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Fv(1.1)112 b(Massless)39 b(Nelson)d(mo)s(dels)0 3894 y Fw(W)-8 b(e)36 b(will)c(consider)h(in)g(this)h(pap)s(er)f(a)i (quan)m(tum)f(\014eld)f(theory)i(mo)s(del)e(whic)m(h)g(describ)s(es)g (a)i(con\014ned)f(atom)0 4007 y(in)m(teracting)28 b(with)f(a)h(\014eld) f(of)h(massless)f(scalar)h(b)s(osons.)39 b(This)26 b(mo)s(del)h(is)g (usually)f(called)h(the)h Fu(Nelson)j(mo)-5 b(del)0 4120 y Fw(\(see)29 b([Ne)q(],)g([A],)g([Ar],)g([LMS]\).)41 b(It)28 b(w)m(as)g(originally)d(in)m(tro)s(duced)i(in)g([Ne)q(])h(as)g (a)g(phenomenological)f(mo)s(del)g(of)0 4233 y(non-relativistic)h (particles)i(in)m(teracting)g(with)f(a)i(quan)m(tized)f(scalar)h (\014eld.)141 4346 y(The)f(atom)h(is)f(describ)s(ed)e(with)h(the)i (Hilb)s(ert)d(space)1524 4539 y Ft(K)f Fw(:=)e Fs(L)1803 4501 y Fr(2)1842 4539 y Fw(\(I)-15 b(R)1962 4501 y Fr(3)p Fq(P)2056 4539 y Fs(;)15 b Fw(dx\))p Fs(;)0 4732 y Fw(where)30 b(x)25 b(=)g(\(x)515 4746 y Fr(1)555 4732 y Fs(;)15 b(:)g(:)g(:)h(;)f Fw(x)804 4746 y Fq(P)864 4732 y Fw(\),)30 b(x)1002 4746 y Fq(i)1061 4732 y Fw(is)f(the)i(p)s(osition)d(of)j(particle)e Fs(i)p Fw(,)i(and)f(the)h(Hamiltonian:)867 5002 y Fs(K)h Fw(:=)1129 4896 y Fq(P)1097 4921 y Fp(X)1100 5103 y Fq(i)p Fr(=1)1260 4940 y Ft(\000)p Fw(1)p 1242 4981 154 4 v 1242 5064 a(2)p Fs(m)1367 5078 y Fq(i)1405 5002 y Fw(\001)1481 5016 y Fq(i)1529 5002 y Fw(+)1620 4921 y Fp(X)1625 5103 y Fq(i)25 b Fw(0)p Fs(;)36 b(\013)26 b(>)f Fw(0)p Fs(:)0 897 y Fw(It)30 b(follo)m(ws)e(from)i Fu(\(H0\))f Fw(that)i Fs(K)36 b Fw(is)29 b(symmetric)f(and)h(b)s (ounded)f(b)s(elo)m(w)h(on)g Fs(C)2670 864 y FF(1)2663 920 y Fr(0)2744 897 y Fw(\(I)-15 b(R)2864 861 y Fr(3)p Fq(P)2958 897 y Fw(\).)41 b(W)-8 b(e)31 b(still)c(denote)k(b)m(y)0 1023 y Fs(K)j Fw(its)27 b(F)-8 b(riedric)m(hs)26 b(extension.)39 b(Moreo)m(v)m(er)30 b(w)m(e)e(ha)m(v)m(e)g Ft(D)s Fw(\(\()p Fs(K)22 b Fw(+)14 b Fs(b)p Fw(\))2232 960 y Fm(1)p 2232 972 31 4 v 2232 1013 a(2)2277 1023 y Fw(\))25 b Ft(\032)g Fs(H)2516 990 y Fr(1)2556 1023 y Fw(\(I)-15 b(R)2676 987 y Fr(3)p Fq(P)2770 1023 y Fw(\))14 b Ft(\\)g Fs(D)s Fw(\()p Ft(j)p Fw(x)p Ft(j)3105 990 y Fq(\013)3156 1023 y Fw(\),)28 b(whic)m(h)e(implies)0 1136 y(that)1365 1249 y Ft(j)p Fw(x)p Ft(j)1463 1211 y Fq(\013)1513 1249 y Fw(\()p Fs(K)h Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))1817 1211 y FF(\000)1882 1184 y Fm(1)p 1882 1196 V 1882 1237 a(2)1957 1249 y Fw(is)29 b(b)s(ounded)n Fs(:)-2414 b Fw(\(1.1\))0 1416 y(Note)32 b(also)e(that)g Fu(\(H0\))h Fw(implies)c(that)k Fs(K)37 b Fw(has)30 b(compact)h(resolv)m(en)m(t)g(on)f Fs(L)2531 1383 y Fr(2)2571 1416 y Fw(\(I)-15 b(R)2690 1380 y Fr(3)p Fq(P)2784 1416 y Fw(\).)41 b(The)30 b(one)h(particle)e(space)0 1529 y(for)h(b)s(osons)g(is)1564 1642 y Fl(h)25 b Fw(:=)g Fs(L)1815 1604 y Fr(2)1855 1642 y Fw(\(I)-15 b(R)1975 1604 y Fr(3)2014 1642 y Fs(;)15 b Fw(d)p Fs(k)s Fw(\))p Fs(;)0 1808 y Fw(where)43 b(the)h(observ)-5 b(able)43 b Fs(k)k Fw(is)c(the)h(b)s(oson)f(momen)m(tum.)80 b(An)44 b(imp)s(ortan)m(t)e(role)i(will)d(b)s(e)i(pla)m(y)m(ed)h(b)m(y)f(the)0 1921 y(observ)-5 b(able)1449 2054 y Fs(x)25 b Fw(:=)g(i)1707 1993 y(d)p 1683 2033 101 4 v 1683 2117 a(d)p Fs(k)1793 2054 y(;)46 b Fw(acting)30 b(on)g Fl(h)p Fs(:)0 2242 y Fw(The)25 b(observ)-5 b(able)24 b Fs(x)h Fw(has)g(the)g(in)m (terpretation)f(of)h(the)h Fu(Newton-Wigner)52 b Fw(p)s(osition.)37 b(In)24 b(fact)i(the)g(one-particle)0 2355 y(space)i(for)e (relativistic)g(massless)g(scalar)h(b)s(osons)f(can)i(b)s(e)e(written)g (as)h Fs(L)2494 2322 y Fr(2)2534 2355 y Fw(\(I)-15 b(R)2654 2319 y Fr(3)2693 2355 y Fs(;)2744 2319 y Fr(d)p Fq(k)p 2744 2334 78 4 v 2744 2387 a FF(j)p Fq(k)r FF(j)2831 2355 y Fw(\).)40 b(In)26 b(this)g(represen)m(tation)0 2468 y(the)31 b(selfadjoin)m(t)e(op)s(erator)1468 2618 y Fs(x)1520 2632 y Fr(NW)1676 2618 y Fw(:=)c(i)p Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)1933 2554 y Fm(1)p 1933 2566 31 4 v 1933 2607 a(2)2013 2557 y Fs(@)p 1988 2597 104 4 v 1988 2681 a(@)5 b(k)2101 2618 y Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)2201 2581 y FF(\000)2266 2554 y Fm(1)p 2267 2566 31 4 v 2267 2607 a(2)0 2811 y Fw(is)32 b(called)g(the)h Fu(Newton-Wigner)i(p)-5 b(osition)37 b(observable)d Fw(\(see)g(eg)f([Sc)m(h)q(,)g(Chap.)48 b(3c]\).)i(By)33 b(the)g(unitary)f(map)0 2937 y Fs(h)p Fw(\()p Fs(k)s Fw(\))46 b Ft(7!)f(j)p Fs(k)s Ft(j)454 2902 y FF(\000)519 2874 y Fm(1)p 519 2886 V 519 2928 a(2)564 2937 y Fs(h)p Fw(\()p Fs(k)s Fw(\))e(b)s(et)m(w)m(een)g Fs(L)1204 2904 y Fr(2)1243 2937 y Fw(\(I)-15 b(R)1363 2902 y Fr(3)1402 2937 y Fs(;)1453 2902 y Fr(d)p Fq(k)p 1453 2917 78 4 v 1453 2969 a FF(j)p Fq(k)r FF(j)1540 2937 y Fw(\))43 b(and)e Fs(L)1868 2904 y Fr(2)1908 2937 y Fw(\(I)-15 b(R)2027 2902 y Fr(3)2067 2937 y Fs(;)15 b Fw(d)p Fs(k)s Fw(\))42 b(the)h(observ)-5 b(able)41 b Fs(x)2960 2951 y Fr(NW)3132 2937 y Fw(is)g(sen)m(t)i(on)m(to)g(the)0 3050 y(observ)-5 b(able)30 b Fs(x)p Fw(.)40 b(Hence)31 b Fs(x)g Fw(has)f(the)g(in)m(terpretation)g(of)h(the)f(Newton-Wigner)h (p)s(osition.)141 3163 y(The)f(b)s(osonic)f(\014eld)g(is)h(describ)s (ed)e(with)h(the)i(F)-8 b(o)s(c)m(k)31 b(space)g(\000\()p Fl(h)p Fw(\))h(and)d(the)i(Hamiltonian)e(d\000\()p Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)p Fw(\).)141 3276 y(The)h(non-in)m(teracting)g(system)h(is) e(describ)s(ed)f(with)h(the)i(Hilb)s(ert)d(space)1601 3480 y Ft(H)e Fw(:=)g Ft(K)21 b(\012)f Fw(\000\()p Fl(h)p Fw(\))0 3685 y(and)30 b(the)g(Hamiltonian)1262 3798 y Fs(H)1338 3812 y Fr(0)1402 3798 y Fw(:=)25 b Fs(K)i Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)1769 3816 y Fr(\000\()p Fk(h)p Fr(\))1928 3798 y Fw(+)20 b(1)-20 b(l)2070 3812 y FF(K)2148 3798 y Ft(\012)20 b Fw(d\000\()p Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)p Fw(\))0 3964 y(W)-8 b(e)32 b(assume)e(that)h(the)f(in)m(teraction)h(is)e(of)i (the)f(form)1518 4223 y Fs(V)46 b Fw(:=)1768 4118 y Fq(N)1739 4143 y Fp(X)1738 4325 y Fq(j)t Fr(=1)1875 4223 y Fs(\036)p Fw(\()s(\024)-48 b Fs(v)2008 4237 y Fq(j)2046 4223 y Fw(\(x)2129 4237 y Fq(j)2165 4223 y Fw(\)\))p Fs(;)-2260 b Fw(\(1.2\))0 4509 y(for)793 4637 y Fs(\036)p Fw(\()s(\024)-48 b Fs(v)926 4651 y Fq(j)964 4637 y Fw(\(x)1047 4651 y Fq(j)1083 4637 y Fw(\)\))26 b(=)1323 4576 y(1)p 1285 4616 122 4 v 1285 4633 a Ft(p)p 1361 4633 46 4 v 75 x Fw(2)1432 4522 y Fp(Z)1530 4637 y Fs(v)1574 4651 y Fq(j)1610 4637 y Fw(\()p Fs(k)s Fw(\)e)1770 4600 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(k)r(:)p Fr(x)1941 4610 y Fj(j)1978 4637 y Fs(a)2026 4600 y FF(\003)2066 4637 y Fw(\()p Fs(k)s Fw(\))21 b(+)i(\026)-48 b Fs(v)2342 4651 y Fq(j)2378 4637 y Fw(\()p Fs(k)s Fw(\)e)2538 4600 y Fr(i)p Fq(k)r(:)p Fr(x)2654 4610 y Fj(j)2691 4637 y Fs(a)p Fw(\()p Fs(k)s Fw(\)d)p Fs(k)s(;)0 4864 y Fw(where)282 4840 y(\024)263 4864 y Fs(f)39 b Fw(denotes)31 b(the)g(in)m(v)m(erse)f (F)-8 b(ourier)30 b(transform)g(of)g Fs(f)40 b Fw(and)30 b(the)g(functions)f Fs(v)2824 4878 y Fq(j)2891 4864 y Fw(satisfy)997 5105 y(\()p Fs(I)7 b Fw(0\))1196 4990 y Fp(Z)1279 5105 y Fw(\(1)21 b(+)f Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)1571 5068 y FF(\000)p Fr(1)1666 5105 y Fw(\))p Ft(j)p Fs(v)1770 5119 y Fq(j)1807 5105 y Fw(\()p Fs(k)s Fw(\))p Ft(j)1952 5068 y Fr(2)1992 5105 y Fw(d)p Fs(k)28 b(<)d Ft(1)p Fs(;)36 b Fw(1)26 b Ft(\024)e Fs(j)31 b Ft(\024)25 b Fs(P)s(:)1867 5517 y Fw(2)p eop %%Page: 3 3 3 2 bop 0 162 a Fw(The)30 b(Hamiltonian)f(describing)f(the)i(in)m (teracting)h(system)f(is)f(no)m(w:)1620 367 y Fs(H)k Fw(:=)25 b Fs(H)1926 381 y Fr(0)1985 367 y Fw(+)20 b Fs(V)5 b(:)0 571 y Fw(The)27 b(assumption)g Fu(\(I0\))h Fw(implies,)e(using)g(Prop.)39 b(A.1,)30 b(that)e Fs(\036)p Fw(\()s(\024)-48 b Fs(v)2191 585 y Fq(j)2228 571 y Fw(\(x)2311 585 y Fq(j)2348 571 y Fw(\)\))29 b(is)d Fs(H)2611 585 y Fr(0)2650 571 y Ft(\000)p Fw(b)s(ounded)g(with)g(in\014nitesimal)0 684 y(b)s(ound)i(and)i(hence)h(that)g Fs(H)37 b Fw(is)29 b(selfadjoin)m(t)h(and)f(b)s(ounded)g(b)s(elo)m(w)g(on)h Ft(D)s Fw(\()p Fs(H)2664 698 y Fr(0)2703 684 y Fw(\).)141 797 y(Note)38 b(that)g(the)f(in)m(teraction)g(is)f(translation)g(in)m (v)-5 b(arian)m(t)36 b(\(although)h(the)g(full)e(Hamiltonian)g Fs(H)44 b Fw(is)36 b(not)0 909 y(b)s(ecause)28 b(of)h(the)g (con\014ning)e(p)s(oten)m(tial)g Fs(W)13 b Fw(\).)40 b(Note)30 b(also)e(that)i(using)c(the)j(notation)g(in)m(tro)s(duced)e (in)g(\(2.1\))j(w)m(e)0 1022 y(can)h(write:)1694 1135 y Fs(V)45 b Fw(=)25 b Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))p Fs(;)0 1302 y Fw(where)30 b Fs(v)e Ft(2)d(B)s Fw(\()p Ft(K)q Fs(;)15 b Ft(K)23 b(\012)d Fl(h)p Fw(\))31 b(is)e(de\014ned)g(b) m(y)969 1584 y Fs(v)s( )s Fw(\(x)1161 1598 y Fr(1)1202 1584 y Fs(;)15 b(:)g(:)g(:)h(;)f Fw(x)1451 1598 y Fq(P)1511 1584 y Fw(\))25 b(=)1701 1478 y Fq(P)1668 1503 y Fp(X)1667 1685 y Fq(j)t Fr(=1)1805 1584 y Fw(e)1845 1546 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(k)r(:x)2019 1556 y Fj(j)2054 1584 y Fs(v)2098 1598 y Fq(j)2135 1584 y Fw(\()p Fs(k)s Fw(\))p Fs( )s Fw(\(x)2400 1598 y Fr(1)2441 1584 y Fs(;)15 b(:)g(:)g(:)i(;)e Fw(x)2691 1598 y Fq(P)2750 1584 y Fw(\))p Fs(:)-2810 b Fw(\(1.3\))0 1911 y Fv(1.2)112 b(Results)0 2083 y Fw(W)-8 b(e)43 b(no)m(w)e(describ)s(e)f(the)i(results)f(of)g(this)g(pap)s(er.) 73 b(W)-8 b(e)43 b(will)c(also)i(commen)m(t)i(on)f(related)f(w)m(orks)h (and)f(on)0 2196 y(remaining)28 b(op)s(en)i(questions.)141 2309 y(The)g(mathematical)h(framew)m(ork)g(of)g(scattering)g(theory)g (for)f(quan)m(tum)g(\014eld)g(theory)h(mo)s(dels)e(rests)i(on)0 2422 y(the)23 b Fu(asymptotic)28 b(\014elds)p Fw(.)39 b(Once)22 b(constructed)h(they)g(de\014ne)f(the)h Fu(asymptotic)28 b(CCR)e(r)-5 b(epr)g(esentations)p Fw(.)41 b(In)22 b(v)m(ery)0 2535 y(broad)31 b(terms,)i(the)f(basic)f(goal)i(of)f(scattering)g (theory)h(is)e(to)h(study)f(the)h(nature)g(of)g(these)h(represen)m (tations)0 2647 y(and)d(in)f(particular)g(to)i(understand)d(the)j (nature)f(of)g(their)g(F)-8 b(o)s(c)m(k)32 b(sub-represen)m(tations)d (\(if)h(they)g(exist\).)141 2760 y(F)-8 b(or)28 b(the)f(class)g(of)h (mo)s(dels)e(considered)g(in)g(this)g(pap)s(er,)h(describing)e(a)i (con\014ned)f(atom)j(in)m(teracting)e(with)0 2873 y(a)39 b(b)s(osonic)e(\014eld,)i(the)f(existence)h(of)f(b)s(ound)f(states)i (of)g(the)f(Hamiltonian)f(\(in)g(particular)g(the)h(existence)0 2986 y(of)j(a)g(ground)f(state)i(in)d(Hilb)s(ert)g(space\),)44 b(easily)c(implies)e(that)k(the)f(asymptotic)g(CCR)f(represen)m (tations)0 3099 y(admit)c(a)h(non)f(trivial)f(subrepresen)m(tation)g (of)i(F)-8 b(o)s(c)m(k)38 b(t)m(yp)s(e)f(\(ie)f(unitarily)e(equiv)-5 b(alen)m(t)36 b(to)i(a)f(direct)f(sum)f(of)0 3212 y(F)-8 b(o)s(c)m(k)28 b(represen)m(tations\).)40 b(In)26 b(fact)i(the)f(b)s (ound)d(states)k(of)f(the)g(Hamiltonian)e(are)i(v)-5 b(acua)28 b(for)e(the)h(asymptotic)0 3325 y(represen)m(tations.)141 3438 y(One)k(de\014nes)f(then)i(isometric)e(op)s(erators)i(\012)1702 3405 y FF(\006)1792 3438 y Fw(called)e(the)i Fu(wave)i(op)-5 b(er)g(ators)34 b Fw(b)s(et)m(w)m(een)e(a)g(direct)f(sum)f(of)0 3551 y(copies)g(of)h(F)-8 b(o)s(c)m(k)32 b(spaces)e(and)g(subspaces)g Ft(H)1537 3518 y FF(\006)1626 3551 y Fw(of)g Ft(H)q Fw(.)141 3664 y(One)g(can)h(then)f(ask)g(the)h(follo)m(wing)e(t)m(w)m(o)j (fundamen)m(tal)d(questions:)141 3777 y(1\))i(are)g(the)g(asymptotic)f (CCR)g(represen)m(tations)g(en)m(tirely)g(of)g(F)-8 b(o)s(c)m(k)32 b(t)m(yp)s(e?)141 3889 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Fw(since)e(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)h(a)f(geometric)0 4390 y(description)f(of)i Ft(H)656 4357 y FF(\006)655 4412 y Fr(c)749 4390 y Fw(instead)f(of)h(the)g(algebraic)f(description) f(of)i Ft(H)2380 4357 y FF(\006)2473 4390 y Fw(giv)m(en)g(b)m(y)g(the)g (asymptotic)g(n)m(um)m(b)s(er)0 4503 y(op)s(erators.)141 4616 y(A)26 b(more)g(mo)s(dest)f(question)g(w)m(ould)f(b)s(e)h(to)h (sho)m(w)g(that)g(the)g(spaces)g Ft(H)2528 4583 y FF(\006)2527 4638 y Fr(c)2612 4616 y Fw(are)g(all)f(iden)m(tical,)g(whic)m(h)f(is)h (v)m(ery)0 4728 y(lik)m(ely)j(since)g(the)h(sp)s(eed)f(of)h (propagation)g(for)g(massless)f(b)s(osons)h(is)f(equal)g(to)i(1,)g(so)f (no)g(particles)f(should)f(b)s(e)0 4841 y(found)i(in)g(the)i(in)m (termediate)f(regions)g Ft(f)p Fw(c)1440 4855 y Fr(1)1480 4841 y Fs(t)25 b Ft(\024)g(j)p Fs(x)p Ft(j)h(\024)f Fw(c)1898 4855 y Fr(2)1937 4841 y Fs(t)p Ft(g)31 b Fw(for)f(0)c Fs(<)f Fw(c)2392 4855 y Fr(1)2457 4841 y Fs(<)g Fw(c)2593 4855 y Fr(2)2658 4841 y Fs(<)g Fw(1.)141 4954 y(The)35 b(second)g(remaining)f(op)s(en)h(problem)e(is)i(to)h(sho)m(w)f(a)h (Mourre)f(estimate)h(for)f(the)h(Hamiltonian)e Fs(H)0 5067 y Fw(outside)42 b(of)g(a)h(discrete)f(set)h(of)f(p)s(oin)m(ts.)76 b(Up)42 b(to)h(no)m(w)f(a)h(Mourre)f(estimate)h(has)f(b)s(een)g(sho)m (wn)f(only)h(for)0 5180 y(su\016cien)m(tly)35 b(small)g(coupling)g (constan)m(t)j Fs(g)i Fw(and)c(outside)f(some)i(in)m(terv)-5 b(als)36 b(whose)g(size)g(dep)s(end)f(on)h Fs(g)41 b Fw(\(see)1867 5517 y(4)p eop %%Page: 5 5 5 4 bop 0 162 a Fw([Sk],)31 b([BFSS],)f(citeDJ\).)141 275 y(Finally)35 b(let)i(us)g(mak)m(e)h(some)f(commen)m(ts)h(on)f(the)g (scattering)h(theory)f(for)g(the)h Fu(tr)-5 b(anslation)41 b(invariant)0 388 y Fw(Nelson)34 b(mo)s(del.)51 b(F)-8 b(or)34 b(simplicit)m(y)e(w)m(e)i(will)e(restrict)i(our)f(discussion)f (to)j(the)f(case)h(of)f(one)h(n)m(ucleon.)51 b(Using)0 501 y(the)33 b(translation)f(in)m(v)-5 b(ariance,)32 b(one)h(can)g(write)f(the)h(Hamiltonian)e Fs(H)39 b Fw(as)33 b(a)g(direct)f(in)m(tegral)h(o)m(v)m(er)h(the)f(total)0 614 y(momen)m(tum)d Fs(p)p Fw(:)1544 769 y Fs(H)i Fw(=)1748 654 y Fp(Z)1831 680 y FF(\010)1794 842 y Fr(I)-12 b(R)1860 818 y Fj(d)1915 769 y Fs(H)7 b Fw(\()p Fs(p)p Fw(\)d)p Fs(p:)0 965 y Fw(One)30 b(has)g(to)h(replace)f(the)h(space)g(of)g(b)s (ound)d(states)j Ft(H)1892 979 y Fr(pp)1975 965 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))31 b(b)m(y)f(the)h(space)1347 1204 y Ft(H)1424 1219 y Fr(b)r(d)1533 1204 y Fw(=)1629 1089 y Fp(Z)1712 1116 y FF(\010)1767 1142 y Fm(I)-11 b(R)1822 1128 y Fj(d)1882 1204 y Ft(H)1959 1218 y Fr(pp)2041 1204 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\()p Fs(p)p Fw(\)\)d)p Fs(p;)0 1421 y Fw(describing)28 b(the)j(dressed)e(n)m(ucleon)h(states.)141 1534 y(The)k(basic)g(framew) m(ork)g(of)h(scattering)g(theory)g(for)f(translation)f(in)m(v)-5 b(arian)m(t)34 b(mo)s(dels)f(is)g(similar)f(to)j(the)0 1647 y(con\014ned)d(case.)49 b(The)33 b(\014rst)f(problem)f(is)h(the)h (existence)h(of)f(the)g(asymptotic)g(\014elds.)47 b(F)-8 b(or)33 b(massiv)m(e)g(b)s(osons,)0 1760 y(this)22 b(prop)s(ert)m(y)h (is)f(kno)m(wn)h(\(see)h([HK2)q(]\))g(in)e(space)h(dimension)e Fs(d)26 b Ft(\025)f Fw(3.)38 b(It)24 b(is)e(unkno)m(wn)g(if)g(this)g (prop)s(ert)m(y)h(holds)0 1873 y(for)34 b Fs(d)e Ft(\024)g Fw(2.)52 b(F)-8 b(or)35 b(massless)f(b)s(osons,)h(the)f(existence)h(of) f(the)h(asymptotic)f(\014elds)f(dep)s(ends)f(on)j(the)f(n)m(ucleon)0 1985 y(disp)s(ersion)c(relation.)49 b(If)32 b(one)i(uses)f(the)g (non-relativistic)f(disp)s(ersion)d(relation)2832 1950 y Fr(1)p 2832 1965 36 4 v 2832 2017 a(2)2877 1985 y Fs(D)2955 1952 y Fr(2)2952 2008 y(x)2994 1985 y Fw(,)35 b(then)e(the)g(existence) 0 2098 y(of)41 b(asymptotic)f(\014elds)f(on)i(the)f(whole)g(Hilb)s(ert) e(space)j(holds)e(in)h(space)h(dimension)d Fs(d)k Ft(\025)g Fw(4,)h(but)d(is)g(still)0 2211 y(unkno)m(wn)30 b(in)g(the)h(ph)m (ysical)f(case)i Fs(d)c Fw(=)e(3.)44 b(If)31 b(one)g(uses)g(the)g (relativistic)f(disp)s(ersion)e(relation)j(\()p Fs(D)3419 2178 y Fr(2)3416 2234 y(x)3479 2211 y Fw(+)20 b Fs(m)3650 2178 y Fr(2)3690 2211 y Fw(\))3735 2148 y Fm(1)p 3735 2160 31 4 v 3735 2201 a(2)0 2324 y Fw(for)30 b(the)h(n)m(ucleon,)f(the) g(existence)h(of)g(asymptotic)f(\014elds)f(w)m(as)i(sho)m(wn)f(if)f Fs(d)d Fw(=)f(3)30 b(in)f([F)m(GS)q(].)141 2437 y(Assuming)e(that)i (the)g(asymptotic)g(\014elds)d(exist,)j(one)g(can)g(conjecture)g(that)g (the)g(spaces)g Ft(K)3304 2404 y FF(\006)3392 2437 y Fw(of)g(asymp-)0 2550 y(totic)k(v)-5 b(acua)33 b(coincide)e(with)g Ft(H)1107 2565 y Fr(b)r(d)1191 2550 y Fw(.)46 b(Ho)m(w)m(ev)m(er)34 b(ev)m(en)f(the)g(inclusion)c Ft(H)2456 2565 y Fr(b)r(d)2568 2550 y Ft(\032)f(K)2737 2517 y FF(\006)2829 2550 y Fw(is)j(non)g (trivial)g(and)g(seems)0 2663 y(to)26 b(require)e(implicit)e (assumptions)h(on)i(the)h(smo)s(othness)e(in)g Fs(p)h Fw(of)g(the)g(eigen)m(v)-5 b(alues)25 b Fs(E)2950 2677 y Fq(n)2997 2663 y Fw(\()p Fs(p)p Fw(\))h(of)f Fs(H)7 b Fw(\()p Fs(p)p Fw(\).)39 b(Finally)0 2776 y(let)32 b(us)g(men)m(tion)g(the)h(pap)s(ers)e([F)-8 b(r1)q(],)34 b([F)-8 b(r2)q(],)33 b([P],)h(where)e(the)h(case)g(when)f(the)g (Hamiltonians)f Fs(H)7 b Fw(\()p Fs(p)p Fw(\))33 b(do)f(not)0 2889 y(ha)m(v)m(e)g(a)e(ground)g(state)h(in)e(Hilb)s(ert)g(space)i(is)e (studied.)0 3130 y Fv(1.3)112 b(Hyp)s(otheses)0 3301 y Fw(Let)29 b(us)f(no)m(w)g(state)i(the)e(v)-5 b(arious)28 b(h)m(yp)s(otheses)g(that)h(w)m(e)g(will)d(imp)s(ose)h(on)h(the)h (coupling)d(functions)h Fs(v)3484 3315 y Fq(j)3549 3301 y Fw(in)g(the)0 3414 y(sequel.)40 b(In)30 b(the)g(form)m(ulation)f(of)h (conditions)f Fu(\(I2\))i Fw(and)f Fu(\(I5\))h Fw(one)f(in)m(tro)s (duces)f(p)s(olar)g(co)s(ordinates)35 b(~)-50 b Fs(\033)29 b Fw(=)c Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)p Fw(,)0 3527 y Fs(!)j Fw(=)211 3491 y Fq(k)p 191 3506 78 4 v 191 3559 a FF(j)p Fq(k)r FF(j)309 3527 y Fw(\(see)j(\(3.1\)\).)141 3640 y(In)f(Sect.)41 b(4,)31 b(w)m(e)g(will)d(imp)s(ose:)769 3857 y(\()p Fs(I)7 b Fw(1\))967 3742 y Fp(Z)1050 3857 y Fw(\(1)21 b(+)f Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)1342 3819 y FF(\000)p Fr(1)p FF(\000)p Fr(2)p Fq(\017)1551 3828 y Fm(0)1590 3857 y Fw(\))p Ft(j)p Fs(v)1694 3871 y Fq(j)1732 3857 y Fw(\()p Fs(k)s Fw(\))p Ft(j)1877 3819 y Fr(2)1917 3857 y Fw(d)p Fs(k)28 b(<)d Ft(1)p Fs(;)36 b Fw(1)25 b Ft(\024)g Fs(j)31 b Ft(\024)25 b Fs(P)s(;)36 b(\017)2780 3871 y Fr(0)2844 3857 y Fs(>)25 b Fw(0)p Fs(:)0 4073 y Fw(This)32 b(condition)h(will)f(b)s(e)i(needed)f (to)i(obtain)f(sharp)f(estimates)i(on)f(the)h(gro)m(wth)f(of)h(the)f (total)h(n)m(um)m(b)s(er)e(of)0 4186 y(particles)c(along)i(the)f(ev)m (olution.)141 4299 y(In)g(Sect.)41 b(5,)31 b(w)m(e)g(will)d(imp)s(ose:) 838 4488 y(\()p Fs(I)7 b Fw(2\))27 b(~)-50 b Fs(\033)s(v)1121 4502 y Fq(j)1158 4488 y Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)s(!)s Fw(\))26 b Ft(2)e Fs(H)1537 4443 y Fq(\026)1530 4512 y Fr(0)1584 4488 y Fw(\(I)-15 b(R)1704 4450 y Fr(+)1763 4488 y Fw(\))21 b Ft(\012)e Fs(L)1971 4450 y Fr(2)2011 4488 y Fw(\()p Fs(S)2107 4450 y Fr(2)2147 4488 y Fw(\))p Fs(;)35 b Fw(1)26 b Ft(\024)f Fs(j)31 b Ft(\024)25 b Fs(P)s(;)36 b(\026)25 b(>)f Fw(0)p Fs(;)0 4676 y Fw(where)d(the)h (space)g Fs(H)719 4632 y Fq(\026)712 4701 y Fr(0)766 4676 y Fw(\(I)-15 b(R)886 4640 y Fr(+)945 4676 y Fw(\))22 b(is)f(the)h(closure)f(of)h Fs(C)1695 4643 y FF(1)1688 4699 y Fr(0)1769 4676 y Fw(\(]0)p Fs(;)15 b Fw(+)p Ft(1)p Fw([\))23 b(in)d(the)i(top)s(ology)g(of)g Fs(H)2947 4643 y Fq(\026)2994 4676 y Fw(\(I)-15 b(R\).)38 b(This)20 b(condition)0 4789 y(will)27 b(allo)m(w)h(us)h(to)h(construct)f Fs(H)7 b Ft(\000)p Fw(in)m(v)-5 b(arian)m(t)29 b(spaces)g Ft(H)1918 4756 y Fr(+)1917 4812 y(c)2006 4789 y Fw(con)m(taining)g(a)h (\014nite)e(n)m(um)m(b)s(er)g(of)h(particles)f(in)g(the)0 4902 y(region)i Ft(j)p Fs(x)p Ft(j)c(\025)f Fw(c)p Fs(t)p Fw(,)30 b(for)h(0)25 b Fs(<)g Fw(c)h Fs(<)f Fw(1.)141 5015 y(In)30 b(Subsect.)40 b(3.2,)32 b(w)m(e)f(imp)s(ose:)997 5231 y(\()p Fs(I)7 b Fw(3\))1196 5117 y Fp(Z)1279 5231 y Fw(\(1)21 b(+)f Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)1571 5194 y FF(\000)p Fr(2)1666 5231 y Fw(\))p Ft(j)p Fs(v)1770 5245 y Fq(j)1807 5231 y Fw(\()p Fs(k)s Fw(\))p Ft(j)1952 5194 y Fr(2)1992 5231 y Fw(d)p Fs(k)28 b(<)d Ft(1)p Fs(;)36 b Fw(1)26 b Ft(\024)e Fs(j)31 b Ft(\024)25 b Fs(P)s(:)1867 5517 y Fw(5)p eop %%Page: 6 6 6 5 bop 0 162 a Fw(Conditions)32 b Fu(\(I3\))k Fw(and)e Fu(\(H0\))h Fw(for)g Fs(\013)e(>)f Fw(0)j(imply)d(that)k Fs(H)41 b Fw(admits)34 b(a)h(ground)f(state)i(in)d(the)i(Hilb)s(ert)e (space)0 275 y Ft(H)q Fw(.)72 b(This)40 b(fact)i(has)f(t)m(w)m(o)h(imp) s(ortan)m(t)e(consequences:)63 b(\014rstly)40 b(the)h(CCR)f(represen)m (tation)h(giv)m(en)g(b)m(y)g(the)0 388 y(asymptotic)30 b(W)-8 b(eyl)30 b(op)s(erators)f Fs(W)1196 355 y Fr(+)1255 388 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))h(constructed)g(in)f(Sect.)41 b(8)29 b(admits)g(a)h(F)-8 b(o)s(c)m(k)31 b(subrepresen)m(tation)e (\(see)0 501 y(Subsect.)40 b(8.2\).)i(Secondly)30 b(the)g(spaces)h Ft(H)1481 468 y Fr(+)1480 523 y(c)1570 501 y Fw(are)g(non)f(trivial)e (\(see)j(Thm.)40 b(5.6\).)141 614 y(In)30 b(Sect.)41 b(8)31 b(w)m(e)g(imp)s(ose:)1121 814 y(\()p Fs(I)7 b Fw(4\))22 b Fs(v)1349 828 y Fq(j)1411 814 y Ft(2)j Fs(H)1580 770 y Fq(\026)1622 779 y Fm(1)1573 842 y Fr(lo)r(c)1665 814 y Fw(\(I)-15 b(R)1785 778 y Fr(3)1824 814 y Fw(\))p Fs(;)36 b Fw(1)26 b Ft(\024)f Fs(j)30 b Ft(\024)25 b Fs(P)s(;)36 b(\026)2427 828 y Fr(1)2491 814 y Fs(>)25 b Fw(0)p Fs(:)0 1015 y Fw(This)k(condition)g(will)e(allo)m(w)j(us)g(to) h(construct)g(the)f(asymptotic)h(\014elds.)141 1128 y(In)f(Subsect.)40 b(4.5)31 b(w)m(e)g(imp)s(ose:)384 1365 y(\()p Fs(I)7 b Fw(5\))22 b(\(1)f(+)f Ft(j)5 b Fw(~)-50 b Fs(\033)s Ft(j)865 1327 y FF(\000)930 1300 y Fm(1)p 930 1312 31 4 v 930 1353 a(2)975 1365 y Fw(\)\(1)21 b Ft(\000)1212 1303 y Fw(\001)1288 1317 y Fq(!)p 1212 1344 127 4 v 1233 1427 a Fw(~)-50 b Fs(\033)1283 1401 y Fr(2)1348 1365 y Fw(\))1383 1327 y Fq(\026)1425 1336 y Fm(2)1470 1365 y Fw(~)g Fs(\033)s(v)1564 1379 y Fq(j)1600 1365 y Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t(!)s Fw(\))25 b Ft(2)g Fs(L)1959 1327 y Fr(2)1999 1365 y Fw(\(I)-15 b(R)2119 1327 y Fr(+)2178 1365 y Fw(\))20 b Ft(\012)g Fs(L)2386 1327 y Fr(2)2425 1365 y Fw(\()p Fs(S)2521 1327 y Fr(2)2561 1365 y Fw(\))p Fs(;)36 b Fw(1)26 b Ft(\024)f Fs(j)31 b Ft(\024)25 b Fs(P)s(;)35 b(\026)3164 1379 y Fr(2)3229 1365 y Fs(>)25 b Fw(0)p Fs(:)0 1640 y Fw(This)k(assumption)f(will)g(b)s(e)i(needed)g (to)h(con)m(trol)g(the)f(angular)g(part)g(of)h(the)f(observ)-5 b(able)30 b Ft(j)p Fs(x)p Ft(j)c Fw(=)f Ft(\000)p Fw(\001)3470 1555 y Fm(1)p 3469 1567 31 4 v 3469 1608 a(2)3460 1668 y Fq(k)3514 1640 y Fw(.)141 1753 y(T)-8 b(o)29 b(illustrate)d(the)i (meaning)f(of)i(these)f(v)-5 b(arious)27 b(conditions,)g(let)h(us)g (consider)f(a)h(rotationally)f(in)m(v)-5 b(arian)m(t)0 1866 y(coupling)29 b(function)g Fs(v)764 1880 y Fq(j)831 1866 y Fw(of)h(the)h(form:)1531 1979 y Fs(v)1575 1993 y Fq(j)1612 1979 y Fw(\()p Fs(k)s Fw(\))26 b(=)f Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)1954 1941 y Fq(\032)1995 1979 y Fs(\037)p Fw(\()p Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)p Fw(\))p Fs(;)-2247 b Fw(\(1.4\))0 2144 y(where)30 b Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)503 2111 y FF(1)496 2167 y Fr(0)577 2144 y Fw(\(I)-15 b(R\))31 b(is)e(an)h(ultra)m (violet)g(cuto\013.)41 b(Then:)141 2256 y Fu(\(I0\))31 b Fw(is)f(satis\014ed)f(if)h Fs(\032)25 b(>)g Ft(\000)p Fw(1.)141 2369 y Fu(\(I1\))31 b Fw(is)f(satis\014ed)f(if)h Fs(\032)25 b(>)g Ft(\000)p Fw(1)20 b(+)g Fs(\017)1284 2383 y Fr(0)1323 2369 y Fw(.)141 2482 y Fu(\(I2\))31 b Fw(is)f(satis\014ed)f(if)h Fs(\032)25 b(>)g(\026)20 b Ft(\000)g Fw(1.)41 b(In)29 b(fact)j(it)e(is)f(easy)i(to)g(see)g(that) 36 b(~)-50 b Fs(\033)2482 2449 y Fq(\032)p Fr(+1)2613 2482 y Fs(\037)p Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(H)2990 2438 y Fq(\026)2983 2507 y Fr(0)3036 2482 y Fw(\(I)-15 b(R)3156 2446 y Fr(+)3215 2482 y Fw(\))31 b(if)e Fs(\026)c(<)g(\032)20 b Fw(+)g(1.)141 2595 y Fu(\(I3\))31 b Fw(is)f(satis\014ed)f(if)h Fs(\032)25 b(>)g Ft(\000)1101 2559 y Fr(1)p 1101 2574 36 4 v 1101 2626 a(2)1146 2595 y Fw(.)141 2708 y Fu(\(I4\))31 b Fw(and)f Fu(\(I5\))h Fw(are)g(satis\014ed)e(for)i(all)e(v)-5 b(alues)30 b(of)g Fs(\032)p Fw(.)141 2821 y(The)j(main)g(results)g(of)h(the)g(pap)s(er,)f (form)m(ulated)h(in)e(Sects.)52 b(8)34 b(and)f(12,)j(hold)c(under)h Fu(\(H0\))p Fw(,)i Fu(\(I0\))p Fw(,)g Fu(\(I2\))p Fw(,)0 2934 y Fu(\(I5\))e Fw(for)e Fs(\013)d(>)g Fw(1,)33 b Fs(\026)27 b(>)h Fw(1,)k Fs(\026)954 2948 y Fr(2)1021 2934 y Fs(>)c Fw(1.)45 b(Hence)33 b(w)m(e)f(see)h(that)f(for)g(a)g (coupling)e(function)h(of)h(the)g(form)f(\(1.4\),)j(the)0 3047 y(results)29 b(of)i(the)f(pap)s(er)g(hold)f(for)h Fs(\032)25 b(>)g Fw(0.)0 3290 y Fv(1.4)112 b(Plan)37 b(of)h(the)f(pap)s(er)0 3461 y Fw(Let)32 b(us)f(no)m(w)g(describ)s(e)f (the)h(plan)g(of)g(the)h(pap)s(er.)43 b(In)30 b(Sect.)45 b(2)31 b(w)m(e)h(de\014ne)f(some)h(notation)g(and)e(recall)h(some)0 3574 y(notions)f(in)m(tro)s(duced)e(in)i([DG2)q(].)141 3687 y(In)23 b(Sect.)39 b(3)23 b(w)m(e)h(describ)s(e)e(the)h(abstract)i (framew)m(ork)e(in)f(whic)m(h)g(w)m(e)i(will)d(w)m(ork)i(for)g(most)h (of)f(the)h(pap)s(er.)37 b(In)0 3800 y(this)21 b(framew)m(ork,)j(the)e (original)f(Hilb)s(ert)f(space)j(and)e(Hamiltonian)g(are)h(denoted)g(b) m(y)g Ft(H)h Fw(and)e Fs(H)29 b Fw(resp)s(ectiv)m(ely)-8 b(.)0 3913 y(W)g(e)32 b(in)m(tro)s(duce)e(the)h(so-called)f Fu(exp)-5 b(ande)g(d)35 b(obje)-5 b(cts)p Fw(,)32 b(whic)m(h)d(corresp) s(onds)h(to)h(the)g(addition)e(of)i(non-ph)m(ysical)0 4026 y(b)s(osons)44 b(of)h(negativ)m(e)g(energy)g(to)h(the)f(system.)83 b(In)44 b(particular)f(the)i Fu(exp)-5 b(ande)g(d)48 b(Hilb)-5 b(ert)46 b(sp)-5 b(ac)g(e)46 b Ft(H)3553 3993 y Fr(e)3633 4026 y Fw(and)0 4139 y(the)e Fu(exp)-5 b(ande)g(d)48 b(Hamiltonian)92 b Fs(H)1235 4106 y Fr(e)1314 4139 y Fw(will)42 b(pla)m(y)i(an)g(imp)s(ortan)m(t)f(role.)82 b(The)44 b(one-particle)g(space)h(is)e(no)m(w)0 4252 y Fs(L)62 4219 y Fr(2)101 4252 y Fw(\(I)-15 b(R)p Fs(;)15 b Fw(d)p Fs(\033)s Fw(\))i Ft(\012)f Fs(L)568 4219 y Fr(2)607 4252 y Fw(\()p Fs(S)703 4219 y Fr(2)743 4252 y Fw(\))29 b(and)f(the)h(one-particle)f(kinetic)f(energy)i(for)f(the)h (expanded)f(Hamiltonian)e(is)i(simply)0 4365 y(the)36 b(op)s(erator)g(of)h(m)m(ultiplication)32 b(b)m(y)k Fs(\033)s Fw(.)58 b(This)34 b(allo)m(ws)h(us)h(to)g(circum)m(v)m(en)m(t)h(the)f (problem)e(caused)i(b)m(y)g(the)0 4477 y(lac)m(k)27 b(of)g(smo)s (othness)f(of)h(the)g(disp)s(ersion)d(relation)i Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)h Fw(of)g(the)g(original)e(Hamiltonian)g(at)j Fs(k)g Fw(=)d(0.)40 b(A)27 b(n)m(um)m(b)s(er)0 4590 y(of)k(basic)e(tec) m(hnical)i(estimates)g(are)f(also)h(pro)m(v)m(ed)f(in)f(this)h (section.)141 4703 y(Sect.)53 b(4)34 b(is)f(dev)m(oted)j(to)f (estimating)e(the)i(gro)m(wth)f(of)g(the)h(n)m(um)m(b)s(er)e(observ)-5 b(able)33 b(along)h(the)h(ev)m(olution.)0 4816 y(W)-8 b(e)36 b(sho)m(w)f(that)h(if)e(the)h(in)m(teraction)g(is)f(of)i(size)f Fs(O)s Fw(\()p Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)1893 4783 y Fq(\017)1922 4792 y Fm(0)1961 4816 y Fw(\))g(near)g Fs(k)h Fw(=)d(0,)k(then)e(the)g (n)m(um)m(b)s(er)f(of)h(particles)f(is)0 4929 y(b)s(ounded)d(b)m(y)h Fs(t)535 4896 y Fq(\032)571 4905 y Fm(0)643 4929 y Fw(when)f Fs(t)e Ft(!)h Fw(+)p Ft(1)p Fw(,)j(where)f Fs(\032)1597 4943 y Fr(0)1669 4929 y Fw(dep)s(ends)f(on)i Fs(\017)2189 4943 y Fr(0)2228 4929 y Fw(.)48 b(W)-8 b(e)34 b(also)e(pro)m(v)m(e)i (some)f(estimates)h(on)e(the)0 5042 y(gro)m(wth)f(of)f(the)h(`angular') f(part)g(of)h Ft(j)p Fs(x)p Ft(j)f Fw(along)h(the)f(ev)m(olution)g (whic)m(h)g(will)d(b)s(e)j(useful)f(in)g(Sect.)41 b(11.)141 5155 y(Most)32 b(of)f(the)g(analytical)f(w)m(ork)h(will)d(b)s(e)j(done) f(on)h(the)g(expanded)f(ob)5 b(jects.)43 b(In)30 b(Sect.)43 b(5,)32 b(w)m(e)f(construct)0 5268 y(the)g(spaces)f Ft(H)513 5235 y Fr(e+)512 5290 y(c)603 5268 y Fw(,)h(whic)m(h)e(are)i(analogous) g(to)g(the)f(spaces)h Ft(H)2115 5235 y Fr(+)2114 5290 y(c)2204 5268 y Fw(for)f Fs(H)2426 5235 y Fr(e)2462 5268 y Fw(.)1867 5517 y(6)p eop %%Page: 7 7 7 6 bop 141 162 a Fw(In)35 b(Sect.)57 b(6,)37 b(w)m(e)f(construct)g(an) f(asymptotic)h(partition)e(of)i(unit)m(y)e(on)i Ft(H)2708 129 y Fr(e+)2707 185 y(c)2798 162 y Fw(.)56 b(Using)35 b(this)f(partition)g(of)0 275 y(unit)m(y)-8 b(,)35 b(w)m(e)f(can)h (split)d(a)i(state)i(in)c Ft(H)1267 242 y Fr(e+)1266 298 y(c)1391 275 y Fw(in)m(to)i(pieces)g(ha)m(ving)g(a)g(\014xed)g(n)m (um)m(b)s(er)e(of)j(particles)e(in)f Ft(fj)p Fs(s)p Ft(j)g(\025)g Fw(c)3678 242 y FF(0)3701 275 y Fs(t)p Ft(g)0 388 y Fw(for)e(c)c Fs(<)f Fw(c)341 355 y FF(0)364 388 y Fw(,)31 b(where)f Fs(s)g Fw(is)f(the)i(op)s(erator)f(canonically)g(conjugate)h(to)g Fs(\033)s Fw(.)141 501 y(In)36 b(Sect.)58 b(7,)39 b(w)m(e)d(construct)h (geometric)g(in)m(v)m(erse)f(w)m(a)m(v)m(e)i(op)s(erators)f(on)f Ft(H)2738 468 y Fr(e+)2737 523 y(c)2828 501 y Fw(.)58 b(The)36 b(asymptotic)g(\014elds)0 614 y(and)31 b(the)h(w)m(a)m(v)m(e)h (op)s(erators)f(b)s(oth)e(for)i Fs(H)38 b Fw(and)31 b Fs(H)1694 581 y Fr(e)1761 614 y Fw(are)h(constructed)f(in)g(Sect.)44 b(8)32 b(and)f(their)g(relationship)d(is)0 727 y(studied.)39 b(In)29 b(Sect.)42 b(9)30 b(w)m(e)h(pro)m(v)m(e)g(the)f(geometric)h (asymptotic)g(completeness)f(on)g(the)g(spaces)h Ft(H)3377 694 y Fr(e+)3376 749 y(c)3497 727 y Fw(for)f Fs(H)3719 694 y Fr(e)3754 727 y Fw(.)141 840 y(Sects.)40 b(10)27 b(and)e(11)h(are)h(dev)m(oted)g(to)f(a)g(rein)m(terpretation)g(of)g (the)g(spaces)g Ft(H)2726 807 y Fr(e+)2725 862 y(c)2816 840 y Fw(.)39 b(Originally)23 b(these)j(spaces)0 953 y(are)34 b(describ)s(ed)e(in)g(terms)i(of)g(the)g(observ)-5 b(able)33 b Fs(s)p Fw(.)50 b(This)32 b(description)g(is)h(not)h(con)m (v)m(enien)m(t)h(to)g(obtain)e(corre-)0 1066 y(sp)s(onding)28 b(spaces)j(for)f Fs(H)7 b Fw(,)30 b(whic)m(h)f(is)h(the)g(reason)h(wh)m (y)f(another)g(description)f(with)g(a)h(di\013eren)m(t)g(observ)-5 b(able)0 1178 y(is)29 b(giv)m(en.)141 1291 y(In)36 b(Sect.)61 b(12)38 b(w)m(e)f(pro)m(v)m(e)h(the)f(main)f(results)g(of)h(this)f(pap) s(er)g(for)g(the)h(original)e(Hamiltonian)h Fs(H)7 b Fw(.)60 b(The)0 1404 y(construction)38 b(and)f(prop)s(erties)g(of)h (the)g(spaces)h Ft(H)1789 1371 y Fr(+)1788 1427 y(c)1885 1404 y Fw(are)g(obtained)e(from)h(the)g(results)f(of)h(Sects.)65 b(5,)40 b(8,)h(9)0 1517 y(and)30 b(from)h(functorial)e(argumen)m(ts,)j (using)e(the)h(alternativ)m(e)g(description)e(of)i Ft(H)2773 1484 y Fr(e+)2772 1540 y(c)2894 1517 y Fw(in)f(Sect.)43 b(11.)h(Finally)29 b(in)0 1630 y(Sect.)52 b(13,)36 b(w)m(e)e(study)g (the)g(consequences)g(of)g(a)h(Mourre)f(estimate)g(for)g Fs(H)41 b Fw(and)33 b(sho)m(w)h(that)h(it)e(implies)e(the)0 1743 y(asymptotic)g(completeness)f(restricted)g(to)h Ft(H)1608 1710 y Fr(+)1607 1765 y(c)1667 1743 y Fw(.)141 1856 y(V)-8 b(arious)30 b(tec)m(hnical)g(results)g(are)g(collected)h (in)e(an)h(App)s(endix.)141 1969 y FE(Ac)m(kno)m(wledgemen)m(ts.)35 b FD(This)27 b(w)n(ork)e(is)h(based)h(on)f(metho)r(ds)h(dev)n(elopp)r (ed)f(with)i(Jan)e(Derezi)r(\023)-44 b(nski)26 b(in)h(a)f(series)g(of)0 2082 y(pap)r(ers)j(on)h(the)h(scattering)e(theory)g(for)h(quan)n(tum)g (\014eld)g(theory)f(mo)r(dels.)45 b(I)30 b(w)n(ould)g(lik)n(e)f(to)h (thank)g(him)h(v)n(ery)e(m)n(uc)n(h)0 2195 y(for)f(this)h(friendly)f (collab)r(oration)f(and)h(for)g(man)n(y)g(helpful)i(discussions.)39 b(I)28 b(w)n(ould)g(also)g(lik)n(e)g(to)g(thank)h(Jean)f(Ginibre)0 2308 y(and)i(Giorgio)e(V)-7 b(elo)30 b(for)f(useful)i(con)n(v)n (ersations.)41 b(Finally)29 b(a)h(part)f(of)h(this)h(w)n(ork)d(w)n(as)h (supp)r(orted)h(b)n(y)f(the)i(gran)n(t)d(Nr)i(2)0 2420 y(P03A)c(019)h(15)f(\014nanced)i(b)n(y)f(Komitet)h(Badan)e(Nauk)n(o)n (wyc)n(h.)0 2702 y Fx(2)135 b(Notation)0 2908 y Fv(2.1)112 b(General)38 b(notation)0 3080 y Fw(W)-8 b(e)32 b(collect)e(some)h (notation)g(that)g(will)c(b)s(e)j(used)g(throughout)g(the)g(pap)s(er.) 141 3192 y Fi(F)-9 b(unction)36 b(spaces)141 3344 y Fw(W)-8 b(e)29 b(will)c(denote)j(b)m(y)f Fs(C)942 3358 y FF(1)1017 3344 y Fw(\(I)-15 b(R)1137 3308 y Fq(n)1184 3344 y Fw(\))27 b(the)h(space)g(of)g(con)m(tin)m(uous)f(functions)f(on)h(I)-15 b(R)2790 3308 y Fq(n)2864 3344 y Fw(tending)27 b(to)h(0)g(at)g (in\014nit)m(y)-8 b(.)141 3457 y(W)g(e)32 b(set)887 3570 y Fs(S)948 3532 y Fr(0)987 3570 y Fw(\(I)-15 b(R)1107 3532 y Fq(n)1154 3570 y Fw(\))26 b(=)f Ft(f)p Fs(f)35 b Ft(2)25 b Fs(C)1594 3532 y FF(1)1668 3570 y Fw(\(I)-15 b(R)1788 3532 y Fq(n)1835 3570 y Fw(\))p Ft(jj)p Fs(@)1973 3532 y Fq(\033)1968 3592 y(x)2021 3570 y Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(x)p Fw(\))p Ft(j)25 b(\024)g Fs(C)2409 3584 y Fq(\013)2459 3570 y Fs(;)35 b(\013)26 b Ft(2)f Fw(I)-15 b(N)2775 3532 y Fq(n)2822 3570 y Ft(g)p Fs(:)141 3720 y Fw(W)-8 b(e)32 b(denote)f(b)m(y)f Fs(H)800 3687 y Fq(s)837 3720 y Fw(\(I)-15 b(R)957 3684 y Fq(n)1004 3720 y Fw(\))30 b(the)h(Sob)s(olev)e(space)i (of)g(order)f Fs(s)24 b Ft(2)h Fw(I)-15 b(R)30 b(on)g(I)-15 b(R)2628 3684 y Fq(n)2675 3720 y Fw(.)141 3872 y Fi(Hilb)s(ert)34 b(spaces)141 4023 y Fw(If)i Ft(H)h Fw(is)f(a)h(Hilb)s(ert)e(space,)k(w) m(e)e(denote)g(b)m(y)f Ft(B)s Fw(\()p Ft(H)q Fw(\))h(resp.)58 b Ft(U)9 b Fw(\()p Ft(H)q Fw(\))37 b(the)g(set)g(of)g(b)s(ounded)d (resp.)59 b(unitary)0 4136 y(op)s(erators)28 b(on)f Ft(H)q Fw(.)39 b(If)27 b Fs(H)35 b Fw(is)26 b(a)i(b)s(ounded)d(b)s(elo)m(w)i (selfadjoin)m(t)f(op)s(erator)i(on)g Ft(H)q Fw(,)f(w)m(e)h(will)d (denote)j(b)m(y)f(the)h(letter)0 4249 y Fs(b)i Fw(a)h(constan)m(t)h (suc)m(h)e(that)h Fs(H)c Fw(+)20 b Fs(b)25 b Ft(\025)g Fw(1)-20 b(l.)141 4362 y(If)25 b Fs(H)33 b Fw(is)25 b(a)h(selfadjoin)m (t)f(op)s(erator)h(on)f Ft(H)i Fw(and)e(I)-15 b(R)25 b Ft(3)g Fs(t)g Ft(7!)g Fw(\010\()p Fs(t)p Fw(\))g Ft(2)g(B)s Fw(\()p Ft(H)q Fw(\))h(is)e(an)i(op)s(erator-v)-5 b(alued)26 b(function,)0 4475 y(w)m(e)31 b(denote)g(b)m(y)f Fi(D)p Fw(\010\()p Fs(t)p Fw(\))h(the)f(Heisen)m(b)s(erg)g(deriv)-5 b(ativ)m(e:)1331 4645 y Fi(D)p Fw(\010\()p Fs(t)p Fw(\))26 b(=)f Fs(@)1750 4659 y Fq(t)1780 4645 y Fw(\010\()p Fs(t)p Fw(\))20 b(+)g([)p Fs(H)r(;)15 b Fw(i\010\()p Fs(t)p Fw(\)])p Fs(:)0 4816 y Fw(F)-8 b(or)31 b Fs(u)25 b Ft(2)g(H)q Fw(,)30 b(w)m(e)h(set)g Fs(u)787 4830 y Fq(t)842 4816 y Fw(=)25 b(e)978 4783 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1146 4816 y Fs(u)p Fw(.)141 4929 y(Often)44 b(the)g(Hamiltonian)f Fs(H)51 b Fw(can)44 b(b)s(e)f(written)h(as)g(a)g(sum)f Fs(H)56 b Fw(=)47 b Fs(H)2640 4943 y Fr(0)2709 4929 y Fw(+)29 b Fs(V)20 b Fw(,)48 b(where)43 b Fs(H)3307 4943 y Fr(0)3390 4929 y Fw(is)g(a)i(`free')0 5042 y(Hamiltonian)40 b(and)h Fs(V)62 b Fw(an)41 b(in)m(teraction)h(term.)74 b(In)41 b(this)f(case)j(w)m(e)f(denote)g(b)m(y)f Fi(D)2912 5056 y Fr(0)2994 5042 y Fw(the)g(free)h(Heisen)m(b)s(erg)0 5155 y(deriv)-5 b(ativ)m(e)30 b(asso)s(ciated)h(to)g Fs(H)1037 5169 y Fr(0)1076 5155 y Fw(:)1293 5268 y Fi(D)1373 5282 y Fr(0)1412 5268 y Fw(\010\()p Fs(t)p Fw(\))26 b(=)f Fs(@)1751 5282 y Fq(t)1781 5268 y Fw(\010\()p Fs(t)p Fw(\))20 b(+)g([)p Fs(H)2162 5282 y Fr(0)2201 5268 y Fs(;)15 b Fw(i\010\()p Fs(t)p Fw(\)])p Fs(:)1867 5517 y Fw(7)p eop %%Page: 8 8 8 7 bop 0 162 a Fw(If)33 b(I)-15 b(R)30 b Ft(3)h Fs(t)f Ft(7!)g Fw(\010\()p Fs(t)p Fw(\))k(is)f(a)h(map)f(with)f(v)-5 b(alues)33 b(in)f(linear)g(op)s(erators)i(on)g Ft(H)g Fw(and)f Fs(N)43 b Fw(is)33 b(a)h(p)s(ositiv)m(e)e(selfadjoin)m(t)0 275 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Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))1059 2076 y FF(\000)p Fr(1)1154 2114 y Fw(e)1194 2075 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(sA)1194 2145 y FF(j)p Fq(s)p Fr(=0)1384 2114 y Fw(=)25 b([)p Fs(A;)15 b Fw(i\()p Fs(z)24 b Ft(\000)c Fs(H)7 b Fw(\))1949 2076 y FF(\000)p Fr(1)2044 2114 y Fw(])26 b(=)e(\()p Fs(z)h Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))2501 2076 y FF(\000)p Fr(1)2596 2114 y Fw([)p Fs(A;)15 b Fw(i)p Fs(H)7 b Fw(]\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))3174 2076 y FF(\000)p Fr(1)3269 2114 y Fs(:)0 2351 y Fw(F)-8 b(or)31 b(0)26 b Fs(<)f(\017)g(<)g Fw(1,)31 b(w)m(e)g(sa)m(y)g(that)g Fs(H)h Ft(2)25 b Fs(C)1343 2319 y Fr(1+)p Fq(\017)1465 2351 y Fw(\()p Fs(A)p Fw(\))31 b(if)f Fs(H)i Ft(2)25 b Fs(C)1984 2319 y Fr(1)2023 2351 y Fw(\()p Fs(A)p Fw(\))31 b(and)f(the)g(map)1067 2556 y(I)-15 b(R)25 b Ft(3)g Fs(s)g Ft(7!)g Fw(e)1487 2518 y Fr(i)p Fq(sA)1596 2556 y Fw([\()p Fs(z)g Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))1932 2518 y FF(\000)p Fr(1)2027 2556 y Fs(;)15 b Fw(i)p Fs(A)p Fw(]e)2226 2518 y FF(\000)p Fr(i)p 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Fs(a)1097 4742 y FF(\003)1137 4775 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\),)j Fs(a)p Fw(\()p Fs(h)p Fw(\),)g(the)e(creation)g(annihilation)c(op)s (erators,)23 b(b)m(y)e Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))27 b(=)3386 4739 y Fr(1)p 3357 4754 95 4 v 3357 4763 a FF(p)p 3416 4763 36 3 v 55 x Fr(2)3461 4775 y Fw(\()p Fs(a)3544 4742 y FF(\003)3584 4775 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))r(+)0 4918 y Fs(a)p Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)\))32 b(the)e(\014eld)f(op)s(erators) i(and)f(b)m(y)g Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))26 b(=)f(e)1679 4885 y Fr(i)p Fq(\036)p Fr(\()p Fq(h)p Fr(\))1871 4918 y Fw(the)30 b(W)-8 b(eyl)31 b(op)s(erators\(see)h(eg)f([DG2)q(,)g (Sect.2]\).)141 5031 y(It)g(is)e(con)m(v)m(enien)m(t)j(to)f(extend)f (the)h(de\014nition)d(of)i Fs(a)1899 4998 y FF(\003)1939 5031 y Fw(\()p Fs(v)s Fw(\),)h Fs(a)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))h(in)d(the)h(follo)m(wing)f(w)m(a)m(y:)1867 5517 y(8)p eop %%Page: 9 9 9 8 bop 141 162 a Fw(supp)s(ose)31 b(that)i Ft(K)g Fw(is)f(a)g(Hilb)s (ert)e(space.)47 b(If)32 b Fs(v)f Ft(2)d(B)s Fw(\()p Ft(K)q 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Fr(2)2159 2404 y Fw(\))1386 2606 y(\000\()p Fs(q)s Fw(\))1557 2508 y Fp(\014)1557 2558 y(\014)1557 2608 y(\014)1585 2604 y(N)1677 2624 y Fj(n)1677 2691 y Fm(s)1731 2662 y Fk(h)1767 2671 y Fm(1)1831 2606 y Fw(:=)h Fs(q)d Ft(\012)d(\001)15 b(\001)g(\001)21 b(\012)f Fs(q)s(:)0 2854 y Fw(If)30 b Fs(q)s Fw(,)g Fs(r)j Fw(are)e(op)s(erators)f(from)g Fl(h)1076 2868 y Fr(1)1146 2854 y Fw(to)h Fl(h)1300 2868 y Fr(2)1370 2854 y Fw(one)g(de\014nes)914 3050 y(d\000\()p Fs(q)s(;)15 b(r)s Fw(\))25 b(:)g(\000\()p Fl(h)1430 3064 y Fr(1)1470 3050 y Fw(\))h Ft(!)f Fw(\000\()p Fl(h)1782 3064 y Fr(2)1822 3050 y Fw(\))p Fs(;)914 3273 y Fw(d\000\()p Fs(q)s(;)15 b(r)s Fw(\))1220 3175 y Fp(\014)1220 3225 y(\014)1220 3275 y(\014)1247 3271 y(N)1340 3291 y Fj(n)1340 3358 y Fm(s)1394 3329 y Fk(h)1430 3338 y Fm(1)1494 3273 y Fw(:=)1655 3192 y Fq(n)1633 3208 y Fp(P)1615 3349 y Fq(j)t Fr(=1)1753 3273 y Fs(q)23 b Ft(\012)d(\001)15 b(\001)g(\001)21 b(\012)f Fs(q)1753 3325 y Fp(|)p 1790 3325 134 10 v 134 w({z)p 1998 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Fs(;)15 b Fw(2)35 b(b)s(e)e(Hilb)s(ert)e(spaces.)50 b(Let)34 b Fs(p)1743 2981 y Fq(i)1804 2967 y Fw(b)s(e)f(the)h(pro)5 b(jection)33 b(of)g Fl(h)2675 2981 y Fr(1)2737 2967 y Ft(\010)22 b Fl(h)2873 2981 y Fr(2)2946 2967 y Fw(on)m(to)35 b Fl(h)3197 2981 y Fq(i)3225 2967 y Fw(,)g Fs(i)30 b Fw(=)g(1)p Fs(;)15 b Fw(2.)51 b(W)-8 b(e)0 3080 y(de\014ne)1265 3193 y Fs(U)35 b Fw(:)25 b(\000\()p Fl(h)1547 3207 y Fr(1)1608 3193 y Ft(\010)19 b Fl(h)1741 3207 y Fr(2)1781 3193 y Fw(\))26 b Ft(!)f Fw(\000\()p Fl(h)2093 3207 y Fr(1)2133 3193 y Fw(\))20 b Ft(\012)g Fw(\000\()p Fl(h)2414 3207 y Fr(2)2454 3193 y Fw(\))p Fs(;)0 3360 y Fw(b)m(y)836 3465 y Fs(U)10 b Fw(\012)25 b(=)g(\012)19 b Ft(\012)h Fw(\012)p Fs(;)836 3667 y(U)10 b(a)956 3634 y Fq(])987 3667 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))27 b(=)1232 3573 y Fp(\020)1281 3667 y Fs(a)1329 3634 y Fq(])1361 3667 y Fw(\()p Fs(p)1442 3681 y Fr(1)1481 3667 y Fs(h)p Fw(\))21 b Ft(\012)f Fw(1)-20 b(l)20 b(+)g(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)f Fs(a)2051 3634 y Fq(])2083 3667 y Fw(\()p Fs(p)2164 3681 y Fr(2)2204 3667 y Fs(h)p Fw(\))2291 3573 y Fp(\021)2356 3667 y Fs(U;)36 b(h)25 b Ft(2)g Fl(h)2685 3681 y Fr(1)2745 3667 y Ft(\010)20 b Fl(h)2879 3681 y Fr(2)2919 3667 y Fs(:)0 3575 y Fw(\(2.3\))0 3850 y(Since)28 b(the)g(v)m(ectors)i Fs(a)745 3817 y FF(\003)785 3850 y Fw(\()p Fs(h)872 3864 y Fr(1)912 3850 y Fw(\))15 b Ft(\001)g(\001)g(\001)i Fs(a)1132 3817 y FF(\003)1171 3850 y Fw(\()p Fs(h)1258 3864 y Fq(n)1306 3850 y Fw(\)\012)28 b(form)g(a)h(total)h(family)c(in)i(\000\()p Fl(h)2453 3864 y Fr(1)2509 3850 y Ft(\010)16 b Fl(h)2639 3864 y Fr(2)2679 3850 y Fw(\),)29 b(and)f(since)g Fs(U)39 b Fw(preserv)m(es)28 b(the)0 3963 y(canonical)20 b(comm)m(utation)i (relations,)f Fs(U)31 b Fw(extends)21 b(as)f(a)h(unitary)f(op)s(erator) h(from)f(\000\()p Fl(h)2910 3977 y Fr(1)2950 3963 y Ft(\010)q Fl(h)3065 3977 y Fr(2)3104 3963 y Fw(\))h(to)h(\000\()p Fl(h)3397 3977 y Fr(1)3437 3963 y Fw(\))q Ft(\012)q Fw(\000\()p Fl(h)3680 3977 y Fr(2)3719 3963 y Fw(\).)141 4125 y Fi(Op)s(erators)640 4102 y Fw(\024)635 4125 y(\000)o(\()p Fs(j)5 b Fw(\))37 b Fi(and)d Fw(d)1098 4102 y(\024)1092 4125 y(\000\()p Fs(j;)15 b(k)s Fw(\))141 4288 y(Let)31 b Fs(j)341 4302 y Fr(0)381 4288 y Fs(;)15 b(j)458 4302 y FF(1)559 4288 y Ft(2)25 b(B)s Fw(\()p Fl(h)p Fw(\).)41 b(Set)30 b Fs(j)h Fw(=)25 b(\()p Fs(j)1279 4302 y Fr(0)1319 4288 y Fs(;)15 b(j)1396 4302 y FF(1)1472 4288 y Fw(\).)41 b(W)-8 b(e)31 b(iden)m(tify)e Fs(j)36 b Fw(with)29 b(the)i(op)s(erator)1554 4489 y Fs(j)g Fw(:)25 b Fl(h)h Ft(!)f Fl(h)c Ft(\010)e Fl(h)p Fs(;)1554 4673 y(j)5 b(h)26 b Fw(:=)f(\()p Fs(j)1867 4687 y Fr(0)1908 4673 y Fs(h;)15 b(j)2037 4687 y FF(1)2113 4673 y Fs(h)p Fw(\))p Fs(:)0 4870 y Fw(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e)1348 4957 y Fs(j)1390 4924 y FF(\003)1456 4957 y Fw(:)25 b Fl(h)c Ft(\010)f Fl(h)25 b Ft(!)g Fl(h)p Fs(;)1348 5141 y(j)1390 5108 y FF(\003)1430 5141 y Fw(\()p Fs(h)1517 5155 y Fr(0)1558 5141 y Fs(;)15 b(h)1650 5155 y FF(1)1725 5141 y Fw(\))26 b(=)f Fs(j)1924 5108 y FF(\003)1919 5164 y 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b(:)g(\000\()p Fl(h)p Fw(\))g Ft(!)f Fw(\000\()p Fl(h)p Fw(\))c Ft(\012)f Fw(\000\()p Fl(h)p Fw(\))p Fs(;)1377 1173 y Fw(\024)1372 1196 y(\000\()p Fs(j)5 b Fw(\))26 b(:=)f Fs(U)10 b Fw(\000\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Fs(:)0 1398 y Fw(Another)30 b(form)m(ula)g(de\014ning)1039 1375 y(\024)1033 1398 y(\000\()p Fs(j)5 b Fw(\))32 b(is)526 1567 y(\024)520 1590 y(\000\()p Fs(j)5 b Fw(\)\005)757 1553 y Fq(n)757 1613 y(i)p Fr(=1)877 1590 y Fs(a)925 1553 y FF(\003)964 1590 y Fw(\()p Fs(h)1051 1604 y Fq(i)1080 1590 y Fw(\)\012)26 b(:=)f(\005)1396 1553 y Fq(n)1396 1613 y(i)p Fr(=1)1530 1590 y Fw(\()p Fs(a)1613 1553 y FF(\003)1652 1590 y Fw(\()p Fs(j)1724 1604 y Fr(0)1765 1590 y Fs(h)1817 1604 y Fq(i)1845 1590 y Fw(\))c Ft(\012)f Fw(1)-20 b(l)19 b(+)h(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fs(a)2363 1553 y FF(\003)2402 1590 y Fw(\()p Fs(j)2474 1604 y FF(1)2550 1590 y Fs(h)2602 1604 y Fq(i)2630 1590 y Fw(\)\))c(\012)k Ft(\012)g Fw(\012)p Fs(;)15 b(h)3051 1604 y Fq(i)3105 1590 y Ft(2)25 b Fl(h)p Fs(:)-3259 b Fw(\(2.4\))0 1783 y(Let)38 b Fs(N)243 1797 y Fr(0)320 1783 y Fw(=)f Fs(N)e Ft(\012)25 b Fw(1)-20 b(l,)39 b Fs(N)820 1797 y FF(1)933 1783 y Fw(=)e(1)-20 b(l)25 b Ft(\012)f Fs(N)48 b Fw(acting)38 b(on)g(\000\()p Fl(h)p Fw(\))25 b Ft(\012)g Fw(\000\()p Fl(h)p Fw(\).)64 b(Then)36 b(if)h(w)m(e)h(denote)h(b)m(y)e Fs(I)3247 1798 y Fq(k)3327 1783 y Fw(the)h(natural)0 1895 y(isometry)30 b(b)s(et)m(w)m(een)723 1831 y Fp(N)815 1858 y Fq(n)877 1895 y Fl(h)h Fw(and)1128 1831 y Fp(N)1220 1858 y Fq(n)p FF(\000)p Fq(k)1375 1895 y Fl(h)21 b Ft(\012)1530 1831 y Fp(N)1622 1858 y Fq(k)1680 1895 y Fl(h)p Fw(,)31 b(then)f(w)m(e)h(ha)m(v)m(e:)623 2100 y(1)-20 b(l)673 2119 y FF(f)p Fq(k)r FF(g)787 2100 y Fw(\()p Fs(N)895 2114 y FF(1)970 2100 y Fw(\))1011 2077 y(\024)1005 2100 y(\000\()p Fs(j)5 b Fw(\))1174 2003 y Fp(\014)1174 2053 y(\014)1174 2103 y(\014)1203 2098 y(N)1295 2119 y Fj(n)1295 2186 y(s)1349 2157 y Fk(h)1415 2100 y Fw(=)25 b Fs(I)1551 2115 y Fq(k)1594 2009 y Fp(q)p 1677 2009 289 4 v 1790 2065 a 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Fr(0)976 2678 y Fs(;)15 b(k)1063 2692 y FF(1)1138 2678 y Fw(\))31 b(b)s(e)f(maps)g(from)g Fl(h)g Fw(to)h Fl(h)21 b Ft(\010)f Fl(h)p Fw(.)41 b(W)-8 b(e)31 b(set)1304 2868 y(d)1361 2845 y(\024)1355 2868 y(\000)o(\()p Fs(j;)15 b(k)s Fw(\))27 b(:)f(\000\()p Fl(h)p Fw(\))g Ft(!)f Fw(\000\()p Fl(h)p Fw(\))c Ft(\012)f Fw(\000\()p Fl(h)p Fw(\))p Fs(;)1304 3053 y Fw(d)1361 3030 y(\024)1355 3053 y(\000)o(\()p Fs(j;)15 b(k)s Fw(\))27 b(:=)e Fs(U)10 b Fw(d\000\()p Fs(j;)15 b(k)s Fw(\))p Fs(:)0 3255 y Fw(The)30 b(op)s(erator)h(d)611 3232 y(\024)605 3255 y(\000)o(\(1)p Fs(;)15 b(k)s Fw(\))27 b(=)e Fs(U)10 b Fw(d\000\()p Fs(k)s Fw(\))30 b(will)e(b)s(e)i(denoted)g (simply)e(b)m(y)i(d)2432 3232 y(\024)2426 3255 y(\000\()p Fs(k)s Fw(\).)141 3414 y Fi(Scattering)35 b(iden)m(ti\014cation)g(op)s (erator)141 3572 y Fw(Let)1461 3660 y Fs(i)26 b Fw(:)f Fl(h)c Ft(\010)f Fl(h)25 b Ft(!)g Fl(h)p Fs(;)1492 3843 y Fw(\()p Fs(h)1579 3857 y Fr(0)1619 3843 y Fs(;)15 b(h)1711 3857 y FF(1)1786 3843 y Fw(\))26 b Ft(7!)f Fs(h)2015 3857 y Fr(0)2075 3843 y Fw(+)20 b Fs(h)2218 3857 y FF(1)2293 3843 y Fs(:)0 4002 y Fw(An)38 b(imp)s(ortan)m(t)f(role)h(in)f (scattering)i(theory)f(is)g(pla)m(y)m(ed)g(b)m(y)g(the)g(follo)m(wing)f (iden)m(ti\014cation)g(op)s(erator)i(\(see)0 4115 y([HuSp1)o(]\):)1045 4228 y Fs(I)33 b Fw(:=)25 b(\000\()p Fs(i)p Fw(\))p Fs(U)1469 4190 y FF(\003)1534 4228 y Fw(=)1636 4205 y(\024)1630 4228 y(\000\()p Fs(i)1753 4190 y FF(\003)1793 4228 y Fw(\))1828 4190 y FF(\003)1893 4228 y Fw(:)h(\000\()p Fl(h)p Fw(\))21 b Ft(\012)f Fw(\000\()p Fl(h)p Fw(\))26 b Ft(!)f Fw(\000\()p Fl(h)p Fw(\))p Fs(:)0 4389 y Fw(Note)32 b(that)f(since)e Ft(k)p Fs(i)p Ft(k)e Fw(=)883 4314 y Ft(p)p 959 4314 46 4 v 75 x Fw(2,)k(the)f(op)s(erator)h(\000\()p Fs(i)p Fw(\))g(is)e(un)m(b)s(ounded.)141 4501 y(Another)h(form)m(ula)g (de\014ning)e Fs(I)38 b Fw(is:)630 4720 y Fs(I)728 4649 y Fq(n)715 4728 y Fw(\005)692 4786 y Fq(i)p Fr(=1)821 4720 y Fs(a)869 4682 y FF(\003)909 4720 y Fw(\()p Fs(h)996 4734 y Fq(i)1025 4720 y 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b(ables)36 b(dep)s(ending)f(on)i(a)h(constan)m(t)h(c,)h (whic)m(h)c(has)h(the)h(meaning)f(of)h(a)g(sp)s(eed)e(of)0 2139 y(propagation,)31 b(will)c(b)s(e)j(denoted)g(with)g(the)g (subscript)e(c.)141 2252 y(In)f(addition)g(to)h(the)g(original)f(ob)5 b(jects,)29 b(eg)g(Hilb)s(ert)d(spaces,)j(Hamiltonians,)e(asymptotic)h (observ)-5 b(ables,)0 2365 y(w)m(a)m(v)m(e)32 b(op)s(erators,)f(etc)g (w)m(e)g(will)d(consider)h(t)m(w)m(o)j(other)f(families)d(of)j(asso)s (ciated)f(ob)5 b(jects:)141 2478 y Fu(Exp)-5 b(ande)g(d)28 b(obje)-5 b(cts)p Fw(,)26 b(whic)m(h)c(corresp)s(ond)g(to)i(the)f (addition)f(of)h(non-ph)m(ysical)f(b)s(osons)g(of)i(negativ)m(e)g (energy)0 2591 y(to)i(the)g(system,)g(and)f(whic)m(h)f(will)f(b)s(e)h (denoted)i(b)m(y)f(adding)f(a)h(sup)s(erscript)e(e)j(to)g(the)f (corresp)s(onding)e(original)0 2704 y(ob)5 b(jects.)68 b(Sometimes)39 b(an)g(ob)5 b(ject)40 b(de\014ned)e(in)g(the)i(expanded) e(framew)m(ork)h(has)g(no)h(coun)m(terpart)f(in)f(the)0 2817 y(original)29 b(framew)m(ork,)h(in)f(whic)m(h)g(case)j(w)m(e)f (will)c(omit)k(the)f(sup)s(erscript)e(e.)141 2930 y Fu(Extende)-5 b(d)31 b(obje)-5 b(cts)p Fw(,)28 b(whic)m(h)e(corresp)s(ond)g(to)i(the) f(addition)f(of)h(asymptotically)g(free)g(b)s(osons,)g(and)g(whic)m(h)0 3043 y(will)h(b)s(e)h(denoted)i(with)e(a)i(subscript)d(ext)q(,)i (\(with)g(some)g(exceptions\).)0 3328 y Fx(3)135 b(Massless)45 b(P)l(auli-Fierz)h(Hamiltonians)0 3530 y Fw(W)-8 b(e)36 b(describ)s(e)d(in)g(this)h(section)h(an)f(abstract)i(framew)m(ork)f (in)m(tro)s(duced)e(in)g([DG2)r(])h(in)g(whic)m(h)f(w)m(e)i(will)d(w)m (ork)0 3643 y(for)f(most)g(of)f(the)h(pap)s(er.)41 b(W)-8 b(e)32 b(also)f(de\014ne)f(the)h Fu(exp)-5 b(ande)g(d)35 b(obje)-5 b(cts)p Fw(,)32 b(whic)m(h)d(corresp)s(ond)h(to)h(adding)e(b) s(osons)0 3756 y(of)f(negativ)m(e)h(energy)g(to)g(the)f(system.)40 b(Finally)26 b(w)m(e)i(pro)m(v)m(e)h(v)-5 b(arious)27 b(basic)h(estimates)g(whic)m(h)f(will)e(b)s(e)j(needed)0 3869 y(in)h(the)i(sequel.)0 4111 y Fv(3.1)112 b(The)38 b(abstract)g(setup)0 4283 y Fw(W)-8 b(e)40 b(describ)s(e)e(no)m(w)h (the)h(abstract)g(framew)m(ork)f(in)f(whic)m(h)g(w)m(e)i(will)d(w)m (ork)i(for)g(most)h(of)f(the)h(pap)s(er.)66 b(The)0 4396 y(mo)s(dels)30 b(that)h(w)m(e)h(will)c(in)m(tro)s(duce)i(describ)s(e)f (a)j(small)d(system)i(\(eg)h(an)f(atom)h(or)f(a)h(spin)d(\))i(in)m (teracting)g(with)0 4509 y(a)g(scalar)f(b)s(osonic)f(\014eld.)40 b(Using)29 b(the)i(terminology)e(of)i([DG2)q(])g(w)m(e)g(can)f(call)g (this)f(class)h(of)h(mo)s(dels)e Fu(massless)0 4621 y(Pauli-Fierz)k(mo) -5 b(dels)p Fw(.)141 4734 y(The)33 b(small)e(system)i(is)f(describ)s (ed)f(with)g(a)j(separable)e(Hilb)s(ert)f(space)i Ft(K)i Fw(and)d(a)h(b)s(ounded)e(b)s(elo)m(w)h(self-)0 4847 y(adjoin)m(t)e(op)s(erator)h Fs(K)37 b Fw(on)30 b Ft(K)q Fw(.)41 b(Without)30 b(loss)g(of)h(generalit)m(y)f(w)m(e)h(will)d (assume)i(that)h Fs(K)37 b Fw(is)29 b(p)s(ositiv)m(e.)141 4960 y(Let)22 b Fl(h)j Fw(:=)h Fs(L)547 4927 y Fr(2)586 4960 y Fw(\(I)-15 b(R)706 4924 y Fr(+)765 4960 y Fs(;)15 b Fw(d)5 b(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))r Ft(\012)r Fl(g)p Fw(,)22 b(where)f Fl(g)g Fw(is)f(some)i(auxiliary)c(separable)j(Hilb)s (ert)e(space,)24 b(b)s(e)c(the)i(one-particle)0 5073 y(b)s(oson)30 b(space.)41 b(The)30 b(Hilb)s(ert)e(space)j(of)g(the)f (in)m(teracting)g(system)h(is)1589 5268 y Ft(H)26 b Fw(:=)f Ft(K)d(\012)e Fw(\000\()p Fl(h)p Fw(\))p Fs(:)1844 5517 y Fw(12)p eop %%Page: 13 13 13 12 bop 0 162 a Fw(The)30 b(one-particle)g(energy)h(is)e(the)i(op)s (erator)k(~)-50 b Fs(\033)34 b Fw(of)c(m)m(ultiplication)e(b)m(y)35 b(~)-50 b Fs(\033)34 b Fw(on)c Fl(h)p Fw(.)141 275 y(The)g(free)h (Hamiltonian)d(describing)g(the)j(non)f(in)m(teracting)g(system)g(is) 1272 463 y Fs(H)1348 477 y Fr(0)1412 463 y Fw(:=)25 b Fs(K)i Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)1779 482 y Fr(\000\()p Fk(h)p Fr(\))1938 463 y Fw(+)20 b(1)-20 b(l)2080 477 y FF(K)2158 463 y Ft(\012)20 b Fw(d\000\()5 b(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))p Fs(:)0 651 y Fw(The)40 b(in)m(teraction)h(is)f (describ)s(ed)f(b)m(y)i(an)g(op)s(erator)g Fs(v)46 b Ft(2)d(B)s Fw(\()p Ft(K)q Fs(;)15 b Ft(K)29 b(\012)e Fl(h)p Fw(\).)73 b(Note)43 b(that)e(since)g Ft(K)h Fw(and)e Fl(g)h Fw(are)0 764 y(separable,)30 b(w)m(e)h(can)g(consider)e Fs(v)k Fw(as)e(a)g(function)1275 952 y(I)-15 b(R)1360 915 y Fr(+)1444 952 y Ft(3)30 b Fw(~)-50 b Fs(\033)29 b Ft(7!)c Fs(v)s Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t Fw(\))25 b Ft(2)g(B)s Fw(\()p Ft(K)q Fs(;)15 b Ft(K)23 b(\012)d Fl(g)p Fw(\))p Fs(;)0 1141 y Fw(de\014ned)29 b(a.e)36 b(~)-49 b Fs(\033)33 b Fw(b)m(y)d(setting)1380 1254 y Fs(v)s Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t Fw(\))p Fs( )29 b Fw(:=)d(\()p Fs(v)s( )s Fw(\)\()5 b(~)-50 b Fs(\033)5 b Fw(\))p Fs(;)36 b( )28 b Ft(2)d(K)q Fs(;)0 1412 y Fw(and)30 b(iden)m(tifying)e Ft(K)22 b(\012)d Fs(L)872 1379 y Fr(2)912 1412 y Fw(\(I)-15 b(R)1032 1377 y Fr(+)1091 1412 y Fs(;)15 b Fw(d)5 b(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))20 b Ft(\012)g Fl(g)30 b Fw(with)g Fs(L)1725 1379 y Fr(2)1764 1412 y Fw(\(I)-15 b(R)1884 1377 y Fr(+)1943 1412 y Fs(;)15 b Fw(d)5 b(~)-50 b Fs(\033)s Fw(;)15 b Ft(K)22 b(\012)e Fl(g)p Fw(\).)141 1525 y(The)30 b(Hamiltonian)f(describing)f(the)i(in)m(teracting)h (system)f(is)g(no)m(w)1563 1713 y Fs(H)i Fw(:=)26 b Fs(H)1869 1727 y Fr(0)1928 1713 y Fw(+)20 b Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))p Fs(;)0 1902 y Fw(acting)31 b(on)f Ft(H)q Fw(,)g(where)g Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))i(is)d(de\014ned)g(in)g(\(2.1\).)141 2014 y(W)-8 b(e)32 b(will)27 b(assume)k(that)1264 2127 y(\()p Fs(I)1346 2090 y FF(0)1370 2127 y Fw(0\))21 b(\(1)g(+)k(~)-50 b Fs(\033)1718 2090 y FF(\000)1783 2063 y Fm(1)p 1783 2075 31 4 v 1783 2116 a(2)1827 2127 y Fw(\))p Fs(v)29 b Ft(2)c(B)s Fw(\()p Ft(K)q Fs(;)15 b Ft(K)23 b(\012)d Fl(h)p Fw(\))p Fs(;)0 2286 y Fw(whic)m(h)28 b(implies)e(b)m(y)j(Prop.) 39 b(A.1)30 b(that)f Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))i(is)c Fs(H)1679 2300 y Fr(0)1718 2286 y Ft(\000)i Fw(b)s(ounded)e(with)g (in\014nitesimal)f(b)s(ound)g(and)j(hence)g(that)0 2399 y Fs(H)37 b Fw(is)30 b(selfadjoin)m(t)f(and)h(b)s(ounded)e(b)s(elo)m(w) i(on)g Ft(D)s Fw(\()p Fs(H)1758 2413 y Fr(0)1797 2399 y Fw(\).)141 2512 y(In)g(terms)g(of)h(the)f(function)f Fs(v)s Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t Fw(\))31 b Fu(\(I'0\))g Fw(is)e(equiv)-5 b(alen)m(t)30 b(to)1246 2632 y Fp(Z)1329 2658 y Fr(+)p FF(1)1293 2821 y Fr(0)1459 2747 y Fw(\(1)21 b(+)f Ft(j)5 b Fw(~)-50 b Fs(\033)s Ft(j)1756 2710 y FF(\000)p Fr(1)1851 2747 y Fw(\))p Ft(k)p Fs(v)s Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)5 b Fw(\))p Ft(k)2150 2710 y Fr(2)2190 2747 y Fw(d)g(~)-50 b Fs(\033)28 b(<)d Ft(1)p Fs(:)0 2967 y Fw(W)-8 b(e)32 b(will)27 b(denote)k(b)m(y)f Fs(N)41 b Fw(the)30 b(n)m(um)m(b)s(er)f(op)s(erator)i(on)f Ft(H)1551 3155 y Fs(N)35 b Fw(=)25 b(1)-20 b(l)1806 3169 y FF(K)1884 3155 y Ft(\012)20 b Fw(d\000\(1)-20 b(l)o(\))p Fs(:)141 3344 y Fw(W)-8 b(e)36 b(no)m(w)e(explain)f(ho)m(w)h(to)h(cast)g(the)g (massless)e(Nelson)h(Hamiltonian)f(in)m(to)h(this)f(framew)m(ork.)53 b(Let)35 b Fs(H)0 3457 y Fw(b)s(e)30 b(a)g(massless)g(Nelson)g (Hamiltonian)f(as)h(in)m(tro)s(duced)f(in)g(Subsect.)40 b(1.1.)141 3569 y(On)30 b(the)g(one-particle)g(space)h Fs(L)1249 3536 y Fr(2)1289 3569 y Fw(\(I)-15 b(R)1409 3534 y Fr(3)1448 3569 y Fs(;)15 b Fw(d)p Fs(k)s Fw(\))31 b(w)m(e)g(in)m(tro)s(duce)e(p)s(olar)g(co)s(ordinates)h(b)m(y)g(the)h (unitary)e(map:)1217 3755 y(u)c(:)h Fs(L)1406 3722 y Fr(2)1445 3755 y Fw(\(I)-15 b(R)1565 3719 y Fr(3)1604 3755 y Fs(;)15 b Fw(d)p Fs(k)s Fw(\))26 b Ft(!)f Fs(L)1984 3722 y Fr(2)2024 3755 y Fw(\(I)-15 b(R)2143 3719 y Fr(+)2202 3755 y Fs(;)15 b Fw(d)5 b(~)-50 b Fs(\033)t Fw(\))20 b Ft(\012)g Fl(g)p Fs(;)1217 3868 y Fw(u)p Fs( )s Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t(;)15 b(!)s Fw(\))26 b(:=)k(~)-50 b Fs(\033)s( )s Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t(!)s Fw(\))p Fs(;)0 3811 y Fw(\(3.1\))0 4064 y(for)45 b Fl(g)k Fw(=)g Fs(L)427 4031 y Fr(2)466 4064 y Fw(\()p Fs(S)562 4031 y Fr(2)602 4064 y Fw(\).)84 b(W)-8 b(e)46 b(lift)e(the)h(unitary)e(map) h(u)h(to)g(a)g(map)g(1)-20 b(l)2376 4078 y FF(K)2464 4064 y Ft(\012)30 b Fw(\000\(u\))45 b(from)f Ft(K)32 b(\012)d Fw(\000\()p Fs(L)3372 4031 y Fr(2)3412 4064 y Fw(\(I)-15 b(R)3531 4028 y Fr(3)3571 4064 y Fs(;)15 b(dk)s Fw(\)\))0 4177 y(in)m(to)31 b Ft(K)23 b(\012)d Fw(\000\()p Fl(h)p Fw(\))32 b(and)f(the)h(free)f(Hamiltonian)f Fs(K)d Ft(\012)21 b Fw(1)-20 b(l)20 b(+)h(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)h Fw(d\000\()p Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)p Fw(\))32 b(b)s(ecomes)f Fs(K)d Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)21 b(+)f(1)-20 b(l)21 b Ft(\012)f Fw(d\000\()5 b(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\).)44 b(The)0 4289 y(in)m(teraction)25 b Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))h(b)s(ecomes)f Fs(\036)p Fw(\(u)p Fs(v)s Fw(\),)i(whic)m(h)c(w)m(e)j(will)c(still)g(denote)k(b)m(y)f Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\).)40 b(If)24 b(w)m(e)h(represen)m(t)g(as) g(in)f(Subsect.)0 4402 y(1.1)31 b Fs(v)e Ft(2)c(B)s Fw(\()p Ft(K)q Fs(;)15 b Ft(K)22 b(\012)e Fl(h)p Fw(\))31 b(b)m(y)g(a)f (function)1294 4591 y(I)-15 b(R)1378 4553 y Fr(3)1443 4591 y Ft(3)25 b Fs(k)j Ft(7!)d Fs(v)s Fw(\()p Fs(k)s Fw(\))i Ft(2)e(B)s Fw(\()p Ft(K)q Fw(\))31 b(a.e.)41 b Fs(k)s(;)0 4779 y Fw(then)30 b(u)p Fs(v)j Fw(is)d(represen)m(ted)g(b) m(y)g(the)h(function)1452 4967 y Fs(v)s Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t Fw(\))26 b(=)j(~)-49 b Fs(\033)s(v)s Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t(!)s Fw(\))p Fs(;)46 b Fw(a.e)36 b(~)-50 b Fs(\033)s(:)0 5155 y Fw(where)25 b Fs(v)s Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t(!)s Fw(\))26 b(for)f(\014xed)30 b(~)-50 b Fs(\033)28 b Fw(is)d(an)g(elemen)m(t)h(of)g Ft(B)s Fw(\()p Ft(K)q Fs(;)15 b Ft(K)d(\012)e Fl(g)p Fw(\).)40 b(The)25 b(P)m(auli-Fierz)g(Hamiltonian)f(\(still)f(denoted)0 5268 y(b)m(y)30 b Fs(H)7 b Fw(\))31 b(obtained)f(in)f(this)g(w)m(a)m(y) i(is)f(said)f Fu(asso)-5 b(ciate)g(d)33 b Fw(to)e(the)g(Nelson)f (Hamiltonian)e Fs(H)7 b Fw(.)1844 5517 y(13)p eop %%Page: 14 14 14 13 bop 0 162 a Fv(3.2)112 b(Existence)37 b(of)g(b)s(ound)i(states)0 334 y Fw(The)h(existence)h(of)f(b)s(ound)f(states)i(of)g Fs(H)47 b Fw(in)39 b(the)i(Hilb)s(ert)e(space)i Ft(H)g Fw(is)e(an)h(imp)s(ortan)m(t)g(prop)s(ert)m(y)g(of)g(the)0 447 y(Hamiltonian)31 b Fs(H)7 b Fw(.)49 b(In)33 b(particular)e(it)i (implies)d(that)k(the)f(CCR)g(represen)m(tation)g(giv)m(en)g(b)m(y)g (the)g(asymptotic)0 560 y(\014elds)f(constructed)i(in)f(Sect.)51 b(8.1)35 b(admits)e(a)h(F)-8 b(o)s(c)m(k)35 b(subrepresen)m(tation.)50 b(In)33 b(this)g(subsection)g(w)m(e)h(recall)f(a)0 673 y(result)f(of)g([G)q(])h(pro)m(ving)f(the)g(existence)h(of)g(a)g (ground)f(state)i(for)e Fs(H)40 b Fw(under)31 b(appropriate)h (condition)f(on)h(the)0 786 y(in)m(teraction)27 b Fs(v)s Fw(.)40 b(F)-8 b(or)28 b(related)f(results)e(see)j([AH)q(],)g ([BFS],[Ar)q(],)g([GLL],[LMS)q(].)40 b(W)-8 b(e)28 b(in)m(tro)s(duce)e (the)h(follo)m(wing)0 898 y(conditions)1177 1011 y(\()p Fs(H)1295 974 y FF(0)1318 1011 y Fw(0\))112 b(\()p Fs(K)28 b Fw(+)19 b(i\))1801 974 y FF(\000)p Fr(1)1926 1011 y Fw(is)29 b(compact)j(on)e Ft(K)q Fs(:)1061 1193 y Fw(\()p Fs(I)1143 1156 y FF(0)1167 1193 y Fw(3\))21 b(\(1)g(+)k(~)-50 b Fs(\033)1515 1156 y FF(\000)p Fr(1)1610 1193 y Fw(\))p Fs(v)s Fw(\()p Fs(K)28 b Fw(+)19 b(1\))2002 1156 y FF(\000)2067 1128 y Fm(1)p 2068 1140 31 4 v 2068 1182 a(2)2138 1193 y Ft(2)25 b(B)s Fw(\()p Ft(K)q Fs(;)15 b Ft(K)22 b(\012)e Fl(h)p Fw(\))p Fs(:)0 1360 y Fw(In)30 b(terms)g(of)g(the)h(function)e Fs(v)s Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t Fw(\))31 b Fu(\(I3'\))g Fw(is)e(equiv)-5 b(alen)m(t)30 b(to)936 1496 y Fp(Z)1019 1523 y Fr(+)p FF(1)983 1685 y Fr(0)1149 1611 y Fw(\(1)21 b(+)1375 1550 y(1)p 1351 1590 95 4 v 1356 1674 a(~)-50 b Fs(\033)1406 1647 y Fr(2)1455 1611 y Fw(\))p Ft(k)p Fs(v)s Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)5 b Fw(\)\()p Fs(K)28 b Fw(+)20 b(1\))2020 1574 y FF(\000)2085 1547 y Fm(1)p 2085 1559 31 4 v 2085 1600 a(2)2130 1611 y Ft(k)2175 1574 y Fr(2)2175 1637 y FF(B)r Fr(\()p FF(K)p Fq(;)p FF(K\012)p Fk(g)p Fr(\))2500 1611 y Fw(d)5 b(~)-50 b Fs(\033)28 b(<)d Ft(1)p Fs(:)0 1853 y Fw(The)30 b(follo)m(wing)f (result)g(is)g(sho)m(wn)h(in)f([G)q(,)h(Thm.)40 b(1].)0 2040 y Fi(Theorem)69 b(3.1)46 b Fu(Assume)28 b(hyp)-5 b(otheses)31 b(\(H'0\),)e(\(I'0\),)h(\(I'3\).)41 b(Then)29 b Fw(inf)21 b(sp)s(ec\()p Fs(H)7 b Fw(\))29 b Fu(is)f(an)h(eigenvalue)f (of)h Fs(H)7 b Fu(.)0 2153 y(In)33 b(other)g(wor)-5 b(ds)35 b Fs(H)40 b Fu(admits)34 b(a)f(gr)-5 b(ound)34 b(state)f(in)f Ft(H)q Fu(.)0 2341 y Fw(The)e(condition)f(corresp)s(onding)g(to)i Fu(\(I'3\))g Fw(for)g(the)g(concrete)h(Nelson)e(Hamiltonian)f(is)g Fu(\(I3\))j Fw(in)m(tro)s(duced)d(in)0 2454 y(Subsect.)40 b(1.1.)i(Hence)31 b(w)m(e)g(obtain:)0 2641 y Fi(Theorem)69 b(3.2)46 b Fu(Assume)36 b(hyp)-5 b(otheses)38 b(\(H0\))f(for)f Fs(\013)c(>)g Fw(0)p Fu(,)37 b(\(I0\),)g(\(I3\).)53 b(Then)37 b Fw(inf)21 b(sp)s(ec)o(\()p Fs(H)7 b Fw(\))37 b Fu(is)f(an)h(eigen-)0 2754 y(value)c(of)g Fs(H)7 b Fu(.)41 b(In)33 b(other)h(wor)-5 b(ds)34 b Fs(H)40 b Fu(admits)34 b(a)f(gr)-5 b(ound)34 b(state)f(in)g Ft(H)q Fu(.)0 2998 y Fv(3.3)112 b(Expanded)39 b(ob)6 b(jects)0 3169 y Fw(W)-8 b(e)23 b(describ)s(e)c(in)i(this)f (subsection)g(the)i Fu(exp)-5 b(ande)g(d)27 b(obje)-5 b(cts)p Fw(,)24 b(corresp)s(onding)19 b(to)j(the)g(addition)d(of)j(non) f(ph)m(ysical)0 3282 y(b)s(osons)36 b(of)g(negativ)m(e)i(energy)-8 b(.)60 b(This)35 b(idea)h(app)s(eared)f(\014rst)h(in)f([DJ)q(].)59 b(W)-8 b(e)38 b(use)e(the)h(notation)g(in)e(Subsect.)0 3395 y(3.1.)42 b(Let)1456 3485 y(~)1430 3508 y Ft(H)1508 3471 y Fr(e)1569 3508 y Fw(:=)25 b Ft(K)d(\012)d Fw(\000\()p Fl(h)p Fw(\))i Ft(\012)f Fw(\000\()p Fl(h)p Fw(\))p Fs(;)1199 3652 y Fw(~)1176 3675 y Fs(H)1259 3637 y Fr(e)1319 3675 y Fw(:=)26 b Fs(H)h Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)1685 3693 y Fr(\000\()p Fk(h)p Fr(\))1845 3675 y Ft(\000)20 b Fw(1)-20 b(l)1986 3693 y FF(K\012)p Fr(\000\()p Fk(h)p Fr(\))2254 3675 y Ft(\012)20 b Fw(d\000\()5 b(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))p Fs(;)0 3856 y Fw(acting)25 b(on)414 3833 y(~)388 3856 y Ft(H)466 3823 y Fr(e)501 3856 y Fw(.)38 b(As)25 b(the)g(sum)f(of)g(t)m(w)m(o)i(comm)m(uting)f(selfadjoin)m(t)f(op)s (erators)2613 3833 y(~)2589 3856 y Fs(H)2672 3823 y Fr(e)2732 3856 y Fw(is)g(selfadjoin)m(t)g(on)g(its)g(natural)0 3969 y(domain)29 b(and)h(essen)m(tially)f(selfadjoin)m(t)h(on)g Ft(D)s Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))21 b Ft(\012)e(D)s Fw(\(d\000\()5 b(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\)\).)141 4082 y(W)-8 b(e)32 b(set)1133 4195 y Fl(h)1176 4157 y Fr(e)1237 4195 y Fw(:=)25 b Fs(L)1420 4157 y Fr(2)1459 4195 y Fw(\(I)-15 b(R)p Fs(;)15 b Fw(d)p Fs(\033)s Fw(\))21 b Ft(\012)f Fl(g)p Fs(;)35 b Ft(H)2052 4157 y Fr(e)2112 4195 y Fw(:=)26 b Ft(K)21 b(\012)f Fw(\000\()p Fl(h)2550 4157 y Fr(e)2586 4195 y Fw(\))p Fs(;)0 4362 y Fw(and)30 b(consider)f(the)i(unitary)e(map)997 4558 y Fs(w)e Fw(:)f Fl(h)20 b Ft(\010)g Fl(h)26 b Ft(!)f Fl(h)1522 4525 y Fr(e)1558 4558 y Fs(;)997 4739 y(h)1049 4753 y Fr(1)1109 4739 y Ft(\010)19 b Fs(h)1251 4753 y Fr(2)1317 4739 y Ft(7!)25 b Fs(h)30 b Fw(with)f Fs(h)p Fw(\()p Fs(\033)s Fw(\))e(:=)2047 4595 y Fp(\()2156 4683 y Fs(h)2208 4697 y Fr(1)2247 4683 y Fw(\()p Fs(\033)s Fw(\))p Fs(;)15 b(\033)30 b Ft(\025)25 b Fw(0)p Fs(;)2156 4795 y(h)2208 4809 y Fr(2)2247 4795 y Fw(\()p Ft(\000)p Fs(\033)s Fw(\))p Fs(;)15 b(\033)30 b(<)25 b Fw(0)p Fs(:)0 5004 y Fw(If)1356 5117 y Fs(U)35 b Fw(:)26 b(\000\()p Fl(h)21 b Ft(\010)f Fl(h)p Fw(\))25 b Ft(!)h Fw(\000\()p Fl(h)p Fw(\))21 b Ft(\012)e Fw(\000\()p Fl(h)p Fw(\))-2422 b(\(3.2\))1844 5517 y(14)p eop %%Page: 15 15 15 14 bop 0 162 a Fw(is)29 b(the)i(canonical)f(map)g(de\014ned)f(in)g (Subsect.)40 b(2.2,)32 b(w)m(e)f(set)1352 358 y Ft(W)i Fw(:)1551 335 y(~)1525 358 y Ft(H)1603 325 y Fr(e)1664 358 y Ft(!)25 b(K)d(\012)d Fw(\000\()p Fl(h)2096 325 y Fr(e)2132 358 y Fw(\))26 b(=)f Ft(H)2367 325 y Fr(e)2402 358 y Fs(;)1352 470 y Ft(W)33 b Fw(:=)25 b(1)-20 b(l)1646 484 y FF(K)1725 470 y Ft(\012)20 b Fw(\000\()p Fs(w)r Fw(\))p Fs(U)2082 437 y FF(\000)p Fr(1)2177 470 y Fs(:)0 412 y Fw(\(3.3\))0 661 y(W)-8 b(e)32 b(set)e(also)1174 774 y Fs(v)1221 737 y Fr(e)1282 774 y Fw(:=)25 b(1)-20 b(l)1453 788 y FF(K)1532 774 y Ft(\012)20 b Fs(w)r Fw(\()p Fs(v)k Ft(\010)c Fw(0\))26 b Ft(2)f(B)s Fw(\()p Ft(K)q Fs(;)15 b Ft(K)23 b(\012)d Fl(h)2510 737 y Fr(e)2545 774 y Fw(\))p Fs(;)0 938 y Fw(where)30 b Fs(v)23 b Ft(\010)d Fw(0)31 b(is)e(an)i(elemen)m(t)g(of)f Ft(B)s Fw(\()p Ft(K)q Fs(;)15 b Ft(K)23 b(\012)d Fw(\()p Fl(h)g Ft(\010)g Fl(h)p Fw(\)\).)42 b(In)30 b(terms)g(of)g(op)s(erator-v)-5 b(alued)31 b(functions,)e(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)1496 1137 y Fs(v)1543 1099 y Fr(e)1579 1137 y Fw(\()p Fs(\033)s Fw(\))26 b(=)f Fs(v)s Fw(\()p Fs(\033)s Fw(\)1)-20 b(l)2050 1155 y FF(f)p Fq(\033)r FF(\025)p Fr(0)p FF(g)2258 1137 y Fs(:)-2283 b Fw(\(3.4\))0 1335 y(Note)32 b(also)e(that)1523 1448 y Fs(w)r Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)24 b Ft(\010)c(\000)5 b Fw(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))p Fs(w)2020 1411 y FF(\003)2085 1448 y Fw(=)25 b Fs(\033)n(;)0 1612 y Fw(where)30 b Fs(\033)j Fw(is)d(the)g(op)s(erator)h(of)g(m)m(ultiplication)c(b)m(y)j Fs(\033)k Fw(on)c Fl(h)2031 1579 y Fr(e)2092 1612 y Fw(=)25 b Fs(L)2250 1579 y Fr(2)2289 1612 y Fw(\(I)-15 b(R)p Fs(;)15 b Fw(d)p Fs(\033)s Fw(\))21 b Ft(\012)f Fl(g)p Fw(.)141 1725 y(Using)30 b(the)g(tensorial)g(prop)s(erties)e(of)j Fs(U)40 b Fw(\(see)32 b(eg)f([DG2)q(,)g(Sect.)41 b(2.7]\),)32 b(w)m(e)f(obtain:)1568 1923 y Ft(W)1690 1900 y Fw(~)1665 1923 y Fs(H)1748 1886 y Fr(e)1784 1923 y Ft(W)1881 1886 y FF(\003)1946 1923 y Fw(=:)25 b Fs(H)2150 1886 y Fr(e)2186 1923 y Fs(;)0 2122 y Fw(where)1108 2235 y Fs(H)1191 2197 y Fr(e)1252 2235 y Fw(=)f Fs(K)j Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)1593 2253 y Fr(\000\()p Fk(h)1700 2234 y Fm(e)1732 2253 y Fr(\))1784 2235 y Fw(+)20 b(1)-20 b(l)1925 2249 y FF(K)2003 2235 y Ft(\012)20 b Fw(d\000\()p Fs(\033)s Fw(\))h(+)f Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)2575 2197 y Fr(e)2611 2235 y Fw(\))p Fs(:)0 2399 y Fw(On)30 b Ft(H)230 2366 y Fr(e)265 2399 y Fw(,)g(w)m(e)h(denote)g(b)m(y)f Fs(N)956 2366 y Fr(e)1017 2399 y Fw(=)25 b(1)-20 b(l)1163 2413 y FF(K)1242 2399 y Ft(\012)20 b Fw(d\000\(1)-20 b(l)o(\))31 b(the)f(n)m(um)m(b)s(er)f(op)s(erator)i(and)f(b)m(y)1325 2597 y Fs(H)1408 2560 y Fr(e)1401 2620 y(0)1469 2597 y Fw(=)25 b Fs(K)i Ft(\012)1740 2616 y 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Fw(\))31 b(is)e(the)i(v)-5 b(acuum)30 b(v)m(ector.)42 b(W)-8 b(e)31 b(ha)m(v)m(e)1239 4131 y Fs(I)1286 4098 y FF(\003)1279 4156 y Fr(\012)1334 4131 y Fs(I)1374 4145 y Fr(\012)1454 4131 y Fw(=)25 b(1)-20 b(l)1601 4145 y FF(H)1665 4131 y Fs(;)36 b(I)1766 4145 y Fr(\012)1821 4131 y Fs(I)1868 4098 y FF(\003)1861 4156 y Fr(\012)1941 4131 y Fw(=)25 b(1)-20 b(l)2087 4145 y FF(H)2172 4131 y Ft(\012)20 b(j)p Fw(\012)p Ft(ih)p Fw(\012)p Ft(j)p Fs(;)1239 4244 y(I)1279 4258 y Fr(\012)1334 4244 y Fw(e)1374 4211 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1567 4244 y Fw(=)25 b(e)1703 4211 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1866 4187 y Fm(e)1902 4244 y Fs(I)1942 4258 y Fr(\012)1997 4244 y Fs(:)0 4435 y Fw(If)30 b(w)m(e)h(set)1524 4579 y Fs(j)g Fw(:)1684 4522 y Fl(h)26 b Ft(!)f Fl(h)1912 4489 y Fr(e)1684 4635 y Fs(h)h Ft(7!)f Fw(1)-20 b(l)1928 4653 y FF(f)p Fq(\033)r FF(\025)p Fr(0)p FF(g)2136 4635 y Fs(h;)0 4579 y Fw(\(3.5\))0 4792 y(then)1538 4905 y Ft(W)7 b Fs(I)1675 4919 y Fr(\012)1756 4905 y Fw(=)25 b(1)-20 b(l)1902 4919 y FF(K)1980 4905 y Ft(\012)20 b Fw(\000\()p Fs(j)5 b Fw(\))0 5069 y(is)29 b(an)i(isometry)f(from)g Ft(H)h Fw(in)m(to)f Ft(H)1175 5036 y Fr(e)1240 5069 y Fw(and)1401 5268 y Ft(W)7 b Fs(I)1538 5282 y Fr(\012)1593 5268 y Fw(e)1633 5230 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1826 5268 y Fw(=)25 b(e)1962 5230 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2125 5207 y Fm(e)2161 5268 y Ft(W)7 b Fs(I)2298 5282 y Fr(\012)2353 5268 y Fs(:)1844 5517 y Fw(15)p eop %%Page: 16 16 16 15 bop 0 162 a Fw(Let)32 b(us)e(no)m(w)i(describ)s(e)d(ho)m(w)j(to)g (con)m(v)m(ert)h(v)-5 b(arious)30 b(asymptotic)h(observ)-5 b(ables.)43 b(Let)32 b Fs(b)27 b Ft(2)f(B)s Fw(\()p Fl(h)3204 129 y Fr(e)3240 162 y Fw(\),)32 b Fs(b)27 b Fw(=)f Fs(b)3534 129 y FF(\003)3605 162 y Fw(suc)m(h)0 275 y(that)1516 388 y(1)-20 b(l)1567 407 y FF(f)p Fq(\033)r FF(\024)p Fr(0)p FF(g)1774 388 y Fs(b)p Fw(1)g(l)1864 407 y FF(f)p Fq(\033)r FF(\025)p Fr(0)p FF(g)2097 388 y Fw(=)25 b(0)p Fs(:)-2263 b Fw(\(3.6\))0 553 y(W)-8 b(e)32 b(set)e(then)1422 666 y Fs(b)1461 680 y FF(\006)1546 666 y Fw(:=)25 b(1)-20 b(l)1717 685 y FF(f\006)p Fq(\033)r FF(\025)p Fr(0)p FF(g)1980 666 y Fs(b)p Fw(1)g(l)2069 685 y FF(f\006)p Fq(\033)r FF(\025)p Fr(0)p FF(g)2332 666 y Fs(:)0 832 y Fw(Note)32 b(that)f Fs(b)456 846 y Fr(+)545 832 y Fw(can)g(b)s(e)e (iden)m(ti\014ed)g(with)g Fs(j)1481 799 y FF(\003)1521 832 y Fs(bj)i Ft(2)25 b(B)s Fw(\()p Fl(h)p Fw(\).)0 1017 y Fi(Lemma)33 b(3.3)46 b Fu(L)-5 b(et)33 b Fs(b)25 b Ft(2)g(B)s Fw(\()p Fl(h)998 984 y Fr(e)1033 1017 y Fw(\))p Fu(,)33 b Fs(b)25 b Fw(=)g Fs(b)1328 984 y FF(\003)1400 1017 y Fu(with)34 b Fw(1)-20 b(l)1648 1035 y FF(f)p Fq(\033)r FF(\024)p Fr(0)p FF(g)1856 1017 y Fs(b)p Fw(1)g(l)1945 1035 y FF(f)p Fq(\033)r FF(\025)p Fr(0)p FF(g)2178 1017 y Fw(=)25 b(0)p Fu(.)42 b(Then)1249 1341 y Fs(i)p Fw(\))1377 1228 y Fs(I)1424 1195 y FF(\003)1417 1253 y Fr(\012)1472 1228 y Ft(W)1569 1195 y FF(\000)p Fr(1)1664 1228 y Fw(\000\()p Fs(b)p Fw(\))26 b(=)f(\000\()p Fs(b)2083 1242 y Fr(+)2142 1228 y Fw(\))p Fs(I)2224 1195 y FF(\003)2217 1253 y Fr(\012)2272 1228 y Ft(W)2369 1195 y FF(\000)p Fr(1)2464 1228 y Fs(;)1377 1341 y Fw(\000\()p Fs(b)p Fw(\))p Ft(W)7 b Fs(I)1680 1355 y Fr(\012)1761 1341 y Fw(=)25 b Ft(W)7 b Fs(I)1994 1355 y Fr(\012)2050 1341 y Fw(\000\()p Fs(b)2181 1355 y Fr(+)2240 1341 y Fw(\))1377 1453 y(\000\()p Fs(b)1508 1467 y Fr(+)1567 1453 y Fw(\))26 b(=)f Fs(I)1771 1420 y FF(\003)1764 1479 y Fr(\012)1819 1453 y Ft(W)1916 1420 y FF(\000)p Fr(1)2011 1453 y Fw(\000\()p Fs(b)p Fw(\))p Ft(W)7 b Fs(I)2314 1467 y Fr(\012)2370 1453 y Fs(:)822 1664 y(ii)p Fw(\))22 b Fs(I)7 b(om)1112 1627 y FF(\003)1151 1664 y Ft(W)1248 1627 y FF(\000)p Fr(1)1343 1664 y Fs(f)j Fw(\(d\000\()p Fs(b)p Fw(\)\))p Ft(W)d Fs(I)1822 1678 y Fr(\012)1902 1664 y Fw(=)25 b Fs(f)10 b Fw(\(d\000\()p Fs(b)2270 1678 y Fr(+)2329 1664 y Fw(\)\))p Fs(;)36 b(f)e Ft(2)25 b Fs(C)2697 1627 y FF(1)2772 1664 y Fw(\(I)-15 b(R)o(\))p Fs(::)0 2015 y Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(Because)32 b(of)f(the)f(h)m(yp)s(othesis)f(on)h Fs(b)h Fw(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)g Fs(w)1991 1982 y FF(\000)p Fr(1)2086 2015 y Fs(bw)d Fw(=)d Fs(b)2353 2029 y Fr(+)2432 2015 y Ft(\010)20 b Fs(b)2562 2029 y FF(\000)2621 2015 y Fw(.)41 b(Hence)1151 2211 y Ft(W)1248 2178 y FF(\000)p Fr(1)1342 2211 y Fw(\000\()p Fs(b)p Fw(\))p Ft(W)34 b Fw(=)25 b Fs(U)10 b Fw(\000\()p Fs(w)1959 2178 y FF(\000)p Fr(1)2054 2211 y Fs(bw)r Fw(\))p Fs(U)2267 2178 y FF(\000)p Fr(1)1151 2324 y Fw(=)25 b Fs(U)10 b Fw(\000\()p Fs(b)1450 2338 y Fr(+)1529 2324 y Ft(\010)20 b Fs(b)1659 2338 y FF(\000)1718 2324 y Fw(\))p Fs(U)1825 2291 y FF(\000)p Fr(1)1945 2324 y Fw(=)25 b(\000\()p Fs(b)2172 2338 y Fr(+)2231 2324 y Fw(\))c Ft(\012)f Fw(\000\()p Fs(b)2509 2338 y FF(\000)2568 2324 y Fw(\))p Fs(:)0 2523 y Fw(This)29 b(easily)g(implies)f Fu(i\))p Fw(.)141 2636 y(By)j(the)f(same)h(argumen)m(t)1090 2833 y Fs(I)1137 2800 y FF(\003)1130 2858 y Fr(\012)1185 2833 y Ft(W)1282 2800 y FF(\000)p Fr(1)1376 2833 y Fw(e)1416 2800 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(t)p Fr(d\000\()p Fq(b)p Fr(\))1689 2833 y Ft(W)7 b Fs(I)1826 2847 y Fr(\012)1907 2833 y Fw(=)25 b Fs(I)2050 2800 y FF(\003)2043 2858 y Fr(\012)2098 2833 y Ft(W)7 b Fw(\000\(e)2327 2800 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tb)2462 2833 y Fw(\))p Ft(W)g Fs(I)2634 2847 y Fr(\012)1090 2949 y Fw(=)25 b(\000\(e)1318 2916 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tb)1448 2925 y Fm(+)1503 2949 y Fw(\))h(=)f(e)1700 2916 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(t)p Fr(d\000\()p Fq(b)1940 2925 y Fm(+)1992 2916 y Fr(\))2023 2949 y Fs(:)0 3159 y Fw(This)k(pro)m(v)m(es)i Fu(ii\))f Fw(for)g Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))25 b(=)g(e)1090 3126 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(t\025)1236 3159 y Fw(.)41 b(By)30 b(a)h(densit)m(y)f(argumen)m(t)g Fu(ii\))h Fw(holds)e(for)h(all)f Fs(f)35 b Ft(2)24 b Fs(C)3097 3173 y FF(1)3172 3159 y Fw(\(I)-15 b(R\).)p Fh(2)141 3321 y Fw(The)28 b(follo)m(wing)f(prop)s(osition)f(describ)s(e)h(ho)m (w)h(to)h(deduce)f(existence)h(of)f(asymptotic)h(observ)-5 b(ables)27 b(for)i Fs(H)0 3434 y Fw(from)h(corresp)s(onding)e(results)h (for)i Fs(H)1311 3401 y Fr(e)1346 3434 y Fw(.)0 3619 y Fi(Prop)s(osition)36 b(3.4)46 b Fu(L)-5 b(et)47 b Fw(I)-15 b(R)50 b Ft(3)f Fs(t)h Ft(7!)h Fs(b)1424 3633 y Fq(t)1503 3619 y Ft(2)f(B)s Fw(\()p Fl(h)1755 3586 y Fr(e)1791 3619 y Fw(\))p Fu(,)g(with)d Fs(b)2154 3633 y Fq(t)2234 3619 y Fw(=)j Fs(b)2394 3586 y FF(\003)2394 3641 y Fq(t)2433 3619 y Fu(,)g Fs(b)2550 3633 y Fq(t)2630 3619 y Ft(\025)f Fw(0)p Fu(,)h Fw(sup)3010 3640 y Fq(t)p FF(2)p Fr(I)-12 b(R)3168 3619 y Ft(k)p Fs(b)3252 3633 y Fq(t)3282 3619 y Ft(k)50 b Fs(<)g Ft(1)c Fu(and)0 3732 y Fw(1)-20 b(l)51 3750 y FF(f)p Fq(\033)r FF(\024)p Fr(0)p FF(g)258 3732 y Fs(b)297 3746 y Fq(t)327 3732 y Fw(1)g(l)377 3750 y FF(f)p Fq(\033)r FF(\025)p Fr(0)p FF(g)610 3732 y Fw(=)25 b(0)p Fu(.)42 b(L)-5 b(et)33 b Fs(b)1017 3746 y Fr(+)p Fq(t)1127 3732 y Fw(=)25 b(1)-20 b(l)1273 3750 y FF(f)p Fq(\033)r FF(\025)p Fr(0)p FF(g)1481 3732 y Fs(b)1520 3746 y Fq(t)1550 3732 y Fw(1)g(l)1600 3750 y FF(f)p Fq(\033)r FF(\025)p Fr(0)p FF(g)141 3844 y Fu(I\))33 b(Assume)f(that)1085 3955 y Fw(s-)15 b(lim)1292 3969 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1533 3955 y Fw(e)1573 3922 y Fr(i)p Fq(tH)1681 3898 y Fm(e)1717 3955 y Fw(\000\()p Fs(b)1848 3969 y Fq(t)1878 3955 y Fw(\)e)1953 3922 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2116 3898 y Fm(e)2178 3955 y Fw(=)24 b(\000)2330 3922 y Fr(e+)2453 3955 y Fu(exists)q Fs(;)1085 4138 y Fw([)p Fs(H)1193 4105 y Fr(e)1228 4138 y Fs(;)15 b Fw(\000)1325 4105 y Fr(e+)1416 4138 y Fw(])25 b(=)g(0)p Fs(:)0 4296 y Fu(Then)956 4383 y Fs(i)p Fw(\))c(s-)15 b(lim)1250 4397 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1491 4383 y Fw(e)1531 4350 y Fr(i)p Fq(tH)1644 4383 y Fw(\000\()p Fs(b)1775 4397 y Fr(+)p Fq(t)1860 4383 y Fw(\)e)1935 4350 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2128 4383 y Fw(=)25 b(\000)2281 4350 y Fr(+)2372 4383 y Fu(exists)q Fs(;)956 4496 y(ii)p Fw(\))c([)p Fs(H)r(;)15 b Fw(\000)1274 4463 y Fr(+)1334 4496 y Fw(])25 b(=)g(0)p Fs(;)956 4609 y(iii)p Fw(\))c(\000)1162 4576 y Fr(e+)1253 4609 y Ft(W)7 b Fs(I)1390 4623 y Fr(\012)1470 4609 y Fw(=)25 b Ft(W)7 b Fs(I)1703 4623 y Fr(\012)1759 4609 y Fw(\000)1816 4576 y Fr(+)1874 4609 y Fs(;)36 b Fw(\000)1992 4576 y Fr(+)2076 4609 y Fw(=)25 b Fs(I)2219 4576 y FF(\003)2212 4635 y Fr(\012)2267 4609 y Ft(W)2364 4576 y FF(\000)p Fr(1)2459 4609 y Fw(\000)2516 4576 y Fr(e+)2606 4609 y Ft(W)7 b Fs(I)2743 4623 y Fr(\012)2798 4609 y Fs(;)956 4722 y(iv)s Fw(\))21 b Fs(I)1137 4689 y FF(\003)1130 4748 y Fr(\012)1185 4722 y Ft(W)1282 4689 y FF(\000)p Fr(1)1377 4722 y Fw(\000)1434 4689 y Fr(e+)1549 4722 y Fw(=)k(\000)1702 4689 y Fr(+)1761 4722 y Fs(I)1808 4689 y FF(\003)1801 4748 y Fr(\012)1856 4722 y Ft(W)1953 4689 y FF(\000)p Fr(1)2048 4722 y Fs(:)0 4885 y Fu(II\))33 b(Assume)f(that)516 5083 y Fw(s-)15 b(lim)723 5097 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)964 5083 y Fw(e)1004 5050 y Fr(i)p Fq(tH)1112 5027 y Fm(e)1148 5083 y Fw(\(d\000\()p Fs(b)1365 5097 y Fq(t)1395 5083 y Fw(\))20 b(+)g Fs(\025)p Fw(\))1629 5050 y FF(\000)p Fr(1)1724 5083 y Fw(e)1764 5050 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1927 5027 y Fm(e)1988 5083 y Fw(=:)25 b Fs(R)2179 5050 y Fr(e+)2269 5083 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))34 b Fu(exists)f(for)g Fs(\025)25 b Ft(2)p 3010 5083 4 56 v 25 w Fw(C)p Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)3180 5048 y FF(\000)3239 5083 y Fs(;)516 5267 y Fw([)p Fs(H)624 5234 y Fr(e)659 5267 y Fs(;)15 b(R)769 5234 y Fr(e+)860 5267 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\)])26 b(=)f(0)p Fs(:)1844 5517 y Fw(16)p eop %%Page: 17 17 17 16 bop 0 162 a Fu(Then)492 250 y Fs(i)p Fw(\))21 b(s-)15 b(lim)786 264 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1027 250 y Fw(e)1067 217 y Fr(i)p Fq(tH)1180 250 y Fw(\(d\000\()p Fs(b)1397 264 y Fr(+)p Fq(t)1481 250 y Fw(\))21 b(+)f Fs(\025)p Fw(\))1716 217 y FF(\000)p Fr(1)1810 250 y Fw(e)1850 217 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2043 250 y Fw(=:)26 b Fs(R)2235 217 y Fr(+)2293 250 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))34 b Fu(exists)e(for)i Fs(\025)25 b Ft(2)p 3034 250 4 56 v 25 w Fw(C)o Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)3204 214 y FF(\000)3263 250 y Fs(;)492 363 y(ii)p Fw(\))21 b Fs(R)680 330 y Fr(+)739 363 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))26 b(=)f Fs(I)1031 330 y FF(\003)1024 388 y Fr(\012)1079 363 y Ft(W)1176 330 y FF(\000)p Fr(1)1270 363 y Fs(R)1340 330 y Fr(e+)1430 363 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Ft(W)7 b Fs(I)1690 377 y Fr(\012)1747 363 y Fs(;)492 475 y(iii)p Fw(\))21 b([)p Fs(H)r(;)15 b(R)854 442 y Fr(+)914 475 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\)])26 b(=)f(0)p Fs(:)0 640 y Fu(III\))33 b(By)g(Pr)-5 b(op.)42 b(A.6)33 b(the)g(limits)1296 841 y Fs(P)1367 808 y Fr(e+)1483 841 y Fw(:=)25 b(s-)15 b(lim)1811 855 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1965 841 y Fs(\017)2002 808 y FF(\000)p Fr(1)2096 841 y Fs(R)2166 808 y Fr(e+)2256 841 y Fw(\()p Fs(\017)2328 808 y FF(\000)p Fr(1)2423 841 y Fw(\))p Fs(;)1296 954 y(P)1367 921 y Fr(+)1451 954 y Fw(:=)25 b(s-)16 b(lim)1780 968 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1934 954 y Fs(\017)1971 921 y FF(\000)p Fr(1)2065 954 y Fs(R)2135 921 y Fr(+)2194 954 y Fw(\()p Fs(\017)2266 921 y FF(\000)p Fr(1)2360 954 y Fw(\))0 1151 y Fu(exist)33 b(and)g(ar)-5 b(e)34 b(ortho)-5 b(gonal)36 b(pr)-5 b(oje)g(ctions.)44 b(Then)1317 1347 y Fs(i)p Fw(\))21 b Fs(P)1475 1314 y Fr(+)1559 1347 y Fw(=)k Fs(I)1702 1314 y FF(\003)1695 1373 y Fr(\012)1750 1347 y Ft(W)1847 1314 y FF(\000)p Fr(1)1942 1347 y Fs(P)2013 1314 y Fr(e+)2103 1347 y Ft(W)7 b Fs(I)2240 1361 y Fr(\012)2295 1347 y Fs(;)1317 1460 y(ii)p Fw(\))21 b Fs(P)1506 1427 y Fr(e+)1622 1460 y Fw(=)k Ft(W)7 b Fs(P)1886 1427 y Fr(+)1965 1460 y Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)2107 1478 y Fr(\000\()p Fk(h)p Fr(\))2246 1460 y Ft(W)2343 1427 y FF(\000)p Fr(1)2437 1460 y Fs(:)0 1796 y Fi(Pro)s(of.)46 b Fw(I\))28 b(follo)m(ws)e(from)h(Lemma)h(3.3)g Fu(i\))g Fw(and)e(the)i(iden)m(tit)m(y)f(e)2189 1763 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2352 1740 y Fm(e)2388 1796 y Fs(W)13 b(I)2527 1810 y Fr(\012)2607 1796 y Fw(=)25 b Fs(W)13 b(I)2842 1810 y Fr(\012)2896 1796 y Fw(e)2936 1763 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)3104 1796 y Fw(.)40 b(I)s(I\))26 b(follo)m(ws)h(from)0 1909 y(exactly)35 b(the)g(same)g(argumen)m(ts,)h (using)d(Lemma)i(3.3)h Fu(ii\))e Fw(instead.)52 b(I)s(I)s(I\))34 b Fu(i\))g Fw(follo)m(ws)g(directly)f(from)h(I)s(I\))g Fu(ii\))p Fw(.)0 2022 y(T)-8 b(o)31 b(pro)m(v)m(e)g(I)s(I)s(I\))e Fu(ii\))h Fw(is)g(equiv)-5 b(alen)m(t)30 b(to)h(sho)m(w)f(that)1376 2226 y Ft(W)1473 2189 y FF(\000)p Fr(1)1568 2226 y Fs(P)1639 2189 y Fr(e+)1729 2226 y Ft(W)i Fw(=)25 b Fs(P)2018 2189 y Fr(+)2098 2226 y Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)2239 2245 y Fr(\000\()p Fk(h)p Fr(\))2378 2226 y Fs(:)0 2430 y Fw(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e:)256 2609 y Ft(W)353 2576 y FF(\000)p Fr(1)448 2609 y Fs(P)519 2576 y Fr(e+)609 2609 y Ft(W)h Fw(=)25 b(s-)15 b(lim)1035 2623 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1189 2609 y Fw(s-)g(lim)1396 2623 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1637 2609 y Fw(e)1677 2576 y Fr(i)p Fq(tH)1785 2553 y Fm(e)1821 2609 y Fw(\(1)-20 b(l)20 b(+)g Fs(\017)p Fw(d\000\()p Fs(b)2237 2623 y Fr(+)p Fq(t)2321 2609 y Fw(\))h Ft(\012)f Fw(1)-20 b(l)20 b(+)f Fs(\017)p Fw(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fw(d\000\()p Fs(b)3010 2623 y FF(\000)p Fq(t)3094 2609 y Fw(\)\))3164 2576 y FF(\000)p Fr(1)3259 2609 y Fw(e)3299 2576 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)3462 2553 y Fm(e)3498 2609 y Fs(;)256 2722 y(P)327 2689 y Fr(+)406 2722 y Ft(\012)g Fw(1)-20 b(l)548 2740 y Fr(\000\()p Fk(h)p Fr(\))712 2722 y Fw(=)25 b(s-)16 b(lim)1016 2736 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1169 2722 y Fw(s-)g(lim)1377 2736 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1618 2722 y Fw(e)1658 2689 y Fr(i)p Fq(tH)1766 2666 y Fm(e)1802 2722 y Fw(\(1)-20 b(l)20 b(+)g Fs(\017)p Fw(d\000\()p Fs(b)2218 2736 y Fr(+)p Fq(t)2302 2722 y Fw(\))h Ft(\012)e Fw(1)-20 b(l\))2534 2689 y FF(\000)p Fr(1)2629 2722 y Fw(e)2669 2689 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2832 2666 y Fm(e)2868 2722 y Fs(:)0 2920 y Fw(Using)30 b(that)1314 3033 y([1)-20 b(l)1389 3047 y FF(H)1474 3033 y Ft(\012)20 b Fw(\()p Fs(N)30 b Fw(+)20 b(1\))1874 2995 y FF(\000)p Fr(1)1969 3033 y Fs(;)15 b Fw(e)2049 2995 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2212 2972 y Fm(e)2249 3033 y Fw(])25 b(=)g(0)p Fs(;)0 3200 y Fw(and)196 3404 y Ft(k)241 3310 y Fp(\020)291 3404 y Fw(\(1)-20 b(l)20 b(+)g Fs(\017)p Fw(d\000\()p Fs(b)707 3418 y Fr(+)p Fq(t)791 3404 y Fw(\))h Ft(\012)f Fw(1)-20 b(l)20 b(+)g Fs(\017)p Fw(1)-20 b(l)19 b Ft(\012)h Fw(d\000\()p Fs(b)1480 3418 y FF(\000)p Fq(t)1564 3404 y Fw(\)\))1634 3366 y FF(\000)p Fr(1)1750 3404 y Ft(\000)f Fw(\(1)-20 b(l)20 b(+)g Fs(\017)p Fw(d\000\()p Fs(b)2256 3418 y Fr(+)p Fq(t)2340 3404 y Fw(\))h Ft(\012)f Fw(1)-20 b(l)o(\))2572 3366 y FF(\000)p Fr(1)2667 3310 y Fp(\021)2717 3404 y Fw(1)g(l)19 b Ft(\012)h Fw(\()p Fs(N)31 b Fw(+)20 b(1\))3188 3366 y FF(\000)p Fr(1)3283 3404 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)7 b(\017;)0 3619 y Fw(w)m(e)31 b(obtain)f(that)947 3732 y(\()p Ft(W)1079 3694 y FF(\000)p Fr(1)1174 3732 y Fs(P)1245 3694 y Fr(e+)1335 3732 y Ft(W)e(\000)20 b Fs(P)1615 3694 y Fr(+)1694 3732 y Ft(\012)g Fw(1)-20 b(l)1835 3750 y Fr(\000\()p Fk(h)p Fr(\))1975 3732 y Fw(\)1)g(l)2061 3746 y FF(H)2145 3732 y Ft(\012)20 b Fw(\()p Fs(N)30 b Fw(+)20 b(1\))2545 3694 y FF(\000)p Fr(1)2666 3732 y Fw(=)25 b(0)p Fs(;)0 3898 y Fw(whic)m(h)k(pro)m(v)m(es)i(I)s(I)s(I\)) e Fu(ii\))p Fw(.)41 b Fh(2)0 4192 y Fv(3.5)112 b(Prop)s(erties)36 b(of)i(the)f(expanded)j(Hamiltonian)0 4363 y Fw(W)-8 b(e)24 b(use)e(the)g(notation)h(of)g(Subsects.)37 b(1.1,)26 b(3.3.)39 b(The)22 b(main)f(problem)g(encoun)m(tered)i(when)e(w)m (orking)h(with)f(the)0 4476 y(Hamiltonian)26 b Fs(H)603 4443 y Fr(e)666 4476 y Fw(is)h(that)h(it)g(is)e(not)i(b)s(ounded)e(b)s (elo)m(w.)39 b(T)-8 b(o)28 b(o)m(v)m(ercome)i(this)d(di\016cult)m(y)f (w)m(e)i(will)d(use)j(the)g(fact)0 4589 y(that)j Fs(H)280 4556 y Fr(e)346 4589 y Fw(comm)m(utes)g(with)e(other)i(observ)-5 b(ables.)40 b(F)-8 b(or)31 b(example)f Fs(H)2334 4556 y Fr(e)2400 4589 y Fw(comm)m(utes)h(with)e(the)h(Hamiltonians)1186 4793 y Fs(H)1269 4756 y Fr(e)1262 4816 y(+)1346 4793 y Fw(:=)25 b Fs(K)i Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)20 b(+)g(1)-20 b(l)19 b Ft(\012)h Fw(d\000\()p Fs(\033)2180 4807 y Fr(+)2239 4793 y Fw(\))h(+)f Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)2522 4756 y Fr(e)2558 4793 y Fw(\))0 4998 y(and)1511 5110 y Fs(H)1594 5073 y Fr(e)1587 5133 y FF(\000)1671 5110 y Fw(:=)25 b(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fw(d\000\()p Fs(\033)2149 5124 y FF(\000)2208 5110 y Fw(\))p Fs(;)1844 5517 y Fw(17)p eop %%Page: 18 18 18 17 bop 0 162 a Fw(for)20 b Fs(\033)181 176 y FF(\006)265 162 y Fw(=)25 b(1)-20 b(l)412 181 y FF(f\006)p Fq(\033)r FF(\025)p Fr(0)p FF(g)674 162 y Fs(\033)s Fw(.)38 b(Note)22 b(that)f Fs(H)1272 129 y Fr(e)1332 162 y Fw(=)k Fs(H)1511 129 y Fr(e)1504 185 y(+)1563 162 y Fw(+)p Fs(H)1717 129 y Fr(e)1710 185 y FF(\000)1789 162 y Fw(and)20 b(that)h Fs(H)2226 129 y Fr(e)2219 185 y(+)2298 162 y Fw(is)f(selfadjoin)m(t)f (on)h Ft(D)s Fw(\()p Fs(K)7 b Ft(\012)p Fw(1)-20 b(l+1)g(l)p Ft(\012)p Fw(d\000\()p Fs(\033)3625 176 y Fr(+)3684 162 y Fw(\)\),)0 275 y(using)29 b Fu(\(I'0\))p Fw(.)41 b(As)31 b(a)f(consequence)i Fs(H)1294 242 y Fr(e)1359 275 y Fw(comm)m(utes)g (with)d(the)h(Hamiltonian)847 479 y Fs(L)c Fw(:=)f Fs(H)1139 442 y Fr(e)1132 502 y(+)1211 479 y Ft(\000)20 b Fs(H)1385 442 y Fr(e)1378 502 y FF(\000)1461 479 y Fw(=)25 b Fs(K)i Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)1803 498 y Fr(\000\()p Fk(h)1910 479 y Fm(e)1942 498 y Fr(\))1993 479 y Fw(+)20 b(1)-20 b(l)2135 493 y FF(K)2213 479 y Ft(\012)20 b Fw(d\000\()p Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)p Fw(\))h(+)f Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)2835 442 y Fr(e)2871 479 y Fw(\))p Fs(:)0 684 y Fw(W)-8 b(e)33 b(deduce)e(as)g(in)f(Subsect)h(3.1)h(from)f(h)m(yp)s (othesis)f Fu(\(I'0\))i Fw(and)f(\(3.4\))i(that)f Fs(L)f Fw(is)g(selfadjoin)m(t)f(and)h(b)s(ounded)0 797 y(b)s(elo)m(w)f(on)g Ft(D)s Fw(\()p Fs(L)554 811 y Fr(0)593 797 y Fw(\),)h(for)1251 909 y Fs(L)1313 923 y Fr(0)1377 909 y Fw(=)25 b Fs(K)i Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)1718 928 y Fr(\000\()p Fk(h)1825 909 y Fm(e)1857 928 y Fr(\))1909 909 y Fw(+)20 b(1)-20 b(l)2051 923 y FF(K)2129 909 y Ft(\012)20 b Fw(d\000\()p Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)p Fw(\))p Fs(:)0 1076 y Fw(It)29 b(is)g(easy)h(to)g(see)g(that)g Ft(D)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))25 b(=)g Ft(D)s Fw(\()p Fs(H)1356 1043 y Fr(e)1349 1099 y(+)1408 1076 y Fw(\))18 b Ft(\\)g(D)s Fw(\()p Fs(H)1731 1043 y Fr(e)1724 1099 y FF(\000)1783 1076 y Fw(\))25 b(=,)30 b Fs(H)2052 1043 y Fr(e)2116 1076 y Fw(is)f(essen)m(tially)f (selfadjoin)m(t)g(on)i Ft(D)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))f(and)g(that)1358 1281 y Fs(H)1441 1243 y Fr(e)1501 1281 y Fw(=)c Fs(H)1680 1243 y Fr(e)1673 1303 y(0)1736 1281 y Fw(+)20 b Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)1963 1243 y Fr(e)1999 1281 y Fw(\))31 b(on)f Ft(D)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(:)0 1485 y Fw(F)-8 b(or)31 b(later)g(use,)f(w)m(e)h(collect)f(b)s(elo)m(w)g(v)-5 b(arious)29 b(basic)h(prop)s(erties)f(of)i Fs(L)p Fw(.)0 1697 y Fi(Lemma)i(3.5)46 b Fu(Assume)32 b(\(I'0\).)43 b(Then)141 1810 y(i\))33 b Fw(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)19 b Fs(L)p Fw(\))528 1777 y FF(\000)p Fr(1)648 1810 y Ft(2)25 b Fs(C)806 1777 y Fr(1)845 1810 y Fw(\()p Fs(N)963 1777 y Fr(e)999 1810 y Fw(\))33 b Fu(for)g Fs(z)c Ft(2)p 1396 1810 4 56 v 25 w Fw(C)p Ft(n)p Fs(\033)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fu(,)141 1923 y(ii\))j Fw(\()p Fs(z)23 b Ft(\000)18 b Fs(L)p Fw(\))552 1890 y FF(\000)p Fr(1)647 1923 y Fs(N)730 1890 y Fr(e)791 1923 y Fw(=)25 b Fs(N)970 1890 y Fr(e)1005 1923 y Fw(\()p Fs(z)e Ft(\000)c Fs(L)p Fw(\))1292 1890 y FF(\000)p Fr(1)1405 1923 y Fw(+)f(i\()p Fs(z)23 b Ft(\000)18 b Fs(L)p Fw(\))1806 1890 y FF(\000)p Fr(1)1901 1923 y Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(v)2063 1890 y Fr(e)2098 1923 y Fw(\)\()p Fs(z)24 b Ft(\000)18 b Fs(L)p Fw(\))2420 1890 y FF(\000)p Fr(1)2515 1923 y Fu(,)31 b(for)i Fs(z)c Ft(2)p 2903 1923 V 25 w Fw(C)p Ft(n)p Fs(\033)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fu(,)k(as)f(an)h(identity)0 2036 y(on)g Ft(D)s Fw(\()p Fs(N)321 2003 y Fr(e)357 2036 y Fw(\))p Fu(,)141 2149 y(iii\))j Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))g Fu(pr)-5 b(eserves)37 b Ft(D)s Fw(\(\()p Fs(N)1145 2116 y Fr(e)1181 2149 y Fw(\))1216 2116 y Fq(r)1254 2149 y Fw(\))f Fu(for)h Fs(r)c Ft(2)e Fw(I)-15 b(R)1725 2113 y Fr(+)1784 2149 y Fu(,)36 b Fs(\037)31 b Ft(2)g Fs(C)2100 2116 y FF(1)2093 2172 y Fr(0)2174 2149 y Fw(\(I)-15 b(R\))36 b Fu(and)h Fw(\()p Fs(L)23 b Fw(+)f(i\)\()p Fs(N)2937 2116 y Fr(e)2973 2149 y Fw(\))3008 2116 y Fq(r)3046 2149 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(N)3353 2116 y Fr(e)3412 2149 y Fw(+)g(1\))3585 2116 y FF(\000)p Fq(r)3714 2149 y Fu(is)0 2262 y(b)-5 b(ounde)g(d)34 b(for)f Fs(r)28 b Ft(2)d Fw(I)-15 b(R)731 2226 y Fr(+)790 2262 y Fu(.)0 2474 y Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e)1186 2587 y Fs(L)1248 2601 y Fq(s)1310 2587 y Fw(:=)25 b(e)1471 2550 y Fr(i)p Fq(sN)1587 2526 y Fm(e)1622 2587 y Fs(L)p Fw(e)1724 2550 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(sN)1895 2526 y Fm(e)1955 2587 y Fw(=)g Fs(L)2113 2601 y Fr(0)2173 2587 y Fw(+)20 b Fs(\036)p Fw(\(e)2393 2550 y Fr(i)p Fq(s)2450 2587 y Fs(v)2497 2550 y Fr(e)2533 2587 y Fw(\))p Fs(:)0 2789 y Fw(Since)29 b Fs(\036)p Fw(\(e)366 2756 y Fr(i)p Fq(s)424 2789 y Fs(v)s Fw(\))i(is)e Fs(L)700 2704 y Fm(1)p 700 2716 31 4 v 700 2758 a(2)690 2814 y Fr(0)775 2789 y Fw(b)s(ounded,)f(w)m(e)j(ha)m(v)m(e)h Ft(D)s Fw(\()p Fs(L)1685 2803 y Fq(s)1721 2789 y Fw(\))26 b(=)f Ft(D)s Fw(\()p Fs(L)2048 2803 y Fr(0)2087 2789 y Fw(\))31 b(and)1018 2993 y Ft(k)p Fs(L)1125 3007 y Fr(0)1165 2993 y Fw(\()p Fs(L)1262 3007 y Fq(s)1319 2993 y Ft(\000)20 b Fs(z)t Fw(\))1491 2956 y FF(\000)p Fr(1)1586 2993 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)7 b Ft(j)p Fw(Im)o Fs(z)t Ft(j)2029 2956 y FF(\000)p Fr(1)2124 2993 y Fs(;)35 b(z)30 b Ft(2)25 b Fs(K)32 b Fg(b)p 2567 2993 4 56 v 25 w Fw(C)o Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)p Fs(;)0 3197 y Fw(uniformly)27 b(for)k Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)25 b(\024)g Fw(1.)41 b(Then)625 3399 y Fs(s)668 3366 y FF(\000)p Fr(1)762 3399 y Fw(\(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(L)1052 3413 y Fq(s)1088 3399 y Fw(\))1123 3366 y FF(\000)p Fr(1)1238 3399 y Ft(\000)g Fw(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(L)p Fw(\))1619 3366 y FF(\000)p Fr(1)1714 3399 y Fw(\))25 b(=)g Fs(s)1913 3366 y FF(\000)p Fr(1)2007 3399 y Fw(\()p Fs(z)g Ft(\000)20 b Fs(L)2262 3413 y Fq(s)2298 3399 y Fw(\))2333 3366 y FF(\000)p Fr(1)2428 3399 y Fw(\()p Fs(L)2525 3413 y Fq(s)2582 3399 y Ft(\000)g Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(L)p Fw(\))3060 3366 y FF(\000)p Fr(1)625 3512 y Fw(=)25 b Fs(s)764 3479 y FF(\000)p Fr(1)858 3512 y Fw(\()p Fs(z)g Ft(\000)19 b Fs(L)1112 3479 y FF(\000)p Fr(1)1112 3534 y Fq(s)1207 3512 y Fw(\))p Fs(\036)p Fw(\(\(e)1406 3479 y Fr(i)p Fq(s)1484 3512 y Ft(\000)h Fw(1\))p Fs(v)1702 3479 y Fr(e)1738 3512 y Fw(\)\()p Fs(z)26 b Ft(\000)19 b Fs(L)p Fw(\))2063 3479 y FF(\000)p Fr(1)2158 3512 y Fs(:)0 3708 y Fw(Using)30 b(Prop.)40 b(A.1)31 b(in)e(the)h(App)s (endix,)e(w)m(e)j(see)g(that)308 3922 y(\()p Fs(L)405 3936 y Fr(0)465 3922 y Fw(+)20 b(1\))636 3885 y FF(\000)701 3858 y Fm(1)p 701 3870 31 4 v 701 3911 a(2)746 3922 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(s)878 3885 y FF(\000)p Fr(1)972 3922 y Fw(\(e)1047 3885 y Fr(i)p Fq(s)1125 3922 y Ft(\000)f Fw(1\))p Fs(v)1342 3885 y Fr(e)1379 3922 y Fw(\)\()p Fs(L)1511 3936 y Fr(0)1571 3922 y Fw(+)h(1\))1742 3885 y FF(\000)1807 3858 y Fm(1)p 1808 3870 V 1808 3911 a(2)1878 3922 y Ft(!)25 b Fw(\()p Fs(L)2091 3936 y Fr(0)2151 3922 y Fw(+)20 b(1\))2322 3885 y FF(\000)2387 3858 y Fm(1)p 2387 3870 V 2387 3911 a(2)2432 3922 y Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(v)2594 3885 y Fr(e)2629 3922 y Fw(\)\()p Fs(L)2761 3936 y Fr(0)2822 3922 y Fw(+)g(1\))2993 3885 y FF(\000)3058 3858 y Fm(1)p 3058 3870 V 3058 3911 a(2)3133 3922 y Fw(in)29 b(norm)o Fs(;)0 4127 y Fw(and)939 4240 y(\(\()p Fs(z)d Ft(\000)19 b Fs(L)1229 4254 y Fq(s)1266 4240 y Fw(\))1301 4202 y FF(\000)p Fr(1)1416 4240 y Ft(\000)h Fw(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(L)p Fw(\))1797 4202 y FF(\000)p Fr(1)1891 4240 y Fw(\)\()p Fs(L)2023 4254 y Fr(0)2083 4240 y Fw(+)g(1\))2264 4175 y Fm(1)p 2265 4187 V 2265 4228 a(2)2335 4240 y Ft(!)25 b Fw(0)31 b(in)e(norm)0 4406 y(when)g Fs(s)c Ft(!)g Fw(0.)42 b(Hence)602 4611 y Fs(s)645 4573 y FF(\000)p Fr(1)739 4611 y Fw(\(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(L)1029 4625 y Fq(s)1066 4611 y Fw(\))1101 4573 y FF(\000)p Fr(1)1216 4611 y Ft(\000)g Fw(\()p Fs(z)k Ft(\000)c Fs(L)p Fw(\))1596 4573 y FF(\000)p Fr(1)1691 4611 y Fw(\))26 b Ft(!)f Fw(\()p Fs(z)f Ft(\000)c Fs(L)p Fw(\))2157 4573 y FF(\000)p Fr(1)2252 4611 y Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(v)s Fw(\)\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(L)p Fw(\))2739 4573 y FF(\000)p Fr(1)2864 4611 y Fw(in)29 b(norm)0 4815 y(when)g Fs(s)c Ft(!)g Fw(0.)42 b(This)28 b(pro)m(v)m(es)j Fu(i\))g Fw(and)e Fu(ii\))p Fw(.)141 4928 y(T)-8 b(o)31 b(pro)m(v)m(e)g Fu(iii\))f Fw(w)m(e)h(use)f(the)h(iden)m(tit)m(y)250 5132 y(\()p Fs(N)368 5095 y Fr(e)424 5132 y Fw(+)20 b(1\)\()p Fs(z)26 b Ft(\000)20 b Fs(L)p Fw(\))886 5095 y FF(\000)p Fr(1)980 5132 y Fw(\()p Fs(N)1098 5095 y Fr(e)1154 5132 y Fw(+)g(1\))1325 5095 y FF(\000)p Fr(1)1446 5132 y Fw(=)25 b(\()p Fs(z)f Ft(\000)c Fs(L)p Fw(\))1831 5095 y FF(\000)p Fr(1)1946 5132 y Ft(\000)g Fw(i\()p Fs(z)k Ft(\000)c Fs(L)p Fw(\))2352 5095 y FF(\000)p Fr(1)2447 5132 y Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(v)2609 5095 y Fr(e)2644 5132 y Fw(\)\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(L)p Fw(\))2969 5095 y FF(\000)p Fr(1)3064 5132 y Fw(\()p Fs(N)3182 5095 y Fr(e)3238 5132 y Fw(+)g(1\))3409 5095 y FF(\000)p Fr(1)3504 5132 y Fs(:)1844 5517 y Fw(18)p eop %%Page: 19 19 19 18 bop 0 162 a Fw(By)31 b(induction,)d(using)h(the)h(fact)i(that)f (ad)1439 125 y Fq(k)1439 185 y(N)1506 162 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)1642 129 y Fr(e)1678 162 y Fw(\))26 b(=)f(i)1861 129 y FF(\000)p Fq(k)1958 162 y Fs(\036)p Fw(\(i)2073 129 y Fq(k)2115 162 y Fs(v)2162 129 y Fr(e)2198 162 y Fw(\),)31 b(w)m(e)g(obtain)e(that)323 345 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(L)21 b Fw(+)f Fs(i)p Fw(\)\()p Fs(N)761 308 y Fr(e)817 345 y Fw(+)g(1\))988 308 y Fq(k)1032 345 y Fw(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)19 b Fs(L)p Fw(\))1321 308 y FF(\000)p Fr(1)1416 345 y Fw(\()p Fs(N)1534 308 y Fr(e)1590 345 y Fw(+)h(1\))1761 308 y FF(\000)p Fq(k)1859 345 y Ft(k)26 b(2)f Fs(O)s Fw(\()p Ft(j)p Fw(Im)p Fs(z)t Ft(j)2328 308 y FF(\000)p Fq(C)2433 320 y Fj(k)2476 345 y Fw(\))p Fs(;)36 b(z)29 b Ft(2)c Fs(K)32 b Fg(b)p 2954 345 4 56 v 25 w Fw(C)p Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)p Fs(;)35 b(k)29 b Ft(2)c Fw(I)-15 b(N)o Fs(:)0 528 y Fw(Using)30 b(then)g(the)g(functional)f(calculus)g (form)m(ula)g(\(see)j(eg)f([HS],)g([DG1)q(]\):)1106 752 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(A)p Fw(\))26 b(=)1470 690 y(i)p 1433 731 101 4 v 1433 814 a(2)p Fs(\031)1558 637 y Fp(Z)p 1625 826 4 41 v 189 x Fr(C)1675 752 y Fs(@)p 1735 727 36 4 v 1735 766 a Fq(z)1785 752 y Fw(~)-56 b Fs(\037)p Fw(\()p Fs(z)t Fw(\)\()p Fs(z)26 b Ft(\000)20 b Fs(A)p Fw(\))2244 714 y FF(\000)p Fr(1)2339 752 y Fw(d)p Fs(z)k Ft(^)c Fw(d)p 2603 703 47 4 v 15 w Fs(z)t(;)-2674 b Fw(\(3.7\))0 972 y(where)27 b Fs(A)h Fw(is)f(a)h(selfadjoin)m(t)f(op)s(erator)h(and) 38 b(~)-55 b Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)1732 939 y FF(1)1725 995 y Fr(0)1806 972 y Fw(\()p 1868 972 4 56 v(C\))j(is)f(an)h (almost-analytic)g(extension)f(of)h Fs(\037)g Fw(satisfying)1297 1153 y(~)-56 b Fs(\037)1343 1171 y FF(j)p Fr(I)-12 b(R)1457 1153 y Fw(=)25 b Fs(\037;)1286 1337 y Ft(j)p Fs(@)p 1371 1312 36 4 v 1371 1350 a Fq(z)1422 1337 y Fw(~)-56 b Fs(\037)p Fw(\()p Fs(z)t Fw(\))p Ft(j)26 b(\024)f Fs(C)1796 1351 y Fq(n)1843 1337 y Ft(j)p Fw(Im)p Fs(z)t Ft(j)2048 1304 y Fq(n)2096 1337 y Fs(;)96 b(n)25 b Ft(2)f Fw(I)-15 b(N)p Fs(;)0 1525 y Fw(w)m(e)31 b(obtain)f Fu(iii\))g Fw(for)g Fs(r)e Ft(2)d Fw(I)-15 b(N)o(.)41 b(Then)29 b(w)m(e)i(extend)g(the)f (result)g(to)h Fs(r)d Ft(2)c Fw(I)-15 b(R)2440 1489 y Fr(+)2529 1525 y Fw(b)m(y)31 b(in)m(terp)s(olation.)39 b Fh(2)0 1759 y Fi(Lemma)33 b(3.6)46 b Fu(Assume)38 b(\(I'0\).)59 b(L)-5 b(et)39 b Fs(b)d Fw(=)f Fs(b)p Fw(\()p Fs(\033)s Fw(\))k Fu(b)-5 b(e)38 b(a)h(b)-5 b(ounde)g(d)40 b(r)-5 b(e)g(al)40 b(function)e(supp)-5 b(orte)g(d)42 b(in)c Ft(fj)p Fs(\033)s Ft(j)f(\025)e Fs(\017)3667 1773 y Fr(0)3706 1759 y Ft(g)p Fu(,)0 1872 y Fs(\017)37 1886 y Fr(0)102 1872 y Fs(>)25 b Fw(0)p Fu(,)32 b(and)i Fs(B)c Fw(=)25 b(d\000\()p Fs(b)p Fw(\))p Fu(.)41 b(Then)141 1985 y(i\))33 b Fw(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)19 b Fs(L)p Fw(\))528 1952 y FF(\000)p Fr(1)648 1985 y Ft(2)25 b Fs(C)806 1952 y Fr(1)845 1985 y Fw(\()p Fs(B)5 b Fw(\))p Fu(,)141 2098 y(ii\))34 b Fw(\()p Fs(z)26 b Ft(\000)21 b Fs(L)p Fw(\))560 2065 y FF(\000)p Fr(1)654 2098 y Fs(B)33 b Fw(=)28 b Fs(B)5 b Fw(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)c Fs(L)p Fw(\))1220 2065 y FF(\000)p Fr(1)1336 2098 y Fw(+)g(i\()p Fs(z)k Ft(\000)c Fs(L)p Fw(\))1745 2065 y FF(\000)p Fr(1)1839 2098 y Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(bv)2040 2065 y Fr(e)2076 2098 y Fw(\)\()p Fs(z)26 b Ft(\000)21 b Fs(L)p Fw(\))2403 2065 y FF(\000)p Fr(1)2498 2098 y Fu(,)34 b(for)h Fs(z)d Ft(2)p 2896 2098 4 56 v 27 w Fw(C)p Ft(n)p Fs(\033)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fu(,)k(as)e(an)h(identity)0 2211 y(on)e Ft(D)s Fw(\()p Fs(B)5 b Fw(\))p Fu(.)141 2324 y(iii\))32 b Fs(B)368 2291 y Fq(k)411 2324 y Fw(\()p Fs(L)20 b Fw(+)g(i\))680 2291 y FF(\000)p Fq(k)810 2324 y Fu(is)32 b(b)-5 b(ounde)g(d)34 b(for)g Fs(k)28 b Ft(2)d Fw(I)-15 b(N)p Fu(.)0 2515 y Fi(Pro)s(of.)46 b Fu(i\))27 b Fw(and)g Fu(ii\))g Fw(can)h(b)s(e)e(sho)m(wn)h(as)h(in)e(Lemma)h (3.5,)i(in)m(tro)s(ducing)c Fs(L)2517 2529 y Fq(s)2579 2515 y Fw(=)g(e)2715 2482 y Fr(i)p Fq(sB)2828 2515 y Fs(L)p Fw(e)2930 2482 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(sB)3124 2515 y Fw(=)g Fs(L)3282 2529 y Fr(0)3335 2515 y Fw(+)14 b Fs(\036)p Fw(\(e)3549 2482 y Fr(i)p Fq(sb)3636 2515 y Fs(v)3683 2482 y Fr(e)3719 2515 y Fw(\).)141 2628 y(Since)36 b(supp)14 b Fs(b)37 b Ft(\032)f(fj)p Fs(\033)s Ft(j)i(\025)e Fs(\017)1103 2642 y Fr(0)1143 2628 y Ft(g)p Fw(,)j Fs(B)5 b Fw(\()p Fs(L)25 b Fw(+)f(i\))1604 2595 y FF(\000)p Fr(1)1735 2628 y Fw(is)37 b(b)s(ounded,)g(whic)m(h)f(pro)m(v)m(es)i Fu(iii\))f Fw(for)g Fs(k)j Fw(=)c(1.)62 b(T)-8 b(o)38 b(pro)m(v)m(e)0 2741 y Fu(iii\))29 b Fw(for)h(arbitrary)e Fs(k)s Fw(,)i(w)m(e)g(comm)m(ute)h(rep)s(eatedly)e(factors)h(of)g Fs(B)k Fw(through)29 b(\()p Fs(L)18 b Fw(+)h(i\))2858 2708 y FF(\000)p Fr(1)2952 2741 y Fw(,)30 b(using)e Fu(ii\))p Fw(,)h(un)m(til)f(eac)m(h)0 2854 y(factor)k(of)f Fs(B)k Fw(is)30 b(follo)m(w)m(ed)h(b)m(y)f(a)i(factor)f(of)h(\()p Fs(L)20 b Fw(+)h(i\))1751 2821 y FF(\000)p Fr(1)1844 2854 y Fw(.)43 b(Comm)m(utation)30 b(of)h Fs(B)36 b Fw(with)29 b(\()p Fs(L)21 b Fw(+)f(i\))3176 2821 y FF(\000)p Fr(1)3301 2854 y Fw(pro)s(duces)30 b(an)0 2967 y(extra)c(factor)h(of)f(\()p Fs(L)11 b Fw(+)g(i\))836 2934 y FF(\000)p Fr(1)929 2967 y Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(bv)s Fw(\)\()p Fs(L)g Fw(+)g(i\))1416 2934 y FF(\000)p Fr(1)1509 2967 y Fw(.)39 b(Moreo)m(v)m(er)28 b(ad)2064 2930 y Fq(k)2064 2989 y(B)2125 2967 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)2261 2934 y Fr(e)2297 2967 y Fw(\))e(=)f(i)2480 2934 y FF(\000)p Fq(k)2577 2967 y Fs(\036)p Fw(\(i)2692 2934 y Fq(k)2734 2967 y Fs(b)2773 2934 y Fq(k)2816 2967 y Fs(v)2863 2934 y Fr(e)2898 2967 y Fw(\))h(is)f Fs(L)3108 2981 y Fr(0)3147 2967 y Ft(\000)p Fw(b)s(ounded.)37 b(The)0 3079 y(details)29 b(are)i(left)f(to)h(the)g(reader.)41 b Fh(2)141 3235 y Fw(The)30 b(Hamiltonians)f Fs(H)970 3202 y Fr(e)963 3258 y FF(\006)1052 3235 y Fw(ha)m(v)m(e)i(similar)d (prop)s(erties.)0 3405 y Fi(Lemma)33 b(3.7)46 b Fu(Assume)32 b(\(I'0\).)43 b(Then)141 3518 y(i\))33 b Fw(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)19 b Fs(H)514 3485 y Fr(e)507 3541 y FF(\006)566 3518 y Fw(\))601 3485 y FF(\000)p Fr(1)721 3518 y Ft(2)25 b Fs(C)879 3485 y Fr(1)918 3518 y Fw(\()p Fs(N)1036 3485 y Fr(e)1072 3518 y Fw(\))32 b Fu(for)i Fs(z)29 b Ft(2)p 1468 3518 V 25 w Fw(C)p Ft(n)p Fs(\033)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fu(,)141 3631 y(ii\))i Fw(\()p Fs(z)20 b Ft(\000)c Fs(H)532 3598 y Fr(e)525 3653 y FF(\006)584 3631 y Fw(\))619 3598 y FF(\000)p Fr(1)713 3631 y Fs(N)796 3598 y Fr(e)857 3631 y Fw(=)25 b Fs(N)1036 3598 y Fr(e)1071 3631 y Fw(\()p Fs(z)c Ft(\000)16 b Fs(H)1339 3598 y Fr(e)1332 3653 y FF(\006)1390 3631 y Fw(\))1425 3598 y FF(\000)p Fr(1)1536 3631 y Fw(+)f(i\()p Fs(z)20 b Ft(\000)c Fs(H)1915 3598 y Fr(e)1908 3653 y FF(\006)1967 3631 y Fw(\))2002 3598 y FF(\000)p Fr(1)2096 3631 y Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(v)2258 3598 y Fr(e)2294 3631 y Fw(\)\()p Fs(z)21 b Ft(\000)16 b Fs(H)2597 3598 y Fr(e)2590 3653 y FF(\006)2648 3631 y Fw(\))2683 3598 y FF(\000)p Fr(1)2778 3631 y Fu(,)31 b(for)g Fs(z)e Ft(2)p 3164 3631 V 25 w Fw(C)p Ft(n)p Fs(\033)s Fw(\()p Fs(H)3421 3598 y Fr(e)3414 3653 y FF(\006)3474 3631 y Fw(\))p Fu(,)i(as)g(an)0 3744 y(identity)i(on)g Ft(D)s Fw(\()p Fs(N)653 3711 y Fr(e)689 3744 y Fw(\))p Fu(,)141 3857 y(iii\))c Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)466 3824 y Fr(e)459 3879 y FF(\006)518 3857 y Fw(\))g Fu(pr)-5 b(eserves)30 b Ft(D)s Fw(\(\()p Fs(N)1197 3824 y Fr(e)1233 3857 y Fw(\))1268 3824 y Fq(r)1307 3857 y Fw(\))f Fu(for)h Fs(r)d Ft(2)e Fw(I)-15 b(R)1752 3821 y Fr(+)1811 3857 y Fu(,)30 b Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)2109 3824 y FF(1)2102 3880 y Fr(0)2183 3857 y Fw(\(I)-15 b(R\))29 b Fu(and)h Fw(\()p Fs(H)2658 3824 y Fr(e)2651 3879 y FF(\006)2723 3857 y Fw(+)13 b(i\)\()p Fs(N)2986 3824 y Fr(e)3021 3857 y Fw(\))3056 3824 y Fq(r)3094 3857 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)3269 3824 y Fr(e)3262 3879 y FF(\006)3321 3857 y Fw(\)\()p Fs(N)3474 3824 y Fr(e)3523 3857 y Fw(+)g(1\))3687 3824 y FF(\000)p Fq(r)0 3970 y Fu(is)33 b(b)-5 b(ounde)g(d)34 b(for)f Fs(r)28 b Ft(2)d Fw(I)-15 b(R)828 3934 y Fr(+)887 3970 y Fu(.)141 4140 y Fw(A)31 b(consequence)g(of)f(Lemma)h(3.7)g(is) 748 4323 y(e)788 4285 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)951 4262 y Fm(e)987 4323 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))g(preserv)m(es)f Ft(D)s Fw(\(\()p Fs(N)1823 4285 y Fr(e)1859 4323 y Fw(\))1894 4285 y Fq(r)1932 4323 y Fw(\))p Fs(;)47 b Fw(for)30 b Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)2418 4285 y FF(1)2411 4345 y Fr(0)2492 4323 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fs(;)36 b(r)28 b Ft(2)c Fw(I)-15 b(R)2947 4285 y Fr(+)3006 4323 y Fs(:)-3031 b Fw(\(3.8\))0 4506 y(In)31 b(fact)h(w)m(e)g(can)g(write)e(e)871 4473 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1034 4449 y Fm(e)1070 4506 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))i(as)g(e)1444 4467 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1607 4444 y Fm(e)1602 4489 y(+)1657 4506 y Fs(\037)1714 4520 y Fr(1)1753 4506 y Fw(\()p Fs(H)1871 4473 y Fr(e)1864 4528 y(+)1923 4506 y Fw(\)e)1998 4467 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2161 4444 y Fm(e)2156 4489 y Fo(\000)2213 4506 y Fs(\037)2270 4520 y Fr(2)2310 4506 y Fw(\()p Fs(H)2428 4473 y Fr(e)2421 4528 y FF(\000)2480 4506 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\),)g(for)f(some)h Fs(\037)3187 4520 y Fr(1)3227 4506 y Fs(;)15 b(\037)3324 4520 y Fr(2)3390 4506 y Ft(2)27 b Fs(C)3550 4473 y FF(1)3543 4529 y Fr(0)3624 4506 y Fw(\(I)-15 b(R\))0 4619 y(and)30 b(apply)f(Lemma)h(3.7)i Fu(iii\))p Fw(.)141 4732 y(A)f(consequence)g (of)f(Lemma)h(3.5)g(and)f(\(3.8\))i(is)0 4902 y Fi(Prop)s(osition)k (3.8)46 b Fu(Assume)33 b(\(I'0\).)42 b(Then)579 5085 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(N)742 5047 y Fr(e)798 5085 y Fw(+)20 b(1\))969 5047 y Fq(r)1008 5085 y Fw(e)1048 5047 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1211 5024 y Fm(e)1247 5085 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(N)1554 5047 y Fr(e)1611 5085 y Fw(+)g(1\))1782 5047 y FF(\000)p Fq(r)1875 5085 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)2107 5099 y Fq(r)2145 5085 y Ft(h)p Fs(t)p Ft(i)2248 5047 y Fq(r)2286 5085 y Fs(;)36 b(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)2587 5047 y FF(1)2580 5107 y Fr(0)2661 5085 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fs(;)36 b(r)28 b Ft(2)d Fw(I)-15 b(R)3116 5047 y Fr(+)3175 5085 y Fs(:)-3200 b Fw(\(3.9\))1844 5517 y(19)p eop %%Page: 20 20 20 19 bop 0 162 a Fi(Pro)s(of.)49 b Fw(W)-8 b(e)32 b(will)c(pro)m(v)m (e)k(the)f(prop)s(osition)d(for)j Fs(r)d Ft(2)e Fw(I)-15 b(N)30 b(b)m(y)h(induction)d(and)j(then)f(argue)h(b)m(y)g(in)m(terp)s (olation.)0 275 y(Let)g Fs(u)215 289 y Fr(1)280 275 y Ft(2)24 b(D)s Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\))p Fs(;)15 b(u)683 289 y Fr(2)749 275 y Ft(2)25 b(D)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))30 b(and)g(consider)1424 479 y Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))25 b(=)g(\()p Fs(u)1790 493 y Fr(2)p Fq(t)1855 479 y Fs(;)15 b(N)1978 442 y Fr(e)2014 479 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)2255 493 y Fr(1)p Fq(t)2320 479 y Fw(\))0 684 y(\(note)31 b(that)g Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))30 b(is)g(\014nite)f(b)m(y)h(\(3.8\)\).)43 b(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e)733 885 y Fs(f)788 852 y FF(0)810 885 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))26 b(=)83 b(i\()p Fs(H)1237 852 y Fr(e)1272 885 y Fs(u)1324 899 y Fr(2)p Fq(t)1389 885 y Fs(;)15 b(N)1512 852 y Fr(e)1548 885 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)1789 899 y Fr(1)p Fq(t)1854 885 y Fw(\))21 b Ft(\000)f Fw(i\()p Fs(u)2114 899 y Fr(2)p Fq(t)2178 885 y Fs(;)15 b(N)2301 852 y Fr(e)2337 885 y Fs(H)2420 852 y Fr(e)2456 885 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)2697 899 y Fr(1)p Fq(t)2762 885 y Fw(\))939 998 y(=)83 b(i\()p Fs(H)1237 965 y Fr(e)1230 1021 y(0)1272 998 y Fs(u)1324 1012 y Fr(2)p Fq(t)1389 998 y Fs(;)15 b(N)1512 965 y Fr(e)1548 998 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)1789 1012 y Fr(1)p Fq(t)1854 998 y Fw(\))21 b Ft(\000)f Fw(i\()p Fs(u)2114 1012 y Fr(2)p Fq(t)2178 998 y Fs(;)15 b(N)2301 965 y Fr(e)2337 998 y Fs(H)2420 965 y Fr(e)2413 1021 y(0)2456 998 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)2697 1012 y Fr(1)p Fq(t)2762 998 y Fw(\))1093 1111 y(+i\()p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)1361 1078 y Fr(e)1397 1111 y Fw(\))p Fs(u)1484 1125 y Fr(2)p Fq(t)1549 1111 y Fs(;)g(N)1672 1078 y Fr(e)1708 1111 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)1949 1125 y Fr(1)p Fq(t)2014 1111 y Fw(\))21 b Ft(\000)f Fw(i\()p Fs(u)2274 1125 y Fr(2)p Fq(t)2338 1111 y Fs(;)15 b(N)2461 1078 y Fr(e)2497 1111 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)2633 1078 y Fr(e)2670 1111 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)2946 1125 y Fr(1)p Fq(t)3011 1111 y Fw(\))939 1224 y(=)83 b Ft(\000)p Fw(\()p Fs(u)1251 1238 y Fr(2)p Fq(t)1316 1224 y Fs(;)15 b(\036)p Fw(\(i)p Fs(v)1518 1191 y Fr(e)1554 1224 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)1830 1238 y Fr(1)p Fq(t)1896 1224 y Fw(\))p Fs(:)0 1420 y Fw(By)31 b(Prop.)40 b(A.1,)31 b(w)m(e)g(obtain)1483 1533 y Ft(j)p Fs(f)1563 1496 y FF(0)1585 1533 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Ft(j)26 b(\024)f Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(u)2004 1547 y Fr(2)2044 1533 y Ft(kk)p Fs(u)2186 1547 y Fr(1)2226 1533 y Ft(k)p Fs(;)0 1700 y Fw(whic)m(h)29 b(pro)m(v)m(es)i(\(3.9\))h (for)e Fs(r)e Fw(=)d(1.)141 1813 y(Assume)41 b(no)m(w)h(that)g(\(3.9\)) h(holds)d(for)i(all)e Fs(r)1707 1780 y FF(0)1774 1813 y Fs(<)j(r)s Fw(.)74 b(Let)42 b Fs(u)2257 1827 y Fr(1)2340 1813 y Ft(2)i(D)s Fw(\(\()p Fs(N)2671 1780 y Fr(e)2706 1813 y Fw(\))2741 1780 y Fq(r)2780 1813 y Fw(\))p Fs(;)15 b(u)2907 1827 y Fr(2)2991 1813 y Ft(2)43 b(D)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\).)75 b(Again)41 b(w)m(e)0 1926 y(di\013eren)m(tiate)1357 2039 y Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))25 b(=)g(\()p Fs(u)1723 2053 y Fr(2)p Fq(t)1788 2039 y Fs(;)15 b Fw(\()p Fs(N)1946 2001 y Fr(e)1982 2039 y Fw(\))2017 2001 y Fq(r)2056 2039 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)2297 2053 y Fr(1)p Fq(t)2362 2039 y Fw(\))p Fs(;)0 2206 y Fw(and)30 b(obtain)1278 2319 y Fs(f)1333 2281 y FF(0)1356 2319 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))25 b(=)g(\()p Fs(u)1667 2333 y Fr(2)p Fq(t)1733 2319 y Fs(;)15 b Fw([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)1934 2281 y Fr(e)1971 2319 y Fw(\))p Fs(;)g Fw(i\()p Fs(N)2190 2281 y Fr(e)2225 2319 y Fw(\))2260 2281 y Fq(r)2299 2319 y Fw(])p Fs(u)2376 2333 y Fr(1)p Fq(t)2441 2319 y Fw(\))p Fs(:)0 2486 y Fw(The)31 b(comm)m(utator)i([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)863 2453 y Fr(e)900 2486 y Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(i\()p Fs(N)1119 2453 y Fr(e)1155 2486 y Fw(\))1190 2453 y Fq(r)1228 2486 y Fw(])32 b(can)g(b)s(e)f(written)g(as)h(a)g(sum) f(of)h(terms)f(of)h(the)g(form)f Fs(\036)p Fw(\(i)3235 2453 y Fq(\013)3285 2486 y Fs(v)3332 2453 y Fr(e)3367 2486 y Fw(\)\()p Fs(N)3520 2453 y Fr(e)3557 2486 y Fw(\))3592 2453 y Fq(\014)3671 2486 y Fw(for)0 2598 y Fs(\014)f Ft(\024)25 b Fs(r)e Ft(\000)d Fw(1.)41 b(W)-8 b(e)32 b(write)749 2795 y Fs(\036)p Fw(\(i)864 2762 y Fq(\013)913 2795 y Fs(v)960 2762 y Fr(e)996 2795 y Fw(\)\()p Fs(N)1149 2762 y Fr(e)1185 2795 y Fw(\))1220 2762 y Fq(\014)1268 2795 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))595 2908 y(=)83 b Fs(\036)p Fw(\(i)864 2875 y Fq(\013)913 2908 y Fs(v)960 2875 y Fr(e)996 2908 y Fw(\)\()p Fs(L)21 b Fw(+)f(i\))1301 2875 y FF(\000)p Fr(1)1395 2908 y Fw(\()p Fs(L)g Fw(+)g(i\)\()p Fs(N)1782 2875 y Fr(e)1817 2908 y Fw(\))1852 2875 y Fq(\014)1900 2908 y Fs(\037)1957 2922 y Fr(1)1996 2908 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(N)2246 2875 y Fr(e)2303 2908 y Fw(+)g(1\))2474 2875 y FF(\000)p Fq(\014)2577 2908 y Fw(\()p Fs(N)2695 2875 y Fr(e)2751 2908 y Fw(+)g(1\))2922 2875 y Fq(\014)2970 2908 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(;)0 3110 y Fw(for)30 b Fs(\037)196 3124 y Fr(1)235 3110 y Fs(\037)c Fw(=)f Fs(\037)p Fw(.)40 b(By)31 b(Prop.)40 b(A.1)31 b(and)f(Lemma)g(3.5)i Fu(iii\))p Fw(,)e(w)m(e)h(obtain)507 3314 y Ft(j)p Fs(f)587 3276 y FF(0)610 3314 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Ft(j)26 b(\024)f Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(u)1029 3328 y Fr(2)1068 3314 y Ft(kk)p Fw(\()p Fs(N)1276 3276 y Fr(e)1333 3314 y Fw(+)20 b(1\))1504 3276 y Fq(r)r FF(\000)p Fr(1)1633 3314 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)1874 3328 y Fr(1)p Fq(t)1939 3314 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)7 b Ft(h)p Fs(t)p Ft(i)2281 3276 y Fq(r)r FF(\000)p Fr(1)2409 3314 y Ft(k)p Fs(u)2506 3328 y Fr(2)2546 3314 y Ft(kk)p Fw(\()p Fs(N)2754 3276 y Fr(e)2811 3314 y Fw(+)20 b(1\))2982 3276 y Fq(r)r FF(\000)p Fr(1)3111 3314 y Fs(u)3163 3328 y Fr(1)3202 3314 y Ft(k)p Fs(;)0 3518 y Fw(b)m(y)30 b(the)h(induction)d (h)m(yp)s(othesis.)39 b(This)29 b(pro)m(v)m(es)i(\(3.9\))h(for)e Fs(r)s Fw(.)40 b Fh(2)141 3681 y Fw(Finally)28 b(w)m(e)j(state)h(a)f (lemma)f(analogous)g(to)i(Lemma)e(3.5)i(for)e(the)g(Hamiltonian)f Fs(H)7 b Fw(.)0 3868 y Fi(Lemma)33 b(3.9)46 b Fu(Assume)32 b(\(I'0\).)43 b(Then)141 3981 y(i\))33 b Fw(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)19 b Fs(H)7 b Fw(\))549 3948 y FF(\000)p Fr(1)669 3981 y Ft(2)25 b Fs(C)827 3948 y Fr(1)866 3981 y Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\))33 b Fu(for)g Fs(z)d Ft(2)p 1381 3981 4 56 v 25 w Fw(C)p Ft(n)p Fs(\033)s Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fu(,)141 4094 y(ii\))32 b Fw(\()p Fs(z)23 b Ft(\000)c Fs(H)7 b Fw(\))574 4061 y FF(\000)p Fr(1)668 4094 y Fs(N)35 b Fw(=)25 b Fs(N)10 b Fw(\()p Fs(z)24 b Ft(\000)18 b Fs(H)7 b Fw(\))1263 4061 y FF(\000)p Fr(1)1376 4094 y Fw(+)19 b(i\()p Fs(z)j Ft(\000)d Fs(H)7 b Fw(\))1799 4061 y FF(\000)p Fr(1)1894 4094 y Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(v)s Fw(\)\()p Fs(z)23 b Ft(\000)c Fs(H)7 b Fw(\))2399 4061 y FF(\000)p Fr(1)2493 4094 y Fu(,)32 b(for)h Fs(z)c Ft(2)p 2881 4094 V 25 w Fw(C)p Ft(n)p Fs(\033)s Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fu(,)33 b(as)f(an)h(identity)0 4207 y(on)g Ft(D)s Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\))p Fu(,)141 4320 y(iii\))27 b Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))28 b Fu(pr)-5 b(eserves)28 b Ft(D)s Fw(\()p Fs(N)1105 4287 y Fq(r)1143 4320 y Fw(\))g Fu(for)g Fs(r)f Ft(2)e Fw(I)-15 b(R)1585 4284 y Fr(+)1644 4320 y Fu(,)28 b Fs(\037)d Ft(2)g Fs(C)1940 4287 y FF(1)1933 4343 y Fr(0)2014 4320 y Fw(\(I)-15 b(R\))28 b Fu(and)g Fw(\()p Fs(H)16 b Fw(+)9 b(i\))p Fs(N)2719 4287 y Fq(r)2756 4320 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)e Fw(\)\()p Fs(N)19 b Fw(+)9 b(1\))3253 4287 y FF(\000)p Fq(r)3374 4320 y Fu(is)27 b(b)-5 b(ounde)g(d)0 4433 y(for)33 b Fs(r)28 b Ft(2)d Fw(I)-15 b(R)384 4397 y Fr(+)443 4433 y Fu(.)0 4621 y Fw(The)30 b(pro)s(of)f(is)h(completely)g(similar)e(to)j (Lemma)f(3.5.)1844 5517 y(20)p eop %%Page: 21 21 21 20 bop 0 162 a Fv(3.6)112 b(Bounds)38 b(on)g(\014eld)f(op)s(erators) 0 344 y Fi(Lemma)c(3.10)46 b Fu(Assume)32 b(\(I'0\))i(and)f(let)g Fs(h)1514 358 y Fq(i)1568 344 y Ft(2)25 b(D)s Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)1827 281 y Fm(1)p 1827 293 31 4 v 1827 334 a(2)1892 344 y Fw(+)24 b(~)-49 b Fs(\033)2038 308 y FF(\000)2103 281 y Fm(1)p 2103 293 V 2103 334 a(2)2147 344 y Fw(\))p Fu(,)33 b Fw(1)26 b Ft(\024)f Fs(i)g Ft(\024)g Fs(n)p Fu(.)41 b(Then:)846 609 y Ft(k)938 503 y Fq(n)906 528 y Fp(Y)942 709 y Fr(1)1028 609 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)1169 623 y Fq(i)1198 609 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)19 b Fs(b)p Fw(\))1536 571 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)1709 609 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)1941 623 y Fq(n)2035 503 y(n)2003 528 y Fp(Y)2038 709 y Fr(1)2124 609 y Ft(k)p Fw(\(1)d(+)j(~)-50 b Fs(\033)2427 544 y Fm(1)p 2427 556 V 2427 597 a(2)2492 609 y Fw(+)24 b(~)-50 b Fs(\033)2637 571 y FF(\000)2702 544 y Fm(1)p 2703 556 V 2703 597 a(2)2747 609 y Fw(\))p Fs(h)2834 623 y Fq(i)2863 609 y Ft(k)p Fs(:)0 1026 y Fi(Lemma)33 b(3.11)46 b Fu(Assume)32 b(\(I'0\))i(and)f (let)g Fs(h)1514 1040 y Fq(i)1568 1026 y Ft(2)25 b(D)s Fw(\()p Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)1877 963 y Fm(1)p 1877 975 V 1877 1016 a(2)1942 1026 y Fw(+)20 b Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)2138 990 y FF(\000)2203 963 y Fm(1)p 2204 975 V 2204 1016 a(2)2248 1026 y Fw(\))p Fu(,)33 b Fw(1)26 b Ft(\024)f Fs(i)g Ft(\024)g Fs(n)p Fu(.)41 b(Then:)793 1291 y Ft(k)885 1185 y Fq(n)854 1210 y Fp(Y)889 1391 y Fr(1)975 1291 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)1116 1305 y Fq(i)1145 1291 y Fw(\)\()p Fs(L)21 b Fw(+)f Fs(b)p Fw(\))1463 1253 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)1636 1291 y Ft(k)25 b(\024)g Fs(C)1867 1305 y Fq(n)1961 1185 y(n)1929 1210 y Fp(Y)1965 1391 y Fr(1)2051 1291 y Ft(k)p Fw(\(1)c(+)f Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)2403 1226 y Fm(1)p 2404 1238 V 2404 1279 a(2)2468 1291 y Fw(+)g Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)2664 1253 y FF(\000)2729 1226 y Fm(1)p 2730 1238 V 2730 1279 a(2)2774 1291 y Ft(j)p Fw(\))p Fs(h)2886 1305 y Fq(i)2916 1291 y Ft(k)p Fs(:)0 1707 y Fw(The)30 b(pro)s(ofs)f(of)i(Lemmas)f(3.10)i(and)e(3.11)i(b)s (eing)d(completely)h(similar,)e(w)m(e)j(pro)m(v)m(e)g(only)e(Lemma)i (3.11.)141 1820 y Fi(Pro)s(of.)48 b Fw(Let)30 b(\014rst)g Fs(B)g Ft(\025)25 b Fw(1)p Fs(;)15 b(A)31 b Fw(b)s(e)f(t)m(w)m(o)i (selfadjoin)m(t)d(op)s(erators)h(with)g Ft(D)s Fw(\()p Fs(B)2735 1757 y Fm(1)p 2734 1769 V 2734 1810 a(2)2779 1820 y Fw(\))25 b Ft(\032)g(D)s Fw(\()p Fs(A)p Fw(\).)41 b(Then)1142 2071 y Fs(AB)1284 2034 y FF(\000)1349 2007 y Fm(1)p 1349 2019 V 1349 2060 a(2)1418 2071 y Fw(=)25 b Fs(\031)1569 2034 y FF(\000)p Fr(1)1679 1956 y Fp(Z)1762 1983 y Fr(+)p FF(1)1725 2145 y Fr(0)1907 2071 y Fs(s)1950 2034 y FF(\000)2015 2007 y Fm(1)p 2014 2019 V 2014 2060 a(2)2059 2071 y Fs(A)p Fw(\()p Fs(s)20 b Fw(+)g Fs(B)5 b Fw(\))2425 2034 y FF(\000)p Fr(1)2519 2071 y Fw(d)p Fs(s;)-2638 b Fw(\(3.10\))0 2313 y(where)34 b(the)h(in)m(tegral)f(is)g (norm)g(con)m(v)m(ergen)m(t)j(on)d Ft(D)s Fw(\()p Fs(B)1872 2280 y Fq(\017)1904 2313 y Fw(\))h(for)g(an)m(y)g Fs(\017)d(>)g Fw(0.)54 b(As)34 b(b)s(ounded)f(op)s(erators)i(on)f Ft(H)3719 2280 y Fr(e)3754 2313 y Fw(,)0 2426 y(w)m(e)d(ha)m(v)m(e:)792 2539 y Fs(A)p Fw(\()p Fs(s)20 b Fw(+)g Fs(B)5 b Fw(\))1158 2501 y FF(\000)p Fr(1)1278 2539 y Fw(=)25 b(\()p Fs(s)20 b Fw(+)g Fs(B)5 b Fw(\))1672 2501 y FF(\000)p Fr(1)1766 2539 y Fs(A)20 b Ft(\000)g Fw(\()p Fs(s)g Fw(+)g Fs(B)5 b Fw(\))2243 2501 y FF(\000)p Fr(1)2337 2539 y Fw([)p Fs(A;)15 b(B)5 b Fw(]\()p Fs(s)21 b Fw(+)f Fs(B)5 b Fw(\))2868 2501 y FF(\000)p Fr(1)2962 2539 y Fs(:)-2987 b Fw(\(3.11\))0 2706 y(If)21 b(w)m(e)h(assume)f(that)h([)p Fs(A;)15 b(B)5 b Fw(])22 b(extends)g(from)f(a)h(b)s(ounded)d(quadratic)i(form)g(on)g Ft(D)s Fw(\()p Fs(B)5 b Fw(\))22 b(to)g(a)g(b)s(ounded)d(quadratic)0 2832 y(form)30 b(on)g Ft(D)s Fw(\()p Fs(B)533 2769 y Fm(1)p 533 2781 V 533 2822 a(2)577 2832 y Fw(\),)h(w)m(e)g(deduce)f (from)g(\(3.10\),)j(\(3.11\))f(that)795 3083 y([)p Fs(A;)15 b(B)1002 3045 y FF(\000)1067 3018 y Fm(1)p 1068 3030 V 1068 3071 a(2)1112 3083 y Fw(])26 b(=)f Ft(\000)p Fs(\031)1385 3045 y FF(\000)p Fr(1)1494 2968 y Fp(Z)1577 2994 y Fr(+)p FF(1)1540 3157 y Fr(0)1722 3083 y Fs(s)1765 3045 y FF(\000)1830 3018 y Fm(1)p 1829 3030 V 1829 3071 a(2)1874 3083 y Fw(\()p Fs(s)20 b Fw(+)g Fs(B)5 b Fw(\))2172 3045 y FF(\000)p Fr(1)2266 3083 y Fw([)p Fs(A;)15 b(B)5 b Fw(]\()p Fs(s)21 b Fw(+)f Fs(B)5 b Fw(\))2797 3045 y FF(\000)p Fr(1)2891 3083 y Fw(d)p Fs(s)-2985 b Fw(\(3.12\))0 3319 y(satis\014es)1220 3432 y Ft(k)p Fw([)p Fs(A;)15 b(B)1472 3395 y FF(\000)1537 3367 y Fm(1)p 1537 3379 V 1537 3421 a(2)1582 3432 y Fw(])p Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(B)1965 3395 y FF(\000)2030 3367 y Fm(1)p 2029 3379 V 2029 3421 a(2)2074 3432 y Fw([)p Fs(A;)15 b(B)5 b Fw(])p Fs(B)2380 3395 y FF(\000)2445 3367 y Fm(1)p 2445 3379 V 2445 3421 a(2)2489 3432 y Ft(k)p Fs(:)-2559 b Fw(\(3.13\))0 3612 y(F)-8 b(or)31 b Fs(B)f Fw(=)25 b Fs(L)20 b Fw(+)g Fs(b)p Fw(,)30 b Fs(A)c Fw(=)f Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)p Fw(\),)32 b Fs(h)25 b Ft(2)g(D)s Fw(\()p Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)1434 3549 y Fm(1)p 1435 3561 V 1435 3602 a(2)1479 3612 y Fw(\),)31 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)1217 3816 y([)p Fs(A;)15 b(B)5 b Fw(])26 b(=)e Ft(\000)p Fw(i)p Fs(\036)p Fw(\(i)p Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)p Fs(h)p Fw(\))d(+)f(iIm)o(\() p Fs(h;)15 b(v)2394 3779 y Fr(e)2431 3816 y Fw(\))2466 3830 y Fk(h)2502 3811 y Fm(e)2538 3816 y Fs(:)0 4021 y Fw(By)31 b(Prop.)40 b(A.1)31 b(and)f Fu(\(I'0\))p Fw(,)h(w)m(e)g (obtain)1274 4240 y Ft(k)p Fs(B)1393 4202 y FF(\000)1458 4175 y Fm(1)p 1458 4187 V 1458 4228 a(2)1503 4240 y Fw([)p Fs(A;)15 b(B)5 b Fw(])p Fs(B)1809 4202 y FF(\000)1874 4175 y Fm(1)p 1874 4187 V 1874 4228 a(2)1918 4240 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)7 b Ft(kh)p Fs(\033)s Ft(i)2337 4175 y Fm(1)p 2338 4187 V 2338 4228 a(2)2382 4240 y Fs(h)p Ft(k)p Fs(;)0 4444 y Fw(and)30 b(hence)g(using)f(\(3.13\))1243 4572 y Ft(k)p Fw([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(\()p Fs(L)23 b Fw(+)d Fs(b)p Fw(\))1814 4534 y FF(\000)1879 4507 y Fm(1)p 1879 4519 V 1879 4560 a(2)1924 4572 y Fw(])p Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)7 b Ft(kh)p Fs(\033)s Ft(i)2368 4507 y Fm(1)p 2369 4519 V 2369 4560 a(2)2413 4572 y Fs(h)p Ft(k)p Fs(:)-2535 b Fw(\(3.14\))0 4739 y(Similarly)27 b(w)m(e)j(ha)m(v)m(e)1069 4862 y Ft(k)p Fw(ad)1210 4880 y Fq(\036)p Fr(\()p Fq(h)1320 4889 y Fm(1)1355 4880 y Fr(\))1387 4862 y Fw(ad)1483 4880 y Fq(\036)p Fr(\()p Fq(h)1593 4889 y Fm(2)1627 4880 y Fr(\))1659 4862 y Fs(L)p Ft(k)25 b(\024)g Fs(C)7 b Ft(kh)p Fs(\033)s Ft(i)2139 4797 y Fm(1)p 2140 4809 V 2140 4850 a(2)2185 4862 y Fs(h)2237 4876 y Fr(1)2277 4862 y Ft(kkh)p Fs(\033)s Ft(i)2502 4797 y Fm(1)p 2503 4809 V 2503 4850 a(2)2548 4862 y Fs(h)2600 4876 y Fr(2)2640 4862 y Ft(k)p Fs(;)-2710 b Fw(\(3.15\))0 5028 y(and)1225 5141 y(ad)1321 5160 y Fq(\036)p Fr(\()p Fq(h)1431 5169 y Fm(1)1466 5160 y Fr(\))1512 5141 y Fs(:)15 b(:)g(:)i Fw(ad)1730 5160 y Fq(\036)p Fr(\()p Fq(h)1840 5172 y Fj(l)1864 5160 y Fr(\))1895 5141 y Fs(L)25 b Fw(=)g(0)p Fs(;)47 b Fw(for)30 b Fs(l)d Ft(\025)e Fw(3)p Fs(:)-2554 b Fw(\(3.16\))1844 5517 y(21)p eop %%Page: 22 22 22 21 bop 0 162 a Fw(W)-8 b(e)32 b(deduce)e(easily)f(from)h(the)h(iden) m(tit)m(y)e(\(3.12\))k(that)965 381 y Ft(k)p Fw(ad)1106 400 y Fq(\036)p Fr(\()p Fq(h)1216 409 y Fm(1)1251 400 y Fr(\))1297 381 y Fs(:)15 b(:)g(:)i Fw(ad)1515 400 y Fq(\036)p Fr(\()p Fq(h)1625 412 y Fj(l)1649 400 y Fr(\))1680 381 y Fw(\()p Fs(L)k Fw(+)f Fs(b)p Fw(\))1963 344 y FF(\000)2028 317 y Fm(1)p 2028 329 31 4 v 2028 370 a(2)2073 381 y Ft(k)25 b(\024)g Fs(C)2304 396 y Fq(l)2330 381 y Fw(\005)2398 344 y Fq(l)2398 404 y Fr(1)2438 381 y Ft(kh)p Fs(\033)s Ft(i)2618 317 y Fm(1)p 2619 329 V 2619 370 a(2)2664 381 y Fs(h)2716 395 y Fq(i)2744 381 y Ft(k)p Fs(:)-2814 b Fw(\(3.17\))0 586 y(Let)31 b(us)f(no)m(w)g(pro)m(v)m(e)h(the)g(lemma.) 40 b(W)-8 b(e)32 b(consider)d(more)h(generally)g(pro)s(ducts)f(of)i (factors)g(of)1248 790 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)1389 804 y Fq(i)1418 790 y Fw(\))p Fs(;)36 b Fw(ad)1610 808 y Fq(\036)p Fr(\()p Fq(h)1720 817 y Fm(1)1755 808 y Fr(\))1802 790 y Fs(:)15 b(:)g(:)h Fw(ad)2019 808 y Fq(\036)p Fr(\()p Fq(h)2129 820 y Fj(l)2153 808 y Fr(\))2185 790 y Fs(R)31 b Fw(and)e Fs(R)0 1020 y Fw(for)j Fs(R)e Fw(=)f(\()p Fs(L)22 b Fw(+)f Fs(b)p Fw(\))625 984 y FF(\000)690 957 y Fm(1)p 690 969 V 690 1010 a(2)735 1020 y Fw(.)47 b(If)32 b(a)h(pro)s(duct)f Fs(P)45 b Fw(con)m(tains)33 b Fs(n)f Fw(factors)i(of)f Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)2417 1034 y Fq(i)2446 1020 y Fw(\))g(\(for)f(di\013eren)m(t)g Fs(i)p Fw(\))i(and)e Fs(p)g Fw(factors)h(of)0 1133 y Fs(R)q Fw(,)h(w)m(e)f(de\014ne)f(its)h Fu(de)-5 b(gr)g(e)g(e)34 b Fs(d)p Fw(\()p Fs(P)13 b Fw(\))34 b(to)g(b)s(e)e(equal)h(to)h Fs(n)e Fw(and)h(its)f Fu(weight)69 b Fs(w)r Fw(\()p Fs(P)13 b Fw(\))34 b(to)g(b)s(e)e(equal)h(to)g Fs(n)22 b Ft(\000)g Fs(p)p Fw(.)48 b(Note)0 1246 y(that)31 b Fs(d)p Fw(\()p Fs(P)337 1260 y Fr(1)377 1246 y Fs(P)435 1260 y Fr(2)475 1246 y Fw(\))26 b(=)f Fs(d)p Fw(\()p Fs(P)772 1260 y Fr(1)812 1246 y Fw(\))c(+)f Fs(d)p Fw(\()p Fs(P)1099 1260 y Fr(2)1139 1246 y Fw(\),)31 b Fs(w)r Fw(\()p Fs(P)1390 1260 y Fr(1)1431 1246 y Fs(P)1489 1260 y Fr(2)1529 1246 y Fw(\))25 b(=)g Fs(w)r Fw(\()p Fs(P)1845 1260 y Fr(1)1886 1246 y Fw(\))20 b(+)g Fs(w)r Fw(\()p Fs(P)2192 1260 y Fr(2)2233 1246 y Fw(\).)141 1358 y(W)-8 b(e)28 b(claim)e(that)i(a)f (pro)s(duct)f Fs(P)40 b Fw(of)27 b(zero)h(w)m(eigh)m(t)f(is)f(a)i(b)s (ounded)c(op)s(erator,)29 b(whic)m(h)c(in)h(particular)f(implies)0 1471 y(the)32 b(lemma.)46 b(The)32 b(claim)g(is)f(clearly)g(true)h(in)f (t)m(w)m(o)j(cases:)45 b(if)32 b(the)g(degree)h(of)g Fs(P)45 b Fw(is)31 b(zero)i(and)f(if)f(eac)m(h)i(factor)0 1584 y(of)g Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)247 1598 y Fq(i)276 1584 y Fw(\))g(in)f Fs(P)46 b Fw(is)32 b(follo)m(w)m(ed)g(b)m(y)h(a)g (factor)h(of)f Fs(R)h Fw(and)e(the)h(w)m(eigh)m(t)h(of)f Fs(P)46 b Fw(is)32 b(zero.)49 b(In)32 b(this)g(last)g(case)i(w)m(e)g (sa)m(y)0 1697 y(that)d Fs(P)43 b Fw(is)30 b Fu(c)-5 b(ontr)g(ol)5 b(le)-5 b(d)p Fw(.)141 1810 y(Comm)m(uting)32 b Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))i(with)e(a)i(factor)g Fs(R)f Fw(pro)s(duces)f(an)h(extra)h(term)f Fs(ad)2572 1829 y Fq(\036)p Fr(\()p Fq(h)p Fr(\))2714 1810 y Fs(R)h Fw(of)f(zero)h(w)m(eigh)m(t)f(and)g(com-)0 1923 y(m)m(uting)i Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))i(with)e(a)i(factor)g(ad)1186 1941 y Fq(\036)p Fr(\()p Fq(h)1296 1950 y Fm(1)1330 1941 y Fr(\))1377 1923 y Fs(:)15 b(:)g(:)h Fw(ad)1594 1941 y Fq(\036)p Fr(\()p Fq(h)1704 1953 y Fj(l)1728 1941 y Fr(\))1760 1923 y Fs(R)37 b Fw(also.)57 b(Hence)37 b(w)m(e)f(can)h(mo)m (v)m(e)g(around)e(the)h(factors)h(of)0 2036 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)141 2050 y Fq(i)170 2036 y Fw(\))30 b(in)f(a)h(pro)s(duct) f Fs(P)42 b Fw(of)31 b(zero)f(w)m(eigh)m(t)h(un)m(til)d(w)m(e)i(get)h (a)f(con)m(trolled)g(pro)s(duct)e(of)i(zero)h(w)m(eigh)m(t,)g(pro)s (ducing)0 2149 y(error)f(terms)g(of)g(zero)h(w)m(eigh)m(t)g(and)f (strictly)f(lo)m(w)m(er)i(degrees.)41 b(Iterating)30 b(this)f(pro)s(cedure,)h(w)m(e)h(see)f(that)h Fs(P)43 b Fw(is)0 2262 y(a)31 b(b)s(ounded)d(op)s(erator.)41 b(The)30 b(fact)h(that)806 2522 y Ft(k)898 2416 y Fq(n)866 2441 y Fp(Y)902 2622 y Fr(1)988 2522 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)1129 2536 y Fq(i)1158 2522 y Fw(\)\()p Fs(L)21 b Fw(+)e Fs(b)p Fw(\))1475 2484 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)1648 2522 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)1880 2536 y Fq(n)1974 2416 y(n)1942 2441 y Fp(Y)1977 2622 y Fr(1)2063 2522 y Ft(k)p Fw(\(1)d(+)e Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)2416 2457 y Fm(1)p 2416 2469 V 2416 2510 a(2)2481 2522 y Fw(+)g Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)2677 2484 y FF(\000)2742 2457 y Fm(1)p 2743 2469 V 2743 2510 a(2)2787 2522 y Fw(\))p Fs(h)2874 2536 y Fq(i)2903 2522 y Ft(k)p Fs(;)0 2798 y Fw(follo)m(ws)29 b(then)i(from)e(\(3.17\))k(and)d(Prop.)40 b(A.1.)h Fh(2)0 3134 y Fx(4)135 b(Num)l(b)t(er)45 b(estimates)0 3337 y Fw(In)22 b(this)g(section)g(w)m(e)i(pro)m(v)m(e)f(some)g(b)s(ounds)e (on)h(the)h(gro)m(wth)g(of)g(the)g(n)m(um)m(b)s(er)e(observ)-5 b(able)22 b(along)h(the)g(ev)m(olution)0 3450 y(whic)m(h)34 b(tak)m(e)k(in)m(to)d(accoun)m(t)i(the)f(infrared)e(b)s(eha)m(vior)g (of)i(the)g(in)m(teraction.)57 b(W)-8 b(e)36 b(consider)f(abstract)h(P) m(auli-)0 3563 y(Fierz)30 b(Hamiltonians)f(as)i(in)m(tro)s(duced)d(in)h (Subsect.)41 b(3.1.)141 3676 y(W)-8 b(e)32 b(in)m(tro)s(duce)d(the)i (follo)m(wing)d(strengthened)j(v)m(ersion)e(of)i Fu(\(I'0\))p Fw(:)740 3927 y(\()p Fs(I)822 3890 y FF(0)846 3927 y Fw(1\))962 3812 y Fp(Z)1045 3839 y Fr(+)p FF(1)1008 4001 y Fr(0)1174 3927 y Fw(\(1)21 b(+)f Ft(j)5 b Fw(~)-50 b Fs(\033)t Ft(j)1472 3890 y FF(\000)p Fr(1)p FF(\000)p Fr(2)p Fq(\017)1681 3899 y Fm(0)1720 3927 y Fw(\))p Ft(k)p Fs(v)1847 3890 y FF(\003)1887 3927 y Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t Fw(\))p Fs(v)s Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t Fw(\))p Ft(k)2231 3946 y FF(B)r Fr(\()p FF(K)p Fr(\))2393 3927 y Fw(d)5 b(~)-50 b Fs(\033)28 b(<)d Ft(1)p Fs(;)35 b(\017)2808 3941 y Fr(0)2873 3927 y Fs(>)25 b Fw(0)p Fs(:)0 4169 y Fw(Note)32 b(that)f Fu(\(I'1\))g Fw(implies)c(that)793 4291 y Fp(Z)839 4480 y FF(j)t Fr(~)-39 b Fq(\033)s FF(j\024)p Fq(r)1014 4406 y Fw(\(1)21 b(+)f Ft(j)5 b Fw(~)-50 b Fs(\033)s Ft(j)1311 4368 y FF(\000)p Fr(1)1406 4406 y Fw(\))p Ft(k)p Fs(v)1533 4368 y FF(\003)1574 4406 y Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))p Fs(v)s Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t Fw(\))p Ft(k)1917 4425 y FF(B)r Fr(\()p FF(K)p Fr(\))2079 4406 y Fw(d)5 b(~)-50 b Fs(\033)28 b Ft(\024)d Fs(C)7 b(r)2422 4368 y Fr(2)p Fq(\017)2486 4377 y Fm(0)2524 4406 y Fs(;)35 b Fw(0)26 b Fs(<)f(r)j Ft(\024)d Fw(1)p Fs(:)-2986 b Fw(\(4.1\))141 4664 y(F)-8 b(or)32 b(the)f(Nelson)g (Hamiltonians,)f(the)h(condition)f Fu(\(I1\))h Fw(in)f(Subsect.)43 b(1.1)32 b(implies)c(that)k(the)f(asso)s(ciated)0 4777 y(P)m(auli-Fierz)e(Hamiltonian)g(satis\014es)h Fu(\(I'1\))p Fw(.)1844 5517 y(22)p eop %%Page: 23 23 23 22 bop 0 162 a Fv(4.1)112 b(Case)38 b(of)g Ff(H)0 334 y Fw(W)-8 b(e)35 b(consider)e(\014rst)g(the)h(Hamiltonian)e Fs(H)40 b Fw(in)m(tro)s(duced)33 b(in)f(Subsect.)50 b(3.1.)i(In)33 b(Prop.)51 b(4.3)34 b(b)s(elo)m(w)f(w)m(e)i(sho)m(w)0 447 y(that)24 b(under)e(h)m(yp)s(othesis)h Fu(\(I'1\))h Fw(the)g(n)m(um)m(b)s(er)e(op)s(erator)i(gro)m(ws)g(at)h(most)f(lik)m (e)f Fs(t)2687 414 y Fr(\(1+)p Fq(\017)2833 423 y Fm(0)2867 414 y Fr(\))2894 390 y Fo(\000)p Fm(1)3005 447 y Fw(along)h(the)g(ev)m (olution.)0 560 y(In)30 b(the)g(sequel)g(w)m(e)h(will)c(use)k(Prop.)40 b(4.2)31 b(whic)m(h)e(con)m(tains)i(essen)m(tially)e(the)i(same)f (information.)141 673 y(Let)h Fs(f)k Ft(2)24 b Fs(C)541 640 y FF(1)534 696 y Fr(0)616 673 y Fw(\(I)-15 b(R\))30 b(b)s(e)g(an)g(ev)m(en)h(function)e(with)g Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))26 b Ft(\021)f Fw(1)30 b(near)h(0,)g(0)25 b Ft(\024)g Fs(f)35 b Ft(\024)25 b Fw(1)p Fs(;)15 b(\025f)3035 640 y FF(0)3058 673 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))26 b Ft(\024)f Fw(0.)41 b(Let)938 871 y Fs(r)979 885 y Fq(t)1034 871 y Fw(:=)25 b Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(t)1278 834 y Fq(\032)1314 843 y Fm(0)1357 871 y Fw(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))p Fs(;)36 b(N)1576 885 y Fq(t)1631 871 y Fw(:=)25 b(d\000\()p Fs(r)1936 885 y Fq(t)1966 871 y Fw(\))p Fs(;)46 b Fw(for)30 b Fs(\032)2258 885 y Fr(0)2323 871 y Fw(=)25 b(\(1)c(+)f Fs(\017)2648 885 y Fr(0)2687 871 y Fw(\))2722 834 y FF(\000)p Fr(1)2817 871 y Fs(:)0 1069 y Fi(Lemma)33 b(4.1)46 b Fu(L)-5 b(et)33 b Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)947 1037 y FF(1)940 1093 y Fr(0)1021 1069 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fu(,)33 b Fs(F)38 b Ft(2)25 b Fs(S)1480 1037 y Fr(0)1519 1069 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fu(.)42 b(Then)1287 1310 y Ft(k)p Fw([)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(;)15 b(F)e Fw(\()1723 1249 y Fs(N)1796 1263 y Fq(t)p 1723 1289 103 4 v 1742 1372 a Fs(t)1775 1346 y Fq(\016)1838 1310 y Fw(\)])26 b Ft(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2150 1272 y FF(\000)p Fq(\016)r FF(\000)p Fq(\032)2329 1281 y Fm(0)2364 1272 y Fq(\017)2393 1281 y Fm(0)2431 1310 y Fw(\))p Fs(:)0 1691 y Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(Using)30 b(form)m(ula)g(\(3.7\),)i(w)m(e)f(write)494 1931 y([)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(;)15 b(F)e Fw(\()885 1870 y Fs(N)958 1884 y Fq(t)p 885 1910 V 903 1994 a Fs(t)936 1968 y Fq(\016)999 1931 y Fw(\)])26 b(=)1229 1870 y(i)p 1191 1910 101 4 v 1191 1994 a(2)p Fs(\031)1317 1816 y Fp(Z)p 1383 2005 4 41 v 189 x Fr(C)1433 1931 y Fs(@)p 1493 1907 36 4 v 1493 1945 a Fq(z)1544 1931 y Fw(~)-56 b Fs(\037)p Fw(\()p Fs(z)t Fw(\)\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))2017 1894 y FF(\000)p Fr(1)2112 1931 y Fw([)p Fs(H)r(;)15 b(F)e Fw(\()2371 1870 y Fs(N)2444 1884 y Fq(t)p 2371 1910 103 4 v 2388 1994 a Fs(t)2421 1968 y Fq(\016)2485 1931 y Fw(\)]\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))2856 1894 y FF(\000)p Fr(1)2951 1931 y Fw(d)p Fs(z)24 b Ft(^)19 b Fw(d)p 3214 1882 47 4 v 15 w Fs(z)t(:)0 2180 y Fw(W)-8 b(e)37 b(ha)m(v)m(e)f([)p Fs(H)r(;)15 b(F)e Fw(\()635 2144 y Fq(N)691 2152 y Fj(t)p 636 2159 84 4 v 648 2216 a Fq(t)673 2197 y Fj(\016)730 2180 y Fw(\)])34 b(=)f([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))p Fs(;)15 b(iF)e Fw(\()1311 2144 y Fq(N)1367 2152 y Fj(t)p 1314 2159 V 1326 2216 a Fq(t)1351 2197 y Fj(\016)1408 2180 y Fw(\)].)56 b(T)-8 b(o)36 b(estimate)g(this)e(term,)j(w)m(e)f (use)f(a)h(comm)m(utator)h(expansion)0 2312 y(lemma)27 b(\(see)i(eg)g([DG1)q(,)g(Lemma)e(C.3.1]\).)42 b(W)-8 b(e)29 b(ha)m(v)m(e)g Fs(ad)1959 2268 y Fq(j)1959 2340 y(N)2015 2348 y Fj(t)2047 2312 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))e(=)e(\()p Ft(\000)p Fw(i\))2508 2280 y Fq(j)2544 2312 y Fs(\036)p Fw(\(i)2659 2280 y Fq(j)2695 2312 y Fs(r)2739 2268 y Fq(j)2736 2335 y(t)2775 2312 y Fs(v)s Fw(\).)41 b(This)26 b(is)g(an)i(un)m(b)s(ounded)0 2425 y(op)s(erator,)j(but)f(the)g(remainder)f(terms)h(in)f(the)i(comm)m (utator)h(expansion)d(can)i(b)s(e)e(estimated)i(using)282 2692 y Ft(k)p Fs(\036)p Fw(\(i)442 2655 y Fq(j)479 2692 y Fs(r)523 2648 y Fq(j)520 2715 y(t)559 2692 y Fs(v)s Fw(\)\()p Fs(H)752 2706 y Fr(0)812 2692 y Fw(+)20 b(1\))983 2655 y FF(\000)1048 2628 y Fm(1)p 1048 2640 31 4 v 1048 2681 a(2)1093 2692 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)1325 2706 y Fq(j)1376 2573 y Fp(\022)1437 2577 y(Z)1520 2692 y Fw(\(1)c(+)f Ft(j)5 b Fw(~)-50 b Fs(\033)t Ft(j)1818 2655 y FF(\000)p Fr(1)1912 2692 y Fw(\))p Ft(j)p Fs(r)2013 2706 y Fq(t)2044 2692 y Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))p Ft(jk)p Fs(v)2286 2655 y FF(\003)2327 2692 y Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t Fw(\))p Fs(v)s Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t Fw(\))p Ft(k)2671 2711 y FF(B)r Fr(\()p FF(K)p Fr(\))2833 2692 y Fw(d)5 b(~)-50 b Fs(\033)2938 2573 y Fp(\023)3009 2569 y Fm(1)p 3009 2581 V 3009 2622 a(2)3079 2692 y Ft(\024)25 b Fs(C)7 b(t)3280 2655 y FF(\000)p Fq(\032)3371 2664 y Fm(0)3405 2655 y Fq(\017)3434 2664 y Fm(0)3472 2692 y Fs(;)-3497 b Fw(\(4.2\))0 2931 y(b)m(y)30 b(\(4.1\),)j(and)c(using)g(the)i(fact)g(that)g Fs(H)1392 2945 y Fr(0)1461 2931 y Fw(comm)m(utes)h(with)d Fs(N)2169 2945 y Fq(t)2198 2931 y Fw(.)41 b(W)-8 b(e)32 b(obtain)e(that)1109 3171 y([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(i)p Fs(F)e Fw(\()1487 3110 y Fs(N)1560 3124 y Fq(t)p 1487 3150 103 4 v 1504 3234 a Fs(t)1537 3207 y Fq(\016)1601 3171 y Fw(\)]\()p Fs(H)1772 3185 y Fr(0)1832 3171 y Fw(+)20 b(i\))1984 3134 y FF(\000)p Fr(1)2103 3171 y Ft(2)25 b Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2329 3134 y FF(\000)p Fq(\016)r FF(\000)p Fq(\032)2508 3143 y Fm(0)2543 3134 y Fq(\017)2572 3143 y Fm(0)2610 3171 y Fw(\))p Fs(:)-2670 b Fw(\(4.3\))0 3391 y(This)29 b(implies)e(the)k(lemma)f(b)m(y)g(the)g(standard)g (argumen)m(t,)h(using)e(the)i(prop)s(erties)d(of)42 b(~)-56 b Fs(\037)p Fw(.)40 b Fh(2)0 3645 y Fi(Prop)s(osition)c(4.2)46 b Fu(Assume)33 b(\(I'0\),)g(\(I'1\))g(and)h(let)e Fs(\016)d(>)c Fw(\(1)c(+)f Fs(\017)2242 3659 y Fr(0)2282 3645 y Fw(\))2317 3612 y FF(\000)p Fr(1)2411 3645 y Fu(.)42 b(Then)141 3758 y(i\))33 b(for)g Fs(G)25 b Ft(2)g Fs(C)639 3725 y FF(1)632 3781 y Fr(0)713 3758 y Fw(\(]0)p Fs(;)15 b Fw(+)p Ft(1)p Fw([\))p Fu(,)34 b Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)1382 3725 y FF(1)1375 3781 y Fr(0)1456 3758 y Fw(\(I)-15 b(R\))33 b Fu(we)g(have:)864 3889 y Fp(Z)947 3915 y Fr(+)p FF(1)910 4078 y Fr(1)1092 4004 y Ft(k)p Fs(G)p Fw(\()1254 3942 y Fs(N)1327 3956 y Fq(t)p 1254 3983 V 1270 4066 a Fs(t)1303 4040 y Fq(\016)1367 4004 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)e)1652 3966 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1820 4004 y Fs(u)p Ft(k)1917 3966 y Fr(2)1967 3942 y Fw(d)p Fs(t)p 1967 3983 84 4 v 1992 4066 a(t)2085 4004 y Ft(\024)25 b Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(u)p Ft(k)2395 3966 y Fr(2)2435 4004 y Fs(;)41 b(u)25 b Ft(2)g(D)s Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\))p Fs(:)0 4240 y Fu(ii\))32 b(for)i Fs(F)k Ft(2)25 b Fs(C)525 4207 y FF(1)518 4263 y Fr(0)599 4240 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fs(;)15 b Fw(0)26 b Ft(\024)f Fs(F)39 b Ft(\024)25 b Fw(1)p Fu(,)33 b Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))25 b Ft(\021)g Fw(1)33 b Fu(ne)-5 b(ar)34 b Fw(0)1320 4480 y(s-)63 b(lim)1401 4535 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1638 4480 y Fw(e)1678 4443 y Fr(i)p Fq(tH)1791 4480 y Fs(F)13 b Fw(\()1907 4419 y Fs(N)1980 4433 y Fq(t)p 1907 4459 103 4 v 1923 4542 a Fs(t)1956 4516 y Fq(\016)2020 4480 y Fw(\)e)2095 4443 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2288 4480 y Fw(=)25 b(1)-20 b(l)o Fs(:)0 4885 y Fi(Pro)s(of.)74 b Fw(W)-8 b(e)39 b(pic)m(k)f(a)g(function)f Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))39 b Ft(2)e Fs(C)1570 4852 y FF(1)1644 4885 y Fw(\(I)-15 b(R\),)41 b(with)c(supp)13 b Fs(F)51 b Ft(\032)p Fw(]0)p Fs(;)15 b Fw(+)p Ft(1)p Fw([,)41 b Fs(F)2896 4852 y FF(0)2920 4885 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))d(=)g Fs(G)3262 4852 y Fr(2)3301 4885 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))h(for)e Fs(G)h Ft(2)0 4998 y Fs(C)72 4965 y FF(1)65 5021 y Fr(0)146 4998 y Fw(\(]0)p Fs(;)15 b Fw(+)p Ft(1)p Fw([\).)43 b(F)-8 b(or)31 b Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)984 4965 y FF(1)977 5021 y Fr(0)1058 4998 y Fw(\(I)-15 b(R\),)31 b(w)m(e)g(set)1389 5239 y(\010\()p Fs(t)p Fw(\))26 b(=)f Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()2006 5177 y Fs(N)2079 5191 y Fq(t)p 2006 5218 V 2023 5301 a Fs(t)2056 5275 y Fq(\016)2119 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y(Plugging)k(\(4.5\))j(in)m(to)f(\(4.4\),)h(w) m(e)f(obtain)924 2520 y Fi(D)p Fw(\010\()p Fs(t)p Fw(\))26 b Ft(\024)f(\000)1376 2458 y Fs(\016)p 1376 2499 44 4 v 1382 2582 a(t)1429 2520 y(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)\()p Fs(\025F)1798 2482 y FF(0)1823 2520 y Fw(\)\()1903 2458 y Fs(N)1976 2472 y Fq(t)p 1903 2499 103 4 v 1919 2582 a Fs(t)1952 2556 y Fq(\016)2016 2520 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)g Fw(\))21 b(+)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2513 2482 y FF(\000)p Fq(\016)r FF(\000)p Fq(\032)2692 2491 y Fm(0)2727 2482 y Fq(\017)2756 2491 y Fm(0)2795 2520 y Fw(\))p Fs(:)0 2734 y Fw(W)-8 b(e)32 b(pic)m(k)d Fs(\016)h(>)25 b Fw(\(1)c(+)e Fs(\017)742 2748 y Fr(0)782 2734 y Fw(\))817 2701 y FF(\000)p Fr(1)942 2734 y Fw(so)30 b(that)h Fs(\016)24 b Fw(+)c Fs(\032)1452 2748 y Fr(0)1492 2734 y Fs(\017)1529 2748 y Fr(0)1593 2734 y Fs(>)25 b Fw(1.)41 b(By)31 b(Prop.)40 b(A.2)31 b(this)f(pro)m(v)m(es)h Fu(i\))p Fw(.)141 2847 y(let)44 b(us)g(no)m(w)g(pro)m(v)m(e)h Fu(ii\))p Fw(.)82 b(Let)45 b Fs(u)k Fw(=)f Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(v)s Fw(,)49 b Fs(\037)f Ft(2)g Fs(C)2093 2814 y FF(1)2086 2870 y Fr(0)2167 2847 y Fw(\(I)-15 b(R\),)48 b Fs(v)k Ft(2)c(D)s Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\).)83 b(By)44 b(Lemma)h(3.9)g Fs(u)3641 2861 y Fq(t)3719 2847 y Ft(2)0 2960 y(D)s Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))21 b Ft(\\)e(D)s Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\).)41 b(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e)1010 3138 y Fs(@)1058 3152 y Fq(t)1088 3138 y Fw(\()p Fs(u)1175 3152 y Fq(t)1205 3138 y Fs(;)15 b(N)1318 3152 y Fq(t)1348 3138 y Fs(u)1400 3152 y Fq(t)1430 3138 y Fw(\))25 b(=)g(\()p Fs(u)1673 3152 y Fq(t)1703 3138 y Fs(;)15 b Fw(d\000\()p Fs(d)1933 3152 y Fq(t)1963 3138 y Fw(\))p Fs(u)2050 3152 y Fq(t)2080 3138 y Fw(\))21 b Ft(\000)f Fw(\()p Fs(u)2314 3152 y Fq(t)2344 3138 y Fs(;)15 b(\036)p Fw(\(i)p Fs(r)2540 3152 y Fq(t)2570 3138 y Fs(v)s Fw(\))p Fs(u)2704 3152 y Fq(t)2734 3138 y Fw(\))1010 3338 y Ft(\024)25 b Fs(C)1171 3352 y Fr(0)1210 3338 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(H)j Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))1569 3275 y Fm(1)p 1570 3287 31 4 v 1570 3328 a(2)1614 3338 y Fs(u)p Ft(k)1711 3305 y Fr(2)1751 3338 y Ft(k)p Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(r)1952 3352 y Fq(t)1982 3338 y Fs(v)s Fw(\)\()p Fs(H)2175 3352 y Fr(0)2235 3338 y Fw(+)g(1\))2406 3302 y FF(\000)2471 3275 y Fm(1)p 2472 3287 V 2472 3328 a(2)2516 3338 y Ft(k)1010 3538 y(\024)25 b Fs(C)1171 3552 y Fr(0)1210 3538 y Fs(t)1243 3505 y FF(\000)p Fq(\032)1334 3514 y Fm(0)1369 3505 y Fq(\017)1398 3514 y Fm(0)1436 3538 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(H)j Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))1795 3475 y Fm(1)p 1795 3487 V 1795 3528 a(2)1840 3538 y Fs(u)p Ft(k)1937 3505 y Fr(2)1977 3538 y Fs(;)0 3716 y Fw(using)29 b(\(4.2\))j(and)e(the)g(fact)i(that)f Fs(d)1212 3730 y Fq(t)1267 3716 y Ft(\024)25 b Fw(0.)41 b(In)m(tegrating)31 b(from)f(1)h(to)g Fs(t)f Fw(w)m(e)h(obtain)794 3912 y(\()p Fs(u)881 3926 y Fq(t)911 3912 y Fs(;)15 b(N)1024 3926 y Fq(t)1054 3912 y Fs(u)1106 3926 y Fq(t)1135 3912 y Fw(\))26 b Ft(\024)f Fs(C)1357 3926 y Fr(0)1396 3912 y Fs(t)1429 3874 y Fr(1)p FF(\000)p Fq(\032)1555 3883 y Fm(0)1590 3874 y Fq(\017)1619 3883 y Fm(0)1657 3912 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(H)j Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2016 3847 y Fm(1)p 2017 3859 V 2017 3900 a(2)2061 3912 y Fs(u)p Ft(k)2158 3874 y Fr(2)2218 3912 y Fw(+)g Fs(C)2374 3926 y Fr(1)2414 3912 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(N)31 b Fw(+)19 b(1\))2778 3847 y Fm(1)p 2779 3859 V 2779 3900 a(2)2824 3912 y Fs(u)p Ft(k)2921 3874 y Fr(2)2961 3912 y Fs(:)-2986 b Fw(\(4.6\))0 4093 y(Hence)31 b(for)f Fs(\016)f(>)c Fw(\(1)c(+)f Fs(\017)803 4107 y Fr(0)843 4093 y Fw(\))878 4060 y FF(\000)p Fr(1)972 4093 y Fw(,)31 b Fs(F)38 b Ft(2)25 b Fs(C)1282 4060 y FF(1)1356 4093 y Fw(\(]0)p Fs(;)15 b Fw(+)p Ft(1)p Fw([\),)33 b Fs(F)43 b Fw(b)s(ounded,)28 b(w)m(e)j(ha)m(v)m(e:)1108 4315 y(\()p Fs(u)1195 4329 y Fq(t)1225 4315 y Fs(;)15 b(F)e Fw(\()1381 4254 y Fs(N)1454 4268 y Fq(t)p 1381 4294 103 4 v 1398 4378 a Fs(t)1431 4351 y Fq(\016)1494 4315 y Fw(\))p Fs(u)1581 4329 y Fq(t)1611 4315 y Fw(\))26 b Ft(\024)f Fs(C)1833 4329 y Fr(1)1872 4315 y Fs(t)1905 4278 y FF(\000)p Fq(\016)1998 4315 y Fw(\()p Fs(u)2085 4329 y Fq(t)2115 4315 y Fs(;)15 b(N)2228 4329 y Fq(t)2258 4315 y Fs(u)2310 4329 y Fq(t)2340 4315 y Fw(\))25 b Ft(2)g Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(:)0 4522 y Fw(By)31 b(a)f(densit)m(y)g(argumen)m (t)h(this)e(pro)m(v)m(es)i Fu(ii\))p Fw(.)41 b Fh(2)141 4677 y Fw(Let)31 b(us)f(state)h(the)g(follo)m(wing)e(corollary)h(of)g (Prop.)40 b(4.2,)32 b(whic)m(h)d(will)f(not)i(b)s(e)g(used)g(in)f(the)h (sequel:)0 4845 y Fi(Prop)s(osition)36 b(4.3)46 b Fu(Assume)29 b(\(I'0\),)i(\(I'1\))e(and)h(let)g Fs(\016)f(>)c Fw(\(1)13 b(+)g Fs(\017)2211 4859 y Fr(0)2250 4845 y Fw(\))2285 4812 y FF(\000)p Fr(1)2379 4845 y Fu(.)41 b(Then)29 b(for)h Fs(F)38 b Ft(2)25 b Fs(C)3077 4812 y FF(1)3070 4868 y Fr(0)3152 4845 y Fw(\(I)-15 b(R)o(\))p Fs(;)15 b Fw(0)27 b Ft(\024)e Fs(F)38 b Ft(\024)25 b Fw(1)p Fu(,)0 4958 y Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))26 b Ft(\021)f Fw(1)33 b Fu(ne)-5 b(ar)33 b Fw(0)p Fu(:)1343 5113 y Fw(s-)62 b(lim)1424 5167 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1661 5113 y Fw(e)1701 5075 y Fr(i)p Fq(tH)1813 5113 y Fs(F)13 b Fw(\()1929 5051 y Fs(N)p 1929 5092 83 4 v 1935 5175 a(t)1968 5149 y Fq(\016)2023 5113 y Fw(\)e)2098 5075 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(H)2265 5113 y Fw(=)25 b(1)-20 b(l)p Fs(:)1844 5517 y Fw(24)p eop %%Page: 25 25 25 24 bop 0 162 a Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(As)31 b(ab)s(o)m(v)m(e)g(w)m(e)g (write)f(for)g Fs(u)25 b Ft(2)g(D)s Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))21 b Ft(\\)e(D)s Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\):)1073 362 y(\()p Fs(u)1160 376 y Fq(t)1190 362 y Fs(;)15 b(N)10 b(u)1365 376 y Fq(t)1395 362 y Fw(\))25 b(=)g(\()p Fs(u)1638 376 y Fq(t)1668 362 y Fs(;)15 b(N)1781 376 y Fq(t)1811 362 y Fs(u)1863 376 y Fq(t)1893 362 y Fw(\))21 b(+)f(\()p Fs(u)2127 376 y Fq(t)2157 362 y Fs(;)15 b Fw(\()p Fs(N)31 b Ft(\000)19 b Fs(N)2499 376 y Fq(t)2529 362 y Fw(\))p Fs(u)2616 376 y Fq(t)2646 362 y Fw(\))p Fs(:)0 562 y Fw(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e)1145 675 y Fs(N)e Ft(\000)20 b Fs(N)1412 689 y Fq(t)1467 675 y Fw(=)25 b(d\000\(\(1)20 b Ft(\000)g Fs(r)1938 689 y Fq(t)1968 675 y Fw(\)\))26 b Ft(\024)f Fs(t)2193 637 y Fq(\032)2229 646 y Fm(0)2267 675 y Fw(\()p Fs(H)2378 689 y Fr(0)2438 675 y Fw(+)20 b(1\))p Fs(:)-2634 b Fw(\(4.7\))0 839 y(Since)29 b Fs(\032)284 853 y Fr(0)349 839 y Fw(=)c(1)c Ft(\000)f Fs(\032)649 853 y Fr(0)688 839 y Fs(\017)725 853 y Fr(0)764 839 y Fw(,)31 b(w)m(e)g(deduce)f(from)g(\(4.6\))i(that)820 1054 y(\()p Fs(u)907 1068 y Fq(t)937 1054 y Fs(;)15 b(N)10 b(u)1112 1068 y Fq(t)1142 1054 y Fw(\))26 b Ft(\024)f Fs(C)1364 1068 y Fr(0)1403 1054 y Fs(t)1436 1016 y Fr(1)p FF(\000)p Fq(\032)1562 1025 y Fm(0)1597 1016 y Fq(\017)1626 1025 y Fm(0)1664 1054 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(H)j Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2023 989 y Fm(1)p 2023 1001 31 4 v 2023 1042 a(2)2068 1054 y Fs(u)p Ft(k)2165 1016 y Fr(2)2225 1054 y Fw(+)g Fs(C)7 b Ft(k)p Fw(\()p Fs(N)30 b Fw(+)20 b(1\))2752 989 y Fm(1)p 2753 1001 V 2753 1042 a(2)2797 1054 y Fs(u)p Ft(k)2894 1016 y Fr(2)2934 1054 y Fs(:)-2959 b Fw(\(4.8\))0 1254 y(Then)29 b(w)m(e)i(argue)g(as)g(in)e(the)h(pro)s (of)g(of)g(Prop.)40 b(4.2)32 b Fu(ii\))p Fw(.)40 b Fh(2)0 1545 y Fv(4.2)112 b(Case)38 b(of)g Ff(H)740 1508 y Fr(e)0 1716 y Fw(The)c(results)g(of)h(Subsect.)54 b(4.1)36 b(extend)f (trivially)d(to)j(the)g(case)h(of)f(the)g(expanded)f(Hamiltonian)g Fs(H)3539 1683 y Fr(e)3574 1716 y Fw(.)54 b(W)-8 b(e)0 1829 y(set)31 b(again)1350 1942 y Fs(r)1391 1956 y Fq(t)1446 1942 y Fw(=)25 b Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(t)1665 1905 y Fq(\032)1701 1914 y Fm(0)1739 1942 y Fs(\033)s Fw(\))p Fs(;)37 b(N)1974 1905 y Fr(e)1964 1965 y Fq(t)2034 1942 y Fw(:=)25 b(d\000\()p Fs(r)2339 1956 y Fq(t)2369 1942 y Fw(\))p Fs(:)-2429 b Fw(\(4.9\))0 2107 y(W)-8 b(e)32 b(observ)m(e)f(that)g(if)f Ft(W)38 b Fw(is)30 b(the)g(unitary)g(map)g(in)m(tro)s(duced)f(in)g (Subsect)i(3.3)g(then,)g(using)e(the)i(fact)h(that)f Fs(r)3750 2121 y Fq(t)0 2220 y Fw(is)e(ev)m(en,)j(w)m(e)f(ha)m(v)m(e) 1265 2325 y Ft(W)1362 2292 y FF(\003)1402 2325 y Fs(H)1485 2292 y Fr(e)1520 2325 y Ft(W)i Fw(=)25 b Fs(H)i Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)19 b Ft(\000)h Fw(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fw(d\000\()5 b(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))p Fs(;)1265 2508 y Ft(W)1362 2475 y FF(\003)1402 2508 y Fs(L)p Ft(W)32 b Fw(=)25 b Fs(H)i Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)20 b(+)g(1)-20 b(l)19 b Ft(\012)h Fw(d\000\()5 b(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))p Fs(;)1265 2692 y Ft(W)1362 2659 y FF(\003)1402 2692 y Fs(N)1485 2659 y Fq(e)1475 2715 y(t)1522 2692 y Ft(W)32 b Fw(=)25 b Fs(N)1813 2706 y Fq(t)1863 2692 y Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)20 b(+)f(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fs(N)2350 2706 y Fq(t)2380 2692 y Fs(:)0 2849 y Fw(This)35 b(allo)m(ws)h(to)i (deduce)f(directly)e(the)j(results)d(of)i(this)f(subsection)g(from)h (those)g(of)g(Subsect.)60 b(4.1.)i(The)0 2962 y(details)29 b(are)i(left)f(to)h(the)g(reader.)141 3075 y(The)f(analog)h(of)f(Lemma) h(4.1)g(is:)0 3259 y Fi(Lemma)i(4.4)46 b Fu(Assume)32 b(\(I'0\),)h(\(I'1\).)43 b(L)-5 b(et)33 b Fs(\037;)15 b(\037)1698 3273 y Fr(1)1762 3259 y Ft(2)25 b Fs(C)1920 3226 y FF(1)1913 3282 y Fr(0)1995 3259 y Fw(\(I)-15 b(R)o(\))p Fu(,)33 b Fs(F)39 b Ft(2)24 b Fs(S)2453 3226 y Fr(0)2493 3259 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fu(.)42 b(Then)849 3501 y Fw([)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)1049 3463 y Fr(e)1085 3501 y Fw(\))p Fs(;)15 b(F)e Fw(\()1276 3439 y Fs(N)1359 3406 y Fr(e)1349 3462 y Fq(t)p 1276 3480 119 4 v 1301 3563 a Fs(t)1334 3537 y Fq(\016)1406 3501 y Fw(\)])p Fs(\037)1523 3515 y Fr(1)1563 3501 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(;)36 b Fw([)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(;)15 b(F)e Fw(\()2126 3439 y Fs(N)2209 3406 y Fr(e)2199 3462 y Fq(t)p 2126 3480 V 2151 3563 a Fs(t)2184 3537 y Fq(\016)2256 3501 y Fw(\)])46 b Ft(2)25 b Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2588 3463 y FF(\000)p Fq(\016)r FF(\000)p Fq(\032)2767 3472 y Fm(0)2802 3463 y Fq(\017)2831 3472 y Fm(0)2869 3501 y Fw(\))p Fs(:)0 3908 y Fi(Prop)s(osition)36 b(4.5)46 b Fu(Assume)33 b(\(I'0\),)g (\(I'1\))g(and)h(let)e Fs(\016)d(>)c Fw(\(1)c(+)f Fs(\017)2242 3922 y Fr(0)2282 3908 y Fw(\))2317 3875 y FF(\000)p Fr(1)2411 3908 y Fu(.)42 b(Then)141 4021 y(i\))33 b(for)g Fs(G)25 b Ft(2)g Fs(C)639 3988 y FF(1)632 4044 y Fr(0)713 4021 y Fw(\(]0)p Fs(;)15 b Fw(+)p Ft(1)p Fw([\))p Fu(,)34 b Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)1382 3988 y FF(1)1375 4044 y Fr(0)1456 4021 y Fw(\(I)-15 b(R\))33 b Fu(we)g(have:)836 4153 y Fp(Z)919 4180 y Fr(+)p FF(1)882 4342 y Fr(1)1063 4268 y Ft(k)p Fs(G)p Fw(\()1225 4207 y Fs(N)1308 4174 y Fr(e)1298 4229 y Fq(t)p 1225 4247 V 1250 4331 a Fs(t)1283 4304 y Fq(\016)1354 4268 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)1618 4231 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1781 4207 y Fm(e)1818 4268 y Fs(u)p Ft(k)1915 4231 y Fr(2)1965 4207 y Fw(d)p Fs(t)p 1965 4247 84 4 v 1990 4331 a(t)2083 4268 y Ft(\024)25 b Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(u)p Ft(k)2393 4231 y Fr(2)2433 4268 y Fs(;)36 b(u)25 b Ft(2)g(D)s Fw(\()p Fs(N)2848 4231 y Fr(e)2883 4268 y Fw(\))p Fs(:)0 4505 y Fu(ii\))32 b(for)i Fs(F)k Ft(2)25 b Fs(C)525 4472 y FF(1)518 4528 y Fr(0)599 4505 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fs(;)15 b Fw(0)26 b Ft(\024)f Fs(F)39 b Ft(\024)25 b Fw(1)p Fu(,)33 b Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))25 b Ft(\021)g Fw(1)33 b Fu(ne)-5 b(ar)34 b Fw(0)1281 4747 y(s-)63 b(lim)1362 4802 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1599 4747 y Fw(e)1639 4710 y Fr(i)p Fq(tH)1747 4686 y Fm(e)1783 4747 y Fs(F)13 b Fw(\()1899 4686 y Fs(N)1982 4653 y Fr(e)1972 4708 y Fq(t)p 1899 4726 119 4 v 1923 4810 a Fs(t)1956 4783 y Fq(\016)2028 4747 y Fw(\)e)2103 4710 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2266 4686 y Fm(e)2327 4747 y Fw(=)25 b(1)-20 b(l)p Fs(:)0 5155 y Fw(The)38 b(follo)m(wing)e(lemma)i(will)d(b)s(e)i(used)h (in)e(later)j(sections)f(to)g(con)m(trol)h(the)f(n)m(um)m(b)s(er)f(op)s (erator)h(along)g(the)0 5268 y(ev)m(olution.)1844 5517 y(25)p eop %%Page: 26 26 26 25 bop 0 162 a Fi(Lemma)33 b(4.6)46 b Fu(L)-5 b(et)26 b Fs(N)783 129 y Fr(e)773 185 y Fq(t)844 162 y Fu(b)-5 b(e)25 b(the)h(op)-5 b(er)g(ator)29 b(intr)-5 b(o)g(duc)g(e)g(d)28 b(ab)-5 b(ove.)40 b(L)-5 b(et)26 b Fs(F)38 b Ft(2)25 b Fs(C)2554 129 y FF(1)2547 185 y Fr(0)2628 162 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fu(.)40 b(Then)26 b(for)g Fs(\016)j(>)c Fw(\(1)5 b(+)g Fs(\017)3582 176 y Fr(0)3622 162 y Fw(\))3657 129 y FF(\000)p Fr(1)3752 162 y Fu(:)1013 408 y Fw(\()p Fs(N)1131 370 y Fr(e)1167 408 y Fw(\))1202 370 y Fq(\013)1252 408 y Fs(F)13 b Fw(\()1368 346 y Fs(N)1451 313 y Fr(e)1441 369 y Fq(t)p 1368 387 119 4 v 1392 470 a Fs(t)1425 444 y Fq(\016)1497 408 y Fw(\)\()p Fs(L)20 b Fw(+)g Fs(b)p Fw(\))1814 370 y FF(\000)p Fq(\013)1944 408 y Ft(2)25 b Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2170 370 y Fq(\016)r(\013)2253 408 y Fw(\))p Fs(;)36 b Fw(0)26 b Ft(\024)f Fs(\013)h Ft(\024)f Fw(1)p Fs(:)0 798 y Fi(Pro)s(of.)46 b Fw(By)28 b(in)m(terp)s(olation)e(it)i(su\016ces)f(to)i(consider)d(the)i(case)h Fs(\013)d Fw(=)f(1.)40 b(W)-8 b(e)29 b(ha)m(v)m(e)g Fs(N)2939 765 y Fr(e)2999 798 y Fw(=)c Fs(N)3178 765 y Fr(e)3168 820 y Fq(t)3229 798 y Fw(+)15 b(d\000\(\(1)g Ft(\000)g Fs(r)3680 812 y Fq(t)3709 798 y Fw(\)\))0 911 y(and)28 b(as)h(in)e(\(4.7\),)k(d\000\(1)16 b Ft(\000)h Fs(r)963 925 y Fq(t)992 911 y Fw(\))1027 878 y Fr(2)1092 911 y Ft(\024)25 b Fs(t)1221 878 y Fr(2)p Fq(\032)1292 887 y Fm(0)1331 911 y Fw(\()p Fs(L)1428 925 y Fr(0)1485 911 y Fw(+)16 b Fs(b)p Fw(\))1646 878 y 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b(an)g(exp)s(onen)m(t) h Fs(\016)e(>)c Fw(0)31 b(and)e(a)i(constan)m(t)h Fs(R)26 b Ft(\025)f Fw(1.)0 3507 y Fi(Lemma)33 b(4.7)46 b Fu(Assume)32 b(\(I'0\),)h(\(I'1\).)43 b(Then)33 b(for)g Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)2009 3474 y FF(1)2002 3530 y Fr(0)2083 3507 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fu(:)1403 3711 y Fw([)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(\000\()p Fs(g)1816 3673 y Fq(t)1848 3711 y Fw(\)])26 b Ft(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2160 3673 y FF(\000)p Fq(\016)r(\017)2277 3682 y Fm(0)2316 3711 y Fw(\))p Fs(:)0 4101 y Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(W)-8 b(e)32 b(write)555 4322 y([)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(\000\()p Fs(g)968 4284 y Fq(t)999 4322 y Fw(\)])26 b(=)1229 4260 y(i)p 1191 4301 101 4 v 1191 4384 a(2)p Fs(\031)1317 4207 y Fp(Z)p 1383 4395 4 41 v 188 x Fr(C)1433 4322 y Fs(@)p 1493 4297 36 4 v 1493 4336 a Fq(z)1544 4322 y Fw(~)-56 b Fs(\037)p Fw(\()p Fs(z)t Fw(\)\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))2017 4284 y FF(\000)p Fr(1)2112 4322 y Fw([)p Fs(H)r(;)15 b 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Ft(p)p 2332 4806 46 4 v 75 x Fw(2)2388 4809 y(\000\()p Fs(g)2526 4772 y Fq(t)2556 4809 y Fw(\))p Fs(a)p Fw(\(\(1)h Ft(\000)e Fs(g)2913 4772 y Fq(t)2943 4809 y Fw(\))p Fs(v)s Fw(\))p Fs(:)0 5055 y Fw(By)31 b(Prop.)40 b(A.1,)31 b(w)m(e)g(obtain:)770 5268 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(H)926 5282 y Fr(0)986 5268 y Fw(+)20 b(1\))1157 5230 y FF(\000)1222 5203 y Fm(1)p 1222 5215 31 4 v 1222 5256 a(2)1267 5268 y Fw([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(\000\()p Fs(g)1641 5230 y Fq(t)1673 5268 y Fw(\)]\()p Fs(H)1844 5282 y Fr(0)1904 5268 y Fw(+)20 b(1\))2075 5230 y FF(\000)2140 5203 y Fm(1)p 2141 5215 V 2141 5256 a(2)2211 5268 y Ft(\024)25 b Fs(C)7 b Ft(k)p Fw(\(1)21 b Ft(\000)f Fs(g)2662 5230 y Fq(t)2692 5268 y Fw(\))5 b(~)-50 b Fs(\033)2782 5230 y FF(\000)2847 5203 y Fm(1)p 2847 5215 V 2847 5256 a(2)2892 5268 y Fs(v)s Ft(k)p Fs(;)-3009 b Fw(\(4.12\))1844 5517 y(26)p eop %%Page: 27 27 27 26 bop 0 162 a Fw(and)30 b(hence)452 367 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))808 329 y FF(\000)p Fr(1)903 367 y Fw([)p Fs(H)r(;)15 b Fw(\000\()p Fs(g)1184 329 y Fq(t)1215 367 y Fw(\)]\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))1586 329 y FF(\000)p Fr(1)1681 367 y Ft(k)25 b(\024)g Fs(C)7 b Ft(k)p Fw(\(1)21 b Ft(\000)f Fs(g)2202 329 y Fq(t)2233 367 y Fw(\))5 b(~)-50 b Fs(\033)2323 329 y FF(\000)2388 302 y Fm(1)p 2388 314 31 4 v 2388 355 a(2)2432 367 y Fs(v)s Ft(kj)p Fw(Im)q Fs(z)t Ft(j)2730 329 y FF(\000)p Fr(2)2825 367 y Fs(;)36 b(z)29 b Ft(2)c Fw(supp)f(~)-56 b Fs(\037:)0 571 y Fw(By)31 b(\(4.1\))h(w)m(e)f(ha)m(v) m(e)1257 699 y Ft(k)p Fw(\(1)21 b Ft(\000)f Fs(g)1540 661 y Fq(t)1570 699 y Fw(\))5 b(~)-50 b Fs(\033)1660 661 y FF(\000)1725 634 y Fm(1)p 1726 646 V 1726 687 a(2)1770 699 y Fs(v)s Ft(k)26 b(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(R)2151 661 y FF(\000)p Fq(\017)2235 670 y Fm(0)2273 699 y Fs(t)2306 661 y FF(\000)p Fq(\016)r(\017)2423 670 y Fm(0)2462 699 y Fw(\))p Fs(:)0 865 y Fw(This)k(implies)e(the)k(lemma.)40 b Fh(2)0 1128 y Fi(Prop)s(osition)c(4.8)46 b Fu(Assume)33 b(hyp)-5 b(otheses)35 b(\(I'0\),)e(\(I'1\))g(and)h Fs(\016)s(\017)2247 1142 y Fr(0)2312 1128 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(.)42 b(Then)33 b(for)g Fs(\037)26 b Ft(2)e Fs(C)3145 1095 y FF(1)3138 1151 y Fr(0)3220 1128 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fu(:)696 1379 y Fs(i)p Fw(\))798 1264 y Fp(Z)881 1291 y Fr(+)p FF(1)844 1453 y Fr(1)1026 1379 y Ft(k)p Fw(d\000\()p Fs(g)1260 1342 y Fq(t)1290 1379 y Fs(;)15 b Fi(d)1388 1393 y Fr(0)1428 1379 y Fs(g)1474 1342 y Fq(t)1505 1379 y Fw(\))1550 1315 y Fm(1)p 1550 1327 V 1550 1368 a(2)1594 1379 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)e)1844 1342 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2013 1379 y Fs(u)p Ft(k)2110 1342 y Fr(2)2150 1379 y Fw(d)p Fs(t)24 b Ft(\024)h Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(u)p Ft(k)2568 1342 y Fr(2)2608 1379 y Fs(;)36 b(u)25 b Ft(2)g(D)s Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\))p Fs(;)1008 1636 y(ii)p Fw(\))21 b(s-)63 b(lim)1207 1690 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1444 1636 y Fw(e)1484 1598 y Fr(i)p Fq(tH)1597 1636 y Fw(\000\()p Fs(g)1735 1598 y Fq(t)1765 1636 y Fw(\)e)1840 1598 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2033 1636 y Fw(=:)25 b(\000)2211 1598 y Fr(+)2270 1636 y Fw(\()p Fs(g)s(;)15 b(R)q Fw(\))34 b Fu(exists)q Fs(;)1460 1845 y(iii)p Fw(\))22 b([\000)1692 1808 y Fr(+)1751 1845 y Fw(\()p Fs(g)s(;)15 b(R)q Fw(\))p Fs(;)g(H)7 b Fw(])27 b(=)e(0)p Fs(:)0 2225 y Fi(Pro)s(of.)72 b Fw(Let)37 b(\010\()p Fs(t)p Fw(\))h(=)e Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)\000\()p Fs(g)1185 2192 y Fq(t)1216 2225 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)g Fw(\).)63 b(By)38 b(Lemma)f(3.9)h Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)e)2433 2192 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2639 2225 y Fw(preserv)m(es)37 b Ft(D)s Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\))38 b(and)f(for)g Fs(u)g Ft(2)0 2338 y(D)s Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\))31 b(the)f(function)1483 2451 y(I)-15 b(R)25 b Ft(3)g Fs(t)g Ft(7!)g Fw(\()p Fs(u)1940 2465 y Fq(t)1970 2451 y Fs(;)15 b Fw(\010\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)2231 2465 y Fq(t)2261 2451 y Fw(\))0 2617 y(is)29 b Fs(C)163 2585 y Fr(1)233 2617 y Fw(with)g(deriv)-5 b(ativ)m(e)30 b(\()p Fs(u)944 2631 y Fq(t)974 2617 y Fs(;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fi(D)p Fw(\000\()p Fs(g)1442 2585 y Fq(t)1473 2617 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)g Fw(\))p Fs(u)1770 2631 y Fq(t)1801 2617 y Fw(\),)31 b(where)f(the)g(Heisen)m(b)s(erg)g(deriv)-5 b(ativ)m(e)30 b Fi(D)p Fw(\000\()p Fs(g)3409 2585 y Fq(t)3440 2617 y Fw(\))g(equals)1139 2822 y Fi(D)p Fw(\000\()p Fs(g)1357 2784 y Fq(t)1387 2822 y Fw(\))c(=)f(d\000\()p Fs(g)1733 2784 y Fq(t)1763 2822 y Fs(;)15 b Fi(d)1861 2836 y Fr(0)1901 2822 y Fs(g)1947 2784 y Fq(t)1977 2822 y Fw(\))21 b(+)e([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))p Fs(;)c Fw(i\000\()p Fs(g)2523 2784 y Fq(t)2555 2822 y Fw(\)])p Fs(:)0 3026 y Fw(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e)1313 3139 y Fi(d)1371 3153 y Fr(0)1411 3139 y Fs(g)1457 3101 y Fq(t)1512 3139 y Fw(=)25 b Fs(R)q(\016)s(t)1754 3101 y Fq(\016)r FF(\000)p Fr(1)1888 3139 y Fw(~)-50 b Fs(\033)s(g)1984 3101 y FF(0)2008 3139 y Fw(\()p Fs(t)2076 3101 y Fq(\016)2114 3139 y Fs(R)6 b Fw(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))26 b Ft(\025)e Fw(0)p Fs(;)0 3306 y Fw(and)30 b(hence)g(d\000\()p Fs(g)618 3273 y Fq(t)648 3306 y Fs(;)15 b Fi(d)746 3320 y Fr(0)786 3306 y Fs(g)832 3273 y Fq(t)862 3306 y Fw(\))26 b Ft(\025)f Fw(0.)41 b(Next)31 b(b)m(y)g(\(4.12\),)h(w)m(e)f(ha)m(v)m(e)1199 3510 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)[)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(i\000\()p Fs(g)1809 3472 y Fq(t)1841 3510 y Fw(\)])p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))27 b Ft(2)e Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2364 3472 y FF(\000)p Fq(\016)r(\017)2481 3481 y Fm(0)2520 3510 y Fw(\))p Fs(:)0 3714 y Fw(Hence)31 b(if)f Fs(\016)s(\017)434 3728 y Fr(0)499 3714 y Fs(>)25 b Fw(1)31 b(w)m(e)g(obtain)e Fu(i\))i Fw(b)m(y)f(Prop.)40 b(A.2)31 b(with)e Ft(D)f Fw(=)d Ft(D)s Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\).)141 3827 y(T)-8 b(o)31 b(pro)m(v)m(e)g Fu(ii\))f Fw(w)m(e)h(write)f(for)g Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)1389 3794 y FF(1)1382 3850 y Fr(0)1463 3827 y Fw(\(I)-15 b(R\))727 4031 y(e)767 3994 y Fr(i)p Fq(tH)880 4031 y Fw(\000\()p Fs(g)1018 3994 y Fq(t)1048 4031 y Fw(\)e)1123 3994 y FF(\000)p Fq(itH)1296 4031 y Fs(\037)1353 3994 y Fr(2)1392 4031 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(u)26 b Fw(=)f(e)1759 3994 y Fr(i)p Fq(tH)1871 4031 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)\000\()p Fs(g)2219 3994 y Fq(t)2250 4031 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)g Fw(\)e)2535 3994 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2704 4031 y Fs(u)20 b Fw(+)g Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(;)0 4236 y Fw(b)m(y)30 b(Lemma)h(4.7)g(and)f (argue)h(b)m(y)f(densit)m(y)-8 b(.)40 b Fu(iii\))31 b Fw(follo)m(ws)e(similarly)e(from)j(Lemma)g(4.7.)42 b Fh(2)0 4498 y Fi(Theorem)69 b(4.9)46 b Fu(Assume)32 b(hyp)-5 b(otheses)35 b(\(I'0\),)e(\(I'1\))h(and)f Fs(\016)s(\017)2160 4512 y Fr(0)2226 4498 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(.)42 b(Then)33 b Fw(\000)2731 4465 y Fr(+)2790 4498 y Fw(\()p Fs(g)s(;)15 b Fw(1\))27 b(=)e(1)-20 b(l)p Fu(,)32 b(ie:)1085 4702 y Fw(e)1125 4665 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1293 4702 y Fs(u)25 b Fw(=)g(\000\()p Fs(g)s Fw(\()p Fs(t)1672 4665 y Fq(\016)1716 4702 y Fw(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\)\)e)1876 4665 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2044 4702 y Fs(u)21 b Fw(+)f Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(;)36 b(u)26 b Ft(2)f(H)q Fs(:)1844 5517 y Fw(27)p eop %%Page: 28 28 28 27 bop 0 162 a Fw(Thm.)51 b(4.9)35 b(means)f(that)g(for)g(large)g (times)g(no)g(particles)f(are)h(found)f(with)g(momen)m(tum)h(smaller)e (than)i Fs(t)3687 129 y FF(\000)p Fq(\016)0 275 y Fw(for)27 b Fs(\016)i(>)c(\017)338 237 y FF(\000)p Fr(1)338 300 y(0)432 275 y Fw(,)j(while)e(Prop.)39 b(4.3)28 b(means)f(that)h(for)f (large)h(times)e(the)i(n)m(um)m(b)s(er)e(of)h(particles)g(with)f(momen) m(tum)0 388 y(smaller)j(than)h Fs(t)559 355 y FF(\000)p Fq(\016)682 388 y Fw(for)g Fs(\016)f(>)c Fw(\(1)c(+)f Fs(\017)1215 402 y Fr(0)1254 388 y Fw(\))1289 355 y FF(\000)p Fr(1)1414 388 y Fw(is)30 b(less)f(than)i Fs(t)1919 355 y Fq(\016)1956 388 y Fw(.)141 501 y Fi(Pro)s(of.)48 b Fw(W)-8 b(e)31 b(claim)f(\014rst)f(that)1398 705 y(w)21 b Ft(\000)82 b Fw(lim)1576 764 y Fq(R)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1841 705 y Fw(\000)1898 668 y Fr(+)1957 705 y Fw(\()p Fs(g)s(;)15 b(R)q Fw(\))27 b(=)e(1)-20 b(l)o Fs(:)-2381 b Fw(\(4.13\))0 948 y(T)-8 b(o)31 b(pro)m(v)m(e)g(\(4.13\))i(w)m(e)e (will)c(apply)i(Prop.)40 b(A.5.)i(F)-8 b(or)31 b Fs(u)25 b Ft(2)g(D)s Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\),)31 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e:)1337 1149 y Fs(@)1385 1163 y Fq(t)1415 1149 y Fw(\()p Fs(u)1502 1163 y Fq(t)1532 1149 y Fs(;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)\000\()p Fs(g)1920 1116 y Fq(t)1952 1149 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)g Fw(\))p Fs(u)2249 1163 y Fq(t)2279 1149 y Fw(\))1184 1333 y(=)82 b(\()p Fs(u)1424 1347 y Fq(t)1454 1333 y Fs(;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)d\000\()p Fs(g)1893 1300 y Fq(t)1924 1333 y Fs(;)15 b Fi(d)2022 1347 y Fr(0)2062 1333 y Fs(g)2108 1300 y Fq(t)2139 1333 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(u)2436 1347 y Fq(t)2466 1333 y Fw(\))1337 1516 y(+\()p Fs(u)1495 1530 y Fq(t)1525 1516 y Fs(;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)[)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(i\000\()p Fs(g)2175 1483 y Fq(t)2208 1516 y Fw(\)])p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(u)2530 1530 y Fq(t)2560 1516 y Fw(\))0 1333 y(\(4.14\))0 1718 y(The)37 b(\014rst)h(term)g(in)e (the)i(r.h.s)g(of)g(\(4.14\))i(is)d(p)s(ositiv)m(e)g(and)h(b)m(y)f (\(4.12\))k(the)d(second)g(term)g(is)f(b)s(ounded)f(b)m(y)0 1831 y Fs(C)7 b(R)142 1798 y FF(\000)p Fq(\017)226 1807 y Fm(0)263 1831 y Fs(t)296 1798 y FF(\000)p Fq(\016)r(\017)413 1807 y Fm(0)452 1831 y Fw(.)41 b(Clearly)29 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)1205 2035 y(w)21 b Ft(\000)82 b Fw(lim)1383 2094 y Fq(R)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1648 2035 y Fw(\000\()p Fs(g)s Fw(\()p Fs(t)1854 1998 y Fq(\016)1893 2035 y Fs(R)6 b Fw(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\)\))26 b(=)f(1)-20 b(l)o Fs(;)36 b(t)25 b Ft(2)g Fw(I)-15 b(R)o Fs(:)0 2278 y Fw(Applying)28 b(then)i(Prop.)40 b(A.5)31 b(w)m(e)g(obtain)f(that)h(if)e Fs(u)d Fw(=)f Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(u)p Fw(,)1383 2482 y(lim)1321 2541 y Fq(R)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1571 2482 y Fw(\()p Fs(u;)15 b Fw(\000)1755 2444 y Fr(+)1815 2482 y Fw(\()p Fs(g)s(;)g(R)q Fw(\))p Fs(u)p Fw(\))27 b(=)e Ft(k)p Fs(u)p Ft(k)2393 2444 y Fr(2)2433 2482 y Fs(:)0 2724 y Fw(By)31 b(densit)m(y)e(this)h(implies)d (\(4.13\).)141 2837 y(No)m(w)k(w)m(e)g(use)f(the)h(fact)g(that)g(for)f Fs(\016)f(>)c(\016)1519 2804 y FF(0)1042 3041 y Fs(g)s Fw(\()p Fs(t)1156 3004 y Fq(\016)1199 3041 y Fw(~)-50 b Fs(\033)t Fw(\))25 b Ft(\025)g Fs(g)s Fw(\()p Fs(t)1520 3004 y Fq(\016)1553 2980 y Fo(0)1581 3041 y Fs(R)6 b Fw(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))p Fs(;)46 b Fw(for)30 b(\014xed)g Fs(R)h Fw(and)f Fs(t)25 b Ft(\025)g Fs(T)2655 3055 y Fq(R)2713 3041 y Fs(:)0 3245 y Fw(Hence)31 b(if)f(w)m(e)g(denote)h(b)m (y)g(\000)964 3212 y FF(0)p Fr(+)1042 3245 y Fw(\()p Fs(g)s(;)15 b(R)q Fw(\))31 b(the)g(observ)-5 b(able)30 b(in)f(Prop.)40 b(4.8)31 b(with)e(the)i(exp)s(onen)m(t)f Fs(\016)3208 3212 y FF(0)3232 3245 y Fw(,)h(w)m(e)g(ha)m(v)m(e:)1390 3450 y(\000)1447 3412 y FF(0)p Fr(+)1525 3450 y Fw(\()p Fs(g)s(;)15 b(R)q Fw(\))27 b Ft(\024)e Fw(\000)1931 3412 y Fr(+)1989 3450 y Fw(\()p Fs(g)s(;)15 b Fw(1\))28 b Ft(\024)d Fw(1)-20 b(l)o Fs(:)0 3654 y Fw(Letting)30 b Fs(R)c Ft(!)g Fw(+)p Ft(1)k Fw(and)f(using)g(\(4.13\))k(w)m(e)e (obtain)e(that)i(\000)2070 3621 y Fr(+)2129 3654 y Fw(\()p Fs(g)s(;)15 b Fw(1\))28 b(=)d(1)-20 b(l)o Fs(:)31 b Fh(2)141 3817 y Fw(W)-8 b(e)24 b(no)m(w)f(state)h(a)f(lemma)g(whic)m(h)e(will)f (b)s(e)i(used)g(to)i(con)m(trol)f(the)g(n)m(um)m(b)s(er)f(op)s(erator)h (along)g(the)g(ev)m(olution,)0 3929 y(using)29 b(the)h(cuto\013s)h (\000\()p Fs(g)823 3896 y Fq(t)854 3929 y Fw(\).)0 4089 y Fi(Lemma)i(4.10)884 4294 y Fs(i)p Fw(\))21 b Fs(N)1054 4256 y Fq(\013)1104 4294 y Fw(\000\()p Fs(g)1242 4256 y Fq(t)1272 4294 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)1769 4256 y Fq(\016)r(\013)1852 4294 y Fw(\))p Fs(;)36 b Fw(0)26 b Ft(\024)f Fs(\013)h Ft(\024)f Fw(1)p Fs(;)36 b(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)2641 4256 y FF(1)2634 4316 y Fr(0)2715 4294 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fs(:)0 4498 y Fu(ii\))32 b(L)-5 b(et)33 b Fs(g)328 4465 y Fq(t)325 4521 y Fr(1)390 4498 y Fw(=)25 b Fs(g)529 4512 y Fr(1)569 4498 y Fw(\()p Fs(t)637 4465 y Fq(\016)680 4498 y Fw(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))33 b Fu(wher)-5 b(e)34 b Fs(g)1098 4512 y Fr(1)1163 4498 y Ft(2)25 b Fs(C)1321 4465 y FF(1)1395 4498 y Fw(\(I)-15 b(R\))33 b Fu(is)g(such)f(that)i Fw(0)26 b Ft(62)f Fw(supp)13 b Fs(g)2475 4512 y Fr(1)2515 4498 y Fu(,)32 b Fs(g)2618 4512 y Fr(1)2658 4498 y Fs(g)d Fw(=)c Fs(g)s Fu(.)42 b(Then)953 4702 y Fs(N)1036 4664 y Fr(2)1076 4702 y Fw(\000\()p Fs(g)1214 4664 y Fq(t)1244 4702 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)\000\()p Fs(g)1627 4664 y Fq(t)1624 4724 y Fr(1)1665 4702 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)g Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2162 4664 y Fr(2)p Fq(\016)2235 4702 y Fw(\))p Fs(;)36 b(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)2571 4664 y FF(1)2564 4724 y Fr(0)2646 4702 y Fw(\(I)-15 b(R)o(\))p Fs(:)1844 5517 y Fw(28)p eop %%Page: 29 29 29 28 bop 0 162 a Fi(Pro)s(of.)45 b Fw(Let)24 b(us)g(\014rst)f(pro)m(v) m(e)i Fu(i\))p Fw(.)38 b(Since)23 b Ft(D)s Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))26 b(=)f Ft(D)s Fw(\()p Fs(H)1905 176 y Fr(0)1944 162 y Fw(\),)g(it)f(su\016ces)g(to)g(estimate)h Fs(N)2962 129 y Fq(\013)3011 162 y Fw(\000\()p Fs(g)3149 129 y Fq(t)3180 162 y Fw(\)\(d\000\()5 b(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))7 b(+)g(1\))3648 129 y FF(\000)p Fq(\013)3754 162 y Fw(.)0 275 y(On)30 b(the)g Fs(n)p Ft(\000)p Fw(particle)f(sector,)j (w)m(e)e(ha)m(v)m(e:)1170 487 y Fs(n)1225 450 y Fq(\013)1321 382 y(n)1289 407 y Fp(Y)1324 588 y Fr(1)1410 487 y Fs(g)s Fw(\()p Fs(t)1524 450 y Fq(\016)1568 487 y Fw(~)-50 b Fs(\033)1615 501 y Fq(i)1643 487 y Fw(\)\()1752 382 y Fq(n)1713 407 y Fp(X)1756 588 y Fr(1)1849 487 y Ft(j)5 b Fw(~)-50 b Fs(\033)1926 501 y Fq(i)1954 487 y Ft(j)21 b Fw(+)f(1\))2171 450 y FF(\000)p Fq(\013)2301 487 y Ft(\024)25 b Fs(C)7 b(t)2502 450 y Fq(\016)r(\013)2584 487 y Fs(;)0 716 y Fw(whic)m(h)29 b(pro)m(v)m(es)i Fu(i\))p Fw(.)141 829 y(T)-8 b(o)31 b(pro)m(v)m(e)g Fu(ii\))f Fw(w)m(e)h(write:)670 983 y Fs(N)753 950 y Fr(2)793 983 y Fw(\000\()p Fs(g)931 950 y Fq(t)961 983 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)\000\()p Fs(g)1344 950 y Fq(t)1341 1006 y Fr(1)1382 983 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)g Fw(\))517 1168 y(=)710 1132 y Fr(i)p 680 1147 79 4 v 680 1199 a(2)p Fq(\031)784 1099 y Fp(R)p 843 1195 4 41 v 96 x Fr(C)893 1168 y Fs(@)p 953 1143 36 4 v 953 1182 a Fq(z)1004 1168 y Fw(~)-56 b Fs(\037)p Fw(\()p Fs(z)t Fw(\))p Fs(N)1249 1135 y Fr(2)1289 1168 y Fw(\000\()p Fs(g)1427 1135 y Fq(t)1458 1168 y Fw(\)\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))1804 1135 y FF(\000)p Fr(1)1898 1168 y Fw(\000\()p Fs(g)2036 1135 y Fq(t)2033 1191 y Fr(1)2073 1168 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)g Fw(\)d)p Fs(z)25 b Ft(^)20 b Fw(d)p 2583 1119 47 4 v 15 w Fs(z)517 1353 y Fw(=)82 b Ft(\000)780 1317 y Fr(i)p 751 1332 79 4 v 751 1384 a(2)p Fq(\031)854 1284 y Fp(R)p 914 1380 4 41 v 96 x Fr(C)964 1353 y Fs(@)p 1024 1328 36 4 v 1024 1367 a Fq(z)1074 1353 y Fw(~)-55 b Fs(\037)o Fw(\()p Fs(z)t Fw(\))p Fs(N)10 b Fw(\000\()p Fs(g)1457 1320 y Fq(t)1489 1353 y Fw(\)\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))1835 1320 y FF(\000)p Fr(1)1930 1353 y Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(v)s Fw(\)\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))2438 1320 y FF(\000)p Fr(1)2532 1353 y Fw(\000\()p Fs(g)2670 1320 y Fq(t)2667 1376 y Fr(1)2707 1353 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)g Fw(\)d)p Fs(z)25 b Ft(^)20 b Fw(d)p 3217 1304 47 4 v 15 w Fs(z)670 1537 y Fw(+)p Fs(N)10 b Fw(\000\()p Fs(g)962 1504 y Fq(t)992 1537 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)d Fw(\))p Fs(N)j Fw(\000\()p Fs(g)1458 1504 y Fq(t)1455 1560 y Fr(1)1496 1537 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)d Fw(\))p Fs(;)0 1702 y Fw(using)30 b(Lemma)i(3.9)h Fu(ii\))p Fw(.)45 b(The)31 b(second)h(term)g(is)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)1811 1669 y Fr(2)p Fq(\016)1884 1702 y Fw(\))h(b)m(y)g Fu(i\))p Fw(.)45 b(Using)31 b(the)h(fact)h(that)f Ft(D)s Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))28 b(=)f Ft(D)s Fw(\()p Fs(H)3544 1716 y Fr(0)3583 1702 y Fw(\),)33 b(w)m(e)0 1815 y(write:)742 1902 y Ft(k)p Fs(N)10 b Fw(\000\()p Fs(g)1008 1869 y Fq(t)1039 1902 y Fw(\)\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))1385 1869 y FF(\000)p Fr(1)1480 1902 y Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(v)s Fw(\)\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))1988 1869 y FF(\000)p Fr(1)2082 1902 y Ft(k)588 2086 y(\024)83 b Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(N)j Fw(\000\()p Fs(g)1080 2053 y Fq(t)1110 2086 y Fw(\)\()p Fs(H)1256 2100 y Fr(0)1316 2086 y Fw(+)20 b(1\))1487 2053 y FF(\000)p Fr(1)1582 2086 y Ft(kk)p Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(v)s Fw(\)\()p Fs(H)1980 2100 y Fr(0)2041 2086 y Fw(+)g(1\))2212 2053 y FF(\000)p Fr(1)2307 2086 y Ft(kk)p Fw(\()p Fs(H)2508 2100 y Fr(0)2569 2086 y Fw(+)g(1\)\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))3051 2053 y FF(\000)p Fr(1)3146 2086 y Ft(k)588 2270 y(\024)83 b Fs(C)7 b(t)847 2237 y Fq(\016)884 2270 y Ft(j)p Fw(Im)p Fs(z)t Ft(j)1089 2237 y FF(\000)p Fr(2)1184 2270 y Fs(;)0 2410 y Fw(for)30 b Fs(z)g Ft(2)25 b Fw(supp)f(~)-56 b Fs(\037)p Fw(.)41 b(This)28 b(pro)m(v)m(es)j Fu(ii\))p Fw(.)41 b Fh(2)0 2646 y Fv(4.4)112 b(Sharp)s(er)39 b(estimates)d(for)h Ff(H)1436 2610 y Fr(e)0 2818 y Fw(Let)31 b Fs(g)j Fw(b)s(e)c(as)g(in)f (\(4.10\))k(and)d(set)1657 2930 y Fs(g)1703 2893 y Fq(t)1758 2930 y Fw(=)25 b Fs(g)s Fw(\()p Fs(t)1968 2893 y Fq(\016)2007 2930 y Fs(\033)s Fw(\))p Fs(:)0 3073 y Fw(Then)30 b(b)m(y)g(exactly)i (the)f(same)g(argumen)m(ts)g(as)g(in)f(Subsect.)41 b(4.3,)32 b(replacing)e(cuto\013s)h(in)e Fs(H)38 b Fw(b)m(y)31 b(cuto\013s)g(in)e Fs(L)p Fw(,)0 3186 y(w)m(e)i(obtain:)0 3334 y Fi(Lemma)i(4.11)46 b Fu(Assume)32 b(\(I'0\),)i(\(I'1\).)42 b(Then)33 b(for)g Fs(\037;)15 b(\037)1975 3348 y Fr(1)2040 3334 y Ft(2)25 b Fs(C)2198 3301 y FF(1)2191 3357 y Fr(0)2272 3334 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fu(:)999 3491 y Fw([)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(\000\()p Fs(g)1391 3453 y Fq(t)1422 3491 y Fw(\)])p Fs(;)36 b Fw([)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)1743 3453 y Fr(e)1779 3491 y Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(\000\()p Fs(g)1992 3453 y Fq(t)2024 3491 y Fw(\)])p Fs(\037)2141 3505 y Fr(1)2181 3491 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))25 b Ft(2)g Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2564 3453 y FF(\000)p Fq(\016)r(\017)2681 3462 y Fm(0)2720 3491 y Fw(\))p Fs(:)0 3812 y Fi(Theorem)69 b(4.12)46 b Fu(Assume)32 b(hyp)-5 b(otheses)36 b(\(I'0\),)d(\(I'1\))g (and)h Fs(\016)s(\017)2213 3826 y Fr(0)2278 3812 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(.)1036 3969 y Fw(e)1076 3931 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1239 3908 y Fm(e)1275 3969 y Fs(u)g Fw(=)g(\000\()p Fs(g)s Fw(\()p Fs(t)1654 3931 y Fq(\016)1693 3969 y Fs(\033)s Fw(\)\)e)1858 3931 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2021 3908 y Fm(e)2058 3969 y Fs(u)20 b Fw(+)g Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(;)37 b(u)25 b Ft(2)g(H)2683 3931 y Fr(e)2718 3969 y Fs(:)141 4290 y Fw(The)30 b(pro)s(ofs)f(are)i(analogous)g(to)g(Lemma) g(4.7)g(and)f(Thm.)39 b(4.9)32 b(and)e(left)g(to)h(the)f(reader.)141 4403 y(W)-8 b(e)32 b(no)m(w)e(state)i(a)f(lemma)f(analogous)g(to)h (Lemma)g(4.10)h(for)e(the)g(Hamiltonian)f Fs(H)3027 4370 y Fr(e)3063 4403 y Fw(.)0 4551 y Fi(Lemma)k(4.13)46 b Fu(i\))885 4664 y Fw(\()p Fs(N)1003 4626 y Fr(e)1039 4664 y Fw(\))1074 4626 y Fq(\013)1124 4664 y Fw(\000\()p Fs(g)1262 4626 y Fq(t)1292 4664 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)1768 4626 y Fq(\016)r(\013)1851 4664 y Fw(\))p Fs(;)36 b Fw(0)26 b Ft(\024)f Fs(\013)h Ft(\024)f Fw(1)p Fs(;)36 b(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)2640 4626 y FF(1)2633 4686 y Fr(0)2714 4664 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fs(:)0 4807 y Fu(ii\))32 b(L)-5 b(et)33 b Fs(g)328 4774 y Fq(t)325 4830 y Fr(1)390 4807 y Fw(=)25 b Fs(g)529 4821 y Fr(1)569 4807 y Fw(\()p Fs(t)637 4774 y Fq(\016)675 4807 y Fs(\033)s Fw(\))33 b Fu(wher)-5 b(e)34 b Fs(g)1098 4821 y Fr(1)1163 4807 y Ft(2)25 b Fs(C)1321 4774 y FF(1)1395 4807 y Fw(\(I)-15 b(R\))33 b Fu(is)g(such)f(that)i Fw(0)26 b Ft(62)f Fw(supp)13 b Fs(g)2475 4821 y Fr(1)2515 4807 y Fu(,)32 b Fs(g)2618 4821 y Fr(1)2658 4807 y Fs(g)d Fw(=)c Fs(g)s Fu(.)42 b(Then)921 4963 y Fw(\()p Fs(N)1039 4926 y Fr(e)1075 4963 y Fw(\))1110 4926 y Fr(2)1150 4963 y Fw(\000\()p Fs(g)1288 4926 y Fq(t)1318 4963 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\000\()p Fs(g)1680 4926 y Fq(t)1677 4986 y Fr(1)1718 4963 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2194 4926 y Fr(2)p Fq(\016)2267 4963 y Fw(\))p Fs(;)36 b(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)2603 4926 y FF(1)2596 4986 y Fr(0)2678 4963 y Fw(\(I)-15 b(R)o(\))p Fs(:)0 5268 y Fw(The)30 b(pro)s(of)f(is)h(iden)m(tical)f(to)i(the)g (pro)s(of)e(of)i(Lemma)f(4.10,)j(replacing)c(cuto\013s)i(in)e Fs(H)37 b Fw(b)m(y)30 b(cuto\013s)h(in)e Fs(L)p Fw(.)1844 5517 y(29)p eop %%Page: 30 30 30 29 bop 0 162 a Fv(4.5)112 b(Some)37 b(auxiliary)g(estimates)f(for)h Ff(H)0 334 y Fw(In)29 b(this)f(subsection)h(w)m(e)h(consider)f(a)h(p)s (ositiv)m(e)e(selfadjoin)m(t)h(op)s(erator)h Fs(C)36 b Fw(acting)30 b(on)f Fl(h)h Fw(suc)m(h)f(that)h([)p Fs(C)q(;)21 b Fw(~)-51 b Fs(\033)5 b Fw(])25 b(=)g(0)0 447 y(and)32 b(w)m(e)i(pro)m(v)m(e)f(some)h(estimates)f(on)g(the)g(gro) m(wth)g(of)g Fs(C)40 b Fw(along)33 b(the)g(ev)m(olution.)48 b(These)32 b(estimates)i(will)c(b)s(e)0 560 y(used)g(for)g(the)g (Nelson)g(Hamiltonian)f(in)g(Sect.)41 b(12)32 b(for)e(the)g(observ)-5 b(able)30 b Fs(C)i Fw(=)2723 524 y FF(\000)p Fr(\001)2837 532 y Fj(!)p 2723 539 159 4 v 2767 593 a Fr(~)-39 b Fq(\033)2805 574 y Fm(2)2891 560 y Fw(.)141 673 y(W)-8 b(e)32 b(assume)159 859 y(\()p Fs(I)241 821 y FF(0)265 859 y Fw(5\))21 b(\(1)g(+)f Ft(j)5 b Fw(~)-50 b Fs(\033)s Ft(j)663 821 y FF(\000)728 794 y Fm(1)p 728 806 31 4 v 728 848 a(2)773 859 y Fw(\))p Ft(h)p Fs(C)7 b Ft(i)950 821 y Fq(\026)992 830 y Fm(2)1032 859 y Fs(v)s Fw(\()p Fs(K)27 b Fw(+)20 b(1\))1389 821 y FF(\000)1454 794 y Fm(1)p 1455 806 V 1455 848 a(2)1499 859 y Fs(;)36 b Fw(\(1)21 b(+)f Ft(j)5 b Fw(~)-50 b Fs(\033)s Ft(j)1857 821 y FF(\000)1922 794 y Fm(1)p 1922 806 V 1922 848 a(2)1967 859 y Fw(\))p Ft(h)p Fs(C)7 b Ft(i)2144 821 y Fq(\026)2186 830 y Fm(2)2226 859 y Fw(\()p Fs(K)27 b Fw(+)20 b(1\))2536 821 y FF(\000)2601 794 y Fm(1)p 2602 806 V 2602 848 a(2)2646 859 y Fs(v)29 b Ft(2)c(B)s Fw(\()p Ft(K)q Fs(;)15 b Ft(K)22 b(\012)e Fl(h)p Fw(\))p Fs(;)36 b(\026)3389 873 y Fr(2)3454 859 y Fs(>)25 b Fw(0)p Fs(:)0 1045 y Fw(Note)32 b(that)f Fu(\(I'5\))g Fw(implies)1066 1245 y Ft(k)p Fw(\(1)21 b(+)f Ft(j)5 b Fw(~)-50 b Fs(\033)t Ft(j)1409 1209 y FF(\000)1474 1182 y Fm(1)p 1474 1194 V 1474 1235 a(2)1518 1245 y Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(C)33 b Ft(\025)25 b Fs(R)q Fw(\))p Fs(v)s Fw(\()p Fs(K)i Fw(+)20 b(1\))2315 1209 y FF(\000)2380 1182 y Fm(1)p 2381 1194 V 2381 1235 a(2)2426 1245 y Ft(k)2471 1263 y FF(B)r Fr(\()p FF(K)p Fq(;)p FF(K\012)p Fk(h)p Fr(\))1066 1445 y Fw(+)p Ft(k)p Fw(\(1)h(+)f Ft(j)5 b Fw(~)-50 b Fs(\033)s Ft(j)1479 1409 y FF(\000)1544 1382 y Fm(1)p 1544 1394 V 1544 1435 a(2)1589 1445 y Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(C)32 b Ft(\025)25 b Fs(R)q Fw(\)\()p Fs(K)j Fw(+)20 b(1\))2339 1409 y FF(\000)2404 1382 y Fm(1)p 2404 1394 V 2404 1435 a(2)2449 1445 y Fs(v)s Ft(k)2541 1463 y FF(B)r Fr(\()p FF(K)p Fq(;)p FF(K\012)p Fk(h)p Fr(\))912 1629 y Ft(\024)83 b Fs(C)1131 1643 y Fr(0)1170 1629 y Fs(R)1240 1596 y FF(\000)p Fq(\026)1337 1605 y Fm(2)1376 1629 y Fs(:)0 1429 y Fw(\(4.15\))0 1812 y(The)34 b(corresp)s(onding)f(assumption)h(for)g(the)i(Nelson)e(Hamiltonian)f (is)h Fu(\(I5\))i Fw(in)m(tro)s(duced)e(in)f(Subsect.)54 b(1.1.)0 1925 y(In)30 b(fact)h(let)f Fs(P)13 b Fw(\()p Fs(!)s(;)i(@)678 1939 y Fq(!)730 1925 y Fw(\))30 b(b)s(e)g(the)g (expression)g(of)g Ft(\000)p Fw(\001)1764 1939 y Fq(!)1844 1925 y Fw(in)f(some)i(lo)s(cal)f(co)s(ordinates)g(on)g Fs(S)3063 1892 y Fr(2)3103 1925 y Fw(.)40 b(Then)711 2153 y Ft(\000)792 2092 y Fw(\001)868 2106 y Fq(!)p 792 2132 127 4 v 813 2216 a Fw(~)-50 b Fs(\033)863 2189 y Fr(2)928 2153 y Fw(\(e)1003 2116 y FF(\000)p Fr(i)t(~)-39 b Fq(\033)s Fr(x)p Fq(:!)1233 2153 y Fw(~)-50 b Fs(\033)t(v)1328 2167 y Fq(j)1364 2153 y Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t(!)s Fw(\)\))26 b(=)f(e)1747 2116 y FF(\000)p Fr(i)t(~)-39 b Fq(\033)r Fr(x)p Fq(:!)2006 2092 y Fw(1)p 1981 2132 95 4 v 1986 2216 a(~)-50 b Fs(\033)2036 2189 y Fr(2)2086 2153 y Fs(P)13 b Fw(\()p Fs(!)s(;)i(@)2340 2167 y Fq(!)2411 2153 y Ft(\000)20 b Fw(dx)p Fs(:!)s Fw(\))5 b(~)-50 b Fs(\033)t(v)2821 2167 y Fq(j)2857 2153 y Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t(!)s Fw(\))p Fs(;)0 2366 y Fw(where)35 b(dx)p Fs(:!)i Fw(is)d(the)i(di\013eren)m(tial)d(of)j(the)f(function)f Fs(!)i Ft(7!)d Fw(x)p Fs(:!)s Fw(.)55 b(Since)34 b(dx)p Fs(:!)i Ft(2)d Fs(O)s Fw(\()p Ft(j)p Fw(x)p Ft(j)p Fw(\),)k(w)m(e)f (obtain,)g(using)0 2479 y(\(1.1\))g(to)e(con)m(trol)g(p)s(o)m(w)m(ers)g (of)g(x,)g(that)h(if)d Fu(\(H0\))i Fw(holds)f(for)g Fs(\013)f(>)e Fw(0)k(and)f Fu(\(I5\))i Fw(holds)d(for)i Fs(\026)3135 2493 y Fr(2)3205 2479 y Fs(>)c Fw(0)k(then)g Fu(\(I'5\))0 2591 y Fw(holds)29 b(for)h(the)h(asso)s(ciated)f(P)m(auli-Fierz)g (Hamiltonian)f(with)g(the)h(exp)s(onen)m(t)h Fs(\026)2767 2605 y Fr(2)2836 2591 y Fw(replaced)f(b)m(y)g(inf)6 b(\()p Fs(\013;)15 b(\026)3620 2605 y Fr(2)3660 2591 y Fw(\).)141 2748 y(Let)34 b Fs(F)42 b Ft(2)30 b Fs(C)570 2715 y FF(1)563 2771 y Fr(0)644 2748 y Fw(\(I)-15 b(R\),)34 b(0)c Ft(\024)f Fs(F)43 b Ft(\024)29 b Fw(1,)35 b Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))30 b Ft(\021)f Fw(1)34 b(for)e Ft(j)p Fs(\025)p Ft(j)f(\024)2127 2712 y Fr(1)p 2127 2727 36 4 v 2127 2780 a(2)2172 2748 y Fw(,)j Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))30 b Ft(\021)g Fw(0)j(for)g Ft(j)p Fs(\025)p Ft(j)d(\025)f Fw(1.)49 b(and)33 b Fs(\025F)3432 2715 y FF(0)3455 2748 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))d Ft(\024)g Fw(0.)0 2861 y(W)-8 b(e)32 b(set)e(for)h Fs(\032;)15 b(R)26 b(>)f Fw(0:)1617 3011 y Fs(c)1656 3025 y Fq(t)1711 3011 y Fw(:=)h Fs(F)13 b Fw(\()1985 2949 y Fs(C)p 1949 2990 143 4 v 1949 3073 a(R)q(t)2052 3047 y Fq(\032)2102 3011 y Fw(\))p Fs(:)-2162 b Fw(\(4.16\))0 3209 y Fi(Lemma)33 b(4.14)46 b Fu(Assume)32 b(\(I'0\),)i(\(I'5\).)42 b(Then)33 b(for)g Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)2061 3176 y FF(1)2054 3232 y Fr(0)2135 3209 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fu(:)1399 3396 y Fw([)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(\000\()p Fs(c)1805 3410 y Fq(t)1836 3396 y Fw(\)])26 b Ft(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2148 3358 y FF(\000)p Fq(\026)2245 3367 y Fm(2)2280 3358 y Fq(\032)2320 3396 y Fw(\))p Fs(:)0 3755 y Fw(Using)30 b(almost-analytic)g(extensions,)g(w)m(e)h(are)g(reduced)e(to)i (estimate)882 3941 y([\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))1218 3904 y FF(\000)p Fr(1)1313 3941 y Fs(;)15 b Fw(\000\()p Fs(c)1484 3955 y Fq(t)1514 3941 y Fw(\)])26 b(=)f(\()p Fs(z)g Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))2007 3904 y FF(\000)p Fr(1)2101 3941 y Fw([)p Fs(H)r(;)15 b Fw(\000\()p Fs(c)2375 3955 y Fq(t)2406 3941 y Fw(\)]\()p Fs(z)26 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))2778 3904 y FF(\000)p Fr(1)2872 3941 y Fs(:)0 4128 y Fw(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e)759 4256 y([)p Fs(H)r(;)15 b Fw(\000\()p Fs(c)1033 4270 y Fq(t)1063 4256 y Fw(\)])26 b(=)1293 4194 y(1)p 1255 4235 122 4 v 1255 4252 a Ft(p)p 1331 4252 46 4 v 75 x Fw(2)1386 4256 y Fs(a)1434 4218 y FF(\003)1474 4256 y Fw(\(\(1)21 b Ft(\000)f Fs(c)1740 4270 y Fq(t)1770 4256 y Fw(\))p Fs(v)s Fw(\)\000\()p Fs(c)2018 4270 y Fq(t)2049 4256 y Fw(\))h Ft(\000)2244 4194 y Fw(1)p 2206 4235 122 4 v 2206 4252 a Ft(p)p 2281 4252 46 4 v 2281 4327 a Fw(2)2337 4256 y(\000\()p Fs(c)2468 4270 y Fq(t)2498 4256 y Fw(\))p Fs(a)p Fw(\(\(1)h Ft(\000)e Fs(c)2848 4270 y Fq(t)2878 4256 y Fw(\))p Fs(v)s Fw(\))p Fs(:)0 4461 y Fw(Using)30 b Fu(\(I'5\))h Fw(and)e(Prop.)40 b(A.1,w)m(e)32 b(obtain)1049 4647 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(H)c Fw(+)20 b(i\))1385 4610 y FF(\000)p Fr(1)1479 4647 y Fw([)p Fs(H)r(;)15 b Fw(\000\()p Fs(c)1753 4661 y Fq(t)1784 4647 y Fw(\)]\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b(i\))2135 4610 y FF(\000)p Fr(1)2229 4647 y Ft(k)26 b(\024)e Fs(C)2460 4661 y Fr(0)2500 4647 y Fs(t)2533 4610 y FF(\000)p Fq(\032\026)2666 4619 y Fm(2)2705 4647 y Fs(;)-2730 b Fw(\(4.17\))0 4834 y(uniformly)27 b(in)i Fs(R)d Ft(\025)f Fw(1.)42 b(This)28 b(implies)g(that)572 5020 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(z)e Ft(\000)19 b Fs(H)7 b Fw(\))928 4982 y FF(\000)p Fr(1)1023 5020 y Fw([)p Fs(H)r(;)15 b Fw(\000\()p Fs(c)1297 5034 y Fq(t)1328 5020 y Fw(\)]\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))1699 4982 y FF(\000)p Fr(1)1794 5020 y Ft(k)25 b(\024)g Fs(C)2025 5034 y Fr(0)2065 5020 y Ft(j)p Fw(Im)p Fs(z)t Ft(j)2270 4982 y FF(\000)p Fr(2)2365 5020 y Fs(t)2398 4982 y FF(\000)p Fq(\032\026)2531 4991 y Fm(2)2570 5020 y Fs(;)35 b(z)30 b Ft(2)25 b Fs(K)32 b Fg(b)p 3013 5020 4 56 v 24 w Fw(C)p Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)p Fs(;)0 5206 y Fw(whic)m(h)29 b(implies)f(the)i(lemma.)41 b Fh(2)1844 5517 y Fw(30)p eop %%Page: 31 31 31 30 bop 0 162 a Fi(Prop)s(osition)36 b(4.15)47 b Fu(Assume)32 b(\(I'0\),)h(\(I'5\).)42 b(Assume)33 b Fs(\032)f Fu(in)h(\(4.16\))h(is) f(such)f(that)i Fs(\032\026)3030 176 y Fr(2)3095 162 y Fs(>)25 b Fw(1)33 b Fu(.)41 b(Then)527 389 y Fs(i)p Fw(\))629 275 y Fp(Z)713 301 y Fr(+)p FF(1)676 463 y Fr(1)857 389 y Ft(k)p Fw(d\000\()p Fs(c)1084 403 y Fq(t)1114 389 y Fs(;)15 b Fi(d)1212 403 y Fr(0)1252 389 y Fs(c)1291 403 y Fq(t)1321 389 y Fw(\))1366 325 y Fm(1)p 1367 337 31 4 v 1367 378 a(2)1411 389 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(u)1673 403 y Fq(t)1703 389 y Ft(k)1748 352 y Fr(2)1788 389 y Fw(d)p Fs(t)25 b Ft(\024)g Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(u)p Ft(k)2207 352 y Fr(2)2247 389 y Fs(;)35 b(u)26 b Ft(2)e(D)s Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\))p Fs(;)36 b(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)2997 352 y FF(1)2990 412 y Fr(0)3072 389 y Fw(\(I)-15 b(R)o(\))p Fs(;)1048 622 y(ii)p Fw(\))21 b(s-)63 b(lim)1247 676 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1484 622 y Fw(e)1524 584 y Fr(i)p Fq(tH)1637 622 y Fw(\000\()p Fs(c)1768 636 y Fq(t)1798 622 y Fw(\)e)1873 584 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2066 622 y Fw(=:)25 b Fs(P)2258 584 y Fr(+)2317 622 y Fw(\()p Fs(R)q Fw(\))33 b Fu(exists)q Fs(;)1497 820 y(iii)p Fw(\))21 b([)p Fs(P)1742 782 y Fr(+)1802 820 y Fw(\()p Fs(R)q Fw(\))p Fs(;)15 b(H)7 b Fw(])26 b(=)f(0)p Fs(:)0 1163 y Fw(By)31 b(the)f(standard)g(argumen)m(t,)h(w)m (e)g(compute)f(for)h Fs(u;)15 b(v)29 b Ft(2)24 b(D)s Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\))31 b(the)g(deriv)-5 b(ativ)m(e)30 b(of)g(the)h(function)1348 1343 y Fs(t)25 b Ft(7!)g Fw(\()p Fs(v)1601 1357 y Fq(t)1631 1343 y Fs(;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)\000\()p Fs(c)2012 1357 y Fq(t)2043 1343 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)g Fw(\))p Fs(u)2340 1357 y Fq(t)2371 1343 y Fw(\))p Fs(;)0 1524 y Fw(whic)m(h)29 b(equals)665 1704 y(\()p Fs(v)744 1718 y Fq(t)774 1704 y Fs(;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)d\000\()p Fs(c)1206 1718 y Fq(t)1236 1704 y Fs(;)15 b Fi(d)1334 1718 y Fr(0)1374 1704 y Fs(c)1413 1718 y Fq(t)1443 1704 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(u)1740 1718 y Fq(t)1771 1704 y Fw(\))20 b(+)g(\()p Fs(v)1996 1718 y Fq(t)2026 1704 y Fs(;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)[)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(i\000\()p Fs(c)2669 1718 y Fq(t)2701 1704 y Fw(\)])p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(u)3023 1718 y Fq(t)3054 1704 y Fw(\))p Fs(:)0 1884 y Fw(By)31 b(\(4.17\))h(the)f(second)f(term)h(is)e(in)m(tegrable)h (in)f(norm)h(if)f Fs(\032\026)2115 1898 y Fr(2)2180 1884 y Fs(>)c Fw(1.)41 b(W)-8 b(e)31 b(ha)m(v)m(e)1306 2106 y Fs(d)1353 2069 y Fq(t)1353 2129 y Fr(0)1393 2106 y Fs(c)1432 2120 y Fq(t)1487 2106 y Fw(=)25 b Ft(\000)p Fs(\032F)1772 2069 y FF(0)1795 2106 y Fw(\()1876 2045 y Fs(C)p 1840 2085 143 4 v 1840 2169 a(R)q(t)1943 2142 y Fq(\032)1993 2106 y Fw(\))2119 2045 y Fs(C)p 2038 2085 234 4 v 2038 2169 a(R)q(t)2141 2142 y Fq(\032)p Fr(+1)2307 2106 y Ft(\025)g Fw(0)p Fs(;)0 2318 y Fw(hence)30 b(d\000\()p Fs(c)434 2332 y Fq(t)464 2318 y Fs(;)15 b Fw(d)555 2285 y Fq(t)555 2341 y Fr(0)594 2318 y Fs(c)633 2332 y Fq(t)663 2318 y Fw(\))26 b Ft(\025)f Fw(0.)41 b(The)29 b(estimate)i Fu(i\))g Fw(follo)m(ws)e(then)h(from)f(Prop.)40 b(A.2.)i(The)29 b(existence)i(of)f(the)h(limit)0 2431 y Fu(ii\))f Fw(follo)m(ws)g(from) g Fu(i\))p Fw(,)g(Prop.)40 b(A.3)32 b(and)d(Lemma)i(4.14.)42 b(Prop)s(ert)m(y)30 b Fu(iii\))g Fw(follo)m(ws)g(from)g(Lemma)g(4.14.) 42 b Fh(2)0 2661 y Fi(Theorem)69 b(4.16)46 b Fu(Assume)31 b(\(I'0\),)g(\(I'5\).)42 b(Assume)31 b Fs(\032)f Fu(in)h(\(4.16\))h(is) f(such)g(that)h Fs(\032\026)2927 2675 y Fr(2)2992 2661 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(.)41 b(Then)31 b Fs(P)3508 2628 y Fr(+)3567 2661 y Fw(\(1\))c(=)0 2774 y(1)-20 b(l)p Fu(,)32 b(ie:)1089 2924 y Fw(e)1129 2886 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1297 2924 y Fs(u)25 b Fw(=)g(\000\()p Fs(F)13 b Fw(\()1679 2862 y Fs(C)p 1678 2903 74 4 v 1678 2986 a(t)1711 2960 y Fq(\032)1762 2924 y Fw(\)\)e)1872 2886 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2040 2924 y Fs(u)20 b Fw(+)g Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(;)37 b(u)25 b Ft(2)g(H)q Fs(:)0 3267 y Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(W)-8 b(e)32 b(\014rst)e(claim)f(that)1462 3380 y(w)21 b Ft(\000)54 b Fw(lim)1640 3440 y Fq(R)p FF(!1)1850 3380 y Fs(P)1921 3343 y Fr(+)1980 3380 y Fw(\()p Fs(R)q Fw(\))26 b(=)f(1)-20 b(l)o Fs(:)-2317 b Fw(\(4.18\))0 3566 y(T)-8 b(o)31 b(pro)m(v)m(e)g(\(4.18\))i(w)m(e)e(apply)e(Prop.)40 b(A.5.)h(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e)f(for)f Fs(u)c Ft(2)f(D)s Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\),)30 b Fs(\037)c Ft(2)e Fs(C)2679 3533 y FF(1)2672 3589 y Fr(0)2754 3566 y Fw(\(I)-15 b(R\):)750 3728 y(d)p 734 3769 84 4 v 734 3852 a(d)p Fs(t)827 3790 y Fw(\()p Fs(u)914 3804 y Fq(t)944 3790 y Fs(;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)\000\()p Fs(c)1325 3804 y Fq(t)1356 3790 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)g Fw(\))p Fs(u)1653 3804 y Fq(t)1684 3790 y Fw(\))25 b Ft(\025)g(\000)p Fs(C)7 b(t)2016 3752 y FF(\000)p Fq(\032\026)2149 3761 y Fm(2)2187 3790 y Ft(k)p Fs(u)p Ft(k)2329 3752 y Fr(2)2370 3790 y Fs(;)45 b Fw(uniformly)28 b(in)h Fs(R)q(:)0 3996 y Fw(On)h(the)g(other)h(hand)e(\000\()p Fs(c)904 4010 y Fq(t)934 3996 y Fw(\))d Ft(\024)f Fw(1)-20 b(l)30 b(and)1329 4176 y(w)21 b Ft(\000)55 b Fw(lim)1507 4235 y Fq(R)p FF(!1)1717 4176 y Fw(\000\()p Fs(c)1848 4190 y Fq(t)1878 4176 y Fw(\))26 b(=)f(1)-20 b(l)o Fs(;)36 b Ft(8)p Fs(t)25 b Ft(2)f Fw(I)-15 b(R)p Fs(:)0 4389 y Fw(Hence)31 b(\(4.18\))i(follo)m (ws)c(from)h(Prop.)40 b(A.5.)i(Finally)28 b(w)m(e)j(use)f(the)h(fact)g (that)g(for)f Fs(\032)2829 4356 y FF(0)2878 4389 y Fs(>)25 b(\032)p Fw(:)1002 4611 y Fs(F)13 b Fw(\()1154 4550 y Fs(C)p 1118 4590 143 4 v 1118 4674 a(R)q(t)1221 4647 y Fq(\032)1272 4611 y Fw(\))25 b Ft(\024)g Fs(F)13 b Fw(\()1557 4550 y Fs(C)p 1544 4590 96 4 v 1544 4674 a(t)1577 4647 y Fq(\032)1613 4629 y Fo(0)1650 4611 y Fw(\))p Fs(;)46 b Fw(for)30 b(\014xed)g Fs(R)h Fw(and)f Fs(t)25 b Ft(\025)g Fs(T)13 b Fw(\()p Fs(R)q Fw(\))p Fs(:)0 4823 y Fw(If)36 b(w)m(e)i(denote)f(b)m(y)g(\000)727 4790 y FF(0)750 4823 y Fw(\()p Fs(c)824 4837 y Fq(t)854 4823 y Fw(\))p Fs(;)15 b(P)1000 4790 y FF(0)p Fr(+)1079 4823 y Fw(\()p Fs(R)q Fw(\))37 b(the)g(same)h(observ)-5 b(ables)35 b(with)h(the)h(exp)s(onen) m(t)g Fs(\032)2960 4790 y FF(0)2983 4823 y Fw(,)i(w)m(e)e(obtain)f (\000\()p Fs(c)3607 4837 y Fq(t)3637 4823 y Fw(\))h Ft(\024)0 4935 y Fw(\000)57 4902 y FF(0)80 4935 y Fw(\()p Fs(c)154 4949 y Fq(t)184 4935 y Fw(\))26 b Ft(\024)f Fw(1)-20 b(l)30 b(and)g(hence)1463 5048 y Fs(P)1534 5011 y Fr(+)1593 5048 y Fw(\()p Fs(R)q Fw(\))25 b Ft(\024)g Fs(P)1925 5011 y FF(0)p Fr(+)2004 5048 y Fw(\(1\))h Ft(\024)f Fw(1)-20 b(l)p Fs(:)0 5203 y Fw(Letting)30 b Fs(R)c Ft(!)g(1)k Fw(and)g(using)e(\(4.18\))33 b(w)m(e)e(get)g(that)g Fs(P)1882 5170 y FF(0)p Fr(+)1961 5203 y Fw(\(1\))26 b(=)f(1)-20 b(l)o(.)41 b(This)29 b(pro)m(v)m(es)i(the)f(theorem.)41 b Fh(2)1844 5517 y Fw(31)p eop %%Page: 32 32 32 31 bop 0 162 a Fx(5)135 b(Num)l(b)t(er)45 b(of)g(asymptotically)i (free)e(particles)0 365 y Fw(In)e(this)g(section)h(w)m(e)g(consider)f (the)h(expanded)f(Hamiltonian)f Fs(H)2359 332 y Fr(e)2439 365 y Fw(in)m(tro)s(duced)g(in)g(Subsect.)81 b(3.3.)h(On)0 478 y Fl(h)43 445 y Fr(e)104 478 y Fw(=)25 b Fs(L)262 445 y Fr(2)301 478 y Fw(\(I)-15 b(R)p Fs(;)15 b Fw(d)p Fs(\033)s Fw(\))21 b Ft(\012)f Fl(g)p Fw(,)30 b(w)m(e)h(denote)g(b)m(y) 1731 634 y Fs(s)25 b Fw(=)g(i)1958 572 y Fs(@)p 1931 613 109 4 v 1931 696 a(@)5 b(\033)0 822 y Fw(the)37 b(observ)-5 b(able)35 b(conjugate)j(to)f Fs(\033)s Fw(,)h(whic)m(h)d(w)m(e)i(in)m (terpret)f(as)h(a)f(p)s(osition.)57 b(W)-8 b(e)38 b(construct)f(for)f (0)f Fs(<)g Fw(c)h Fs(<)f Fw(1)0 934 y Fs(H)83 901 y Fr(e)118 934 y Ft(\000)p Fw(in)m(v)-5 b(arian)m(t)29 b(subspaces)f Ft(H)1062 901 y Fr(e+)1061 957 y(c)1182 934 y Fw(describing)e(states)31 b(whic)m(h)d(con)m(tain)i(a)f(\014nite) g(n)m(um)m(b)s(er)f(of)h(particles)f(in)g(the)0 1047 y(region)i Ft(f)p Fs(s)25 b Ft(\025)g Fw(c)p Fs(t)p Ft(g)p Fw(.)141 1160 y(Let)31 b(us)f(\014x)f Fs(f)35 b Ft(2)25 b Fs(C)787 1127 y FF(1)861 1160 y Fw(\(I)-15 b(R\),)31 b(suc)m(h)f(that)818 1365 y(0)c Ft(\024)f Fs(f)35 b Ft(\024)25 b Fw(1)p Fs(;)36 b(f)1322 1327 y FF(0)1370 1365 y Ft(\025)24 b Fw(0)p Fs(;)37 b(f)d Ft(\021)25 b Fw(0)31 b(for)f Fs(s)25 b Ft(\024)g Fs(\013)2184 1379 y Fr(0)2223 1365 y Fs(;)36 b(f)f Ft(\021)24 b Fw(1)31 b(for)f Fs(s)25 b Ft(\025)g Fs(\013)2896 1379 y Fr(1)2936 1365 y Fs(;)-2961 b Fw(\(5.1\))0 1569 y(for)30 b Fs(\013)197 1583 y Fr(0)262 1569 y Fs(<)25 b(\013)416 1583 y Fr(1)456 1569 y Fw(.)40 b(W)-8 b(e)32 b(set)1250 1708 y Fs(b)1289 1722 y Fr(c)16 b Fq(t)1390 1708 y Fw(:=)26 b Fs(f)10 b Fw(\()1612 1647 y Fs(s)19 b Ft(\000)h Fw(c)p Fs(t)p 1612 1687 227 4 v 1688 1770 a(t)1721 1744 y Fq(\032)1848 1708 y Fw(\))p Fs(;)36 b(B)2013 1722 y Fr(c)16 b Fq(t)2115 1708 y Fw(=)25 b(d\000\()p Fs(b)2393 1722 y Fr(c)16 b Fq(t)2469 1708 y Fw(\))p Fs(;)-2529 b Fw(\(5.2\))0 1896 y(where)30 b(the)g(constan)m(ts)i(0)26 b Fs(<)f Fw(c)g Ft(\024)g Fw(1,)31 b(0)26 b Fs(<)f(\032)g(<)g Fw(1)31 b(will)d(b)s(e)h(\014xed)h(later.)141 2009 y(W)-8 b(e)32 b(assume)e(in)f(this)g(section)i(the)f(follo)m(wing)f(h)m(yp)s (othesis:)627 2223 y(\()p Fs(I)709 2185 y FF(0)733 2223 y Fw(2\))21 b(\()p Fs(K)27 b Fw(+)20 b(1\))1144 2185 y FF(\000)1209 2158 y Fm(1)p 1210 2170 31 4 v 1210 2211 a(2)1255 2223 y Fs(v)1302 2185 y Fr(e)1337 2223 y Fw(\()p Ft(\001)p Fw(\))p Fs(;)37 b(v)1541 2185 y Fr(e)1577 2223 y Fw(\()p Ft(\001)p Fw(\)\()p Fs(K)28 b Fw(+)20 b(1\))1983 2185 y FF(\000)2048 2158 y Fm(1)p 2049 2170 V 2049 2211 a(2)2118 2223 y Ft(2)25 b Fs(H)2287 2179 y Fq(\026)2280 2248 y Fr(0)2334 2223 y Fw(\(I)-15 b(R)2454 2185 y Fr(+)2513 2223 y Fw(\))20 b Ft(\012)g(B)s Fw(\()p Ft(K)q Fs(;)15 b Ft(K)23 b(\012)d Fl(g)p Fw(\))p Fs(;)0 2427 y Fw(where)35 b(for)h Fs(\026)e(>)h Fw(0)h(the)g(space)g Fs(H)1182 2383 y Fq(\026)1175 2452 y Fr(0)1229 2427 y Fw(\(I)-15 b(R)1349 2391 y Fr(+)1408 2427 y Fw(\))36 b(is)f(the)h(closure)g(of)g Fs(C)2229 2394 y FF(1)2222 2450 y Fr(0)2303 2427 y Fw(\(]0)p Fs(;)15 b Fw(+)p Ft(1)p Fw([\))37 b(in)e(the)h(top)s(ology)g(of)g Fs(H)3552 2394 y Fq(\026)3599 2427 y Fw(\(I)-15 b(R\).)0 2540 y(Note)32 b(that)f Fu(\(I'2\))g Fw(implies)858 2757 y Ft(k)p Fs(F)13 b Fw(\()p Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)26 b(\025)f Fs(R)q Fw(\))p Fs(v)1376 2724 y Fr(e)1412 2757 y Fw(\()p Fs(K)j Fw(+)19 b(1\))1722 2722 y FF(\000)1787 2694 y Fm(1)p 1788 2706 V 1788 2748 a(2)1833 2757 y Ft(k)1878 2776 y FF(B)r Fr(\()p FF(K)p Fq(;)p FF(K\012)p Fk(h)2172 2757 y Fm(e)2204 2776 y Fr(\))2261 2757 y Ft(\024)24 b Fs(C)7 b(R)2498 2724 y FF(\000)p Fq(\026)2599 2757 y Fs(;)858 2957 y Ft(k)p Fs(F)13 b Fw(\()p Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)26 b(\025)f Fs(R)q Fw(\)\()p Fs(K)j Fw(+)20 b(1\))1640 2921 y FF(\000)1705 2894 y Fm(1)p 1705 2906 V 1705 2947 a(2)1750 2957 y Fs(v)1797 2924 y Fr(e)1833 2957 y Ft(k)1878 2976 y FF(B)r Fr(\()p FF(K)p Fq(;)p FF(K\012)p Fk(h)2172 2957 y Fm(e)2204 2976 y Fr(\))2261 2957 y Ft(\024)k Fs(C)7 b(R)2498 2924 y FF(\000)p Fq(\026)2599 2957 y Fs(;)36 b(R)26 b Ft(\025)f Fw(1)p Fs(:)0 2850 y Fw(\(5.3\))0 3160 y(The)36 b(corresp)s(onding)e(condition)g(for)i(concrete)i(Nelson) d(Hamiltonians)g(is)g Fu(\(I2\))p Fw(,)j(in)m(tro)s(duced)d(in)g (Subsect.)0 3273 y(1.1.)61 b(In)36 b(fact)i(w)m(e)g(note)f(that)h Fs(@)1112 3287 y Fr(~)-39 b Fq(\033)1155 3273 y Fw(e)1195 3240 y FF(\000)p Fr(i)t(~)g Fq(\033)r Fr(x)p Fq(:!)1424 3273 y Fw(~)-49 b Fs(\033)s(v)1519 3287 y Fq(j)1555 3273 y Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t(!)s Fw(\))36 b(=)g(e)1924 3240 y FF(\000)p Fr(i)t(~)-39 b Fq(\033)s Fr(x)p Fq(:!)2149 3273 y Fw(\()p Fs(@)2236 3287 y Fr(~)g Fq(\033)2304 3273 y Ft(\000)24 b Fw(ix)p Fs(:!)s Fw(\))5 b(~)-50 b Fs(\033)s(v)2692 3287 y Fq(j)2729 3273 y Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)s(!)s Fw(\).)60 b(Using)36 b(then)h(\(1.1\))i(to)0 3386 y(con)m(trol)29 b(p)s(o)m(w)m(ers)f(of)g(x)g(w)m(e)h(see)f(that)h(if)e Fu(\(H0\))i Fw(holds)d(for)i Fs(\013)e(>)f Fw(0)k(and)e Fu(\(I2\))i Fw(holds)e(for)h Fs(\026)d(>)g Fw(0)j(then)g Fu(\(I'2\))h Fw(holds)0 3499 y(for)h(the)h(asso)s(ciated)g(P)m (auli-Fierz)e(Hamiltonian)g(with)g(the)h(exp)s(onen)m(t)h Fs(\026)f Fw(replaced)g(b)m(y)g(inf)6 b(\()p Fs(\013;)15 b(\026)p Fw(\).)0 3742 y Fv(5.1)112 b(T)-9 b(ec)m(hnical)36 b(preparations)0 3914 y Fi(Prop)s(osition)g(5.1)46 b Fu(Assume)39 b(\(I'0\))h(for)f Fs(\017)1501 3928 y Fr(0)1577 3914 y Fs(>)e Fw(0)p Fu(,)k(\(I'2\))e(for)h Fs(\026)c(>)h Fw(1)p Fu(.)61 b(Assume)39 b(that)h Fw(0)d Fs(<)g Fw(c)g Fs(<)f Fw(1)k Fu(or)f(that)0 4027 y Fw(c)26 b(=)f(1)33 b Fu(and)g Fs(\013)474 4041 y Fr(1)539 4027 y Fs(<)25 b Fw(0)p Fu(.)42 b(Then)33 b(for)g Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)1372 3994 y FF(1)1365 4050 y Fr(0)1446 4027 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fu(:)431 4278 y Fs(i)p Fw(\))533 4163 y Fp(Z)616 4190 y Fr(+)p FF(1)579 4352 y Fr(1)761 4278 y Ft(k)p Fw(d\000\()p Fi(d)1007 4292 y Fr(0)1046 4278 y Fs(b)1085 4292 y Fr(c)16 b Fq(t)1162 4278 y Fw(\))1207 4214 y Fm(1)p 1207 4226 V 1207 4267 a(2)1252 4278 y Fw(\()p Fs(B)1356 4292 y Fr(c)g Fq(t)1453 4278 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1632 4241 y FF(\000)p Fr(1)1727 4278 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)1968 4292 y Fq(t)1998 4278 y Ft(k)2043 4241 y Fr(2)2093 4217 y Fs(dt)p 2093 4257 81 4 v 2116 4341 a(t)2208 4278 y Ft(\024)25 b Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(u)p Ft(k)2518 4241 y Fr(2)2558 4278 y Fs(;)35 b(u)26 b Ft(2)e(D)s Fw(\()p Fs(N)2972 4241 y Fr(e)3008 4278 y Fw(\))p Fs(;)36 b(\025)25 b(>)g Fw(0)p Fs(;)615 4535 y(ii)p Fw(\))c(s-)63 b(lim)814 4589 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1051 4535 y Fw(e)1091 4497 y Fr(i)p Fq(tH)1199 4474 y Fm(e)1235 4535 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(B)1528 4549 y Fr(c)17 b Fq(t)1626 4535 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1805 4497 y FF(\000)p Fr(1)1899 4535 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2128 4497 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2291 4474 y Fm(e)2360 4535 y Fu(exists)33 b Fs(;)j Ft(8)p Fs(\025)25 b Ft(2)p 2911 4535 4 56 v 25 w Fw(C)o Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)3080 4497 y FF(\000)3139 4535 y Fs(:)0 4914 y Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(Let)31 b(us)f(\014rst)g (\014x)f Fs(\025)d(>)f Fw(0)30 b(and)g(set)1305 5118 y(\010\()p Fs(t)p Fw(\))c(=)e Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(B)1888 5132 y Fr(c)17 b Fq(t)1986 5118 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))2165 5081 y FF(\000)p Fr(1)2260 5118 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(:)1844 5517 y Fw(32)p eop %%Page: 33 33 33 32 bop 0 162 a Fw(F)-8 b(or)31 b Fs(u)25 b Ft(2)g(D)s Fw(\()p Fs(N)517 129 y Fr(e)553 162 y Fw(\))30 b(the)h(function)e(I)-15 b(R)1216 126 y Fr(+)1300 162 y Ft(3)25 b Fs(t)g Ft(7!)g Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))25 b(=)g(\()p Fs(u)1926 176 y Fq(t)1956 162 y Fs(;)15 b Fw(\010\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)2217 176 y Fq(t)2247 162 y Fw(\))31 b(is)e Fs(C)2476 129 y Fr(1)2546 162 y Fw(with)g(deriv)-5 b(ativ)m(e)1247 353 y Fs(@)1295 367 y Fq(t)1325 353 y Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))25 b(=)g(\()p Fs(u)1691 367 y Fq(t)1721 353 y Fs(;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fi(D)p Fw(\010\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)2440 367 y Fq(t)2472 353 y Fw(\))p Fs(:)0 545 y Fw(Note)32 b(that)f(b)m(y)f(\(3.8\))i(e)800 512 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)963 488 y Fm(e)999 545 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))f(preserv)m(es)f Ft(D)s Fw(\()p Fs(N)1800 512 y Fr(e)1836 545 y Fw(\).)41 b(Since)29 b Fs(H)2257 512 y Fr(e)2318 545 y Fw(=)c Fs(H)2497 512 y Fr(e)2490 568 y(0)2552 545 y Fw(+)20 b Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)2779 512 y Fr(e)2816 545 y Fw(\))30 b(on)h Ft(D)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\),)f(w)m(e)h(ha)m(v)m(e:)665 736 y([)p Fs(H)773 698 y Fr(e)809 736 y Fs(;)15 b Fw(i\()p Fs(B)979 750 y Fr(c)h Fq(t)1075 736 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1254 698 y FF(\000)p Fr(1)1349 736 y Fw(])26 b(=)e([)p Fs(H)1603 698 y Fr(e)1596 758 y(0)1639 736 y Fs(;)15 b Fw(i\()p Fs(B)1809 750 y Fr(c)h Fq(t)1906 736 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2085 698 y FF(\000)p Fr(1)2180 736 y Fw(])g(+)g([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)2477 698 y Fr(e)2514 736 y Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(i\()p Fs(B)2719 750 y Fr(c)h Fq(t)2816 736 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2995 698 y FF(\000)p Fr(1)3089 736 y Fw(])0 927 y(on)34 b Ft(D)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\).)53 b(Since)33 b Ft(K)24 b(\012)f Fw(\000)898 942 y Fr(\014n)980 927 y Fw(\()p Fl(h)1058 894 y Fr(e)1094 927 y Fw(\))h Ft(\\)e(D)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))34 b(is)g(dense)g(in)f Ft(D)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))h(w)m(e)h(can)f(compute)h Fi(D)p Fw(\()p Fs(B)3037 941 y Fr(c)16 b Fq(t)3137 927 y Fw(+)22 b Fs(\025)p Fw(\))3318 894 y FF(\000)p Fr(1)3447 927 y Fw(on)35 b(\014nite)0 1040 y(v)m(ectors.)42 b(W)-8 b(e)32 b(obtain)886 1231 y Fi(D)966 1245 y Fr(0)1005 1231 y Fw(\()p Fs(B)1109 1245 y Fr(c)17 b Fq(t)1206 1231 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1385 1193 y FF(\000)p Fr(1)1505 1231 y Fw(=)25 b Ft(\000)p Fw(\()p Fs(B)1776 1245 y Fr(c)16 b Fq(t)1873 1231 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2052 1193 y FF(\000)p Fr(1)2147 1231 y Fw(d\000\()p Fs(c)2329 1245 y Fq(t)2358 1231 y Fw(\)\()p Fs(B)2497 1245 y Fr(c)d Fq(t)2595 1231 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))2774 1193 y FF(\000)p Fr(1)2869 1231 y Fs(;)0 1422 y Fw(for)1071 1550 y Fs(c)1110 1564 y Fq(t)1165 1550 y Fw(=)25 b Fi(d)1319 1564 y Fr(0)1359 1550 y Fs(b)1398 1564 y Fr(c)16 b Fq(t)1500 1550 y Fw(=)25 b Fs(f)1651 1513 y FF(0)1673 1550 y Fw(\()1718 1489 y Fs(s)20 b Ft(\000)g Fw(c)p Fs(t)p 1718 1529 227 4 v 1795 1613 a(t)1828 1587 y Fq(\032)1955 1550 y Fw(\)\()2035 1489 y(1)i Ft(\000)e Fw(c)p 2035 1529 197 4 v 2098 1613 a Fs(t)2131 1587 y Fq(\032)2263 1550 y Ft(\000)g Fs(\032)2411 1489 y(s)g Ft(\000)g Fw(c)p Fs(t)p 2411 1529 227 4 v 2443 1613 a(t)2476 1587 y Fq(\032)p Fr(+1)2648 1550 y Fw(\))p Fs(:)0 1732 y Fw(Similarly)768 1845 y([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)929 1807 y Fr(e)966 1845 y Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(i\()p Fs(B)1171 1859 y Fr(c)h Fq(t)1268 1845 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1447 1807 y FF(\000)p Fr(1)1541 1845 y Fw(])26 b(=)f(\()p Fs(B)1792 1859 y Fr(c)16 b Fq(t)1889 1845 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2068 1807 y FF(\000)p Fr(1)2163 1845 y Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(b)2317 1859 y Fr(c)c Fq(t)2393 1845 y Fs(v)2440 1807 y Fr(e)2476 1845 y Fw(\)\()p Fs(B)2615 1859 y Fr(c)h Fq(t)2713 1845 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))2892 1807 y FF(\000)p Fr(1)2986 1845 y Fs(:)0 2018 y Fw(Since)29 b Ft(D)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))d(=)f Ft(D)s Fw(\()p Fs(L)734 2032 y Fr(0)773 2018 y Fw(\),)31 b(\()p Fs(K)c Fw(+)20 b(1\))1184 1955 y Fm(1)p 1185 1967 31 4 v 1185 2008 a(2)1230 2018 y Fw(\()p Fs(L)g Fw(+)g(i\))1499 1985 y FF(\000)p Fr(1)1623 2018 y Fw(is)30 b(b)s(ounded,)e(and)i(w)m(e)h(ha)m(v)m(e:)919 2206 y Ft(k)p Fw([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)1125 2173 y Fr(e)1162 2206 y Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(i\()p Fs(B)1367 2220 y Fr(c)i Fq(t)1465 2206 y Fw(+)i Fs(\025)p Fw(\))1643 2173 y FF(\000)p Fr(1)1738 2206 y Fw(]\()p Fs(L)i Fw(+)f(i\))2033 2173 y FF(\000)p Fr(1)2127 2206 y Ft(k)919 2406 y(\024)25 b(k)p Fw(\()p Fs(B)1164 2420 y Fr(c)17 b Fq(t)1262 2406 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1441 2373 y FF(\000)p Fr(1)1536 2406 y Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(b)1690 2420 y Fr(c)15 b Fq(t)1766 2406 y Fs(v)1813 2373 y Fr(e)1849 2406 y Fw(\)\()p Fs(K)27 b Fw(+)20 b(1\))2194 2370 y FF(\000)2259 2343 y Fm(1)p 2260 2355 V 2260 2396 a(2)2305 2406 y Fw(\)\()p Fs(B)2444 2420 y Fr(c)c Fq(t)2541 2406 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2720 2373 y FF(\000)p Fr(1)2815 2406 y Ft(k)919 2628 y(\024)25 b Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(b)1181 2543 y Fm(1)p 1181 2555 V 1181 2596 a(2)1171 2650 y Fr(c)16 b Fq(t)1248 2628 y Fs(v)1295 2595 y Fr(e)1331 2628 y Fw(\()p Fs(K)27 b Fw(+)20 b(1\))1641 2592 y FF(\000)1706 2565 y Fm(1)p 1707 2577 V 1707 2618 a(2)1751 2628 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)7 b(t)2023 2595 y FF(\000)p Fq(\026)2124 2628 y Fs(;)0 2417 y Fw(\(5.4\))0 2816 y(using)29 b(Prop.)40 b(A.1)31 b(and)f(assumption)f Fu(\(I'2\))p Fw(.)141 2929 y(Next)i(w)m(e)g(note)g(that)g(if)f(0)25 b Fs(<)g Fw(c)h Fs(<)f Fw(1)31 b(or)f(c)c(=)f(1)30 b(and)g Fs(\013)1967 2943 y Fr(1)2032 2929 y Fs(<)25 b Fw(0)1343 3147 y Fs(c)1382 3161 y Fq(t)1438 3147 y Ft(\025)1560 3085 y Fw(c)p 1544 3126 74 4 v 1544 3209 a Fs(t)1577 3183 y Fq(\032)1627 3147 y Fs(f)1682 3109 y FF(0)1704 3147 y Fw(\()1749 3085 y Fs(s)20 b Ft(\000)g Fw(c)p Fs(t)p 1749 3126 227 4 v 1826 3209 a(t)1859 3183 y Fq(\032)1986 3147 y Fw(\))31 b(for)f Fs(t)25 b Ft(\035)g Fw(1)p Fs(:)0 3364 y Fw(Applying)j(then)i (Prop.)40 b(A.2)31 b(with)e Ft(D)f Fw(=)d Ft(D)s Fw(\()p Fs(N)1621 3331 y Fr(e)1657 3364 y Fw(\),)31 b(w)m(e)f(obtain)554 3487 y Fp(Z)637 3513 y Fr(+)p FF(1)600 3676 y Fr(1)782 3602 y Ft(k)p Fw(d\000\()p Fs(c)1009 3616 y Fq(t)1039 3602 y Fw(\))1084 3537 y Fm(1)p 1084 3549 31 4 v 1084 3590 a(2)1129 3602 y Fw(\()p Fs(B)1233 3616 y Fr(c)16 b Fq(t)1330 3602 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1509 3564 y FF(\000)p Fr(1)1603 3602 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)1844 3616 y Fq(t)1875 3602 y Ft(k)1920 3564 y Fr(2)1969 3540 y Fs(dt)p 1969 3581 81 4 v 1993 3664 a(t)2085 3602 y Ft(\024)25 b Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(u)p Ft(k)2395 3564 y Fr(2)2435 3602 y Fs(;)35 b(u)25 b Ft(2)g(D)s Fw(\()p Fs(N)2849 3564 y Fr(e)2885 3602 y Fw(\))p Fs(;)36 b(\025)25 b(>)g Fw(0)p Fs(:)-3225 b Fw(\(5.5\))0 3830 y(This)29 b(pro)m(v)m(es)i Fu(i\))p Fw(.)141 3943 y(F)-8 b(or)31 b Fs(\025)26 b Ft(2)p 495 3943 4 56 v 24 w Fw(C)p Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)664 3907 y FF(\000)723 3943 y Fw(,)31 b(w)m(e)g(ha)m(v)m (e,)g(as)g(quadratic)f(forms)g(on)g Ft(D)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))20 b Ft(\\)g(D)s Fw(\()p Fs(N)2540 3910 y Fr(e)2576 3943 y Fw(\):)898 4132 y Fi(D)978 4099 y Fr(0)1018 4132 y Fw(\()p Fs(B)1122 4146 y Fr(c)c Fq(t)1219 4132 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1398 4099 y FF(\000)p Fr(1)1518 4132 y Fw(=)25 b Ft(\000)p Fw(\()p Fs(B)1789 4146 y Fr(c)16 b Fq(t)1886 4132 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2065 4099 y FF(\000)p Fr(1)2159 4132 y Fw(d\000\()p Fs(c)2341 4146 y Fq(t)2371 4132 y Fw(\)\()p Fs(B)2510 4146 y Fr(c)d Fq(t)2608 4132 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))2787 4099 y FF(\000)p Fr(1)898 4331 y Fw(=)25 b Ft(\000)p Fw(\()p Fs(B)1169 4345 y Fr(c)16 b Fq(t)1266 4331 y Fw(+)k(1\))1437 4298 y FF(\000)p Fr(1)1532 4331 y Fw(d\000\()p Fs(c)1714 4345 y Fq(t)1744 4331 y Fw(\))1789 4268 y Fm(1)p 1789 4280 31 4 v 1789 4322 a(2)1834 4331 y Fs(R)q Fw(\()p Fs(t)p Fw(\)d\000\()p Fs(c)2189 4345 y Fq(t)2219 4331 y Fw(\))2264 4268 y Fm(1)p 2264 4280 V 2264 4322 a(2)2308 4331 y Fw(\()p Fs(B)2412 4345 y Fr(c)d Fq(t)2510 4331 y Fw(+)j(1\))2681 4298 y FF(\000)p Fr(1)2776 4331 y Fs(;)0 4232 y Fw(\(5.6\))0 4528 y(for)30 b Fs(R)q Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))c(=)f(\()p Fs(B)538 4542 y Fr(c)16 b Fq(t)635 4528 y Fw(+)k(1\))806 4495 y Fr(2)846 4528 y Fw(\()p Fs(B)950 4542 y Fr(c)d Fq(t)1048 4528 y Fw(+)i Fs(\025)p Fw(\))1226 4495 y FF(\000)p Fr(2)1347 4528 y Ft(2)25 b Fs(O)s Fw(\(1\).)41 b(Moreo)m(v)m(er)33 b(\(5.4\))f(is)e(still)e(v)-5 b(alid)29 b(for)h Fs(\025)25 b Ft(2)p 3122 4528 4 56 v 25 w Fw(C)p Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)3291 4492 y FF(\000)3350 4528 y Fw(.)41 b(Applying)0 4641 y(then)30 b(\(5.6\),)i(\(5.4\))h(and)c(the)i(estimate)g(\(5.5\))h (for)e Fs(\025)c Fw(=)f(1,)31 b(w)m(e)g(obtain)e Fu(ii\))i Fw(b)m(y)f(Prop.)40 b(A.3.)i Fh(2)0 4886 y Fi(Lemma)33 b(5.2)46 b Fu(L)-5 b(et)33 b Fs(f)752 4900 y Fq(t)806 4886 y Ft(2)25 b Fs(C)964 4853 y FF(1)1038 4886 y Fw(\(I)-15 b(R\))33 b Fu(with)g Ft(j)p Fs(@)1501 4853 y Fq(\013)1496 4908 y(s)1551 4886 y Fs(f)1596 4900 y Fq(t)1626 4886 y Ft(j)25 b(\024)g Fs(C)1837 4900 y Fq(\013)1887 4886 y Fs(t)1920 4853 y FF(\000)p Fq(\032\013)2060 4886 y Fu(,)32 b Fs(\013)26 b Ft(2)f Fw(I)-15 b(N)p Fu(.)41 b(Then)1494 5077 y Fw([)p Fs(f)1564 5091 y Fq(t)1594 5077 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))p Fs(;)15 b Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)p Fw(])27 b Ft(2)d Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2129 5039 y FF(\000)p Fq(\032)2225 5077 y Fw(\))p Fs(:)1844 5517 y Fw(33)p eop %%Page: 34 34 34 33 bop 0 162 a Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e)1241 275 y Ft(k)p Fw([)p Fs(f)1356 289 y Fq(t)1386 275 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))p Fs(;)15 b Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)p Fw(])p Ft(k)27 b Fw(=)e Fs(t)1870 238 y FF(\000)p Fq(\032)1965 275 y Ft(k)p Fw([)p Fs(f)2080 289 y Fq(t)2110 275 y Fw(\()p Fs(t)2178 238 y Fq(\032)2219 275 y Fs(s)p Fw(\))p Fs(;)15 b Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)p Fw(])p Ft(k)p Fs(:)0 427 y Fw(Note)32 b(that)f Fs(g)460 441 y Fq(t)490 427 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))25 b(=)g Fs(f)769 441 y Fq(t)798 427 y Fw(\()p Fs(t)866 394 y Fq(\032)907 427 y Fs(s)p Fw(\))30 b(satis\014es)g Ft(j)p Fs(@)1428 394 y Fq(\013)1423 449 y(s)1478 427 y Fs(g)1521 441 y Fq(t)1551 427 y Ft(j)25 b(\024)g Fs(C)1762 441 y Fq(\013)1812 427 y Fw(,)30 b Fs(\013)c Ft(2)f Fw(I)-15 b(N.)141 540 y(It)28 b(remains)e(to)j(c)m(hec)m(k)g(that)f([)p Fs(g)1186 554 y Fq(t)1216 540 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))p Fs(;)15 b Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)p Fw(])30 b(is)c(b)s(ounded,)h(whic)m (h)f(follo)m(ws)h(b)m(y)g(writing)f Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)i Fw(as)g Fs(r)3282 554 y Fr(1)3322 540 y Fw(\()p Fs(\033)s Fw(\))15 b(+)g Fs(r)3589 554 y Fr(2)3628 540 y Fw(\()p Fs(\033)s Fw(\),)0 653 y(where)30 b Fs(r)304 667 y Fr(1)343 653 y Fw(\()p Fs(\033)s Fw(\))i(is)d(b)s(ounded)f(and)i Fs(r)1180 667 y Fr(2)1219 653 y Fw(\()p Fs(\033)s Fw(\))d Ft(2)d Fs(C)1528 620 y FF(1)1603 653 y Fw(\(I)-15 b(R\),)30 b Ft(j)p Fs(@)1891 620 y Fq(\013)1886 675 y(\033)1942 653 y Fs(r)1983 667 y Fr(2)2022 653 y Fw(\()p Fs(\033)s Fw(\))p Ft(j)c(\024)f Fs(C)2359 667 y Fq(\013)2409 653 y Ft(h)p Fs(\033)s Ft(i)2534 620 y Fr(1)p FF(\000j)p Fq(\013)p FF(j)2714 653 y Fw(.)40 b Fh(2)0 875 y Fi(Lemma)33 b(5.3)46 b Fu(Assume)33 b(\(I'0\))g(for)h Fs(\017)1289 889 y Fr(0)1355 875 y Fs(>)25 b Fw(0)p Fu(,)34 b(\(I'2\))g(for)f Fs(\026)26 b(>)g Fw(0)p Fu(.)44 b(L)-5 b(et)33 b Fs(N)2455 842 y Fr(e)2445 897 y Fq(t)2524 875 y Fu(b)-5 b(e)33 b(de\014ne)-5 b(d)34 b(in)f(\(4.9\).)44 b(Assume)33 b(the)0 988 y(exp)-5 b(onent)34 b Fs(\032)f Fu(in)f(\(5.2\))i(is)e(such)h(that) h Fs(\032)25 b(>)g(\016)k(>)c Fw(\(1)c(+)f Fs(\017)1850 1002 y Fr(0)1889 988 y Fw(\))1924 955 y FF(\000)p Fr(1)2019 988 y Fu(.)42 b(Then)33 b(for)g Fs(\037;)15 b(F)39 b Ft(2)24 b Fs(C)2822 955 y FF(1)2815 1011 y Fr(0)2897 988 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fs(;)15 b(\025)26 b Ft(2)p 3283 988 4 56 v 25 w Fw(C)o Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)3452 952 y FF(\000)3511 988 y Fu(:)995 1204 y Fw(\()p Fs(L)20 b Fw(+)g(i\)[\()p Fs(B)1393 1218 y Fr(c)c Fq(t)1490 1204 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1669 1166 y FF(\000)p Fr(1)1764 1204 y Fs(;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)])p Fs(F)e Fw(\()2134 1142 y Fs(N)2217 1109 y Fr(e)2207 1165 y Fq(t)p 2134 1183 119 4 v 2159 1266 a Fs(t)2192 1240 y Fq(\016)2264 1204 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))26 b Ft(2)e Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(:)0 1560 y Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(W)-8 b(e)32 b(write)562 1723 y(\()p Fs(L)20 b Fw(+)g(i\)[\()p Fs(B)960 1737 y Fr(c)c Fq(t)1057 1723 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1236 1690 y FF(\000)p Fr(1)1331 1723 y Fs(;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)])p Fs(F)e Fw(\()1701 1675 y Fq(N)1764 1652 y Fm(e)1757 1696 y Fj(t)p 1702 1702 95 4 v 1720 1759 a Fq(t)1745 1740 y Fj(\016)1807 1723 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))408 1922 y(=)601 1886 y Fr(i)p 572 1901 79 4 v 572 1953 a(2)p Fq(\031)675 1853 y Fp(R)756 1878 y Fq(@)f Fr(~)-43 b Fq(\037)o Fr(\()p Fq(z)s Fr(\))p 756 1901 176 4 v 805 1953 a Fq(@)p 846 1915 36 4 v 4 w(z)941 1922 y Fw(\()p Fs(L)20 b Fw(+)g(i\)\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(L)p Fw(\))1500 1889 y FF(\000)p Fr(1)1594 1922 y Fw([\()p Fs(B)1723 1936 y Fr(c)d Fq(t)1821 1922 y Fw(+)i Fs(\025)p Fw(\))1999 1889 y FF(\000)p Fr(1)2094 1922 y Fs(;)c(L)p Fw(]\()p Fs(z)26 b Ft(\000)19 b Fs(L)p Fw(\))2511 1889 y FF(\000)p Fr(1)2606 1922 y Fs(F)13 b Fw(\()2722 1874 y Fq(N)2785 1850 y Fm(e)2778 1894 y Fj(t)p 2722 1901 95 4 v 2740 1958 a Fq(t)2765 1939 y Fj(\016)2827 1922 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)d)p Fs(z)25 b Ft(^)19 b Fw(d)p 3300 1873 47 4 v Fs(z)t(:)0 2103 y Fw(By)31 b(Lemma)f(3.5,)i(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(L)p Fw(\))929 2070 y FF(\000)p Fr(1)1053 2103 y Fw(preserv)m(es)31 b Ft(D)s Fw(\()p Fs(N)1635 2070 y Fr(e)1670 2103 y Fw(\).)41 b(On)30 b Ft(D)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))20 b Ft(\\)g(D)s Fw(\()p Fs(N)2420 2070 y Fr(e)2456 2103 y Fw(\))30 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e:)727 2277 y([\()p Fs(B)856 2291 y Fr(c)17 b Fq(t)953 2277 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1132 2240 y FF(\000)p Fr(1)1227 2277 y Fs(;)15 b(L)p Fw(])26 b(=)f([\()p Fs(B)1605 2291 y Fr(c)16 b Fq(t)1702 2277 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1881 2240 y FF(\000)p Fr(1)1976 2277 y Fs(;)15 b(L)2078 2291 y Fr(0)2118 2277 y Fw(])20 b(+)g([\()p Fs(B)2383 2291 y Fr(c)c Fq(t)2480 2277 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2659 2240 y FF(\000)p Fr(1)2754 2277 y Fs(;)15 b(\036)p Fw(\()p Fs(v)2930 2240 y Fr(e)2967 2277 y Fw(\)])p Fs(:)0 2451 y Fw(By)31 b(\(5.4\))954 2564 y([\()p Fs(B)1083 2578 y Fr(c)17 b Fq(t)1181 2564 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1360 2526 y FF(\000)p Fr(1)1454 2564 y Fs(;)15 b(\036)p Fw(\()p Fs(v)1630 2526 y Fr(e)1667 2564 y Fw(\)]\()p Fs(z)26 b Ft(\000)20 b Fs(L)p Fw(\))2018 2526 y FF(\000)p Fr(1)2137 2564 y Ft(2)25 b Fs(O)s Fw(\()p Ft(j)p Fw(Im)p Fs(z)t Ft(j)2535 2526 y FF(\000)p Fr(1)2630 2564 y Fs(t)2663 2526 y FF(\000)p Fq(\026)2764 2564 y Fw(\))p Fs(:)0 2716 y Fw(Next)31 b(on)f Ft(D)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))21 b Ft(\\)f(D)s Fw(\()p Fs(N)846 2683 y Fr(e)881 2716 y Fw(\))728 2890 y([\()p Fs(B)857 2904 y Fr(c)c Fq(t)954 2890 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1133 2852 y FF(\000)p Fr(1)1228 2890 y Fs(;)15 b(L)1330 2904 y Fr(0)1369 2890 y Fw(])26 b(=)f Ft(\000)p Fw(\()p Fs(B)1691 2904 y Fr(c)16 b Fq(t)1788 2890 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1967 2852 y FF(\000)p Fr(1)2061 2890 y Fw(d\000\([)p Fs(b)2268 2904 y Fr(c)c Fq(t)2345 2890 y Fs(;)f Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)p Fw(]\)\()p Fs(B)2654 2904 y Fr(c)j Fq(t)2753 2890 y Fw(+)i Fs(\025)p Fw(\))2932 2852 y FF(\000)p Fr(1)3027 2890 y Fs(:)-3052 b Fw(\(5.7\))0 3064 y(By)31 b(Lemma)f(5.2,)i([)p Fs(b)703 3078 y Fr(c)16 b Fq(t)780 3064 y Fs(;)f Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)p Fw(])26 b Ft(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)1202 3031 y FF(\000)p Fq(\032)1298 3064 y Fw(\))30 b(and)g(hence)1294 3238 y([\()p Fs(B)1423 3252 y Fr(c)16 b Fq(t)1520 3238 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1699 3200 y FF(\000)p Fr(1)1794 3238 y Fs(;)15 b(L)1896 3252 y Fr(0)1935 3238 y Fw(])26 b Ft(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(N)2262 3200 y Fr(e)2297 3238 y Fw(\))p Fs(t)2365 3200 y FF(\000)p Fq(\032)2461 3238 y Fs(:)0 3412 y Fw(By)31 b(Lemma)f(3.5)i(w)m(e)e(ha)m (v)m(e)777 3586 y(\()p Fs(N)895 3548 y Fr(e)951 3586 y Fw(+)20 b(1\)\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(L)p Fw(\))1412 3548 y FF(\000)p Fr(1)1507 3586 y Fw(\()p Fs(N)1625 3548 y Fr(e)1681 3586 y Fw(+)g(1\))1852 3548 y FF(\000)p Fr(1)1972 3586 y Ft(2)25 b Fs(O)s Fw(\()p Ft(j)p Fw(Im)p Fs(z)t Ft(j)2370 3548 y FF(\000)p Fr(2)2465 3586 y Fw(\))p Fs(;)36 b(z)29 b Ft(2)c Fw(supp)f(~)-55 b Fs(\037;)-3003 b Fw(\(5.8\))0 3772 y(and)30 b(b)m(y)g(Lemma)h(4.6)g Fs(N)857 3739 y Fr(e)892 3772 y Fs(F)13 b Fw(\()1008 3723 y Fq(N)1071 3700 y Fm(e)1064 3744 y Fj(t)p 1009 3751 95 4 v 1026 3807 a Fq(t)1051 3788 y Fj(\016)1113 3772 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)1589 3739 y Fq(\016)1627 3772 y Fw(\).)41 b(Finally)28 b(w)m(e)j(obtain)f (that)h(for)f Fs(u)c Ft(2)e(D)s Fw(\()p Fs(N)3144 3739 y Fr(e)3180 3772 y Fw(\):)840 3970 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(L)d Fw(+)f(i\)\()p Fs(z)k Ft(\000)c Fs(L)p Fw(\))1444 3937 y FF(\000)p Fr(1)1538 3970 y Fw([\()p Fs(B)1667 3984 y Fr(c)d Fq(t)1765 3970 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1944 3937 y FF(\000)p Fr(1)2039 3970 y Fs(;)15 b(L)p Fw(]\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(L)p Fw(\))2456 3937 y FF(\000)p Fr(1)2550 3970 y Fs(F)13 b Fw(\()2666 3922 y Fq(N)2729 3899 y Fm(e)2722 3943 y Fj(t)p 2667 3949 V 2684 4006 a Fq(t)2709 3987 y Fj(\016)2771 3970 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)p Ft(k)686 4154 y(\024)83 b Fs(C)7 b Fw(\()p Fs(t)980 4121 y Fq(\016)r FF(\000)p Fq(\032)1108 4154 y Ft(j)p Fw(Im)p Fs(z)t Ft(j)1313 4121 y FF(\000)p Fr(3)1428 4154 y Fw(+)20 b Fs(t)1552 4121 y FF(\000)p Fq(\026)1653 4154 y Ft(j)p Fw(Im)p Fs(z)t Ft(j)1858 4121 y FF(\000)p Fr(1)1953 4154 y Fw(\))p Ft(k)p Fs(u)p Ft(k)p Fs(;)37 b(z)30 b Ft(2)24 b Fw(supp)h(~)-56 b Fs(\037:)0 4321 y Fw(Using)30 b(the)g(prop)s(erties)f(of)41 b(~)-56 b Fs(\037)31 b Fw(this)e(pro)m(v)m(es)i(the)g(lemma.)40 b Fh(2)0 4543 y Fi(Prop)s(osition)c(5.4)46 b Fu(Assume)34 b(\(I'0\),)g(\(I'1\))g(for)h Fs(\017)1731 4557 y Fr(0)1797 4543 y Fs(>)27 b Fw(0)p Fs(;)p Fu(\(I'2\))35 b(for)f Fs(\026)27 b(>)g Fw(0)p Fu(.)45 b(Then)34 b(for)g Fs(\032)28 b(>)e(\016)31 b(>)c Fw(\(1)22 b(+)f Fs(\017)3583 4557 y Fr(0)3622 4543 y Fw(\))3657 4510 y FF(\000)p Fr(1)3752 4543 y Fu(,)0 4656 y Fs(\025)k Ft(2)p 190 4656 4 56 v 25 w Fw(C)p Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)360 4620 y FF(\000)419 4656 y Fu(,)32 b Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)719 4623 y FF(1)712 4679 y Fr(0)793 4656 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fu(:)622 4872 y Fw(\()p Fs(B)726 4886 y Fr(c)16 b Fq(t)823 4872 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1002 4834 y FF(\000)p Fr(1)1097 4872 y Fs(F)13 b Fw(\()1213 4810 y Fs(N)1296 4777 y Fr(e)1286 4833 y Fq(t)p 1213 4851 119 4 v 1237 4934 a Fs(t)1270 4908 y Fq(\016)1342 4872 y Fw(\))p Fs(\037)1434 4834 y Fr(2)1473 4872 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))26 b(=)f Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(B)2020 4886 y Fr(c)17 b Fq(t)2118 4872 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))2297 4834 y FF(\000)p Fr(1)2391 4872 y Fs(F)13 b Fw(\()2507 4810 y Fs(N)2590 4777 y Fr(e)2580 4833 y Fq(t)p 2507 4851 V 2532 4934 a Fs(t)2565 4908 y Fq(\016)2636 4872 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))21 b(+)f Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(:)0 5228 y Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(W)-8 b(e)32 b(com)m(bine)e(Lemma)h(5.3)g(and)f(Lemma)g(4.4.)42 b Fh(2)1844 5517 y Fw(34)p eop %%Page: 35 35 35 34 bop 0 162 a Fv(5.2)112 b(Asymptotic)35 b(pro)6 b(jections)0 334 y Fi(Theorem)69 b(5.5)46 b Fu(Assume)35 b(\(I'0\),)i(\(I'1\))f(for)f Fs(\017)1651 348 y Fr(0)1721 334 y Fs(>)30 b Fw(0)p Fu(,)36 b(\(I'2\))g(with)h Fs(\026)30 b(>)f Fw(1)36 b Fu(and)g(pick)g Fs(\032)f Fu(in)g(\(5.2\))i(such)e (that)0 447 y Fs(\032)p Fw(\(1)21 b(+)f Fs(\017)276 461 y Fr(0)315 447 y Fw(\))26 b Fs(>)f Fw(1)p Fu(.)42 b(Then:)141 560 y(i\))33 b(for)g(e)-5 b(ach)33 b Fs(\025)26 b Ft(2)p 779 560 4 56 v 24 w Fw(C)p Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)948 524 y FF(\000)1040 560 y Fu(the)33 b(limit)930 762 y Fw(s-)63 b(lim)1011 817 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1248 762 y Fw(e)1288 724 y Fr(i)p Fq(tH)1396 701 y Fm(e)1432 762 y Fw(\()p Fs(B)1536 776 y Fr(c)16 b Fq(t)1633 762 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1812 724 y FF(\000)p Fr(1)1906 762 y Fw(e)1946 724 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2109 701 y Fm(e)2171 762 y Fw(=:)25 b Fs(R)2362 724 y Fr(e+)2361 784 y(c)2452 762 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))33 b Fu(exists)q Fs(:)0 1002 y Fu(ii\))f Fw([)p Fs(R)220 969 y Fr(e+)219 1025 y(c)311 1002 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(;)15 b(L)p Fw(])26 b(=)f([)p Fs(R)778 969 y Fr(e+)777 1025 y(c)869 1002 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(;)15 b(H)1115 969 y Fr(e)1151 1002 y Fw(])26 b(=)f(0)p Fu(.)141 1115 y(iii\))32 b(the)h(limit)1249 1228 y Fw(s-)20 b(lim)1331 1285 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1480 1228 y Fs(\017)1517 1191 y FF(\000)p Fr(1)1611 1228 y Fs(R)1681 1191 y Fr(e+)1680 1251 y(c)1772 1228 y Fw(\()p Fs(\017)1844 1191 y FF(\000)p Fr(1)1938 1228 y Fw(\))26 b(=:)2140 1205 y(^)2120 1228 y Fs(P)2191 1191 y Fr(e+)2178 1251 y(c)2314 1228 y Fu(exists)0 1418 y(and)34 b(is)e(an)h(ortho)-5 b(gonal)36 b(pr)-5 b(oje)g(ction.)141 1530 y(iv\))647 1648 y Fw([)p Fs(H)755 1615 y Fr(e)790 1648 y Fs(;)851 1625 y Fw(^)830 1648 y Fs(P)901 1615 y Fr(e+)888 1670 y(c)992 1648 y Fw(])26 b(=)f([)p Fs(L;)1287 1625 y Fw(^)1266 1648 y Fs(P)1337 1615 y Fr(e+)1324 1670 y(c)1428 1648 y Fw(])g(=)g(0)p Fs(;)647 1838 y(u)g Fw(=)840 1815 y(^)820 1838 y Fs(P)891 1805 y Fr(e+)878 1861 y(c)981 1838 y Fs(u)h Ft(,)f Fw(s-)15 b(lim)1382 1852 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1536 1838 y Fw(s-)g(lim)1744 1852 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1984 1838 y Fw(e)2024 1805 y Fr(i)p Fq(tH)2132 1782 y Fm(e)2169 1838 y Fw(\()p Fs(B)2273 1852 y Fr(c)h Fq(t)2370 1838 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2549 1805 y FF(\000)p Fr(1)2643 1838 y Fw(e)2683 1805 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2846 1782 y Fm(e)2882 1838 y Fs(u)26 b Fw(=)f Fs(u:)0 2144 y Fw(The)43 b(pro)5 b(jections)701 2121 y(^)681 2144 y Fs(P)752 2111 y Fr(e+)739 2166 y(c)885 2144 y Fw(dep)s(end)42 b(on)h(the)g(c)m(hoice)i(of)e(the)g(cuto\013)h (function)e Fs(f)53 b Fw(in)42 b(\(5.2\).)81 b(W)-8 b(e)45 b(in)m(tro)s(duce)0 2257 y(pro)5 b(jections)30 b(indep)s(enden)m(t)e (on)i(the)h(c)m(hoice)g(of)g Fs(f)39 b Fw(in)29 b(the)i(next)f (theorem.)0 2443 y Fi(Theorem)69 b(5.6)46 b Fu(Assume)35 b(\(I'0\),)i(\(I'1\))f(for)f Fs(\017)1651 2457 y Fr(0)1721 2443 y Fs(>)30 b Fw(0)p Fu(,)36 b(\(I'2\))g(with)h Fs(\026)30 b(>)f Fw(1)36 b Fu(and)g(pick)g Fs(\032)f Fu(in)g(\(5.2\))i(such)e (that)0 2556 y Fs(\032)p Fw(\(1)21 b(+)f Fs(\017)276 2570 y Fr(0)315 2556 y Fw(\))26 b Fs(>)f Fw(1)p Fu(.)42 b(L)-5 b(et)33 b(for)g Fw(0)26 b Fs(<)f Fw(c)g Fs(<)g Fw(1)p Fu(:)1215 2758 y Fs(P)1286 2720 y Fr(e+)1273 2780 y(c)1402 2758 y Fw(:=)40 b(inf)1523 2818 y Fr(c)p Fq(<)p Fr(c)1640 2799 y Fo(0)1699 2735 y Fw(^)1678 2758 y Fs(P)1749 2720 y Fr(e+)1736 2786 y Fq(c)1767 2768 y Fo(0)1840 2758 y Fs(;)35 b Ft(H)1978 2720 y Fr(e+)1977 2780 y(c)2094 2758 y Fw(:=)25 b(Ran)p Fs(P)2449 2720 y Fr(e+)2436 2780 y(c)2539 2758 y Fs(:)0 2991 y Fu(Then:)141 3104 y(i\))33 b Fs(P)310 3071 y Fr(e+)297 3127 y(c)433 3104 y Fu(is)f(an)h(ortho)-5 b(gonal)36 b(pr)-5 b(oje)g(ction)35 b(indep)-5 b(endent)34 b(on)f(the)g(choic)-5 b(e)33 b(of)g(the)g(function)g Fs(f)42 b Fu(in)32 b(\(5.2\).)1332 3307 y Fs(ii)p Fw(\))21 b([)p Fs(H)1558 3269 y Fr(e)1594 3307 y Fs(;)15 b(P)1705 3269 y Fr(e+)1692 3329 y(c)1795 3307 y Fw(])26 b(=)f([)p Fs(L;)15 b(P)2140 3269 y Fr(e+)2127 3329 y(c)2231 3307 y Fw(])25 b(=)g(0)p Fs(;)1201 3509 y(iii)p Fw(\))42 b(\012)1437 3471 y Fr(e+)1527 3509 y Fw(\()p Ft(H)1639 3523 y Fr(pp)1722 3509 y Fw(\()p Fs(H)1840 3471 y Fr(e)1876 3509 y Fw(\))20 b Ft(\012)g Fw(\000\()p Fl(h)2157 3471 y Fr(e)2193 3509 y Fw(\)\))26 b Ft(\032)f(H)2463 3471 y Fr(e+)2462 3531 y(c)2553 3509 y Fs(;)0 3675 y Fu(wher)-5 b(e)34 b(the)f(wave)g(op)-5 b(er)g(ator)36 b Fw(\012)1055 3642 y Fr(e+)1177 3675 y Fu(is)d(de\014ne)-5 b(d)33 b(in)g(Subse)-5 b(ct.)42 b(8.5.)0 3860 y Fw(The)32 b(space)h Ft(H)512 3827 y Fr(e+)511 3883 y(c)635 3860 y Fw(can)f(b)s(e)g(understo)s(o)s(d)f(as)i(the)f (space)h(of)g(states)h(ha)m(ving)e(a)h(\014nite)e(n)m(um)m(b)s(er)h(of) g(particles)g(in)0 3973 y(the)27 b(region)g Ft(f)p Fs(s)f Ft(\025)f Fw(c)673 3940 y FF(0)696 3973 y Fs(t)p Ft(g)j Fw(for)f(all)f(c)1101 3940 y FF(0)1150 3973 y Fs(>)f Fw(c.)40 b(By)27 b(part)h Fu(ii\))f Fw(of)g(Thm.)39 b(5.6)28 b(w)m(e)g(kno)m(w)f(that)h(if)e Fs(H)3027 3940 y Fr(e)3090 3973 y Fw(has)h(b)s(ound)e(states,)0 4086 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b Fw(+)h Fs(s)3071 4328 y FF(0)3094 4361 y Fw(\))33 b(for)f(an)m(y)h Fs(s)3520 4328 y FF(0)3572 4361 y Ft(\025)c Fs(s)3715 4375 y Fr(0)3754 4361 y Fw(.)0 4474 y(This)g(implies)e(that)k(if)e(c)836 4488 y Fr(1)902 4474 y Fs(>)c Fw(c)1038 4488 y Fr(2)1238 4707 y Fs(f)1283 4721 y Fr(1)1322 4707 y Fw(\()1367 4645 y Fs(s)20 b Ft(\000)g Fw(c)1561 4659 y Fr(1)1601 4645 y Fs(t)p 1367 4686 267 4 v 1464 4769 a(t)1497 4743 y Fq(\032)1644 4707 y Fw(\))25 b Ft(\024)g Fs(f)1845 4721 y Fr(2)1884 4707 y Fw(\()1929 4645 y Fs(s)20 b Ft(\000)g Fw(c)2123 4659 y Fr(2)2163 4645 y Fs(t)p 1929 4686 V 2026 4769 a(t)2059 4743 y Fq(\032)2206 4707 y Fw(\))p Fs(;)36 b(t)25 b Ft(\025)g Fs(T)8 b(:)-2542 b Fw(\(5.9\))0 4953 y(Let)27 b(us)f(denote)h(b)m(y)g Fs(B)753 4967 y Fq(i;)p Fr(c)15 b Fq(t)899 4953 y Fw(the)27 b(observ)-5 b(able)26 b(de\014ned)f(in)h(\(5.2\))i(for)e Fs(f)35 b Fw(=)25 b Fs(f)2472 4967 y Fq(i)2526 4953 y Fw(and)h(b)m(y)h Fs(R)2892 4915 y Fr(e+)2891 4979 y Fq(i;)p Fr(c)2982 4953 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\),)3178 4930 y(^)3158 4953 y Fs(P)3229 4915 y Fr(e+)3216 4979 y Fq(i;)p Fr(c)3346 4953 y Fw(the)g(ob)5 b(jects)0 5066 y(constructed)31 b(in)e(Thm.)39 b(5.5)32 b(for)e Fs(f)k Fw(=)25 b Fs(f)1360 5080 y Fq(i)1388 5066 y Fw(.)41 b(It)30 b(follo)m(ws)g(from)g(\(5.9\))i (that)933 5268 y(\()p Fs(B)1037 5282 y Fr(1)p Fq(;)p Fr(c)1123 5291 y Fm(1)1173 5282 y Fq(t)1223 5268 y Fw(+)20 b Fs(\025)p Fw(\))1402 5230 y FF(\000)p Fr(1)1522 5268 y Ft(\025)25 b Fw(\()p Fs(B)1722 5282 y Fr(2)p Fq(;)p Fr(c)1808 5291 y Fm(2)1859 5282 y Fq(t)1909 5268 y Fw(+)20 b Fs(\025)p Fw(\))2088 5230 y FF(\000)p Fr(1)2213 5268 y Fw(for)30 b Fs(t)25 b Ft(\025)g Fs(T)8 b(;)35 b(\025)25 b(>)g Fw(0)1844 5517 y(35)p eop %%Page: 36 36 36 35 bop 0 162 a Fw(hence)1359 275 y Fs(R)1429 237 y Fr(e+)1428 300 y(1)p Fq(;)p Fr(c)1514 309 y Fm(1)1553 275 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))26 b Ft(\025)f Fs(R)1868 237 y Fr(e+)1867 300 y(2)p Fq(;)p Fr(c)1953 309 y Fm(2)1992 275 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(;)36 b(\025)25 b(>)g Fw(0)p Fs(;)0 429 y Fw(and)1456 519 y(^)1436 542 y Fs(P)1507 504 y Fr(e+)1494 567 y(1)p Fq(;)p Fr(c)1580 576 y Fm(1)1645 542 y Ft(\025)1761 519 y Fw(^)1740 542 y Fs(P)1811 504 y Fr(e+)1798 567 y(2)p Fq(;)p Fr(c)1884 576 y Fm(2)1954 542 y Fw(if)k(c)2077 556 y Fr(1)2143 542 y Fs(>)c Fw(c)2279 556 y Fr(2)2318 542 y Fs(:)-2343 b Fw(\(5.10\))0 716 y(If)25 b(w)m(e)i(tak)m(e)g Fs(f)453 730 y Fr(1)517 716 y Fw(=)e Fs(f)658 730 y Fr(2)722 716 y Fw(=)g Fs(f)10 b Fw(,)26 b(w)m(e)h(obtain)e(that)h(the)g(family)f(of)g(pro)5 b(jections)2532 693 y(^)2512 716 y Fs(P)2583 683 y Fr(e+)2570 738 y(c)2699 716 y Fw(is)25 b(increasing)f(w.r.t.)39 b(c,)28 b(whic)m(h)0 829 y(sho)m(ws)i(the)h(existence)g(of)f Fs(P)979 796 y Fr(e+)966 851 y(c)1069 829 y Fw(.)41 b(Using)30 b(again)g(\(5.10\))j(w)m(e)e(obtain)e(that)i Fs(P)2580 796 y Fr(e+)2567 851 y(c)2701 829 y Fw(do)s(es)f(not)h(dep)s(end)d(on)j Fs(f)10 b Fw(.)141 942 y Fu(ii\))34 b Fw(follo)m(w)f(from)g(Thm.)49 b(5.5.)j(It)34 b(remains)f(to)h(pro)m(v)m(e)h Fu(iii\))p Fw(.)50 b(W)-8 b(e)35 b(\014rst)e(note)h(that)h Ft(H)3049 956 y Fr(pp)3131 942 y Fw(\()p Fs(H)3249 909 y Fr(e)3285 942 y Fw(\))c Ft(\032)f(H)3530 909 y Fr(e+)3529 964 y(c)3621 942 y Fw(.)50 b(In)0 1054 y(fact)29 b(this)e(is)f(a)j(direct)e (consequence)i(of)f(the)g(fact)h(that)f(for)g Fs(\017)d(>)g Fw(0)j(\()p Fs(\017B)2415 1068 y Fr(c)16 b Fq(t)2507 1054 y Fw(+)f(1\))2673 1022 y FF(\000)p Fr(1)2796 1054 y Fw(tends)27 b(strongly)h(to)g(1)-20 b(l)27 b(when)0 1167 y Fs(t)e Ft(!)g Fw(+)p Ft(1)p Fw(.)39 b(Next)29 b(w)m(e)e(use)g(the)h(fact)g(pro)m(v)m(ed)g(in)e(Thm.)38 b(8.7)28 b(that)g(the)g(asymptotic)f(W)-8 b(eyl)28 b(op)s(erators)g Fs(W)3567 1134 y Fr(e+)3656 1167 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))0 1280 y(preserv)m(e)j(the)f(space)h Ft(H)832 1247 y Fr(e+)831 1303 y(c)922 1280 y Fw(.)41 b(These)30 b(t)m(w)m(o)i(observ)-5 b(ations)30 b(imply)e Fu(iii\))p Fw(.)40 b Fh(2)141 1435 y Fi(Pro)s(of)c(of)f(Thm.)45 b(5.5)31 b Fw(Let)g(us)f(\014rst)f(pro)m (v)m(e)j Fu(i\))p Fw(.)40 b(By)31 b(densit)m(y)f(it)g(su\016ces)g(to)h (sho)m(w)f(the)h(existence)f(of)1344 1614 y(lim)1296 1668 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1533 1614 y Fw(e)1573 1576 y Fr(i)p Fq(tH)1681 1553 y Fm(e)1717 1614 y Fw(\()p Fs(B)1821 1628 y Fr(c)17 b Fq(t)1918 1614 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))2097 1576 y FF(\000)p Fr(1)2192 1614 y Fw(e)2232 1576 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2395 1553 y Fm(e)2431 1614 y Fs(u)-2483 b Fw(\(5.11\))0 1834 y(for)25 b Fs(u)g Fw(=)g Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)p Fw(,)i Fs(\037)e Ft(2)g Fs(C)840 1801 y FF(1)833 1857 y Fr(0)914 1834 y Fw(\(I)-15 b(R\).)39 b(Let)26 b(us)e(pic)m(k)h(an)f(exp)s(onen)m(t)i Fs(\016)i Fw(with)c Fs(\032)h(>)g(\016)k(>)c Fw(\(1)9 b(+)g Fs(\017)2905 1848 y Fr(0)2946 1834 y Fw(\))2981 1801 y FF(\000)p Fr(1)3076 1834 y Fw(,)26 b(whic)m(h)e(is)g(p)s (ossible)0 1947 y(since)30 b Fs(\032)p Fw(\(1)21 b(+)f Fs(\017)499 1961 y Fr(0)538 1947 y Fw(\))26 b Fs(>)f Fw(1.)41 b(By)30 b(Prop.)40 b(4.5)32 b Fu(ii\))p Fw(,)e(w)m(e)h(ha)m(v) m(e)h(for)e Fs(F)38 b Ft(2)25 b Fs(C)2239 1914 y FF(1)2232 1970 y Fr(0)2313 1947 y Fw(\(I)-15 b(R\),)31 b Fs(F)39 b Ft(\021)25 b Fw(1)30 b(near)h(0:)1044 2123 y(e)1084 2090 y Fr(i)p Fq(tH)1192 2067 y Fm(e)1228 2123 y Fw(\()p Fs(B)1332 2137 y Fr(c)16 b Fq(t)1429 2123 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1608 2090 y FF(\000)p Fr(1)1703 2123 y Fw(e)1743 2090 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1906 2067 y Fm(e)1942 2123 y Fs(u)890 2309 y Fw(=)83 b(e)1084 2276 y Fr(i)p Fq(tH)1192 2253 y Fm(e)1228 2309 y Fw(\()p Fs(B)1332 2323 y Fr(c)16 b Fq(t)1429 2309 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1608 2276 y FF(\000)p Fr(1)1703 2309 y Fs(F)13 b Fw(\()1819 2273 y Fq(N)1875 2281 y Fj(t)p 1819 2288 84 4 v 1831 2345 a Fq(t)1856 2326 y Fj(\016)1913 2309 y Fw(\)e)1988 2276 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2151 2253 y Fm(e)2187 2309 y Fs(u)20 b Fw(+)g Fs(o)p Fw(\(1\))890 2495 y(=)83 b(e)1084 2462 y Fr(i)p Fq(tH)1192 2439 y Fm(e)1228 2495 y Fw(\()p Fs(B)1332 2509 y Fr(c)16 b Fq(t)1429 2495 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1608 2462 y FF(\000)p Fr(1)1703 2495 y Fs(F)13 b Fw(\()1819 2459 y Fq(N)1875 2467 y Fj(t)p 1819 2474 V 1831 2531 a Fq(t)1856 2512 y Fj(\016)1913 2495 y Fw(\))p Fs(\037)2005 2462 y Fr(2)2045 2495 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2217 2462 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2380 2439 y Fm(e)2416 2495 y Fs(u)20 b Fw(+)g Fs(o)p Fw(\(1\))890 2681 y(=)83 b(e)1084 2648 y Fr(i)p Fq(tH)1192 2625 y Fm(e)1228 2681 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(B)1521 2695 y Fr(c)17 b Fq(t)1618 2681 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1797 2648 y FF(\000)p Fr(1)1892 2681 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()2197 2645 y Fq(N)2253 2653 y Fj(t)p 2198 2660 V 2210 2717 a Fq(t)2235 2698 y Fj(\016)2292 2681 y Fw(\)e)2367 2648 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2530 2625 y Fm(e)2566 2681 y Fs(u)20 b Fw(+)g Fs(o)p Fw(\(1\))890 2865 y(=)83 b(e)1084 2832 y Fr(i)p Fq(tH)1192 2809 y Fm(e)1228 2865 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(B)1521 2879 y Fr(c)17 b Fq(t)1618 2865 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1797 2832 y FF(\000)p Fr(1)1892 2865 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2121 2832 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2284 2809 y Fm(e)2321 2865 y Fs(u)g Fw(+)g Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(;)0 3042 y Fw(where)33 b(w)m(e)h(used)f(Prop.)49 b(4.5)34 b(and)f(Prop.)50 b(5.4.)h(Hence)34 b(b)m(y)f(Prop.)50 b(5.1)34 b(the)g(limit)d(\(5.11\))36 b(exists.)49 b(The)33 b(\014rst)0 3154 y(statemen)m(t)g(of)d Fu(ii\))h Fw(follo)m(ws)f(b)m(y) g(the)h(argumen)m(ts)g(ab)s(o)m(v)m(e.)43 b(Let)31 b(us)f(no)m(w)h(pro) m(v)m(e)g(the)g(second)g(statemen)m(t)i(of)d Fu(ii\))p Fw(.)0 3267 y(It)g(su\016ces)h(to)g(sho)m(w)f(that)1097 3380 y Fs(R)1167 3343 y Fr(e+)1166 3403 y(c)1257 3380 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))c(=)f(e)1542 3343 y Fr(i)p Fq(t)1587 3352 y Fm(1)1622 3343 y Fq(H)1685 3319 y Fm(e)1721 3380 y Fs(R)1791 3343 y Fr(e+)1790 3403 y(c)1881 3380 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\)e)2044 3343 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(t)2144 3352 y Fm(1)2180 3343 y Fq(H)2243 3319 y Fm(e)2278 3380 y Fs(;)36 b Ft(8)p Fs(t)2423 3394 y Fr(1)2487 3380 y Ft(2)25 b Fw(I)-15 b(R)o Fs(;)0 3535 y Fw(or)30 b(equiv)-5 b(alen)m(tly)808 3647 y(s-)63 b(lim)889 3702 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1126 3647 y Fw(e)1166 3610 y Fr(i)p Fq(tH)1274 3586 y Fm(e)1310 3647 y Fw(\(\()p Fs(B)1449 3661 y Fr(c)17 b Fq(t)1547 3647 y Fw(+)i Fs(\025)p Fw(\))1725 3610 y FF(\000)p Fr(1)1840 3647 y Ft(\000)h Fw(\()p Fs(B)2035 3661 y Fr(c)p Fq(t)p FF(\000)p Fq(t)2171 3670 y Fm(1)2232 3647 y Fw(+)g Fs(\025)p Fw(\))2411 3610 y FF(\000)p Fr(1)2505 3647 y Fw(\)e)2580 3610 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2743 3586 y Fm(e)2805 3647 y Fw(=)25 b(0)p Fs(:)-2971 b Fw(\(5.12\))0 3830 y(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e)367 4009 y(\()p Fs(B)471 4023 y Fr(c)16 b Fq(t)568 4009 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))747 3972 y FF(\000)p Fr(1)862 4009 y Ft(\000)g Fw(\()p Fs(B)1057 4023 y Fr(c)c Fq(t)p FF(\000)p Fq(t)1209 4032 y Fm(1)1269 4009 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1448 3972 y FF(\000)p Fr(1)1568 4009 y Fw(=)25 b Ft(\000)p Fw(\()p Fs(B)1839 4023 y Fr(c)16 b Fq(t)1936 4009 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2115 3972 y FF(\000)p Fr(1)2209 4009 y Fw(\()p Fs(B)2313 4023 y Fr(c)d Fq(t)2411 4009 y Ft(\000)j Fs(B)2571 4023 y Fr(c)c Fq(t)p FF(\000)p Fq(t)2723 4032 y Fm(1)2762 4009 y Fw(\)\()p Fs(B)2901 4023 y Fr(c)h Fq(t)p FF(\000)p Fq(t)3054 4032 y Fm(1)3114 4009 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))3293 3972 y FF(\000)p Fr(1)3387 4009 y Fs(;)0 4188 y Fw(and)1240 4301 y Fs(B)1309 4315 y Fr(c)c Fq(t)1406 4301 y Ft(\000)k Fs(B)1566 4315 y Fr(c)c Fq(t)p FF(\000)p Fq(t)1718 4324 y Fm(1)1783 4301 y Fw(=)25 b(d\000\()p Fs(b)2061 4315 y Fr(c)15 b Fq(t)2157 4301 y Ft(\000)20 b Fs(b)2287 4315 y Fr(c)c Fq(t)p FF(\000)p Fq(t)2439 4324 y Fm(1)2479 4301 y Fw(\))p Fs(:)0 4455 y Fw(Since)29 b Ft(k)p Fs(b)321 4469 y Fr(c)17 b Fq(t)419 4455 y Ft(\000)j Fs(b)549 4469 y Fr(c)c Fq(t)p FF(\000)p Fq(t)701 4478 y Fm(1)740 4455 y Ft(k)26 b(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)1037 4422 y FF(\000)p Fq(\032)1132 4455 y Fw(\),)31 b(this)e(giv)m(es)990 4556 y Fp(\020)1039 4650 y Fw(\()p Fs(B)1143 4664 y Fr(c)17 b Fq(t)1240 4650 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1419 4612 y FF(\000)p Fr(1)1534 4650 y Ft(\000)g Fw(\()p Fs(B)1729 4664 y Fr(c)c Fq(t)p FF(\000)p Fq(t)1881 4673 y Fm(1)1941 4650 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2120 4612 y FF(\000)p Fr(1)2215 4556 y Fp(\021)2290 4650 y Ft(2)25 b Fs(O)s Fw(\()p Fs(N)2566 4612 y Fr(e)2601 4650 y Fw(\))p Fs(t)2669 4612 y FF(\000)p Fq(\032)2765 4650 y Fs(:)-2790 b Fw(\(5.13\))0 4852 y(Let)31 b Fs(u)25 b Ft(2)g(H)404 4819 y Fr(e)470 4852 y Fw(with)k Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)c Fw(=)g Fs(u)31 b Fw(for)f Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)1501 4819 y FF(1)1494 4875 y Fr(0)1575 4852 y Fw(\(I)-15 b(R\).)41 b(W)-8 b(e)31 b(pic)m(k)f Fs(\016)35 b Fw(with)29 b Fs(\032)c(>)g(\016)k(>)c Fw(\(1)c(+)f Fs(\017)2988 4866 y Fr(0)3027 4852 y Fw(\))3062 4819 y FF(\000)p Fr(1)3187 4852 y Fw(and)30 b(write)721 5047 y(e)761 5014 y Fr(i)p Fq(tH)869 4990 y Fm(e)905 4953 y Fp(\020)954 5047 y Fw(\()p Fs(B)1058 5061 y Fr(c)17 b Fq(t)1155 5047 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1334 5014 y FF(\000)p Fr(1)1449 5047 y Ft(\000)g Fw(\()p Fs(B)1644 5061 y Fr(c)c Fq(t)p FF(\000)p Fq(t)1796 5070 y Fm(1)1856 5047 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2035 5014 y FF(\000)p Fr(1)2130 4953 y Fp(\021)2179 5047 y Fw(e)2219 5014 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2382 4990 y Fm(e)2418 5047 y Fs(u)567 5249 y Fw(=)83 b(e)761 5216 y Fr(i)p Fq(tH)869 5193 y Fm(e)905 5155 y Fp(\020)954 5249 y Fw(\()p Fs(B)1058 5263 y Fr(c)17 b Fq(t)1155 5249 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1334 5216 y FF(\000)p Fr(1)1449 5249 y Ft(\000)g Fw(\()p Fs(B)1644 5263 y Fr(c)c Fq(t)p FF(\000)p Fq(t)1796 5272 y Fm(1)1856 5249 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2035 5216 y FF(\000)p Fr(1)2130 5155 y Fp(\021)2179 5249 y Fs(F)13 b Fw(\()2295 5201 y Fq(N)2358 5177 y Fm(e)2351 5221 y Fj(t)p 2296 5228 95 4 v 2313 5285 a Fq(t)2338 5266 y Fj(\016)2400 5249 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2664 5216 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2827 5193 y Fm(e)2864 5249 y Fs(u)20 b Fw(+)g Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(:)1844 5517 y Fw(36)p eop %%Page: 37 37 37 36 bop 0 162 a Fw(Com)m(bining)28 b(\(5.13\))33 b(and)d(Lemma)g(4.6) h(w)m(e)g(obtain)f(\(5.12\).)43 b(This)29 b(completes)h(the)h(pro)s(of) f(of)g Fu(ii\))p Fw(.)141 275 y(Statemen)m(ts)i Fu(iii\))e Fw(and)g Fu(iv\))g Fw(follo)m(w)g(from)f(Prop.)41 b(A.6)31 b(in)e(the)h(App)s(endix.)38 b Fh(2)0 568 y Fv(5.3)112 b(Soft)38 b(propagation)g(estimates)0 740 y Fw(In)30 b(this)f(subsection)h(w)m(e)h(sho)m(w)f(rather)h(easy)g(propagation)g (estimates.)42 b(More)31 b(precisely)e(w)m(e)i(sho)m(w)g(that)g(for)0 853 y(an)m(y)g(state)g(in)f Ft(H)579 820 y Fr(e)644 853 y Fw(there)h(is)e(no)h(propagation)h(in)e(the)h(region)g Ft(f)p Fs(s)25 b Ft(\024)g(\000)p Fw(c)p Fs(t)p Ft(g)31 b Fw(for)f(0)c Fs(<)f Fw(c)h Fs(<)f Fw(1.)141 966 y(W)-8 b(e)32 b(\014x)d(a)i(cuto\013)g(function)e Fs(f)1158 980 y Fr(1)1223 966 y Ft(2)24 b Fs(C)1380 933 y FF(1)1455 966 y Fw(\(I)-15 b(R\))30 b(suc)m(h)g(that)h(for)f(some)h Fs(\013)2467 980 y Fr(4)2532 966 y Fs(<)25 b(\013)2686 980 y Fr(3)2751 966 y Fs(<)g Fw(0:)1252 1167 y(0)g Ft(\024)g Fs(f)1463 1181 y Fr(1)1528 1167 y Ft(\024)g Fw(1)p Fs(;)36 b Fw(supp)13 b Fs(f)1977 1181 y Fr(1)2041 1167 y Ft(\032)p Fw(])20 b Ft(\000)g(1)p Fs(;)15 b(\013)2437 1181 y Fr(3)2477 1167 y Fw(])p Fs(;)1252 1351 y(f)1297 1365 y Fr(1)1361 1351 y Ft(\021)25 b Fw(1)31 b(in)e(])20 b Ft(\000)g(1)p Fs(;)15 b(\013)1964 1365 y Fr(4)2004 1351 y Fw(])p Fs(;)36 b(f)2145 1318 y FF(0)2135 1374 y Fr(1)2174 1351 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))25 b Ft(\024)g Fw(0)p Fs(;)0 1259 y Fw(\(5.14\))0 1548 y(and)30 b(set)h(for)f(0)c Fs(<)e(\032)i(<)f Fw(1,)31 b(0)25 b Fs(<)g Fw(c)h Fs(<)f Fw(1:)1223 1782 y Fs(b)1262 1796 y Fr(1)p Fq(;t)1372 1782 y Fw(=)g Fs(f)1513 1796 y Fr(1)1552 1782 y Fw(\()1597 1721 y Fs(s)20 b Fw(+)g(c)p Fs(t)p 1597 1761 227 4 v 1674 1845 a(t)1707 1819 y Fq(\032)1834 1782 y Fw(\))p Fs(;)36 b(B)1999 1796 y Fr(1)p Fq(;t)2109 1782 y Fw(:=)25 b(d\000\()p Fs(b)2412 1796 y Fr(1)p Fq(;t)2496 1782 y Fw(\))p Fs(:)-2556 b Fw(\(5.15\))0 2013 y Fi(Prop)s(osition)36 b(5.7)46 b Fu(Assume)31 b(\(I'0\),)h(\(I'1\))g(for)f Fs(\017)1720 2027 y Fr(0)1785 2013 y Fs(>)25 b Fw(0)p Fu(,)32 b(\(I'2\))f(for)h Fs(\026)25 b(>)g Fw(1)31 b Fu(and)h(pick)f Fs(\032)g Fu(in)g(\(5.15\))i(such)e(that)0 2125 y Fs(\032)p Fw(\(1)21 b(+)f Fs(\017)276 2139 y Fr(0)315 2125 y Fw(\))26 b Fs(>)f Fw(1)p Fu(.)42 b(Then:)826 2327 y Fs(i)p Fw(\))21 b Fs(R)983 2289 y Fr(+)982 2352 y(1)1042 2327 y Fw(\()p Fs(\017)p Fw(\))26 b(:=)f(s-)15 b(lim)1503 2341 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1744 2327 y Fw(e)1784 2294 y Fr(i)p Fq(tH)1892 2270 y Fm(e)1928 2327 y Fw(\(1)21 b(+)f Fs(\017B)2226 2341 y Fr(1)p Fq(;t)2311 2327 y Fw(\))2346 2294 y FF(\000)p Fr(1)2440 2327 y Fw(e)2480 2294 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2643 2270 y Fm(e)2712 2327 y Fu(exists)p Fs(;)826 2511 y(ii)p Fw(\))h([)p Fs(R)1039 2472 y Fr(+)1038 2535 y(1)1098 2511 y Fw(\()p Fs(\017)p Fw(\))p Fs(;)15 b(H)1328 2478 y Fr(e)1365 2511 y Fw(])25 b(=)g([)p Fs(R)1606 2472 y Fr(+)1605 2535 y(1)1665 2511 y Fw(\()p Fs(\017)p Fw(\))p Fs(;)15 b(L)p Fw(])27 b(=)e(0)p Fs(;)826 2694 y(iii)p Fw(\))d(s-)15 b(lim)1183 2708 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1337 2694 y Fs(R)1407 2656 y Fr(+)1406 2719 y(1)1466 2694 y Fw(\()p Fs(\017)p Fw(\))25 b(=)g(1)-20 b(l)p Fs(:)0 3016 y Fw(Prop.)40 b(5.7)32 b(means)e(that)h(an)m(y)g(state)g(has)f(a)h (\014nite)e(n)m(um)m(b)s(er)h(of)g(particles)f(in)h(the)g(region)g Ft(f)p Fs(s)25 b Ft(\024)g(\000)p Fw(c)p Fs(t)p Ft(g)p Fw(.)141 3128 y Fi(Pro)s(of.)48 b Fw(w)m(e)30 b(\014rst)g(pro)m(v)m(e)h (the)g(existence)g(of)1061 3333 y(s-)63 b(lim)1142 3387 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1379 3333 y Fw(e)1419 3295 y Fr(i)p Fq(tH)1527 3272 y Fm(e)1563 3333 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\(1)22 b(+)e Fs(\017B)2051 3347 y Fr(1)p Fq(;t)2135 3333 y Fw(\))2170 3295 y FF(\000)p Fr(1)2265 3333 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2494 3295 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2657 3272 y Fm(e)2693 3333 y Fs(:)-2718 b Fw(\(5.16\))0 3578 y(Arguing)29 b(exactly)i(as)g(in)e (the)i(pro)s(of)e(of)i(Prop.)40 b(5.1,)32 b(w)m(e)e(obtain)g(for)g Fs(\025)c Ft(2)p 2557 3578 4 56 v 25 w Fw(C)o Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)2726 3542 y FF(\000)2785 3578 y Fw(:)431 3780 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fi(D)p Fw(\()p Fs(B)804 3794 y Fr(1)p Fq(;t)910 3780 y Fw(+)20 b Fs(\025)p Fw(\))1089 3747 y FF(\000)p Fr(1)1183 3780 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))26 b(=)83 b Ft(\000)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(B)1916 3794 y Fr(1)p Fq(;t)2021 3780 y Fw(+)20 b Fs(\025)p Fw(\))2200 3747 y FF(\000)p Fr(1)2295 3780 y Fw(d\000\()p Fs(c)2477 3794 y Fr(1)p Fq(;t)2561 3780 y Fw(\)\()p Fs(B)2700 3794 y Fr(1)p Fq(;t)2806 3780 y Fw(+)f Fs(\025)p Fw(\))2984 3747 y FF(\000)p Fr(1)3079 3780 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))1552 3963 y Ft(\000)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(B)1916 3977 y Fr(1)p Fq(;t)2021 3963 y Fw(+)h Fs(\025)p Fw(\))2200 3930 y FF(\000)p Fr(1)2295 3963 y Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(b)2449 3977 y Fr(1)p Fq(;t)2533 3963 y Fs(v)2580 3930 y Fr(e)2616 3963 y Fw(\)\()p Fs(B)2755 3977 y Fr(1)p Fq(;t)2860 3963 y Fw(+)g Fs(\025)p Fw(\))3039 3930 y FF(\000)p Fr(1)3134 3963 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(;)0 4160 y Fw(for)1140 4247 y Fs(c)1179 4261 y Fr(1)p Fq(;t)1290 4247 y Fw(=)82 b Fi(d)1501 4261 y Fr(0)1541 4247 y Fs(b)1580 4261 y Fr(1)p Fq(;t)1690 4247 y Fw(=)25 b Fs(f)1841 4214 y FF(0)1831 4270 y Fr(1)1870 4247 y Fw(\()1915 4212 y Fq(s)p Fr(+c)p Fq(t)p 1915 4227 145 4 v 1956 4279 a(t)1981 4260 y Fj(\032)2069 4247 y Fw(\)\()2149 4212 y Fr(1+c)p 2149 4227 122 4 v 2180 4279 a Fq(t)2205 4260 y Fj(\032)2302 4247 y Ft(\000)19 b Fs(\032)2449 4212 y Fq(s)p Fr(+c)p Fq(t)p 2449 4227 145 4 v 2452 4281 a(t)2477 4262 y Fj(\032)p Fm(+1)2604 4247 y Fw(\))1290 4431 y Ft(\024)82 b(\000)p Fs(cf)1608 4398 y FF(0)1598 4454 y Fr(1)1637 4431 y Fw(\()1682 4395 y Fq(s)p Fr(+c)p Fq(t)p 1682 4410 V 1724 4462 a(t)1749 4444 y Fj(\032)1837 4431 y Fw(\))1895 4395 y Fr(1)p 1882 4410 62 4 v 1882 4462 a Fq(t)1907 4444 y Fj(\032)1954 4431 y Fs(;)45 b Fw(for)31 b Fs(t)25 b Ft(\035)g Fw(1)p Fs(:)0 4590 y Fw(Moreo)m(v)m(er)32 b(b)m(y)f(Prop.)40 b(A.1:)363 4824 y Ft(k)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(B)701 4838 y Fr(1)p Fq(;t)807 4824 y Fw(+)19 b Fs(\025)p Fw(\))985 4787 y FF(\000)p Fr(1)1080 4824 y Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(b)1234 4838 y Fr(1)p Fq(;t)1319 4824 y Fs(v)1366 4787 y Fr(e)1401 4824 y Fw(\)\()p Fs(B)1540 4838 y Fr(1)p Fq(;t)1646 4824 y Fw(+)h Fs(\025)p Fw(\))1825 4787 y FF(\000)p Fr(1)1919 4824 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Ft(k)27 b(\024)d Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(b)2441 4740 y Fm(1)p 2441 4752 31 4 v 2441 4793 a(2)2431 4849 y Fr(1)p Fq(;t)2516 4824 y Fs(v)2563 4787 y Fr(e)2599 4824 y Fw(\()p Fs(K)27 b Fw(+)20 b(1\))2909 4787 y FF(\000)2974 4760 y Fm(1)p 2975 4772 V 2975 4813 a(2)3019 4824 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)7 b(t)3291 4787 y FF(\000)p Fq(\026)3392 4824 y Fs(;)0 5029 y Fw(b)m(y)29 b Fu(\(I'2\))p Fw(.)41 b(Arguing)28 b(as)h(in)f(Subsect.)40 b(5.1)30 b(w)m(e)g(obtain)e(the)h(existence)h (of)f(the)h(limit)c(\(5.16\).)43 b(As)29 b(in)f(the)h(pro)s(of)0 5141 y(of)j(Thm.)44 b(5.5,)34 b(using)d(an)g(analog)i(of)f(Prop.)45 b(5.4)33 b(w)m(e)f(obtain)g(then)f(the)i(existence)f(of)g Fs(R)3065 5103 y Fr(+)3064 5166 y(1)3124 5141 y Fw(\()p Fs(\017)p Fw(\).)46 b(Prop)s(ert)m(y)32 b Fu(ii\))0 5254 y Fw(can)f(b)s(e)e(sho)m(wn)h(as)h(in)e(Thm.)39 b(5.5.)1844 5517 y(37)p eop %%Page: 38 38 38 37 bop 141 162 a Fw(Let)24 b(us)f(no)m(w)h(pro)m(v)m(e)h Fu(iii\))p Fw(.)38 b(By)24 b(Prop.)38 b(A.6)24 b(w)m(e)g(obtain)g(the)f (existence)i(of)f(s-)15 b(lim)2806 176 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)2960 162 y Fs(R)3030 124 y Fr(+)3029 187 y(1)3089 162 y Fw(\()p Fs(\017)p Fw(\),)25 b(and)e(it)h(su\016ces)0 275 y(to)31 b(sho)m(w)f(that)1509 388 y(w)21 b Ft(\000)j Fw(lim)1687 445 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1837 388 y Fs(R)1907 350 y Fr(+)1906 413 y(1)1966 388 y Fw(\()p Fs(\017)p Fw(\))i(=)e(1)-20 b(l)p Fs(:)-2270 b Fw(\(5.17\))0 572 y(By)31 b(densit)m(y)g(it)f(su\016ces)h(to)h(consider)e(states)i Fs(u)26 b Ft(2)g(H)1828 539 y Fr(e)1894 572 y Fw(suc)m(h)31 b(that)h Fs(u)26 b Fw(=)g Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)32 b Fw(for)e(some)i Fs(\037)26 b Ft(2)g Fs(C)3356 539 y FF(1)3349 595 y Fr(0)3430 572 y Fw(\(I)-15 b(R\).)43 b(W)-8 b(e)0 685 y(will)28 b(apply)h(Prop.)40 b(A.5)31 b(to)g(\010)1027 699 y Fq(\017)1059 685 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))26 b(=)f Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\(1)d(+)e Fs(\017B)1772 699 y Fr(1)p Fq(;t)1856 685 y Fw(\))1891 652 y FF(\000)p Fr(1)1986 685 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\).)41 b(W)-8 b(e)31 b(ha)m(v)m(e:)1021 867 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fi(D)p Fw(\(1)21 b(+)f Fs(\017B)1588 881 y Fr(1)p Fq(;t)1672 867 y Fw(\))1707 834 y FF(\000)p Fr(1)1802 867 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))867 1051 y(=)83 b Ft(\000)p Fs(\017\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\(1)21 b(+)e Fs(\017B)1615 1065 y Fr(1)p Fq(;t)1700 1051 y Fw(\))1735 1018 y FF(\000)p Fr(1)1830 1051 y Fw(d\000\()p Fs(c)2012 1065 y Fr(1)p Fq(;t)2096 1051 y Fw(\)\(1)i(+)f Fs(\017B)2429 1065 y Fr(1)p Fq(;t)2514 1051 y Fw(\))2549 1018 y FF(\000)p Fr(1)2643 1051 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))1021 1235 y Ft(\000)p Fs(\017\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\(1)h(+)e Fs(\017B)1615 1249 y Fr(1)p Fq(;t)1700 1235 y Fw(\))1735 1202 y FF(\000)p Fr(1)1830 1235 y Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(b)1984 1249 y Fr(1)p Fq(;t)2068 1235 y Fs(v)2115 1202 y Fr(e)2151 1235 y Fw(\)\(1)i(+)f Fs(\017B)2484 1249 y Fr(1)p Fq(;t)2568 1235 y Fw(\))2603 1202 y FF(\000)p Fr(1)2698 1235 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(:)0 1409 y Fw(Using)30 b(the)g(fact)h(that)849 1600 y Ft(k)p Fw(\(1)22 b(+)e Fs(\017B)1193 1614 y Fr(1)p Fq(;t)1277 1600 y Fw(\))1312 1562 y FF(\000)p Fr(1)1407 1600 y Fw(\(1)h(+)e Fs(B)1667 1614 y Fr(1)p Fq(;t)1752 1600 y Fw(\))1787 1562 y FF(\000)1852 1535 y Fm(1)p 1852 1547 31 4 v 1852 1589 a(2)1897 1600 y Ft(k)25 b(\024)g Fs(C)7 b(\017)2172 1562 y FF(\000)2237 1535 y Fm(1)p 2237 1547 V 2237 1589 a(2)2281 1600 y Fs(;)46 b Fw(uniformly)27 b(in)i Fs(t;)0 1781 y Fw(and)h(Prop.)40 b(A.1,)31 b(w)m(e)g(obtain)333 1993 y Ft(k)p Fs(\017\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\(1)21 b(+)f Fs(\017B)902 2007 y Fr(1)p Fq(;t)987 1993 y Fw(\))1022 1955 y FF(\000)p Fr(1)1116 1993 y Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(b)1270 2007 y Fr(1)p Fq(;t)1355 1993 y Fs(v)1402 1955 y Fr(e)1438 1993 y Fw(\)\(1)h(+)f Fs(\017B)1771 2007 y Fr(1)p Fq(;t)1855 1993 y Fw(\))1890 1955 y FF(\000)p Fr(1)1985 1993 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(b)2507 1908 y Fm(1)p 2507 1920 V 2507 1961 a(2)2497 2017 y Fr(1)p Fq(;t)2581 1993 y Fs(v)s Fw(\()p Fs(K)28 b Fw(+)20 b(1\))2939 1955 y FF(\000)3004 1928 y Fm(1)p 3005 1940 V 3005 1981 a(2)3049 1993 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)7 b(t)3321 1955 y FF(\000)p Fq(\026)3422 1993 y Fs(;)-3447 b Fw(\(5.18\))0 2174 y(uniformly)27 b(in)i Fs(\017)p Fw(.)41 b(Since)29 b Fs(c)899 2188 y Fr(1)p Fq(;t)1010 2174 y Ft(\024)24 b Fw(0,)31 b(w)m(e)g(obtain)879 2355 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fi(D)p Fw(\(1)21 b(+)f Fs(\017B)1446 2369 y Fr(1)p Fq(;t)1531 2355 y Fw(\))1566 2318 y FF(\000)p Fr(1)1660 2355 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))26 b Ft(\025)f(\000)p Fs(C)7 b(t)2147 2318 y FF(\000)p Fq(\026)2247 2355 y Fs(;)46 b Fw(uniformly)28 b(in)h Fs(\017:)-2901 b Fw(\(5.19\))0 2537 y(Clearly)36 b(w)25 b Ft(\000)g Fw(lim)636 2551 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)774 2537 y Fw(\(1)h(+)e Fs(\017B)1081 2551 y Fr(1)p Fq(;t)1166 2537 y Fw(\))1201 2504 y FF(\000)p Fr(1)1332 2537 y Fw(=)36 b(1)-20 b(l)36 b(for)h Fs(t)g(>)f Fw(0)h(and)g(0)g Ft(\024)f Fs(R)2374 2498 y Fr(+)2373 2561 y(1)2433 2537 y Fw(\()p Fs(\017)p Fw(\))h Ft(\024)f Fw(1)-20 b(l)o(.)61 b(Applying)35 b(Prop.)60 b(A.5)38 b(w)m(e)0 2650 y(obtain)30 b(\(5.17\).)43 b Fh(2)141 2805 y Fw(Let)31 b(no)m(w)f Fs(f)538 2819 y Fr(0)603 2805 y Ft(2)24 b Fs(C)760 2772 y FF(1)835 2805 y Fw(\(I)-15 b(R\))30 b(b)s(e)g(a)h(cuto\013)g(function)e(suc)m(h) h(that:)1198 2983 y Fs(f)1243 2997 y Fr(0)1308 2983 y Ft(\021)25 b Fw(1)30 b(in)f Fs(s)c Ft(\024)g Fs(\013)1807 2997 y Fr(1)1847 2983 y Fs(;)35 b(f)1952 2997 y Fr(0)2017 2983 y Ft(\021)25 b Fw(0)30 b(in)f Fs(s)c Ft(\025)g Fs(\013)2516 2997 y Fr(2)2556 2983 y Fs(;)1198 3167 y(f)1253 3134 y FF(0)1243 3190 y Fr(0)1308 3167 y Ft(\024)g Fw(0)p Fs(:)0 3075 y Fw(\(5.20\))0 3341 y(Here)31 b(the)f(constan)m(ts)i Fs(\013)832 3355 y Fr(1)897 3341 y Fs(<)25 b(\013)1051 3355 y Fr(2)1121 3341 y Fw(are)30 b(suc)m(h)h(that)f(0)c Fs(<)f(\013)1899 3355 y Fr(1)1964 3341 y Fs(<)g(\013)2118 3355 y Fr(2)2158 3341 y Fw(.)141 3454 y(W)-8 b(e)32 b(set:)1529 3580 y Fs(f)1584 3542 y Fq(t)1574 3602 y(R)1657 3580 y Fw(=)25 b Fs(f)1798 3594 y Fr(0)1837 3580 y Fw(\()1882 3518 y Ft(\000)p Fs(s)20 b Ft(\000)f Fw(c)p Fs(t)p 1882 3558 298 4 v 1959 3642 a(R)q(t)2062 3616 y Fq(\032)2190 3580 y Fw(\))p Fs(;)-2250 b Fw(\(5.21\))0 3761 y(for)33 b Fs(R)f Ft(\025)e Fw(1)k(and)f(0)e Fs(<)f(\032)h(<)f Fw(1)k(as)g(in)e(\(5.2\).)52 b(The)33 b(follo)m(wing)f(t)m(w)m(o)j (lemmas)e(are)h(analogous)g(to)g(Lemmas)f(6.1)0 3874 y(and)d(6.2)h(for)f Fs(k)f Fw(=)c(0.)0 4042 y Fi(Lemma)33 b(5.8)46 b Fu(Assume)39 b(\(I'0\),)j(\(I'1\))e(for)h Fs(\017)1562 4056 y Fr(0)1639 4042 y Fs(>)d Fw(0)p Fu(,)j(\(I'2\))g (for)f Fs(\026)e(>)f Fw(0)p Fu(.)64 b(Assume)39 b(the)h(c)-5 b(onstants)42 b Fs(\032;)15 b(\016)44 b Fu(ar)-5 b(e)0 4155 y(chosen)33 b(so)h(that)f Fs(\032)26 b(>)f(\016)k(>)c Fw(\(1)c(+)f Fs(\017)1162 4169 y Fr(0)1201 4155 y Fw(\))1236 4122 y FF(\000)p Fr(1)1331 4155 y Fu(,)32 b Fs(\026)25 b(>)g(\016)s(=)p Fw(2)p Fu(.)43 b(Then)33 b(for)h Fs(\037)2211 4169 y Fr(1)2250 4155 y Fs(;)15 b(\037)2347 4169 y Fr(2)2387 4155 y Fs(;)g(F)38 b Ft(2)25 b Fs(C)2681 4122 y FF(1)2674 4178 y Fr(0)2755 4155 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fu(:)1212 4379 y Fw([\000\()p Fs(f)1384 4341 y Fq(t)1374 4401 y(R)1432 4379 y Fw(\))p Fs(;)15 b(\037)1564 4393 y Fr(1)1604 4379 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)])p Fs(F)e Fw(\()1877 4317 y Fs(N)1960 4284 y Fr(e)1950 4340 y Fq(t)p 1877 4358 119 4 v 1902 4441 a Fs(t)1935 4415 y Fq(\016)2007 4379 y Fw(\))p Fs(\037)2099 4393 y Fr(2)2138 4379 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(:)0 4750 y Fi(Lemma)33 b(5.9)46 b Fu(Assume)39 b(\(I'0\),)j(\(I'1\))e(for)h Fs(\017)1562 4764 y Fr(0)1639 4750 y Fs(>)d Fw(0)p Fu(,)j(\(I'2\))g(for)f Fs(\026)e(>)f Fw(0)p Fu(.)64 b(Assume)39 b(the)h(c)-5 b(onstants)42 b Fs(\032;)15 b(\016)44 b Fu(ar)-5 b(e)0 4863 y(chosen)33 b(so)h(that)f Fs(\032)26 b(>)f(\016)k(>)c Fw(\(1)c(+)f Fs(\017)1162 4877 y Fr(0)1201 4863 y Fw(\))1236 4830 y FF(\000)p Fr(1)1331 4863 y Fu(,)32 b Fs(\026)25 b(>)g(\016)s(=)p Fw(2)p Fu(.)43 b(Then)33 b(for)h Fs(\037)2211 4877 y Fr(1)2250 4863 y Fs(;)15 b(\037)2347 4877 y Fr(2)2387 4863 y Fs(;)g(F)38 b Ft(2)25 b Fs(C)2681 4830 y FF(1)2674 4886 y Fr(0)2755 4863 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fu(:)713 5086 y Fw(\000\()p Fs(f)860 5049 y Fq(t)850 5109 y(R)908 5086 y Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()1059 5025 y Fs(N)1142 4992 y Fr(e)1132 5047 y Fq(t)p 1059 5065 V 1083 5149 a Fs(t)1116 5123 y Fq(\016)1188 5086 y Fw(\))p Fs(\037)1280 5100 y Fr(1)1319 5086 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(\037)1508 5100 y Fr(2)1548 5086 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))26 b(=)f Fs(\037)1859 5100 y Fr(1)1898 5086 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\000\()p Fs(f)2177 5049 y Fq(t)2167 5109 y(R)2225 5086 y Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()2376 5025 y Fs(N)2459 4992 y Fr(e)2449 5047 y Fq(t)p 2376 5065 V 2401 5149 a Fs(t)2434 5123 y Fq(\016)2506 5086 y Fw(\))p Fs(\037)2598 5100 y Fr(2)2637 5086 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))21 b(+)f Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(:)1844 5517 y Fw(38)p eop %%Page: 39 39 39 38 bop 0 162 a Fw(The)30 b(follo)m(wing)f(lemma)h(is)f(analogous)i (to)g(Prop.)40 b(6.3.)0 320 y Fi(Lemma)33 b(5.10)46 b Fu(Assume)31 b(\(I'0\),)i(\(I'2\))f(for)g Fs(\026)25 b(>)g Fw(1)p Fu(.)42 b(L)-5 b(et)32 b Fs(B)2059 334 y Fr(1)p Fq(;t)2175 320 y Fu(de\014ne)-5 b(d)33 b(in)e(\(5.15\).)43 b(Then)32 b(for)g Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)3522 287 y FF(1)3515 343 y Fr(0)3596 320 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fu(,)0 433 y Fs(\025)25 b(>)g Fw(0)p Fu(,)33 b Fs(R)26 b Ft(\025)f Fw(1)33 b Fu(lar)-5 b(ge)34 b(enough:)836 600 y Fw(s-)63 b(lim)918 655 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1154 600 y Fw(e)1194 563 y Fr(i)p Fq(tH)1302 539 y Fm(e)1339 600 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\000\()p Fs(f)1675 563 y Fq(t)1665 623 y(R)1722 600 y Fw(\)\()p Fs(B)1861 614 y Fr(1)p Fq(;t)1967 600 y Fw(+)20 b Fs(\025)p Fw(\))2146 563 y FF(\000)p Fr(1)2240 600 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2469 563 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2632 539 y Fm(e)2701 600 y Fu(exists)q Fs(:)-2943 b Fw(\(5.22\))0 926 y Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(As)31 b(in)e(the)h(pro)s(of)g(of)h(Prop.)40 b(6.3)31 b(w)m(e)g(compute)1333 1086 y Fi(D)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\000\()p Fs(f)1749 1053 y Fq(t)1739 1111 y(R)1797 1086 y Fw(\)\()p Fs(B)1936 1100 y Fr(1)p Fq(;t)2041 1086 y Fw(+)20 b Fs(\025)p Fw(\))2220 1053 y FF(\000)p Fr(1)2315 1086 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))1179 1269 y(=)83 b Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fi(D)p Fw(\000\()p Fs(f)1749 1236 y Fq(t)1739 1295 y(R)1797 1269 y Fw(\)\()p Fs(B)1936 1283 y Fr(1)p Fq(;t)2041 1269 y Fw(+)20 b Fs(\025)p Fw(\))2220 1236 y FF(\000)p Fr(1)2315 1269 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))1333 1453 y(+)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\000\()p Fs(f)1740 1420 y Fq(t)1730 1479 y(R)1787 1453 y Fw(\))p Fi(D)p Fw(\()p Fs(B)2006 1467 y Fr(1)p Fq(;t)2112 1453 y Fw(+)g Fs(\025)p Fw(\))2291 1420 y FF(\000)p Fr(1)2386 1453 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(:)0 1269 y Fw(\(5.23\))0 1613 y(By)31 b(the)f(pro)s(of)g(of)g(Prop.)40 b(5.7,)32 b(w)m(e)f(ha)m(v)m (e:)712 1781 y Ft(j)p Fw(\()p Fs(v)s(;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\000\()p Fs(f)1195 1744 y Fq(t)1185 1804 y(R)1244 1781 y Fw(\))p Fi(D)p Fw(\()p Fs(B)1463 1795 y Fr(1)p Fq(;t)1569 1781 y Fw(+)20 b Fs(\025)p Fw(\))1748 1744 y FF(\000)p Fr(1)1842 1781 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)p Fw(\))p Ft(j)27 b(\024)e Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(R)2452 1795 y Fr(1)2491 1781 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)p Ft(kk)p Fs(R)2805 1795 y Fr(1)2846 1781 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(v)s Ft(k)p Fs(;)-3066 b Fw(\(5.24\))0 1949 y(uniformly)23 b(in)i Fs(R)q Fw(,)h(where)g Fs(R)961 1963 y Fr(1)1000 1949 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))g(is)f(in)m(tegrable)h (along)g(the)g(ev)m(olution.)39 b(Let)26 b(us)f(no)m(w)h(consider)f (the)h(\014rst)f(term)0 2062 y(in)k(\(5.23\).)43 b(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e:)562 2270 y([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)723 2233 y Fr(e)760 2270 y Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(i\000\()p Fs(f)1008 2233 y Fq(t)998 2293 y(R)1055 2270 y Fw(\)])26 b(=)1295 2209 y(i)p 1247 2249 122 4 v 1247 2266 a Ft(p)p 1323 2266 46 4 v 75 x Fw(2)1378 2270 y(\000\()p Fs(f)1525 2233 y Fq(t)1515 2293 y(R)1573 2270 y Fw(\))p Fs(a)p Fw(\(\(1)c Ft(\000)e Fs(f)1939 2233 y Fq(t)1929 2293 y(R)1986 2270 y Fw(\))p Fs(v)2068 2233 y Fr(e)2104 2270 y Fw(\))g Ft(\000)2308 2209 y Fw(i)p 2260 2249 122 4 v 2260 2266 a Ft(p)p 2336 2266 46 4 v 75 x Fw(2)2392 2270 y Fs(a)2440 2233 y FF(\003)2479 2270 y Fw(\(\(1)h Ft(\000)f Fs(f)2761 2233 y Fq(t)2751 2293 y(R)2809 2270 y Fw(\))p Fs(v)2891 2233 y Fr(e)2927 2270 y Fw(\)\000\()p Fs(f)3109 2233 y Fq(t)3099 2293 y(R)3156 2270 y Fw(\))p Fs(:)0 2485 y Fw(By)31 b(\(5.20\),)1175 2598 y(supp)14 b(\(1)21 b Ft(\000)f Fs(f)1625 2561 y Fq(t)1615 2621 y(R)1672 2598 y Fw(\))26 b Ft(\032)f(f)p Fs(s)g Ft(\024)g(\000)p Fw(c)p Fs(t)20 b Ft(\000)g Fs(\013)2351 2612 y Fr(1)2391 2598 y Fs(R)q(t)2494 2561 y Fq(\032)2533 2598 y Ft(g)p Fs(;)0 2747 y Fw(and)1324 2860 y Fs(b)1363 2874 y Fr(1)p Fq(;t)1472 2860 y Ft(\021)25 b Fw(1)31 b(in)e Ft(f)p Fs(s)c Ft(\024)g(\000)p Fw(c)p Fs(t)c Fw(+)f Fs(\013)2273 2874 y Fr(4)2312 2860 y Fs(t)2345 2822 y Fq(\032)2385 2860 y Ft(g)p Fs(:)0 3008 y Fw(Since)29 b Fs(\013)295 3022 y Fr(1)360 3008 y Fs(>)c Fw(0)31 b Fs(b)571 3022 y Fr(1)p Fq(;t)681 3008 y Ft(\021)25 b Fw(1)30 b(on)h(supp)13 b(\(1)21 b Ft(\000)f Fs(f)1428 2975 y Fq(t)1418 3034 y(R)1475 3008 y Fw(\))31 b(for)f Fs(t)25 b Ft(\025)g Fw(0,)31 b Fs(R)26 b Ft(\025)f Fs(R)2195 3022 y Fr(0)2235 3008 y Fw(.)40 b(Applying)28 b(then)i(Prop.)40 b(A.1,)32 b(w)m(e)f(obtain:)1339 3177 y Ft(k)p Fw([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(\000\()p Fs(f)1767 3144 y Fq(t)1757 3203 y(R)1816 3177 y Fw(\)]\()p Fs(B)1980 3191 y Fr(1)p Fq(;t)2086 3177 y Fw(+)20 b Fs(\025)p Fw(\))2265 3144 y FF(\000)p Fr(1)2360 3177 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Ft(k)1185 3377 y(\024)83 b Fs(C)7 b Ft(k)p Fw(\(1)21 b Ft(\000)f Fs(f)1703 3344 y Fq(t)1693 3403 y(R)1750 3377 y Fw(\))p Fs(v)1832 3344 y Fr(e)1868 3377 y Fw(\()p Fs(K)27 b Fw(+)20 b(1\))2178 3341 y FF(\000)2243 3314 y Fm(1)p 2244 3326 31 4 v 2244 3367 a(2)2288 3377 y Ft(k)1185 3561 y(\024)83 b Fs(C)7 b(t)1444 3528 y FF(\000)p Fq(\026)1544 3561 y Fs(;)0 3369 y Fw(\(5.25\))0 3726 y(uniformly)27 b(in)i Fs(R)d Ft(\025)f Fs(R)780 3740 y Fr(0)820 3726 y Fw(,)30 b(b)m(y)h Fu(\(I'2\))p Fw(.)41 b(Finally)1382 3894 y Fi(D)1462 3908 y Fr(0)1501 3894 y Fw(\000\()p Fs(f)1648 3856 y Fq(t)1638 3916 y(R)1696 3894 y Fw(\))25 b(=)g(d\000\()p Fs(f)2050 3856 y Fq(t)2040 3916 y(R)2097 3894 y Fs(;)15 b Fi(d)2195 3908 y Fr(0)2235 3894 y Fs(f)2290 3856 y Fq(t)2280 3916 y(R)2337 3894 y Fw(\))p Fs(;)1048 4077 y Fi(d)1106 4091 y Fr(0)1145 4077 y Fs(f)1200 4044 y Fq(t)1190 4103 y(R)1273 4077 y Fw(=)82 b Fs(f)1481 4044 y FF(0)1471 4101 y Fr(0)1510 4077 y Fw(\()1555 4042 y FF(\000)p Fq(s)p FF(\000)p Fr(c)p Fq(t)p 1555 4057 200 4 v 1598 4109 a(Rt)1676 4090 y Fj(\032)1765 4077 y Fw(\))1815 3983 y Fp(\020)1875 4042 y FF(\000)p Fr(1)p FF(\000)p Fr(c)p 1875 4057 177 4 v 1906 4109 a Fq(Rt)1984 4090 y Fj(\032)2082 4077 y Fw(+)2260 4037 y Fq(\032)p 2182 4056 193 4 v 2182 4111 a(Rt)2260 4092 y Fj(\032)p Fm(+1)2385 4077 y Fw(\()p Fs(s)20 b Fw(+)g(c)p Fs(t)p Fw(\))2682 3983 y Fp(\021)1273 4261 y Ft(\025)1478 4225 y Fr(c)p 1436 4240 116 4 v 1436 4293 a Fq(Rt)1514 4274 y Fj(\032)1561 4261 y Ft(j)p Fs(f)1641 4228 y FF(0)1631 4284 y Fr(0)1671 4261 y Ft(j)p Fw(\()1741 4225 y FF(\000)p Fq(s)p FF(\000)p Fr(c)p Fq(t)p 1741 4240 200 4 v 1783 4293 a(Rt)1861 4274 y Fj(\032)1950 4261 y Fw(\))p Fs(;)0 4160 y Fw(\(5.26\))0 4407 y(uniformly)27 b(in)i Fs(R)d Ft(\025)f Fs(R)780 4421 y Fr(0)820 4407 y Fw(.)41 b(F)-8 b(rom)30 b(\(5.25\),)j(\(5.26\),)g(\(5.24\))g(w)m(e)e(obtain:)691 4650 y Ft(j)p Fw(\()p Fs(v)s(;)15 b Fi(D)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\000\()p Fs(f)1254 4613 y Fq(t)1244 4673 y(R)1304 4650 y Fw(\)\()p Fs(B)1443 4664 y Fr(1)p Fq(;t)1548 4650 y Fw(+)20 b Fs(\025)p Fw(\))1727 4613 y FF(\000)p Fr(1)1822 4650 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)p Fw(\))p Ft(j)26 b(\024)2287 4544 y Fr(3)2245 4569 y Fp(X)2248 4752 y Fq(i)p Fr(=1)2380 4650 y Ft(k)p Fs(R)2494 4664 y Fq(i)2523 4650 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)p Ft(kk)p Fs(R)2837 4664 y Fq(i)2867 4650 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(v)s Ft(k)p Fs(;)-3087 b Fw(\(5.27\))0 4891 y(uniformly)24 b(in)h Fs(R)h Ft(\025)f Fs(R)773 4905 y Fr(0)812 4891 y Fw(,)j(where)e Fs(R)1193 4905 y Fq(i)1221 4891 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))i(are)f(in)m(tegrable)f(along)h (the)g(ev)m(olution.)39 b(This)25 b(implies)e(that)28 b(the)f(limit)0 5004 y(\(5.22\))33 b(exists.)40 b Fh(2)141 5155 y Fw(The)d(follo)m(wing)e(prop)s(osition)f(is)i(an)h(impro)m(v)m (emen)m(t)g(on)g(Prop.)60 b(5.7.)h(It)37 b(means)g(that)g (asymptotically)0 5268 y(there)31 b(are)f(no)h(particles)e(in)g Ft(f)p Fs(s)c Ft(\024)g(\000)p Fw(c)p Fs(t)p Ft(g)p Fw(.)1844 5517 y(39)p eop %%Page: 40 40 40 39 bop 0 162 a Fi(Prop)s(osition)36 b(5.11)47 b Fu(Assume)35 b(\(I'0\),)h(\(I'1\))h(for)f Fs(\017)1791 176 y Fr(0)1860 162 y Fs(>)31 b Fw(0)p Fu(,)36 b(\(I'2\))g(for)g Fs(\026)30 b(>)g Fw(1)36 b Fu(and)h(pick)e Fs(\032)g Fu(such)h(that)h Fs(\032)p Fw(\(1)23 b(+)0 275 y Fs(\017)37 289 y Fr(0)76 275 y Fw(\))j Fs(>)f Fw(1)p Fu(.)42 b(Then:)1121 424 y Fw(s-)63 b(lim)1202 478 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1439 424 y Fw(e)1479 386 y Fr(i)p Fq(tH)1587 363 y Fm(e)1623 424 y Fw(\000\()p Fs(f)1760 438 y Fr(0)1799 424 y Fw(\()1844 362 y Ft(\000)p Fs(s)20 b Ft(\000)g Fw(c)p Fs(t)p 1844 403 298 4 v 1957 486 a(t)1990 460 y Fq(\032)2152 424 y Fw(\)\)e)2262 386 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2425 363 y Fm(e)2487 424 y Fw(=)25 b(1)-20 b(l)o Fs(:)0 778 y Fi(Pro)s(of.)46 b Fw(W)-8 b(e)29 b(denote)f(b)m(y)g Fs(f)951 745 y Fq(t)941 804 y(R;\032)1081 778 y Fw(the)g(op)s(erator)g(in)e (\(5.21\))k(to)f(emphasize)e(the)g(dep)s(endence)g(on)h(the)f(exp)s (onen)m(t)0 891 y Fs(\032)p Fw(.)43 b(Using)30 b(Lemma)h(5.9,)h(Prop.) 42 b(5.4,)33 b(Prop.)42 b(4.5)32 b(and)e(a)i(densit)m(y)e(argumen)m(t)h (as)h(in)d(the)i(pro)s(of)g(of)g(Thm.)41 b(5.5)0 1004 y Fu(i\))p Fw(,)31 b(w)m(e)f(deduce)g(from)g(Lemma)h(5.10)h(the)e (existence)h(of)947 1208 y(s-)63 b(lim)1028 1263 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1265 1208 y Fw(e)1305 1171 y Fr(i)p Fq(tH)1413 1147 y Fm(e)1449 1208 y Fw(\000\()p Fs(f)1596 1171 y Fq(t)1586 1231 y(R;\032)1699 1208 y Fw(\)\()p Fs(\017B)1875 1222 y Fr(1)p Fq(;t)1980 1208 y Fw(+)20 b Fs(\025)p Fw(\))2159 1171 y FF(\000)p Fr(1)2254 1208 y Fw(e)2294 1171 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2457 1147 y Fm(e)2493 1208 y Fs(;)35 b Ft(8)p Fs(\017)25 b(>)g Fw(0)p Fs(:)-2832 b Fw(\(5.28\))0 1441 y(By)31 b(Prop.)40 b(5.7)31 b(and)f(a)h(densit)m(y)e(argumen)m(t,)i(w)m(e)g(obtain)f(the)h (existence)g(of)1206 1645 y(s-)62 b(lim)1287 1700 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1523 1645 y Fw(e)1563 1608 y Fr(i)p Fq(tH)1671 1584 y Fm(e)1708 1645 y Fw(\000\()p Fs(f)1855 1608 y Fq(t)1845 1668 y(R;\032)1958 1645 y Fw(\)e)2033 1608 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2196 1584 y Fm(e)2257 1645 y Fw(=:)25 b(\000)2435 1607 y Fr(+)2435 1672 y Fq(R;\032)2549 1645 y Fs(;)0 1893 y Fw(and)30 b(the)g(fact)i(that)f(the)f(limit)e (\(5.28\))33 b(equals)d(\000)1679 1855 y Fr(+)1679 1920 y Fq(R;\032)1792 1893 y Fs(R)1862 1855 y Fr(+)1861 1918 y(1)1921 1893 y Fw(\()p Fs(\017)p Fw(\).)141 2006 y(Next)h(w)m(e)g (apply)e(Prop.)40 b(A.4)31 b(to)h(obtain:)1274 2210 y(w)21 b Ft(\000)81 b Fw(lim)1452 2269 y Fq(R)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1716 2210 y Fw(\000)1773 2172 y Fr(+)1773 2237 y Fq(R;\032)1887 2210 y Fs(R)1957 2172 y Fr(+)1956 2235 y(1)2015 2210 y Fw(\()p Fs(\017)p Fw(\))26 b(=)f Fs(R)2314 2172 y Fr(+)2313 2235 y(1)2373 2210 y Fw(\()p Fs(\017)p Fw(\))p Fs(:)-2505 b Fw(\(5.29\))0 2452 y(In)30 b(fact)h(the)f(in)m (tegrabilit)m(y)f(uniformly)f(in)h Fs(R)i Fw(\(condition)e(\(A.2\)\))j (follo)m(ws)e(from)g(\(5.27\))i(and)1284 2657 y(w)22 b Ft(\000)81 b Fw(lim)1463 2716 y Fq(R)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1727 2657 y Fw(\000\()p Fs(f)1874 2619 y Fq(t)1864 2679 y(R;\032)1977 2657 y Fw(\))26 b(=)f(1)-20 b(l)o Fs(;)36 b Ft(8)p Fs(t)25 b(>)g Fw(0)0 2905 y(since)e Fs(f)271 2872 y Fq(t)261 2930 y(R;\032)399 2905 y Ft(\021)i Fw(1)g(in)d Ft(f)p Fs(s)j Ft(\025)g(\000)p Fw(c)p Fs(t)7 b Ft(\000)g Fs(\013)1160 2919 y Fr(1)1200 2905 y Fs(R)q(t)1303 2872 y Fq(\032)1343 2905 y Ft(g)24 b Fw(and)f Fs(\013)1640 2919 y Fr(1)1705 2905 y Fs(>)i Fw(0.)39 b(Applying)21 b(Prop.)38 b(A.4)25 b(w)m(e)f(obtain)f(\(5.29\).)41 b(Applying)0 3017 y(then)30 b(Prop.)40 b(5.7)32 b Fu(iii\))e Fw(w)m(e)h(obtain)1485 3130 y(w)21 b Ft(\000)81 b Fw(lim)1663 3190 y Fq(R)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1928 3130 y Fw(\000)1985 3092 y Fr(+)1985 3158 y Fq(R;\032)2123 3130 y Fw(=)25 b(1)-20 b(l)p Fs(:)-2295 b Fw(\(5.30\))0 3335 y(Let)31 b(no)m(w)f Fs(\032)399 3349 y Fr(1)469 3335 y Fw(with)f Fs(\032)723 3349 y Fr(1)763 3335 y Fw(\(1)21 b(+)e Fs(\017)991 3349 y Fr(0)1031 3335 y Fw(\))25 b Fs(>)g Fw(1)31 b(and)f Fs(\032)25 b(>)g(\032)1655 3349 y Fr(1)1695 3335 y Fw(.)40 b(W)-8 b(e)32 b(claim)d(that)1413 3539 y Fs(f)1468 3502 y Fq(t)1458 3562 y Fr(1)p Fq(;\032)1578 3539 y Ft(\025)c Fs(f)1729 3502 y Fq(t)1719 3562 y(R;\032)1828 3571 y Fm(1)1866 3539 y Fs(;)46 b Fw(for)30 b Fs(t)25 b Ft(\025)g Fs(T)2283 3553 y Fq(R)2341 3539 y Fs(:)-2366 b Fw(\(5.31\))0 3744 y(In)39 b(fact)h(supp)13 b Fs(f)568 3711 y Fq(t)558 3769 y(R;\032)667 3778 y Fm(1)746 3744 y Ft(\032)40 b(f)p Fs(s)g Ft(\025)g(\000)p Fw(c)p Fs(t)26 b Ft(\000)g Fs(\013)1421 3758 y Fr(2)1461 3744 y Fs(R)q(t)1564 3711 y Fq(\032)1600 3720 y Fm(1)1638 3744 y Ft(g)40 b Fw(and)e Fs(f)1963 3711 y Fq(t)1953 3767 y Fr(1)p Fq(;\032)2088 3744 y Ft(\021)i Fw(1)g(in)e Ft(f)p Fs(s)i Ft(\025)g(\000)p Fw(c)p Fs(t)26 b Ft(\000)g Fs(\013)2963 3758 y Fr(1)3002 3744 y Fs(t)3035 3711 y Fq(\032)3075 3744 y Ft(g)p Fw(,)43 b(so)c Fs(f)3363 3711 y Fq(t)3353 3767 y Fr(1)p Fq(;\032)3488 3744 y Ft(\021)h Fw(1)g(on)0 3869 y(supp)14 b Fs(f)258 3836 y Fq(t)248 3895 y(R;\032)357 3904 y Fm(1)430 3869 y Fw(for)35 b Fs(t)d Ft(\025)h Fs(T)796 3883 y Fq(R)854 3869 y Fw(,)j(since)e(0)f Fs(<)g(\013)1382 3883 y Fr(1)1454 3869 y Fs(<)g(\013)1616 3883 y Fr(2)1690 3869 y Fw(and)h Fs(\032)f(>)g(\032)2102 3883 y Fr(1)2141 3869 y Fw(.)54 b(By)36 b(\(5.31\))h(\000)2692 3831 y Fr(+)2692 3896 y Fq(R;\032)2801 3905 y Fm(1)2872 3869 y Ft(\024)c Fw(\000)3033 3831 y Fr(+)3033 3894 y(1)p Fq(;\032)3161 3869 y Ft(\024)f Fw(1)-20 b(l,)36 b(and)e(hence)0 3996 y(\000)57 3958 y Fr(+)57 4021 y(1)p Fq(;\032)177 3996 y Fw(=)25 b(1)-20 b(l)30 b(b)m(y)g(\(5.30\).)p Fh(2)0 4282 y Fx(6)135 b(Asymptotic)45 b(partition)h(of)f(unit)l(y)0 4485 y Fw(In)30 b(this)g(section)i(w)m(e) f(construct)h(an)f(asymptotic)g(partition)f(of)h(unit)m(y)f(on)h(the)h (spaces)f Ft(H)3091 4452 y Fr(e+)3090 4508 y(c)3212 4485 y Fw(constructed)h(in)0 4598 y(Sect.)40 b(5.)g(This)24 b(partition)g(of)j(unit)m(y)e(allo)m(ws)g(to)i(cut)f(a)g(state)i(in)c Ft(H)2245 4565 y Fr(e+)2244 4621 y(c)2361 4598 y Fw(in)m(to)i(pieces)g (ha)m(ving)g(a)g(de\014nite)f(n)m(um)m(b)s(er)0 4711 y(of)31 b(particles)e(in)g(the)i(region)f Ft(f)p Fs(s)25 b Ft(\025)g Fw(c)p Fs(t)p Ft(g)p Fw(.)1844 5517 y(40)p eop %%Page: 41 41 41 40 bop 0 162 a Fv(6.1)112 b(Asymptotic)35 b(cuto\013s)0 334 y 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Fr(0)1962 3200 y Fs(;)15 b(f)2047 3214 y FF(1)2122 3200 y Fw(\))31 b(satisfy)f(\(6.4\).)141 3313 y(W)-8 b(e)32 b(recall)d(the)i(follo)m(wing)e(iden)m(tities)g(\([DG2)r(,)h (Lemma)h(2.11]\):)277 3515 y Fi(D)357 3529 y Fr(0)397 3515 y Fs(P)455 3530 y Fq(k)498 3515 y Fw(\()p Fs(f)588 3482 y Fq(t)617 3515 y Fw(\))26 b(=)f(d)p Fs(P)883 3530 y Fq(k)925 3515 y Fw(\()p Fs(f)1015 3482 y Fq(t)1044 3515 y Fs(;)15 b Fi(d)1142 3529 y Fr(0)1182 3515 y Fs(f)1237 3482 y Fq(t)1266 3515 y Fw(\))p Fs(;)277 3698 y Fw([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))p Fs(;)g(iP)602 3713 y Fq(k)647 3698 y Fw(\()p Fs(f)737 3665 y Fq(t)767 3698 y Fw(\)])123 3901 y(=)324 3865 y Fr(i)p 287 3880 95 4 v 287 3889 a FF(p)p 346 3889 36 3 v 55 x Fr(2)391 3806 y Fp(\020)441 3901 y Fs(a)489 3868 y FF(\003)528 3901 y Fw(\(\(1)22 b Ft(\000)e Fs(f)811 3868 y Fq(t)801 3924 y Fr(0)839 3901 y Fw(\))p Fs(v)s Fw(\))p Fs(P)1014 3916 y Fq(k)1059 3901 y Fw(\()p Fs(f)1149 3868 y Fq(t)1178 3901 y Fw(\))g Ft(\000)g Fs(a)1372 3868 y FF(\003)1412 3901 y Fw(\()p Fs(f)1502 3868 y Fq(t)1492 3923 y FF(1)1566 3901 y Fs(v)s Fw(\))p Fs(P)1706 3916 y Fq(k)r FF(\000)p Fr(1)1840 3901 y Fw(\()p Fs(f)1930 3868 y Fq(t)1960 3901 y Fw(\))g Ft(\000)g Fs(P)2164 3916 y Fq(k)2207 3901 y Fw(\()p Fs(f)2297 3868 y Fq(t)2326 3901 y Fw(\))p Fs(a)p Fw(\(\(1)i Ft(\000)e Fs(f)2692 3868 y Fq(t)2682 3924 y Fr(0)2721 3901 y Fw(\))p Fs(v)s Fw(\))h(+)f Fs(P)3008 3916 y Fq(k)r FF(\000)p Fr(1)3141 3901 y Fw(\()p Fs(f)3231 3868 y Fq(t)3261 3901 y Fw(\))p Fs(a)p Fw(\()p Fs(f)3434 3868 y Fq(t)3424 3923 y FF(1)3499 3901 y Fs(v)s Fw(\))3581 3806 y Fp(\021)3631 3901 y Fs(:)0 3717 y Fw(\(6.5\))0 4120 y Fi(Lemma)33 b(6.1)46 b Fu(Assume)39 b(\(I'0\),)j(\(I'1\))f(for)f Fs(\017)1562 4134 y Fr(0)1639 4120 y Fs(>)e Fw(0)i Fu(,\(I'2\))h(for)f Fs(\026)e(>)g Fw(0)p Fu(.)63 b(Assume)40 b(the)g(c)-5 b(onstants)42 b Fs(\032;)15 b(\016)44 b Fu(ar)-5 b(e)0 4233 y(chosen)33 b(so)h(that)f Fs(\032)26 b(>)f(\016)k(>)c Fw(\(1)c(+)f Fs(\017)1162 4247 y Fr(0)1201 4233 y Fw(\))1236 4200 y FF(\000)p Fr(1)1331 4233 y Fu(,)32 b Fs(\026)25 b(>)g(\016)s(=)p Fw(2)p Fu(.)43 b(Then)33 b(for)h Fs(\037)2211 4247 y Fr(1)2250 4233 y Fs(;)15 b(\037)2347 4247 y Fr(2)2387 4233 y Fs(;)g(F)38 b Ft(2)25 b Fs(C)2681 4200 y FF(1)2674 4256 y Fr(0)2755 4233 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fu(:)1199 4480 y Fw([)p Fs(P)1282 4495 y Fq(k)1325 4480 y Fw(\()p Fs(f)1415 4442 y Fq(t)1445 4480 y Fw(\))p Fs(;)15 b(\037)1577 4494 y Fr(1)1617 4480 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)])p Fs(F)e Fw(\()1890 4418 y Fs(N)1973 4385 y Fr(e)1963 4441 y Fq(t)p 1890 4459 119 4 v 1915 4542 a Fs(t)1948 4516 y Fq(\016)2019 4480 y Fw(\))p Fs(\037)2111 4494 y Fr(2)2151 4480 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(:)0 4871 y Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(By)31 b(the)g(argumen)m(t)f(ab)s(o)m(v)m(e)i(w)m (e)f(ma)m(y)g(assume)f(that)h Fs(f)2180 4885 y Fr(0)2239 4871 y Fw(+)20 b Fs(f)2375 4885 y FF(1)2475 4871 y Ft(\024)k Fw(1.)42 b(W)-8 b(e)31 b(ha)m(v)m(e)533 5113 y([)p Fs(P)616 5128 y Fq(k)659 5113 y Fw(\()p Fs(f)749 5076 y Fq(t)778 5113 y Fw(\))p Fs(;)15 b(\037)910 5127 y Fr(1)950 5113 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)])27 b(=)1277 5052 y(i)p 1239 5092 101 4 v 1239 5176 a(2)p Fs(\031)1365 4998 y Fp(Z)1473 5052 y Fs(@)k Fw(~)-71 b Fs(\037)1583 5066 y Fr(1)p 1473 5092 150 4 v 1498 5176 a Fs(@)p 1551 5127 47 4 v 5 w(z)1633 5113 y Fw(\()p Fs(z)t Fw(\)\()p Fs(z)26 b Ft(\000)20 b Fs(L)p Fw(\))2040 5076 y FF(\000)p Fr(1)2134 5113 y Fw([)p Fs(L;)15 b(P)2319 5128 y Fq(k)2363 5113 y Fw(\()p Fs(f)2453 5076 y Fq(t)2482 5113 y Fw(\)]\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(L)p Fw(\))2832 5076 y FF(\000)p Fr(1)2927 5113 y Fw(d)p Fs(z)k Ft(^)c Fw(d)p 3176 5064 V Fs(z)s(:)-3246 b Fw(\(6.6\))1844 5517 y(41)p eop %%Page: 42 42 42 41 bop 0 162 a Fw(On)30 b Ft(D)s Fw(\()p Fs(N)343 129 y Fr(e)378 162 y Fw(\))21 b Ft(\\)e(D)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))31 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e:)971 336 y([)p Fs(L;)15 b(P)1156 351 y Fq(k)1200 336 y Fw(\()p Fs(f)1290 299 y Fq(t)1319 336 y Fw(\)])26 b(=)f(d)p Fs(P)1610 351 y Fq(k)1652 336 y Fw(\()p Fs(f)1742 299 y Fq(t)1772 336 y Fs(;)15 b Fw([)p Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)p Fs(;)g(f)2037 299 y Fq(t)2067 336 y Fw(]\))p Ft(j)21 b Fw(+)f([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))p Fs(;)15 b(P)2558 351 y Fq(k)2603 336 y Fw(\()p Fs(f)2693 299 y Fq(t)2722 336 y Fw(\)])p Fs(:)0 510 y Fw(By)31 b(Lemma)f(5.2)i(w)m(e)e(ha)m(v)m(e)1358 623 y([)p Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)p Fs(;)15 b(f)1583 586 y Fq(t)1573 646 y(\017)1614 623 y Fw(])25 b Ft(2)g Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)1890 586 y FF(\000)p Fq(\032)1985 623 y Fw(\))p Fs(;)15 b(\017)26 b Fw(=)f(0)p Fs(;)15 b Ft(1)p Fs(:)-2420 b Fw(\(6.7\))0 775 y(Applying)28 b(then)i([DG2)r(,)g(Lemma)h (2.11)g(],)g(w)m(e)g(get)1313 949 y(d)p Fs(P)1422 964 y Fq(k)1465 949 y Fw(\()p Fs(f)1555 912 y Fq(t)1584 949 y Fs(;)15 b Fw([)p Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)p Fs(;)g(f)1849 912 y Fq(t)1880 949 y Fw(]\))26 b Ft(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(N)2242 912 y Fr(e)2277 949 y Fw(\))p Fs(t)2345 912 y FF(\000)p Fq(\032)2441 949 y Fs(:)0 1123 y Fw(Using)30 b(then)g(\(6.5\))i(and)e Fu(\(I'2\))p Fw(,)h(w)m(e)g(obtain)923 1312 y Ft(k)p 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b(\024)f Fs(C)7 b Ft(j)p Fw(Im)o Fs(z)t Ft(j)2202 1670 y FF(\000)p Fr(2)2297 1707 y Fs(;)35 b(\013)26 b Fw(=)2547 1646 y(1)p 2547 1686 46 4 v 2547 1770 a(2)2602 1707 y Fs(;)15 b Fw(1)p Fs(;)g(z)31 b Ft(2)25 b Fs(B)30 b Fg(b)p 3101 1707 4 56 v 25 w Fw(C)o Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)p Fs(:)0 1933 y Fw(Recall)30 b(also)g(from)g(Lemma)h(4.6)g(that)g(\()p Fs(N)1457 1900 y Fr(e)1493 1933 y Fw(\))1528 1900 y Fq(\013)1578 1933 y Fs(F)13 b Fw(\()1694 1884 y Fq(N)1757 1861 y Fm(e)1750 1905 y Fj(t)p 1694 1911 95 4 v 1712 1968 a Fq(t)1737 1949 y Fj(\016)1799 1933 y Fw(\))p Fs(\037)1891 1947 y Fr(2)1930 1933 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2314 1900 y Fq(\016)r(\013)2397 1933 y Fw(\).)41 b(This)29 b(yields)1013 2131 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(z)d Ft(\000)19 b Fs(L)p Fw(\))1348 2098 y FF(\000)p Fr(1)1443 2131 y Fw([)p Fs(L;)c(P)1628 2146 y Fq(k)1672 2131 y Fw(\()p Fs(f)1762 2098 y Fq(t)1791 2131 y Fw(\)]\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(L)2106 2098 y FF(\000)p Fr(1)2200 2131 y Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()2351 2083 y Fq(N)2414 2060 y Fm(e)2407 2104 y Fj(t)p 2352 2110 V 2370 2167 a Fq(t)2395 2148 y Fj(\016)2457 2131 y Fw(\))p Fs(\037)2549 2145 y Fr(2)2588 2131 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Ft(k)1013 2319 y(\024)25 b Fs(C)7 b Fw(\()p Fs(t)1249 2286 y FF(\000)p Fq(\032)p Fr(+)p Fq(\016)1453 2319 y Fw(+)20 b Fs(t)1577 2286 y FF(\000)p Fq(\026)p Fr(+)p Fq(\016)r(=)p Fr(2)1837 2319 y Fw(\))p Ft(j)p Fw(Im)p Fs(z)t Ft(j)2077 2286 y FF(\000)p Fr(3)2172 2319 y Fs(:)0 2490 y Fw(Using)30 b(\(6.6\))i(w)m(e)f(obtain)e(the)i(lemma.)40 b Fh(2)141 2643 y Fw(The)30 b(follo)m(wing)f(lemma)h(follo)m(ws)f(from)h(Lemmas)h (4.4)g(and)f(6.1.)0 2806 y Fi(Lemma)j(6.2)46 b Fu(Assume)39 b(\(I'0\),)j(\(I'1\))e(for)h Fs(\017)1562 2820 y Fr(0)1639 2806 y Fs(>)d Fw(0)p Fu(,)j(\(I'2\))g(for)f Fs(\026)e(>)f Fw(0)p Fu(.)64 b(Assume)39 b(the)h(c)-5 b(onstants)42 b Fs(\032;)15 b(\016)44 b Fu(ar)-5 b(e)0 2918 y(chosen)33 b(so)h(that)f Fs(\032)26 b(>)f(\016)k(>)c Fw(\(1)c(+)f Fs(\017)1162 2932 y Fr(0)1201 2918 y 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b(+)f Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(:)0 3471 y Fw(W)-8 b(e)36 b(recall)f(that)g(the)h(observ)-5 b(able)34 b Fs(B)1288 3485 y Fr(c)16 b Fq(t)1400 3471 y Fw(w)m(as)35 b(de\014ned)f(in)g(\(5.2\).)56 b(F)-8 b(or)36 b Fs(f)43 b Fw(=)33 b(\()p Fs(f)2714 3485 y Fr(0)2753 3471 y Fs(;)15 b(f)2838 3485 y FF(1)2912 3471 y Fw(\))p Fs(;)g(g)38 b Ft(2)33 b(B)s Fw(\()p Fl(h)3303 3438 y Fr(e)3338 3471 y Fw(\))j(w)m(e)f(de\014ne)0 3584 y(the)c(op)s(erator)f Fs(R)592 3599 y Fq(k)635 3584 y Fw(\()p Fs(f)5 b(;)15 b(g)s Fw(\))31 b(as)500 3819 y Fs(R)569 3834 y Fq(k)612 3819 y Fw(\()p Fs(f)5 b(;)15 b(g)s Fw(\))818 3837 y FF(j\012)893 3819 y Fj(n)893 3854 y Fm(s)936 3837 y Fk(h)972 3819 y Fm(e)34 b Fw(:=)1194 3713 y Fq(n)1155 3738 y Fp(X)1154 3920 y Fq(j)t Fr(=1)1439 3738 y Fp(X)1292 3926 y Fq(])p FF(f)p Fq(i)p FF(j)p Fq(\017)1427 3936 y Fj(i)1453 3926 y Fr(=)p FF(1g)p Fr(=)p Fq(k)1722 3819 y Fs(f)1767 3833 y Fq(\017)1796 3842 y Fm(1)1854 3819 y Ft(\012)20 b(\001)15 b(\001)g(\001)21 b(\012)f Fs(f)2207 3833 y Fq(\017)2236 3843 y Fj(j)s Fo(\000)p Fm(1)2371 3819 y Ft(\012)g Fs(g)j Ft(\012)d Fs(f)2664 3833 y Fq(\017)2693 3843 y Fj(j)s Fm(+1)2826 3819 y Ft(\012)g(\001)15 b(\001)g(\001)21 b(\012)f Fs(f)3179 3833 y Fq(\017)3208 3841 y Fj(n)3254 3819 y Fs(:)-3279 b Fw(\(6.9\))0 4089 y(If)30 b Fs(f)136 4103 y Fr(0)195 4089 y Fw(+)20 b Fs(\013f)389 4103 y FF(1)489 4089 y Ft(\024)25 b Fw(1,)31 b(w)m(e)g(see)g(as)f(in)f([DG2)r (,)h(Lemma)h(2.11])h(that)908 4278 y Ft(j)p Fw(\()p Fs(v)s(;)15 b(R)1124 4293 y Fq(k)1168 4278 y Fw(\()p Fs(f)5 b(;)15 b(g)s Fw(\))p Fs(u)p Fw(\))p Ft(j)27 b(\024)e Fs(\013)1667 4240 y FF(\000)p Fq(k)1765 4278 y Ft(k)p Fs(g)s Ft(k)1901 4296 y FF(B)r Fr(\()p Fk(h)2012 4277 y Fm(e)2046 4296 y Fr(\))2077 4278 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(N)2240 4240 y Fr(e)2277 4278 y Fw(\))2322 4213 y Fm(1)p 2322 4225 31 4 v 2322 4266 a(2)2366 4278 y Fs(u)p Ft(kk)p Fw(\()p Fs(N)2626 4240 y Fr(e)2663 4278 y Fw(\))2708 4213 y Fm(1)p 2709 4225 V 2709 4266 a(2)2753 4278 y Fs(v)s Ft(k)p Fs(:)0 4452 y Fi(Prop)s(osition)36 b(6.3)46 b Fu(Assume)34 b(\(I'0\),)h (\(I'2\))g(for)f Fs(\026)28 b(>)g Fw(1)p Fu(.)46 b(Assume)34 b Fw(0)29 b Fs(<)e Fw(c)h Fs(<)g Fw(1)35 b Fu(or)f Fw(c)29 b(=)e(1)35 b Fu(and)g Fs(\013)3357 4466 y Fr(2)3424 4452 y Fs(<)28 b Fw(0)p Fu(.)46 b(F)-7 b(or)0 4565 y Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)240 4532 y FF(1)233 4588 y Fr(0)314 4565 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fs(;)15 b(\025)26 b(>)f Fw(0)p Fu(:)363 4786 y Fs(i)p Fw(\))465 4671 y Fp(Z)548 4697 y Fr(+)p FF(1)511 4860 y Fr(1)693 4786 y Ft(k)p Fs(R)807 4801 y Fq(k)850 4786 y Fw(\()p Fs(f)940 4749 y Fq(t)969 4786 y Fs(;)15 b Ft(j)p Fs(g)1080 4749 y Fq(t)1077 4809 y(\017)1111 4786 y Ft(j)p Fw(\))1181 4721 y Fm(1)p 1182 4733 V 1182 4775 a(2)1226 4786 y Fw(\()p Fs(B)1330 4800 y Fr(c)i Fq(t)1427 4786 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1606 4749 y FF(\000)1671 4721 y Fm(1)p 1672 4733 V 1672 4775 a(2)1716 4786 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)1957 4800 y Fq(t)1987 4786 y Ft(k)2032 4749 y Fr(2)2072 4786 y Fw(d)p Fs(t)25 b Ft(\024)g Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(u)p Ft(k)2491 4749 y Fr(2)2530 4786 y Fs(;)36 b(u)25 b Ft(2)g(D)s Fw(\()p Fs(N)2945 4749 y Fr(e)2981 4786 y Fw(\))p Fs(;)15 b(\017)26 b Fw(=)f(0)p Fs(;)15 b Ft(1)p Fs(;)0 5003 y Fu(if)32 b Fs(g)134 4970 y Fq(t)131 5026 y(\017)190 5003 y Fw(=)25 b Fi(d)344 5017 y Fr(0)383 5003 y Fs(f)438 4970 y Fq(t)428 5026 y(\017)467 5003 y Fu(.)768 5116 y Fs(ii)p Fw(\))d(s-)62 b(lim)968 5171 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1205 5116 y Fw(e)1245 5078 y Fr(i)p Fq(tH)1353 5055 y Fm(e)1389 5116 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(P)1636 5131 y Fq(k)1679 5116 y Fw(\()p Fs(f)1769 5078 y Fq(t)1798 5116 y Fw(\)\()p Fs(B)1937 5130 y Fr(c)17 b Fq(t)2035 5116 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))2214 5078 y FF(\000)p Fr(1)2309 5116 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2538 5078 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2701 5055 y Fm(e)2770 5116 y Fu(exists)p Fs(:)1844 5517 y Fw(42)p eop %%Page: 43 43 43 42 bop 0 162 a Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(Let)1016 275 y(\010)1082 290 y Fq(k)1124 275 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))26 b(=)f Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(B)1642 289 y Fr(c)17 b Fq(t)1739 275 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1918 238 y FF(\000)p Fr(1)2013 275 y Fs(P)2071 290 y Fq(k)2114 275 y Fw(\()p Fs(f)2204 238 y Fq(t)2233 275 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(;)37 b(\025)25 b(>)g Fw(0)p Fs(:)0 439 y Fw(Note)36 b(that)f([)p Fs(P)508 454 y Fq(k)552 439 y Fw(\()p Fs(f)642 406 y Fq(t)671 439 y Fw(\))p Fs(;)15 b(B)815 453 y Fr(c)i Fq(t)892 439 y Fw(])33 b(=)f(0.)54 b(F)-8 b(or)36 b Fs(u)c Ft(2)g(D)s Fw(\()p Fs(N)1713 406 y Fr(e)1749 439 y Fw(\))23 b Ft(\\)g(D)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))35 b(the)g(function)e Fs(t)f Ft(7!)h Fw(\()p Fs(u)2928 453 y Fq(t)2958 439 y Fs(;)15 b Fw(\010)3064 454 y Fq(k)3106 439 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)3261 453 y Fq(t)3292 439 y Fw(\))34 b(is)g Fs(C)3529 406 y Fr(1)3603 439 y Fw(with)0 552 y(deriv)-5 b(ativ)m(e)30 b(\()p Fs(u)504 566 y Fq(t)534 552 y Fs(;)15 b Fi(D)p Fw(\010)720 567 y Fq(k)763 552 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)918 566 y Fq(t)948 552 y Fw(\))31 b(and)520 746 y Fi(D)p Fw(\010)666 761 y Fq(k)709 746 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))26 b(=)83 b Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fi(D)p Fw(\()p Fs(B)1365 760 y Fr(c)17 b Fq(t)1462 746 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1641 713 y FF(\000)p Fr(1)1736 746 y Fs(P)1794 761 y Fq(k)1837 746 y Fw(\()p Fs(f)1927 713 y Fq(t)1956 746 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))992 948 y(+)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(B)1356 962 y Fr(c)c Fq(t)1453 948 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1632 915 y FF(\000)p Fr(1)1726 854 y Fp(\020)1776 948 y Fw(d)p Fs(P)1885 963 y Fq(k)1928 948 y Fw(\()p Fs(f)2018 915 y Fq(t)2047 948 y Fs(;)15 b Fi(d)2145 962 y Fr(0)2185 948 y Fs(f)2240 915 y Fq(t)2269 948 y Fw(\))20 b(+)g([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)2576 915 y Fr(e)2613 948 y Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(i)p Fs(P)2772 963 y Fq(k)2815 948 y Fw(\()p Fs(f)2905 915 y Fq(t)2934 948 y Fw(\)])2994 854 y Fp(\021)3044 948 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(:)0 856 y Fw(\(6.10\))0 1167 y(W)-8 b(e)34 b(observ)m(e)g(that)g Fs(b)725 1181 y Fr(c)16 b Fq(t)835 1167 y Fw(de\014ned)32 b(in)g(\(5.2\))j(is)d(equal)h(to)h(1)g(on)f(supp)14 b(\(1)23 b Ft(\000)e Fs(f)2592 1134 y Fq(t)2582 1190 y Fr(0)2621 1167 y Fw(\))34 b(and)f(on)g(supp)13 b Fs(f)3256 1134 y Fq(t)3246 1189 y FF(1)3320 1167 y Fw(.)50 b(Using)32 b(the)0 1280 y(fact)f(that)g Fs(B)445 1294 y Fr(c)16 b Fq(t)552 1280 y Fw(comm)m(utes)31 b(with)f Fs(P)1245 1295 y Fq(k)1288 1280 y Fw(\()p Fs(f)1378 1247 y Fq(t)1407 1280 y Fw(\),)h(w)m(e)g(obtain)196 1474 y Ft(k)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(B)534 1488 y Fr(c)17 b Fq(t)632 1474 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))811 1441 y FF(\000)p Fr(1)906 1474 y Fw([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)1067 1441 y Fr(e)1103 1474 y Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(i)p Fs(P)1262 1489 y Fq(k)1305 1474 y Fw(\()p Fs(f)1395 1441 y Fq(t)1425 1474 y Fw(\)])p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Ft(k)196 1674 y(\024)25 b Fs(C)7 b Ft(k)p Fw(\()p Fs(B)513 1688 y Fr(c)16 b Fq(t)610 1674 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))789 1641 y FF(\000)p Fr(1)884 1674 y Fs(a)932 1641 y FF(\003)971 1674 y Fw(\(\(1)i Ft(\000)e Fs(f)1254 1641 y Fq(t)1244 1697 y Fr(0)1283 1674 y Fw(\)\()p Fs(K)27 b Fw(+)20 b(1\))1628 1638 y FF(\000)1693 1611 y Fm(1)p 1694 1623 31 4 v 1694 1664 a(2)1738 1674 y Fs(v)1785 1641 y Fr(e)1821 1674 y Fw(\))p Ft(k)h Fw(+)f Fs(C)7 b Ft(k)p Fw(\()p Fs(B)2234 1688 y Fr(c)16 b Fq(t)2331 1674 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2510 1641 y FF(\000)p Fr(1)2605 1674 y Fs(a)p Fw(\(\(1)h Ft(\000)f Fs(f)2935 1641 y Fq(t)2925 1697 y Fr(0)2964 1674 y Fw(\)\()p Fs(K)28 b Fw(+)20 b(1\))3310 1638 y FF(\000)3375 1611 y Fm(1)p 3375 1623 V 3375 1664 a(2)3420 1674 y Fs(v)3467 1641 y Fr(e)3503 1674 y Fw(\))p Ft(k)196 1874 y Fw(+)p Fs(C)7 b Fw(\()p Ft(k)p Fw(\()p Fs(B)523 1888 y Fr(c)16 b Fq(t)620 1874 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))799 1841 y FF(\000)p Fr(1)894 1874 y Fs(a)942 1841 y FF(\003)981 1874 y Fw(\()p Fs(f)1071 1841 y Fq(t)1061 1896 y FF(1)1136 1874 y Fw(\()p Fs(K)27 b Fw(+)20 b(1\))1446 1838 y FF(\000)1511 1811 y Fm(1)p 1512 1823 V 1512 1864 a(2)1556 1874 y Fs(v)1603 1841 y Fr(e)1639 1874 y Fw(\))p Ft(k)h Fw(+)f Ft(kk)p Fw(\()p Fs(B)2025 1888 y Fr(c)d Fq(t)2123 1874 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))2302 1841 y FF(\000)p Fr(1)2397 1874 y Fs(a)p Fw(\()p Fs(f)2535 1841 y Fq(t)2525 1896 y FF(1)2599 1874 y Fw(\()p Fs(K)28 b Fw(+)20 b(1\))2910 1838 y FF(\000)2975 1811 y Fm(1)p 2975 1823 V 2975 1864 a(2)3020 1874 y Fs(v)3067 1841 y Fr(e)3103 1874 y Fw(\))p Ft(k)p Fw(\))q Fs(:)0 2064 y Fw(Applying)28 b(Prop.)40 b(A.1,)31 b(w)m(e)g(obtain)1030 2253 y Ft(k)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(B)1368 2267 y Fr(c)17 b Fq(t)1466 2253 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1645 2220 y FF(\000)p Fr(1)1740 2253 y Fw([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)1901 2220 y Fr(e)1938 2253 y Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(i)p Fs(P)2097 2268 y Fq(k)2140 2253 y Fw(\()p Fs(f)2230 2220 y Fq(t)2259 2253 y Fw(\)])p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Ft(k)877 2453 y(\024)82 b Fs(C)7 b Ft(k)p Fw(\(1)21 b Ft(\000)f Fs(f)1394 2420 y Fq(t)1384 2476 y Fr(0)1423 2453 y Fw(\)\()p Fs(K)28 b Fw(+)20 b(1\))1769 2417 y FF(\000)1834 2390 y Fm(1)p 1834 2402 V 1834 2443 a(2)1879 2453 y Fs(v)1926 2420 y Fr(e)1962 2453 y Ft(k)g Fw(+)g Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(f)2290 2420 y Fq(t)2280 2476 y FF(1)2354 2453 y Fw(\()p Fs(K)28 b Fw(+)20 b(1\))2665 2417 y FF(\000)2730 2390 y Fm(1)p 2730 2402 V 2730 2443 a(2)2775 2453 y Fs(v)2822 2420 y Fr(e)2858 2453 y Ft(k)877 2637 y(\024)82 b Fs(C)7 b(t)1135 2604 y FF(\000)p Fq(\026)1236 2637 y Fs(;)0 2445 y Fw(\(6.11\))0 2832 y(b)m(y)30 b Fu(\(I'2\))p Fw(.)141 2945 y(On)g(the)g(other)h(hand)e(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)h(on)e(the)g Fs(n)p Ft(\000)p Fw(particle)f(sector:)356 3134 y(d)p Fs(P)465 3149 y Fq(k)507 3134 y Fw(\()p Fs(f)5 b(;)15 b(g)s Fw(\))26 b(=)893 3070 y Fp(P)981 3096 y Fq(n)981 3157 y(j)t Fr(=1)1122 3070 y Fp(P)1210 3157 y Fq(])p FF(f)p Fq(i)p FF(j)p Fq(\017)1345 3167 y Fj(i)1371 3157 y Fr(=)p FF(1g)p Fr(=)p Fq(k)1645 3134 y Fs(f)1690 3148 y Fq(\017)1719 3157 y Fm(1)1777 3134 y Ft(\012)20 b(\001)15 b(\001)g(\001)21 b(\012)f Fs(f)2130 3148 y Fq(\017)2159 3158 y Fj(j)s Fo(\000)p Fm(1)2293 3134 y Ft(\012)g Fs(g)2427 3148 y Fr(0)2487 3134 y Ft(\012)g Fs(f)2623 3148 y Fq(\017)2652 3158 y Fj(j)s Fm(+1)2785 3134 y Ft(\012)g(\001)15 b(\001)g(\001)21 b(\012)f Fs(f)3138 3148 y Fq(\017)3167 3156 y Fj(n)893 3318 y Fw(+)979 3254 y Fp(P)1067 3280 y Fq(n)1067 3341 y(j)t Fr(=1)1208 3254 y Fp(P)1296 3341 y Fq(])p FF(f)p Fq(i)p FF(j)p Fq(\017)1431 3351 y Fj(i)1457 3341 y Fr(=)p FF(1g)p Fr(=)p Fq(k)r FF(\000)p Fr(1)1821 3318 y Fs(f)1866 3332 y Fq(\017)1895 3341 y Fm(1)1953 3318 y Ft(\012)g(\001)15 b(\001)g(\001)21 b(\012)f Fs(f)2306 3332 y Fq(\017)2335 3342 y Fj(j)s Fo(\000)p Fm(1)2469 3318 y Ft(\012)g Fs(g)2603 3332 y FF(1)2698 3318 y Ft(\012)g Fs(f)2834 3332 y Fq(\017)2863 3342 y Fj(j)s Fm(+1)2996 3318 y Ft(\012)g(\001)15 b(\001)g(\001)21 b(\012)f Fs(f)3349 3332 y Fq(\017)3378 3340 y Fj(n)739 3502 y Fw(=)83 b Fs(R)962 3517 y Fq(k)1005 3502 y Fw(\()p Fs(f)5 b(;)15 b(g)1173 3516 y Fr(0)1212 3502 y Fw(\))21 b(+)f Fs(R)1428 3517 y Fq(k)r FF(\000)p Fr(1)1561 3502 y Fw(\()p Fs(f)5 b(;)15 b(g)1729 3516 y FF(1)1804 3502 y Fw(\))p Fs(:)0 3691 y Fw(Finally)28 b(as)j(in)e(the)i(pro)s(of)e(of)i (Prop.)40 b(5.1:)450 3889 y Fi(D)p Fw(\()p Fs(B)634 3903 y Fr(c)17 b Fq(t)732 3889 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))911 3856 y FF(\000)p Fr(1)1031 3889 y Fw(=)25 b Ft(\000)p Fw(\()p Fs(B)1302 3903 y Fr(c)16 b Fq(t)1399 3889 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1577 3856 y FF(\000)p Fr(1)1672 3889 y Fw(d\000\()p Fs(c)1854 3903 y Fq(t)1884 3889 y Fw(\)\()p Fs(B)2023 3903 y Fr(c)e Fq(t)2120 3889 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))2299 3856 y FF(\000)p Fr(1)2414 3889 y Fw(+)g([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)2666 3856 y Fr(e)2703 3889 y Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(i\()p Fs(B)2908 3903 y Fr(c)h Fq(t)3005 3889 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))3184 3856 y FF(\000)p Fr(1)3279 3889 y Fw(])p Fs(;)0 4086 y Fw(and)30 b(b)m(y)g(\(5.4\))1144 4199 y Ft(k)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)[)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)1539 4161 y Fr(e)1576 4199 y Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(i\()p Fs(B)1781 4213 y Fr(c)i Fq(t)1878 4199 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))2057 4161 y FF(\000)p Fr(1)2152 4199 y Fw(])p Ft(k)26 b(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2474 4161 y FF(\000)p Fq(\026)2575 4199 y Fw(\))p Fs(:)-2635 b Fw(\(6.12\))0 4362 y(Note)32 b(also)e(that)1050 4450 y(\()p Fs(B)1154 4464 y Fr(c)16 b Fq(t)1251 4450 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1430 4417 y FF(\000)p Fr(1)1525 4450 y Fw(d\000\()p Fs(c)1707 4464 y Fq(t)1736 4450 y Fw(\))p Fs(P)1829 4465 y Fq(k)1873 4450 y Fw(\()p Fs(f)1963 4417 y Fq(t)1992 4450 y Fw(\)\()p Fs(B)2131 4464 y Fr(c)d Fq(t)2229 4450 y Fw(+)i Fs(\025)p Fw(\))2407 4417 y FF(\000)p Fr(1)896 4650 y Fw(=)83 b(\()p Fs(B)1154 4664 y Fr(c)16 b Fq(t)1251 4650 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1430 4617 y FF(\000)p Fr(1)1525 4650 y Fw(d\000\()p Fs(c)1707 4664 y Fq(t)1736 4650 y Fw(\))1781 4587 y Fm(1)p 1782 4599 V 1782 4640 a(2)1826 4650 y Fs(P)1884 4665 y Fq(k)1927 4650 y Fw(\()p Fs(f)2017 4617 y Fq(t)2046 4650 y Fw(\)d\000\()p Fs(c)2263 4664 y Fq(t)2293 4650 y Fw(\))2338 4587 y Fm(1)p 2339 4599 V 2339 4640 a(2)2383 4650 y Fw(\()p Fs(B)2487 4664 y Fr(c)d Fq(t)2585 4650 y Fw(+)i Fs(\025)p Fw(\))2763 4617 y FF(\000)p Fr(1)2858 4650 y Fs(;)0 4550 y Fw(\(6.13\))0 4816 y(since)26 b Fs(P)277 4831 y Fq(k)320 4816 y Fw(\()p Fs(f)410 4783 y Fq(t)440 4816 y Fw(\))h(comm)m(utes)h(with)e Fs(B)1199 4830 y Fr(c)16 b Fq(t)1303 4816 y Fw(and)26 b(d\000\()p Fs(c)1658 4830 y Fq(t)1688 4816 y Fw(\).)40 b(Using)26 b(\(6.12\),)k(\(6.13\))g(and)c(Prop.)39 b(5.1,)29 b(w)m(e)f(see)g(that)f(the)0 4929 y(\014rst)j(term)g(on)g(the)h(r.h.s.) 40 b(of)31 b(\(6.10\))h(is)e(in)m(tegrable)g(along)g(the)h(ev)m (olution.)141 5042 y(Let)f(us)g(no)m(w)f(consider)g(the)h(second)g (term.)41 b(Assume)29 b(\014rst)g(that)h Fs(f)2428 5056 y Fr(0)2486 5042 y Fw(+)19 b Fs(f)2621 5056 y FF(1)2720 5042 y Fw(=)25 b(1.)41 b(Then)29 b Fi(d)3222 5056 y Fr(0)3262 5042 y Fs(f)3317 5009 y Fq(t)3307 5065 y Fr(0)3371 5042 y Fw(=)c Ft(\000)p Fi(d)3596 5056 y Fr(0)3635 5042 y Fs(f)3690 5009 y Fq(t)3680 5064 y FF(1)3754 5042 y Fw(,)0 5155 y(and)30 b(hence)1062 5268 y(d)p Fs(P)1171 5283 y Fq(k)1214 5268 y Fw(\()p Fs(f)1304 5230 y Fq(t)1333 5268 y Fs(;)15 b Fi(d)1431 5282 y Fr(0)1471 5268 y Fs(f)1526 5230 y Fq(t)1555 5268 y Fw(\))26 b(=)f Fs(R)1781 5283 y Fq(k)1823 5268 y Fw(\()p Fs(f)1913 5230 y Fq(t)1943 5268 y Fs(;)15 b(g)2029 5230 y Fq(t)2026 5290 y Fr(0)2066 5268 y Fw(\))20 b Ft(\000)g Fs(R)2281 5283 y Fq(k)r FF(\000)p Fr(1)2414 5268 y Fw(\()p Fs(f)2504 5230 y Fq(t)2533 5268 y Fs(;)15 b(g)2619 5230 y Fq(t)2616 5290 y Fr(0)2657 5268 y Fw(\))p Fs(;)-2717 b Fw(\(6.14\))1844 5517 y(43)p eop %%Page: 44 44 44 43 bop 0 162 a Fw(where)30 b(w)m(e)h(set)g Fs(R)608 176 y FF(\000)p Fr(1)702 162 y Fw(\()p Fs(f)5 b(;)15 b(g)s Fw(\))26 b(=)f(0.)41 b(Next)1036 398 y Fs(g)1082 361 y Fq(t)1079 421 y Fr(0)1144 398 y Fw(=)25 b Fi(d)1298 412 y Fr(0)1337 398 y Fs(f)1392 361 y Fq(t)1382 421 y Fr(0)1447 398 y Fw(=)g Fs(f)1598 361 y FF(0)1588 421 y Fr(0)1626 398 y Fw(\()1671 337 y Fs(s)c Ft(\000)e Fw(c)p Fs(t)p 1671 377 227 4 v 1749 460 a(t)1782 434 y Fq(\032)1909 398 y Fw(\))1959 279 y Fp(\022)2030 337 y Fw(1)i Ft(\000)f Fw(c)p 2030 377 197 4 v 2092 460 a Fs(t)2125 434 y Fq(\032)2257 398 y Ft(\000)g Fs(\032)2405 337 y(s)g Ft(\000)g Fw(c)p Fs(t)p 2405 377 227 4 v 2437 460 a(t)2470 434 y Fq(\032)p Fr(+1)2642 279 y Fp(\023)2718 398 y Fs(:)0 639 y Fw(If)29 b(0)c Fs(<)g Fw(c)h Fs(<)f Fw(1)k(or)g(c)d(=)f(1)k(and)g Fs(\013)1072 653 y Fr(2)1137 639 y Fs(<)c Fw(0)k(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)g Fs(g)1694 606 y Fq(t)1691 663 y Fr(0)1756 639 y Ft(\024)25 b Fw(0)k(for)g Fs(t)c Ft(\035)h Fw(1.)40 b(By)30 b(\(6.11\),)h(Prop.)40 b(5.1)30 b(and)f(Prop.)39 b(A.2,)0 752 y(w)m(e)31 b(obtain)600 775 y Fp(Z)683 801 y Fr(+)p FF(1)646 963 y Fr(1)828 889 y Ft(k)p Fs(R)942 903 y Fr(0)982 889 y Fw(\()p Fs(f)1072 852 y Fq(t)1101 889 y Fs(;)15 b Ft(j)p Fs(g)1212 852 y Fq(t)1209 912 y Fr(0)1249 889 y Ft(j)p Fw(\))1319 825 y Fm(1)p 1320 837 31 4 v 1320 878 a(2)1364 889 y Fw(\()p Fs(B)1468 903 y Fr(c)i Fq(t)1566 889 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1745 852 y FF(\000)1810 825 y Fm(1)p 1810 837 V 1810 878 a(2)1854 889 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)2095 903 y Fq(t)2125 889 y Ft(k)2170 852 y Fr(2)2210 889 y Fw(d)p Fs(t)25 b Ft(\024)g Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(u)p Ft(k)2629 852 y Fr(2)2669 889 y Fs(;)35 b(u)26 b Ft(2)f(D)s Fw(\()p Fs(N)3084 852 y Fr(e)3119 889 y Fw(\))p Fs(:)0 1089 y Fw(Using)30 b(then)g(\(6.14\))i(w)m(e)f(obtain)f(b)m(y)g (induction)e(on)i Fs(k)s Fw(:)598 1216 y Fp(Z)681 1243 y Fr(+)p FF(1)644 1405 y Fr(1)826 1331 y Ft(k)p Fs(R)940 1346 y Fq(k)983 1331 y Fw(\()p Fs(f)1073 1294 y Fq(t)1102 1331 y Fs(;)15 b Ft(j)p Fs(g)1213 1294 y Fq(t)1210 1354 y Fr(0)1251 1331 y Ft(j)p Fw(\))1321 1267 y Fm(1)p 1322 1279 V 1322 1320 a(2)1366 1331 y Fw(\()p Fs(B)1470 1345 y Fr(c)h Fq(t)1567 1331 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1746 1294 y FF(\000)1811 1267 y Fm(1)p 1811 1279 V 1811 1320 a(2)1856 1331 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)2097 1345 y Fq(t)2127 1331 y Ft(k)2172 1294 y Fr(2)2212 1331 y Fw(d)p Fs(t)25 b Ft(\024)g Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(u)p Ft(k)2631 1294 y Fr(2)2670 1331 y Fs(;)36 b(u)25 b Ft(2)g(D)s Fw(\()p Fs(N)3085 1294 y Fr(e)3121 1331 y Fw(\))p Fs(:)-3181 b Fw(\(6.15\))0 1580 y(Let)32 b(us)g(no)m(w)g(assume)g(that)g Fs(f)1033 1594 y Fr(0)1093 1580 y Fw(+)21 b Fs(\013f)1288 1594 y FF(1)1391 1580 y Ft(\024)28 b Fw(1.)45 b(In)m(tro)s(ducing)31 b(the)h(cuto\013s)2570 1556 y(~)2550 1580 y Fs(f)38 b Fw(=)27 b(\()p Fs(f)2811 1594 y Fr(0)2851 1580 y Fs(;)15 b(\013f)2994 1594 y FF(1)3069 1580 y Fw(\),)33 b(w)m(e)f(ma)m(y)h (assume)0 1693 y(that)e Fs(f)242 1707 y Fr(0)301 1693 y Fw(+)20 b Fs(f)437 1707 y FF(1)537 1693 y Ft(\024)k Fw(1.)42 b(Since)29 b Fs(f)1026 1707 y Fr(0)1090 1693 y Ft(\024)c Fw(\(1)c Ft(\000)f Fs(f)1423 1707 y FF(1)1497 1693 y Fw(\),)31 b Fs(f)1633 1707 y FF(1)1733 1693 y Ft(\024)25 b Fw(1)20 b Ft(\000)g Fs(f)2030 1707 y Fr(0)2069 1693 y Fw(,)31 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e:)926 1886 y Fs(R)995 1901 y Fq(k)1038 1886 y Fw(\()p Fs(f)1128 1853 y Fq(t)1157 1886 y Fs(;)15 b Ft(j)p Fs(g)1268 1853 y Fq(t)1265 1909 y Fr(0)1306 1886 y Ft(j)p Fw(\))26 b Ft(\024)e Fs(R)1556 1901 y Fq(k)1599 1886 y Fw(\()p Fs(l)1663 1853 y Fq(t)1693 1886 y Fs(;)15 b Ft(j)p Fs(g)1804 1853 y Fq(t)1801 1909 y Fr(0)1842 1886 y Ft(j)p Fw(\))30 b(for)h Fs(l)2101 1853 y Fq(t)2155 1886 y Fw(=)25 b(\()p Fs(f)2341 1853 y Fq(t)2331 1909 y Fr(0)2371 1886 y Fs(;)15 b Fw(1)21 b Ft(\000)f Fs(f)2623 1853 y Fq(t)2613 1909 y Fr(0)2652 1886 y Fw(\))p Fs(;)926 2070 y(R)995 2085 y Fq(k)1038 2070 y Fw(\()p Fs(f)1128 2037 y Fq(t)1157 2070 y Fs(;)15 b Ft(j)p Fs(g)1268 2037 y Fq(t)1265 2092 y FF(1)1341 2070 y Ft(j)p Fw(\))26 b Ft(\024)f Fs(R)1592 2085 y Fq(k)1634 2070 y Fw(\()p Fs(l)1698 2037 y Fq(t)1728 2070 y Fs(;)15 b Ft(j)p Fs(g)1839 2037 y Fq(t)1836 2092 y FF(1)1912 2070 y Ft(j)p Fw(\))31 b(for)f Fs(l)2171 2037 y Fq(t)2226 2070 y Fw(=)25 b(\(1)c Ft(\000)f Fs(f)2569 2037 y Fq(t)2559 2092 y FF(1)2633 2070 y Fs(;)15 b(f)2728 2037 y Fq(t)2718 2092 y FF(1)2793 2070 y Fw(\))p Fs(:)0 1978 y Fw(\(6.16\))0 2268 y(If)30 b(w)m(e)h(set)g Fs(l)396 2235 y Fq(t)450 2268 y Fw(=)25 b(\()p Fs(f)636 2235 y Fq(t)626 2291 y Fr(0)666 2268 y Fs(;)15 b Fw(1)21 b Ft(\000)f Fs(f)918 2235 y Fq(t)908 2291 y Fr(0)947 2268 y Fw(\))30 b(then)g Fs(g)1265 2235 y Fq(t)1262 2291 y Fr(0)1327 2268 y Fw(=)25 b Fi(d)1481 2282 y Fr(0)1521 2268 y Fs(l)1550 2235 y Fq(t)1548 2291 y Fr(0)1618 2268 y Fw(and)30 b(if)f(w)m(e)i(set)g Fs(l)2183 2235 y Fq(t)2237 2268 y Fw(=)25 b(\(1)c Ft(\000)f Fs(f)2580 2235 y Fq(t)2570 2290 y FF(1)2645 2268 y Fs(;)15 b(f)2740 2235 y Fq(t)2730 2290 y FF(1)2804 2268 y Fw(\))31 b(then)f Fs(g)3123 2235 y Fq(t)3120 2290 y FF(1)3220 2268 y Fw(=)25 b Ft(\000)p Fi(d)3445 2282 y Fr(0)3484 2268 y Fs(l)3513 2235 y Fq(t)3511 2291 y Fr(0)3551 2268 y Fw(.)141 2381 y(Hence)31 b Fu(i\))g Fw(follo)m(ws)e(from)h(\(6.16\))j (and)c(the)i(estimates)g(\(6.15\))i(for)d(the)g(t)m(w)m(o)i(c)m(hoices) f(of)g Fs(l)3185 2348 y Fq(t)3245 2381 y Fw(ab)s(o)m(v)m(e.)141 2494 y(Prop)s(ert)m(y)f Fu(ii\))g Fw(follo)m(ws)g(from)g Fu(i\))g Fw(and)g(Prop.)40 b(A.3.)i Fh(2)0 2744 y Fi(Theorem)69 b(6.4)46 b Fu(Assume)37 b(\(I'0\),)j(\(I'1\))e(for)h Fs(\017)1662 2758 y Fr(0)1736 2744 y Fs(>)34 b Fw(0)p Fu(,)39 b(\(I'2\))g(for)f Fs(\026)c(>)h Fw(1)j Fu(and)g(pick)g Fs(\032)g Fu(in)f(\(5.2\))i(such)f(that)0 2857 y Fs(\032)p Fw(\(1)21 b(+)g Fs(\017)277 2871 y Fr(0)316 2857 y Fw(\))26 b Fs(>)g Fw(1)p Fu(.)44 b(Fix)33 b Fw(0)27 b Fs(<)f Fw(c)g Fs(<)g Fw(1)34 b Fu(and)g Fw(c)26 b Fs(<)g Fw(c)1544 2824 y FF(0)1594 2857 y Fs(<)g Fw(1)p Fu(.)44 b(L)-5 b(et)33 b(us)g(denote)h Fs(f)2430 2824 y Fq(t)2485 2857 y Fw(=)26 b(\()p Fs(f)2672 2824 y Fq(t)2662 2880 y Fr(0)2701 2857 y Fs(;)15 b(f)2796 2824 y Fq(t)2786 2880 y FF(1)2861 2857 y Fw(\))33 b Fu(de\014ne)-5 b(d)34 b(in)f(\(6.2\))i(by)e Fs(f)3751 2824 y Fq(t)3741 2880 y Fr(c)0 2970 y Fu(to)g(indic)-5 b(ate)34 b(the)f(dep)-5 b(endenc)g(e)34 b(on)f(the)g(c)-5 b(onstant)34 b Fw(c)p Fu(.)42 b(Then)141 3083 y(i\))33 b(the)g(limit)772 3196 y Fs(P)843 3158 y Fr(+)830 3224 y(c)861 3205 y Fo(0)884 3224 y Fq(k)927 3196 y Fw(\()p Fs(f)1007 3210 y Fr(0)1046 3196 y Fs(;)15 b(f)1131 3210 y FF(1)1206 3196 y Fw(\))25 b(:=)g(s-)63 b(lim)1469 3251 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1705 3196 y Fw(e)1745 3158 y Fr(i)p Fq(tH)1853 3135 y Fm(e)1890 3196 y Fs(P)1948 3211 y Fq(k)1991 3196 y Fw(\()p Fs(f)2081 3158 y Fq(t)2071 3218 y Fr(c)2102 3199 y Fo(0)2128 3196 y Fw(\)e)2203 3158 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2366 3135 y Fm(e)2435 3196 y Fu(exists)33 b(on)g Ft(H)2892 3158 y Fr(e+)2891 3218 y(c)2982 3196 y Fs(;)0 3402 y Fu(ii\))f Fw([)p Fs(P)221 3364 y Fr(+)208 3430 y(c)239 3412 y Fo(0)263 3430 y Fq(k)305 3402 y Fw(\()p Fs(f)385 3416 y Fr(0)425 3402 y Fs(;)15 b(f)510 3416 y FF(1)584 3402 y Fw(\))p Fs(;)g(H)742 3369 y Fr(e)779 3402 y Fw(])25 b(=)g(0)p Fu(,)141 3515 y(iii\))32 b Fw([)p Fs(P)390 3477 y Fr(+)377 3543 y(c)408 3524 y Fo(0)432 3543 y Fq(k)474 3515 y Fw(\()p Fs(f)554 3529 y Fr(0)594 3515 y Fs(;)15 b(f)679 3529 y FF(1)753 3515 y Fw(\))p Fs(;)g(L)p Fw(])27 b(=)e(0)p Fu(,)141 3628 y(iv\))33 b(if)f Fs(f)414 3642 y Fr(0)473 3628 y Fw(+)20 b Fs(f)609 3642 y FF(1)708 3628 y Fw(=)25 b(1)33 b Fu(then)1248 3813 y Fw(s)20 b Ft(\000)1395 3707 y Fr(+)p FF(1)1397 3732 y Fp(X)1440 3913 y Fr(0)1535 3813 y Fs(P)1606 3775 y Fr(+)1593 3841 y(c)1624 3823 y Fo(0)1647 3841 y Fq(k)1690 3813 y Fw(\()p Fs(f)1770 3827 y Fr(0)1809 3813 y Fs(;)15 b(f)1894 3827 y FF(1)1969 3813 y Fw(\))26 b(=)e(1)-20 b(l)32 b Fu(on)i Ft(H)2417 3775 y Fr(e+)2416 3835 y(c)2507 3813 y Fs(:)0 4179 y Fw(F)-8 b(or)23 b Fs(k)29 b Fw(=)c(0)e(the)f (asymptotic)h(cuto\013s)g Fs(P)1357 4141 y Fr(+)1344 4207 y(c)1375 4189 y Fo(0)1398 4207 y Fq(k)1441 4179 y Fw(\()p Fs(f)10 b Fw(\))23 b(tak)m(e)h(a)f(simpler)d(form.)37 b(In)22 b(fact)i(w)m(e)f(ha)m(v)m(e)h Fs(P)3068 4193 y Fr(0)3107 4179 y Fw(\()p Fs(f)3187 4193 y Fr(0)3227 4179 y Fs(;)15 b(f)3312 4193 y FF(1)3386 4179 y Fw(\))26 b(=)f(\000\()p Fs(f)3680 4193 y Fr(0)3719 4179 y Fw(\).)0 4292 y(W)-8 b(e)32 b(denote)e Fs(P)520 4254 y Fr(+)507 4320 y(c)538 4301 y Fo(0)562 4320 y Fr(0)601 4292 y Fw(\()p Fs(f)681 4306 y Fr(0)720 4292 y Fs(;)15 b(f)805 4306 y FF(1)880 4292 y Fw(\))31 b(b)m(y)f(\000)1129 4254 y Fr(e+)1129 4320 y(c)1160 4301 y Fo(0)1219 4292 y Fw(\()p Fs(f)1299 4306 y Fr(0)1338 4292 y Fw(\))h(and)f(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)616 4487 y(\000)673 4449 y Fr(e+)673 4516 y(c)704 4497 y Fo(0)763 4487 y Fw(\()p Fs(f)843 4501 y Fr(0)882 4487 y Fw(\))26 b(=)f(s-)63 b(lim)1120 4542 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1357 4487 y Fw(e)1397 4450 y Fr(i)p Fq(tH)1505 4426 y Fm(e)1541 4487 y Fw(\000\()p Fs(f)1688 4450 y Fq(t)1678 4510 y Fr(c)1709 4491 y Fo(0)1731 4510 y Fr(0)1771 4487 y Fw(\)e)1846 4450 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2009 4426 y Fm(e)2076 4487 y Fw(on)30 b Ft(H)2280 4450 y Fr(e+)2279 4510 y(c)2370 4487 y Fs(;)46 b Fw(for)30 b(0)25 b Fs(<)g Fw(c)h Fs(<)f Fw(c)2948 4450 y FF(0)2997 4487 y Fs(<)g Fw(1)p Fs(:)-3163 b Fw(\(6.17\))0 4734 y Fi(Pro)s(of.)45 b Fw(Let)26 b(us)f(\014rst)g(pro)m(v)m(e)h Fu(i\))p Fw(.)39 b(By)25 b(the)h(de\014nition)d(of)j Ft(H)2014 4701 y Fr(e+)2013 4756 y(c)2129 4734 y Fw(it)f(su\016ces)g(to)h(pro)m(v)m(e)g (the)g(theorem)f(on)h(Ran)3670 4711 y(^)3649 4734 y Fs(P)3720 4696 y Fr(+)3707 4762 y(c)3738 4743 y Fo(0)0 4847 y Fw(for)33 b(c)d Fs(<)f Fw(c)352 4814 y FF(0)376 4847 y Fw(.)48 b(Changing)32 b(notation)h(w)m(e)g(ma)m(y)h(replace)f(c)1914 4814 y FF(0)1970 4847 y Fw(b)m(y)g(c.)49 b(By)33 b(Thm.)47 b(5.5)34 b(w)m(e)g(ma)m(y)f(restrict)g(ourselv)m(es)0 4960 y(to)h(v)m(ectors)i Fs(u)31 b Ft(2)f Fw(Ran)784 4937 y(^)764 4960 y Fs(P)835 4927 y Fr(+)822 4982 y(c)928 4960 y Fw(suc)m(h)j(that)h Fs(u)d Fw(=)g Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)p Fw(,)k Fs(\037)c Ft(2)f Fs(C)2073 4927 y FF(1)2066 4983 y Fr(0)2148 4960 y Fw(\(I)-15 b(R\).)51 b(Moreo)m(v)m(er)36 b(for)d(eac)m(h)i Fs(u)c Ft(2)f Fw(Ran)3490 4937 y(^)3469 4960 y Fs(P)3540 4927 y Fr(+)3527 4982 y(c)3633 4960 y Fw(and)0 5073 y Fs(\017)37 5087 y Fr(1)102 5073 y Fs(>)25 b Fw(0)30 b(there)h(exists)f Fs(\017)25 b(>)g Fw(0)31 b(suc)m(h)f(that)926 5268 y(e)966 5230 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1129 5207 y Fm(e)1165 5268 y Fs(u)25 b Fw(=)g(\()p Fs(\017B)1479 5282 y Fr(c)16 b Fq(t)1576 5268 y Fw(+)k(1\))1747 5230 y FF(\000)p Fr(1)1842 5268 y Fw(e)1882 5230 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2045 5207 y Fm(e)2081 5268 y Fs(u)g Fw(+)g(e)2284 5230 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2447 5207 y Fm(e)2483 5268 y Fs(r)2524 5282 y Fq(\017)2577 5268 y Fw(+)g Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(;)-2852 b Fw(\(6.18\))1844 5517 y(44)p eop %%Page: 45 45 45 44 bop 0 162 a Fw(with)38 b Ft(k)p Fs(r)302 176 y Fq(\017)335 162 y Ft(k)i(\024)f Fs(\017)567 176 y Fr(1)606 162 y Fw(.)67 b(W)-8 b(e)40 b(pic)m(k)e(no)m(w)h Fs(\016)44 b(>)39 b Fw(0)g(suc)m(h)g(that)h Fs(\032)f(>)h(\016)s Fw(,)i Fs(\026)d(>)g(\016)s(=)p Fw(2)i(and)d Fs(\016)s Fw(\(1)28 b(+)d Fs(\017)3113 176 y Fr(0)3153 162 y Fw(\))40 b Fs(>)f Fw(1,)j(whic)m(h)37 b(is)0 275 y(p)s(ossible)27 b(since)j Fs(\032)p Fw(\(1)20 b(+)f Fs(\017)838 289 y Fr(0)877 275 y Fw(\))26 b Fs(>)f Fw(1)p Fs(;)15 b(\026)26 b(>)f Fw(1,)30 b(and)g(consider)f(the)h(observ)-5 b(able)29 b Fs(N)2608 242 y Fr(e)2598 298 y Fq(t)2673 275 y Fw(constructed)h(in)f (Subsect.)40 b(4.2.)0 388 y(If)30 b Fs(F)38 b Ft(2)25 b Fs(C)345 355 y FF(1)338 411 y Fr(0)419 388 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fs(;)15 b(F)39 b Ft(\021)25 b Fw(1)31 b(near)f(0)h(w)m(e)g(ha)m (v)m(e:)800 587 y Fs(P)858 602 y Fq(k)901 587 y Fw(\()p Fs(f)991 554 y Fq(t)1021 587 y Fw(\)e)1096 554 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1259 531 y Fm(e)1295 587 y Fs(u)25 b Fw(=)83 b Fs(P)1584 602 y Fq(k)1627 587 y Fw(\()p Fs(f)1717 554 y Fq(t)1746 587 y Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()1897 539 y Fq(N)1960 516 y Fm(e)1953 560 y Fj(t)p 1898 566 95 4 v 1916 623 a Fq(t)1941 604 y Fj(\016)2003 587 y Fw(\))p Fs(\037)2095 554 y Fr(2)2134 587 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2306 554 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2469 531 y Fm(e)2506 587 y Fs(u)20 b Fw(+)g Fs(o)p Fw(\(1\))1372 786 y(=)83 b Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(P)1773 801 y Fq(k)1817 786 y Fw(\()p Fs(f)1907 753 y Fq(t)1936 786 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()2276 737 y Fq(N)2339 714 y Fm(e)2332 758 y Fj(t)p 2277 764 V 2294 821 a Fq(t)2319 802 y Fj(\016)2381 786 y Fw(\)e)2456 753 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2619 729 y Fm(e)2656 786 y Fs(u)20 b Fw(+)g Fs(o)p Fw(\(1\))1372 969 y(=)83 b Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(P)1773 984 y Fq(k)1817 969 y Fw(\()p Fs(f)1907 936 y Fq(t)1936 969 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2200 936 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2363 913 y Fm(e)2400 969 y Fs(u)20 b Fw(+)g Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(;)0 771 y Fw(\(6.19\))0 1149 y(where)34 b(w)m(e)i(used)e(successiv)m(ely)g(Prop.)54 b(4.5,)37 b(Lemma)e(4.4,)j(Lemma)d(6.2)h(and)e(Prop.)54 b(4.5)36 b(again.)54 b(Next)36 b(w)m(e)0 1262 y(write)30 b(using)e(\(6.18\):)665 1446 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(P)912 1461 y Fq(k)956 1446 y Fw(\()p Fs(f)1046 1413 y Fq(t)1075 1446 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)1339 1413 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1502 1389 y Fm(e)1539 1446 y Fs(u)511 1630 y Fw(=)83 b Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(P)912 1645 y Fq(k)956 1630 y Fw(\()p Fs(f)1046 1597 y Fq(t)1075 1630 y Fw(\)e)1150 1597 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1313 1573 y Fm(e)1349 1630 y Fs(u)511 1813 y Fw(=)g Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(P)912 1828 y Fq(k)956 1813 y Fw(\()p Fs(f)1046 1780 y Fq(t)1075 1813 y Fw(\)\()p Fs(\017B)1251 1827 y Fr(c)17 b Fq(t)1348 1813 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1527 1780 y FF(\000)p Fr(1)1622 1813 y Fw(e)1662 1780 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1825 1757 y Fm(e)1861 1813 y Fs(u)g Fw(+)g Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(P)2271 1828 y Fq(k)2315 1813 y Fw(\()p Fs(f)2405 1780 y Fq(t)2434 1813 y Fw(\)e)2509 1780 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2672 1757 y Fm(e)2708 1813 y Fs(r)2749 1827 y Fq(\017)2802 1813 y Fw(+)g Fs(o)p Fw(\(1\))511 1997 y(=)83 b Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(P)912 2012 y Fq(k)956 1997 y Fw(\()p Fs(f)1046 1964 y Fq(t)1075 1997 y Fw(\)\()p Fs(\017B)1251 2011 y Fr(c)17 b Fq(t)1348 1997 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1527 1964 y FF(\000)p Fr(1)1622 1997 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)1851 1964 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2014 1941 y Fm(e)2050 1997 y Fs(u)h Fw(+)f Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(P)2461 2012 y Fq(k)2504 1997 y Fw(\()p Fs(f)2594 1964 y Fq(t)2623 1997 y Fw(\)e)2698 1964 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2861 1941 y Fm(e)2898 1997 y Fs(r)2939 2011 y Fq(\017)2992 1997 y Fw(+)g Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(:)0 2182 y Fw(Hence)31 b(to)g(pro)m(v)m(e)h Fu(i\))e Fw(it)g(su\016ces)g(to)h(pro)m(v)m(e)g(the)g(existence)g(of) 911 2369 y(s-)63 b(lim)993 2423 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1229 2369 y Fw(e)1269 2331 y Fr(i)p Fq(tH)1377 2308 y Fm(e)1413 2369 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(P)1660 2384 y Fq(k)1704 2369 y Fw(\()p Fs(f)1794 2331 y Fq(t)1823 2369 y Fw(\)\()p Fs(\017B)1999 2383 y Fr(c)17 b Fq(t)2097 2369 y Fw(+)i(1\))2267 2331 y FF(\000)p Fr(1)2363 2369 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2592 2331 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2755 2308 y Fm(e)2791 2369 y Fs(u;)0 2584 y Fw(whic)m(h)29 b(is)h(sho)m(wn)f(in)g(Prop.)40 b(6.3.)141 2697 y Fu(iii\))33 b Fw(follo)m(ws)f(from)g(the)h(same)h(argumen)m(ts)f (as)g(in)f(\(6.19\).)50 b(In)33 b(fact)h(using)d(Lemma)i(6.2)h(w)m(e)f (obtain)g(that)0 2810 y(if)c Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)d Fw(=)f Fs(u)30 b Fw(then)g Fs(\037)792 2824 y Fr(1)832 2810 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(P)1035 2772 y Fr(+)1022 2838 y Fq(k)1094 2810 y Fw(\()p Fs(f)10 b Fw(\))p Fs(u)26 b Fw(=)f Fs(P)1464 2772 y Fr(+)1451 2838 y Fq(k)1523 2810 y Fw(\()p Fs(f)10 b Fw(\))p Fs(\037)1705 2824 y Fr(1)1744 2810 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)p Fw(,)31 b(whic)m(h)e(pro)m(v)m(es)i Fu(iii\))p Fw(.)141 2923 y(T)-8 b(o)31 b(pro)m(v)m(e)g Fu(ii\))p Fw(,)g(it)f(su\016ces)g (to)h(pro)m(v)m(e)g(that)1143 3110 y(e)1183 3073 y Fr(i)p Fq(t)1228 3082 y Fm(1)1263 3073 y Fq(H)1326 3049 y Fm(e)1362 3110 y Fs(P)1433 3072 y Fr(+)1420 3138 y Fq(k)1492 3110 y Fw(\()p Fs(f)10 b Fw(\)e)1657 3073 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1820 3049 y Fm(e)1881 3110 y Fw(=)25 b Fs(P)2048 3072 y Fr(+)2035 3138 y Fq(k)2107 3110 y Fw(\()p Fs(f)10 b Fw(\))p Fs(;)36 b Ft(8)p Fs(t)2377 3124 y Fr(1)2441 3110 y Ft(2)25 b Fw(I)-15 b(R)o Fs(;)0 3297 y Fw(or)30 b(equiv)-5 b(alen)m(tly)1019 3410 y(s-)63 b(lim)1101 3465 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1337 3410 y Fw(e)1377 3372 y Fr(i)p Fq(tH)1485 3349 y Fm(e)1521 3410 y Fw(\()p Fs(P)1614 3425 y Fq(k)1658 3410 y Fw(\()p Fs(f)1748 3372 y Fq(t)1777 3410 y Fw(\))21 b Ft(\000)e Fs(P)1981 3425 y Fq(k)2024 3410 y Fw(\()p Fs(f)2114 3372 y Fq(t)p FF(\000)p Fq(t)2219 3381 y Fm(1)2259 3410 y Fw(\)\)e)2369 3372 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2532 3349 y Fm(e)2594 3410 y Fw(=)25 b(0)p Fs(:)-2760 b Fw(\(6.20\))0 3602 y(Using)30 b([DG2)q(,)h(Lemma)f(2.11],)j(w)m(e)d(ha)m(v)m(e:)981 3837 y Fs(P)1039 3852 y Fq(k)1082 3837 y Fw(\()p Fs(f)1172 3799 y Fq(t)1201 3837 y Fw(\))21 b Ft(\000)e Fs(P)1405 3852 y Fq(k)1448 3837 y Fw(\()p Fs(f)1538 3799 y Fq(t)p FF(\000)p Fq(t)1643 3808 y Fm(1)1683 3837 y Fw(\))25 b(=)g Ft(\000)1925 3722 y Fp(Z)2008 3748 y Fq(t)2033 3757 y Fm(1)1971 3910 y Fr(0)2088 3837 y Fw(d)p Fs(P)2197 3852 y Fq(k)2239 3837 y Fw(\()p Fs(f)2329 3799 y Fq(t)2358 3837 y Fs(;)15 b(@)2446 3851 y Fq(t)2477 3837 y Fs(f)2532 3799 y Fq(t)p FF(\000)p Fq(r)2649 3837 y Fw(\)d)p Fs(r)m(:)0 4066 y Fw(Since)29 b Fs(@)285 4080 y Fq(t)315 4066 y Fs(f)370 4033 y Fq(t)424 4066 y Ft(2)c Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)650 4033 y FF(\000)p Fq(\032)746 4066 y Fw(\),)30 b(w)m(e)h(obtain)1223 4254 y(\()p Fs(P)1316 4269 y Fq(k)1359 4254 y Fw(\()p Fs(f)1449 4216 y Fq(t)1479 4254 y Fw(\))20 b Ft(\000)g Fs(P)1683 4269 y Fq(k)1726 4254 y Fw(\()p Fs(f)1816 4216 y Fq(t)p FF(\000)p Fq(t)1921 4225 y Fm(1)1960 4254 y Fw(\)\))26 b Ft(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(N)2332 4216 y Fr(e)2368 4254 y Fw(\))p Fs(t)2436 4216 y FF(\000)p Fq(\032)2531 4254 y Fs(:)-2556 b Fw(\(6.21\))0 4441 y(F)-8 b(or)31 b Fs(u)25 b Ft(2)g(H)404 4408 y Fr(e+)403 4463 y(c)525 4441 y Fw(with)k Fs(u)c Fw(=)g Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)p Fw(,)31 b Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)1442 4408 y FF(1)1435 4464 y Fr(0)1516 4441 y Fw(\(I)-15 b(R\),)31 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e:)1046 4625 y(\()p Fs(P)1139 4640 y Fq(k)1182 4625 y Fw(\()p Fs(f)1272 4592 y Fq(t)1302 4625 y Fw(\))20 b Ft(\000)g Fs(P)1506 4640 y Fq(k)1549 4625 y Fw(\()p Fs(f)1639 4592 y Fq(t)p FF(\000)p Fq(t)1744 4601 y Fm(1)1783 4625 y Fw(\)\)e)1893 4592 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2056 4569 y Fm(e)2093 4625 y Fs(u)892 4823 y Fw(=)83 b(\()p Fs(P)1139 4838 y Fq(k)1182 4823 y Fw(\()p Fs(f)1272 4790 y Fq(t)1302 4823 y Fw(\))20 b Ft(\000)g Fs(P)1506 4838 y Fq(k)1549 4823 y Fw(\()p Fs(f)1639 4790 y Fq(t)p FF(\000)p Fq(t)1744 4799 y Fm(1)1783 4823 y Fw(\)\))p Fs(F)13 b Fw(\()1969 4775 y Fq(N)2032 4752 y Fm(e)2025 4796 y Fj(t)p 1970 4802 V 1988 4859 a Fq(t)2013 4840 y Fj(\016)2075 4823 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2339 4790 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2502 4767 y Fm(e)2539 4823 y Fs(u)20 b Fw(+)g Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(;)0 5010 y Fw(b)m(y)30 b(Prop.)40 b(4.5.)i(Using)30 b(then)g(\(6.21\))i(and)e(Lemma)h(4.6,)g(w)m(e)g(obtain)1031 5239 y(\()p Fs(P)1124 5254 y Fq(k)1167 5239 y Fw(\()p Fs(f)1257 5201 y Fq(t)1286 5239 y Fw(\))21 b Ft(\000)f Fs(P)1491 5254 y Fq(k)1534 5239 y Fw(\()p Fs(f)1624 5201 y Fq(t)p FF(\000)p Fq(t)1729 5210 y Fm(1)1768 5239 y Fw(\)\))p Fs(F)13 b Fw(\()1954 5177 y Fs(N)2037 5144 y Fr(e)2027 5200 y Fq(t)p 1954 5218 119 4 v 1979 5301 a Fs(t)2012 5275 y Fq(\016)2084 5239 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))26 b Ft(2)e Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2559 5201 y Fq(\016)r FF(\000)p Fq(\032)2688 5239 y Fw(\))p Fs(;)1844 5517 y Fw(45)p eop %%Page: 46 46 46 45 bop 0 162 a Fw(whic)m(h)29 b(pro)m(v)m(es)i(\(6.20\))i(since)d Fs(\032)25 b(>)g(\016)s Fw(.)141 275 y(Let)j(us)f(no)m(w)g(pro)m(v)m(e) i Fu(iv\))p Fw(.)39 b(W)-8 b(e)29 b(claim)e(that)h(if)e Fs(f)35 b Fw(=)25 b(\()p Fs(f)1939 289 y Fr(0)1978 275 y Fs(;)15 b(f)2063 289 y FF(1)2138 275 y Fw(\),)28 b Fs(f)2271 289 y Fr(0)2325 275 y Fw(+)14 b Fs(f)2455 289 y FF(1)2554 275 y Ft(\024)25 b Fw(1)j(and)f Fs(b)e Ft(\021)g Fw(1)j(on)g(supp)13 b Fs(f)3501 289 y FF(1)3603 275 y Fw(then)1178 527 y Ft(k)1263 422 y FF(1)1239 447 y Fp(X)1267 621 y Fq(m)1374 527 y Fs(P)1432 542 y Fq(k)1475 527 y Fw(\()p Fs(f)d Fw(\)\(d\000\()p Fs(b)p Fw(\))20 b(+)g Fs(\025)p Fw(\))2051 490 y FF(\000)p Fr(1)2146 527 y Ft(k)26 b(\024)2422 466 y Fw(1)p 2322 506 244 4 v 2322 590 a Fs(m)20 b Fw(+)g Fs(\025)2576 527 y(:)-2601 b Fw(\(6.22\))0 779 y(In)30 b(fact)h(on)f(the)h Fs(n)p Ft(\000)p Fw(particle)e(sector)i (w)m(e)g(ha)m(v)m(e:)1056 899 y Fp(P)1144 925 y FF(1)1144 986 y Fq(m)1234 963 y Fs(P)1292 978 y Fq(k)1335 963 y Fw(\()p Fs(f)10 b Fw(\)\(d\000\()p Fs(b)p Fw(\))20 b(+)g Fs(\025)p Fw(\))1911 930 y FF(\000)p Fr(1)902 1147 y Fw(=)1056 1082 y Fp(P)1144 1169 y Fq(m)p FF(\024)p Fq(])p FF(f)p Fq(i)p FF(j)p Fq(\017)1396 1179 y Fj(i)1422 1169 y Fr(=)p FF(1g\024)p Fq(n)1700 1147 y Fs(f)1745 1161 y Fq(\017)1774 1170 y Fm(1)1832 1147 y Ft(\012)g(\001)15 b(\001)g(\001)21 b(\012)f Fs(f)2185 1161 y Fq(\017)2214 1169 y Fj(n)2260 1147 y Fw(\()2295 1082 y Fp(P)2383 1109 y Fq(n)2383 1169 y(i)p Fr(=1)2516 1147 y Fs(b)2555 1161 y Fq(i)2604 1147 y Fw(+)g Fs(\025)p Fw(\))2783 1114 y FF(\000)p Fr(1)902 1330 y Ft(\024)83 b Fw(\()p Fs(m)20 b Fw(+)g Fs(\025)p Fw(\))1370 1297 y FF(\000)p Fr(1)1465 1330 y Fs(:)0 1529 y Fw(Assume)29 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FF(0)2971 4876 y Fs(:)-2996 b Fw(\(6.23\))0 5075 y(Since)29 b Fs(g)280 5089 y Fq(\017)339 5075 y Ft(\024)c Fs(g)s Fw(,)31 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)1321 5225 y Fs(f)1366 5239 y FF(1)p Fq(;\017)1514 5225 y Ft(\024)1633 5164 y Fs(C)p 1620 5204 98 4 v 1620 5287 a(C)1685 5301 y Fq(\017)1728 5225 y Fs(f)1773 5239 y FF(1)1847 5225 y Fs(;)k(f)1962 5187 y FF(0)1952 5247 y(1)p Fq(;\017)2100 5225 y Ft(\024)2219 5164 y Fs(C)p 2206 5204 V 2206 5287 a(C)2271 5301 y Fq(\017)2314 5225 y Fs(f)2369 5187 y FF(0)2359 5247 y(1)2433 5225 y Fs(;)1844 5517 y Fw(46)p eop %%Page: 47 47 47 46 bop 0 162 a Fw(and)895 250 y Fs(f)940 264 y FF(1)1014 250 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))25 b Ft(\021)g Fw(1)31 b(for)f Fs(s)25 b Ft(\025)g Fs(\013)1685 264 y Fr(2)1725 250 y Fs(;)35 b(f)1830 264 y FF(1)1905 250 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))25 b Ft(\021)g Fw(0)31 b(for)f Fs(s)25 b Ft(\024)g Fs(\013)2576 264 y Fr(1)2615 250 y Fs(;)895 433 y(f)940 447 y FF(1)p Fq(;\017)1062 433 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))h Ft(\021)f Fw(1)30 b(for)g Fs(s)25 b Ft(\025)g Fs(\013)1733 447 y Fr(2)1773 433 y Fs(;)35 b(f)1878 447 y FF(1)p Fq(;\017)2001 433 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))25 b Ft(\021)g Fw(0)31 b(for)f Fs(s)25 b Ft(\024)g Fs(\013)2672 447 y Fr(1)2732 433 y Fw(+)20 b Fs(\017:)0 646 y Fw(Note)32 b(also)e(that)h(b)m(y)f([DG1)r (,)g(Lemma)h(A.4.1],)h Fs(f)1671 562 y Fm(1)p 1671 574 31 4 v 1671 615 a(2)1652 657 y FF(1)1726 646 y Fs(;)15 b(f)1831 562 y Fm(1)p 1831 574 V 1831 615 a(2)1811 657 y FF(1)p Fq(;\017)1959 646 y Ft(2)25 b Fs(C)2117 613 y FF(1)2191 646 y Fw(\(I)-15 b(R\).)41 b(Next)32 b(w)m(e)f(set)1624 850 y Fs(f)1669 864 y Fr(0)1733 850 y Fw(:=)25 b(1)c Ft(\000)f Fs(f)2056 864 y FF(1)2130 850 y Fs(;)-2155 b Fw(\(6.24\))0 1089 y(and)29 b(again)g(b)m(y)g([DG1)r(,)g(Lemma)h (A.4.1])h Fs(f)1460 1005 y Fm(1)p 1460 1017 V 1460 1058 a(2)1441 1114 y Fr(0)1530 1089 y Ft(2)25 b Fs(C)1688 1056 y FF(1)1762 1089 y Fw(\(I)-15 b(R\).)41 b(The)28 b(follo)m(wing)g(lemma)h(summarizes)f(the)i(prop)s(er-)0 1202 y(ties)g(of)h Fs(f)316 1216 y Fr(0)355 1202 y Fs(;)15 b(f)440 1216 y FF(1)p Fq(;\017)562 1202 y Fw(.)0 1366 y Fi(Lemma)33 b(6.5)1191 1545 y Fs(i)p Fw(\))21 b Fs(f)1323 1559 y Fr(0)1382 1545 y Fw(+)f Fs(f)1518 1559 y FF(1)1617 1545 y Fw(=)25 b(1)p Fs(;)1191 1657 y(ii)p Fw(\))c Ft(9)p Fs(\013)k(>)g Fw(0)p Fs(;)36 b Ft(8)p Fs(\017)25 b(>)g Fw(0)c Fs(f)1965 1671 y Fr(0)2024 1657 y Fw(+)f Fs(\013f)2218 1671 y FF(1)p Fq(;\017)2366 1657 y Ft(\024)25 b Fw(1)p Fs(;)1191 1808 y(iii)p Fw(\))c Ft(8)p Fs(\017)k(>)g Fw(0)p Fs(;)36 b Ft(9)p Fs(\013)25 b(>)g Fw(0)c Fs(f)2015 1723 y Fm(1)p 2015 1735 V 2015 1777 a(2)1996 1833 y Fr(0)2080 1808 y Fw(+)f Fs(\013f)2294 1723 y Fm(1)p 2294 1735 V 2294 1777 a(2)2274 1819 y FF(1)p Fq(;\017)2422 1808 y Ft(\024)25 b Fw(1)p Fs(:)0 2129 y Fi(Pro)s(of.)47 b Fu(i\))31 b Fw(is)e(ob)m(vious.)40 b Fu(ii\))31 b Fw(follo)m(ws)e(from)h(the)h (fact)g(that)g Fs(C)2115 2143 y Fq(\017)2147 2129 y Fs(f)2192 2143 y FF(1)p Fq(;\017)2340 2129 y Ft(\024)25 b Fs(C)7 b(f)2553 2143 y FF(1)2627 2129 y Fw(.)141 2242 y(Since)30 b Fs(f)424 2256 y Fr(0)488 2242 y Ft(\024)25 b Fw(1)30 b(and)g Fs(f)881 2256 y FF(1)p Fq(;\017)1029 2242 y Ft(\021)25 b Fw(0)31 b(in)e Ft(f)p Fs(s)c Ft(\024)g Fs(\013)1574 2256 y Fr(1)1634 2242 y Fw(+)20 b Fs(\017)p Ft(g)p Fw(,)30 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e:)971 2485 y Ft(8)p Fs(\013)25 b(>)g Fw(0)p Fs(;)36 b(f)1372 2400 y Fm(1)p 1372 2412 V 1372 2453 a(2)1352 2510 y Fr(0)1416 2485 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))21 b(+)f Fs(\013f)1763 2400 y Fm(1)p 1763 2412 V 1763 2453 a(2)1744 2495 y FF(1)p Fq(;\017)1866 2485 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))26 b Ft(\024)f Fw(1)31 b(in)e Ft(f)p Fs(s)c Ft(\024)g Fs(\013)2550 2499 y Fr(1)2610 2485 y Fw(+)20 b Fs(\017)p Ft(g)p Fs(:)0 2689 y Fw(So)30 b(it)g(su\016ces)g(to)h(v)m(erify)f(that)1532 2893 y(inf)1461 2947 y Fq(s>\013)1594 2956 y Fm(1)1629 2947 y Fr(+)p Fq(\017)1737 2832 y Fw(1)21 b Ft(\000)f Fs(f)1958 2747 y Fm(1)p 1958 2759 V 1958 2800 a(2)1939 2856 y Fr(0)2003 2832 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))p 1737 2872 379 4 v 1786 2999 a Fs(f)1851 2914 y Fm(1)p 1851 2926 31 4 v 1851 2967 a(2)1831 3009 y FF(1)p Fq(;\017)1954 2999 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))2151 2893 y Fs(>)25 b Fw(0)p Fs(;)0 3148 y Fw(or)30 b(equiv)-5 b(alen)m(tly)1477 3352 y(inf)1406 3406 y Fq(s>\013)1539 3415 y Fm(1)1574 3406 y Fr(+)p Fq(\017)1682 3290 y Fw(\(1)21 b Ft(\000)f Fs(f)1939 3206 y Fm(1)p 1939 3218 V 1939 3259 a(2)1919 3315 y Fr(0)1983 3290 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\)\))2131 3257 y Fr(2)p 1682 3331 489 4 v 1786 3414 a Fs(f)1831 3428 y FF(1)p Fq(;\017)1954 3414 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))2206 3352 y Fs(>)25 b Fw(0)p Fs(:)0 3571 y Fw(If)30 b Fs(s)25 b(>)g(\013)313 3585 y Fr(1)373 3571 y Fw(+)19 b Fs(\017)p Fw(,)31 b Fs(f)601 3585 y FF(1)675 3571 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))26 b Ft(\025)f Fs(r)951 3585 y Fq(\017)1009 3571 y Fs(>)g Fw(0)30 b(hence)873 3810 y(\(1)21 b Ft(\000)f Fs(f)1129 3725 y Fm(1)p 1129 3737 31 4 v 1129 3779 a(2)1110 3835 y Fr(0)1173 3810 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\)\))1321 3777 y Fr(2)p 873 3850 489 4 v 977 3934 a Fs(f)1022 3948 y FF(1)p Fq(;\017)1144 3934 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))1397 3871 y Ft(\025)25 b Fw(\(1)c Ft(\000)f Fs(f)1749 3787 y Fm(1)p 1749 3799 31 4 v 1749 3840 a(2)1730 3896 y Fr(0)1793 3871 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\)\))1941 3834 y Fr(2)2007 3871 y Ft(\025)25 b Fw(\(1)c Ft(\000)f Fw(\(1)h Ft(\000)f Fs(r)2528 3885 y Fq(\017)2560 3871 y Fw(\))2605 3807 y Fm(1)p 2606 3819 V 2606 3860 a(2)2650 3871 y Fw(\))2685 3834 y Fr(2)2750 3871 y Fs(>)25 b Fw(0)p Fs(:)0 4100 y Fh(2)0 4363 y Fi(Prop)s(osition) 36 b(6.6)46 b Fu(Assume)34 b(\(I'0\),)g(\(I'1\))h(for)f Fs(\017)1731 4377 y Fr(0)1798 4363 y Fs(>)27 b Fw(0)p Fu(,)34 b(\(I'2\))h(for)f Fs(\026)27 b(>)g Fw(1)35 b Fu(and)f(pick)g Fs(\032)g Fu(in)f(\(6.2\))i(such)f(that)0 4476 y Fs(\032)p Fw(\(1)21 b(+)f Fs(\017)276 4490 y Fr(0)315 4476 y Fw(\))26 b Fs(>)f Fw(1)p Fu(.)42 b(Then)33 b(for)g Fw(0)26 b Fs(<)f Fw(c)g Fs(<)g Fw(c)1337 4443 y FF(0)1386 4476 y Fs(<)g Fw(1)1029 4680 y Fs(P)1100 4642 y Fr(+)1087 4708 y(c)1118 4690 y Fo(0)1141 4708 y Fq(k)1184 4680 y Fw(\()p Fs(f)1264 4694 y Fr(0)1303 4680 y Fs(;)15 b(f)1388 4694 y FF(1)1463 4680 y Fw(\))25 b(=)g(w)q Ft(\000)19 b Fw(lim)1772 4737 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1922 4680 y Fs(P)1993 4642 y Fr(+)1980 4708 y(c)2011 4690 y Fo(0)2034 4708 y Fq(k)2076 4680 y Fw(\()p Fs(f)2156 4695 y Fr(0)p Fq(;f)2245 4703 y Fo(1)p Fj(;\017)2359 4680 y Fw(\))33 b Fu(on)g Ft(H)2635 4642 y Fr(e+)2634 4702 y(c)2725 4680 y Fs(:)1844 5517 y Fw(47)p eop %%Page: 48 48 48 47 bop 0 162 a Fi(Pro)s(of.)51 b Fw(As)31 b(in)f(the)i(pro)s(of)e (of)i(Thm.)42 b(6.4)33 b(it)e(su\016ces)g(to)h(pro)m(v)m(e)g(the)g (prop)s(osition)d(on)i(Ran)3191 139 y(^)3171 162 y Fs(P)3242 124 y Fr(e+)3229 191 y(c)3260 172 y Fo(0)3332 162 y Fw(.)44 b(Changing)0 275 y(notation,)31 b(w)m(e)g(ma)m(y)g(replace)f(c)1068 242 y FF(0)1122 275 y Fw(b)m(y)g(c.)41 b(By)31 b(densit)m(y)f(it)g (su\016ces)g(to)h(pro)m(v)m(e)g(that)563 472 y(w)q Ft(\000)19 b Fw(lim)716 528 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)866 472 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(P)1126 433 y Fr(+)1113 500 y(c)p Fq(k)1187 472 y Fw(\()p Fs(f)1267 486 y Fr(0)1307 472 y Fs(;)c(f)1392 486 y FF(1)p Fq(;\017)1514 472 y Fw(\))p Fs(R)1619 434 y Fr(+)1618 494 y(c)1679 472 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))26 b(=)f Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(P)2373 433 y Fr(+)2360 500 y(c)p Fq(k)2435 472 y Fw(\()p Fs(f)2515 486 y Fr(0)2554 472 y Fs(;)15 b(f)2639 486 y FF(1)2714 472 y Fw(\))p Fs(R)2819 434 y Fr(+)2818 494 y(c)2878 472 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(;)0 697 y Fw(for)31 b Fs(\037)c Ft(2)f Fs(C)383 664 y FF(1)376 720 y Fr(0)457 697 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fs(;)15 b(\025)28 b(>)e Fw(0.)44 b(Let)32 b(us)f(omit)g(the)g(index)f (c)i(to)g(simplify)c(notation.)43 b(W)-8 b(e)33 b(will)c(apply)h(Prop.) 42 b(A.4.)0 810 y(T)-8 b(o)31 b(do)f(this)f(w)m(e)i(need)f(to)h (estimate)h(uniformly)27 b(in)i Fs(\017)h Fw(the)h(Heisen)m(b)s(erg)f (deriv)-5 b(ativ)m(e)30 b(of)1057 1006 y(\010)1123 1020 y Fq(\017)1155 1006 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))c(=)f Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(P)1627 1021 y Fq(k)1671 1006 y Fw(\()p Fs(f)1761 969 y Fq(t)1751 1029 y Fr(0)1790 1006 y Fs(;)15 b(f)1885 969 y Fq(t)1875 1029 y FF(1)p Fq(;\017)1998 1006 y Fw(\)\()p Fs(B)2137 1020 y Fr(c)h Fq(t)2234 1006 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2413 969 y FF(\000)p Fr(1)2508 1006 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(:)0 1203 y Fw(By)31 b(\(6.12\))h(and)e(\(6.13\))j(w)m(e)e(ha)m(v)m(e:)493 1396 y Ft(j)p Fw(\()p Fs(u)605 1410 y Fr(2)645 1396 y Fs(;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(P)932 1411 y Fq(k)976 1396 y Fw(\()p Fs(f)1066 1363 y Fq(t)1056 1419 y Fr(0)1096 1396 y Fs(;)g(f)1191 1363 y Fq(t)1181 1419 y FF(1)p Fq(;\017)1303 1396 y Fw(\))p Fi(D)p Fw(\()p Fs(B)1522 1410 y Fr(c)i Fq(t)1620 1396 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1799 1363 y FF(\000)p Fr(1)1894 1396 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)2135 1410 y Fr(1)2175 1396 y Fw(\))p Ft(j)340 1580 y(\024)82 b Fs(C)7 b(t)598 1547 y FF(\000)p Fq(\026)699 1580 y Ft(k)p Fs(P)802 1595 y Fq(k)846 1580 y Fw(\()p Fs(f)936 1547 y Fq(t)926 1603 y Fr(0)965 1580 y Fs(;)15 b(f)1060 1547 y Fq(t)1050 1603 y FF(1)p Fq(;\017)1173 1580 y Fw(\))p Ft(kk)p Fs(u)1350 1594 y Fr(1)1390 1580 y Ft(kk)p Fs(u)1532 1594 y Fr(2)1573 1580 y Ft(k)493 1780 y Fw(+)p Ft(k)p Fs(P)667 1795 y Fq(k)710 1780 y Fw(\()p Fs(f)800 1747 y Fq(t)790 1803 y Fr(0)830 1780 y Fs(;)g(f)925 1747 y Fq(t)915 1802 y FF(1)p Fq(;\017)1038 1780 y Fw(\))p Ft(kk)p Fw(d\000\()p Fs(c)1345 1794 y Fq(t)1375 1780 y Fw(\))1420 1717 y Fm(1)p 1421 1729 31 4 v 1421 1770 a(2)1465 1780 y Fw(\()p Fs(B)1569 1794 y Fr(c)i Fq(t)1667 1780 y Fw(+)i Fs(\025)p Fw(\))1845 1747 y FF(\000)p Fr(1)1940 1780 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)2181 1794 y Fr(2)2221 1780 y Ft(kk)p Fw(d\000\()p Fs(c)2493 1794 y Fq(t)2524 1780 y Fw(\))2569 1717 y Fm(1)p 2569 1729 V 2569 1770 a(2)2614 1780 y Fw(\()p Fs(B)2718 1794 y Fr(c)d Fq(t)2815 1780 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2994 1747 y FF(\000)p Fr(1)3088 1780 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)3329 1794 y Fr(1)3369 1780 y Ft(k)p Fs(:)0 1986 y Fw(By)31 b(Lemma)f(6.5)i Fu(ii\))e Fw(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)g Ft(k)p Fs(P)1183 2001 y Fq(k)1227 1986 y Fw(\()p Fs(f)1317 1953 y Fq(t)1307 2010 y Fr(0)1346 1986 y Fs(;)15 b(f)1441 1953 y Fq(t)1431 2009 y FF(1)p Fq(;\017)1554 1986 y Fw(\))p Ft(k)26 b(\024)f Fs(\013)1814 1953 y FF(\000)p Fq(k)1942 1986 y Fw(uniformly)j(in)h Fs(\017)p Fw(.)141 2099 y(Let)i(us)f(no)m(w) g(consider)f(the)i(terms)f(coming)g(from)g Fi(D)p Fs(P)2040 2114 y Fq(k)2083 2099 y Fw(\()p Fs(f)2173 2066 y Fq(t)2163 2122 y Fr(0)2203 2099 y Fs(;)15 b(f)2298 2066 y Fq(t)2288 2122 y FF(1)p Fq(;\017)2411 2099 y Fw(\).)41 b(By)30 b(\(6.11\):)1006 2306 y Ft(k)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(B)1344 2320 y Fr(c)17 b Fq(t)1442 2306 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1621 2273 y FF(\000)p Fr(1)1716 2306 y Fw([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)1877 2273 y Fr(e)1914 2306 y Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(i)p Fs(P)2073 2321 y Fq(k)2116 2306 y Fw(\()p Fs(f)2206 2273 y Fq(t)2196 2329 y Fr(0)2235 2306 y Fs(;)g(f)2330 2273 y Fq(t)2320 2328 y FF(1)p Fq(;\017)2443 2306 y Fw(\)])p Fs(\037)p 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3973 y Fw(\))p Fs(;)g Fi(d)1359 3987 y Fr(0)1400 3973 y Fs(f)1455 3940 y Fq(t)1445 3996 y Fr(0)1484 3973 y Fw(\))p Ft(j)1554 3910 y Fm(1)p 1554 3922 31 4 v 1554 3963 a(2)1624 3973 y Ft(\024)25 b Fs(C)1792 3925 y Fq(k)r(=)p Fr(2)1785 3998 y(0)1905 3973 y Fs(R)1974 3988 y Fq(k)2016 3973 y Fw(\(\()p Fs(f)2141 3940 y Fq(t)2131 3996 y Fr(0)2171 3973 y Fs(;)15 b(f)2266 3940 y Fq(t)2256 3996 y FF(1)2331 3973 y Fw(\))p Fs(;)g Ft(j)p Fi(d)2489 3987 y Fr(0)2529 3973 y Fs(f)2584 3940 y Fq(t)2574 3996 y Fr(0)2613 3973 y Ft(j)p Fw(\))2683 3910 y Fm(1)p 2684 3922 V 2684 3963 a(2)2728 3973 y Fs(;)727 4176 y Ft(j)p Fs(R)821 4191 y Fq(k)r FF(\000)p Fr(1)954 4176 y Fw(\(\()p Fs(f)1079 4143 y Fq(t)1069 4199 y Fr(0)1109 4176 y Fs(;)g(f)1204 4143 y Fq(t)1194 4198 y FF(1)p Fq(;\017)1317 4176 y Fw(\))p Fs(;)g Fi(d)1450 4190 y Fr(0)1490 4176 y Fs(f)1545 4143 y Fq(t)1535 4198 y FF(1)p Fq(;\017)1657 4176 y Fw(\))p Ft(j)1727 4113 y Fm(1)p 1728 4125 V 1728 4166 a(2)1798 4176 y Ft(\024)25 b Fs(C)1966 4128 y 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Fi(d)2398 5081 y Fr(0)2439 5067 y Fs(f)2494 5034 y Fq(t)2484 5090 y Fr(0)2523 5067 y Ft(j)p Fw(\))2593 5004 y Fm(1)p 2593 5016 V 2593 5058 a(2)2638 5067 y Fs(;)991 5267 y(R)1060 5281 y Fr(2)1100 5267 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))25 b(=)g(\()p Fs(B)1428 5281 y Fr(c)17 b Fq(t)1525 5267 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1704 5231 y FF(\000)1769 5204 y Fm(1)p 1770 5216 V 1770 5257 a(2)1814 5267 y Fs(R)1883 5282 y Fq(k)r FF(\000)p Fr(1)2016 5267 y Fw(\(\()p Fs(f)2141 5234 y Fq(t)2131 5290 y Fr(0)2171 5267 y Fs(;)15 b(f)2266 5234 y Fq(t)2256 5290 y FF(1)2330 5267 y Fw(\))p Fs(;)g Ft(j)p Fi(d)2488 5281 y Fr(0)2529 5267 y Fs(f)2584 5234 y Fq(t)2574 5290 y FF(1)2648 5267 y Ft(j)p Fw(\))2718 5204 y Fm(1)p 2719 5216 V 2719 5257 a(2)2763 5267 y Fs(:)1844 5517 y Fw(48)p eop %%Page: 49 49 49 48 bop 0 162 a Fw(By)31 b Fu(\(I'2\))p Fw(,)h(Prop.)41 b(5.1)32 b(and)f(Prop.)41 b(6.3,)32 b(h)m(yp)s(othesis)e(\(A.2\))i(of)f (Prop.)42 b(A.4)31 b(is)f(satis\014ed.)41 b(Hyp)s(othesis)30 b(\(A.1\))0 275 y(is)f(clearly)h(satis\014ed)g(since)782 464 y Ft(k)p Fs(P)885 479 y Fq(k)929 464 y Fw(\()p Fs(f)1019 426 y Fq(t)1009 486 y Fr(0)1048 464 y Fs(;)15 b(f)1143 426 y Fq(t)1133 486 y FF(1)p Fq(;\017)1256 464 y Fw(\))p Ft(k)26 b(\024)f Fs(\013)1516 426 y FF(\000)p Fq(k)1614 464 y Fs(;)45 b Fw(uniformly)28 b(in)h(0)d Fs(<)f(\017)g(<)2540 402 y Fw(1)p 2540 443 46 4 v 2540 526 a(2)2595 464 y(\()p Fs(\013)2688 478 y Fr(2)2748 464 y Ft(\000)20 b Fs(\013)2897 478 y Fr(1)2937 464 y Fw(\))p Fs(;)0 645 y Fw(b)m(y)30 b(Lemma)h(6.5)g Fu(i\))p Fw(.)41 b(Finally)1071 801 y(w)q Ft(\000)19 b Fw(lim)1223 857 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1373 801 y Fs(P)1431 816 y Fq(k)1474 801 y Fw(\()p Fs(f)1564 763 y Fq(t)1554 823 y Fr(0)1593 801 y Fs(;)c(f)1688 763 y Fq(t)1678 823 y FF(1)p Fq(;\017)1801 801 y Fw(\))26 b(=)f Fs(P)2016 816 y Fq(k)2059 801 y Fw(\()p Fs(f)2149 763 y Fq(t)2139 823 y Fr(0)2178 801 y Fs(;)15 b(f)2273 763 y Fq(t)2263 823 y FF(1)2338 801 y Fw(\))p Fs(;)36 b Ft(8)p Fs(t)24 b Ft(\025)h Fw(0)p Fs(;)0 985 y Fw(and)44 b(hence)h(h)m(yp)s(othesis)f(\(A.3\))i(of)f(Prop.)83 b(A.4)46 b(is)e(satis\014ed.)83 b(Applying)43 b(Prop.)83 b(A.4)46 b(w)m(e)f(obtain)f(the)0 1098 y(prop)s(osition.)38 b Fh(2)0 1376 y Fx(7)135 b(Geometric)46 b(in)l(v)l(erse)g(w)l(a)l(v)l (e)g(op)t(erators)0 1579 y Fw(This)34 b(section)i(is)f(dev)m(oted)h(to) h(the)f(construction)f(of)h(geometric)h(in)m(v)m(erse)e(w)m(a)m(v)m(e)j (op)s(erators)e(on)f(the)h(spaces)0 1692 y Ft(H)78 1659 y Fr(e+)77 1715 y(c)168 1692 y Fw(.)0 1928 y Fv(7.1)112 b(Extended)38 b(ob)6 b(jects)0 2100 y Fw(W)-8 b(e)36 b(\014rst)e(de\014ne)g(so)h(called)f Fu(extende)-5 b(d)37 b(obje)-5 b(cts)35 b Fw(whic)m(h)f(pro)m(vide)g(a)h(con)m(v)m(enien)m (t)h(framew)m(ork)e(for)h(scattering)0 2213 y(theory)c(\(see)g([DG2)q (,)g(Sect.)41 b(3.4]\).)i(Let)867 2365 y Ft(H)945 2332 y Fr(e)944 2388 y(ext)1069 2365 y Fw(:=)25 b Ft(H)1268 2332 y Fr(e)1323 2365 y Ft(\012)20 b Fw(\000\()p Fl(h)1549 2332 y Fr(e)1585 2365 y Fw(\))p Fs(;)867 2549 y(H)950 2516 y Fr(e)943 2571 y(ext)1068 2549 y Fw(:=)25 b Fs(H)1272 2516 y Fr(e)1327 2549 y Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)1469 2568 y Fr(\000\()p Fk(h)1576 2549 y Fm(e)1608 2568 y Fr(\))1660 2549 y Fw(+)20 b(1)-20 b(l)1801 2563 y FF(H)1861 2544 y Fm(e)1917 2549 y Ft(\012)20 b Fw(d\000\()p Fs(\033)s Fw(\))p Fs(;)46 b Fw(acting)31 b(on)f Ft(H)2789 2516 y Fr(e)2788 2571 y(ext)2888 2549 y Fs(;)867 2733 y(L)929 2747 y Fr(ext)1054 2733 y Fw(:=)25 b Fs(L)20 b Ft(\012)g Fw(1)-20 b(l)1399 2751 y Fr(\000\()p Fk(h)1506 2732 y Fm(e)1538 2751 y Fr(\))1589 2733 y Fw(+)20 b(1)-20 b(l)1731 2747 y FF(H)1791 2728 y Fm(e)1847 2733 y Ft(\012)20 b Fw(d\000\()p Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)p Fw(\))p Fs(;)46 b Fw(acting)31 b(on)f Ft(H)2769 2700 y Fr(e)2768 2755 y(ext)2868 2733 y Fs(:)0 2881 y Fw(W)-8 b(e)32 b(set)908 2994 y Fs(N)991 2956 y Fr(e)981 3016 y(0)1052 2994 y Fw(:=)25 b Fs(N)1256 2956 y Fr(e)1312 2994 y Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)o Fs(;)36 b(N)1597 2956 y Fr(e)1587 3016 y FF(1)1687 2994 y Fw(:=)25 b(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fs(N)2053 2956 y Fr(e)2088 2994 y Fs(;)36 b(N)2232 2956 y Fr(e)2222 3016 y(ext)2347 2994 y Fw(:=)26 b Fs(N)2552 2956 y Fr(e)2542 3016 y(0)2607 2994 y Fw(+)20 b Fs(N)2781 2956 y Fr(e)2771 3016 y FF(1)2846 2994 y Fs(:)0 3136 y Fw(The)34 b(in)m(terpretation)h(of)g(the)g(tensor)g(pro)s(duct)f Ft(H)1746 3103 y Fr(e)1745 3159 y(ext)1880 3136 y Fw(is)g(as)h(follo)m (ws:)49 b(\000\()p Fl(h)2570 3103 y Fr(e)2606 3136 y Fw(\))35 b(con)m(tains)g(the)g(asymptotically)0 3249 y(free)30 b(b)s(osons)g(while)e Ft(H)786 3216 y Fr(e)852 3249 y Fw(con)m(tains)i(the)h(atom)g(and)f(the)h(b)s(osons)e(sta)m (ying)i(close)f(to)h(it.)141 3362 y(W)-8 b(e)32 b(de\014ne)d(also)i (the)f Fu(extende)-5 b(d)34 b(Heisenb)-5 b(er)g(g)32 b(derivatives)f Fw(\(see)h([DG2)q(,)f(Sect.)41 b(3.4]\):)590 3494 y(\024)584 3518 y Fi(d)642 3532 y Fr(0)681 3518 y Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))122 b(:=)1105 3482 y Fq(@)p 1092 3497 67 4 v 1092 3549 a(@)t(t)1169 3518 y Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))20 b(+)g(\()p Fs(\033)k Ft(\010)c Fs(\033)s Fw(\)i)p Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))19 b Ft(\000)h Fw(i)p Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(\033)n(;)961 3701 y(f)g Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))25 b Ft(2)g(B)s Fw(\()p Fl(h)1371 3668 y Fr(e)1407 3701 y Fs(;)15 b Fl(h)1490 3668 y Fr(e)1546 3701 y Ft(\010)20 b Fl(h)1680 3668 y Fr(e)1716 3701 y Fw(\))p Fs(;)601 3865 y Fw(\024)584 3888 y Fi(D)664 3902 y Fr(0)704 3888 y Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))83 b(:=)1105 3852 y Fq(@)p 1092 3867 V 1092 3919 a(@)t(t)1169 3888 y Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))21 b(+)f(\(d\000\()p Fs(\033)s Fw(\))g Ft(\012)g Fw(1)-20 b(l)20 b(+)g(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fw(d\000\()p Fs(\033)s Fw(\)\)i)p Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))20 b Ft(\000)g Fw(i)p Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\)d\000\()p Fs(\033)s Fw(\))p Fs(;)961 4072 y(F)g Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))26 b Ft(2)f(B)s Fw(\(\000\()p Fl(h)1480 4039 y Fr(e)1516 4072 y Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(\000\()p Fl(h)1726 4039 y Fr(e)1762 4072 y Fw(\))21 b Ft(\012)f Fw(\000\()p Fl(h)2044 4039 y Fr(e)2080 4072 y Fw(\)\))p Fs(;)601 4235 y Fw(\024)584 4259 y Fi(D)p Fs(B)5 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))120 b(:=)1105 4223 y Fq(@)p 1092 4238 V 1092 4290 a(@)t(t)1169 4259 y Fs(B)5 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))20 b(+)g Fs(H)1540 4226 y Fr(ext)1640 4259 y Fw(i)p Fs(B)5 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))20 b Ft(\000)g Fw(i)p Fs(B)5 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(H)2240 4226 y Fr(e)2274 4259 y Fs(;)961 4442 y(B)g Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))26 b Ft(2)e(B)s Fw(\()p Ft(H)1425 4409 y Fr(e)1460 4442 y Fs(;)15 b Ft(H)1578 4409 y Fr(ext)1679 4442 y Fw(\))p Fs(:)0 4590 y Fw(Note)32 b(that)f(with)e(the)h(notation)h(in)e(Subsect.)40 b(2.2)32 b(w)m(e)e(ha)m(v)m(e)1493 4722 y(\024)1476 4746 y Fi(D)1556 4760 y Fr(0)1595 4746 y Fw(d\000\()p Fs(f)10 b Fw(\))25 b(=)g(d)2006 4723 y(\024)2000 4746 y(\000)o(\()2097 4722 y(\024)2091 4746 y Fi(d)2149 4760 y Fr(0)2189 4746 y Fs(f)10 b Fw(\))p Fs(:)0 4901 y Fw(In)40 b(this)g(section,)k(w)m(e)d (will)e(use)h(the)h(op)s(erators)1734 4878 y(\024)1728 4901 y(\000\()p Fs(j)5 b Fw(\))42 b(for)f(the)g(follo)m(wing)f(c)m (hoice)h(of)g Fs(j)5 b Fw(.)73 b(W)-8 b(e)42 b(pic)m(k)f(cuto\013)0 5014 y(functions)29 b Fs(j)429 5028 y Fr(0)469 5014 y Fs(;)15 b(j)546 5028 y FF(1)652 5014 y Fw(satisfying)29 b(\(6.1\))j(and)e(\(6.4\).)42 b(W)-8 b(e)32 b(set)f Fs(j)2044 4981 y Fq(t)2099 5014 y Fw(=)25 b(\()p Fs(j)2272 4981 y Fq(t)2267 5037 y Fr(0)2307 5014 y Fs(;)15 b(j)2389 4981 y Fq(t)2384 5037 y FF(1)2460 5014 y Fw(\))31 b(for)951 5205 y Fs(j)993 5168 y Fq(t)988 5228 y(\017)1049 5205 y Fw(=)25 b Fs(j)1182 5219 y Fq(\017)1215 5205 y Fw(\()1260 5144 y Fs(s)20 b Ft(\000)g Fw(c)p Fs(t)p 1260 5184 227 4 v 1337 5268 a(t)1370 5242 y Fq(\032)1497 5205 y Fw(\))p Fs(;)36 b Fw(0)26 b Fs(<)f Fw(c)g Ft(\024)g Fw(1)p Fs(;)36 b Fw(0)26 b Fs(<)f(\032)g(<)g Fw(1)p Fs(;)36 b(\017)25 b Fw(=)g(0)p Fs(;)15 b Ft(1)p Fs(:)-2827 b Fw(\(7.1\))1844 5517 y(49)p eop %%Page: 50 50 50 49 bop 0 162 a Fv(7.2)112 b(T)-9 b(ec)m(hnical)36 b(estimates)0 334 y Fi(Lemma)d(7.1)46 b Fu(Assume)27 b(\(I'0\),)j(\(I'1\))f(for)f Fs(\017)1514 348 y Fr(0)1579 334 y Fs(>)d Fw(0)p Fu(,)k(\(I'2\))f(for)h Fs(\026)c(>)g Fw(0)j Fu(and)h(let)f Fs(\032)e(>)e(\016)30 b(>)25 b Fw(\(1)10 b(+)g Fs(\017)3215 348 y Fr(0)3255 334 y Fw(\))3290 301 y FF(\000)p Fr(1)3384 334 y Fu(,)29 b Fs(\026)c(>)g(\016)s(=)p Fw(2)p Fu(.)0 447 y(Then)33 b(for)g Fs(\037)439 461 y Fr(1)478 447 y Fs(;)15 b(\037)575 461 y Fr(2)640 447 y Ft(2)25 b Fs(C)798 414 y FF(1)791 470 y Fr(0)873 447 y Fw(\(I)-15 b(R)o(\))p Fu(:)860 585 y Fp(\020)910 679 y Fs(\037)967 693 y Fr(1)1006 679 y Fw(\()p Fs(L)1103 693 y Fr(ext)1204 679 y Fw(\))1245 656 y(\024)1239 679 y(\000)1296 694 y Fq(k)1338 679 y Fw(\()p Fs(j)1415 641 y Fq(t)1446 679 y Fw(\))21 b Ft(\000)1598 656 y Fw(\024)1593 679 y(\000)1650 694 y Fq(k)1692 679 y Fw(\()p Fs(j)1769 641 y Fq(t)1800 679 y Fw(\))p Fs(\037)1892 693 y Fr(1)1931 679 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))2063 585 y Fp(\021)2114 679 y Fs(F)13 b Fw(\()2230 617 y Fs(N)2313 584 y Fr(e)2303 640 y Fq(t)p 2230 658 119 4 v 2254 741 a Fs(t)2287 715 y Fq(\016)2358 679 y Fw(\))p Fs(\037)2450 693 y Fr(2)2490 679 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(:)0 1067 y Fi(Pro)s(of.)72 b Fw(considering)835 1046 y(~)836 1067 y Fs(j)43 b Fw(=)36 b(\()p Fs(j)1095 1081 y Fr(0)1136 1067 y Fs(;)15 b(\013j)1271 1081 y FF(1)1347 1067 y Fw(\))37 b(and)g(noting)g(that)2103 1044 y(\024)2097 1067 y(\000)2154 1082 y Fq(k)2196 1067 y Fw(\()p Fs(j)2273 1034 y Fq(t)2304 1067 y Fw(\))g(=)g Fs(\013)2542 1034 y FF(\000)p Fq(k)2646 1044 y Fw(\024)2640 1067 y(\000)2697 1082 y Fq(k)2740 1067 y Fw(\()2774 1046 y(~)2775 1067 y Fs(j)2817 1034 y Fq(t)2847 1067 y Fw(\),)j(w)m(e)e(ma)m(y)g(assume)f (that)0 1180 y Fs(j)37 1194 y Fr(0)101 1180 y Fw(+)24 b Fs(j)233 1194 y FF(1)344 1180 y Ft(\024)35 b Fw(1)h(and)g(hence)h Fs(j)1015 1147 y Fr(2)1010 1203 y(0)1079 1180 y Fw(+)24 b Fs(j)1216 1147 y Fr(2)1211 1203 y FF(1)1322 1180 y Ft(\024)35 b Fw(1.)59 b(Since)1806 1157 y(\024)1800 1180 y(\000)1857 1195 y Fq(k)1900 1180 y Fw(\()p Fs(j)1977 1147 y Fq(t)2007 1180 y Fw(\))36 b(=)f(1)-20 b(l)2235 1199 y FF(f)p Fq(k)r FF(g)2348 1180 y Fw(\()p Fs(N)2466 1147 y Fr(e)2456 1203 y FF(1)2531 1180 y Fw(\))2572 1157 y(\024)2566 1180 y(\000\()p Fs(j)2700 1147 y Fq(t)2731 1180 y Fw(\))36 b(and)g Fs(N)3068 1147 y Fr(e)3058 1203 y FF(1)3169 1180 y Fw(comm)m(utes)i(with)0 1304 y Fs(L)62 1318 y Fr(ext)162 1304 y Fw(,)31 b(it)f(su\016ces)g(to)h(pro)m(v)m(e)g (the)g(lemma)e(for)1568 1281 y(\024)1563 1304 y(\000)o(\()p Fs(j)1696 1271 y Fq(t)1727 1304 y Fw(\).)41 b(W)-8 b(e)32 b(write)507 1415 y Fp(\020)557 1509 y Fs(\037)614 1523 y Fr(1)653 1509 y Fw(\()p Fs(L)750 1523 y Fr(ext)850 1509 y Fw(\))891 1486 y(\024)885 1509 y(\000)q(\()p Fs(j)1020 1476 y Fq(t)1050 1509 y Fw(\))21 b Ft(\000)1202 1486 y Fw(\024)1197 1509 y(\000)o(\()p Fs(j)1330 1476 y Fq(t)1361 1509 y Fw(\))p Fs(\037)1453 1523 y Fr(1)1493 1509 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))1625 1415 y Fp(\021)1675 1509 y Fs(F)13 b Fw(\()1791 1461 y Fq(N)1854 1438 y Fm(e)1847 1482 y Fj(t)p 1791 1488 95 4 v 1809 1545 a Fq(t)1834 1526 y Fj(\016)1896 1509 y Fw(\))p Fs(\037)1988 1523 y Fr(2)2027 1509 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))353 1708 y(=)544 1672 y Fq(i)p 517 1687 79 4 v 517 1739 a Fr(2)p Fq(\031)620 1639 y Fp(R)701 1667 y Fq(@)25 b Fr(~)-56 b Fq(\037)786 1676 y Fm(1)p 701 1687 120 4 v 722 1739 a Fq(@)p 763 1700 36 4 v 4 w(z)830 1708 y Fw(\()p Fs(z)t Fw(\)\()p Fs(z)26 b Ft(\000)20 b Fs(L)1202 1722 y Fr(ext)1302 1708 y Fw(\))1337 1675 y FF(\000)p Fr(1)1432 1708 y Fw(\()p Fs(L)1529 1722 y Fr(ext)1635 1685 y Fw(\024)1629 1708 y(\000\()p Fs(j)1763 1675 y Fq(t)1794 1708 y Fw(\))g Ft(\000)1946 1685 y Fw(\024)1940 1708 y(\000\()p Fs(j)2074 1675 y Fq(t)2104 1708 y Fw(\))p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(z)26 b Ft(\000)20 b Fs(L)p Fw(\))2527 1675 y FF(\000)p Fr(1)2621 1708 y Fs(F)13 b Fw(\()2737 1659 y Fq(N)2800 1636 y Fm(e)2793 1680 y Fj(t)p 2738 1687 95 4 v 2755 1743 a Fq(t)2780 1724 y Fj(\016)2842 1708 y Fw(\))p Fs(\037)2934 1722 y Fr(2)2974 1708 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)d)p Fs(z)24 b Ft(^)c Fw(d)p 3355 1659 47 4 v Fs(z)t(:)0 1897 y Fw(On)30 b Ft(D)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))g(w)m(e)h(ha)m(v)m(e:)1111 2010 y Fs(L)25 b Fw(=)g Fs(K)i Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)1539 2028 y Fr(\000\()p Fk(h)1646 2009 y Fm(e)1678 2028 y Fr(\))1730 2010 y Fw(+)20 b(1)-20 b(l)1872 2024 y FF(K)1950 2010 y Ft(\012)20 b Fw(d\000\()p Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)p Fw(\))h(+)f Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)2572 1972 y Fr(e)2608 2010 y Fw(\))p Fs(;)0 2170 y Fw(and)30 b(on)g Ft(D)s Fw(\()p Fs(L)473 2184 y Fr(ext)573 2170 y Fw(\))89 2360 y Fs(L)151 2374 y Fr(ext)276 2360 y Fw(=)25 b Fs(K)i Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)618 2378 y Fr(\000\()p Fk(h)725 2359 y Fm(e)757 2378 y Fr(\))808 2360 y Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)950 2378 y Fr(\000\()p Fk(h)1057 2359 y Fm(e)1089 2378 y Fr(\))1141 2360 y Fw(+)20 b(1)-20 b(l)1282 2374 y FF(K)1360 2360 y Ft(\012)20 b Fw(d\000\()p Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)p Fw(\))h Ft(\012)f Fw(1)-20 b(l)1897 2378 y Fr(\000\()p Fk(h)2004 2359 y Fm(e)2036 2378 y Fr(\))2088 2360 y Fw(+)19 b Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)2314 2322 y Fr(e)2351 2360 y Fw(\))h Ft(\012)g Fw(1)-20 b(l)2548 2378 y Fr(\000\()p Fk(h)2655 2359 y Fm(e)2687 2378 y Fr(\))2739 2360 y Fw(+)20 b(1)-20 b(l)2880 2374 y FF(K)2958 2360 y Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)3100 2378 y Fr(\000\()p Fk(h)3207 2359 y Fm(e)3239 2378 y Fr(\))3291 2360 y Ft(\012)20 b Fw(d\000\()p Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)p Fw(\))p Fs(:)0 2550 y Fw(By)31 b([DG2)q(,)g(Lemma)f(2.14]:)487 2738 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)623 2705 y Fr(e)659 2738 y Fw(\))21 b Ft(\012)f Fw(1)-20 b(l)856 2756 y Fr(\000\()p Fk(h)963 2738 y Fm(e)995 2756 y Fr(\))1033 2715 y Fw(\024)1027 2738 y(\000\()p Fs(j)1161 2705 y Fq(t)1191 2738 y Fw(\))21 b Ft(\000)1344 2715 y Fw(\024)1338 2738 y(\000\()p Fs(j)1472 2705 y Fq(t)1502 2738 y Fw(\))p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)1673 2705 y Fr(e)1710 2738 y Fw(\))333 2940 y(=)526 2904 y Fr(1)p 497 2919 95 4 v 497 2928 a FF(p)p 556 2928 36 3 v 56 x Fr(2)601 2846 y Fp(\020)651 2940 y Fw(\()p Fs(a)734 2907 y FF(\003)773 2940 y Fw(\(\(1)h Ft(\000)e Fs(j)1043 2907 y Fq(t)1038 2963 y Fr(0)1078 2940 y Fw(\))p Fs(v)1160 2907 y Fr(e)1196 2940 y Fw(\))g Ft(\012)g Fw(1)-20 b(l)1393 2959 y Fr(\000\()p Fk(h)1500 2940 y Fm(e)1532 2959 y Fr(\))1584 2940 y Ft(\000)20 b Fw(1)-20 b(l)1725 2959 y Fr(\000\()p Fk(h)1832 2940 y Fm(e)1864 2959 y Fr(\))1908 2926 y Fw(^)1896 2940 y Ft(\012)o Fs(a)2014 2907 y FF(\003)2054 2940 y Fw(\()p Fs(j)2131 2907 y Fq(t)2126 2963 y FF(1)2201 2940 y Fs(v)2248 2907 y Fr(e)2284 2940 y Fw(\)\))2360 2917 y(\024)2354 2940 y(\000)q(\()p Fs(j)2489 2907 y Fq(t)2519 2940 y Fw(\))21 b Ft(\000)2672 2917 y Fw(\024)2666 2940 y(\000\()p Fs(j)2800 2907 y Fq(t)2830 2940 y Fw(\))p Fs(a)p Fw(\(\(1)h Ft(\000)e Fs(j)3183 2907 y Fq(t)3178 2963 y Fr(0)3218 2940 y Fw(\))p Fs(v)3300 2907 y Fr(e)3336 2940 y Fw(\))3371 2846 y Fp(\021)3421 2940 y Fs(;)0 2848 y Fw(\(7.2\))0 3155 y(where)33 b(the)g(t)m(wisted)g(tensor)g(pro)s (duct)1377 3141 y(^)1364 3155 y Ft(\012)g Fw(is)f(de\014ned)g(as)i (follo)m(ws:)45 b(let)33 b Fs(T)43 b Fw(:)30 b Ft(K)23 b(\012)f Fw(\000\()p Fl(h)2937 3122 y Fr(e)2973 3155 y Fw(\))h Ft(\012)e Fw(\000\()p Fl(h)3258 3122 y Fr(e)3294 3155 y Fw(\))31 b Ft(!)e Fw(\000\()p Fl(h)3615 3122 y Fr(e)3651 3155 y Fw(\))23 b Ft(\012)0 3267 y(K)f(\012)e Fw(\000\()p Fl(h)317 3235 y Fr(e)353 3267 y Fw(\))30 b(b)s(e)g(the)h(unitary)e(op)s(erator)h(de\014ned)f(b)m(y)1316 3458 y Fs(T)13 b( )23 b Ft(\012)d Fs(u)1607 3472 y Fr(1)1667 3458 y Ft(\012)g Fs(u)1810 3472 y Fr(2)1875 3458 y Fw(=)25 b Fs(u)2023 3472 y Fr(1)2082 3458 y Ft(\012)20 b Fs( )k Ft(\012)c Fs(u)2399 3472 y Fr(2)2438 3458 y Fs(:)0 3648 y Fw(Then)29 b(if)h Fs(B)35 b Fw(is)29 b(an)h(op)s(erator)h(on)f Ft(K)22 b(\012)e Fw(\000\()p Fl(h)1452 3615 y Fr(e)1488 3648 y Fw(\),)31 b(w)m(e)g(set)1308 3838 y(1)-20 b(l)1358 3856 y Fr(\000\()p Fk(h)1465 3837 y Fm(e)1497 3856 y Fr(\))1542 3824 y Fw(^)1529 3838 y Ft(\012)p Fs(B)30 b Fw(:=)25 b Fs(T)1886 3800 y FF(\000)p Fr(1)1980 3838 y Fw(1)-20 b(l)2030 3856 y Fr(\000\()p Fk(h)2137 3837 y Fm(e)2169 3856 y Fr(\))2221 3838 y Ft(\012)20 b Fs(B)5 b(T)j(:)0 4028 y Fw(By)31 b([DG2)q(,)g(Lemma)f(2.16]:)1244 4140 y Fs(L)1306 4103 y Fr(ext)1306 4163 y(0)1412 4118 y Fw(\024)1406 4140 y(\000\()p Fs(j)1540 4103 y Fq(t)1571 4140 y Fw(\))20 b Ft(\000)1723 4118 y Fw(\024)1717 4140 y(\000\()p Fs(j)1851 4103 y Fq(t)1882 4140 y Fw(\))p Fs(L)1979 4154 y Fr(0)2044 4140 y Fw(=)25 b(d)2197 4118 y(\024)2191 4140 y(\000)o(\()p Fs(j)2324 4103 y Fq(t)2354 4140 y Fs(;)15 b(k)2444 4103 y Fq(t)2475 4140 y Fw(\))p Fs(;)0 4300 y Fw(for)26 b Fs(k)185 4267 y Fq(t)240 4300 y Fw(=)f(\()p Fs(k)421 4267 y Fq(t)418 4323 y Fr(0)458 4300 y Fs(;)15 b(k)548 4267 y Fq(t)545 4323 y FF(1)620 4300 y Fw(\),)28 b Fs(k)758 4267 y Fq(t)755 4323 y(\017)813 4300 y Fw(=)d([)p Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)p Fs(;)15 b(j)1121 4267 y Fq(t)1116 4323 y(\017)1152 4300 y Fw(].)40 b(By)26 b(Lemma)g(5.2,)i Fs(k)1918 4267 y Fq(t)1915 4323 y(\017)1973 4300 y Ft(2)d Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2199 4267 y FF(\000)p Fq(\032)2294 4300 y Fw(\))i(and)e(b)m(y)h([DG2)q(,)h(Lemma)f(2.16])i(w) m(e)e(ha)m(v)m(e:)1205 4490 y(\()p Fs(L)1302 4453 y Fr(ext)1302 4513 y(0)1408 4467 y Fw(\024)1402 4490 y(\000\()p Fs(j)1536 4453 y Fq(t)1567 4490 y Fw(\))20 b Ft(\000)1719 4467 y Fw(\024)1713 4490 y(\000\()p Fs(j)1847 4453 y Fq(t)1877 4490 y Fw(\))p Fs(L)1974 4504 y Fr(0)2014 4490 y Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(N)2351 4453 y Fr(e)2386 4490 y Fw(\))p Fs(t)2454 4453 y FF(\000)p Fq(\032)2550 4490 y Fs(:)-2575 b Fw(\(7.3\))0 4680 y(Using)30 b(then)g(\(7.2\),)i(Prop.) 40 b(A.1)31 b(and)f(h)m(yp)s(othesis)f Fu(\(I'2\))p Fw(,)i(w)m(e)g(ha)m (v)m(e:)815 4884 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(L)957 4898 y Fr(ext)1078 4884 y Fw(+)20 b(i\))1230 4851 y FF(\000)p Fr(1)1324 4884 y Fw(\()p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)1495 4851 y Fr(e)1532 4884 y Fw(\))g Ft(\012)g Fw(1)-20 b(l)1729 4902 y Fr(\000\()p Fk(h)1836 4883 y Fm(e)1868 4902 y Fr(\))1905 4861 y Fw(\024)1899 4884 y(\000\()p Fs(j)2033 4851 y Fq(t)2064 4884 y Fw(\))20 b Ft(\000)2216 4861 y Fw(\024)2210 4884 y(\000\()p Fs(j)2344 4851 y Fq(t)2375 4884 y Fw(\))p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)2546 4851 y Fr(e)2582 4884 y Fw(\)\)\()p Fs(N)32 b Fw(+)20 b(1\))2963 4848 y FF(\000)3028 4821 y Fm(1)p 3028 4833 31 4 v 3028 4874 a(2)3073 4884 y Ft(k)661 5083 y(\024)83 b Fs(C)7 b Ft(k)p Fw(\(1)21 b Ft(\000)f Fs(j)1166 5050 y Fq(t)1161 5106 y Fr(0)1201 5083 y Fw(\)\()p Fs(K)27 b Fw(+)20 b(1\))1546 5048 y FF(\000)1611 5020 y Fm(1)p 1612 5032 V 1612 5074 a(2)1657 5083 y Fs(v)1704 5050 y Fr(e)1739 5083 y Ft(k)h Fw(+)f Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(j)2055 5050 y Fq(t)2050 5106 y FF(1)2125 5083 y Fw(\()p Fs(K)27 b Fw(+)20 b(1\))2435 5048 y FF(\000)2500 5020 y Fm(1)p 2501 5032 V 2501 5074 a(2)2545 5083 y Fs(v)2592 5050 y Fr(e)2628 5083 y Ft(k)661 5267 y(\024)83 b Fs(C)7 b(t)920 5234 y FF(\000)p Fq(\026)1021 5267 y Fs(:)0 5067 y Fw(\(7.4\))1844 5517 y(50)p eop %%Page: 51 51 51 50 bop 0 162 a Fw(No)m(w)31 b(using)e(\(5.8\))j(and)e(Lemma)g(4.6)i (w)m(e)f(obtain)887 367 y(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(L)1142 381 y Fr(ext)1242 367 y Fw(\))1277 334 y FF(\000)p Fr(1)1372 367 y Fw(\()p Fs(L)1469 381 y Fr(ext)1575 344 y Fw(\024)1569 367 y(\000\()p Fs(j)1703 334 y Fq(t)1733 367 y Fw(\))h Ft(\000)1886 344 y Fw(\024)1880 367 y(\000\()p Fs(j)2014 334 y Fq(t)2044 367 y Fw(\))p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(z)26 b Ft(\000)20 b Fs(L)p Fw(\))2467 334 y FF(\000)p Fr(1)2561 367 y Fs(F)13 b Fw(\()2677 319 y Fq(N)2740 296 y Fm(e)2733 340 y Fj(t)p 2678 346 95 4 v 2695 403 a Fq(t)2720 384 y Fj(\016)2782 367 y Fw(\))p Fs(\037)2874 381 y Fr(2)2914 367 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))733 555 y Ft(\024)83 b Fs(C)7 b Fw(\()p Fs(t)1027 522 y Fq(\016)r FF(\000)p Fq(\032)1176 555 y Fw(+)20 b Fs(t)1300 522 y FF(\000)p Fq(\026)p Fr(+)p Fq(\016)r(=)p Fr(2)1560 555 y Fw(\))p Ft(j)p Fw(Im)p Fs(z)t Ft(j)1800 522 y FF(\000)p Fr(4)1895 555 y Fs(;)36 b(z)29 b Ft(2)c Fw(supp)39 b(~)-70 b Fs(\037)2373 569 y Fr(1)2412 555 y Fs(:)0 740 y Fw(This)29 b(implies)e(the)k(lemma.)40 b Fh(2)0 988 y Fi(Lemma)33 b(7.2)46 b Fu(Assume)34 b(\(I'0\),)i(\(I'1\))f(for)g Fs(\017)1540 1002 y Fr(0)1608 988 y Fs(>)29 b Fw(0)p Fu(,)35 b(\(I'2\))g(for)g Fs(\026)29 b(>)f Fw(0)35 b Fu(and)h Fs(\032)29 b(>)f(\016)33 b(>)28 b Fw(\(1)23 b(+)e Fs(\017)3202 1002 y Fr(0)3241 988 y Fw(\))3276 955 y FF(\000)p Fr(1)3371 988 y Fu(,)35 b Fs(\026)28 b(>)h(\016)s(=)p Fw(2)p Fu(.)0 1101 y(Then)k(for)g Fs(\037)439 1115 y Fr(1)478 1101 y Fs(;)15 b(\037)575 1115 y Fr(2)640 1101 y Ft(2)25 b Fs(C)798 1068 y FF(1)791 1124 y Fr(0)873 1101 y Fw(\(I)-15 b(R)o(\))p Fu(:)661 1313 y Fw(\024)655 1336 y(\000)712 1351 y Fq(k)755 1336 y Fw(\()p Fs(j)832 1299 y Fq(t)862 1336 y Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()1013 1275 y Fs(N)1096 1242 y Fr(e)1086 1297 y Fq(t)p 1013 1315 119 4 v 1038 1399 a Fs(t)1071 1373 y Fq(\016)1143 1336 y Fw(\))p Fs(\037)1235 1350 y Fr(1)1274 1336 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(\037)1463 1350 y Fr(2)1503 1336 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))21 b Ft(\000)f Fs(\037)1804 1350 y Fr(1)1843 1336 y Fw(\()p Fs(L)1940 1350 y Fr(ext)2041 1336 y Fw(\))2082 1313 y(\024)2076 1336 y(\000)2133 1351 y Fq(k)2176 1336 y Fw(\()p Fs(j)2253 1299 y Fq(t)2283 1336 y Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()2434 1275 y Fs(N)2517 1242 y Fr(e)2507 1297 y Fq(t)p 2434 1315 V 2459 1399 a Fs(t)2492 1373 y Fq(\016)2563 1336 y Fw(\))p Fs(\037)2655 1350 y Fr(2)2695 1336 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(:)0 1731 y Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(w)m(e)31 b(com)m(bine)f(Lemma)h(7.1)g(and)f (Lemma)h(4.4.)41 b Fh(2)141 1890 y Fw(In)30 b(the)g(follo)m(wing)f (lemma)h(w)m(e)h(use)f(the)h(op)s(erators)f Fs(R)2007 1905 y Fq(k)2050 1890 y Fw(\()p Fs(f)5 b(;)15 b(g)s Fw(\))31 b(in)m(tro)s(duced)e(in)g(\(6.9\).)0 2069 y Fi(Lemma)k(7.3)46 b Fu(Assume)32 b Fs(j)926 2083 y Fr(0)986 2069 y Fw(+)20 b Fs(\013j)1172 2083 y FF(1)1273 2069 y Ft(\024)25 b Fw(1)p Fu(.)42 b(L)-5 b(et)33 b Fs(r)1685 2036 y Fq(t)1682 2091 y(\017)1740 2069 y Fw(=)25 b Fi(d)1894 2083 y Fr(0)1933 2069 y Fs(j)1975 2036 y Fq(t)1970 2091 y(\017)2006 2069 y Fu(,)32 b Fs(\017)25 b Fw(=)g(0)p Fs(;)15 b Ft(1)p Fu(.)43 b(Then)33 b(for)g Fs(u)25 b Ft(2)g(H)3094 2036 y Fr(e)3129 2069 y Fu(,)33 b Fs(v)28 b Ft(2)d(H)3426 2036 y Fr(e)3425 2091 y(ext)3525 2069 y Fu(:)151 2310 y Ft(j)p Fw(\()p Fs(v)s(;)316 2287 y Fw(\024)298 2310 y Fi(D)378 2324 y Fr(0)424 2287 y Fw(\024)419 2310 y(\000)476 2325 y Fq(k)518 2310 y Fw(\()p Fs(j)595 2277 y Fq(t)626 2310 y Fw(\))p Fs(u)p Fw(\))p Ft(j)h(\024)953 2216 y Fp(\020)1002 2310 y Fw(\()p Fs(u;)15 b(R)1198 2325 y Fq(k)1242 2310 y Fw(\()p Fs(j)1319 2277 y Fq(t)1349 2310 y Fs(;)g Ft(j)p Fs(r)1458 2277 y Fq(t)1455 2333 y Fr(0)1496 2310 y Ft(j)p Fw(\))p Fs(u)p Fw(\))21 b(+)f(\()p Fs(u;)15 b(R)1951 2325 y Fq(k)r FF(\000)p Fr(1)2084 2310 y Fw(\()p Fs(j)2161 2277 y Fq(t)2192 2310 y Fs(;)g Ft(j)p Fs(r)2301 2277 y Fq(t)2298 2333 y FF(1)2373 2310 y Ft(j)p Fw(\))p Fs(u)p Fw(\))2520 2216 y Fp(\021)2581 2212 y Fm(1)p 2581 2224 31 4 v 2581 2265 a(2)953 2546 y Ft(\002)1024 2451 y Fp(\020)1073 2546 y Fs(\013)1131 2513 y FF(\000)p Fq(k)1229 2546 y Fw(\()p Fs(v)s(;)g(R)1420 2560 y Fr(0)1461 2546 y Fw(\()p Fs(j)1538 2513 y Fq(t)1568 2546 y Fs(;)g Ft(j)p Fs(r)1677 2513 y Fq(t)1674 2569 y Fr(0)1714 2546 y Ft(j)p Fw(\))21 b Ft(\012)f Fw(1)-20 b(l)1937 2564 y Fr(\000\()p Fk(h)2044 2545 y Fm(e)2076 2564 y Fr(\))2107 2546 y Fs(v)s Fw(\))21 b(+)f(\()p Fs(v)s(;)15 b Fw(1)-20 b(l)2475 2564 y FF(K\012)p Fr(\000\()p Fk(h)2691 2545 y Fm(e)2723 2564 y Fr(\))2774 2546 y Ft(\012)20 b Fs(R)2934 2561 y Fq(k)r FF(\000)p Fr(1)3067 2546 y Fw(\()p Fs(j)3144 2513 y Fq(t)3175 2546 y Fs(;)15 b Ft(j)p Fs(r)3284 2513 y Fq(t)3281 2568 y FF(1)3356 2546 y Ft(j)p Fw(\))p Fs(v)s Fw(\))3498 2451 y Fp(\021)3559 2447 y Fm(1)p 3559 2459 V 3559 2500 a(2)3604 2546 y Fs(:)0 2865 y Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(T)-8 b(o)30 b(ligh)m(ten)f(notation)h(w)m(e)h(will)c(suppress)h(the)h(exp)s(onen)m (t)h Fs(t)g Fw(in)e Fs(j)2551 2832 y Fq(t)2546 2887 y(\017)2582 2865 y Fs(;)15 b(r)2666 2832 y Fq(t)2663 2887 y(\017)2696 2865 y Fw(.)40 b(On)29 b(the)h Fs(n)p Ft(\000)p Fw(particle)e(sector,)0 2978 y(w)m(e)j(ha)m(v)m(e)g(\(see)h(Subsect.)40 b(2.2\):)930 3246 y(\024)924 3269 y(\000)981 3284 y Fq(k)1024 3269 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))26 b(=)f Fs(I)1298 3284 y Fq(k)1356 3125 y Fp( )1463 3213 y Fs(k)1463 3326 y(n)1559 3125 y Fp(!)1635 3121 y Fm(1)p 1635 3133 V 1635 3174 a(2)1695 3269 y Fs(j)1732 3283 y Fr(0)1792 3269 y Ft(\012)20 b(\001)15 b(\001)g(\001)21 b(\012)f Fs(j)2137 3283 y Fr(0)1695 3322 y Fp(|)p 1732 3322 167 10 v 167 w({z)p 1973 3322 V 167 w(})1867 3407 y Fq(n)p FF(\000)p Fq(k)2192 3269 y Ft(\012)15 b Fs(j)2315 3283 y FF(1)2410 3269 y Ft(\012)20 b(\001)15 b(\001)g(\001)21 b(\012)f Fs(j)2755 3283 y FF(1)2278 3322 y Fp(|)p 2315 3322 202 10 v 202 w({z)p 2591 3322 V 202 w(})2535 3407 y Fq(k)2830 3269 y Fs(;)0 3550 y Fw(so)389 3715 y(\024)372 3738 y Fi(D)452 3752 y Fr(0)497 3715 y Fw(\024)491 3738 y(\000)548 3753 y Fq(k)591 3738 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))27 b(=)82 b Fs(I)923 3753 y Fq(k)981 3594 y Fp( )1088 3682 y Fs(k)1088 3794 y(n)1184 3594 y Fp(!)1260 3590 y Fm(1)p 1260 3602 31 4 v 1260 3643 a(2)1320 3674 y Fp(P)1407 3700 y Fq(n)p FF(\000)p Fq(k)1407 3764 y(i)p Fr(=1)1563 3738 y Fs(j)1600 3752 y Fr(0)1660 3738 y Ft(\012)20 b(\001)15 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2711 2704 V 2711 2745 a(2)2755 2790 y Fs(:)0 3060 y Fw(By)31 b(the)f(iden)m(tit)m(y)g(\(7.5\))i(w)m(e)f(ha)m(v)m(e:)1229 3185 y Fp( )1336 3273 y Fs(k)1336 3386 y(n)1432 3185 y Fp(!)1513 3265 y(P)1601 3291 y Fq(n)1601 3352 y(i)p Fr(=1)1735 3329 y Ft(k)p Fs(A)1848 3343 y Fq(i)1876 3329 y Fs(u)p Ft(k)1973 3296 y Fr(2)1075 3513 y Fw(=)83 b(\()p Fs(u;)15 b Fw(d)p Fs(P)1465 3528 y Fq(k)1509 3513 y Fw(\()p Fs(j;)g Ft(j)p Fs(r)s Ft(j)p Fw(\))p Fs(u)p Fw(\))1075 3697 y(=)83 b(\()p Fs(u;)15 b(R)1425 3712 y Fq(k)1469 3697 y Fw(\()p Fs(j;)g Ft(j)p Fs(r)1647 3711 y Fr(0)1688 3697 y Ft(j)p Fw(\))p Fs(u)p Fw(\))21 b(+)f(\()p Fs(u;)15 b(R)2143 3712 y Fq(k)r FF(\000)p Fr(1)2276 3697 y Fw(\()p Fs(j;)g Ft(j)p Fs(r)2454 3711 y FF(1)2531 3697 y Ft(j)p Fw(\))p Fs(u)p Fw(\))p Fs(;)0 3898 y Fw(where)30 b Fs(R)332 3913 y Fq(k)375 3898 y Fw(\()p Fs(f)5 b(;)15 b(g)s Fw(\))31 b(is)e(de\014ned)g(in)g(\(6.9\).)43 b(On)29 b(the)i(other)g(hand)793 4036 y Fp(P)880 4062 y Fq(n)880 4123 y(i)p Fr(=1)1014 4100 y Ft(k)p 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4924 y Fw(and)27 b Fs(v)h Ft(2)d(K)16 b(\012)3368 4860 y Fp(N)3460 4886 y Fq(n)p FF(\000)p Fq(k)3460 4947 y Fr(s)3616 4924 y Fl(h)3659 4891 y Fr(e)3709 4924 y Ft(\012)0 4972 y Fp(N)92 4999 y Fq(k)92 5060 y Fr(s)150 5037 y Fl(h)193 5004 y Fr(e)229 5037 y Fw(.)41 b(T)-8 b(o)30 b(pro)m(v)m(e)i(the)e(lemma)g(for)g (arbitrary)f Fs(u)d Ft(2)e(H)1890 5004 y Fr(e)1926 5037 y Fs(;)15 b(v)29 b Ft(2)24 b(H)2202 5004 y Fr(ext)2333 5037 y Fw(w)m(e)30 b(set)1199 5241 y(\005)1267 5255 y Fq(n)1340 5241 y Fw(=)25 b(1)-20 b(l)1486 5259 y FF(f)p Fq(n)p FF(g)1604 5241 y Fw(\()p Fs(N)1722 5203 y Fr(e)1757 5241 y Fw(\))p Fs(;)36 b Fw(\005)1921 5203 y Fr(ext)1921 5263 y Fq(n)2047 5241 y Fw(=)25 b(1)-20 b(l)2194 5259 y FF(f)p Fq(n)p FF(g)2311 5241 y Fw(\()p Fs(N)2429 5203 y Fr(e)2419 5263 y(ext)2520 5241 y Fw(\))p Fs(;)1844 5517 y Fw(52)p eop %%Page: 53 53 53 52 bop 0 162 a Fw(and)30 b(note)h(that)1379 252 y(\024)1362 275 y Fi(D)1442 289 y Fr(0)1487 252 y Fw(\024)1482 275 y(\000)1539 290 y Fq(k)1581 275 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\)\005)1761 289 y Fq(n)1835 275 y Fw(=)25 b(\005)1999 238 y Fr(ext)1999 298 y Fq(n)2117 252 y Fw(\024)2099 275 y Fi(D)2185 252 y Fw(\024)2179 275 y(\000)2236 290 y Fq(k)2279 275 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Fs(:)0 442 y Fw(The)24 b(estimate)i(for)e (arbitrary)f Fs(u;)15 b(v)29 b Fw(follo)m(ws)23 b(from)i(the)f (estimate)i(for)e(\005)2431 456 y Fq(n)2478 442 y Fs(u;)15 b Fw(\005)2638 409 y Fr(ext)2638 464 y Fq(n)2739 442 y Fs(v)28 b Fw(and)c(the)h(Cauc)m(h)m(y-Sc)m(h)m(w)m(arz)0 554 y(inequalit)m(y)-8 b(.)39 b Fh(2)0 798 y Fv(7.3)112 b(Num)m(b)s(er)37 b(of)h(asymptotically)d(free)i(particles)0 969 y Fw(W)-8 b(e)32 b(start)e(with)g(an)g(extension)g(of)g(the)h (results)e(in)g(Sect.)41 b(5)31 b(to)g Ft(H)2262 936 y Fr(e)2261 992 y(ext)2361 969 y Fw(.)41 b(W)-8 b(e)32 b(set)910 1173 y Fs(B)984 1135 y Fr(ext)979 1195 y(c)16 b Fq(t)1109 1173 y Fw(=)25 b Fs(B)1274 1187 y Fr(c)16 b Fq(t)1371 1173 y Ft(\012)k Fw(1)-20 b(l)1513 1191 y Fr(\000\()p Fk(h)1620 1172 y Fm(e)1652 1191 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b Fw(0)p Fu(,)39 b(\(I'2\))g(for)f Fs(\026)c(>)h Fw(1)j Fu(and)g(pick)g Fs(\032)g Fu(in)f(\(5.2\))i(such)f(that)0 2491 y Fs(\032)p Fw(\(1)21 b(+)f Fs(\017)276 2505 y Fr(0)315 2491 y Fw(\))26 b Fs(>)f Fw(1)p Fu(.)42 b(Then:)141 2604 y(i\))33 b(for)g(e)-5 b(ach)33 b Fs(\025)26 b Ft(2)p 779 2604 4 56 v 24 w Fw(C)p Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)948 2568 y FF(\000)1040 2604 y Fu(the)33 b(limit)837 2807 y Fw(s-)62 b(lim)918 2862 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1155 2807 y Fw(e)1195 2770 y Fr(i)p Fq(tH)1303 2746 y Fm(e)1298 2790 y(ext)1390 2807 y Fw(\()p Fs(B)1499 2770 y Fr(ext)1494 2830 y(c)16 b Fq(t)1619 2807 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1798 2770 y FF(\000)p Fr(1)1892 2807 y Fw(e)1932 2770 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2095 2746 y Fm(e)2090 2790 y(ext)2208 2807 y Fw(=:)25 b Fs(R)2399 2769 y Fr(+)2398 2830 y(c)16 b(ext)2545 2807 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))33 b Fu(exists)q Fs(:)0 3054 y Fu(ii\))f Fw([)p Fs(R)220 3016 y Fr(+)219 3077 y(c)17 b(ext)367 3054 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(;)e(L)592 3068 y Fr(ext)693 3054 y Fw(])26 b(=)f([)p Fs(R)935 3016 y Fr(+)934 3077 y(c)16 b(ext)1081 3054 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(;)f(H)1327 3021 y Fr(e)1320 3076 y(ext)1421 3054 y Fw(])26 b(=)f(0)p Fu(.)141 3167 y(iii\))32 b(the)h(limit)1199 3280 y Fw(s-)19 b(lim)1280 3336 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1430 3280 y Fs(\017)1467 3242 y FF(\000)p Fr(1)1561 3280 y Fs(R)1631 3242 y Fr(+)1630 3303 y(c)d(ext)1777 3280 y Fw(\()p Fs(\017)1849 3242 y FF(\000)p Fr(1)1944 3280 y Fw(\))26 b(=:)2146 3257 y(^)2126 3280 y Fs(P)2197 3242 y Fr(+)2184 3303 y(c)16 b(ext)2364 3280 y Fu(exists)0 3470 y(and)34 b(is)e(an)h(ortho)-5 b(gonal)36 b(pr)-5 b(oje)g(ction.)141 3583 y(iv\))560 3700 y Fw([)p Fs(H)668 3667 y Fr(e)661 3722 y(ext)761 3700 y Fs(;)821 3677 y Fw(^)801 3700 y Fs(P)872 3661 y Fr(+)859 3722 y(c)16 b(ext)1007 3700 y Fw(])25 b(=)g([)p Fs(L)1240 3714 y Fr(ext)1340 3700 y Fs(;)1401 3677 y Fw(^)1380 3700 y Fs(P)1451 3661 y Fr(+)1438 3722 y(c)17 b(ext)1586 3700 y Fw(])26 b(=)f(0)p Fs(;)560 3891 y(u)g Fw(=)753 3868 y(^)733 3891 y Fs(P)804 3852 y Fr(+)791 3913 y(c)16 b(ext)938 3891 y Fs(u)26 b Ft(,)f Fw(s-)15 b(lim)1339 3905 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1493 3891 y Fw(s-)g(lim)1701 3905 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1942 3891 y Fw(e)1982 3858 y Fr(i)p Fq(tH)2090 3834 y Fm(e)2085 3878 y(ext)2177 3891 y Fw(\()p Fs(B)2286 3858 y Fr(ext)2281 3913 y(c)h Fq(t)2406 3891 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2585 3858 y FF(\000)p Fr(1)2679 3891 y Fw(e)2719 3858 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2882 3834 y Fm(e)2877 3878 y(ext)2969 3891 y Fs(u)26 b Fw(=)f Fs(u:)0 4198 y Fi(Theorem)69 b(7.6)46 b Fu(Assume)37 b(\(I'0\),)j(\(I'1\))e (for)h Fs(\017)1662 4212 y Fr(0)1736 4198 y Fs(>)34 b Fw(0)p Fu(,)39 b(\(I'2\))g(for)f Fs(\026)c(>)h Fw(1)j Fu(and)g(pick)g Fs(\032)g Fu(in)f(\(5.2\))i(such)f(that)0 4311 y Fs(\032)p Fw(\(1)21 b(+)f Fs(\017)276 4325 y Fr(0)315 4311 y Fw(\))26 b Fs(>)f Fw(1)p Fu(.)42 b(L)-5 b(et)33 b(for)g Fw(0)26 b Fs(<)f Fw(c)g Fs(<)g Fw(1)p Fu(:)1118 4514 y Fs(P)1189 4476 y Fr(+)1176 4537 y(c)16 b(ext)1348 4514 y Fw(:=)40 b(inf)1470 4574 y Fr(c)p Fq(<)p Fr(c)1587 4555 y Fo(0)1645 4491 y Fw(^)1625 4514 y Fs(P)1696 4476 y Fr(+)1683 4542 y(c)1714 4523 y Fo(0)1737 4542 y Fr(ext)1837 4514 y Fs(;)c Ft(H)1976 4476 y Fr(e+)1975 4537 y(c)16 b(ext)2147 4514 y Fw(:=)25 b(Ran)p Fs(P)2502 4476 y Fr(+)2489 4537 y(c)16 b(ext)2637 4514 y Fs(:)0 4748 y Fu(Then:)141 4861 y(i\))33 b Fs(P)310 4823 y Fr(+)297 4884 y(c)16 b(ext)477 4861 y Fu(is)32 b(an)i(ortho)-5 b(gonal)35 b(pr)-5 b(oje)g(ction)35 b(indep)-5 b(endent)34 b(on)f(the)g(choic)-5 b(e)33 b(of)g(the)g(function)g Fs(f)42 b Fu(in)32 b(\(5.2\).)1209 5065 y Fs(ii)p Fw(\))21 b([)p Fs(H)1435 5027 y Fr(e)1428 5087 y(ext)1528 5065 y Fs(;)15 b(P)1639 5026 y Fr(+)1626 5087 y(c)i(ext)1774 5065 y Fw(])25 b(=)g([)p Fs(L)2007 5079 y Fr(ext)2108 5065 y Fs(;)15 b(P)2219 5026 y Fr(+)2206 5087 y(c)h(ext)2354 5065 y Fw(])25 b(=)g(0)p Fs(:)141 5268 y Fu(iii\))32 b Ft(H)372 5230 y Fr(e+)371 5291 y(c)16 b(ext)544 5268 y Fw(=)25 b Ft(H)718 5235 y Fr(e+)717 5290 y(c)828 5268 y Ft(\012)20 b Fw(\000\()p Fl(h)1054 5235 y Fr(e)1090 5268 y Fw(\))p Fu(.)1844 5517 y Fw(53)p eop %%Page: 54 54 54 53 bop 0 162 a Fi(Pro)s(of.)62 b Fw(parts)34 b Fu(i\))g Fw(and)g Fu(ii\))h Fw(can)g(b)s(e)e(sho)m(wn)h(exactly)i(as)e(in)g (Thm.)52 b(5.6.)i(T)-8 b(o)35 b(pro)m(v)m(e)g Fu(iii\))g Fw(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)g(to)h(sho)m(w)0 275 y(that)31 b(for)f(0)c Fs(<)f(c)g Ft(\024)g Fw(1)1487 365 y(^)1467 388 y Fs(P)1538 350 y Fr(+)1525 411 y(c)16 b(ext)1698 388 y Fw(=)1814 365 y(^)1794 388 y Fs(P)1865 351 y Fr(e+)1852 411 y(c)1975 388 y Ft(\012)k Fw(1)-20 b(l)2117 407 y Fr(\000\()p Fk(h)2224 388 y Fm(e)2256 407 y Fr(\))2287 388 y Fs(;)0 555 y Fw(whic)m(h)29 b(means)898 668 y(s-)20 b(lim)980 725 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1129 668 y Fs(\017)1166 630 y FF(\000)p Fr(1)1260 668 y Fs(R)1330 630 y Fr(+)1329 691 y(c)c(ext)1477 668 y Fw(\()p Fs(\017)1549 630 y FF(\000)p Fr(1)1643 668 y Fw(\))26 b(=)f(s-)19 b(lim)1881 725 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)2031 668 y Fs(\017)2068 630 y FF(\000)p Fr(1)2162 668 y Fs(R)2232 630 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2146 y Fr(0)1736 2132 y Fs(>)34 b Fw(0)p Fu(,)39 b(\(I'2\))g(for)f Fs(\026)c(>)h Fw(1)j Fu(and)g(pick)g Fs(\032)g Fu(in)f(\(5.2\))i(such)f(that)0 2245 y Fs(\032)p Fw(\(1)23 b(+)e Fs(\017)279 2259 y Fr(0)319 2245 y Fw(\))30 b Fs(>)f Fw(1)p Fu(.)49 b(Fix)36 b Fw(0)30 b Fs(<)f Fw(c)h Fs(<)f Fw(1)36 b Fu(and)g Fw(c)30 b Fs(<)f Fw(c)1586 2212 y FF(0)1639 2245 y Fs(<)g Fw(1)p Fu(.)50 b(L)-5 b(et)35 b Fs(j)2063 2212 y Fq(t)2123 2245 y Fw(=)29 b(\()p Fs(j)2300 2212 y Fq(t)2295 2268 y Fr(0)2335 2245 y Fs(;)15 b(j)2417 2212 y Fq(t)2412 2267 y FF(1)2488 2245 y Fw(\))35 b Fu(b)-5 b(e)35 b(c)-5 b(onstructe)g(d)37 b(as)f(in)f(\(7.1\))h(with)0 2357 y(the)d(c)-5 b(onstant)34 b Fw(c)553 2324 y FF(0)577 2357 y Fu(.)42 b(Then:)141 2470 y(i\))33 b(the)g(limit)861 2583 y Fs(W)960 2545 y Fr(+)947 2611 y Fq(k)1019 2583 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))27 b(:=)e(s-)63 b(lim)1360 2638 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1597 2583 y Fw(e)1637 2546 y Fr(i)p Fq(tH)1745 2522 y Fm(e)1740 2566 y(ext)1837 2560 y Fw(\024)1832 2583 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Fr(e)2448 3176 y Fw(\);)141 3343 y Fu(iv\))33 b(let)f Fs(f)453 3357 y Fr(0)525 3343 y Fu(as)h(in)f(\(6.1\))i(with)g Fs(f)1223 3357 y Fr(0)1262 3343 y Fs(j)1299 3357 y Fr(0)1364 3343 y Fw(=)25 b Fs(j)1497 3357 y Fr(0)1537 3343 y Fu(.)41 b(Then)1229 3547 y Fs(W)1328 3509 y Fr(+)1315 3576 y Fq(k)1386 3547 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))27 b(=)e(\000)1678 3509 y Fr(e+)1678 3576 y(c)1709 3557 y Fo(0)1768 3547 y Fw(\()p Fs(f)1848 3561 y Fr(0)1887 3547 y Fw(\))c Ft(\012)f Fw(1)-20 b(l)2084 3566 y Fr(\000\()p Fk(h)2191 3547 y Fm(e)2223 3566 y Fr(\))2255 3547 y Fs(W)2354 3509 y Fr(+)2341 3576 y Fq(k)2412 3547 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\);)141 3752 y Fu(v\))33 b(for)g(al)5 b(l)33 b Fw(c)568 3719 y FF(00)636 3752 y Fs(>)25 b Fw(c)p Fu(,)33 b Fs(\025)25 b(>)g Fw(0)33 b Fu(we)g(have:)1221 3956 y Fs(R)1291 3918 y Fr(+)1290 3984 y(c)1321 3966 y Fo(00)1362 3984 y Fr(ext)1462 3956 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(W)1684 3918 y Fr(+)1671 3984 y Fq(k)1744 3956 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))26 b(=)f Fs(W)2077 3918 y Fr(+)2064 3984 y Fq(k)2136 3956 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Fs(R)2318 3918 y Fr(e+)2317 3984 y(c)2348 3966 y Fo(00)2409 3956 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\);)141 4160 y Fu(vi\))33 b Fs(W)380 4122 y Fr(+)367 4188 y Fq(k)438 4160 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Ft(H)628 4127 y Fr(e+)627 4183 y(c)745 4160 y Ft(\032)25 b(H)919 4122 y Fr(e+)918 4183 y(c)15 b(ext)1065 4160 y Fu(;)141 4273 y(vii\))32 b(the)h(limit)1035 4386 y Fw(s-)63 b(lim)1116 4441 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1353 4386 y Fw(e)1393 4348 y Fr(i)p Fq(tH)1501 4325 y Fm(e)1543 4363 y Fw(\024)1537 4386 y(\000)1594 4401 y Fq(k)1637 4386 y Fw(\()p Fs(j)1714 4348 y Fq(t)1744 4386 y Fw(\))1779 4348 y FF(\003)1819 4386 y Fw(e)1859 4348 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2022 4325 y Fm(e)2017 4369 y(ext)2141 4386 y Fu(exists)33 b(on)g Ft(H)2598 4348 y Fr(e+)2597 4409 y(c)16 b(ext)0 4596 y Fu(and)34 b(e)-5 b(quals)33 b Fs(W)543 4558 y Fr(+)530 4625 y Fq(k)601 4596 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))713 4563 y FF(\003)754 4596 y Fu(.)0 4809 y Fi(Pro)s(of.)59 b Fw(Let)34 b(us)f(\014rst)g(pro)m(v)m(e)i Fu(i\))p Fw(.)50 b(Note)35 b(\014rst)e(that)i(since)e Fs(j)2090 4776 y Fr(2)2085 4832 y(0)2152 4809 y Fw(+)22 b Fs(\013j)2345 4776 y Fr(2)2340 4831 y FF(1)2447 4809 y Ft(\024)30 b Fw(1)35 b(w)m(e)f(ha)m(v)m(e)h Ft(k)3029 4786 y Fw(\024)3023 4809 y(\000)3080 4824 y Fq(k)3123 4809 y Fw(\()p Fs(j)3200 4776 y Fq(t)3230 4809 y Fw(\))p Ft(k)d(\024)e Fs(\013)3501 4776 y FF(\000)p Fq(k)3633 4809 y Fw(and)0 4922 y(hence)258 4899 y(\024)253 4922 y(\000)310 4937 y Fq(k)352 4922 y Fw(\()p Fs(j)429 4889 y Fq(t)460 4922 y Fw(\))g(is)g(uniformly)d(b)s (ounded)h(in)h Fs(t)p Fw(.)141 5035 y(By)h(the)f(de\014nition)e(of)i Ft(H)1021 5002 y Fr(e+)1020 5057 y(c)1140 5035 y Fw(it)g(su\016ces)g (to)h(sho)m(w)f(the)g(existence)h(of)f(the)g(limit)e(on)i(Ran)3194 5012 y(^)3174 5035 y Fs(P)3245 4997 y Fr(e+)3232 5063 y(c)3263 5044 y Fo(0)3335 5035 y Fw(.)41 b(Changing)0 5158 y(notation)30 b(w)m(e)h(ma)m(y)g(replace)f(c)1042 5125 y FF(0)1096 5158 y Fw(b)m(y)g(c.)41 b(By)31 b(Thm.)39 b(5.5)31 b(w)m(e)g(ma)m(y)g(restrict)f(ourselv)m(es)g(to)h(v)m(ectors)g Fs(u)26 b Ft(2)f Fw(Ran)3670 5135 y(^)3649 5158 y Fs(P)3720 5125 y Fr(+)3707 5180 y(c)1844 5517 y Fw(54)p eop %%Page: 55 55 55 54 bop 0 162 a Fw(suc)m(h)31 b(that)g Fs(u)26 b Fw(=)g Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)p Fw(,)32 b Fs(\037)26 b Ft(2)f Fs(C)1117 129 y FF(1)1110 185 y Fr(0)1191 162 y Fw(\(I)-15 b(R\).)43 b(Arguing)30 b(as)h(in)e(the)i(pro)s(of)f(of)i (Thm.)41 b(6.4,)32 b(it)e(su\016ces)h(to)h(sho)m(w)e(the)0 275 y(existence)h(of)1280 388 y(lim)1233 443 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1469 388 y Fw(e)1509 351 y Fr(i)p Fq(tH)1617 327 y Fm(e)1612 371 y(ext)1710 365 y Fw(\024)1704 388 y(\000)1761 403 y Fq(k)1804 388 y Fw(\()p Fs(j)1881 351 y Fq(t)1911 388 y Fw(\)e)1986 351 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2149 327 y Fm(e)2186 388 y Fs(R)2256 351 y Fr(e+)2255 411 y(c)2346 388 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(u;)0 588 y Fw(for)k Fs(\025)e(>)g Fw(0.)55 b(W)-8 b(e)36 b(pic)m(k)f(no)m(w) g Fs(\016)i(>)c Fw(0)i(suc)m(h)g(that)g Fs(\032)e(>)g(\016)s Fw(,)38 b Fs(\026)32 b(>)h(\016)s(=)p Fw(2)k(and)d Fs(\016)s Fw(\(1)25 b(+)e Fs(\017)2794 602 y Fr(0)2834 588 y Fw(\))33 b Fs(>)g Fw(1,)k(and)d(consider)g(the)0 701 y(observ)-5 b(able)30 b Fs(N)526 668 y Fr(e)516 724 y Fq(t)591 701 y Fw(constructed)h(in)e(Subsect.)40 b(4.2.)i(If)30 b Fs(F)38 b Ft(2)25 b Fs(C)2084 668 y FF(1)2077 724 y Fr(0)2158 701 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fs(;)15 b(F)40 b Ft(\021)24 b Fw(1)31 b(near)g(0)f(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)h(b)m(y)e(Prop.)40 b(4.5:)405 948 y(e)445 910 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)608 887 y Fm(e)644 948 y Fs(R)714 910 y Fr(e+)713 970 y(c)804 948 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(u)26 b Fw(=)f(e)1141 910 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1304 887 y Fm(e)1340 948 y Fs(\037)1397 910 y Fr(2)1436 948 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(R)1638 910 y Fr(e+)1637 970 y(c)1729 948 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(u)h Fw(=)f Fs(F)13 b Fw(\()2142 886 y Fs(N)2225 853 y Fr(e)2215 909 y Fq(t)p 2142 927 119 4 v 2166 1010 a Fs(t)2199 984 y Fq(\016)2271 948 y Fw(\))p Fs(\037)2363 910 y Fr(2)2402 948 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2574 910 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2737 887 y Fm(e)2774 948 y Fs(R)2844 910 y Fr(+)2843 970 y(c)2903 948 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(u)21 b Fw(+)e Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(:)0 1173 y Fw(Using)30 b(again)g(Lemmas)g(7.2,)i(4.4)g (and)d(Prop.)40 b(4.5)32 b(w)m(e)f(ha)m(v)m(e:)937 1370 y(e)977 1337 y Fr(i)p Fq(tH)1085 1314 y Fm(e)1080 1358 y(ext)1178 1347 y Fw(\024)1172 1370 y(\000)1229 1385 y Fq(k)1272 1370 y Fw(\()p Fs(j)1349 1337 y Fq(t)1379 1370 y Fw(\)e)1454 1337 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1617 1314 y Fm(e)1654 1370 y Fs(R)1724 1337 y Fr(e+)1723 1393 y(c)1814 1370 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(u)783 1569 y Fw(=)83 b(e)977 1536 y Fr(i)p Fq(tH)1085 1512 y Fm(e)1080 1556 y(ext)1172 1569 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)1326 1583 y Fr(ext)1426 1569 y Fw(\))1467 1546 y(\024)1461 1569 y(\000)1518 1584 y Fq(k)1561 1569 y Fw(\()p Fs(j)1638 1536 y Fq(t)1669 1569 y Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()1820 1520 y Fq(N)1883 1497 y Fm(e)1876 1541 y Fj(t)p 1821 1547 95 4 v 1838 1604 a Fq(t)1863 1585 y Fj(\016)1925 1569 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2189 1536 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2352 1512 y Fm(e)2389 1569 y Fs(R)2459 1536 y Fr(e+)2458 1591 y(c)2549 1569 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(u)21 b Fw(+)f Fs(o)p Fw(\(1\))783 1753 y(=)83 b(e)977 1720 y Fr(i)p Fq(tH)1085 1697 y Fm(e)1080 1741 y(ext)1172 1753 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)1326 1767 y Fr(ext)1426 1753 y Fw(\))1467 1730 y(\024)1461 1753 y(\000)1518 1768 y Fq(k)1561 1753 y Fw(\()p Fs(j)1638 1720 y Fq(t)1669 1753 y Fw(\)e)1744 1720 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1907 1697 y Fm(e)1943 1753 y Fs(R)2013 1720 y Fr(e+)2012 1776 y(c)2103 1753 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(u)21 b Fw(+)f Fs(o)p Fw(\(1\))783 1938 y(=)83 b(e)977 1905 y Fr(i)p Fq(tH)1085 1882 y Fm(e)1080 1926 y(ext)1172 1938 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)1326 1952 y Fr(ext)1426 1938 y Fw(\))1467 1915 y(\024)1461 1938 y(\000)1518 1953 y Fq(k)1561 1938 y Fw(\()p Fs(j)1638 1905 y Fq(t)1669 1938 y Fw(\)\()p Fs(B)1808 1952 y Fr(c)17 b Fq(t)1905 1938 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))2084 1905 y FF(\000)p Fr(1)2179 1938 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2408 1905 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2571 1882 y Fm(e)2608 1938 y Fs(u)g Fw(+)g Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(;)0 1654 y Fw(\(7.7\))0 2145 y(where)30 b(in)f(the)i(last)f(step)g(w)m(e)h(used)f(the)g(de\014nition)e(of)j Fs(R)1966 2112 y Fr(e+)1965 2167 y(c)2056 2145 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\).)141 2258 y(F)-8 b(or)31 b Fs(u)356 2272 y Fr(1)421 2258 y Ft(2)25 b(D)s Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))20 b Ft(\\)g(D)s Fw(\()p Fs(N)1004 2225 y Fr(e)1040 2258 y Fw(\),)30 b Fs(u)1182 2272 y Fr(2)1247 2258 y Ft(2)25 b(D)s Fw(\()p Fs(L)1503 2272 y Fr(ext)1603 2258 y Fw(\))c Ft(\\)f(D)s Fw(\()p Fs(N)1931 2225 y Fr(e)1921 2280 y(ext)2021 2258 y Fw(\))30 b(the)h(function)903 2462 y(I)-15 b(R)988 2424 y Fr(+)1072 2462 y Ft(3)25 b Fs(t)g Ft(7!)g Fw(\(e)1407 2424 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1570 2401 y Fm(e)1565 2445 y(ext)1657 2462 y Fs(u)1709 2476 y Fr(2)1749 2462 y Fs(;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(L)1943 2476 y Fr(ext)2043 2462 y Fw(\))2084 2439 y(\024)2078 2462 y(\000)2135 2477 y Fq(k)2178 2462 y Fw(\()p Fs(j)2255 2424 y Fq(t)2286 2462 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2550 2424 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2713 2401 y Fm(e)2750 2462 y Fs(u)2802 2476 y Fr(1)2841 2462 y Fw(\))0 2666 y(is)29 b Fs(C)163 2633 y Fr(1)233 2666 y Fw(with)g(deriv)-5 b(ativ)m(e:)929 2846 y(\(e)1004 2813 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1167 2790 y Fm(e)1162 2834 y(ext)1255 2846 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)1409 2860 y Fr(ext)1509 2846 y Fw(\))p Fs(u)1596 2860 y Fr(2)1636 2846 y Fs(;)1694 2823 y Fw(\024)1676 2846 y Fi(D)1762 2823 y Fw(\024)1756 2846 y(\000)1813 2861 y Fq(k)1856 2846 y Fw(\()p Fs(j)1933 2813 y Fq(t)1964 2846 y Fw(\)\()p Fs(B)2103 2860 y Fr(c)16 b Fq(t)2200 2846 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2379 2813 y FF(\000)p Fr(1)2474 2846 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2703 2813 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2866 2790 y Fm(e)2902 2846 y Fs(u)2954 2860 y Fr(1)2994 2846 y Fw(\))776 3031 y(+)82 b(\(e)1004 2998 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1167 2975 y Fm(e)1162 3019 y(ext)1255 3031 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)1409 3045 y Fr(ext)1509 3031 y Fw(\))p Fs(u)1596 3045 y Fr(2)1636 3031 y Fs(;)1682 3008 y Fw(\024)1676 3031 y(\000)1733 3046 y Fq(k)1776 3031 y Fw(\()p Fs(j)1853 2998 y Fq(t)1883 3031 y Fw(\))p Fi(D)p Fw(\()p Fs(B)2102 3045 y Fr(c)17 b Fq(t)2200 3031 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))2379 2998 y FF(\000)p Fr(1)2474 3031 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2703 2998 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2866 2975 y Fm(e)2902 3031 y Fs(u)2954 3045 y Fr(1)2994 3031 y Fw(\))751 3215 y(=:)82 b Fs(I)969 3229 y Fr(1)1009 3215 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))21 b(+)f Fs(I)1264 3229 y Fr(2)1303 3215 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(:)0 3417 y Fw(Let)31 b(us)f(\014rst)f(estimate)i Fs(I)871 3431 y Fr(2)911 3417 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\).)41 b(As)30 b(in)f(Prop.)40 b(5.1)32 b(w)m(e)f(ha)m(v)m(e:)522 3621 y Fi(D)p Fw(\()p Fs(B)706 3635 y Fr(c)16 b Fq(t)803 3621 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))982 3588 y FF(\000)p Fr(1)1077 3621 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))26 b(=)f Ft(\000)p Fw(\()p Fs(B)1563 3635 y Fr(c)16 b Fq(t)1659 3621 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1838 3588 y FF(\000)p Fr(1)1933 3621 y Fw(d\000\()p Fs(c)2115 3635 y Fq(t)2145 3621 y Fw(\)\()p Fs(B)2284 3635 y Fr(c)c Fq(t)2381 3621 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2560 3588 y FF(\000)p Fr(1)2655 3621 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))h(+)e Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)3095 3588 y FF(\000)p Fq(\026)3197 3621 y Fw(\))p Fs(:)0 3834 y Fw(F)-8 b(rom)32 b(the)g(expression)e(of)947 3811 y(\024)942 3834 y(\000)999 3849 y Fq(k)1041 3834 y Fw(\()p Fs(j)1118 3801 y Fq(t)1149 3834 y Fw(\))i(in)e(Subsect.)43 b(2.2)33 b(and)e(the)h(fact)g(that)g Fs(j)2599 3801 y Fq(t)2661 3834 y Fw(comm)m(utes)g(with)f Fs(b)3337 3848 y Fq(t)3398 3834 y Fw(and)g Fs(c)3615 3848 y Fq(t)3676 3834 y Fw(w)m(e)0 3947 y(see)g(that)672 4104 y(\024)666 4127 y(\000)723 4142 y Fq(k)766 4127 y Fw(\()p Fs(j)843 4094 y Fq(t)873 4127 y Fw(\)\()p Fs(B)1012 4141 y Fr(c)17 b Fq(t)1110 4127 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1289 4094 y FF(\000)p Fr(1)1384 4127 y 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Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Ft(k)884 2423 y(\024)83 b Fs(C)7 b Fw(\()p Ft(k)p Fw(\(1)21 b Ft(\000)f Fs(j)1424 2390 y Fq(t)1419 2446 y Fr(0)1459 2423 y Fw(\))p Fs(v)1541 2390 y Fr(e)1577 2423 y Fw(\()p Fs(K)27 b Fw(+)20 b(1\))1887 2387 y FF(\000)1952 2360 y Fm(1)p 1953 2372 V 1953 2414 a(2)1997 2423 y Ft(k)h Fw(+)f Ft(k)p Fs(j)2241 2390 y Fq(t)2236 2446 y FF(1)2312 2423 y Fs(v)2359 2390 y Fr(e)2394 2423 y Fw(\()p Fs(K)28 b Fw(+)20 b(1\))2705 2387 y FF(\000)2770 2360 y Fm(1)p 2770 2372 V 2770 2414 a(2)2815 2423 y Ft(k)p Fw(\))884 2607 y Ft(\024)83 b Fs(C)7 b(t)1143 2574 y FF(\000)p Fq(\026)1243 2607 y Fs(;)0 2415 y Fw(\(7.9\))0 2791 y(b)m(y)30 b Fu(\(I'2\))p Fw(.)42 b(Next)31 b(w)m(e)g(apply)e(Lemma)h(7.3)i(and)d (the)i(fact)g(that)743 2969 y(\024)726 2992 y Fi(D)806 3006 y Fr(0)851 2969 y Fw(\024)845 2992 y(\000)902 3007 y Fq(k)945 2992 y Fw(\()p Fs(j)1022 2955 y Fq(t)1052 2992 y Fw(\)\()p Fs(B)1191 3006 y Fr(c)17 b Fq(t)1289 2992 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1468 2955 y FF(\000)p Fr(1)1588 2992 y Fw(=)25 b(\()p Fs(B)1793 2955 y Fr(ext)1788 3015 y(c)16 b Fq(t)1913 2992 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2092 2955 y FF(\000)2157 2927 y Fm(1)p 2157 2939 V 2157 2981 a(2)2219 2969 y Fw(\024)2202 2992 y Fi(D)2282 3006 y Fr(0)2327 2969 y Fw(\024)2321 2992 y(\000)2378 3007 y Fq(k)2421 2992 y Fw(\()p Fs(j)2498 2955 y Fq(t)2529 2992 y Fw(\)\()p Fs(B)2668 3006 y Fr(c)c Fq(t)2765 2992 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2944 2955 y FF(\000)3009 2927 y Fm(1)p 3009 2939 V 3009 2981 a(2)0 3178 y Fw(to)31 b(obtain)198 3341 y Ft(j)p Fw(\()p Fs(u)310 3355 y Fr(2)350 3341 y Fs(;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(L)544 3355 y Fr(ext)644 3341 y Fw(\))697 3317 y(\024)679 3341 y Fi(D)759 3355 y Fr(0)805 3318 y Fw(\024)799 3341 y(\000)856 3356 y Fq(k)899 3341 y Fw(\()p Fs(j)976 3308 y Fq(t)1007 3341 y Fw(\)\()p Fs(B)1146 3355 y Fr(c)h Fq(t)1243 3341 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1422 3308 y FF(\000)p Fr(1)1517 3341 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)1758 3355 y Fr(1)1798 3341 y Fw(\))p Ft(j)44 3576 y(\024)198 3482 y Fp(\020)247 3576 y Fw(\()p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)523 3590 y Fr(1)564 3576 y Fs(;)15 b(R)673 3591 y Fq(k)716 3576 y Fw(\()p Fs(j)793 3543 y Fq(t)823 3576 y Fs(;)g Ft(j)p Fs(r)932 3543 y Fq(t)929 3599 y Fr(0)969 3576 y Ft(j)p Fw(\)\()p Fs(B)1133 3590 y Fr(c)i Fq(t)1231 3576 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1410 3543 y FF(\000)p Fr(1)1505 3576 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)1746 3590 y Fr(1)1786 3576 y Fw(\))g(+)g(\()p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)2208 3590 y Fr(1)2248 3576 y Fs(;)15 b(R)2357 3591 y Fq(k)r FF(\000)p Fr(1)2491 3576 y Fw(\()p Fs(j)2568 3543 y Fq(t)2598 3576 y Fs(;)g Ft(j)p Fs(r)2707 3543 y Fq(t)2704 3598 y FF(1)2780 3576 y Ft(j)p Fw(\)\()p Fs(B)2944 3590 y Fr(c)i Fq(t)3042 3576 y Fw(+)i Fs(\025)p Fw(\))3220 3543 y FF(\000)p Fr(1)3315 3576 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)3556 3590 y Fr(1)3596 3576 y Fw(\))3631 3482 y Fp(\021)3691 3477 y Fm(1)p 3691 3489 V 3691 3531 a(2)198 3778 y Ft(\002)269 3684 y Fp(\020)318 3778 y Fs(\013)376 3745 y FF(\000)p Fq(k)474 3778 y Fw(\()p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)663 3792 y Fr(ext)764 3778 y Fw(\))p Fs(u)851 3792 y Fr(2)891 3778 y Fs(;)c(R)1000 3792 y Fr(0)1039 3778 y Fw(\()p Fs(j)1116 3745 y Fq(t)1147 3778 y Fs(;)g Ft(j)p Fs(r)1256 3745 y Fq(t)1253 3801 y Fr(0)1293 3778 y Ft(j)p Fw(\))21 b Ft(\012)f Fw(1)-20 b(l)o(\()p Fs(B)1624 3745 y Fr(ext)1619 3800 y(c)17 b Fq(t)1745 3778 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1924 3745 y FF(\000)p Fr(1)2018 3778 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)2172 3792 y Fr(ext)2273 3778 y Fw(\))p Fs(u)2360 3792 y Fr(2)2399 3778 y Fw(\))198 4013 y(+\()p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)458 4027 y Fr(ext)558 4013 y Fw(\))p Fs(u)645 4027 y Fr(2)685 4013 y Fs(;)15 b Fw(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fs(R)956 4028 y Fq(k)r FF(\000)p Fr(1)1089 4013 y Fw(\()p Fs(j)1166 3980 y Fq(t)1196 4013 y Fs(;)15 b Ft(j)p Fs(r)1305 3980 y Fq(t)1302 4035 y FF(1)1378 4013 y Ft(j)p Fw(\)\()p Fs(B)1547 3980 y Fr(ext)1542 4035 y(c)i Fq(t)1668 4013 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1847 3980 y FF(\000)p Fr(1)1941 4013 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)2095 4027 y Fr(ext)2196 4013 y Fw(\))p Fs(u)2283 4027 y Fr(2)2322 4013 y Fw(\))2357 3919 y Fp(\021)2417 3915 y Fm(1)p 2417 3927 V 2417 3968 a(2)2462 4013 y Fs(;)0 4142 y Fw(\(7.10\))0 4254 y(for)30 b Fs(r)183 4221 y Fq(t)180 4277 y(\017)238 4254 y Fw(=)25 b Fi(d)392 4268 y Fr(0)432 4254 y Fs(j)474 4221 y Fq(t)469 4277 y(\017)504 4254 y Fw(.)141 4367 y(W)-8 b(e)47 b(note)f(that)g(b)m(y)g(exactly)g (the)g(same)g(pro)s(of,)j(estimates)d(similar)d(to)j(those)h(of)e (Prop.)86 b(6.3)47 b(with)0 4480 y Fs(R)69 4495 y Fq(k)112 4480 y Fw(\()p Fs(f)202 4447 y Fq(t)231 4480 y Fs(;)15 b Ft(j)p Fs(g)342 4447 y Fq(t)339 4503 y(\017)373 4480 y Ft(j)p Fw(\))38 b(replaced)g(b)m(y)g(either)f Fs(R)1306 4495 y Fq(k)1349 4480 y Fw(\()p Fs(f)1439 4447 y Fq(t)1468 4480 y Fs(;)15 b Ft(j)p Fs(g)1579 4447 y Fq(t)1576 4503 y(\017)1610 4480 y Ft(j)p Fw(\))26 b Ft(\012)f Fw(1)-20 b(l)38 b(or)g(1)-20 b(l)24 b Ft(\012)h Fs(R)2240 4495 y Fq(k)2283 4480 y Fw(\()p Fs(f)2373 4447 y Fq(t)2402 4480 y Fs(;)15 b Ft(j)p Fs(g)2513 4447 y Fq(t)2510 4503 y(\017)2544 4480 y Ft(j)p Fw(\),)41 b Fs(B)2739 4494 y Fr(c)16 b Fq(t)2854 4480 y Fw(b)m(y)38 b Fs(B)3062 4447 y Fr(ext)3057 4503 y(c)16 b Fq(t)3199 4480 y Fw(and)38 b Fs(L)g Fw(b)m(y)f Fs(L)3679 4494 y Fr(ext)0 4593 y Fw(hold)29 b(for)h(the)h(ev)m(olution)f(e)932 4560 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1095 4537 y Fm(e)1090 4581 y(ext)1182 4593 y Fw(.)141 4706 y(Com)m(bining)i(\(7.8\),)k(\(7.9\),)h(\(7.10\))f (and)d(Props.)50 b(5.1,)36 b(6.3,)g(7.4)e(w)m(e)h(obtain)e(the)h (existence)g(of)g(the)g(limit)0 4819 y(in)29 b Fu(i\))p Fw(,)i(b)m(y)f(Prop.)40 b(A.3.)141 4932 y(Prop)s(ert)m(y)30 b Fu(ii\))g Fw(follo)m(ws)g(from)g(Lemma)g(7.2,)i(arguing)e(as)g(in)f (\(7.7\).)141 5045 y(T)-8 b(o)31 b(pro)m(v)m(e)g Fu(iii\))f Fw(it)g(su\016ces)g(as)h(in)e(the)i(pro)s(of)e(of)i(Thm.)39 b(6.4)32 b Fu(ii\))e Fw(to)h(sho)m(w)f(that)817 5231 y(s-)63 b(lim)899 5286 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1135 5231 y Fw(e)1175 5194 y Fr(i)p Fq(tH)1283 5170 y Fm(e)1278 5214 y(ext)1370 5231 y Fw(\()1411 5208 y(\024)1405 5231 y(\000)1462 5246 y Fq(k)1505 5231 y Fw(\()p Fs(j)1582 5194 y Fq(t)1613 5231 y Fw(\))20 b Ft(\000)1765 5208 y Fw(\024)1759 5231 y(\000)1816 5246 y Fq(k)1859 5231 y Fw(\()p Fs(j)1936 5194 y Fq(t)p FF(\000)p Fq(t)2041 5203 y Fm(1)2081 5231 y Fw(\)\)e)2191 5194 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2354 5170 y Fm(e)2416 5231 y Fw(=)25 b(0)p Fs(;)36 b Ft(8)p Fs(t)2702 5245 y Fr(1)2766 5231 y Ft(2)25 b Fw(I)-15 b(R)p Fs(:)1844 5517 y Fw(56)p eop %%Page: 57 57 57 56 bop 0 162 a Fw(By)31 b([DG2)q(,)g(Lemma)f(2.16]:)1012 391 y(\024)1006 414 y(\000)1063 429 y Fq(k)1106 414 y Fw(\()p Fs(j)1183 377 y Fq(t)1213 414 y Fw(\))21 b Ft(\000)1366 391 y Fw(\024)1360 414 y(\000)1417 429 y Fq(k)1459 414 y Fw(\()p Fs(j)1536 377 y Fq(t)p FF(\000)p Fq(t)1641 386 y Fm(1)1682 414 y Fw(\))26 b(=)e Ft(\000)1924 299 y Fp(Z)2007 325 y Fq(t)2032 334 y Fm(1)1970 488 y Fr(0)2087 414 y Fw(d)2144 391 y(\024)2138 414 y(\000)2195 429 y Fq(k)2237 414 y Fw(\()p Fs(j)2314 377 y Fq(t)2344 414 y Fs(;)15 b(@)2432 428 y Fq(t)2463 414 y Fs(j)2505 377 y Fq(t)p FF(\000)p Fq(r)2624 414 y Fw(\)d)p Fs(r)m(;)0 661 y Fw(and)30 b(since)f Fs(j)441 628 y Fq(t)436 684 y Fr(0)497 661 y Fw(+)19 b Fs(\013j)687 628 y Fq(t)682 684 y FF(1)783 661 y Ft(\024)25 b Fw(1,)31 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)h(b)m (y)e([DG2)r(,)g(Lemma)h(2.16]:)904 866 y Ft(k)p Fw(d)1006 843 y(\024)1000 866 y(\000)1057 881 y Fq(k)1099 866 y Fw(\()p Fs(j)1176 828 y Fq(t)1207 866 y Fs(;)15 b(@)1295 880 y Fq(t)1325 866 y Fs(j)1367 828 y Fq(t)p FF(\000)p Fq(r)1486 866 y Fw(\)\()p Fs(N)1639 828 y Fr(e)1696 866 y Fw(+)20 b(1\))1867 828 y FF(\000)p Fr(1)1962 866 y Ft(k)25 b(\024)g Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(@)2293 880 y Fq(t)2323 866 y Fs(j)2365 828 y Fq(t)p FF(\000)p Fq(r)2484 866 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)7 b(t)2756 828 y FF(\000)p Fq(\032)2850 866 y Fs(:)0 1070 y Fw(Next)31 b(w)m(e)g(argue)g(as)f(in)f(the)i(pro)s (of)f(of)g(Thm.)40 b(6.4)31 b(using)e(that)1262 1311 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(N)1425 1273 y Fr(e)1481 1311 y Fw(+)20 b(1\))p Fs(F)13 b Fw(\()1768 1249 y Fs(N)1851 1216 y Fr(e)1841 1272 y Fq(t)p 1768 1290 119 4 v 1793 1373 a Fs(t)1826 1347 y Fq(\016)1898 1311 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Ft(k)26 b(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2419 1273 y Fq(\016)2457 1311 y Fw(\))p Fs(:)0 1541 y Fu(iv\))30 b Fw(follo)m(ws)g(from)g(the)g(fact)h(that)1131 1745 y(\000\()p Fs(f)1278 1708 y Fq(t)1268 1768 y Fr(0)1307 1745 y Fw(\))21 b Ft(\012)f Fw(1)-20 b(l)1510 1722 y(\024)1504 1745 y(\000)1561 1760 y Fq(k)1604 1745 y Fw(\()p Fs(j)1681 1708 y Fq(t)1711 1745 y Fw(\))26 b(=)1873 1722 y(\024)1868 1745 y(\000)1925 1760 y Fq(k)1967 1745 y Fw(\()p Fs(j)2044 1708 y Fq(t)2075 1745 y Fw(\))p Fs(;)46 b Fw(if)29 b Fs(f)2309 1759 y Fr(0)2348 1745 y Fs(j)2385 1759 y Fr(0)2450 1745 y Fw(=)c Fs(j)2583 1759 y Fr(0)2623 1745 y Fs(:)0 1949 y Fu(v\))j Fw(follo)m(ws)g(from)f(the)i(fact)g(that)g(if)e Fs(B)1293 1963 y Fr(c)16 b Fq(t)1398 1949 y Fw(is)27 b(the)i(observ)-5 b(able)27 b(de\014ned)g(in)g(\(5.2\))j(for)e(an)m(y)h (constan)m(t)h(0)25 b Fs(<)g(c)3589 1916 y FF(0)3638 1949 y Ft(\024)g Fw(1)0 2062 y(w)m(e)31 b(ha)m(v)m(e:)1091 2152 y(\024)1085 2175 y(\000)1142 2190 y Fq(k)1185 2175 y Fw(\()p Fs(j)1262 2138 y Fq(t)1292 2175 y Fw(\)\()p Fs(B)1431 2189 y Fr(c)17 b Fq(t)1529 2175 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))1708 2138 y FF(\000)p Fr(1)1828 2175 y Fw(=)25 b(\()p Fs(B)2033 2138 y Fr(ext)2028 2198 y(c)16 b Fq(t)2153 2175 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2332 2138 y FF(\000)p Fr(1)2432 2152 y Fw(\024)2427 2175 y(\000)2484 2190 y Fq(k)2526 2175 y Fw(\()p Fs(j)2603 2138 y Fq(t)2634 2175 y Fw(\))p Fs(:)0 2342 y Fw(Prop)s(ert)m(y)32 b Fu(vi\))g Fw(follo)m(ws)g(from)g Fu(v\))g Fw(and)g(Thm.)46 b(7.6.)i(Finally)31 b(the)i(existence)g(of)f (the)h(limit)d Fu(vii\))i Fw(follo)m(ws)g(from)0 2455 y(exactly)f(the)g(same)f(argumen)m(ts)h(as)g(those)g(used)e(to)i(pro)m (v)m(e)h Fu(i\))p Fw(.)40 b Fh(2)141 2618 y Fw(Finally)28 b(w)m(e)j(pro)m(v)m(e)h(a)e(result)g(similar)d(to)k(Prop.)41 b(6.6.)0 2805 y Fi(Prop)s(osition)36 b(7.8)46 b Fu(Assume)33 b(the)h(hyp)-5 b(otheses)35 b(of)f(Thm.)44 b(7.7.)g(L)-5 b(et)34 b Fs(j)e Fw(=)26 b(\()p Fs(f)2643 2819 y Fr(0)2682 2805 y Fs(;)15 b(f)2767 2819 y FF(1)2842 2805 y Fw(\))p Fu(,)33 b Fs(j)2975 2819 y Fq(\017)3035 2805 y Fw(=)26 b(\()p Fs(f)3212 2819 y Fr(0)3251 2805 y Fs(;)15 b(f)3336 2819 y FF(1)p Fq(;\017)3459 2805 y Fw(\))p Fu(,)33 b(wher)-5 b(e)0 2918 y Fs(f)45 2932 y Fr(0)84 2918 y Fs(;)15 b(f)169 2932 y FF(1)244 2918 y Fs(;)g(f)329 2932 y FF(1)p Fq(;\017)484 2918 y Fu(ar)-5 b(e)33 b(de\014ne)-5 b(d)34 b(in)f(\(6.23\),)h (\(6.24\).)43 b(Then)1368 3122 y Fs(W)1467 3084 y Fr(+)1454 3151 y Fq(k)1526 3122 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))26 b(=)f(w)c Ft(\000)j Fw(lim)1938 3179 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)2088 3122 y Fs(W)2187 3084 y Fr(+)2174 3151 y Fq(k)2245 3122 y Fw(\()p Fs(j)2317 3136 y Fq(\017)2351 3122 y Fw(\))p Fs(:)0 3514 y Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(W)-8 b(e)32 b(apply)d(again)h(Prop.) 40 b(A.4.)i(By)31 b(densit)m(y)e(it)h(su\016ces)g(to)h(sho)m(w)g(that)g (for)f Fs(\025)25 b(>)g Fw(0,)31 b Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)3486 3481 y FF(1)3479 3537 y Fr(0)3560 3514 y Fw(\(I)-15 b(R\):)605 3719 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)759 3733 y Fr(ext)859 3719 y Fw(\))p Fs(W)993 3680 y Fr(+)980 3747 y Fq(k)1052 3719 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(R)1423 3681 y Fr(e+)1422 3741 y(c)1515 3719 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))26 b(=)f(w)c Ft(\000)j Fw(lim)1938 3775 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)2088 3719 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)2242 3733 y Fr(ext)2342 3719 y Fw(\))p Fs(W)2476 3680 y Fr(+)2463 3747 y Fq(k)2535 3719 y Fw(\()p Fs(j)2607 3733 y Fq(\017)2640 3719 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(R)2934 3681 y Fr(e+)2933 3741 y(c)3025 3719 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(:)0 3951 y Fw(T)-8 b(o)31 b(c)m(hec)m(k)h(h)m(yp)s(othesis)d(\(A.2\))j(of)e(Prop.)40 b(A.4)31 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)h(to)f(consider)e(the)i(Heisen)m(b)s(erg) f(deriv)-5 b(ativ)m(e)30 b(of)1117 4156 y(\010)1183 4170 y Fq(\017)1216 4156 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))c(=)e Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)1594 4170 y Fr(ext)1695 4156 y Fw(\))1736 4133 y(\024)1730 4156 y(\000)1787 4171 y Fq(k)1830 4156 y Fw(\()p Fs(j)1907 4118 y Fq(t)1902 4178 y(\017)1937 4156 y Fw(\)\()p Fs(B)2076 4170 y Fr(c)17 b Fq(t)2174 4156 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))2353 4118 y FF(\000)p Fr(1)2447 4156 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(:)0 4360 y Fw(The)30 b(estimates)h(\(7.8\),)h(\(7.9\),)h(\(7.10\))f(and)e(the)h (fact)g(that)761 4564 y Fs(j)798 4578 y Fr(0)858 4564 y Fw(+)20 b Fs(\013j)1044 4578 y FF(1)p Fq(;\017)1193 4564 y Ft(\024)25 b Fw(1)p Fs(;)36 b(j)1432 4578 y FF(1)p Fq(;\017)1580 4564 y Ft(\024)25 b Fs(C)7 b(j)1785 4578 y FF(1)1860 4564 y Fs(;)41 b(j)1968 4526 y FF(0)1963 4586 y(1)p Fq(;\017)2111 4564 y Ft(\024)25 b Fs(C)7 b(j)2321 4526 y FF(0)2316 4586 y(1)2391 4564 y Fs(;)45 b Fw(uniformly)28 b(in)h Fs(\017)0 4779 y Fw(sho)m(w)h(that)h(h)m(yp)s(othesis)e(\(A.2\)) j(is)e(satis\014ed.)39 b(Similarly)27 b(\(A.1\))32 b(holds)d(since)g Ft(k)2724 4756 y Fw(\024)2718 4779 y(\000)2775 4794 y Fq(k)2818 4779 y Fw(\()p Fs(j)2895 4746 y Fq(t)2890 4802 y(\017)2926 4779 y Fw(\))p Ft(k)d(\024)f Fs(\013)3186 4746 y FF(\000)p Fq(k)3284 4779 y Fw(.)41 b(Finally)1240 4983 y(w)22 b Ft(\000)i Fw(lim)1418 5040 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1574 4960 y Fw(\024)1568 4983 y(\000)1625 4998 y Fq(k)1668 4983 y Fw(\()p Fs(j)1745 4946 y Fq(t)1740 5006 y(\017)1775 4983 y Fw(\))i(=)1937 4960 y(\024)1932 4983 y(\000)1989 4998 y Fq(k)2031 4983 y Fw(\()p Fs(j)2108 4946 y Fq(t)2139 4983 y Fw(\))p Fs(;)36 b Ft(8)p Fs(t)24 b Ft(2)h Fw(I)-15 b(R)p Fs(:)0 5211 y Fw(Applying)28 b(Prop.)40 b(A.4)31 b(w)m(e)g(obtain)f(the)g(prop)s(osition.)39 b Fh(2)1844 5517 y Fw(57)p eop %%Page: 58 58 58 57 bop 0 162 a Fx(8)135 b(Asymptotic)45 b(\014elds)g(and)g(w)l(a)l (v)l(e)h(op)t(erators)0 369 y Fv(8.1)112 b(Asymptotic)35 b(\014elds)j(for)f Ff(H)0 540 y Fw(In)f(this)g(section)h(w)m(e)h(sho)m (w)f(the)g(existence)g(of)h(asymptotic)f(W)-8 b(eyl)37 b(op)s(erators)h(and)e(asymptotic)h(\014elds)f(for)0 653 y(the)d(Nelson)f(Hamiltonian)f(in)m(tro)s(duced)g(in)g(Subsect.)47 b(1.1.)i(Similar)29 b(results)j(can)h(b)s(e)f(sho)m(wn)g(under)f (corre-)0 766 y(sp)s(onding)25 b(h)m(yp)s(otheses)i(for)g(abstract)i(P) m(auli-Fierz)d(mo)s(dels)g(in)m(tro)s(duced)g(in)g(Subsect.)39 b(3.1)29 b(\(see)f(the)g(remark)0 879 y(at)j(the)g(b)s(eginning)c(of)k (Subsect.)40 b(8.4\).)141 992 y(W)-8 b(e)32 b(recall)d(that)i(the)g (one-particle)f(space)h(is)e Fl(h)d Fw(=)f Fs(L)1950 959 y Fr(2)1989 992 y Fw(\(I)-15 b(R)2109 956 y Fr(3)2149 992 y Fs(;)15 b Fw(d)p Fs(k)s Fw(\).)41 b(W)-8 b(e)31 b(set)1492 1190 y Fs(h)1544 1204 y Fq(t)1599 1190 y Fw(:=)25 b(e)1760 1152 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(t)p FF(j)p Fq(k)r FF(j)1943 1190 y Fs(h;)36 b(h)25 b Ft(2)g Fl(h)p Fs(;)0 1388 y Fw(and)1405 1501 y Fl(h)1448 1515 y Fr(0)1513 1501 y Fw(:=)g Ft(f)p Fs(h)i Ft(2)d Fl(h)p Ft(jj)p Fs(k)s Ft(j)2011 1463 y FF(\000)2076 1436 y Fm(1)p 2077 1448 31 4 v 2077 1489 a(2)2122 1501 y Fs(h)i Ft(2)f Fl(h)p Ft(g)0 1665 y Fw(equipp)s(ed)40 b(with)h(the)i(graph)f(top)s(ology)-8 b(.)77 b(In)42 b(this)g(section,)j(w)m(e)e(assume)g(condition)e Fu(\(I4\))i Fw(in)m(tro)s(duced)e(in)0 1777 y(Subsect.)e(1.1.)h(In)m (tro)s(ducing)25 b(the)h(op)s(erator)h Fs(v)h Ft(2)d(B)s Fw(\()p Ft(K)q Fs(;)15 b Ft(K)e(\012)f Fl(h)p Fw(\))28 b(de\014ned)d(in)g(\(1.3\))j(w)m(e)f(see)f(that)h(if)e Fu(\(H0\))i Fw(holds)0 1890 y(for)j Fs(\013)c(>)f Fw(0,)31 b(then)f Fu(\(I4\))h Fw(implies:)583 2085 y Ft(8)p Fs(\017)25 b(>)g Fw(0)p Fs(;)36 b Ft(9)p Fs(C)g Fw(suc)m(h)30 b(that)583 2285 y Ft(k)p Fs(F)13 b Fw(\()p Ft(j)p Fs(x)p Ft(j)27 b(\025)e Fs(R)q Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(\017)25 b Ft(\024)g(j)p Fs(k)s Ft(j)h(\024)f Fs(\017)1587 2252 y FF(\000)p Fr(1)1681 2285 y Fw(\)\()p Fs(K)j Fw(+)20 b(1\))2027 2249 y FF(\000)2092 2222 y Fm(1)p 2092 2234 V 2092 2276 a(2)2137 2285 y Fs(v)s Ft(k)2229 2304 y FF(B)r Fr(\()p FF(K)p Fq(;)p FF(K\012)p Fk(h)p Fr(\))2581 2285 y Ft(\024)25 b Fs(C)7 b(R)2819 2252 y FF(\000)k Fr(inf)t(\()p Fq(\013;\026)3104 2261 y Fm(1)3140 2252 y Fr(\))3171 2285 y Fs(;)583 2485 y Ft(k)p Fs(F)i Fw(\()p Ft(j)p Fs(x)p Ft(j)27 b(\025)e Fs(R)q Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(\017)25 b Ft(\024)g(j)p Fs(k)s Ft(j)h(\024)f Fs(\017)1587 2452 y FF(\000)p Fr(1)1681 2485 y Fw(\))p Fs(v)s Fw(\()p Fs(K)j Fw(+)20 b(1\))2074 2449 y FF(\000)2139 2422 y Fm(1)p 2140 2434 V 2140 2475 a(2)2184 2485 y Ft(k)2229 2504 y FF(B)r Fr(\()p FF(K)p Fq(;)p FF(K\012)p Fk(h)p Fr(\))2581 2485 y Ft(\024)25 b Fs(C)7 b(R)2819 2452 y FF(\000)k Fr(inf)t(\()p Fq(\013;\026)3104 2461 y Fm(1)3140 2452 y Fr(\))3171 2485 y Fs(:)0 2286 y Fw(\(8.1\))0 2693 y(In)34 b(fact)h(this)f(follo)m(ws)f(from)h(the)h(fact)h(that)f Fs(@)1598 2708 y Fq(k)1641 2693 y Fw(\(e)1716 2660 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(k)r(:)p Fr(x)1890 2693 y Fs(v)1934 2707 y Fq(j)1971 2693 y Fw(\()p Fs(k)s Fw(\)\))f(=)d(e)2302 2660 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(k)r(:)p Fr(x)2477 2693 y Fw(\()p Fs(@)2560 2708 y Fq(k)2626 2693 y Ft(\000)23 b Fw(ix\))p Fs(v)2873 2707 y Fq(j)2909 2693 y Fw(\()p Fs(k)s Fw(\),)37 b(if)c(w)m(e)i(use)f(\(1.1\))j(to)0 2806 y(con)m(trol)31 b(the)f(p)s(o)m(w)m(ers)h(of)f(x)g(app)s(earing)f(when)h(di\013eren)m (tiating)f(e)2231 2773 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(k)r(:)p Fr(x)2405 2806 y Fs(v)2449 2820 y Fq(j)2486 2806 y Fw(\()p Fs(k)s Fw(\).)0 2988 y Fi(Theorem)69 b(8.1)46 b Fu(Assume)32 b(\(H0\))h(for)g Fs(\013)26 b(>)f Fw(1)p Fu(,)33 b(\(I0\),)g(\(I4\))h (for)f Fs(\026)2254 3002 y Fr(1)2318 2988 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(.)42 b(Then)141 3101 y(i\))33 b(for)g Fs(h)26 b Ft(2)e Fl(h)590 3115 y Fr(0)663 3101 y Fu(the)33 b Fw(asymptotic)d(W)-8 b(eyl)31 b(op)s(erator)1074 3299 y Fs(W)1173 3262 y Fr(+)1232 3299 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))26 b(:=)f(s-)63 b(lim)1583 3354 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1819 3299 y Fw(e)1859 3262 y Fr(i)p Fq(tH)1972 3299 y Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(h)2158 3313 y Fq(t)2188 3299 y Fw(\)e)2263 3262 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2463 3299 y Fu(exists)q Fs(:)-2705 b Fw(\(8.2\))141 3531 y Fu(ii\))33 b(the)g(map)1393 3643 y Fl(h)1436 3657 y Fr(0)1501 3643 y Ft(3)25 b Fs(h)g Ft(7!)h Fs(W)1880 3606 y Fr(+)1938 3643 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))g Ft(2)f(U)9 b Fw(\()p Ft(H)q Fw(\))0 3807 y Fu(is)33 b(str)-5 b(ongly)34 b(c)-5 b(ontinuous)34 b(for)f(the)g(top)-5 b(olo)g(gy)35 b(of)e Fl(h)1690 3821 y Fr(0)1730 3807 y Fu(.)141 3920 y(iii\))f Fs(W)393 3887 y Fr(+)452 3920 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))p Fs(W)673 3887 y Fr(+)733 3920 y Fw(\()p Fs(g)s Fw(\))26 b(=)f(e)1011 3887 y FF(\000)p Fr(iIm)o(\()p Fq(h;g)r Fr(\))1326 3920 y Fs(W)1425 3887 y Fr(+)1483 3920 y Fw(\()p Fs(f)30 b Fw(+)20 b Fs(g)s Fw(\))p Fu(.)141 4033 y(iv\))65 b Fw(e)353 4000 y Fr(i)p Fq(tH)466 4033 y Fs(W)565 4000 y Fr(+)623 4033 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)e)785 4000 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)979 4033 y Fw(=)25 b Fs(W)1174 4000 y Fr(+)1233 4033 y Fw(\()p Fs(h)1320 4047 y FF(\000)p Fq(t)1405 4033 y Fw(\))p Fu(.)0 4215 y Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e)1370 4328 y Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(h)1556 4342 y Fq(t)1586 4328 y Fw(\))26 b(=)f(e)1783 4291 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1941 4300 y Fm(0)1980 4328 y Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)e)2241 4291 y Fr(i)p Fq(tH)2344 4300 y Fm(0)2384 4328 y Fs(;)-2409 b Fw(\(8.3\))0 4492 y(whic)m(h)29 b(implies)f(that)j(as)f(a)h (quadratic)f(form)g(on)g Ft(D)s Fw(\()p Fs(H)1885 4506 y Fr(0)1924 4492 y Fw(\))h(one)f(has:)1375 4690 y Fs(@)1423 4704 y Fq(t)1453 4690 y Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(h)1639 4704 y Fq(t)1669 4690 y Fw(\))26 b(=)f([)p Ft(\000)p Fs(H)1998 4704 y Fr(0)2037 4690 y Fs(;)15 b Fw(i)p Fs(W)e Fw(\()p Fs(h)2289 4704 y Fq(t)2318 4690 y Fw(\)])p Fs(:)0 4888 y Fw(Since)29 b(on)i Ft(D)s Fw(\()p Fs(H)548 4902 y Fr(0)587 4888 y Fw(\))f Fs(H)j Fw(=)24 b Fs(H)932 4902 y Fr(0)992 4888 y Fw(+)c Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\),)31 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)h (as)e(quadratic)g(forms)g(on)g Ft(D)s Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))26 b(=)f Ft(D)s Fw(\()p Fs(H)3081 4902 y Fr(0)3120 4888 y Fw(\):)1006 5083 y Fs(@)1054 5097 y Fq(t)1083 5083 y Fw(e)1123 5050 y Fr(i)p Fq(tH)1236 5083 y Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(h)1422 5097 y Fq(t)1452 5083 y Fw(\)e)1527 5050 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1720 5083 y Fw(=)83 b(e)1914 5050 y Fr(i)p Fq(tH)2027 5083 y Fw([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(i)p Fs(W)e Fw(\()p Fs(h)2475 5097 y Fq(t)2506 5083 y Fw(\)]e)2606 5050 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1720 5267 y Fw(=)83 b(ie)1940 5234 y Fr(i)p Fq(tH)2052 5267 y Fw(Im\()p Fs(h)2248 5281 y Fq(t)2278 5267 y Fs(;)15 b(v)s Fw(\)e)2440 5234 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(H)2583 5267 y Fs(:)1844 5517 y Fw(58)p eop %%Page: 59 59 59 58 bop 0 162 a Fw(In)m(tegrating)35 b(this)e(relation)g(w)m(e)h (obtain,)h(\014rst)e(as)i(a)f(quadratic)f(form)h(iden)m(tit)m(y)g(on)g Ft(D)s Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\),)35 b(and)e(then)h(b)m(y)g(a)0 275 y(simple)28 b(argumen)m(t)j(as)g(an)f(op)s(erator)h(iden)m(tit)m (y:)246 500 y(e)286 463 y Fr(i)p Fq(tH)399 500 y Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(h)585 514 y Fq(t)614 500 y Fw(\)e)689 463 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)857 500 y Fw(\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b(i\))1148 463 y FF(\000)p Fr(1)1262 500 y Ft(\000)g Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b(i\))1865 463 y FF(\000)p Fr(1)1984 500 y Fw(=)25 b(i)2121 385 y Fp(Z)2203 412 y Fq(t)2166 574 y Fr(0)2248 500 y Fw(e)2288 463 y Fr(i)p Fq(sH)2408 500 y Fw(Im\()p Fs(h)2604 514 y Fq(s)2641 500 y Fs(;)15 b(v)s Fw(\)\()p Fs(H)29 b Fw(+)20 b(i\))3055 463 y FF(\000)p Fr(1)3149 500 y Fw(e)3189 463 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(sH)3363 500 y Fs(u)p Fw(d)p Fs(s:)0 731 y Fw(F)-8 b(or)31 b Fs(h)26 b Ft(2)f Fs(C)399 698 y FF(1)392 754 y Fr(0)473 731 y Fw(\(I)-15 b(R)593 695 y Fr(3)632 731 y Ft(nf)p Fw(0)p Ft(g)p Fw(\),)33 b(w)m(e)e(obtain)f(b)m(y)g(stationary)g(phase)g(argumen)m(ts)h(and)f (\(8.1\):)399 928 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(h)531 942 y Fq(t)562 928 y Fs(;)15 b(v)s Fw(\)\()p Fs(H)29 b Fw(+)19 b(i\))975 891 y FF(\000)p Fr(1)1069 928 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)7 b Ft(k)p Fw(\()p Fs(h)1440 942 y Fq(t)1470 928 y Fs(;)15 b(v)s Fw(\()p Fs(K)28 b Fw(+)20 b(1\))1868 891 y FF(\000)1933 864 y Fm(1)p 1934 876 31 4 v 1934 917 a(2)1978 928 y Fw(\))p Ft(k)h Fw(+)f Fs(C)7 b Ft(k)p Fw(\()p Fs(h)2374 942 y Fq(t)2405 928 y Fs(;)15 b Fw(\()p Fs(K)27 b Fw(+)20 b(1\))2755 891 y FF(\000)2820 864 y Fm(1)p 2821 876 V 2821 917 a(2)2865 928 y Fs(v)s Fw(\))p Ft(k)27 b(\024)e Fs(C)7 b(t)3220 891 y FF(\000)p Fq(\026)3317 900 y Fm(1)3355 928 y Fs(:)0 1111 y Fw(The)30 b(existence)h(of)f(the)h(limit)d(\(8.2\)) k(follo)m(ws)e(for)g Fs(h)25 b Ft(2)g Fs(C)1941 1078 y FF(1)1934 1134 y Fr(0)2015 1111 y Fw(\(I)-15 b(R)2135 1075 y Fr(3)2175 1111 y Ft(nf)p Fw(0)p Ft(g)p Fw(\).)141 1224 y(Next)31 b(w)m(e)g(use)f(the)h(iden)m(tit)m(y:)260 1418 y Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(h)446 1432 y Fr(1)486 1418 y Fw(\))20 b Ft(\000)g Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(h)818 1432 y Fr(2)858 1418 y Fw(\))25 b(=)g Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(h)1200 1432 y Fr(1)1240 1418 y Fw(\)\(1)-20 b(l)20 b Ft(\000)g Fw(e)1512 1380 y FF(\000)1584 1353 y Fm(i)p 1578 1365 V 1578 1406 a(2)1618 1380 y Fr(Im)o(\()p Fq(h)1770 1389 y Fm(1)1805 1380 y Fq(;h)1866 1389 y Fm(2)1900 1380 y Fr(\))1931 1418 y Fw(\))h(+)f(e)2118 1380 y FF(\000)2190 1353 y Fm(i)p 2183 1365 V 2183 1406 a(2)2224 1380 y Fr(Im)o(\()p Fq(h)2376 1389 y Fm(1)2410 1380 y Fq(;h)2471 1389 y Fm(2)2505 1380 y Fr(\))2537 1418 y Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(h)2723 1432 y Fr(1)2763 1418 y Fw(\)\(1)-20 b(l)20 b Ft(\000)g Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(h)3181 1432 y Fr(1)3241 1418 y Ft(\000)20 b Fs(h)3384 1432 y Fr(2)3423 1418 y Fw(\)\))p Fs(:)0 1600 y Fw(Using)30 b(that)610 1793 y Ft(j)p Fw(1)-20 b(l)20 b Ft(\000)g Fw(e)837 1757 y FF(\000)908 1730 y Fm(i)p 902 1742 V 902 1783 a(2)942 1757 y Fr(Im\()p Fq(h)1095 1766 y Fm(1)1129 1757 y Fq(;h)1190 1766 y Fm(2)1224 1757 y Fr(\))1256 1793 y Ft(j)25 b(\024)g Fs(C)7 b Ft(j)p Fw(Im\()p Fs(h)1695 1807 y Fr(1)1735 1793 y Fs(;)15 b(h)1827 1807 y Fr(2)1867 1793 y Fw(\))p Ft(j)26 b(\024)f Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(h)2218 1807 y Fr(1)2278 1793 y Ft(\000)20 b Fs(h)2421 1807 y Fr(2)2460 1793 y Ft(k)2505 1719 y Fp(p)p 2589 1719 556 4 v 2589 1793 a Ft(k)p Fs(h)2686 1807 y Fr(1)2726 1793 y Ft(k)2771 1766 y Fr(2)2831 1793 y Fw(+)g Ft(k)p Fs(h)3019 1807 y Fr(2)3059 1793 y Ft(k)3104 1766 y Fr(2)3144 1793 y Fs(;)610 1977 y Ft(k)p Fw(\(1)-20 b(l)20 b Ft(\000)g Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(h)1038 1991 y Fr(1)1098 1977 y Ft(\000)20 b Fs(h)1241 1991 y Fr(2)1281 1977 y Fw(\)\))p Fs(u)p Ft(k)26 b(\024)f(k)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)1756 1991 y Fr(1)1817 1977 y Ft(\000)20 b Fs(h)1960 1991 y Fr(2)2000 1977 y Fw(\))p Fs(u)p Ft(k)p Fs(;)0 2157 y Fw(w)m(e)31 b(obtain)f(that)h(for)f Ft(k)p Fs(h)850 2171 y Fr(1)890 2157 y Ft(k)p Fs(;)15 b Ft(k)p Fs(h)1072 2171 y Fr(2)1113 2157 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(R)q Fw(,)935 2339 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(h)1201 2353 y Fr(1)1242 2339 y Fw(\))20 b Ft(\000)g Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(h)1574 2353 y Fr(2)1614 2339 y Fw(\)\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b(i\))1975 2302 y FF(\000)p Fr(1)2069 2339 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)2301 2353 y Fq(R)2358 2339 y Ft(k)p Fs(h)2455 2353 y Fr(1)2516 2339 y Ft(\000)20 b Fs(h)2659 2353 y Fr(2)2699 2339 y Ft(k)2744 2353 y Fk(h)2780 2362 y Fm(0)2819 2339 y Fs(:)-2844 b Fw(\(8.4\))0 2522 y(Since)29 b Fs(C)309 2489 y FF(1)302 2545 y Fr(0)384 2522 y Fw(\(I)-15 b(R)504 2486 y Fr(3)543 2522 y Ft(nf)p Fw(0)p Ft(g)p Fw(\))32 b(is)e(dense)g(in)f Fl(h)1279 2536 y Fr(0)1319 2522 y Fw(,)h(w)m(e)h(deduce)f(from)g(\(8.4\))i(the)f (existence)g(of)f(the)h(limit)814 2704 y(s-)63 b(lim)895 2759 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1132 2704 y Fw(e)1172 2667 y Fr(i)p Fq(tH)1285 2704 y Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(h)1471 2718 y Fq(t)1501 2704 y Fw(\)e)1576 2667 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1744 2704 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(;)46 b Fw(for)30 b Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)2404 2667 y FF(1)2397 2727 y Fr(0)2478 2704 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fs(;)36 b(h)26 b Ft(2)f Fl(h)2901 2718 y Fr(0)2940 2704 y Fs(:)0 2920 y Fw(By)f(densit)m(y)e(this)g(pro)m(v)m(es)i(the)f (existence)h(of)g(the)f(limit)e(\(8.2\))k(for)e(all)f Fs(h)k Ft(2)f Fl(h)2539 2934 y Fr(0)2578 2920 y Fw(.)39 b(Statemen)m(t)24 b Fu(ii\))f Fw(follo)m(ws)g(directly)0 3033 y(from)30 b(\(8.4\).)42 b(Statemen)m(ts)32 b Fu(iii\))e Fw(and)g Fu(iv\))g Fw(are)h(immediate.)40 b Fh(2)0 3267 y Fi(Theorem)69 b(8.2)46 b Fu(Assume)32 b(\(H0\))h(for)g Fs(\013)26 b(>)f Fw(1)p Fu(,)33 b(\(I0\),)g(\(I4\))h(for)f Fs(\026)2254 3281 y Fr(1)2318 3267 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(.)42 b(Then:)141 3380 y(i\))35 b(ther)-5 b(e)35 b(exists)g(for)g Fs(h)30 b Ft(2)e Fl(h)1081 3394 y Fr(0)1155 3380 y Fu(a)35 b(selfadjoint)h(op)-5 b(er)g(ator)38 b Fs(\036)2091 3347 y Fr(+)2150 3380 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))e Fu(c)-5 b(al)5 b(le)-5 b(d)36 b(the)f Fw(asymptotic)e(\014eld)65 b Fu(such)35 b(that)0 3492 y Fs(W)99 3459 y Fr(+)158 3492 y Fw(\()p Fs(sh)p Fw(\))25 b(=)g(e)484 3459 y Fr(i)p Fq(s\036)579 3436 y Fm(+)630 3459 y Fr(\()p Fq(h)p Fr(\))729 3492 y Fu(,)33 b Fs(s)25 b Ft(2)g Fw(I)-15 b(R)o Fu(.)141 3619 y(ii\))33 b(F)-7 b(or)33 b Fs(h)26 b Ft(2)f Fl(h)643 3633 y Fr(0)682 3619 y Fu(,)33 b Ft(D)s Fw(\()p Fs(H)27 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))1129 3556 y Fm(1)p 1129 3568 31 4 v 1129 3609 a(2)1199 3619 y Ft(\032)25 b(D)s Fw(\()p Fs(\036)1457 3586 y Fr(+)1516 3619 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)\))34 b Fu(and:)777 3814 y Fs(\036)831 3781 y Fr(+)891 3814 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))1317 3779 y FF(\000)1382 3751 y Fm(1)p 1382 3763 V 1382 3805 a(2)1452 3814 y Fw(=)25 b(s-)15 b(lim)1756 3828 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1996 3814 y Fw(e)2036 3781 y Fr(i)p Fq(tH)2149 3814 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)2290 3828 y Fq(t)2321 3814 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2660 3779 y FF(\000)2725 3751 y Fm(1)p 2725 3763 V 2725 3805 a(2)2769 3814 y Fw(e)2809 3781 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2977 3814 y Fs(;)777 4014 y Ft(k)p Fs(\036)876 3981 y Fr(+)936 4014 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)\()p Fs(H)29 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))1363 3978 y FF(\000)1428 3951 y Fm(1)p 1428 3963 V 1428 4004 a(2)1472 4014 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)7 b Ft(k)p Fw(\(1)21 b(+)f Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)2048 3978 y FF(\000)2113 3951 y Fm(1)p 2113 3963 V 2113 4004 a(2)2158 4014 y Fw(\))p Fs(h)p Ft(k)p Fs(:)0 4221 y Fu(F)-7 b(or)34 b Fs(h)222 4235 y Fq(i)276 4221 y Ft(2)24 b Fl(h)404 4235 y Fr(0)464 4221 y Ft(\\)c(D)s Fw(\()p Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)763 4158 y Fm(1)p 764 4170 V 764 4211 a(2)808 4221 y Fw(\))p Fu(,)33 b Fw(1)26 b Ft(\024)f Fs(i)g Ft(\024)g Fs(n)p Fu(,)32 b Fs(n)25 b Ft(\025)g Fw(2)p Fu(,)33 b Ft(D)s Fw(\(\()p Fs(H)27 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2031 4188 y Fq(n=)p Fr(2)2149 4221 y Fw(\))26 b Ft(\032)f(D)s Fw(\(\005)2482 4188 y Fq(n)2482 4244 y Fr(1)2529 4221 y Fs(\036)2583 4188 y Fr(+)2642 4221 y Fw(\()p Fs(h)2729 4235 y Fq(i)2758 4221 y Fw(\)\))33 b Fu(and)505 4405 y Fw(\005)573 4372 y Fq(n)573 4429 y(i)p Fr(=1)691 4405 y Fs(\036)745 4372 y Fr(+)804 4405 y Fw(\()p Fs(h)891 4419 y Fq(i)920 4405 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))1259 4372 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)1457 4405 y Fw(=)25 b(s-)15 b(lim)1761 4419 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)2001 4405 y Fw(e)2041 4372 y Fr(i)p Fq(tH)2154 4405 y Fw(\005)2222 4372 y Fq(n)2222 4429 y(i)p Fr(=1)2341 4405 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)2482 4419 y Fq(i;t)2556 4405 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2895 4372 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)3067 4405 y Fw(e)3107 4372 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)505 4605 y Ft(k)p Fw(\005)618 4572 y Fq(n)618 4628 y Fr(1)665 4605 y Fs(\036)719 4572 y Fr(+)778 4605 y Fw(\()p Fs(h)865 4619 y Fq(i)894 4605 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))1233 4572 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)1406 4605 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)1638 4619 y Fq(n)1684 4605 y Fw(\005)1752 4572 y Fq(n)1752 4628 y Fr(1)1800 4605 y Ft(k)p Fw(\(1)c(+)f Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)2147 4542 y Fm(1)p 2148 4554 V 2148 4595 a(2)2212 4605 y Fw(+)g Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)2403 4569 y FF(\000)2468 4542 y Fm(1)p 2469 4554 V 2469 4595 a(2)2513 4605 y Fw(\))p Fs(h)2600 4619 y Fq(i)2629 4605 y Ft(k)p Fs(:)0 4790 y Fu(iii\))33 b(The)g(op)-5 b(er)g(ators)37 b Fs(\036)790 4757 y Fr(+)849 4790 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))d Fu(satisfy)h(in)e(the)g(sense)h(of)f(quadr)-5 b(atic)35 b(forms)f(on)g Ft(D)s Fw(\()p Fs(\036)2850 4757 y Fr(+)2909 4790 y Fw(\()p Fs(h)2996 4804 y Fr(1)3036 4790 y Fw(\)\))22 b Ft(\\)e(D)s Fw(\()p Fs(\036)3371 4757 y Fr(+)3430 4790 y Fw(\()p Fs(h)3517 4804 y Fr(2)3557 4790 y Fw(\)\))34 b Fu(the)0 4903 y(c)-5 b(anonic)g(al)35 b(c)-5 b(ommutation)35 b(r)-5 b(elations)1289 5085 y Fw([)p Fs(\036)1368 5048 y Fr(+)1427 5085 y Fw(\()p Fs(h)1514 5099 y Fr(2)1554 5085 y Fw(\))p Fs(;)15 b(\036)1683 5048 y Fr(+)1743 5085 y Fw(\()p Fs(h)1830 5099 y Fr(1)1870 5085 y Fw(\)])26 b(=)f(iIm)o(\()p Fs(h)2273 5099 y Fr(2)2313 5085 y Ft(j)p Fs(h)2390 5099 y Fr(1)2430 5085 y Fw(\))p Fs(:)1844 5517 y Fw(59)p eop %%Page: 60 60 60 59 bop 0 162 a Fw(Note)31 b(that)f(the)g(estimates)h(on)e(the)h (domain)f(of)g(\005)1745 129 y Fq(n)1745 186 y(i)p Fr(=1)1864 162 y Fs(\036)1918 129 y Fr(+)1977 162 y Fw(\()p Fs(h)2064 176 y Fq(i)2093 162 y Fw(\))h(describ)s(ed)e(in)g Fu(ii\))i Fw(are)g(b)s(etter)f(for)h Fs(n)25 b Fw(=)g(1)30 b(than)0 275 y(for)g(arbitrary)f Fs(n)c Ft(\025)g Fw(2.)141 388 y Fi(Pro)s(of.)71 b Fu(i\))37 b Fw(and)g Fu(iii\))g Fw(follo)m(w)f(b)m (y)h(general)h(argumen)m(ts)f(from)g(the)g(fact)h(that)g Fl(h)2928 402 y Fr(0)3004 388 y Ft(3)f Fs(h)g Ft(7!)f Fs(W)3417 355 y Fr(+)3476 388 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))i(is)e(a)0 501 y(regular)30 b(CCR)f(represen)m(tation)i(\(see)g(eg)g([DG3)r(,)f (Sect.)41 b(2.2]\).)141 614 y(W)-8 b(e)32 b(will)d(pro)m(v)m(e)j Fu(ii\))f Fw(for)f(arbitrary)g Fs(n)h Fw(and)f(explain)g(then)g(the)i (mo)s(di\014cations)d(for)i(the)g(case)h Fs(n)26 b Fw(=)g(1.)43 b(W)-8 b(e)0 727 y(\014rst)30 b(pro)m(v)m(e)h(the)f(existence)h(of)g (the)f(norm)g(limit)836 931 y(lim)788 986 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1025 931 y Fw(e)1065 894 y Fr(i)p Fq(tH)1178 931 y Fw(\005)1246 894 y Fq(n)1246 954 y Fr(1)1293 931 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)1434 945 y Fq(i;t)1508 931 y Fw(\)\()p Fs(H)e Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))1847 894 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)2019 931 y Fw(e)2059 894 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2252 931 y Fw(=:)25 b Fs(R)2443 894 y Fr(+)2502 931 y Fw(\()p Fs(h)2589 945 y Fr(1)2629 931 y Fs(;)15 b(:)g(:)g(:)i(;)e(h)2883 945 y Fq(n)2931 931 y Fw(\))p Fs(;)-2991 b Fw(\(8.5\))0 1196 y(for)41 b Fs(h)202 1210 y Fq(i)275 1196 y Ft(2)j Fl(h)423 1210 y Fr(0)490 1196 y Ft(\\)27 b(D)s Fw(\()p Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)796 1133 y Fm(1)p 797 1145 31 4 v 797 1186 a(2)842 1196 y Fw(\).)74 b(W)-8 b(e)43 b(deduce)e(from)h(the)f(iden)m(tit)m(y)h(\(8.3\))h(that)f (the)g(Heisen)m(b)s(erg)f(deriv)-5 b(ativ)m(e)41 b(of)0 1244 y Fp(Q)78 1271 y Fq(n)78 1332 y Fr(1)141 1309 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)282 1323 y Fq(i;t)356 1309 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)19 b Fs(b)p Fw(\))694 1276 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)898 1309 y Fw(de\014ned)29 b(as)h(a)h(quadratic)f(form)g (on)g Ft(D)s Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))31 b(equals)1312 1522 y([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(i\005)1642 1485 y Fq(n)1642 1545 y Fr(1)1690 1522 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)1831 1536 y Fq(i;t)1905 1522 y Fw(\)]\()p Fs(H)29 b Fw(+)19 b Fs(b)p Fw(\))2269 1485 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)2442 1522 y Fs(:)0 1726 y Fw(Since)29 b([)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(i)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)640 1740 y Fq(i;t)715 1726 y Fw(\)])26 b(=)f(Im)o(\()p Fs(h)1092 1740 y Fq(i;t)1166 1726 y Fs(;)15 b(v)s Fw(\))31 b(is)d(b)s(ounded)g(and)h(using)f(Lemma)h(3.10,)j (\(8.1\))f(and)e(stationary)h(phase)0 1839 y(argumen)m(ts)43 b(as)g(in)f(the)h(pro)s(of)f(of)h(Thm.)77 b(8.1)44 b(w)m(e)f(obtain)f (the)h(existence)h(of)f(the)g(limit)d(\(8.5\))45 b(for)d Fs(h)3644 1853 y Fq(i)3719 1839 y Ft(2)0 1952 y Fs(C)72 1919 y FF(1)65 1975 y Fr(0)146 1952 y Fw(\(I)-15 b(R)266 1916 y Fr(3)306 1952 y Ft(nf)p Fw(0)p Ft(g)p Fw(\).)42 b(A)31 b(densit)m(y)f(argumen)m(t)g(and)g(the)h(norm)e(con)m(tin)m(uit) m(y)i(of)833 2172 y(\()p Fs(h)920 2186 y Fr(1)960 2172 y Fs(;)15 b(:)g(:)g(:)i(;)e(h)1214 2186 y Fq(n)1262 2172 y Fw(\))25 b Ft(2)g Fw(\()p Fl(h)1486 2186 y Fr(0)1546 2172 y Ft(\\)20 b(D)s Fw(\()p Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)1845 2107 y Fm(1)p 1846 2119 V 1846 2160 a(2)1890 2172 y Fw(\)\))1960 2134 y Fq(n)2033 2172 y Ft(7!)26 b Fw(\005)2218 2134 y Fq(n)2218 2194 y Fr(1)2265 2172 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)2406 2186 y Fq(i)2435 2172 y Fw(\)\()p Fs(H)i Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2774 2134 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)0 2389 y Fw(sho)m(wn)31 b(in)g(Lemma)g(3.10)j(pro)m(v)m(es)e(the)g(existence)g (of)g(the)g(limit)e(\(8.5\))j(for)f(arbitrary)e Fs(h)3013 2403 y Fq(i)3069 2389 y Ft(2)d Fl(h)3200 2403 y Fr(0)3261 2389 y Ft(\\)21 b(D)s Fw(\()p Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)3561 2326 y Fm(1)p 3562 2338 V 3562 2379 a(2)3606 2389 y Fw(\).)45 b(It)0 2502 y(follo)m(ws)29 b(then)i(again)f(from)g(Lemma)g(3.10)i (that)924 2716 y Ft(k)p Fs(R)1039 2679 y Fr(+)1098 2716 y Fw(\()p Fs(h)1185 2730 y Fr(1)1225 2716 y Fs(;)15 b(:)g(:)g(:)i(;)e (h)1479 2730 y Fq(n)1526 2716 y Fw(\))p Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)1793 2730 y Fq(n)1840 2716 y Fw(\005)1908 2679 y Fq(n)1908 2739 y Fr(1)1955 2716 y Ft(k)p Fw(\(1)d(+)e Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)2303 2651 y Fm(1)p 2304 2663 V 2304 2705 a(2)2368 2716 y Fw(+)g Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)2559 2679 y FF(\000)2624 2651 y Fm(1)p 2625 2663 V 2625 2705 a(2)2669 2716 y Fw(\))p Fs(h)2756 2730 y Fq(i)2785 2716 y Ft(k)p Fs(:)-2855 b Fw(\(8.6\))141 2920 y(Let)29 b(us)f(no)m(w)g(complete)h (the)f(pro)s(of)g(of)g Fu(ii\))g Fw(b)m(y)h(induction)c(on)k Fs(n)p Fw(.)39 b(The)28 b(pro)s(of)g(of)g Fu(ii\))g Fw(for)g Fs(n)d Fw(=)g(1)k(needed)f(to)0 3046 y(start)k(the)g(induction)d (argumen)m(t)j(will)d(b)s(e)i(giv)m(en)h(later.)44 b(Let)32 b Fs(h)2194 3060 y Fq(i)2250 3046 y Ft(2)27 b Fl(h)2381 3060 y Fr(0)2442 3046 y Ft(\\)20 b(D)s Fw(\()p Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)2741 2984 y Fm(1)p 2742 2996 V 2742 3037 a(2)2786 3046 y Fw(\),)33 b(1)28 b Ft(\024)f Fs(i)g Ft(\024)g Fs(n)p Fw(.)44 b(W)-8 b(e)33 b(ha)m(v)m(e)g(to)0 3159 y(sho)m(w)d(that)1273 3272 y Ft(D)s Fw(\(\()p Fs(H)d Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))1684 3235 y Fq(n=)p Fr(2)1802 3272 y Fw(\))26 b Ft(\032)f(D)s Fw(\(\005)2135 3235 y Fq(n)2135 3295 y Fr(1)2182 3272 y Fs(\036)2236 3235 y Fr(+)2295 3272 y Fw(\()p Fs(h)2382 3286 y Fq(i)2411 3272 y Fw(\)\))p Fs(;)-2506 b Fw(\(8.7\))0 3439 y(and)30 b(then)g(that)1092 3552 y(\005)1160 3515 y Fq(n)1160 3575 y Fr(1)1207 3552 y Fs(\036)1261 3515 y Fr(+)1321 3552 y Fw(\()p Fs(h)1408 3566 y Fq(i)1437 3552 y Fw(\)\()p Fs(H)d Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))1775 3515 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)1973 3552 y Fw(=)25 b Fs(R)2139 3515 y Fr(+)2198 3552 y Fw(\()p Fs(h)2285 3566 y Fr(1)2325 3552 y Fs(;)15 b(:)g(:)g(:)i(;)e(h)2579 3566 y Fq(n)2627 3552 y Fw(\))p Fs(:)-2687 b Fw(\(8.8\))0 3719 y(T)-8 b(o)31 b(pro)m(v)m(e)g(\(8.7\))h(w)m(e)f(ha)m(v)m(e)h(to)f (sho)m(w)f(that)h(for)f Fs(u)25 b Ft(2)g(H)q Fw(:)830 3923 y(sup)826 4000 y Fq(s)p FF(2)p Fr(I)-12 b(R)986 3923 y Ft(k)p Fs(s)1074 3886 y FF(\000)p Fr(1)1168 3923 y Fw(\()p Fs(W)1302 3886 y Fr(+)1361 3923 y Fw(\()p Fs(sh)1491 3937 y Fr(1)1531 3923 y Fw(\))21 b Ft(\000)e Fw(1)-20 b(l\)\005)1831 3886 y Fq(n)1831 3946 y Fr(2)1878 3923 y Fs(\036)1932 3886 y Fr(+)1992 3923 y Fw(\()p Fs(h)2079 3937 y Fq(i)2108 3923 y Fw(\)\()p Fs(H)27 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2446 3886 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)2619 3923 y Fs(u)p Ft(k)26 b Fs(<)f Ft(1)p Fs(:)0 4195 y Fw(By)31 b(the)f(induction)e(assumption,)h Ft(D)s Fw(\()p Fs(H)f Fw(+)19 b Fs(b)p Fw(\))1585 4162 y Fq(n=)p Fr(2)1729 4195 y Ft(\032)25 b Fw(\005)1893 4162 y Fq(n)1893 4218 y Fr(2)1940 4195 y Fs(\036)1994 4162 y Fr(+)2053 4195 y Fw(\()p Fs(h)2140 4209 y Fq(i)2169 4195 y Fw(\))30 b(and)617 4399 y(\005)685 4362 y Fq(n)685 4422 y Fr(2)732 4399 y Fs(\036)786 4362 y Fr(+)845 4399 y Fw(\()p Fs(h)932 4413 y Fq(i)961 4399 y Fw(\)\()p Fs(H)e Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))1300 4362 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)1473 4399 y Fs(u)25 b Fw(=)73 b(lim)1646 4454 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1883 4399 y Fw(e)1923 4362 y Fr(i)p Fq(tH)2036 4399 y Fw(\005)2104 4362 y Fq(n)2104 4422 y Fr(2)2151 4399 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)2292 4413 y Fq(i;t)2366 4399 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2705 4362 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)2877 4399 y Fw(e)2917 4362 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)3085 4399 y Fs(u:)-3162 b Fw(\(8.9\))0 4647 y(Using)30 b(\(8.9\))i(and)d(the)i(fact)g(that)g(e)1222 4614 y Fr(i)p Fq(tH)1335 4647 y Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(h)1521 4661 y Fr(1)p Fq(;t)1606 4647 y Fw(\)e)1681 4614 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1879 4647 y Fw(is)29 b(uniformly)f(b)s(ounded)g(in)h Fs(t)p Fw(,)i(w)m(e)f(get:)784 4856 y Fs(s)827 4823 y FF(\000)p Fr(1)921 4856 y Fw(\()p Fs(W)1055 4823 y Fr(+)1114 4856 y Fw(\()p Fs(sh)1244 4870 y Fr(1)1284 4856 y Fw(\))20 b Ft(\000)g Fw(1)-20 b(l\)\005)1584 4823 y Fq(n)1584 4879 y Fr(2)1631 4856 y Fs(\036)1685 4823 y Fr(+)1745 4856 y Fw(\()p Fs(h)1832 4870 y Fq(i)1861 4856 y Fw(\)\()p Fs(H)27 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2199 4823 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)2372 4856 y Fs(u)631 5044 y Fw(=)82 b(lim)911 5058 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1151 5044 y Fs(s)1194 5011 y FF(\000)p Fr(1)1288 5044 y Fw(e)1328 5011 y Fr(i)p Fq(tH)1441 5044 y Fw(\()p Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(sh)1705 5058 y Fr(1)p Fq(;t)1790 5044 y Fw(\))20 b Ft(\000)g Fw(1)-20 b(l\)\005)2090 5011 y Fq(n)2090 5067 y Fr(2)2137 5044 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)2278 5058 y Fq(i;t)2352 5044 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2691 5011 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)2864 5044 y Fw(e)2904 5011 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)3072 5044 y Fs(u:)0 4948 y Fw(\(8.10\))1844 5517 y(60)p eop %%Page: 61 61 61 60 bop 0 162 a Fw(Hence)864 253 y Ft(k)p Fs(s)952 220 y FF(\000)p Fr(1)1047 253 y Fw(\()p Fs(W)1181 220 y Fr(+)1240 253 y Fw(\()p Fs(sh)1370 267 y Fr(1)1409 253 y Fw(\))21 b Ft(\000)f Fw(1)-20 b(l)o(\)\005)1709 220 y Fq(n)1709 276 y Fr(2)1757 253 y Fs(\036)1811 220 y Fr(+)1870 253 y Fw(\()p Fs(h)1957 267 y Fq(i)1986 253 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2325 220 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)2497 253 y Fs(u)p Ft(k)711 441 y(\024)82 b Fw(sup)1001 463 y Fq(t)p FF(2)p Fr(I)-12 b(R)1159 441 y Ft(k)p Fs(s)1247 408 y FF(\000)p Fr(1)1341 441 y Fw(\()p Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(sh)1605 455 y Fr(1)p Fq(;t)1690 441 y Fw(\))20 b Ft(\000)g Fw(1)-20 b(l\)\005)1990 408 y Fq(n)1990 464 y Fr(2)2037 441 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)2178 455 y Fq(i;t)2252 441 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2591 408 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)2764 441 y Fw(e)2804 408 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2971 441 y Fs(u)p Ft(k)711 628 y(\024)82 b Fw(sup)1001 650 y Fq(t)p FF(2)p Fr(I)-12 b(R)1159 628 y Ft(k)p Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)1345 642 y Fr(1)p Fq(;t)1430 628 y Fw(\)\005)1533 595 y Fq(n)1533 652 y Fr(2)1581 628 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)1722 642 y Fq(i;t)1796 628 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2135 595 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)2308 628 y Ft(kk)p Fs(u)p Ft(k)711 828 y(\024)82 b Fs(C)7 b Fw(\005)1004 795 y Fq(n)1004 851 y Fr(1)1051 828 y Ft(k)p Fw(\(1)21 b(+)f Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)1398 765 y Fm(1)p 1399 777 31 4 v 1399 819 a(2)1464 828 y Fw(+)g Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)1655 792 y FF(\000)1720 765 y Fm(1)p 1720 777 V 1720 819 a(2)1765 828 y Fw(\))p Fs(h)1852 842 y Fq(i)1881 828 y Ft(kk)p Fs(u)p Ft(k)p Fs(;)0 988 y Fw(b)m(y)29 b(Lemma)h(3.10.)42 b(This)27 b(pro)m(v)m(es)j(\(8.7\).)42 b(T)-8 b(o)30 b(pro)m(v)m(e)g(\(8.8\),)i(it)d(su\016ces)g(to)h(sho)m(w) f(that)h(for)f Fs(v)g Ft(2)c(D)s Fw(,)k Ft(D)j Fw(a)e(dense)0 1101 y(subspace)g(of)g Ft(H)q Fw(:)405 1297 y(lim)399 1354 y Fq(s)p FF(!)p Fr(0)537 1297 y Fw(\(i)p Fs(s)p Fw(\))676 1259 y FF(\000)p Fr(1)770 1297 y Fw(\()p Fs(v)s(;)15 b Fw(\()p Fs(W)1026 1259 y Fr(+)1086 1297 y Fw(\()p Fs(sh)1216 1311 y Fr(1)1256 1297 y Fw(\))20 b Ft(\000)g Fw(1)-20 b(l\)\005)1556 1259 y Fq(n)1556 1319 y Fr(2)1603 1297 y Fs(\036)1657 1259 y Fr(+)1716 1297 y Fw(\()p Fs(h)1803 1311 y Fq(i)1832 1297 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2171 1259 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)2344 1297 y Fs(u)p Fw(\))26 b(=)f(\()p Fs(v)s(;)15 b(R)2745 1259 y Fr(+)2804 1297 y Fw(\()p Fs(h)2891 1311 y Fr(1)2932 1297 y Fs(;)g(:)g(:)g(:)h(;)f(h)3185 1311 y Fq(n)3233 1297 y Fw(\))p Fs(u)p Fw(\))p Fs(:)0 1521 y Fw(By)31 b(\(8.10\))h(w)m(e)f(ha)m(v)m(e:)588 1718 y(\(i)p Fs(s)p Fw(\))727 1685 y FF(\000)p Fr(1)821 1718 y Fw(\()p Fs(v)s(;)15 b Fw(\()p Fs(W)1077 1685 y Fr(+)1137 1718 y Fw(\()p Fs(sh)1267 1732 y Fr(1)1307 1718 y Fw(\))21 b Ft(\000)e Fw(1)-20 b(l\)\005)1607 1685 y Fq(n)1607 1741 y Fr(2)1654 1718 y Fs(\036)1708 1685 y Fr(+)1768 1718 y Fw(\()p Fs(h)1855 1732 y Fq(i)1884 1718 y Fw(\)\()p Fs(H)27 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2222 1685 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)2395 1718 y Fs(u)p Fw(\))435 1905 y(=)82 b(lim)715 1919 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)940 1905 y Fw(\(i)p Fs(s)p Fw(\))1079 1872 y FF(\000)p Fr(1)1173 1905 y Fw(\(e)1248 1872 y Fr(i)p Fq(tH)1361 1905 y Fw(\()p Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(sh)1625 1919 y Fr(1)p Fq(;t)1710 1905 y Fw(\))21 b Ft(\000)e Fw(1)-20 b(l\)e)1982 1872 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2150 1905 y Fs(v)s(;)15 b Fw(e)2277 1872 y Fr(i)p Fq(tH)2390 1905 y Fw(\005)2458 1872 y Fq(n)2458 1928 y Fr(2)2506 1905 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)2647 1919 y Fq(i;t)2721 1905 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)19 b Fs(b)p Fw(\))3059 1872 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)3232 1905 y Fs(u)p Fw(\))p Fs(:)0 2109 y Fw(Since)29 b Ft(j)p Fs(s)305 2076 y FF(\000)p Fr(1)400 2109 y Fw(\(e)475 2076 y Fr(i)p Fq(s\025)593 2109 y Ft(\000)20 b Fw(1\))h Ft(\000)f Fw(i)p Fs(\025)p Ft(j)25 b(\024)g Fs(C)1166 2123 y Fr(0)1205 2109 y Ft(j)p Fs(s)p Ft(jj)p Fs(\025)p Ft(j)1401 2076 y Fr(2)1441 2109 y Fw(,)31 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)g(using)e(Lemma)i (3.10:)535 2321 y Ft(k)580 2226 y Fp(\020)630 2321 y Fw(\(i)p Fs(s)p Fw(\))769 2283 y FF(\000)p Fr(1)863 2321 y Fw(\()p Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(sh)1127 2335 y Fr(1)p Fq(;t)1211 2321 y Fw(\))21 b Ft(\000)f Fw(1)-20 b(l)o(\))21 b Ft(\000)f Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)1696 2335 y Fr(1)p Fq(;t)1781 2321 y Fw(\))1816 2226 y Fp(\021)1866 2321 y Fw(\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2170 2283 y FF(\000)p Fr(1)2264 2321 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)7 b Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)p Fs(;)45 b Fw(uniformly)28 b(in)h Fs(t:)0 2532 y Fw(Hence)i(for)f Fs(v)f Ft(2)c(D)s Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\),)31 b(w)m(e)f(ha)m(v)m(e:)459 2728 y(lim)585 2742 y Fq(s)p FF(!)p Fr(0)728 2728 y Fw(\(i)p Fs(s)p Fw(\))867 2695 y FF(\000)p Fr(1)961 2728 y Fw(\()p Fs(v)s(;)15 b Fw(\()p Fs(W)1217 2695 y Fr(+)1277 2728 y Fw(\()p Fs(sh)1407 2742 y Fr(1)1447 2728 y Fw(\))20 b Ft(\000)g Fw(1)-20 b(l)o(\)\005)1746 2695 y Fq(n)1746 2752 y Fr(2)1794 2728 y Fs(\036)1848 2695 y Fr(+)1907 2728 y Fw(\()p Fs(h)1994 2742 y Fq(i)2023 2728 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2362 2695 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)2535 2728 y Fs(u)p Fw(\))305 2916 y(=)83 b(lim)585 2930 y Fq(s)p FF(!)p Fr(0)743 2916 y Fw(lim)869 2930 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1095 2916 y Fw(\(i)p Fs(s)p Fw(\))1234 2883 y FF(\000)p Fr(1)1328 2916 y Fw(\(e)1403 2883 y Fr(i)p Fq(tH)1516 2916 y Fw(\()p Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(sh)1780 2930 y Fr(1)p Fq(;t)1865 2916 y Fw(\))20 b Ft(\000)g Fw(1)-20 b(l\)e)2137 2883 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2305 2916 y Fs(v)s(;)15 b Fw(e)2432 2883 y Fr(i)p Fq(tH)2545 2916 y Fw(\005)2613 2883 y Fq(n)2613 2939 y Fr(2)2660 2916 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)2801 2930 y Fq(i;t)2875 2916 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))3214 2883 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)3387 2916 y Fs(u)p Fw(\))305 3104 y(=)83 b(lim)585 3118 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)811 3104 y Fw(\(e)886 3071 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1054 3104 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)1195 3118 y Fr(1)p Fq(;t)1280 3104 y Fw(\)e)1355 3071 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1523 3104 y Fs(v)s(;)15 b Fw(e)1650 3071 y Fr(i)p Fq(tH)1764 3104 y Fw(\005)1832 3071 y Fq(n)1832 3127 y Fr(2)1879 3104 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)2020 3118 y Fq(i;t)2094 3104 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2433 3071 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)2606 3104 y Fs(u)p Fw(\))305 3291 y(=)83 b(lim)585 3305 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)811 3291 y Fw(\()p Fs(v)s(;)15 b Fw(e)973 3258 y Fr(i)p Fq(tH)1087 3291 y Fw(\005)1155 3258 y Fq(n)1155 3314 y Fr(1)1202 3291 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)1343 3305 y Fq(i;t)1417 3291 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))1756 3258 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)1929 3291 y Fs(u)p Fw(\))305 3475 y(=)83 b(\()p Fs(v)s(;)15 b(R)651 3442 y Fr(+)711 3475 y Fw(\()p Fs(h)798 3489 y Fr(1)838 3475 y Fs(;)g(:)g(:)g(:)i(;)e (h)1092 3489 y Fq(n)1139 3475 y Fw(\))p Fs(u)p Fw(\))p Fs(;)0 3663 y Fw(as)31 b(claimed.)39 b(The)30 b(fact)h(that)805 3859 y Ft(k)p Fw(\005)918 3821 y Fq(n)918 3881 y Fr(1)965 3859 y Fs(\036)1019 3821 y Fr(+)1078 3859 y Fw(\()p Fs(h)1165 3873 y Fq(i)1194 3859 y Fw(\)\()p Fs(H)d Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))1533 3821 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)1706 3859 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)1938 3873 y Fq(n)1985 3859 y Fw(\005)2053 3821 y Fq(n)2053 3881 y Fr(1)2100 3859 y Ft(k)p Fw(\(1)c(+)f Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)2447 3794 y Fm(1)p 2448 3806 V 2448 3847 a(2)2512 3859 y Fw(+)g Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)2703 3821 y FF(\000)2768 3794 y Fm(1)p 2769 3806 V 2769 3847 a(2)2814 3859 y Fw(\))p Fs(h)2901 3873 y Fq(i)2929 3859 y Ft(k)0 4054 y Fw(follo)m(ws)29 b(then)i(from)e(\(8.6\).)141 4167 y(Let)e(us)g(no)m(w)f(pro)m(v)m(e)i Fu(ii\))f Fw(in)e(the)i(case)h Fs(n)d Fw(=)g(1.)40 b(The)26 b(existence)h(of)g(the)g(limit)e(\(8.5\))j (for)f Fs(n)e Fw(=)g(1)i(and)f Fs(h)3546 4181 y Fr(1)3611 4167 y Ft(2)f Fl(h)3740 4181 y Fr(0)0 4280 y Fw(follo)m(ws)h(from)g (the)h(same)g(argumen)m(ts,)g(using)f(Prop.)38 b(A.1)28 b(instead)e(of)g(Lemma)h(3.10.)41 b(The)26 b(pro)s(of)g(of)h(the)g (fact)0 4393 y(that)33 b Fs(R)269 4360 y Fr(+)327 4393 y Fw(\()p Fs(h)414 4407 y Fr(1)454 4393 y Fw(\)\()p Fs(H)c Fw(+)21 b Fs(b)p Fw(\))795 4357 y FF(\000)860 4330 y Fm(1)p 861 4342 V 861 4383 a(2)933 4393 y Fw(=)28 b Fs(\036)1086 4360 y Fr(+)1145 4393 y Fw(\()p Fs(h)1232 4407 y Fr(1)1272 4393 y Fw(\)\()p Fs(H)h Fw(+)21 b Fs(b)p Fw(\))1613 4357 y FF(\000)1678 4330 y Fm(1)p 1678 4342 V 1678 4383 a(2)1755 4393 y Fw(is)31 b(also)h(similar)d(to)k(the)f(general)g(case,)h(using)e (Prop.)45 b(A.1)0 4506 y(instead)30 b(of)g(Lemma)h(3.10.)42 b Fh(2)141 4666 y Fw(The)26 b(follo)m(wing)f(theorem)i(follo)m(ws)e (directly)g(from)h(Thm.)38 b(8.2)28 b(and)e(from)g(general)g(prop)s (erties)f(of)h(regular)0 4779 y(CCR)k(represen)m(tations)g(\(see)h(eg)g ([DG3)r(,)f(Sect.)42 b(3.3]\).)0 4959 y Fi(Theorem)69 b(8.3)46 b Fu(Assume)32 b(\(H0\))h(for)g Fs(\013)26 b(>)f Fw(1)p Fu(,)33 b(\(I0\),)g(\(I4\))h(for)f Fs(\026)2254 4973 y Fr(1)2318 4959 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(.)42 b(Then)141 5072 y(i\))33 b(F)-7 b(or)33 b(any)h Fs(h)25 b Ft(2)g Fl(h)789 5086 y Fr(0)829 5072 y Fu(,)32 b(the)h Fw(asymptotic)e (creation)g(and)e(annihilation)e(op)s(erators)33 b Fu(de\014ne)-5 b(d)34 b(on)1173 5268 y Ft(D)s Fw(\()p Fs(a)1329 5230 y Fr(+)p Fq(])1416 5268 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)\))26 b(:=)g Ft(D)s Fw(\()p Fs(\036)1883 5230 y Fr(+)1942 5268 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)\))c Ft(\\)d(D)s Fw(\()p Fs(\036)2363 5230 y Fr(+)2423 5268 y Fw(\(i)p Fs(h)p Fw(\)\))1844 5517 y(61)p eop %%Page: 62 62 62 61 bop 0 162 a Fu(by)1247 267 y Fs(a)1295 234 y Fr(+)p FF(\003)1389 267 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))26 b(:=)1698 232 y Fr(1)p 1668 247 95 4 v 1668 256 a FF(p)p 1727 256 36 3 v 55 x Fr(2)1788 267 y Fw(\()p Fs(\036)1877 234 y Fr(+)1936 267 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))c Ft(\000)d Fw(i)p Fs(\036)2250 234 y Fr(+)2309 267 y Fw(\(i)p Fs(h)p Fw(\)\))d Fs(;)1247 451 y(a)1295 418 y Fr(+)1354 451 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))26 b(:=)1663 415 y Fr(1)p 1633 430 95 4 v 1633 439 a FF(p)p 1692 439 36 3 v 55 x Fr(2)1752 451 y Fw(\()q Fs(\036)1842 418 y Fr(+)1901 451 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))21 b(+)f(i)p Fs(\036)2215 418 y Fr(+)2274 451 y Fw(\(i)p Fs(h)p Fw(\)\))15 b Fs(;)0 628 y Fu(ar)-5 b(e)33 b(close)-5 b(d.)0 741 y(ii\))35 b(The)g(op)-5 b(er)g(ators)39 b Fs(a)762 708 y Fr(+)p Fq(])883 741 y Fu(satisfy,)e(in)e(the)g(sense)g(of)g(forms)i(on)e Ft(D)s Fw(\()p Fs(a)2366 708 y Fr(+)p Fq(])2453 741 y Fw(\()p Fs(h)2540 755 y Fr(1)2580 741 y Fw(\)\))23 b Ft(\\)e(D)s Fw(\()p Fs(a)2911 708 y Fr(+)p Fq(])2998 741 y Fw(\()p Fs(h)3085 755 y Fr(2)3125 741 y Fw(\)\))p Fu(,)36 b(the)f(c)-5 b(anonic)g(al)0 854 y(c)g(ommutation)35 b(r)-5 b(elations)1068 1033 y Fw([)p Fs(a)1141 1000 y Fr(+)1200 1033 y Fw(\()p Fs(h)1287 1047 y Fr(1)1327 1033 y Fw(\))p Fs(;)15 b(a)1450 1000 y Fr(+)p FF(\003)1545 1033 y Fw(\()p Fs(h)1632 1047 y Fr(2)1673 1033 y Fw(\)])25 b(=)g(\()p Fs(h)1941 1047 y Fr(1)1982 1033 y Ft(j)p Fs(h)2059 1047 y Fr(2)2099 1033 y Fw(\)1)-20 b(l)p Fs(;)1068 1216 y Fw([)p Fs(a)1141 1183 y Fr(+)1200 1216 y Fw(\()p Fs(h)1287 1230 y Fr(2)1327 1216 y Fw(\))p Fs(;)15 b(a)1450 1183 y Fr(+)1510 1216 y Fw(\()p Fs(h)1597 1230 y Fr(1)1637 1216 y Fw(\)])26 b(=)f([)p Fs(a)1892 1183 y Fr(+)p FF(\003)1987 1216 y Fw(\()p Fs(h)2074 1230 y Fr(2)2114 1216 y Fw(\))p Fs(;)15 b(a)2237 1183 y Fr(+)p FF(\003)2332 1216 y Fw(\()p Fs(h)2419 1230 y Fr(1)2459 1216 y Fw(\)])26 b(=)f(0)p Fs(:)0 1418 y Fu(iii\))1336 1531 y Fw(e)1376 1493 y Fr(i)p Fq(tH)1489 1531 y Fs(a)1537 1493 y Fr(+)p Fq(])1624 1531 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)e)1786 1493 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1980 1531 y Fw(=)g Fs(a)2124 1493 y Fr(+)p Fq(])2210 1531 y Fw(\()p Fs(h)2297 1545 y FF(\000)p Fq(t)2382 1531 y Fw(\))p Fs(:)-2442 b Fw(\(8.11\))141 1924 y Fu(iv\))33 b(F)-7 b(or)33 b Fs(h)26 b Ft(2)f Fl(h)657 1938 y Fr(0)696 1924 y Fu(,)33 b Ft(D)s Fw(\()p Fs(H)27 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))1143 1861 y Fm(1)p 1143 1873 31 4 v 1143 1914 a(2)1213 1924 y Ft(\032)25 b(D)s Fw(\()p Fs(a)1465 1891 y Fr(+)p Fq(])1552 1924 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)\))34 b Fu(and:)754 2141 y Fs(a)802 2108 y Fr(+)p Fq(])889 2141 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))1315 2105 y FF(\000)1380 2078 y Fm(1)p 1380 2090 V 1380 2131 a(2)1450 2141 y Fw(=)25 b(s-)15 b(lim)1754 2155 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1994 2141 y Fw(e)2034 2108 y Fr(i)p Fq(tH)2147 2141 y Fs(a)2195 2108 y Fq(])2227 2141 y Fw(\()p Fs(h)2314 2155 y Fq(t)2344 2141 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2683 2105 y FF(\000)2748 2078 y Fm(1)p 2748 2090 V 2748 2131 a(2)2793 2141 y Fw(e)2833 2108 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)3000 2141 y Fs(;)754 2341 y Ft(k)p Fs(a)847 2308 y Fr(+)p Fq(])934 2341 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)\()p Fs(H)29 b Fw(+)19 b Fs(b)p Fw(\))1360 2305 y FF(\000)1425 2278 y Fm(1)p 1426 2290 V 1426 2331 a(2)1470 2341 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)7 b Ft(k)p Fw(\(1)21 b(+)f Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)2046 2305 y FF(\000)2111 2278 y Fm(1)p 2111 2290 V 2111 2331 a(2)2156 2341 y Fw(\))p Fs(h)p Ft(k)p Fs(:)0 2570 y Fu(F)-7 b(or)34 b Fs(h)222 2584 y Fq(i)276 2570 y Ft(2)24 b Fl(h)404 2584 y Fr(0)464 2570 y Ft(\\)c(D)s Fw(\()p Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)763 2507 y Fm(1)p 764 2519 V 764 2560 a(2)808 2570 y Fw(\))p Fu(,)33 b Fw(1)26 b Ft(\024)f Fs(i)g Ft(\024)g Fs(n)p Fu(,)32 b Fs(n)25 b Ft(\025)g Fw(2)p Fu(,)33 b Ft(D)s Fw(\(\()p Fs(H)27 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2031 2537 y Fq(n=)p Fr(2)2149 2570 y Fw(\))26 b Ft(\032)f(D)s Fw(\(\005)2482 2537 y Fq(n)2482 2593 y Fr(1)2529 2570 y Fs(a)2577 2537 y Fr(+)p Fq(])2663 2570 y Fw(\()p Fs(h)2750 2584 y Fq(i)2779 2570 y Fw(\)\))34 b Fu(and)630 2777 y Fw(\005)698 2732 y Fq(p)698 2801 y Fr(1)738 2777 y Fs(a)786 2744 y Fr(+)p Fq(])872 2777 y Fw(\()p Fs(h)959 2791 y Fq(i)988 2777 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))1327 2741 y FF(\000)1392 2714 y Fj(n)p 1392 2726 39 4 v 1396 2767 a Fm(2)1470 2777 y Fw(=)25 b(s-)15 b(lim)1773 2791 y Fq(t)p FF(!1)1959 2777 y Fw(e)1999 2744 y Fr(i)p Fq(tH)2112 2777 y Fw(\005)2180 2732 y Fq(p)2180 2801 y Fr(1)2220 2777 y Fs(a)2268 2744 y Fq(])2299 2777 y Fw(\()p Fs(h)2386 2791 y Fq(i;t)2460 2777 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2799 2741 y FF(\000)2864 2714 y Fj(n)p 2864 2726 V 2868 2767 a Fm(2)2917 2777 y Fw(e)2957 2744 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)3125 2777 y Fs(;)630 2977 y Ft(k)p Fw(\005)743 2944 y Fq(n)743 3000 y Fr(1)790 2977 y Fs(a)838 2944 y Fr(+)p Fq(])925 2977 y Fw(\()p Fs(h)1012 2991 y Fq(i)1041 2977 y Fw(\)\()p Fs(H)28 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))1380 2944 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)1552 2977 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)1784 2991 y Fq(n)1831 2977 y Fw(\005)1899 2944 y Fq(n)1899 3000 y Fr(1)1946 2977 y Ft(k)p Fw(\(1)d(+)e Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)2294 2914 y Fm(1)p 2294 2926 31 4 v 2294 2967 a(2)2359 2977 y Fw(+)g Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)2550 2941 y FF(\000)2615 2914 y Fm(1)p 2615 2926 V 2615 2967 a(2)2660 2977 y Fw(\))p Fs(h)2747 2991 y Fq(i)2776 2977 y Ft(k)p Fs(:)0 3353 y Fv(8.2)112 b(Asymptotic)35 b(v)-6 b(acuum)38 b(spaces)g(and)h(w)m(a)m(v)m(e)f(op)s (erators)f(for)h Ff(H)0 3525 y Fw(In)29 b(this)h(subsection,)f(w)m(e)i (recall)e(the)i(construction)f(of)g(the)g(asymptotic)h(v)-5 b(acuum)30 b(spaces)g(and)g(of)g(the)h(w)m(a)m(v)m(e)0 3638 y(op)s(erators,)h(see)f(eg)h([HK1)q(],)f([DG2)r(,)g(Sect.)44 b(5.3],)33 b([DG3)q(,)e(Sect.)44 b(10.2].)g(W)-8 b(e)33 b(de\014ne)d(the)h Fu(asymptotic)36 b(vacuum)0 3751 y(sp)-5 b(ac)g(e)1168 3864 y Ft(K)1238 3826 y Fr(+)1322 3864 y Fw(:=)26 b Ft(f)p Fs(u)f Ft(2)g(H)31 b(j)p Fs(a)1833 3826 y Fr(+)1893 3864 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))p Fs(u)26 b Fw(=)f(0)p Fs(;)36 b(h)26 b Ft(2)e Fl(h)2501 3878 y Fr(0)2541 3864 y Ft(g)p Fs(:)0 4031 y Fw(The)30 b Fu(asymptotic)35 b(sp)-5 b(ac)g(e)31 b Fw(is)f(de\014ned)f(as)1510 4235 y Ft(H)1588 4197 y Fr(+)1587 4258 y(ext)1712 4235 y Fw(:=)c Ft(K)1903 4197 y Fr(+)1983 4235 y Ft(\012)20 b Fw(\000\()p Fl(h)p Fw(\))p Fs(:)0 4439 y Fi(Prop)s(osition)36 b(8.4)46 b Fu(i\))33 b Ft(K)912 4406 y Fr(+)1004 4439 y Fu(is)g(a)g(close)-5 b(d)33 b Fs(H)7 b Ft(\000)p Fu(invariant)34 b(sp)-5 b(ac)g(e.)0 4552 y(ii\))32 b Ft(K)195 4519 y Fr(+)288 4552 y Fu(is)g(include)-5 b(d)34 b(in)e(the)h(domain)h(of)f Fw(\005)1503 4508 y Fq(p)1503 4577 y Fr(1)1543 4552 y Fs(a)1591 4519 y Fr(+)p Fq(])1678 4552 y Fw(\()p Fs(h)1765 4566 y Fq(i)1794 4552 y Fw(\))p Fu(,)f(for)i Fs(h)2087 4566 y Fq(i)2140 4552 y Ft(2)25 b Fl(h)2269 4566 y Fr(0)2309 4552 y Fu(.)1520 4756 y Fs(iii)p Fw(\))d Ft(H)1747 4770 y Fr(pp)1829 4756 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))26 b Ft(\032)f(K)2174 4719 y Fr(+)2234 4756 y Fs(:)1844 5517 y Fw(62)p eop %%Page: 63 63 63 62 bop 0 162 a Fi(Pro)s(of.)57 b Fu(i\))33 b Fw(and)f Fu(ii\))h Fw(follo)m(w)g(b)m(y)g(the)g(general)g(prop)s(erties)f(of)h (CCR)f(represen)m(tations)h(\(see)h(eg)g([DG3)r(,)g(Sect.)0 275 y(4]\).)75 b(The)41 b(fact)i(that)f Ft(K)872 242 y Fr(+)973 275 y Fw(is)f Fs(H)7 b Ft(\000)p Fw(in)m(v)-5 b(arian)m(t)40 b(follo)m(ws)h(from)g(\(8.11\).)77 b(T)-8 b(o)42 b(pro)m(v)m(e)g Fu(iii\))f Fw(w)m(e)i(v)m(erify)e(that)h(for)0 388 y Fs(u)25 b Ft(2)g(D)s Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\),)31 b Fs(H)7 b(u)25 b Fw(=)g Fs(\025u)p Fw(,)31 b Fs(h)25 b Ft(2)g Fl(h)1068 402 y Fr(0)1108 388 y Fw(,)31 b Fs(a)p Fw(\()p Fs(h)1299 402 y Fq(t)1329 388 y Fw(\)e)1404 355 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1572 388 y Fs(u)25 b Fw(=)g(e)1785 355 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(t\025)1931 388 y Fs(a)p Fw(\()p Fs(h)2066 402 y Fq(t)2096 388 y Fw(\))p Fs(u)h Ft(2)f Fs(o)p Fw(\(1\).)42 b Fh(2)141 534 y Fw(The)30 b Fu(asymptotic)35 b(Hamiltonian)d Fw(is)d(de\014ned)g(b)m(y)994 689 y Fs(H)1077 651 y Fr(+)1162 689 y Fw(:=)c Fs(K)1367 651 y Fr(+)1446 689 y Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)19 b(+)h(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fw(d\000\()p Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)p Fw(\))p Fs(;)46 b Fw(acting)31 b(on)f Ft(H)2686 651 y Fr(+)2685 712 y(ext)0 844 y Fw(for)1623 956 y Fs(K)1707 919 y Fr(+)1791 956 y Fw(:=)25 b Fs(H)1995 859 y Fp(\014)1995 909 y(\014)1995 959 y(\014)2023 1013 y FF(K)2077 994 y Fm(+)2132 956 y Fs(:)0 1113 y Fw(W)-8 b(e)32 b(also)e(de\014ne)g(the)g Fu(wave)j(op)-5 b(er)g(ator)311 1260 y Fw(\012)377 1227 y Fr(+)461 1260 y Fw(:)26 b Ft(K)582 1227 y Fr(+)662 1260 y Ft(\012)19 b Fw(\000)809 1275 y Fr(\014n)892 1260 y Fw(\()p Fl(h)970 1274 y Fr(0)1010 1260 y Fw(\))25 b Ft(!)h(H)q Fs(;)311 1444 y Fw(\012)377 1411 y Fr(+)436 1444 y Fs( )e Ft(\012)c Fs(a)658 1411 y FF(\003)697 1444 y Fw(\()p Fs(h)784 1458 y Fr(1)824 1444 y Fw(\))15 b Ft(\001)g(\001)g(\001)i Fs(a)1044 1411 y FF(\003)1083 1444 y Fw(\()p Fs(h)1170 1458 y Fq(p)1211 1444 y Fw(\)\012)25 b(:=)g Fs(a)1506 1411 y Fr(+)p FF(\003)1601 1444 y Fw(\()p Fs(h)1688 1458 y Fr(1)1728 1444 y Fw(\))15 b Ft(\001)g(\001)g(\001)i Fs(a)1948 1411 y Fr(+)p FF(\003)2042 1444 y Fw(\()p Fs(h)2129 1458 y Fq(p)2169 1444 y Fw(\))p Fs( )s(;)138 b(h)2481 1458 y Fr(1)2521 1444 y Fs(;)15 b(:)g(:)g(:)h(;)f(h)2774 1458 y Fq(p)2840 1444 y Ft(2)25 b Fl(h)2969 1458 y Fr(0)3008 1444 y Fs(;)107 b( )29 b Ft(2)24 b(K)3383 1411 y Fr(+)3443 1444 y Fs(:)0 1352 y Fw(\(8.12\))0 1601 y(It)37 b(follo)m(ws)g(from)f (general)i(prop)s(erties)d(of)j(CCR)e(represen)m(tations)h(that)h(\012) 2640 1568 y Fr(+)2736 1601 y Fw(is)e(isometric)h(\(see)h(eg)g([DG3)q(,) 0 1714 y(Prop.)i(4.2]\).)j(Hence)31 b(w)m(e)g(can)f(uniquely)e(extend)i (\012)1802 1681 y Fr(+)1891 1714 y Fw(as)h(an)f(isometric)g(map)1592 1868 y(\012)1658 1831 y Fr(+)1741 1868 y Fw(:)c Ft(H)1870 1830 y Fr(+)1869 1891 y(ext)1994 1868 y Ft(!)f(H)0 2023 y Fw(suc)m(h)30 b(that)1197 2110 y Fs(a)1245 2077 y Fr(+)p Fq(])1332 2110 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)\012)1520 2077 y Fr(+)1605 2110 y Fw(=)25 b(\012)1767 2077 y Fr(+)1825 2110 y Fw(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fs(a)2035 2077 y Fq(])2067 2110 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))p Fs(;)97 b(h)26 b Ft(2)e Fl(h)2517 2124 y Fr(0)2557 2110 y Fs(;)1197 2294 y(H)7 b Fw(\012)1346 2261 y Fr(+)1430 2294 y Fw(=)25 b(\012)1592 2261 y Fr(+)1651 2294 y Fs(H)1734 2261 y Fr(+)1793 2294 y Fs(:)0 2428 y Fw(W)-8 b(e)32 b(set)1592 2541 y Ft(H)1670 2503 y Fr(+)1754 2541 y Fw(:=)25 b(Ran\012)2104 2503 y Fr(+)2163 2541 y Fs(:)0 2683 y Fw(Finally)k(w)m(e)j(giv)m(e)f (another)g(description)f(of)h Ft(H)1615 2650 y Fr(+)1705 2683 y Fw(using)e(the)i(notion)g(of)g Fu(asymptotic)36 b(numb)-5 b(er)33 b(op)-5 b(er)g(ator)35 b Fw(\(see)0 2796 y(eg)27 b([DG3)r(,)h(Sect.)40 b(4.2]\).)h(whic)m(h)25 b(w)m(e)i(no)m(w)g(recall.)39 b(W)-8 b(e)28 b(\014rst)d(recall)h(some)h (facts)h(ab)s(out)e(quadratic)g(forms.)39 b(W)-8 b(e)0 2908 y(will)28 b(assume)j(that)h(a)f(p)s(ositiv)m(e)f(quadratic)h(form) f(is)g(de\014ned)g(on)h(the)g(whole)f(space)i Ft(H)g Fw(and)e(tak)m(es)i(v)-5 b(alues)31 b(in)0 3021 y([0)p Fs(;)15 b Ft(1)p Fw(].)42 b(The)30 b(domain)f(of)i(a)f(p)s(ositiv)m(e)g (quadratic)g(form)f Fs(b)i Fw(is)e(then)h(de\014ned)f(as)1332 3176 y Ft(D)s Fw(\()p Fs(b)p Fw(\))d(:=)f Ft(f)p Fs(u)h Ft(2)f(H)q(j)30 b Fs(b)p Fw(\()p Fs(u)p Fw(\))c Fs(<)f Ft(1g)p Fs(:)0 3331 y Fw(The)36 b(sum)f(of)h(closed)g(forms)f(is)g(a)i (closed)f(form,)h(and)f(the)g(suprem)m(um)e(of)i(a)h(family)d(of)j (closed)e(forms)h(is)f(a)0 3444 y(closed)30 b(form.)141 3556 y(F)-8 b(or)31 b(eac)m(h)h(\014nite)d(dimensional)f(space)j Fl(f)25 b Ft(\032)g Fl(h)1676 3570 y Fr(0)1716 3556 y Fw(,)30 b(one)h(de\014nes)1387 3788 y Fs(n)1442 3750 y Fr(+)1442 3810 y Fk(f)1501 3788 y Fw(\()p Fs(u)p Fw(\))26 b(:=)1770 3679 y Fr(dim)n Fk(f)1781 3707 y Fp(X)1784 3889 y Fq(i)p Fr(=1)1927 3788 y Ft(k)p Fs(a)2020 3750 y Fr(+)2079 3788 y Fw(\()p Fs(h)2166 3802 y Fq(i)2195 3788 y Fw(\))p Fs(u)p Ft(k)2327 3750 y Fr(2)2367 3788 y Fs(;)0 4026 y Fw(where)34 b Ft(f)p Fs(h)364 4040 y Fq(i)393 4026 y Ft(g)h Fw(is)e(an)h(orthonormal)g(basis)f(of)i Fl(f)p Fw(.)53 b(\(If)34 b Fs(u)e Ft(62)f(D)s Fw(\()p Fs(a)2125 3993 y Fr(+)2185 4026 y Fw(\()p Fs(h)2272 4040 y Fq(i)2300 4026 y Fw(\))k(for)f(some)h Fs(i)p Fw(,)h(then)e Fs(n)3103 3988 y Fr(+)3103 4048 y Fk(f)3162 4026 y Fw(\()p Fs(u)p Fw(\))e(=)g Ft(1)p Fw(\).)53 b(The)0 4139 y(quadratic)30 b(form)g Fs(n)677 4153 y Fk(f)736 4139 y Fw(do)s(es)g(not)h(dep)s(end)e (on)h(the)h(c)m(hoice)h(of)f(the)f(basis)g Ft(f)p Fs(h)2554 4153 y Fq(i)2583 4139 y Ft(g)h Fw(of)g Fl(f)p Fw(.)41 b(The)31 b(quadratic)f(form)g Fs(n)3721 4106 y Fr(+)0 4252 y Fw(is)f(de\014ned)h(b)m(y)1327 4365 y Fs(n)1382 4332 y Fr(+)1440 4365 y Fw(\()p Fs(u)p Fw(\))c(:=)g(sup)1846 4386 y Fk(f)1890 4365 y Fs(n)1945 4326 y Fr(+)1945 4387 y Fk(f)2003 4365 y Fw(\()p Fs(u)p Fw(\))p Fs(;)37 b(u)25 b Ft(2)g(H)q Fs(:)0 4507 y Fw(W)-8 b(e)33 b(can)f(asso)s(ciate)h(to)g Fs(n)878 4474 y Fr(+)968 4507 y Fw(a)f(selfadjoin)m(t)f(op)s(erator)h (\(with)f(an)h(a)g(priori)e(non)h(dense)h(domain\))f(denoted)h(b)m(y)0 4620 y Fs(N)83 4587 y Fr(+)172 4620 y Fw(called)e(the)g Fu(asymptotic)35 b(numb)-5 b(er)33 b(op)-5 b(er)g(ator)p Fw(.)141 4733 y(Then)30 b(as)g(sho)m(wn)g(in)f([DG3)q(,)i(Sect.)41 b(4.2]:)1415 4887 y Ft(H)1493 4850 y Fr(+)1577 4887 y Fw(=)25 b(Ran\012)1902 4850 y Fr(+)1986 4887 y Fw(=)p 2082 4809 257 4 v 25 w Ft(D)s Fw(\()p Fs(n)2245 4861 y Fr(+)2304 4887 y Fw(\))p Fs(:)0 5042 y Fw(One)30 b(can)i(asso)s (ciate)f(a)h(n)m(um)m(b)s(er)d(op)s(erator)i Fs(N)1590 5056 y Fq(\031)1668 5042 y Fw(to)h(an)m(y)f(regular)f(CCR)g(represen)m (tation)h Fl(h)c Ft(3)e Fs(h)i Ft(7!)f Fs(W)3523 5056 y Fq(\031)3570 5042 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))h Ft(2)0 5155 y(U)9 b Fw(\()p Ft(H)q Fw(\))27 b(on)f(a)g(Hilb)s(ert)f(space)i Ft(H)f Fw(\(see)i(eg)f([DG3)q(,)h(Sect.)40 b(4.2]\).)h(The)26 b(regular)f(CCR)g(represen)m(tation)i(is)e(of)i Fu(F)-7 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Fw(\012)3238 635 y Fr(+)3238 696 y(ext)3368 673 y Fw(as)e(follo)m(ws:)1153 843 y(\012)1219 805 y Fr(+)1219 866 y(ext)1345 843 y Fw(:)25 b Fs( )f Ft(\012)c Fw(\005)1637 806 y Fq(n)1637 866 y Fr(1)1684 843 y Fs(a)1732 806 y FF(\003)1771 843 y Fw(\()p Fs(h)1858 857 y Fq(i)1887 843 y Fw(\)\012)25 b Ft(7!)h Fw(\005)2198 806 y Fq(n)2198 866 y Fr(1)2245 843 y Fs(a)2293 806 y FF(\003)p Fr(+)2387 843 y Fw(\()p Fs(h)2474 857 y Fq(i)2503 843 y Fw(\))p Fs( )s(;)0 1026 y Fw(for)j Fs( )g Ft(2)c(D)s Fw(\(\()p Fs(H)g Fw(+)18 b Fs(b)p Fw(\))719 993 y Fq(n=)p Fr(2)837 1026 y Fw(\),)30 b Fs(h)979 1040 y Fq(i)1033 1026 y Ft(2)25 b(D)s Fw(\()p Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)1327 990 y FF(\000)1392 963 y Fm(1)p 1393 975 31 4 v 1393 1016 a(2)1455 1026 y Fw(+)18 b Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)1654 963 y Fm(1)p 1655 975 V 1655 1016 a(2)1700 1026 y Fw(\),)30 b(1)25 b Ft(\024)g Fs(i)h Ft(\024)f Fs(n)p Fw(.)40 b(The)29 b(extended)g(w)m(a)m(v)m(e)i(op)s(erator)f(is)e(then)i(an)0 1139 y(un)m(b)s(ounded)e(op)s(erator)i(from)g Ft(H)1128 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b(2.2.)141 2610 y(In)30 b(particular)e(if)i Fs( )f Ft(2)24 b(K)1001 2577 y Fr(+)1061 2610 y Fw(,)31 b Fs(u)25 b Ft(2)g(\012)1351 2577 y Fq(n)1351 2633 y Fr(s)1397 2610 y Ft(D)s Fw(\()p Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)1605 2574 y FF(\000)1670 2547 y Fm(1)p 1671 2559 V 1671 2600 a(2)1736 2610 y Fw(+)20 b Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)1937 2547 y Fm(1)p 1937 2559 V 1937 2600 a(2)1982 2610 y Fw(\))30 b(then)1165 2780 y(\012)1231 2743 y Fr(+)1290 2780 y Fs( )24 b Ft(\012)c Fs(u)25 b Fw(=)73 b(lim)1637 2835 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1874 2780 y Fw(e)1914 2743 y Fr(i)p Fq(tH)2026 2780 y Fs(I)7 b Fw(e)2113 2743 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2271 2751 y Fm(ext)2363 2780 y Fs( )24 b Ft(\012)c Fs(u:)0 3049 y Fv(8.4)112 b(Asymptotic)35 b(\014elds)j(for)f Ff(H)1411 3013 y Fr(e)0 3221 y Fw(W)-8 b(e)27 b(no)m(w)f(collect)h(results)e (similar)e(to)k(those)f(of)h(Subsect.)38 b(8.1)28 b(for)d(the)i (expanded)e(Hamiltonian)f Fs(H)3435 3188 y Fr(e)3497 3221 y Fw(de\014ned)0 3334 y(in)j(Subsect.)40 b(3.3.)h(If)29 b(w)m(e)g(restrict)f(ourselv)m(es)h(to)g(expanded)f(Hamiltonians)f Fs(H)2726 3301 y Fr(e)2790 3334 y Fw(obtained)h(from)g(a)h(massless)0 3447 y(Nelson)35 b(Hamiltonian)e Fs(H)7 b Fw(,)37 b(then)e(all)f(these) i(results)e(are)h(obtained)g(from)f(the)i(results)e(in)g(Subsect.)54 b(8.1)37 b(in)0 3560 y(the)31 b(follo)m(wing)d(w)m(a)m(y:)141 3672 y(\014rst)34 b(the)i(results)d(for)i Ft(H)q Fs(;)15 b(H)42 b Fw(immediately)33 b(giv)m(e)j(corresp)s(onding)d(results)h (for)2935 3650 y(~)2908 3672 y Ft(H)2986 3640 y Fr(e)3022 3672 y Fs(;)3086 3650 y Fw(~)3062 3672 y Fs(H)3145 3640 y Fr(e)3180 3672 y Fw(,)j(since)3493 3650 y(~)3469 3672 y Fs(H)3552 3640 y Fr(e)3622 3672 y Fw(acts)0 3785 y(as)43 b(the)g(free)g(Hamiltonian)f Ft(\000)p Fw(d\000\()p Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)p Fw(\))h(on)g(the)g(second)g(comp)s(onen)m(t)g(of)2642 3762 y(~)2615 3785 y Ft(H)2693 3752 y Fr(e)2729 3785 y Fw(.)78 b(Then)42 b(w)m(e)h(use)g(functorial)0 3898 y(prop)s(erties)29 b(of)h(the)h(unitary)e(map)h Ft(W)37 b Fw(de\014ned)30 b(in)f(\(3.3\))j(to)f(obtain)f(results)f(for)h Ft(H)2875 3865 y Fr(e)2910 3898 y Fs(;)15 b(H)3033 3865 y Fr(e)3069 3898 y Fw(.)141 4011 y Fi(Remark)141 4124 y Fw(All)34 b(the)i(results)f(in)f(this)h(section)h(are)g(also)f(v)-5 b(alid)34 b(for)i(general)f(massless)g(P)m(auli-Fierz)g(Hamiltonians,)0 4237 y(In)h(this)g(case)i(it)e(is)g(more)h(con)m(v)m(enien)m(t)h(to)g (follo)m(w)e(the)h(in)m(v)m(erse)g(path,)h Fu(i.e.,)i Fw(to)d(start)h(with)d(the)i(expanded)0 4350 y(Hamiltonian)29 b Fs(H)606 4317 y Fr(e)672 4350 y Fw(and)g(then)h(to)h(go)h(bac)m(k)f (to)g Fs(H)7 b Fw(.)41 b(In)29 b(this)g(case)j(w)m(e)f(can)f(for)g (example)h(assume)f(that)391 4530 y(\()p Fs(I)473 4492 y FF(0)497 4530 y Fw(4\))21 b Fs(v)645 4492 y Fr(e)681 4530 y Fw(\()p Fs(\033)s Fw(\)\()p Fs(K)28 b Fw(+)20 b(1\))1117 4492 y FF(\000)1182 4465 y Fm(1)p 1183 4477 V 1183 4518 a(2)1227 4530 y Fs(;)36 b Fw(\()p Fs(K)27 b Fw(+)20 b(1\))1598 4492 y FF(\000)1663 4465 y Fm(1)p 1664 4477 V 1664 4518 a(2)1708 4530 y Fs(v)1755 4492 y Fr(e)1791 4530 y Fw(\()p Fs(\033)s Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(H)2111 4485 y Fq(\026)2153 4494 y Fm(1)2104 4558 y Fr(lo)r(c)2196 4530 y Fw(\(I)-15 b(R)p Ft(nf)p Fw(0)p Ft(g)p Fs(;)15 b Ft(B)s Fw(\()p Ft(K)q Fs(;)g Ft(K)25 b(\012)20 b Fl(g)p Fw(\)\))p Fs(;)36 b(\026)3157 4544 y Fr(1)3221 4530 y Fs(>)25 b Fw(0)p Fs(:)0 4699 y Fw(Note)32 b(that)f Fu(\(I'4\))g Fw(implies:)678 4866 y Ft(8)p Fs(\017)25 b(>)g Fw(0)p Fs(;)36 b Ft(9)p Fs(C)g Fw(suc)m(h)30 b(that)678 5066 y Ft(k)p Fs(F)13 b Fw(\()p Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)26 b(\025)f Fs(R)q Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(\017)26 b Ft(\024)f(j)p Fs(\033)s Ft(j)h(\024)f Fs(\017)1678 5033 y FF(\000)p Fr(1)1772 5066 y Fw(\)\()p Fs(K)j Fw(+)20 b(1\))2118 5030 y FF(\000)2183 5003 y Fm(1)p 2183 5015 V 2183 5056 a(2)2228 5066 y Fs(v)s Ft(k)2320 5085 y FF(B)r Fr(\()p FF(K)p Fq(;)p FF(K\012)p Fk(h)2614 5066 y Fm(e)2646 5085 y Fr(\))2703 5066 y Ft(\024)25 b Fs(C)7 b(R)2941 5033 y Fq(\026)2983 5042 y Fm(1)3021 5066 y Fs(;)678 5266 y Ft(k)p Fs(F)13 b Fw(\()p Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)26 b(\025)f Fs(R)q Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(\017)26 b Ft(\024)f(j)p Fs(\033)s Ft(j)h(\024)f Fs(\017)1678 5233 y FF(\000)p Fr(1)1772 5266 y Fw(\))p Fs(v)s Fw(\()p Fs(K)j Fw(+)20 b(1\))2165 5230 y FF(\000)2230 5203 y Fm(1)p 2231 5215 V 2231 5256 a(2)2275 5266 y Ft(k)2320 5284 y FF(B)r Fr(\()p FF(K)p Fq(;)p FF(K\012)p Fk(h)2614 5266 y Fm(e)2646 5284 y Fr(\))2703 5266 y Ft(\024)25 b Fs(C)7 b(R)2941 5233 y FF(\000)p Fq(\026)3038 5242 y Fm(1)3076 5266 y Fs(:)0 5067 y Fw(\(8.13\))1844 5517 y(64)p eop %%Page: 65 65 65 64 bop 0 162 a Fw(The)25 b(pro)s(ofs)g(of)g(Subsects.)39 b(8.1,)27 b(8.2,)h(8.3)f(extend)e(under)f(conditions)g Fu(\(I'0\))p Fw(,)j Fu(\(I'4\))f Fw(for)g Fs(\026)3037 176 y Fr(1)3101 162 y Fs(>)f Fw(1,)i(if)e(w)m(e)g(replace)0 275 y(where)32 b(appropriate)g(cuto\013s)i(in)d Fs(H)40 b Fw(b)m(y)33 b(cuto\013s)g(in)e Fs(L)p Fw(.)48 b(In)32 b(this)g(w)m(a)m(y)i(w)m(e)f(extend)g(the)g(results)f(of)h(Subsects.)0 388 y(8.4,)c(8.5)e(to)h(the)f(case)g(of)g(general)g(expanded)e (Hamiltonians.)38 b(Using)26 b(then)g(functorial)f(prop)s(erties)g(of)i Ft(W)34 b Fw(w)m(e)0 501 y(can)g(extend)g(the)g(results)e(of)i (Subsects.)50 b(8.1,)36 b(8.2,)g(8.3)f(to)f(abstract)h(massless)d(P)m (auli-Fierz)h(Hamiltonians)0 614 y(satisfying)c Fu(\(I'0\))i Fw(and)f Fu(\(I'4\))h Fw(for)f Fs(\026)1204 628 y Fr(1)1269 614 y Fs(>)24 b Fw(1.)42 b(The)29 b(details)h(are)h(left)f(to)h(the)f (in)m(terested)h(reader.)141 727 y(W)-8 b(e)32 b(set)1492 840 y Fs(h)1544 854 y Fq(t)1599 840 y Fw(:=)25 b(e)1760 802 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(t\033)1907 840 y Fs(h;)36 b(h)26 b Ft(2)f Fl(h)2227 802 y Fr(e)2263 840 y Fs(;)0 1007 y Fw(and)1355 1120 y Fl(h)1398 1082 y Fr(e)1398 1142 y(0)1463 1120 y Fw(:=)g Ft(f)p Fs(h)h Ft(2)f Fl(h)1836 1082 y Fr(e)1872 1120 y Ft(jj)p Fs(\033)s Ft(j)2002 1082 y FF(\000)2067 1055 y Fm(1)p 2067 1067 31 4 v 2067 1108 a(2)2112 1120 y Fs(h)h Ft(2)e Fl(h)2318 1082 y Fr(e)2354 1120 y Ft(g)p Fs(:)0 1286 y Fw(equipp)s(ed)k(with)h(the)i(graph)e(top)s (ology)-8 b(.)42 b(F)-8 b(or)31 b Fs(h)26 b Ft(2)e Fl(h)1781 1253 y Fr(e)1817 1286 y Fw(,)31 b(w)m(e)g(set)1591 1491 y Fs(h)1643 1505 y FF(\006)1727 1491 y Fw(=)25 b(1)-20 b(l)1874 1509 y FF(f\006)p Fq(\033)r FF(\025)p Fr(0)p FF(g)2136 1491 y Fs(h)0 1695 y Fw(and)30 b(note)h(that)g Fs(h)628 1709 y Fr(+)712 1695 y Ft(2)25 b Fl(h)841 1709 y Fr(0)911 1695 y Fw(if)30 b Fs(h)25 b Ft(2)g Fl(h)1201 1662 y Fr(e)1201 1718 y(0)1241 1695 y Fw(.)141 1808 y(By)31 b(the)f(argumen)m(ts)h(outlined)e(ab)s(o)m(v)m(e,)i(w)m(e)g(obtain)f (directly)f(the)i(follo)m(wing)e(results:)0 1995 y Fi(Theorem)69 b(8.5)46 b Fu(Assume)32 b(\(I'0\))h(and)h(\(I'4\))f(for)h Fs(\026)1807 2009 y Fr(1)1871 1995 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(.)42 b(Then:)141 2108 y(i\))33 b(for)g Fs(h)26 b Ft(2)e Fl(h)590 2075 y Fr(e)590 2131 y(0)663 2108 y Fu(the)33 b Fw(asymptotic)d(W)-8 b(eyl)31 b(op)s(erators)1027 2313 y(s-)63 b(lim)1109 2367 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1345 2313 y Fw(e)1385 2275 y Fr(i)p Fq(tH)1493 2252 y Fm(e)1529 2313 y Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(h)1715 2327 y Fq(t)1745 2313 y Fw(\)e)1820 2275 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1983 2252 y Fm(e)2045 2313 y Fw(=:)25 b Fs(W)2265 2275 y Fr(e+)2355 2313 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))34 b Fu(exists)p Fs(:)0 2630 y Fu(ii\))e(the)h(map)1360 2743 y Fl(h)1403 2705 y Fr(e)1403 2765 y(0)1467 2743 y Ft(3)25 b Fs(h)h Ft(7!)f Fs(W)1846 2705 y Fr(e+)1936 2743 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))h Ft(2)f(U)9 b Fw(\()p Ft(H)2349 2705 y Fr(e)2385 2743 y Fw(\))0 2909 y Fu(is)33 b(str)-5 b(ongly)34 b(c)-5 b(ontinuous)34 b(for)f(the)g(top)-5 b(olo)g(gy)35 b(of)e Fl(h)1690 2876 y Fr(e)1690 2933 y(0)1730 2909 y Fu(.)141 3022 y(iii\))f Fs(W)393 2989 y Fr(e+)483 3022 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))p Fs(W)704 2989 y Fr(e+)795 3022 y Fw(\()p Fs(g)s Fw(\))27 b(=)e(e)1074 2989 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(I)5 b(m)p Fr(\()p Fq(h;g)r Fr(\))1402 3022 y Fs(W)1501 2989 y Fr(e+)1591 3022 y Fw(\()p Fs(f)30 b Fw(+)20 b Fs(g)s Fw(\))p Fu(.)141 3135 y(iv\))65 b Fw(e)353 3102 y Fr(i)p Fq(tH)461 3079 y Fm(e)497 3135 y Fs(W)596 3102 y Fr(e+)686 3135 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)e)848 3102 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1011 3079 y Fm(e)1073 3135 y Fw(=)25 b Fs(W)1268 3102 y Fr(e+)1358 3135 y Fw(\()p Fs(h)1445 3149 y FF(\000)p Fq(t)1530 3135 y Fw(\))p Fu(.)141 3248 y(L)-5 b(et)42 b Fs(\036)361 3215 y Fr(e+)452 3248 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))p Fs(;)15 b(a)662 3215 y Fq(])p Fr(e+)781 3248 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))43 b Fu(b)-5 b(e)42 b(the)g Fw(asymptotic)e(\014elds)g Fu(and)j Fw(creation)e(-annihilation)c(op)s(erators)42 b Fu(obtaine)-5 b(d)0 3361 y(fr)g(om)34 b Fs(W)314 3328 y Fr(e+)404 3361 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))p Fu(.)43 b(Then)986 3563 y Fs(W)1085 3530 y Fr(e+)1175 3563 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))26 b(=)f Ft(W)7 b Fw(\()p Fs(W)1650 3530 y Fr(+)1709 3563 y Fw(\()p Fs(h)1796 3577 y Fr(+)1856 3563 y Fw(\))21 b Ft(\012)e Fs(W)13 b Fw(\()p Fs(h)2188 3577 y FF(\000)2248 3563 y Fw(\)\))p Ft(W)2415 3530 y FF(\000)p Fr(1)2510 3563 y Fs(;)986 3746 y(\036)1040 3713 y Fr(e+)1130 3746 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))27 b(=)e Ft(W)7 b Fw(\()p Fs(\036)1561 3713 y Fr(+)1621 3746 y Fw(\()p Fs(h)1708 3760 y Fr(+)1767 3746 y Fw(\))21 b Ft(\012)f Fw(1)-20 b(l)20 b(+)f(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)2378 3760 y FF(\000)2438 3746 y Fw(\)\))p Ft(W)2605 3713 y FF(\000)p Fr(1)2700 3746 y Fs(;)986 3930 y(a)1034 3897 y Fq(])p Fr(e+)1152 3930 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))26 b(=)f Ft(W)7 b Fw(\()p Fs(a)1576 3897 y Fq(])p Fr(+)1663 3930 y Fw(\()p Fs(h)1750 3944 y Fr(+)1810 3930 y Fw(\))21 b Ft(\012)e Fw(1)-20 b(l)20 b(+)g(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fs(a)2328 3897 y Fq(])2359 3930 y Fw(\()p Fs(h)2446 3944 y FF(\000)2506 3930 y Fw(\)\))p Ft(W)2673 3897 y FF(\000)p Fr(1)2768 3930 y Fs(:)0 4251 y Fw(Let)31 b(us)f(note)h(the)f(follo)m(wing)f (consequence)i(of)g(Thm.)39 b(8.5)1100 4456 y(e)1140 4418 y Fr(i)p Fq(tL)1238 4456 y Fs(W)1337 4418 y Fr(e+)1427 4456 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)e)1589 4418 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tL)1768 4456 y Fw(=)25 b Fs(W)1963 4418 y Fr(e+)2053 4456 y Fw(\(e)2128 4418 y Fr(i)p Fq(t)p FF(j)p Fq(\033)r FF(j)2259 4456 y Fs(h)p Fw(\))p Fs(;)37 b(h)25 b Ft(2)g Fl(h)2614 4418 y Fr(e)2614 4478 y(0)2654 4456 y Fs(:)-2679 b Fw(\(8.14\))0 4660 y(In)30 b(fact)h(this)e(follo)m(ws)h(from)g(Thm.) 39 b(8.1)32 b Fu(iv\))e Fw(and)g(the)g(fact)h(that)g Ft(W)2331 4627 y FF(\000)p Fr(1)2426 4660 y Fs(L)p Ft(W)h Fw(=)25 b Fs(H)j Ft(\012)19 b Fw(1)-20 b(l)2951 4678 y Fr(\000\()p Fk(h)p Fr(\))3110 4660 y Fw(+)20 b(1)-20 b(l)3252 4674 y FF(H)3336 4660 y Ft(\012)20 b Fw(d\000\()p Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)p Fw(\)\).)141 4773 y(Another)j(result)f(whic)m(h)g (follo)m(w)h(from)f(the)i(pro)s(of)e(of)i(Thm.)37 b(8.2,)26 b(using)21 b(Lemma)j(3.11)h(instead)d(of)h(Lemma)0 4886 y(3.10)32 b(is:)1844 5517 y(65)p eop %%Page: 66 66 66 65 bop 0 166 a Fi(Theorem)69 b(8.6)46 b Fu(F)-7 b(or)34 b Fs(h)25 b Ft(2)g Fl(h)1034 133 y Fr(e)1034 189 y(0)1074 166 y Fu(,)32 b Ft(D)s Fw(\()p Fs(L)20 b Fw(+)g Fs(b)p Fw(\))1499 103 y Fm(1)p 1499 115 31 4 v 1499 156 a(2)1569 166 y Ft(\032)25 b(D)s Fw(\()p Fs(\036)1827 133 y Fr(e+)1918 166 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)\))34 b Fu(and:)751 384 y Fs(\036)805 351 y Fr(e+)896 384 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)\()p Fs(L)22 b Fw(+)d Fs(b)p Fw(\))1301 348 y FF(\000)1366 321 y Fm(1)p 1367 333 V 1367 374 a(2)1436 384 y Fw(=)25 b(s-)16 b(lim)1740 398 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1981 384 y Fw(e)2021 351 y Fr(i)p Fq(tH)2129 327 y Fm(e)2165 384 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)2306 398 y Fq(t)2336 384 y Fw(\)\()p Fs(L)21 b Fw(+)f Fs(b)p Fw(\))2654 348 y FF(\000)2719 321 y Fm(1)p 2719 333 V 2719 374 a(2)2764 384 y Fw(e)2804 351 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2967 327 y Fm(e)3003 384 y Fs(;)751 584 y Ft(k)p Fs(\036)850 551 y Fr(e+)941 584 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)\()p Fs(L)i Fw(+)e Fs(b)p Fw(\))1347 548 y FF(\000)1412 521 y Fm(1)p 1412 533 V 1412 574 a(2)1457 584 y Ft(k)25 b(\024)g Fs(C)7 b Ft(k)p Fw(\(1)21 b(+)f Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)2037 548 y FF(\000)2102 521 y Fm(1)p 2103 533 V 2103 574 a(2)2147 584 y Fw(\))p Fs(h)p Ft(k)p Fs(:)0 812 y Fu(F)-7 b(or)34 b Fs(h)222 826 y Fq(i)276 812 y Ft(2)24 b Fl(h)404 779 y Fr(e)404 835 y(0)464 812 y Ft(\\)c(D)s Fw(\()p Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)768 749 y Fm(1)p 769 761 V 769 802 a(2)813 812 y Fw(\))p Fu(,)33 b Fw(1)26 b Ft(\024)f Fs(i)g Ft(\024)g Fs(n)p Fu(,)32 b Fs(n)25 b Ft(\025)g Fw(2)p Fu(,)33 b Ft(D)s Fw(\(\()p Fs(L)20 b Fw(+)g Fs(b)p Fw(\))2015 779 y Fq(n=)p Fr(2)2133 812 y Fw(\))26 b Ft(\032)f(D)s Fw(\(\005)2466 779 y Fq(n)2466 835 y Fr(1)2513 812 y Fs(\036)2567 779 y Fr(e+)2657 812 y Fw(\()p Fs(h)2744 826 y Fq(i)2773 812 y Fw(\)\))34 b Fu(and)441 1018 y Fw(\005)509 985 y Fq(n)509 1042 y(i)p Fr(=1)627 1018 y Fs(phi)756 985 y Fr(e+)847 1018 y Fw(\()p Fs(h)934 1032 y Fq(i)963 1018 y Fw(\)\()p Fs(L)21 b Fw(+)f Fs(b)p Fw(\))1281 985 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)1479 1018 y Fw(=)25 b(s-)15 b(lim)1783 1032 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)2023 1018 y Fw(e)2063 985 y Fr(i)p Fq(tH)2171 961 y Fm(e)2207 1018 y Fw(\005)2275 985 y Fq(n)2275 1042 y(i)p Fr(=1)2394 1018 y Fs(\036)p Fw(\()p Fs(h)2535 1032 y Fq(i;t)2609 1018 y Fw(\)\()p Fs(L)21 b Fw(+)f Fs(b)p 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Fr(e)2632 2253 y Fw(\))p Fs(:)0 2458 y Fw(Finally)30 b(let)i Fs(N)527 2425 y Fr(e+)650 2458 y Fw(b)s(e)g(the)g(asymptotic)h(n)m(um)m(b)s(er)e(op)s(erator)h (asso)s(ciated)h(to)g(the)f(represen)m(tation)h Fl(h)3451 2425 y Fr(e)3451 2481 y(0)3519 2458 y Ft(3)28 b Fs(h)h Ft(7!)0 2571 y Fs(W)99 2538 y Fr(e+)189 2571 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\),)j(whic)m(h)d(is)g(de\014ned)g(as)i(in)e(Subsect.)40 b(8.2.)i(Then)1119 2775 y Fs(N)1202 2737 y Fr(e+)1317 2775 y Fw(=)25 b Ft(W)7 b Fw(\()p Fs(N)1628 2737 y Fr(+)1708 2775 y Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)1849 2793 y Fr(\000\()p Fk(h)p Fr(\))2009 2775 y Fw(+)20 b(1)-20 b(l)2150 2789 y FF(H)2235 2775 y Ft(\012)20 b Fs(N)10 b Fw(\))p Ft(W)2541 2737 y FF(\000)p Fr(1)2636 2775 y Fs(;)0 2979 y Fw(and)30 b(hence:)p 1308 3014 317 4 v 1308 3092 a Ft(D)s Fw(\()p Fs(N)1499 3066 y Fr(e+)1590 3092 y Fw(\))25 b(=)g Ft(W)p 1843 3014 286 4 v 7 w(D)s Fw(\()p Fs(N)2034 3066 y Fr(+)2093 3092 y Fw(\))c Ft(\012)f Fw(\000\()p Fl(h)2375 3054 y Fr(e)2411 3092 y Fw(\))p Fs(:)-2471 b Fw(\(8.19\))0 3335 y Fv(8.7)112 b(Prop)s(erties)36 b(of)i(the)f(space)i Fd(H)1510 3299 y Fr(e+)1509 3360 y(c)0 3507 y Fw(In)26 b(this)g(subsection)g(w)m(e)h(describ)s(e)e(prop)s(erties)g(of)i(the)g (space)h Ft(H)2194 3474 y Fr(e+)2193 3529 y(c)2310 3507 y Fw(connected)g(with)e(the)h(asymptotic)g(\014elds.)141 3620 y(Note)32 b(that)f(h)m(yp)s(othesis)e Fu(\(I'2\))i Fw(implies)c Fu(\(I'4\))p Fw(.)0 3808 y Fi(Theorem)69 b(8.7)46 b Fu(Assume)28 b(\(I'0\),)h(\(I'1\))g(for)g Fs(\017)1623 3822 y Fr(0)1687 3808 y Fs(>)c Fw(0)p Fu(,)30 b(\(I'2\))e(for)h Fs(\026)c(>)g Fw(1)j Fu(and)i Fs(\032)p Fw(\(1)10 b(+)g Fs(\017)2915 3822 y Fr(0)2955 3808 y Fw(\))26 b Fs(>)f Fw(1)p Fu(.)40 b(L)-5 b(et)29 b Fw(0)d Fs(<)f Fw(c)g Fs(<)g Fw(1)p Fu(.)0 3920 y(Then)1084 4033 y Fs(i)p Fw(\))c(\012)1237 3996 y Fr(e+)1327 3939 y Fp(\020)1376 4033 y Ft(H)1453 4047 y Fr(pp)1536 4033 y Fw(\()p Fs(H)1654 3996 y Fr(e)1690 4033 y Fw(\))f Ft(\012)g Fw(\000\()p Fl(h)1971 3996 y Fr(e)2007 4033 y Fw(\))2042 3939 y 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Fs(h)2585 360 y Fq(i;t)2659 346 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2923 308 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(t\025)3070 346 y Fs(u;)0 558 y Fw(and)30 b(hence)427 742 y(lim)423 798 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)572 742 y Ft(k)p Fs(v)24 b Ft(\000)c Fs(\017)813 704 y FF(\000)p Fr(1)907 742 y Fs(R)977 704 y Fr(e+)976 764 y(c)1068 742 y Fw(\()p Fs(\017)1140 704 y FF(\000)p Fr(1)1234 742 y Fw(\))p Fs(v)s Ft(k)27 b(\024)i Fw(lim)1483 798 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1659 742 y Fw(sup)1633 830 y Fq(t)p FF(2)p Fr(I)-12 b(R)1771 805 y Fm(+)1837 742 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(\017B)2023 756 y Fr(c)17 b Fq(t)2121 742 y Fw(+)i(1)-20 b(l\))2297 704 y FF(\000)p Fr(1)2392 742 y Fs(\017B)2498 756 y Fr(c)16 b Fq(t)2574 742 y Fw(\005)2642 704 y Fq(n)2642 764 y(i)p Fr(=1)2761 742 y Fs(a)2809 704 y FF(\003)2848 742 y Fw(\()p Fs(h)2935 756 y Fq(i;t)3009 742 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)p Ft(k)p Fs(:)0 983 y Fw(Since)849 1071 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(\017B)1035 1085 y Fr(c)h Fq(t)1133 1071 y Fw(+)j(1)-20 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Fw(+)j(1)-20 b(l)o(\))1683 1566 y FF(\000)p Fr(1)1778 1603 y Fs(\017B)1884 1617 y Fr(c)16 b Fq(t)1960 1603 y Fw(\005)2028 1566 y Fq(n)2028 1626 y(i)p Fr(=1)2147 1603 y Fs(a)2195 1566 y FF(\003)2235 1603 y Fw(\()p Fs(h)2322 1617 y Fq(i;t)2396 1603 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)p Ft(k)26 b Fw(=)f(0)p Fs(;)0 1851 y Fw(for)30 b Fs(u)25 b Ft(2)g(D)s Fw(\()p Fs(N)493 1818 y Fr(e)529 1851 y Fw(\).)41 b(This)28 b(follo)m(ws)i(from)g(the)g(fact)i(that)924 2035 y Ft(k)p Fs(B)1038 2049 y Fr(c)16 b Fq(t)1115 2035 y Fw(\005)1183 2002 y Fq(n)1183 2060 y(i)p Fr(=1)1302 2035 y Fs(a)1350 2002 y FF(\003)1389 2035 y Fw(\()p Fs(h)1476 2049 y Fq(i;t)1550 2035 y Fw(\)\()p Fs(N)1703 2002 y Fr(e)1759 2035 y Fw(+)k(1\))1930 2002 y FF(\000)p Fq(n=)p Fr(2)p FF(\000)p Fr(1)2194 2035 y Ft(k)25 b(\024)g Fs(C)2425 2049 y Fq(n)2472 2035 y Fw(\005)2540 2002 y Fq(n)2540 2060 y(i)p Fr(=1)2659 2035 y Ft(k)p Fs(h)2756 2049 y Fq(i)2785 2035 y Ft(k)p Fs(;)924 2219 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(N)1087 2186 y Fr(e)1143 2219 y Fw(+)20 b(1\))1314 2186 y Fq(k)1358 2219 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(N)1665 2186 y Fr(e)1721 2219 y Fw(+)g(1\))1892 2186 y FF(\000)p Fq(k)1991 2219 y Ft(k)25 b Fs(<)g Ft(1)p Fs(;)0 2400 y Fw(b)m(y)30 b(Prop.)40 b(3.8.)i(This)29 b(pro)m(v)m(es)i(\(8.20\))h(and)e(hence)h(the)f(\014rst)g(inclusion)d (in)i Fu(i\))p Fw(.)141 2513 y(T)-8 b(o)35 b(pro)m(v)m(e)h(the)f (second)g(inclusion,)e(it)h(su\016ces)h(to)g(sho)m(w)g(that)g Ft(H)2431 2480 y Fr(e+)2430 2536 y(c)2554 2513 y Ft(\032)p 2657 2435 317 4 v 32 w(D)s Fw(\()p Fs(N)2848 2487 y Fr(e+)2939 2513 y Fw(\))d(=)h Ft(H)3188 2480 y Fr(e+)3278 2513 y Fw(,)j(where)e Fs(N)3689 2480 y Fr(e+)0 2626 y Fw(is)h(the)i (asymptotic)g(n)m(um)m(b)s(er)e(op)s(erator)h(asso)s(ciated)h(to)g(the) g(represen)m(tation)f Fl(h)2805 2593 y Fr(e)2805 2649 y(0)2880 2626 y Ft(3)f Fs(h)h Ft(7!)f Fs(W)3289 2593 y Fr(e+)3379 2626 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\).)59 b(By)37 b(a)0 2739 y(densit)m(y)e(argumen)m(t,)i(it)e(su\016ces)g(to)i(sho)m(w) e(that)h(if)e Fs(u)g Ft(2)g(H)2063 2706 y Fr(e)2133 2739 y Fw(with)g Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)h Fw(=)e Fs(u)p Fw(,)k Fs(\037)d Ft(2)f Fs(C)3096 2706 y FF(1)3089 2762 y Fr(0)3170 2739 y Fw(\(I)-15 b(R\))36 b(and)f Fs(\025)f(>)f Fw(0)0 2852 y(then)d Fs(R)277 2819 y Fr(e+)276 2874 y(c)367 2852 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(u)c Ft(2)f(D)s Fw(\()p Fs(N)845 2819 y Fr(e+)935 2852 y Fw(\).)41 b(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e)g(for)e Fs(u)25 b Ft(2)g(H)1783 2819 y Fr(e)1818 2852 y Fw(,)31 b Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)25 b Fw(=)g Fs(u)31 b Fw(and)e Fs(h)d Ft(2)f Fl(h)2702 2819 y Fr(e)2702 2875 y(0)2742 2852 y Fw(:)635 3033 y Fs(a)683 3000 y Fr(e+)774 3033 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))p Fs(R)966 3000 y Fr(e+)965 3056 y(c)1057 3033 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(u)h Fw(=)83 b Fs(a)1460 3000 y Fr(e+)1550 3033 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(R)1931 3000 y Fr(e+)1930 3056 y(c)2023 3033 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(u)1258 3217 y Fw(=)g(lim)1538 3231 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1779 3217 y Fw(e)1819 3184 y Fr(i)p Fq(tH)1927 3160 y Fm(e)1963 3217 y Fs(a)p Fw(\()p Fs(h)2098 3231 y Fq(t)2128 3217 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2392 3184 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2555 3160 y Fm(e)2592 3217 y Fs(R)2662 3184 y Fr(e+)2661 3239 y(c)2752 3217 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(u)1258 3401 y Fw(=)g(lim)1538 3415 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1779 3401 y Fw(e)1819 3368 y Fr(i)p Fq(tH)1927 3344 y Fm(e)1963 3401 y Fs(a)p Fw(\()p Fs(h)2098 3415 y Fq(t)2128 3401 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(B)2456 3415 y Fr(c)17 b Fq(t)2554 3401 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))2733 3368 y FF(\000)p Fr(1)2828 3401 y Fw(e)2868 3368 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)3031 3344 y Fm(e)3067 3401 y Fs(u;)0 3582 y Fw(using)29 b(Thm.)39 b(8.6)32 b(and)e(the)g(fact)i(that)f Fs(a)p Fw(\()p Fs(h)1487 3596 y Fq(t)1517 3582 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))g(is)e(uniformly)f(b)s(ounded)g(in)h Fs(t)p Fw(,)i(b)m(y)f(Prop.)40 b(A.1.)h(Then)878 3763 y(lim)1004 3777 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1245 3763 y Fw(e)1285 3730 y Fr(i)p Fq(tH)1393 3706 y Fm(e)1429 3763 y Fs(a)p Fw(\()p Fs(h)1564 3777 y Fq(t)1594 3763 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(B)1922 3777 y Fr(c)17 b Fq(t)2020 3763 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))2199 3730 y FF(\000)p Fr(1)2294 3763 y Fw(e)2334 3730 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2497 3706 y Fm(e)2533 3763 y Fs(u)724 3961 y Fw(=)83 b(lim)1004 3975 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1245 3961 y Fw(e)1285 3928 y Fr(i)p Fq(tH)1393 3904 y Fm(e)1429 3961 y Fs(a)p Fw(\()p Fs(h)1564 3975 y Fq(t)1594 3961 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\()p Fs(B)1922 3975 y Fr(c)17 b Fq(t)2020 3961 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))2199 3928 y FF(\000)p Fr(1)2294 3961 y Fs(F)13 b Fw(\()2410 3913 y Fq(N)2473 3889 y Fm(e)2466 3933 y Fj(t)p 2410 3940 95 4 v 2428 3997 a Fq(t)2453 3978 y Fj(\016)2515 3961 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2779 3928 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2942 3904 y Fm(e)2978 3961 y Fs(u)724 4159 y Fw(=)83 b(lim)1004 4173 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1245 4159 y Fw(e)1285 4126 y Fr(i)p Fq(tH)1393 4103 y Fm(e)1429 4159 y Fs(a)p Fw(\()p Fs(h)1564 4173 y Fq(t)1594 4159 y Fw(\)\()p Fs(B)1733 4173 y Fr(c)17 b Fq(t)1831 4159 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))2010 4126 y FF(\000)p Fr(1)2104 4159 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()2409 4111 y Fq(N)2472 4088 y Fm(e)2465 4131 y Fj(t)p 2410 4138 V 2428 4195 a Fq(t)2453 4176 y Fj(\016)2515 4159 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2779 4126 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2942 4103 y Fm(e)2978 4159 y Fs(u;)0 4337 y Fw(b)m(y)30 b(Prop.)40 b(4.5)32 b(and)e(Lemma)g(5.3.)141 4450 y(Let)42 b(no)m(w)f Fl(f)i Ft(\032)g Fl(h)742 4417 y Fr(e)742 4473 y(0)822 4450 y Fw(b)s(e)e(a)g(\014nite)f(dimensional)e(space,)45 b Fs(h)2131 4464 y Fr(1)2171 4450 y Fs(;)15 b(:)g(:)g(:)h(;)f(h)2424 4464 y Fq(p)2506 4450 y Fw(an)41 b(orthonormal)f(basis)g(of)h Fl(f)p Fw(.)73 b(Let)0 4563 y Fs(h)52 4530 y Fq(\017)52 4587 y(i)110 4563 y Ft(2)25 b Fs(C)268 4530 y FF(1)261 4586 y Fr(0)342 4563 y Fw(\(I)-15 b(R)p Ft(nf)p Fw(0)p Ft(g)p Fw(\))23 b Ft(\012)d Fl(g)30 b Fw(suc)m(h)g(that)h Fs(h)1317 4530 y Fq(\017)1317 4587 y(i)1375 4563 y Ft(!)25 b Fs(h)1543 4577 y Fq(i)1602 4563 y Fw(in)k Ft(D)s Fw(\()p Fl(h)1859 4530 y Fr(e)1859 4586 y(0)1899 4563 y Fw(\))i(when)e Fs(\017)c Ft(!)g Fw(0.)41 b(Since)30 b(b)m(y)g(Thm.)40 b(8.6)1190 4763 y Fl(h)1233 4725 y Fr(e)1233 4785 y(0)1298 4763 y Ft(3)25 b Fs(h)h Ft(7!)f Fs(a)1626 4725 y Fr(e+)1716 4763 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)\()p Fs(L)d Fw(+)e Fs(b)p Fw(\))2122 4725 y FF(\000)2187 4698 y Fm(1)p 2187 4710 31 4 v 2187 4751 a(2)2257 4763 y Ft(2)25 b(B)s Fw(\()p Ft(H)2519 4725 y Fr(e)2554 4763 y Fw(\))0 4946 y(is)k(norm)h(con)m(tin) m(uous,)g(w)m(e)h(ha)m(v)m(e:)817 5080 y Fq(p)774 5110 y Fp(X)777 5293 y Fq(i)p Fr(=1)909 5191 y Ft(k)p Fs(a)1002 5154 y Fr(e+)1093 5191 y Fw(\()p Fs(h)1180 5205 y Fq(i)1209 5191 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)p Ft(k)1530 5154 y Fr(2)1596 5191 y Fw(=)e(lim)1692 5248 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1884 5080 y Fq(p)1842 5110 y 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Fr(=1)1599 762 y Ft(j)p Fs(h)1676 725 y Fq(\017)1676 785 y(i;t)1750 762 y Ft(ih)p Fs(h)1872 725 y Fq(\017)1872 785 y(i;t)1946 762 y Ft(j)25 b Fw(=)g(e)2132 725 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(t\033)2280 762 y Fs(P)2351 725 y Fq(\017)2338 785 y Fr(0)2383 762 y Fw(e)2423 725 y Fr(i)p Fq(t\033)2516 762 y Fs(:)0 1003 y Fw(By)31 b(\(8.22\))h(w)m(e) f(ha)m(v)m(e:)1165 1150 y Ft(k)p Fw(\(1)21 b Ft(\000)f Fs(b)1451 1066 y Fm(1)p 1451 1078 V 1451 1119 a(2)1441 1173 y Fr(c)c Fq(t)1518 1150 y Fw(\))p Fs(P)1624 1113 y Fq(\017)1611 1173 y(t)1657 1150 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)1889 1164 y Fq(\017;n)1981 1173 y Fm(0)2018 1150 y Fs(t)2051 1113 y FF(\000)p Fq(n)2149 1122 y Fm(0)2187 1150 y Fs(;)36 b Ft(8)p Fs(n)2354 1164 y Fr(0)2418 1150 y Ft(2)25 b Fw(I)-15 b(N)p Fs(;)0 1317 y Fw(and)30 b(hence)965 1442 y Fs(P)1036 1409 y Fq(\017)1023 1464 y(t)1094 1442 y Fw(=)83 b Fs(b)1297 1357 y Fm(1)p 1297 1369 V 1297 1411 a(2)1287 1465 y Fr(c)16 b Fq(t)1364 1442 y Fs(P)1435 1409 y Fq(\017)1422 1464 y(t)1467 1442 y Fs(b)1516 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715 y Fw(\))h(recalled)f(in)f(Subsect.)39 b(8.2)30 b(\(see)f(also)f([DG3)r(,)h(Sect.)41 b(4.2]\),)0 828 y(this)29 b(implies)f(that)j Fs(R)753 795 y Fr(e+)752 851 y(c)843 828 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(u)26 b Ft(2)f(D)s Fw(\()p Fs(N)1321 795 y Fr(e+)1411 828 y Fw(\))31 b(for)f(an)m(y)h Fs(\025)25 b(>)g Fw(0)31 b(and)e(completes)i(the)g (pro)s(of)e(of)i Fu(i\))p Fw(.)141 941 y(Let)g(us)f(no)m(w)g(pro)m(v)m (e)h Fu(ii\))p Fw(.)41 b(W)-8 b(e)31 b(ha)m(v)m(e)h(to)f(sho)m(w)f (that)h(for)g Fs(u)25 b Ft(2)g(H)2294 908 y Fr(e+)2293 964 y(c)2384 941 y Fw(,)30 b Fs(h)c Ft(2)f Fl(h)2646 908 y Fr(e)2646 964 y(0)2716 941 y Fw(and)30 b(c)25 b Fs(<)g Fw(c)3094 908 y FF(0)3143 941 y Fs(<)g Fw(1:)1186 1145 y(lim)1182 1202 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1316 1145 y Fw(\(1)-20 b(l)20 b Ft(\000)g Fs(\017)1550 1108 y FF(\000)p Fr(1)1644 1145 y Fs(R)1714 1107 y Fr(e+)1713 1174 y(c)1744 1155 y Fo(0)1805 1145 y Fw(\()p Fs(\017)1877 1108 y FF(\000)p Fr(1)1971 1145 y Fw(\)\))p Fs(W)2140 1108 y Fr(e+)2231 1145 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))p Fs(u)26 b Fw(=)f(0)p Fs(:)0 1386 y Fw(Since)k(1)-20 b(l)20 b Ft(\000)g Fs(\017)436 1353 y FF(\000)p Fr(1)530 1386 y Fs(R)599 1401 y Fr(c)630 1382 y Fo(0)657 1386 y Fw(\()p Fs(\017)729 1353 y FF(\000)p Fr(1)824 1386 y Fw(\))30 b(is)g(uniformly)d(b)s(ounded)h(in)h Fs(\017)i Fw(it)f(su\016ces)g(to)h(sho)m(w)f(b)m(y)g(densit)m(y)g(that) h(for)f Fs(\025)25 b(>)g Fw(0:)1044 1590 y(lim)1040 1647 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1174 1590 y Fw(\(1)-20 b(l)20 b Ft(\000)g Fs(\017)1408 1552 y FF(\000)p Fr(1)1502 1590 y Fs(R)1572 1552 y Fr(e+)1571 1619 y(c)1602 1600 y Fo(0)1663 1590 y Fw(\()p Fs(\017)1735 1552 y FF(\000)p Fr(1)1829 1590 y Fw(\)\))p Fs(W)1998 1552 y Fr(e+)2089 1590 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))p Fs(R)2281 1552 y Fr(e+)2280 1619 y(c)2311 1600 y Fo(0)2372 1590 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(u)26 b Fw(=)f(0)p Fs(:)-2739 b Fw(\(8.26\))0 1824 y(W)-8 b(e)32 b(set)e(c)338 1791 y FF(0)387 1824 y Fw(=)25 b(c)31 b(to)g(shorten)f (notation)h(and)f(w)m(e)g(ha)m(v)m(e:)810 2003 y(\(1)-20 b(l)20 b Ft(\000)g Fs(\017)1044 1970 y FF(\000)p Fr(1)1138 2003 y Fs(R)1208 1970 y Fr(e+)1207 2026 y(c)1298 2003 y Fw(\()p Fs(\017)1370 1970 y FF(\000)p Fr(1)1465 2003 y Fw(\)\))p Fs(W)1634 1970 y Fr(e+)1724 2003 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))p Fs(R)1916 1970 y Fr(e+)1915 2026 y(c)2008 2003 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(u)656 2191 y Fw(=)83 b(lim)936 2205 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1177 2191 y Fw(e)1217 2158 y Fr(i)p Fq(tH)1325 2134 y Fm(e)1361 2191 y Fw(\(1)-20 b(l)20 b Ft(\000)g Fw(\()p Fs(\017B)1699 2205 y Fr(c)c Fq(t)1796 2191 y Fw(+)k(1)-20 b(l\))1973 2158 y FF(\000)p Fr(1)2067 2191 y Fw(\)e)2142 2158 y Fr(i)p Fq(\036)p Fr(\()p Fq(h)2272 2166 y Fj(t)2301 2158 y Fr(\))2332 2191 y Fw(\()p Fs(B)2436 2205 y Fr(c)17 b Fq(t)2533 2191 y Fw(+)j Fs(\025)p Fw(\))2712 2158 y FF(\000)p Fr(1)2807 2191 y Fw(e)2847 2158 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)3010 2134 y Fm(e)3046 2191 y Fs(u:)0 2387 y Fw(F)-8 b(rom)31 b(the)f(iden)m(tit)m(y)935 2533 y(e)975 2496 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(\036)p Fr(\()p Fq(h)p Fr(\))1192 2533 y Fw(d\000\()p Fs(b)p Fw(\)e)1449 2496 y Fr(i)p Fq(\036)p Fr(\()p Fq(h)p Fr(\))1635 2533 y Fw(=)25 b(d\000\()p Fs(b)p Fw(\))c(+)f Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(bh)p Fw(\))g Ft(\000)2422 2472 y Fw(1)p 2422 2512 46 4 v 2422 2596 a(2)2478 2533 y Fs(R)q(e)p Fw(\()p Fs(bh;)15 b(h)p Fw(\))0 2726 y(for)30 b Fs(h)c Ft(2)f Fl(h)346 2693 y Fr(e)381 2726 y Fw(,)31 b Fs(b)25 b Ft(2)g(B)s Fw(\()p Fl(h)728 2693 y Fr(e)764 2726 y Fw(\),)31 b(w)m(e)f(obtain:)642 2931 y(\(1)-20 b(l)20 b Ft(\000)g Fw(\()p Fs(\017B)980 2945 y Fr(c)d Fq(t)1077 2931 y Fw(+)j(1)-20 b(l\))1254 2898 y FF(\000)p Fr(1)1348 2931 y Fw(\)e)1423 2898 y Fr(i)p Fq(\036)p Fr(\()p Fq(h)1553 2906 y Fj(t)1582 2898 y Fr(\))1613 2931 y Fw(\()p Fs(B)1717 2945 y Fr(c)17 b Fq(t)1815 2931 y Fw(+)i Fs(\025)p Fw(\))1993 2898 y FF(\000)p Fr(1)489 3133 y Fw(=)82 b Fs(\017)p Fw(\()p Fs(\017B)820 3147 y Fr(c)16 b Fq(t)917 3133 y Fw(+)k(1)-20 b(l\))1094 3100 y FF(\000)p Fr(1)1188 3133 y Fw(e)1228 3100 y Fr(i)p Fq(\036)p Fr(\()p Fq(h)1358 3108 y Fj(t)1386 3100 y Fr(\))1418 3039 y Fp(\020)1468 3133 y Fs(B)1537 3147 y Fr(c)16 b Fq(t)1633 3133 y Fw(+)k Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(b)1878 3147 y Fr(c)c Fq(t)1955 3133 y Fs(h)2007 3147 y Fq(t)2037 3133 y Fw(\))k Ft(\000)2193 3098 y Fr(1)p 2193 3113 36 4 v 2193 3165 a(2)2238 3133 y Fs(R)q(e)p Fw(\()p Fs(b)2424 3147 y Fr(c)d Fq(t)2502 3133 y Fs(h)2554 3147 y Fq(t)2584 3133 y Fs(;)e(h)2676 3147 y Fq(t)2706 3133 y Fw(\))2741 3039 y Fp(\021)2791 3133 y Fw(\()p Fs(B)2895 3147 y Fr(c)h Fq(t)2992 3133 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))3171 3100 y FF(\000)p Fr(1)3266 3133 y Fs(:)0 3348 y Fw(By)31 b(Prop.)40 b(A.1)31 b(this)e(yields)1198 3548 y Ft(k)p Fw(\(1)-20 b(l)21 b Ft(\000)f Fw(\()p Fs(\017B)1582 3562 y Fr(c)c Fq(t)1679 3548 y Fw(+)k(1)-20 b(l)o(\))1855 3515 y FF(\000)p Fr(1)1950 3548 y Fw(\)e)2025 3515 y Fr(i)p Fq(\036)p Fr(\()p Fq(h)2155 3523 y Fj(t)2183 3515 y Fr(\))2215 3548 y Fw(\()p Fs(B)2319 3562 y Fr(c)16 b Fq(t)2416 3548 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2595 3515 y FF(\000)p Fr(1)2690 3548 y Ft(k)1045 3770 y(\024)82 b Fs(C)7 b Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(\017)p Fw(\()p Ft(k)p Fs(b)1559 3685 y Fm(1)p 1560 3697 31 4 v 1560 3738 a(2)1549 3792 y Fr(c)17 b Fq(t)1627 3770 y Fs(h)1679 3784 y Fq(t)1709 3770 y Ft(k)k Fw(+)e Ft(k)p Fs(b)1949 3784 y Fr(c)e Fq(t)2027 3770 y Fs(h)2079 3784 y Fq(t)2109 3770 y Ft(k)j Fw(+)g(1\))p Fs(:)0 3971 y Fw(Since)29 b Ft(k)p Fs(b)321 3985 y Fr(c)17 b Fq(t)399 3971 y Ft(k)25 b(\024)g Fw(1,)31 b Ft(k)p Fs(h)763 3985 y Fq(t)794 3971 y Ft(k)25 b Fw(=)g Ft(k)p Fs(h)p Ft(k)p Fw(,)32 b(w)m(e)f(obtain)f (\(8.26\).)141 4084 y(Finally)e(prop)s(ert)m(y)i Fu(iii\))g Fw(follo)m(ws)g(from)g Fu(i\))p Fw(,)g Fu(ii\))h Fw(and)e(Thm.)40 b(8.5.)i Fh(2)141 4247 y Fw(W)-8 b(e)32 b(end)d(this)h(section)g(with)f (another)i(similar)d(result.)0 4435 y Fi(Prop)s(osition)36 b(8.8)46 b Fu(Assume)e(\(I'0\),)j(\(I'1\))e(for)g Fs(\017)1775 4449 y Fr(0)1860 4435 y Fs(>)h Fw(0)p Fu(,)h(\(I'2\))e(for)f Fs(\026)i(>)g Fw(1)e Fu(and)h Fs(\032)p Fw(\(1)29 b(+)f Fs(\017)3268 4449 y Fr(0)3308 4435 y Fw(\))46 b Fs(>)g Fw(1)p Fu(.)76 b(L)-5 b(et)0 4548 y Fw(0)26 b Fs(<)f Fw(c)g Fs(<)g Fw(c)368 4515 y FF(0)417 4548 y Fs(<)g Fw(1)p Fu(.)42 b(L)-5 b(et)33 b Fs(f)830 4562 y Fr(0)902 4548 y Fu(b)-5 b(e)32 b(a)h(cuto\013)g(function)g(as)g(in)f(\(6.1\).)43 b(Then)1504 4752 y Fw(Ran\000)1724 4714 y Fr(e+)1724 4780 y(c)1755 4761 y Fo(0)1814 4752 y Fw(\()p Fs(f)1894 4766 y Fr(0)1933 4752 y Fw(\))26 b Ft(\032)f(K)2160 4714 y Fr(e+)2251 4752 y Fs(:)1844 5517 y Fw(70)p eop %%Page: 71 71 71 70 bop 0 162 a Fi(Pro)s(of.)79 b Fw(By)39 b(a)h(densit)m(y)f (argumen)m(t)h(using)e(the)h(fact)h(that)g Ft(K)2212 129 y Fr(e+)2343 162 y Fw(is)e(closed,)k(it)d(su\016ces)g(to)h(sho)m(w) f(that)h(if)0 275 y Fs(u)25 b Ft(2)g(H)241 242 y Fr(e+)240 298 y(c)331 275 y Fw(,)31 b Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)26 b Fw(=)e Fs(u)31 b Fw(for)f Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)1211 242 y FF(1)1204 298 y Fr(0)1285 275 y Fw(\(I)-15 b(R\))1126 479 y(\()p Fs(L)20 b Fw(+)g(i\))1395 442 y FF(\000)p Fr(1)1489 479 y Fs(a)1537 442 y Fr(e+)1628 479 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)\000)1807 441 y Fr(e+)1807 508 y(c)1838 489 y Fo(0)1898 479 y Fw(\()p Fs(f)1978 493 y Fr(0)2017 479 y Fw(\))p Fs(u)26 b Fw(=)f(0)p Fs(;)36 b Ft(8)p Fs(h)25 b Ft(2)g Fl(h)2589 442 y Fr(e)2589 502 y(0)2628 479 y Fs(:)-2653 b Fw(\(8.27\))0 684 y(Since)29 b(b)m(y)i(Thm.)39 b(8.6)32 b(the)e(map)1187 888 y Fl(h)1230 850 y Fr(e)1230 910 y(0)1295 888 y Ft(3)25 b Fs(h)h Ft(7!)f Fs(a)1623 850 y FF(\003)p Fr(e+)1749 888 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)\()p Fs(L)c Fw(+)f(i\))2141 850 y FF(\000)p Fr(1)2260 888 y Ft(2)25 b(B)s Fw(\()p Ft(H)2522 850 y Fr(e)2557 888 y Fw(\))0 1092 y(is)32 b(norm)g(con)m(tin)m(uous,)h(it)f(su\016ces) h(to)g(pro)m(v)m(e)h(\(8.27\))h(for)d Fs(h)e Ft(2)f Fs(C)2233 1059 y FF(1)2226 1115 y Fr(0)2307 1092 y Fw(\(I)-15 b(R)p Ft(nf)p Fw(0)p Ft(g)p Fw(\))24 b Ft(\012)d Fl(g)p Fw(.)48 b(Let)33 b(us)f(again)h(set)g(c)3586 1059 y FF(0)3639 1092 y Fw(=)c(c)0 1205 y(to)34 b(simplify)d(the)i(notation.)51 b(W)-8 b(e)35 b(ha)m(v)m(e)g(b)m(y)e(Thm.)50 b(8.6,)35 b(Prop.)50 b(4.5)35 b(and)e(the)h(fact)g(that)g(\()p Fs(L)23 b Fw(+)f(i\))3390 1172 y FF(\000)p Fr(1)3484 1205 y Fs(a)p Fw(\()p Fs(h)3619 1219 y Fq(t)3650 1205 y Fw(\))33 b(is)0 1318 y(uniformly)27 b(b)s(ounded:)880 1514 y(\()p Fs(L)21 b Fw(+)f(i\))1150 1481 y FF(\000)p Fr(1)1244 1514 y Fs(a)1292 1481 y Fr(e+)1382 1514 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\)\000)1561 1481 y Fr(e+)1561 1537 y(c)1652 1514 y Fw(\()p Fs(f)1732 1528 y Fr(0)1772 1514 y Fw(\))p Fs(u)727 1713 y Fw(=)82 b(lim)1007 1727 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1247 1713 y Fw(e)1287 1680 y Fr(i)p Fq(tH)1395 1656 y Fm(e)1432 1713 y Fw(\()p Fs(L)20 b Fw(+)g(i\))1701 1680 y FF(\000)p Fr(1)1795 1713 y Fs(a)p Fw(\()p Fs(h)1930 1727 y Fq(t)1960 1713 y Fw(\)\000\()p Fs(f)2142 1680 y Fq(t)2132 1736 y Fr(0)2172 1713 y Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()2323 1664 y Fq(N)2386 1641 y Fm(e)2379 1685 y Fj(t)p 2323 1692 95 4 v 2341 1748 a Fq(t)2366 1729 y Fj(\016)2428 1713 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2692 1680 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2855 1656 y Fm(e)2892 1713 y Fs(u)727 1911 y Fw(=)82 b(lim)1007 1925 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1247 1911 y Fw(e)1287 1878 y Fr(i)p Fq(tH)1395 1854 y Fm(e)1432 1911 y Fw(\()p Fs(L)20 b Fw(+)g(i\))1701 1878 y FF(\000)p Fr(1)1795 1911 y Fs(a)p Fw(\()p Fs(f)1933 1878 y Fq(t)1923 1934 y Fr(1)1962 1911 y Fs(h)2014 1925 y Fq(t)2044 1911 y Fw(\)\000\()p Fs(f)2226 1878 y Fq(t)2216 1934 y Fr(0)2256 1911 y Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()2407 1863 y Fq(N)2470 1839 y Fm(e)2463 1883 y Fj(t)p 2407 1890 V 2425 1947 a Fq(t)2450 1928 y Fj(\016)2512 1911 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2776 1878 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2939 1854 y Fm(e)2976 1911 y Fs(u;)0 2123 y Fw(where)30 b Fs(f)318 2090 y Fq(t)308 2146 y Fr(1)372 2123 y Fw(=)25 b Fs(f)513 2137 y Fr(1)552 2123 y Fw(\()597 2087 y Fq(s)p FF(\000)p Fr(c)p Fq(t)p 597 2102 145 4 v 639 2154 a(t)664 2135 y Fj(\032)752 2123 y Fw(\),)31 b Fs(f)888 2137 y Fr(1)957 2123 y Fw(a)g(cuto\013)g (function)e(as)h Fs(f)1800 2137 y Fr(0)1870 2123 y Fw(with)f Fs(f)2122 2137 y Fr(1)2161 2123 y Fs(f)2206 2137 y Fr(0)2270 2123 y Fw(=)c Fs(f)2411 2137 y Fr(0)2450 2123 y Fw(.)141 2236 y(By)33 b(stationary)f(phase)g(estimates,)i(since)e(0)c Fs(<)h Fw(c)g Fs(<)f Fw(1)k Ft(k)p Fs(f)2146 2203 y Fq(t)2136 2259 y Fr(1)2176 2236 y Fs(h)2228 2250 y Fq(t)2258 2236 y Ft(k)2303 2250 y Fk(h)2339 2231 y Fm(e)2403 2236 y Ft(2)c Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2632 2203 y FF(\0001)2762 2236 y Fw(\))33 b(for)f Fs(h)d Ft(2)f Fs(C)3213 2203 y FF(1)3206 2259 y Fr(0)3287 2236 y Fw(\(I)-15 b(R)p Ft(nf)p Fw(0)p Ft(g)p Fw(\))24 b Ft(\012)d Fl(g)0 2349 y Fw(and)30 b(hence)1149 2451 y Ft(k)p Fs(a)p Fw(\()p Fs(f)1332 2418 y Fq(t)1322 2474 y Fr(1)1362 2451 y Fs(h)1414 2465 y Fq(t)1444 2451 y Fw(\)\000\()p Fs(f)1626 2418 y Fq(t)1616 2474 y Fr(0)1655 2451 y Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()1806 2402 y Fq(N)1869 2379 y Fm(e)1862 2423 y Fj(t)p 1807 2430 95 4 v 1825 2486 a Fq(t)1850 2467 y Fj(\016)1912 2451 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Ft(k)995 2650 y(\024)83 b(k)p Fs(f)1249 2617 y Fq(t)1239 2674 y Fr(1)1279 2650 y Fs(h)1331 2664 y Fq(t)1361 2650 y Ft(kk)p Fw(\()p Fs(N)1569 2617 y Fr(e)1625 2650 y Fw(+)20 b(1\))1806 2587 y Fm(1)p 1807 2599 31 4 v 1807 2641 a(2)1852 2650 y Fw(\000\()p Fs(f)1999 2617 y Fq(t)1989 2674 y Fr(0)2028 2650 y Fw(\))p Fs(F)13 b Fw(\()2179 2602 y Fq(N)2242 2579 y Fm(e)2235 2623 y Fj(t)p 2180 2629 95 4 v 2197 2686 a Fq(t)2222 2667 y Fj(\016)2284 2650 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Ft(k)995 2850 y(\024)83 b(k)p Fs(f)1249 2817 y Fq(t)1239 2873 y Fr(1)1279 2850 y Fs(h)1331 2864 y Fq(t)1361 2850 y Ft(kk)p Fw(\()p Fs(N)1569 2817 y Fr(e)1625 2850 y Fw(+)20 b(1\))1806 2787 y Fm(1)p 1807 2799 31 4 v 1807 2841 a(2)1852 2850 y Fs(F)13 b Fw(\()1968 2802 y Fq(N)2031 2779 y Fm(e)2024 2823 y Fj(t)p 1968 2829 95 4 v 1986 2886 a Fq(t)2011 2867 y Fj(\016)2073 2850 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Ft(k)26 b(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2594 2817 y FF(\0001)2724 2850 y Fw(\))p Fs(;)0 3017 y Fw(b)m(y)30 b(Lemma)h(4.6.)42 b(Hence)31 b(\(8.27\))h(holds)d(for)h(all)g Fs(h)25 b Ft(2)g Fs(C)1904 2984 y FF(1)1897 3040 y Fr(0)1978 3017 y Fw(\(I)-15 b(R)p Ft(nf)p Fw(0)p Ft(g)p Fw(\))23 b Ft(\012)d Fl(g)p Fw(,)30 b(whic)m(h)f(completes)i(the)f(pro)s(of.)40 b Fh(2)0 3303 y Fx(9)135 b(Geometric)46 b(asymptotic)g(completeness)g (for)f Fc(H)2676 3260 y FD(e)0 3506 y Fw(In)40 b(this)f(section)i(w)m (e)f(pro)m(v)m(e)i(the)e Fu(ge)-5 b(ometric)43 b(asymptotic)h(c)-5 b(ompleteness)84 b Fw(for)40 b Fs(H)2902 3473 y Fr(e)2937 3506 y Fw(.)71 b(This)39 b(prop)s(ert)m(y)h(is)f(a)0 3619 y(geometric)44 b(c)m(haracterization)g(of)f(the)g(space)h Ft(K)1715 3586 y Fr(e+)1714 3641 y(c)1852 3619 y Fw(=)i Ft(K)2039 3586 y Fr(e+)2158 3619 y Ft(\\)29 b(H)2326 3586 y Fr(e+)2325 3641 y(c)2416 3619 y Fw(.)78 b(The)42 b(space)i Ft(K)3044 3586 y Fr(e+)3043 3641 y(c)3178 3619 y Fw(is)e(the)h(space)g(of)0 3732 y(v)-5 b(acuum)41 b(states)j(in)c Ft(H)813 3699 y Fr(e+)812 3754 y(c)903 3732 y Fw(.)76 b(W)-8 b(e)43 b(sho)m(w)f(in)e(Thm.)75 b(9.5)43 b(that)f(those)h (states)g(are)f(lo)s(calized)f(in)g(the)h(region)0 3845 y Ft(fj)p Fs(s)p Ft(j)26 b(\024)f Fw(c)300 3812 y FF(0)323 3845 y Fs(t)p Ft(g)p Fw(,)31 b(for)f(an)m(y)h(c)26 b Fs(<)f(c)969 3812 y FF(0)992 3845 y Fw(.)141 3958 y(W)-8 b(e)36 b(assume)f(in)f(this)g(section)h(h)m(yp)s(otheses)g Fu(\(I'0\))p Fw(,)i Fu(\(I'1\))e Fw(for)g Fs(\017)2334 3972 y Fr(0)2406 3958 y Fs(>)e Fw(0,)k Fu(\(I'2\))e Fw(for)g Fs(\026)e(>)g Fw(1.)55 b(W)-8 b(e)36 b(pic)m(k)e(the)0 4070 y(constan)m(t)e(0)25 b Fs(<)g(\032)h(<)f Fw(1)30 b(suc)m(h)g(that)h Fs(\032)p Fw(\(1)21 b(+)f Fs(\017)1455 4084 y Fr(0)1495 4070 y Fw(\))25 b Fs(>)g Fw(1.)0 4314 y Fv(9.1)112 b(T)-9 b(ec)m(hnical)36 b(preparations)0 4485 y Fi(Lemma)d(9.1)46 b Fu(L)-5 b(et)33 b Fs(j)744 4499 y Fr(0)784 4485 y Fs(;)15 b(j)861 4499 y FF(1)936 4485 y Fs(;)g(b)26 b Ft(2)f(B)s Fw(\()p Fl(h)1268 4452 y Fr(e)1303 4485 y Fw(\))p Fu(,)33 b Fs(j)1436 4499 y Fr(0)1476 4485 y Fs(;)15 b(j)1553 4499 y FF(1)1654 4485 y Ft(\025)25 b Fw(0)p 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4698 y Fr(c)2013 4735 y Fs(;)15 b Fw(d)p Fs(\033)s Fw(d)p Fs(!)s Fw(\))25 b(=:)g Fl(h)2494 4698 y Fr(e)2494 4758 y Fq(B)2575 4735 y Ft(\010)20 b Fl(h)2709 4698 y Fr(e)p FF(?)2709 4758 y Fq(B)2800 4735 y Fs(:)0 4895 y Fw(Let)31 b Fs(U)40 b Fw(b)s(e)30 b(the)g(canonical)g (map)g(from)g(\000\()p Fl(h)1496 4862 y Fr(e)1532 4895 y Fw(\))h(in)m(to)f(\000\()p Fl(h)1917 4862 y Fr(e)1917 4920 y Fq(B)1978 4895 y Fw(\))21 b Ft(\012)f Fw(\000\()p Fl(h)2260 4862 y Fr(e)p FF(?)2260 4920 y Fq(B)2351 4895 y Fw(\).)41 b(Then:)1056 5083 y Fs(U)10 b(a)p Fw(\()p Fs(\033)n(;)15 b(!)s Fw(\))27 b(=)e(\()p Fs(a)p Fw(\()p Fs(\033)n(;)15 b(!)s Fw(\))22 b Ft(\012)d Fw(1)-20 b(l\))p Fs(U;)46 b Fw(for)30 b(\()p Fs(\033)n(;)15 b(!)s Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(B)5 b(;)1056 5267 y(U)10 b Fw(d\000\(1)-20 b(l)1322 5281 y Fq(B)1382 5267 y Fw(\))26 b(=)f Fs(N)1622 5234 y Fr(e)1678 5267 y Ft(\012)19 b Fw(1)-20 b(l)p Fs(U:)0 5175 y Fw(\(9.3\))1844 5517 y(72)p eop %%Page: 73 73 73 72 bop 0 162 a Fw(This)29 b(yields:)1042 198 y Fp(R)1081 295 y Fq(B)1137 276 y Fj(p)1193 267 y Ft(k)p Fw(\005)1306 223 y Fq(p)1306 292 y Fr(1)1347 267 y Fs(a)p Fw(\()p Fs(\033)1482 281 y Fq(i)1510 267 y Fs(;)15 b(!)1607 281 y Fq(i)1635 267 y Fw(\))p Fs(u)p Ft(k)1767 234 y Fr(2)1808 267 y Fw(d)p Fs(\033)1911 281 y Fr(1)1965 267 y Ft(\001)g(\001)g(\001)h Fw(d)p Fs(\033)2189 281 y Fq(p)2228 267 y Fw(d)p Fs(!)2336 281 y Fr(1)2390 267 y Ft(\001)f(\001)g(\001)h Fw(d)p Fs(!)2619 281 y Fq(p)888 451 y Fw(=)1042 382 y Fp(R)1081 479 y Fq(B)1137 460 y Fj(p)1193 451 y Ft(k)p Fw(\005)1306 407 y Fq(p)1306 476 y Fr(1)1347 451 y Fs(a)p Fw(\()p Fs(\033)1482 465 y Fq(i)1510 451 y Fs(;)f(!)1607 465 y Fq(i)1635 451 y Fw(\))21 b Ft(\012)f Fw(1)-20 b(l)o Fs(U)10 b(u)p Ft(k)2001 418 y Fr(2)2041 451 y Fw(d)p Fs(\033)2144 465 y Fr(1)2198 451 y Ft(\001)15 b(\001)g(\001)h Fw(d)p Fs(\033)2422 465 y Fq(p)2462 451 y Fw(d)p Fs(!)2570 465 y Fr(1)2623 451 y Ft(\001)f(\001)g(\001)h Fw(d)p Fs(!)2852 465 y Fq(p)888 635 y Fw(=)83 b(\()p Fs(N)1160 602 y Fr(e)1211 635 y Ft(\001)15 b(\001)g(\001)h Fw(\()p Fs(N)1450 602 y Fr(e)1506 635 y Ft(\000)k Fs(p)g Fw(+)g(1\))h Ft(\012)f Fw(1)-20 b(l)o Fs(U)10 b(u;)15 b(U)10 b(u)p Fw(\))888 819 y Ft(\024)83 b Fs(C)1107 833 y Fq(p)1147 819 y Fw(\(\()p Fs(N)1300 786 y Fr(e)1356 819 y Fw(+)20 b(1\))1527 786 y Fq(p)1588 819 y Ft(\012)g Fw(1)-20 b(l)o Fs(U)10 b(u;)15 b(U)10 b(u)p Fw(\))888 1006 y(=)83 b Fs(C)1107 1020 y Fq(p)1147 1006 y Ft(k)p Fw(\(d\000\(1)-20 b(l)1421 1020 y Fq(B)1481 1006 y Fw(\))21 b(+)f(1)-20 b(l)o(\))1713 973 y Fq(p=)p Fr(2)1824 1006 y Fs(u)p Ft(k)1921 973 y Fr(2)1961 1006 y Fs(;)0 1163 y Fw(b)m(y)30 b(\(9.3\).)43 b(Using)29 b(then)h(Lemma)h(3.6)g Fu(iii\))p Fw(,)g(w)m(e)g(obtain)e (\(9.2\).)141 1276 y(Next)i(for)g Fs(u;)15 b(v)29 b Ft(2)24 b(H)831 1243 y Fr(e)867 1276 y Fs(;)15 b( )29 b Ft(2)c(\012)1152 1243 y Fq(n)1152 1298 y Fr(s)1198 1276 y Fl(h)1241 1243 y Fr(e)1277 1276 y Fw(,)31 b(w)m(e)f(ha)m(v)m(e:)687 1466 y Ft(j)p Fw(\()p Fs(u;)15 b Fw(\()p Fs(L)21 b Fw(+)f(i\))1109 1433 y FF(\000)p Fq(k)r(=)p Fr(2)1277 1466 y Fs(I)7 b Fw(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fw(\000\()p Fs(b)1617 1480 y Fq(\017)1650 1466 y Fw(\))p Fs(v)j Ft(\012)d Fs( )s Fw(\))p Ft(j)533 1649 y Fw(=)735 1614 y Fr(1)p 697 1629 113 4 v 697 1715 a Fq(k)r Fr(!)766 1664 y Fm(1)p 765 1673 31 4 v 765 1708 a(2)819 1649 y Ft(j)859 1581 y Fp(R)930 1649 y Fs( )s Fw(\()p Fs(\033)1079 1663 y Fr(1)1120 1649 y Fs(;)15 b(!)1217 1663 y Fr(1)1256 1649 y Fs(;)g(:)g(:)g(:)i(;)e(\033) 1510 1664 y Fq(k)1553 1649 y Fs(;)g(!)1650 1664 y Fq(k)1692 1649 y Fw(\)\005)1795 1616 y Fq(k)1795 1674 y(i)p Fr(=1)1914 1649 y Fs(F)1972 1663 y Fq(\017)2005 1649 y Fw(\()p Fs(\033)2092 1663 y Fq(i)2121 1649 y Fw(\))687 1852 y Ft(\002)758 1757 y Fp(\020)807 1852 y Fs(a)p Fw(\()p Fs(\033)942 1866 y Fr(1)982 1852 y Fs(;)g(!)1079 1866 y Fr(1)1118 1852 y Fw(\))g Ft(\001)g(\001)g(\001)i Fs(a)p Fw(\()p Fs(\033)1425 1867 y Fq(k)1468 1852 y Fs(;)e(!)1565 1867 y Fq(k)1608 1852 y Fw(\)\()p Fs(L)21 b Ft(\000)e Fw(i\))1912 1819 y FF(\000)p Fq(k)r(=)p Fr(2)2080 1852 y Fs(u;)c(v)2219 1757 y Fp(\021)2270 1908 y FF(H)2330 1889 y Fm(e)2365 1852 y Fw(d)p Fs(\033)2468 1866 y Fr(1)2522 1852 y Ft(\001)g(\001)g (\001)h Fw(d)p Fs(\033)2746 1867 y Fq(k)2789 1852 y Fw(d)p Fs(!)2897 1866 y Fr(1)2950 1852 y Ft(\001)f(\001)g(\001)h Fw(d)p Fs(!)3179 1867 y Fq(k)3221 1852 y Ft(j)533 2035 y(\024)83 b Fs(C)752 2050 y Fq(k)r(;\017)843 2035 y Ft(k)p Fs( )s Ft(k)995 2058 y FF(\012)1050 2039 y Fj(k)1050 2074 y Fm(s)1089 2058 y Fk(h)1125 2039 y Fm(e)1161 2035 y Ft(k)p Fs(u)p Ft(k)1303 2049 y FF(H)1363 2031 y Fm(e)1399 2035 y Ft(k)p Fs(v)s Ft(k)1536 2049 y FF(H)1596 2031 y Fm(e)1633 2035 y Fs(;)0 2234 y Fw(b)m(y)30 b(\(9.2\))i(for)f Fs(B)e Fw(=])p Fs(\017;)15 b(\017)791 2201 y FF(\000)p Fr(1)886 2234 y Fw([)p Ft(\002)p Fs(S)1043 2201 y Fr(2)1113 2234 y Fw(and)29 b(Cauc)m(h)m(y-Sc)m(h)m(w)m(arz)j(inequalit)m(y)-8 b(.)40 b Fh(2)0 2476 y Fv(9.2)112 b(Geometric)36 b(asymptotic)g (completeness)0 2679 y Fi(Prop)s(osition)g(9.3)46 b Fu(L)-5 b(et)36 b Fw(0)31 b Ft(\024)f Fw(c)h Fs(<)f Fw(c)1293 2646 y FF(0)1347 2679 y Ft(\024)g Fw(1)p Fu(.)51 b(L)-5 b(et)36 b Fs(j)1769 2693 y Fr(0)1809 2679 y Fs(;)15 b(j)1886 2693 y FF(1)1997 2679 y Fu(satisfying)36 b(\(6.1\))g(and)h(\(6.4\))f (with)g Fs(j)3297 2594 y Fm(1)p 3297 2606 V 3297 2647 a(2)3281 2689 y FF(1)3387 2679 y Ft(2)30 b Fs(C)3550 2646 y FF(1)3624 2679 y Fw(\(I)-15 b(R\))0 2791 y Fu(and)34 b(let)e Fs(j)346 2758 y Fq(t)341 2815 y Fr(0)381 2791 y Fs(;)15 b(j)463 2758 y Fq(t)458 2814 y FF(1)566 2791 y Fu(b)-5 b(e)33 b(as)g(in)f(\(7.1\))i(for)f(the)g(c)-5 b(onstant)35 b Fw(c)1832 2758 y FF(0)1855 2791 y Fu(.)42 b(Then)673 3016 y Fw(w)21 b Ft(\000)68 b Fw(lim)851 3070 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1088 3016 y Fw(e)1128 2978 y Fr(i)p Fq(tH)1236 2955 y Fm(e)1272 3016 y Fs(P)1330 3031 y Fq(k)1373 3016 y Fw(\()p Fs(j)1450 2978 y Fq(t)1445 3038 y Fr(0)1485 3016 y Fs(;)15 b Fw(\()p Fs(j)1602 2978 y Fq(t)1597 3038 y FF(1)1673 3016 y Fw(\))1718 2951 y Fm(1)p 1718 2963 V 1718 3004 a(2)1763 3016 y Fs(b)1802 3030 y Fq(\017)1834 3016 y Fw(\()p Fs(j)1911 2978 y Fq(t)1906 3038 y FF(1)1982 3016 y Fw(\))2027 2951 y Fm(1)p 2027 2963 V 2027 3004 a(2)2072 3016 y Fw(\)e)2147 2978 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2310 2955 y Fm(e)2371 3016 y Fw(=:)26 b Fs(P)2564 2977 y Fr(+)2551 3044 y Fq(k)2623 3016 y Fw(\()p Fs(j)2695 3030 y Fr(0)2735 3016 y Fs(;)15 b(j)2828 2931 y Fm(1)p 2828 2943 V 2828 2984 a(2)2812 3026 y FF(1)2887 3016 y Fs(b)2926 3030 y Fq(\017)2959 3016 y Fs(j)3012 2931 y Fm(1)p 3012 2943 V 3012 2984 a(2)2996 3026 y FF(1)3071 3016 y Fw(\))0 3248 y Fu(exists)33 b(on)g Ft(H)457 3215 y Fr(e+)456 3271 y(c)580 3248 y Fu(and)g(e)-5 b(quals)33 b Fw(\012)1089 3215 y Fr(e+)1179 3248 y Fw(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fw(\000\()p Fs(b)1472 3262 y Fq(\017)1505 3248 y Fw(\))p Fs(W)1639 3210 y Fr(+)1626 3276 y Fq(k)1698 3248 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Fu(.)0 3455 y Fi(Pro)s(of.)87 b Fw(By)42 b(the)g(de\014nition)e(of)i Ft(H)1300 3422 y Fr(e+)1299 3478 y(c)1432 3455 y Fw(it)f(su\016ces)h(to)g(sho)m(w)g (the)g(existence)g(of)h(the)f(limit)d(on)j(Ran)3613 3432 y(^)3593 3455 y Fs(P)3664 3417 y Fr(e+)3651 3484 y(c)3682 3465 y Fo(0)3754 3455 y Fw(.)0 3568 y(Changing)29 b(notation)i(w)m(e)g (ma)m(y)g(replace)f(c)1452 3535 y FF(0)1506 3568 y Fw(b)m(y)g(c.)41 b(W)-8 b(e)32 b(\014rst)d(claim)h(that)h(for)f Fs(\037)2718 3582 y Fr(1)2782 3568 y Ft(2)25 b Fs(C)2940 3535 y FF(1)2933 3591 y Fr(0)3015 3568 y Fw(\(I)-15 b(R)o(\):)258 3757 y Fs(\037)315 3771 y Fr(1)354 3757 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\012)552 3720 y Fr(e+)643 3757 y Fw(1)-20 b(l)19 b Ft(\012)h Fw(\000\()p Fs(b)935 3771 y Fq(\017)968 3757 y Fw(\))p Fs(W)1102 3719 y Fr(+)1089 3785 y Fq(k)1161 3757 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))27 b(=)d(s-)63 b(lim)1477 3812 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1713 3757 y Fw(e)1753 3720 y Fr(i)p Fq(tH)1861 3696 y Fm(e)1898 3757 y Fs(\037)1955 3771 y Fr(1)1994 3757 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(I)7 b Fw(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fw(\000\()p Fs(b)2466 3771 y Fq(\017)2499 3757 y Fw(\))2540 3734 y(\024)2534 3757 y(\000)2591 3772 y Fq(k)2634 3757 y Fw(\()p Fs(j)2711 3720 y Fq(t)2741 3757 y Fw(\)e)2816 3720 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2979 3696 y Fm(e)3046 3757 y Fw(on)30 b(Ran)3356 3734 y(^)3335 3757 y Fs(P)3406 3720 y Fr(e+)3393 3780 y(c)3497 3757 y Fs(:)-3522 b Fw(\(9.4\))0 3998 y(First)29 b(since)g(b)m(y)g(Lemma)g (9.2)i Fs(\037)1094 4012 y Fr(1)1133 3998 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(I)7 b Fw(1)-20 b(l)19 b Ft(\012)f Fw(\000\()p Fs(b)1602 4012 y Fq(\017)1634 3998 y Fw(\))30 b(is)f(b)s(ounded,)e(it)i (su\016ces)g(to)h(pro)m(v)m(e)h(\(9.4\))g(for)e Fs(u)c Ft(2)g Fw(Ran)3638 3975 y(^)3618 3998 y Fs(P)3689 3965 y Fr(e+)3676 4020 y(c)0 4111 y Fw(with)k Fs(u)c Fw(=)g Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)31 b Fw(for)f Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)1031 4078 y FF(1)1024 4134 y Fr(0)1105 4111 y Fw(\(I)-15 b(R\).)141 4224 y(W)-8 b(e)32 b(note)f(\014rst)e (that)i(b)m(y)g(Thm.)39 b(7.7)32 b Fu(ii\))p Fw(:)1032 4413 y Fs(W)1131 4375 y Fr(+)1118 4441 y Fq(k)1190 4413 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Fs(u)26 b Fw(=)f Fs(W)1575 4375 y Fr(+)1562 4441 y Fq(k)1634 4413 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(u)27 b Fw(=)e Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)2264 4427 y Fr(ext)2364 4413 y Fw(\))p Fs(W)2498 4375 y Fr(+)2485 4441 y Fq(k)2557 4413 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Fs(u:)0 4602 y Fw(Moreo)m(v)m(er)32 b(b)m(y)f(Thm.)39 b(7.7)32 b Fu(iv\))e Fw(and)g(Prop.)40 b(8.8)1030 4791 y(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fw(\000\()p Fs(b)1323 4805 y Fq(\017)1356 4791 y Fw(\))p Fs(W)1490 4753 y Fr(+)1477 4819 y Fq(k)1549 4791 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Fs(u)26 b Ft(2)f(K)1895 4753 y Fr(e+)2006 4791 y Ft(\012)20 b Fw(\000\()p Fl(h)2232 4753 y Fr(e)2268 4791 y Fw(\))26 b(=)f Ft(D)s Fw(\(\012)2599 4753 y Fr(e+)2689 4791 y Fw(\))p Fs(:)0 4980 y Fw(Also)911 5067 y(1)-20 b(l)19 b Ft(\012)h Fw(\000\()p Fs(b)1203 5081 y Fq(\017)1236 5067 y Fw(\))p Fs(W)1370 5029 y Fr(+)1357 5095 y Fq(k)1429 5067 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Fs(u)27 b Fw(=)e Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)1870 5081 y Fr(ext)1970 5067 y Fw(\)1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fw(\000\()p Fs(b)2298 5081 y Fq(\017)2331 5067 y Fw(\))p Fs(W)2465 5029 y Fr(+)2452 5095 y Fq(k)2524 5067 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Fs(u)911 5267 y Ft(2)25 b(D)s Fw(\(\()p Fs(L)20 b Fw(+)g(i\))1374 5234 y Fq(k)r(=)p Fr(2)1487 5267 y Fw(\))g Ft(\012)1633 5203 y Fp(N)1725 5229 y Fq(k)1725 5290 y Fr(s)1783 5267 y Ft(D)s Fw(\()p Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)1996 5231 y FF(\000)2061 5204 y Fm(1)p 2062 5216 V 2062 5257 a(2)2127 5267 y Fw(+)g Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)2333 5204 y Fm(1)p 2333 5216 V 2333 5257 a(2)2378 5267 y Fw(\))25 b Ft(\032)g(D)s Fw(\(\012)2708 5229 y Fr(e+)2708 5290 y(ext)2808 5267 y Fw(\))p Fs(:)1844 5517 y Fw(73)p eop %%Page: 74 74 74 73 bop 0 162 a Fw(Hence)31 b(for)f Fs(\037)466 176 y Fr(1)531 162 y Ft(2)25 b Fs(C)689 129 y FF(1)682 185 y Fr(0)763 162 y Fw(\(I)-15 b(R\):)1051 364 y Fs(\037)1108 378 y Fr(1)1147 364 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\012)1345 331 y Fr(+)1405 364 y Fw(1)-20 b(l)19 b Ft(\012)h Fw(\000\()p Fs(b)1697 378 y Fq(\017)1730 364 y Fw(\))p Fs(W)1864 326 y Fr(+)1851 392 y Fq(k)1923 364 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Fs(u)897 548 y Fw(=)83 b Fs(\037)1108 562 y Fr(1)1147 548 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\012)1345 515 y Fr(ext)r(+)1501 548 y Fw(1)-20 b(l)19 b Ft(\012)h Fw(\000\()p Fs(b)1793 562 y Fq(\017)1826 548 y Fw(\))p Fs(W)1960 510 y Fr(+)1947 576 y Fq(k)2019 548 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Fs(u)897 740 y Fw(=)83 b(lim)1177 754 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1418 740 y Fw(e)1458 707 y Fr(i)p Fq(tH)1566 683 y Fm(e)1602 740 y Fs(\037)1659 754 y Fr(1)1699 740 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(I)7 b Fw(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fw(\000\()p Fs(b)2171 754 y Fq(\017)2204 740 y Fw(\)e)2279 707 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2442 683 y Fm(ext)2534 740 y Fs(W)2633 701 y Fr(+)2620 768 y Fq(k)2692 740 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Fs(u:)0 941 y Fw(Since)29 b(b)m(y)g(Lemma)h(9.2)h Fs(\037)889 955 y Fr(1)929 941 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(I)7 b Fw(1)-20 b(l)19 b Ft(\012)g Fw(\000\()p Fs(b)1399 955 y Fq(\017)1431 941 y Fw(\))31 b(is)d(b)s(ounded,)g(w)m(e)j(can)f (apply)e(the)i(c)m(hain)f(rule)g(and)g(obtain)g(\(9.4\).)141 1054 y(Next)i(w)m(e)g(note)g(that)1276 1167 y Fs(I)7 b Fw(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fw(\000\()p Fs(b)1616 1181 y Fq(\017)1649 1167 y Fw(\))1690 1144 y(\024)1684 1167 y(\000\()p Fs(j)1818 1130 y Fq(t)1849 1167 y Fw(\))25 b(=)g Fs(P)2063 1182 y Fq(k)2106 1167 y Fw(\()p Fs(j)2183 1130 y Fq(t)2178 1190 y Fr(0)2218 1167 y Fs(;)15 b(b)2297 1181 y Fq(\017)2331 1167 y Fs(j)2373 1130 y Fq(t)2368 1190 y FF(1)2443 1167 y Fw(\))p Fs(;)0 1334 y Fw(whic)m(h)29 b(implies)1075 1447 y Ft(k)p Fs(\037)1177 1461 y Fr(1)1217 1447 y Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Fs(P)1407 1462 y Fq(k)1450 1447 y Fw(\()p Fs(j)1527 1409 y Fq(t)1522 1469 y Fr(0)1563 1447 y Fs(;)15 b(b)1642 1461 y Fq(\017)1675 1447 y Fs(j)1717 1409 y Fq(t)1712 1469 y FF(1)1787 1447 y Fw(\))p Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)q(;)46 b Fw(uniformly)27 b(in)i Fs(t:)-2704 b Fw(\(9.5\))0 1614 y(Note)32 b(also)e(that)h(since)f Fs(b)861 1628 y Fq(\017)919 1614 y Ft(\024)25 b Fw(1,)31 b(w)m(e)f(ha)m(v)m(e)1157 1828 y Fs(j)1199 1790 y Fq(t)1194 1850 y Fr(0)1254 1828 y Fw(+)20 b Fs(\013)p Fw(\()p Fs(j)1480 1790 y Fq(t)1475 1850 y FF(1)1551 1828 y Fw(\))1596 1763 y Fm(1)p 1597 1775 31 4 v 1597 1816 a(2)1641 1828 y Fs(b)1680 1842 y Fq(\017)1713 1828 y Fw(\()p Fs(j)1790 1790 y Fq(t)1785 1850 y FF(1)1860 1828 y Fw(\))1905 1763 y Fm(1)p 1906 1775 V 1906 1816 a(2)1976 1828 y Ft(\024)25 b Fs(j)2114 1790 y Fq(t)2109 1850 y Fr(0)2169 1828 y Fw(+)20 b Fs(\013j)2360 1790 y Fq(t)2355 1850 y FF(1)2455 1828 y Ft(\024)25 b Fw(1)p Fs(;)0 2032 y Fw(and)30 b(hence)1008 2145 y Ft(k)p Fs(P)1111 2160 y Fq(k)1155 2145 y Fw(\()p Fs(j)1232 2107 y Fq(t)1227 2167 y Fr(0)1267 2145 y Fs(;)15 b Fw(\()p Fs(j)1384 2107 y Fq(t)1379 2167 y FF(1)1455 2145 y Fw(\))1500 2080 y Fm(1)p 1500 2092 V 1500 2134 a(2)1545 2145 y Fs(b)1584 2159 y Fq(\017)1616 2145 y Fw(\()p Fs(j)1693 2107 y Fq(t)1688 2167 y FF(1)1764 2145 y Fw(\))1809 2080 y Fm(1)p 1809 2092 V 1809 2134 a(2)1854 2145 y Fw(\))p Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)q(;)46 b Fw(uniformly)27 b(in)i Fs(t:)-2771 b Fw(\(9.6\))0 2312 y(By)33 b(\(9.4\),)j(\(9.5\),)f(\(9.6\))g(and)d(a)i(densit)m(y)e (argumen)m(t,)i(it)f(su\016ces)f(to)i(pro)m(v)m(e)g(the)f(prop)s (osition)d(to)k(sho)m(w)f(that)0 2425 y(for)d Fs(u;)15 b(v)29 b Ft(2)c(D)s Fw(\(\()p Fs(N)616 2392 y Fr(e)652 2425 y Fw(\))687 2392 y FF(1)762 2425 y Fw(\):)438 2645 y(lim)390 2699 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)612 2645 y Fw(\(e)687 2607 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)850 2584 y Fm(e)886 2645 y Fs(v)s(;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))1162 2550 y Fp(\020)1213 2645 y Fs(P)1271 2660 y Fq(k)1314 2645 y Fw(\()p Fs(j)1391 2607 y Fq(t)1386 2667 y Fr(0)1426 2645 y Fs(;)g(b)1505 2659 y Fq(\017)1538 2645 y Fs(j)1580 2607 y Fq(t)1575 2667 y FF(1)1650 2645 y Fw(\))21 b Ft(\000)f Fs(P)1855 2660 y Fq(k)1898 2645 y Fw(\()p Fs(j)1975 2607 y Fq(t)1970 2667 y Fr(0)2010 2645 y Fs(;)15 b Fw(\()p Fs(j)2127 2607 y Fq(t)2122 2667 y FF(1)2198 2645 y Fw(\))2243 2580 y Fm(1)p 2243 2592 V 2243 2633 a(2)2288 2645 y Fs(b)2327 2659 y Fq(\017)2359 2645 y Fw(\()p Fs(j)2436 2607 y Fq(t)2431 2667 y FF(1)2507 2645 y Fw(\))2552 2580 y Fm(1)p 2552 2592 V 2552 2633 a(2)2597 2645 y Fw(\))2632 2550 y Fp(\021)2682 2645 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2911 2607 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)3074 2584 y Fm(e)3110 2645 y Fs(u)p Fw(\))26 b(=)f(0)p Fs(:)-3389 b Fw(\(9.7\))0 2909 y(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e)f Fs(b)405 2923 y Fq(\017)438 2909 y Fs(j)480 2876 y Fq(t)475 2932 y FF(1)575 2909 y Fw(=)25 b(\()p Fs(j)748 2876 y Fq(t)743 2932 y FF(1)819 2909 y Fw(\))864 2846 y Fm(1)p 864 2858 V 864 2899 a(2)909 2909 y Fs(b)948 2923 y Fq(\017)980 2909 y Fw(\()p Fs(j)1057 2876 y Fq(t)1052 2932 y FF(1)1128 2909 y Fw(\))1173 2846 y Fm(1)p 1173 2858 V 1173 2899 a(2)1238 2909 y Fw(+)20 b Fs(r)1373 2876 y Fq(t)1402 2909 y Fw(,)31 b(for)1204 3128 y Fs(r)1248 3091 y Fq(t)1302 3128 y Fw(=)25 b([)p Fs(b)1462 3142 y Fq(\017)1495 3128 y Fs(;)15 b Fw(\()p Fs(j)1612 3091 y Fq(t)1607 3151 y FF(1)1683 3128 y Fw(\))1728 3064 y Fm(1)p 1728 3076 V 1728 3117 a(2)1773 3128 y Fw(]\()p Fs(j)1875 3091 y Fq(t)1870 3151 y FF(1)1945 3128 y Fw(\))1990 3064 y Fm(1)p 1991 3076 V 1991 3117 a(2)2035 3128 y Fs(;)36 b(r)2140 3091 y Fq(t)2194 3128 y Ft(2)25 b Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2420 3091 y FF(\000)p Fq(\032)2515 3128 y Fw(\))p Fs(:)0 3333 y Fw(Let)31 b Fs(b)202 3347 y Fr(1)p Fq(;\017)320 3333 y Fw(b)s(e)f(a)g(cuto\013)h(function)e(similar)f(to)j Fs(b)1579 3347 y Fq(\017)1642 3333 y Fw(suc)m(h)f(that)h Fs(b)2083 3347 y Fr(1)p Fq(;\017)2196 3333 y Ft(\021)25 b Fw(1)31 b(on)f(supp)14 b Fs(b)2736 3347 y Fq(\017)2768 3333 y Fw(.)41 b(By)31 b(p.d.o.)40 b(calculus:)1134 3537 y Fs(r)1178 3499 y Fq(t)p FF(\003)1242 3537 y Fs(r)1286 3499 y Fq(t)1341 3537 y Fw(=)25 b Fs(b)1476 3551 y Fr(1)p Fq(;\017)1563 3537 y Fs(r)1607 3499 y FF(\003)p Fq(t)1672 3537 y Fs(r)1716 3499 y Fq(t)1745 3537 y Fs(b)1784 3551 y Fr(1)p Fq(;\017)1892 3537 y Fw(+)20 b Fs(r)2027 3499 y Fq(t)2024 3559 y Fr(2)2063 3537 y Fs(;)36 b(r)2168 3499 y Fq(t)2165 3559 y Fr(2)2229 3537 y Ft(2)25 b Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2455 3499 y FF(\0001)2585 3537 y Fw(\))p Fs(;)0 3741 y Fw(and)30 b(hence)987 3854 y Fs(r)1031 3816 y FF(\003)p Fq(t)1095 3854 y Fs(r)1139 3816 y Fq(t)1194 3854 y Ft(\024)25 b Fs(C)1362 3816 y Fr(2)1401 3854 y Fs(t)1434 3816 y FF(\000)p Fr(2)p Fq(\032)1564 3854 y Fs(b)1603 3816 y Fr(2)1603 3876 y(1)p Fq(;\017)1711 3854 y Fw(+)20 b Fs(r)1846 3816 y Fr(2)1843 3876 y FF(1)1917 3854 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\)1)-20 b(l)p Fs(;)36 b(r)2173 3868 y FF(1)2248 3854 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))26 b Ft(2)e Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2602 3816 y FF(\0001)2732 3854 y Fw(\))p Fs(:)0 4047 y Fw(Since)29 b(the)i(function)e Fs(\025)c Ft(7!)g Fs(\025)1007 3984 y Fm(1)p 1007 3996 V 1007 4037 a(2)1082 4047 y Fw(is)30 b(matrix)f(monotone,)j(this)d(giv) m(es)887 4261 y Ft(j)p Fs(r)956 4223 y Fq(t)986 4261 y Ft(j)c(\024)g Fw(\()p Fs(C)1239 4223 y Fr(2)1278 4261 y Fs(t)1311 4223 y FF(\000)p Fr(2)p Fq(\032)1442 4261 y Fs(b)1481 4223 y Fr(2)1481 4283 y(1)p Fq(;\017)1588 4261 y Fw(+)20 b Fs(r)1723 4223 y Fr(2)1720 4283 y FF(1)1795 4261 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\)1)-20 b(l\))1994 4196 y Fm(1)p 1994 4208 V 1994 4249 a(2)2064 4261 y Ft(\024)25 b Fs(C)7 b(t)2265 4223 y FF(\000)p Fq(\032)2360 4261 y Fs(b)2399 4275 y Fr(1)p Fq(;\017)2506 4261 y Fw(+)20 b Fs(r)2638 4275 y FF(1)2713 4261 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\)1)-20 b(l)p Fs(:)-2892 b Fw(\(9.8\))0 4465 y(Let)31 b Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))30 b(b)s(e)g(the)g(expression)f(on)i(the)f(l.h.s.)40 b(of)31 b(\(9.7\).)42 b(By)31 b(Lemma)f(9.1,)i(w)m(e)f(ha)m(v)m(e:)569 4748 y Ft(j)p Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Ft(j)25 b(\024)941 4642 y Fq(k)900 4667 y Fp(X)898 4848 y Fq(r)r Fr(=1)1037 4748 y Fs(\013)1095 4710 y Fq(r)r FF(\000)p Fq(k)1227 4748 y Ft(k)p Fw(d\000\()p Ft(j)p Fs(r)1484 4710 y Fq(t)1514 4748 y Ft(j)p Fw(\))1574 4710 y Fq(r)r(=)p Fr(2)1683 4748 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)1912 4710 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2075 4687 y Fm(e)2111 4748 y Fs(v)s Ft(kk)p Fw(d\000\()p Ft(j)p Fs(r)2460 4710 y Fq(t)2491 4748 y Ft(j)p Fw(\))2551 4710 y Fq(r)r(=)p Fr(2)2660 4748 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2889 4710 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)3052 4687 y Fm(e)3088 4748 y Fs(u)p Ft(k)p Fs(:)-3210 b Fw(\(9.9\))0 5024 y(W)-8 b(e)32 b(note)f(that)g(if)e Fs(a;)15 b(b)26 b Ft(2)e(B)s Fw(\()p Fl(h)1018 4991 y Fr(e)1054 5024 y Fw(\),)31 b(0)26 b Ft(\024)f Fs(a)g Ft(\024)g Fs(b)p Fw(,)31 b(then)1381 5228 y(d\000\()p Fs(a)p Fw(\))1607 5191 y Fq(r)1670 5228 y Ft(\024)25 b Fw(d\000\()p Fs(b)p Fw(\))1983 5191 y Fq(r)2021 5228 y Fs(;)36 b Ft(8)p Fs(r)27 b Ft(2)e Fw(I)-15 b(N)p Fs(:)1844 5517 y Fw(74)p eop %%Page: 75 75 75 74 bop 0 162 a Fw(This)30 b(follo)m(ws)g(from)h(the)h(fact)g(that)g (if)f(0)c Ft(\024)g Fs(a)g Ft(\024)g Fs(b)k Fw(then)g Fs(a)21 b Ft(\012)g Fs(a)27 b Ft(\024)g Fs(b)20 b Ft(\012)h Fs(b)31 b Fw(and)g(from)g(easy)h(computations)g(on)0 275 y(eac)m(h)g Fs(n)p Ft(\000)p Fw(particle)c(sector.)42 b(By)31 b(\(9.8\),)h(this)d(giv)m(es)634 466 y Ft(k)p Fw(d\000\()p Ft(j)p Fs(r)891 433 y Fq(t)920 466 y Ft(j)p Fw(\))980 433 y Fq(r)r(=)p Fr(2)1089 466 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)1318 433 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1481 410 y Fm(e)1518 466 y Fs(u)p Ft(k)1615 433 y Fr(2)480 650 y Ft(\024)83 b Fw(\()p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)898 617 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1061 594 y Fm(e)1097 650 y Fs(u;)15 b Fw(\()p Fs(C)7 b(t)1329 617 y FF(\000)p Fq(\032)1425 650 y Fw(d\000\()p Fs(b)1607 664 y Fr(1)p Fq(;\017)1694 650 y Fw(\))21 b(+)e Fs(r)1881 664 y FF(1)1956 650 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(N)10 b Fw(\))2177 617 y Fq(r)2216 650 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2445 617 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2608 594 y Fm(e)2644 650 y Fs(u)p Fw(\))480 834 y Ft(\024)634 769 y Fp(P)721 796 y Fq(r)721 857 y(j)t Fr(=0)863 834 y Fs(C)935 801 y Fq(j)971 834 y Fs(t)1004 801 y FF(\000)p Fq(j)t(\032)1132 834 y Fs(r)1173 848 y FF(1)1247 834 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))1350 801 y Fq(r)r FF(\000)p Fq(j)1476 834 y Ft(k)p Fw(d\000\()p Fs(b)1703 848 y Fr(1)p Fq(;\017)1791 834 y Fw(\))1826 801 y Fq(j)1863 834 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2092 801 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2255 777 y Fm(e)2291 834 y Fs(u)p Ft(kk)p Fw(\()p Fs(N)2551 801 y Fr(e)2588 834 y Fw(\))2623 801 y Fq(r)r FF(\000)p Fq(j)2748 834 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2977 801 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)3140 777 y Fm(e)3177 834 y Fs(u)p Ft(k)p Fs(:)0 1032 y Fw(By)37 b(Lemma)h(3.6)g(d\000\()p Fs(b)816 1046 y Fr(1)p Fq(;\017)903 1032 y Fw(\))938 999 y Fq(j)975 1032 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))g(is)e(b)s(ounded.)59 b(By)37 b(Prop.)61 b(3.8)38 b(and)f(the)g(fact)h(that)g Fs(u)e Ft(2)h(D)s Fw(\(\()p Fs(N)3458 999 y Fr(e)3493 1032 y Fw(\))3528 999 y FF(1)3604 1032 y Fw(\))g(w)m(e)0 1145 y(kno)m(w)30 b(that)h Ft(k)p Fw(\()p Fs(N)597 1112 y Fr(e)634 1145 y Fw(\))669 1112 y Fq(r)r FF(\000)p Fq(j)794 1145 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)1023 1112 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1186 1088 y Fm(e)1223 1145 y Fs(u)p Ft(k)25 b(\024)g Fs(C)7 b(t)1546 1112 y Fq(r)r FF(\000)p Fq(j)1671 1145 y Fw(.)41 b(Hence)1232 1335 y(lim)1185 1390 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1421 1335 y Ft(k)p Fw(d\000\()p Ft(j)p Fs(r)1678 1297 y Fq(t)1708 1335 y Ft(j)p Fw(\))1768 1297 y Fq(r)r(=)p Fr(2)1877 1335 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)e)2106 1297 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2269 1274 y Fm(e)2305 1335 y Fs(u)p Ft(k)26 b Fw(=)f(0)p Fs(;)0 1558 y Fw(whic)m(h)k(pro)m(v)m(es) i(\(9.7\).)43 b Fh(2)0 1802 y Fi(Theorem)69 b(9.4)46 b Fu(L)-5 b(et)32 b Fw(0)26 b Fs(<)f Fw(c)g Fs(<)g Fw(c)1182 1769 y FF(0)1231 1802 y Fs(<)g Fw(1)p Fu(.)42 b(L)-5 b(et)32 b Fs(f)1643 1816 y Fr(0)1682 1802 y Fs(;)15 b(f)1767 1816 y FF(1)1873 1802 y Fu(b)-5 b(e)32 b(de\014ne)-5 b(d)33 b(in)f(\(6.23\),)h(\(6.24\).)43 b(L)-5 b(et)32 b Fs(j)f Fw(=)25 b(\()p Fs(f)3413 1816 y Fr(0)3452 1802 y Fs(;)15 b(f)3537 1816 y FF(1)3612 1802 y Fw(\))p Fu(,)32 b Fs(j)3749 1769 y Fq(t)0 1915 y Fu(b)-5 b(e)33 b(as)g(in)f(\(7.1\))i (for)f(the)g(c)-5 b(onstant)34 b Fw(c)1265 1882 y FF(0)1289 1915 y Fu(.)42 b(Then:)1316 2105 y Fw(\012)1382 2067 y Fr(e+)1472 2105 y Fs(W)1571 2067 y Fr(+)1558 2133 y Fq(k)1630 2105 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))26 b(=)f Fs(P)1935 2067 y Fr(+)1922 2133 y Fq(k)1994 2105 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))34 b Fu(on)f Ft(H)2348 2067 y Fr(e+)2347 2127 y(c)2438 2105 y Fs(:)0 2493 y Fi(Pro)s(of.)48 b Fw(By)31 b(the)f(same)h(argumen)m(t)g(as)g(in)e(Prop.)41 b(9.3,)32 b(w)m(e)f(set)g(c)2230 2460 y FF(0)2279 2493 y Fw(=)25 b(c)31 b(and)f(reduce)g(ourselv)m(es)h(to)g(pro)m(v)m(e)g(the)0 2606 y(theorem)g(on)f(Ran)663 2583 y(^)643 2606 y Fs(P)714 2573 y Fr(e+)701 2629 y(c)804 2606 y Fw(.)41 b(W)-8 b(e)32 b(\014rst)d(note)i(that)1063 2874 y Fs(W)1162 2836 y Fr(+)1149 2902 y Fq(k)1220 2874 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\)Ran)1517 2851 y(^)1497 2874 y Fs(P)1568 2837 y Fr(e+)1555 2897 y(c)1683 2874 y Ft(\032)25 b(K)1849 2837 y Fr(e+)1960 2874 y Ft(\012)2095 2769 y Fq(k)2051 2793 y Fp(O)2100 2968 y Fr(s)2192 2874 y Fl(h)2235 2837 y Fr(e)2296 2874 y Ft(\032)g(D)s Fw(\(\012)2566 2837 y Fr(e+)2656 2874 y Fw(\))p Fs(;)0 3130 y Fw(b)m(y)30 b(Prop.)40 b(8.8)32 b(and)e(Thm.)39 b(7.7)32 b Fu(iv\))p Fw(.)40 b(By)31 b(Prop.)40 b(6.6)1285 3320 y Fs(P)1356 3282 y Fr(+)1343 3348 y Fq(k)1415 3320 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))26 b(=)f(w)d Ft(\000)i Fw(lim)1827 3376 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1977 3320 y Fs(P)2048 3282 y Fr(+)2035 3348 y Fq(k)2107 3320 y Fw(\()p Fs(f)2187 3334 y Fr(0)2226 3320 y Fs(;)15 b(f)2311 3334 y FF(1)p Fq(;\017)2434 3320 y Fw(\))p Fs(;)0 3533 y Fw(and)30 b(b)m(y)g(Prop.)40 b(7.8)1257 3646 y Fs(W)1356 3608 y Fr(+)1343 3674 y Fq(k)1415 3646 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))26 b(=)f(w)d Ft(\000)i Fw(lim)1827 3703 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1977 3646 y Fs(W)2076 3608 y Fr(+)2063 3674 y Fq(k)2135 3646 y Fw(\()p Fs(f)2215 3660 y Fr(0)2254 3646 y Fs(;)15 b(f)2339 3660 y FF(1)p Fq(;\017)2462 3646 y Fw(\))p Fs(:)0 3829 y Fw(Hence)31 b(it)f(su\016ces)g(to)h(pro)m(v)m (e)h(that)e(for)h(an)m(y)f Fs(\017)1571 3843 y Fr(0)1636 3829 y Fs(>)25 b Fw(0:)1198 4020 y(\012)1264 3982 y Fr(e+)1354 4020 y Fs(W)1453 3981 y Fr(+)1440 4048 y Fq(k)1511 4020 y Fw(\()p Fs(f)1591 4034 y Fr(0)1631 4020 y Fs(;)15 b(f)1716 4034 y FF(1)p Fq(;\017)1836 4043 y Fm(0)1873 4020 y Fw(\))26 b(=)f Fs(P)2101 3981 y Fr(+)2088 4048 y Fq(k)2160 4020 y Fw(\()p Fs(f)2240 4034 y Fr(0)2279 4020 y Fs(;)15 b(f)2364 4034 y FF(1)p Fq(;\017)2484 4043 y Fm(0)2521 4020 y Fw(\))p Fs(:)-2581 b Fw(\(9.10\))0 4210 y(W)-8 b(e)25 b(note)g(the)f(follo)m (wing)f(iden)m(tit)m(y)-8 b(,)25 b(similar)d(to)j(those)f(in)f([DG2)r (,)i(Lemma)f(2.14],)k(v)-5 b(alid)22 b(for)i Fs(r)3156 4224 y Fr(0)3196 4210 y Fs(;)15 b(r)3277 4224 y FF(1)3352 4210 y Fs(;)g(b)25 b Ft(2)g(B)s Fw(\()p Fl(h)3683 4177 y Fr(e)3719 4210 y Fw(\),)0 4322 y(0)h Ft(\024)f Fs(r)208 4336 y Fr(0)267 4322 y Fw(+)20 b Fs(\013r)457 4336 y FF(1)558 4322 y Ft(\024)25 b Fw(1)p Fs(;)15 b Fw(0)26 b Ft(\024)f Fs(b)g Ft(\024)g Fw(1,)31 b Fs(r)d Fw(=)d(\()p Fs(r)1408 4336 y Fr(0)1448 4322 y Fs(;)15 b(r)1529 4336 y FF(1)1604 4322 y Fw(\):)993 4490 y(\024)988 4513 y(\000\()p Fs(r)s Fw(\))1159 4475 y FF(\003)1198 4513 y Fw(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fw(\000\()p Fs(b)p Fw(\)1)-20 b(l)1577 4531 y FF(f)p Fq(k)r FF(g)1690 4513 y Fw(\()p Fs(N)1798 4527 y FF(1)1873 4513 y Fw(\))1914 4490 y(\024)1908 4513 y(\000\()p Fs(r)s Fw(\))26 b(=)f Fs(P)2259 4528 y Fq(k)2302 4513 y Fw(\()p Fs(r)2381 4475 y Fr(2)2378 4535 y(0)2420 4513 y Fs(;)15 b(r)2501 4527 y FF(1)2576 4513 y Fs(br)2656 4527 y FF(1)2731 4513 y Fw(\))p Fs(:)-2791 b Fw(\(9.11\))0 4750 y(Let)37 b(us)f(\014x)g(the)h(constan)m(t)h Fs(\017)1000 4764 y Fr(0)1039 4750 y Fw(.)60 b(W)-8 b(e)37 b(will)d(apply)i (\(9.11\))j(to)e Fs(r)2148 4764 y Fr(0)2223 4750 y Fw(=)f Fs(f)2394 4665 y Fm(1)p 2394 4677 31 4 v 2394 4718 a(2)2375 4774 y Fr(0)2438 4750 y Fw(,)j Fs(r)2543 4764 y FF(1)2653 4750 y Fw(=)d Fs(f)2824 4665 y Fm(1)p 2824 4677 V 2824 4718 a(2)2805 4760 y FF(1)p Fq(;\017)2925 4769 y Fm(0)2961 4750 y Fw(,)j Fs(b)d Fw(=)f Fs(b)3245 4764 y Fq(\017)3278 4750 y Fw(,)j(where)e Fs(b)3649 4764 y Fq(\017)3718 4750 y Fw(is)0 4899 y(de\014ned)24 b(in)h(Lemma)h(9.2.)40 b(Note)27 b(that)f(b)m(y)g(Lemma)g(6.5)g(there)g(exists)g Fs(\013)f(>)g Fw(0)h(suc)m(h)g(that)g Fs(f)3082 4815 y Fm(1)p 3082 4827 V 3082 4868 a(2)3063 4924 y Fr(0)3138 4899 y Fw(+)11 b Fs(\013f)3342 4815 y Fm(1)p 3342 4827 V 3342 4868 a(2)3323 4910 y FF(1)p Fq(;\017)3443 4919 y Fm(0)3505 4899 y Ft(\024)25 b Fw(1,)i(so)0 5012 y(w)m(e)g(can)g (apply)e(this)h(iden)m(tit)m(y)-8 b(.)39 b(By)27 b(Thm.)38 b(7.7)28 b Fu(i\))f Fw(and)f Fu(vii\))p Fw(,)h(\(9.11\))i(and)d(the)g (c)m(hain)h(rule)e(of)i(w)m(a)m(v)m(e)h(op)s(erators,)0 5125 y(w)m(e)j(get:)946 5268 y Fs(W)1045 5230 y Fr(+)p FF(\003)1032 5296 y Fq(k)1139 5268 y Fw(\()p Fs(r)s Fw(\)1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fw(\000\()p Fs(b)1546 5282 y Fq(\017)1579 5268 y Fw(\))p Fs(W)1713 5230 y Fr(+)1700 5296 y Fq(k)1772 5268 y Fw(\()p Fs(r)s Fw(\))25 b(=)g Fs(P)2078 5230 y Fr(+)2065 5296 y Fq(k)2137 5268 y Fw(\()p Fs(f)2217 5282 y Fr(0)2257 5268 y Fs(;)15 b(f)2361 5183 y Fm(1)p 2361 5195 V 2361 5236 a(2)2342 5278 y FF(1)p Fq(;\017)2462 5287 y Fm(0)2499 5268 y Fs(b)2538 5282 y Fq(\017)2571 5268 y Fs(f)2635 5183 y Fm(1)p 2635 5195 V 2635 5236 a(2)2616 5278 y FF(1)p Fq(;\017)2736 5287 y Fm(0)2773 5268 y Fw(\))p Fs(:)1844 5517 y Fw(75)p eop %%Page: 76 76 76 75 bop 0 162 a Fw(By)31 b(Prop.)40 b(9.3,)31 b(w)m(e)g(obtain:)809 357 y Fs(W)908 319 y Fr(+)895 385 y Fq(k)966 357 y Fw(\()p Fs(r)s Fw(\))1080 319 y FF(\003)1120 357 y Fw(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fw(\000\()p Fs(b)1413 371 y Fq(\017)1446 357 y Fw(\))p Fs(W)1580 319 y Fr(+)1567 385 y Fq(k)1638 357 y Fw(\()p Fs(r)s Fw(\))26 b(=)f(\012)1940 319 y Fr(e+)2030 357 y Fw(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fw(\000\()p Fs(b)2323 371 y Fq(\017)2355 357 y Fw(\))p Fs(W)2489 319 y Fr(+)2476 385 y Fq(k)2548 357 y Fw(\()p Fs(f)2628 371 y Fr(0)2668 357 y Fs(;)15 b(f)2753 371 y FF(1)p Fq(;\017)2873 380 y Fm(0)2910 357 y Fw(\))p Fs(:)0 551 y Fw(No)m(w)31 b(since)f Fs(W)529 513 y Fr(+)516 580 y Fq(k)587 551 y Fw(\()p Fs(r)s Fw(\))p Fs(;)15 b Fw(\012)807 518 y Fr(e+)928 551 y Fw(are)31 b(b)s(ounded)d(op)s(erators:)548 749 y(s-)16 b(lim)756 763 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)910 749 y Fs(W)1009 710 y Fr(+)996 777 y Fq(k)1067 749 y Fw(\()p Fs(r)s Fw(\))1181 716 y FF(\003)1221 749 y Fw(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)f Fw(\000\()p Fs(b)1513 763 y Fq(\017)1546 749 y Fw(\))p Fs(W)1680 710 y Fr(+)1667 777 y Fq(k)1739 749 y Fw(\()p Fs(r)s Fw(\))26 b(=)f Fs(W)2074 710 y Fr(+)2061 777 y Fq(k)2132 749 y Fw(\()p Fs(r)s Fw(\))2246 716 y FF(\003)2286 749 y Fs(W)2385 710 y Fr(+)2372 777 y Fq(k)2443 749 y Fw(\()p Fs(r)s Fw(\))h(=)f Fs(P)2750 710 y Fr(+)2737 777 y Fq(k)2809 749 y Fw(\()p Fs(f)2889 763 y Fr(0)2928 749 y Fs(;)15 b(f)3013 763 y FF(1)p Fq(;\017)3133 772 y Fm(0)3171 749 y Fw(\))p Fs(;)548 932 y Fw(s-)h(lim)756 946 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)910 932 y Fw(\012)976 899 y Fr(+)1034 932 y Fw(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fw(\000\()p Fs(b)1327 946 y Fq(\017)1360 932 y Fw(\))p Fs(W)1494 894 y Fr(+)1481 960 y Fq(k)1553 932 y Fw(\()p Fs(f)1633 946 y Fr(0)1672 932 y Fs(;)15 b(f)1757 946 y FF(1)p Fq(;\017)1877 955 y Fm(0)1914 932 y Fw(\))26 b(=)f(\012)2137 899 y Fr(+)2196 932 y Fs(W)2295 894 y Fr(+)2282 960 y Fq(k)2353 932 y Fw(\()p Fs(f)2433 946 y Fr(0)2472 932 y Fs(;)15 b(f)2557 946 y FF(1)p Fq(;\017)2677 955 y Fm(0)2715 932 y Fw(\))p Fs(:)0 1124 y Fw(Hence)31 b(\(9.10\))i(holds)c(and)g(this)h (completes)g(the)h(pro)s(of)f(of)g(the)h(theorem.)41 b Fh(2)141 1284 y Fw(The)g(follo)m(wing)e(theorem)j(is)e(the)h(so)h (called)e Fu(ge)-5 b(ometric)43 b(asymptotic)i(c)-5 b(ompleteness)p Fw(.)75 b(It)41 b(pro)m(vides)f(a)0 1397 y(geometric)31 b(c)m(haracterization)h(of)f(the)f(asymptotic)h(v)-5 b(acuum)30 b(states.)0 1576 y Fi(Theorem)69 b(9.5)46 b Fu(Assume)c(\(I'0\),)i(\(I'1\))f(for)g Fs(\017)1680 1590 y Fr(0)1761 1576 y Fs(>)f Fw(0)p Fu(,)j(\(I'2\))d(for)h Fs(\026)f(>)g Fw(1)g Fu(and)h(let)f Fs(\032)p Fw(\(1)28 b(+)f Fs(\017)3282 1590 y Fr(0)3321 1576 y Fw(\))43 b Fs(>)f Fw(1)p Fu(.)70 b(L)-5 b(et)0 1689 y Fw(0)26 b Fs(<)g Fw(c)g Fs(<)g Fw(c)371 1656 y FF(0)421 1689 y Fs(<)f Fw(1)p Fu(.)44 b(L)-5 b(et)33 b Fs(f)836 1703 y Fr(1)901 1689 y Ft(2)25 b Fs(C)1059 1656 y FF(1)1133 1689 y Fw(\(I)-15 b(R\))34 b Fu(b)-5 b(e)33 b(a)g(cuto\013)g(function)g (such)g(that)h Fw(0)27 b Ft(\024)e Fs(f)2733 1703 y Fr(1)2798 1689 y Ft(\024)h Fw(1)p Fu(,)33 b Fs(f)3046 1703 y Fr(1)3111 1689 y Ft(\021)26 b Fw(1)33 b Fu(in)g Ft(f)p Fs(s)26 b Ft(\024)g Fs(\013)3667 1703 y Fr(1)3706 1689 y Ft(g)p Fu(,)0 1802 y Fs(f)45 1816 y Fr(1)109 1802 y Ft(\021)f Fw(0)33 b Fu(in)g Ft(f)p Fs(s)25 b Ft(\025)g Fs(\013)662 1816 y Fr(2)702 1802 y Ft(g)32 b Fu(and)i Fs(f)1011 1769 y Fq(t)1001 1825 y Fr(1)1065 1802 y Fw(=)25 b Fs(f)1206 1816 y Fr(1)1245 1802 y Fw(\()1290 1766 y Fq(s)p FF(\000)p Fr(c)1409 1743 y Fo(0)1432 1766 y Fq(t)p 1290 1781 167 4 v 1343 1834 a(t)1368 1815 y Fj(\032)1467 1802 y Fw(\))p Fu(.)141 1915 y(Then)33 b Fw(\000)435 1877 y Fr(e+)435 1944 y(c)466 1925 y Fo(0)525 1915 y Fw(\()p Fs(f)605 1929 y Fr(1)645 1915 y Fw(\))g Fu(de\014ne)-5 b(d)33 b(in)g(\(6.17\))h(is)e(e)-5 b(qual)33 b(to)h(the)f(ortho)-5 b(gonal)35 b(pr)-5 b(oje)g(ction)35 b(on)e Ft(K)3059 1882 y Fr(e+)3058 1938 y(c)3175 1915 y Fw(:=)26 b Ft(K)3367 1882 y Fr(+)3447 1915 y Ft(\\)19 b(H)3605 1882 y Fr(e+)3604 1938 y(c)3695 1915 y Fu(.)0 2095 y Fi(Pro)s(of.)46 b Fw(By)26 b(Prop.)39 b(8.8)27 b(w)m(e)g(kno)m(w)f(that)h(Ran\000)1642 2056 y Fr(e+)1642 2123 y(c)1673 2104 y Fo(0)1732 2095 y Fw(\()p Fs(f)1812 2109 y Fr(1)1851 2095 y Fw(\))f Ft(\032)f(K)2078 2062 y Fr(e+)2195 2095 y Fw(and)g(since)h(\000)2643 2056 y Fr(e+)2643 2123 y(c)2674 2104 y Fo(0)2733 2095 y Fw(\()p Fs(f)2813 2109 y Fr(1)2852 2095 y Fw(\))h(clearly)e(preserv)m(es)h Ft(H)3664 2062 y Fr(e+)3663 2117 y(c)3754 2095 y Fw(,)0 2208 y(w)m(e)31 b(ha)m(v)m(e)g(Ran\000)563 2169 y Fr(e+)563 2236 y(c)594 2217 y Fo(0)654 2208 y Fw(\()p Fs(f)734 2222 y Fr(1)773 2208 y Fw(\))25 b Ft(\032)g(K)999 2175 y Fr(e+)998 2230 y(c)1090 2208 y Fw(.)141 2320 y(Let)44 b(us)f(pro)m(v)m(e)h(the)f(con)m(v)m(erse)i(inclusion.)76 b(By)44 b(Thm.)78 b(8.7,)48 b Fl(h)2385 2287 y Fr(e)2385 2344 y(0)2472 2320 y Ft(3)e Fs(h)h Ft(7!)g Fs(W)2915 2287 y Fr(e+)3005 2320 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))g Ft(2)g(U)9 b Fw(\()p Ft(H)3461 2287 y Fr(e+)3460 2343 y(c)3551 2320 y Fw(\))44 b(is)e(a)0 2433 y(regular)32 b(CCR)g(represen)m(tation)g(of) h(F)-8 b(o)s(c)m(k)34 b(t)m(yp)s(e.)47 b(Hence)34 b(the)f(restriction)e (\012)2643 2400 y Fr(e+)2643 2456 y(c)2766 2433 y Fw(of)h(the)h(w)m(a)m (v)m(e)i(op)s(erator)d(\012)3689 2400 y Fr(e+)0 2546 y Fw(to)f Ft(K)181 2513 y Fr(e+)180 2569 y(c)292 2546 y Ft(\012)20 b Fw(\000\()p Fl(h)518 2513 y Fr(e)554 2546 y Fw(\):)1380 2659 y(\012)1446 2622 y Fr(e+)1446 2682 y(c)1561 2659 y Fw(:)26 b Ft(K)1682 2622 y Fr(e+)1681 2682 y(c)1793 2659 y Ft(\012)20 b Fw(\000\()p Fl(h)2019 2622 y Fr(e)2055 2659 y Fw(\))25 b Ft(!)h(H)2310 2622 y Fr(e+)2309 2682 y(c)0 2821 y Fw(is)j(unitary)-8 b(.)40 b(Let)31 b(no)m(w)f Fs(j)h Fw(=)25 b(\()p Fs(f)1036 2835 y Fr(0)1076 2821 y Fs(;)15 b(f)1161 2835 y FF(1)1235 2821 y Fw(\))31 b(as)f(in)g(Thm.)39 b(9.4)32 b(for)e(a)g(constan)m(t)i (c)2544 2788 y FF(00)2617 2821 y Fw(with)d(c)d Fs(<)f Fw(c)3026 2788 y FF(00)3094 2821 y Fs(<)g Fw(c)3230 2788 y FF(0)3254 2821 y Fw(.)40 b(Let)1444 3016 y Fs(W)1543 2978 y Fr(+)1601 3016 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))27 b(=)e Ft(\010)1907 2978 y FF(1)1907 3038 y Fq(k)r Fr(=0)2040 3016 y Fs(W)2139 2978 y Fr(+)2126 3044 y Fq(k)2197 3016 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Fs(:)0 3210 y Fw(Since)33 b Ft(k)p Fs(W)385 3172 y Fr(+)372 3239 y Fq(k)444 3210 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Ft(k)33 b(\024)d Fw(1)k(and)g(Ran)o Fs(W)1256 3172 y Fr(+)1243 3239 y Fq(k)1315 3210 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))32 b Ft(\032)f(H)1639 3177 y Fr(e)1697 3210 y Ft(\012)1790 3146 y Fp(N)1882 3172 y Fq(k)1882 3233 y Fr(s)1940 3210 y Fl(h)1983 3177 y Fr(e)2019 3210 y Fw(,)j(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)g Ft(k)p Fs(W)2573 3177 y Fr(+)2632 3210 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Ft(k)32 b(\024)f Fw(1.)52 b(Next)34 b(w)m(e)g(note)h(that)0 3323 y(b)m(y)30 b(Thm.)40 b(7.6)31 b Fu(iii\))f Fw(and)g(Thm.)40 b(7.7)31 b Fu(vi\))f Fw(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)1354 3518 y Fs(W)1453 3480 y Fr(+)1512 3518 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Ft(H)1702 3480 y Fr(e+)1701 3540 y(c)1819 3518 y Ft(\032)24 b(H)1992 3480 y Fr(e+)1991 3540 y(c)2103 3518 y Ft(\012)c Fw(\000\()p Fl(h)2329 3480 y Fr(e)2365 3518 y Fw(\))p Fs(:)0 3712 y Fw(Moreo)m(v)m(er)32 b(b)m(y)f(Thm.)39 b(7.7)32 b Fu(iv\))e Fw(and)g(the)g(fact)i(that)f Fs(f)1832 3679 y Fq(t)1822 3736 y Fr(0)1861 3712 y Fs(f)1916 3679 y Fq(t)1906 3736 y Fr(1)1970 3712 y Fw(=)25 b Fs(f)2121 3679 y Fq(t)2111 3736 y Fr(0)2180 3712 y Fw(for)30 b Fs(t)g Fw(large)h(enough,)f(w)m(e)h (ha)m(v)m(e:)1314 3907 y Fs(W)1413 3870 y Fr(+)1471 3907 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))27 b(=)e(\000)1763 3869 y Fr(e+)1763 3936 y(c)1794 3917 y Fo(0)1853 3907 y Fw(\()p Fs(f)1933 3921 y Fr(1)1973 3907 y Fw(\))20 b Ft(\012)g Fw(1)-20 b(l)o Fs(W)2268 3870 y Fr(+)2327 3907 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Fs(:)-2464 b Fw(\(9.12\))0 4102 y(By)31 b(Prop.)40 b(8.8)31 b(this)f(implies)d(that)1358 4296 y Fs(W)1457 4259 y Fr(+)1515 4296 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))p Ft(H)1705 4259 y Fr(e+)1704 4319 y(c)1822 4296 y Ft(\032)25 b(K)1988 4259 y Fr(e+)1987 4319 y(c)2099 4296 y Ft(\012)20 b Fw(\000\()p Fl(h)2325 4259 y Fr(e)2361 4296 y Fw(\))p Fs(:)0 4491 y Fw(Finally)28 b(b)m(y)j(Thm.)39 b(9.4)32 b(and)d(Thm.)40 b(6.4)31 b Fu(iv\))1416 4685 y Fw(\012)1482 4648 y Fr(e+)1482 4708 y(c)1572 4685 y Fs(W)1671 4648 y Fr(+)1729 4685 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))27 b(=)e(1)-20 b(l)29 b(on)i Ft(H)2249 4648 y Fr(e+)2248 4708 y(c)2339 4685 y Fs(;)0 4880 y Fw(whic)m(h)e(means)h(that)1521 4993 y Fs(W)1620 4955 y Fr(+)1678 4993 y Fw(\()p Fs(j)5 b Fw(\))27 b(=)e(\(\012)2014 4955 y Fr(e+)2014 5015 y(c)2104 4993 y Fw(\))2139 4955 y FF(\000)p Fr(1)2234 4993 y Fs(:)0 5155 y Fw(By)43 b(\(9.12\))i(this)c (implies)f(that)j(\000)1206 5117 y Fr(e+)1206 5183 y(c)1237 5165 y Fo(0)1296 5155 y Fw(\()p Fs(f)1376 5169 y Fr(1)1415 5155 y Fw(\))j(=)g(1)-20 b(l)42 b(on)g Ft(K)1914 5122 y Fr(e+)1913 5177 y(c)2005 5155 y Fw(,)k(and)c(hence)g(that)h(\000)2795 5117 y Fr(e+)2795 5183 y(c)2826 5165 y Fo(0)2886 5155 y Fw(\()p Fs(f)2966 5169 y Fr(1)3005 5155 y Fw(\))g(is)e(the)i (orthogonal)0 5268 y(pro)5 b(jection)30 b(on)g Ft(K)628 5235 y Fr(e+)627 5290 y(c)719 5268 y Fw(.)1844 5517 y(76)p eop %%Page: 77 77 77 76 bop 0 162 a Fx(10)135 b Fb(1)p Fa(\000)p Fx(particle)46 b(space)f(estimates)0 365 y Fw(This)33 b(section)j(is)e(dev)m(oted)i (to)g(some)f(estimates)h(on)f(the)g(one-particle)g(space)h Fs(L)2815 332 y Fr(2)2854 365 y Fw(\(I)-15 b(R)2974 329 y Fr(3)3014 365 y Fs(;)15 b Fw(d)p Fs(k)s Fw(\).)55 b(They)35 b(will)d(b)s(e)0 478 y(used)d(in)g(Sects.)41 b(11)31 b(and)e(12)i(to)g(construct)f(the)g(spaces)g(analogous)h(to)f Ft(H)2551 445 y Fr(e+)2550 501 y(c)2671 478 y Fw(for)g(the)g(Nelson)g (Hamiltonian.)0 591 y(The)g(need)g(for)g(these)h(estimates)g(can)g(b)s (e)e(understo)s(o)s(d)g(as)h(follo)m(ws:)141 704 y(The)35 b(space)h Ft(H)659 671 y Fr(e+)658 726 y(c)785 704 y Fw(is)e(constructed)i(using)e(the)h(observ)-5 b(able)35 b Fs(s)f Fw(=)f(i)p Fs(@)2484 718 y Fq(\033)2566 704 y Fw(acting)j(on)f Fl(h)3018 671 y Fr(e)3087 704 y Fw(=)f Fs(L)3254 671 y Fr(2)3293 704 y Fw(\(I)-15 b(R)p Fs(;)15 b Fw(d)p Fs(\033)s Fw(\))24 b Ft(\012)f Fl(g)p Fw(.)0 817 y(This)35 b(observ)-5 b(able)36 b(has)g(the)h(dra)m(wbac)m(k)g (that)h(it)e(do)s(es)g(not)h(comm)m(ute)h(with)d(the)i(pro)5 b(jection)37 b(1)-20 b(l)3350 842 y Fr(I)-12 b(R)3416 818 y Fm(+)3471 817 y Fw(\()p Fs(\033)s Fw(\))37 b(and)0 930 y(hence)f(do)s(es)f(not)h(satisfy)f(the)g(condition)f(\(3.6\))k(in) c(Subsect.)55 b(3.4.)j(In)34 b(Subsect.)56 b(10.2)37 b(w)m(e)f(in)m(tro)s(duce)e(the)0 1052 y(observ)-5 b(able)27 b Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)533 1066 y Fr(0)600 1052 y Fw(whic)m(h)f(is)h(the) h(square)f(ro)s(ot)h(of)g(the)g(Laplacian)e Ft(\000)2344 1016 y Fq(@)2385 993 y Fm(2)p 2323 1031 119 4 v 2323 1085 a Fq(@)t(\033)2406 1066 y Fm(2)2479 1052 y Fw(with)g(Diric)m(hlet) h(condition)f(at)i(0)g(and)0 1165 y(satis\014es)i(\(3.6\).)141 1278 y(W)-8 b(e)24 b(estimate)f(the)g(di\013erence)f(b)s(et)m(w)m(een)h (some)g(functions)e(of)i Fs(s)f Fw(and)g Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)2564 1292 y Fr(0)2604 1278 y Fw(.)38 b(It)22 b(will)e(allo)m(w)i (us)g(in)g(Sect.)38 b(11)24 b(to)0 1391 y(rein)m(terpret)29 b(the)g(space)h Ft(H)927 1358 y Fr(e+)926 1413 y(c)1046 1391 y Fw(using)e(the)h(observ)-5 b(able)28 b Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)1972 1405 y Fr(0)2012 1391 y Fw(.)40 b(In)29 b(this)f(w)m(a)m(y)i(a)g(space)f Ft(H)2943 1358 y Fr(+)2942 1413 y(c)3031 1391 y Fw(can)h(b)s(e)e(constructed)0 1504 y(on)i Ft(H)h Fw(using)e(the)i(abstract)g(argumen)m(ts)g(in)e(Subsect.) 40 b(3.4.)141 1617 y(In)e(Sect.)66 b(12)39 b(w)m(e)g(describ)s(e)e(the) i(space)g Ft(H)1645 1584 y Fr(+)1644 1639 y(c)1742 1617 y Fw(replacing)e(the)i(observ)-5 b(able)38 b Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)2848 1631 y Fr(0)2926 1617 y Fw(b)m(y)g(the)h(more)g(ph)m(ysical)0 1730 y(p)s(osition)d(observ)-5 b(able)38 b Ft(j)p Fs(x)p Ft(j)p Fw(.)65 b(W)-8 b(e)39 b(note)g(that)g Ft(j)p Fs(x)p Ft(j)f Fw(is)g(the)g(square)g(ro)s(ot)h(of)f(the)g(Laplacian)g Ft(\000)p Fw(\001)3323 1745 y Fq(k)3403 1730 y Fw(acting)h(on)0 1852 y Fs(L)62 1819 y Fr(2)101 1852 y Fw(\(I)-15 b(R)221 1816 y Fr(3)261 1852 y Fs(;)15 b Fw(d)p Fs(k)s Fw(\).)44 b(Going)31 b(to)i(p)s(olar)d(co)s(ordinates)h(w)m(e)h(see)g(that)g Ft(j)p Fs(x)p Ft(j)g Fw(is)e(the)i(square)f(ro)s(ot)h(of)g Ft(\000)3163 1816 y Fq(@)3204 1793 y Fm(2)p 3141 1831 V 3141 1885 a Fq(@)8 b Fr(~)-39 b Fq(\033)3224 1866 y Fm(2)3291 1852 y Ft(\000)3392 1816 y Fr(\001)3451 1824 y Fj(!)p 3392 1831 104 4 v 3409 1885 a Fr(~)g Fq(\033)3447 1866 y Fm(2)3537 1852 y Fw(acting)0 1965 y(on)23 b Fs(L)181 1932 y Fr(2)221 1965 y Fw(\(I)-15 b(R)341 1929 y Fr(+)400 1965 y Fs(;)15 b Fw(d)5 b(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))6 b Ft(\012)g Fs(L)726 1932 y Fr(2)766 1965 y Fw(\()p Fs(S)862 1932 y Fr(2)901 1965 y Fw(\))24 b(with)e(a)i(Diric)m(hlet)e(condition)g (at)i(0.)39 b(Again)23 b(w)m(e)h(need)f(to)h(estimate)g(the)g (di\013erence)0 2078 y(b)s(et)m(w)m(een)38 b(functions)e(of)i Ft(j)p Fs(x)p Ft(j)g Fw(and)f(functions)g(of)g Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)1795 2092 y Fr(0)1835 2078 y Fw(.)63 b(This)35 b(is)i(done)h(in)e(Subsect.)62 b(10.1,)41 b(b)m(y)d(in)m(tro)s(ducing)0 2191 y(cuto\013s)c(in)e(the)i(angular)f(part)g Ft(\000)1176 2155 y Fr(\001)1235 2163 y Fj(!)p 1176 2170 V 1192 2224 a Fr(~)-38 b Fq(\033)1231 2205 y Fm(2)1323 2191 y Fw(of)33 b(the)h(Laplacian.)49 b(The)33 b(use)g(of)h(these)g(cuto\013s)g(in)e (Sect.)51 b(12)34 b(will)d(b)s(e)0 2304 y(justi\014ed)d(using)h(the)i (results)e(of)i(Subsect.)40 b(4.5.)0 2547 y Fv(10.1)112 b(Case)38 b(of)g Fl(h)0 2718 y Fw(W)-8 b(e)32 b(use)e(the)g(notation)h (of)f(Subsect.)41 b(1.1.)g(W)-8 b(e)32 b(will)c(consider)h(the)i (observ)-5 b(able)1608 2921 y Ft(j)p Fs(x)p Ft(j)26 b Fw(=)f(\()p Ft(\000)p Fw(\001)2014 2936 y Fq(k)2056 2921 y Fw(\))2101 2856 y Fm(1)p 2102 2868 31 4 v 2102 2909 a(2)2146 2921 y Fs(:)0 3124 y Fw(Note)33 b(that)f Ft(\000)p Fw(\001)566 3139 y Fq(k)640 3124 y Fw(with)e(domain)h Fs(H)1256 3091 y Fr(2)1295 3124 y Fw(\(I)-15 b(R)1415 3088 y Fr(3)1454 3124 y Fw(\))32 b(is)f(also)g(the)h(F)-8 b(riedric)m(hs)30 b(extension)i(of)f Ft(\000)p Fw(\001)3030 3139 y Fq(k)3104 3124 y Fw(on)h Fs(C)3304 3091 y FF(1)3297 3147 y Fr(0)3378 3124 y Fw(\(I)-15 b(R)3498 3088 y Fr(3)3537 3124 y Ft(nf)p Fw(0)p Ft(g)p Fw(\),)0 3236 y(since)30 b Fs(H)306 3203 y Fr(1)299 3260 y(0)345 3236 y Fw(\(I)-15 b(R)465 3201 y Fr(3)505 3236 y Ft(nf)p Fw(0)p Ft(g)p Fw(\))27 b(=)e Fs(H)926 3203 y Fr(1)965 3236 y Fw(\(I)-15 b(R)1085 3201 y Fr(3)1125 3236 y Fw(\).)41 b(Let)1115 3437 y(u)24 b(:)i Fs(L)1303 3404 y Fr(2)1342 3437 y Fw(\(I)-15 b(R)1462 3401 y Fr(3)1502 3437 y Fs(;)15 b Fw(d)p Fs(k)s Fw(\))25 b Ft(!)h Fs(L)1882 3404 y Fr(2)1921 3437 y Fw(\(I)-15 b(R)2041 3401 y Fr(+)2100 3437 y Fs(;)15 b Fw(d)5 b(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))20 b Ft(\012)g Fs(L)2454 3404 y Fr(2)2494 3437 y Fw(\()p Fs(S)2590 3404 y Fr(2)2629 3437 y Fw(\))1115 3620 y(u)p Fs(\036)p Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)s(;)15 b(!)s Fw(\))26 b(=)k(~)-50 b Fs(\033)s(\036)p Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t(!)s Fw(\))0 3815 y(b)s(e)30 b(the)g(unitary)f(map)h (in)m(tro)s(duced)f(in)g(Subsect.)40 b(3.1.)i(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e)1071 4018 y(u)p Fs(C)1194 3980 y FF(1)1187 4040 y Fr(0)1268 4018 y Fw(\(I)-15 b(R)1388 3980 y Fr(3)1427 4018 y Ft(nf)p Fw(0)p Ft(g)p Fw(\))27 b(=)e Fs(C)1837 3980 y FF(1)1830 4040 y Fr(0)1912 4018 y Fw(\(]0)p Fs(;)15 b Fw(+)p Ft(1)p Fw([\))21 b Ft(\012)f Fs(C)2463 3980 y FF(1)2538 4018 y Fw(\()p Fs(S)2634 3980 y Fr(2)2673 4018 y Fw(\))0 4220 y(and)30 b(on)g Fs(C)375 4187 y FF(1)368 4244 y Fr(0)449 4220 y Fw(\(]0)p Fs(;)15 b Fw(+)p Ft(1)p Fw([\))22 b Ft(\012)e Fs(C)1001 4187 y FF(1)1075 4220 y Fw(\()p Fs(S)1171 4187 y Fr(2)1211 4220 y Fw(\))31 b(w)m(e)f(ha)m(v)m(e:)1341 4479 y(u\()p Ft(\000)p Fw(\001)1574 4494 y Fq(k)1616 4479 y Fw(\)u)1702 4441 y FF(\000)p Fr(1)1821 4479 y Fw(=)25 b Ft(\000)2026 4417 y Fs(@)2079 4384 y Fr(2)p 1998 4458 148 4 v 1998 4541 a Fs(@)10 b Fw(~)-50 b Fs(\033)2106 4515 y Fr(2)2176 4479 y Ft(\000)2277 4417 y Fw(\001)2353 4431 y Fq(!)p 2277 4458 127 4 v 2298 4541 a Fw(~)g Fs(\033)2348 4515 y Fr(2)2413 4479 y Fs(;)0 4715 y Fw(where)40 b(\001)349 4729 y Fq(!)439 4715 y Fw(is)g(the)h(Laplacian)e(on)h Fs(S)1330 4682 y Fr(2)1370 4715 y Fw(.)70 b(By)41 b(the)g(ab)s(o)m(v)m(e)g(remark)g(this)e(means)h (that)h(u\()p Ft(\000)p Fw(\001)3289 4730 y Fq(k)3331 4715 y Fw(\)u)3417 4682 y FF(\000)p Fr(1)3552 4715 y Fw(is)e(the)0 4837 y(F)-8 b(riedric)m(hs)29 b(extension)h(of)g Ft(\000)1027 4801 y Fq(@)1068 4778 y Fm(2)p 1005 4816 119 4 v 1005 4871 a Fq(@)8 b Fr(~)-39 b Fq(\033)1088 4852 y Fm(2)1154 4837 y Ft(\000)1255 4801 y Fr(\001)1314 4809 y Fj(!)p 1255 4816 104 4 v 1271 4871 a Fr(~)h Fq(\033)1310 4852 y Fm(2)1398 4837 y Fw(on)31 b Fs(C)1597 4804 y FF(1)1590 4860 y Fr(0)1671 4837 y Fw(\(]0)p Fs(;)15 b Fw(+)p Ft(1)p Fw([\))22 b Ft(\012)e Fs(C)2223 4804 y FF(1)2297 4837 y Fw(\()p Fs(S)2393 4804 y Fr(2)2433 4837 y Fw(\).)141 4970 y(Let)31 b(no)m(w)f Fs(s)536 4937 y Fr(2)536 4993 y(0)606 4970 y Fw(b)s(e)g(the)g(F)-8 b(riedric)m(hs)29 b(extension)h(of)h Ft(\000)1913 4934 y Fq(@)1954 4911 y Fm(2)p 1891 4949 119 4 v 1891 5003 a Fq(@)8 b Fr(~)-39 b Fq(\033)1974 4984 y Fm(2)2050 4970 y Fw(on)30 b Fs(C)2248 4937 y FF(1)2241 4993 y Fr(0)2322 4970 y Fw(\(]0)p Fs(;)15 b Fw(+)p Ft(1)p Fw([\))22 b Ft(\012)e Fs(C)2874 4937 y FF(1)2948 4970 y Fw(\()p Fs(S)3044 4937 y Fr(2)3084 4970 y Fw(\),)31 b(ie)527 5239 y Fs(s)570 5201 y Fr(2)570 5261 y(0)635 5239 y Fw(=)25 b Ft(\000)839 5177 y Fs(@)892 5144 y Fr(2)p 812 5218 148 4 v 812 5301 a Fs(@)10 b Fw(~)-50 b Fs(\033)920 5275 y Fr(2)969 5239 y Fs(;)36 b Ft(D)s Fw(\()p Fs(s)1181 5201 y Fr(2)1181 5261 y(0)1220 5239 y Fw(\))26 b(=)f Fs(H)1460 5201 y Fr(1)1453 5261 y(0)1499 5239 y Fw(\(]0)p Fs(;)15 b Fw(+)p Ft(1)p Fw([\))22 b Ft(\012)e Fs(L)2041 5201 y Fr(2)2080 5239 y Fw(\()p Fs(S)2176 5201 y Fr(2)2216 5239 y Fw(\))g Ft(\\)g Fs(H)2435 5201 y Fr(2)2475 5239 y Fw(\(]0)p Fs(;)15 b Fw(+)p Ft(1)p Fw([\))21 b Ft(\012)f Fs(L)3016 5201 y Fr(2)3056 5239 y Fw(\()p Fs(S)3152 5201 y Fr(2)3191 5239 y Fw(\))p Fs(:)1844 5517 y Fw(77)p eop %%Page: 78 78 78 77 bop 0 162 a Fw(Then)29 b(w)m(e)i(set:)1380 275 y Fs(a)1428 289 y Fr(0)1493 275 y Fw(:=)25 b(\()p Fs(s)1692 238 y Fr(2)1692 298 y(0)1731 275 y Fw(\))1776 211 y Fm(1)p 1777 223 31 4 v 1777 264 a(2)1821 275 y Fs(;)36 b(a)25 b Fw(:=)g(u)p Ft(j)p Fs(x)p Ft(j)p Fw(u)2280 238 y FF(\000)p Fr(1)2374 275 y Fs(:)-2399 b Fw(\(10.1\))0 442 y(W)-8 b(e)32 b(note)f(that)g(for)f Fs(u)25 b Ft(2)g(D)s Fw(\()p Fs(a)1014 456 y Fr(0)1053 442 y Fw(\))h(=)f Fs(H)1293 409 y Fr(1)1286 465 y(0)1332 442 y Fw(\(]0)p Fs(;)15 b Fw(+)p Ft(1)p Fw([\))22 b Ft(\012)e Fs(L)1874 409 y Fr(2)1913 442 y Fw(\()p Fs(S)2009 409 y Fr(2)2049 442 y Fw(\),)31 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e:)1380 694 y Ft(k)p Fs(a)1473 708 y Fr(0)1513 694 y Fs(u)p Ft(k)1610 656 y Fr(2)1675 694 y Fw(=)1771 579 y Fp(Z)1854 605 y Fr(+)p FF(1)1817 767 y Fr(0)1999 694 y Ft(j)2061 632 y Fs(@)p 2034 673 109 4 v 2034 756 a(@)10 b Fw(~)-50 b Fs(\033)2152 694 y(u)p Ft(j)2229 656 y Fr(2)2269 694 y Fw(d)5 b(~)-50 b Fs(\033)s(;)0 935 y Fw(hence)31 b(for)f Fs(z)f Ft(2)p 575 935 4 56 v 25 w Fw(C)p Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)1124 1091 y Ft(k)1207 1029 y Fs(@)p 1179 1070 109 4 v 1179 1153 a(@)10 b Fw(~)-50 b Fs(\033)1298 1091 y Fw(\()p Fs(a)1381 1105 y Fr(0)1441 1091 y Ft(\006)20 b Fs(z)t Fw(\))1613 1053 y FF(\000)p Fr(1)1708 1091 y Ft(k)26 b Fw(=)f Ft(k)p Fs(a)1968 1105 y Fr(0)2008 1091 y Fw(\()p Fs(a)2091 1105 y Fr(0)2151 1091 y Ft(\006)20 b Fs(z)t Fw(\))2323 1053 y FF(\000)p Fr(1)2418 1091 y Ft(k)25 b(\024)g Fw(1)p Fs(:)-2654 b Fw(\(10.2\))0 1279 y(By)31 b(dualit)m(y)e(w)m(e)i(also)f (ha)m(v)m(e)1479 1429 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(a)1607 1443 y Fr(0)1668 1429 y Ft(\006)20 b Fs(z)t Fw(\))1840 1392 y FF(\000)p Fr(1)1972 1368 y Fs(@)p 1944 1408 V 1944 1491 a(@)10 b Fw(~)-50 b Fs(\033)2063 1429 y Ft(k)26 b(\024)f Fw(1)p Fs(:)-2300 b Fw(\(10.3\))0 1622 y(Let)31 b(no)m(w)f Fs(f)35 b Ft(2)25 b Fs(C)590 1589 y FF(1)664 1622 y Fw(\(I)-15 b(R\))30 b(with)1119 1826 y Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))26 b Ft(\021)f Fw(1)30 b(for)g Fs(\025)c Ft(\035)f Fw(1)p Fs(;)36 b(f)f Ft(\021)24 b Fw(0)31 b(for)f Fs(\025)c Ft(\034)f(\000)p Fw(1)p Fs(:)-2660 b Fw(\(10.4\))0 2030 y(W)-8 b(e)32 b(set)e(for)h(0)25 b Fs(<)g Fw(c)h Ft(\024)f Fw(1,)31 b(0)26 b Fs(<)f(\032)g(<)g Fw(1:)1330 2227 y Fs(b)1369 2241 y Fr(0)p Fq(;t)1479 2227 y Fw(:=)g Fs(f)10 b Fw(\()1700 2190 y Fq(a)1737 2199 y Fm(0)1772 2190 y FF(\000)p Fr(c)p Fq(t)p 1700 2206 184 4 v 1761 2258 a(t)1786 2239 y Fj(\032)1894 2227 y Fw(\))20 b(+)g Fs(f)10 b Fw(\()2140 2190 y FF(\000)p Fq(a)2232 2199 y Fm(0)2267 2190 y FF(\000)p Fr(c)p Fq(t)p 2140 2206 239 4 v 2228 2258 a(t)2253 2239 y Fj(\032)2389 2227 y Fw(\))p Fs(;)1330 2411 y(b)1369 2425 y Fq(t)1424 2411 y Fw(:=)26 b Fs(f)10 b Fw(\()1646 2375 y Fq(a)p FF(\000)p Fr(c)p Fq(t)p 1646 2390 150 4 v 1689 2442 a(t)1714 2423 y Fj(\032)1804 2411 y Fw(\))21 b(+)f Fs(f)10 b Fw(\()2051 2375 y FF(\000)p Fq(a)p FF(\000)p Fr(c)p Fq(t)p 2051 2390 205 4 v 2122 2442 a(t)2147 2423 y Fj(\032)2264 2411 y Fw(\))p Fs(:)0 2607 y Fw(W)-8 b(e)32 b(also)e(set)h(for)f Fs(\016)n(;)15 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b(Then)399 3444 y Fs(i)p Fw(\))21 b(\(1)g Ft(\000)f Fs(g)721 3458 y Fr(1)761 3444 y Fw(\)\()p Fs(b)870 3458 y Fr(0)p Fq(;t)975 3444 y Fw(+)g Fs(\026)g Fw(+)g Fs(R)q Fw(\))1337 3411 y FF(\000)p Fr(1)1456 3444 y Ft(2)25 b Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)1682 3411 y FF(\0001)1812 3444 y Fw(\))p Fs(;)48 b Fu(for)33 b Fs(\026)25 b Ft(2)p 2258 3444 4 56 v 25 w Fw(C)p Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)2427 3408 y FF(\000)2486 3444 y Fs(;)48 b Fu(uniformly)34 b(for)f Fs(R)26 b Ft(\025)f Fw(0)p Fs(;)399 3628 y(ii)p Fw(\))c(\()p Fs(b)591 3642 y Fq(t)641 3628 y Ft(\000)f Fs(b)771 3642 y Fr(0)p Fq(;t)856 3628 y Fw(\))p Fs(g)29 b Ft(2)c Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)1189 3595 y Fq(\032)1225 3604 y Fm(1)1260 3595 y FF(\000)p Fr(2)p Fq(\032)1405 3628 y Fw(log)17 b Fs(t)p Fw(\))p Fs(:)0 3949 y Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(As)31 b(a)g(preparation)e(for)h(the)h(pro)s(of)e(of)i(Lemma)f (10.1,)i(w)m(e)f(\014rst)f(sho)m(w:)0 4136 y Fi(Lemma)j(10.2)46 b Fu(We)32 b(have:)694 4341 y Fw(\(1)21 b Ft(\000)f Fs(g)929 4355 y Fr(1)969 4341 y Fw(\)\()p Fs(z)1085 4303 y Fr(2)1146 4341 y Ft(\000)g Fs(a)1285 4303 y Fr(2)1285 4363 y(0)1324 4341 y Fw(\))1359 4303 y FF(\000)p Fr(1)1454 4341 y Fs(g)29 b Ft(2)c Fs(O)s Fw(\()p Ft(j)p Fw(Im)p Fs(z)t Ft(j)1924 4303 y FF(\000)p Fq(N)7 b FF(\000)p Fr(2)2136 4341 y Fs(t)2169 4303 y Fq(N)g(\016)2270 4341 y Fw(\))p Fs(;)36 b(N)f Ft(2)25 b Fw(I)-15 b(N)p Fs(;)36 b(z)29 b Ft(2)p 2890 4341 V 25 w Fw(C)p Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)p Fs(:)-3085 b Fw(\(10.6\))324 4545 y Fs(a)372 4507 y Fr(2)372 4567 y(0)411 4545 y Fw(\(1)21 b Ft(\000)f Fs(g)646 4559 y Fr(1)686 4545 y Fw(\)\()p Fs(z)802 4507 y Fr(2)863 4545 y Ft(\000)g Fs(a)1002 4507 y Fr(2)1002 4567 y(0)1041 4545 y Fw(\))1076 4507 y FF(\000)p Fr(1)1171 4545 y Fs(g)29 b Ft(2)c Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)1469 4507 y Fq(N)7 b(\016)1570 4545 y Ft(j)p Fw(Im)o Fs(z)t Ft(j)1774 4507 y FF(\000)p Fq(N)g FF(\000)p Fr(2)1987 4545 y Ft(h)p Fs(z)t Ft(i)p Fw(\))22 b(+)e Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2391 4507 y Fr(\()p Fq(N)7 b Fr(+2\))p Fq(\016)2637 4545 y Ft(j)p Fw(Im)p Fs(z)t Ft(j)2842 4507 y FF(\000)p Fq(N)g FF(\000)p Fr(1)3054 4545 y Fw(\))p Fs(;)36 b(N)g Ft(2)24 b Fw(I)-15 b(N)p Fs(:)-3455 b Fw(\(10.7\))0 4899 y Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e:)703 5078 y(\()p Fs(z)784 5045 y Fr(2)844 5078 y Ft(\000)20 b Fs(a)983 5045 y Fr(2)983 5101 y(0)1023 5078 y Fw(\))1058 5045 y FF(\000)p Fr(1)1153 5078 y Fs(g)28 b Fw(=)d Fs(g)s Fw(\()p Fs(z)1447 5045 y Fr(2)1508 5078 y Ft(\000)20 b Fs(a)1647 5045 y Fr(2)1647 5101 y(0)1687 5078 y Fw(\))1722 5045 y FF(\000)p Fr(1)1837 5078 y Fw(+)f(\()p Fs(z)2008 5045 y Fr(2)2069 5078 y Ft(\000)h Fs(a)2208 5045 y Fr(2)2208 5101 y(0)2247 5078 y Fw(\))2282 5045 y FF(\000)p Fr(1)2377 5078 y Fw([)p Fs(a)2450 5045 y Fr(2)2450 5101 y(0)2489 5078 y Fs(;)15 b(g)s Fw(]\()p Fs(z)2681 5045 y Fr(2)2743 5078 y Ft(\000)20 b Fs(a)2882 5045 y Fr(2)2882 5101 y(0)2921 5078 y Fw(\))2956 5045 y FF(\000)p Fr(1)3051 5078 y Fs(;)703 5265 y Fw([)p Fs(a)776 5232 y Fr(2)776 5288 y(0)816 5265 y Fs(;)15 b(g)s Fw(])26 b(=)f Ft(\000)p Fs(g)1166 5232 y FF(0)1221 5229 y Fq(@)p 1200 5244 84 4 v 1200 5296 a(@)8 b Fr(~)-39 b Fq(\033)1314 5265 y Ft(\000)1436 5229 y Fq(@)p 1415 5244 V 1415 5296 a(@)8 b Fr(~)-39 b Fq(\033)1509 5265 y Fs(g)1555 5232 y FF(0)1579 5265 y Fs(;)45 b Fw(for)30 b Fs(g)1834 5232 y FF(0)1884 5265 y Fw(=)24 b Fs(@)2031 5279 y Fr(~)-39 b Fq(\033)2075 5265 y Fs(g)s(;)1844 5517 y Fw(78)p eop %%Page: 79 79 79 78 bop 0 162 a Fw(and)30 b(hence)697 275 y(\(1)21 b Ft(\000)f Fs(g)932 289 y Fr(1)971 275 y Fw(\)\()p Fs(z)1087 238 y Fr(2)1148 275 y Ft(\000)g Fs(a)1287 238 y Fr(2)1287 298 y(0)1326 275 y Fw(\))1361 238 y FF(\000)p Fr(1)1456 275 y Fs(g)29 b Fw(=)c(\(1)c Ft(\000)f Fs(g)1859 289 y Fr(1)1899 275 y Fw(\)\()p Fs(z)2015 238 y Fr(2)2075 275 y Ft(\000)g Fs(a)2214 238 y Fr(2)2214 298 y(0)2254 275 y Fw(\))2289 238 y FF(\000)p Fr(1)2383 275 y Fw([)p Fs(a)2456 238 y Fr(2)2456 298 y(0)2496 275 y Fs(;)15 b(g)s Fw(]\()p Fs(z)2688 238 y Fr(2)2750 275 y Ft(\000)k Fs(a)2888 238 y Fr(2)2888 298 y(0)2928 275 y Fw(\))2963 238 y FF(\000)p Fr(1)3058 275 y Fs(:)-3083 b Fw(\(10.8\))0 440 y(W)-8 b(e)32 b(observ)m(e)f(that)g Ft(k)p Fs(@)776 407 y Fq(\013)775 465 y Fr(~)-39 b Fq(\033)826 440 y Fs(g)s Ft(k)26 b(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)1169 407 y Fq(\016)r(\013)1252 440 y Fw(\).)141 553 y(Moreo)m(v)m(er)g(if)e Fs(g)653 567 y Fr(2)716 553 y Fw(is)f(another)h(cuto\013)h(similar)d(to)j Fs(g)i Fw(with)c Fs(g)2082 567 y Fr(2)2122 553 y Fs(g)29 b Fw(=)c Fs(g)s(;)15 b(g)2419 567 y Fr(2)2460 553 y Fs(g)2503 567 y Fr(1)2568 553 y Fw(=)25 b Fs(g)2707 567 y Fr(2)2747 553 y Fw(,)f(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)g([)p Fs(a)3198 520 y Fr(2)3198 576 y(0)3238 553 y Fs(;)15 b(g)s Fw(])27 b(=)e Fs(g)3515 567 y Fr(2)3555 553 y Fw([)p Fs(a)3628 520 y Fr(2)3628 576 y(0)3667 553 y Fs(;)15 b(g)s Fw(])0 666 y(and)341 779 y(\(1)21 b Ft(\000)f Fs(g)576 793 y Fr(1)616 779 y Fw(\)\()p Fs(z)732 742 y Fr(2)793 779 y Ft(\000)g Fs(a)932 742 y Fr(2)932 802 y(0)971 779 y Fw(\))1006 742 y FF(\000)p Fr(1)1101 779 y Fs(g)29 b Fw(=)c(\(1)c Ft(\000)f Fs(g)1504 793 y 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2602 y(satis\014es)30 b(\(10.11\).)43 b(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e)f(b)m(y)g(\(10.13\))895 2804 y(\()p Fs(b)969 2818 y Fq(t)1019 2804 y Ft(\000)20 b Fs(b)1149 2818 y Fr(0)p Fq(;t)1234 2804 y Fw(\))p Fs(g)29 b Fw(=)c(\()p Fs(f)1517 2818 y Fq(t)1546 2804 y Fw(\()p Fs(a)p Fw(\))c Ft(\000)f Fs(f)1821 2818 y Fq(t)1850 2804 y Fw(\()p Fs(a)1933 2818 y Fr(0)1973 2804 y Fw(\)\))p Fs(g)741 2989 y Fw(=)934 2953 y Fr(i)p 905 2968 79 4 v 905 3020 a(2)p Fq(\031)1008 2920 y Fp(R)1079 2989 y Fs(@)p 1127 2964 40 4 v 14 x Fq(z)1177 2989 y Fw(~)-55 b Fs(\037)1224 3003 y Fq(t)1253 2989 y Fw(\()p Fs(z)t Fw(\))p Fs(z)t Fw(\()p Fs(z)1496 2956 y Fr(2)1558 2989 y Ft(\000)20 b Fs(a)1697 2956 y Fr(2)1736 2989 y Fw(\))1771 2956 y FF(\000)p Fr(1)1866 2989 y Fw(\()p Fs(a)1949 2956 y Fr(2)2009 2989 y Ft(\000)g Fs(a)2148 2956 y Fr(2)2148 3012 y(0)2187 2989 y Fw(\)\()p Fs(z)2303 2956 y Fr(2)2364 2989 y Ft(\000)g Fs(a)2503 2956 y Fr(2)2503 3012 y(0)2542 2989 y Fw(\))2577 2956 y FF(\000)p Fr(1)2672 2989 y Fs(g)s Fw(d)p Fs(z)25 b Ft(^)19 b Fw(d)p 2967 2940 47 4 v Fs(z)t(:)0 3185 y Fw(Next)31 b(w)m(e)g(write)1161 3272 y(\()p Fs(z)1242 3239 y Fr(2)1302 3272 y Ft(\000)20 b Fs(a)1441 3239 y Fr(2)1480 3272 y Fw(\))1515 3239 y FF(\000)p Fr(1)1610 3272 y Fw(\()p Fs(a)1693 3239 y Fr(2)1753 3272 y Ft(\000)g Fs(a)1892 3239 y Fr(2)1892 3295 y(0)1931 3272 y Fw(\)\()p Fs(z)2047 3239 y Fr(2)2108 3272 y Ft(\000)g Fs(a)2247 3239 y Fr(2)2247 3295 y(0)2286 3272 y Fw(\))2321 3239 y FF(\000)p Fr(1)2416 3272 y Fs(g)1007 3456 y Fw(=)83 b(\()p Fs(z)1242 3423 y Fr(2)1302 3456 y Ft(\000)20 b Fs(a)1441 3423 y Fr(2)1480 3456 y Fw(\))1515 3423 y FF(\000)p Fr(1)1610 3456 y Fw(\()p Fs(a)1693 3423 y Fr(2)1753 3456 y Ft(\000)g Fs(a)1892 3423 y Fr(2)1892 3479 y(0)1931 3456 y Fw(\)\(1)i Ft(\000)e Fs(g)2202 3470 y Fr(1)2241 3456 y Fw(\)\()p Fs(z)2357 3423 y Fr(2)2418 3456 y Ft(\000)g Fs(a)2557 3423 y Fr(2)2557 3479 y(0)2596 3456 y Fw(\))2631 3423 y FF(\000)p Fr(1)2726 3456 y Fs(g)1161 3639 y Fw(+\()p Fs(z)1313 3606 y Fr(2)1373 3639 y 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82 82 81 bop 0 162 a Fw(Let)40 b(again)f Fs(f)50 b Ft(2)40 b Fs(C)691 129 y FF(1)765 162 y Fw(\(I)-15 b(R\))40 b(with)e Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))41 b Ft(\021)f Fw(1)g(for)f Ft(\035)h Fw(1,)i Fs(f)50 b Ft(\021)40 b Fw(0)g(for)f Fs(\025)i Ft(\034)f(\000)p Fw(1.)68 b(W)-8 b(e)41 b(set)f(for)f(0)i Fs(<)f Fw(c)h Ft(\024)f Fw(1,)0 275 y(0)26 b Fs(<)f(\032)g(<)g Fw(1:)1296 395 y Fs(b)1335 409 y Fr(0)p Fq(;t)1445 395 y Fw(:=)g Fs(f)10 b Fw(\()1666 351 y FF(j)p Fq(s)p FF(j)1739 360 y Fm(0)1772 351 y FF(\000)p Fr(c)p Fq(t)p 1666 374 219 4 v 1744 427 a(t)1769 408 y Fj(\032)1894 395 y Fw(\))20 b(+)g Fs(f)10 b Fw(\()2140 351 y FF(\000j)p Fq(s)p FF(j)2268 360 y Fm(0)2301 351 y FF(\000)p Fr(c)p Fq(t)p 2140 374 274 4 v 2246 427 a(t)2271 408 y Fj(\032)2423 395 y Fw(\))p Fs(;)1296 579 y(b)1335 593 y Fq(t)1390 579 y Fw(:=)25 b Fs(f)10 b Fw(\()1611 543 y Fq(s)p FF(\000)p Fr(c)p Fq(t)p 1611 558 145 4 v 1652 610 a(t)1677 592 y Fj(\032)1765 579 y Fw(\))21 b(+)f Fs(f)10 b Fw(\()2012 543 y FF(\000)p Fq(s)p FF(\000)p Fr(c)p Fq(t)p 2012 558 200 4 v 2080 610 a(t)2105 592 y Fj(\032)2220 579 y Fw(\))p Fs(;)0 727 y Fw(and)30 b(for)g Fs(\016)f(>)c Fw(0:)1166 859 y Fs(g)k Fw(=)c Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(t)1473 822 y Fq(\016)1511 859 y Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)26 b(\025)f Fw(1\))p Fs(;)36 b(g)1922 873 y Fr(1)1987 859 y Fw(=)25 b Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(t)2222 822 y Fq(\016)2261 859 y Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)25 b(\025)2497 798 y Fw(1)p 2497 838 46 4 v 2497 922 a(2)2553 859 y(\))p Fs(;)0 1036 y Fw(so)31 b(that)g Fs(g)352 1050 y Fr(1)391 1036 y Fs(g)e Fw(=)c Fs(g)s Fw(.)41 b(The)30 b(follo)m(wing)f(lemma)h(is)g(analogous)g(to)h(Lemma)g(10.1.)0 1205 y Fi(Lemma)i(10.3)46 b Fu(Assume)32 b Fs(\032)26 b(>)f(\016)s Fu(.)42 b(Then:)403 1379 y Fs(i)p Fw(\))21 b(\(1)g Ft(\000)f Fs(g)725 1393 y Fr(1)765 1379 y Fw(\)\()p Fs(b)874 1393 y Fq(t)924 1379 y Fw(+)g Fs(\026)g Fw(+)g Fs(R)q Fw(\))1286 1346 y FF(\000)p Fr(1)1380 1379 y Fs(g)29 b Ft(2)c Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)1678 1346 y FF(\0001)1808 1379 y Fw(\))p Fs(;)48 b Fu(for)33 b Fs(\026)25 b Ft(2)p 2253 1379 4 56 v 25 w Fw(C)p Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)2423 1343 y FF(\000)2482 1379 y Fs(;)48 b Fu(uniformly)34 b(for)f Fs(R)26 b Ft(\025)f Fw(0)p Fs(;)403 1563 y(ii)p Fw(\))c(\()p Fs(b)595 1577 y Fq(t)645 1563 y Ft(\000)f Fs(b)775 1577 y Fr(0)p Fq(;t)860 1563 y Fw(\))p Fs(g)29 b Ft(2)c Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)1193 1530 y FF(\0001)1323 1563 y Fw(\))p Fs(:)0 1843 y Fi(Pro)s(of.)46 b Fw(Let)28 b(us)f(\014rst)f(pro)m(v)m(e)i Fu(ii\))p Fw(.)40 b(W)-8 b(e)28 b(apply)e(the)i(iden)m(tit)m(y)f(\(10.13\))j(to)e(the)f(ev)m(en) h(\()p Fs(t)p Ft(\000)p Fw(dep)s(enden)m(t\))f(function)1160 2068 y Fs(\037)1217 2082 y Fq(t)1246 2068 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))f(=)f Fs(f)10 b Fw(\()1591 2006 y Fs(\025)20 b Ft(\000)g Fw(c)p Fs(t)p 1591 2047 238 4 v 1673 2130 a(t)1706 2104 y Fq(\032)1838 2068 y Fw(\))h(+)f Fs(f)10 b Fw(\()2085 2006 y Ft(\000)p Fs(\025)19 b Ft(\000)h Fw(c)p Fs(t)p 2085 2047 309 4 v 2202 2130 a(t)2235 2104 y Fq(\032)2402 2068 y Fw(\))h Ft(\000)f Fw(1)p Fs(;)0 2271 y Fw(and)30 b(obtain)1007 2358 y Fs(b)1046 2372 y Fq(t)1096 2358 y Ft(\000)20 b Fs(b)1226 2372 y Fr(0)p Fq(;t)1335 2358 y Fw(=)25 b Fs(\037)1488 2372 y Fq(t)1518 2358 y Fw(\()p Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)p Fw(\))c Ft(\000)f Fs(\037)1850 2372 y Fq(t)1879 2358 y Fw(\()p Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)2007 2372 y Fr(0)2047 2358 y Fw(\))853 2545 y(=)1046 2509 y Fr(i)p 1017 2524 79 4 v 1017 2576 a(2)p Fq(\031)1120 2476 y Fp(R)1201 2509 y Fq(@)p 1201 2524 42 4 v 1204 2538 36 4 v 1204 2576 a(z)1262 2545 y Fw(~)-55 b Fs(\037)1309 2559 y Fq(t)1338 2545 y Fw(\()p Fs(z)t Fw(\))p Fs(z)1516 2476 y Fp(\000)1555 2545 y Fw(\()p Fs(z)1636 2512 y Fr(2)1696 2545 y Ft(\000)20 b Fs(s)1830 2512 y Fr(2)1869 2545 y Fw(\))1904 2512 y FF(\000)p Fr(1)2019 2545 y Ft(\000)g Fw(\()p Fs(z)2191 2512 y Fr(2)2251 2545 y Ft(\000)g Fs(s)2385 2512 y Fr(2)2385 2568 y(0)2424 2545 y Fw(\))2459 2512 y FF(\000)p Fr(1)2553 2476 y Fp(\001)2607 2545 y Fw(d)p Fs(z)k Ft(^)19 b Fw(d)p 2855 2496 47 4 v Fs(z)t(;)0 2698 y Fw(where)51 b(~)-56 b Fs(\037)330 2712 y Fq(t)399 2698 y Fw(is)40 b(an)g(almost-analytic)g(extension)g(of)51 b(~)-56 b Fs(\037)40 b Fw(satisfying)f(\(10.12\).)73 b(W)-8 b(e)42 b(recall)d(the)i(iden)m(tit)m(y)f(\(see)0 2811 y([A)m(GHH)r(,)30 b(Thm.)40 b(3.1.2]\):)861 3033 y(\()p Fs(z)942 2996 y Fr(2)1002 3033 y Ft(\000)20 b Fs(s)1136 2996 y Fr(2)1175 3033 y Fw(\))1210 2996 y FF(\000)p Fr(1)1325 3033 y Ft(\000)g Fw(\()p Fs(z)1497 2996 y Fr(2)1557 3033 y Ft(\000)g Fs(s)1691 2996 y Fr(2)1691 3056 y(0)1730 3033 y Fw(\))1765 2996 y FF(\000)p Fr(1)1885 3033 y Fw(=)2025 2972 y(i)p 1991 3012 92 4 v 1991 3096 a(2)p Fs(z)2093 3033 y Ft(j)p Fs(\036)2172 3047 y Fq(z)2212 3033 y Ft(ih)p Fs(\036)p 2336 3009 40 4 v 14 x Fq(z)2377 3033 y Ft(j)30 b Fw(for)h(Im)o Fs(z)f(>)25 b Fw(0)p Fs(;)0 3256 y Fw(where)30 b Fs(\036)317 3270 y Fq(z)357 3256 y Fw(\()p Fs(\033)s Fw(\))c(=)f(e)644 3223 y Fr(i)p Fq(z)s FF(j)p Fq(\033)r FF(j)786 3256 y Fw(.)40 b(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e:)948 3453 y Ft(k)p Fs(\036)1047 3467 y Fq(z)1088 3453 y Ft(k)25 b(\024)g Fs(C)7 b Ft(j)p Fw(Im)p Fs(z)t Ft(j)1531 3415 y FF(\000)1596 3388 y Fm(1)p 1596 3400 31 4 v 1596 3441 a(2)1641 3453 y Fs(;)35 b Ft(k)p Fs(g)s(\036)1846 3467 y Fq(z)1887 3453 y Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)7 b Ft(j)p Fw(Im)o Fs(z)t Ft(j)2330 3415 y FF(\000)2395 3388 y Fm(1)p 2395 3400 V 2395 3441 a(2)2440 3453 y Fw(e)2480 3415 y FF(\000)p Fq(t)2560 3392 y Fo(\000)p Fj(\016)2643 3415 y FF(j)p Fr(Im)o Fq(z)s FF(j)2806 3453 y Fs(:)0 3635 y Fw(This)29 b(giv)m(es)624 3758 y Ft(k)684 3664 y Fp(\020)734 3758 y Fw(\()p Fs(z)815 3721 y Fr(2)875 3758 y Ft(\000)20 b Fs(s)1009 3721 y Fr(2)1048 3758 y Fw(\))1083 3721 y FF(\000)p Fr(1)1198 3758 y Ft(\000)g Fw(\()p Fs(z)1370 3721 y Fr(2)1430 3758 y Ft(\000)g Fs(s)1564 3721 y Fr(2)1564 3781 y(0)1603 3758 y Fw(\))1638 3721 y FF(\000)p Fr(1)1733 3664 y Fp(\021)1798 3758 y Fs(g)s Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)7 b Ft(j)p Fw(Im)o Fs(z)t Ft(j)2287 3721 y FF(\000)p Fr(1)2382 3758 y Fw(e)2422 3721 y FF(\000)p Fq(t)2502 3697 y Fo(\000)p Fj(\016)2585 3721 y FF(j)p Fr(Im)o Fq(z)s FF(j)2748 3758 y Fs(;)36 b Fw(Im)o Fs(z)30 b Ft(6)p Fw(=)25 b(0)p Fs(:)-3155 b Fw(\(10.16\))0 3929 y(W)-8 b(e)32 b(deduce)e(from)f(\(10.16\))34 b(and)29 b(\(10.12\))k(that)1021 4109 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(b)1140 4123 y Fq(t)1191 4109 y Ft(\000)20 b Fs(b)1321 4123 y Fr(0)p Fq(;t)1405 4109 y Fw(\))p Fs(g)s Ft(k)867 4304 y(\024)83 b Fs(C)1086 4318 y Fq(N)1168 4236 y Fp(R)1208 4332 y Fr(supp)20 b(~)-43 b Fq(\037)1409 4340 y Fj(t)1456 4304 y Ft(j)p Fs(z)t Ft(jj)p Fw(Im)p Fs(z)t Ft(j)1757 4271 y Fq(N)7 b FF(\000)p Fr(1)1915 4304 y Fs(t)1948 4271 y FF(\000)p Fq(\032)p Fr(\()p Fq(N)g Fr(+1\))2252 4304 y Fw(e)2292 4271 y FF(\000)p Fq(t)2372 4248 y Fo(\000)p Fj(\016)2454 4271 y FF(j)p Fr(Im)o Fq(z)s FF(j)2618 4304 y Fw(d)p Fs(z)24 b Ft(^)19 b Fw(d)p 2866 4255 47 4 v Fs(z)867 4492 y Ft(\024)83 b Fs(C)1086 4506 y Fq(N)1168 4423 y Fp(R)1208 4519 y Fr(supp)20 b(~)-43 b Fq(\037)1409 4527 y Fj(t)1456 4492 y Ft(j)p Fs(z)t Ft(j)p Fs(t)1585 4459 y Fr(\()p Fq(\016)r FF(\000)p Fq(\032)p Fr(\))p Fq(N)1832 4492 y Fw(d)p Fs(z)24 b Ft(^)c Fw(d)p 2081 4443 V Fs(z)29 b Ft(2)c Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2378 4459 y FF(\0001)2508 4492 y Fw(\))p Fs(;)0 4678 y Fw(since)30 b Fs(\032)25 b(>)g(\016)s Fw(.)41 b(This)29 b(pro)m(v)m(es)i Fu(ii\))p Fw(.)141 4791 y(T)-8 b(o)31 b(pro)m(v)m(e)g Fu(i\))p Fw(,)g(w)m(e)g(write)474 4973 y(\(1)21 b Ft(\000)f Fs(g)709 4987 y Fr(1)749 4973 y Fw(\)\()p Fs(b)858 4987 y Fq(t)908 4973 y Fw(+)g Fs(\026)g Fw(+)g Fs(R)q Fw(\))1270 4935 y FF(\000)p Fr(1)1365 4973 y Fs(g)28 b Fw(=)d Ft(\000)p Fw(\(1)c Ft(\000)f Fs(g)1838 4987 y Fr(1)1878 4973 y Fw(\)\()p Fs(b)1987 4987 y Fq(t)2037 4973 y Fw(+)g Fs(\026)g Fw(+)g Fs(R)q Fw(\))2399 4935 y FF(\000)p Fr(1)2494 4973 y Fw([)p Fs(b)2558 4987 y Fq(t)2587 4973 y Fs(;)15 b(g)s Fw(]\()p Fs(b)2772 4987 y Fq(t)2824 4973 y Fw(+)20 b Fs(\026)g Fw(+)g Fs(R)q Fw(\))3186 4935 y FF(\000)p Fr(1)3280 4973 y Fs(:)0 5155 y Fw(By)35 b(p.d.o.)53 b(calculus,)34 b([)p Fs(b)860 5169 y Fq(t)890 5155 y Fs(;)15 b(g)s Fw(])33 b(=)f Fs(g)1180 5169 y Fr(2)1220 5155 y Fw([)p Fs(b)1284 5169 y Fq(t)1313 5155 y Fs(;)15 b(g)s Fw(],)37 b(where)d Fs(g)1796 5169 y Fr(2)1868 5155 y Fw(=)e Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(t)2110 5122 y Fq(\016)2148 5155 y Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)33 b(\025)2398 5119 y Fr(3)p 2398 5134 36 4 v 2398 5186 a(2)2444 5155 y Fw(\),)j(and)d([)p Fs(b)2784 5169 y Fq(t)2814 5155 y Fs(;)15 b(g)s Fw(])34 b Ft(2)d Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)3191 5122 y Fq(\016)r FF(\000)p Fq(\032)3320 5155 y Fw(\).)53 b(Iterating)0 5268 y(this)29 b(argumen)m(t)i(w)m(e)g (obtain)f Fu(i\))p Fw(.)40 b Fh(2)1844 5517 y Fw(82)p eop %%Page: 83 83 83 82 bop 0 163 a Fx(11)135 b(Rein)l(terpretation)48 b(of)d(the)g(spaces)g Fa(H)2193 119 y FD(e+)2192 192 y(c)0 366 y Fw(In)26 b(this)g(section)h(w)m(e)g(describ)s(e)e(the)i (spaces)g Ft(H)1568 333 y Fr(e+)1567 388 y(c)1685 366 y Fw(using)f(the)h(observ)-5 b(able)26 b Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)2605 380 y Fr(0)2671 366 y Fw(in)m(tro)s(duced)f(in)h(Subsect.)39 b(10.2.)0 609 y Fv(11.1)112 b(Preliminary)35 b(results)0 781 y Fw(In)c(this)g(subsection)g(w)m(e)i(sho)m(w)f(that)g(the)h (spaces)f Ft(H)1814 748 y Fr(e+)1813 803 y(c)1936 781 y Fw(can)g(also)g(b)s(e)g(de\014ned)f(with)f(a)j(cuto\013)f(function)f (in)g Fs(s)0 894 y Fw(whic)m(h)d(is)f(ev)m(en.)41 b(This)27 b(easy)j(result)e(uses)g(the)h(fact)h(sho)m(wn)e(in)g(Subsect.)39 b(5.3)30 b(that)g(there)f(is)f(no)h(propagation)0 1007 y(in)g(the)i(region)f Ft(f)p Fs(s)25 b Ft(\024)g(\000)p Fw(c)p Fs(t)p Ft(g)p Fw(.)141 1119 y(Let)31 b Fs(f)k Ft(2)24 b Fs(C)541 1086 y FF(1)616 1119 y Fw(\(I)-15 b(R\))30 b(satisfying)f(\(5.1\))j(for)f(0)25 b Fs(<)g(\013)1787 1133 y Fr(0)1852 1119 y Fs(<)g(\013)2006 1133 y Fr(1)2046 1119 y Fw(.)40 b(W)-8 b(e)32 b(set)f(for)f(0)c Fs(<)f(\032)g(<)g Fw(1:)960 1359 y Fs(b)999 1373 y Fr(c)16 b Fq(t)1101 1359 y Fw(:=)25 b Fs(f)10 b Fw(\()1322 1297 y Fs(s)20 b Ft(\000)g Fw(c)p Fs(t)p 1322 1338 227 4 v 1399 1421 a(t)1432 1395 y Fq(\032)1559 1359 y Fw(\))g(+)g Fs(f)10 b Fw(\()1805 1297 y Ft(\000)p Fs(s)19 b Ft(\000)h Fw(c)p Fs(t)p 1805 1338 298 4 v 1917 1421 a(t)1950 1395 y Fq(\032)2112 1359 y Fw(\))p Fs(;)36 b(B)2277 1373 y Fr(c)16 b Fq(t)2379 1359 y Fw(:=)25 b(d\000\()p Fs(b)2682 1373 y Fr(c)16 b Fq(t)2759 1359 y Fw(\))p Fs(:)-2819 b Fw(\(11.1\))0 1588 y(\(The)30 b(reader)h(should)d(compare)j(\(11.1\))h(with)d (\(5.2\)\).)0 1775 y Fi(Theorem)69 b(11.1)46 b Fu(Assume)33 b(\(I'0\),)h(\(I'1\))g(for)g Fs(\017)1695 1789 y Fr(0)1760 1775 y Fs(>)26 b Fw(0)p Fu(,)34 b(\(I'2\))g(for)g Fs(\026)26 b(>)g Fw(1)34 b Fu(and)g(pick)f Fs(\032)g Fu(in)g(\(11.1\))i(such)e (that)0 1888 y Fs(\032)p Fw(\(1)21 b(+)f Fs(\017)276 1902 y Fr(0)315 1888 y Fw(\))26 b Fs(>)f Fw(1)p Fu(.)42 b(Then:)141 2001 y(i\))33 b(for)g(e)-5 b(ach)33 b Fs(\025)26 b Ft(2)p 779 2001 4 56 v 24 w Fw(C)p Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)948 1965 y FF(\000)1040 2001 y Fu(the)33 b(limit)945 2205 y Fw(s-)63 b(lim)1027 2260 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1263 2205 y Fw(e)1303 2167 y Fr(i)p Fq(tH)1411 2144 y Fm(e)1447 2205 y Fw(\()p Fs(B)1551 2219 y Fr(c)17 b Fq(t)1649 2205 y Fw(+)i Fs(\025)p Fw(\))1827 2167 y FF(\000)p Fr(1)1922 2205 y Fw(e)1962 2167 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2125 2144 y Fm(e)2186 2205 y Fw(=:)2327 2182 y(~)2308 2205 y Fs(R)2378 2167 y Fr(+)2377 2227 y(c)2436 2205 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))34 b Fu(exists)p Fs(:)0 2458 y Fu(ii\))e Fw([)170 2435 y(~)150 2458 y Fs(R)220 2425 y Fr(+)219 2480 y(c)279 2458 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(;)15 b(L)p Fw(])27 b(=)e([)697 2435 y(~)677 2458 y Fs(R)747 2425 y Fr(+)746 2480 y(c)806 2458 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(;)15 b(H)1052 2425 y Fr(e)1089 2458 y Fw(])25 b(=)g(0)p Fu(.)1302 2661 y Fs(iii)p Fw(\))d(s-)d(lim)1533 2718 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1682 2661 y Fs(\017)1719 2624 y FF(\000)p Fr(1)1833 2638 y Fw(~)1814 2661 y Fs(R)1884 2624 y Fr(+)1883 2684 y(c)1942 2661 y Fw(\()p Fs(\017)2014 2624 y FF(\000)p Fr(1)2109 2661 y Fw(\))26 b(=:)2311 2638 y(^)2291 2661 y Fs(P)2362 2624 y Fr(e+)2349 2684 y(c)2452 2661 y Fs(;)0 2912 y Fu(wher)-5 b(e)34 b(the)f(ortho)-5 b(gonal)36 b(pr)-5 b(oje)g(ction)1295 2889 y Fw(^)1274 2912 y Fs(P)1345 2879 y Fr(e+)1332 2934 y(c)1468 2912 y Fu(is)33 b(de\014ne)-5 b(d)33 b(in)g(Thm.)43 b(5.5.)0 3099 y Fw(It)30 b(follo)m(ws)g(from)g(Thms.)39 b(11.1)32 b(and)e(5.6)h(that)g Fs(u)26 b Ft(2)f(H)1859 3066 y Fr(e+)1858 3121 y(c)1979 3099 y Fw(if)k(and)h(only)g(if)f(there)h(exists)g(c)3045 3066 y FF(0)3094 3099 y Fs(>)25 b Fw(c)31 b(suc)m(h)f(that)1098 3302 y(lim)1094 3359 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1291 3302 y Fw(lim)1244 3357 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1480 3302 y Fw(e)1520 3265 y Fr(i)p Fq(tH)1628 3241 y Fm(e)1664 3302 y Fw(\()p Fs(\017B)1805 3318 y Fr(c)1836 3299 y Fo(0)1875 3318 y Fq(t)1925 3302 y Fw(+)20 b(1)-20 b(l)o(\))2101 3265 y FF(\000)p Fr(1)2196 3302 y Fw(e)2236 3265 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2399 3241 y Fm(e)2435 3302 y Fs(u)25 b Fw(=)g Fs(u:)0 3540 y Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(W)-8 b(e)32 b(set)f Fs(f)673 3554 y Fr(1)712 3540 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))25 b(=)g Fs(f)10 b Fw(\()p Ft(\000)p Fs(s)p Fw(\))30 b(and)g(note)h(that)g Fs(f)1836 3554 y Fr(1)1905 3540 y Fw(satis\014es)f(\(5.14\).)43 b(Let)1235 3740 y Fs(b)1274 3754 y Fr(+)p Fq(;t)1404 3740 y Fw(=)25 b Fs(f)10 b Fw(\()1600 3705 y Fq(s)p FF(\000)p Fr(c)p Fq(t)p 1600 3720 145 4 v 1641 3772 a(t)1666 3753 y Fj(\032)1754 3740 y Fw(\))p Fs(;)35 b(B)1918 3754 y Fr(+)p Fq(;t)2048 3740 y Fw(:=)25 b(d\000\()p Fs(b)2351 3754 y Fr(+)p Fq(;t)2455 3740 y Fw(\))p Fs(;)1235 3924 y(b)1274 3938 y FF(\000)p Fq(;t)1404 3924 y Fw(=)g Fs(f)1545 3938 y Fr(1)1584 3924 y Fw(\()1629 3888 y Fq(s)p Fr(+)p Fq(ct)p 1629 3903 144 4 v 1670 3956 a(t)1695 3937 y Fj(\032)1782 3924 y Fw(\))p Fs(;)36 b(B)1947 3938 y FF(\000)p Fq(;t)2077 3924 y Fw(:=)25 b(d\000\()p Fs(b)2380 3938 y FF(\000)p Fq(;t)2484 3924 y Fw(\))p Fs(;)0 4133 y Fw(so)32 b(that)f Fs(B)379 4147 y Fr(c)16 b Fq(t)483 4133 y Fw(=)26 b Fs(B)649 4147 y Fr(+)p Fq(;t)774 4133 y Fw(+)21 b Fs(B)935 4147 y FF(\000)p Fq(;t)1039 4133 y Fw(.)43 b(By)32 b(Thm.)42 b(5.5)32 b(and)f(Prop.)43 b(5.7)32 b(w)m(e)g(kno)m(w)f(that)h(for)f (all)f Fs(\025;)15 b(\025)3229 4100 y FF(0)3280 4133 y Ft(2)p 3394 4133 4 56 v 26 w Fw(C)p Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)3563 4097 y Fr(+)3653 4133 y Fw(the)0 4246 y(limit)867 4359 y(s-)63 b(lim)949 4414 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1185 4359 y Fw(e)1225 4321 y Fr(i)p Fq(tH)1333 4298 y Fm(e)1369 4359 y Fw(\()p Fs(\025)21 b Ft(\000)f Fs(B)1638 4373 y Fr(+)p Fq(;t)1742 4359 y Fw(\))1777 4321 y FF(\000)p Fr(1)1872 4359 y Fw(\()p Fs(\025)1960 4321 y FF(0)2003 4359 y Ft(\000)g Fs(B)2163 4373 y FF(\000)p Fq(;t)2267 4359 y Fw(\))2302 4321 y FF(\000)p Fr(1)2397 4359 y Fw(e)2437 4321 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2600 4298 y Fm(e)2666 4359 y Fw(exists)p Fs(:)0 4569 y Fw(Note)27 b(that)f(the)g(functions)f(I)-15 b(R)1031 4534 y Fr(2)1096 4569 y Ft(3)25 b Fw(\()p Fs(s;)15 b(s)1343 4536 y FF(0)1366 4569 y Fw(\))26 b Ft(7!)f Fw(\()p Fs(\025)11 b Ft(\000)g Fs(s)p Fw(\))1802 4536 y FF(\000)p Fr(1)1896 4569 y Fw(\()p Fs(\025)1984 4536 y FF(0)2019 4569 y Ft(\000)g Fs(s)2144 4536 y FF(0)2166 4569 y Fw(\))2201 4536 y FF(\000)p Fr(1)2322 4569 y Fw(for)25 b Fs(\025;)15 b(\025)2602 4536 y FF(0)2651 4569 y Ft(2)p 2764 4569 V 25 w Fw(C)p Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)26 b(are)g(total)g(in)f Fs(C)3485 4583 y FF(1)3560 4569 y Fw(\(I)-15 b(R)3679 4534 y Fr(2)3719 4569 y Fw(\).)0 4682 y(Hence)31 b(for)f(all)g Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)769 4696 y FF(1)843 4682 y Fw(\(I)-15 b(R)963 4647 y Fr(2)1003 4682 y Fw(\),)31 b(the)f(limit)1124 4886 y(s-)63 b(lim)1205 4941 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1442 4886 y Fw(e)1482 4849 y Fr(i)p Fq(tH)1590 4825 y Fm(e)1626 4886 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(B)1787 4900 y Fr(+)p Fq(;t)1891 4886 y Fs(;)15 b(B)2000 4900 y FF(\000)p Fq(;t)2105 4886 y Fw(\)e)2180 4849 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2343 4825 y Fm(e)2410 4886 y Fw(exists)o Fs(:)0 5118 y Fw(W)-8 b(e)32 b(claim)d(that)821 5231 y(s-)19 b(lim)902 5288 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1052 5231 y Fw(s-)63 b(lim)1133 5286 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1370 5231 y Fw(e)1410 5194 y Fr(i)p Fq(tH)1518 5170 y Fm(e)1554 5231 y Fw(\()p Fs(\017B)1695 5245 y Fr(+)p Fq(;t)1819 5231 y Fw(+)20 b Fs(\017B)2016 5245 y FF(\000)p Fq(;t)2141 5231 y Fw(+)f(1)-20 b(l\))2317 5194 y FF(\000)p Fr(1)2412 5231 y Fw(e)2452 5194 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2615 5170 y Fm(e)2676 5231 y Fw(=)2792 5208 y(^)2772 5231 y Fs(P)2843 5194 y Fr(e+)2830 5254 y(c)2933 5231 y Fs(;)-2958 b Fw(\(11.2\))1844 5517 y(83)p eop %%Page: 84 84 84 83 bop 0 162 a Fw(where)283 139 y(^)263 162 y Fs(P)334 129 y Fr(e+)321 185 y(c)455 162 y Fw(is)29 b(de\014ned)g(in)g(Thm.)40 b(5.5.)i(By)30 b(densit)m(y)g(using)f(Prop.)40 b(5.7)31 b Fu(iii\))p Fw(,)g(it)f(su\016ces)g(to)h(sho)m(w)f(that)368 368 y(s-)19 b(lim)449 425 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)598 368 y Fw(s-)63 b(lim)680 423 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)916 368 y Fw(e)956 330 y Fr(i)p Fq(tH)1064 307 y Fm(e)1101 274 y Fp(\020)1150 368 y Fw(\()p Fs(\017B)1291 382 y Fr(+)p Fq(;t)1416 368 y Fw(+)20 b Fs(\017B)1613 382 y FF(\000)p Fq(;t)1737 368 y Fw(+)g(1)-20 b(l)o(\))1913 330 y FF(\000)p Fr(1)2028 368 y Ft(\000)20 b Fw(\()p Fs(\017B)2260 382 y Fr(+)p Fq(;t)2385 368 y Fw(+)f(1)-20 b(l\))2561 330 y FF(\000)p Fr(1)2656 274 y Fp(\021)2705 368 y Fw(e)2745 330 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2908 307 y Fm(e)2944 368 y Fs(R)3014 330 y Fr(+)3013 393 y(1)3073 368 y Fw(\()p Fs(\017)3145 382 y Fr(0)3185 368 y Fw(\))25 b(=)g(0)p Fs(;)-3411 b Fw(\(11.3\))0 602 y(for)30 b(an)m(y)h Fs(\017)348 616 y Fr(0)412 602 y Fs(>)25 b Fw(0,)31 b(where)f Fs(R)942 564 y Fr(+)941 627 y(1)1001 602 y Fw(\()p Fs(\017)1073 616 y Fr(0)1113 602 y Fw(\))g(is)g(de\014ned)f(in)g(Prop.)40 b(5.7.)i(No)m(w)824 716 y Fp(\020)874 810 y Fw(\()p Fs(\017B)1015 824 y Fr(+)p Fq(;t)1139 810 y Fw(+)20 b Fs(\017B)1336 824 y FF(\000)p Fq(;t)1460 810 y Fw(+)g(1)-20 b(l\))1637 777 y FF(\000)p Fr(1)1752 810 y Ft(\000)20 b Fw(\()p Fs(\017B)1984 824 y Fr(+)p Fq(;t)2108 810 y Fw(+)g(1)-20 b(l\))2285 777 y FF(\000)p Fr(1)2379 716 y Fp(\021)2429 810 y Fw(\()p Fs(\017)2501 824 y Fr(0)2540 810 y Fs(B)2609 824 y FF(\000)p Fq(;t)2734 810 y Fw(+)20 b(1)-20 b(l)o(\))2910 777 y FF(\000)p Fr(1)670 993 y Fw(=)83 b Ft(\000)p Fs(\017)p Fw(\()p Fs(\017)p Fw(\()p Fs(B)1108 1007 y Fr(+)p Fq(;t)1233 993 y Fw(+)20 b Fs(B)1393 1007 y FF(\000)p Fq(;t)1497 993 y Fw(\))g(+)g(1)-20 b(l\))1729 960 y FF(\000)p Fr(1)1823 993 y Fw(\()p Fs(\017B)1964 1007 y Fr(+)p Fq(;t)2089 993 y Fw(+)20 b(1)-20 b(l)o(\))2265 960 y FF(\000)p Fr(1)2360 993 y Fs(B)2429 1007 y FF(\000)p Fq(;t)2533 993 y Fw(\()p Fs(\017)2605 1007 y Fr(0)2645 993 y Fs(B)2714 1007 y FF(\000)p Fq(;t)2838 993 y Fw(+)20 b(1)-20 b(l)o(\))3014 960 y FF(\000)p Fr(1)670 1179 y Fw(=)83 b Fs(O)s Fw(\()p Fs(\017\017)1005 1141 y FF(\000)p Fr(1)1005 1204 y(0)1100 1179 y Fw(\))30 b(uniformly)e(in)h Fs(t:)0 1367 y Fw(This)e(pro)m(v)m (es)i(\(11.3\))i(and)d(hence)g(\(11.2\).)43 b(Statemen)m(ts)30 b Fu(i\))e Fw(and)g Fu(ii\))g Fw(follo)m(w)g(from)g(Thm.)39 b(5.5)30 b(and)e(Prop.)39 b(5.7.)0 1480 y(Statemen)m(t)32 b Fu(iii\))e Fw(follo)m(ws)f(from)h(\(11.2\).)p Fh(2)0 1721 y Fv(11.2)112 b(Rein)m(terpretation)35 b(of)j(the)f(space)i Fd(H)1871 1685 y Fr(e+)1870 1746 y(c)0 1893 y Fw(W)-8 b(e)40 b(no)m(w)g(w)m(an)m(t)g(to)g(replace)f(the)h(observ)-5 b(able)38 b Fs(b)1688 1907 y Fr(c)16 b Fq(t)1804 1893 y Fw(b)m(y)39 b(an)h(observ)-5 b(able)38 b Fs(b)2565 1907 y Fr(c)16 b(0)g Fq(t)2732 1893 y Fw(whic)m(h)38 b(comm)m(utes)i(with)e(the)0 2006 y(pro)5 b(jections)30 b(1)-20 b(l)518 2024 y FF(f\006)p Fq(\033)r FF(\025)p Fr(0)p FF(g)781 2006 y Fw(.)41 b(Let)30 b Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)1102 2020 y Fr(0)1172 2006 y Fw(b)s(e)g(the)h(observ)-5 b(able)29 b(de\014ned)g(in)g(Subsect.)41 b(10.2.)h(W)-8 b(e)32 b(set)806 2256 y Fs(b)845 2270 y Fr(c)16 b(0)g Fq(t)998 2256 y Fw(=)25 b Fs(f)10 b Fw(\()1194 2194 y Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)1287 2208 y Fr(0)1347 2194 y Ft(\000)19 b Fw(c)p Fs(t)p 1194 2235 317 4 v 1316 2318 a(t)1349 2292 y Fq(\032)1521 2256 y Fw(\))h(+)g Fs(f)10 b Fw(\()1767 2194 y Ft(\000j)p Fs(s)p Ft(j)1931 2208 y Fr(0)1990 2194 y Ft(\000)20 b Fw(c)p Fs(t)p 1767 2235 388 4 v 1924 2318 a(t)1957 2292 y Fq(\032)2164 2256 y Fw(\))p Fs(;)36 b(B)2329 2270 y Fr(c)16 b(0)g Fq(t)2482 2256 y Fw(:=)25 b(d\000\()p Fs(b)2785 2270 y Fr(c)16 b(0)g Fq(t)2913 2256 y Fw(\))p Fs(:)0 2472 y Fi(Prop)s(osition)36 b(11.2)47 b Fu(Assume)37 b(\(I'0\),)j(\(I'1\))f(for)g Fs(\017)1802 2486 y Fr(0)1876 2472 y Fs(>)c Fw(0)p Fu(,)k(\(I'2\))g(for)g Fs(\026)c(>)f Fw(1)39 b Fu(and)g(pick)f Fs(\032)g Fu(in)g(\(11.1\))h(such)0 2585 y(that)34 b Fs(\032\017)270 2599 y Fr(0)334 2585 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(.)43 b(Then)33 b(for)g(e)-5 b(ach)33 b Fs(\025)25 b Ft(2)p 1323 2585 4 56 v 25 w Fw(C)p Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)1492 2549 y FF(\000)1584 2585 y Fu(the)33 b(limit)1262 2775 y Fw(s-)63 b(lim)1344 2830 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1580 2775 y Fw(e)1620 2738 y Fr(i)p Fq(tH)1728 2714 y Fm(e)1764 2775 y Fw(\()p Fs(B)1868 2789 y Fr(c0)p Fq(;t)2005 2775 y Fw(+)20 b Fs(\025)p Fw(\))2184 2738 y FF(\000)p Fr(1)2278 2775 y Fw(e)2318 2738 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2481 2714 y Fm(e)0 2994 y Fu(exists)33 b(and)h(e)-5 b(quals)1067 3107 y Fw(s-)63 b(lim)1148 3161 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1385 3107 y Fw(e)1425 3069 y Fr(i)p Fq(tH)1533 3046 y Fm(e)1569 3107 y Fw(\()p Fs(B)1673 3121 y Fr(c)16 b Fq(t)1770 3107 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1949 3069 y FF(\000)p Fr(1)2044 3107 y Fw(e)2084 3069 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2247 3046 y Fm(e)2308 3107 y Fw(=)2423 3084 y(^)2404 3107 y Fs(R)2474 3069 y Fr(e+)2473 3129 y(c)2564 3107 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(:)0 3442 y Fw(The)30 b(follo)m(wing)f(consequence)i(of)f (Thms.)40 b(11.1)32 b(and)d(5.6)j(giv)m(es)f(the)f(\014nal)f (description)g(of)h(the)h(space)g Ft(H)3624 3409 y Fr(e+)3623 3465 y(c)3714 3442 y Fw(:)0 3618 y Fi(Theorem)69 b(11.3)46 b Fu(Assume)33 b(\(I'0\),)h(\(I'1\))g(for)g Fs(\017)1695 3632 y Fr(0)1760 3618 y Fs(>)26 b Fw(0)p Fu(,)34 b(\(I'2\))g(for)g Fs(\026)26 b(>)g Fw(1)34 b Fu(and)g(pick)f Fs(\032)g Fu(in)g(\(11.1\))i(such)e(that)0 3731 y Fs(\032\017)84 3745 y Fr(0)149 3731 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(.)42 b(Then)33 b Fs(u)25 b Ft(2)g(H)838 3698 y Fr(e+)837 3754 y(c)960 3731 y Fu(if)33 b(and)g(only)h(if)e(ther)-5 b(e)34 b(exists)e Fw(c)2026 3698 y FF(0)2075 3731 y Fs(>)25 b Fw(c)33 b Fu(such)g(that)1073 3921 y Fw(lim)1069 3978 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1266 3921 y Fw(lim)1218 3976 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1455 3921 y Fw(e)1495 3884 y Fr(i)p Fq(tH)1603 3860 y Fm(e)1639 3921 y Fw(\()p Fs(\017B)1780 3937 y Fr(c)1811 3918 y Fo(0)1850 3937 y Fr(0)15 b Fq(t)1950 3921 y Fw(+)20 b(1)-20 b(l\))2127 3884 y FF(\000)p Fr(1)2221 3921 y Fw(e)2261 3884 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2424 3860 y Fm(e)2460 3921 y Fs(u)26 b Fw(=)f Fs(u:)141 4287 y Fu(Pr)-5 b(o)g(of)42 b(of)f(Pr)-5 b(op.)66 b(11.2.)i Fw(W)-8 b(e)40 b(drop)e(the)h(subscript)e(c)i(to)h(simplify)35 b(the)k(notation.)67 b(W)-8 b(e)40 b(will)d(use)h(the)0 4400 y(notation)31 b(in)e(Subsect.)40 b(10.2.)i(Recall)30 b(that)h(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)h(set:)1166 4606 y Fs(g)d Fw(=)c Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(t)1473 4568 y Fq(\016)1511 4606 y Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)26 b(\025)f Fw(1\))p Fs(;)36 b(g)1922 4620 y Fr(1)1987 4606 y Fw(=)25 b Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(t)2222 4568 y Fq(\016)2261 4606 y Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)25 b(\025)2497 4545 y Fw(1)p 2497 4585 46 4 v 2497 4668 a(2)2553 4606 y(\))p Fs(;)0 4817 y Fw(for)30 b Fs(\016)f(>)c Fw(0.)41 b(W)-8 b(e)32 b(\014x)e Fs(\016)f(<)c(\032)30 b Fw(with)f Fs(\016)s(\017)1230 4831 y Fr(0)1296 4817 y Fs(>)24 b Fw(1)31 b(so)g(that)g(the)f(results)g(of)g(Subsect.)40 b(4.4)32 b(apply)-8 b(.)141 4930 y(By)43 b(a)f(densit)m(y)g(argumen)m (t,)j(using)c(Thm.)75 b(4.12)44 b(and)d(Lemma)i(4.11,)j(it)c(su\016ces) g(to)h(pro)m(v)m(e)g(that)g(for)0 5043 y Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)240 5010 y FF(1)233 5066 y Fr(0)314 5043 y Fw(\(I)-15 b(R\):)653 5155 y Fp(\020)703 5249 y Fw(\()p Fs(\025)20 b Fw(+)g(d\000\()p Fs(b)1084 5263 y Fq(t)1114 5249 y Fw(\)\))1184 5211 y FF(\000)p Fr(1)1299 5249 y Ft(\000)g Fw(\()p Fs(\025)g Fw(+)g(d\000\()p Fs(b)1771 5263 y Fr(0)c Fq(t)1852 5249 y Fw(\)\))1922 5211 y FF(\000)p Fr(1)2017 5155 y Fp(\021)2066 5249 y Fw(\000\()p Fs(g)2201 5263 y Fr(1)2241 5249 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\000\()p Fs(g)s Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))28 b Ft(2)d Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(:)-3125 b Fw(\(11.4\))1844 5517 y(84)p eop %%Page: 85 85 85 84 bop 0 162 a Fw(W)-8 b(e)32 b(\014rst)d(claim)h(that)1031 275 y(\(1)-20 b(l)20 b Ft(\000)g Fw(\000\()p Fs(g)1363 289 y Fr(1)1403 275 y Fw(\)\)\()p Fs(\025)i Fw(+)d(d\000\()p Fs(b)1855 289 y Fq(t)1885 275 y Fw(\)\))1955 238 y FF(\000)p Fr(1)2050 275 y Fw(\000\()p Fs(g)s Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\))p Fs(t)2593 238 y FF(\0001)2723 275 y Fs(:)-2748 b Fw(\(11.5\))0 429 y(In)30 b(fact)h(on)f(the)h Fs(n)p Ft(\000)p Fw(particle)e(sector:)706 663 y(1)-20 b(l)19 b Ft(\000)h Fw(\000\()p Fs(g)1002 677 y Fr(1)1042 663 y Fw(\))26 b(=)1239 557 y Fq(n)1200 582 y Fp(X)1199 764 y Fq(j)t Fr(=1)1337 663 y Fw(1)-20 b(l)19 b Ft(\012)h(\001)15 b(\001)g(\001)21 b(\012)f Fw(1)-20 b(l)20 b Ft(\012)g Fw(\(1)h Ft(\000)f Fs(g)2112 677 y Fr(1)p Fq(;j)2204 663 y Fw(\))g Ft(\012)g Fs(g)2393 677 y Fr(1)p Fq(;j)t Fr(+1)2595 663 y Ft(\012)g(\001)15 b(\001)g(\001)21 b(\012)f Fs(g)2946 677 y Fr(1)p Fq(;n)3049 663 y Fs(;)0 898 y Fw(so)989 985 y Ft(k)p Fw(\(1)-20 b(l)20 b Ft(\000)g Fw(\000\()p Fs(g)1366 999 y Fr(1)1406 985 y Fw(\)\)\()p Fs(\025)h Fw(+)f(d\000\()p Fs(b)1858 999 y Fq(t)1888 985 y Fw(\)\))1958 952 y FF(\000)p Fr(1)2053 985 y Fw(\000\()p Fs(g)s Fw(\))p Ft(k)835 1169 y(\024)83 b Fs(n)15 b Fw(sup)1195 1191 y Fq(R)p FF(\025)p Fr(0)1358 1169 y Ft(k)p Fw(\(1)22 b Ft(\000)e Fs(g)1639 1183 y Fr(1)1679 1169 y Fw(\)\()p Fs(b)1788 1183 y Fq(t)1838 1169 y Fw(+)g Fs(\025)g Fw(+)g Fs(R)q Fw(\))2198 1136 y FF(\000)p Fr(1)2293 1169 y Fs(g)s Ft(k)26 b(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(N)2686 1136 y Fr(e)2721 1169 y Fw(\))p Fs(t)2789 1136 y FF(\0001)2919 1169 y Fs(:)0 1320 y Fw(b)m(y)30 b(Lemma)h(10.3)h Fu(i\))p Fw(.)40 b(No)m(w)31 b(w)m(e)g(write:)795 1419 y Fp(\020)845 1513 y Fw(\()p Fs(\025)21 b Fw(+)f(d\000\()p Fs(b)1227 1527 y Fr(0)15 b Fq(t)1307 1513 y Fw(\)\))1377 1481 y FF(\000)p Fr(1)1492 1513 y Ft(\000)20 b Fw(\()p Fs(\025)h Fw(+)e(d\000\()p Fs(b)1964 1527 y Fq(t)1994 1513 y Fw(\)\))2064 1481 y FF(\000)p Fr(1)2159 1419 y Fp(\021)2208 1513 y Fw(\000\()p Fs(g)s Fw(\))642 1697 y(=)82 b(\()p Fs(\025)21 b Fw(+)f(d\000\()p Fs(b)1177 1711 y Fr(0)c Fq(t)1257 1697 y Fw(\)\))1327 1664 y FF(\000)p Fr(1)1422 1697 y Fw(d\000\()p Fs(b)1604 1711 y Fq(t)1654 1697 y Ft(\000)k Fs(b)1784 1711 y Fr(0)c Fq(t)1864 1697 y Fw(\)\()p Fs(\025)21 b Fw(+)f(d\000\()p Fs(b)2281 1711 y Fq(t)2311 1697 y Fw(\)\))2381 1664 y FF(\000)p Fr(1)2476 1697 y Fw(\000\()p Fs(g)s Fw(\))642 1881 y(=)82 b(\()p Fs(\025)21 b Fw(+)f(d\000\()p Fs(b)1177 1895 y Fr(0)c Fq(t)1257 1881 y Fw(\)\))1327 1848 y FF(\000)p Fr(1)1422 1881 y Fw(d\000\()p Fs(b)1604 1895 y Fq(t)1654 1881 y Ft(\000)k Fs(b)1784 1895 y Fr(0)c Fq(t)1864 1881 y Fw(\)\000\()p Fs(g)2034 1895 y Fr(1)2075 1881 y Fw(\)\()p Fs(\025)21 b Fw(+)f(d\000\()p Fs(b)2492 1895 y Fq(t)2521 1881 y Fw(\)\))2591 1848 y FF(\000)p Fr(1)2686 1881 y Fw(\000\()p Fs(g)s Fw(\))795 2065 y(+\()p Fs(\025)h Fw(+)f(d\000\()p Fs(b)1248 2079 y Fr(0)15 b Fq(t)1328 2065 y Fw(\)\))1398 2032 y FF(\000)p Fr(1)1493 2065 y Fw(d\000\()p Fs(b)1675 2079 y Fq(t)1725 2065 y Ft(\000)k Fs(b)1854 2079 y Fr(0)d Fq(t)1935 2065 y Fw(\)\(1)-20 b(l)20 b Ft(\000)g Fw(\000\()p Fs(g)2302 2079 y Fr(1)2342 2065 y Fw(\)\)\()p Fs(\025)i Fw(+)e(d\000\()p Fs(b)2795 2079 y Fq(t)2824 2065 y Fw(\)\))2894 2032 y FF(\000)p Fr(1)2989 2065 y Fw(\000\()p Fs(g)s Fw(\))616 2249 y(=:)83 b Fs(I)835 2263 y Fr(1)895 2249 y Fw(+)20 b Fs(I)1026 2263 y Fr(2)1065 2249 y Fs(:)0 2424 y Fw(By)31 b(Lemma)f(10.3)i Fu(ii\))p Fw(,)f(w)m(e)f(ha)m(v)m(e:) 1266 2602 y(d\000\()p Fs(b)1448 2616 y Fq(t)1498 2602 y Ft(\000)19 b Fs(b)1627 2616 y Fr(0)d Fq(t)1708 2602 y Fw(\)\000\()p Fs(g)1878 2616 y Fr(1)1918 2602 y Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(N)2255 2564 y Fr(e)2291 2602 y Fw(\))p Fs(t)2359 2564 y FF(\0001)2488 2602 y Fs(;)-2513 b Fw(\(11.6\))0 2780 y(and)30 b(hence)712 2893 y Ft(k)p Fs(I)797 2907 y Fr(1)836 2893 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\000\()p Fs(g)1160 2907 y Fr(1)1201 2893 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Ft(k)c(\024)f Fs(C)7 b(t)1697 2855 y FF(\0001)1826 2893 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(N)1989 2855 y Fr(e)2046 2893 y Fw(+)20 b(1\)\000\()p Fs(g)s Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Ft(k)28 b(2)d Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2878 2855 y FF(\0001)3007 2893 y Fw(\))p Fs(;)0 3046 y Fw(b)m(y)30 b(Lemma)h(4.13)h Fu(i\))p Fw(.)141 3159 y(Similarly)27 b(b)m(y)j(\(11.5\),)j(w)m(e)e(ha)m(v)m(e:) 402 3337 y(\()p Fs(\025)21 b Fw(+)f(d\000\()p Fs(b)784 3351 y Fr(0)p Fq(;t)868 3337 y Fw(\)\))938 3300 y FF(\000)p Fr(1)1033 3337 y Fw(d\000\()p Fs(b)1215 3351 y Fq(t)1265 3337 y Ft(\000)g Fs(b)1395 3351 y Fr(0)p Fq(;t)1479 3337 y Fw(\)\(1)-20 b(l)21 b Ft(\000)e Fw(\000\()p Fs(g)1846 3351 y Fr(1)1886 3337 y Fw(\)\)\()p Fs(\025)j Fw(+)e(d\000\()p Fs(b)2339 3351 y Fq(t)2368 3337 y Fw(\)\))2438 3300 y FF(\000)p Fr(1)2533 3337 y Fw(\000\()p Fs(g)s Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(O)s Fw(\(\()p Fs(N)3043 3300 y Fr(e)3079 3337 y Fw(\))3114 3300 y Fr(2)3154 3337 y Fw(\))p Fs(t)3222 3300 y FF(\0001)3352 3337 y Fs(;)-3377 b Fw(\(11.7\))0 3515 y(and)30 b(hence)g(if)g Fs(g)556 3529 y Fr(2)626 3515 y Fw(is)f(suc)m(h)h(that)h Fs(g)s(g)1208 3529 y Fr(2)1274 3515 y Fw(=)25 b Fs(g)s Fw(,)31 b Fs(g)1515 3529 y Fr(1)1555 3515 y Fs(g)1598 3529 y Fr(2)1663 3515 y Fw(=)25 b Fs(g)1802 3529 y Fr(2)1842 3515 y Fw(,)30 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e:)1041 3685 y Ft(k)p Fs(I)1126 3699 y Fr(2)1166 3685 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\000\()p Fs(g)1490 3699 y Fr(1)1531 3685 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Ft(k)26 b Fw(=)f Ft(k)p Fs(I)2007 3699 y Fr(2)2047 3685 y Fw(\000\()p Fs(g)2182 3699 y Fr(2)2222 3685 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\000\()p Fs(g)2581 3699 y Fr(1)2622 3685 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Ft(k)888 3869 y(\024)82 b Fs(C)7 b(t)1146 3836 y FF(\0001)1275 3869 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(N)1438 3836 y Fr(e)1475 3869 y Fw(\))1510 3836 y Fr(2)1549 3869 y Fw(\000\()p Fs(g)1684 3883 y Fr(2)1724 3869 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\)\000\()p Fs(g)2083 3883 y Fr(1)2124 3869 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Ft(k)27 b(\024)e Fs(C)7 b(t)2621 3836 y FF(\0001)2749 3869 y Fs(;)0 4044 y Fw(b)m(y)30 b(Lemma)h(4.13)h Fu(ii\))p Fw(.)40 b(This)29 b(pro)m(v)m(es)i(\(11.4\))i(and)c(completes)i(the)g (pro)s(of)e(of)i(the)f(prop)s(osition.)39 b Fh(2)0 4284 y Fv(11.3)112 b(Rein)m(terpretation)35 b(of)j FG(\000)1353 4248 y Fr(+)1412 4284 y FG(\()p Ff(f)1498 4299 y Fr(0)1538 4284 y FG(\))0 4455 y Fw(Let)d Fs(f)212 4469 y Fr(0)286 4455 y Fw(b)s(e)f(a)h(cuto\013)g(function)f(as)h(in)e(\(6.1\))k(with)c (0)g Fs(<)f(\013)2012 4469 y Fr(0)2084 4455 y Fs(<)g(\013)2245 4469 y Fr(1)2318 4455 y Fs(<)g(\013)2479 4469 y Fr(2)2518 4455 y Fw(.)54 b(W)-8 b(e)36 b(recall)e(that)h(the)g(observ)-5 b(able)0 4568 y(\000)57 4535 y Fr(e+)57 4591 y(c)147 4568 y Fw(\()p Fs(f)227 4582 y Fr(0)267 4568 y Fw(\))30 b(w)m(as)h(de\014ned)e(in)g(\(6.17\).)0 4755 y Fi(Prop)s(osition)36 b(11.4)47 b Fu(Assume)37 b(\(I'0\),)j(\(I'1\))f(for)g Fs(\017)1802 4769 y Fr(0)1876 4755 y Fs(>)c Fw(0)p Fu(,)k(\(I'2\))g (for)g Fs(\026)c(>)f Fw(1)39 b Fu(and)g(pick)f Fs(\032)g Fu(in)g(\(11.1\))h(such)0 4867 y(that)34 b Fs(\032\017)270 4881 y Fr(0)334 4867 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(.)43 b(Then)33 b(for)g Fw(0)25 b Fs(<)g Fw(c)h Fs(<)f Fw(c)1296 4834 y FF(0)1345 4867 y Fs(<)g Fw(1)p Fu(:)809 5090 y Fw(\000)866 5052 y Fr(e+)866 5118 y(c)897 5100 y Fo(0)956 5090 y Fw(\()p Fs(f)1036 5104 y Fr(0)1075 5090 y Fw(\))h(=)f(s-)63 b(lim)1313 5145 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1550 5090 y Fw(e)1590 5052 y Fr(i)p Fq(tH)1698 5029 y Fm(e)1734 5090 y Fw(\000\()p Fs(f)1871 5104 y Fr(0)1910 5090 y Fw(\()1955 5028 y Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)2048 5042 y Fr(0)2108 5028 y Ft(\000)20 b Fw(c)2239 4995 y FF(0)2263 5028 y Fs(t)p 1955 5069 341 4 v 2089 5152 a(t)2122 5126 y Fq(\032)2305 5090 y Fw(\)\)e)2415 5052 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2578 5029 y Fm(e)2648 5090 y Fu(on)33 b Ft(H)2856 5052 y Fr(e+)2855 5112 y(c)2946 5090 y Fs(:)1844 5517 y Fw(85)p eop %%Page: 86 86 86 85 bop 0 162 a Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(Let)31 b(us)f(replace)g(c)957 129 y FF(0)1011 162 y Fw(b)m(y)h(c)f(to)h(simplify)c(notation.)41 b(By)31 b(Prop.)40 b(5.11)32 b(w)m(e)f(ha)m(v)m(e:)1197 367 y(\000)1254 329 y Fr(e+)1254 389 y(c)1344 367 y Fw(\()p Fs(f)1424 381 y Fr(0)1463 367 y Fw(\))26 b(=)f(s-)63 b(lim)1701 421 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1938 367 y Fw(e)1978 329 y Fr(i)p Fq(tH)2086 306 y Fm(e)2122 367 y Fw(\000\()p Fs(c)2253 381 y Fq(t)2283 367 y Fw(\)e)2358 329 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2521 306 y Fm(e)2557 367 y Fs(;)0 599 y Fw(for)1345 725 y Fs(c)1384 739 y Fq(t)1439 725 y Fw(=)25 b Fs(f)1580 739 y Fr(0)1619 725 y Fw(\()1664 663 y Fs(s)20 b Ft(\000)g Fw(c)p Fs(t)p 1664 704 227 4 v 1742 787 a(t)1775 761 y Fq(\032)1902 725 y Fw(\))p Fs(f)1982 739 y Fr(0)2021 725 y Fw(\()2066 663 y Ft(\000)p Fs(s)g Ft(\000)g Fw(c)p Fs(t)p 2066 704 298 4 v 2178 787 a(t)2211 761 y Fq(\032)2374 725 y Fw(\))p Fs(:)0 912 y Fw(Let)1230 1050 y Fs(c)1269 1064 y Fr(0)c Fq(t)1375 1050 y Fw(=)25 b Fs(f)1516 1064 y Fr(0)1555 1050 y Fw(\()1600 988 y Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)1693 1002 y Fr(0)1753 988 y Ft(\000)20 b Fw(c)p Fs(t)p 1600 1029 317 4 v 1722 1112 a(t)1755 1086 y Fq(\032)1927 1050 y Fw(\))p Fs(f)2007 1064 y Fr(0)2046 1050 y Fw(\()2091 988 y Ft(\000j)p Fs(s)p Ft(j)2255 1002 y Fr(0)2315 988 y Ft(\000)g Fw(c)p Fs(t)p 2091 1029 388 4 v 2249 1112 a(t)2282 1086 y Fq(\032)2489 1050 y Fw(\))p Fs(;)0 1237 y Fw(and)30 b(note)h(that)1316 1375 y Fs(c)1355 1389 y Fr(0)17 b Fq(t)1461 1375 y Fw(=)25 b Fs(f)1602 1389 y Fr(0)1641 1375 y Fw(\()1686 1314 y Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)1779 1328 y Fr(0)1839 1314 y Ft(\000)20 b Fw(c)p Fs(t)p 1686 1354 317 4 v 1809 1438 a(t)1842 1411 y Fq(\032)2014 1375 y Fw(\))30 b(for)g Fs(t)25 b Ft(\035)h Fw(1)p Fs(;)0 1579 y Fw(since)31 b Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)317 1593 y Fr(0)383 1579 y Ft(\025)26 b Fw(0.)44 b(As)31 b(in)f(the)h(pro)s(of)g(of)g(Prop.)43 b(11.2,)33 b(w)m(e)f(set)g Fs(g)e Fw(=)c Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(t)2403 1546 y Fq(\016)2442 1579 y Ft(j)p Fs(\033)s Ft(j)27 b(\025)f Fw(1\))32 b(for)f Fs(\016)g(<)26 b(\032)31 b Fw(with)f Fs(\016)s(\017)3457 1593 y Fr(0)3524 1579 y Fs(>)d Fw(1)k(so)0 1692 y(that)g(the)g(results)e(of)h(Subsect.)40 b(4.4)32 b(apply)-8 b(.)40 b(The)30 b(function)1277 1934 y Fs(\037)1334 1948 y Fq(t)1363 1934 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))c(=)f Fs(f)1653 1948 y Fr(0)1692 1934 y Fw(\()1737 1872 y Fs(\025)c Ft(\000)f Fw(c)p Fs(t)p 1737 1913 238 4 v 1820 1996 a(t)1853 1970 y Fq(\032)1985 1934 y Fw(\))p Fs(f)2065 1948 y Fr(0)2104 1934 y Fw(\()2149 1872 y Ft(\000)p Fs(\025)g Ft(\000)g Fw(c)p Fs(t)p 2149 1913 309 4 v 2267 1996 a(t)2300 1970 y Fq(\032)2467 1934 y Fw(\))0 2164 y(is)29 b(an)i(ev)m(en)g(function)e (of)h Fs(\025)p Fw(,)h(satisfying)e(\(10.11\).)43 b(As)31 b(in)e(the)h(pro)s(of)g(of)h(Lemma)f(10.3)i Fu(ii\))p Fw(,)e(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)1460 2368 y(\()p Fs(c)1534 2382 y Fq(t)1585 2368 y Ft(\000)20 b Fs(c)1715 2382 y Fr(0)c Fq(t)1796 2368 y Fw(\))p Fs(g)29 b Ft(2)c Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2129 2331 y FF(\0001)2259 2368 y Fw(\))p Fs(;)-2319 b Fw(\(11.8\))0 2573 y(As)30 b(in)f(the)i(pro)s(of)f(of)g (Prop.)40 b(11.2,)32 b(it)e(su\016ces)g(to)i(sho)m(w)e(that)h(for)f Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)2527 2540 y FF(1)2520 2596 y Fr(0)2601 2573 y Fw(\(I)-15 b(R\):)1247 2777 y(\(\000\()p Fs(c)1413 2791 y Fq(t)1443 2777 y Fw(\))21 b Ft(\000)f Fw(\000\()p Fs(c)1721 2791 y Fr(0)c Fq(t)1802 2777 y Fw(\)\)\000\()p Fs(g)s Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))27 b Ft(2)e Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(:)-2531 b Fw(\(11.9\))0 2981 y(W)-8 b(e)32 b(claim)d(that)i(if)e Fs(a;)15 b(b;)g(g)30 b Ft(2)25 b(B)s Fw(\()p Fl(h)1146 2948 y Fr(e)1182 2981 y Fw(\))30 b(with)f(0)d Ft(\024)f Fs(a;)15 b(b;)g(g)30 b Ft(\024)25 b Fw(1)30 b(then)999 3185 y Ft(k)p Fw(\(\000\()p Fs(b)p Fw(\))21 b Ft(\000)f Fw(\000\()p Fs(a)p Fw(\)\)\000\()p Fs(g)s Fw(\)\()p Fs(N)1858 3148 y Fr(e)1916 3185 y Fw(+)g(1\))2087 3148 y FF(\000)p Fr(1)2182 3185 y Ft(k)26 b(\024)f(k)p Fw(\()p Fs(b)c Ft(\000)f Fs(a)p Fw(\))p Fs(g)s Ft(k)p Fs(:)-2779 b Fw(\(11.10\))0 3390 y(T)-8 b(o)31 b(pro)m(v)m(e)g (\(11.10\),)i(w)m(e)e(write)f(on)g(the)h Fs(n)p Ft(\000)p Fw(particle)d(sector)672 3655 y(\000\()p Fs(b)p Fw(\))20 b Ft(\000)g Fw(\000\()p Fs(a)p Fw(\))26 b(=)1285 3549 y Fq(n)1246 3574 y Fp(X)1249 3756 y Fq(i)p Fr(=1)1381 3655 y Fs(b)1420 3669 y Fr(1)1480 3655 y Ft(\012)20 b(\001)15 b(\001)g(\001)21 b(\012)f Fs(b)1827 3669 y Fq(i)p FF(\000)p Fr(1)1966 3655 y Ft(\012)f Fw(\()p Fs(b)2130 3669 y Fq(i)2179 3655 y Ft(\000)h Fs(a)2318 3669 y Fq(i)2346 3655 y Fw(\))h Ft(\012)f Fs(a)2541 3669 y Fq(i)p Fr(+1)2679 3655 y Ft(\012)g(\001)15 b(\001)g(\001)22 b(\012)e Fs(a)3036 3669 y Fq(n)3083 3655 y Fs(:)0 3932 y Fw(Using)30 b(then)g(\(11.8\))i(and)e(\(11.10\))j (w)m(e)e(get:)1208 4136 y(\(\000\()p Fs(c)1374 4150 y Fq(t)1404 4136 y Fw(\))21 b Ft(\000)f Fw(\000\()p Fs(c)1682 4150 y Fr(0)p Fq(;t)1767 4136 y Fw(\)\)\000\()p Fs(g)s Fw(\))27 b Ft(2)e Fs(O)s Fw(\()p Fs(N)2313 4099 y Fr(e)2349 4136 y Fw(\))p Fs(t)2417 4099 y FF(\0001)2546 4136 y Fs(:)0 4341 y Fw(Next:)662 4428 y Ft(k)p Fw(\(\000\()p Fs(c)873 4442 y Fq(t)904 4428 y Fw(\))c Ft(\000)f Fw(\000\()p Fs(c)1182 4442 y Fr(0)c Fq(t)1263 4428 y Fw(\)\)\000\()p Fs(g)s Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Ft(k)509 4612 y Fw(=)82 b Ft(k)p Fw(\(\000\()p Fs(c)873 4626 y Fq(t)904 4612 y Fw(\))21 b Ft(\000)f Fw(\000\()p Fs(c)1182 4626 y Fr(0)c Fq(t)1263 4612 y Fw(\)\)\000\()p Fs(g)s Fw(\)\000\()p Fs(g)1641 4626 y Fr(1)1683 4612 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Ft(k)509 4795 y(\024)82 b(k)p Fw(\(\000\()p Fs(c)873 4809 y Fq(t)904 4795 y Fw(\))21 b Ft(\000)f Fw(\000\()p Fs(c)1182 4809 y Fr(0)c Fq(t)1263 4795 y Fw(\)\)\000\()p Fs(g)s Fw(\)\()p Fs(N)1624 4762 y Fr(e)1682 4795 y Fw(+)k(1\))1853 4762 y FF(\000)p Fr(1)1948 4795 y Ft(kk)p Fw(\()p Fs(N)2156 4762 y Fr(e)2213 4795 y Fw(+)g(1\)\000\()p Fs(g)2519 4809 y Fr(1)2559 4795 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(L)p Fw(\))p Ft(k)27 b(2)e Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)3081 4762 y FF(\0001)3210 4795 y Fw(\))p Fs(;)0 4960 y Fw(b)m(y)30 b(Lemma)h(4.13)h Fu(i\))p Fw(.)40 b(This)29 b(pro)m(v)m(es)i(\(11.9\))i(and)c(completes)i(the)g (pro)s(of)e(of)i(the)f(prop)s(osition.)39 b Fh(2)1844 5517 y Fw(86)p eop %%Page: 87 87 87 86 bop 0 162 a Fx(12)135 b(Scattering)46 b(theory)f(for)g Fc(H)0 365 y Fw(This)34 b(section)j(con)m(tains)f(the)h(main)e(results) g(of)h(this)f(pap)s(er.)57 b(W)-8 b(e)37 b(\014rst)f(construct)g(for)g (0)g Fs(<)e Fw(c)i Fs(<)e Fw(1)j(spaces)0 478 y Ft(H)78 445 y Fr(+)77 501 y(c)173 478 y Fw(con)m(taining)e(a)i(\014nite)e(n)m (um)m(b)s(er)f(of)i(particles)f(in)g(the)h(region)g Ft(fj)p Fs(x)p Ft(j)f(\025)g Fw(c)2636 445 y FF(0)2659 478 y Fs(t)p Ft(g)i Fw(for)e(an)m(y)i(c)e Fs(<)f Fw(c)3316 445 y FF(0)3340 478 y Fw(.)57 b(W)-8 b(e)38 b(sho)m(w)0 591 y(then)26 b(that)h(the)g(asymptotic)g(W)-8 b(eyl)27 b(op)s(erators)g Fs(W)1737 558 y Fr(+)1795 591 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))h(induce)d(on)h Ft(H)2429 558 y Fr(+)2428 614 y(c)2514 591 y Fw(a)h(regular)f(CCR)g(represen)m(tation)g(of)0 704 y(F)-8 b(o)s(c)m(k)32 b(t)m(yp)s(e.)42 b(Finally)28 b(w)m(e)k(pro)m(v)m(e)f(the)g Fu(ge)-5 b(ometric)33 b(asymptotic)i(c)-5 b(ompleteness)35 b(pr)-5 b(op)g(erty)p Fw(,)34 b(whic)m(h)29 b(states)j(that)0 817 y(the)g(v)-5 b(acuum)32 b(states)i(of)e(this)f (induced)g(represen)m(tation)h(con)m(tain)h(no)f(particles)f(in)g(the)i (region)f Ft(fj)p Fs(x)p Ft(j)d(\025)f Fw(c)3652 784 y FF(0)3676 817 y Fs(t)p Ft(g)p Fw(,)0 930 y(for)i(an)m(y)h(c)26 b Fs(<)e Fw(c)512 897 y FF(0)536 930 y Fw(.)141 1043 y(W)-8 b(e)32 b(start)f(with)e(an)h(easy)h(tec)m(hnical)f(lemma.)0 1230 y Fi(Lemma)j(12.1)46 b Fu(Hyp)-5 b(otheses)47 b(\(I2\))g(for)f Fs(\026)i(>)h Fw(0)p Fu(,)g(\(I5\))d(for)g Fs(\026)2201 1244 y Fr(2)2289 1230 y Fs(>)j Fw(0)d Fu(imply)g(hyp)-5 b(othesis)48 b(\(I4\))f(for)f Fs(\026)3621 1244 y Fr(1)3709 1230 y Fw(=)0 1343 y(inf)6 b(\()p Fs(\026;)15 b Fw(2)p Fs(\026)341 1357 y Fr(2)381 1343 y Fw(\))p Fu(.)0 1531 y Fw(F)-8 b(rom)33 b(Lemma)g(12.1)h(w)m(e)f(see)g(that)g(if)f Fu(\(I2\))p Fw(,)i Fu(\(I5\))f Fw(are)g(satis\014ed)f(for)g Fs(\026)d(>)g Fw(1,)k Fs(\026)2723 1545 y Fr(2)2792 1531 y Fs(>)28 b Fw(1)33 b(then)f Fu(\(I4\))i Fw(is)d(satis\014ed)0 1644 y(for)f Fs(\026)194 1658 y Fr(1)259 1644 y Fs(>)25 b Fw(1.)141 1757 y Fi(Pro)s(of.)82 b Fw(Let)40 b Fs(\017)i(>)f Fw(0)g(and)f(set)h Fs(v)1337 1771 y Fq(j;\017)1459 1757 y Fw(=)g Fs(\037)p Fw(\()p Fs(\017)h Ft(\024)g(j)p Fs(k)s Ft(j)g(\024)g Fs(\017)2147 1724 y FF(\000)p Fr(1)2241 1757 y Fw(\))p Fs(v)2320 1771 y Fq(j)2357 1757 y Fw(.)70 b(W)-8 b(e)42 b(drop)d(the)h(index)f Fs(j)46 b Fw(to)41 b(simplify)0 1870 y(notation.)g(Going)30 b(to)h(p)s(olar)f(co)s (ordinates)g(as)g(in)f(Sect.)42 b(10,)31 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)g(b)m(y)g Fu(\(I2\))p Fw(:)985 2074 y(\()p Ft(\000)p Fs(@)1144 2036 y Fr(2)1143 2096 y(~)-39 b Fq(\033)1206 2074 y Fw(+)20 b(1\))1377 2036 y Fq(\026=)p Fr(2)1500 2074 y Fw(~)-50 b Fs(\033)s(v)1594 2088 y Fq(\017)1627 2074 y Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t(!)s Fw(\))25 b Ft(2)g Fs(L)1986 2036 y Fr(2)2025 2074 y Fw(\(I)-15 b(R)2145 2036 y Fr(+)2204 2074 y Fs(;)15 b Fw(d)5 b(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))21 b Ft(\012)f Fs(L)2559 2036 y Fr(2)2598 2074 y Fw(\()p Fs(S)2694 2036 y Fr(2)2734 2074 y Fw(\))p Fs(;)-2794 b Fw(\(12.1\))0 2278 y(and)30 b(b)m(y)g Fu(\(I5\))977 2433 y Fw(\()p Ft(\000)1093 2371 y Fw(\001)1169 2385 y Fq(!)p 1093 2412 127 4 v 1114 2495 a Fw(~)-50 b Fs(\033)1164 2469 y Fr(2)1250 2433 y Fw(+)20 b(1\))1421 2395 y Fq(\026)1463 2404 y Fm(2)1508 2433 y Fw(~)-50 b Fs(\033)s(v)1602 2447 y Fq(\017)1635 2433 y Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)s(!)s Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(L)1994 2395 y Fr(2)2033 2433 y Fw(\(I)-15 b(R)2153 2395 y Fr(+)2212 2433 y Fs(;)15 b Fw(d)5 b(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))20 b Ft(\012)g Fs(L)2566 2395 y Fr(2)2606 2433 y Fw(\()p Fs(S)2702 2395 y Fr(2)2741 2433 y Fw(\))p Fs(:)-2801 b Fw(\(12.2\))0 2626 y(Since)29 b Fs(v)281 2640 y Fq(\017)344 2626 y Fw(has)i(supp)s(ort)d(in)34 b(~)-50 b Fs(\033)34 b Fw(included)27 b(in)i(]0)p Fs(;)15 b Fw(+)p Ft(1)p Fw([,)32 b(\(12.2\))h(is)c(equiv)-5 b(alen)m(t)30 b(to)987 2830 y(\()p Ft(\000)p Fw(\001)1169 2844 y Fq(!)1240 2830 y Fw(+)20 b(1\))1411 2792 y Fq(\026)1453 2801 y Fm(2)1498 2830 y Fw(~)-50 b Fs(\033)s(v)1592 2844 y Fq(\017)1625 2830 y Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)s(!)s Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(L)1984 2792 y Fr(2)2023 2830 y Fw(\(I)-15 b(R)2143 2792 y Fr(+)2202 2830 y Fs(;)15 b Fw(d)5 b(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))21 b Ft(\012)e Fs(L)2556 2792 y Fr(2)2596 2830 y Fw(\()p Fs(S)2692 2792 y Fr(2)2732 2830 y Fw(\))p Fs(:)-2792 b Fw(\(12.3\))0 3034 y(Clearly)29 b(\(12.1\))k(and)c(\(12.3\))k(imply) 28 b(that)849 3238 y(\()p Ft(\000)p Fs(@)1008 3201 y Fr(2)1007 3261 y(~)-39 b Fq(\033)1070 3238 y Ft(\000)20 b Fw(\001)1237 3252 y Fq(!)1308 3238 y Fw(+)g(1\))1479 3201 y Fq(\026)1521 3210 y Fm(1)1556 3201 y Fq(=)p Fr(2)1636 3238 y Fw(~)-50 b Fs(\033)s(v)1730 3252 y Fq(\017)1763 3238 y Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t(!)s Fw(\))25 b Ft(2)g Fs(L)2122 3201 y Fr(2)2161 3238 y Fw(\(I)-15 b(R)2281 3201 y Fr(+)2340 3238 y Fs(;)15 b Fw(d)5 b(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))21 b Ft(\012)f Fs(L)2695 3201 y Fr(2)2734 3238 y Fw(\()p Fs(S)2830 3201 y Fr(2)2870 3238 y Fw(\))p Fs(;)-2930 b Fw(\(12.4\))0 3442 y(for)30 b Fs(\026)194 3456 y Fr(1)259 3442 y Fw(=)25 b(inf)5 b(\()p Fs(\026;)15 b Fw(2)p Fs(\026)695 3456 y Fr(2)735 3442 y Fw(\).)41 b(Again)31 b(b)s(ecause)f(of)g(the)h (supp)s(ort)e(of)h Fs(v)2182 3456 y Fq(\017)2215 3442 y Fw(,)g(\(12.4\))j(implies)28 b(that)839 3688 y(\()p Ft(\000)p Fs(@)998 3651 y Fr(2)997 3711 y(~)-39 b Fq(\033)1060 3688 y Ft(\000)1161 3627 y Fw(\001)1237 3641 y Fq(!)p 1161 3667 V 1182 3751 a Fw(~)-50 b Fs(\033)1232 3725 y Fr(2)1318 3688 y Fw(+)20 b(1\))1489 3651 y Fq(\026)1531 3660 y Fm(1)1566 3651 y Fq(=)p Fr(2)1646 3688 y Fw(~)-50 b Fs(\033)s(v)1740 3702 y Fq(\017)1773 3688 y Fw(\()5 b(~)-50 b Fs(\033)t(!)s Fw(\))25 b Ft(2)g Fs(L)2132 3651 y Fr(2)2171 3688 y Fw(\(I)-15 b(R)2291 3651 y Fr(+)2350 3688 y Fs(;)15 b Fw(d)5 b(~)-50 b Fs(\033)s Fw(\))21 b Ft(\012)f Fs(L)2705 3651 y Fr(2)2744 3688 y Fw(\()p Fs(S)2840 3651 y Fr(2)2880 3688 y Fw(\))p Fs(:)-2940 b Fw(\(12.5\))0 3926 y(This)38 b(can)i(b)s(e)e(sho)m(wn)h(b)m(y)h(a)g (direct)f(computation)g(for)g Fs(\026)2040 3940 y Fr(1)2120 3926 y Ft(2)h Fw(I)-15 b(N)40 b(and)f(then)g(extended)g(to)i Fs(\026)3320 3940 y Fr(1)3399 3926 y Ft(2)f Fw(I)-15 b(R)3585 3891 y Fr(+)3684 3926 y Fw(b)m(y)0 4039 y(in)m(terp)s (olation.)39 b(Going)30 b(bac)m(k)h(to)h(the)e(original)f(co)s (ordinates)h(w)m(e)h(see)g(that)g(\(12.5\))h(implies)c Fu(\(I4\))j Fw(for)f Fs(\026)3565 4053 y Fr(1)3604 4039 y Fw(.)41 b Fh(2)0 4283 y Fv(12.1)112 b(Num)m(b)s(er)37 b(of)h(asymptotically)d(free)i(particles)0 4454 y Fw(Let)31 b Fs(f)j Ft(2)25 b Fs(C)400 4421 y FF(1)474 4454 y Fw(\(I)-15 b(R\))31 b(a)g(cuto\013)g(function)e(suc)m(h)h(that)818 4659 y(0)c Ft(\024)f Fs(f)35 b Ft(\024)25 b Fw(1)p Fs(;)36 b(f)1322 4621 y FF(0)1370 4659 y Ft(\025)24 b Fw(0)p Fs(;)37 b(f)d Ft(\021)25 b Fw(0)31 b(for)f Fs(s)25 b Ft(\024)g Fs(\013)2184 4673 y Fr(0)2223 4659 y Fs(;)36 b(f)f Ft(\021)24 b Fw(1)31 b(for)f Fs(s)25 b Ft(\025)g Fs(\013)2896 4673 y Fr(1)2936 4659 y Fs(;)-2961 b Fw(\(12.6\))0 4863 y(for)30 b(0)c Fs(<)f(\013)364 4877 y Fr(0)429 4863 y Fs(<)g(\013)583 4877 y Fr(1)622 4863 y Fw(.)41 b(W)-8 b(e)31 b(set)1220 5014 y Fs(b)1259 5028 y Fr(c)16 b Fq(t)1361 5014 y Fw(:=)25 b Fs(f)10 b Fw(\()1582 4953 y Ft(j)p Fs(x)p Ft(j)20 b(\000)g Fw(c)p Fs(t)p 1582 4993 287 4 v 1688 5077 a(t)1721 5051 y Fq(\032)1878 5014 y Fw(\))p Fs(;)36 b(B)2043 5028 y Fr(c)16 b Fq(t)2145 5014 y Fw(=)25 b(d\000\()p Fs(b)2423 5028 y Fr(c)16 b Fq(t)2499 5014 y Fw(\))p Fs(;)-2559 b Fw(\(12.7\))0 5202 y(for)30 b(constan)m(ts)i(0) 25 b Fs(<)g Fw(c)h Fs(<)f Fw(1,)31 b(0)26 b Fs(<)f(\032)g(<)g Fw(1.)1844 5517 y(87)p eop %%Page: 88 88 88 87 bop 0 162 a Fi(Prop)s(osition)36 b(12.2)47 b Fu(Assume)26 b(\(H0\))h(for)h Fs(\013)d(>)g Fw(1)p Fu(,)j(\(I0\),)h(\(I1\))f(for)f Fs(\017)2336 176 y Fr(0)2401 162 y Fs(>)d Fw(1)p Fu(,)29 b(\(I2\))e(for)h Fs(\026)d(>)g Fw(1)p Fu(,)j(\(I5\))f(for)h Fs(\026)3574 176 y Fr(2)3638 162 y Fs(>)d Fw(1)0 275 y Fu(and)34 b(cho)-5 b(ose)34 b Fs(\032)e Fu(in)h(\(12.7\))h(such)f (that)g Fs(\032\017)1406 289 y Fr(0)1471 275 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(,)33 b Fs(\032\026)1775 289 y Fr(2)1839 275 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(.)42 b(Then)1070 479 y Fs(i)p Fw(\))21 b(s-)63 b(lim)1238 534 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1475 479 y Fw(e)1515 442 y Fr(i)p Fq(tH)1628 479 y Fw(\()p Fs(B)1732 493 y Fr(c)16 b Fq(t)1829 479 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))2008 442 y FF(\000)p Fr(1)2103 479 y Fw(e)2143 442 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2336 479 y Fw(=:)2476 456 y(^)2457 479 y Fs(R)2527 442 y Fr(+)2526 502 y(c)2586 479 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))0 725 y Fu(exists)33 b(for)g Fs(\025)25 b Ft(2)p 585 725 4 56 v 25 w Fw(C)p Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)754 689 y FF(\000)813 725 y Fu(.)1522 838 y Fs(ii)p Fw(\))21 b([)1685 815 y(^)1665 838 y Fs(R)1735 800 y Fr(+)1734 860 y(c)1794 838 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(;)15 b(H)7 b Fw(])26 b(=)f(0)p Fs(:)1206 1005 y(iii)p Fw(\))1376 982 y(^)1355 1005 y Fs(P)1426 967 y Fr(+)1413 1027 y(c)1511 1005 y Fw(:=)g(s-)19 b(lim)1713 1061 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1863 1005 y Fs(\017)1900 967 y FF(\000)p Fr(1)2014 982 y Fw(^)1994 1005 y Fs(R)2064 967 y Fr(+)2063 1027 y(c)2123 1005 y Fw(\()p Fs(\017)2195 967 y FF(\000)p Fr(1)2289 1005 y Fw(\))33 b Fu(exists)0 1195 y(and)h(is)e(an)h(ortho)-5 b(gonal)36 b(pr)-5 b(oje)g(ction.)0 1408 y Fi(Theorem)69 b(12.3)46 b Fu(Assume)33 b(\(H0\))g(for)h Fs(\013)27 b(>)f Fw(1)p Fu(,)33 b(\(I0\),)h(\(I1\))g(for)g Fs(\017)2294 1422 y Fr(0)2360 1408 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(,)34 b(\(I2\))g(for)g Fs(\026)26 b(>)g Fw(1)p Fu(,)33 b(\(I5\))h(for)g Fs(\026)3572 1422 y Fr(2)3637 1408 y Fs(>)26 b Fw(1)0 1520 y Fu(and)34 b(cho)-5 b(ose)34 b Fs(\032)e Fu(in)h(\(12.7\))h(such)f(that)g Fs(\032\017)1406 1534 y Fr(0)1471 1520 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(,)33 b Fs(\032\026)1775 1534 y Fr(2)1839 1520 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(.)42 b(L)-5 b(et)1278 1725 y Fs(P)1349 1687 y Fr(+)1336 1747 y(c)1433 1725 y Fw(:=)40 b(inf)1554 1785 y Fr(c)p Fq(<)p Fr(c)1671 1766 y Fo(0)1730 1702 y Fw(^)1710 1725 y Fs(P)1781 1686 y Fr(+)1768 1753 y Fq(c)1799 1734 y Fo(0)1840 1725 y Fs(;)35 b Ft(H)1978 1687 y Fr(+)1977 1747 y(c)2062 1725 y Fw(:=)25 b(Ran)p Fs(P)2417 1687 y Fr(+)2404 1747 y(c)2476 1725 y Fs(;)0 1960 y Fu(Then)141 2073 y(i\))33 b Fs(P)310 2040 y Fr(+)297 2096 y(c)401 2073 y Fu(is)g(an)g(ortho)-5 b(gonal)36 b(pr)-5 b(oje)g(ction)35 b(indep)-5 b(endent)34 b(on)f(the)g(choic)-5 b(e)33 b(of)g(the)g(function)g Fs(f)41 b Fu(in)33 b(\(12.7\).)141 2186 y(ii\))g Fw([)p Fs(H)r(;)15 b(P)481 2153 y Fr(+)468 2209 y(c)540 2186 y Fw(])26 b(=)f(0)p Fu(.)1320 2413 y Fs(iii)p Fw(\))c Fs(u)26 b Ft(2)f(H)1711 2376 y Fr(+)1710 2436 y(c)1795 2413 y Ft(,)g(W)7 b Fs(I)2048 2427 y Fr(\012)2103 2413 y Fs(u)25 b Ft(2)g(H)2344 2376 y Fr(e+)2343 2436 y(c)2434 2413 y Fs(;)0 2617 y Fu(wher)-5 b(e)34 b Ft(H)335 2584 y Fr(e+)334 2640 y(c)457 2617 y Fu(is)f(de\014ne)-5 b(d)34 b(in)e(Thm.)43 b(5.6.)1143 2837 y Fs(iv)s Fw(\))21 b(\012)1343 2799 y Fr(+)1402 2743 y Fp(\020)1451 2837 y Ft(H)1528 2851 y Fr(pp)1611 2837 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))20 b Ft(\012)g Fw(\000\()p Fl(h)p Fw(\))2045 2743 y Fp(\021)2121 2837 y Ft(\032)25 b(H)2295 2799 y Fr(+)2294 2859 y(c)2379 2837 y Ft(\032)g(H)2553 2799 y Fr(+)2612 2837 y Fs(;)0 3062 y Fu(wher)-5 b(e)34 b(the)f(sp)-5 b(ac)g(e)34 b Ft(H)723 3029 y Fr(+)814 3062 y Fu(is)e(de\014ne)-5 b(d)34 b(in)f(Subse)-5 b(ct.)41 b(8.2.)1228 3266 y Fs(v)s Fw(\))21 b Fs(W)1430 3228 y Fr(+)1489 3266 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))26 b(:)f Ft(H)1765 3228 y Fr(+)1764 3288 y(c)1849 3266 y Ft(!)h(H)2044 3228 y Fr(+)2043 3288 y(c)2135 3266 y Fu(for)33 b Fs(h)26 b Ft(2)e Fl(h)2486 3280 y Fr(0)2526 3266 y Fs(:)1296 3470 y(v)s(i)p Fw(\))e Fl(h)1474 3484 y Fr(0)1539 3470 y Ft(3)i Fs(h)i Ft(7!)f Fs(W)1917 3433 y Fr(+)1976 3470 y Fw(\()p Fs(h)p Fw(\))h Ft(2)f(U)9 b Fw(\()p Ft(H)2389 3433 y Fr(+)2388 3493 y(c)2448 3470 y Fw(\))0 3637 y Fu(is)33 b(a)g(r)-5 b(e)g(gular)34 b(CCR)f(r)-5 b(epr)g(esentation)35 b(of)e(F)-7 b(o)i(ck)33 b(typ)-5 b(e.)0 3850 y Fi(Pro)s(of)36 b(of)f(Prop.)47 b(12.2.)42 b Fw(W)-8 b(e)31 b(will)d(use)i(the)h (notation)f(and)g(results)f(in)g(Sect.)42 b(11,)31 b(Sect.)42 b(10)31 b(and)f(Subsect.)0 3962 y(3.4.)59 b(Note)38 b(also)e(that)h(to) f(consider)g(a)g(Nelson)g(Hamiltonian)e(as)j(an)f(abstract)h(P)m (auli-Fierz)e(Hamiltonian)0 4075 y(one)g(has)f(to)h(in)m(tro)s(duce)f (p)s(olar)f(co)s(ordinates)h(using)f(the)i(unitary)e(transformation)g (u)h(de\014ned)g(in)f(Subsect.)0 4188 y(3.1.)41 b(T)-8 b(o)29 b(ligh)m(ten)e(notation,)i(w)m(e)g(will)d(omit)i(this)f (transformation)h(and)f(its)h(extension)g(\000\(u\))g(to)h(F)-8 b(o)s(c)m(k)30 b(spaces)0 4301 y(in)24 b(the)i(computations)g(b)s(elo)m (w.)38 b(F)-8 b(or)27 b(example)e(the)h(observ)-5 b(able)25 b Ft(j)p Fs(x)p Ft(j)i Fw(will)c(b)s(e)i(iden)m(ti\014ed)f(with)g(the)i (observ)-5 b(able)0 4414 y Fs(a)25 b Fw(=)g(u)p Ft(j)p Fs(x)p Ft(j)p Fw(u)373 4381 y FF(\000)p Fr(1)497 4414 y Fw(considered)30 b(in)f(Subsect.)40 b(10.1.)141 4527 y(By)31 b(Prop.)40 b(11.2:)799 4731 y(s-)63 b(lim)880 4786 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1117 4731 y Fw(e)1157 4694 y Fr(i)p Fq(tH)1265 4670 y Fm(e)1301 4731 y Fw(\()p Fs(B)1405 4745 y Fr(c)16 b(0)g Fq(t)1553 4731 y Fw(+)k Fs(\025)p Fw(\))1732 4694 y FF(\000)p Fr(1)1827 4731 y Fw(e)1867 4694 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2030 4670 y Fm(e)2091 4731 y Fw(=)2207 4708 y(^)2187 4731 y Fs(R)2257 4694 y Fr(e+)2256 4754 y(c)2347 4731 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))p Fs(;)41 b(\025)26 b Ft(2)p 2727 4731 V 25 w Fw(C)o Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)2896 4694 y FF(\000)2955 4731 y Fs(:)-2980 b Fw(\(12.8\))0 4977 y(Note)34 b(that)f(b)s(ecause)f(of)h(the)g(Diric)m (hlet)e(condition)g(at)i(0)g(in)f(the)g(de\014nition)e(of)j Fs(s)2815 4944 y Fr(2)2815 5000 y(0)2887 4977 y Fw(\(see)g(Subsect.)47 b(10.1\))34 b(w)m(e)0 5090 y(ha)m(v)m(e:)1453 5202 y(1)-20 b(l)1503 5221 y FF(f)p Fq(\033)r FF(\025)p Fr(0)p FF(g)1711 5202 y Fs(b)1750 5216 y Fq(c)15 b Fr(0)h Fq(t)1877 5202 y Fw(1)-20 b(l)1927 5221 y FF(f)p Fq(\033)r FF(\024)p Fr(0)p FF(g)2160 5202 y Fw(=)25 b(0)p Fs(:)1844 5517 y Fw(88)p eop %%Page: 89 89 89 88 bop 0 162 a Fw(Hence)31 b Fs(b)309 176 y Fr(c)16 b(0)g Fq(t)467 162 y Fw(satis\014es)30 b(prop)s(ert)m(y)g(\(3.6\))i(in) d(Subsect.)40 b(3.4.)i(Moreo)m(v)m(er)1471 354 y Fs(b)1510 368 y Fr(c)17 b(+)e Fq(t)1683 354 y Fw(=)25 b(1)-20 b(l)1829 373 y FF(f)p Fq(\033)r FF(\025)p Fr(0)p FF(g)2037 354 y Fs(b)2076 368 y Fr(c)16 b(0)g Fq(t)2204 354 y Fw(1)-20 b(l)2254 373 y FF(f)p Fq(\033)r FF(\025)p Fr(0)p FF(g)1318 538 y Fw(=)82 b Fs(f)10 b Fw(\()1571 501 y Fq(a)1608 510 y Fm(0)1643 501 y FF(\000)p Fq(ct)p 1571 517 184 4 v 1632 569 a(t)1657 550 y Fj(\032)1764 538 y Fw(\))21 b(+)e Fs(f)10 b Fw(\()2010 501 y FF(\000)p Fq(a)2102 510 y Fm(0)2137 501 y FF(\000)p Fq(ct)p 2010 517 238 4 v 2098 569 a(t)2123 550 y Fj(\032)2258 538 y Fw(\))p Fs(;)0 730 y Fw(where)30 b Fs(a)311 744 y Fr(0)381 730 y Fw(is)f(de\014ned)g(in)g(\(10.1\).)43 b(Note)32 b(also)e(that)h (since)f Ft(j)p Fs(x)p Ft(j)c(\025)f Fw(0)1292 960 y Fs(b)1331 974 y Fr(c)16 b Fq(t)1432 960 y Fw(=)25 b Fs(f)10 b Fw(\()1628 899 y Fs(a)20 b Ft(\000)g Fs(ct)p 1628 939 232 4 v 1707 1022 a(t)1740 996 y Fq(\032)1869 960 y Fw(\))h(+)f Fs(f)10 b Fw(\()2116 899 y Ft(\000)p Fs(a)19 b Ft(\000)h Fs(ct)p 2116 939 303 4 v 2230 1022 a(t)2263 996 y Fq(\032)2427 960 y Fw(\))p Fs(;)0 1181 y Fw(where)30 b Fs(a)g Fw(is)g(de\014ned)f (in)g(\(10.1\).)141 1294 y(W)-8 b(e)32 b(deduce)e(then)g(from)g(Prop.) 40 b(3.4)31 b(that)1005 1488 y(s-)63 b(lim)1086 1543 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1323 1488 y Fw(e)1363 1451 y Fr(i)p Fq(tH)1475 1488 y Fw(\(d\000\()p Fs(b)1692 1502 y Fr(c+)p Fq(;t)1828 1488 y Fw(\))21 b(+)e Fs(\025)p Fw(\))2062 1451 y FF(\000)p Fr(1)2157 1488 y Fw(e)2197 1451 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2390 1488 y Fw(=:)2531 1465 y(~)2511 1488 y Fs(R)2581 1450 y Fr(+)2580 1513 y(c0)2651 1488 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))0 1724 y(exists)30 b(for)g Fs(\025)25 b Ft(2)p 581 1724 4 56 v 25 w Fw(C)p Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)750 1688 y FF(\000)839 1724 y Fw(and)1578 1837 y([)p Fs(H)r(;)1741 1814 y Fw(~)1721 1837 y Fs(R)1791 1799 y Fr(+)1790 1862 y(c0)1861 1837 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\)])26 b(=)f(0)p Fs(:)0 1999 y Fw(W)-8 b(e)32 b(claim)d(no)m(w)h (that)1136 2089 y(~)1116 2112 y Fs(R)1186 2074 y Fr(+)1185 2137 y(c0)1256 2112 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))c(=)f(s-)63 b(lim)1582 2167 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1819 2112 y Fw(e)1859 2074 y Fr(i)p Fq(tH)1972 2112 y Fw(\()p Fs(B)2076 2126 y Fr(c)p Fq(t)2157 2112 y Fw(+)20 b Fs(\025)p Fw(\))2336 2074 y FF(\000)p Fr(1)2431 2112 y Fw(e)2471 2074 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2638 2112 y Fs(;)-2663 b Fw(\(12.9\))0 2308 y(whic)m(h)29 b(will)f(pro)m(v)m(e)j Fu(i\))f Fw(and)g Fu(ii\))p Fw(.)41 b(Prop)s(ert)m(y)30 b Fu(iii\))g Fw(follo)m(ws)f (then)h(from)g(Prop.)40 b(A.6.)141 2420 y(Let)33 b(us)e(no)m(w)h(pro)m (v)m(e)g(\(12.9\).)48 b(Let)32 b Fs(g)s(;)15 b(g)1457 2434 y Fr(1)1526 2420 y Ft(2)27 b(B)s Fw(\()p Fl(h)p Fw(\))33 b(b)s(e)e(de\014ned)g(in)f(\(10.5\))k(for)e(exp)s(onen)m(ts)g Fs(\032)3251 2434 y Fr(1)3290 2420 y Fs(;)15 b(\016)36 b Fw(suc)m(h)c(that)0 2533 y Fs(\032)47 2547 y Fr(1)86 2533 y Fs(\026)141 2547 y Fr(2)206 2533 y Fs(>)25 b Fw(1,)31 b Fs(\016)s(\017)483 2547 y Fr(0)548 2533 y Fs(>)25 b Fw(1.)41 b(Using)30 b(Thms.)39 b(4.9)32 b(and)e(4.16)i(for)e Fs(C)h Fw(=)2161 2497 y FF(\000)p Fr(\001)2275 2505 y Fj(!)p 2161 2512 159 4 v 2206 2567 a Fr(~)-39 b Fq(\033)2244 2548 y Fm(2)2330 2533 y Fw(,)30 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e:)1183 2740 y(e)1223 2702 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1391 2740 y Fs(u)25 b Fw(=)g(\000\()p Fs(g)s Fw(\)e)1777 2702 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1946 2740 y Fs(u)20 b Fw(+)g Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(;)37 b(u)25 b Ft(2)g(H)q Fs(:)-2596 b Fw(\(12.10\))0 2934 y(By)31 b(a)f(densit)m(y)g(argumen)m(t)h(and)f(using)f(Lemmas)h (4.7)h(and)f(4.14,)i(\(12.9\))h(will)28 b(follo)m(w)h(from)h(the)h (fact)g(that)575 3050 y Fp(\020)625 3144 y Fw(\(d\000\()p Fs(b)842 3158 y Fr(c)16 b Fq(t)919 3144 y Fw(\))k(+)g Fs(\025)p Fw(\))1153 3107 y FF(\000)p Fr(1)1268 3144 y Ft(\000)g Fw(\(d\000\()p Fs(b)1576 3158 y Fr(c)c(+)g Fq(t)1723 3144 y Fw(\))21 b(+)f Fs(\025)p Fw(\))1958 3107 y FF(\000)p Fr(1)2052 3050 y Fp(\021)2102 3144 y Fw(\000\()p Fs(g)s Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)\000\()p Fs(g)2620 3158 y Fr(1)2662 3144 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)g Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(;)-3203 b Fw(\(12.11\))0 3355 y(for)30 b Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)379 3322 y FF(1)372 3378 y Fr(0)453 3355 y Fw(\(I)-15 b(R\).)41 b(Let)31 b(us)f(pro)m(v)m(e)h(\(12.11\))i(follo) m(wing)c(the)i(pro)s(of)e(of)i(\(11.4\).)141 3468 y(First)1008 3580 y(\(1)-20 b(l)20 b Ft(\000)g Fw(\000\()p Fs(g)1340 3594 y Fr(1)1380 3580 y Fw(\)\)\(d\000\()p Fs(b)1667 3594 y Fr(c)c Fq(t)1744 3580 y Fw(\))21 b(+)f Fs(\025)p Fw(\))1979 3543 y FF(\000)p Fr(1)2073 3580 y Fw(\000\()p Fs(g)s Fw(\))27 b Ft(2)e Fs(O)s Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\))p Fs(t)2617 3543 y FF(\0001)2747 3580 y Fs(;)-2772 b Fw(\(12.12\))0 3743 y(using)29 b(Lemma)h(10.1)i Fu(i\))f Fw(and)e(the)i(same)g (argumen)m(t)g(as)f(in)f(the)i(pro)s(of)e(of)i(\(11.5\).)43 b(Next)31 b(w)m(e)g(write:)669 3859 y Fp(\020)719 3953 y Fw(\(d\000\()p Fs(b)936 3967 y Fr(c)16 b(+)f Fq(t)1083 3953 y Fw(\))21 b(+)e Fs(\025)p Fw(\))1317 3920 y FF(\000)p Fr(1)1432 3953 y Ft(\000)h Fw(\(d\000\()p Fs(b)1740 3967 y Fr(c)c Fq(t)1817 3953 y Fw(\))21 b(+)e Fs(\025)p Fw(\))2051 3920 y FF(\000)p Fr(1)2146 3859 y Fp(\021)2196 3953 y Fw(\000\()p Fs(g)s Fw(\))515 4137 y(=)83 b(\(d\000\()p Fs(b)886 4151 y Fr(c)16 b(+)g Fq(t)1033 4137 y Fw(\))21 b(+)f Fs(\025)p Fw(\))1268 4104 y FF(\000)p Fr(1)1363 4137 y Fw(d\000\()p Fs(b)1545 4151 y Fr(c)15 b Fq(t)1641 4137 y Ft(\000)20 b Fs(b)1771 4151 y Fr(c)c(+)g Fq(t)1918 4137 y Fw(\)\(d\000\()p Fs(b)2170 4151 y Fr(c)h Fq(t)2247 4137 y Fw(\))k(+)f Fs(\025)p Fw(\))2482 4104 y FF(\000)p Fr(1)2577 4137 y Fw(\000\()p Fs(g)s Fw(\))515 4320 y(=)83 b(\(d\000\()p Fs(b)886 4334 y Fr(c)16 b(+)g Fq(t)1033 4320 y Fw(\))21 b(+)f Fs(\025)p Fw(\))1268 4287 y FF(\000)p Fr(1)1363 4320 y Fw(d\000\()p Fs(b)1545 4334 y Fr(c)15 b Fq(t)1641 4320 y Ft(\000)20 b Fs(b)1771 4334 y Fr(c)c(+)g Fq(t)1918 4320 y Fw(\)\000\()p Fs(g)2088 4334 y Fr(1)2129 4320 y Fw(\)\(d\000\()p Fs(b)2381 4334 y Fr(c)g Fq(t)2458 4320 y Fw(\))k(+)g Fs(\025)p Fw(\))2692 4287 y FF(\000)p Fr(1)2787 4320 y Fw(\000\()p Fs(g)s Fw(\))669 4504 y(+\(d\000\()p Fs(b)957 4518 y Fr(c)c(+)g Fq(t)1104 4504 y Fw(\))21 b(+)f Fs(\025)p Fw(\))1339 4471 y FF(\000)p Fr(1)1433 4504 y Fw(d\000\()p Fs(b)1615 4518 y Fr(c)c Fq(t)1712 4504 y Ft(\000)k Fs(b)1842 4518 y Fr(c)c(+)f Fq(t)1989 4504 y Fw(\)\(1)-20 b(l)20 b Ft(\000)g Fw(\000\()p Fs(g)2356 4518 y Fr(1)2396 4504 y Fw(\)\)\(d\000\()p Fs(b)2683 4518 y Fr(c)d Fq(t)2761 4504 y Fw(\))j(+)g Fs(\025)p Fw(\))2995 4471 y FF(\000)p Fr(1)3090 4504 y Fw(\000\()p Fs(g)s Fw(\))515 4688 y(=)83 b Fs(I)709 4702 y Fr(1)769 4688 y Fw(+)20 b Fs(I)900 4702 y Fr(2)939 4688 y Fs(:)0 4880 y Fw(By)31 b(Lemma)f(10.1)i Fu(ii\))p Fw(:)1101 4993 y(d\000\()p Fs(b)1283 5007 y Fr(c)16 b Fq(t)1379 4993 y Ft(\000)k Fs(b)1509 5007 y Fr(c)c(+)g Fq(t)1657 4993 y Fw(\)\000\()p Fs(g)1827 5007 y Fr(1)1867 4993 y Fw(\))25 b Ft(2)g Fs(O)s Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\))p Fs(t)2271 4955 y Fq(\032)2307 4964 y Fm(1)2342 4955 y FF(\000)p Fr(2)p Fq(\032)2488 4993 y Fw(log)17 b Fs(t;)0 5155 y Fw(and)30 b(hence)893 5268 y Ft(k)p Fs(I)978 5282 y Fr(1)1018 5268 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)\000\()p Fs(g)1363 5282 y Fr(1)1404 5268 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)g Fw(\))p Ft(k)26 b(\024)f Fs(C)7 b(t)1921 5230 y Fq(\032)1957 5239 y Fm(1)1991 5230 y FF(\000)p Fr(2)p Fq(\032)2137 5268 y Fw(log)17 b Fs(t)p Ft(k)p Fs(N)10 b Fw(\000\()p Fs(g)s Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)d Fw(\))p Ft(k)p Fs(:)1844 5517 y Fw(89)p eop %%Page: 90 90 90 89 bop 0 162 a Fw(Applying)28 b(then)i(Lemma)h(4.10,)h(w)m(e)f (obtain:)1098 343 y Ft(k)p Fs(I)1183 357 y Fr(1)1223 343 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)\000\()p Fs(g)1568 357 y Fr(1)1608 343 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)g Fw(\))p Ft(k)27 b(2)e Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2151 306 y Fq(\032)2187 315 y Fm(1)2221 306 y FF(\000)p Fr(2)p Fq(\032)p Fr(+)p Fq(\016)2456 343 y Fw(log)16 b Fs(t)p Fw(\))p Fs(:)0 524 y Fw(Similarly)27 b(b)m(y)j(\(12.12\),)j(w)m(e)e(ha)m(v)m (e:)1568 637 y Fs(I)1608 651 y Fr(2)1673 637 y Ft(2)25 b Fs(O)s Fw(\()p Fs(N)1949 600 y Fr(2)1988 637 y Fw(\))p Fs(t)2056 600 y FF(\0001)2186 637 y Fs(;)0 792 y Fw(and)30 b(hence)g(if)g Fs(g)556 806 y Fr(2)626 792 y Fw(is)f(another)i(op)s (erator)f(analogous)h(to)g Fs(g)j Fw(suc)m(h)c(that)h Fs(g)s(g)2516 806 y Fr(2)2582 792 y Fw(=)25 b Fs(g)s Fw(,)31 b Fs(g)2823 806 y Fr(1)2863 792 y Fs(g)2906 806 y Fr(2)2971 792 y Fw(=)25 b Fs(g)3110 806 y Fr(1)3150 792 y Fw(,)30 b(then:)1322 966 y Ft(k)p Fs(I)1407 980 y Fr(2)1447 966 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)\000\()p Fs(g)1792 980 y Fr(1)1833 966 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)g Fw(\))p Ft(k)1168 1149 y(\024)83 b Fs(C)7 b(t)1427 1116 y FF(\0001)1556 1149 y Ft(k)p Fs(N)1684 1116 y Fr(2)1724 1149 y Fw(\000\()p Fs(g)1859 1163 y Fr(2)1899 1149 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)g Fw(\)\000\()p Fs(g)2279 1163 y Fr(1)2320 1149 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)g Fw(\))p Ft(k)1168 1333 y(\024)83 b Fs(C)7 b(t)1427 1300 y FF(\0001)1556 1333 y Fs(;)0 1512 y Fw(b)m(y)30 b(the)h(same)g (argumen)m(t)f(as)h(in)e(the)i(pro)s(of)e(of)i(Lemma)f(4.10)i Fu(ii\))p Fw(.)141 1624 y(Since)c Fs(\032)h Fw(is)f(suc)m(h)h(that)g Fs(\032\017)1026 1638 y Fr(0)1091 1624 y Fs(>)c Fw(1,)30 b Fs(\032\026)1389 1638 y Fr(2)1453 1624 y Fs(>)25 b Fw(1,)30 b(w)m(e)f(can)h(pic)m(k)e(exp)s(onen)m(ts)h Fs(\032)2610 1638 y Fr(1)2650 1624 y Fs(;)15 b(\016)33 b Fw(in)27 b(the)i(de\014nition)e(of)i Fs(g)k Fw(with)0 1737 y Fs(\016)s(\017)80 1751 y Fr(0)145 1737 y Fs(>)25 b Fw(1,)31 b Fs(\032)389 1751 y Fr(1)429 1737 y Fs(\026)484 1751 y Fr(2)548 1737 y Fs(>)25 b Fw(1)31 b(and)f Fs(\032)25 b(>)g(\016)s Fw(,)31 b Fs(\032)26 b(>)f(\032)1380 1751 y Fr(1)1419 1737 y Fw(.)41 b(Hence)31 b(\(12.9\))i(holds)28 b(and)i(the)h(pro)s(of)e(is)h(complete.)41 b Fh(2)141 1892 y Fi(Pro)s(of)36 b(of)f(Thm.)45 b(12.3.)d Fw(Applying)28 b(\014rst)h(Prop.)40 b(3.4)32 b(and)e(using)e(\(12.8\),)33 b(\(12.9\))g(w)m(e)e(obtain)f(that)1396 2055 y(^)1376 2078 y Fs(P)1447 2045 y Fr(+)1434 2100 y(c)1531 2078 y Fw(=)25 b Fs(I)1674 2045 y FF(\003)1667 2103 y Fr(\012)1722 2078 y Ft(W)1819 2045 y FF(\000)p Fr(1)1934 2055 y Fw(^)1914 2078 y Fs(P)1985 2045 y Fr(e+)1972 2100 y(c)2075 2078 y Ft(W)7 b Fs(I)2212 2092 y Fr(\012)2268 2078 y Fs(;)1396 2245 y Fw(^)1376 2268 y Fs(P)1447 2235 y Fr(e+)1434 2291 y(c)1563 2268 y Fw(=)25 b Ft(W)1776 2245 y Fw(^)1756 2268 y Fs(P)1827 2235 y Fr(+)1814 2291 y(c)1906 2268 y Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)2047 2287 y Fr(\000\()p Fk(h)p Fr(\))2187 2268 y Ft(W)2284 2235 y FF(\000)p Fr(1)2378 2268 y Fs(;)0 2466 y Fw(where)283 2443 y(^)263 2466 y Fs(P)334 2433 y Fr(e+)321 2489 y(c)455 2466 y Fw(is)29 b(de\014ned)g(in)g(Thm.)40 b(5.6,)31 b(and)f(hence:)1376 2644 y Fs(P)1447 2611 y Fr(+)1434 2666 y(c)1531 2644 y Fw(=)25 b Fs(I)1674 2611 y FF(\003)1667 2670 y Fr(\012)1722 2644 y Ft(W)1819 2611 y FF(\000)p Fr(1)1914 2644 y Fs(P)1985 2611 y Fr(e+)1972 2666 y(c)2075 2644 y Ft(W)7 b Fs(I)2212 2658 y Fr(\012)2268 2644 y Fs(;)1376 2828 y(P)1447 2795 y Fr(e+)1434 2850 y(c)1563 2828 y Fw(=)25 b Ft(W)7 b Fs(P)1827 2795 y Fr(+)1814 2850 y(c)1906 2828 y Ft(\012)20 b Fw(1)-20 b(l)2047 2846 y Fr(\000\()p Fk(h)p Fr(\))2187 2828 y Ft(W)2284 2795 y FF(\000)p Fr(1)2378 2828 y Fs(:)0 3007 y Fw(Clearly)29 b(this)g(implies)f Fu(i\))p Fw(,)i Fu(ii\))p Fw(,)h Fu(iii\))p Fw(.)40 b(W)-8 b(e)32 b(note)f(next)f(that) 1216 3188 y Fs(u)c Ft(2)e(H)1456 3202 y Fr(pp)1539 3188 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))26 b Ft(,)f(W)7 b Fs(I)1971 3202 y Fr(\012)2026 3188 y Fs(u)26 b Ft(2)e(H)2266 3202 y Fr(pp)2349 3188 y Fw(\()p Fs(H)2467 3151 y Fr(e)2503 3188 y Fw(\))p Fs(;)-2563 b Fw(\(12.13\))972 3369 y Fs(u)26 b Ft(2)f(H)1214 3332 y Fr(+)1298 3369 y Fw(=)p 1394 3291 286 4 v 25 w Ft(D)s Fw(\()p Fs(N)1585 3343 y Fr(+)1644 3369 y Fw(\))g Ft(,)g(W)7 b Fs(I)1957 3383 y Fr(\012)2013 3369 y Fs(u)25 b Ft(2)g(H)2254 3332 y Fr(e+)2369 3369 y Fw(=)p 2465 3291 317 4 v 25 w Ft(D)s Fw(\()p Fs(N)2656 3343 y Fr(e+)2746 3369 y Fw(\))q Fs(;)0 3525 y Fw(b)m(y)30 b(\(8.19\))j(and)677 3721 y Fs(u)25 b Ft(2)g Fw(\012)906 3684 y Fr(+)965 3627 y Fp(\020)1015 3721 y Ft(H)1092 3735 y Fr(pp)1174 3721 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))21 b Ft(\012)f Fw(\000\()p Fl(h)p Fw(\))1609 3627 y Fp(\021)1684 3721 y Ft(,)25 b(W)7 b Fs(I)1937 3735 y Fr(\012)1993 3721 y Fs(u)25 b Ft(2)g Fw(\012)2222 3684 y Fr(e+)2312 3627 y Fp(\020)2362 3721 y Ft(H)2439 3735 y Fr(pp)2521 3721 y Fw(\()p Fs(H)2639 3684 y Fr(e)2675 3721 y Fw(\))20 b Ft(\012)g Fw(\000\()p Fl(h)2956 3684 y Fr(e)2992 3721 y Fw(\))3027 3627 y Fp(\021)3077 3721 y Fs(;)0 3918 y Fw(b)m(y)31 b(\(8.18\))i(and)d(\(12.13\).)44 b(This)29 b(pro)m(v)m(es)j(the)f(t)m(w)m(o)h(inclusions)27 b(in)j Fu(iv\))p Fw(,)h(using)e(the)i(corresp)s(onding)e(inclusions)0 4031 y(in)g(Thm.)40 b(8.7.)h(Finally)29 b Fu(v\))h Fw(follo)m(ws)g (from)f(\(8.16\))k(and)d(the)g(corresp)s(onding)f(statemen)m(t)j(in)d (Thm.)40 b(8.7.)h Fh(2)0 4313 y Fv(12.2)112 b(Op)s(erators)38 b FG(\000)900 4276 y Fr(+)900 4337 y(c)959 4313 y FG(\()p Ff(f)1045 4328 y Fr(0)1085 4313 y FG(\))0 4484 y Fw(Let)31 b Fs(f)208 4498 y Fr(0)272 4484 y Ft(2)25 b Fs(C)430 4451 y FF(1)504 4484 y Fw(\(I)-15 b(R\))31 b(suc)m(h)f(that)771 4665 y(0)c Ft(\024)e Fs(f)982 4679 y Fr(0)1047 4665 y Ft(\024)h Fw(1)p Fs(;)36 b(f)1304 4628 y FF(0)1294 4688 y Fr(0)1358 4665 y Ft(\024)25 b Fw(0)p Fs(;)36 b(f)1605 4679 y Fr(0)1669 4665 y Ft(\021)25 b Fw(1)31 b(for)f Fs(s)25 b Ft(\024)g Fs(\013)2202 4679 y Fr(1)2241 4665 y Fs(;)36 b(f)2347 4679 y Fr(0)2411 4665 y Ft(\021)25 b Fw(0)31 b(for)f Fs(s)25 b Ft(\025)g Fs(\013)2944 4679 y Fr(2)2983 4665 y Fs(;)-3008 b Fw(\(12.14\))0 4846 y(for)30 b(0)c Fs(<)f(\013)364 4860 y Fr(0)429 4846 y Fs(<)g(\013)583 4860 y Fr(1)647 4846 y Fs(<)g(\013)801 4860 y Fr(2)841 4846 y Fw(.)41 b(Let)951 5066 y Fs(f)996 5080 y Fr(0)16 b(c)g Fq(t)1149 5066 y Fw(:=)25 b Fs(f)1315 5080 y Fr(0)1354 5066 y Fw(\()1399 5004 y Ft(j)p Fs(x)p Ft(j)c(\000)f Fw(c)p Fs(t)p 1399 5045 287 4 v 1506 5128 a(t)1539 5102 y Fq(\032)1696 5066 y Fw(\))p Fs(;)46 b Fw(acting)31 b(on)f Fl(h)c Fw(=)f Fs(L)2428 5028 y Fr(2)2467 5066 y Fw(\(I)-15 b(R)2587 5028 y Fr(3)2626 5066 y Fs(;)15 b Fw(d)p Fs(k)s Fw(\))p Fs(;)-2827 b Fw(\(12.15\))0 5268 y(for)30 b(constan)m(ts)i(0)25 b Fs(<)g Fw(c)h Fs(<)f Fw(1,)31 b(0)26 b Fs(<)f(\032)g(<)g Fw(1.)1844 5517 y(90)p eop %%Page: 91 91 91 90 bop 0 162 a Fi(Theorem)69 b(12.4)46 b Fu(Assume)33 b(\(H0\))g(for)h Fs(\013)27 b(>)f Fw(1)p Fu(,)33 b(\(I0\),)h(\(I1\))g (for)g Fs(\017)2294 176 y Fr(0)2360 162 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(,)34 b(\(I2\))g(for)g Fs(\026)26 b(>)g Fw(1)p Fu(,)33 b(\(I5\))h(for)g Fs(\026)3572 176 y Fr(2)3637 162 y Fs(>)26 b Fw(1)0 275 y Fu(and)34 b(cho)-5 b(ose)34 b Fs(\032)e Fu(in)h(\(12.15\))h(such)f(that)h Fs(\032\017)1453 289 y Fr(0)1518 275 y Fs(>)24 b Fw(1)p Fu(,)33 b Fs(\032\026)1821 289 y Fr(2)1886 275 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(.)42 b(Then)33 b(for)g Fw(0)26 b Fs(<)f Fw(c)g Fs(<)g Fw(c)2847 242 y FF(0)2896 275 y Fs(<)g Fw(1)p Fu(:)847 502 y Fs(i)p Fw(\))c(s-)63 b(lim)1015 557 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1252 502 y Fw(e)1292 465 y Fr(i)p Fq(tH)1405 502 y Fw(\000\()p Fs(f)1542 517 y Fr(0)p Fq(;)p Fr(c)1628 499 y Fo(0)1650 517 y Fq(;t)1699 502 y Fw(\)e)1774 465 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1967 502 y Fw(=:)26 b(\000)2146 464 y Fr(+)2146 531 y(c)2177 512 y Fo(0)2204 502 y Fw(\()p Fs(f)2284 516 y Fr(0)2324 502 y Fw(\))33 b Fu(exists)g(on)g Ft(H)2849 465 y Fr(+)2848 525 y(c)2907 502 y Fs(;)1513 750 y(ii)p Fw(\))21 b([\000)1713 712 y Fr(+)1713 779 y(c)1744 760 y Fo(0)1772 750 y Fw(\()p Fs(f)1852 764 y Fr(0)1891 750 y Fw(\))p Fs(;)15 b(H)7 b Fw(])26 b(=)f(0)p Fs(;)1253 917 y(iii)p Fw(\))d Ft(W)7 b Fs(I)1540 931 y Fr(\012)1595 917 y Fw(\000)1652 879 y Fr(+)1652 945 y(c)1683 927 y Fo(0)1711 917 y Fw(\()p Fs(f)1791 931 y Fr(0)1830 917 y Fw(\))26 b(=)f(\000)2044 879 y Fr(e+)2044 945 y(c)2075 927 y Fo(0)2134 917 y Fw(\()p Fs(f)2214 931 y Fr(0)2253 917 y Fw(\))p Ft(W)7 b Fs(I)2425 931 y Fr(\012)2481 917 y Fs(;)141 1296 y Fi(Pro)s(of.)48 b Fw(W)-8 b(e)32 b(use)e(the)g (notation)h(in)e(Sects.)42 b(10,)31 b(11)h(and)e(in)f(the)h(pro)s(of)g (of)h(Prop.)40 b(12.2.)j(By)31 b(Prop.)40 b(11.4)0 1409 y(w)m(e)31 b(kno)m(w)f(that:)812 1549 y(\000)869 1511 y Fr(e+)869 1577 y(c)900 1559 y Fo(0)959 1549 y Fw(\()p Fs(f)1039 1563 y Fr(0)1078 1549 y Fw(\))c(=)f(s-)63 b(lim)1316 1604 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1553 1549 y Fw(e)1593 1511 y Fr(i)p Fq(tH)1701 1488 y Fm(e)1737 1549 y Fw(\000\()p Fs(f)1874 1563 y Fr(0)1913 1549 y Fw(\()1958 1487 y Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)2051 1501 y Fr(0)2111 1487 y Ft(\000)20 b Fw(c)2242 1454 y FF(0)2266 1487 y Fs(t)p 1958 1528 341 4 v 2092 1611 a(t)2125 1585 y Fq(\032)2308 1549 y Fw(\)\)e)2418 1511 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2581 1488 y Fm(e)2648 1549 y Fw(on)31 b Ft(H)2853 1511 y Fr(e+)2852 1571 y(c)2943 1549 y Fs(:)0 1744 y Fw(Since)e(b)m(y)i(Thm.)39 b(12.3:)1395 1857 y Fs(u)25 b Ft(2)g(H)1636 1820 y Fr(+)1635 1880 y(c)1720 1857 y Ft(,)g(W)7 b Fs(I)1973 1871 y Fr(\012)2028 1857 y Fs(u)26 b Ft(2)e(H)2269 1820 y Fr(e+)2268 1880 y(c)2360 1857 y Fs(;)0 2024 y Fw(w)m(e)31 b(deduce)f(from)g(Prop.)40 b(3.4)31 b(and)f(the)h(fact)g(that)g Ft(j)p Fs(s)p Ft(j)1860 2038 y Fr(0)1930 2024 y Fw(satis\014es)f(\(3.6\))i(that:)745 2278 y(s-)62 b(lim)826 2332 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1062 2278 y Fw(e)1102 2240 y Fr(i)p Fq(tH)1215 2278 y Fw(\000\()p Fs(f)1352 2292 y Fr(0)1391 2278 y Fw(\()1436 2216 y Fs(a)1484 2230 y Fr(0)1544 2216 y Ft(\000)20 b Fw(c)1675 2183 y FF(0)1699 2216 y Fs(t)p 1436 2257 296 4 v 1548 2340 a(t)1581 2314 y Fq(\032)1742 2278 y Fw(\)\)e)1852 2240 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2045 2278 y Fw(=:)26 b(\000)2224 2240 y Fr(+)2224 2306 y(c)2255 2287 y Fo(0)2277 2306 y Fq(;)p Fr(0)2336 2278 y Fw(\()p Fs(f)2416 2292 y Fr(0)2455 2278 y Fw(\))31 b(exists)f(on)g Ft(H)2976 2240 y Fr(+)2975 2300 y(c)0 2510 y Fw(and:)1311 2598 y([\000)1393 2560 y Fr(+)1393 2626 y(c)1424 2607 y Fo(0)1447 2626 y Fq(;)p Fr(0)1506 2598 y Fw(\()p Fs(f)1586 2612 y Fr(0)1625 2598 y Fw(\))p Fs(;)15 b(H)7 b Fw(])26 b(=)f(0)p Fs(;)1311 2782 y Ft(W)7 b Fs(I)1448 2796 y Fr(\012)1503 2782 y Fw(\000)1560 2743 y Fr(+)1560 2810 y(c)1591 2791 y Fo(0)1614 2810 y Fq(;)p Fr(0)1673 2782 y Fw(\()p Fs(f)1753 2796 y Fr(0)1792 2782 y Fw(\))26 b(=)f(\000)2006 2743 y Fr(e+)2006 2810 y(c)2037 2791 y Fo(0)2096 2782 y Fw(\()p Fs(f)2176 2796 y Fr(0)2215 2782 y Fw(\))p Ft(W)7 b Fs(I)2387 2796 y Fr(\012)2443 2782 y Fs(:)0 2948 y Fw(T)-8 b(o)31 b(pro)m(v)m(e)g(the) g(theorem,)g(it)f(remains)f(to)i(pro)m(v)m(e)g(that)863 3197 y(\000)920 3159 y Fr(+)920 3226 y(c)951 3207 y Fo(0)973 3226 y Fq(;)p Fr(0)1032 3197 y Fw(\()p Fs(f)1112 3211 y Fr(0)1151 3197 y Fw(\))26 b(=)f(s-)63 b(lim)1389 3252 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1626 3197 y Fw(e)1666 3160 y Fr(i)p Fq(tH)1779 3197 y Fw(\000\()p Fs(f)1916 3211 y Fr(0)1955 3197 y Fw(\()2000 3136 y Ft(j)p Fs(x)p Ft(j)21 b(\000)f Fw(c)2254 3103 y FF(0)2277 3136 y Fs(t)p 2000 3176 311 4 v 2119 3259 a(t)2152 3233 y Fq(\032)2320 3197 y Fw(\)\)e)2430 3160 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2629 3197 y Fw(on)30 b Ft(H)2833 3160 y Fr(+)2832 3220 y(c)2892 3197 y Fs(:)-2917 b Fw(\(12.16\))0 3435 y(Using)30 b(\(12.10)i(\))f (and)f(a)g(densit)m(y)g(argumen)m(t,)h(\(12.16\))i(will)28 b(follo)m(w)i(from)839 3594 y Fp(\020)889 3689 y Fw(\000\()p Fs(f)1026 3703 y Fr(0)1065 3689 y Fw(\()1110 3627 y Fs(a)1158 3641 y Fr(0)1218 3627 y Ft(\000)20 b Fw(c)1349 3594 y FF(0)1373 3627 y Fs(t)p 1110 3668 296 4 v 1221 3751 a(t)1254 3725 y Fq(\032)1415 3689 y Fw(\)\))h Ft(\000)f Fw(\000\()p Fs(f)1734 3703 y Fr(0)1773 3689 y Fw(\()1818 3627 y Ft(j)p Fs(x)p Ft(j)h(\000)f Fw(c)2072 3594 y FF(0)2096 3627 y Fs(t)p 1818 3668 311 4 v 1937 3751 a(t)1970 3725 y Fq(\032)2139 3689 y Fw(\)\))2209 3594 y Fp(\021)2259 3689 y Fw(\000\()p Fs(g)s Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))27 b Ft(2)e Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(;)-2939 b Fw(\(12.17\))0 3920 y(for)30 b Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)379 3887 y FF(1)372 3944 y Fr(0)453 3920 y Fw(\(I)-15 b(R\).)41 b(Let)31 b(us)f(replace)g(c)1302 3887 y FF(0)1356 3920 y Fw(b)m(y)g(c)h(to)g (simplify)c(notation.)41 b(W)-8 b(e)32 b(claim)d(that)961 4079 y Fp(\020)1010 4173 y Fs(f)1055 4187 y Fr(0)1094 4173 y Fw(\()1139 4111 y Ft(j)p Fs(x)p Ft(j)21 b(\000)f Fw(c)p Fs(t)p 1139 4152 287 4 v 1246 4235 a(t)1279 4209 y Fq(\032)1436 4173 y Fw(\))h Ft(\000)f Fs(f)1628 4187 y Fr(0)1667 4173 y Fw(\()1712 4111 y Fs(a)1760 4125 y Fr(0)1820 4111 y Ft(\000)g Fw(c)p Fs(t)p 1712 4152 272 4 v 1811 4235 a(t)1844 4209 y Fq(\032)1994 4173 y Fw(\))2029 4079 y Fp(\021)2079 4173 y Fs(g)29 b Ft(2)24 b Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2376 4135 y Fq(\032)2412 4144 y Fm(1)2447 4135 y FF(\000)p Fr(2)p Fq(\032)2593 4173 y Fw(log)16 b Fs(t)p Fw(\))p Fs(:)-2818 b Fw(\(12.18\))0 4403 y(In)30 b(fact)h(set)g Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(s)p Fw(\))25 b(=)g(1)20 b Ft(\000)g Fs(f)925 4417 y Fr(0)964 4403 y Fw(\()p Fs(s)p Fw(\).)41 b(The)30 b(function)f Fs(f)40 b Fw(satis\014es)30 b(condition)f(\(10.4\))j(in)d(Sect.)42 b(10.)f(Then)755 4643 y Fs(f)10 b Fw(\()855 4581 y Fs(s)20 b Ft(\000)g Fw(c)p Fs(t)p 855 4622 227 4 v 932 4705 a(t)965 4679 y Fq(\032)1092 4643 y Fw(\))g(+)g Fs(f)10 b Fw(\()1338 4581 y Ft(\000)p Fs(s)19 b Ft(\000)h Fw(c)p Fs(t)p 1338 4622 298 4 v 1450 4705 a(t)1483 4679 y Fq(\032)1646 4643 y Fw(\))25 b(=)g(1)c Ft(\000)f Fs(f)2004 4657 y Fr(0)2043 4643 y Fw(\()2088 4581 y Fs(s)g Ft(\000)g Fw(c)p Fs(t)p 2088 4622 227 4 v 2165 4705 a(t)2198 4679 y Fq(\032)2325 4643 y Fw(\))30 b(for)h Fs(s)24 b Ft(\025)h Fw(0)p Fs(;)15 b(t)26 b Ft(\035)g Fw(1)p Fs(:)0 4873 y Fw(Applying)i(Lemma)i(10.1)i Fu(ii\))f Fw(w)m(e)f(obtain)g(\(12.18\).)44 b(Using)29 b(\(12.18\))k(and)d(\(11.10\),)j(w)m(e)e(obtain:)522 5125 y Ft(k)567 5031 y Fp(\020)617 5125 y Fw(\000\()p Fs(f)754 5139 y Fr(0)793 5125 y Fw(\()838 5063 y Fs(a)886 5077 y Fr(0)946 5063 y Ft(\000)20 b Fw(c)p Fs(t)p 838 5104 272 4 v 937 5187 a(t)970 5161 y Fq(\032)1120 5125 y Fw(\)\))h Ft(\000)f Fw(\000\()p Fs(f)1439 5139 y Fr(0)1478 5125 y Fw(\()1523 5063 y Ft(j)p Fs(x)p Ft(j)h(\000)f Fw(c)p Fs(t)p 1523 5104 287 4 v 1630 5187 a(t)1663 5161 y Fq(\032)1820 5125 y Fw(\)\))1890 5031 y Fp(\021)1940 5125 y Fw(\000\()p Fs(g)s Fw(\)\()p Fs(N)32 b Fw(+)20 b(1\))2424 5087 y FF(\000)p Fr(1)2519 5125 y Ft(k)26 b(2)e Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2815 5087 y Fq(\032)2851 5096 y Fm(1)2886 5087 y FF(\000)p Fr(2)p Fq(\032)3032 5125 y Fw(log)16 b Fs(t)p Fw(\))p Fs(:)1844 5517 y Fw(91)p eop %%Page: 92 92 92 91 bop 0 162 a Fw(By)31 b(Lemma)f(4.10,)i(w)m(e)f(obtain:)1134 354 y Ft(k)1179 259 y Fp(\020)1229 354 y Fw(\000\()p Fs(f)1366 368 y Fr(0)1406 354 y Fw(\()1451 317 y Fq(a)1488 326 y Fm(0)1523 317 y FF(\000)p Fr(c)p Fq(t)p 1451 333 184 4 v 1512 385 a(t)1537 366 y Fj(\032)1645 354 y Fw(\)\))21 b Ft(\000)e Fw(\000\()p Fs(f)1963 368 y Fr(0)2003 354 y Fw(\()2048 309 y FF(j)p Fq(x)p FF(j\000)p Fr(c)p Fq(t)p 2048 333 191 4 v 2112 385 a(t)2137 366 y Fj(\032)2248 354 y Fw(\)\))2318 259 y Fp(\021)2369 354 y Fw(\000\()p Fs(g)s Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Ft(k)981 537 y(\024)82 b Fs(C)7 b(t)1239 504 y Fq(\032)1275 513 y Fm(1)1309 504 y FF(\000)p Fr(2)p Fq(\032)1455 537 y Fw(log)17 b Fs(t)p Ft(k)p Fw(\()p Fs(N)30 b Fw(+)20 b(1\)\000\()p Fs(g)2110 551 y Fr(1)2151 537 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Ft(k)981 721 y(\024)82 b Fs(C)7 b(t)1239 688 y Fq(\032)1275 697 y Fm(1)1309 688 y FF(\000)p Fr(2)p Fq(\032)p Fr(+)p Fq(\016)1544 721 y Fw(log)16 b Fs(t;)0 894 y Fw(if)43 b Fs(g)140 908 y Fr(1)223 894 y Fw(is)g(as)h Fs(g)k Fw(with)42 b Fs(g)807 908 y Fr(1)847 894 y Fs(g)51 b Fw(=)c Fs(g)s Fw(.)82 b(As)44 b(in)e(the)i(pro)s(of)f(of)h(Prop.)81 b(12.2,)49 b(w)m(e)44 b(can)g(c)m(ho)s(ose)h Fs(\032)3227 908 y Fr(1)3266 894 y Fs(;)15 b(\016)48 b Fw(suc)m(h)c(that)0 1007 y Fs(\032)47 1021 y Fr(1)107 1007 y Ft(\000)20 b Fw(2)p Fs(\032)g Fw(+)g Fs(\016)29 b(<)c Fw(0.)41 b(This)29 b(pro)m(v)m(es)i(\(12.17\))i(and)d(completes)g(the)h(pro)s(of)f(of)g (the)h(theorem.)41 b Fh(2)0 1289 y Fv(12.3)112 b(Geometric)36 b(asymptotic)g(completeness)0 1461 y Fi(Theorem)69 b(12.5)46 b Fu(Assume)31 b(\(H0\))h(for)g Fs(\013)26 b(>)f Fw(1)p Fu(,)32 b(\(I0\),)h(\(I1\))f(for)g Fs(\017)2281 1475 y Fr(0)2346 1461 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(,)32 b(\(I2\))g(for)g Fs(\026)25 b(>)g Fw(1)p Fu(,)32 b(\(I5\))h(for)f Fs(\026)3546 1475 y Fr(2)3610 1461 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(.)0 1574 y(L)-5 b(et)40 b Fw(0)e Fs(<)f(\032)h(<)f Fw(1)j Fu(such)f(that)i Fs(\032\017)1123 1588 y Fr(0)1200 1574 y Fs(>)c Fw(1)p Fu(,)42 b Fs(\032\026)1525 1588 y Fr(2)1601 1574 y Fs(>)c Fw(1)i Fu(and)g Fw(0)e Fs(<)f Fw(c)h Fs(<)g Fw(c)2396 1541 y FF(0)2457 1574 y Fs(<)f Fw(1)p Fu(.)63 b(L)-5 b(et)39 b Fs(f)2909 1588 y Fr(0)2988 1574 y Fu(b)-5 b(e)39 b(a)h(cuto\013)f(function)0 1687 y(satisfying)c(\(12.14\).)49 b(Then)35 b(the)g(op)-5 b(er)g(ator)37 b Fw(\000)1577 1648 y Fr(+)1577 1715 y(c)1608 1696 y Fo(0)1636 1687 y Fw(\()p Fs(f)1716 1701 y Fr(0)1756 1687 y Fw(\))d Fu(is)h(e)-5 b(qual)34 b(to)h(the)g(ortho)-5 b(gonal)38 b(pr)-5 b(oje)g(ction)36 b(on)f(the)g(sp)-5 b(ac)g(e)0 1799 y Ft(K)70 1766 y Fr(+)69 1822 y(c)155 1799 y Fw(:=)25 b Ft(K)346 1766 y Fr(+)426 1799 y Ft(\\)20 b(H)585 1766 y Fr(+)584 1822 y(c)643 1799 y Fu(.)0 1989 y Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(By)31 b(Thm.)40 b(12.3)32 b Fu(iii\))e Fw(and)f(iden)m(tit)m(y)h(\(8.17\))j(w)m(e)e(ha) m(v)m(e:)1402 2169 y Fs(u)25 b Ft(2)g(K)1635 2132 y Fr(+)1634 2192 y(c)1720 2169 y Ft(,)g(W)7 b Fs(I)1973 2183 y Fr(\012)2028 2169 y Fs(u)26 b Ft(2)e(K)2261 2132 y Fr(e+)2260 2192 y(c)2352 2169 y Fs(:)0 2350 y Fw(By)31 b(Thm.)39 b(12.4:)1291 2463 y(\000)1348 2425 y Fr(+)1348 2492 y(c)1379 2473 y Fo(0)1407 2463 y Fw(\()p Fs(f)1487 2477 y Fr(0)1526 2463 y Fw(\))26 b(=)f Fs(I)1730 2425 y FF(\003)1723 2485 y Fr(\012)1778 2463 y Ft(W)1875 2425 y FF(\000)p Fr(1)1969 2463 y Fw(\000)2026 2425 y Fr(e+)2026 2492 y(c)2057 2473 y Fo(0)2116 2463 y Fw(\()p Fs(f)2196 2477 y Fr(0)2236 2463 y Fw(\))p Ft(W)7 b Fs(I)2408 2477 y Fr(\012)2463 2463 y Fs(:)0 2618 y Fw(The)30 b(theorem)h(follo)m(ws)e(then)h(from)g (the)h(corresp)s(onding)d(result)h(in)g(Thm.)40 b(9.5.)i Fh(2)0 2943 y Fx(13)135 b(The)44 b(Mourre)h(estimate)i(and)e(its)g (consequences)0 3146 y Fw(In)32 b(this)f(section)i(w)m(e)g(study)e(the) i(consequences)g(of)g(a)f(Mourre)h(estimate)g(for)f(the)h(Hamiltonian)e Fs(H)39 b Fw(for)32 b(the)0 3259 y(spaces)26 b Ft(H)352 3226 y Fr(+)351 3281 y(c)411 3259 y Fw(.)39 b(W)-8 b(e)27 b(sho)m(w)e(that)h(if)f(a)h(Mourre)f(estimate)h(holds)e(on)i(an)f (energy)h(in)m(terv)-5 b(al)25 b(\001)g(with)g(the)g(generator)0 3372 y(of)36 b(dilations)e(as)j(conjugate)g(op)s(erator,)h(then)e(the)g (space)h(1)-20 b(l)2092 3386 y Fr(\001)2155 3372 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Ft(K)2378 3339 y Fr(+)2377 3394 y(c)2475 3372 y Fw(of)36 b(asymptotic)g(v)-5 b(acua)37 b(in)e Ft(H)3508 3339 y FF(\006)3507 3394 y Fr(c)3603 3372 y Fw(with)0 3485 y(energy)c(in)e(\001)h(coincide)f(with)g(the)i(space)g (of)f(b)s(ound)f(states)i(of)g Fs(H)37 b Fw(in)29 b(\001.)141 3597 y(Let)37 b Fs(a)f Fw(:=)g Ft(\000)607 3562 y Fr(1)p 607 3577 36 4 v 607 3629 a(2)651 3597 y Fw(\()p Fs(k)s(:D)836 3612 y Fq(k)905 3597 y Fw(+)24 b Fs(D)1075 3612 y Fq(k)1118 3597 y Fs(:k)s Fw(\))37 b(acting)g(on)f Fl(h)g Fw(=)g Fs(L)1924 3564 y Fr(2)1963 3597 y Fw(\(I)-15 b(R)2083 3562 y Fr(3)2122 3597 y Fs(;)15 b(dk)s Fw(\))38 b(b)s(e)e(the)h (generator)h(of)e(dilations)f(on)h(the)0 3710 y(one-particle)29 b(space.)40 b(Let)29 b Fs(A)d Fw(=)f(1)-20 b(l)1172 3724 y FF(K)1247 3710 y Ft(\012)17 b Fw(d\000\()p Fs(a)p Fw(\).)40 b(W)-8 b(e)30 b(in)m(tro)s(duce)d(the)i(follo)m(wing)e(h)m(yp)s (othesis)h(on)g(the)h(coupling)0 3823 y(functions)g Fs(v)436 3837 y Fq(j)503 3823 y Fw(de\014ned)g(in)g(Subsect.)40 b(1.1:)836 4062 y(\()p Fs(I)7 b Fw(6\))1061 3936 y Fp(R)1116 4005 y Fw(\(1)21 b(+)f Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)1408 3972 y FF(\000)p Fr(1)1503 4005 y Fw(\))p Ft(jj)p Fs(a)p Ft(j)1661 3972 y Fr(1+)p Fq(\017)1785 4005 y Fs(v)1829 4019 y Fq(j)1866 4005 y Fw(\()p Fs(k)s Fw(\))p Ft(j)2011 3972 y Fr(2)2051 4005 y Fw(d)p Fs(k)28 b(<)d Ft(1)p Fs(;)1061 4049 y Fp(R)1131 4118 y Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)1231 4085 y Fr(2+2)p Fq(\017)1390 4118 y Ft(j)p Fs(v)1459 4132 y Fq(j)1496 4118 y Fw(\()p Fs(k)s Fw(\))p Ft(j)1641 4085 y Fr(2)1681 4118 y Fw(d)p Fs(k)j(<)d Ft(1)p Fs(;)36 b Fw(1)26 b Ft(\024)e Fs(j)31 b Ft(\024)25 b Fs(P)s(;)36 b Fw(0)26 b Ft(\024)f Fs(\017)g Ft(\024)g Fw(1)p Fs(:)0 4312 y Fi(Lemma)33 b(13.1)46 b Fu(Assume)e(\(I0\),)k(\(H0\))d(for)g Fs(\013)i(>)f Fw(1)f Fu(and)g(\(I6\))g(for)g Fs(\017)h(>)g Fw(0)p Fu(.)78 b(Then)44 b Fs(H)54 b Ft(2)46 b Fs(C)3339 4279 y Fr(1+)p Fq(\017)3458 4256 y Fo(0)3484 4312 y Fw(\()p Fs(A)p Fw(\))f Fu(for)0 4425 y Fs(\017)37 4392 y FF(0)85 4425 y Fw(=)25 b(inf)6 b(\()p Fs(\013)21 b Ft(\000)f Fw(1)p Fs(;)15 b(\017)p Fw(\))p Fu(.)0 4593 y Fi(Pro)s(of.)56 b Fw(Let)33 b Fs(v)f Ft(2)d(B)s Fw(\()p Ft(K)q Fs(;)15 b Ft(K)24 b(\012)e Fl(h)p Fw(\))33 b(b)s(e)f(de\014ned)g(in)f(\(1.3\).)50 b(W)-8 b(e)34 b(\014rst)e(claim)g(that)h(under)e(h)m(yp)s(othesis)g Fu(\(I6\))j Fw(w)m(e)0 4706 y(ha)m(v)m(e:)1040 4819 y(\(1)21 b(+)f Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)1332 4781 y FF(\000)1397 4754 y Fm(1)p 1398 4766 31 4 v 1398 4807 a(2)1442 4819 y Fw(\))p Ft(kj)p Fs(a)p Ft(j)1620 4781 y Fr(1+)p Fq(\017)1745 4819 y Ft(h)p Fw(x)p Ft(i)1863 4781 y FF(\000)p Fr(1)p FF(\000)p Fq(\017)2041 4819 y Fs(v)s Ft(k)26 b(2)f(B)s Fw(\()p Ft(K)q Fs(;)15 b Ft(K)22 b(\012)e Fl(h)p Fw(\))p Fs(:)0 4974 y Fw(It)26 b(su\016ces)g(to)g(pro)m(v)m(e)h(the)f(claim)f (for)h Fs(\017)f Fw(=)g(0)p Fs(;)15 b Fw(1)27 b(and)e(then)h(argue)g(b) m(y)g(in)m(terp)s(olation.)38 b(The)25 b(pro)s(of)g(of)h(the)g(claim)0 5087 y(for)k Fs(\017)25 b Fw(=)g(0)p Fs(;)15 b Fw(1)32 b(is)d(easy)i(if)f(w)m(e)g(note)h(the)g(iden)m(tit)m(y)1235 5268 y Fs(a)p Fw(\(e)1358 5230 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(k)r(:)p Fr(x)1529 5240 y Fj(j)1565 5268 y Fs(v)1609 5282 y Fq(j)1646 5268 y Fw(\))25 b(=)g(e)1842 5230 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(k)r(:)p Fr(x)2013 5240 y Fj(j)2049 5268 y Fw(\()p Fs(a)c Fw(+)f Fs(k)s(:)p Fw(x)2367 5282 y Fq(j)2404 5268 y Fw(\))p Fs(v)2483 5282 y Fq(j)2520 5268 y Fs(;)1844 5517 y Fw(92)p eop %%Page: 93 93 93 92 bop 0 162 a Fw(and)28 b(use)h(the)g(factor)g(of)g Ft(h)p Fw(x)p Ft(i)g 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b(It)31 b(remains)e(to)i(pro)m(v)m(e)g(that)g(the)g(map)650 4229 y(I)-15 b(R)25 b Ft(3)g Fs(s)g Ft(7!)g Fw(e)1070 4191 y Fr(i)p Fq(sA)1179 4229 y Fw(\()p Fs(z)g Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))1490 4191 y FF(\000)p Fr(1)1585 4229 y Fw(\()p Ft(\000)p Fs(H)1767 4243 y Fr(0)1826 4229 y Fw(+)20 b Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(av)s Fw(\)\)\()p Fs(z)26 b Ft(\000)19 b Fs(H)7 b Fw(\))2508 4191 y FF(\000)p Fr(1)2603 4229 y Fw(e)2643 4191 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(sA)2833 4229 y Ft(2)25 b(B)s Fw(\()p Ft(H)q Fw(\))0 4433 y(is)k Fs(C)163 4400 y Fq(\017)192 4376 y Fo(0)248 4433 y Fw(for)h(the)h(norm)f(top)s (ology)-8 b(.)41 b(W)-8 b(e)32 b(write:)1251 4629 y(e)1291 4596 y Fr(i)p Fq(sA)1401 4629 y Fw(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))1712 4596 y FF(\000)p Fr(1)1806 4629 y Fs(H)1882 4643 y Fr(0)1921 4629 y Fw(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))2232 4596 y FF(\000)p Fr(1)2327 4629 y Fw(e)2367 4596 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(sA)1098 4829 y Fw(=)82 b(e)1291 4796 y Fr(i)p Fq(sA)1401 4829 y Fw(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))1712 4796 y FF(\000)p Fr(1)1806 4829 y Fw(e)1846 4796 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(sA)2011 4829 y Fw(\()p Fs(H)2122 4843 y Fr(0)2182 4829 y Fw(+)19 b Fs(b)p Fw(\))2356 4766 y Fm(1)p 2357 4778 V 2357 4819 a(2)1251 5029 y Ft(\002)p Fw(\()p Fs(H)1433 5043 y Fr(0)1493 5029 y Fw(+)h Fs(b)p Fw(\))1658 4993 y FF(\000)1723 4966 y Fm(1)p 1723 4978 V 1723 5019 a(2)1767 5029 y Fw(e)1807 4996 y Fr(i)p Fq(sA)1917 5029 y Fs(H)1993 5043 y Fr(0)2032 5029 y Fw(e)2072 4996 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(sA)2237 5029 y Fw(\()p Fs(H)2348 5043 y Fr(0)2407 5029 y Fw(+)g Fs(b)p Fw(\))2572 4993 y FF(\000)2637 4966 y Fm(1)p 2637 4978 V 2637 5019 a(2)1251 5229 y Ft(\002)p Fw(\()p Fs(H)1433 5243 y Fr(0)1493 5229 y Fw(+)g Fs(b)p Fw(\))1668 5166 y Fm(1)p 1668 5178 V 1668 5219 a(2)1713 5229 y Fw(e)1753 5196 y Fr(i)p Fq(sA)1862 5229 y Fw(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))2173 5196 y FF(\000)p Fr(1)2268 5229 y Fw(e)2308 5196 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(sA)2472 5229 y Fs(:)1844 5517 y Fw(93)p eop %%Page: 94 94 94 93 bop 0 162 a Fw(The)22 b(\014rst)f(and)h(third)e(terms)j(in)d(the) j(pro)s(duct)e(are)i Fs(C)1787 129 y Fr(1)1848 162 y Fw(in)e(norm.)37 b(The)22 b(second)g(term)g(is)g(equal)f(to)i(e)3347 129 y FF(\000)p Fq(s)3439 162 y Fs(H)3515 176 y Fr(0)3554 162 y Fw(\()p Fs(H)3665 176 y Fr(0)3709 162 y Fw(+)0 275 y Fs(b)p Fw(\))74 242 y FF(\000)p Fr(1)199 275 y Fw(and)30 b(hence)g(is)g(also)g Fs(C)974 242 y Fr(1)1043 275 y Fw(in)f(norm.)40 b(This)29 b(sho)m(ws)h(that)1060 469 y(I)-15 b(R)25 b Ft(3)g Fs(s)g Ft(7!)g Fw(e)1480 431 y Fr(i)p Fq(sA)1589 469 y Fw(\()p Fs(z)g Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))1900 431 y FF(\000)p Fr(1)1995 469 y Fs(H)2071 483 y Fr(0)2110 469 y Fw(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)19 b Fs(H)7 b Fw(\))2420 431 y FF(\000)p Fr(1)2515 469 y Fw(e)2555 431 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(sA)0 662 y Fw(is)29 b Fs(C)163 629 y Fr(1)233 662 y Fw(in)g(norm.)40 b(W)-8 b(e)31 b(consider)f(next:)1261 830 y(e)1301 797 y Fr(i)p Fq(sA)1411 830 y Fw(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))1722 797 y FF(\000)p Fr(1)1816 830 y Fs(\036)p Fw(\(i)p Fs(av)s Fw(\)\()p Fs(z)26 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))2373 797 y FF(\000)p Fr(1)2467 830 y Fw(e)2507 797 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(sA)1108 1030 y Fw(=)82 b(e)1301 997 y Fr(i)p Fq(sA)1411 1030 y Fw(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))1722 997 y FF(\000)p Fr(1)1816 1030 y Fw(e)1856 997 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(sA)2021 1030 y Fw(\()p Fs(H)2132 1044 y Fr(0)2192 1030 y Fw(+)19 b Fs(b)p Fw(\))2366 967 y Fm(1)p 2367 979 31 4 v 2367 1020 a(2)1261 1230 y Ft(\002)p Fw(\()p Fs(H)1443 1244 y Fr(0)1503 1230 y Fw(+)h Fs(b)p Fw(\))1668 1194 y FF(\000)1733 1167 y Fm(1)p 1733 1179 V 1733 1220 a(2)1777 1230 y Fs(\036)p Fw(\(e)1906 1197 y Fr(i)p Fq(sa)2001 1230 y Fw(i)p Fs(av)s Fw(\)\()p Fs(H)2268 1244 y Fr(0)2328 1230 y Fw(+)g Fs(b)p Fw(\))2493 1194 y FF(\000)2558 1167 y Fm(1)p 2558 1179 V 2558 1220 a(2)1261 1429 y Ft(\002)p Fw(\()p Fs(H)1443 1443 y Fr(0)1503 1429 y Fw(+)g Fs(b)p Fw(\))1678 1366 y Fm(1)p 1678 1378 V 1678 1420 a(2)1722 1429 y Fw(e)1762 1396 y Fr(i)p Fq(sA)1872 1429 y Fw(\()p Fs(z)25 b Ft(\000)20 b Fs(H)7 b Fw(\))2183 1396 y FF(\000)p Fr(1)2277 1429 y Fw(e)2317 1396 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(sA)2482 1429 y Fs(:)0 1628 y Fw(Again)30 b(the)h(\014rst)e(and)h(third)f(terms)h(in)f (the)i(pro)s(duct)e(are)h Fs(C)2094 1595 y Fr(1)2164 1628 y Fw(in)f(norm.)40 b(The)30 b(second)g(term)g(w)m(e)h(write)f(as) 855 1831 y(\()p Fs(H)966 1845 y Fr(0)1026 1831 y Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))1191 1794 y FF(\000)1256 1767 y Fm(1)p 1256 1779 V 1256 1820 a(2)1301 1831 y Fw(\()p Fs(K)27 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))1615 1767 y Fm(1)p 1615 1779 V 1615 1820 a(2)1660 1831 y Fs(\036)p Fw(\(e)1789 1794 y Fr(i)p Fq(sa)1884 1831 y Fw(\()p Fs(K)27 b Fw(+)20 b Fs(b)p Fw(\))2188 1794 y FF(\000)2253 1767 y Fm(1)p 2253 1779 V 2253 1820 a(2)2298 1831 y Fw(i)p Fs(av)s Fw(\)\()p Fs(H)2565 1845 y Fr(0)2624 1831 y Fw(+)g Fs(b)p Fw(\))2789 1794 y FF(\000)2854 1767 y Fm(1)p 2854 1779 V 2854 1820 a(2)2899 1831 y Fs(:)0 2025 y Fw(Using)36 b(\(13.1\))j(and)d(Prop.)58 b(A.1)38 b(w)m(e)f(see)g(that)g(the)g (second)f(term)h(is)f Fs(C)2519 1992 y Fq(\017)2548 1968 y Fo(0)2610 2025 y Fw(in)f(norm.)59 b(This)34 b(completes)j(the)0 2138 y(pro)s(of)30 b(of)g(the)h(lemma.)40 b Fh(2)0 2339 y Fi(Lemma)33 b(13.2)46 b Fu(L)-5 b(et)33 b Fs(f)804 2353 y Fq(t)833 2339 y Fw(\()p Fs(x)p Fw(\))26 b Ft(2)f Fs(C)1139 2306 y FF(1)1213 2339 y Fw(\(I)-15 b(R)1333 2304 y Fr(3)1372 2339 y Fw(\))33 b Fu(with)h Ft(j)p Fs(@)1716 2306 y Fq(\013)1711 2362 y(x)1766 2339 y Fs(f)1811 2353 y Fq(t)1840 2339 y Fw(\()p Fs(x)p Fw(\))p Ft(j)26 b(\024)f Fs(C)2174 2353 y Fq(\013)2224 2339 y Fs(t)2257 2306 y FF(\000)p Fq(\032)p FF(j)p Fq(\013)p FF(j)2436 2339 y Fu(.)42 b(Then:)141 2452 y(i\))33 b(for)g Fs(F)38 b Ft(2)25 b Fs(C)638 2419 y FF(1)712 2452 y Fw(\(I)-15 b(R\))33 b Fu(with)h Fs(@)1151 2419 y Fq(\013)1146 2479 y(\025)1200 2452 y Fs(F)39 b Ft(2)25 b Fs(O)s Fw(\()p Ft(h)p Fs(\025)p Ft(i)1613 2419 y FF(\000j)p Fq(\013)1738 2452 y Fw(\))p Fu(,)32 b(we)h(have:)1384 2691 y Fw([\000\()p Fs(f)1546 2705 y Fq(t)1575 2691 y Fw(\))p Fs(;)15 b(F)e Fw(\()1766 2630 y Fs(A)p 1766 2670 69 4 v 1785 2754 a(t)1845 2691 y Fw(\)])26 b Ft(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\))p Fs(t)2275 2654 y FF(\000)p Fq(\032)2371 2691 y Fs(:)141 2911 y Fu(ii\))33 b(if)f Fw(supp)13 b Fs(f)602 2925 y Fq(t)657 2911 y Ft(\032)25 b(fj)p Fs(x)p Ft(j)h(\024)f Fw(c)p Fs(t)p Ft(g)p Fu(,)33 b Ft(j)p Fs(f)1271 2925 y Fq(t)1300 2911 y Ft(j)26 b(\024)f Fw(1)33 b Fu(then:)1214 3146 y Fw(\000\()p Fs(f)1351 3160 y Fq(t)1381 3146 y Fw(\))1426 3084 y Fs(A)p 1426 3125 V 1444 3208 a(t)1504 3146 y Fw(\000\()p Fs(f)1641 3160 y Fq(t)1671 3146 y Fw(\))25 b Ft(\024)g Fw(cd\000\()p Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)p Fw(\))c(+)f Fs(C)7 b(N)j(t)2445 3108 y FF(\000)p Fq(\032)2540 3146 y Fs(:)0 3541 y Fi(Pro)s(of.)54 b Fw(Let)33 b(us)f(\014rst)f(pro)m (v)m(e)i Fu(i\))p Fw(.)47 b(W)-8 b(e)33 b(set)g Fs(F)13 b Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))30 b(=)e(\()p Fs(\025)22 b Fw(+)f(i\))p Fs(F)2139 3555 y FF(\000)p Fr(1)2233 3541 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\),)34 b(with)d Fs(@)2677 3508 y Fq(\013)2672 3567 y(\025)2727 3541 y Fs(F)2785 3555 y FF(\000)p Fr(1)2880 3541 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))e Ft(2)f Fs(O)s Fw(\()p Ft(h)p Fs(\025)p Ft(i)3351 3508 y FF(\000)p Fr(1)p FF(\000)p Fq(\013)3546 3541 y Fw(\).)47 b(W)-8 b(e)0 3654 y(ha)m(v)m(e:)704 3786 y([\000\()p Fs(f)866 3800 y Fq(t)895 3786 y Fw(\))p Fs(;)15 b(F)e Fw(\()1086 3724 y Fs(A)p 1086 3765 V 1105 3848 a(t)1166 3786 y Fw(\)])26 b(=)f([\000\()p Fs(f)1510 3800 y Fq(t)1539 3786 y Fw(\))p Fs(;)1625 3724 y(A)p 1625 3765 V 1643 3848 a(t)1703 3786 y Fw(])p Fs(F)1786 3800 y FF(\000)p Fr(1)1881 3786 y Fw(\()1926 3724 y Fs(A)p 1926 3765 V 1944 3848 a(t)2005 3786 y Fw(\))20 b(+)g(\()2196 3724 y Fs(A)p 2196 3765 V 2214 3848 a(t)2295 3786 y Fw(+)g(i\)[\000\()p Fs(f)2609 3800 y Fq(t)2638 3786 y Fw(\))p Fs(;)15 b(F)2771 3800 y FF(\000)p Fr(1)2866 3786 y Fw(\()2911 3724 y Fs(A)p 2911 3765 V 2929 3848 a(t)2990 3786 y Fw(\)])p Fs(:)-3075 b Fw(\(13.3\))0 3986 y(No)m(w)31 b([\000\()p Fs(f)369 4000 y Fq(t)399 3986 y Fw(\))p Fs(;)484 3950 y Fq(A)p 484 3965 53 4 v 498 4018 a(t)547 3986 y Fw(])26 b(=)f(d\000\()p Fs(f)882 4000 y Fq(t)910 3986 y Fs(;)15 b Fw([)p Fs(f)1020 4000 y Fq(t)1050 3986 y Fs(;)1101 3950 y Fq(a)p 1101 3965 38 4 v 1107 4018 a(t)1148 3986 y Fw(]\))26 b Ft(2)f Fs(O)s Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\))p Fs(t)1578 3953 y FF(\000)p Fq(\032)1673 3986 y Fw(,)31 b(using)e([DG2)q(,)i(Lemma)f(2.8].)141 4110 y(Let)25 b(us)e(estimate)i(the)f(second)g(term)h(in)d(\(13.3\).)41 b(Let)1987 4087 y(~)1967 4110 y Fs(F)2025 4124 y FF(\000)p Fr(1)2145 4110 y Ft(2)25 b Fs(C)2303 4077 y FF(1)2377 4110 y Fw(\()p 2439 4110 4 56 v(C\))f(b)s(e)g(an)g(almost-analytic)g (extension)0 4222 y(of)31 b Fs(F)162 4236 y FF(\000)p Fr(1)287 4222 y Fw(satisfying)e(\(see)i(eg)g([DG1)r(,)f(Prop.)40 b(C.2.2]\):)1083 4431 y Ft(j)1118 4395 y Fq(@)1175 4379 y Fr(~)1159 4395 y Fq(F)10 b FF(\000)p Fr(1)p 1118 4410 186 4 v 1173 4463 a Fq(@)p 1214 4424 36 4 v 4 w(z)1314 4431 y Fw(\()p Fs(z)t Fw(\))p Ft(j)27 b(\024)e Fs(C)1643 4445 y Fq(N)1710 4431 y Ft(h)p Fs(z)t Ft(i)1826 4398 y FF(\000)p Fr(2)p FF(\000)p Fq(N)2039 4431 y Ft(j)p Fs(I)7 b(mz)t Ft(j)2262 4398 y Fq(N)2330 4431 y Fs(;)36 b(N)f Ft(2)25 b Fw(I)-15 b(N)p Fs(;)1083 4620 y Fw(supp)1306 4597 y(~)1286 4620 y Fs(F)1344 4634 y FF(\000)p Fr(1)1464 4620 y Ft(\032)25 b(f)p Fs(z)t Ft(jj)p Fw(Im)q Fs(z)t Ft(j)h(\024)f Fs(C)7 b Ft(h)p Fw(Re)p Fs(z)t Ft(ig)p Fs(:)0 4805 y Fw(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e:)798 4895 y(\()843 4859 y Fq(A)p 843 4874 53 4 v 857 4926 a(t)926 4895 y Fw(+)20 b(i\)[\000\()p Fs(f)1240 4909 y Fq(t)1269 4895 y Fw(\))p Fs(;)15 b(F)1402 4909 y FF(\000)p Fr(1)1498 4895 y Fw(\()1543 4859 y Fq(A)p 1543 4874 V 1557 4926 a(t)1606 4895 y Fw(\)])644 5083 y(=)837 5048 y Fr(i)p 808 5063 79 4 v 808 5115 a(2)p Fq(\031)911 5015 y Fp(R)p 971 5111 4 41 v 96 x Fr(C)1021 5083 y Fs(@)p 1081 5059 36 4 v 1081 5097 a Fq(z)1141 5060 y Fw(~)1120 5083 y Fs(F)1178 5097 y FF(\000)p Fr(1)1273 5083 y Fw(\()p Fs(z)t Fw(\)\()1434 5048 y Fq(A)p 1434 5063 53 4 v 1449 5115 a(t)1518 5083 y Fw(+)20 b(i\)\()p Fs(z)25 b Ft(\000)1873 5048 y Fq(A)p 1873 5063 V 1886 5115 a(t)1935 5083 y Fw(\))1970 5050 y FF(\000)p Fr(1)2065 5083 y Fw([\000\()p Fs(f)2227 5097 y Fq(t)2257 5083 y Fw(\))p Fs(;)2342 5048 y Fq(A)p 2342 5063 V 2356 5115 a(t)2405 5083 y Fw(]\()p Fs(z)g Ft(\000)2633 5048 y Fq(A)p 2633 5063 V 2647 5115 a(t)2696 5083 y Fw(\))2731 5050 y FF(\000)p Fr(1)2826 5083 y Fw(d)p Fs(z)f Ft(^)c Fw(d)p 3090 5034 47 4 v 15 w Fs(z)798 5267 y Ft(2)25 b Fs(O)s Fw(\()p Fs(N)10 b Fw(\))p Fs(t)1142 5234 y FF(\000)p Fq(\032)1237 5267 y Fs(;)1844 5517 y Fw(94)p eop %%Page: 95 95 95 94 bop 0 162 a Fw(using)33 b(the)i(prop)s(erties)e(of)963 139 y(~)942 162 y Fs(F)1000 176 y FF(\000)p Fr(1)1129 162 y Fw(and)h(the)h(fact)g(that)g Fs(N)45 b Fw(comm)m(utes)35 b(with)e Fs(A)i Fw(and)f(\000\()p Fs(f)3036 176 y Fq(t)3065 162 y Fw(\).)53 b(This)33 b(completes)0 275 y(the)e(pro)s(of)e(of)i Fu(i\))p Fw(.)141 388 y(Let)g(us)f(no)m(w)g(pro)m(v)m(e)h Fu(ii\))p Fw(.)41 b(W)-8 b(e)31 b(ha)m(v)m(e:)1008 585 y(\000\()p Fs(f)1145 599 y Fq(t)1174 585 y Fw(\))1219 549 y Fq(A)p 1219 564 53 4 v 1233 616 a(t)1282 585 y Fw(\000\()p Fs(f)1419 599 y Fq(t)1448 585 y Fw(\))854 768 y(=)1018 733 y Fr(1)p 1018 748 36 4 v 1018 800 a(2)1063 768 y Fw(\000\()p Fs(f)1200 782 y Fq(t)1229 768 y Fw(\)d\000\()1417 733 y Fq(x)p 1417 748 40 4 v 1424 800 a(t)1467 768 y Fs(:D)1567 782 y Fq(x)1611 768 y Fw(\)\000\()p Fs(f)1783 782 y Fq(t)1813 768 y Fw(\))20 b(+)1969 733 y Fr(1)p 1969 748 36 4 v 1969 800 a(2)2015 768 y Fw(\000\()p Fs(f)2152 782 y Fq(t)2181 768 y Fw(\)d\000\()p Fs(D)2434 782 y Fq(x)2478 768 y Fs(:)2513 733 y Fq(x)p 2513 748 40 4 v 2520 800 a(t)2563 768 y Fw(\)\000\()p Fs(f)2735 782 y Fq(t)2765 768 y Fw(\))854 952 y(=)1018 916 y Fr(1)p 1018 931 36 4 v 1018 984 a(2)1063 952 y Fw(\000\()p Fs(f)1210 919 y Fr(2)1200 975 y Fq(t)1249 952 y Fw(\)d\000\()1437 916 y Fq(x)p 1437 931 40 4 v 1444 984 a(t)1486 952 y Fs(:D)1586 966 y Fq(x)1631 952 y Fw(\))g(+)1787 916 y Fr(1)p 1787 931 36 4 v 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(c)f(small)f(enough.)0 4253 y Fi(Theorem)69 b(13.3)46 b Fu(Assume)33 b(\(H0\))g(for)h Fs(\013)27 b(>)f Fw(1)p Fu(,)33 b(\(I0\),)h(\(I1\))g(for)g Fs(\017)2294 4267 y Fr(0)2360 4253 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(,)34 b(\(I2\))g(for)g Fs(\026)26 b(>)g Fw(1)p Fu(,)33 b(\(I5\))h(for)g Fs(\026)3572 4267 y Fr(2)3637 4253 y Fs(>)26 b Fw(1)0 4366 y Fu(and)33 b(\(I6\))f(for)g Fs(\017)25 b(>)g Fw(0)p Fu(.)42 b(L)-5 b(et)32 b Fw(0)26 b Fs(<)f(\032)g(<)g Fw(1)32 b Fu(such)g(that)h Fs(\032\017)1823 4380 y Fr(0)1887 4366 y Fs(>)25 b Fw(1)p Fu(,)32 b Fs(\032\026)2190 4380 y Fr(2)2255 4366 y Fs(>)25 b Fw(1)32 b Fu(and)g Fw(0)26 b Fs(<)f Fw(c)h Fs(<)f Fw(c)2972 4333 y FF(0)3021 4366 y Fs(<)g Fw(1)p Fu(.)41 b(L)-5 b(et)32 b Fw(\001)25 b Ft(\032)g Fw(I)-15 b(R)32 b Fu(b)-5 b(e)0 4479 y(an)33 b(op)-5 b(en)34 b(interval)f(such)g(that)h(the)f (fol)5 b(lowing)34 b(Mourr)-5 b(e)33 b(estimate)g(holds)h(on)f Fw(\001)p Fu(:)1155 4676 y Fw(1)-20 b(l)1205 4690 y Fr(\001)1268 4676 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)[)p Fs(H)r(;)15 b Fw(i)p Fs(A)p Fw(]1)-20 b(l)1735 4690 y Fr(\001)1798 4676 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))26 b Ft(\025)f Fs(c)2112 4690 y Fr(0)2151 4676 y Fw(1)-20 b(l)2202 4690 y Fr(\001)2265 4676 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))21 b(+)f Fs(R)q(;)0 4873 y Fu(wher)-5 b(e)34 b Fs(c)296 4887 y Fr(0)361 4873 y Fs(>)25 b Fw(0)33 b Fu(and)g Fs(R)26 b Ft(2)f(B)s Fw(\()p Ft(H)q Fw(\))32 b Fu(is)h(c)-5 b(omp)g(act.)44 b(Then)33 b(for)g Fw(0)26 b Fs(<)f Fw(c)g Fs(<)g(c)p Fw(\(\001)p Fs(;)15 b(c)2560 4887 y Fr(0)2601 4873 y Fw(\))33 b Fu(we)g(have:)1328 5071 y Fw(1)-20 b(l)1379 5085 y Fr(\001)1442 5071 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Ft(K)1665 5033 y Fr(+)1664 5093 y(c)1750 5071 y Fw(=)25 b(1)-20 b(l)1897 5085 y Fr(\001)1960 5071 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Ft(H)2190 5085 y Fr(pp)2273 5071 y Fw(\()p Fs(H)g Fw(\))p Fs(:)1844 5517 y Fw(95)p eop %%Page: 96 96 96 95 bop 141 162 a Fi(Pro)s(of.)48 b Fw(T)-8 b(o)30 b(pro)m(v)m(e)i(the)e(theorem,)h(it)f(su\016ces)g(to)h(pro)m(v)m(e)h (that)e(for)h(c)f(small)f(enough)1317 337 y(1)-20 b(l)1367 351 y Fr(\001)1430 337 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Ft(H)1660 351 y Fr(con)n(t)1796 337 y Fw(\()p Fs(H)g Fw(\))21 b Ft(\\)f(K)2121 300 y Fr(+)2120 360 y(c)2205 337 y Fw(=)25 b Ft(f)p Fw(0)p Ft(g)p Fs(;)-2461 b Fw(\(13.5\))0 512 y(where)22 b Ft(H)332 526 y Fr(con)n(t)467 512 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))23 b(is)e(the)h(con)m(tin)m(uous)g(sp)s(ectral)f (subspace)h(of)g Fs(H)7 b Fw(.)38 b(In)21 b(fact)i(\(13.5\))i(implies) 19 b(that)k(1)-20 b(l)3337 526 y Fr(\001)3400 512 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Ft(K)3623 479 y Fr(+)3622 535 y(c)3709 512 y Ft(\032)0 625 y Fw(1)-20 b(l)51 639 y Fr(\001)113 625 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Ft(H)343 639 y Fr(pp)426 625 y Fw(\()p Fs(H)g Fw(\).)42 b(The)30 b(fact)h(that)g Ft(H)1286 639 y Fr(pp)1368 625 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))26 b Ft(\032)f(K)1713 592 y Fr(+)1712 647 y(c)1803 625 y Fw(is)k(sho)m(wn)h(in)f(Prop.)40 b(8.4.)141 738 y(W)-8 b(e)35 b(\014rst)d(recall)h(that)g(it)g(follo)m(ws)f(from)h(the)g(fact) i(that)e Fs(H)k Ft(2)30 b Fs(C)2366 705 y Fr(1)2405 738 y Fw(\()p Fs(A)p Fw(\))k(and)e(that)i Fs(H)40 b Fw(satis\014es)33 b(a)h(Mourre)0 851 y(estimate)d(on)f(\001)g(that:)141 964 y Fu(i\))g Fs(\033)288 978 y Fr(pp)371 964 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))31 b(is)e(lo)s(cally)g(\014nite)h(in)f(\001,)141 1077 y Fu(ii\))h Ft(8)p Fs(\025)25 b Ft(2)g Fw(\001)p Ft(n)p Fs(\033)652 1091 y Fr(pp)735 1077 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\),)31 b Ft(8)p Fs(\017)25 b(>)g Fw(0,)31 b(there)f(exists)g Fs(\016)f(>)c Fw(0)31 b(suc)m(h)f(that)753 1252 y(1)-20 b(l)803 1270 y Fr([)p Fq(\025)p FF(\000)p Fq(\016)o(;\025)p Fr(+)p Fq(\016)r Fr(])1122 1252 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)[)p Fs(H)r(;)15 b Fw(i)p Fs(A)p Fw(]1)-20 b(l)1588 1270 y Fr([)p Fq(\025)p FF(\000)p Fq(\016)o(;\025)p Fr(+)p Fq(\016)r Fr(])1907 1252 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))26 b Ft(\025)e Fw(\()p Fs(c)2255 1266 y Fr(0)2316 1252 y Ft(\000)c Fs(\017)p Fw(\)1)-20 b(l)2529 1270 y Fr([)p Fq(\025)p FF(\000)p Fq(\016)o(;\025)p Fr(+)p Fq(\016)r Fr(])2848 1252 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(:)-3026 b Fw(\(13.6\))141 1426 y(Let)30 b(no)m(w)g Fs(f)537 1440 y Fr(0)601 1426 y Ft(2)25 b Fs(C)759 1393 y FF(1)833 1426 y Fw(\(I)-15 b(R\))30 b(satisfying)e (\(12.14\))k(and)d(let)h Fs(\025)25 b Ft(2)g Fw(\001)p Ft(n)p Fs(\033)2373 1440 y Fr(pp)2455 1426 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\).)41 b(W)-8 b(e)31 b(will)c(sho)m(w)i(that)h(for)g Fs(\016)j Fw(and)0 1539 y(c)e(small)e(enough,)h(w)m(e)h(ha)m(v)m(e:) 1352 1652 y Ft(k)p Fw(\000)1454 1615 y Fr(+)1454 1675 y(c)1513 1652 y Fw(\()p Fs(f)1593 1666 y Fr(0)1632 1652 y Fw(\)1)-20 b(l)1718 1671 y Fr([)p Fq(\025)p FF(\000)p Fq(\016)o(;\025)p Fr(+)p Fq(\016)r Fr(])2037 1652 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Ft(k)26 b Fs(<)f Fw(1)p Fs(:)-2427 b Fw(\(13.7\))0 1813 y(Note)30 b(that)g(b)m(y)f(Thm.)39 b(12.5)31 b(\000)1044 1775 y Fr(+)1044 1842 y(c)1075 1823 y Fo(0)1103 1813 y Fw(\()p Fs(f)1183 1827 y Fr(0)1222 1813 y Fw(\)1)-20 b(l)1308 1832 y Fr([)p Fq(\025)p FF(\000)p Fq(\016)o(;\025)p Fr(+)p Fq(\016)r Fr(])1626 1813 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))30 b(is)e(equal)h(to)g(the)h(orthogonal)f(pro)5 b(jection)29 b(on)g(the)g(space)0 1926 y(1)-20 b(l)51 1945 y Fr([)p Fq(\025)p FF(\000)p Fq(\016)o(;\025)p Fr(+)p Fq(\016)r Fr(])369 1926 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Ft(K)592 1893 y Fr(+)591 1949 y(c)652 1926 y Fw(,)31 b(for)f(0)c Fs(<)f Fw(c)g Fs(<)g Fw(c)1215 1893 y FF(0)1239 1926 y Fw(.)41 b(Hence)31 b(\(13.7\))i(implies)27 b(that)k(for)f(c)h(small)e (enough)1422 2101 y(1)-20 b(l)1473 2120 y Fr([)p Fq(\025)p FF(\000)p Fq(\016)o(;\025)p Fr(+)p Fq(\016)r Fr(])1791 2101 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Ft(K)2014 2064 y Fr(+)2013 2124 y(c)2100 2101 y Fw(=)25 b Ft(f)p Fw(0)p Ft(g)p Fs(;)0 2276 y Fw(whic)m(h)k(implies)f(\(13.5\).)141 2389 y(Let)36 b(us)f(no)m(w)g(pro)m(v)m(e)i(\(13.7\).)58 b(W)-8 b(e)36 b(deduce)g(\014rst)e(from)h(\(13.6\))j(and)d(the)g(fact)i(that)f Fs(H)k Ft(2)34 b Fs(C)3352 2356 y Fr(1+)p Fq(\017)3471 2333 y Fo(0)3496 2389 y Fw(\()p Fs(A)p Fw(\))j(for)0 2502 y(some)31 b Fs(\017)265 2469 y FF(0)313 2502 y Fs(>)25 b Fw(0)31 b(that)g(for)f(an)m(y)h Fs(\017)25 b(>)g Fw(0)31 b(w)m(e)f(ha)m(v)m(e:)784 2713 y(e)824 2676 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)991 2713 y Fw(1)-20 b(l)1042 2732 y Fr([)p Fq(\025)p FF(\000)p Fq(\016)o(;\025)p Fr(+)p Fq(\016)r Fr(])1360 2713 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(u)26 b Fw(=)f Fs(F)13 b Fw(\()1803 2652 y Fs(A)p 1803 2692 69 4 v 1821 2776 a(t)1882 2713 y Fw(\)e)1957 2676 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2125 2713 y Fw(1)-20 b(l)2175 2732 y Fr([)p Fq(\025)p FF(\000)p Fq(\016)o(;\025)p Fr(+)p Fq(\016)r Fr(])2494 2713 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(u)21 b Fw(+)f Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(;)-2995 b Fw(\(13.8\))0 2914 y(where)33 b Fs(F)43 b Ft(2)30 b Fs(C)530 2881 y FF(1)605 2914 y Fw(\(I)-15 b(R\),)34 b(0)d Ft(\024)f Fs(F)44 b Ft(\024)30 b Fw(1,)35 b(is)d(supp)s(orted)g(in)g Ft(f)p Fs(\025)f Ft(\025)f Fs(c)2207 2928 y Fr(0)2269 2914 y Ft(\000)22 b Fw(2)p Fs(\017)p Ft(g)34 b Fw(and)f(equal)g(to)h(1)g(in)e Ft(f)p Fs(\025)f Ft(\025)f Fs(c)3517 2928 y Fr(0)3579 2914 y Ft(\000)22 b Fs(\017)p Ft(g)p Fw(.)0 3027 y(This)28 b(abstract)j(result)d(is)h(due)g(to)i([SS2)o(].)41 b(A)30 b(pro)s(of)f(under)f(the)i(h)m(yp)s(otheses)f(ab)s(o)m(v)m(e)i(can)f(b) s(e)f(found)g(in)f([GN)q(].)141 3153 y(Let)h(no)m(w)f Fs(u)d Ft(2)g Fs(D)s Fw(\()p Fs(N)858 3090 y Fm(1)p 858 3102 31 4 v 858 3144 a(2)903 3153 y Fw(\))j(and)g Fs(\037)d Ft(2)g Fs(C)1381 3120 y FF(1)1374 3176 y Fr(0)1455 3153 y Fw(\(])p Fs(\025)17 b Ft(\000)f Fs(\016)n(;)f(\025)i Fw(+)e Fs(\016)s Fw([\).)42 b(W)-8 b(e)29 b(recall)f(that)h(it)e(follo) m(ws)h(from)g(\(4.8\))i(and)d(the)0 3280 y(fact)k(that)g Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))31 b(preserv)m(es)g Fs(D)s Fw(\()p Fs(N)1214 3217 y Fm(1)p 1214 3229 V 1214 3270 a(2)1258 3280 y Fw(\))g(that)900 3470 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(N)g Fw(+)20 b(1\))1265 3405 y Fm(1)p 1266 3417 V 1266 3458 a(2)1310 3470 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)e)1560 3432 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1729 3470 y Fs(u)p Ft(k)25 b(\024)g Fs(C)7 b(t)2052 3432 y Fr(\(1+)p Fq(\017)2198 3441 y Fm(0)2232 3432 y Fr(\))2259 3409 y Fo(\000)p Fm(1)2346 3470 y Ft(k)p Fw(\()p Fs(N)31 b Fw(+)20 b(1\))2711 3405 y Fm(1)p 2712 3417 V 2712 3458 a(2)2757 3470 y Fs(u)p Ft(k)p Fs(:)-2879 b Fw(\(13.9\))0 3644 y(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e)f(using)e(\(13.8\),)k(\(13.9\),)g(Lemma)d(13.2)i Fu(i\))f Fw(and)e(the)i(fact)g(that)g Fs(\032)25 b(>)g Fw(\(1)c(+)f Fs(\017)2898 3658 y Fr(0)2938 3644 y Fw(\))2973 3612 y FF(\000)p Fr(1)3067 3644 y Fw(:)225 3817 y(\(e)300 3784 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)468 3817 y Fs(u;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)\000\()p Fs(f)907 3831 y Fr(0)16 b(c)g Fq(t)1035 3817 y Fw(\))1070 3784 y Fr(2)1110 3817 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)e)1360 3784 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1528 3817 y Fs(u)p Fw(\))71 4002 y(=)83 b(\(e)300 3969 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)468 4002 y Fs(u;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)\000\()p Fs(f)907 4016 y Fr(0)16 b(c)g Fq(t)1035 4002 y Fw(\))1070 3969 y Fr(2)1110 4002 y Fs(F)d Fw(\()1226 3967 y Fq(A)p 1226 3982 53 4 v 1240 4034 a(t)1289 4002 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)e)1574 3969 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1743 4002 y Fs(u)p Fw(\))20 b(+)g Fs(o)p Fw(\(1\))71 4202 y(=)83 b(\(e)300 4169 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)468 4202 y Fs(u;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)\000\()p Fs(f)907 4216 y Fr(0)16 b(c)g Fq(t)1035 4202 y Fw(\))p Fs(F)d Fw(\()1186 4166 y Fq(A)p 1186 4181 V 1200 4234 a(t)1250 4202 y Fw(\)\000\()p Fs(f)1422 4216 y Fr(0)j(c)g Fq(t)1549 4202 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)e)1834 4169 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2003 4202 y Fs(u)p Fw(\))20 b(+)g Fs(O)s Fw(\()p Fs(t)2341 4169 y FF(\000)p Fq(\032)2437 4202 y Fw(\))p Ft(k)p Fw(\()p Fs(N)31 b Fw(+)20 b(1\))2837 4139 y Fm(1)p 2838 4151 31 4 v 2838 4193 a(2)2882 4202 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)e)3132 4169 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)3300 4202 y Fs(u)p Ft(k)3397 4169 y Fr(2)3457 4202 y Fw(+)20 b Fs(o)p Fw(\(1\))71 4388 y(=)83 b(\(e)300 4355 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)468 4388 y Fs(u;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)\000\()p Fs(f)907 4402 y Fr(0)16 b(c)g Fq(t)1035 4388 y Fw(\))p Fs(F)d Fw(\()1186 4352 y Fq(A)p 1186 4367 53 4 v 1200 4420 a(t)1250 4388 y Fw(\)\000\()p Fs(f)1422 4402 y Fr(0)j(c)g Fq(t)1549 4388 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)e)1834 4355 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2003 4388 y Fs(u)p Fw(\))20 b(+)g Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(:)0 4556 y Fw(Next)31 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e:)881 4705 y(\(e)956 4672 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1124 4705 y Fs(u;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)\000\()p Fs(f)1563 4719 y Fr(0)17 b(c)f Fq(t)1691 4705 y Fw(\))1726 4672 y Fr(2)1766 4705 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)e)2016 4672 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2184 4705 y Fs(u)p Fw(\))727 4891 y(=)83 b(\(e)956 4858 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1124 4891 y Fs(u;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)\000\()p Fs(f)1563 4905 y Fr(0)17 b(c)f Fq(t)1691 4891 y Fw(\))p Fs(F)d Fw(\()1842 4855 y Fq(A)p 1842 4870 V 1857 4922 a(t)1906 4891 y Fw(\)\000\()p Fs(f)2078 4905 y Fr(0)j(c)g Fq(t)2206 4891 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)e)2491 4858 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2659 4891 y Fs(u)p Fw(\))21 b(+)f Fs(o)p Fw(\(1\))727 5077 y Ft(\024)83 b Fw(\(e)956 5044 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1124 5077 y Fs(u;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)\000\()p Fs(f)1563 5091 y Fr(0)17 b(c)f Fq(t)1691 5077 y Fw(\))1825 5041 y Fq(A)p 1736 5056 229 4 v 1736 5109 a Fr(\()p Fq(c)1794 5118 y Fm(0)1829 5109 y FF(\000)p Fq(\017)p Fr(\))p Fq(t)1976 5077 y Fw(\000\()p Fs(f)2113 5091 y Fr(0)f(c)h Fq(t)2240 5077 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)e)2525 5044 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2693 5077 y Fs(u)p Fw(\))21 b(+)f Fs(o)p Fw(\(1\))727 5260 y Ft(\024)83 b Fw(\(e)956 5227 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)1124 5260 y Fs(u;)1226 5224 y Fr(c+)p Fq(\017)1341 5233 y Fm(1)p 1226 5239 150 4 v 1226 5292 a Fq(c)1257 5301 y Fm(0)1292 5292 y FF(\000)p Fq(\017)1386 5260 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)d\000\()p Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)p Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)g Fw(\)e)2124 5227 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2293 5260 y Fs(u)p Fw(\))21 b(+)f Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(;)1844 5517 y Fw(96)p eop %%Page: 97 97 97 96 bop 0 162 a Fw(using)29 b(Lemma)h(13.2)i Fu(ii\))f Fw(and)e(the)i(fact)g(that)g(supp)14 b Fs(f)1835 176 y Fr(0)h(c)h Fq(t)1987 162 y Ft(\032)25 b(fj)p Fs(x)p Ft(j)h(\024)f Fw(\(c)c(+)f Fs(\017)2576 176 y Fr(1)2615 162 y Fw(\))p Fs(t)p Ft(g)31 b Fw(for)f(all)g Fs(\017)3062 176 y Fr(1)3126 162 y Fs(>)25 b Fw(0,)31 b Fs(t)25 b Ft(\025)g Fs(T)13 b Fw(\()p Fs(\017)3615 176 y Fr(1)3655 162 y Fw(\).)141 275 y(Next)31 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e:)1229 388 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)d\000\()p Ft(j)p Fs(k)s Ft(j)p Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)g Fw(\))27 b Ft(\024)e Fs(c)2089 402 y Fr(1)2129 388 y Fw(\(\001\))p Fs(\037)2332 351 y Fr(2)2372 388 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(:)0 541 y Fw(Pic)m(king)29 b(c)i(suc)m(h)f(that)h(c)p Fs(c)876 555 y Fr(1)916 541 y Fw(\(\001\))26 b Fs(<)f(c)1223 555 y Fr(0)1263 541 y Fw(,)30 b(w)m(e)h(obtain)f(for)g Fs(\017;)15 b(\017)1988 555 y Fr(1)2058 541 y Fw(small)29 b(enough:)753 719 y(\(e)828 681 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)996 719 y Fs(u;)15 b(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)\000\()p Fs(f)1435 733 y Fr(0)17 b(c)f Fq(t)1563 719 y Fw(\))1598 681 y Fr(2)1638 719 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\)e)1888 681 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2056 719 y Fs(u)p Fw(\))26 b Fs(<)f Fw(\()p Fs(u;)15 b(\037)2449 681 y Fr(2)2489 719 y Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(u)p Fw(\))21 b(+)f Fs(o)p Fw(\(1\))p Fs(:)0 896 y Fw(This)29 b(yields)1086 1019 y Ft(k)p Fw(\000)1188 981 y Fr(+)1188 1041 y(c)1247 1019 y Fw(\()p Fs(f)1327 1033 y Fr(0)1366 1019 y Fw(\))p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(u)p Ft(k)27 b Fs(<)e Ft(k)p Fs(\037)p Fw(\()p Fs(H)7 b Fw(\))p Fs(u)p Ft(k)p Fs(;)37 b(u)25 b Ft(2)g Fs(D)s Fw(\()p Fs(N)2614 954 y Fm(1)p 2614 966 31 4 v 2614 1007 a(2)2659 1019 y Fw(\))0 1172 y(and)30 b(hence)g(pro)m(v)m(es)h(\(13.7\))i(b)m(y)d(densit)m(y)-8 b(.)41 b(This)28 b(completes)j(the)f(pro)s(of)g(of)h(the)f(theorem.)41 b Fh(2)0 1454 y Fx(A)134 b(App)t(endix)0 1660 y Fv(A.1)112 b(Op)s(erator)38 b(b)s(ounds)0 1832 y Fw(The)30 b(follo)m(wing)f(prop)s (osition)f(is)h(sho)m(wn)h(in)f([DJ,)i(Prop.)40 b(4.1].)0 1997 y Fi(Prop)s(osition)c(A.1)46 b Fu(L)-5 b(et)34 b Fs(v)c Ft(2)c(B)s Fw(\()p Ft(K)q Fs(;)15 b Ft(K)23 b(\012)e Fl(h)1525 1964 y Fr(e)1561 1997 y Fw(\))p Fu(,)33 b Fs(!)k Fu(b)-5 b(e)33 b(a)h(selfadjoint)h(op)-5 b(er)g(ator)36 b(on)e Fl(h)2915 1964 y Fr(e)2951 1997 y Fu(.)44 b(Assume)33 b(that)i Fs(!)30 b Ft(\025)c Fw(0)0 2110 y Fu(and)34 b(that)f Fs(!)j Fu(is)c(invertible)h(on)g(the)g(r)-5 b(ange)33 b(of)g Fs(v)s Fu(.)42 b(Then:)950 2279 y Ft(k)p Fs(a)p Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))p Fs(u)p Ft(k)1257 2246 y Fr(2)1324 2279 y Ft(\024)25 b(k)p Fs(v)1512 2246 y FF(\003)1552 2279 y Fs(!)1612 2246 y FF(\000)p Fr(1)1707 2279 y Fs(v)s Ft(k)p Fw(\()p Fs(u;)15 b Fw(d\000\()p Fs(!)s Fw(\))p Fs(u)p Fw(\))p Fs(;)950 2463 y Ft(k)p Fs(a)1043 2430 y FF(\003)1083 2463 y Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))p Fs(u)p Ft(k)1297 2430 y Fr(2)1364 2463 y Ft(\024)25 b Fw(\()p Fs(u;)15 b(v)1634 2430 y FF(\003)1674 2463 y Fs(v)s(u)p Fw(\))21 b(+)f Ft(k)p Fs(v)2012 2430 y FF(\003)2052 2463 y Fs(!)2112 2430 y FF(\000)p Fr(1)2206 2463 y Fs(v)s Ft(k)p Fw(\()p Fs(u;)15 b Fw(d\000\()p Fs(!)s Fw(\))p Fs(u)p Fw(\))p Fs(;)950 2647 y Ft(k)p Fs(\036)1049 2614 y FF(\003)1090 2647 y Fw(\()p Fs(v)s Fw(\))p Fs(u)p Ft(k)1304 2614 y Fr(2)1370 2647 y Ft(\024)25 b Fw(\()p Fs(u;)15 b(v)1640 2614 y FF(\003)1680 2647 y Fs(v)s(u)p Fw(\))21 b(+)f(2)p Ft(k)p Fs(v)2063 2614 y FF(\003)2104 2647 y Fs(!)2164 2614 y FF(\000)p Fr(1)2258 2647 y Fs(v)s Ft(k)p Fw(\()p Fs(u;)15 b Fw(d\000\()p Fs(!)s Fw(\))p Fs(u)p Fw(\))p Fs(;)0 2848 y Fu(for)33 b Fs(u)25 b Ft(2)g(D)s Fw(\(d\000\()p Fs(!)s Fw(\))664 2785 y Fm(1)p 664 2797 V 664 2839 a(2)709 2848 y Fw(\))p Fu(.)0 3088 y Fv(A.2)112 b(Propagation)37 b(estimates)f(and)j(existence)d(of)i(limits)0 3259 y Fw(In)d(this)f(subsection)g(w)m(e)i(form)m(ulate)g(t)m(w)m(o)h (generalizations)d(of)i(standard)f(argumen)m(ts)g(due)g(to)h (Sigal-So\013er)0 3372 y([SS1].)41 b(Their)28 b(pro)s(ofs)i(are)h (analogous)f(to)h(the)g(standard)f(ones.)0 3537 y Fi(Prop)s(osition)36 b(A.2)46 b Fu(L)-5 b(et)33 b Ft(H)g Fu(b)-5 b(e)33 b(a)g(Hilb)-5 b(ert)33 b(sp)-5 b(ac)g(e,)34 b Ft(D)28 b(\032)d(H)33 b Fu(a)h(dense)f(subsp)-5 b(ac)g(e,)33 b Fs(H)40 b Fu(a)33 b(selfadjoint)h(op)-5 b(er)g(ator)0 3650 y(on)33 b Ft(H)g Fu(and)1430 3763 y Fw(I)-15 b(R)1514 3726 y Fr(+)1599 3763 y Ft(3)24 b Fs(t)i Ft(7!)f Fw(\010\()p Fs(t)p Fw(\))g Ft(2)g(B)s Fw(\()p Ft(H)q Fw(\))0 3916 y Fu(a)33 b(function)g(with)g Fw(sup)771 3938 y Fq(t)p FF(\025)p Fr(0)906 3916 y Ft(k)p Fw(\010\()p Fs(t)p Fw(\))p Ft(k)26 b Fs(<)f Ft(1)p Fu(.)42 b(Assume)32 b(that)i(for)f Fs(u)26 b Ft(2)f(D)35 b Fu(the)e(function:) 1035 4105 y Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))26 b(=)e(\()p Fs(u)1401 4119 y Fq(t)1432 4105 y Fs(;)15 b Fw(\010\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)1693 4119 y Fq(t)1723 4105 y Fw(\))25 b Ft(2)g Fs(C)1941 4067 y Fr(1)1980 4105 y Fw(\(I)-15 b(R\))33 b Fu(if)f Fs(u)2308 4119 y Fq(t)2363 4105 y Fw(=)25 b(e)2499 4067 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2667 4105 y Fs(u;)0 4282 y Fu(and)935 4372 y Fw(d)p 919 4412 84 4 v 919 4495 a(d)p Fs(t)1012 4433 y(f)10 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))25 b Ft(\025)g Fw(\()p Fs(u)1378 4447 y Fq(t)1408 4433 y Fs(;)15 b(R)1518 4396 y FF(\003)1558 4433 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(R)q Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)1886 4447 y Fq(t)1916 4433 y Fw(\))21 b Ft(\000)2101 4327 y Fq(n)2063 4352 y Fp(X)2066 4535 y Fq(i)p Fr(=1)2183 4433 y Fw(\()p Fs(u)2270 4447 y Fq(t)2300 4433 y Fs(;)15 b(R)2410 4396 y FF(\003)2409 4456 y Fq(i)2449 4433 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(R)2621 4447 y Fq(i)2650 4433 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)2805 4447 y Fq(t)2835 4433 y Fw(\))0 4655 y Fu(wher)-5 b(e)962 4677 y Fp(Z)1045 4703 y Fr(+)p FF(1)1008 4865 y Fr(1)1190 4792 y Ft(k)p Fs(R)1304 4806 y Fq(i)1333 4792 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)1488 4806 y Fq(t)1518 4792 y Ft(k)1563 4754 y Fr(2)1603 4792 y Fw(d)p Fs(t)24 b Ft(\024)h Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(u)p Ft(k)2021 4754 y Fr(2)2061 4792 y Fs(;)36 b(u)25 b Ft(2)g(D)s Fs(;)35 b Fw(1)26 b Ft(\024)f Fs(i)g Ft(\024)g Fs(n:)0 4977 y Fu(Then)1193 4999 y Fp(Z)1276 5026 y Fr(+)p FF(1)1239 5188 y Fr(1)1421 5114 y Ft(k)p Fs(R)q Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)1691 5128 y Fq(t)1721 5114 y Ft(k)1766 5077 y Fr(2)1806 5114 y Fw(d)p Fs(t)g Ft(\024)g Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(u)p Ft(k)2225 5077 y Fr(2)2265 5114 y Fs(;)35 b(u)26 b Ft(2)e(D)s Fs(:)1844 5517 y Fw(97)p eop %%Page: 98 98 98 97 bop 0 162 a Fi(Prop)s(osition)36 b(A.3)46 b Fu(L)-5 b(et)33 b Ft(H)1005 176 y Fq(i)1033 162 y Fs(;)15 b Ft(D)1143 176 y Fq(i)1172 162 y Fs(;)g(H)1288 176 y Fq(i)1348 162 y Fs(i)26 b Fw(=)f(1)p Fs(;)15 b Fw(2)34 b Fu(b)-5 b(e)32 b(as)h(in)g(Pr)-5 b(op.)43 b(A.2.)e(L)-5 b(et)1332 367 y Fw(I)-15 b(R)1417 329 y Fr(+)1501 367 y Ft(3)25 b Fs(t)g Ft(7!)g Fw(\010\()p Fs(t)p Fw(\))h Ft(2)e(B)s Fw(\()p Ft(H)2216 381 y Fr(1)2255 367 y Fs(;)15 b Ft(H)2372 381 y Fr(2)2412 367 y Fw(\))0 571 y Fu(a)33 b(function)g(with)g Fw(sup)771 593 y Fq(t)p FF(\025)p Fr(0)906 571 y Ft(k)p Fw(\010\()p Fs(t)p Fw(\))p Ft(k)26 b Fs(<)f Ft(1)p Fu(.)42 b(Assume)32 b(that)i(for)f Fs(u)2170 585 y Fq(i)2224 571 y Ft(2)25 b(D)2380 585 y Fq(i)2441 571 y Fu(the)33 b(function)1285 784 y Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))25 b(=)g(\()p Fs(u)1651 798 y Fr(2)p Fq(;t)1736 784 y Fs(;)15 b Fw(\010\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)1997 798 y Fr(1)p Fq(;t)2082 784 y Fw(\))26 b Ft(2)e Fs(C)2300 746 y Fr(1)2339 784 y Fw(\(I)-15 b(R\))0 988 y Fu(and)1118 1139 y Ft(j)1153 1077 y Fw(d)p Fs(f)10 b Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p 1153 1118 209 4 v 1218 1201 a Fs(dt)1372 1139 y Ft(j)25 b(\024)1557 1033 y Fq(n)1518 1058 y Fp(X)1521 1240 y Fq(i)p Fr(=1)1653 1139 y Ft(k)p Fs(B)1767 1153 y Fr(2)p Fq(;j)1859 1139 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)2014 1153 y Fr(2)p Fq(;t)2099 1139 y Ft(kk)p Fs(B)2258 1153 y Fr(1)p Fq(;j)2350 1139 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)2505 1153 y Fr(1)p Fq(;t)2591 1139 y Ft(k)p Fs(;)0 1374 y Fu(wher)-5 b(e)716 1396 y Fp(Z)799 1422 y Fr(+)p FF(1)762 1585 y Fr(1)944 1511 y Ft(k)p Fs(B)1058 1525 y Fq(i;j)1138 1511 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)1293 1525 y Fq(i;t)1367 1511 y Ft(k)1412 1474 y Fr(2)1452 1511 y Fw(d)p Fs(t)24 b Ft(\024)h Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(u)1825 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Fs(;)15 b Fw(2)34 b Fu(b)-5 b(e)32 b(as)h(in)g(Pr)-5 b(op.)43 b(A.2.)e(L)-5 b(et)33 b(for)h Fs(\017)25 b Ft(2)g Fw([0)p Fs(;)15 b Fw(1[)p Fu(:)1316 2910 y Fw(I)-15 b(R)1400 2872 y Fr(+)1485 2910 y Ft(3)25 b Fs(t)g Ft(7!)g Fw(\010)1811 2924 y Fq(\017)1843 2910 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))h Ft(2)f(B)s Fw(\()p Ft(H)2233 2924 y Fr(1)2272 2910 y Fs(;)15 b Ft(H)2389 2924 y Fr(2)2428 2910 y Fw(\))0 3114 y Fu(such)33 b(that:)835 3225 y Fw(sup)972 3250 y Fq(t)p FF(2)p Fr(I)-12 b(R)1110 3225 y Fm(+)23 b Ft(k)p Fw(\010)1291 3239 y Fq(\017)1324 3225 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Ft(k)j Fs(<)f Ft(1)p Fs(;)15 b Ft(8)p Fs(\017)25 b Ft(\025)g Fw(0)p Fs(;)36 b Fw(sup)2177 3246 y Fq(\017)p FF(2)p Fr([0)p Fq(;)p Fr(1[)2401 3225 y Ft(k)p Fw(\010)2512 3239 y Fq(\017)2545 3225 y Fw(\(0\))p Ft(k)27 b Fs(<)e Ft(1)p Fw(;)0 3227 y(\(A.1\))637 3404 y Fs(f)682 3418 y Fq(\017)714 3404 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))h(=)f(\()p Fs(v)1018 3418 y Fq(t)1048 3404 y Fs(;)15 b Fw(\010)1154 3418 y Fq(\017)1187 3404 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p 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Fw(it)g(su\016ces)g (b)m(y)h(densit)m(y)e(to)i(sho)m(w)g(that)1019 479 y(lim)1015 536 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1149 479 y Fw(\()p Fs(v)s(;)15 b Fw(\010)1337 442 y Fr(+)1337 502 y Fq(\017)1397 479 y Fs(u)p Fw(\))21 b Ft(\000)f Fw(\()p Fs(v)s(;)15 b Fw(\010)1784 441 y Fr(+)1784 504 y(0)1843 479 y Fs(u)p Fw(\))26 b(=)f(0)p Fs(;)36 b(v)29 b Ft(2)c(D)2387 493 y Fr(2)2426 479 y Fs(;)15 b(u)26 b Ft(2)f(D)2700 493 y Fr(1)2739 479 y Fs(;)0 707 y Fw(resp)s(ectiv)m(ely)30 b(that:)938 820 y(lim)934 877 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1210 820 y Fw(sup)1083 901 y Fq(v)r FF(2D)1221 910 y Fm(2)1256 901 y Fq(;)p FF(k)p Fq(v)r FF(k\024)p Fr(1)1489 820 y Ft(j)p Fw(\()p Fs(v)s(;)15 b Fw(\010)1702 783 y Fr(+)1702 843 y Fq(\017)1762 820 y Fs(u)p Fw(\))20 b Ft(\000)g Fw(\()p Fs(v)s(;)15 b Fw(\010)2148 782 y Fr(+)2148 845 y(0)2208 820 y Fs(u)p Fw(\))p Ft(j)26 b Fw(=)f(0)p Fs(;)36 b(u)25 b Ft(2)g(D)2781 834 y Fr(1)2820 820 y Fs(:)0 1052 y Fw(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e:)1016 1139 y(\()p Fs(v)s(;)15 b Fw(\010)1204 1106 y Fr(+)1204 1161 y Fq(\017)1264 1139 y Fs(u)p Fw(\))20 b Ft(\000)g Fw(\()p Fs(v)s(;)15 b Fw(\010)1650 1101 y Fr(+)1650 1164 y(0)1710 1139 y Fs(u)p Fw(\))862 1323 y(=)83 b(\()p Fs(v)1095 1337 y Fq(T)1150 1323 y Fs(;)15 b Fw(\010)1256 1337 y Fq(\017)1289 1323 y Fw(\()p Fs(T)e Fw(\))p Fs(u)1477 1337 y Fq(T)1532 1323 y Fw(\))21 b Ft(\000)f Fw(\()p Fs(v)1758 1337 y Fq(T)1813 1323 y Fs(;)15 b Fw(\010)1919 1337 y Fr(0)1959 1323 y Fw(\()p Fs(T)e Fw(\))p Fs(u)2147 1337 y Fq(T)2202 1323 y Fw(\))1016 1510 y(+)1102 1441 y Fp(R)1157 1468 y Fr(+)p FF(1)1141 1538 y Fq(T)1324 1474 y Fr(d)p 1312 1489 65 4 v 1312 1542 a(d)p Fq(t)1386 1510 y Fw(\()p Fs(v)1465 1524 y Fq(t)1495 1510 y Fs(;)i Fw(\010)1601 1524 y Fq(\017)1634 1510 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)1789 1524 y Fq(t)1819 1510 y Fw(\)d)p Fs(t)20 b Ft(\000)2049 1441 y Fp(R)2104 1468 y Fr(+)p FF(1)2088 1538 y Fq(T)2272 1474 y Fr(d)p 2259 1489 V 2259 1542 a(d)p Fq(t)2334 1510 y Fw(\()p Fs(v)2413 1524 y Fq(t)2443 1510 y Fs(;)15 b Fw(\010)2549 1524 y Fr(0)2588 1510 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)2743 1524 y Fq(t)2774 1510 y Fw(\)d)p Fs(t:)0 1669 y Fw(The)30 b(sum)f(of)i(the)f(last)h(t)m(w)m (o)g(terms)g(is)e(less)h(than)953 1864 y(2)1013 1800 y Fp(P)1101 1826 y Fq(n)1101 1887 y(i)p Fr(=1)1219 1864 y Fw(\()1254 1795 y Fp(R)1310 1822 y Fr(+)p FF(1)1294 1892 y Fq(T)1455 1864 y Ft(k)p Fs(R)1569 1878 y Fr(1)p Fq(;j)1661 1864 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)1816 1878 y Fq(t)1846 1864 y Ft(k)1891 1831 y Fr(2)1931 1864 y Fw(d)p Fs(t)p Fw(\))2060 1801 y Fm(1)p 2059 1813 31 4 v 2059 1854 a(2)2104 1864 y Fw(\()2139 1795 y Fp(R)2195 1822 y Fr(+)p FF(1)2178 1892 y Fq(T)2339 1864 y Ft(k)p Fs(R)2453 1878 y Fr(2)p Fq(;j)2545 1864 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(v)2692 1878 y Fq(t)2722 1864 y Ft(k)2767 1831 y Fr(2)2807 1864 y Fw(d)p Fs(t)p Fw(\))2936 1801 y Fm(1)p 2936 1813 V 2936 1854 a(2)799 2064 y Ft(\024)83 b Fs(C)1039 2000 y Fp(P)1127 2026 y Fq(n)1127 2087 y(i)p Fr(=1)1245 2064 y Fw(\()1280 1995 y Fp(R)1336 2021 y Fr(+)p FF(1)1320 2092 y Fq(T)1481 2064 y Ft(k)p Fs(R)1595 2078 y Fr(1)p Fq(;j)1687 2064 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)1842 2078 y Fq(t)1872 2064 y Ft(k)1917 2031 y Fr(2)1957 2064 y Fw(d)p Fs(t)p Fw(\))2086 2001 y Fm(1)p 2085 2013 V 2085 2054 a(2)2130 2064 y Ft(k)p Fs(v)s Ft(k)p Fs(;)0 2266 y Fw(uniformly)24 b(in)j Fs(\017)g Fw(b)m(y)g(\(A.2\).)41 b(F)-8 b(or)29 b Fs(T)38 b Ft(\035)25 b Fw(1)j(this)e(is)g(less)h(than) g Fs(\013)p Ft(k)p Fs(v)s Ft(k)i Fw(for)f(\014xed)e Fs(u)g Ft(2)f(D)2864 2280 y Fr(1)2903 2266 y Fw(,)j(uniformly)d(in)h Fs(\017)p Fw(.)39 b(Then)0 2379 y Fu(ii\))26 b Fw(follo)m(ws)g(from)g (the)h(fact)g(that)h(for)e(\014xed)g Fs(T)39 b Fw(\010)1656 2393 y Fq(\017)1688 2379 y Fw(\()p Fs(T)13 b Fw(\))27 b(con)m(v)m(erges)i(w)m(eakly)e(\(resp.)39 b(strongly\))26 b(to)h(\010)3370 2393 y Fr(0)3409 2379 y Fw(\()p Fs(T)13 b Fw(\))27 b(when)0 2492 y Fs(\017)e Ft(!)g Fw(0.)41 b Fh(2)0 2754 y Fi(Prop)s(osition)36 b(A.5)46 b Fu(L)-5 b(et)33 b Ft(H)q Fs(;)15 b Ft(D)s Fs(;)g(H)40 b Fu(b)-5 b(e)32 b(as)h(in)g(Pr)-5 b(op.)43 b(A.2.)e(L)-5 b(et)33 b(for)g Fs(\017)26 b Ft(2)p Fw(]0)p Fs(;)15 b Fw(1[)1181 2958 y(I)-15 b(R)1266 2921 y Fr(+)1350 2958 y Ft(3)25 b Fs(t)g Ft(7!)g Fw(\010)1676 2972 y Fq(\017)1709 2958 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))g Ft(2)g(B)s Fw(\()p Ft(H)q Fw(\))33 b Fu(selfadjoint)q Fs(;)0 3162 y Fu(such)42 b(that)h(for)f(\014xe)-5 b(d)42 b Fs(\017)g Fw(\010)928 3176 y Fq(\017)960 3162 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))g Fu(satis\014es)h(the)f(hyp)-5 b(otheses)44 b(of)d(Pr)-5 b(op.)70 b(A.3)42 b(with)g Ft(H)2938 3176 y Fq(i)3008 3162 y Fw(=)f Ft(H)q Fu(,)i Ft(D)3339 3176 y Fq(i)3409 3162 y Fw(=)e Ft(D)j Fu(and)0 3275 y Fs(H)76 3289 y Fq(i)129 3275 y Fw(=)25 b Fs(H)7 b Fu(,)32 b Fs(i)26 b Fw(=)f(1)p Fs(;)15 b Fw(2)p Fu(.)43 b(It)33 b(fol)5 b(lows)34 b(that)1046 3479 y Fw(\010)1112 3442 y Fr(+)1112 3502 y Fq(\017)1196 3479 y Fw(=)25 b(s-)63 b(lim)1374 3534 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1610 3479 y Fw(e)1650 3442 y Fr(i)p Fq(tH)1763 3479 y Fw(\010)1829 3493 y Fq(\017)1861 3479 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\)e)2004 3442 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2205 3479 y Fu(exists)33 b Ft(8)p Fs(\017)25 b(>)f Fw(0)p Fs(:)0 3712 y Fu(Assume)32 b(that)977 3799 y Fw(0)26 b Ft(\024)f Fw(\010)1210 3767 y Fr(+)1210 3822 y Fq(\017)1294 3799 y Ft(\024)g Fw(1)-20 b(l)o(;)1000 3950 y Fr(d)p 987 3965 65 4 v 987 4017 a(d)p Fq(t)1062 3986 y Fw(\()p Fs(u)1149 4000 y Fq(t)1179 3986 y Fs(;)15 b Fw(\010)1285 4000 y Fq(\017)1318 3986 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)1473 4000 y Fq(t)1503 3986 y Fw(\))25 b Ft(\025)g(\000k)p Fs(R)q Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)2000 4000 y Fq(t)2031 3986 y Ft(k)2076 3953 y Fr(2)2115 3986 y Fs(;)36 b(\017)25 b Ft(2)p Fw(]0)p Fs(;)15 b Fw(1[)p Fs(;)37 b(u)25 b Ft(2)g(D)s Fw(;)1010 4174 y Fu(wher)-5 b(e)1282 4105 y Fp(R)1337 4131 y Fr(+)p FF(1)1321 4201 y Fr(1)1482 4174 y Ft(k)p Fs(R)q Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)1752 4188 y Fq(t)1782 4174 y Ft(k)1827 4141 y Fr(2)1867 4174 y Fw(d)p Fs(t)25 b Ft(\024)g Fs(C)7 b Ft(k)p Fs(u)p Ft(k)2286 4141 y Fr(2)2325 4174 y Fs(;)36 b(u)25 b Ft(2)g(D)s Fw(;)977 4357 y(w)c Ft(\000)f Fw(lim)1282 4371 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1435 4357 y Fw(\010)1501 4371 y Fq(\017)1534 4357 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))25 b(=)g(1)-20 b(l)p Fs(;)35 b Ft(8)p Fs(t)25 b Ft(\035)g Fw(1)p Fs(:)0 4517 y Fu(Then)1565 4630 y Fw(w)c Ft(\000)j Fw(lim)1743 4686 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1893 4630 y Fw(\010)1959 4592 y Fr(+)1959 4652 y Fq(\017)2043 4630 y Fw(=)h(1)-20 b(l)o Fs(:)0 5009 y Fi(Pro)s(of.)47 b Fw(Since)30 b(\010)633 4976 y Fr(+)633 5031 y Fq(\017)722 5009 y Fw(is)f(uniformly)f(b)s(ounded,)g (it)i(su\016ces)g(b)m(y)g(densit)m(y)g(to)h(sho)m(w)f(that)1328 5213 y(lim)1324 5270 y Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)1458 5213 y Fw(\()p Fs(u;)15 b Fw(\010)1651 5176 y Fr(+)1651 5236 y Fq(\017)1710 5213 y Fs(u)p Fw(\))26 b(=)f(\()p Fs(u;)15 b(u)p Fw(\))p Fs(;)37 b(u)25 b Ft(2)g(D)s Fs(:)1844 5517 y Fw(99)p eop %%Page: 100 100 100 99 bop 0 162 a Fw(W)-8 b(e)32 b(ha)m(v)m(e:)873 253 y(\()p Fs(u;)15 b Fw(\010)1066 220 y Fr(+)1066 276 y Fq(\017)1125 253 y Fs(u)p Fw(\))26 b(=)82 b(\()p Fs(u)1478 267 y Fq(T)1534 253 y Fs(;)15 b Fw(\010)1640 267 y Fq(\017)1673 253 y Fw(\()p Fs(T)e Fw(\))p Fs(u)1861 267 y Fq(T)1916 253 y Fw(\))21 b(+)2063 184 y Fp(R)2118 211 y Fr(+)p FF(1)2102 281 y Fq(T)2285 217 y Fr(d)p 2273 232 65 4 v 2273 285 a(d)p Fq(t)2347 253 y Fw(\()p Fs(u)2434 267 y Fq(t)2464 253 y Fs(;)15 b Fw(\010)2570 267 y Fq(\017)2603 253 y Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)2758 267 y Fq(t)2788 253 y Fw(\)d)p Fs(t)1238 441 y Ft(\025)82 b Fw(\()p Fs(u)1478 455 y Fq(T)1534 441 y Fs(;)15 b Fw(\010)1640 455 y Fq(\017)1673 441 y Fw(\()p Fs(T)e Fw(\))p Fs(u)1861 455 y Fq(T)1916 441 y Fw(\))21 b Ft(\000)2063 372 y Fp(R)2118 398 y Fr(+)p FF(1)2102 468 y Fq(T)2263 441 y Ft(k)p Fs(R)q Fw(\()p Fs(t)p Fw(\))p Fs(u)2533 455 y Fq(t)2563 441 y Ft(k)2608 408 y Fr(2)2648 441 y Fw(d)p Fs(t:)0 584 y Fw(F)-8 b(or)37 b Fs(\013)f(>)g Fw(0)h(w)m(e)g(\014rst)f(c)m(ho)s(ose)h Fs(T)49 b Ft(\035)35 b Fw(1)i(suc)m(h)f(that)i(the)e(second)h(term)g (is)e(less)h(than)g Fs(\013)h Fw(then)g Fs(\017)3326 598 y Fr(0)3402 584 y Fw(suc)m(h)f(that)0 697 y(for)g Fs(\017)e(<)g(\017)358 711 y Fr(0)433 697 y Fw(the)i(\014rst)f(term)h (is)f(greater)i(than)f(\()p Fs(u;)15 b(u)p Fw(\))25 b Ft(\000)e Fs(\013)p Fw(.)58 b(W)-8 b(e)37 b(obtain)e(lim)p 2564 710 127 4 v 2690 717 a Fq(\017)p FF(!)p Fr(0)2829 697 y Fw(\()p Fs(u;)15 b Fw(\010)3022 664 y Fr(+)3022 719 y Fq(\017)3081 697 y Fs(u)p Fw(\))35 b Ft(\025)f(k)p Fs(u)p Ft(k)3450 664 y Fr(2)3490 697 y Fw(.)57 b(Since)0 809 y(\()p Fs(u;)15 b Fw(\010)193 776 y Fr(+)193 832 y Fq(\017)252 809 y Fs(u)p Fw(\))26 b Ft(\024)f(k)p Fs(u)p Ft(k)603 776 y Fr(2)674 809 y Fw(this)k(pro)m(v)m(es)i(the)g(prop)s (osition.)38 b Fh(2)0 1048 y Fv(A.4)112 b(Existence)36 b(of)i(some)f(pro)6 b(jections)0 1219 y Fw(In)26 b(this)g(subsection)g (w)m(e)i(sho)m(w)e(the)i(existence)f(of)g(some)h(pro)5 b(jections,)27 b(using)f(pseudo-resolv)m(en)m(t)h(argumen)m(ts.)0 1380 y Fi(Prop)s(osition)36 b(A.6)46 b Fu(L)-5 b(et)32 b Ft(H)q Fs(;)15 b(H)38 b Fu(b)-5 b(e)31 b(as)h(in)f(Pr)-5 b(op.)43 b(A.2)31 b(and)h(let)g Fw(I)-15 b(R)2311 1344 y Fr(+)2396 1380 y Ft(3)24 b Fs(t)i Ft(7!)f Fs(B)2725 1394 y Fq(t)2754 1380 y Fu(,)32 b(wher)-5 b(e)32 b Fs(B)3138 1394 y Fq(t)3199 1380 y Fu(is)f(a)h(selfadjoint)0 1493 y(op)-5 b(er)g(ator)36 b(on)d Ft(H)q Fu(,)f Fs(B)695 1507 y Fq(t)750 1493 y Ft(\025)25 b Fw(0)p Fu(.)42 b(Assume)32 b(that)i Ft(8)p Fs(\025)25 b Ft(2)p 1727 1493 4 56 v 25 w Fw(C)o Ft(n)p Fw(I)-15 b(R)p Fu(:)1013 1664 y Fs(R)1083 1627 y Fr(+)1142 1664 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))26 b(=)e(s-)63 b(lim)1468 1719 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1704 1664 y Fw(e)1744 1627 y Fr(i)p Fq(tH)1857 1664 y Fw(\()p Fs(B)1961 1678 y Fq(t)2011 1664 y Fw(+)20 b Fs(\025)p Fw(\))2190 1627 y FF(\000)p Fr(1)2285 1664 y Fw(e)2325 1627 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2525 1664 y Fu(exists)q Fs(:)0 1864 y Fu(Then:)141 1977 y(i\))33 b(for)g Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)617 1991 y FF(1)692 1977 y Fw(\(I)-15 b(R\))32 b Fu(the)h(limit)1182 2149 y Fs(\037)1239 2111 y Fr(+)1323 2149 y Fw(=)25 b(s-)63 b(lim)1500 2203 y Fq(t)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1737 2149 y Fw(e)1777 2111 y Fr(i)p Fq(tH)1890 2149 y Fs(\037)p Fw(\()p Fs(B)2051 2163 y Fq(t)2081 2149 y Fw(\)e)2156 2111 y FF(\000)p Fr(i)p Fq(tH)2356 2149 y Fu(exists)p Fs(:)0 2361 y Fu(ii\))32 b(if)h Fs(\037)25 b Ft(2)g Fs(C)447 2375 y Fr(0)486 2361 y Fw(\(I)-15 b(R\))p Fu(,)33 b Fw(0)26 b Ft(\024)f Fs(\037)g Ft(\024)g Fw(1)p Fu(,)32 b Fs(\037)h Fu(de)-5 b(cr)g(e)g(asing,)34 b Fs(\037)25 b Ft(\021)g Fw(1)33 b Fu(ne)-5 b(ar)34 b Fw(0)f Fu(and)g Fs(\037)2476 2375 y Fq(n)2523 2361 y Fw(\()p Fs(\025)p Fw(\))26 b(=)f Fs(\037)p Fw(\()p Fs(n)2915 2328 y FF(\000)p Fr(1)3009 2361 y Fs(\025)p Fw(\))33 b Fu(then)1414 2533 y Fw(s-)72 b(lim)1495 2587 y Fq(n)p FF(!)p Fr(+)p FF(1)1749 2533 y Fs(\037)1806 2496 y Fr(+)1806 2556 y Fq(n)1891 2533 y Fw(=)25 b Fs(P)2058 2496 y Fr(+)2149 2533 y Fu(exists)0 2732 y(and)34 b(is)e(an)h(ortho)-5 b(gonal)36 b(pr)-5 b(oje)g(ction)35 b(indep)-5 b(endent)34 b(on)f(the)g(choic)-5 b(e)33 b(of)g Fs(\037)p Fu(.)991 2922 y Fs(iii)p Fw(\))22 b 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