169 4168 y Fn(t)1239 4211 y Fp(and)f Fd(D)1500 4238 y Fn(v)1547 4211 y Ft(\011)1624 4168 y Fn(t)1694 4211 y Fp(be)h(de\002ned)f(as)g(abo)o(ve)h(and)e (assume)h Fx(A1)h Fp(and)e Fx(A2)i Fp(ar)l(e)240 4330 y(satis\002ed.)41 b(Let)30 b Fs(B)38 b(\032)e(H)30 b Fp(be)f(an)g(open)g(subset)f(of)g Fs(H)i Fp(suc)o(h)e(that)g Ft(\011)2565 4287 y Fn(t)2636 4330 y Fs(2)36 b(B)c Fp(almost)c(sur)l (ely)h(and)f(let)240 4450 y Fv(')g Ft(:)f Fs(B)k(!)c Fx(R)e Fp(be)g(a)g(dif)n(fer)l(entiable)e(function)h(suc)o(h)g(that) 1245 4669 y Fx(E)p Fs(k)p Fv(')p Ft(\(\011)1542 4626 y Fn(t)1578 4669 y Ft(\))p Fs(k)1667 4626 y Fr(2)1733 4669 y Ft(+)f Fx(E)p Fs(k)p Fv(D)s(')p Ft(\(\011)2215 4626 y Fn(t)2251 4669 y Ft(\))p Fs(k)2340 4626 y Fr(2)2412 4669 y Fv(<)28 b Fs(1)f Fv(:)240 4888 y Fp(Then)e(we)g(have)g(for)g(e)o (very)g Fv(h)j Fs(2)g Fx(R)1444 4845 y Fn(L)1528 4888 y Fp(the)d(following)e(identity)h(in)h Fx(R)p Fp(:)872 5172 y Fx(E)939 5091 y Fo(\000)984 5172 y Fv(D)s(')p Ft(\(\011)1250 5129 y Fn(t)1286 5172 y Ft(\))p Fd(D)1402 5199 y Fn(v)1449 5172 y Ft(\011)1526 5129 y Fn(t)1562 5172 y Fv(h)1619 5091 y Fo(\001)1693 5172 y Ft(=)j Fx(E)1864 5032 y Fo(\022)1938 5172 y Fv(')p Ft(\(\011)2119 5129 y Fn(t)2154 5172 y Ft(\))2210 5037 y Fo(Z)2309 5061 y Fn(t)2265 5263 y Fr(0)2344 5091 y Fo(\012)2391 5172 y Fv(v)2443 5129 y Fn(s)2486 5172 y Fv(h;)17 b(dW)d Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))2873 5091 y Fo(\013)2918 5032 y(\023)3019 5172 y Fp(,)442 b FE(\(6.4\))240 5451 y Fp(wher)l(e)25 b Fs(h\001)p Fv(;)17 b Fs(\001i)23 b Fp(is)i(the)f(scalar)g(pr)l(oduct) g(of)39 b Fs(W)8 b Fp(.)p eop %%Page: 19 19 19 18 bop 242 -75 a FE(M)t Fu(A)t(L)t(L)t(I)t(A)-7 b(V)t(I)t(N)33 b FE(C)t Fu(A)t(L)t(C)t(U)t(L)t(U)t(S)2345 b Fx(19)240 273 y(Remark)25 b(6.2)50 b FE(The)35 b(Eq.\(6.4\))g(is)g(useful)g (because)h(it)f(relates)h(the)f(e)o(xpectation)g(of)g Fv(D)s(')h FE(to)f(that)240 393 y(of)c Fv(')p FE(.)49 b(In)31 b(order)g(to)g(fully)f(e)o(xploit)f(\(6.4\))i(we)g(will)f(need) h(to)g(get)g(rid)f(of)h(the)g(f)o(actor)h Fd(D)3266 420 y Fn(v)3313 393 y Ft(\011)3390 350 y Fn(t)3426 393 y FE(.)49 b(This)240 512 y(will)31 b(be)h(possible)f(by)g(a)h(cle)n(v)o (er)g(choice)g(of)g Fv(v)t FE(.)52 b(This)31 b(procedure)i(is)e(e)o (xplained)g(for)h(e)o(xample)f(in)240 632 y([Nor86)o(])j(b)n(ut)e(we)h (will)f(need)i(a)f(ne)n(w)g(v)n(ariant)f(of)h(his)f(results)g(because)i (of)f(the)g(high-frequenc)o(y)240 752 y(part.)i(In)26 b(the)g(sequel,)g(we)h(will)e(proceed)i(in)f(tw)o(o)f(steps.)35 b Fp(W)-9 b(e)26 b(need)h(only)e(bounds)h(on)g Fv(D)3301 778 y Fr(L)3355 752 y Fv(')p Fp(,)h(since)240 871 y(the)g(smoothness)f (of)h(the)h(high-fr)l(equency)f(part)f(follows)h(by)g(other)g(means.)39 b FE(Thus,)27 b(it)g Fp(suf)n(\002ces)g FE(to)240 991 y(construct)g Fd(D)710 1018 y Fn(v)757 991 y Ft(\011)834 948 y Fn(t)898 991 y FE(in)g(such)g(a)h(w)o(ay)g(that)f Ft(\005)1730 1018 y Fr(L)1784 991 y Fd(D)1861 1018 y Fn(v)1909 991 y Ft(\011)1986 948 y Fn(t)2049 991 y FE(is)h(in)l(v)o (ertible,)e(where)j Ft(\005)2920 1018 y Fr(L)3001 991 y FE(is)f(the)f(orthogonal)240 1110 y(projection)36 b(onto)h Fs(H)980 1137 y Fr(L)1035 1110 y FE(.)69 b(The)38 b(construction)e(of)i Ft(\005)2048 1137 y Fr(L)2102 1110 y Fd(D)2179 1137 y Fn(v)2226 1110 y Ft(\011)2303 1067 y Fn(t)2376 1110 y FE(follo)n(ws)e(closely)h(the)h(presentation)240 1230 y(of)32 b([Nor86].)54 b(Ho)n(we)n(v)o(er)l(,)34 b(we)e(also)h(w)o(ant)f Ft(\005)1812 1257 y Fr(H)1876 1230 y Fd(D)1953 1257 y Fn(v)2000 1230 y Ft(\011)2077 1187 y Fn(t)2155 1230 y Ft(=)42 b(0)33 b FE(and)f(this)g(elimination)e(of)j(the)g(high-)240 1349 y(frequenc)o(y)24 b(part)h(seems)g(to)f(be)h(ne)n(w)-6 b(.)240 1568 y Fp(Pr)l(oof)o(.)47 b FE(The)25 b(\002nite)f(dimensional) f(case)i(is)f(stated)g(\(with)g(slightly)f(dif)n(ferent)h(assumptions)e (on)j Fv(F)14 b FE(\))240 1688 y(in)19 b([Nor86].)29 b(The)20 b(e)o(xtension)e(to)i(the)f(in\002nite-dimensional)f(setting)g (can)j(be)e(done)h(without)e(major)240 1808 y(dif)n(\002culty)-6 b(.)47 b(By)31 b Fx(A1)p FE(\226)p Fx(A2)f FE(and)h(Theorem)f(8.9,)i (we)f(ensure)g(that)g(all)f(the)h(e)o(xpressions)e(appearing)240 1927 y(in)j(the)g(proof)g(and)g(the)h(statement)e(are)i (well-de\002ned.)54 b(By)32 b Fx(A2)p FE(,)i(we)f(can)g(use)f(It)8 b(\210)-41 b(o')-5 b(s)31 b(formula)h(to)240 2047 y(ensure)19 b(the)g(v)n(alidity)e(of)i(the)g(assumptions)e(for)i(the)g (in\002nite-dimensional)e(v)o(ersion)h(of)h(Girsano)o(v')-5 b(s)240 2166 y(theorem)24 b([DPZ96].)3677 2166 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 2166 a 240 2385 a Fx(6.1)99 b(The)26 b(Construction)g(of)f Fv(v)240 2541 y FE(In)k(order)g(to)g(use)g(Proposition)e(6.1)i(we)g (will)f(construct)g Fv(v)40 b Ft(=)35 b(\()p Fv(v)2512 2568 y Fr(L)2567 2541 y Fv(;)17 b(v)2660 2568 y Fr(H)2723 2541 y Ft(\))29 b FE(in)g(such)f(a)i(w)o(ay)f(that)f(the)240 2660 y(high-frequenc)o(y)33 b(part)h(of)g Fd(D)1264 2687 y Fn(v)1311 2660 y Ft(\010)1383 2618 y Fn(t)1463 2660 y Ft(=)45 b(\()p Fd(D)1701 2687 y Fn(v)1748 2660 y Ft(\010)1820 2618 y Fn(t)1820 2687 y Fr(L)1874 2660 y Fv(;)17 b Fd(D)1996 2687 y Fn(v)2043 2660 y Ft(\010)2115 2618 y Fn(t)2115 2687 y Fr(H)2179 2660 y Ft(\))34 b FE(v)n(anishes.)56 b(This)33 b(construction)g(is)g(ne)n(w)240 2780 y(and)24 b(will)g(be)h(e)o(xplained)f(in)h(detail)f(in)g(this)g(subsection.)240 2999 y Fx(Notation.)49 b FE(The)33 b(equations)e(which)h(follo)n(w)g (are)h(quite)f(in)l(v)n(olv)o(ed.)52 b(T)-8 b(o)32 b(k)o(eep)h(the)f (notation)f(at)i(a)240 3119 y(reasonable)23 b(le)n(v)o(el)f(without)g (sacri\002cing)h(precision)g(we)h(will)e(adopt)h(the)g(follo)n(wing)e (con)l(v)o(entions:)1398 3338 y Ft(\()p Fv(D)1519 3365 y Fr(L)1574 3338 y Fv(F)1638 3365 y Fr(L)1692 3338 y Ft(\))1731 3295 y Fn(t)1810 3338 y Fs(\021)45 b Ft(\()p Fv(D)2053 3365 y Fr(L)2107 3338 y Fv(F)2171 3365 y Fr(L)2226 3338 y Ft(\))22 b Fs(\016)g Ft(\010)2431 3295 y Fn(t)2493 3338 y FE(,)1384 3487 y Ft(\()p Fv(D)1505 3514 y Fr(L)1559 3487 y Fv(Q)1638 3514 y Fr(L)1692 3487 y Ft(\))1731 3444 y Fn(t)1810 3487 y Fs(\021)45 b Ft(\()p Fv(D)2053 3514 y Fr(L)2107 3487 y Fv(Q)2186 3514 y Fr(L)2240 3487 y Ft(\))22 b Fs(\016)g Ft(\010)2445 3444 y Fn(t)2508 3487 y FE(,)240 3706 y(and)k(similarly)f(for)h(other)g(deri)n(v)n(ati)n(v)o (es)e(of)i(the)g Fv(Q)h FE(and)f(the)g Fv(F)14 b FE(.)35 b(Furthermore,)27 b(the)f(reader)h(should)240 3826 y(note)f(that)g Fv(D)696 3853 y Fr(L)751 3826 y Fv(Q)830 3853 y Fr(L)911 3826 y FE(is)g(a)h(linear)g(map)f(from)h Fs(H)1832 3853 y Fr(L)1913 3826 y FE(to)f(the)h(linear)f(maps)g Fs(H)2740 3853 y Fr(L)2826 3826 y Fs(!)31 b(H)3041 3853 y Fr(L)3122 3826 y FE(and)26 b(therefore,)240 3946 y(belo)n(w)-6 b(,)30 b Ft(\()p Fv(D)652 3972 y Fr(L)706 3946 y Fv(Q)785 3972 y Fr(L)839 3946 y Ft(\))p Fv(h)h FE(with)f Fv(h)38 b Fs(2)g(H)1457 3972 y Fr(L)1542 3946 y FE(is)30 b(a)h(linear)f(map)g Fs(H)2257 3972 y Fr(L)2349 3946 y Fs(!)38 b(H)2571 3972 y Fr(L)2625 3946 y FE(.)47 b(The)31 b(dimension)d(of)j Fs(H)3526 3972 y Fr(L)3610 3946 y FE(is)240 4065 y Fv(L)c(<)h Fs(1)p FE(.)240 4284 y(Inspired)g(by)h([Nor86],)h(we)g(de\002ne)g(the)f Fv(L)c Fs(\002)h Fv(L)j FE(matrix-v)n(alued)e(stochastic)h(processes)h Fv(U)3460 4241 y Fn(t)3449 4311 y Fr(L)3533 4284 y FE(and)240 4404 y Fv(V)320 4361 y Fn(t)298 4431 y Fr(L)380 4404 y FE(by)c(the)f(follo)n(wing)f(SDE')-5 b(s,)24 b(which)h(must)f(hold)g (for)h(e)n(v)o(ery)f Fv(h)k Fs(2)g(H)2701 4431 y Fr(L)2755 4404 y FE(:)565 4623 y Fv(dU)696 4580 y Fn(t)685 4650 y Fr(L)739 4623 y Fv(h)g Ft(=)h Fs(\000)p Fv(A)1082 4650 y Fr(L)1136 4623 y Fv(U)1215 4580 y Fn(t)1204 4650 y Fr(L)1258 4623 y Fv(h)17 b(dt)22 b Ft(+)h(\()p Fv(D)1663 4650 y Fr(L)1717 4623 y Fv(F)1781 4650 y Fr(L)1836 4623 y Ft(\))1875 4580 y Fn(t)1909 4623 y Fv(U)1988 4580 y Fn(t)1977 4650 y Fr(L)2032 4623 y Fv(h)17 b(dt)22 b Ft(+)2315 4542 y Fo(\000)2361 4623 y Ft(\()p Fv(D)2482 4650 y Fr(L)2536 4623 y Fv(Q)2615 4650 y Fr(L)2669 4623 y Ft(\))2708 4580 y Fn(t)2743 4623 y Fv(U)2822 4580 y Fn(t)2811 4650 y Fr(L)2866 4623 y Fv(h)2923 4542 y Fo(\001)2985 4623 y Fv(dW)3131 4650 y Fr(L)3185 4623 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))27 b FE(,)673 4786 y Fv(U)752 4743 y Fr(0)741 4812 y(L)824 4786 y Ft(=)i Fv(I)35 b Fs(2)28 b Fd(L)19 b Ft(\()p Fs(H)1332 4812 y Fr(L)1386 4786 y Fv(;)e Fs(H)1515 4812 y Fr(L)1569 4786 y Ft(\))27 b FE(,)1782 b(\(6.5a\))572 5048 y Fv(dV)704 5005 y Fn(t)682 5075 y Fr(L)739 5048 y Fv(h)28 b Ft(=)h Fv(V)1010 5005 y Fn(t)988 5075 y Fr(L)1045 5048 y Fv(A)1120 5075 y Fr(L)1174 5048 y Fv(h)17 b(dt)22 b Fs(\000)g Fv(V)1538 5005 y Fn(t)1515 5075 y Fr(L)1573 5048 y Ft(\()p Fv(D)1694 5075 y Fr(L)1748 5048 y Fv(F)1812 5075 y Fr(L)1867 5048 y Ft(\))1906 5005 y Fn(t)1940 5048 y Fv(h)17 b(dt)22 b Fs(\000)h Fv(V)2304 5005 y Fn(t)2282 5075 y Fr(L)2339 4968 y Fo(\000)2385 5048 y Ft(\()p Fv(D)2506 5075 y Fr(L)2560 5048 y Fv(Q)2639 5075 y Fr(L)2693 5048 y Ft(\))2732 5005 y Fn(t)2767 5048 y Fv(h)2824 4968 y Fo(\001)2887 5048 y Fv(dW)3033 5075 y Fr(L)3087 5048 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))1018 5305 y(+)1118 5181 y Fn(L)p Fm(\000)p Fr(1)1124 5211 y Fo(X)1131 5423 y Fn(i)p Fr(=0)1291 5305 y Fv(V)1371 5262 y Fn(t)1349 5332 y Fr(L)1406 5195 y Fo(\020)1466 5305 y Ft(\()p Fv(D)1587 5332 y Fr(L)1641 5305 y Fv(Q)1720 5332 y Fr(L)1774 5305 y Ft(\))1813 5262 y Fn(t)1848 5225 y Fo(\000)1894 5305 y Ft(\()p Fv(D)2015 5332 y Fr(L)2069 5305 y Fv(Q)2148 5332 y Fr(L)2202 5305 y Ft(\))2241 5262 y Fn(t)2276 5305 y Fv(h)2333 5225 y Fo(\001)2379 5305 y Fv(e)2425 5332 y Fn(i)2459 5195 y Fo(\021)2518 5305 y Fv(e)2564 5332 y Fn(i)2614 5305 y Fv(dt)28 b FE(,)672 5560 y Fv(V)752 5518 y Fr(0)730 5587 y(L)824 5560 y Ft(=)h Fv(I)35 b Fs(2)28 b Fd(L)19 b Ft(\()p Fs(H)1332 5587 y Fr(L)1386 5560 y Fv(;)e Fs(H)1515 5587 y Fr(L)1569 5560 y Ft(\))27 b Fv(:)1773 b FE(\(6.5b\))p eop %%Page: 20 20 20 19 bop 242 -75 a FE(M)t Fu(A)t(L)t(L)t(I)t(A)-7 b(V)t(I)t(N)33 b FE(C)t Fu(A)t(L)t(C)t(U)t(L)t(U)t(S)2345 b Fx(20)240 273 y FE(The)25 b(last)f(term)g(in)h(the)f(de\002nition)g(of)h Fv(V)1634 230 y Fn(t)1612 300 y Fr(L)1694 273 y FE(will)f(be)h(written) f(as)1448 436 y Fn(L)p Fm(\000)p Fr(1)1454 466 y Fo(X)1461 678 y Fn(i)p Fr(=0)1621 561 y Fv(V)1701 518 y Fn(t)1679 588 y Fr(L)1736 480 y Fo(\000)1782 561 y Ft(\()p Fv(D)1903 588 y Fr(L)1957 561 y Fv(Q)2036 518 y Fn(i)2036 588 y Fr(L)2090 561 y Ft(\))2129 518 y Fn(t)2164 480 y Fo(\001)2210 501 y Fr(2)2255 561 y Fv(h)17 b(dt)27 b FE(,)240 858 y(where)e Fv(Q)587 815 y Fn(i)587 885 y Fr(L)666 858 y FE(is)f(the)h Fv(i)938 815 y Fr(th)1043 858 y FE(column)f(of)h(the)g (matrix)f Fv(Q)1986 885 y Fr(L)2040 858 y FE(.)389 978 y(F)o(or)h(small)e(times,)h(the)g(process)g Fv(U)1605 935 y Fn(t)1594 1004 y Fr(L)1673 978 y FE(is)g(an)h(approximation)d(to) i(the)h(partial)f(Jacobian)g Fv(D)3471 1004 y Fr(L)3526 978 y Ft(\010)3598 935 y Fn(t)3598 1004 y Fr(L)3652 978 y FE(,)240 1097 y(and)g Fv(V)489 1054 y Fn(t)466 1124 y Fr(L)549 1097 y FE(is)g(an)h(approximation)e(to)h(its)h(in)l(v)o (erse.)389 1217 y(W)-8 b(e)26 b(\002rst)g(mak)o(e)g(sure)g(that)f(the)h (objects)f(in)g(\(6.5\))h(are)g(well-de\002ned.)34 b(The)26 b(follo)n(wing)e(lemma)240 1336 y(summarizes)g(the)g(properties)h(of)f Fv(U)1486 1363 y Fr(L)1566 1336 y FE(and)g Fv(V)1792 1363 y Fr(L)1872 1336 y FE(which)g(we)h(need)g(later)-5 b(.)240 1557 y Fx(Lemma)25 b(6.3)49 b Fp(The)29 b(pr)l(ocesses)f Fv(U)1434 1514 y Fn(t)1423 1584 y Fr(L)1506 1557 y Fp(and)g Fv(V)1764 1514 y Fn(t)1742 1584 y Fr(L)1827 1557 y Fp(satisfy)g(the)g (following)f(bounds.)40 b(F)-10 b(or)28 b(e)o(very)h Fv(p)34 b Fs(\025)h Ft(1)240 1676 y Fp(and)28 b(all)f Fv(T)49 b(>)35 b Ft(0)28 b Fp(ther)l(e)h(is)f(a)g(constant)f Fv(C)1688 1703 y Fn(T)6 b(;p;\045)1905 1676 y Fp(independent)27 b(of)h(the)h(initial)d(data)i(\(for)g Ft(\010)3399 1633 y Fn(t)3434 1676 y Fp(\))h(suc)o(h)240 1796 y(that)1112 1984 y Fx(E)73 b FE(sup)1195 2074 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;T)11 b Fr(])1445 1903 y Fo(\000)1491 1984 y Fs(k)p Fv(U)1620 1941 y Fn(t)1609 2011 y Fr(L)1663 1984 y Fs(k)1713 1941 y Fn(p)1781 1984 y Ft(+)22 b Fs(k)p Fv(V)2010 1941 y Fn(t)1988 2011 y Fr(L)2045 1984 y Fs(k)2095 1941 y Fn(p)2141 1903 y Fo(\001)2215 1984 y Fs(\024)28 b Fv(C)2391 2011 y Fn(T)6 b(;p;\045)2607 1984 y Fp(,)810 b FE(\(6.6a\))1348 2237 y Fx(E)1415 2156 y Fo(\000)1506 2237 y FE(sup)1460 2327 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;")p Fr(])1707 2237 y Fs(k)p Fv(V)1837 2194 y Fn(t)1815 2264 y Fr(L)1894 2237 y Fs(\000)23 b Fv(I)7 b Fs(k)2095 2194 y Fn(p)2141 2156 y Fo(\001)2215 2237 y Fs(\024)28 b Fv(C)2391 2264 y Fn(T)6 b(;p;\045)2579 2237 y Fv(")2625 2194 y Fn(p=)p Fr(2)2780 2237 y Fp(,)631 b FE(\(6.6b\))240 2521 y Fp(for)30 b(all)g Fv(")39 b(<)h(T)14 b Fp(.)48 b(Furthermor)l(e)o(,)32 b Fv(V)1496 2548 y Fr(L)1581 2521 y Fp(is)e(the)h(in)l(ver)o(se)g(of)f Fv(U)2321 2548 y Fr(L)2406 2521 y Fp(in)h(the)f(sense)h(that)f Fv(V)3180 2478 y Fn(t)3158 2548 y Fr(L)3254 2521 y Ft(=)39 b(\()p Fv(U)3488 2478 y Fn(t)3477 2548 y Fr(L)3531 2521 y Ft(\))3570 2478 y Fm(\000)p Fr(1)240 2640 y Fp(almost)23 b(sur)l(ely)240 2828 y(Pr)l(oof)o(.)47 b FE(The)24 b(bound)f(\(6.6a\))g (is)g(a)h(straightforw)o(ard)f(application)f(of)i(Theorem)f(8.9)g (whose)g(condi-)240 2948 y(tions)g(are)j(easily)f(check)o(ed.)31 b(\(Note)25 b(that)f(we)h(are)h(here)f(in)g(a)g(\002nite-dimensional,)e (linear)i(setting.\))240 3067 y(T)-8 b(o)35 b(pro)o(v)o(e)g(\(6.6b\),)i (note)f(that)f Fv(I)43 b FE(is)35 b(the)g(initial)f(condition)g(for)i Fv(V)2570 3094 y Fr(L)2625 3067 y FE(.)63 b(One)35 b(writes)g(\(6.5b\)) h(in)f(its)240 3187 y(inte)o(gral)24 b(form)i(and)g(then)f(the)h (result)f(follo)n(ws)f(by)i(applying)e(\(6.6a\).)34 b(The)26 b(last)f(statement)g(can)h(be)240 3306 y(sho)n(wn)e(easily)h(by)g (applying)f(It)8 b(\210)-41 b(o')-5 b(s)25 b(formula)g(to)g(the)g (product)g Fv(V)2484 3264 y Fn(t)2462 3333 y Fr(L)2519 3306 y Fv(U)2598 3264 y Fn(t)2587 3333 y Fr(L)2641 3306 y FE(.)33 b(\(In)25 b(f)o(act,)h(the)f(de\002nition)g(of)240 3426 y Fv(V)298 3453 y Fr(L)377 3426 y FE(w)o(as)g(precisely)f(made)h (with)f(this)g(in)g(mind.\))3677 3426 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 3426 a 389 3614 a FE(W)-8 b(e)29 b(continue)g(with)f(the)h(construction)e(of)i Fv(v)t FE(.)43 b(Since)29 b Fv(A)g FE(and)g Fv(Q)g FE(are)g(diagonal)g (with)f(respect)240 3734 y(to)c(the)h(splitting)d Fs(H)29 b Ft(=)f Fs(H)1142 3760 y Fr(L)1219 3734 y Fs(\010)22 b(H)1402 3760 y Fr(H)1466 3734 y FE(,)j(we)g(can)g(write)g(\(6.3\))g (as)1015 3953 y Fv(d)17 b Fd(D)1161 3980 y Fn(v)1208 3953 y Ft(\010)1280 3911 y Fn(t)1280 3980 y Fr(L)1362 3953 y Ft(=)1467 3843 y Fo(\020)1526 3953 y Fs(\000)p Fv(A)1678 3980 y Fr(L)1749 3953 y Fd(D)1826 3980 y Fn(v)1874 3953 y Ft(\010)1946 3911 y Fn(t)1946 3980 y Fr(L)2022 3953 y Ft(+)23 b(\()p Fv(D)2243 3980 y Fr(L)2297 3953 y Fv(F)2361 3980 y Fr(L)2416 3953 y Ft(\))2455 3911 y Fn(t)2506 3953 y Fd(D)2583 3980 y Fn(v)2630 3953 y Ft(\010)2702 3911 y Fn(t)2702 3980 y Fr(L)3442 3953 y FE(\(6.7a\))1555 4173 y Ft(+)g(\()p Fv(D)1776 4200 y Fr(H)1840 4173 y Fv(F)1904 4200 y Fr(L)1958 4173 y Ft(\))1997 4130 y Fn(t)2049 4173 y Fd(D)2126 4200 y Fn(v)2173 4173 y Ft(\010)2245 4130 y Fn(t)2245 4200 y Fr(H)2331 4173 y Ft(+)g Fv(Q)2510 4130 y Fn(t)2510 4200 y Fr(L)2564 4173 y Fv(v)2616 4130 y Fn(t)2612 4200 y Fr(L)2666 4062 y Fo(\021)2742 4173 y Fv(dt)1555 4392 y Ft(+)1655 4281 y Fo(\020)1714 4392 y Ft(\()p Fv(D)1835 4419 y Fr(L)1890 4392 y Fv(Q)1969 4419 y Fr(L)2023 4392 y Ft(\))2062 4349 y Fn(t)2113 4392 y Fd(D)2190 4419 y Fn(v)2238 4392 y Ft(\010)2310 4349 y Fn(t)2310 4419 y Fr(L)2364 4281 y Fo(\021)2440 4392 y Fv(dW)2586 4419 y Fr(L)2640 4392 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))1555 4611 y(+)1655 4500 y Fo(\020)1714 4611 y Ft(\()p Fv(D)1835 4638 y Fr(H)1899 4611 y Fv(Q)1978 4638 y Fr(L)2032 4611 y Ft(\))2071 4568 y Fn(t)2123 4611 y Fd(D)2200 4638 y Fn(v)2247 4611 y Ft(\010)2319 4568 y Fn(t)2319 4638 y Fr(H)2383 4500 y Fo(\021)2459 4611 y Fv(dW)2605 4638 y Fr(L)2659 4611 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))17 b Fv(;)1005 4915 y(d)g Fd(D)1151 4942 y Fn(v)1198 4915 y Ft(\010)1270 4872 y Fn(t)1270 4942 y Fr(H)1362 4915 y Ft(=)1467 4805 y Fo(\020)1526 4915 y Fs(\000)p Fv(A)1678 4942 y Fr(H)1759 4915 y Fd(D)1836 4942 y Fn(v)1883 4915 y Ft(\010)1955 4872 y Fn(t)1955 4942 y Fr(H)2041 4915 y Ft(+)23 b(\()p Fv(D)2262 4942 y Fr(L)2316 4915 y Fv(F)2380 4942 y Fr(H)2444 4915 y Ft(\))2483 4872 y Fn(t)2535 4915 y Fd(D)2612 4942 y Fn(v)2659 4915 y Ft(\010)2731 4872 y Fn(t)2731 4942 y Fr(L)3436 4915 y FE(\(6.7b\))1555 5134 y Ft(+)g(\()p Fv(D)1776 5161 y Fr(H)1840 5134 y Fv(F)1904 5161 y Fr(H)1968 5134 y Ft(\))2007 5092 y Fn(t)2058 5134 y Fd(D)2135 5161 y Fn(v)2183 5134 y Ft(\010)2255 5092 y Fn(t)2255 5161 y Fr(H)2341 5134 y Ft(+)f Fv(Q)2519 5161 y Fr(H)2583 5134 y Fv(v)2635 5092 y Fn(t)2631 5161 y Fr(H)2695 5024 y Fo(\021)2771 5134 y Fv(dt)27 b FE(,)240 5346 y(with)j(zero)i(initial) d(condition.)48 b(Since)31 b(we)h(w)o(ant)e(to)h(consider)g(deri)n(v)n (ati)n(v)o(es)d(with)i(respect)h(to)g(the)240 5465 y(lo)n(w-frequenc)o (y)24 b(part,)g(we)h(w)o(ould)f(lik)o(e)h(to)f(de\002ne)i (\(implicitly\))c Fv(v)2535 5422 y Fn(t)2531 5492 y Fr(H)2620 5465 y FE(as)1354 5653 y Fv(v)1406 5610 y Fn(t)1402 5680 y Fr(H)1494 5653 y Ft(=)28 b Fs(\000)p Fv(Q)1755 5610 y Fm(\000)p Fr(1)1755 5682 y(H)1862 5653 y Ft(\()p Fv(D)1983 5680 y Fr(L)2038 5653 y Fv(F)2102 5680 y Fr(H)2166 5653 y Ft(\))2205 5610 y Fn(t)2256 5653 y Fd(D)2333 5680 y Fn(v)2381 5653 y Ft(\010)2453 5610 y Fn(t)2453 5680 y Fr(L)2535 5653 y Fv(:)p eop %%Page: 21 21 21 20 bop 242 -75 a FE(M)t Fu(A)t(L)t(L)t(I)t(A)-7 b(V)t(I)t(N)33 b FE(C)t Fu(A)t(L)t(C)t(U)t(L)t(U)t(S)2345 b Fx(21)240 273 y FE(In)34 b(this)f(w)o(ay)-6 b(,)35 b(the)f(solution)e(of)i (\(6.7b\))g(w)o(ould)f(be)h Fd(D)2144 300 y Fn(v)2192 273 y Ft(\010)2264 230 y Fn(t)2264 300 y Fr(H)2372 273 y Fs(\021)45 b Ft(0)p FE(.)58 b(W)-8 b(e)34 b(ne)o(xt)f(w)o(ould)h (de\002ne)g(the)240 393 y(\223directions\224)24 b Fv(v)794 420 y Fr(L)873 393 y FE(and)h Fv(v)1090 420 y Fr(H)1179 393 y FE(by)1365 614 y Fv(v)1417 571 y Fn(t)1413 640 y Fr(L)1495 614 y Ft(=)1601 533 y Fo(\000)1646 614 y Fv(V)1727 571 y Fn(t)1704 640 y Fr(L)1778 614 y Fv(Q)1857 571 y Fn(t)1857 640 y Fr(L)1911 533 y Fo(\001)1957 553 y Fm(\003)2030 614 y FE(,)1356 776 y Fv(v)1408 733 y Fn(t)1404 803 y Fr(H)1495 776 y Ft(=)k Fs(\000)p Fv(Q)1757 733 y Fm(\000)p Fr(1)1757 805 y(H)1864 776 y Ft(\()p Fv(D)1985 803 y Fr(L)2039 776 y Fv(F)2103 803 y Fr(H)2167 776 y Ft(\))2206 733 y Fn(t)2258 776 y Fd(D)2335 803 y Fn(v)2382 776 y Ft(\010)2454 733 y Fn(t)2454 803 y Fr(L)2536 776 y FE(,)240 992 y(where)34 b Fd(D)594 1019 y Fn(v)642 992 y Ft(\010)714 949 y Fn(t)714 1019 y Fr(L)802 992 y FE(is)g(the)g(solution)e(to)i(\(6.7a\))g(with)g Fd(D)2084 1019 y Fn(v)2131 992 y Ft(\010)2203 949 y Fn(t)2203 1019 y Fr(H)2301 992 y FE(replaced)h(by)f Ft(0)g FE(and)g Fv(v)3117 1019 y Fr(L)3206 992 y FE(replaced)g(by)240 1031 y Fo(\000)285 1112 y Fv(V)366 1069 y Fn(t)343 1139 y Fr(L)417 1112 y Fv(Q)496 1069 y Fn(t)496 1139 y Fr(L)550 1031 y Fo(\001)596 1052 y Fm(\003)642 1112 y FE(.)39 b(Here,)29 b Fv(X)1044 1069 y Fm(\003)1117 1112 y FE(denotes)e(the)g (transpose)g(of)h(the)f(real)h(matrix)f Fv(X)8 b FE(.)38 b Fp(This)28 b(pr)l(o)o(gr)o(am)d(needs)240 1231 y(some)f(car)l(e)i (because)e(of)h(the)f(implicit)g(natur)l(e)g(of)h(the)f(de\002nition)g (of)g Fv(v)t Fp(.)389 1351 y FE(Since)g(we)g(are)h(constructing)d(a)i (solution)e(of)i(\(6.7\))f(whose)h(high-frequenc)o(y)f(part)g(is)h (going)e(to)240 1470 y(v)n(anish,)h(we)i(consider)g(instead)f(the)g (simpler)g(equation)g(for)h Fv(y)2390 1427 y Fn(t)2453 1470 y Fs(2)j Fd(L)19 b Ft(\()p Fs(H)2776 1497 y Fr(L)2830 1470 y Fv(;)e Fs(H)2959 1497 y Fr(L)3013 1470 y Ft(\))p FE(:)327 1713 y Fv(dy)432 1670 y Fn(t)494 1713 y Ft(=)599 1602 y Fo(\020)658 1713 y Fs(\000)p Fv(A)810 1740 y Fr(L)865 1713 y Fv(y)918 1670 y Fn(t)974 1713 y Ft(+)23 b(\()p Fv(D)1195 1740 y Fr(L)1250 1713 y Fv(F)1314 1740 y Fr(L)1368 1713 y Ft(\))1407 1670 y Fn(t)1442 1713 y Fv(y)1495 1670 y Fn(t)1551 1713 y Ft(+)g Fv(Q)1730 1670 y Fn(t)1730 1740 y Fr(L)1784 1632 y Fo(\000)1830 1713 y Fv(V)1910 1670 y Fn(t)1888 1740 y Fr(L)1945 1713 y Fv(Q)2024 1670 y Fn(t)2024 1740 y Fr(L)2078 1632 y Fo(\001)2124 1653 y Fm(\003)2169 1602 y Fo(\021)2245 1713 y Fv(dt)f Ft(+)2455 1632 y Fo(\000)2501 1713 y Ft(\()p Fv(D)2622 1740 y Fr(L)2676 1713 y Fv(Q)2755 1740 y Fr(L)2809 1713 y Ft(\))2848 1670 y Fn(t)2883 1713 y Fv(y)2936 1670 y Fn(t)2971 1632 y Fo(\001)3033 1713 y Fv(dW)3179 1740 y Fr(L)3233 1713 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))27 b FE(,)87 b(\(6.8\))240 1967 y(with)27 b Fv(y)498 1924 y Fr(0)575 1967 y Ft(=)33 b(0)p FE(,)28 b(and)g(where)g(we)f(use)h(again)f(the)g(notation)g Fv(F)2360 1924 y Fn(t)2427 1967 y Ft(=)34 b Fv(F)k Fs(\016)24 b Ft(\010)2786 1924 y Fn(t)2821 1967 y FE(,)k(and)g(similar)e(notation) 240 2086 y(for)f Fv(Q)p FE(.)389 2206 y(The)36 b(v)o(eri\002cation)g (that)f(\(6.8\))h(is)g(well-de\002ned)g(and)g(can)h(be)f(bounded)f(is)h (again)f(a)i(conse-)240 2326 y(quence)25 b(of)f(Theorem)h(8.9)f(and)g (is)g(left)h(to)f(the)g(reader)-5 b(.)32 b Fp(Given)24 b(the)h(solution)d(of)j(\(6.8\))f(we)h(pr)l(oceed)240 2445 y(to)f(mak)o(e)h(our)g(de\002nitive)f(c)o(hoice)g(of)h Fv(v)1568 2402 y Fn(t)1564 2472 y Fr(L)1643 2445 y Fp(and)f Fv(v)1869 2402 y Fn(t)1865 2472 y Fr(H)1929 2445 y Fp(:)240 2679 y Fx(De\002nition)h(6.4)50 b Fp(Given)34 b(an)g(initial)e (condition)g Fv(\030)49 b Fs(2)d(H)2238 2636 y Fn(\013)2329 2679 y Fp(\(for)33 b Ft(\010)2584 2636 y Fn(t)2619 2679 y Fp(\))i(and)e(a)h(cutof)n(f)g Fv(\045)44 b(<)h Fs(1)34 b Fp(we)240 2799 y(de\002ne)25 b Fv(v)555 2756 y Fn(t)617 2799 y Ft(=)j Fv(v)774 2756 y Fn(t)770 2826 y Fr(L)847 2799 y Fs(\010)23 b Fv(v)999 2756 y Fn(t)995 2826 y Fr(H)1084 2799 y Fp(by)883 3019 y Fv(v)935 2977 y Fn(t)931 3046 y Fr(L)1013 3019 y Fs(\021)1196 2939 y Fo(\000)1242 3019 y Fv(V)1322 2977 y Fn(t)1300 3046 y Fr(L)1373 3019 y Fv(Q)1452 2977 y Fn(t)1452 3046 y Fr(L)1506 2939 y Fo(\001)1552 2959 y Fm(\003)1890 3019 y Ft(=)2073 2939 y Fo(\000)2119 3019 y Fv(V)2199 2977 y Fn(t)2177 3046 y Fr(L)2251 3019 y Ft(\()p Fv(Q)2369 3046 y Fr(L)2445 3019 y Fs(\016)f Ft(\010)2589 2977 y Fn(t)2624 3019 y Ft(\))2663 2939 y Fo(\001)2708 2959 y Fm(\003)2781 3019 y Fp(,)873 3182 y Fv(v)925 3139 y Fn(t)921 3209 y Fr(H)1013 3182 y Fs(\021)28 b(\000)p Fv(Q)1274 3139 y Fm(\000)p Fr(1)1274 3211 y(H)1382 3182 y Ft(\()p Fv(D)1503 3209 y Fr(L)1557 3182 y Fv(F)1621 3209 y Fr(H)1685 3182 y Ft(\))1724 3139 y Fn(t)1775 3182 y Fv(y)1828 3139 y Fn(t)1890 3182 y Ft(=)h Fs(\000)p Fv(Q)2152 3139 y Fm(\000)p Fr(1)2152 3211 y(H)2259 3101 y Fo(\000)2305 3182 y Ft(\()p Fv(D)2426 3209 y Fr(L)2480 3182 y Fv(F)2544 3209 y Fr(H)2608 3182 y Ft(\))22 b Fs(\016)g Ft(\010)2813 3139 y Fn(t)2848 3182 y Ft(\))17 b Fv(y)2957 3139 y Fn(t)3018 3182 y Fp(,)3486 3097 y FE(\(6.9\))240 3404 y Fp(wher)l(e)25 b Ft(\010)576 3361 y Fn(t)636 3404 y Fp(solves)g(\(5.3\),)f Fv(V)1226 3361 y Fn(t)1203 3431 y Fr(L)1286 3404 y Fp(is)g(the)h(solution)e(of)h(\(6.5b\),)h(and)f Fv(y)2490 3361 y Fn(t)2549 3404 y Fp(solves)h(\(6.8\).)240 3638 y Fx(Lemma)g(6.5)49 b Fp(The)26 b(pr)l(ocess)e Fv(v)1317 3595 y Fn(t)1376 3638 y Fp(satis\002es)g(for)g(all)g Fv(p)k Fs(\025)g Ft(1)d Fp(and)f(all)g Fv(t)k(>)g Ft(0)d Fp(:)1158 3874 y Fx(E)1225 3764 y Fo(\020)1330 3874 y FE(sup)1284 3965 y Fn(s)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;t)p Fr(])1531 3874 y Fs(k)p Fv(v)1633 3831 y Fn(s)1675 3874 y Fs(k)1725 3831 y Fn(p)1771 3764 y Fo(\021)1858 3874 y Fv(<)j(C)2034 3901 y Fn(t;p;\045)2199 3794 y Fo(\000)2245 3874 y Ft(1)22 b(+)g Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)2565 3901 y Fn(\013)2621 3874 y Ft(\))2660 3831 y Fn(p)2733 3874 y Fp(,)240 4162 y(i.e)o(.,)24 b(it)g(satis\002es)g(assumption)e Fx(A2)j Fp(of)f(Pr)l(oposition)e(6.1.)240 4373 y(Pr)l(oof)o(.)47 b FE(By)35 b(Proposition)e(5.1,)j Ft(\010)1438 4330 y Fn(t)1507 4373 y FE(is)e(in)f Fs(H)1804 4330 y Fn(\013)1896 4373 y FE(for)h(all)g Fv(t)45 b Fs(\025)g Ft(0)p FE(.)59 b(In)34 b(Lemma)g(8.1)g Fx(P6)p FE(,)i(it)e(will)f(be)240 4493 y(check)o(ed)k(that)f Fv(D)870 4519 y Fr(L)924 4493 y Fv(F)988 4519 y Fr(H)1089 4493 y FE(maps)f Fs(H)1420 4450 y Fn(\013)1514 4493 y FE(into)g Fd(L)20 b Ft(\()p Fs(H)1935 4519 y Fr(L)1989 4493 y Fv(;)d Fs(H)2119 4450 y Fn(\013)2206 4493 y Fs(\\)31 b(H)2387 4519 y Fr(H)2451 4493 y Ft(\))36 b FE(and)g(that)g(this)g(map)g(has)g(linear)240 4612 y(gro)n(wth.)44 b(By)30 b(the)f Fp(lower)h(bound)f FE(\(1.6\))g(on)g(the)h(amplitudes)e Fv(q)2435 4639 y Fn(k)2484 4612 y FE(,)j(we)f(see)g(that)f Fv(Q)3101 4569 y Fm(\000)p Fr(1)3101 4641 y(H)3238 4612 y FE(is)g(bounded)240 4732 y(from)24 b Fs(H)543 4689 y Fn(\013)622 4732 y Fs(\\)f(H)795 4759 y Fr(H)884 4732 y FE(to)h Fs(H)1070 4759 y Fr(H)1159 4732 y FE(and)h(thus)f(the)g(assertion)g(follo)n(ws.)3677 4732 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 4732 a 240 4943 a FE(W)-8 b(e)26 b(no)n(w)g(v)o(erify)g (that)f Fd(D)1107 4969 y Fn(v)1155 4943 y Ft(\010)1227 4900 y Fn(t)1227 4969 y Fr(H)1321 4943 y Fs(\021)31 b Ft(0)p FE(.)k(Indeed,)27 b(consider)f(the)g(equations)f(\(6.7\).)35 b(This)26 b(is)f(a)i(system)240 5062 y(for)j(tw)o(o)f(unkno)n(wns,)g Fv(Y)1107 5019 y Fn(t)1178 5062 y Ft(=)38 b Fd(D)1370 5089 y Fn(v)1417 5062 y Ft(\010)1489 5019 y Fn(t)1489 5089 y Fr(L)1573 5062 y FE(and)30 b Fv(X)1838 5019 y Fn(t)1909 5062 y Ft(=)37 b Fd(D)2100 5089 y Fn(v)2147 5062 y Ft(\010)2219 5019 y Fn(t)2219 5089 y Fr(H)2283 5062 y FE(.)45 b(F)o(or)30 b(our)g(choice)f(of)h Fv(v)3137 5019 y Fn(t)3133 5089 y Fr(L)3217 5062 y FE(and)g Fv(v)3443 5019 y Fn(t)3439 5089 y Fr(H)3533 5062 y FE(this)240 5182 y(system)23 b(tak)o(es)i(the)g(form)1044 5419 y Fv(d)17 b(Y)1192 5376 y Fn(t)1255 5419 y Ft(=)1360 5308 y Fo(\020)1420 5419 y Fs(\000)p Fv(A)1572 5446 y Fr(L)1643 5419 y Fv(Y)1723 5376 y Fn(t)1780 5419 y Ft(+)23 b(\()p Fv(D)2001 5446 y Fr(L)2055 5419 y Fv(F)2119 5446 y Fr(L)2173 5419 y Ft(\))2212 5376 y Fn(t)2264 5419 y Fv(Y)2344 5376 y Fn(t)3392 5419 y FE(\(6.10a\))1449 5638 y Ft(+)g(\()p Fv(D)1670 5665 y Fr(H)1734 5638 y Fv(F)1798 5665 y Fr(L)1852 5638 y Ft(\))1891 5595 y Fn(t)1942 5638 y Fv(X)2033 5595 y Fn(t)2090 5638 y Ft(+)f Fv(Q)2268 5595 y Fn(t)2268 5665 y Fr(L)2322 5638 y Ft(\()p Fv(V)2441 5595 y Fn(t)2419 5665 y Fr(L)2477 5638 y Fv(Q)2556 5595 y Fn(t)2556 5665 y Fr(L)2610 5638 y Ft(\))2649 5595 y Fm(\003)2694 5528 y Fo(\021)2770 5638 y Fv(dt)p eop %%Page: 22 22 22 21 bop 242 -75 a FE(T)t Fu(H)t(E)31 b FE(P)l Fu(A)t(R)o(T)t(I)t(A)t (L)j FE(M)t Fu(A)t(L)t(L)t(I)t(A)-7 b(V)t(I)t(N)33 b FE(M)t Fu(A)-5 b(T)t(R)t(I)t(X)1862 b Fx(22)1449 288 y Ft(+)1549 178 y Fo(\020)1608 288 y Ft(\()p Fv(D)1729 315 y Fr(L)1784 288 y Fv(Q)1863 315 y Fr(L)1917 288 y Ft(\))1956 245 y Fn(t)2007 288 y Fv(Y)2087 245 y Fn(t)2122 178 y Fo(\021)2198 288 y Fv(dW)2344 315 y Fr(L)2398 288 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))1449 507 y(+)1549 397 y Fo(\020)1608 507 y Ft(\()p Fv(D)1729 534 y Fr(H)1793 507 y Fv(Q)1872 534 y Fr(L)1926 507 y Ft(\))1965 465 y Fn(t)2016 507 y Fv(X)2107 465 y Fn(t)2142 397 y Fo(\021)2218 507 y Fv(dW)2364 534 y Fr(L)2418 507 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))17 b Fv(;)1034 812 y(d)g(X)1194 769 y Fn(t)1255 812 y Ft(=)1360 701 y Fo(\020)1420 812 y Fs(\000)p Fv(A)1572 839 y Fr(H)1652 812 y Fv(X)1743 769 y Fn(t)1800 812 y Ft(+)23 b(\()p Fv(D)2021 839 y Fr(L)2075 812 y Fv(F)2139 839 y Fr(H)2203 812 y Ft(\))2242 769 y Fn(t)2293 812 y Fv(Y)2373 769 y Fn(t)3386 812 y FE(\(6.10b\))1449 1031 y Ft(+)g(\()p Fv(D)1670 1058 y Fr(H)1734 1031 y Fv(F)1798 1058 y Fr(H)1861 1031 y Ft(\))1900 988 y Fn(t)1952 1031 y Fv(X)2043 988 y Fn(t)2099 1031 y Fs(\000)g Ft(\()p Fv(D)2320 1058 y Fr(L)2374 1031 y Fv(F)2438 1058 y Fr(H)2502 1031 y Ft(\))2541 988 y Fn(t)2576 1031 y Fv(y)2629 988 y Fn(t)2664 920 y Fo(\021)2740 1031 y Fv(dt)k(:)240 1291 y FE(By)e(inspection,)e(we)i (see)g(that)g Fv(X)1399 1248 y Fn(t)1461 1291 y Fs(\021)j Ft(0)d FE(and)328 1510 y Fv(d)6 b(Y)466 1467 y Fn(t)528 1510 y Ft(=)29 b Fs(\000)p Fv(A)786 1537 y Fr(L)840 1510 y Fv(Y)920 1467 y Fn(t)977 1510 y Ft(+)23 b(\()p Fv(D)1198 1537 y Fr(L)1252 1510 y Fv(F)1316 1537 y Fr(L)1371 1510 y Ft(\))1410 1467 y Fn(t)1444 1510 y Fv(Y)1524 1467 y Fn(t)1582 1510 y Ft(+)1681 1429 y Fo(\000)1727 1510 y Ft(\()p Fv(D)1848 1537 y Fr(L)1902 1510 y Fv(Q)1981 1537 y Fr(L)2035 1510 y Ft(\))2074 1467 y Fn(t)2126 1510 y Fv(Y)2206 1467 y Fn(t)2241 1429 y Fo(\001)2303 1510 y Fv(dW)2449 1537 y Fr(L)2503 1510 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))f(+)h Fv(Q)2818 1467 y Fn(t)2818 1537 y Fr(L)2872 1510 y Ft(\()p Fv(V)2991 1467 y Fn(t)2969 1537 y Fr(L)3026 1510 y Fv(Q)3105 1467 y Fn(t)3105 1537 y Fr(L)3159 1510 y Ft(\))3198 1467 y Fm(\003)3260 1510 y Fv(dt)88 b FE(\(6.11\))240 1740 y(solv)o(e)28 b(the)g(problem,)h Fp(i.e)o(.)p FE(,)h Fv(Y)1271 1697 y Fn(t)1341 1740 y Ft(=)36 b Fv(y)1507 1697 y Fn(t)1542 1740 y FE(,)30 b(by)e(the)h(construction)f(of)h Fv(y)2563 1697 y Fn(t)2597 1740 y FE(.)43 b(Applying)28 b(the)h(It)8 b(\210)-41 b(o)28 b(formula)240 1860 y(to)23 b(the)g(product)f Fv(V)894 1817 y Fn(t)871 1887 y Fr(L)929 1860 y Fv(Y)1009 1817 y Fn(t)1067 1860 y FE(and)h(using)g(Eqs.\(6.5b\)) f(and)h(\(6.11\),)g(we)h(see)f(immediately)f(that)h(we)g(ha)n(v)o(e)240 1979 y(de\002ned)i Fv(Y)638 1937 y Fn(t)701 1979 y Ft(=)j Fd(D)883 2006 y Fn(v)930 1979 y Ft(\010)1002 1937 y Fn(t)1002 2006 y Fr(L)1081 1979 y FE(in)d(such)f(a)h(w)o(ay)g(that)1187 2199 y Fv(d)1239 2118 y Fo(\000)1285 2199 y Fv(V)1365 2156 y Fn(t)1343 2225 y Fr(L)1400 2199 y Fd(D)1477 2225 y Fn(v)1524 2199 y Ft(\010)1596 2156 y Fn(t)1596 2225 y Fr(L)1651 2118 y Fo(\001)1724 2199 y Ft(=)j Fv(V)1909 2156 y Fn(t)1887 2225 y Fr(L)1945 2199 y Fv(Q)2024 2156 y Fn(t)2024 2225 y Fr(L)2078 2199 y Ft(\()p Fv(Q)2196 2156 y Fn(t)2196 2225 y Fr(L)2249 2199 y Ft(\))2288 2156 y Fm(\003)2334 2199 y Ft(\()p Fv(V)2453 2156 y Fn(t)2431 2225 y Fr(L)2488 2199 y Ft(\))2527 2156 y Fm(\003)2589 2199 y Fv(dt)g FE(,)240 2418 y(because)d(all)f(other)h(terms)f(cancel.) 32 b(Thus)24 b(we)h(\002nally)f(ha)n(v)o(e)h(sho)n(wn)240 2657 y Fx(Theor)n(em)h(6.6)50 b Fp(Given)33 b(an)h(initial)e(condition) h Fv(\030)48 b Fs(2)d(H)2201 2614 y Fn(\013)2292 2657 y Fp(\(for)34 b Ft(\010)2548 2614 y Fn(t)2583 2657 y Fp(\))g(and)f(a)h(cutof)n(f)f Fv(\045)44 b(<)h Fs(1)p Fp(,)36 b(the)240 2776 y(following)23 b(is)h(true:)31 b(If)25 b Fv(v)1095 2734 y Fn(t)1155 2776 y Fp(is)f(given)h(by)g (De\002nition)e(6.4)i(then)839 3060 y Fd(D)916 3087 y Fn(v)963 3060 y Ft(\010)1035 3018 y Fn(t)1035 3087 y Fr(L)1117 3060 y Ft(=)j Fv(U)1301 3018 y Fn(t)1290 3087 y Fr(L)1361 2925 y Fo(Z)1461 2949 y Fn(t)1417 3151 y Fr(0)1513 3060 y Fv(V)1593 3018 y Fn(s)1571 3087 y Fr(L)1635 2980 y Fo(\000)1681 3060 y Ft(\()p Fv(Q)1799 3087 y Fr(L)1853 3060 y Fv(Q)1932 3018 y Fm(\003)1932 3087 y Fr(L)1986 3060 y Ft(\))22 b Fs(\016)g Ft(\010)2191 3018 y Fn(s)2233 2980 y Fo(\001\000)2325 3060 y Fv(V)2405 3018 y Fn(s)2383 3087 y Fr(L)2447 2980 y Fo(\001)2493 3000 y Fm(\003)2555 3060 y Fv(ds)28 b Fs(\021)g Fv(U)2866 3018 y Fn(t)2855 3087 y Fr(L)2909 3060 y Fv(C)2987 3018 y Fn(t)2980 3087 y Fr(L)3062 3060 y Fp(,)829 3277 y Fd(D)906 3304 y Fn(v)954 3277 y Ft(\010)1026 3234 y Fn(t)1026 3304 y Fr(H)1117 3277 y Fs(\021)g Ft(0)g Fv(:)3436 3130 y FE(\(6.12\))240 3519 y Fx(De\002nition)d(6.7)50 b Fp(W)-9 b(e)25 b(will)f(call)g(the)h (matrix)f Fv(C)1861 3476 y Fn(t)1854 3546 y Fr(L)1933 3519 y Fp(the)h FE(partial)g(Mallia)n(vin)e(matrix)h Fp(of)g(our)h(system.)240 3793 y FD(7)119 b(The)30 b(P)o(artial)g (Mallia)m(vin)g(Matrix)240 4002 y FE(In)e(this)f(section,)h(we)h (estimate)e(the)h(partial)g(Mallia)n(vin)e(matrix)i Fv(C)2577 3959 y Fn(t)2570 4029 y Fr(L)2652 4002 y FE(from)g(belo)n(w)-6 b(.)40 b(W)-8 b(e)28 b(\002x)h(some)240 4122 y(time)24 b Fv(t)j(>)i Ft(0)24 b FE(and)h(denote)g(by)f Fs(S)1336 4079 y Fn(L)1421 4122 y FE(the)h(unit)f(sphere)h(in)f Fx(R)2207 4079 y Fn(L)2267 4122 y FE(.)31 b(Our)25 b(bound)f(is)240 4361 y Fx(Theor)n(em)i(7.1)50 b Fp(Ther)l(e)24 b(ar)l(e)f(constants)f Fv(\026;)17 b(\027)34 b Fs(\025)28 b Ft(0)23 b Fp(suc)o(h)g(that)f(for) h(e)o(very)g Fv(T)42 b(>)28 b Ft(0)c Fp(and)e(e)o(very)i Fv(p)k Fs(\025)g Ft(1)240 4480 y Fp(ther)l(e)33 b(is)h(a)f Fv(C)729 4507 y Fn(T)6 b(;p;\045)951 4480 y Fp(suc)o(h)33 b(that)g(for)g(all)g(initial)f(conditions)f Fv(\030)49 b Fs(2)44 b(H)2652 4437 y Fn(\013)2743 4480 y Fp(for)33 b(the)g(\003ow)h Ft(\010)3320 4437 y Fn(t)3388 4480 y Fp(and)g(all)240 4600 y Fv(t)27 b(<)i(T)14 b Fp(,)24 b(one)h(has)1026 4837 y Fx(E)1093 4726 y Fo(\020)1152 4756 y(\000)1198 4837 y Ft(det)17 b Fv(C)1431 4794 y Fn(t)1424 4864 y Fr(L)1478 4756 y Fo(\001)1524 4777 y Fm(\000)p Fn(p)1632 4726 y Fo(\021)1719 4837 y Fs(\024)29 b Fv(C)1896 4864 y Fn(T)6 b(;p;\045)2084 4837 y Fv(t)2120 4794 y Fm(\000)p Fn(\026p)2277 4756 y Fo(\000)2322 4837 y Ft(1)22 b(+)h Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)2643 4864 y Fn(\013)2699 4756 y Fo(\001)2744 4777 y Fn(\027)g(p)2863 4837 y Fv(:)240 5100 y Fx(Cor)n(ollary)24 b(7.2)49 b Fp(Ther)l(e)38 b(ar)l(e)f (constants)f Fv(\026;)17 b(\027)56 b Fs(\025)51 b Ft(0)37 b Fp(suc)o(h)g(that)f(for)g(e)o(very)i Fv(T)64 b(>)51 b Ft(0)37 b Fp(and)g(e)o(very)240 5219 y Fv(p)31 b Fs(\025)h Ft(1)27 b Fp(ther)l(e)g(is)f(a)h Fv(C)976 5246 y Fn(T)6 b(;p;\045)1191 5219 y Fp(suc)o(h)26 b(that)g(for)g(all)g(initial)f (conditions)g Fv(\030)35 b Fs(2)d(H)2825 5177 y Fn(\013)2909 5219 y Fp(for)26 b(the)h(\003ow)g Ft(\010)3466 5177 y Fn(t)3527 5219 y Fp(and)240 5339 y(all)d Fv(t)j(<)i(T)14 b Fp(,)25 b(one)f(has,)g(with)h Fv(v)k Fp(given)c(by)f(De\002nition)g (6.4:)1043 5572 y Fx(E)1109 5488 y Fo(\015)1109 5547 y(\015)1165 5492 y(\000)1210 5572 y Fd(D)1287 5599 y Fn(v)1335 5572 y Ft(\010)1407 5529 y Fn(t)1407 5599 y Fr(L)1461 5492 y Fo(\001)1507 5512 y Fm(\000)p Fn(p)1615 5488 y Fo(\015)1615 5547 y(\015)1703 5572 y Fs(\024)k Fv(C)1879 5599 y Fn(T)6 b(;p;\045)2068 5572 y Fv(t)2104 5529 y Fm(\000)p Fn(\026p)2260 5492 y Fo(\000)2306 5572 y Ft(1)22 b(+)h Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)2627 5599 y Fn(\013)2682 5492 y Fo(\001)2728 5512 y Fn(\027)g(p)2846 5572 y Fv(:)p eop %%Page: 23 23 23 22 bop 242 -75 a FE(T)t Fu(H)t(E)31 b FE(P)l Fu(A)t(R)o(T)t(I)t(A)t (L)j FE(M)t Fu(A)t(L)t(L)t(I)t(A)-7 b(V)t(I)t(N)33 b FE(M)t Fu(A)-5 b(T)t(R)t(I)t(X)1862 b Fx(23)389 273 y FE(This)24 b(corollary)h(follo)n(ws)e(from)i Ft(\()p Fd(D)1632 300 y Fn(v)1679 273 y Ft(\010)1751 230 y Fn(t)1751 300 y Fr(L)1805 273 y Ft(\))1844 230 y Fm(\000)p Fr(1)1978 273 y Ft(=)k(\()p Fv(C)2201 230 y Fn(t)2194 300 y Fr(L)2248 273 y Ft(\))2287 230 y Fm(\000)p Fr(1)2393 273 y Fv(V)2474 230 y Fn(t)2451 300 y Fr(L)2534 273 y FE(and)24 b(Eq.\(6.6a\).)389 393 y(As)h(a)g(\002rst)g(step,)f(we)h(formulate)f(a)i(bound)e(from)g (which)h(Theorem)f(7.1)h(follo)n(ws)e(easily)-6 b(.)240 614 y Fx(Theor)n(em)26 b(7.3)50 b Fp(Ther)l(e)27 b(ar)l(e)h(a)e Fv(\026)32 b(>)g Ft(0)27 b Fp(and)g(a)g Fv(\027)38 b(>)32 b Ft(0)27 b Fp(suc)o(h)f(that)h(for)f(e)o(very)h Fv(p)32 b Fs(\025)g Ft(1)p Fp(,)c(e)o(very)f Fv(t)32 b(<)g(T)240 734 y Fp(and)24 b(e)o(very)h Fv(\030)32 b Fs(2)c(H)908 691 y Fr(2)953 734 y Fp(,)d(one)f(has)578 988 y Fx(P)638 848 y Fo(\022)760 988 y FE(inf)712 1059 y Fn(h)p Fm(2S)867 1039 y Fj(L)935 853 y Fo(Z)1035 877 y Fn(t)991 1079 y Fr(0)1070 904 y Fo(\015)1070 963 y(\015)1125 988 y Fv(Q)1204 945 y Fn(s)1204 1015 y Fr(L)1258 908 y Fo(\000)1304 988 y Fv(V)1384 945 y Fn(s)1362 1015 y Fr(L)1427 908 y Fo(\001)1473 928 y Fm(\003)1518 988 y Fv(h)1575 904 y Fo(\015)1575 963 y(\015)1631 928 y Fr(2)1692 988 y Fv(ds)k(<)g(")1970 848 y Fo(\023)2088 988 y Fs(\024)45 b Fv(C)2281 1015 y Fn(T)6 b(;p;\045)2469 988 y Fv(")2515 945 y Fn(p)2561 988 y Fv(t)2597 945 y Fm(\000)p Fn(\026p)2754 988 y Ft(\(1)22 b(+)h Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)3114 1015 y Fr(2)3157 988 y Ft(\))3196 945 y Fn(\027)g(p)3314 988 y Fp(,)240 1232 y(with)24 b Fv(C)507 1259 y Fn(T)6 b(;p;\045)721 1232 y Fp(independent)23 b(of)i Fv(\030)5 b Fp(.)240 1451 y(Pr)l(oof)23 b(of)i(Theor)l(em)g(7.1.)49 b FE(Note)26 b(that)1560 1371 y Fo(R)1626 1395 y Fn(t)1607 1487 y Fr(0)1678 1451 y Fs(k)p Fv(Q)1807 1408 y Fn(s)1807 1478 y Fr(L)1861 1451 y Ft(\()p Fv(V)1980 1408 y Fn(s)1958 1478 y Fr(L)2023 1451 y Ft(\))2062 1408 y Fm(\003)2107 1451 y Fv(h)p Fs(k)2214 1408 y Fr(2)2276 1451 y Fv(ds)g FE(is,)g(by)g(Eq.\(6.12\),)g(nothing)e(b)n(ut)i(the)240 1582 y(quantity)d Fs(h)p Fv(h;)17 b(C)810 1539 y Fn(t)803 1609 y Fr(L)857 1582 y Fv(h)p Fs(i)p FE(.)31 b(Then,)25 b(Theorem)f(7.1)h(follo)n(ws)e(at)i(once.)3677 1582 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 1582 a 389 1772 a FE(The)32 b(proof)f(of)h(Theorem)f(7.3)h(is)f (lar)n(gely)g(inspired)g(from)g([Nor86,)i(Sect.)g(4],)g(b)n(ut)e(we)h (need)240 1891 y(some)25 b(ne)n(w)g(features)h(to)f(deal)h(with)f(the)h (in\002nite)f(dimensional)f(high-frequenc)o(y)h(part.)33 b(This)25 b(will)240 2011 y(tak)o(e)g(up)f(the)h(ne)o(xt)f(three)h (subsections.)389 2130 y(Our)k(proof)f(needs)h(a)g(modi\002cation)e(of) i(the)f(Lie)g(brack)o(ets)h(considered)f(when)h(we)g(study)e(the)240 2250 y(H)8 b(\250)-41 b(ormander)24 b(condition.)30 b(W)-8 b(e)25 b(e)o(xplain)e(\002rst)i(these)g(identities)e(in)i(a)g(\002nite) g(dimensional)d(setting.)240 2454 y Fx(7.1)99 b(Finite)25 b(Dimensional)f(Case)240 2609 y FE(Assume)g(in)g(this)g(subsection)f (that)i(both)f Fs(H)1763 2636 y Fr(L)1842 2609 y FE(and)h Fs(H)2095 2636 y Fr(H)2184 2609 y FE(are)g(\002nite)g(dimensional.)389 2729 y(The)k(operator)f Fv(Q)h FE(maps)f Fs(H)i FE(to)e Fd(L)19 b Ft(\()p Fs(W)8 b Fv(;)17 b Fs(H)q Ft(\))p FE(,)29 b(where)g Fs(W)37 b FE(should)28 b(be)g(thought)g(of)g(as)h(the)f(sub-) 240 2848 y(space)37 b(of)g Fs(H)h FE(which)f(is)f(actually)g(dri)n(v)o (en)g(by)h(the)f(noise.)67 b(W)-8 b(e)37 b(assume)f(it)h(is)f(spanned)g (by)h(the)240 2968 y(\002rst)42 b Fv(W)56 b FE(basis)41 b(v)o(ectors)h(of)g Fs(H)q FE(.)83 b(W)-8 b(e)42 b(denote)g(by)g Fv(Q)2176 2995 y Fn(i)2268 2968 y Ft(:)59 b Fs(H)i(!)e(H)44 b FE(the)d Fv(i)2984 2925 y Fr(th)3107 2968 y FE(column)g(of)h Fv(Q)p FE(,)240 3102 y(\()p Fv(i)52 b Ft(=)g(0)p Fv(;)17 b(:)g(:)g(:)d(;)j(W)44 b Fs(\000)33 b Ft(1)p FE(\).)1116 3059 y Fq(6)1225 3102 y FE(Finally)-6 b(,)1586 3077 y Fo(b)1566 3102 y Fv(F)52 b FE(is)37 b(the)h(drift)f(\(in)g(this)g (section,)j(we)e(absorb)g(the)f(linear)240 3222 y(part)27 b(of)g(the)f(SDE)i(into)1097 3196 y Fo(b)1078 3222 y Fv(F)45 b Ft(=)32 b Fs(\000)p Fv(A)24 b Ft(+)g Fv(F)14 b FE(,)28 b(to)e(simplify)f(the)i(e)o(xpressions\).)36 b(The)27 b(equation)f(for)h Ft(\010)3642 3179 y Fn(t)240 3341 y FE(is)639 3534 y Ft(\010)711 3492 y Fn(t)746 3534 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))26 b(=)i Fv(\030)e Ft(+)1174 3399 y Fo(Z)1274 3423 y Fn(t)1229 3625 y Fr(0)1309 3454 y Fo(\000)1374 3509 y(b)1354 3534 y Fv(F)36 b Fs(\016)22 b Ft(\010)1598 3492 y Fn(s)1641 3454 y Fo(\001)1687 3534 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))17 b Fv(ds)i Ft(+)2049 3399 y Fo(Z)2149 3423 y Fn(t)2104 3625 y Fr(0)2200 3410 y Fn(W)11 b Fm(\000)p Fr(1)2222 3440 y Fo(X)2230 3652 y Fn(i)p Fr(=0)2388 3454 y Fo(\000)2434 3534 y Fv(Q)2513 3561 y Fn(i)2568 3534 y Fs(\016)22 b Ft(\010)2712 3492 y Fn(s)2754 3454 y Fo(\001)2800 3534 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))17 b Fv(dw)3067 3561 y Fn(i)3099 3534 y Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))26 b Fv(:)389 3782 y FE(Let)34 b Fv(K)52 b Ft(:)45 b Fs(H)h(!)f(H)1125 3809 y Fr(L)1213 3782 y FE(be)35 b(a)f(smooth)f(function)g(whose)h(deri)n(v)n(ati)n(v)o(es)e (are)j(all)f(bounded)f(and)240 3916 y(de\002ne)25 b Fv(K)600 3873 y Fn(t)663 3916 y Ft(=)j Fv(K)h Fs(\016)22 b Ft(\010)1026 3873 y Fn(t)1061 3916 y FE(,)1130 3891 y Fo(b)1110 3916 y Fv(F)1188 3873 y Fn(t)1251 3916 y Ft(=)1376 3891 y Fo(b)1356 3916 y Fv(F)36 b Fs(\016)22 b Ft(\010)1600 3873 y Fn(t)1635 3916 y FE(,)j(and)g Fv(Q)1933 3873 y Fn(t)1933 3943 y(i)1995 3916 y Ft(=)k Fv(Q)2180 3943 y Fn(i)2235 3916 y Fs(\016)22 b Ft(\010)2379 3873 y Fn(t)2414 3916 y FE(.)30 b(W)-8 b(e)26 b(then)e(ha)n(v)o(e)h(by)f(It)8 b(\210)-41 b(o')-5 b(s)24 b(formula)337 4205 y Fv(dK)481 4162 y Fn(t)544 4205 y Ft(=)k(\()p Fv(D)s(K)7 b Ft(\))904 4162 y Fn(t)958 4180 y Fo(b)939 4205 y Fv(F)1017 4162 y Fn(t)1068 4205 y Fv(dt)22 b Ft(+)1278 4080 y Fn(W)11 b Fm(\000)p Fr(1)1300 4110 y Fo(X)1307 4323 y Fn(i)p Fr(=0)1465 4205 y Ft(\()p Fv(D)s(K)c Ft(\))1720 4162 y Fn(t)1755 4205 y Fv(Q)1834 4162 y Fn(t)1834 4232 y(i)1885 4205 y Fv(dw)2008 4232 y Fn(i)2042 4205 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))21 b(+)2289 4166 y Fr(1)p 2289 4182 40 4 v 2289 4239 a(2)2357 4080 y Fn(W)11 b Fm(\000)p Fr(1)2379 4110 y Fo(X)2386 4323 y Fn(i)p Fr(=0)2545 4205 y Ft(\()p Fv(D)2669 4162 y Fr(2)2713 4205 y Fv(K)c Ft(\))2844 4162 y Fn(t)2879 4205 y Ft(\()p Fv(Q)2997 4162 y Fn(t)2997 4232 y(i)3032 4205 y Ft(;)17 b Fv(Q)3156 4162 y Fn(t)3156 4232 y(i)3190 4205 y Ft(\))g Fv(dt)27 b(:)97 b FE(\(7.1\))240 4498 y(W)-8 b(e)25 b(ne)o(xt)f(re)n(write)g(the)h(equation)f(\(6.5\))h(for)g Fv(V)1846 4455 y Fn(t)1824 4525 y Fr(L)1906 4498 y FE(as:)413 4787 y Fv(dV)545 4745 y Fn(t)523 4814 y Fr(L)608 4787 y Ft(=)j Fs(\000)p Fv(V)871 4745 y Fn(t)848 4814 y Fr(L)906 4787 y Ft(\()p Fv(D)1027 4814 y Fr(L)1101 4762 y Fo(b)1082 4787 y Fv(F)1146 4814 y Fr(L)1200 4787 y Ft(\))1239 4745 y Fn(t)1290 4787 y Fv(dt)22 b Fs(\000)1500 4663 y Fn(L)p Fm(\000)p Fr(1)1506 4693 y Fo(X)1514 4905 y Fn(i)p Fr(=0)1673 4787 y Fv(V)1753 4745 y Fn(t)1731 4814 y Fr(L)1788 4787 y Ft(\()p Fv(D)1909 4814 y Fr(L)1964 4787 y Fv(Q)2043 4814 y Fn(i)2076 4787 y Ft(\))2115 4745 y Fn(t)2166 4787 y Fv(dw)2289 4814 y Fn(i)2323 4787 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))f(+)2558 4663 y Fn(L)p Fm(\000)p Fr(1)2564 4693 y Fo(X)2572 4905 y Fn(i)p Fr(=0)2731 4787 y Fv(V)2811 4745 y Fn(t)2789 4814 y Fr(L)2846 4707 y Fo(\000)2892 4787 y Ft(\()p Fv(D)3013 4814 y Fr(L)3067 4787 y Fv(Q)3146 4814 y Fn(i)3179 4787 y Ft(\))3218 4745 y Fn(t)3253 4707 y Fo(\001)3299 4727 y Fr(2)3360 4787 y Fv(dt)28 b(:)389 5063 y FE(The)34 b(follo)n(wing)d(de\002nition)i(is)g(useful.)56 b(Let)33 b Fv(A)44 b Ft(:)f Fs(H)i(!)e(H)35 b FE(and)e Fv(B)48 b Ft(:)c Fs(H)h(!)e(H)3313 5090 y Fr(L)3401 5063 y FE(be)33 b(tw)o(o)240 5183 y(functions)g(with)g(continuous)g(bounded)g(deri)n(v) n(ati)n(v)o(es.)56 b(W)-8 b(e)34 b(de\002ne)h(the)f Fp(pr)l(ojected)f (Lie)i(br)o(ac)n(k)o(et)240 5302 y Ft([)p Fv(A;)17 b(B)5 b Ft(])497 5329 y Fr(L)577 5302 y Ft(:)27 b Fs(H)i(!)e(H)956 5329 y Fr(L)1035 5302 y FE(by)602 5492 y Ft([)p Fv(A;)17 b(B)5 b Ft(])859 5519 y Fr(L)912 5492 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))27 b(=)h(\005)1254 5519 y Fr(L)1308 5492 y Ft([)p Fv(A;)17 b(B)5 b Ft(]\()p Fv(x)p Ft(\))25 b(=)1830 5411 y Fo(\000)1876 5492 y Fv(D)s(B)5 b Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))2177 5411 y Fo(\001)2222 5492 y Fv(A)p Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))21 b Fs(\000)2552 5411 y Fo(\000)2598 5492 y Fv(D)2680 5519 y Fr(L)2735 5492 y Fv(A)2810 5519 y Fr(L)2864 5492 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))2999 5411 y Fo(\001)3044 5492 y Fv(B)5 b Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))27 b Fv(:)p 240 5544 1375 4 v 348 5610 a Fg(6)383 5653 y Fu(There)20 b(is)g(a)g(slight)g (ambiguity)h(of)e(notation)h(here,)g(since)h FB(Q)2053 5680 y Fa(i)2104 5653 y Fu(really)f(means)h FB(Q)2596 5680 y Fa(\045;i)2708 5653 y Fu(which)f(is)g(not)g(the)g(same)h(as)f FB(Q)3572 5680 y Fa(\045)3615 5653 y Fu(.)p eop %%Page: 24 24 24 23 bop 242 -75 a FE(T)t Fu(H)t(E)31 b FE(P)l Fu(A)t(R)o(T)t(I)t(A)t (L)j FE(M)t Fu(A)t(L)t(L)t(I)t(A)-7 b(V)t(I)t(N)33 b FE(M)t Fu(A)-5 b(T)t(R)t(I)t(X)1862 b Fx(24)389 273 y FE(By)25 b(It)8 b(\210)-41 b(o')-5 b(s)24 b(formula,)h(we)g(ha)n(v)o(e) f(therefore)i(the)e(follo)n(wing)f(equation)h(for)h(the)g(product)f Fv(V)3454 230 y Fn(t)3432 300 y Fr(L)3489 273 y Fv(K)3581 230 y Fn(t)3616 273 y FE(:)711 575 y Fv(d)763 494 y Fo(\000)809 575 y Fv(V)889 532 y Fn(t)867 601 y Fr(L)924 575 y Fv(K)1016 532 y Fn(t)1051 494 y Fo(\001)1124 575 y Ft(=)k Fs(\000)p Fv(V)1387 532 y Fn(t)1364 601 y Fr(L)1422 575 y Ft(\()p Fv(D)1543 601 y Fr(L)1617 549 y Fo(b)1597 575 y Fv(F)1661 601 y Fr(L)1716 575 y Ft(\))1755 532 y Fn(t)1790 575 y Fv(K)1882 532 y Fn(t)1933 575 y Fv(dt)22 b Fs(\000)h Fv(V)2223 532 y Fn(t)2201 601 y Fr(L)2275 450 y Fn(L)p Fm(\000)p Fr(1)2281 480 y Fo(X)2288 692 y Fn(i)p Fr(=0)2431 575 y Ft(\()p Fv(D)2552 601 y Fr(L)2607 575 y Fv(Q)2686 601 y Fn(i)2719 575 y Ft(\))2758 532 y Fn(t)2792 575 y Fv(K)2884 532 y Fn(t)2936 575 y Fv(dw)3059 601 y Fn(i)3092 575 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))1168 924 y(+)g Fv(V)1348 881 y Fn(t)1326 951 y Fr(L)1400 800 y Fn(L)p Fm(\000)p Fr(1)1406 829 y Fo(X)1414 1042 y Fn(i)p Fr(=0)1556 843 y Fo(\000)1602 924 y Ft(\()p Fv(D)1723 951 y Fr(L)1778 924 y Fv(Q)1857 951 y Fn(i)1890 924 y Ft(\))1929 881 y Fn(t)1963 843 y Fo(\001)2009 864 y Fr(2)2054 924 y Fv(K)2146 881 y Fn(t)2197 924 y Fv(dt)f Ft(+)h Fv(V)2487 881 y Fn(t)2465 951 y Fr(L)2522 924 y Ft(\()p Fv(D)s(K)7 b Ft(\))2777 881 y Fn(t)2831 899 y Fo(b)2812 924 y Fv(F)2890 881 y Fn(t)2941 924 y Fv(dt)1168 1274 y Ft(+)23 b Fv(V)1348 1231 y Fn(t)1326 1300 y Fr(L)1400 1149 y Fn(W)11 b Fm(\000)p Fr(1)1422 1179 y Fo(X)1429 1391 y Fn(i)p Fr(=0)1587 1274 y Ft(\()p Fv(D)s(K)c Ft(\))1842 1231 y Fn(t)1877 1274 y Fv(Q)1956 1231 y Fn(t)1956 1300 y(i)2007 1274 y Fv(dw)2130 1300 y Fn(i)2164 1274 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))1168 1623 y(+)1280 1584 y Fr(1)p 1280 1600 40 4 v 1280 1657 a(2)1332 1623 y Fv(V)1412 1580 y Fn(t)1390 1650 y Fr(L)1463 1499 y Fn(W)k Fm(\000)p Fr(1)1485 1528 y Fo(X)1493 1741 y Fn(i)p Fr(=0)1651 1623 y Ft(\()p Fv(D)1775 1580 y Fr(2)1820 1623 y Fv(K)c Ft(\))1951 1580 y Fn(t)1985 1623 y Ft(\()p Fv(Q)2103 1580 y Fn(t)2103 1650 y(i)2138 1623 y Ft(;)17 b Fv(Q)2262 1580 y Fn(t)2262 1650 y(i)2296 1623 y Ft(\))g Fv(dt)1168 1973 y Fs(\000)23 b Fv(V)1348 1930 y Fn(t)1326 1999 y Fr(L)1400 1848 y Fn(L)p Fm(\000)p Fr(1)1406 1878 y Fo(X)1414 2090 y Fn(i)p Fr(=0)1556 1973 y Ft(\()p Fv(D)1677 1999 y Fr(L)1732 1973 y Fv(Q)1811 1999 y Fn(i)1844 1973 y Ft(\))1883 1930 y Fn(t)1918 1973 y Ft(\()p Fv(D)s(K)7 b Ft(\))2173 1930 y Fn(t)2207 1973 y Fv(Q)2286 1930 y Fn(t)2286 1999 y(i)2338 1973 y Fv(dt)27 b(:)240 2260 y FE(By)i(construction,)e Fv(D)1013 2287 y Fr(L)1068 2260 y Fv(Q)1147 2287 y Fn(i)1214 2260 y Ft(=)35 b(0)29 b FE(for)f Fv(i)35 b(>)g(L)28 b FE(and)h(therefore)g(we)f(e)o(xtend)g (all)g(the)h(sums)e(abo)o(v)o(e)g(to)240 2380 y Fv(W)14 b FE(.)30 b(A)25 b(straightforw)o(ard)f(calculation)g(then)h(leads)g (to)729 2676 y Fv(d)781 2595 y Fo(\000)827 2676 y Fv(V)907 2633 y Fn(t)885 2703 y Fr(L)942 2676 y Fv(K)1034 2633 y Fn(t)1069 2595 y Fo(\001)1142 2676 y Ft(=)j Fv(V)1327 2633 y Fn(t)1305 2703 y Fr(L)1363 2565 y Fo(\020)1422 2676 y Ft([)1469 2651 y Fo(b)1450 2676 y Fv(F)14 b(;)j(K)7 b Ft(])1693 2633 y Fn(t)1693 2703 y Fr(L)1768 2676 y Ft(+)1879 2637 y Fr(1)p 1879 2653 V 1879 2710 a(2)1948 2551 y Fn(W)k Fm(\000)p Fr(1)1969 2581 y Fo(X)1977 2793 y Fn(i)p Fr(=0)2135 2595 y Fo(\002)2177 2676 y Fv(Q)2256 2703 y Fn(i)2289 2676 y Fv(;)17 b Ft([)p Fv(Q)2441 2703 y Fn(i)2472 2676 y Fv(;)g(K)7 b Ft(])2637 2703 y Fr(L)2690 2595 y Fo(\003)2732 2616 y Fn(t)2732 2716 y Fr(L)2786 2565 y Fo(\021)2862 2676 y Fv(dt)536 b FE(\(7.2\))1186 3025 y Ft(+)23 b Fv(V)1366 2982 y Fn(t)1344 3052 y Fr(L)1418 2901 y Fn(W)11 b Fm(\000)p Fr(1)1440 2931 y Fo(X)1447 3143 y Fn(i)p Fr(=0)1605 3025 y Ft([)p Fv(Q)1712 3052 y Fn(i)1745 3025 y Fv(;)17 b(K)7 b Ft(])1910 2982 y Fn(t)1910 3052 y Fr(L)2013 3025 y Fv(dw)2136 3052 y Fn(i)2169 3025 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))1186 3375 y(+)1298 3336 y Fr(1)p 1298 3352 V 1298 3409 a(2)1350 3375 y Fv(V)1430 3332 y Fn(t)1408 3402 y Fr(L)1481 3250 y Fn(W)k Fm(\000)p Fr(1)1503 3280 y Fo(X)1511 3492 y Fn(i)p Fr(=0)1669 3264 y Fo(\020)1729 3294 y(\000)1774 3375 y Ft(\()p Fv(D)1895 3402 y Fr(L)1950 3375 y Fv(Q)2029 3402 y Fn(i)2062 3375 y Ft(\))2101 3332 y Fn(t)2135 3294 y Fo(\001)2181 3315 y Fr(2)2226 3375 y Fv(K)2318 3332 y Fn(t)2375 3375 y Fs(\000)22 b Ft(\()p Fv(D)s(K)7 b Ft(\))2729 3332 y Fn(t)2764 3375 y Ft(\()p Fv(D)s(Q)2967 3402 y Fn(i)3000 3375 y Ft(\))3039 3332 y Fn(t)3074 3375 y Fv(Q)3153 3332 y Fn(t)3153 3402 y(i)1635 3657 y Ft(+)22 b(\()p Fv(D)s(D)1940 3684 y Fr(L)1995 3657 y Fv(Q)2074 3684 y Fn(i)2107 3657 y Ft(\))2146 3614 y Fn(t)2181 3657 y Ft(\()p Fv(Q)2299 3614 y Fn(t)2299 3684 y(i)2333 3657 y Ft(;)17 b Fv(K)2470 3614 y Fn(t)2504 3657 y Ft(\))2543 3546 y Fo(\021)2630 3657 y Fv(:)240 3888 y FE(Note)25 b(ne)o(xt)g(that)h(for)g Fv(i)j(<)h(L)p FE(,)c(both)f Fv(K)33 b FE(and)26 b Fv(Q)1832 3915 y Fn(i)1890 3888 y FE(map)g(to)f Fs(H)2275 3915 y Fr(L)2355 3888 y FE(and)h(therefore)h Fv(D)s(D)3078 3915 y Fr(L)3133 3888 y Fv(Q)3212 3915 y Fn(i)3244 3888 y Ft(\()p Fv(Q)3362 3915 y Fn(i)3395 3888 y Ft(;)17 b Fv(K)7 b Ft(\))28 b(=)240 4008 y Fv(D)325 3965 y Fr(2)322 4035 y(L)376 4008 y Fv(Q)455 4035 y Fn(i)488 4008 y Ft(\()p Fv(Q)606 4035 y Fn(i)639 4008 y Ft(;)17 b Fv(K)7 b Ft(\))33 b FE(when)h Fv(i)44 b(<)h(L)34 b FE(and)g(it)f(is)h Ft(0)f FE(otherwise.)58 b(Similarly)-6 b(,)34 b Ft(\()p Fv(D)s(K)7 b Ft(\)\()p Fv(D)s(Q)3205 4035 y Fn(i)3238 4008 y Ft(\))p Fv(Q)3356 4035 y Fn(i)3422 4008 y FE(equals)240 4127 y Ft(\()p Fv(D)s(K)g Ft(\)\()p Fv(D)616 4154 y Fr(L)670 4127 y Fv(Q)749 4154 y Fn(i)782 4127 y Ft(\))p Fv(Q)900 4154 y Fn(i)957 4127 y FE(when)24 b Fv(i)k(<)g(L)d FE(and)f(v)n (anishes)f(otherwise.)30 b(Thus,)24 b(the)h(last)f(sum)f(in)h(\(7.2\))h (only)240 4247 y(e)o(xtends)f(to)g Fv(L)e Fs(\000)g Ft(1)p FE(.)389 4367 y(In)j(order)g(to)g(simplify)e(\(7.2\))h(further)l(,)h (we)g(de\002ne)h(the)e(v)o(ector)h(\002eld)2774 4341 y Fo(e)2755 4367 y Fv(F)41 b Ft(:)28 b Fs(H)h(!)e(H)f FE(by)1408 4637 y Fo(e)1388 4662 y Fv(F)42 b Ft(=)1618 4637 y Fo(b)1599 4662 y Fv(F)36 b Fs(\000)1810 4623 y Fr(1)p 1810 4640 V 1810 4697 a(2)1879 4538 y Fn(L)p Fm(\000)p Fr(1)1885 4568 y Fo(X)1892 4780 y Fn(i)p Fr(=0)2035 4662 y Ft(\()p Fv(D)2156 4689 y Fr(L)2211 4662 y Fv(Q)2290 4689 y Fn(i)2323 4662 y Ft(\))p Fv(Q)2441 4689 y Fn(i)2501 4662 y Fv(:)240 4950 y FE(Then)24 b(we)h(get)277 5246 y Fv(d)329 5165 y Fo(\000)375 5246 y Fv(V)455 5203 y Fn(t)433 5273 y Fr(L)490 5246 y Fv(K)582 5203 y Fn(t)617 5165 y Fo(\001)690 5246 y Ft(=)k Fv(V)876 5203 y Fn(t)854 5273 y Fr(L)911 5135 y Fo(\020)970 5246 y Ft([)1018 5221 y Fo(e)998 5246 y Fv(F)14 b(;)j(K)7 b Ft(])1241 5203 y Fn(t)1241 5273 y Fr(L)1316 5246 y Ft(+)1428 5207 y Fr(1)p 1428 5223 V 1428 5280 a(2)1496 5121 y Fn(W)k Fm(\000)p Fr(1)1518 5151 y Fo(X)1525 5364 y Fn(i)p Fr(=0)1684 5165 y Fo(\002)1725 5246 y Fv(Q)1804 5273 y Fn(i)1837 5246 y Fv(;)17 b Ft([)p Fv(Q)1989 5273 y Fn(i)2021 5246 y Fv(;)g(K)7 b Ft(])2186 5273 y Fr(L)2239 5165 y Fo(\003)2280 5186 y Fn(t)2280 5286 y Fr(L)2335 5135 y Fo(\021)2411 5246 y Fv(dt)22 b Ft(+)g Fv(V)2701 5203 y Fn(t)2678 5273 y Fr(L)2752 5121 y Fn(W)11 b Fm(\000)p Fr(1)2774 5151 y Fo(X)2781 5364 y Fn(i)p Fr(=0)2940 5246 y Ft([)p Fv(Q)3047 5273 y Fn(i)3079 5246 y Fv(;)17 b(K)7 b Ft(])3244 5203 y Fn(t)3244 5273 y Fr(L)3314 5246 y Fv(dw)3437 5273 y Fn(i)3470 5246 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))27 b Fv(:)240 5534 y FE(This)f(is)h(v)o(ery)h(similar)e(to)h([Nor86,)h(p.)f(128],)h(who)f (uses)g(the)h(con)l(v)o(entional)d(Lie)j(brack)o(et)g(instead)240 5653 y(of)d Ft([)p Fs(\001)p Fv(;)17 b Fs(\001)p Ft(])505 5680 y Fr(L)573 5653 y FE(.)p eop %%Page: 25 25 25 24 bop 242 -75 a FE(T)t Fu(H)t(E)31 b FE(P)l Fu(A)t(R)o(T)t(I)t(A)t (L)j FE(M)t Fu(A)t(L)t(L)t(I)t(A)-7 b(V)t(I)t(N)33 b FE(M)t Fu(A)-5 b(T)t(R)t(I)t(X)1862 b Fx(25)240 273 y(7.2)99 b(In\002nite)26 b(Dimensional)e(Case)240 429 y FE(In)j(this)g(case,)h (some)f(additional)f(care)i(is)f(needed)h(when)f(we)h(transcribe)f (\(7.1\).)38 b(The)28 b(problem)e(is)240 548 y(that)31 b(the)h(stochastic)f(\003o)n(w)h Ft(\010)1279 505 y Fn(t)1346 548 y FE(solv)o(es)f(\(5.4\))h(in)f(the)h(mild)f(sense)h(b)n(ut)f(not)h (in)f(the)h(strong)f(sense.)240 668 y(Ne)n(v)o(ertheless,)22 b(this)g(technical)h(dif)n(\002culty)e(will)i(be)g(circumv)o(ented)f (by)g(choosing)g(the)h(initial)f(con-)240 787 y(dition)27 b(in)h Fs(H)692 745 y Fn(\013)749 787 y FE(.)42 b(W)-8 b(e)29 b(ha)n(v)o(e)g(indeed)f(by)g(Proposition)f(5.1)i(\(A\))g(that)f (if)g(the)h(initial)e(condition)g(is)h(in)240 907 y Fs(H)325 864 y Fn(\015)410 907 y FE(with)33 b Fv(\015)50 b Fs(2)45 b Ft([1)p Fv(;)17 b(\013)p Ft(])p FE(,)35 b(then)e(the)h(solution)e(of) i(\(5.4\))g(is)g(in)g(the)f(same)h(space.)59 b(Thus,)35 b(Proposi-)240 1026 y(tion)24 b(5.1)g(allo)n(ws)g(us)g(to)h(use)f(It)8 b(\210)-41 b(o')-5 b(s)24 b(formula)h(also)f(in)g(the)h(in\002nite)f (dimensional)f(case.)389 1146 y(F)o(or)36 b(an)o(y)g(tw)o(o)g(Banach)h (\(or)f(Hilbert\))g(spaces)g Fd(B)2151 1173 y Fr(1)2196 1146 y FE(,)j Fd(B)2350 1173 y Fr(2)2395 1146 y FE(,)g(we)d(denote)g (by)g Fv(P)14 b Ft(\()p Fd(B)3256 1173 y Fr(1)3301 1146 y Fv(;)j Fd(B)3436 1173 y Fr(2)3480 1146 y Ft(\))36 b FE(the)240 1266 y(set)f(of)h(all)f Fs(C)698 1223 y Fm(1)819 1266 y FE(functions)g Fd(B)1316 1292 y Fr(1)1409 1266 y Fs(!)47 b Fd(B)1646 1292 y Fr(2)1691 1266 y FE(,)39 b(which)c(are)h(polynomially)e(bounded)g(together)i(with)240 1385 y(all)f(their)g(deri)n(v)n(ati)n(v)o(es.)60 b(Let)36 b Fv(K)54 b Fs(2)48 b Fv(P)14 b Ft(\()p Fs(H)q Fv(;)j Fs(H)1862 1412 y Fr(L)1915 1385 y Ft(\))35 b FE(and)h Fv(X)55 b Fs(2)48 b Fv(P)14 b Ft(\()p Fs(H)q Fv(;)j Fs(H)q Ft(\))p FE(.)61 b(W)-8 b(e)36 b(de\002ne)g(as)g(abo)o(v)o(e)240 1505 y Ft([)p Fv(X)r(;)17 b(K)7 b Ft(])518 1532 y Fr(L)598 1505 y Fs(2)28 b Fv(P)14 b Ft(\()p Fs(H)q Fv(;)j Fs(H)1023 1532 y Fr(L)1076 1505 y Ft(\))25 b FE(by)894 1724 y Ft([)p Fv(X)r(;)17 b(K)7 b Ft(])1172 1751 y Fr(L)1225 1724 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))27 b(=)1492 1643 y Fo(\000)1538 1724 y Fv(D)s(K)7 b Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))1850 1643 y Fo(\001)1895 1724 y Fv(X)h Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))21 b Fs(\000)2241 1643 y Fo(\000)2287 1724 y Fv(D)2369 1751 y Fr(L)2424 1724 y Fv(X)2507 1751 y Fr(L)2561 1724 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))2696 1643 y Fo(\001)2741 1724 y Fv(K)7 b Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))26 b Fv(:)240 1943 y FE(Furthermore,)f (we)g(de\002ne)g Ft([)p Fv(A;)17 b(K)7 b Ft(])1465 1970 y Fr(L)1545 1943 y Fs(2)28 b Fv(P)14 b Ft(\()p Fs(D)s Ft(\()p Fv(A)p Ft(\))p Fv(;)j Fs(H)2118 1970 y Fr(L)2170 1943 y Ft(\))25 b FE(by)f(the)h(corresponding)f(formula,)g Fp(i.e)o(.)p FE(,)1133 2162 y Ft([)p Fv(A;)17 b(K)7 b Ft(])1401 2189 y Fr(L)1453 2162 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))27 b(=)1720 2082 y Fo(\000)1766 2162 y Fv(D)s(K)7 b Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))2078 2082 y Fo(\001)2123 2162 y Fv(Ax)22 b Fs(\000)g Fv(A)2451 2189 y Fr(L)2505 2162 y Fv(K)7 b Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))27 b FE(,)240 2381 y(where)34 b Fv(A)43 b Ft(=)i(1)28 b Fs(\000)h Ft(\001)p FE(.)57 b(Notice)34 b(that)f(if)g Fv(K)41 b FE(is)33 b(a)h(constant)e(v)o (ector)i(\002eld,)h Fp(i.e)o(.)p FE(,)g Fv(D)s(K)51 b Ft(=)45 b(0)p FE(,)35 b(then)240 2501 y Ft([)p Fv(A;)17 b(K)7 b Ft(])508 2528 y Fr(L)585 2501 y FE(e)o(xtends)24 b(uniquely)f(to)i(an)g(element)f(of)h Fv(P)14 b Ft(\()p Fs(H)q Fv(;)j Fs(H)2287 2528 y Fr(L)2340 2501 y Ft(\))p FE(.)389 2621 y(W)-8 b(e)24 b(choose)f(again)f(the)h(basis)g Fs(f)p Fv(e)1545 2647 y Fn(i)1578 2621 y Fs(g)1628 2578 y Fm(1)1628 2647 y Fn(i)p Fr(=0)1785 2621 y FE(of)h(F)o(ourier)f(modes) f(in)h Fs(H)i FE(\(see)e(Eq.\(1.5\)\))g(and)g(de\002ne)240 2740 y Fv(dw)363 2767 y Fn(i)396 2740 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))k(=)h Fs(h)p Fv(e)727 2767 y Fn(i)761 2740 y Fv(;)17 b(dW)d Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))p Fs(i)p FE(.)28 b(W)-8 b(e)22 b(also)g(de\002ne)g(the)g(stochastic)f(process)g Fv(K)2743 2697 y Fn(t)2778 2740 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))27 b(=)h(\()p Fv(K)17 b Fs(\016)11 b Ft(\010)3311 2697 y Fn(t)3347 2740 y Ft(\)\()p Fv(\030)5 b Ft(\))20 b FE(and)1409 3034 y Fo(e)1389 3059 y Fv(F)42 b Ft(=)28 b Fv(F)36 b Fs(\000)1812 3019 y Fr(1)p 1812 3036 40 4 v 1812 3093 a(2)1880 2934 y Fn(L)p Fm(\000)p Fr(1)1886 2964 y Fo(X)1894 3176 y Fn(i)p Fr(=0)2037 3059 y Ft(\()p Fv(D)2158 3086 y Fr(L)2212 3059 y Fv(Q)2291 3086 y Fn(i)2324 3059 y Ft(\))p Fv(Q)2442 3086 y Fn(i)2502 3059 y FE(,)240 3371 y(where)25 b Fv(Q)587 3397 y Fn(i)620 3371 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))i(=)h Fv(Q)p Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p Fv(e)1147 3397 y Fn(i)1180 3371 y FE(.)j(Then)24 b(one)h(has)240 3610 y Fx(Pr)n(oposition)f(7.4)50 b Fp(Let)25 b Fv(\030)32 b Fs(2)c(H)1337 3567 y Fr(1)1407 3610 y Fp(and)c Fv(K)34 b Fs(2)29 b Fv(P)14 b Ft(\()p Fs(H)q Fv(;)j Fs(H)2126 3637 y Fr(L)2179 3610 y Ft(\))p Fp(.)30 b(Then)c(the)e(equality)687 3911 y Fv(V)767 3868 y Fn(t)745 3938 y Fr(L)802 3911 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))p Fv(K)1021 3868 y Fn(t)1055 3911 y Ft(\()p Fv(\030)g Ft(\))26 b(=)i Fv(K)7 b Ft(\()p Fv(\030)e Ft(\))21 b(+)1652 3775 y Fo(Z)1752 3800 y Fn(t)1708 4001 y Fr(0)1804 3911 y Fv(V)1884 3868 y Fn(s)1862 3938 y Fr(L)1926 3911 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))2101 3786 y Fm(1)2069 3816 y Fo(X)2076 4028 y Fn(i)p Fr(=0)2213 3911 y Ft([)p Fv(Q)2320 3938 y Fn(i)2352 3911 y Fv(;)17 b(K)7 b Ft(])2517 3868 y Fn(s)2517 3938 y Fr(L)2570 3911 y Ft(\()p Fv(\030)e Ft(\))17 b Fv(dw)2837 3938 y Fn(i)2869 3911 y Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))1402 4232 y(+)1501 4096 y Fo(Z)1601 4121 y Fn(t)1557 4323 y Fr(0)1653 4232 y Fv(V)1733 4189 y Fn(s)1711 4259 y Fr(L)1775 4232 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))1902 4121 y Fo(\020)1961 4232 y Fs(\000)p Ft([)p Fv(A;)17 b(K)7 b Ft(])2306 4189 y Fn(s)2306 4259 y Fr(L)2358 4232 y Ft(\()p Fv(\030)e Ft(\))21 b(+)i([)2653 4207 y Fo(e)2634 4232 y Fv(F)13 b(;)k(K)7 b Ft(])2876 4189 y Fn(s)2876 4259 y Fr(L)2929 4232 y Ft(\()p Fv(\030)e Ft(\))3056 4121 y Fo(\021)3131 4232 y Fv(ds)1402 4527 y Ft(+)1513 4488 y Fr(1)p 1513 4504 V 1513 4561 a(2)1582 4391 y Fo(Z)1681 4416 y Fn(t)1637 4618 y Fr(0)1733 4527 y Fv(V)1813 4484 y Fn(s)1791 4554 y Fr(L)1856 4527 y Ft(\()p Fv(\030)g Ft(\))2030 4402 y Fm(1)1998 4432 y Fo(X)2005 4645 y Fn(i)p Fr(=0)2142 4446 y Fo(\002)2183 4527 y Fv(Q)2262 4554 y Fn(i)2295 4527 y Fv(;)17 b Ft([)p Fv(Q)2447 4554 y Fn(i)2479 4527 y Fv(;)g(K)7 b Ft(])2644 4554 y Fr(L)2697 4446 y Fo(\003)2739 4467 y Fn(s)2739 4567 y Fr(L)2793 4527 y Ft(\()p Fv(\030)e Ft(\))17 b Fv(ds)25 b Fp(,)240 4852 y(holds)41 b(almost)g(sur)l(ely)-5 b(.)82 b(Furthermor)l(e)o(,)46 b(the)c(same)g(equality)f(holds)h(if)f Fv(\030)64 b Fs(2)d(H)3180 4809 y Fr(2)3267 4852 y Fp(and)42 b Fv(K)66 b Fs(2)240 4971 y Fv(P)14 b Ft(\()p Fs(H)442 4929 y Fr(1)486 4971 y Fv(;)j Fs(H)615 4998 y Fr(L)669 4971 y Ft(\))p Fp(.)240 5203 y FE(Note)24 b(that)h(by)f Ft([)p Fv(A;)17 b(K)7 b Ft(])1025 5160 y Fn(s)1025 5229 y Fr(L)1078 5203 y Ft(\()p Fv(\030)e Ft(\))23 b FE(we)i(mean)1610 5092 y Fo(\020)1669 5203 y Fv(D)s(K)1846 5122 y Fo(\000)1892 5203 y Ft(\010)1964 5160 y Fn(s)2007 5203 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))2134 5122 y Fo(\001)2178 5092 y(\021)2237 5122 y(\000)2283 5203 y Fv(A)p Ft(\010)2430 5160 y Fn(s)2472 5203 y Ft(\()p Fv(\030)g Ft(\))2599 5122 y Fo(\001)2666 5203 y Fs(\000)22 b Fv(A)2840 5229 y Fr(L)2894 5203 y Fv(K)2986 5122 y Fo(\000)3032 5203 y Ft(\010)3104 5160 y Fn(s)3146 5203 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))3273 5122 y Fo(\001)3318 5203 y FE(.)240 5425 y Fp(Pr)l(oof)o(.)47 b FE(It)8 b(\210)-41 b(o')-5 b(s)24 b(formula.)3677 5425 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 5425 a eop %%Page: 26 26 26 25 bop 242 -75 a FE(T)t Fu(H)t(E)31 b FE(P)l Fu(A)t(R)o(T)t(I)t(A)t (L)j FE(M)t Fu(A)t(L)t(L)t(I)t(A)-7 b(V)t(I)t(N)33 b FE(M)t Fu(A)-5 b(T)t(R)t(I)t(X)1862 b Fx(26)240 273 y(7.3)99 b(The)26 b(Restricted)g(H)1203 272 y(\250)1195 273 y(ormander)f (Condition)240 429 y FE(The)32 b(condition)g(for)h(ha)n(ving)f (appropriate)g(mixing)f(properties)h(is)h(the)f(follo)n(wing)f(H)8 b(\250)-41 b(ormander)n(-)240 548 y(lik)o(e)24 b(condition.)240 778 y Fx(De\002nition)h(7.5)50 b Fp(Let)28 b Fs(K)35 b Ft(=)e Fs(f)p Fv(K)1378 735 y Fr(\()p Fn(i)p Fr(\))1473 778 y Fs(g)1523 735 y Fn(M)1523 805 y(i)p Fr(=1)1685 778 y Fp(be)28 b(a)g(collection)f(of)g(functions)g(in)g Fv(P)14 b Ft(\()p Fs(H)q Fv(;)j Fs(H)3241 805 y Fr(L)3294 778 y Ft(\))p Fp(.)40 b(W)-9 b(e)28 b(say)240 897 y(that)33 b Fs(K)i Fp(satis\002es)e(the)g FE(restricted)h(H)8 b(\250)-41 b(ormander)34 b(condition)e Fp(if)h(ther)l(e)h(e)n(xist)g(constants)e Fv(\016)n(;)17 b(R)45 b(>)g Ft(0)240 1017 y Fp(suc)o(h)24 b(that)g(for)g(e)o(very)h Fv(h)j Fs(2)g(H)1269 1044 y Fr(L)1348 1017 y Fp(and)d(e)o(very)g Fv(y)31 b Fs(2)d(H)e Fp(one)f(has)1243 1220 y FE(sup)1219 1305 y Fn(K)5 b Fm(2K)1572 1220 y Ft(inf)1455 1308 y Fm(k)p Fn(x)p Fm(\000)p Fn(y)s Fm(k\024)p Fn(R)1810 1220 y Fs(h)p Fv(h;)17 b(K)7 b Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p Fs(i)2217 1177 y Fr(2)2287 1220 y Fs(\025)29 b Fv(\016)t Fs(k)p Fv(h)p Fs(k)2598 1177 y Fr(2)2670 1220 y Fv(:)788 b FE(\(7.3\))389 1516 y(W)-8 b(e)33 b(no)n(w)f(construct)h(the)f(set)h Fs(K)h FE(for)f(our)g (problem.)54 b(W)-8 b(e)33 b(de\002ne)h(the)f(operator)f Ft([)p Fv(X)3366 1474 y Fr(0)3410 1516 y Fv(;)17 b Fs(\001)42 b Ft(])3553 1543 y Fr(L)3649 1516 y Ft(:)240 1636 y Fv(P)14 b Ft(\()p Fs(H)442 1593 y Fn(\015)492 1636 y Fv(;)j Fs(H)621 1663 y Fr(L)675 1636 y Ft(\))28 b Fs(!)f Fv(P)14 b Ft(\()p Fs(H)1071 1593 y Fn(\015)t Fr(+1)1222 1636 y Fv(;)j Fs(H)1351 1663 y Fr(L)1405 1636 y Ft(\))25 b FE(by)240 1938 y Ft([)p Fv(X)359 1896 y Fr(0)402 1938 y Fv(;)17 b(K)7 b Ft(])567 1965 y Fr(L)648 1938 y Ft(=)28 b Fs(\000)p Ft([)p Fv(A;)17 b(K)7 b Ft(])1098 1965 y Fr(L)1168 1938 y Ft(+)18 b([)p Fv(F)s(;)f(K)7 b Ft(])1523 1965 y Fr(L)1592 1938 y Ft(+)1699 1899 y Fr(1)p 1699 1915 40 4 v 1699 1973 a(2)1799 1814 y Fm(1)1767 1844 y Fo(X)1774 2056 y Fn(i)p Fr(=0)1911 1858 y Fo(\002)1952 1938 y Fv(Q)2031 1965 y Fn(i)2064 1938 y Fv(;)17 b Ft([)p Fv(Q)2216 1965 y Fn(i)2248 1938 y Fv(;)g(K)7 b Ft(])2413 1965 y Fr(L)2466 1858 y Fo(\003)2507 1978 y Fr(L)2579 1938 y Fs(\000)2685 1899 y Fr(1)p 2685 1915 V 2685 1973 a(2)2754 1814 y Fn(L)p Fm(\000)p Fr(1)2760 1844 y Fo(X)2767 2056 y Fn(i)p Fr(=0)2910 1858 y Fo(\002)2952 1938 y Ft(\()p Fv(D)3073 1965 y Fr(L)3127 1938 y Fv(Q)3206 1965 y Fn(i)3239 1938 y Ft(\))p Fv(Q)3357 1965 y Fn(i)3390 1938 y Fv(;)17 b(K)3527 1858 y Fo(\003)3567 1978 y Fr(L)3649 1938 y Fv(:)240 2227 y FE(This)26 b(is)g(a)h(well-de\002ned)g (operation)g(since)f Fv(Q)h FE(is)f(Hilbert-Schmidt)g(and)h Fv(D)s(Q)g FE(is)f(\002nite)h(rank)g(and)240 2347 y(we)e(can)g(write) 1014 2398 y Fm(1)982 2428 y Fo(X)990 2640 y Fn(i)p Fr(=0)1126 2442 y Fo(\002)1168 2523 y Fv(Q)1247 2550 y Fn(i)1279 2523 y Fv(;)17 b Ft([)p Fv(Q)1431 2550 y Fn(i)1463 2523 y Fv(;)g(K)7 b Ft(])1628 2550 y Fr(L)1681 2442 y Fo(\003)1723 2563 y Fr(L)1805 2523 y Ft(=)1942 2398 y Fm(1)1910 2428 y Fo(X)1917 2640 y Fn(i)p Fr(=0)2054 2442 y Fo(\000)2099 2523 y Fv(D)2184 2480 y Fr(2)2229 2523 y Fv(K)2321 2442 y Fo(\001)2367 2523 y Ft(\()p Fv(Q)2485 2550 y Fn(i)2517 2523 y Ft(;)17 b Fv(Q)2641 2550 y Fn(i)2674 2523 y Ft(\))22 b(+)g Fv(r)31 b FE(,)240 2778 y(with)24 b Fv(r)j FE(a)f(\002nite)e(sum) g(of)h(bounded)f(terms.)240 3008 y Fx(De\002nition)h(7.6)50 b Fp(W)-9 b(e)25 b(de\002ne)332 3155 y(\226)56 b Fs(K)514 3182 y Fr(0)586 3155 y Ft(=)29 b Fs(f)p Fv(Q)821 3182 y Fn(i)853 3155 y Fv(;)42 b Fp(with)24 b Fv(i)k Ft(=)g(0)p Fv(;)17 b(:)g(:)g(:)d(;)j(L)k Fs(\000)i Ft(1)p Fs(g)p Fp(,)332 3303 y(\226)56 b Fs(K)514 3330 y Fr(1)586 3303 y Ft(=)29 b Fs(f)p Ft([)p Fv(X)861 3260 y Fr(0)904 3303 y Fv(;)17 b(Q)1028 3330 y Fn(i)1060 3303 y Ft(])1088 3330 y Fr(L)1142 3303 y Fv(;)41 b Fp(with)25 b Fv(i)j Ft(=)g Fv(k)1627 3330 y Fm(\003)1673 3303 y Fv(;)17 b(:)g(:)g(:)d(;)j (L)k Fs(\000)i Ft(1)p Fs(g)p Fp(,)332 3451 y(\226)56 b Fs(K)514 3478 y Fn(`)580 3451 y Ft(=)28 b Fs(f)p Ft([)p Fv(Q)842 3478 y Fn(i)875 3451 y Fv(;)17 b(K)7 b Ft(])1040 3478 y Fr(L)1093 3451 y Fv(;)41 b Fp(with)24 b Fv(K)35 b Fs(2)28 b(K)1648 3478 y Fn(`)p Fm(\000)p Fr(1)1813 3451 y Fp(and)c Fv(i)k Ft(=)g Fv(k)2206 3478 y Fm(\003)2252 3451 y Fv(;)17 b(:)g(:)g(:)d(;)j(L)k Fs(\000)i Ft(1)p Fs(g)p Fp(,)i(when)g Fv(`)i(>)h Ft(1)p Fp(.)240 3599 y(F)l(inally)-5 b(,)1516 3719 y Fs(K)29 b Ft(=)f Fs(K)1802 3746 y Fr(0)1869 3719 y Fs([)23 b(\001)17 b(\001)g(\001)j([)j(K)2261 3746 y Fr(3)2333 3719 y Fv(:)2361 3676 y Fq(7)240 3948 y Fx(Remark)i(7.7)50 b FE(Since)29 b(for)g Fv(i)36 b Fs(\025)g Fv(k)1418 3975 y Fm(\003)1493 3948 y FE(the)29 b Fv(Q)1723 3975 y Fn(i)1785 3948 y FE(are)g(constant)f(v)o(ector)h (\002elds,)h(the)f(quantity)e Ft([)p Fv(X)3469 3905 y Fr(0)3513 3948 y Fv(;)17 b(K)7 b Ft(])240 4068 y FE(is)34 b(in)h Fv(P)14 b Ft(\()p Fs(H)q Fv(;)j Fs(H)785 4094 y Fr(L)838 4068 y Ft(\))35 b FE(and)f(not)h(only)f(in)g Fv(P)14 b Ft(\()p Fs(H)1779 4025 y Fr(1)1824 4068 y Fv(;)j Fs(H)1953 4094 y Fr(L)2006 4068 y Ft(\))p FE(.)61 b(Furthermore,)37 b(if)e Fv(K)53 b Fs(2)47 b(K)36 b FE(then)e Fv(D)3441 4025 y Fn(j)3484 4068 y Fv(K)41 b FE(is)240 4187 y(bounded)24 b(for)h(all)f Fv(j)34 b Fs(\025)28 b Ft(0)p FE(.)389 4382 y(W)-8 b(e)25 b(ha)n(v)o(e)240 4611 y Fx(Theor)n(em)h(7.8)50 b Fp(The)40 b(set)f Fs(K)i Fp(constructed)d(abo)o(ve)h(satis\002es)f (the)i(r)l(estricted)e(H)3075 4612 y(\250)3067 4611 y(ormander)h(con-) 240 4730 y(dition)33 b(for)i(the)f(cutof)n(f)51 b(GL)36 b(equation)d(if)i Fv(\045)f Fp(is)h(c)o(hosen)f(suf)n(\002ciently)g (lar)l(g)o(e)o(.)61 b(Furthermor)l(e)o(,)36 b(the)240 4850 y(inequality)23 b(\(7.3\))i(holds)f(for)g Fv(R)k Ft(=)g Fv(\045=)p Ft(2)p Fp(.)i(F)l(inally)-5 b(,)23 b Fv(\016)31 b(>)e(\016)2230 4877 y Fr(0)2302 4850 y Fv(>)f Ft(0)d Fp(for)f(all)g(suf)n(\002ciently)g(lar)l(g)o(e)h Fv(\045)p Fp(.)240 5053 y(Pr)l(oof)o(.)47 b FE(The)32 b(basic)g(idea)g(of)g(the)g(proof)g(is)f(as)h(follo)n(ws:)44 b(The)32 b(leading)f(term)h(of)g Fv(F)46 b FE(is)31 b(the)h(cubic)240 5172 y(term)24 b Fv(u)504 5130 y Fn(m)605 5172 y FE(with)g Fv(m)k Ft(=)g(3)p FE(.)j(Clearly)-6 b(,)24 b(if)h Fv(i)1589 5199 y Fr(1)1634 5172 y FE(,)g Fv(i)1718 5199 y Fr(2)1763 5172 y FE(,)g Fv(i)1847 5199 y Fr(3)1917 5172 y FE(are)g(an)o(y)g(3)f (modes,)g(we)h(\002nd)859 5317 y Fo(\002)901 5397 y Fv(e)947 5424 y Fn(i)975 5434 y Fk(1)1019 5397 y Fv(;)17 b Ft([)p Fv(e)1138 5424 y Fn(i)1166 5434 y Fk(2)1210 5397 y Fv(;)g Ft([)p Fv(u)26 b Fs(7!)i Fv(u)1551 5354 y Fr(3)1595 5397 y Fv(;)17 b(e)1686 5424 y Fn(i)1714 5434 y Fk(3)1758 5397 y Ft(])1786 5424 y Fr(L)1840 5397 y Ft(])1868 5424 y Fr(L)1922 5317 y Fo(\003)1963 5437 y Fr(L)2045 5397 y Ft(=)2325 5303 y Fo(X)2150 5517 y Fn(k)r Fr(=)p Fm(\006)p Fn(i)2345 5527 y Fk(1)2385 5517 y Fm(\006)p Fn(i)2475 5527 y Fk(2)2514 5517 y Fm(\006)p Fn(i)2604 5527 y Fk(3)2660 5397 y Fv(C)2731 5424 y Fn(k)2780 5397 y Ft(\005)2855 5424 y Fr(L)2909 5397 y Fv(e)2955 5424 y Fn(k)3032 5397 y FE(,)429 b(\(7.4\))p 240 5544 1375 4 v 348 5610 a Fg(7)383 5653 y Fu(The)20 b(number)f(3)h(is)g(the)h(po)n(wer)e(3)h(in)f FB(u)1448 5610 y FA(3)1490 5653 y Fu(.)p eop %%Page: 27 27 27 26 bop 242 -75 a FE(T)t Fu(H)t(E)31 b FE(P)l Fu(A)t(R)o(T)t(I)t(A)t (L)j FE(M)t Fu(A)t(L)t(L)t(I)t(A)-7 b(V)t(I)t(N)33 b FE(M)t Fu(A)-5 b(T)t(R)t(I)t(X)1862 b Fx(27)240 273 y FE(where)22 b(the)f Fv(e)694 300 y Fn(`)754 273 y FE(are)h(the)f(basis) g(v)o(ectors)f(of)i Fs(H)g FE(de\002ned)g(in)f(\(1.5\),)h(and)f(the)g Fv(C)2810 300 y Fn(k)2880 273 y FE(are)i Fp(non-zer)l(o)d FE(combi-)240 393 y(natorial)25 b(constants.)34 b(By)26 b(our)g(De\002nition)g(3.2)f(of)i(the)f(set)f Fd(I)19 b FE(,)27 b(the)f(follo)n(wing)e(is)h(true:)33 b(F)o(or)27 b(e)n(v)o(ery)240 512 y(choice)e(of)g(a)g(\002x)o(ed)f Fv(k)k FE(the)d(three)g(numbers)f Fv(i)1777 539 y Fr(1)1822 512 y FE(,)h Fv(i)1906 539 y Fr(2)1951 512 y FE(,)g(and)f Fv(i)2203 539 y Fr(3)2273 512 y FE(of)h Fd(I)2462 539 y Fn(k)2536 512 y FE(satisfy)332 660 y(\226)56 b(F)o(or)25 b Fv(j)33 b Ft(=)c(1)p Fv(;)17 b Ft(2)p Fv(;)g Ft(3)22 b FE(one)j(has)g Fv(i)1403 687 y Fn(j)1473 660 y Fs(2)j(f)p Fv(k)1669 687 y Fm(\003)1714 660 y Fv(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(L)k Fs(\000)h Ft(1)p Fs(g)p FE(.)332 808 y(\226)56 b(If)23 b Fs(j)p Fv(k)s Fs(j)k Fv(<)h(k)822 835 y Fm(\003)890 808 y FE(e)o(xactly)21 b(one)h(of)h(the)e(six)h(sums)f Fs(\006)p Fv(i)2090 835 y Fr(1)2148 808 y Fs(\006)12 b Fv(i)2271 835 y Fr(2)2329 808 y Fs(\006)g Fv(i)2452 835 y Fr(3)2519 808 y FE(lies)22 b(in)g(the)g(set)g Fs(f)p Ft(0)p Fv(;)17 b(:)g(:)g(:)c(;)k(k)3430 835 y Fm(\003)3488 808 y Fs(\000)12 b Ft(1)p Fs(g)438 928 y FE(and)25 b(e)o(xactly)f(one)h (lies)f(in)h Fs(f\000)p Ft(\()p Fv(k)1571 955 y Fm(\003)1638 928 y Fs(\000)e Ft(1\))p Fv(;)17 b(:)g(:)g(:)d(;)j Ft(0)p Fs(g)p FE(.)240 1076 y(In)34 b(particular)l(,)i(the)e(e)o(xpression)f (\(7.4\))i(does)f(not)f(depend)h(on)g Fv(u)p FE(.)59 b(If)35 b(instead)e(of)i Fv(u)3204 1033 y Fr(3)3283 1076 y FE(we)f(tak)o(e)h(a)240 1195 y(lo)n(wer)24 b(po)n(wer)l(,)g(the)h (triple)f(commutator)g(will)f(v)n(anish.)389 1315 y(The)28 b(basic)g(idea)g(has)g(to)f(be)h(slightly)e(modi\002ed)h(because)i(of)f (the)f(cutof)n(f)h Fv(\045)p FE(.)39 b(First)28 b(of)g(all,)g(the)240 1434 y(constant)g Fv(R)i FE(in)f(the)g(de\002nition)f(of)i(the)f(H)8 b(\250)-41 b(ormander)29 b(condition)e(is)i(set)g(to)g Fv(R)36 b Ft(=)h Fv(\045=)p Ft(2)p FE(.)43 b(Consider)240 1554 y(\002rst)27 b(the)h(case)g(where)g Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)37 b(\025)c Ft(5)p Fv(\045=)p Ft(2)p FE(.)38 b(In)27 b(that)g(case)h(we)g(see)g(from)f(\(4.1\))g(that)g(the)h Fv(Q)3241 1581 y Fn(\045;i)3338 1554 y FE(,)h(vie)n(wed)240 1673 y(as)c(v)o(ector)f(\002elds,)h(are)g(of)g(the)g(form)1172 1940 y Fv(Q)1251 1966 y Fn(\045;i)1349 1940 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))44 b(=)1649 1799 y Fo(\032)1774 1879 y Ft(\()p Fv(q)1857 1906 y Fn(i)1912 1879 y Ft(+)23 b(1\))p Fv(e)2147 1906 y Fn(i)2180 1879 y Fv(;)99 b FE(if)25 b Fv(i)j(<)g(k)2612 1906 y Fm(\003)2658 1879 y FE(,)2023 1998 y Fv(q)2067 2025 y Fn(i)2101 1998 y Fv(e)2147 2025 y Fn(i)2180 1998 y Fv(;)99 b FE(if)25 b Fv(i)j Fs(\025)g Fv(k)2612 2025 y Fm(\003)2658 1998 y FE(.)240 2210 y(Since)23 b(these)h(v)o(ectors)e (span)h(a)h(basis)e(of)i Fs(H)1709 2237 y Fr(L)1786 2210 y FE(the)g(inequality)d(\(7.3\))j(follo)n(ws)d(in)i(this)g(case)g (\(already)240 2329 y(by)h(choosing)g(only)g Fv(K)34 b Fs(2)28 b(K)1240 2356 y Fr(0)1285 2329 y FE(\).)389 2449 y(Consider)d(ne)o(xt)f(the)g(more)h(delicate)g(case)g(when)g Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)32 b(\024)c Ft(5)p Fv(\045=)p Ft(2)p FE(.)240 2687 y Fx(Lemma)d(7.9)49 b Fp(F)-10 b(or)24 b(all)g Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)33 b(\024)28 b Ft(3)p Fv(\045)c Fp(one)h(has)f(for)g Fs(f)p Fv(i)2037 2714 y Fr(1)2082 2687 y Fv(;)17 b(i)2161 2714 y Fr(2)2205 2687 y Fv(;)g(i)2284 2714 y Fr(3)2329 2687 y Fs(g)27 b Ft(=)h Fd(I)2592 2714 y Fn(k)2666 2687 y Fp(the)d(identity)708 2845 y Fo(\002)749 2926 y Fv(e)795 2953 y Fn(i)823 2963 y Fk(1)868 2926 y Fv(;)17 b Ft([)p Fv(e)987 2953 y Fn(i)1015 2963 y Fk(2)1058 2926 y Fv(;)g Ft([)p Fv(X)1222 2883 y Fr(0)1265 2926 y Fv(;)g(e)1356 2953 y Fn(i)1384 2963 y Fk(3)1428 2926 y Ft(])1456 2953 y Fr(L)1510 2926 y Ft(])1538 2953 y Fr(L)1592 2845 y Fo(\003)1633 2966 y Fr(L)1687 2926 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))27 b(=)2129 2831 y Fo(X)1955 3046 y Fn(k)r Fr(=)p Fm(\006)p Fn(i)2150 3056 y Fk(1)2189 3046 y Fm(\006)p Fn(i)2279 3056 y Fk(2)2318 3046 y Fm(\006)p Fn(i)2408 3056 y Fk(3)2464 2926 y Fv(C)2535 2953 y Fn(k)2585 2926 y Ft(\005)2660 2953 y Fr(L)2714 2926 y Fv(e)2760 2953 y Fn(k)2831 2926 y Ft(+)c Fv(r)2976 2953 y Fn(\045)3022 2926 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))k Fp(,)277 b FE(\(7.5\))240 3242 y Fp(wher)l(e)25 b Fv(r)549 3269 y Fn(\045)621 3242 y Fp(satis\002es)e(a)i(bound)1565 3380 y Fs(k)p Fv(r)1660 3407 y Fn(\045)1707 3380 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))o Fs(k)49 b(\024)c Fv(C)7 b(\045)2192 3337 y Fm(\000)p Fr(1)2326 3380 y Fp(,)240 3558 y(with)24 b(the)h(constant)e Fv(C)33 b Fp(independent)24 b(of)g Fv(x)h Fp(and)f(of)h Fv(k)30 b(<)e(k)2261 3585 y Fm(\003)2307 3558 y Fp(.)240 3775 y(Pr)l(oof)o(.)47 b FE(In)35 b Ft([)p Fv(X)772 3732 y Fr(0)816 3775 y Fv(;)17 b Fs(\001)p Ft(])917 3802 y Fr(L)1004 3775 y FE(there)35 b(are)g(4)f(terms.)59 b(The)35 b(\002rst,)h Fv(A)p FE(,)h(leads)d(successi)n(v)o(ely)f(to)h Ft([)p Fv(A;)17 b(e)3401 3802 y Fn(i)3429 3812 y Fk(3)3472 3775 y Ft(])3500 3802 y Fr(L)3599 3775 y Ft(=)240 3910 y(\(1)c(+)g Fv(i)466 3867 y Fr(2)466 3937 y(3)511 3910 y Ft(\))p Fv(e)596 3937 y Fn(i)624 3947 y Fk(3)668 3910 y FE(,)23 b(which)f(is)g(constant,)g(and)h(hence)f(the)h(Lie)f(brack)o(et)h(with) e Fv(e)2732 3937 y Fn(i)2760 3947 y Fk(2)2827 3910 y FE(v)n(anishes.)29 b(The)22 b(second)240 4029 y(term)29 b(contains)g(the)g(non-linear)g(interaction)g Fv(F)1910 4056 y Fn(\045)1957 4029 y FE(.)45 b(Since)30 b Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)42 b(\024)37 b Ft(3)p Fv(\045)29 b FE(one)g(has)h Fv(F)3108 4056 y Fn(\045)3155 4029 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))36 b(=)h Fv(F)14 b Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p FE(.)240 4149 y(Thus,)30 b(\(7.4\))f(yields)g(the)g(leading)g(term)g(of)h(\(7.5\).)45 b(The)29 b(tw)o(o)h(remaining)e(terms)h(will)g(contrib)n(ute)240 4269 y(to)24 b Fv(r)387 4295 y Fn(\045)433 4269 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p FE(.)31 b(W)-8 b(e)25 b(just)f(discuss)f(the)i(\002rst)g (one.)31 b(W)-8 b(e)25 b(ha)n(v)o(e,)f(using)g(\(4.1\),)619 4567 y Ft([)p Fv(Q)726 4594 y Fn(\045;i)824 4567 y Fv(;)17 b(e)915 4594 y Fn(i)943 4604 y Fk(3)986 4567 y Ft(])1014 4594 y Fr(L)1068 4567 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))27 b(=)i Fs(\000)p Fv(D)s(Q)1577 4594 y Fn(\045;i)1675 4567 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p Fv(e)1856 4594 y Fn(i)1884 4604 y Fk(3)1972 4567 y Ft(=)45 b Fs(\000)2184 4500 y Ft(1)p 2183 4544 52 4 v 2183 4635 a Fv(\045)2247 4567 y(\037)2309 4524 y Fm(0)2337 4567 y Ft(\()p Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)5 b Fv(=\045)p Ft(\))2691 4491 y Fs(h)p Fv(x;)17 b(e)2878 4518 y Fn(i)2906 4528 y Fk(3)2948 4491 y Fs(i)p 2691 4544 298 4 v 2758 4635 a(k)p Fv(x)p Fs(k)2999 4567 y Ft(\005)3074 4594 y Fn(k)3116 4604 y Fi(\003)3163 4567 y Fv(e)3209 4594 y Fn(i)3270 4567 y Fv(:)240 4858 y FE(This)29 b(gi)n(v)o(es)g(clearly)h(a)h(bound)e(of)i(order)f Fv(\045)1745 4815 y Fm(\000)p Fr(1)1882 4858 y FE(for)g(this)g(Lie)g(brack)o(et,)i (and)e(the)g(further)g(ones)g(are)240 4977 y(handled)24 b(in)g(the)h(same)g(w)o(ay)-6 b(.)3677 4977 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 4977 a 389 5195 a FE(W)e(e)25 b(continue)e(the)i(proof)f(of)g(Theorem)g (7.8.)30 b(When)25 b Fv(k)30 b(<)f(k)2472 5221 y Fm(\003)2517 5195 y FE(,)c(we)f(consider)g(the)g(elements)g(of)240 5314 y Fs(K)316 5341 y Fr(3)360 5314 y FE(.)31 b(The)o(y)24 b(are)i(of)f(the)f(form)326 5483 y Fo(\002)367 5563 y Fv(Q)446 5590 y Fn(\045;i)539 5600 y Fk(1)583 5563 y Fv(;)17 b Ft([)p Fv(Q)735 5590 y Fn(\045;i)828 5600 y Fk(2)871 5563 y Fv(;)g Ft([)p Fv(X)1035 5520 y Fr(0)1078 5563 y Fv(;)g(Q)1202 5590 y Fn(\045;i)1295 5600 y Fk(3)1338 5563 y Ft(])1366 5590 y Fr(L)1420 5563 y Ft(])1448 5590 y Fr(L)1502 5483 y Fo(\003)1543 5603 y Fr(L)1598 5563 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))27 b(=)h Fv(q)1909 5590 y Fn(i)1937 5600 y Fk(1)1981 5563 y Fv(q)2025 5590 y Fn(i)2053 5600 y Fk(2)2098 5563 y Fv(q)2142 5590 y Fn(i)2170 5600 y Fk(3)2214 5453 y Fo(\020)2449 5469 y(X)2274 5683 y Fn(k)r Fr(=)p Fm(\006)p Fn(i)2469 5693 y Fk(1)2509 5683 y Fm(\006)p Fn(i)2599 5693 y Fk(2)2638 5683 y Fm(\006)p Fn(i)2728 5693 y Fk(3)2784 5563 y Fv(C)2855 5590 y Fn(k)2904 5563 y Ft(\005)2979 5590 y Fr(L)3033 5563 y Fv(e)3079 5590 y Fn(k)3151 5563 y Ft(+)22 b Fv(r)3295 5590 y Fn(\045)3341 5563 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))3476 5453 y Fo(\021)3563 5563 y Fv(:)p eop %%Page: 28 28 28 27 bop 242 -75 a FE(T)t Fu(H)t(E)31 b FE(P)l Fu(A)t(R)o(T)t(I)t(A)t (L)j FE(M)t Fu(A)t(L)t(L)t(I)t(A)-7 b(V)t(I)t(N)33 b FE(M)t Fu(A)-5 b(T)t(R)t(I)t(X)1862 b Fx(28)240 273 y FE(Thus,)23 b(for)g Fv(\045)28 b Ft(=)g Fs(1)23 b FE(these)g(v)o (ectors)g(together)g(with)g(the)g Fv(Q)2248 300 y Fn(i)2304 273 y FE(with)g Fv(i)28 b Fs(2)g(f)p Fv(k)2763 300 y Fm(\003)2808 273 y Fv(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(L)f Fs(\000)h Ft(1)p Fs(g)23 b FE(span)g Fs(H)3622 300 y Fr(L)240 393 y FE(\(independently)30 b(of)i Fv(y)j FE(with)c Fs(k)p Fv(y)t Fs(k)44 b(\024)d Ft(3)p Fv(\045)p FE(\))31 b(and)h(therefore)g (\(7.4\))g(holds)e(in)h(this)g(case,)j(if)d Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)40 b(\024)240 512 y Ft(5)p Fv(\045=)p Ft(2)20 b FE(and)i Fv(R)28 b Ft(=)g Fv(\045=)p Ft(2)p FE(.)h(The)22 b(assertion)e(for)i(\002nite,)g(b)n(ut)f(lar)n(ge)h(enough)f Fv(\045)g FE(follo)n(ws)f(immediately)g(by)240 632 y(a)27 b(perturbation)f(ar)n(gument.)37 b(This)27 b(completes)f(the)h(case)g (of)h Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)j(\024)h Ft(5)p Fv(\045=)p Ft(2)27 b FE(and)g(hence)g(the)g(proof)240 752 y(of)e(Theorem)f(7.8.)3677 752 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 752 a 240 971 a Fp(Pr)l(oof)f(of)i(Theor)l(em)g(7.3.)49 b FE(The)27 b(proof)g(is)g(v)o(ery)f(similar)g(to)h(the)g(one)g(in)f ([Nor86],)i(b)n(ut)e(we)i(ha)n(v)o(e)e(to)240 1090 y(k)o(eep)33 b(track)g(of)g(the)g Fv(x;)17 b(t)p FE(-dependence)33 b(of)g(the)g(estimates.)54 b(First)33 b(of)g(all,)i(choose)e Fv(x)43 b Fs(2)g(H)3455 1047 y Fr(2)3533 1090 y FE(and)240 1210 y Fv(t)27 b Fs(2)h Ft(\(0)p Fv(;)17 b(t)567 1237 y Fr(0)611 1210 y Ft(])p FE(.)389 1329 y(From)25 b(no)n(w)f(on,)g(we)h (will)e(use)i(the)f(notation)g Fs(O)s Ft(\()p Fv(\027)6 b Ft(\))25 b FE(as)f(a)h(shortcut)f(for)h Fv(C)7 b Ft(\(1)21 b(+)h Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)3296 1287 y Fn(\027)3296 1356 y Fr(2)3345 1329 y Ft(\))p FE(,)i(where)240 1449 y(the)30 b(constant)f Fv(C)37 b FE(may)30 b(depend)g(on)f Fv(t)1547 1476 y Fr(0)1622 1449 y FE(and)h Fv(p)p FE(,)h(b)n(ut)f(is)f (independent)g(of)i Fv(x)f FE(and)g Fv(t)p FE(.)46 b(Denote)30 b(by)f Fv(R)240 1568 y FE(the)24 b(constant)g(found)h(in)f(Theorem)h (7.8)f(and)h(de\002ne)g(the)g(subset)f Fs(B)2560 1595 y Fn(x)2635 1568 y FE(of)h Fs(H)2828 1526 y Fr(2)2898 1568 y FE(by)502 1788 y Fs(B)567 1815 y Fn(x)645 1788 y Ft(=)750 1707 y Fo(\010)808 1788 y Fv(y)31 b Fs(2)d(H)1067 1745 y Fr(2)1167 1788 y Ft(:)55 b Fs(k)p Fv(y)26 b Fs(\000)c Fv(x)p Fs(k)28 b(\024)g Fv(R)75 b FE(and)g Fs(k)p Fv(y)t Fs(k)2237 1815 y Fn(\015)2315 1788 y Fs(\024)28 b(k)p Fv(x)p Fs(k)2577 1815 y Fn(\015)2650 1788 y Ft(+)22 b(1)28 b FE(for)d Fv(\015)33 b Ft(=)28 b(1)p Fv(;)17 b Ft(2)3302 1707 y Fo(\011)3387 1788 y Fv(:)240 2007 y FE(W)-8 b(e)26 b(also)g(denote)g(by)g Fs(B)s Ft(\()p Fv(I)8 b Ft(\))25 b FE(a)i(ball)e(of)i(\(small\))e(radius)h Fs(O)s Ft(\(1)p Fv(=L)p Ft(\))f FE(centered)i(at)f(the)g(identity)e(in)i(the)240 2126 y(space)j(of)g(all)g Fv(L)c Fs(\002)h Fv(L)j FE(matrices.)43 b(\(Recall)30 b(that)e Fv(L)h FE(is)g(the)g(dimension)e(of)i Fs(H)2909 2153 y Fr(L)2964 2126 y FE(,)h(and)f(that)f Fv(K)43 b Fs(2)35 b(K)240 2246 y FE(maps)24 b(to)g Fs(H)661 2273 y Fr(L)716 2246 y FE(.\))31 b(W)-8 b(e)25 b(then)f(ha)n(v)o(e)h(a) g(bound)f(of)h(the)g(type)1173 2547 y(sup)1146 2633 y Fn(y)s Fm(2B)1296 2643 y Fj(x)1408 2547 y FE(sup)1384 2633 y Fn(K)5 b Fm(2K)1619 2422 y(1)1587 2452 y Fo(X)1594 2664 y Fn(i)p Fr(=0)1730 2462 y Fo(\015)1730 2522 y(\015)1786 2547 y Ft([)p Fv(Q)1893 2574 y Fn(i)1925 2547 y Fv(;)17 b(K)7 b Ft(])2090 2574 y Fr(L)2143 2547 y Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))2274 2462 y Fo(\015)2274 2522 y(\015)2329 2487 y Fr(2)2401 2547 y Fs(\024)28 b(O)s Ft(\(0\))f Fv(:)715 b FE(\(7.6\))389 2859 y(This)20 b(is)h(a)g(consequence)g(of)g(the)g(f)o (act)g(that)g Fv(QQ)2015 2816 y Fm(\003)2081 2859 y FE(is)g(trace)h (class)e(and)h(thus)f(the)h(sum)f(con)l(v)o(er)n(ges)240 2979 y(and)k(its)h(principal)f(term)g(is)g(equal)h(to)928 3203 y(T)m(r)1019 3122 y Fo(\000)1064 3203 y Fv(Q)1143 3160 y Fm(\003)1189 3203 y Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))1335 3122 y Fo(\000)1381 3203 y Fv(D)s(K)1558 3122 y Fo(\001)1604 3142 y Fm(\003)1649 3203 y Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))1797 3122 y Fo(\000)1842 3203 y Fv(D)s(K)2019 3122 y Fo(\001)2064 3203 y Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))17 b Fv(Q)p Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))2422 3122 y Fo(\001)1363 3370 y Ft(=)28 b FE(T)m(r)1559 3289 y Fo(\000)o(\000)1650 3370 y Fv(D)s(K)1827 3289 y Fo(\001)1873 3370 y Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))p Fv(Q)p Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))17 b Fv(Q)2310 3327 y Fm(\003)2352 3370 y Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))2500 3289 y Fo(\000)2545 3370 y Fv(D)s(K)2722 3289 y Fo(\001)2767 3310 y Fm(\003)2813 3370 y Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))2944 3289 y Fo(\001)1363 3627 y Ft(=)1468 3502 y Fn(L)p Fm(\000)p Fr(1)1474 3532 y Fo(X)1482 3744 y Fn(i)p Fr(=0)1641 3627 y Fs(k)p Fv(Q)1770 3584 y Fm(\003)1816 3627 y Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))1964 3546 y Fo(\000)2008 3627 y Fv(D)s(K)2185 3546 y Fo(\001)2231 3567 y Fm(\003)2276 3627 y Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))p Fv(e)2453 3654 y Fn(i)2486 3627 y Fs(k)2536 3584 y Fr(2)2608 3627 y Fs(\024)28 b Fv(C)2784 3654 y Fn(\045)2858 3627 y Fv(:)240 3932 y FE(The)h(last)f(inequality)g(follo)n(ws)g(from)h(Remark)g(7.7.) 44 b(The)29 b(other)g(terms)f(form)h(a)g(\002nite)h(sum)e(con-)240 4051 y(taining)23 b(deri)n(v)n(ati)n(v)o(es)f(of)j(the)g Fv(Q)1328 4078 y Fn(i)1386 4051 y FE(and)g(are)g(bounded)f(in)h(a)g (similar)e(w)o(ay)-6 b(.)389 4171 y(W)e(e)25 b(ha)n(v)o(e)g (furthermore)g(bounds)e(of)i(the)g(type)1454 4407 y(sup)1426 4493 y Fn(y)s Fm(2B)1576 4503 y Fj(x)1688 4407 y FE(sup)1664 4493 y Fn(K)5 b Fm(2K)1878 4322 y Fo(\015)1878 4382 y(\015)1933 4407 y Ft([)p Fv(X)2052 4364 y Fr(0)2096 4407 y Fv(;)17 b(K)7 b Ft(])2261 4434 y Fr(L)2314 4407 y Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))2445 4322 y Fo(\015)2445 4382 y(\015)2499 4347 y Fr(2)2572 4407 y Fs(\024)28 b(O)s Ft(\()p Fv(\027)6 b Ft(\))28 b FE(,)1137 4661 y(sup)1109 4747 y Fn(y)s Fm(2B)1259 4757 y Fj(x)1371 4661 y FE(sup)1347 4747 y Fn(K)5 b Fm(2K)1561 4576 y Fo(\015)1561 4636 y(\015)1617 4580 y(\002)1658 4661 y Fv(X)1749 4618 y Fr(0)1793 4661 y Fv(;)17 b Ft([)p Fv(X)1957 4618 y Fr(0)2000 4661 y Fv(;)g(K)7 b Ft(])2165 4688 y Fr(L)2218 4580 y Fo(\003)2260 4701 y Fr(L)2314 4661 y Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))2445 4576 y Fo(\015)2445 4636 y(\015)2499 4601 y Fr(2)2572 4661 y Fs(\024)28 b(O)s Ft(\()p Fv(\027)6 b Ft(\))28 b FE(,)1000 4975 y(sup)972 5061 y Fn(y)s Fm(2B)1122 5071 y Fj(x)1234 4975 y FE(sup)1210 5061 y Fn(K)5 b Fm(2K)1473 4850 y(1)1441 4880 y Fo(X)1448 5092 y Fn(i)p Fr(=0)1585 4890 y Fo(\015)1585 4950 y(\015)1640 4894 y(\002)1681 4975 y Fv(Q)1760 5002 y Fn(i)1793 4975 y Fv(;)17 b Ft([)p Fv(X)1957 4932 y Fr(0)2000 4975 y Fv(;)g(K)7 b Ft(])2165 5002 y Fr(L)2218 4894 y Fo(\003)2260 5015 y Fr(L)2314 4975 y Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))2445 4890 y Fo(\015)2445 4950 y(\015)2499 4915 y Fr(2)2572 4975 y Fs(\024)28 b(O)s Ft(\()p Fv(\027)6 b Ft(\))28 b FE(,)3486 4727 y(\(7.7\))240 5280 y(where)d Fv(\027)34 b Ft(=)28 b(1)p FE(.)389 5399 y(Let)e Fs(S)608 5426 y Fr(L)689 5399 y FE(be)g(the)g(unit)g(sphere)g(in)g Fs(H)1613 5426 y Fr(L)1667 5399 y FE(.)35 b(By)26 b(the)g(assumptions)e (on)i Fs(K)i FE(and)e(the)g(choice)g(of)g Fs(B)s Ft(\()p Fv(I)8 b Ft(\))240 5519 y FE(we)25 b(see)g(that:)p eop %%Page: 29 29 29 28 bop 242 -75 a FE(T)t Fu(H)t(E)31 b FE(P)l Fu(A)t(R)o(T)t(I)t(A)t (L)j FE(M)t Fu(A)t(L)t(L)t(I)t(A)-7 b(V)t(I)t(N)33 b FE(M)t Fu(A)-5 b(T)t(R)t(I)t(X)1862 b Fx(29)243 273 y FE(\(A\))57 b Fp(F)-10 b(or)25 b(e)o(very)h Fv(h)900 300 y Fr(0)974 273 y Fs(2)k(S)1130 300 y Fr(L)1184 273 y Fp(,)c(ther)l(e)g(e)n(xist)f(a)h Fv(K)36 b Fs(2)29 b(K)e Fp(and)f(a)f(neighborhood)f Fs(N)40 b Fp(of)25 b Fv(h)3181 300 y Fr(0)3252 273 y Fp(in)g Fs(S)3415 300 y Fr(L)3496 273 y Fp(suc)o(h)438 393 y(that)1359 540 y FE(inf)1318 605 y Fn(y)s Fm(2B)1468 615 y Fj(x)1610 540 y FE(inf)1528 609 y Fn(V)17 b Fm(2B)r Fr(\()p Fn(I)5 b Fr(\))1852 540 y FE(inf)1820 605 y Fn(h)p Fm(2N)1996 540 y Fs(h)17 b Fv(V)k(K)7 b Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))p Fv(;)17 b(h)p Fs(i)2495 497 y Fr(2)2566 540 y Fs(\025)2684 473 y Fv(\016)p 2683 517 50 4 v 2683 609 a Ft(2)2772 540 y Fp(,)438 765 y(with)25 b Fv(\016)k Fp(the)24 b(constant)g(appearing)f (in)i(\(7.3\).)240 913 y FE(Ne)o(xt,)f(we)h(de\002ne)g(a)g(stopping)e (time)h Fv(\034)36 b FE(by)25 b Fv(\034)38 b Ft(=)28 b FE(min)o Fs(f)p Fv(t;)17 b(\034)2252 940 y Fr(1)2296 913 y Fv(;)g(\034)2385 940 y Fr(2)2428 913 y Fs(g)25 b FE(with)930 1115 y Fv(\034)974 1142 y Fr(1)1046 1115 y Ft(=)k FE(inf)1262 1034 y Fo(\010)1320 1115 y Fv(s)f Fs(\025)g Ft(0)55 b(:)g(\010)1760 1072 y Fn(s)1803 1115 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))27 b Fs(62)h(B)2124 1142 y Fn(x)2174 1034 y Fo(\011)2260 1115 y FE(,)930 1274 y Fv(\034)974 1301 y Fr(2)1046 1274 y Ft(=)h FE(inf)1262 1194 y Fo(\010)1320 1274 y Fv(s)f Fs(\025)g Ft(0)55 b(:)g Fv(V)1768 1231 y Fn(s)1746 1301 y Fr(L)1811 1274 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))27 b Fs(62)h(B)s Ft(\()p Fv(I)8 b Ft(\))2265 1194 y Fo(\011)2350 1274 y FE(,)983 1424 y Fv(t)27 b(<)i(T)38 b FE(as)25 b(chosen)g(in)f(the)h(statement)f(of)h(Theorem)f(7.3)j Fv(:)240 1626 y FE(It)d(follo)n(ws)f(easily)h(from)g(Proposition)f(5.1) h(\(E\))h(that)f(the)g(probability)f(of)i Fv(\034)2840 1652 y Fr(1)2908 1626 y FE(being)f(small)g(\(mean-)240 1745 y(ing)g(that)g(in)h(the)f(sequel)h(we)g(will)f(al)o(w)o(ays)g (assume)h Fv(")j Fs(\024)g Ft(1)p FE(\))d(can)g(be)g(bounded)f(by)1270 1947 y Fx(P)p Ft(\()p Fv(\034)1414 1974 y Fr(1)1485 1947 y Fv(<)29 b(")p Ft(\))e Fs(\024)i Fv(C)1880 1974 y Fn(p)1926 1947 y Ft(\(1)22 b(+)g Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)2293 1974 y Fr(2)2337 1947 y Ft(\))2376 1904 y Fr(16)p Fn(p)2502 1947 y Fv(")2548 1904 y Fn(p)2622 1947 y FE(,)240 2149 y(with)i Fv(C)513 2176 y Fn(p)584 2149 y FE(independent)g(of)h Fv(x)p FE(.)30 b(Similarly)-6 b(,)24 b(using)f(Lemma)i(6.3,)f(we)h(see) g(that)1556 2351 y Fx(P)p Ft(\()p Fv(\034)1700 2378 y Fr(2)1772 2351 y Fv(<)j(")p Ft(\))g Fs(\024)g Fv(C)2166 2378 y Fn(p)2212 2351 y Fv(")2258 2308 y Fn(p)2333 2351 y Fv(:)240 2569 y FE(Observing)g(that)h Fx(P)p Ft(\()p Fv(t)35 b(<)h(")p Ft(\))g Fv(<)g(t)1417 2527 y Fm(\000)p Fn(p)1525 2569 y Fv(")1571 2527 y Fn(p)1647 2569 y FE(and)29 b(combining)f(this)g(with)g(the)h(tw)o(o)g(estimates,)g(we)g(get)240 2689 y(for)c(e)n(v)o(ery)f Fv(p)k Fs(\025)g Ft(1)p FE(:)1398 2809 y Fx(P)1459 2728 y Fo(\000)1505 2809 y Fv(\034)38 b(<)28 b(")1738 2728 y Fo(\001)1812 2809 y Fs(\024)g(O)s Ft(\(16)p Fv(p)p Ft(\))p Fv(t)2263 2766 y Fm(\000)p Fn(p)2371 2809 y Fv(")2417 2766 y Fn(p)2491 2809 y Fv(:)240 2978 y FE(From)d(this)e(and)i(\(A\))g(we)g(deduce)249 3125 y(\(B\))57 b Fp(for)27 b(e)o(very)h Fv(h)881 3152 y Fr(0)960 3125 y Fs(2)33 b(S)1119 3152 y Fr(L)1202 3125 y Fp(ther)l(e)28 b(e)n(xist)f(a)h Fv(K)40 b Fs(2)33 b(K)c Fp(and)f(a)f(neighborhood)f Fs(N)43 b Fp(of)27 b Fv(h)3175 3152 y Fr(0)3248 3125 y Fp(in)g Fs(S)3413 3152 y Fr(L)3496 3125 y Fp(suc)o(h)438 3245 y(that)d(for)g Fv(")k(<)h Ft(1)p Fp(,)579 3502 y FE(sup)560 3589 y Fn(h)p Fm(2N)753 3502 y Fx(P)814 3362 y Fo(\022)887 3367 y(Z)986 3391 y Fn(\034)942 3593 y Fr(0)1036 3422 y Fo(\012)1083 3502 y Fv(V)1164 3459 y Fn(s)1141 3529 y Fr(L)1206 3502 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p Fv(K)1433 3459 y Fn(s)1475 3502 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p Fv(;)17 b(h)1712 3422 y Fo(\013)1758 3442 y Fr(2)1819 3502 y Fv(ds)28 b Fs(\024)g Fv(")2097 3362 y Fo(\023)2198 3502 y Fs(\024)g Fx(P)p Ft(\()p Fv(\034)38 b(<)29 b Ft(2)p Fv("=\016)t Ft(\))e Fs(\024)h(O)s Ft(\(16)p Fv(p)p Ft(\))p Fv(t)3302 3459 y Fm(\000)p Fn(p)3410 3502 y Fv(")3456 3459 y Fn(p)3530 3502 y Fp(,)438 3766 y(with)d Fv(\016)k Fp(the)24 b(constant)g(appearing)f(in)i(\(7.3\).)240 3913 y FE(F)o(ollo)n(wing)d([Nor86],)j(we)g(will)f(sho)n(w)g(belo)n(w)g (that)g(\(B\))i(implies:)249 4061 y(\(C\))57 b Fp(for)24 b(e)o(very)g Fv(h)874 4088 y Fr(0)947 4061 y Fs(2)k(S)1101 4088 y Fr(L)1180 4061 y Fp(ther)l(e)c(e)n(xist)g(an)g Fv(i)k Fs(2)g(f)p Fv(k)1992 4088 y Fm(\003)2038 4061 y Fv(;)17 b(:)g(:)g(:)d(;)j(L)i Fs(\000)h Ft(1)p Fs(g)p Fp(,)k(a)g(neighborhood)e Fs(N)39 b Fp(of)24 b Fv(h)3530 4088 y Fr(0)3599 4061 y Fp(in)438 4181 y Fs(S)498 4208 y Fr(L)578 4181 y Fp(and)g(constants)f Fv(\027)q(;)17 b(\026)27 b(>)h Ft(0)d Fp(suc)o(h)f(that)g(for)g Fv(")k(<)h Ft(1)24 b Fp(and)h Fv(p)i(>)i Ft(1)24 b Fp(one)h(has)908 4445 y FE(sup)889 4531 y Fn(h)p Fm(2N)1082 4445 y Fx(P)1143 4304 y Fo(\022)1216 4309 y(Z)1316 4334 y Fn(\034)1272 4535 y Fr(0)1366 4364 y Fo(\012)1413 4445 y Fv(V)1493 4402 y Fn(s)1471 4471 y Fr(L)1536 4445 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p Fv(Q)1750 4402 y Fn(s)1750 4471 y(i)1791 4445 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p Fv(;)17 b(h)2028 4364 y Fo(\013)2074 4385 y Fr(2)2136 4445 y Fv(ds)27 b Fs(\024)h Fv(")2413 4304 y Fo(\023)2515 4445 y Fs(\024)g(O)s Ft(\()p Fv(\027)6 b(p)p Ft(\))p Fv(t)2921 4402 y Fm(\000)p Fn(\026p)3078 4445 y Fv(")3124 4402 y Fn(p)3198 4445 y Fv(:)240 4742 y Fx(Remark)25 b(7.10)49 b FE(Note)29 b(that)e(for)i(small)e Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)5 b FE(,)29 b Fv(Q)1921 4769 y Fn(i)1954 4742 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))34 b(=)g Fv(Q)2313 4769 y Fn(i;\045)2411 4742 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))28 b FE(may)g(be)h(0)f(when) g Fv(i)35 b(<)g(k)3452 4769 y Fm(\003)3497 4742 y FE(,)30 b(b)n(ut)240 4861 y(the)24 b(point)g(is)g(that)h(then)f(we)h(can)h (\002nd)e(another)h Fv(i)g FE(for)g(which)g(the)f(inequality)g(holds.) 240 5055 y(By)29 b(a)h(straightforw)o(ard)e(ar)n(gument,)i(gi)n(v)o(en) e(in)g(detail)h(in)g([Nor86,)h(p.)f(127],)h(one)f(concludes)f(that)240 5175 y(\(C\))d(implies)f(Theorem)g(7.3.)389 5294 y(It)34 b(thus)g(only)f(remains)h(to)g(sho)n(w)f(that)h(\(B\))h(implies)e (\(C\).)i(W)-8 b(e)35 b(follo)n(w)e(closely)g(Norris)h(and)240 5414 y(choose)24 b(a)h Fv(K)34 b Fs(2)28 b(K)e FE(such)e(that)g(\(B\))i (holds.)j(If)c Fv(K)32 b FE(happens)24 b(to)g(be)g(in)g Fs(K)2692 5441 y Fr(0)2762 5414 y FE(then)g(it)g(is)g(equal)g(to)g(a)h Fv(Q)3619 5441 y Fn(i)3652 5414 y FE(,)240 5534 y(and)h(thus)f(we)i (already)f(ha)n(v)o(e)g(\(C\).)h(Otherwise,)f(assume)g Fv(K)37 b Fs(2)30 b(K)2534 5560 y Fn(j)2602 5534 y FE(with)c Fv(j)36 b Fs(\025)30 b Ft(1)p FE(.)35 b(Then)26 b(we)h(use)f(a)240 5653 y(Martingale)d(inequality)-6 b(.)p eop %%Page: 30 30 30 29 bop 242 -75 a FE(T)t Fu(H)t(E)31 b FE(P)l Fu(A)t(R)o(T)t(I)t(A)t (L)j FE(M)t Fu(A)t(L)t(L)t(I)t(A)-7 b(V)t(I)t(N)33 b FE(M)t Fu(A)-5 b(T)t(R)t(I)t(X)1862 b Fx(30)240 273 y(Lemma)25 b(7.11)49 b Fp(Let)25 b Fs(H)h Fp(be)f(a)g(separ)o(able)e(Hilbert)h (space)h(and)f Fv(W)14 b Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))24 b Fp(be)h(the)g (cylindrical)f(W)-5 b(iener)240 393 y(pr)l(ocess)30 b(on)h Fs(H)q Fp(.)50 b(Let)31 b Fv(\014)1081 350 y Fn(t)1148 393 y Fp(be)g(a)g(r)l(eal-valued)g(pr)l(edictable)g(pr)l(ocess)f(and)g Fv(\015)2892 350 y Fn(t)2926 393 y Fp(,)j Fv(\020)3035 350 y Fn(t)3101 393 y Fp(be)f(pr)l(edictable)240 512 y Fs(H)q Fp(-valued)25 b(pr)l(ocesses.)k(De\002ne)1146 796 y Fv(a)1199 754 y Fn(t)1261 796 y Ft(=)f Fv(a)1419 754 y Fr(0)1486 796 y Ft(+)1586 661 y Fo(Z)1685 685 y Fn(t)1641 887 y Fr(0)1737 796 y Fv(\014)1798 754 y Fn(s)1858 796 y Fv(ds)21 b Ft(+)2078 661 y Fo(Z)2178 685 y Fn(t)2133 887 y Fr(0)2213 796 y Fs(h)p Fv(\015)2310 754 y Fn(s)2351 796 y Fv(;)c(dW)d Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))p Fs(i)26 b Fp(,)1156 1081 y Fv(b)1199 1038 y Fn(t)1261 1081 y Ft(=)i Fv(b)1409 1038 y Fr(0)1476 1081 y Ft(+)1576 945 y Fo(Z)1675 970 y Fn(t)1631 1172 y Fr(0)1727 1081 y Fv(a)1780 1038 y Fn(s)1839 1081 y Fv(ds)22 b Ft(+)2059 945 y Fo(Z)2159 970 y Fn(t)2114 1172 y Fr(0)2194 1081 y Fs(h)p Fv(\020)2284 1038 y Fn(s)2326 1081 y Fv(;)17 b(dW)d Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))p Fs(i)26 b Fv(:)240 1349 y Fp(Suppose)i Fv(\034)46 b Fs(\024)36 b Fv(t)840 1376 y Fr(0)914 1349 y Fp(is)28 b(a)h(bounded)f(stopping)g(time)g(suc)o(h)g(that)g(for)h(some)g (constant)e Fv(C)3244 1376 y Fr(0)3325 1349 y Fv(<)35 b Fs(1)29 b Fp(we)240 1469 y(have)1236 1589 y FE(sup)1182 1672 y Fr(0)p Fn()g Ft(1)p Fp(,)d(ther)l(e)g(e)n(xists)f(a)h(constant)e Fv(C)2130 1852 y Fn(p;t)2225 1862 y Fk(0)2294 1825 y Fp(suc)o(h)h(that)314 2116 y Fx(P)375 2005 y Fo(\020)435 1980 y(Z)534 2005 y Fn(\034)490 2207 y Fr(0)584 2116 y Ft(\()p Fv(b)666 2073 y Fn(s)708 2116 y Ft(\))747 2073 y Fr(2)808 2116 y Fv(ds)j(<)i(")1086 2073 y Fr(20)1270 2116 y FE(and)1530 1980 y Fo(Z)1630 2005 y Fn(\034)1586 2207 y Fr(0)1680 2035 y Fo(\000)1725 2116 y Fs(j)p Fv(a)1806 2073 y Fn(s)1848 2116 y Fs(j)1876 2073 y Fr(2)1943 2116 y Ft(+)22 b Fs(k)p Fv(\020)2143 2073 y Fn(s)2186 2116 y Fs(k)2236 2073 y Fr(2)2280 2035 y Fo(\001)2342 2116 y Fv(ds)28 b Fs(\025)g Fv(")2620 2005 y Fo(\021)2707 2116 y Fs(\024)h Fv(C)2884 2143 y Fn(p;t)2979 2153 y Fk(0)3039 2116 y Ft(\(1)22 b(+)g Fv(C)3327 2073 y Fr(6)3320 2143 y(0)3372 2116 y Ft(\))3411 2073 y Fn(p)3457 2116 y Fv(")3503 2073 y Fn(p)3577 2116 y Fp(,)240 2384 y(for)i(e)o(very)h Fv(")j Fs(\024)g Ft(1)p Fp(.)240 2604 y(Pr)l(oof)o(.)47 b FE(The)23 b(proof)f(is)g(gi)n(v)o(en)e(in)i([Nor86],)h(b)n(ut)f (without)f(the)h(e)o(xplicit)e(dependence)j(on)f Fv(C)3372 2631 y Fr(0)3417 2604 y FE(.)30 b(If)23 b(we)240 2723 y(follo)n(w)g(his)h(proof)h(carefully)g(we)g(get)g(an)g(estimate)f(of)h (the)f(type)240 2995 y Fx(P)301 2885 y Fo(\020)360 2860 y(Z)460 2884 y Fn(\034)415 3086 y Fr(0)510 2995 y Ft(\()p Fv(b)592 2953 y Fn(s)634 2995 y Ft(\))673 2953 y Fr(2)734 2995 y Fv(ds)j(<)h(")1011 2953 y Fr(10)1124 2995 y FE(and)1312 2860 y Fo(Z)1411 2884 y Fn(\034)1367 3086 y Fr(0)1461 2915 y Fo(\000)1507 2995 y Fs(j)p Fv(a)1588 2953 y Fn(s)1630 2995 y Fs(j)1658 2953 y Fr(2)1720 2995 y Ft(+)18 b Fs(k)p Fv(\020)1916 2953 y Fn(s)1958 2995 y Fs(k)2008 2953 y Fr(2)2052 2915 y Fo(\001)2115 2995 y Fv(ds)27 b Fs(\025)h Ft(\(1)17 b(+)h Fv(C)2625 2953 y Fr(3)2618 3022 y(0)2670 2995 y Ft(\))p Fv(")2755 2885 y Fo(\021)2843 2995 y Fs(\024)28 b Fv(C)3019 3022 y Fr(1)3080 2995 y Ft(\(1)17 b(+)h Fv(C)3359 2953 y Fr(12)3352 3022 y(0)3444 2995 y Ft(\))3483 2953 y Fn(p)3529 2995 y Fv(")3575 2953 y Fn(p)3649 2995 y Fv(:)240 3284 y FE(Replacing)27 b Fv(")h FE(by)f Fv(")918 3241 y Fr(2)990 3284 y FE(and)g(making)g(the)g(assumption)e Fv(")33 b(<)f Ft(1)p Fv(=)p Ft(\(1)23 b(+)i Fv(C)2698 3241 y Fr(3)2691 3310 y(0)2743 3284 y Ft(\))p FE(,)i(we)h(reco)o(v)o (er)f(our)g(state-)240 3403 y(ment.)59 b(The)34 b(statement)f(is)h(tri) n(vial)f(for)i Fv(")46 b(>)g Ft(1)p Fv(=)p Ft(\(1)28 b(+)i Fv(C)2268 3360 y Fr(3)2261 3430 y(0)2313 3403 y Ft(\))p FE(,)36 b(since)f(an)o(y)e(probability)g(is)h(al)o(w)o(ays)240 3523 y(smaller)24 b(than)g Ft(1)p FE(.)3677 3523 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 3523 a 240 3742 a FE(W)-8 b(e)25 b(apply)f(this)g(inequality)f(as)i (follo)n(ws:)k(De\002ne,)d(for)f Fv(K)2238 3769 y Fr(0)2310 3742 y Fs(2)j(K)q FE(,)1176 3961 y Fv(a)1229 3918 y Fn(t)1264 3961 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))f(=)1531 3880 y Fo(\012)1578 3961 y Fv(V)1659 3918 y Fn(t)1636 3988 y Fr(L)1694 3880 y Fo(\000)1739 3961 y Ft([)p Fv(X)1858 3918 y Fr(0)1902 3961 y Fv(;)17 b(K)2032 3988 y Fr(0)2076 3961 y Ft(])2104 3918 y Fn(t)2104 3988 y Fr(L)2157 3880 y Fo(\001)2203 3961 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p Fv(;)g(h)2440 3880 y Fo(\013)2514 3961 y FE(,)1186 4121 y Fv(b)1229 4079 y Fn(t)1264 4121 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))27 b(=)1531 4041 y Fo(\012)1578 4121 y Fv(V)1659 4079 y Fn(t)1636 4148 y Fr(L)1694 4121 y Fv(K)1786 4079 y Fn(t)1779 4148 y Fr(0)1823 4121 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p Fv(;)17 b(h)2060 4041 y Fo(\013)2134 4121 y FE(,)1167 4299 y Fv(\014)1228 4256 y Fn(t)1264 4299 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))27 b(=)1531 4218 y Fo(\012)1578 4299 y Fv(V)1659 4256 y Fn(t)1636 4326 y Fr(L)1694 4218 y Fo(\000)o(\002)1781 4299 y Fv(X)1872 4256 y Fr(0)1916 4299 y Fv(;)17 b Ft([)p Fv(X)2080 4256 y Fr(0)2123 4299 y Fv(;)g(K)2253 4326 y Fr(0)2296 4299 y Ft(])2324 4326 y Fr(L)2378 4218 y Fo(\003)2420 4239 y Fn(t)2420 4339 y Fr(L)2474 4218 y Fo(\001)2520 4299 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p Fv(;)g(h)2757 4218 y Fo(\013)2831 4299 y FE(,)1061 4482 y Ft(\()p Fv(\015)1158 4439 y Fn(t)1192 4482 y Ft(\))1231 4439 y Fn(i)1264 4482 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))27 b(=)1531 4401 y Fo(\012)1578 4482 y Fv(V)1659 4439 y Fn(t)1636 4509 y Fr(L)1694 4401 y Fo(\000)o(\002)1781 4482 y Fv(Q)1860 4509 y Fn(i)1893 4482 y Fv(;)17 b Ft([)p Fv(X)2057 4439 y Fr(0)2100 4482 y Fv(;)g(K)2230 4509 y Fr(0)2273 4482 y Ft(])2301 4509 y Fr(L)2355 4401 y Fo(\003)2397 4422 y Fn(t)2397 4522 y Fr(L)2451 4401 y Fo(\001)2497 4482 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p Fv(;)g(h)2734 4401 y Fo(\013)2807 4482 y FE(,)1067 4650 y Ft(\()p Fv(\020)1157 4608 y Fn(t)1192 4650 y Ft(\))1231 4608 y Fn(i)1264 4650 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))27 b(=)1531 4570 y Fo(\012)1578 4650 y Fv(V)1659 4608 y Fn(t)1636 4677 y Fr(L)1694 4570 y Fo(\000)1739 4650 y Ft([)p Fv(Q)1846 4677 y Fn(i)1879 4650 y Fv(;)17 b(K)2009 4677 y Fr(0)2052 4650 y Ft(])2080 4608 y Fn(t)2080 4677 y Fr(L)2134 4570 y Fo(\001)2180 4650 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p Fv(;)g(h)2417 4570 y Fo(\013)2491 4650 y Fv(:)240 4884 y FE(In)32 b(this)g(e)o(xpression,)h Fv(\020)1067 4841 y Fn(t)1102 4884 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))42 b Fs(2)g(H)q FE(,)35 b Ft(\()p Fv(\020)1622 4841 y Fn(t)1656 4884 y Ft(\))1695 4841 y Fn(i)1728 4884 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))42 b(=)g Fs(h)p Fv(\020)2114 4841 y Fn(t)2149 4884 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p Fv(;)17 b(e)2375 4911 y Fn(i)2407 4884 y Fs(i)33 b FE(and)f(similarly)f(for)i(the)g Fv(\015)3404 4841 y Fn(t)3438 4884 y FE(.)54 b(It)32 b(is)240 5003 y(clear)g(by)g(Proposition)e(7.4,)k(Eq.\(7.6\),)f(and)f(Eq.\(7.7\))f (that)h(the)f(assumptions)f(of)i(Lemma)f(7.11)240 5123 y(are)25 b(satis\002ed)g(with)f Fv(C)1011 5150 y Fr(0)1083 5123 y Ft(=)29 b Fs(O)s Ft(\()p Fv(\027)6 b Ft(\))25 b FE(for)g(some)f Fv(\027)34 b(>)28 b Ft(0)p FE(.)389 5243 y(W)-8 b(e)27 b(continue)g(the)f(proof)h(that)g(\(B\))g(implies)f (\(C\))i(in)e(the)h(case)g(when)g Fv(K)38 b Fs(2)32 b(K)3116 5269 y Fn(j)3158 5243 y FE(,)c(with)e Fv(j)37 b Ft(=)32 b(1)p FE(.)240 5362 y(Then,)c(by)g(the)g(construction)f(of)h Fs(K)1484 5389 y Fn(j)1554 5362 y FE(with)f Fv(j)39 b Fs(\025)c Ft(1)p FE(,)28 b(there)h(is)e(a)i Fv(K)2534 5389 y Fr(0)2612 5362 y Fs(2)34 b(K)2788 5389 y Fn(j)t Fm(\000)p Fr(1)2960 5362 y FE(such)27 b(that)h(we)g(ha)n(v)o(e)240 5500 y(either)34 b Fv(K)51 b Ft(=)46 b([)p Fv(Q)867 5527 y Fn(i)900 5500 y Fv(;)17 b(K)1030 5527 y Fr(0)1073 5500 y Ft(])1101 5527 y Fr(L)1189 5500 y FE(for)35 b(some)e Fv(i)45 b Fs(2)h(f)p Fv(k)1877 5527 y Fm(\003)1922 5500 y Fv(;)17 b(:)g(:)g(:)d(;)j(L)28 b Fs(\000)i Ft(1)p Fs(g)p FE(,)36 b(or)e Fv(K)52 b Ft(=)45 b([)p Fv(X)3003 5457 y Fr(0)3047 5500 y Fv(;)17 b(K)3177 5527 y Fr(0)3221 5500 y Ft(])3249 5527 y Fr(L)3303 5500 y FE(.)58 b(In)35 b(f)o(act,)p eop %%Page: 31 31 31 30 bop 242 -75 a FE(T)t Fu(H)t(E)31 b FE(P)l Fu(A)t(R)o(T)t(I)t(A)t (L)j FE(M)t Fu(A)t(L)t(L)t(I)t(A)-7 b(V)t(I)t(N)33 b FE(M)t Fu(A)-5 b(T)t(R)t(I)t(X)1862 b Fx(31)240 273 y FE(for)31 b Fv(j)46 b Ft(=)41 b(1)31 b FE(only)g(the)g(second)g(case)h (occurs)g(and)f Fv(K)2098 300 y Fr(0)2183 273 y Ft(=)40 b Fv(Q)2379 300 y Fn(i)2444 273 y FE(for)31 b(some)g Fv(i)p FE(,)j(b)n(ut)d(we)g(are)i(already)240 393 y(preparing)24 b(an)h(inducti)n(v)o(e)e(step.)30 b(Applying)24 b(Lemma)g(7.11,)g(we)h (ha)n(v)o(e)g(for)g(e)n(v)o(ery)f Fv(")k Fs(\024)g Ft(1)p FE(:)603 662 y Fx(P)664 522 y Fo(\022)753 527 y(Z)853 551 y Fn(\034)809 753 y Fr(0)903 582 y Fo(\012)950 662 y Fv(V)1030 619 y Fn(s)1008 689 y Fr(L)1073 662 y Fv(K)1165 619 y Fn(s)1158 689 y Fr(0)1207 662 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p Fv(;)17 b(h)1444 582 y Fo(\013)1490 602 y Fr(2)1552 662 y Fv(ds)27 b(<)h(")100 b FE(and)2189 527 y Fo(Z)2289 551 y Fn(\034)2244 753 y Fr(0)2338 552 y Fo(\020)2398 582 y(\012)2445 662 y Fv(V)2525 619 y Fn(s)2503 689 y Fr(L)2568 662 y Ft([)p Fv(X)2687 619 y Fr(0)2731 662 y Fv(;)17 b(K)2861 689 y Fr(0)2904 662 y Ft(])2932 619 y Fn(s)2932 689 y Fr(L)2986 662 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p Fv(;)g(h)3223 582 y Fo(\013)3269 602 y Fr(2)759 961 y Ft(+)891 837 y Fm(1)859 867 y Fo(X)866 1079 y Fn(i)p Fr(=0)1003 881 y Fo(\012)1050 961 y Fv(V)1130 918 y Fn(s)1108 988 y Fr(L)1172 961 y Ft([)p Fv(Q)1279 988 y Fn(i)1312 961 y Fv(;)g(K)1442 988 y Fr(0)1486 961 y Ft(])1514 918 y Fn(s)1514 988 y Fr(L)1568 961 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p Fv(;)g(h)1805 881 y Fo(\013)1851 901 y Fr(2)1895 851 y Fo(\021)1971 961 y Fv(ds)28 b Fs(\025)g Fv(")2249 918 y Fr(1)p Fn(=)p Fr(20)2414 821 y Fo(\023)2515 961 y Fs(\024)g(O)s Ft(\(6)p Fv(\027)6 b(p)p Ft(\))p Fv(")2981 918 y Fn(p=)p Fr(20)3176 961 y Fv(:)240 1297 y FE(Since)31 b(the)f(second)g(inte)o (gral)f(abo)o(v)o(e)g(is)h(al)o(w)o(ays)g(lar)n(ger)h(than)2414 1217 y Fo(R)2481 1241 y Fn(\034)2462 1333 y Fr(0)2531 1216 y Fo(\012)2578 1297 y Fv(V)2658 1254 y Fn(t)2636 1324 y Fr(L)2693 1297 y Fv(K)2785 1254 y Fn(t)2820 1297 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p Fv(;)17 b(h)3057 1216 y Fo(\013)3103 1237 y Fr(2)3164 1297 y Fv(dt)p FE(,)32 b(the)e(prob-)240 1438 y(ability)i(for)j(it)e(to)h(be)g(smaller)f(than)h Fv(")1587 1395 y Fr(1)p Fn(=)p Fr(20)1786 1438 y FE(is,)i(by)e(\(B\),)g (bounded)f(by)h Fs(O)s Ft(\(16)p Fv(p)p Ft(\))p Fv(t)3096 1395 y Fm(\000)p Fn(p)3204 1438 y Fv(")3250 1395 y Fn(p=)p Fr(20)3416 1438 y FE(.)59 b(This)240 1557 y(implies)23 b(\(replacing)i Fv(\027)31 b FE(by)25 b(max)o Fs(f)p Ft(6)p Fv(\027)q(;)17 b Ft(16)p Fs(g)p FE(\))24 b(that)925 1826 y Fx(P)986 1716 y Fo(\020)1046 1691 y(Z)1145 1715 y Fn(\034)1101 1917 y Fr(0)1195 1746 y Fo(\012)1242 1826 y Fv(V)1322 1784 y Fn(s)1300 1853 y Fr(L)1365 1826 y Fv(K)1457 1784 y Fn(s)1450 1853 y Fr(0)1499 1826 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))p Fv(;)17 b(h)1736 1746 y Fo(\013)1782 1766 y Fr(2)1844 1826 y Fv(ds)27 b(<)h(")2121 1716 y Fo(\021)2209 1826 y Fs(\024)g(O)s Ft(\()p Fv(\027)6 b(p)p Ft(\))p Fv(t)2615 1784 y Fm(\000)p Fn(p)2723 1826 y Fv(")2769 1784 y Fn(p=)p Fr(20)2964 1826 y Fv(:)240 2095 y FE(Since)29 b(for)h Fv(j)42 b Ft(=)36 b(1)29 b FE(we)h(ha)n(v)o(e)f Fv(K)1356 2122 y Fr(0)1436 2095 y Ft(=)37 b Fv(Q)1629 2122 y Fn(i)1691 2095 y FE(with)29 b Fv(i)36 b Fs(2)g(f)p Fv(k)2172 2122 y Fm(\003)2218 2095 y Fv(;)17 b(:)g(:)g(:)d(;)j(L)25 b Fs(\000)g Ft(1)p Fs(g)p FE(,)31 b(we)e(ha)n(v)o(e)g(sho)n(wn)f(\(C\)) i(in)240 2215 y(this)25 b(case.)35 b(The)26 b(abo)o(v)o(e)f(reasoning)g (is)h(repeated)g(for)h Fv(j)35 b Ft(=)c(2)26 b FE(and)g Fv(j)36 b Ft(=)30 b(3)p FE(,)c(by)g(iterating)f(the)h(abo)o(v)o(e)240 2334 y(ar)n(gument.)55 b(F)o(or)34 b(e)o(xample,)g(if)g Fv(K)50 b Ft(=)44 b([)p Fv(Q)1720 2361 y Fn(i)1748 2371 y Fk(1)1791 2334 y Fv(;)17 b Ft([)p Fv(X)1955 2291 y Fr(0)1998 2334 y Fv(;)g(Q)2122 2361 y Fn(i)2150 2371 y Fk(2)2193 2334 y Ft(])2221 2361 y Fr(L)2275 2334 y Ft(])2303 2361 y Fr(L)2390 2334 y FE(,with)33 b Fv(i)2660 2361 y Fr(1)2705 2334 y Fv(;)17 b(i)2784 2361 y Fr(2)2871 2334 y Fs(2)44 b(f)p Fv(k)3083 2361 y Fm(\003)3129 2334 y Fv(;)17 b(:)g(:)g(:)d(;)j(L)27 b Fs(\000)i Ft(1)p Fs(g)p FE(,)240 2469 y(we)24 b(apply)f(Lemma)g(7.11)g(twice,)g(sho)n(wing)f (the)i(\002rst)g(time)e(that)i Fs(h)p Ft([)p Fv(X)2631 2426 y Fr(0)2674 2469 y Fv(;)17 b(Q)2798 2496 y Fn(i)2826 2506 y Fk(2)2869 2469 y Ft(])2897 2496 y Fr(L)2951 2469 y Fv(;)g(h)p Fs(i)3092 2426 y Fr(2)3160 2469 y FE(is)23 b(unlik)o(ely)f(to)240 2604 y(be)27 b(small)f(and)h(then)f(again)g(to)h (sho)n(w)f(that)g Fs(h)p Fv(Q)1849 2630 y Fn(i)1877 2640 y Fk(2)1921 2604 y Fv(;)17 b(h)p Fs(i)2062 2561 y Fr(2)2133 2604 y FE(is)26 b(also)h(unlik)o(ely)e(to)i(be)g(small)f(\(with)g (other)240 2723 y(po)n(wers)g(of)i Fv(")p FE(\),)h(which)d(is)h(what)h (we)f(w)o(anted.)38 b(Finally)-6 b(,)27 b(since)g(e)n(v)o(ery)g Fv(K)34 b FE(used)27 b(in)g(\(B\))i(is)e(in)g Fs(K)q FE(,)h(at)240 2843 y(most)g(3)i(such)g(in)l(v)n(ocations)e(of)i(Lemma)f (7.11)g(will)g(be)h(suf)n(\002cient)f(to)h(conclude)f(that)g(\(C\))i (holds.)240 2962 y(The)25 b(proof)f(of)h(Theorem)g(7.3)f(is)g (complete.)3677 2962 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 2962 a 240 3175 a Fx(7.4)99 b(Estimates)25 b(on)g(the)h(Lo)o(w-Fr)n(equency)h(Deri)o(v)o(ati)o(v)o (es)d(\(Pr)n(oof)h(of)g(Pr)n(oposition)g(5.3\))240 3331 y FE(Ha)n(ving)c(pro)o(v)o(en)f(the)i(crucial)g(bound)f(Theorem)g(7.1)h (on)f(the)h(reduced)g(Mallia)n(vin)e(matrix,)i(we)g(can)240 3450 y(no)n(w)29 b(proceed)i(to)f(pro)o(v)o(e)g(Proposition)f(5.3,)i Fp(i.e)o(.)p FE(,)g(the)g(smoothing)d(properties)i(of)h(the)f(dynamics) 240 3570 y(in)24 b(the)h(lo)n(w-frequenc)o(y)f(part.)30 b(F)o(or)25 b(con)l(v)o(enience,)f(we)h(restate)g(it)g(here.)240 3805 y Fx(Pr)n(oposition)f(7.12)50 b Fp(Ther)l(e)35 b(e)n(xist)g(a)g (time)f Fv(T)1822 3762 y Fm(\003)1915 3805 y Fv(>)47 b Ft(0)34 b Fp(and)h(e)n(xponents)f Fv(\026;)17 b(\027)53 b(>)47 b Ft(0)34 b Fp(suc)o(h)h(that)f(for)240 3925 y(e)o(very)25 b Fv(')j Fs(2)g(C)724 3882 y Fr(2)718 3951 y Fn(b)769 3925 y Ft(\()p Fs(H)q Ft(\))p Fp(,)c(e)o(very)h Fv(\030)32 b Fs(2)c(H)1475 3882 y Fn(\013)1532 3925 y Fp(,)d(and)f(e)o(very)h Fv(t)j Fs(\024)g Fv(T)2236 3882 y Fm(\003)2282 3925 y Fp(,)d(one)g(has)678 4055 y Fo(\015)678 4115 y(\015)678 4174 y(\015)734 4169 y Fx(E)800 4059 y Fo(\020)860 4089 y(\000)905 4169 y Fv(D)987 4196 y Fr(L)1042 4169 y Fv(')d Fs(\016)g Ft(\010)1273 4126 y Fn(t)1308 4089 y Fo(\001)1354 4169 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\)\()p Fv(D)1602 4196 y Fr(L)1655 4169 y Ft(\010)1727 4126 y Fn(t)1727 4196 y Fr(L)1781 4169 y Ft(\)\()p Fv(\030)g Ft(\))1947 4059 y Fo(\021)2005 4055 y(\015)2005 4115 y(\015)2005 4174 y(\015)2088 4169 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b(t)2307 4126 y Fm(\000)p Fn(\026)2423 4089 y Fo(\000)2469 4169 y Ft(1)22 b(+)h Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)2790 4126 y Fn(\027)2790 4196 y(\013)2845 4089 y Fo(\001)2891 4169 y Fs(k)p Fv(')p Fs(k)3056 4196 y Fr(L)3105 4176 y Fi(1)3210 4169 y Fv(:)248 b FE(\(7.8\))240 4406 y Fp(Pr)l(oof)o(.)47 b FE(The)37 b(proof)f(will)g(use)h(the)f(inte)o(gration)f(by)h(parts)g(formula)g (\(6.4\))h(together)f(with)g(The-)240 4525 y(orem)g(7.1.)65 b(Fix)36 b Fv(\030)53 b Fs(2)c(H)1162 4482 y Fn(\013)1256 4525 y FE(and)36 b Fv(t)49 b(>)g Ft(0)p FE(.)65 b(In)36 b(this)g(proof,)j(we)d(omit)f(the)h(ar)n(gument)g Fv(\030)41 b FE(to)36 b(gain)240 4645 y(le)o(gibility)-6 b(,)29 b(b)n(ut)h(it)g(will)g(be)h(understood)e(that)i(the)f(formulas)g(do)h (generally)f(only)g(hold)g(if)h(e)n(v)n(alu-)240 4764 y(ated)24 b(at)f(some)h Fv(\030)32 b Fs(2)c(H)1015 4721 y Fn(\013)1072 4764 y FE(.)i(W)-8 b(e)24 b(e)o(xtend)f(our)h(phase)g (space)g(to)f(include)h Fv(D)2723 4791 y Fr(L)2777 4764 y Ft(\010)2849 4721 y Fn(t)2884 4764 y FE(,)g Fv(V)3014 4721 y Fn(t)2991 4791 y Fr(L)3073 4764 y FE(and)f Fd(D)3317 4791 y Fn(v)3365 4764 y Ft(\010)3437 4721 y Fn(t)3437 4791 y Fr(L)3491 4764 y FE(.)31 b(W)-8 b(e)240 4884 y(de\002ne)25 b(a)g(ne)n(w)g(stochastic)e(process)i Ft(\011)1584 4841 y Fn(t)1645 4884 y FE(by)660 5097 y Ft(\011)737 5054 y Fn(t)800 5097 y Ft(=)906 5016 y Fo(\000)951 5097 y Ft(\010)1023 5054 y Fn(t)1058 5097 y Fv(;)17 b Fd(D)1180 5124 y Fn(v)1227 5097 y Ft(\010)1299 5054 y Fn(t)1299 5124 y Fr(L)1353 5097 y Fv(;)g(D)1480 5124 y Fr(L)1534 5097 y Ft(\010)1606 5054 y Fn(t)1641 5097 y Fv(;)g(V)1766 5054 y Fn(t)1744 5124 y Fr(L)1801 5016 y Fo(\001)1874 5097 y Fs(2)1994 5072 y Fo(e)1968 5097 y Fs(H)29 b Ft(=)f Fs(H)23 b(\010)g Fx(R)2465 5054 y Fn(L)p Fm(\001)p Fn(L)2625 5097 y Fs(\010)g(H)2810 5054 y Fn(L)2892 5097 y Fs(\010)f Fx(R)3063 5054 y Fn(L)p Fm(\001)p Fn(L)3229 5097 y Fv(:)240 5321 y FE(Applying)41 b(the)i(de\002nitions)f(of)i(these)f(processes,)k (we)c(see)h(that)f Ft(\011)2717 5278 y Fn(t)2795 5321 y FE(is)g(de\002ned)h(by)f(the)g(au-)240 5440 y(tonomous)23 b(SDE)i(gi)n(v)o(en)e(by)697 5653 y Fv(d)p Ft(\010)821 5610 y Fn(t)884 5653 y Ft(=)28 b Fs(\000)p Fv(A)p Ft(\010)1213 5610 y Fn(t)1265 5653 y Fv(dt)22 b Ft(+)g Fv(F)14 b Ft(\(\010)1663 5610 y Fn(t)1698 5653 y Ft(\))j Fv(dt)k Ft(+)i Fv(Q)p Ft(\(\010)2153 5610 y Fn(t)2187 5653 y Ft(\))17 b Fv(dW)d Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))27 b FE(,)p eop %%Page: 32 32 32 31 bop 242 -75 a FE(T)t Fu(H)t(E)31 b FE(P)l Fu(A)t(R)o(T)t(I)t(A)t (L)j FE(M)t Fu(A)t(L)t(L)t(I)t(A)-7 b(V)t(I)t(N)33 b FE(M)t Fu(A)-5 b(T)t(R)t(I)t(X)1862 b Fx(32)560 273 y Fv(dD)694 300 y Fr(L)749 273 y Ft(\010)821 230 y Fn(t)884 273 y Ft(=)28 b Fs(\000)p Fv(AD)1223 300 y Fr(L)1278 273 y Ft(\010)1350 230 y Fn(t)1401 273 y Fv(dt)22 b Ft(+)h Fv(D)s(F)14 b Ft(\(\010)1885 230 y Fn(t)1920 273 y Ft(\))p Fv(D)2041 300 y Fr(L)2095 273 y Ft(\010)2167 230 y Fn(t)2219 273 y Fv(dt)22 b Ft(+)h Fv(D)s(Q)p Ft(\(\010)2704 230 y Fn(t)2738 273 y Ft(\))p Fv(D)2859 300 y Fr(L)2914 273 y Ft(\010)2986 230 y Fn(t)3037 273 y Fv(dW)14 b Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))27 b FE(,)689 423 y Fv(dV)821 380 y Fn(t)799 450 y Fr(L)884 423 y Ft(=)h Fv(V)1069 380 y Fn(t)1047 450 y Fr(L)1104 423 y Fv(A)1179 450 y Fr(L)1250 423 y Fv(dt)22 b Fs(\000)g Fv(V)1539 380 y Fn(t)1517 450 y Fr(L)1591 423 y Fv(D)1673 450 y Fr(L)1728 423 y Fv(F)1792 450 y Fr(L)1846 423 y Ft(\(\010)1957 380 y Fn(t)1992 423 y Ft(\))17 b Fv(dt)k Fs(\000)i Fv(V)2337 380 y Fn(t)2315 450 y Fr(L)2372 423 y Fv(D)2454 450 y Fr(L)2509 423 y Fv(Q)2588 450 y Fr(L)2642 423 y Ft(\(\010)2753 380 y Fn(t)2788 423 y Ft(\))17 b Fv(dW)2990 450 y Fr(L)3043 423 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))1077 672 y(+)23 b Fv(V)1257 629 y Fn(t)1235 699 y Fr(L)1309 547 y Fn(L)p Fm(\000)p Fr(1)1315 577 y Fo(X)1323 789 y Fn(i)p Fr(=0)1465 591 y Fo(\000)1511 672 y Fv(D)1593 699 y Fr(L)1648 672 y Fv(Q)1727 629 y Fn(i)1727 699 y Fr(L)1781 672 y Ft(\(\010)1892 629 y Fn(t)1927 672 y Ft(\))1966 591 y Fo(\001)2011 612 y Fr(2)2072 672 y Fv(dt)28 b FE(,)553 927 y Fv(d)p Fd(D)682 954 y Fn(v)730 927 y Ft(\010)802 884 y Fn(t)802 954 y Fr(L)884 927 y Ft(=)g Fs(\000)p Fv(A)1141 954 y Fr(L)1195 927 y Fd(D)1272 954 y Fn(v)1320 927 y Ft(\010)1392 884 y Fn(t)1392 954 y Fr(L)1462 927 y Fv(dt)22 b Ft(+)h Fv(D)1754 954 y Fr(L)1809 927 y Fv(F)1873 954 y Fr(L)1927 927 y Ft(\(\010)2038 884 y Fn(t)2073 927 y Ft(\))p Fd(D)2189 954 y Fn(v)2236 927 y Ft(\010)2308 884 y Fn(t)2308 954 y Fr(L)2379 927 y Fv(dt)f Ft(+)g Fv(Q)2667 954 y Fr(L)2721 927 y Ft(\(\010)2832 884 y Fn(t)2867 927 y Ft(\))2906 884 y Fr(2)2951 927 y Ft(\()p Fv(V)3070 884 y Fn(t)3048 954 y Fr(L)3105 927 y Ft(\))3144 884 y Fm(\003)3206 927 y Fv(dt)1077 1076 y Ft(+)h Fv(D)1259 1103 y Fr(L)1314 1076 y Fv(Q)1393 1103 y Fr(L)1447 1076 y Ft(\(\010)1558 1033 y Fn(t)1592 1076 y Ft(\))17 b Fd(D)1725 1103 y Fn(v)1772 1076 y Ft(\010)1844 1033 y Fn(t)1844 1103 y Fr(L)1915 1076 y Fv(dW)2061 1103 y Fr(L)2115 1076 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))27 b Fv(:)240 1295 y FE(This)d(e)o(xpression)f(will)h(be)h (written)f(in)h(the)f(short)h(form)1011 1515 y Fv(d)p Ft(\011)1140 1472 y Fn(t)1204 1515 y Ft(=)j Fs(\000)1410 1489 y Fo(e)1386 1515 y Fv(A)p Ft(\011)1538 1472 y Fn(t)1590 1515 y Fv(dt)22 b Ft(+)1819 1489 y Fo(e)1800 1515 y Fv(F)14 b Ft(\(\011)1994 1472 y Fn(t)2029 1515 y Ft(\))j Fv(dt)k Ft(+)2314 1489 y Fo(e)2294 1515 y Fv(Q)p Ft(\(\011)2489 1472 y Fn(t)2524 1515 y Ft(\))c Fv(dW)d Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))26 b FE(,)240 1746 y(with)d Ft(\011)518 1703 y Fn(t)582 1746 y Fs(2)702 1721 y Fo(e)676 1746 y Fs(H)j FE(and)e Fv(dW)14 b Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))24 b FE(the)g(c)o(ylindrical)g (W)l(iener)g(process)h(on)f Fs(H)q FE(.)31 b(It)24 b(can)h(easily)f(be) h(v)o(eri\002ed)240 1866 y(that)32 b(this)f(equation)h(satis\002es)g (assumption)f Fx(A1)h FE(of)h(Proposition)e(6.1.)53 b(W)-8 b(e)33 b(consider)f(again)g(the)240 1985 y(stochastic)24 b(process)i Fv(v)1035 1942 y Fn(t)1099 1985 y Fs(2)j(H)e FE(de\002ned)f(in)f(\(6.9\).)33 b(It)26 b(is)f(clear)h(from)f(Lemma)g (6.5)h(that)f Fv(v)3301 1942 y Fn(t)3361 1985 y FE(satis\002es)240 2105 y Fx(A2)p FE(.)54 b(W)l(ith)32 b(this)g(particular)h(choice)f(of)h Fv(v)t FE(,)i(the)d(\002rst)h(component)f(of)h Fd(D)2792 2132 y Fn(v)2839 2105 y Ft(\011)2916 2062 y Fn(t)2985 2105 y FE(\(the)f(one)h(in)f Fs(H)q FE(\))h(is)240 2224 y(equal)24 b(to)h Fd(D)660 2251 y Fn(v)707 2224 y Ft(\010)779 2182 y Fn(t)779 2251 y Fr(L)856 2224 y Fs(\010)d Ft(0)p FE(.)389 2344 y(W)-8 b(e)23 b(choose)f(a)h(function)f Fv(')28 b Fs(2)g(C)1508 2301 y Fr(2)1502 2371 y Fn(b)1553 2344 y Ft(\()p Fs(H)q Ft(\))22 b FE(and)g(\002x)h(tw)o(o)f(indices)g Fv(i;)17 b(k)30 b Fs(2)e(f)p Ft(0)p Fv(;)17 b(:)g(:)g(:)d(;)j(L)d Fs(\000)g Ft(1)p Fs(g)p FE(.)28 b(De\002ne)256 2478 y Ft(~)-66 b Fv(')305 2505 y Fn(i;k)433 2478 y Ft(:)515 2453 y Fo(e)489 2478 y Fs(H)29 b(!)e Fx(R)e FE(by)952 2810 y Ft(~)-66 b Fv(')1001 2837 y Fn(i;k)1102 2810 y Ft(\(\011)1218 2767 y Fn(t)1253 2810 y Ft(\))28 b(=)1425 2686 y Fn(L)p Fm(\000)p Fr(1)1431 2716 y Fo(X)1434 2928 y Fn(j)t Fr(=0)1598 2810 y Fv(')p Ft(\(\010)1774 2767 y Fn(t)1809 2810 y Ft(\))1848 2729 y Fo(\000)1894 2810 y Ft(\()p Fd(D)2010 2837 y Fn(v)2057 2810 y Ft(\010)2129 2767 y Fn(t)2129 2837 y Fr(L)2183 2810 y Ft(\))2222 2767 y Fm(\000)p Fr(1)2329 2729 y Fo(\001)2374 2850 y Fn(i;j)2468 2729 y Fo(\000)2514 2810 y Fv(D)2596 2837 y Fr(L)2651 2810 y Ft(\010)2723 2767 y Fn(t)2723 2837 y Fr(L)2777 2729 y Fo(\001)2822 2850 y Fn(j;k)2956 2810 y FE(,)240 3129 y(where)34 b(the)f(in)l(v)o(erse)g(has)h(to)f(be)h(understood)e (as)i(the)f(in)l(v)o(erse)g(of)h(a)g(square)g(matrix.)56 b(By)34 b(Theo-)240 3248 y(rem)24 b(7.1,)41 b Ft(~)-66 b Fv(')659 3275 y Fn(i;k)784 3248 y FE(satis\002es)25 b(the)f(assumptions)e(of)j(Proposition)e(6.1.)31 b(A)24 b(simple)g(computation)f(gi)n(v)o(es)240 3389 y(for)i(e)n(v)o(ery)f Fv(h)k Fs(2)g Fx(R)874 3346 y Fn(L)959 3389 y FE(the)c(identity:)401 3608 y Fv(D)19 b Ft(~)-66 b Fv(')551 3635 y Fn(i;k)652 3608 y Ft(\(\011)768 3566 y Fn(t)804 3608 y Ft(\))p Fd(D)920 3635 y Fn(v)967 3608 y Ft(\011)1044 3566 y Fn(t)1080 3608 y Fv(h)28 b Ft(=)g Fv(D)1352 3635 y Fr(L)1407 3608 y Fv(')p Ft(\(\010)1583 3566 y Fn(t)1617 3608 y Ft(\))1656 3528 y Fo(\000)1702 3608 y Fd(D)1779 3635 y Fn(v)1826 3608 y Ft(\010)1898 3566 y Fn(t)1898 3635 y Fr(L)1953 3608 y Fv(h)2010 3528 y Fo(\001\000)2101 3608 y Ft(\()p Fd(D)2217 3635 y Fn(v)2265 3608 y Ft(\010)2337 3566 y Fn(t)2337 3635 y Fr(L)2391 3608 y Ft(\))2430 3566 y Fm(\000)p Fr(1)2536 3528 y Fo(\001)2582 3648 y Fn(i;j)2676 3528 y Fo(\000)2722 3608 y Fv(D)2804 3635 y Fr(L)2858 3608 y Ft(\010)2930 3566 y Fn(t)2930 3635 y Fr(L)2985 3528 y Fo(\001)3030 3648 y Fn(j;k)1259 3789 y Ft(+)22 b Fv(')p Ft(\(\010)1534 3747 y Fn(t)1569 3789 y Ft(\))1608 3709 y Fo(\000)1654 3789 y Ft(\()p Fd(D)1770 3816 y Fn(v)1817 3789 y Ft(\010)1889 3747 y Fn(t)1889 3816 y Fr(L)1943 3789 y Ft(\))1982 3747 y Fm(\000)p Fr(1)2089 3789 y Ft(\()p Fd(D)2214 3747 y Fr(2)2205 3816 y Fn(v)2259 3789 y Ft(\010)2331 3747 y Fn(t)2331 3816 y Fr(L)2385 3789 y Fv(h)p Ft(\)\()p Fd(D)2597 3816 y Fn(v)2644 3789 y Ft(\010)2716 3747 y Fn(t)2716 3816 y Fr(L)2771 3789 y Ft(\))2810 3747 y Fm(\000)p Fr(1)2916 3709 y Fo(\001)2962 3829 y Fn(i;j)3056 3709 y Fo(\000)3101 3789 y Fv(D)3183 3816 y Fr(L)3238 3789 y Ft(\010)3310 3747 y Fn(t)3310 3816 y Fr(L)3364 3709 y Fo(\001)3410 3829 y Fn(j;k)1259 3971 y Ft(+)g Fv(')p Ft(\(\010)1534 3928 y Fn(t)1569 3971 y Ft(\))1608 3890 y Fo(\000)1654 3971 y Ft(\()p Fd(D)1770 3997 y Fn(v)1817 3971 y Fv(D)1899 3997 y Fr(L)1954 3971 y Ft(\010)2026 3928 y Fn(t)2026 3997 y Fr(L)2080 3971 y Ft(\))p Fv(h)2176 3890 y Fo(\001)2222 4010 y Fn(i;j)2316 3890 y Fo(\000)2361 3971 y Ft(\()p Fd(D)2477 3997 y Fn(v)2524 3971 y Ft(\010)2596 3928 y Fn(t)2596 3997 y Fr(L)2651 3971 y Ft(\))2690 3928 y Fm(\000)p Fr(1)2796 3890 y Fo(\001)2842 4010 y Fn(j;k)2975 3971 y FE(,)486 b(\(7.9\))240 4201 y(where)26 b(summation)e(o)o(v)o(er) h Fv(j)31 b FE(is)25 b(implicit.)32 b(W)-8 b(e)26 b(no)n(w)f(apply)g (the)h(inte)o(gration)e(by)i(parts)f(formula)g(in)240 4321 y(the)f(form)h(of)g(Proposition)e(6.1.)31 b(This)24 b(gi)n(v)o(es)f(the)h(identity)784 4606 y Fx(E)850 4525 y Fo(\000)896 4606 y Fv(D)19 b Ft(~)-66 b Fv(')1046 4633 y Fn(i;k)1147 4606 y Ft(\(\011)1263 4563 y Fn(t)1299 4606 y Ft(\))p Fd(D)1415 4633 y Fn(v)1462 4606 y Ft(\011)1539 4563 y Fn(t)1574 4606 y Fv(h)1631 4525 y Fo(\001)1705 4606 y Ft(=)28 b Fx(E)1877 4495 y Fo(\020)1952 4606 y Ft(~)-66 b Fv(')2001 4633 y Fn(i;k)2102 4606 y Ft(\(\011)2218 4563 y Fn(t)2254 4606 y Ft(\))2310 4470 y Fo(Z)2409 4495 y Fn(t)2364 4697 y Fr(0)2444 4525 y Fo(\012)2491 4606 y Fv(v)2543 4563 y Fn(s)2585 4606 y Fv(h;)17 b(dW)d Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))2972 4525 y Fo(\013)3018 4495 y(\021)3105 4606 y Fv(:)240 4874 y FE(Substituting)22 b(\(7.9\),)j(we)g(\002nd)470 5120 y Fx(E)536 5009 y Fo(\020)596 5120 y Fv(D)678 5147 y Fr(L)733 5120 y Fv(')p Ft(\(\010)909 5077 y Fn(t)944 5120 y Ft(\))982 5039 y Fo(\000)1028 5120 y Fd(D)1105 5147 y Fn(v)1153 5120 y Ft(\010)1225 5077 y Fn(t)1225 5147 y Fr(L)1279 5120 y Fv(h)1336 5039 y Fo(\001\000)1427 5120 y Ft(\()p Fd(D)1543 5147 y Fn(v)1591 5120 y Ft(\010)1663 5077 y Fn(t)1663 5147 y Fr(L)1717 5120 y Ft(\))1756 5077 y Fm(\000)p Fr(1)1863 5039 y Fo(\001)1908 5160 y Fn(i;j)2002 5039 y Fo(\000)2048 5120 y Fv(D)2130 5147 y Fr(L)2184 5120 y Ft(\010)2256 5077 y Fn(t)2256 5147 y Fr(L)2311 5039 y Fo(\001)2356 5160 y Fn(j;k)2462 5009 y Fo(\021)2549 5120 y Ft(=)1005 5339 y Fs(\000)d Fx(E)1171 5229 y Fo(\020)1230 5339 y Fv(')p Ft(\(\010)1406 5296 y Fn(t)1441 5339 y Ft(\))1480 5259 y Fo(\000)1525 5339 y Ft(\()p Fd(D)1641 5366 y Fn(v)1689 5339 y Ft(\010)1761 5296 y Fn(t)1761 5366 y Fr(L)1815 5339 y Ft(\))1854 5296 y Fm(\000)p Fr(1)1961 5339 y Ft(\()p Fd(D)2086 5296 y Fr(2)2077 5366 y Fn(v)2130 5339 y Ft(\010)2202 5296 y Fn(t)2202 5366 y Fr(L)2257 5339 y Fv(h)p Ft(\)\()p Fd(D)2469 5366 y Fn(v)2516 5339 y Ft(\010)2588 5296 y Fn(t)2588 5366 y Fr(L)2642 5339 y Ft(\))2681 5296 y Fm(\000)p Fr(1)2788 5259 y Fo(\001)2834 5379 y Fn(i;j)2927 5259 y Fo(\000)2973 5339 y Fv(D)3055 5366 y Fr(L)3110 5339 y Ft(\010)3182 5296 y Fn(t)3182 5366 y Fr(L)3236 5259 y Fo(\001)3282 5379 y Fn(j;k)3387 5229 y Fo(\021)1005 5558 y Fs(\000)g Fx(E)1171 5448 y Fo(\020)1230 5558 y Fv(')p Ft(\(\010)1406 5516 y Fn(t)1441 5558 y Ft(\))1480 5478 y Fo(\000)1525 5558 y Ft(\()p Fd(D)1641 5585 y Fn(v)1689 5558 y Fv(D)1771 5585 y Fr(L)1825 5558 y Ft(\010)1897 5516 y Fn(t)1897 5585 y Fr(L)1952 5558 y Ft(\))p Fv(h)2048 5478 y Fo(\001)2093 5598 y Fn(i;j)2187 5478 y Fo(\000)2233 5558 y Ft(\()p Fd(D)2349 5585 y Fn(v)2396 5558 y Ft(\010)2468 5516 y Fn(t)2468 5585 y Fr(L)2522 5558 y Ft(\))2561 5516 y Fm(\000)p Fr(1)2668 5478 y Fo(\001)2714 5598 y Fn(j;k)2819 5448 y Fo(\021)p eop %%Page: 33 33 33 32 bop 242 -75 a FE(E)t Fu(X)t(I)t(S)t(T)t(E)t(N)t(C)t(E)35 b FE(T)t Fu(H)t(E)t(O)t(R)t(E)t(M)t(S)2349 b Fx(33)1005 328 y Ft(+)22 b Fx(E)1171 217 y Fo(\020)1230 328 y Fv(')p Ft(\(\010)1406 285 y Fn(t)1441 328 y Ft(\))1480 247 y Fo(\000)1525 328 y Ft(\()p Fd(D)1641 354 y Fn(v)1689 328 y Ft(\010)1761 285 y Fn(t)1761 354 y Fr(L)1815 328 y Ft(\))1854 285 y Fm(\000)p Fr(1)1961 247 y Fo(\001)2006 367 y Fn(i;j)2100 247 y Fo(\000)2146 328 y Fv(D)2228 354 y Fr(L)2282 328 y Ft(\010)2354 285 y Fn(t)2354 354 y Fr(L)2409 247 y Fo(\001)2454 367 y Fn(j;k)2576 192 y Fo(Z)2676 217 y Fn(t)2632 418 y Fr(0)2711 247 y Fo(\012)2758 328 y Fv(v)2810 285 y Fn(s)2852 328 y Fv(h;)17 b(dW)d Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))3239 247 y Fo(\013)3285 217 y(\021)3372 328 y Fv(:)240 566 y FE(The)26 b(summation)e(o)o(v)o(er)h(the)h(inde)o (x)g Fv(j)32 b FE(is)25 b(implicit)g(in)h(e)n(v)o(ery)f(term.)35 b(W)-8 b(e)26 b(no)n(w)g(choose)g Fv(h)k Ft(=)h Fv(e)3473 593 y Fn(i)3533 566 y FE(and)240 686 y(sum)24 b(o)o(v)o(er)g(the)g (inde)o(x)g Fv(i)p FE(.)31 b(The)25 b(left-hand)g(side)f(is)g(then)h (equal)g(to)1421 901 y Fx(E)1488 790 y Fo(\020)1547 820 y(\000)1593 901 y Fv(D)1675 928 y Fr(L)1730 901 y Fv(')p Ft(\(\010)1906 858 y Fn(t)1941 901 y Ft(\))1980 820 y Fo(\001)2025 901 y Fv(D)2107 928 y Fr(L)2162 901 y Ft(\010)2234 858 y Fn(t)2234 928 y Fr(L)2288 901 y Fv(e)2334 928 y Fn(k)2383 790 y Fo(\021)2470 901 y FE(,)240 1112 y(which)42 b(is)g(precisely)h(the)f(e)o(xpression)g(we)h(w)o(ant)f(to)g(bound.)84 b(The)43 b(right-hand)e(side)i(can)g(be)240 1232 y(bounded)33 b(in)g(terms)h(of)g Fs(k)p Fv(')p Fs(k)1266 1259 y Fr(L)1315 1239 y Fi(1)1426 1232 y FE(and)g(of)g Fx(E)1788 1151 y Fo(\000)1833 1232 y Ft(\()p Fd(D)1949 1259 y Fn(v)1996 1232 y Ft(\010)2068 1189 y Fn(t)2068 1259 y Fr(L)2123 1232 y Ft(\))2162 1189 y Fm(\000)p Fr(4)2268 1151 y Fo(\001)2348 1232 y FE(\(at)g(w)o(orst\).)58 b(The)33 b(other)h(f)o(actors)g(are)240 1363 y(all)f(gi)n(v)o(en)e(by)i(components)f(of)h Fd(D)1464 1389 y Fn(v)1511 1363 y Ft(\011)1588 1320 y Fn(t)1657 1363 y FE(and)g(can)h(therefore)g(be)f(bounded)f(by)h(means)g(of)g (Theo-)240 1482 y(rem)25 b(8.9.)30 b(Therefore,)25 b(\(7.8\))g(follo)n (ws.)k(The)c(proof)g(of)g(Proposition)e(7.12)h(is)h(complete.)3677 1482 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 1482 a 240 1751 a FD(8)119 b(Existence)30 b(Theor)n(ems)240 1960 y FE(In)22 b(this)g(section,)h(we)g(pro)o(v)o(e) e(e)o(xistence)h(theorems)g(for)h(se)n(v)o(eral)f(PDE')-5 b(s)22 b(and)h(SDE')-5 b(s,)23 b(in)f(particular)240 2079 y(we)31 b(pro)o(v)o(e)g(Proposition)f(5.1)h(and)g(Lemma)g(5.4.)50 b(Much)31 b(of)h(the)f(material)g(here)h(relies)f(on)g(well-)240 2199 y(kno)n(wn)23 b(techniques,)h(b)n(ut)g(we)i(include)e(the)g (details)g(for)h(completeness.)389 2318 y(W)-8 b(e)25 b(consider)g(again)f(the)h(problem)1023 2507 y Fv(d)p Ft(\010)1147 2464 y Fn(t)1209 2507 y Ft(=)j Fs(\000)p Fv(A)p Ft(\010)1538 2464 y Fn(t)1590 2507 y Fv(dt)22 b Ft(+)h Fv(F)14 b Ft(\(\010)1989 2464 y Fn(t)2023 2507 y Ft(\))j Fv(dt)22 b Ft(+)g Fv(Q)p Ft(\(\010)2478 2464 y Fn(t)2513 2507 y Ft(\))17 b Fv(dW)d Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))26 b FE(,)592 b(\(8.1\))240 2695 y(with)28 b Ft(\010)518 2652 y Fr(0)599 2695 y Ft(=)37 b Fv(\030)d FE(gi)n(v)o(en.)43 b(The)29 b(initial)g(condition)e Fv(\030)34 b FE(will)29 b(be)g(tak)o(en)h(in)f(one)g(of)h(the)f(Hilbert)g(spaces)240 2815 y Fs(H)325 2772 y Fn(\015)376 2815 y FE(.)g(W)-8 b(e)22 b(will)d(sho)n(w)h(that,)h(after)g(some)g(time,)f(the)h (solution)e(lies)h(in)g(some)g(smaller)h(Hilbert)f(space.)240 2934 y(Note)k(that)h(we)g(are)g(w)o(orking)f(here)i(with)e(the)g Fp(cutof)n(f)g FE(equations,)g(b)n(ut)g(we)h(omit)f(the)h(inde)o(x)e Fv(\045)p FE(.)389 3054 y(W)-8 b(e)27 b(will)f(of)h(course)g(require)g (that)f(all)h(stochastic)f(processes)g(are)i(predictable.)36 b(This)26 b(means)240 3173 y(that)35 b(if)i(we)f(write)g Ft(L)978 3131 y Fn(p)1024 3173 y Ft(\(\012)p Fv(;)17 b Fd(Y)28 b Ft(\))p FE(,)39 b(with)d Fd(Y)65 b FE(some)36 b(Banach)h(space)f(of)h(functions)e(of)h(the)g(interv)n(al)240 3293 y Ft([0)p Fv(;)17 b(T)d Ft(])p FE(,)20 b(we)i(really)f(mean)h (that)f(the)g(only)g(functions)f(we)i(consider)f(are)h(those)f(that)g (are)h(measurable)240 3413 y(with)i(respect)h(to)f(the)h(predictable)f Fv(\033)t FE(-\002eld)h(when)g(considered)f(as)h(functions)f(o)o(v)o (er)g Ft(\012)e Fs(\002)h Ft([0)p Fv(;)17 b(T)d Ft(])p FE(.)389 3532 y(W)-8 b(e)25 b(\002rst)g(state)g(precisely)f(what)h(is)f (kno)n(wn)g(about)g(the)h(ingredients)e(of)i(\(8.1\).)240 3753 y Fx(Lemma)g(8.1)49 b Fp(The)26 b(following)d(pr)l(operties)g (hold)h(for)g Fv(A)p Fp(,)h Fv(F)39 b Fp(and)24 b Fv(Q)p Fp(.)271 3901 y Fx(P1)56 b Fp(The)36 b(space)f Fs(H)h Fp(is)e(a)h(r)l(eal)g(separ)o(able)f(Hilbert)f(space)i(and)g Fv(A)46 b Ft(:)g Fs(D)s Ft(\()p Fv(A)p Ft(\))g Fs(!)g(H)36 b Fp(is)e(a)h(self-)438 4020 y(adjoint)23 b(strictly)h(positive)g(oper) o(ator)-11 b(.)271 4168 y Fx(P2)56 b Fp(The)26 b(map)e Fv(F)42 b Ft(:)27 b Fs(H)i(!)e(H)f Fp(has)e(bounded)g(derivatives)g(of) h(all)f(or)l(der)o(s.)271 4316 y Fx(P3)56 b Fp(F)-10 b(or)34 b(e)o(very)h Fv(\015)50 b Fs(\025)c Ft(0)p Fp(,)37 b Fv(F)49 b Fp(maps)34 b Fs(H)1641 4273 y Fn(\015)1726 4316 y Fp(into)g(itself)o(.)58 b(Furthermor)l(e)o(,)36 b(ther)l(e)f(e)n(xists)f(a)g(constant)438 4436 y Fv(n)28 b(>)g Ft(0)d Fp(independent)e(of)i Fv(\015)30 b Fp(and)24 b(constants)f Fv(C)2048 4462 y Fn(F)r(;\015)2201 4436 y Fp(suc)o(h)h(that)g Fv(F)39 b Fp(satis\002es)23 b(the)i(bounds)1233 4640 y Fs(k)p Fv(F)14 b Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))o Fs(k)1545 4666 y Fn(\015)1624 4640 y Fs(\024)28 b Fv(C)1800 4666 y Fn(F)r(;\015)1927 4559 y Fo(\000)1973 4640 y Ft(1)22 b(+)h Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)2302 4666 y Fn(\015)2352 4559 y Fo(\001)2426 4640 y Fp(,)991 b FE(\(8.2a\))903 4810 y Fs(k)p Fv(F)14 b Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))22 b Fs(\000)g Fv(F)14 b Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))o Fs(k)1545 4837 y Fn(\015)1624 4810 y Fs(\024)28 b Fv(C)1800 4837 y Fn(F)r(;\015)1927 4810 y Fs(k)p Fv(x)22 b Fs(\000)h Fv(y)s Fs(k)2258 4837 y Fn(\015)2309 4729 y Fo(\000)2355 4810 y Ft(1)f(+)h Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)2684 4837 y Fn(\015)2756 4810 y Ft(+)g Fs(k)p Fv(y)t Fs(k)3009 4837 y Fn(\015)3059 4729 y Fo(\001)3105 4750 y Fn(n)3187 4810 y Fp(,)224 b FE(\(8.2b\))438 4998 y Fp(for)24 b(all)g Fv(x)h Fp(and)g Fv(y)j Fp(in)c Fs(H)1230 4956 y Fn(\015)1282 4998 y Fp(.)271 5146 y Fx(P4)56 b Fp(Ther)l(e)38 b(e)n(xists)d(an)i Fv(\013)49 b(>)h Ft(0)36 b Fp(suc)o(h)g(that)g(for)g(e)o(very)h Fv(x;)17 b(x)2395 5173 y Fr(1)2438 5146 y Fv(;)g(x)2540 5173 y Fr(2)2634 5146 y Fs(2)49 b(H)38 b Fp(the)e(map)h Fv(Q)49 b Ft(:)g Fs(H)h(!)438 5266 y Fd(L)19 b Ft(\()p Fs(H)q Fv(;)e Fs(H)q Ft(\))24 b Fp(satis\002es)539 5380 y Fo(\015)539 5440 y(\015)595 5465 y Fv(A)670 5422 y Fn(\013)p Fm(\000)p Fr(3)p Fn(=)p Fr(8)909 5465 y Fv(Q)p Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))1123 5380 y Fo(\015)1123 5440 y(\015)1177 5505 y Fq(HS)1299 5465 y Fs(\024)k Fv(C)35 b Fp(,)1635 5380 y Fo(\015)1635 5440 y(\015)1690 5465 y Fv(A)1765 5422 y Fn(\013)p Fm(\000)p Fr(3)p Fn(=)p Fr(8)2004 5384 y Fo(\000)2050 5465 y Fv(Q)p Ft(\()p Fv(x)2225 5492 y Fr(1)2269 5465 y Ft(\))22 b Fs(\000)g Fv(Q)p Ft(\()p Fv(x)2604 5492 y Fr(2)2648 5465 y Ft(\))2687 5384 y Fo(\001)2733 5380 y(\015)2733 5440 y(\015)2788 5505 y Fq(HS)2910 5465 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b Fs(k)p Fv(x)3200 5492 y Fr(1)3267 5465 y Fs(\000)23 b Fv(x)3424 5492 y Fr(2)3468 5465 y Fs(k)33 b Fp(,)438 5653 y(wher)l(e)26 b Fs(k)c(\001)g(k)875 5680 y Fq(HS)993 5653 y Fp(denotes)j(the)f(Hilbert-Sc)o(hmidt)f(norm)h(in)g Fs(H)q Fp(.)p eop %%Page: 34 34 34 33 bop 242 -75 a FE(E)t Fu(X)t(I)t(S)t(T)t(E)t(N)t(C)t(E)35 b FE(T)t Fu(H)t(E)t(O)t(R)t(E)t(M)t(S)2349 b Fx(34)271 273 y(P5)56 b Fp(The)26 b(derivative)e(of)g Fv(Q)h Fp(satis\002es)1453 363 y Fo(\015)1453 422 y(\015)1508 447 y Fv(A)1583 405 y Fn(\013)1640 367 y Fo(\000)1685 447 y Fv(D)s(Q)p Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))1984 367 y Fo(\001)2029 447 y Fv(h)2087 363 y Fo(\015)2087 422 y(\015)2142 487 y Fq(HS)2264 447 y Fs(\024)j Fv(C)7 b Fs(k)p Fv(h)p Fs(k)33 b Fp(,)824 b FE(\(8.3\))438 621 y Fp(for)24 b(e)o(very)h Fv(x;)17 b(h)28 b Fs(2)g(H)q Fp(.)271 769 y Fx(P6)56 b Fp(The)26 b(derivative)e(of)g Fv(F)39 b Fp(satis\002es)1294 859 y Fo(\015)1294 919 y(\015)1349 863 y(\000)1395 943 y Fv(D)s(F)14 b Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))1693 863 y Fo(\001)1738 943 y Fv(y)1791 859 y Fo(\015)1791 919 y(\015)1846 983 y Fn(\015)1925 943 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b Ft(\(1)22 b(+)h Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)2476 970 y Fn(\015)2526 943 y Ft(\))p Fs(k)p Fv(y)t Fs(k)2718 970 y Fn(\015)2796 943 y Fp(,)438 1134 y(for)h(e)o(very)h Fv(x;)17 b(y)31 b Fs(2)d(H)1179 1091 y Fn(\015)1230 1134 y Fp(.)240 1308 y(Pr)l(oof)o(.)47 b FE(The)29 b(points)d Fx(P1)p FE(,)j Fx(P2)f FE(are)h(ob)o(vious.)39 b(The)28 b(point)f Fx(P4)h FE(follo)n(ws)f(from)h(the)g(de\002nition)f(\(1.6\))240 1428 y(of)h Fv(Q)f FE(and)h(the)g(construction)e(of)i Fv(Q)1489 1455 y Fn(\045)1563 1428 y FE(in)g(\(4.1\).)40 b(T)-8 b(o)27 b(pro)o(v)o(e)g Fx(P3)p FE(,)h(recall)h(that)e(the)h(map) f Fv(F)47 b Ft(=)34 b Fv(F)3519 1455 y Fn(\045)3594 1428 y FE(of)240 1547 y(the)24 b(GL)h(equation)f(is)g(of)h(the)g(type)1374 1721 y Fv(F)1424 1748 y Fn(\045)1471 1721 y Ft(\()p Fv(u)p Ft(\))i(=)h Fv(\037)1800 1641 y Fo(\000)1846 1721 y Fs(k)p Fv(u)p Fs(k)p Fv(=)p Ft(\(3)p Fv(\045)p Ft(\))2233 1641 y Fo(\001)2277 1721 y Fv(P)14 b Ft(\()p Fv(u)p Ft(\))27 b FE(,)240 1896 y(with)d Fv(P)38 b FE(some)25 b(polynomial)d(and)j Fv(\037)j Fs(2)g(C)1669 1853 y Fm(1)1663 1922 y Fr(0)1754 1896 y Ft(\()p Fx(R)p Ft(\))p FE(.)i(The)25 b(k)o(e)o(y)f(point)g(is)g (to)h(notice)f(that)h(the)f(estimate)1227 2070 y Fs(k)p Fv(uv)t Fs(k)1436 2096 y Fn(\015)1514 2070 y Fs(\024)k Fv(C)1690 2096 y Fn(\015)1742 1989 y Fo(\000)1787 2070 y Fs(k)p Fv(u)p Fs(k)17 b(k)p Fv(v)t Fs(k)2113 2096 y Fn(\015)2185 2070 y Ft(+)23 b Fs(k)p Fv(u)p Fs(k)2442 2096 y Fn(\015)2493 2070 y Fs(k)p Fv(v)t Fs(k)2645 1989 y Fo(\001)240 2244 y FE(holds)f(for)i(e)n(v)o(ery)f Fv(\015)33 b Fs(\025)28 b Ft(0)p FE(,)c(where)g Fv(uv)k FE(denotes)23 b(the)g(multiplication)e(of)j(tw)o(o)f(functions.)29 b(In)24 b(partic-)240 2363 y(ular)l(,)g(we)i(ha)n(v)o(e)1435 2483 y Fs(k)p Fv(u)1542 2440 y Fn(n)1596 2483 y Fs(k)1646 2510 y Fn(\015)1725 2483 y Fs(\024)i Fv(C)7 b Fs(k)p Fv(u)p Fs(k)2065 2510 y Fn(\015)2116 2483 y Fs(k)p Fv(u)p Fs(k)2273 2440 y Fn(n)p Fm(\000)p Fr(1)2457 2483 y FE(,)240 2635 y(which,)41 b(together)e(with)f(the)g(f)o(act)h(that)f Fv(\037)i FE(has)e(compact)g(support,)k(sho)n(ws)37 b(\(8.2a\).)72 b(This)38 b(also)240 2755 y(sho)n(ws)27 b(that)i(the)g(deri)n(v)n(ati)n (v)o(es)d(of)j Fv(F)43 b FE(in)28 b Fs(H)1712 2712 y Fn(\015)1793 2755 y FE(are)h(polynomially)e(bounded)h(and)h(so)f (\(8.2b\))h(holds.)240 2874 y Fx(P6)24 b FE(follo)n(ws)g(by)g(the)h (same)f(ar)n(gument.)389 2994 y(The)39 b(point)f Fx(P5)h FE(immediately)e(follo)n(ws)g(from)i(the)g(f)o(act)g(that)g(the)g (image)f(of)h(the)g(operator)240 3033 y Fo(\000)285 3113 y Fv(D)s(Q)p Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))584 3033 y Fo(\001)629 3113 y Fv(h)26 b FE(is)e(contained)g(in)h Fs(H)1402 3140 y Fr(L)1481 3113 y FE(for)g(e)n(v)o(ery)f Fv(x;)17 b(h)28 b Fs(2)g(H)q FE(.)3677 3113 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 3113 a 240 3341 a Fx(Remark)d(8.2)50 b FE(The)26 b(condition)f Fx(P1)i FE(implies)e(that)h Fv(e)2052 3298 y Fm(\000)p Fn(At)2237 3341 y FE(is)g(an)h(analytic)f(semigroup)g(of)g(contrac-)240 3461 y(tion)e(operators)g(on)h Fs(H)q FE(.)31 b(W)-8 b(e)25 b(will)f(use)h(repeatedly)f(the)h(bound)1420 3550 y Fo(\015)1420 3610 y(\015)1475 3635 y Fv(e)1521 3592 y Fm(\000)p Fn(At)1679 3635 y Fv(x)1736 3550 y Fo(\015)1736 3610 y(\015)1791 3675 y Fn(\015)1886 3635 y Fs(\024)45 b Fv(C)2079 3662 y Fn(\015)2131 3635 y Fv(t)2167 3592 y Fm(\000)p Fn(\015)2280 3635 y Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)32 b Fv(:)389 3821 y FE(W)-8 b(e)25 b(be)o(gin)f(the)h(study)f(of)h (\(8.1\))f(by)h(considering)f(the)g(equation)g(for)h(the)g(mild)f (solution)889 4060 y Ft(\011\()p Fv(t;)17 b(\030)5 b(;)17 b(!)t Ft(\))42 b(=)i Fv(e)1494 4018 y Fm(\000)p Fn(At)1652 4060 y Fv(\030)26 b Ft(+)1822 3925 y Fo(Z)1922 3949 y Fn(t)1877 4151 y Fr(0)1973 4060 y Fv(e)2019 4018 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))2339 4060 y Fv(F)2417 3980 y Fo(\000)2463 4060 y Ft(\011\()p Fv(s;)17 b(\030)5 b(;)17 b(!)t Ft(\))2870 3980 y Fo(\001)2929 4060 y Fv(ds)1371 4345 y Ft(+)1471 4209 y Fo(Z)1570 4234 y Fn(t)1526 4436 y Fr(0)1622 4345 y Fv(e)1668 4302 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))1988 4345 y Fv(Q)2067 4264 y Fo(\000)2112 4345 y Ft(\011\()p Fv(s;)g(\030)5 b(;)17 b(!)t Ft(\))2519 4264 y Fo(\001)2578 4345 y Fv(dW)d Ft(\()p Fv(s;)j(!)t Ft(\))26 b Fv(:)3486 4196 y FE(\(8.4\))240 4568 y(The)c(study)f(of)h(this)f(equation)g(is)g (in)h(se)n(v)o(eral)f(steps.)29 b(W)-8 b(e)22 b(will)f(consider)h (\002rst)g(the)g(noise)f(term,)h(then)240 4688 y(the)i(equation)g(for)h (a)h(\002x)o(ed)e(instance)h(of)g Fv(!)t FE(,)f(and)h(\002nally)f(pro)o (v)o(e)g(e)o(xistence)g(and)h(bounds.)389 4807 y(W)-8 b(e)25 b(need)g(some)g(more)f(notation:)240 5019 y Fx(De\002nition)h (8.3)50 b Fp(Let)20 b Fs(H)1092 4976 y Fn(\013)1169 5019 y Fp(be)g(as)f(abo)o(ve)h(the)f(domain)g(of)h Fv(A)2281 4976 y Fn(\013)2357 5019 y Fp(with)g(the)f(gr)o(aph)g(norm.)28 b(W)-9 b(e)20 b(\002x,)h(once)240 5139 y(and)f(for)h(all,)g(a)g (maximal)f(time)h Fv(T)14 b Fp(.)29 b(W)-9 b(e)21 b(denote)g(by)g Fs(H)2080 5096 y Fn(\013)2079 5166 y(T)2163 5139 y Fp(the)g(space)g Fs(C)6 b Ft(\([0)p Fv(;)17 b(T)d Ft(])p Fv(;)j Fs(H)3004 5096 y Fn(\013)3059 5139 y Ft(\))k Fp(equipped)f(with)240 5258 y(the)k(norm)1430 5378 y Fs(k)p Fv(y)t Fs(k)1583 5405 y Fm(H)1651 5381 y Fj(\013)1651 5431 y(T)1738 5378 y Ft(=)84 b FE(sup)1843 5468 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;T)11 b Fr(])2109 5378 y Fs(k)p Fv(y)t Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))o Fs(k)2375 5405 y Fn(\013)2459 5378 y Fv(:)240 5626 y Fp(W)-9 b(e)25 b(write)f Fs(H)696 5653 y Fn(T)784 5626 y Fp(instead)g(of)g Fs(H)1284 5583 y Fr(0)1283 5653 y Fn(T)1363 5626 y Fp(.)p eop %%Page: 35 35 35 34 bop 242 -75 a FE(E)t Fu(X)t(I)t(S)t(T)t(E)t(N)t(C)t(E)35 b FE(T)t Fu(H)t(E)t(O)t(R)t(E)t(M)t(S)2349 b Fx(35)240 273 y(8.1)99 b(The)26 b(Noise)e(T)-9 b(erm)240 429 y FE(Let)29 b Fv(y)41 b Fs(2)c Ft(L)657 386 y Fn(p)703 429 y Ft(\(\012)p Fv(;)17 b Fs(H)943 456 y Fn(T)1005 429 y Ft(\))p FE(.)46 b(\(One)30 b(should)e(think)h(of)h Fv(y)j FE(as)d(being)g Fv(y)t Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))35 b(=)j(\010)2823 386 y Fn(t)2858 429 y FE(.\))46 b(The)30 b(noise)f(term)g(in)240 548 y(\(8.4\))c(will)f(be)h(studied)f(as)i(a)f (function)f(on)h Ft(L)1790 505 y Fn(p)1836 548 y Ft(\(\012)p Fv(;)17 b Fs(H)2076 575 y Fn(T)2138 548 y Ft(\))p FE(.)32 b(It)25 b(is)g(gi)n(v)o(en)e(by)i(the)g(function)f Fv(Z)33 b FE(de\002ned)240 668 y(as)840 752 y Fo(\000)886 833 y Fv(Z)7 b Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))1092 752 y Fo(\001)1137 833 y Ft(\()p Fv(!)t Ft(\))26 b(=)j Fv(t)e Fs(7!)1604 697 y Fo(Z)1703 722 y Fn(t)1659 924 y Fr(0)1755 833 y Fv(e)1801 790 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))2121 833 y Fv(Q)2200 752 y Fo(\000)2245 833 y Fv(y)t Ft(\()p Fv(!)t Ft(\)\()p Fv(s)p Ft(\))2567 752 y Fo(\001)2627 833 y Fv(dW)14 b Ft(\()p Fv(s;)j(!)t Ft(\))26 b Fv(:)409 b FE(\(8.5\))240 1064 y(W)-8 b(e)30 b(will)f(sho)n(w)g(that)h Fv(Z)7 b Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))29 b FE(is)h(in)f Ft(L)1504 1021 y Fn(p)1551 1064 y Ft(\(\012)p Fv(;)17 b Fs(H)1792 1021 y Fn(\013)1791 1090 y(T)1853 1064 y Ft(\))29 b FE(when)h Fv(y)k FE(is)c(in)f Ft(L)2516 1021 y Fn(p)2563 1064 y Ft(\(\012)p Fv(;)17 b Fs(H)2803 1090 y Fn(T)2864 1064 y Ft(\))p FE(.)47 b(The)30 b(natural)g(norm)240 1183 y(here)25 b(is)f(the)h Ft(L)736 1140 y Fn(p)807 1183 y FE(norm)g(de\002ned)g(by)953 1509 y Fs(j)-17 b(j)g(j)p Fv(Z)7 b Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))n Fs(j)-17 b(j)g(j)1257 1536 y Fm(H)1325 1512 y Fj(\013)1325 1562 y(T)1381 1536 y Fn(;p)1478 1509 y Ft(=)1583 1338 y Fo( )1662 1509 y Fx(E)1729 1536 y Fn(!)1859 1509 y FE(sup)1803 1599 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;T)11 b Fr(])2069 1509 y Fs(k)p Ft(\()p Fv(Z)c Ft(\()p Fv(y)t Ft(\)\))2403 1536 y Fn(t)2437 1509 y Ft(\()p Fv(!)t Ft(\))o Fs(k)2630 1466 y Fn(p)2630 1536 y(\013)2687 1338 y Fo(!)2765 1359 y Fr(1)p Fn(=p)2936 1509 y Fv(:)240 1827 y Fx(Pr)n(oposition)24 b(8.4)50 b Fp(Let)35 b Fs(H)q Fp(,)j Fv(A)d Fp(and)f Fv(Q)h Fp(be)g(as)g(abo)o (ve)f(and)h(assume)f Fx(P1)h Fp(and)f Fx(P4)h Fp(ar)l(e)g(satis\002ed.) 240 1946 y(Then,)25 b(for)f(e)o(very)h Fv(p)j Fs(\025)g Ft(1)d Fp(and)f(e)o(very)h Fv(T)42 b(<)28 b(T)1803 1973 y Fr(0)1873 1946 y Fp(one)d(has)1398 2170 y Fs(j)-17 b(j)g(j)p Fv(Z)7 b Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))o Fs(j)-17 b(j)g(j)1703 2197 y Fm(H)1771 2173 y Fj(\013)1771 2223 y(T)1827 2197 y Fn(;p)1940 2170 y Fs(\024)45 b Fv(C)2133 2197 y Fn(T)2180 2207 y Fk(0)2224 2170 y Fv(T)2296 2128 y Fn(p=)p Fr(16)2490 2170 y Fv(:)968 b FE(\(8.6\))240 2400 y Fp(Pr)l(oof)o(.)47 b FE(Choose)37 b(an)f(element)g Fv(y)53 b Fs(2)c Ft(L)1632 2357 y Fn(p)1679 2400 y Ft(\(\012)p Fv(;)17 b Fs(H)1919 2427 y Fn(T)1980 2400 y Ft(\))p FE(.)66 b(In)36 b(the)g(sequel,)j(we)e (will)e(consider)h Fv(y)k FE(as)d(a)240 2520 y(function)24 b(o)o(v)o(er)g Ft([0)p Fv(;)17 b(T)d Ft(])20 b Fs(\002)j Ft(\012)i FE(and)g(we)g(will)f(not)g(write)g(e)o(xplicitly)f(the)i (dependence)g(on)g Ft(\012)p FE(.)389 2639 y(In)32 b(order)g(to)g(get)g (bounds)f(on)g Fv(Z)7 b FE(,)34 b(we)e(use)g(the)g(f)o(actorization)g (formula)f(and)h(the)g(Y)-11 b(oung)31 b(in-)240 2759 y(equality)-6 b(.)49 b(Choose)31 b Fv(\015)46 b Fs(2)40 b Ft(\(1)p Fv(=p;)17 b Ft(1)p Fv(=)p Ft(8\))p FE(.)49 b(The)31 b(f)o(actorization)g(formula)g([DPZ92])h(then)f(gi)n(v)o(es)f (the)240 2878 y(equality)298 3075 y Fo(\000)344 3156 y Fv(Z)7 b Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))550 3075 y Fo(\001)595 3156 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))27 b(=)h Fv(C)936 3020 y Fo(Z)1036 3045 y Fn(t)991 3246 y Fr(0)1071 3156 y Ft(\()p Fv(t)22 b Fs(\000)g Fv(s)p Ft(\))1353 3113 y Fn(\015)t Fm(\000)p Fr(1)1506 3156 y Fv(e)1552 3113 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))1888 3020 y Fo(Z)1988 3045 y Fn(s)1943 3246 y Fr(0)2030 3156 y Ft(\()p Fv(s)g Fs(\000)h Fv(r)s Ft(\))2325 3113 y Fm(\000)p Fn(\015)2437 3156 y Fv(e)2483 3113 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(s)p Fm(\000)p Fn(r)r Fr(\))2812 3156 y Fv(Q)p Ft(\()p Fv(y)t Ft(\()p Fv(r)s Ft(\)\))17 b Fv(dW)d Ft(\()p Fv(r)s Ft(\))j Fv(ds)23 b(:)240 3439 y FE(Since)i Fv(A)g FE(commutes)e(with)h Fv(e)1268 3396 y Fm(\000)p Fn(At)1426 3439 y FE(,)h(the)f(H)8 b(\250)-41 b(older)25 b(inequality)e(leads)i (to)379 3566 y Fo(\015)379 3626 y(\015)434 3570 y(\000)480 3651 y Fv(Z)7 b Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))686 3570 y Fo(\001)730 3651 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))844 3566 y Fo(\015)844 3626 y(\015)899 3591 y Fn(p)899 3690 y(\013)3486 3651 y FE(\(8.7\))439 3884 y Ft(=)29 b Fv(C)623 3770 y Fo(\015)623 3829 y(\015)623 3889 y(\015)678 3749 y(Z)778 3773 y Fn(t)734 3975 y Fr(0)813 3884 y Ft(\()p Fv(t)22 b Fs(\000)g Fv(s)p Ft(\))1095 3841 y Fn(\015)t Fm(\000)p Fr(1)1248 3884 y Fv(e)1294 3841 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))1630 3749 y Fo(Z)1730 3773 y Fn(s)1686 3975 y Fr(0)1773 3884 y Ft(\()p Fv(s)f Fs(\000)i Fv(r)s Ft(\))2067 3841 y Fm(\000)p Fn(\015)2180 3884 y Fv(A)2255 3841 y Fn(\013)2311 3884 y Fv(e)2357 3841 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(s)p Fm(\000)p Fn(r)r Fr(\))2686 3884 y Fv(Q)p Ft(\()p Fv(y)t Ft(\()p Fv(r)s Ft(\)\))17 b Fv(dW)d Ft(\()p Fv(r)s Ft(\))j Fv(ds)3437 3770 y Fo(\015)3437 3829 y(\015)3437 3889 y(\015)3492 3794 y Fn(p)439 4169 y Fs(\024)29 b Fv(C)7 b(t)659 4126 y Fn(\027)725 4033 y Fo(Z)825 4058 y Fn(t)780 4259 y Fr(0)860 4054 y Fo(\015)860 4114 y(\015)860 4174 y(\015)915 4033 y(Z)1015 4058 y Fn(s)970 4259 y Fr(0)1057 4169 y Ft(\()p Fv(s)22 b Fs(\000)h Fv(r)s Ft(\))1352 4126 y Fm(\000)p Fn(\015)1464 4169 y Fv(A)1539 4126 y Fn(\013)1596 4169 y Fv(e)1642 4126 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(s)p Fm(\000)p Fn(r)r Fr(\))1971 4169 y Fv(Q)p Ft(\()p Fv(y)t Ft(\()p Fv(r)s Ft(\)\))17 b Fv(dW)d Ft(\()p Fv(r)s Ft(\))2606 4054 y Fo(\015)2606 4114 y(\015)2606 4174 y(\015)2662 4079 y Fn(p)2724 4169 y Fv(ds)27 b FE(,)240 4436 y(with)d Fv(\027)34 b Ft(=)28 b(\()p Fv(p\015)f Fs(\000)c Ft(1\))p Fv(=)p Ft(\()p Fv(p)e Fs(\000)i Ft(1\))p FE(.)30 b(F)o(or)25 b(the)g(ne)o(xt)f(bound)g(we)h(need)g(the)f(follo)n (wing)f(result:)240 4671 y Fx(Lemma)i(8.5)49 b Fp([DPZ92,)36 b(Thm.)e(7.2].)57 b(Let)34 b Fv(r)47 b Fs(7!)d Ft(\011)2109 4628 y Fn(r)2187 4671 y Fp(be)34 b(an)g(arbitr)o(ary)d(pr)l(edictable)i Fd(L)3436 4628 y Fr(2)3481 4671 y Ft(\()p Fs(H)q Ft(\))p Fp(-)240 4790 y(valued)24 b(pr)l(ocess.)30 b(Then,)25 b(for)f(e)o(very)h Fv(p)j Fs(\025)g Ft(2)p Fp(,)d(ther)l(e)g(e)n(xists) f(a)h(constant)e Fv(C)33 b Fp(suc)o(h)24 b(that)912 5055 y Fx(E)978 4945 y Fo(\020)1038 4941 y(\015)1038 5000 y(\015)1038 5060 y(\015)1093 4920 y(Z)1193 4944 y Fn(s)1148 5146 y Fr(0)1252 5055 y Ft(\011)1329 5012 y Fn(r)1390 5055 y Fv(dW)14 b Ft(\()p Fv(r)s Ft(\))1675 4941 y Fo(\015)1675 5000 y(\015)1675 5060 y(\015)1730 4965 y Fn(p)1776 4945 y Fo(\021)1864 5055 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b Fx(E)2114 4945 y Fo(\020)2173 4920 y(Z)2273 4944 y Fn(s)2228 5146 y Fr(0)2332 5055 y Fs(k)p Ft(\011)2459 5012 y Fn(r)2503 5055 y Fs(k)2553 5012 y Fr(2)2553 5082 y Fq(HS)2664 5055 y Fv(dr)2764 4945 y Fo(\021)2823 4965 y Fn(p=)p Fr(2)2977 5055 y Fv(:)240 5317 y FE(This)24 b(lemma,)g(the)g(Y)-11 b(oung)25 b(inequality)e(applied)h(to)h(\(8.7\),)f(and)h Fx(P4)g FE(abo)o(v)o(e)e(imply)313 5594 y Fs(j)-17 b(j)g(j)p Fv(Z)7 b Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))o Fs(j)-17 b(j)g(j)618 5546 y Fn(p)618 5623 y Fm(H)686 5599 y Fj(\013)686 5649 y(T)741 5623 y Fn(;p)838 5594 y Ft(=)29 b Fx(E)1010 5483 y Fo(\020)1126 5594 y FE(sup)1069 5680 y Fr(0)p Fm(\024)p Fn(t)p Fm(\024)p Fn(T)1322 5480 y Fo(\015)1322 5539 y(\015)1322 5599 y(\015)1377 5458 y(Z)1477 5483 y Fn(t)1432 5685 y Fr(0)1545 5594 y Fv(A)1620 5551 y Fn(\013)1676 5594 y Fv(e)1722 5551 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))2042 5594 y Fv(Q)2121 5513 y Fo(\000)2167 5594 y Fv(y)t Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))2345 5513 y Fo(\001)2405 5594 y Fv(dW)14 b Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))2689 5480 y Fo(\015)2689 5539 y(\015)2689 5599 y(\015)2745 5504 y Fn(p)2791 5483 y Fo(\021)p eop %%Page: 36 36 36 35 bop 242 -75 a FE(E)t Fu(X)t(I)t(S)t(T)t(E)t(N)t(C)t(E)35 b FE(T)t Fu(H)t(E)t(O)t(R)t(E)t(M)t(S)2349 b Fx(36)390 332 y Fs(\024)29 b Fv(C)7 b(T)646 289 y Fn(\027)696 332 y Fx(E)779 197 y Fo(Z)878 221 y Fn(T)834 423 y Fr(0)941 218 y Fo(\015)941 278 y(\015)941 337 y(\015)996 197 y(Z)1096 221 y Fn(s)1052 423 y Fr(0)1139 332 y Ft(\()p Fv(s)21 b Fs(\000)i Fv(r)s Ft(\))1433 289 y Fm(\000)p Fn(\015)1546 332 y Fv(A)1621 289 y Fn(\013)1677 332 y Fv(e)1723 289 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(s)p Fm(\000)p Fn(r)r Fr(\))2052 332 y Fv(Q)2131 252 y Fo(\000)2176 332 y Fv(y)t Ft(\()p Fv(r)s Ft(\))2355 252 y Fo(\001)2416 332 y Fv(dW)14 b Ft(\()p Fv(r)s Ft(\))2701 218 y Fo(\015)2701 278 y(\015)2701 337 y(\015)2757 242 y Fn(p)2819 332 y Fv(ds)390 622 y Fs(\024)29 b Fv(C)7 b(T)646 579 y Fn(\027)696 622 y Fx(E)779 486 y Fo(Z)878 511 y Fn(T)834 712 y Fr(0)941 511 y Fo(\020)1001 486 y(Z)1100 511 y Fn(s)1056 712 y Fr(0)1143 622 y Ft(\()p Fv(s)21 b Fs(\000)i Fv(r)s Ft(\))1437 579 y Fm(\000)p Fr(2)p Fn(\015)1590 537 y Fo(\015)1590 597 y(\015)1645 622 y Fv(A)1720 579 y Fn(\013)1776 622 y Fv(e)1822 579 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(s)p Fm(\000)p Fn(r)r Fr(\))2151 622 y Fv(Q)2230 541 y Fo(\000)2276 622 y Fv(y)t Ft(\()p Fv(r)s Ft(\))2455 541 y Fo(\001)2499 537 y(\015)2499 597 y(\015)2554 562 y Fr(2)2554 661 y Fq(HS)2665 622 y Fv(dr)2765 511 y Fo(\021)2824 532 y Fn(p=)p Fr(2)2967 622 y Fv(ds)390 911 y Fs(\024)29 b Fv(C)7 b(T)646 868 y Fn(\027)696 911 y Fx(E)779 775 y Fo(Z)878 800 y Fn(T)834 1002 y Fr(0)941 800 y Fo(\020)1001 775 y(Z)1100 800 y Fn(s)1056 1002 y Fr(0)1143 911 y Ft(\()p Fv(s)21 b Fs(\000)i Fv(r)s Ft(\))1437 868 y Fm(\000)p Fr(2)p Fn(\015)1590 826 y Fo(\015)1590 886 y(\015)1645 911 y Fv(A)1720 868 y Fr(3)p Fn(=)p Fr(8)1845 911 y Fv(e)1891 868 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(s)p Fm(\000)p Fn(r)r Fr(\))2220 826 y Fo(\015)2220 886 y(\015)2275 851 y Fr(2)2320 826 y Fo(\015)2320 886 y(\015)2375 911 y Fv(A)2450 868 y Fn(\013)p Fm(\000)p Fr(3)p Fn(=)p Fr(8)2689 911 y Fv(Q)2768 830 y Fo(\000)2813 911 y Fv(y)t Ft(\()p Fv(r)s Ft(\))2992 830 y Fo(\001)3037 826 y(\015)3037 886 y(\015)3092 851 y Fr(2)3092 951 y Fq(HS)3203 911 y Fv(dr)3303 800 y Fo(\021)3362 821 y Fn(p=)p Fr(2)3505 911 y Fv(ds)390 1200 y Fs(\024)29 b Fv(C)7 b(T)646 1157 y Fn(\027)696 1200 y Fx(E)779 1064 y Fo(Z)878 1089 y Fn(T)834 1291 y Fr(0)941 1089 y Fo(\020)1001 1064 y(Z)1100 1089 y Fn(s)1056 1291 y Fr(0)1143 1200 y Ft(\()p Fv(s)21 b Fs(\000)i Fv(r)s Ft(\))1437 1157 y Fm(\000)p Fr(2)p Fn(\015)t Fm(\000)p Fr(3)p Fn(=)p Fr(4)1772 1115 y Fo(\015)1772 1175 y(\015)1827 1200 y Fv(A)1902 1157 y Fn(\013)p Fm(\000)p Fr(3)p Fn(=)p Fr(8)2141 1200 y Fv(Q)2220 1119 y Fo(\000)2266 1200 y Fv(y)t Ft(\()p Fv(r)s Ft(\))2445 1119 y Fo(\001)2489 1115 y(\015)2489 1175 y(\015)2544 1140 y Fr(2)2544 1240 y Fq(HS)2655 1200 y Fv(dr)2755 1089 y Fo(\021)2814 1110 y Fn(p=)p Fr(2)2957 1200 y Fv(ds)390 1489 y Fs(\024)29 b Fv(C)7 b(T)646 1446 y Fn(\027)696 1379 y Fo(\020)755 1354 y(Z)855 1378 y Fn(T)810 1580 y Fr(0)934 1489 y Fv(s)981 1446 y Fm(\000)p Fr(2)p Fn(\015)t Fm(\000)p Fr(3)p Fn(=)p Fr(4)1333 1489 y Fv(ds)1432 1379 y Fo(\021)1491 1399 y Fn(p=)p Fr(2)1618 1489 y Fx(E)1701 1354 y Fo(Z)1800 1378 y Fn(T)1756 1580 y Fr(0)1863 1405 y Fo(\015)1863 1464 y(\015)1918 1489 y Fv(A)1993 1446 y Fn(\013)p Fm(\000)p Fr(3)p Fn(=)p Fr(8)2232 1489 y Fv(Q)p Ft(\()p Fv(y)t Ft(\()p Fv(s)p Ft(\)\))2567 1405 y Fo(\015)2567 1464 y(\015)2621 1429 y Fn(p)2621 1529 y Fq(HS)2731 1489 y Fv(ds)390 1779 y Fs(\024)29 b Fv(C)7 b(T)646 1736 y Fr(1+)p Fn(\027)796 1668 y Fo(\020)856 1643 y(Z)956 1668 y Fn(T)911 1869 y Fr(0)1035 1779 y Fv(s)1082 1736 y Fm(\000)p Fr(2)p Fn(\015)t Fm(\000)p Fr(3)p Fn(=)p Fr(4)1434 1779 y Fv(ds)1533 1668 y Fo(\021)1592 1689 y Fn(p=)p Fr(2)1746 1779 y FE(,)1715 b(\(8.8\))240 2039 y(pro)o(vided)26 b Fv(\015)38 b(<)33 b Ft(1)p Fv(=)p Ft(8)p FE(.)38 b(W)-8 b(e)28 b(choose)f Fv(\015)37 b Ft(=)d(1)p Fv(=)p Ft(16)26 b FE(\(which)i(thus)e(imposes)g (the)i(condition)d Fv(p)33 b(>)g Ft(16)p FE(\),)240 2159 y(and)24 b(we)i(\002nd)1346 2278 y Fs(j)-17 b(j)g(j)p Fv(Z)7 b Ft(\()p Fv(y)t Ft(\))o Fs(j)-17 b(j)g(j)1651 2230 y Fn(p)1651 2307 y Fm(H)1719 2283 y Fj(\013)1719 2333 y(T)1774 2307 y Fn(;p)1871 2278 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b(T)2126 2235 y Fr(1+)p Fn(\027)2112 2305 y Fr(0)2277 2278 y Fv(T)2349 2235 y Fn(p=)p Fr(16)2543 2278 y Fv(:)240 2462 y FE(Thus,)22 b(we)h(ha)n(v)o(e)f(sho)n(wn)f(\(8.6\))i(for)g Fv(p)28 b(>)g Ft(16)p FE(.)h(Since)23 b(we)g(are)g(w)o(orking)f(in)g(a) h(probability)e(space)i(the)240 2582 y(case)i(of)g Fv(p)j Fs(\025)g Ft(1)d FE(follo)n(ws.)k(This)24 b(completes)g(the)g(proof)h (of)g(Proposition)e(8.4.)3677 2582 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 2582 a 240 2786 a Fx(8.2)99 b(A)25 b(Deterministic)g(Pr)n(oblem)240 2942 y FE(The)g(ne)o(xt)e(step)i(in)f(our)h(study)f(of)g(\(8.4\))h(is)g (the)f(analysis)g(of)h(the)f(problem)g(for)h(a)h Fp(\002xed)f FE(instance)f(of)240 3061 y(the)g(noise)h Fv(!)t FE(.)30 b(Then)25 b(\(8.4\))f(is)h(of)g(the)f(form)771 3328 y Fv(h)p Ft(\()p Fv(t;)17 b(\030)5 b(;)17 b(z)t Ft(\))26 b(=)j Fv(e)1309 3285 y Fm(\000)p Fn(At)1466 3328 y Fv(\030)e Ft(+)1636 3192 y Fo(Z)1736 3217 y Fn(t)1691 3419 y Fr(0)1787 3328 y Fv(e)1833 3285 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))2153 3328 y Fv(F)2231 3247 y Fo(\000)2277 3328 y Fv(h)p Ft(\()p Fv(s;)17 b(\030)5 b(;)17 b(z)t Ft(\))2648 3247 y Fo(\001)2708 3328 y Fv(ds)22 b Ft(+)g Fv(z)t Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))28 b FE(,)240 3588 y(where)c(we)h(assume)e (that)h Fv(z)32 b Fs(2)c(H)1396 3545 y Fn(\013)1395 3615 y(T)1458 3588 y FE(.)j(One)24 b(should)f(think)g(of)h(this)f(as)h(an)h (instance)e(of)i Fv(Z)7 b Ft(\(\010\))p FE(,)23 b(b)n(ut)h(at)240 3708 y(this)g(point)f(of)i(our)g(proof,)g(the)f(necessary)h(bounds)f (are)i(not)e(yet)g(a)n(v)n(ailable.)389 3827 y(W)-8 b(e)24 b(\002nd)f(it)g(more)g(con)l(v)o(enient)f(to)h(study)f(instead)h(of)g Fv(h)h FE(the)f(quantity)f Fv(g)k FE(de\002ned)e(by)f Fv(g)t Ft(\()p Fv(t;)17 b(\030)5 b(;)17 b(z)t Ft(\))240 3947 y(=)28 b Fv(h)p Ft(\()p Fv(t;)17 b(\030)5 b(;)17 b(z)t Ft(\))j Fs(\000)j Fv(z)t Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))p FE(.)31 b(Then)25 b Fv(g)j FE(satis\002es)771 4221 y Fv(g)t Ft(\()p Fv(t;)17 b(\030)5 b(;)17 b(z)t Ft(\))25 b(=)j Fv(e)1302 4178 y Fm(\000)p Fn(At)1459 4221 y Fv(\030)f Ft(+)1629 4085 y Fo(Z)1729 4110 y Fn(t)1685 4311 y Fr(0)1781 4221 y Fv(e)1827 4178 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))2146 4221 y Fv(F)2224 4140 y Fo(\000)2270 4221 y Fv(g)t Ft(\()p Fv(s;)17 b(\030)5 b(;)17 b(z)t Ft(\))i(+)k Fv(z)t Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))2930 4140 y Fo(\001)2992 4221 y Fv(ds)k(:)340 b FE(\(8.9\))240 4475 y(W)-8 b(e)26 b(consider)f(the)h(solution)e(\(assuming)g(it)h(e)o(xists\))g(as)h(a)g (map)f(from)h(the)f(initial)g(condition)f Fv(\030)30 b FE(and)240 4595 y(the)24 b(deterministic)g(noise)g(term)g Fv(z)t FE(.)32 b(More)24 b(precisely)-6 b(,)24 b(we)i(de\002ne)1505 4800 y Fv(G)p Ft(\()p Fv(\030)5 b(;)17 b(z)t Ft(\))1805 4826 y Fn(t)1883 4800 y Ft(=)45 b Fv(g)t Ft(\()p Fv(t;)17 b(\030)5 b(;)17 b(z)t Ft(\))24 b Fv(:)240 5004 y FE(This)g(is)g(a)h (map)g(de\002ned)g(on)f Fs(H)g(\002)e(H)1533 4961 y Fn(\013)1532 5031 y(T)1595 5004 y FE(.)31 b(Clearly)-6 b(,)25 b(\(8.9\))f(reads:)774 5280 y Fv(G)p Ft(\()p Fv(\030)5 b(;)17 b(z)t Ft(\))1074 5307 y Fn(t)1152 5280 y Ft(=)45 b Fv(e)1320 5237 y Fm(\000)p Fn(At)1478 5280 y Fv(\030)26 b Ft(+)1648 5144 y Fo(Z)1747 5169 y Fn(t)1703 5371 y Fr(0)1799 5280 y Fv(e)1845 5237 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))2165 5280 y Fv(F)2243 5199 y Fo(\000)2288 5280 y Fv(G)p Ft(\()p Fv(\030)5 b(;)17 b(z)t Ft(\))2588 5307 y Fn(s)2652 5280 y Ft(+)23 b Fv(z)t Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))2927 5199 y Fo(\001)2989 5280 y Fv(ds)k(:)293 b FE(\(8.10\))389 5534 y(T)-8 b(o)30 b(formulate)g(the)g(bounds)f(on)h Fv(G)p FE(,)i(we)f(need)f(some)g (more)g(spaces)g(that)g(tak)o(e)h(into)e(account)240 5653 y(the)24 b(re)o(gularizing)g(ef)n(fect)h(of)g(the)g(semigroup)e Fv(t)28 b Fs(7!)f Fv(e)2077 5610 y Fm(\000)p Fn(At)2235 5653 y FE(.)p eop %%Page: 37 37 37 36 bop 242 -75 a FE(E)t Fu(X)t(I)t(S)t(T)t(E)t(N)t(C)t(E)35 b FE(T)t Fu(H)t(E)t(O)t(R)t(E)t(M)t(S)2349 b Fx(37)240 273 y(De\002nition)25 b(8.6)50 b Fp(F)-10 b(or)29 b Fv(\015)44 b Fs(\025)39 b Ft(0)30 b Fp(the)g(spaces)h Fs(G)1835 225 y Fn(\015)1829 303 y(T)1922 273 y Fp(ar)l(e)g(de\002ned)f(as)h(the) f(closur)l(es)g(of)g Fs(C)6 b Ft(\([0)p Fv(;)17 b(T)d Ft(])p Fv(;)j Fs(H)3589 230 y Fn(\015)3638 273 y Ft(\))240 393 y Fp(under)24 b(the)h(norm)1065 512 y Fs(k)p Fv(y)t Fs(k)1218 539 y Fm(G)1270 506 y Fj(\015)1266 565 y(T)1353 512 y Ft(=)88 b FE(sup)1458 603 y Fn(t)p Fm(2)p Fr(\(0)p Fn(;T)11 b Fr(])1733 512 y Fv(t)1769 470 y Fn(\015)1820 512 y Fs(k)p Fv(y)t Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))o Fs(k)2086 539 y Fn(\015)2159 512 y Ft(+)79 b FE(sup)2259 603 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;T)11 b Fr(])2526 512 y Fs(k)p Fv(y)t Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))n Fs(k)33 b Fv(:)240 778 y FE(Note)24 b(that)1475 897 y Fs(k)p Fv(y)t Fs(k)1628 924 y Fm(G)1680 890 y Fj(\015)1676 950 y(T)1780 897 y Fs(\024)45 b Fv(C)1973 924 y Fn(\015)t(;T)2105 897 y Fs(k)p Fv(y)t Fs(k)2258 924 y Fm(H)2326 890 y Fj(\015)2326 950 y(T)2413 897 y Fv(:)240 1067 y FE(W)l(ith)24 b(these)h (de\002nitions,)e(one)i(has:)240 1285 y Fx(Pr)n(oposition)f(8.7)50 b Fp(Assume)28 b(the)h(conditions)f Fx(P1)p Fp(\226)p Fx(P4)g Fp(ar)l(e)h(satis\002ed.)42 b(Assume)29 b Fv(\030)39 b Fs(2)d(H)31 b Fp(and)d Fv(z)40 b Fs(2)240 1405 y(H)325 1362 y Fn(\013)324 1432 y(T)387 1405 y Fp(.)29 b(Then,)21 b(ther)l(e)f(e)n(xists)g(a)g(map)g Fv(G)28 b Ft(:)f Fs(H)6 b(\002)f(H)1827 1362 y Fn(\013)1826 1432 y(T)1916 1405 y Fs(!)28 b(H)2128 1432 y Fn(T)2211 1405 y Fp(solving)19 b(\(8.10\).)29 b(One)20 b(has)f(the)h(following)240 1524 y(bounds:)243 1672 y FE(\(A\))57 b Fp(If)25 b Fv(\030)32 b Fs(2)c(H)779 1629 y Fn(\015)855 1672 y Fp(with)d Fv(\015)32 b Fs(\024)d Fv(\013)c Fp(one)f(has)h(for)f(e)o(very)h Fv(T)42 b(>)28 b Ft(0)c Fp(the)h(bound)1237 1857 y Fs(k)p Fv(G)p Ft(\()p Fv(\030)5 b(;)17 b(z)t Ft(\))n Fs(k)1635 1884 y Fm(H)1703 1850 y Fj(\015)1703 1910 y(T)1791 1857 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b Ft(\(1)22 b(+)h Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)2334 1884 y Fn(\015)2406 1857 y Ft(+)23 b Fs(k)p Fv(z)t Fs(k)2656 1884 y Fm(H)2724 1850 y Fj(\015)2724 1910 y(T)2784 1857 y Ft(\))28 b Fv(:)557 b FE(\(8.11\))249 2082 y(\(B\))57 b Fp(If)25 b Fv(\030)32 b Fs(2)c(H)e Fp(one)f(has)f(for)g(e)o(very)h Fv(T)42 b(>)28 b Ft(0)d Fp(the)f(bound)1270 2267 y Fs(k)p Fv(G)p Ft(\()p Fv(\030)5 b(;)17 b(z)t Ft(\))o Fs(k)1669 2294 y Fm(G)1721 2270 y Fj(\013)1717 2320 y(T)1804 2267 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b Ft(\(1)22 b(+)h Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)26 b Ft(+)c Fs(k)p Fv(z)t Fs(k)2622 2294 y Fm(H)2690 2270 y Fj(\013)2690 2320 y(T)2751 2267 y Ft(\))28 b Fv(:)590 b FE(\(8.12\))389 2491 y(Before)35 b(we)f(start)f(with)f(the)i(proof)f(proper)h(we)g (note)f(the)g(follo)n(wing)f(re)o(gularizing)g(bound:)240 2611 y(De\002ne)1259 2695 y Fo(\000)1305 2776 y Fs(N)15 b Fv(f)1462 2695 y Fo(\001)1507 2776 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))43 b(=)1786 2640 y Fo(Z)1886 2665 y Fn(t)1841 2867 y Fr(0)1937 2776 y Fv(e)1983 2733 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))2303 2776 y Fv(f)11 b Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))17 b Fv(ds)26 b(:)778 b FE(\(8.13\))240 2984 y(Then)24 b(one)h(has:)240 3202 y Fx(Lemma)g(8.8)49 b Fp(F)-10 b(or)24 b(e)o(very)h Fv(")k Fs(2)f Ft([0)p Fv(;)17 b Ft(1\))23 b Fp(and)h(e)o(very)h Fv(\015)33 b(>)28 b(")e Fp(ther)l(e)f(is)f(a)h(constant)e Fv(C)3072 3229 y Fn(";\015)3210 3202 y Fp(suc)o(h)h(that)1365 3387 y Fs(kN)15 b Fv(f)9 b Fs(k)1620 3414 y Fm(G)1672 3380 y Fj(\015)1668 3440 y(T)1773 3387 y Fs(\024)44 b Fv(C)1965 3414 y Fn(";\015)2078 3387 y Fv(T)14 b Fs(k)p Fv(f)d Fs(k)2310 3419 y Fm(G)2362 3386 y Fj(\015)s Fi(\000)p Fj(")2358 3445 y(T)2527 3387 y Fp(,)240 3611 y(for)24 b(all)g Fv(f)38 b Fs(2)28 b(G)757 3564 y Fn(\015)t Fm(\000)p Fn(")751 3641 y(T)908 3611 y Fp(.)240 3796 y(Pr)l(oof)o(.)47 b FE(W)-8 b(e)26 b(start)e(with)345 3970 y Fo(\015)345 4030 y(\015)401 3974 y(\000)446 4055 y Fs(N)15 b Fv(f)603 3974 y Fo(\001)648 4055 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))761 3970 y Fo(\015)761 4030 y(\015)817 4095 y Fn(\015)912 4055 y Fs(\024)1034 3919 y Fo(Z)1133 3944 y Fn(t=)p Fr(2)1089 4146 y(0)1249 3970 y Fo(\015)1249 4030 y(\015)1304 4055 y Fv(A)1379 4012 y Fn(\015)1430 4055 y Fv(e)1476 4012 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))1796 4055 y Fv(f)c Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))1980 3970 y Fo(\015)1980 4030 y(\015)2057 4055 y Fv(ds)21 b Ft(+)2277 3919 y Fo(Z)2377 3944 y Fn(t)2332 4146 y(t=)p Fr(2)2448 3970 y Fo(\015)2448 4030 y(\015)2503 4055 y Fv(A)2578 4012 y Fn(")2621 4055 y Fv(e)2667 4012 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))2986 4055 y Fv(A)3061 4012 y Fn(\015)t Fm(\000)p Fn(")3212 4055 y Fv(f)11 b Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))3396 3970 y Fo(\015)3396 4030 y(\015)3473 4055 y Fv(ds)912 4366 y Fs(\024)1034 4231 y Fo(Z)1133 4255 y Fn(t=)p Fr(2)1089 4457 y(0)1249 4366 y Ft(\()p Fv(t)22 b Fs(\000)h Fv(s)p Ft(\))1532 4324 y Fm(\000)p Fn(\015)1644 4366 y Fs(k)p Fv(f)11 b Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))o Fs(k)21 b Fv(ds)h Ft(+)2170 4231 y Fo(Z)2269 4255 y Fn(t)2225 4457 y(t=)p Fr(2)2341 4366 y Ft(\()p Fv(t)f Fs(\000)i Fv(s)p Ft(\))2623 4324 y Fm(\000)p Fn(")2727 4366 y Fs(k)p Fv(f)11 b Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))o Fs(k)3011 4393 y Fn(\015)t Fm(\000)p Fn(")3178 4366 y Fv(ds)912 4678 y Fs(\024)1034 4542 y Fo(Z)1133 4567 y Fn(t=)p Fr(2)1089 4768 y(0)1249 4678 y Ft(\()p Fv(t)22 b Fs(\000)h Fv(s)p Ft(\))1532 4635 y Fm(\000)p Fn(\015)1644 4678 y Fs(k)p Fv(f)11 b Fs(k)1804 4710 y Fm(G)1856 4677 y Fj(\015)s Fi(\000)p Fj(")1852 4736 y(T)2010 4678 y Fv(ds)22 b Ft(+)2231 4542 y Fo(Z)2330 4567 y Fn(t)2286 4768 y(t=)p Fr(2)2402 4678 y Ft(\()p Fv(t)f Fs(\000)i Fv(s)p Ft(\))2684 4635 y Fm(\000)p Fn(")2788 4678 y Fv(s)2835 4635 y Fn(")p Fm(\000)p Fn(\015)2986 4678 y Fs(k)p Fv(f)11 b Fs(k)3146 4710 y Fm(G)3198 4677 y Fj(\015)s Fi(\000)p Fj(")3194 4736 y(T)3352 4678 y Fv(ds)912 4914 y Fs(\024)45 b Fv(C)7 b(t)1148 4871 y Fr(1)p Fm(\000)p Fn(\015)1301 4914 y Fs(k)p Fv(f)k Fs(k)1461 4946 y Fm(G)1513 4912 y Fj(\015)s Fi(\000)p Fj(")1509 4972 y(T)1673 4914 y Ft(+)22 b Fv(C)7 b(t)1886 4871 y Fr(1)p Fm(\000)p Fn(")2031 4914 y Fv(t)2067 4871 y Fn(")p Fm(\000)p Fn(\015)2218 4914 y Fs(k)p Fv(f)k Fs(k)2378 4946 y Fm(G)2430 4912 y Fj(\015)s Fi(\000)p Fj(")2426 4972 y(T)2595 4914 y Fv(:)240 5132 y FE(Therefore,)25 b Fv(t)718 5089 y Fn(\015)769 5047 y Fo(\015)769 5107 y(\015)825 5051 y(\000)870 5132 y Fs(N)15 b Fv(f)1027 5051 y Fo(\001)1072 5132 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))1185 5047 y Fo(\015)1185 5107 y(\015)1241 5172 y Fn(\015)1320 5132 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b(T)14 b Fs(k)p Fv(f)d Fs(k)1735 5164 y Fm(G)1787 5131 y Fj(\015)s Fi(\000)p Fj(")1783 5190 y(T)1924 5132 y FE(.)31 b(Similarly)-6 b(,)23 b(we)i(ha)n(v)o(e)837 5335 y Fo(\015)837 5394 y(\015)892 5339 y(\000)938 5419 y Fs(N)15 b Fv(f)1095 5339 y Fo(\001)1140 5419 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))1253 5335 y Fo(\015)1253 5394 y(\015)1358 5419 y Fs(\024)1480 5284 y Fo(Z)1579 5308 y Fn(t)1535 5510 y Fr(0)1614 5335 y Fo(\015)1614 5394 y(\015)1670 5419 y Fv(e)1716 5377 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))2035 5419 y Fv(f)c Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))2219 5335 y Fo(\015)2219 5394 y(\015)2296 5419 y Fv(ds)44 b Fs(\024)h Fv(C)7 b(t)p Fs(k)p Fv(f)k Fs(k)2835 5452 y Fm(G)2887 5418 y Fj(\015)s Fi(\000)p Fj(")2883 5478 y(T)3052 5419 y Fv(:)240 5653 y FE(Combining)23 b(the)i(tw)o(o)f(inequalities,)f(the)i(result)f (follo)n(ws.)3677 5653 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 5653 a eop %%Page: 38 38 38 37 bop 242 -75 a FE(E)t Fu(X)t(I)t(S)t(T)t(E)t(N)t(C)t(E)35 b FE(T)t Fu(H)t(E)t(O)t(R)t(E)t(M)t(S)2349 b Fx(38)240 273 y Fp(Pr)l(oof)23 b(of)i(Pr)l(oposition)c(8.7.)50 b FE(W)-8 b(e)31 b(\002rst)h(choose)f(an)g(initial)f(condition)g Fv(\030)43 b Fs(2)d(H)3011 230 y Fn(\015)3094 273 y FE(and)31 b(a)h(function)240 393 y Fv(z)h Fs(2)28 b(H)498 345 y Fn(\015)497 422 y(T)560 393 y FE(.)k(The)25 b(local)g(e)o(xistence)g (of)g(the)g(solutions)e(in)i Fs(H)2239 350 y Fn(\015)2315 393 y FE(is)g(a)g(well-kno)n(wn)f(result.)31 b(Thus)25 b(there)240 529 y(e)o(xists,)e(for)i(a)g(possibly)e(small)h(time)1542 504 y Fo(e)1525 529 y Fv(T)42 b(>)28 b Ft(0)p FE(,)d(a)g(function)f Fv(u)j Fs(2)i(C)6 b Ft(\([0)p Fv(;)2670 504 y Fo(e)2655 529 y Fv(T)12 b Ft(])p Fv(;)17 b Fs(H)2883 486 y Fn(\015)2934 529 y Ft(\))24 b FE(satisfying)952 818 y Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))k(=)g Fv(e)1302 775 y Fm(\000)p Fn(At)1459 818 y Fv(\030)f Ft(+)1629 682 y Fo(Z)1729 707 y Fn(t)1685 908 y Fr(0)1781 818 y Fv(e)1827 775 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))2146 818 y Fv(F)2224 737 y Fo(\000)2270 818 y Fv(u)p Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))21 b(+)i Fv(z)t Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))2748 737 y Fo(\001)2810 818 y Fv(ds)k(:)240 1093 y FE(In)e(order)g(to)f(get)h(an)g Fp(a)f(priori)g FE(bound)g(on)g Fs(k)p Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))p Fs(k)1952 1120 y Fn(\015)2028 1093 y FE(we)h(use)f (assumption)f Fx(P3)i FE(and)f(\002nd)766 1397 y Fs(k)p Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))o Fs(k)1036 1424 y Fn(\015)1114 1397 y Fs(\024)29 b(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)1369 1424 y Fn(\015)1441 1397 y Ft(+)22 b Fv(C)1611 1424 y Fn(F)r(;\015)1756 1261 y Fo(Z)1855 1286 y Fn(t)1811 1487 y Fr(0)1890 1316 y Fo(\000)1936 1397 y Ft(1)g(+)h Fs(k)p Fv(u)p Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))e(+)h Fv(z)t Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))p Fs(k)2685 1424 y Fn(\015)2736 1316 y Fo(\001)2798 1397 y Fv(ds)1114 1681 y Fs(\024)29 b Fv(C)1298 1600 y Fo(\000)1344 1681 y Ft(1)22 b(+)g Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)1664 1708 y Fn(\015)1736 1681 y Ft(+)23 b Fs(k)p Fv(z)t Fs(k)1986 1708 y Fm(H)2054 1674 y Fj(\015)2054 1734 y(T)2115 1600 y Fo(\001)2182 1681 y Ft(+)g Fv(C)2353 1708 y Fn(F)r(;\015)2497 1545 y Fo(Z)2597 1570 y Fn(t)2553 1772 y Fr(0)2649 1681 y Fs(k)p Fv(u)p Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))o Fs(k)2930 1708 y Fn(\015)2997 1681 y Fv(ds)k(:)240 1950 y FE(By)e(Gronw)o(all')-5 b(s)24 b(lemma)g(we)h(get)f(for)h Fv(t)j(<)g(T)14 b FE(,)1221 2169 y Fs(k)p Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))p Fs(k)1492 2196 y Fn(\015)1570 2169 y Fs(\024)28 b Fv(C)1746 2196 y Fr(1)1791 2169 y Ft(\(1)22 b(+)h Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)2151 2196 y Fn(\015)2223 2169 y Ft(+)22 b Fs(k)p Fv(z)t Fs(k)2472 2196 y Fm(H)2540 2162 y Fj(\015)2540 2222 y(T)2601 2169 y Ft(\))27 b Fv(:)741 b FE(\(8.14\))389 2409 y(Note)32 b(that)f(\(8.14\))h(tells)f(us)h(that)f(if)h(the)g (initial)f(condition)f Fv(\030)36 b FE(is)c(in)f Fs(H)2862 2366 y Fn(\015)2945 2409 y FE(and)h(if)g Fv(z)37 b FE(is)31 b(in)h Fs(H)3590 2361 y Fn(\015)3589 2438 y(T)3652 2409 y FE(,)240 2529 y(then)24 b Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))h FE(is,)g(for)g(small)f(enough)g Fv(t)p FE(,)h(again)g(in)f Fs(H)1963 2486 y Fn(\015)2040 2529 y FE(with)g(the)h(abo)o(v)o(e)f (bound.)30 b(Therefore,)c(we)g(can)240 2648 y(iterate)c(the)g(abo)o(v)o (e)g(reasoning)f(and)i(sho)n(w)e(the)h(global)g(e)o(xistence)f(of)i (the)f(solutions)e(up)i(to)g(time)g Fv(T)14 b FE(,)240 2768 y(with)24 b(bounds.)29 b(Thus,)24 b Fv(G)i FE(is)e(well-de\002ned) h(and)g(satis\002es)f(the)h(bound)f(\(8.11\).)389 2887 y(W)-8 b(e)25 b(turn)g(to)f(the)h(proof)g(of)f(the)h(estimate)f (\(8.12\).)31 b(De\002ne)25 b(for)g Fv(z)33 b Fs(2)28 b(H)2816 2914 y Fn(T)2903 2887 y FE(the)d(map)g Fs(M)3367 2914 y Fn(z)3437 2887 y FE(by)785 3097 y Fo(\000)831 3178 y Fs(M)951 3205 y Fn(z)997 3178 y Ft(\()p Fv(x)p Ft(\))1132 3097 y Fo(\001)1177 3178 y Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))i(=)h Fv(e)1469 3135 y Fm(\000)p Fn(At)1627 3178 y Fv(\030)e Ft(+)1797 3042 y Fo(Z)1896 3067 y Fn(t)1852 3268 y Fr(0)1948 3178 y Fv(e)1994 3135 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))2314 3178 y Fv(F)2392 3097 y Fo(\000)2437 3178 y Fv(x)p Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))21 b(+)i Fv(z)t Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))2915 3097 y Fo(\001)2977 3178 y Fv(ds)28 b(:)304 b FE(\(8.15\))240 3447 y(T)-8 b(aking)28 b Fv(\030)39 b Fs(2)c(H)29 b FE(we)g(see)g(from)f(\(8.14\))h (with)f Fv(\015)39 b Ft(=)d(0)28 b FE(that)g(there)h(e)o(xists)e(a)i (\002x)o(ed)f(point)g Fv(u)h FE(of)f Fs(M)3631 3474 y Fn(z)240 3567 y FE(which)c(satis\002es)892 3786 y Fs(k)p Fv(u)p Fs(k)1049 3813 y Fm(H)1117 3839 y Fj(T)1221 3786 y Ft(=)101 b FE(sup)1343 3876 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;T)11 b Fr(])1610 3786 y Fs(k)p Fv(u)p Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))o Fs(k)49 b(\024)c Fv(C)2122 3813 y Fr(1)2167 3786 y Ft(\(1)22 b(+)g Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)26 b Ft(+)d Fs(k)p Fv(z)t Fs(k)2802 3813 y Fm(H)2870 3839 y Fj(T)2930 3786 y Ft(\))28 b Fv(:)240 4086 y FE(Assume)c(ne)o(xt)g(that)g Fv(z)32 b Fs(2)c(H)1212 4043 y Fn(\013)1211 4113 y(T)1299 4086 y FE(and)d(hence)g Fp(a)g(fortiori)e Fv(z)32 b Fs(2)c(G)2350 4043 y Fn(\013)2344 4113 y(T)2407 4086 y FE(.)j(Then,)25 b(by)f Fx(P3)h FE(one)f(has)1058 4305 y Fs(k)p Fv(F)14 b Ft(\()p Fv(x)22 b Ft(+)g Fv(z)t Ft(\))q Fs(k)1543 4332 y Fm(G)1595 4299 y Fj(\015)1591 4358 y(T)1695 4305 y Fs(\024)45 b Fv(C)1895 4225 y Fo(\000)1941 4305 y Ft(1)22 b(+)g Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)2269 4332 y Fm(G)2321 4299 y Fj(\015)2317 4358 y(T)2399 4305 y Ft(+)h Fs(k)p Fv(z)t Fs(k)2649 4332 y Fm(G)2701 4299 y Fj(\015)2697 4358 y(T)2757 4225 y Fo(\001)2831 4305 y Fv(:)240 4536 y FE(Since)28 b Fv(u)g FE(is)g(a)g(\002x)o(ed)g(point)e(and)i(\(8.15\))g(contains)f (a)h(term)g(of)g(the)g(form)f(of)h(\(8.13\))g(we)g(can)g(apply)240 4655 y(Lemma)c(8.8)g(and)h(obtain)f(for)h(e)n(v)o(ery)f Fv(\015)33 b Fs(\024)28 b Fv(\013)d FE(and)g Fv(")j Fs(2)g Ft([0)p Fv(;)17 b Ft(1\))p FE(:)779 4875 y Fs(k)p Fv(u)p Fs(k)936 4907 y Fm(G)988 4873 y Fj(\015)s Fk(+)p Fj(")984 4933 y(T)1167 4875 y Ft(=)45 b Fs(kM)1459 4901 y Fn(z)1504 4875 y Ft(\()p Fv(u)p Ft(\))p Fs(k)1689 4907 y Fm(G)1741 4873 y Fj(\015)s Fk(+)p Fj(")1737 4933 y(T)1920 4875 y Fs(\024)g Fv(C)7 b Fs(k)p Fv(\030)e Fs(k)26 b Ft(+)d Fv(C)7 b(T)14 b Fs(k)p Fv(F)g Ft(\()p Fv(u)22 b Ft(+)g Fv(z)t Ft(\))q Fs(k)3030 4901 y Fm(G)3082 4868 y Fj(\015)3078 4927 y(T)1167 5058 y Fs(\024)45 b Fv(C)7 b Fs(k)p Fv(\030)e Fs(k)26 b Ft(+)d Fv(C)1720 4977 y Fo(\000)1766 5058 y Ft(1)f(+)g Fs(k)p Fv(u)p Fs(k)2094 5085 y Fm(G)2146 5051 y Fj(\015)2142 5110 y(T)2224 5058 y Ft(+)h Fs(k)p Fv(z)t Fs(k)2474 5085 y Fm(G)2526 5051 y Fj(\015)2522 5110 y(T)2582 4977 y Fo(\001)2656 5058 y Fv(:)752 b FE(\(8.16\))240 5295 y(Thus,)26 b(as)g(long)g(as)h Fs(k)p Fv(z)t Fs(k)1064 5322 y Fm(G)1116 5288 y Fj(\015)1112 5348 y(T)1199 5295 y FE(is)f(\002nite,)g(we)h(can)g(apply)f(repeatedly)h(\(8.16\))f(until) f(reaching)i Fv(\015)36 b Ft(=)31 b Fv(\013)p FE(,)240 5426 y(and)24 b(this)g(pro)o(v)o(es)g(\(8.12\).)30 b(The)25 b(proof)g(of)g(Proposition)e(8.7)i(is)f(complete.)3677 5426 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 5426 a eop %%Page: 39 39 39 38 bop 242 -75 a FE(E)t Fu(X)t(I)t(S)t(T)t(E)t(N)t(C)t(E)35 b FE(T)t Fu(H)t(E)t(O)t(R)t(E)t(M)t(S)2349 b Fx(39)240 273 y(8.3)99 b(Stochastic)25 b(Differ)n(ential)h(Equations)g(in)f (Hilbert)g(Spaces)240 429 y FE(Before)38 b(we)g(can)g(start)f(with)g (the)g(\002nal)h(steps)f(of)g(the)g(proof)h(of)f(Proposition)f(5.1)h (we)h(state)f(in)240 548 y(the)25 b(ne)o(xt)g(subsection)f(a)i(general) g(e)o(xistence)f(theorem)g(for)h(stochastic)f(dif)n(ferential)g (equations)f(in)240 668 y(Hilbert)i(spaces.)36 b(The)27 b(symbol)e Fs(H)j FE(denotes)e(a)h(separable)f(Hilbert)g(space.)37 b(W)-8 b(e)27 b(are)g(interested)f(in)240 787 y(solutions)c(to)j(the)g (SDE)549 992 y Fv(dX)692 949 y Fn(t)754 992 y Ft(=)j(\()p Fs(\000)p Fv(AX)1141 949 y Fn(t)1198 992 y Ft(+)22 b Fv(N)11 b Ft(\()p Fv(t;)17 b(!)t(;)g(X)1710 949 y Fn(t)1743 992 y Ft(\))22 b(+)g Fv(M)2011 949 y Fn(t)2046 992 y Ft(\))17 b Fv(dt)k Ft(+)i Fv(B)5 b Ft(\()p Fv(t;)17 b(!)t(;)g(X)2714 949 y Fn(t)2746 992 y Ft(\))g Fv(dW)d Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))26 b FE(,)309 b(\(8.17\))240 1197 y(where)34 b Fv(W)14 b Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))33 b FE(is)h(the)f(c)o(ylindrical)g(W)l (iener)h(process)f(on)h(a)g(separable)g(Hilbert)f(space)h Fs(H)3419 1224 y Fr(0)3464 1197 y FE(.)58 b(W)-8 b(e)240 1316 y(assume)18 b Fv(B)5 b Ft(\()p Fv(t;)17 b(!)t(;)g(X)955 1274 y Fn(t)987 1316 y Ft(\))28 b(:)f Fs(H)1193 1343 y Fr(0)1266 1316 y Fs(!)g(H)20 b FE(is)f(Hilbert-Schmidt.)28 b(W)-8 b(e)19 b(will)g(denote)g(by)g Ft(\012)g FE(the)g(underlying)240 1436 y(probability)k(space)i(and)g(by)f Fs(f)p Fd(F)1380 1463 y Fn(t)1415 1436 y Fs(g)1465 1463 y Fn(t)p Fm(\025)p Fr(0)1627 1436 y FE(the)h(associated)f(\002ltration.)389 1556 y(The)h(e)o(xact)g(conditions)e(spell)h(out)g(as)h(follo)n(ws:)260 1703 y Fx(C1)56 b FE(The)25 b(operator)f Fv(A)k Ft(:)f Fs(D)s Ft(\()p Fv(A)p Ft(\))f Fs(!)i(H)e FE(is)e(the)g(generator)h(of)f (a)h(strongly)e(continuous)g(semigroup)438 1823 y(in)i Fs(H)q FE(.)260 1971 y Fx(C2)56 b FE(There)27 b(e)o(xists)e(a)i (constant)f Fv(C)38 b(>)31 b Ft(0)c FE(such)f(that)g(for)h(arbitrary)f Fv(x;)17 b(y)34 b Fs(2)d(H)q FE(,)c Fv(t)k Fs(\025)g Ft(0)c FE(and)f Fv(!)35 b Fs(2)c Ft(\012)438 2090 y FE(the)25 b(estimates)610 2295 y Fs(k)p Fv(N)11 b Ft(\()p Fv(t;)17 b(!)t(;)g(x)p Ft(\))i Fs(\000)k Fv(N)11 b Ft(\()p Fv(t;)17 b(!)t(;)g(y)t Ft(\))m Fs(k)27 b Ft(+)22 b Fs(k)p Fv(B)5 b Ft(\()p Fv(t;)17 b(!)t(;)g(x)p Ft(\))i Fs(\000)k Fv(B)5 b Ft(\()p Fv(t;)17 b(!)t(;)g(y)t Ft(\))p Fs(k)2815 2322 y Fq(HS)2933 2295 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b Fs(k)p Fv(x)23 b Fs(\000)f Fv(y)t Fs(k)32 b FE(,)1038 2445 y Fs(k)p Fv(N)11 b Ft(\()p Fv(t;)17 b(!)t(;)g(x)p Ft(\))m Fs(k)1553 2402 y Fr(2)1620 2445 y Ft(+)22 b Fs(k)p Fv(B)5 b Ft(\()p Fv(t;)17 b(!)t(;)g(x)p Ft(\))p Fs(k)2227 2402 y Fr(2)2227 2472 y Fq(HS)2346 2445 y Fs(\024)28 b Fv(C)2529 2402 y Fr(2)2574 2445 y Ft(\(1)22 b(+)g Fs(k)p Fv(x)p Fs(k)2941 2402 y Fr(2)2986 2445 y Ft(\))27 b FE(,)438 2649 y(hold.)260 2797 y Fx(C3)56 b FE(F)o(or)28 b(arbitrary)h Fv(x;)17 b(h)34 b Fs(2)g(H)c FE(and)e Fv(h)1611 2824 y Fr(0)1691 2797 y Fs(2)34 b(H)1875 2824 y Fr(0)1920 2797 y FE(,)29 b(the)g(stochastic)e(processes)h Fs(h)p Fv(N)11 b Ft(\()p Fs(\001)p Fv(;)17 b Fs(\001)p Fv(;)g(x)p Ft(\))p Fv(;)g(h)p Fs(i)25 b FE(and)438 2917 y Fs(h)p Fv(B)5 b Ft(\()p Fs(\001)p Fv(;)17 b Fs(\001)p Fv(;)g(x)p Ft(\))p Fv(h)896 2944 y Fr(0)938 2917 y Fv(;)g(h)p Fs(i)24 b FE(are)i(predictable.)260 3065 y Fx(C4)56 b FE(The)25 b Fs(H)q FE(-v)n(alued)f(stochastic)f (process)i Fv(M)1873 3022 y Fn(t)1932 3065 y FE(is)f(predictable,)g (has)h(continuous)e(sample)h(paths,)438 3184 y(and)h(satis\002es)1646 3304 y(sup)1590 3394 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;T)11 b Fr(])1857 3304 y Fx(E)28 b Fs(k)p Fv(M)2109 3261 y Fn(t)2144 3304 y Fs(k)2194 3261 y Fn(p)2267 3304 y Fv(<)g Fs(1)g FE(,)438 3551 y(for)d(e)n(v)o(ery)f Fv(T)42 b(>)28 b Ft(0)d FE(and)g(e)n(v)o(ery)f Fv(p)k Fs(\025)g Ft(1)p FE(.)260 3699 y Fx(C5)56 b FE(F)o(or)32 b(arbitrary)g Fv(t)40 b(>)h Ft(0)32 b FE(and)g Fv(!)44 b Fs(2)d Ft(\012)p FE(,)33 b(the)f(maps)f Fv(x)41 b Fs(7!)f Fv(N)11 b Ft(\()p Fv(t;)17 b(!)t(;)g(x)p Ft(\))29 b FE(and)j Fv(x)41 b Fs(7!)f Fv(B)5 b Ft(\()p Fv(t;)17 b(!)t(;)g(x)p Ft(\))438 3818 y FE(are)25 b(twice)g(continuously)d(dif)n(ferentiable)i(with)f (their)h(deri)n(v)n(ati)n(v)o(es)e(bounded)i(by)g(a)h(constant)438 3938 y(independent)f(of)h Fv(t)p FE(,)g Fv(x)g FE(and)f Fv(!)t FE(.)240 4086 y(W)-8 b(e)25 b(ha)n(v)o(e)f(the)h(follo)n(wing)e (e)o(xistence)h(theorem.)240 4316 y Fx(Theor)n(em)i(8.9)50 b Fp(Assume)24 b(that)g Fv(\030)32 b Fs(2)c(H)e Fp(and)e(that)g Fx(C1)h Fp(\226)f Fx(C4)h Fp(ar)l(e)g(satis\002ed.)332 4464 y(\226)56 b(F)-10 b(or)35 b(any)h Fv(T)62 b(>)48 b Ft(0)p Fp(,)39 b(ther)l(e)d(e)n(xists)f(a)h(mild)f(solution)f Fv(X)2391 4421 y Fn(t)2383 4491 y(\030)2462 4464 y Fp(of)h(\(8.17\))h (with)g Fv(X)3151 4421 y Fr(0)3143 4491 y Fn(\030)3243 4464 y Ft(=)48 b Fv(\030)5 b Fp(.)63 b(This)438 4584 y(solution)23 b(is)i(unique)f(among)g(the)g Fs(H)q Fp(-valued)h(pr)l (ocesses)f(satisfying)1414 4874 y Fx(P)1491 4703 y Fo( )1570 4738 y(Z)1670 4763 y Fn(T)1626 4965 y Fr(0)1733 4789 y Fo(\015)1733 4849 y(\015)1788 4874 y Fv(X)1879 4831 y Fn(t)1871 4901 y(\030)1914 4789 y Fo(\015)1914 4849 y(\015)1969 4814 y Fr(2)2031 4874 y Fv(dt)j(<)h Fs(1)2351 4703 y Fo(!)2474 4874 y Ft(=)45 b(1)27 b Fv(:)438 5162 y Fp(Furthermor)l(e)o(,)d Fv(X)1081 5189 y Fn(\030)1149 5162 y Fp(has)g(a)h(continuous)e(ver)o(sion)h(and)h(is)f(str)l(ongly)f (Mark)o(o)o(v)-7 b(.)332 5310 y(\226)56 b(F)-10 b(or)24 b(e)o(very)h Fv(p)j Fs(\025)g Ft(1)d Fp(and)f Fv(T)42 b(>)28 b Ft(0)p Fp(,)d(ther)l(e)g(e)n(xists)f(a)h(constant)e Fv(C)2556 5336 y Fn(p;T)2709 5310 y Fp(suc)o(h)h(that)1297 5535 y Fx(E)1364 5455 y Fo(\000)1465 5535 y FE(sup)1409 5626 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;T)11 b Fr(])1659 5451 y Fo(\015)1659 5510 y(\015)1715 5535 y Fv(X)1806 5492 y Fn(t)1798 5562 y(\030)1841 5451 y Fo(\015)1841 5510 y(\015)1896 5475 y Fn(p)1942 5455 y Fo(\001)2016 5535 y Fs(\024)28 b Fv(C)2192 5562 y Fn(p;T)2319 5535 y Ft(\(1)22 b(+)h Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)2679 5492 y Fn(p)2724 5535 y Ft(\))27 b Fv(:)618 b FE(\(8.18\))p eop %%Page: 40 40 40 39 bop 242 -75 a FE(E)t Fu(X)t(I)t(S)t(T)t(E)t(N)t(C)t(E)35 b FE(T)t Fu(H)t(E)t(O)t(R)t(E)t(M)t(S)2349 b Fx(40)332 273 y Fp(\226)56 b(If)o(,)28 b(in)g(addition,)e Fx(C5)i Fp(is)f(satis\002ed,)g(the)g(mapping)g Fv(\030)37 b Fs(7!)32 b Fv(X)2496 230 y Fn(t)2488 300 y(\030)2532 273 y Ft(\()p Fv(!)t Ft(\))26 b Fp(has)i(a.s.)f(bounded)g(partial)438 393 y(derivatives)34 b(with)h(r)l(espect)g(to)g(the)g(initial)e (condition)h Fv(\030)5 b Fp(.)60 b(These)36 b(derivatives)e(satisfy)g (the)438 512 y(SDE')l(s)25 b(obtained)e(by)i(formally)f(dif)n(fer)l (entiating)e(\(8.17\))j(with)f(r)l(espect)h(to)g Fv(X)8 b Fp(.)240 731 y(Pr)l(oof)o(.)47 b FE(The)28 b(proof)f(of)h(this)e (theorem)h(for)h(the)f(case)h Fv(M)2197 688 y Fn(t)2264 731 y Fs(\021)33 b Ft(0)28 b FE(can)f(be)h(found)f(in)g([DPZ96].)39 b(The)240 851 y(same)24 b(proof)h(carries)g(through)f(for)h(the)g(case) g(of)g(non-v)n(anishing)e Fv(M)2628 808 y Fn(t)2687 851 y FE(satisfying)h Fx(C4)p FE(.)3677 851 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 851 a 240 1069 a Fx(8.4)99 b(Bounds)26 b(on)f(the)h(Cutoff)f(Dynamics)g(\(Pr) n(oof)g(of)g(Pr)n(oposition)g(5.1\))240 1225 y FE(W)l(ith)c(the)h (tools)f(from)h(stochastic)f(analysis)g(in)h(place,)h(we)f(can)h(no)n (w)e(pro)o(v)o(e)g(Proposition)g(5.1.)30 b(W)-8 b(e)240 1344 y(start)24 b(with)g(the)240 1563 y Fx(Pr)n(oof)h(of)g(\(A\).)50 b FE(In)29 b(this)g(case)h(we)f(identify)g(the)g(equation)f(\(8.17\))i (with)e(\(4.2\))i(and)f(apply)g(Theo-)240 1682 y(rem)f(8.9.)42 b(The)29 b(condition)e Fx(C1)h FE(of)h(Theorem)f(8.9)g(is)g(ob)o (viously)f(true,)i(and)g(the)f(condition)f Fx(C3)h FE(is)240 1802 y(redundant)c(in)g(this)f(case.)32 b(The)24 b(condition)f Fx(C2)h FE(is)g(satis\002ed)h(because)g Fv(F)38 b FE(and)24 b Fv(Q)h FE(of)f(\(8.17\))h(satisfy)240 1921 y Fx(P2)p FE(\226)p Fx(P4)p FE(.)k(Therefore,)c(\(8.18\))e(holds)g(and)h(hence)g (we)g(ha)n(v)o(e)f(sho)n(wn)g(\(5.1a\))h(for)g(the)f(case)h(of)g Fv(\015)33 b Ft(=)28 b(0)p FE(.)240 2041 y(In)d(particular)l(,)f Ft(\010)847 1998 y Fn(t)847 2068 y(\045)918 2041 y FE(e)o(xists)g(and)h (satis\002es)934 2344 y Ft(\010)1006 2302 y Fn(t)1006 2371 y(\045)1052 2344 y Ft(\()p Fv(\030)5 b(;)17 b(!)t Ft(\))42 b(=)j Fv(e)1500 2302 y Fm(\000)p Fn(At)1657 2344 y Fv(\030)27 b Ft(+)1827 2209 y Fo(Z)1927 2233 y Fn(t)1883 2435 y Fr(0)1979 2344 y Fv(e)2025 2302 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))2344 2344 y Fv(F)2422 2264 y Fo(\000)2468 2344 y Ft(\010)2540 2302 y Fn(s)2540 2371 y(\045)2586 2344 y Ft(\()p Fv(\030)5 b(;)17 b(!)t Ft(\))2824 2264 y Fo(\001)2884 2344 y Fv(ds)1376 2629 y Ft(+)1476 2493 y Fo(Z)1576 2518 y Fn(t)1531 2720 y Fr(0)1627 2629 y Fv(e)1673 2586 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))1993 2629 y Fv(Q)2072 2548 y Fo(\000)2117 2629 y Ft(\010)2189 2586 y Fn(s)2189 2656 y(\045)2236 2629 y Ft(\()p Fv(\030)5 b(;)17 b(!)t Ft(\))2474 2548 y Fo(\001)2533 2629 y Fv(dW)d Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))27 b Fv(:)3436 2480 y FE(\(8.19\))389 2897 y(W)-8 b(e)25 b(can)h(e)o(xtend)e(\(5.1a\))h(to)f(arbitrary)h Fv(\015)33 b Fs(\024)28 b Fv(\013)d FE(as)g(follo)n(ws.)k(W)-8 b(e)25 b(set)g(as)g(in)f(\(8.5\),)907 3100 y Fo(\000)952 3181 y Fv(Z)7 b Ft(\(\010)1138 3208 y Fn(\045)1184 3181 y Ft(\))1223 3100 y Fo(\001)1269 3221 y Fn(t)1304 3181 y Ft(\()p Fv(!)t Ft(\))43 b(=)1613 3046 y Fo(Z)1713 3070 y Fn(t)1668 3272 y Fr(0)1764 3181 y Fv(e)1810 3138 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))2130 3181 y Fv(Q)2209 3100 y Fo(\000)2255 3181 y Ft(\010)2327 3138 y Fn(s)2327 3208 y(\045)2373 3181 y Ft(\()p Fv(\030)5 b(;)17 b(!)t Ft(\))2611 3100 y Fo(\001)2671 3181 y Fv(dW)d Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))26 b Fv(:)426 b FE(\(8.20\))240 3449 y(By)25 b(Proposition)e(8.4,)i(we)g(\002nd)g(that)f(for)h(all)g Fv(p)i Fs(\025)i Ft(1)24 b FE(one)h(has)1107 3611 y Fo( )1186 3782 y Fx(E)1253 3808 y Fn(!)1383 3782 y FE(sup)1327 3872 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;T)11 b Fr(])1594 3782 y Fs(k)p Ft(\()p Fv(Z)c Ft(\(\010)1869 3808 y Fn(\045)1914 3782 y Ft(\)\))1992 3808 y Fn(t)2027 3782 y Ft(\()p Fv(!)t Ft(\))o Fs(k)2220 3739 y Fn(p)2220 3808 y(\013)2277 3611 y Fo(!)2355 3632 y Fr(1)p Fn(=p)2510 3782 y Fv(<)28 b(C)2686 3808 y Fn(T)6 b(;p)3436 3782 y FE(\(8.21\))240 4084 y(for)25 b(all)f Fv(\030)5 b FE(.)30 b(From)25 b(this,)f(we)h(conclude)f(that,)h (almost)e(surely)-6 b(,)1395 4303 y(sup)1340 4393 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;T)11 b Fr(])1606 4303 y Fs(k)p Ft(\()p Fv(Z)c Ft(\(\010)1881 4330 y Fn(\045)1927 4303 y Ft(\)\))2005 4330 y Fn(t)2040 4303 y Ft(\()p Fv(!)t Ft(\))o Fs(k)2233 4330 y Fn(\013)2317 4303 y Fv(<)28 b Fs(1)f Fv(:)859 b FE(\(8.22\))240 4598 y(Subtracting)24 b(\(8.20\))h(from)f(\(8.19\))h (we)g(get)603 4882 y Ft(\010)675 4839 y Fn(t)675 4909 y(\045)721 4882 y Ft(\()p Fv(\030)5 b(;)17 b(!)t Ft(\))j Fs(\000)1078 4802 y Fo(\000)1124 4882 y Fv(Z)7 b Ft(\(\010)1310 4909 y Fn(\045)1356 4882 y Ft(\))1395 4802 y Fo(\001)1441 4922 y Fn(t)1476 4882 y Ft(\()p Fv(!)t Ft(\))43 b(=)i Fv(e)1831 4839 y Fm(\000)p Fn(At)1988 4882 y Fv(\030)27 b Ft(+)2158 4747 y Fo(Z)2258 4771 y Fn(t)2214 4973 y Fr(0)2310 4882 y Fv(e)2356 4839 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))2676 4882 y Fv(F)2754 4802 y Fo(\000)2799 4882 y Ft(\010)2871 4839 y Fn(s)2871 4909 y(\045)2917 4882 y Ft(\()p Fv(\030)5 b(;)17 b(!)t Ft(\))3155 4802 y Fo(\001)3215 4882 y Fv(ds)430 5167 y Ft(=)45 b Fv(e)598 5124 y Fm(\000)p Fn(At)756 5167 y Fv(\030)26 b Ft(+)925 5031 y Fo(Z)1025 5056 y Fn(t)981 5258 y Fr(0)1077 5167 y Fv(e)1123 5124 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))1443 5167 y Fv(F)1521 5056 y Fo(\020)1580 5167 y Ft(\010)1652 5124 y Fn(s)1652 5194 y(\045)1698 5167 y Ft(\()p Fv(\030)5 b(;)17 b(!)t Ft(\))j Fs(\000)2056 5086 y Fo(\000)2101 5167 y Fv(Z)7 b Ft(\(\010)2287 5194 y Fn(\045)2333 5167 y Ft(\))2372 5086 y Fo(\001)2418 5207 y Fn(s)2460 5167 y Ft(\()p Fv(!)t Ft(\))22 b(+)2725 5086 y Fo(\000)2771 5167 y Fv(Z)7 b Ft(\(\010)2957 5194 y Fn(\045)3003 5167 y Ft(\))3042 5086 y Fo(\001)3087 5207 y Fn(s)3130 5167 y Ft(\()p Fv(!)t Ft(\))3274 5056 y Fo(\021)3349 5167 y Fv(ds)27 b(:)3436 5018 y FE(\(8.23\))240 5435 y(Comparing)d(\(8.23\))h(with)f(\(8.10\))g(we)h(see)g(that,)g (a.s.,)912 5653 y Ft(\010)984 5610 y Fn(t)984 5680 y(\045)1031 5653 y Ft(\()p Fv(\030)5 b(;)17 b(!)t Ft(\))i Fs(\000)1388 5572 y Fo(\000)1434 5653 y Fv(Z)7 b Ft(\(\010)1620 5680 y Fn(\045)1666 5653 y Ft(\))1705 5572 y Fo(\001)1750 5693 y Fn(t)1785 5653 y Ft(\()p Fv(!)t Ft(\))27 b(=)h Fv(G)2139 5572 y Fo(\000)2185 5653 y Fv(\030)5 b(;)17 b(Z)2354 5572 y Fo(\000)2398 5653 y Ft(\010)2470 5680 y Fn(\045)2517 5653 y Ft(\()p Fv(\030)5 b(;)17 b Fs(\001)p Ft(\))2717 5572 y Fo(\001)2760 5653 y Ft(\()p Fv(!)t Ft(\))2904 5572 y Fo(\001)2976 5653 y Fv(:)p eop %%Page: 41 41 41 40 bop 242 -75 a FE(E)t Fu(X)t(I)t(S)t(T)t(E)t(N)t(C)t(E)35 b FE(T)t Fu(H)t(E)t(O)t(R)t(E)t(M)t(S)2349 b Fx(41)240 273 y FE(W)-8 b(e)25 b(no)n(w)f(use)h Fv(z)k FE(as)c(a)g(shorthand:) 1376 463 y Fv(z)t Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))44 b(=)1706 352 y Fo(\020)1765 463 y Fv(Z)1840 382 y Fo(\000)1886 463 y Ft(\010)1958 490 y Fn(\045)2005 463 y Ft(\()p Fv(\030)5 b(;)17 b Fs(\001)p Ft(\))2205 382 y Fo(\001)2248 352 y(\021)2307 533 y Fn(t)2342 463 y Ft(\()p Fv(!)t Ft(\))27 b Fv(:)240 688 y FE(Assume)32 b(no)n(w)g Fv(\030)48 b Fs(2)43 b(H)1082 645 y Fn(\015)1134 688 y FE(.)56 b(Note)33 b(that)f(by)h(\(8.22\),)i Fv(z)t Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))f FE(is)f(in)f Fs(H)2551 645 y Fn(\013)2608 688 y FE(.)56 b(If)34 b Fv(\015)48 b Fs(\024)c Fv(\013)p FE(,)35 b(we)f(can)f(apply) 240 807 y(Proposition)23 b(8.7)i(and)f(from)h(\(8.11\))f(we)i(conclude) e(that)g(almost)g(surely)-6 b(,)997 997 y(sup)941 1087 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;T)11 b Fr(])1208 997 y Fs(k)p Fv(G)p Ft(\()p Fv(\030)5 b(;)17 b(z)t Ft(\))n Fs(k)1606 1024 y Fn(\015)1685 997 y Fs(\024)28 b Fv(C)1868 916 y Fo(\000)1914 997 y Ft(1)22 b(+)h Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)2235 1024 y Fn(\015)2307 997 y Ft(+)78 b FE(sup)2406 1087 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;T)11 b Fr(])2673 997 y Fs(k)p Fv(z)t Fs(k)2823 1024 y Fn(\015)2875 916 y Fo(\001)2948 997 y Fv(:)389 1263 y FE(Finally)-6 b(,)24 b(since)g Fv(\015)33 b Fs(\024)28 b Fv(\013)p FE(,)d(we)g(\002nd)419 1509 y Fx(E)486 1368 y Fo(\022)615 1509 y FE(sup)559 1599 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;T)11 b Fr(])826 1509 y Fs(k)p Ft(\010)948 1466 y Fn(t)948 1536 y(\045)994 1509 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))n Fs(k)1169 1466 y Fn(p)1169 1536 y(\015)1220 1368 y Fo(\023)1338 1509 y Fs(\024)45 b Fv(C)7 b Fx(E)1604 1368 y Fo(\022)1734 1509 y FE(sup)1678 1599 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;T)k Fr(])1944 1509 y Fs(k)p Fv(G)p Ft(\()p Fv(\030)5 b(;)17 b(z)t Ft(\))2294 1536 y Fn(t)2328 1509 y Fs(k)2378 1466 y Fn(p)2378 1536 y(\015)2429 1368 y Fo(\023)2525 1509 y Ft(+)22 b Fv(C)7 b Fx(E)2769 1368 y Fo(\022)2898 1509 y FE(sup)2842 1599 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;T)k Fr(])3109 1509 y Fs(k)p Fv(z)t Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))p Fs(k)3373 1466 y Fn(p)3373 1536 y(\015)3424 1368 y Fo(\023)1338 1811 y Fs(\024)45 b Fv(C)7 b Ft(\(1)22 b(+)g Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)1897 1838 y Fn(\015)1947 1811 y Ft(\))1986 1768 y Fn(p)2054 1811 y Ft(+)23 b Fv(C)7 b Fx(E)2299 1671 y Fo(\022)2428 1811 y FE(sup)2372 1902 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;T)k Fr(])2639 1811 y Fs(k)p Fv(z)t Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))p Fs(k)2903 1768 y Fn(p)2903 1838 y(\015)2954 1671 y Fo(\023)1338 2044 y Fs(\024)45 b Fv(C)7 b Ft(\(1)22 b(+)g Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)1897 2070 y Fn(\015)1947 2044 y Ft(\))1986 2001 y Fn(p)2060 2044 y FE(,)1351 b(\(8.24\))240 2233 y(where)28 b(we)g(applied)g(\(8.21\))f(to)h(get)g(the)g(last)f(inequality)-6 b(.)38 b(Thus,)28 b(we)g(ha)n(v)o(e)g(sho)n(wn)f(\(5.1a\))h(for)g(all) 240 2353 y Fv(\015)42 b Fs(\024)37 b Fv(\013)p FE(.)47 b(The)29 b(f)o(act)i(that)e(the)h(solution)e(is)h(strong)g(if)h Fv(\015)42 b Fs(\025)c Ft(1)30 b FE(is)f(an)h(immediate)f(consequence)h (of)240 2472 y([Lun95)o(,)25 b(Lemma)f(4.1.6])g(and)h([DPZ92,)g(Thm.)f (5.29].)240 2662 y Fx(Pr)n(oof)h(of)g(\(B\).)50 b FE(This)34 b(bound)g(can)g(be)h(sho)n(wn)e(in)h(a)h(similar)f(w)o(ay)-6 b(,)36 b(using)e(the)g(bound)g(\(8.12\))g(of)240 2782 y(Proposition)c(8.7:)44 b(T)-8 b(ak)o(e)32 b Fv(\030)45 b Fs(2)c(H)q FE(.)51 b(By)32 b(the)g(abo)o(v)o(e,)g(we)g(kno)n(w)f (that)g(there)h(e)o(xists)e(a)i(solution)e(to)240 2901 y(\(8.19\))e(satisfying)f(the)h(bound)g(\(5.1b\))g(with)g Fv(\015)39 b Ft(=)c(0)p FE(.)41 b(W)-8 b(e)29 b(de\002ne)g Fv(z)t Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))g FE(and)f Fv(G)p Ft(\()p Fv(\030)5 b(;)17 b(z)t Ft(\))3243 2928 y Fn(t)3306 2901 y FE(as)28 b(abo)o(v)o(e.)240 3021 y(But)33 b(no)n(w)g(we)h(apply)g (the)f(bound)g(\(8.12\))g(of)h(Proposition)e(8.7)i(and)f(we)h(conclude) g(that)f(almost)240 3140 y(surely)-6 b(,)968 3260 y(sup)912 3350 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;T)11 b Fr(])1179 3260 y Fv(t)1215 3217 y Fn(\013)1271 3260 y Fs(k)p Fv(G)p Ft(\()p Fv(\030)5 b(;)17 b(z)t Ft(\))o Fs(k)1670 3287 y Fn(\013)1754 3260 y Fs(\024)29 b Fv(C)1938 3179 y Fo(\000)1984 3260 y Ft(1)22 b(+)g Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)26 b Ft(+)79 b FE(sup)2430 3350 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;T)11 b Fr(])2696 3260 y Fs(k)p Fv(z)t Fs(k)2846 3287 y Fn(\013)2904 3179 y Fo(\001)2977 3260 y Fv(:)240 3498 y FE(F)o(ollo)n(wing)22 b(a)j(procedure)h(similar)d(to)i(\(8.24\),)f(we)h(conclude)g(that)f (\(5.1b\))h(holds.)240 3687 y Fx(Pr)n(oof)g(of)g(\(C\).)50 b FE(The)32 b(e)o(xistence)f(of)h(the)g(partial)g(deri)n(v)n(ati)n(v)o (es)d(follo)n(ws)i(from)g(Theorem)h(8.9.)52 b(T)-8 b(o)240 3807 y(sho)n(w)34 b(the)h(bound,)i(choose)e Fv(\030)51 b Fs(2)c(H)37 b FE(and)e Fv(h)47 b Fs(2)g(H)37 b FE(with)d Fs(k)p Fv(h)p Fs(k)47 b Ft(=)g(1)p FE(,)38 b(and)d(de\002ne)h(the)f (process)240 3927 y Ft(\011)317 3884 y Fn(t)380 3927 y Ft(=)485 3846 y Fo(\000)531 3927 y Fv(D)s Ft(\010)688 3884 y Fn(t)688 3953 y(\045)734 3927 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))861 3846 y Fo(\001)906 3927 y Fv(h)p FE(.)31 b(It)25 b(is)f(by)g(Theorem)h(8.9)f(a)i(mild)d(solution)g(to)i(the)f (equation)334 4162 y Fv(d)p Ft(\011)463 4119 y Fn(t)526 4162 y Ft(=)k Fs(\000)p Fv(A)p Ft(\011)860 4119 y Fn(t)912 4162 y Fv(dt)22 b Ft(+)1122 4051 y Fo(\020)1181 4081 y(\000)1227 4162 y Fv(D)s(F)36 b Fs(\016)22 b Ft(\010)1556 4119 y Fn(t)1556 4189 y(\045)1603 4081 y Fo(\001)1648 4162 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\)\011)1852 4119 y Fn(t)1886 4051 y Fo(\021)1963 4162 y Fv(dt)21 b Ft(+)2172 4051 y Fo(\020)2232 4081 y(\000)2277 4162 y Fv(D)s(Q)h Fs(\016)g Ft(\010)2607 4119 y Fn(t)2607 4189 y(\045)2654 4081 y Fo(\001)2699 4162 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\)\011)2903 4119 y Fn(t)2938 4051 y Fo(\021)3014 4162 y Fv(dW)14 b Ft(\()p Fv(t)p Ft(\))27 b Fv(:)93 b FE(\(8.25\))240 4375 y(By)34 b Fx(P3)g FE(and)g Fx(P5)p FE(,)j(this)c(equation)g (satis\002es)h(conditions)e Fx(C1)p FE(\226)p Fx(C3)i FE(of)g(Theorem)g(8.9,)i(so)e(we)h(can)240 4495 y(apply)25 b(it)g(to)g(get)h(the)f(desired)h(bound)e(\(5.1c\).)34 b(\(The)26 b(constant)e(term)i(drops)f(since)g(the)h(problem)e(is)240 4614 y(linear)g(in)h Fv(h)p FE(.\))240 4804 y Fx(Pr)n(oof)g(of)g (\(D\).)50 b FE(Choose)34 b Fv(h)46 b Fs(2)g(H)35 b FE(and)g Fv(\030)49 b Fs(2)d(H)1958 4761 y Fn(\013)2050 4804 y FE(and)34 b(de\002ne)h(as)g(abo)o(v)o(e)e Ft(\011)2970 4761 y Fn(t)3051 4804 y Ft(=)3174 4723 y Fo(\000)3220 4804 y Fv(D)s Ft(\010)3377 4761 y Fn(t)3377 4831 y(\045)3423 4804 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))3550 4723 y Fo(\001)3595 4804 y Fv(h)p FE(,)240 4924 y(which)24 b(is)g(the)h(mild)f(solution)f (to)h(\(8.25\))h(with)f(initial)f(condition)h Fv(h)p FE(.)31 b(W)-8 b(e)25 b(write)g(this)e(as)912 5175 y Ft(\011)989 5132 y Fn(t)1053 5175 y Ft(=)28 b Fv(e)1204 5132 y Fm(\000)p Fn(At)1361 5175 y Fv(h)23 b Ft(+)1540 5040 y Fo(Z)1640 5064 y Fn(t)1596 5266 y Fr(0)1692 5175 y Fv(e)1738 5132 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))2058 5065 y Fo(\020)2117 5095 y(\000)2163 5175 y Fv(D)s(F)36 b Fs(\016)22 b Ft(\010)2492 5132 y Fn(s)2492 5202 y(\045)2538 5095 y Fo(\001)2584 5175 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\)\011)2788 5132 y Fn(s)2830 5065 y Fo(\021)2906 5175 y Fv(ds)1147 5460 y Ft(+)1246 5324 y Fo(Z)1346 5349 y Fn(t)1302 5550 y Fr(0)1398 5460 y Fv(e)1444 5417 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))1763 5349 y Fo(\020)1823 5379 y(\000)1868 5460 y Fv(D)s(Q)23 b Fs(\016)f Ft(\010)2199 5417 y Fn(s)2199 5487 y(\045)2245 5379 y Fo(\001)2291 5460 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\)\011)2495 5417 y Fn(s)2536 5349 y Fo(\021)2612 5460 y Fv(dW)14 b Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))1053 5676 y Fs(\021)28 b Fv(S)1225 5633 y Fn(t)1219 5703 y Fr(1)1286 5676 y Ft(+)22 b Fv(S)1452 5633 y Fn(t)1446 5703 y Fr(2)1513 5676 y Ft(+)h Fv(S)1680 5633 y Fn(t)1674 5703 y Fr(3)1746 5676 y Fv(:)p eop %%Page: 42 42 42 41 bop 242 -75 a FE(E)t Fu(X)t(I)t(S)t(T)t(E)t(N)t(C)t(E)35 b FE(T)t Fu(H)t(E)t(O)t(R)t(E)t(M)t(S)2349 b Fx(42)240 273 y FE(The)25 b(term)f Fv(S)694 230 y Fn(t)688 300 y Fr(1)758 273 y FE(satis\002es)1472 393 y(sup)1412 483 y Fn(t)p Fm(2)p Fr(\(0)p Fn(;T)11 b Fr(])1688 393 y Fv(t)1724 350 y Fn(\013)1780 393 y Fs(k)p Fv(S)1897 350 y Fn(t)1891 420 y Fr(1)1936 393 y Fs(k)1986 420 y Fn(\013)2087 393 y Fs(\024)45 b Fv(C)7 b Fs(k)p Fv(h)p Fs(k)33 b Fv(:)931 b FE(\(8.26\))240 664 y(The)23 b(term)h Fv(S)692 621 y Fn(t)686 691 y Fr(3)754 664 y FE(is)g(v)o(ery)f(similar)f(to)i(what)f (is)g(found)g(in)h(\(8.5\),)f(with)g Fv(Q)2630 583 y Fo(\000)2676 664 y Fv(y)t Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))2854 583 y Fo(\001)2922 664 y FE(replaced)h(by)f Ft(\()p Fv(D)s(Q)18 b Fs(\016)240 784 y Ft(\010)312 741 y Fn(s)312 811 y(\045)358 784 y Ft(\)\011)474 741 y Fn(s)517 784 y FE(.)66 b(Repeating)37 b(the)f(steps)g(of)h(\(8.8\))f(for)h(a)g(suf)n(\002ciently)f(lar)n(ge)h Fv(p)p FE(,)i(we)e(obtain)f(no)n(w)g(with)240 919 y Fv(\015)d Ft(=)442 880 y Fr(1)p 442 896 40 4 v 442 953 a(4)493 919 y FE(,)25 b(some)f Fv(\026)k(>)g Ft(0)d FE(and)g(writing)e Fv(X)1618 876 y Fn(s)1688 919 y Ft(=)1793 838 y Fo(\000)1839 919 y Fv(D)s(Q)f Fs(\016)g Ft(\010)2169 876 y Fn(s)2169 946 y(\045)2215 838 y Fo(\001)2261 919 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\)\011)2465 876 y Fn(s)2507 919 y FE(:)520 1219 y Fx(E)73 b FE(sup)603 1310 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;T)11 b Fr(])853 1219 y Fs(k)p Fv(S)970 1176 y Fn(t)964 1246 y Fr(3)1009 1219 y Fs(k)1059 1176 y Fn(p)1059 1246 y(\013)1143 1219 y Ft(=)28 b Fx(E)1315 1109 y Fo(\020)1431 1219 y FE(sup)1374 1305 y Fr(0)p Fm(\024)p Fn(t)p Fm(\024)p Fn(T)1626 1105 y Fo(\015)1626 1164 y(\015)1626 1224 y(\015)1682 1083 y(Z)1781 1108 y Fn(t)1737 1310 y Fr(0)1849 1219 y Fv(A)1924 1176 y Fn(\013)1981 1219 y Fv(e)2027 1176 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))2347 1219 y Fv(X)2438 1176 y Fn(s)2496 1219 y Fv(dW)14 b Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))2780 1105 y Fo(\015)2780 1164 y(\015)2780 1224 y(\015)2836 1129 y Fn(p)2882 1109 y Fo(\021)931 1535 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b(T)1186 1493 y Fn(\026)1240 1535 y Fx(E)1323 1400 y Fo(Z)1422 1424 y Fn(T)1378 1626 y Fr(0)1485 1421 y Fo(\015)1485 1481 y(\015)1485 1540 y(\015)1540 1400 y(Z)1640 1424 y Fn(s)1596 1626 y Fr(0)1683 1535 y Ft(\()p Fv(s)21 b Fs(\000)i Fv(r)s Ft(\))1977 1493 y Fm(\000)p Fn(\015)2090 1535 y Fv(A)2165 1493 y Fn(\013)2221 1535 y Fv(e)2267 1493 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(s)p Fm(\000)p Fn(r)r Fr(\))2596 1535 y Fv(X)2687 1493 y Fn(r)2747 1535 y Fv(dW)14 b Ft(\()p Fv(r)s Ft(\))3032 1421 y Fo(\015)3032 1481 y(\015)3032 1540 y(\015)3087 1446 y Fn(p)3150 1535 y Fv(ds)931 1825 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b(T)1186 1782 y Fn(\026)1240 1825 y Fx(E)1323 1689 y Fo(Z)1422 1714 y Fn(T)1378 1915 y Fr(0)1485 1714 y Fo(\020)1545 1689 y(Z)1644 1714 y Fn(s)1600 1915 y Fr(0)1687 1825 y Ft(\()p Fv(s)21 b Fs(\000)i Fv(r)s Ft(\))1981 1782 y Fm(\000)p Fr(2)p Fn(\015)2134 1740 y Fo(\015)2134 1800 y(\015)2189 1825 y Fv(A)2264 1782 y Fn(\013)2320 1825 y Fv(e)2366 1782 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(s)p Fm(\000)p Fn(r)r Fr(\))2695 1825 y Fv(X)2786 1782 y Fn(r)2830 1740 y Fo(\015)2830 1800 y(\015)2885 1765 y Fr(2)2885 1865 y Fq(HS)2996 1825 y Fv(dr)3096 1714 y Fo(\021)3155 1735 y Fn(p=)p Fr(2)3298 1825 y Fv(ds)931 2114 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b(T)1186 2071 y Fn(\026)1240 2114 y Fx(E)1323 1978 y Fo(Z)1422 2003 y Fn(T)1378 2205 y Fr(0)1485 2003 y Fo(\020)1545 1978 y(Z)1644 2003 y Fn(s)1600 2205 y Fr(0)1687 2114 y Ft(\()p Fv(s)21 b Fs(\000)i Fv(r)s Ft(\))1981 2071 y Fm(\000)p Fr(2)p Fn(\015)2134 2029 y Fo(\015)2134 2089 y(\015)2189 2114 y Fv(A)2264 2071 y Fn(\013)2320 2114 y Fv(X)2411 2071 y Fn(r)2455 2029 y Fo(\015)2455 2089 y(\015)2510 2054 y Fr(2)2510 2154 y Fq(HS)2621 2114 y Fv(dr)2721 2003 y Fo(\021)2780 2024 y Fn(p=)p Fr(2)2923 2114 y Fv(ds)931 2403 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b(T)1186 2360 y Fn(\026)1240 2293 y Fo(\020)1299 2268 y(Z)1399 2292 y Fn(T)1354 2494 y Fr(0)1478 2403 y Fv(s)1525 2360 y Fm(\000)p Fr(2)p Fn(\015)1694 2403 y Fv(ds)1793 2293 y Fo(\021)1853 2313 y Fn(p=)p Fr(2)1979 2403 y Fx(E)2062 2268 y Fo(Z)2162 2292 y Fn(T)2118 2494 y Fr(0)2225 2319 y Fo(\015)2225 2378 y(\015)2280 2403 y Fv(A)2355 2360 y Fn(\013)2411 2403 y Fv(X)2502 2360 y Fn(s)2544 2319 y Fo(\015)2544 2378 y(\015)2600 2343 y Fn(p)2600 2443 y Fq(HS)2710 2403 y Fv(ds)931 2692 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b(T)1186 2650 y Fn(\026)p Fr(+)p Fn(p=)p Fr(4)1422 2692 y Fx(E)1505 2557 y Fo(Z)1605 2581 y Fn(T)1561 2783 y Fr(0)1668 2608 y Fo(\015)1668 2668 y(\015)1723 2692 y Fv(A)1798 2650 y Fn(\013)1855 2612 y Fo(\000)1900 2692 y Fv(D)s(Q)22 b Fs(\016)g Ft(\010)2230 2650 y Fn(s)2230 2719 y(\045)2277 2612 y Fo(\001)2322 2692 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\)\011)2526 2650 y Fn(s)2568 2608 y Fo(\015)2568 2668 y(\015)2623 2632 y Fn(p)2623 2732 y Fq(HS)2734 2692 y Fv(ds)27 b(:)240 2957 y FE(W)-8 b(e)25 b(no)n(w)f(use)h Fx(P5)p FE(,)f Fp(i.e)o(.)p FE(,)g(\(8.3\))h(and)g(then)f(\(5.1c\))h (and)g(get)478 3243 y Fx(E)73 b FE(sup)561 3334 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;T)11 b Fr(])828 3243 y Fs(k)p Fv(S)945 3201 y Fn(t)939 3270 y Fr(3)984 3243 y Fs(k)1034 3201 y Fn(p)1034 3270 y(\013)1134 3243 y Fs(\024)45 b Fv(C)7 b(T)1406 3201 y Fn(\026)p Fr(+)p Fn(p=)p Fr(4)1643 3243 y Fx(E)1726 3108 y Fo(Z)1825 3132 y Fn(T)1781 3334 y Fr(0)1905 3243 y Fs(k)p Ft(\011)2032 3201 y Fn(s)2075 3243 y Fs(k)2125 3201 y Fn(p)2187 3243 y Fv(ds)44 b Fs(\024)h Fv(C)7 b(T)2602 3201 y Fn(\026)p Fr(+)p Fn(p=)p Fr(4+1)2939 3243 y Fs(k)p Fv(h)p Fs(k)3096 3201 y Fn(p)3170 3243 y Fv(:)238 b FE(\(8.27\))389 3553 y(T)-8 b(o)29 b(treat)g(the)g(term)g Fv(S)1157 3510 y Fn(t)1151 3580 y Fr(2)1195 3553 y FE(,)h(we)g(\002x)f (a)g(realization)g Fv(!)39 b Fs(2)d Ft(\012)29 b FE(of)g(the)g(noise)f (and)h(use)g(Lemma)f(8.8.)240 3673 y(This)c(gi)n(v)o(es)f(for)i Fv(")j Fs(2)g Ft([0)p Fv(;)17 b Ft(1\))24 b FE(the)g(bound)817 3888 y(sup)757 3979 y Fn(t)p Fm(2)p Fr(\(0)p Fn(;T)11 b Fr(])1032 3888 y Fv(t)1068 3845 y Fn(\015)1119 3888 y Fs(k)p Fv(S)1236 3845 y Fn(t)1230 3915 y Fr(2)1275 3888 y Fs(k)1325 3915 y Fn(\015)1403 3888 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b(T)92 b FE(sup)1675 3979 y Fn(t)p Fm(2)p Fr(\(0)p Fn(;T)11 b Fr(])1951 3888 y Fv(t)1987 3845 y Fn(\015)t Fm(\000)p Fn(")2138 3804 y Fo(\015)2138 3863 y(\015)2193 3808 y(\000)2239 3888 y Fv(D)s(F)36 b Fs(\016)22 b Ft(\010)2568 3845 y Fn(t)2568 3915 y(\045)2614 3808 y Fo(\001)2660 3888 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\)\011)2864 3845 y Fn(t)2898 3804 y Fo(\015)2898 3863 y(\015)2953 3928 y Fn(\015)t Fm(\000)p Fn(")3132 3888 y Fv(:)240 4181 y FE(By)25 b Fx(P6)p FE(,)f(this)g(leads)h(to)f(the)h(bound,)f(a.s.,)594 4423 y(sup)534 4513 y Fn(t)p Fm(2)p Fr(\(0)p Fn(;T)11 b Fr(])809 4423 y Fv(t)845 4380 y Fn(\015)896 4423 y Fs(k)p Fv(S)1013 4380 y Fn(t)1007 4450 y Fr(2)1052 4423 y Fs(k)1102 4450 y Fn(\015)1180 4423 y Fs(\024)28 b Fv(C)1356 4450 y Fn(T)1419 4312 y Fo(\020)1479 4423 y Ft(1)22 b(+)83 b FE(sup)1651 4513 y Fn(t)p Fm(2)p Fr(\(0)p Fn(;T)11 b Fr(])1909 4338 y Fo(\015)1909 4398 y(\015)1965 4423 y Ft(\010)2037 4380 y Fn(t)2037 4450 y(\045)2083 4423 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))2208 4338 y Fo(\015)2208 4398 y(\015)2264 4463 y Fn(\015)t Fm(\000)p Fn(")2415 4312 y Fo(\021)2551 4423 y FE(sup)2491 4513 y Fn(t)p Fm(2)p Fr(\(0)p Fn(;T)11 b Fr(])2766 4423 y Fv(t)2802 4380 y Fn(\015)t Fm(\000)p Fn(")2953 4338 y Fo(\015)2953 4398 y(\015)3008 4423 y Ft(\011)3085 4380 y Fn(t)3121 4338 y Fo(\015)3121 4398 y(\015)3176 4463 y Fn(\015)t Fm(\000)p Fn(")3355 4423 y Fv(:)240 4715 y FE(T)-8 b(aking)24 b(e)o(xpectations)f(we)i(ha)n(v)o(e)268 5017 y Fx(E)78 b FE(sup)351 5107 y Fn(t)p Fm(2)p Fr(\(0)p Fn(;T)11 b Fr(])627 5017 y Fv(t)663 4974 y Fn(\015)t(p)755 5017 y Fs(k)p Fv(S)872 4974 y Fn(t)866 5044 y Fr(2)910 5017 y Fs(k)960 4974 y Fn(p)960 5044 y(\015)1039 5017 y Fs(\024)28 b Fv(C)1222 4969 y Fn(p)1215 5046 y(T)1278 5017 y Fx(E)1361 4846 y Fo( )1440 4906 y(\020)1500 5017 y Ft(1)22 b(+)82 b FE(sup)1671 5107 y Fn(t)p Fm(2)p Fr(\(0)p Fn(;T)11 b Fr(])1930 4932 y Fo(\015)1930 4992 y(\015)1985 5017 y Ft(\010)2057 4974 y Fn(t)2057 5044 y(\045)2103 5017 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))2229 4932 y Fo(\015)2229 4992 y(\015)2284 5057 y Fn(\015)t Fm(\000)p Fn(")2435 4906 y Fo(\021)2495 4927 y Fn(p)2618 5017 y FE(sup)2558 5107 y Fn(t)p Fm(2)p Fr(\(0)p Fn(;T)11 b Fr(])2833 5017 y Fv(t)2869 4974 y Fr(\()p Fn(\015)t Fm(\000)p Fn(")p Fr(\))p Fn(p)3123 4932 y Fo(\015)3123 4992 y(\015)3178 5017 y Ft(\011)3255 4974 y Fn(t)3291 4932 y Fo(\015)3291 4992 y(\015)3346 4957 y Fn(p)3346 5057 y(\015)t Fm(\000)p Fn(")3497 4846 y Fo(!)3621 5017 y Fv(:)240 5315 y FE(By)25 b(the)g(Schw)o(arz)g(inequality)f(and)h(\(5.1a\))g(we)g(get)399 5585 y Fx(E)77 b FE(sup)482 5676 y Fn(t)p Fm(2)p Fr(\(0)p Fn(;T)11 b Fr(])757 5585 y Fv(t)793 5542 y Fn(\015)t(p)885 5585 y Fs(k)p Fv(S)1002 5542 y Fn(t)996 5612 y Fr(2)1041 5585 y Fs(k)1091 5542 y Fn(p)1091 5612 y(\015)1170 5585 y Fs(\024)28 b Fv(C)1353 5504 y Fo(\000)1399 5585 y Ft(1)22 b(+)g Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)1719 5537 y Fn(p)1719 5610 y(\015)t Fm(\000)p Fn(")1869 5504 y Fo(\001)1915 5474 y(\020)1974 5585 y Fx(E)77 b FE(sup)2057 5676 y Fn(t)p Fm(2)p Fr(\(0)p Fn(;T)11 b Fr(])2333 5585 y Fv(t)2369 5542 y Fr(\()p Fn(\015)t Fm(\000)p Fn(")p Fr(\)2)p Fn(p)2663 5500 y Fo(\015)2663 5560 y(\015)2718 5585 y Ft(\011)2795 5542 y Fn(t)2831 5500 y Fo(\015)2831 5560 y(\015)2886 5525 y Fr(2)p Fn(p)2886 5625 y(\015)t Fm(\000)p Fn(")3037 5474 y Fo(\021)3096 5495 y Fr(1)p Fn(=)p Fr(2)3249 5585 y Fv(:)159 b FE(\(8.28\))p eop %%Page: 43 43 43 42 bop 242 -75 a FE(E)t Fu(X)t(I)t(S)t(T)t(E)t(N)t(C)t(E)35 b FE(T)t Fu(H)t(E)t(O)t(R)t(E)t(M)t(S)2349 b Fx(43)240 273 y FE(Since)25 b Ft(\011)563 230 y Fn(t)626 273 y Ft(=)731 193 y Fo(\000)777 273 y Fv(D)s Ft(\010)934 230 y Fn(t)934 300 y(\045)981 273 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))1108 193 y Fo(\001)1152 273 y Fv(h)28 b Ft(=)g Fv(S)1409 230 y Fn(t)1403 300 y Fr(1)1470 273 y Ft(+)23 b Fv(S)1637 230 y Fn(t)1631 300 y Fr(2)1698 273 y Ft(+)f Fv(S)1864 230 y Fn(t)1858 300 y Fr(3)1903 273 y FE(,)j(combining)e (\(8.26\)\226\(8.28\))h(leads)h(to)336 477 y Fx(E)77 b FE(sup)419 567 y Fn(t)p Fm(2)p Fr(\(0)p Fn(;T)11 b Fr(])677 477 y Fv(t)713 434 y Fn(\015)t(p)805 477 y Fs(k)855 396 y Fo(\000)901 477 y Fv(D)s Ft(\010)1058 434 y Fn(t)1058 504 y(\045)1104 477 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))1231 396 y Fo(\001)1276 477 y Fv(h)p Fs(k)1383 434 y Fn(p)1383 504 y(\015)705 777 y Fs(\024)28 b Fv(C)7 b Fs(k)p Fv(h)p Fs(k)1045 734 y Fn(p)1114 777 y Ft(+)22 b Fv(C)1291 696 y Fo(\000)1337 777 y Ft(1)g(+)h Fs(k)p Fv(\030)5 b Fs(k)1658 729 y Fn(p)1658 802 y(\015)t Fm(\000)p Fn(")1808 696 y Fo(\001)1853 666 y(\020)1913 777 y Fx(E)77 b FE(sup)1996 867 y Fn(t)p Fm(2)p Fr(\(0)p Fn(;T)11 b Fr(])2271 777 y Fv(t)2307 734 y Fr(\()p Fn(\015)t Fm(\000)p Fn(")p Fr(\)2)p Fn(p)2601 692 y Fo(\015)2601 752 y(\015)2657 696 y(\000)2702 777 y Fv(D)s Ft(\010)2859 734 y Fn(t)2859 804 y(\045)2906 777 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))3033 696 y Fo(\001)3077 777 y Fv(h)3134 692 y Fo(\015)3134 752 y(\015)3190 717 y Fr(2)p Fn(p)3190 817 y(\015)t Fm(\000)p Fn(")3341 666 y Fo(\021)3400 687 y Fr(1)p Fn(=)p Fr(2)3553 777 y Fv(:)240 1056 y FE(Thus,)27 b(we)h(ha)n(v)o(e)f(gained)g Fv(")h FE(in)f(re)o(gularity)-6 b(.)37 b(Choosing)26 b Fv(")33 b Ft(=)2373 1017 y Fr(1)p 2373 1033 40 4 v 2373 1090 a(2)2453 1056 y FE(and)27 b(iterating)g(suf)n(\002ciently)f (man)o(y)240 1176 y(times)f(we)i(obtain)e(\(5.1d\))h(for)h(suf)n (\002ciently)e(lar)n(ge)h Fv(p)p FE(.)36 b(The)26 b(general)h(case)f (then)g(follo)n(ws)f(from)h(the)240 1295 y(H)8 b(\250)-41 b(older)24 b(inequality)-6 b(.)240 1482 y Fx(Pr)n(oof)25 b(of)g(\(E\).)50 b FE(W)-8 b(e)25 b(estimate)f(this)g(e)o(xpression)g (by)304 1650 y Fo(\015)304 1710 y(\015)360 1735 y Ft(\010)432 1692 y Fn(t)432 1762 y(\045)478 1735 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))21 b Fs(\000)i Fv(e)772 1692 y Fm(\000)p Fn(At)929 1735 y Fv(\030)977 1650 y Fo(\015)977 1710 y(\015)1033 1774 y Fn(\015)1111 1735 y Fs(\024)1217 1599 y Fo(Z)1316 1624 y Fn(t)1272 1825 y Fr(0)1351 1650 y Fo(\015)1351 1710 y(\015)1407 1735 y Fv(F)1485 1654 y Fo(\000)1530 1735 y Ft(\010)1602 1692 y Fn(s)1602 1762 y(\045)1649 1735 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))1776 1654 y Fo(\001)1820 1650 y(\015)1820 1710 y(\015)1875 1774 y Fn(\015)1943 1735 y Fv(ds)22 b Ft(+)2163 1590 y Fo(\015)2163 1650 y(\015)2163 1710 y(\015)2163 1769 y(\015)2219 1599 y(Z)2318 1624 y Fn(t)2274 1825 y Fr(0)2370 1735 y Fv(e)2416 1692 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))2736 1735 y Fv(Q)2815 1654 y Fo(\000)2860 1735 y Ft(\010)2932 1692 y Fn(s)2932 1762 y(\045)2978 1735 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))3105 1654 y Fo(\001)3166 1735 y Fv(dW)14 b Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))3450 1590 y Fo(\015)3450 1650 y(\015)3450 1710 y(\015)3450 1769 y(\015)3506 1834 y Fn(\015)3584 1735 y Fv(:)240 1994 y FE(The)19 b(\002rst)g(term)g(can)h(be)f(bounded) g(by)g(combining)e(\(5.1b\))i(and)g Fx(P3)p FE(.)29 b(The)19 b(second)g(term)g(is)g(bounded)240 2113 y(by)24 b(Proposition)g(8.4.) 240 2300 y(The)h(proof)f(Proposition)g(5.1)g(is)g(complete.)240 2503 y Fx(8.5)99 b(Bounds)26 b(on)f(the)h(Off-Diagonal)e(T)-9 b(erms)240 2659 y FE(Here,)25 b(we)g(pro)o(v)o(e)e(Lemma)h(5.4.)31 b(This)23 b(is)h(v)o(ery)h(similar)e(to)h(the)h(proof)f(of)h(\(D\))g (of)f(Proposition)f(5.1.)240 2832 y Fp(Pr)l(oof)o(.)47 b FE(W)-8 b(e)28 b(start)f(with)g(\(5.5b\).)38 b(Recall)28 b(that)e(here)i(we)g(do)f(not)g(write)g(the)g(cutof)n(f)g Fv(\045)p FE(.)37 b(W)-8 b(e)28 b(choose)240 2952 y Fv(h)g Fs(2)g(H)503 2979 y Fr(H)592 2952 y FE(and)c Fv(\030)32 b Fs(2)c(H)q FE(.)j(The)25 b(equation)f(for)h Ft(\011)1837 2909 y Fn(t)1900 2952 y Ft(=)2006 2871 y Fo(\000)2051 2952 y Fv(D)2133 2979 y Fr(H)2198 2952 y Ft(\010)2270 2909 y Fn(t)2270 2979 y Fr(L)2324 2952 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))2451 2871 y Fo(\001)2495 2952 y Fv(h)25 b FE(is)g(:)756 3218 y Ft(\011)833 3175 y Fn(t)897 3218 y Ft(=)1002 3082 y Fo(Z)1102 3107 y Fn(t)1057 3309 y Fr(0)1153 3218 y Fv(e)1199 3175 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))1519 3107 y Fo(\020)1578 3137 y(\000)1624 3218 y Fv(D)s(F)1773 3245 y Fr(L)1850 3218 y Fs(\016)d Ft(\010)1994 3175 y Fn(s)1994 3245 y(\045)2040 3137 y Fo(\001)2086 3218 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))2213 3137 y Fo(\000)2257 3218 y Fv(D)2339 3245 y Fr(H)2403 3218 y Ft(\010)2475 3175 y Fn(s)2518 3218 y Ft(\()p Fv(\030)g Ft(\))2645 3137 y Fo(\001)2689 3218 y Fv(h)2746 3107 y Fo(\021)2823 3218 y Fv(ds)941 3502 y Ft(+)1041 3367 y Fo(Z)1140 3391 y Fn(t)1096 3593 y Fr(0)1192 3502 y Fv(e)1238 3459 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))1558 3392 y Fo(\020)1617 3422 y(\000)1663 3502 y Fv(D)s(Q)1827 3529 y Fr(L)1903 3502 y Fs(\016)22 b Ft(\010)2047 3459 y Fn(s)2047 3529 y(\045)2093 3422 y Fo(\001)2139 3502 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))2266 3422 y Fo(\000)2310 3502 y Fv(D)2392 3529 y Fr(H)2457 3502 y Ft(\010)2529 3459 y Fn(s)2571 3502 y Ft(\()p Fv(\030)g Ft(\))2698 3422 y Fo(\001)2743 3502 y Fv(h)2800 3392 y Fo(\021)2876 3502 y Fv(dW)14 b Ft(\()p Fv(s)p Ft(\))897 3719 y Fs(\021)28 b Fv(R)1079 3676 y Fn(t)1078 3746 y Fr(1)1144 3719 y Ft(+)23 b Fv(R)1321 3676 y Fn(t)1320 3746 y Fr(2)1392 3719 y Fv(:)240 3891 y FE(Since)i Fv(D)s(F)42 b Ft(=)28 b Fv(D)s(F)917 3918 y Fn(\045)989 3891 y FE(is)c(bounded)g (we)h(get)643 4078 y Fo(\015)643 4138 y(\015)698 4162 y Fv(R)775 4120 y Fn(t)774 4189 y Fr(1)819 4078 y Fo(\015)819 4138 y(\015)923 4162 y Fs(\024)45 b Fv(C)1140 4027 y Fo(Z)1240 4051 y Fn(t)1195 4253 y Fr(0)1275 4078 y Fo(\015)1275 4138 y(\015)1330 4082 y(\000)1376 4162 y Fv(D)1458 4189 y Fr(H)1522 4162 y Ft(\010)1594 4120 y Fn(s)1636 4162 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))1763 4082 y Fo(\001)1808 4162 y Fv(h)1865 4078 y Fo(\015)1865 4138 y(\015)1942 4162 y Fv(ds)44 b Fs(\024)h Fv(C)7 b(t)62 b FE(sup)2338 4253 y Fn(s)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;t)p Fr(])2567 4078 y Fo(\015)2567 4138 y(\015)2623 4082 y(\000)2668 4162 y Fv(D)2750 4189 y Fr(H)2815 4162 y Ft(\010)2887 4120 y Fn(s)2929 4162 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))3056 4082 y Fo(\001)3101 4162 y Fv(h)3158 4078 y Fo(\015)3158 4138 y(\015)3246 4162 y Fv(:)240 4425 y FE(Using)24 b(\(5.1c\),)h(this)e (leads)i(to)672 4612 y Fx(E)73 b FE(sup)755 4703 y Fn(t)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;T)11 b Fr(])1005 4528 y Fo(\015)1005 4587 y(\015)1061 4612 y Fv(R)1138 4569 y Fn(t)1137 4639 y Fr(1)1181 4528 y Fo(\015)1181 4587 y(\015)1236 4552 y Fn(p)1327 4612 y Fs(\024)44 b Fv(C)1526 4569 y Fn(p)1573 4612 y Fv(t)1609 4569 y Fn(p)1655 4612 y Fx(E)63 b FE(sup)1738 4703 y Fn(s)p Fm(2)p Fr([0)p Fn(;t)p Fr(])1968 4528 y Fo(\015)1968 4587 y(\015)2023 4532 y(\000)2069 4612 y Fv(D)2151 4639 y Fr(H)2215 4612 y Ft(\010)2287 4569 y Fn(s)2330 4612 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))2457 4532 y Fo(\001)2501 4612 y Fv(h)2558 4528 y Fo(\015)2558 4587 y(\015)2614 4552 y Fn(p)2704 4612 y Fs(\024)45 b Fv(C)7 b(t)2940 4569 y Fn(p)2986 4612 y Fs(k)p Fv(h)p Fs(k)3143 4569 y Fn(p)3217 4612 y Fv(:)240 4893 y FE(The)25 b(term)f Fv(R)704 4850 y Fn(t)703 4920 y Fr(2)772 4893 y FE(is)h(bounded)f(e)o (xactly)g(as)h(in)f(\(8.27\).)31 b(Combining)23 b(the)i(bounds,)e (\(5.5b\))i(follo)n(ws.)389 5013 y(Since)g Fv(Q)714 5040 y Fr(H)803 5013 y FE(is)f(constant,)g(see)h(\(4.1\),)g(we)g(get)g(for)g Ft(\011)2175 4970 y Fn(t)2238 5013 y Ft(=)2343 4932 y Fo(\000)2389 5013 y Fv(D)2471 5040 y Fr(L)2526 5013 y Ft(\010)2598 4970 y Fn(t)2598 5040 y Fr(H)2661 5013 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))2788 4932 y Fo(\001)2833 5013 y Fv(h)25 b FE(and)g Fv(h)j Fs(2)g(H)3347 5040 y Fr(L)3401 5013 y FE(:)848 5279 y Ft(\011)925 5236 y Fn(t)988 5279 y Ft(=)1094 5143 y Fo(Z)1193 5168 y Fn(t)1149 5369 y Fr(0)1245 5279 y Fv(e)1291 5236 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))1611 5168 y Fo(\020)1670 5198 y(\000)1716 5279 y Fv(D)s(F)1865 5306 y Fr(H)1951 5279 y Fs(\016)22 b Ft(\010)2095 5236 y Fn(s)2095 5306 y(\045)2141 5198 y Fo(\001)2187 5279 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))2314 5198 y Fo(\000)2358 5279 y Fv(D)2440 5306 y Fr(L)2495 5279 y Ft(\010)2567 5236 y Fn(s)2610 5279 y Ft(\()p Fv(\030)g Ft(\))2737 5198 y Fo(\001)2781 5279 y Fv(h)2838 5168 y Fo(\021)2914 5279 y Fv(ds)28 b(:)240 5532 y FE(This)f(is)h(bounded)g(lik)o(e)g Fv(R)1166 5490 y Fn(t)1165 5559 y Fr(1)1238 5532 y FE(and)g(leads)g(to)g(\(5.5a\).)42 b(This)27 b(completes)h(the)g(proof)g(of)h(Lemma)e(5.4.)3677 5652 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 5652 a eop %%Page: 44 44 44 43 bop 242 -75 a FE(R)t Fu(E)t(F)t(E)t(R)t(E)t(N)t(C)5 b(E)g(S)2783 b Fx(44)240 273 y(8.6)99 b(Pr)n(oof)25 b(of)g(Pr)n (oposition)g(2.3)240 429 y FE(Here)h(we)g(point)f(out)g(where)h(to)f (\002nd)h(the)g(general)g(results)f(on)g(\(1.7\))h(which)f(we)h(stated) f(in)h(Propo-)240 548 y(sition)d(2.3.)30 b(Note)25 b(that)f(these)h (are)h(bounds)d(on)i(the)f(\003o)n(w)h Fp(without)f FE(cutof)n(f)g Fv(\045)p FE(.)240 748 y Fp(Pr)l(oof)f(of)i(Pr)l(oposition)c(2.3.)50 b FE(There)38 b(are)h(man)o(y)d(w)o(ays)i(to)f(pro)o(v)o(e)g(this.)69 b(T)-8 b(o)38 b(mak)o(e)f(things)g(sim-)240 867 y(ple,)i(without)c (getting)h(the)g(best)g(estimate)g(possible,)i(we)f(note)f(that)g(a)h (bound)f(in)g Ft(L)3286 824 y Fm(1)3408 867 y FE(can)h(be)240 987 y(found)31 b(in)h([Cer99,)i(Prop.)e(3.2].)51 b(T)-8 b(o)32 b(get)g(from)f Ft(L)2004 944 y Fm(1)2121 987 y FE(to)g Fs(H)q FE(,)j(we)e(note)g(that)f Fv(\030)45 b Fs(2)c(H)33 b FE(and)f(we)g(use)240 1106 y(\(1.7\))c(in)f(its)g(inte)o (gral)g(form.)39 b(The)28 b(term)g Fv(e)1715 1063 y Fm(\000)p Fn(At)1872 1106 y Fv(\030)k FE(is)c(bounded)f(in)g Fs(H)q FE(,)i(while)e(the)h(non-linear)f(term)240 1156 y Fo(R)306 1181 y Fn(t)287 1272 y Fr(0)358 1236 y Fv(e)404 1193 y Fm(\000)p Fn(A)p Fr(\()p Fn(t)p Fm(\000)p Fn(s)p Fr(\))724 1236 y Fv(F)802 1156 y Fo(\000)847 1236 y Ft(\010)919 1193 y Fn(s)962 1236 y Ft(\()p Fv(\030)5 b Ft(\))1089 1156 y Fo(\001)1150 1236 y Fv(ds)31 b FE(can)g(be)h(bounded)e(by)h (using)f(a)i(v)o(ersion)e(of)i(Lemma)e(8.8.)50 b(Finally)-6 b(,)240 1356 y(the)24 b(noise)h(term)f(is)g(bounded)g(by)h(Proposition) e(8.4.)389 1475 y(Furthermore,)35 b(because)f(of)f(the)g(compactness)f (of)h(the)g(semigroup)f(generated)h(by)g Fv(A)p FE(,)i(it)d(is)240 1595 y(possible)23 b(to)i(sho)n(w)e([DPZ96,)i(Thm.)f(6.3.5])g(that)h (an)g(in)l(v)n(ariant)e(measure)i(e)o(xists.)3677 1595 y @beginspecial 0.2 setlinewidth newpath -0.2 2 div 0 moveto -5.5 0 rlineto 0 5.5 rlineto 5.5 0 rlineto 0 -5.5 rlineto closepath 0 setgray stroke @endspecial 3677 1595 a 240 1804 a Fx(Ackno)o(wledgements)240 1960 y FE(W)-8 b(e)28 b(thank)g(L.)g(Re)o(y-Bellet)g(and)g(G.)h(Ben-Arous)f (for)g(helpful)g(discussions.)38 b(This)28 b(research)h(w)o(as)240 2079 y(partially)24 b(supported)g(by)g(the)h(F)o(onds)f(National)g (Suisse.)240 2353 y FD(Refer)n(ences)240 2562 y FE([BKL00])83 b(J.)23 b(Bricmont,)h(A.)f(K)o(upiainen,)f(and)i(R.)g(Lefe)n(v)o(ere,)g Fp(Pr)l(obabilistic)c(Estimates)i(for)h(the)688 2682 y(T)-7 b(wo)25 b(Dimensional)e(Stoc)o(hastic)g(Navier)n(-Stok)o(es)i (Equations)p FE(,)e(Preprint,)i(2000.)240 2881 y([Cer99])139 b(S.)24 b(Cerrai,)h Fp(Smoothing)d(Pr)l(operties)g(of)i(T)-5 b(r)o(ansition)21 b(Semigr)l(oups)h(Relative)h(to)g(SDEs)688 3001 y(with)36 b(V)-11 b(alues)35 b(in)h(Banac)o(h)f(Spaces)p FE(,)k(Probab)l(.)d(Theory)g(Relat.)h(Fields)f Fx(113)f FE(\(1999\),)688 3120 y(85\226114.)240 3319 y([Col94])138 b(P)-11 b(.)24 b(Collet,)g Fp(Non)g(Linear)g(P)-8 b(ar)o(abolic)22 b(Evolutions)g(in)i(Unbounded)f(Domains)p FE(,)g(N)m(A)-11 b(T)n(O)688 3439 y(Adv)-6 b(.)24 b(Sci.)h(Inst.)f(Ser)-5 b(.)25 b(C)h(Math.)e(Phys.)g(Sci)h Fx(437)g FE(\(1994\),)f(97\226104.) 240 3638 y([DPZ92])94 b(G.)32 b(Da)g(Prato)h(and)f(J.)f(Zabczyk,)j Fp(Stoc)o(hastic)c(Equations)h(in)g(In\002nite)h(Dimensions)p FE(,)688 3758 y(Uni)n(v)o(ersity)23 b(Press,)i(Cambridge,)f(1992.)240 3957 y([DPZ96])94 b(G.)32 b(Da)h(Prato)f(and)h(J.)f(Zabczyk,)i Fp(Er)l(godicity)d(for)g(In\002nite)h(Dimensional)f(Systems)p FE(,)688 4077 y(London)39 b(Mathematical)f(Society)i(Lecture)g(Note)f (Series,)44 b(v)n(ol.)39 b(229,)j(Uni)n(v)o(ersity)688 4196 y(Press,)25 b(Cambridge,)g(1996.)240 4395 y([EH00])149 b(J.-P)-11 b(.)40 b(Eckmann)g(and)g(M.)g(Hairer)l(,)45 b Fp(Non-Equilibrium)38 b(Statistical)g(Mec)o(hanics)h(of)688 4515 y(Str)l(ongly)52 b(Anharmonic)g(Chains)h(of)h(Oscillator)o(s)p FE(,)k(Comm.)53 b(Math.)g(Phys.)g Fx(212)688 4634 y FE(\(2000\),)24 b(105\226164.)240 4834 y([EPR99a])56 b(J.-P)-11 b(.)25 b(Eckmann,)f(C.-A.)i(Pillet,)e(and)h(L.)g(Re)o(y-Bellet,)g Fp(Non-Equilibrium)e(Statistical)688 4953 y(Mec)o(hanics)k(of)g (Anharmonic)f(Chains)g(Coupled)h(to)g(T)-7 b(wo)28 b(Heat)f(Baths)g(at) g(Dif)n(fer)l(ent)688 5073 y(T)-9 b(emper)o(atur)l(es)p FE(,)24 b(Comm.)g(Math.)g(Phys.)g Fx(201)h FE(\(1999\),)f(657\226697.) 240 5272 y([EPR99b])50 b(J.-P)-11 b(.)24 b(Eckmann,)g(C.-A.)h(Pillet,)e (and)h(L.)g(Re)o(y-Bellet,)h Fp(Entr)l(opy)e(Pr)l(oduction)f(in)i(Non-) 688 5392 y(Linear)-11 b(,)38 b(Thermally)d(Driven)h(Hamiltonian)d (Systems)p FE(,)38 b(J.)d(Stat.)h(Phys.)f Fx(95)g FE(\(1999\),)688 5511 y(305\226331.)p eop %%Page: 45 45 45 44 bop 242 -75 a FE(R)t Fu(E)t(F)t(E)t(R)t(E)t(N)t(C)5 b(E)g(S)2783 b Fx(45)240 273 y FE([ESM00])77 b(W)-9 b(.)28 b(E,)g(Y)-13 b(.)29 b(G.)f(Sinai,)h(and)f(J.)g(C.)h(Mattingly)-6 b(,)27 b Fp(Gibbsian)f(Dynamics)i(and)g(Er)l(godicity)688 393 y(for)c(the)h(Stoc)o(hastically)d(F)-10 b(or)l(ced)25 b(Navier)n(-Stok)o(es)g(Equation)p FE(,)e(Preprint,)i(2000.)240 592 y([FM95])138 b(F)-8 b(.)20 b(Flandoli)f(and)g(B.)h(Maslo)n(wski,)e Fp(Er)l(godicity)h(of)g(the)g Ft(2)p Fp(-D)h(Navier)n(-Stok)o(es)g (Equation)688 712 y(Under)k(Random)g(P)-8 b(erturbations)p FE(,)23 b(Comm.)h(Math.)g(Phys.)g Fx(172)g FE(\(1995\),)h(119\226141.) 240 911 y([H)8 b(\250)-41 b(or67])127 b(L.)46 b(H)8 b(\250)-41 b(ormander)l(,)50 b Fp(Hypoelliptic)45 b(Second)h(Or)l(der)f(Dif)n(fer) l(ential)g(Equations)p FE(,)k(Acta)688 1030 y(Math.)24 b Fx(119)h FE(\(1967\),)f(147\226171.)240 1230 y([H)8 b(\250)-41 b(or85])127 b(L.)28 b(H)8 b(\250)-41 b(ormander)l(,)29 b Fp(The)g(Analysis)d(of)i(Linear)g(P)-8 b(artial)27 b(Dif)n(fer)l(ential)g(Oper)o(ator)o(s)f(I\226IV)p FE(,)688 1349 y(Springer,)f(Ne)n(w)f(Y)-11 b(ork,)25 b(1985.)240 1549 y([KA00])138 b(S.)37 b(B.)h(K)o(uksin)d(and)i(A.)g(Shirik)o(yan,)i Fp(Stoc)o(hastic)c(Dissipative)h(PDE')l(s)g(and)h(Gibbs)688 1668 y(Measur)l(es)p FE(,)25 b(Preprint,)f(2000.)240 1867 y([Lun95])121 b(A.)48 b(Lunardi,)54 b Fp(Analytic)48 b(Semigr)l(oups)e(and)i(Optimal)g(Re)l(gularity)f(in)h(P)-8 b(ar)o(abolic)688 1987 y(Pr)l(oblems)p FE(,)23 b(Birkh)6 b(\250)-39 b(auser,)25 b(Basel,)g(1995.)240 2186 y([MS95b])88 b(H.)39 b(M.)g(M)8 b(\250)-41 b(oller)38 b(and)i(H.)f(J.)g(Stetter)l(,) k Fp(Multivariate)37 b(P)-8 b(olynomial)38 b(Equations)f(with)688 2306 y(Multiple)29 b(Zer)l(os)g(Solved)h(by)g(Matrix)g(Eig)o(enpr)l (oblems)p FE(,)f(Numerische)g(Mathematik)688 2425 y Fx(70)c FE(\(1995\),)f(311\226329.)240 2624 y([Nor86])127 b(J.)43 b(Norris,)j Fp(Simpli\002ed)c(Malliavin)f(Calculus)p FE(,)46 b(Lecture)e(Notes)e(in)g(Mathematics)688 2744 y Fx(1204)24 b FE(\(1986\),)h(101\226130.)p eop %%Trailer end userdict /end-hook known{end-hook}if %%EOF ---------------0009150401806--